¶ µ ¶ ³ ゲーム理論とは目的: 合理的主体間の戦略的行動や利得分配の分析歴史: • フォン・ノイマン（１９２８） • フォン・ノイマンとモルゲンシュテルン（１９４４） • ナッシュ（１９５０）方法: • ｎ人協力ゲームとｎ人非協力ゲーム（n ≥ 2） • 戦略形，提携形，展開形 ´ ³ ケーキの分割問題１ • １個のケーキを n 人（n ≥ 2）で公平に分ける方法（古典的問題）． n = 2 の場合: divide and choose n ≥ 3 の場合: クナスター=バナッハによる拡張問題 1. n = 3 の場合の公平な分割法を考えなさい． µ ¶ ¶ ³ ゼロ和２人ゲーム a b c d 2/3 3/2 2 e 0 2 1/3 µ ¶ ´ µ ³¶ マックスミニ戦略戦略 p がマックスミニ戦略であるとは • ある値 v が確実にえられる • p 以外では，その値 v は保証されない ´ ジャンケン ³ G C P G 0 1 −1 C −1 0 1 P 1 −1 0 ´ ミニマックス戦略 ³ 戦略 q がミニマックス戦略であるとは • 損失がある値 w を超えない • q 以外では，その値 w は保証されないこの値 v を利得の保証水準（マックスこの値 w を損失の保証水準（ミニマッミニ値）という．クス値）という． µ ´µ ´ ¶ ³ 例示１ a d 2/3 e 0 max 2/3∗ b 3/2 2 2 µ c 2 1/3 2 min 2/3∗ 0 w = v = 2/3 ´ 1 ¶ ³ 例示２ G G 0 C −1 P 1 max 1 C 1 0 −1 1 P −1 1 0 1 min −1 −1 −1 w = 1 > −1 = v µ ¶ ミニマックス定理 ³ ¶ ³ 注意ミニマックス定理：ゼロ和２人ゲームでは，混合戦略の一般に，v ≤ w である． µ ´ もとで，v = w となる． µ ´ ¶ 問題問題 2. ジャンケンにおいては，p = (1/3, 1/3.1/3) はマックスミニ戦略であり，v = w = 0 である． µ ¶ 黙秘黙秘 −2, −2 自白 0, −10 c c 3, 3 d 4, 0 µ ¶ ³¶ 囚人のジレンマ逢引のジレンマ ³ ´ ³ b o b 2, 1 0, 0 o 0, 0 1, 2 自白 −10, 0 −5, −5 d 0, 4 1, 1 µ ¶ 交差点 ´ ³ go stop go −1, −1 2, 1 stop 1, 2 0, 0 ´µ ナッシュ均衡各プレイヤーが採っている戦略の組がナッシュ均衡であるとは，どのプレイヤーについても，自分だけ他の戦略に切り替えて利得を増加させることができないことをいう．このとき，各プレイヤーの戦略は，他のすべてのプレイヤーの戦略の組に対する最適反応であるという． µ ¶ ´ 例のナッシュ均衡 ´ ³ ´ ³ 囚人のジレンマ: (d, d) 逢引のジレンマ: (b, b), (o, o) および ((2/3, 1/3), (1/3, 2/3))．交差点: (stop, go), (go, stop) および ((1/2, 1/2), (1/2, 1/2)). µ ´ 2 ¶ ³ 注意ゼロ和２人ゲームでは，ナッシュ均衡とミニマックス定理は同値． µ ¶ ³¶ ケーキの分割問題２問題問題 3. 次のゲームのナッシュ均衡． a c −1, 2 d 0, 0.5 ´ ³ 問題 5. 2 B 1 b 0.5, 1 1, −1 Ẽ 問題 4. ジャンケンにおいては，混合戦略の組 1/2 E∗ ((1/3, 1/3, 1/3), (1/3, 1/3, 1/3)) はナッシュ均衡である． O 1 A 1/2 1 ´µ µ ¶ ´ 囚人のジレンマの繰り返しにおける GT と TFT ³ GT: 誰かが d をとるまでは c, 以後は d TFT: c から始め，以後，相手の前回の行動と同じ行動をとる c c d c, d c d c d d d c GRIM TRIGGER (GT) TIT FOR TAT (TFT) µ ´ ¶ GT の履歴と逸脱履歴： ( ) ( )( )( ) ( ) c c c d d ··· ··· ··· c c d d d 利得の流れ： ( ) ( )( )( ) ( ) 3 3 0 1 1 ··· ··· ··· 3 3 4 1 1 µ ³ ´ 3 ¶ ¶ ³ フォーク定理 2 B(0, 5) C(3, 3) D(1, 1) µ ¶ 1 A(5, 0) µ ´ µ ¶ ³ 有限回繰り返しゲーム • 囚人のジレンマの有限回繰り返しでは，毎回 d をとることが唯一のナッシュ均衡である（逆向き推論法）．逆向き推論法の例 • 不意打ち試験のパラドックス • アイスクリームの分割交渉 ´ ³ ´ ³ アイスクリームの分割 • 提案者は分割を提案．合意されればこの提案が実現．拒否されれば提案者を交代して同様のルールに従う．アイスクリームの大きさは最初は n であるが，提案者が交代するたびに１ずつ小さくなる． • n = 3 の場合： (x, 3 − x) 1 x a a 2 r r 2 y 1 (2 − y, y) z 1 (z, 1 − z) a 2 r (0, 0) µ ¶ ´ 問題問題 6. このアイスクリームの分割交渉のナッシュ均衡を求めなさい． µ 4 ³ ´ ¶ ³ 新規参入と展開形ゲーム大型店舗 M の参入をひかえて，地元商店街 I は，M が攻撃的なタイプ MA なのか協調的なタイプ MW なのかを各々確率 π ，1 − π と見積もっている．参入が起きた場合，とりうる行動は，容認する (acq) か，対抗する (fight) かの２通りである．他方，M は自分のタイプを知っているが，どちらであっても参入するか (ent) しないか (not) の２通りの行動をとりうる． (M. I) (0, 0) MA not (1, -1) acq π ent (-1, -4) fight fight N ent 1−π acq I MW not (-2, -1) (-1, -2) (0, 0) • N : 自然（偶然機構） • M : 参入者 – M A: 攻撃的なタイプ – M W : 協調的なタイプ • ent: 参入する • π: 参入者が攻撃的であるという先験確率 • I: 地元商店街 • acq: 容認する • f ight: 対抗する µ ¶ ´ 問題 ³ 問題 7. この展開形ゲームにおいて，戦略の組 (M A : ent, M W : not, I : acq) はナッシュ均衡であることを確かめなさい． µ ´ 5