弾性体の構成式（Constitutive Equation of Elastic Solid）

Constitutive equation of elastic solid
Hooke’s law
σ ij = λδ ijε kk + 2με ij
Lame’s constant
νE
E
λ=
,μ =
(1 +ν )(1 − 2ν )
2(1 + ν )
linear elastic solid
σ ij = Eijkl ε kl
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線形弾性体
線形弾性体
線形弾性体
応力テンソルσσとひずみテン
とひずみテン
応力テンソル
ソルεεの各成分が線形関係を
の各成分が線形関係を
ソル
有する固体．
有する固体．
E
ij k
l
σij
応力テンソル
⎡ σ 11 σ 12 σ 13
σ = ⎢⎢ σ 21 σ 22 σ 23
⎢⎣ σ 31 σ 32 σ 33
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
εkl
O
ひずみテンソル
⎡ ε11 ε12 ε13
ε = ⎢⎢ ε 21 ε 22 ε 23
⎢⎣ ε 31 ε 32 ε 33
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
線形弾性体の構成式
線形弾性体の構成式
σ11
σ12
E
σ ij = Eijkl ε kl
指標表現
11
11
弾性係数
テンソル
E 1212
シンボリッ
ク表現
O
σ = E :ε
σ11
E1111
σ12
σ31 σ32 σ33
９成分
ε12
ε11
σ 12 = E1212ε12
ε12
E1112 E1113
σ13
σ21 σ22 σ23
σ 11 = E1111ε11
E1212
O
ε11
＝
E1121 E1122 E1123
E3311 E3312 E3313
E1131 E1132 E1133
E3321 E3322 E3323
８１成分
E3331 E3332 E3333
ε13
： ε21 ε22 ε23
ε31 ε32 ε33
９成分
弾性係数テンソルの階数
弾性係数テンソルの階数
σ ij = Eijkl ε kl
指標表現
シンボリッ
ク表現
テンソルの商法則により E は４階
のテンソルであることがわかる．
σ = E :ε
４階のテンソル
E
テンソル積
２階のテンソル
ε
Eijkl ε mn
縮約
(k=m)
６（＝４＋２）階
のテンソル
Eijkl ε kn
縮約
(l=n)
４（＝６－２）階
のテンソル
Eijkl ε kl
２（＝４－２）階
のテンソル
弾性係数テンソル内の独立成分
弾性係数テンソル内の独立成分
８１成分
応力テンソル
σ11 σ12 σ13
９成分
σ21 σ22 σ23
σ31 σ32 σ33
角運動量
保存則
E1111 E1112 E1113
E1121 E1122 E1123
E3311 E3312 E3313
E1131 E1132 E1133
E3321 E3322 E3323
E3331 E3332 E3333
応力とひず
みの対称性
ひずみテンソル
ε11 ε12 ε13
９成分
ε21 ε22 ε23
ε31 ε32 ε33
Eijkl = E jikl
Eijkl = Eijlk
ひずみの
定義式
３６成分
σ11 σ12 σ31
σ12 σ22 σ23
σ31 σ23 σ33
６成分
（対称テンソル）
ひずみエネルギー
密度関数の存在の
仮定
Eijkl = Eklij
２１成分
等方性
任意の座標変換
において不変
２成分（直交異方性
であれば９成分）
ε11 ε12 ε31
ε12 ε22 ε23
ε31 ε23 ε33
６成分
（対称テンソル）
一般化フックの法則（ひずみから応力を計算）
（ひずみから応力を計算）
一般化フックの法則
縦弾性係数
ν
E ⎛
⎞
σ ij =
ε kk δ ij ⎟
⎜ ε ij +
1 +ν ⎝
1 − 2ν
⎠
指標表現
ポアソン比
等方線形弾性体の構成式
シンボリッ
ク表現
σ=
E
1 +ν
ν
⎛
⎞
ε
+
ε
I
tr
⎜
⎟
−
1
2
ν
⎝
⎠
⎡σ 11 σ 12 σ 31 ⎤
⎥= E
⎢σ
σ
σ
22
23 ⎥
⎢ 12
1 +ν
⎢⎣σ 31 σ 23 σ 33 ⎥⎦
展開表現
Ε と ν が独立な２成分
⎧⎡ε 11 ε 12 ε 31 ⎤
⎡1 0 0 ⎤ ⎫
⎪⎢
⎥ + ν (ε + ε + ε )⎢0 1 0⎥ ⎪
ε
ε
ε
⎨⎢ 12
22
23 ⎥
11
22
33 ⎢
⎥⎬
ν
−
1
2
⎪⎢ε
⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎪⎭
⎩⎣ 31 ε 23 ε 33 ⎥⎦
E
{(1 −ν )ε11 + ν (ε 22 + ε 33 )}, σ 22 = L, σ 33 = L
(1 + ν )(1 − 2ν )
E
σ 12 =
ε12 , σ 23 = L, σ 31 = L
1 +ν
σ 11 =
一般化フックの法則と弾性係数テンソルの対応
一般化フックの法則と弾性係数テンソルの対応
E1111 E1112 E1113
一般化フックの法則
σ ij =
E
1 +ν
弾性係数テンソル
ν
⎞
⎛
ε
ε kk δ ij ⎟
+
⎜ ij
1 − 2ν
⎠
⎝
σ ij = Eijkl ε kl
E11kl
νE
E
(ε11 + ε 22 + ε 33 )
ε11 +
(1 + ν )(1 − 2ν )
1 +ν
(1 −ν )E ε +
νE
νE
ε
ε 33
=
+
11
22
(1 + ν )(1 − 2ν )
(1 + ν )(1 − 2ν )
(1 + ν )(1 − 2ν )
σ 11 =
E1111
E1122
これら以外の E
11kl
成分は0．
E1121 E1122 E1123
E3311 E3312 E3313
E1131 E1132 E1133
E3321 E3322 E3323
E3331 E3332 E3333
E12 kl
σ 12 =
E1133
E1112 = E1113 = L = 0
一般化フックの法則の式（左上）では，σijに対するεji成分
（この例ではσ12に対するε21）の項がすでに消去されている．
E
ε12
1 +ν
2 E1212
σ 12 = E1212ε 12
+ E1221ε 21
= 2 E1212ε 12
E1212 と E1221 以外の E12 kl
成分は0．
E1211 = E1213 = L = 0
弾性コンプライアンス係数テンソル
弾性コンプライアンス係数テンソル
弾性係数テンソルEと同様に弾性
コンプライアンス係数テンソル C
も４階のテンソルである．
ε = C :σ
εij
σij
ijk
l
シンボリッ
ク表現
ε ij = Cijklσ kl
E
指標表現
弾性コンプライアンス
係数テンソル
C ijkl
O
σkl
O
εkl
弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの
弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの
関係（その１）
（その１）
関係
弾性コンプライアンス係数テンソル
ε ij = Cij11σ 11 + Cij12σ 12 + L + Cijklσ kl + L + Cij 33σ 33
弾性係数テンソル
σ ij = Eij11ε 11 + Eij12ε 12 + L + Eijkl ε kl + L + Eij 33ε 33
σij
ijk
l
Cijkl
1
≠
Eijkl
E
εij
C ijkl
O
σkl
O
εkl
弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの
弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの
関係（その２）
（その２）
関係
Cijkl
1
≠
Eijkl
例えば
の関係は，以下のaijとb
とbijの関係と同じである．
の関係と同じである．
の関係は，以下のa
ij
ij
y1 = a11 x1 + a12 x2
y2 = a21 x1 + a22 x2
⎡ y1 ⎤ ⎡ a11
⎢y ⎥ = ⎢ a
⎣ 2 ⎦ ⎣ 21
a12 ⎤ ⎡ x1 ⎤
a22 ⎥⎦ ⎢⎣ x2 ⎥⎦
a11 ≠
1 a11a22 − a12 a21
=
b11
a22
x1 = b11 y1 + b12 y2
aij ≠
1
bij
x2 = b21 y1 + b22 y2
⎡ x1 ⎤
⎡ a22
1
⎢x ⎥ = a a − a a ⎢ − a
21
⎣ 2⎦
11 22
12 21 ⎣
− a12 ⎤ ⎡ y1 ⎤
a11 ⎥⎦ ⎢⎣ y2 ⎥⎦
一般化フックの法則（応力からひずみを計算）
（応力からひずみを計算）
一般化フックの法則
指標表現
シンボリッ
ク表現
ε ij =
ε=
1 +ν
ν
σ ij − σ kkδ ij
E
E
1 +ν
ν
σ − tr σ I
E
E
⎡ε11 ε12
⎢ε
⎢ 12 ε 22
⎢⎣ε 31 ε 23
展開表現
ε 31 ⎤
1 +ν
ε 23 ⎥⎥ =
E
ε 33 ⎥⎦
ポアソン比
等方線形弾性体の構成式
縦弾性係数
⎡1 0 0 ⎤
⎡σ 11 σ 12 σ 31 ⎤
⎢σ
⎥ − ν (σ + σ + σ )⎢0 1 0⎥
σ
σ
22
23 ⎥
11
22
33 ⎢
⎥
⎢ 12
E
⎢⎣0 0 1⎥⎦
⎢⎣σ 31 σ 23 σ 33 ⎥⎦
1
{σ 11 −ν (σ 22 + σ 33 )}, ε 22 = L, ε 33 = L
E
1 +ν
ε12 =
σ 12 , ε 23 = L, ε 31 = L
E
ε11 =
Ε と ν が独立な２成分
一般化フックの法則と弾性コンプ
一般化フックの法則と弾性コンプ
ライアンス係数テンソルの対応
ライアンス係数テンソルの対応
一般化フックの法則
ε ij =
弾性コンプライアンス係数テンソル
C1111 C1112 C1113
ε ij = Cijklσ kl
1 +ν
ν
σ ij − σ kkδ ij
E
E
C11kl
ν
1 +ν
σ 11 − (σ 11 + σ 22 + σ 33 )
E
E
ν
ν
1
= σ 11 − σ 22 − σ 33
E
E
E
ε 11 =
C1121 C1122 C1123
C3311 C3312 C3313
C1131 C1132 C1133
C3321 C3322 C3323
C12 kl
ε 12 =
1 +ν
σ 12
E
2C1212
C1111
C1122
C11kl 成分は0．
= C1113 = L = 0
これら以外の
C1112
C1133
C3331 C3332 C3333
ε 12 = C1212σ 12
+ C1221σ 21
= 2C1212σ 12
C1212 と C1221 以外の C12 kl
成分は0．
C1211 = C1213 = L = 0
一般化フックの法則の偏差応力と偏差ひずみを用いた表現
一般化フックの法則の偏差応力と偏差ひずみを用いた表現
偏差応力
偏差ひずみ
指標表現
σ ij′
E
=
= 2G
ε ij′ 1 +ν
σ ij′ = σ ij − δ ijσ kk
ε ij′ = ε ij − δ ij ε kk
シンボリッ
ク表現
E
σ′
=
= 2G
ε′ 1 +ν
1
σ ′ = σ − tr σ I
3
1
ε ′ = ε − tr ε I
3
展開表現
1
3
1
3
′
σ′ σ′ σ′ σ′
E
σ 11′ σ 22
= 2G
= 33 = 12 = 23 = 31 =
=
′
′ 1 +ν
′
′
ε 11′
ε 22
ε 33
ε 12′
ε 23
ε 31
σ 11 − σ m σ 22 − σ m σ 33 − σ m σ 12 σ 23 σ 31
E
=
=
=
=
=
=
= 2G
ε 11 − ε m ε 22 − ε m ε 33 − ε m ε 12 ε 23 ε 31 1 +ν
平均垂直ひずみ
平均垂直応力
ラメ（Lamé）の定数
ラメ（Lamé）の定数
λ=
指標表現
シンボリッ
ク表現
σ ij = λε kk δ ij + 2με ij
σ = λ tr ε I + 2 μ ε
νE
(1 + ν )(1 − 2ν )
μ=
ラメの定数
⎡σ 11 σ 12 σ 31 ⎤
⎡1 0 0 ⎤
⎡ε11 ε12
⎢σ
⎥ = λ (ε + ε + ε )⎢0 1 0⎥ + 2 μ ⎢ε
σ
σ
12
22
23
11
22
33 ⎢
⎢
⎥
⎥
⎢ 12 ε 22
⎢⎣σ 31 σ 23 σ 33 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1⎥⎦
⎢⎣ε 31 ε 23
展開表現
E
=G
2(1 + ν )
σ 11 = λ (ε11 + ε 22 + ε 33 ) + 2 με11
σ 22 = λ (ε11 + ε 22 + ε 33 ) + 2 με 22
σ 33 = λ (ε11 + ε 22 + ε 33 ) + 2 με 33
σ 12 = 2με12 , σ 23 = 2με 23 , σ 31 = 2με 31
ε 31 ⎤
ε 23 ⎥⎥
ε 33 ⎥⎦
λ と μ が独立な２成分
体積弾性係数
体積弾性係数
体積ひずみ
ε v = ε kk
= ε11 + ε 22 + ε 33
体積弾性係数
E
K=
3(1 − 2ν )
平均応力と体積ひずみ
の関係式
材料を単位の体積ひず
みだけ変形させるのに
要する平均応力
σm
σ m = K εv
V+dV
σm
平均応力
1
σ m = σ kk
3
1
= (σ 11 + σ 22 + σ 33 )
3
σm
V
σm
σm
εv=dV/V
σm
弾性係数間の関係
弾性係数間の関係
等方弾性体における各弾性係数間の関係
G
K
E
ν
μ
G and K
G
K
9GK
G + 3K
3K − 2G
2(G + 3K )
G
E and ν
E
2(1 + ν )
E
3(1 − 2ν )
E
ν
μ and λ
μ
λ+ μ
μ (3λ + 2 μ )
λ+μ
E
2(1 + ν )
2
K− G
3
νE
(1 + ν )(1 − 2ν )
λ
2(λ + μ )
μ
λ
2
3
λ
等方弾性体では独立な
弾性係数は２つ
構成式の行列表現
構成式の行列表現
指標表現
σ ij = Eijkl ε kl
シンボリッ
ク表現
σ = E :ε
行列表現
⎡σ 11 ⎤ ⎡ E1111
⎢σ ⎥ ⎢(E )
⎢ 22 ⎥ ⎢ 2211
⎢σ 33 ⎥ ⎢(E3311 )
⎢ ⎥=⎢
⎢σ 23 ⎥ ⎢(E2311 )
⎢σ 31 ⎥ ⎢(E3111 )
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣σ 12 ⎥⎦ ⎢⎣ (E1211 )
４階のテンソルである弾性係数テンソルは，本来で
あれば行列で表現することはできないが，応力テン
ソルとひずみテンソルを列行列の形に並べ替えるこ
とにより行列表現が可能となる．
E1122
E1133
E1123
E1131
E2222
E2233
E2223
E2231
(E3322 ) E3333 E3323 E3331
(E2322 ) (E2333 ) E2323 E2331
(E3122 ) (E3133 ) (E3123 ) E3131
(E1222 ) (E1233 ) (E1223 ) (E1231 )
Eijkl = Eklij
E1112 ⎤ ⎡ ε 11 ⎤
E2212 ⎥⎥ ⎢⎢ ε 22 ⎥⎥
E3312 ⎥ ⎢ ε 33 ⎥
⎥⎢
⎥
E2312 ⎥ ⎢2ε 23 ⎥
E3112 ⎥ ⎢ 2ε 31 ⎥
⎥⎢
⎥
E1212 ⎥⎦ ⎢⎣ 2ε 12 ⎥⎦
Voigtの表記
Voigtの表記
Voigtの表記に
基づく添字の
変更
行列表現
11 → 1
22 → 2
33 → 3
23 → 4
31 → 5
⎡σ 11 ⎤ ⎡ E1111
⎢σ ⎥ ⎢
⎢ 22 ⎥ ⎢
⎢σ 33 ⎥ ⎢
⎢ ⎥=⎢
⎢σ 23 ⎥ ⎢
⎢σ 31 ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣σ 12 ⎥⎦ ⎢⎣
E1122
E1133
E1123
E1131
E2222
E2233
E3333
E2223
E3323
E2231
E3331
E2323
E2331
E3131
(sym.)
E1112 ⎤ ⎡ ε 11 ⎤
E2212 ⎥⎥ ⎢⎢ ε 22 ⎥⎥
E3312 ⎥ ⎢ ε 33 ⎥
⎥
⎥⎢
E2312 ⎥ ⎢2ε 23 ⎥
E3112 ⎥ ⎢ 2ε 31 ⎥
⎥
⎥⎢
E1212 ⎥⎦ ⎢⎣ 2ε 12 ⎥⎦
12 → 6
行列表現（Voigtの表記）
⎡σ 1 ⎤ ⎡ E11
⎢σ ⎥ ⎢
⎢ 2⎥ ⎢
⎢σ 3 ⎥ ⎢
⎢ ⎥=⎢
⎢σ 4 ⎥ ⎢
⎢σ 5 ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣σ 6 ⎥⎦ ⎢⎣
E12
E13
E14
E15
E22
E23
E24
E25
E33
E34
E44
E35
E45
(sym.)
E55
E16 ⎤ ⎡ ε 1 ⎤ ⎛ ⎡c11
⎜
E26 ⎥⎥ ⎢⎢ε 2 ⎥⎥ ⎜ ⎢⎢
E36 ⎥ ⎢ε 3 ⎥ ⎜ ⎢
⎥⎢ ⎥ = ⎜ ⎢
E46 ⎥ ⎢ε 4 ⎥ ⎜ ⎢
⎜
E56 ⎥ ⎢ε 5 ⎥ ⎜ ⎢
⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎢
E66 ⎥⎦ ⎢⎣ε 6 ⎥⎦ ⎝ ⎢⎣
εi (i = 4 ~ 6)：工学せん断ひずみ（γyz, γzx, γxy）と同じ
c12
c13
c14
c15
c22
c23
c24
c25
c33
c34
c44
c35
c45
(sym.)
c55
c16 ⎤ ⎡ ε 1 ⎤ ⎞
⎟
c26 ⎥⎥ ⎢⎢ε 2 ⎥⎥ ⎟
c36 ⎥ ⎢ε 3 ⎥ ⎟
⎥⎢ ⎥ ⎟
c46 ⎥ ⎢ε 4 ⎥ ⎟
⎟
c56 ⎥ ⎢ε 5 ⎥ ⎟
⎥⎢ ⎥ ⎟
c66 ⎥⎦ ⎢⎣ε 6 ⎥⎦ ⎠
2ε 23 = ε 4 ,2ε 31 = ε 5 ,2ε 12 = ε 6
物体の対称性
物体の対称性
物体（結晶，格子）をある軸周りに回転させたとき，2ππ/n/n[rad]で元と重
[rad]で元と重
物体（結晶，格子）をある軸周りに回転させたとき，2
なるとき，その物体は，n回の回転対称であると言い，また，その回転
なるとき，その物体は，n回の回転対称であると言い，また，その回転
軸をn回対称軸と言う．
軸をn回対称軸と言う．
2回回転対称
3回回転対称
Axis of
rotation
(n=6)
4回回転対称
6回回転対称
独立な弾性係数の個数（その１）
（その１）
独立な弾性係数の個数
一般の線形弾性体
直交異方線形弾性体
（斜方晶系単結晶体）
⎡σ 1 ⎤ ⎡c11
⎢σ ⎥ ⎢
⎢ 2⎥ ⎢
⎢σ 3 ⎥ ⎢
⎢ ⎥=⎢
⎢σ 4 ⎥ ⎢
⎢σ 5 ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣σ 6 ⎥⎦ ⎢⎣
⎡σ 1 ⎤ ⎡c11
⎢σ ⎥ ⎢
⎢ 2⎥ ⎢
⎢σ 3 ⎥ ⎢
⎢ ⎥=⎢
⎢σ 4 ⎥ ⎢
⎢σ 5 ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣σ 6 ⎥⎦ ⎢⎣
c12
c13
c14
c15
c22
c23
c33
c24
c34
c25
c35
c44
c45
(sym.)
c12
c22
(sym.)
c55
c13
c23
0
0
0
0
c33
0
0
c44
0
c55
c16 ⎤ ⎡ε 1 ⎤
c26 ⎥⎥ ⎢⎢ε 2 ⎥⎥
c36 ⎥ ⎢ε 3 ⎥
⎥⎢ ⎥
c46 ⎥ ⎢ε 4 ⎥
c56 ⎥ ⎢ε 5 ⎥
⎥⎢ ⎥
c66 ⎥⎦ ⎢⎣ε 6 ⎥⎦
独立な成分は２１個
0 ⎤ ⎡ε1 ⎤
0 ⎥⎥ ⎢⎢ε 2 ⎥⎥
0 ⎥ ⎢ε 3 ⎥
⎥⎢ ⎥
0 ⎥ ⎢ε 4 ⎥
0 ⎥ ⎢ε 5 ⎥
⎥⎢ ⎥
c66 ⎥⎦ ⎢⎣ε 6 ⎥⎦
独立な成分は９個
互いに直交する３本の
２回対称軸を有する．
独立な弾性係数の個数（その２）
（その２）
独立な弾性係数の個数
独立な成分は３個
独立な成分は５個
六方対称線形弾性体
（六方晶系単結晶体）
⎡σ 1 ⎤ ⎡c11
⎢σ ⎥ ⎢
⎢ 2⎥ ⎢
⎢σ 3 ⎥ ⎢
⎢ ⎥=⎢
⎢σ 4 ⎥ ⎢
⎢σ 5 ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎣⎢σ 6 ⎦⎥ ⎢⎣
c12
c11
(sym.)
立方対称線形弾性体
（立方晶系単結晶体）
６回対称軸を有する．
c13
c13
0
0
0
0
c33
0
0
c44
0
c44
⎤ ⎡ε ⎤
⎥⎢ 1 ⎥
⎥ ⎢ε 2 ⎥
0 ⎥ ⎢ε ⎥
⎥ 3
0 ⎥ ⎢ε ⎥
⎢ 4⎥
0 ⎥ ⎢ε ⎥
5
c11 − c12 ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ε ⎥
2 ⎦⎣ 6 ⎦
0
0
等方線形弾性体
独立な成分は２個
⎡σ 1 ⎤ ⎡c11
⎢σ ⎥ ⎢
⎢ 2⎥ ⎢
⎢σ 3 ⎥ ⎢
⎢ ⎥=⎢
⎢σ 4 ⎥ ⎢
⎢σ 5 ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣σ 6 ⎥⎦ ⎢⎣
⎡c11
⎡σ 1 ⎤ ⎢
⎢σ ⎥ ⎢
⎢ 2⎥ ⎢
⎢σ 3 ⎥ ⎢
⎢ ⎥=⎢
⎢σ 4 ⎥ ⎢
⎢σ 5 ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣σ 6 ⎥⎦ ⎢
⎢
⎣
c12
c11
(sym.)
c12
c11
互いに直交する３本の
４回対称軸を有する．
c12
c12
0
0
0
0
c11
0
c44
0
0
(sym.)
c44
c12
c12
0
0
0
0
c11
0
c11 − c12
2
0
0
c11 − c12
2
0 ⎤ ⎡ε1 ⎤
0 ⎥⎥ ⎢⎢ε 2 ⎥⎥
0 ⎥ ⎢ε 3 ⎥
⎥⎢ ⎥
0 ⎥ ⎢ε 4 ⎥
0 ⎥ ⎢ε 5 ⎥
⎥⎢ ⎥
c44 ⎥⎦ ⎢⎣ε 6 ⎥⎦
⎤
⎥ ⎡ε1 ⎤
⎥⎢ ⎥
0 ⎥ ⎢ε 2 ⎥
⎥ ⎢ε ⎥
0 ⎥⎢ 3 ⎥
⎥ ⎢ε 4 ⎥
0 ⎥ ⎢ε 5 ⎥
⎥⎢ ⎥
c11 − c12 ⎥ ⎢⎣ε 6 ⎥⎦
⎥
2 ⎦
0
0
構成式の行列表現（工学的表記，
（工学的表記，ひずみから応力を計算）
ひずみから応力を計算）
構成式の行列表現
行列表現（工学的表記）
⎡ (1 −ν )E
⎢
⎡σ x ⎤ ⎢ (1 +ν )(1 − 2ν )
⎢σ ⎥ ⎢
νE
y
⎢ ⎥ ⎢ (1 +ν )(1 − 2ν )
⎢σ z ⎥ ⎢
νE
⎢ ⎥=⎢
⎢τ yz ⎥ ⎢ (1 +ν )(1 − 2ν )
⎢τ zx ⎥ ⎢
0
⎢ ⎥ ⎢
0
⎣⎢τ xy ⎦⎥ ⎢
⎢⎣
0
νE
νE
0
0
0
0
0
0
(1 +ν )(1 − 2ν ) (1 +ν )(1 − 2ν )
(1 −ν )E
νE
(1 +ν )(1 − 2ν ) (1 +ν )(1 − 2ν )
(1 −ν )E
νE
(1 +ν )(1 − 2ν ) (1 +ν )(1 − 2ν )
ひずみ（応力）テンソルの各成分と工学ひずみ（応力）の関係
σ 11 = σ x ,σ 22 = σ y , σ 33 = σ z , σ 23 = τ yz , σ 31 = τ zx , σ 12 = τ xy
ε 11 = ε x , ε 22 = ε y , ε 33 = ε z , ε 12 =
γ xy
2
, ε 23 =
γ yz
2
, ε 31 =
γ zx
2
⎤
0⎥
⎥⎡ ε x ⎤
⎢ ⎥
0 0 0 ⎥⎢ ε y ⎥
⎥
⎥⎢ ε z ⎥
0 0 0 ⎥ ⎢γ ⎥
yz
⎥⎢ ⎥
G 0 0 ⎥ ⎢γ zx ⎥
⎢ ⎥
⎥
0 G 0 ⎣⎢γ xy ⎦⎥
⎥
0 0 G ⎥⎦
0
0
横弾性係数と縦弾性係数，
ポアソン比の関係
G=
E
2(1 + ν )
ΕとGとνの
うち独立なの
は２つ
構成式の行列表現（工学的表記，
（工学的表記，応力からひずみを計算）
応力からひずみを計算）
構成式の行列表現
行列表現（工学的表記）
⎡ 1
⎢ E
⎢
⎡ ε x ⎤ ⎢− ν
⎢ε ⎥ ⎢ E
⎢ y⎥ ⎢ ν
⎢ ε z ⎥ ⎢−
⎢ ⎥=⎢ E
⎢γ yz ⎥ ⎢ 0
⎢γ zx ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣γ xy ⎥⎦ ⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎣
−
ν
E
1
E
−
−
ν
E
ν
E
E
1
E
0
0
−
ν
0
0
0
0
0
0
1
G
0
0
0
0
1
G
0
0
0
0
⎤
0⎥
⎥
0 ⎥ ⎡σ x ⎤
⎥ ⎢σ y ⎥
⎢ ⎥
0 ⎥ ⎢σ ⎥
⎥ z
⎥ ⎢τ ⎥
0 ⎥ ⎢ yz ⎥
⎥ ⎢τ zx ⎥
⎢ ⎥
0 ⎥ ⎢τ xy ⎥
⎥⎣ ⎦
1⎥
⎥
G⎦
ひずみ（応力）テンソルの各成分
と工学ひずみ（応力）の関係
ε 11 = ε x , ε 22 = ε y , ε 33 = ε z ,
ε 12 =
γ xy
2
, ε 23 =
γ yz
2
, ε 31 =
γ zx
2
σ 11 = σ x ,σ 22 = σ y , σ 33 = σ z ,
σ 23 = τ yz , σ 31 = τ zx , σ 12 = τ xy
横弾性係数と縦弾性係数，
ポアソン比の関係
E
G=
2(1 + ν )
ΕとGとνの
うち独立なの
は２つ
各種等方材料の縦弾性係数とポアソン比
各種等方材料の縦弾性係数とポアソン比
縦弾性係数
ポアソン比
E (GPa)
ν
アルミニウム（Al）
70.3
0.345
金（Au）
78.0
0.44
銅（Cu）
129.8
0.343
鉄（軟鉄，Fe）
211.4
0.293
白金（Pt）
168.0
0.377
チタン（Ti）
115.7
0.321
ジュラルミン
71.5
0.335
ガラス（フリント）
80.1
0.27
ゴム（弾性）
0.0015 − 0.0050
0.46 − 0.49
ポリエチレン
0.4 − 1.3
0.458
ポリスチレン
2.7 − 4.2
0.340
物質名
ジュラルミン：Al-CuMg系アルミニウム合金
金属材料の代表的な結晶格子（結晶系）と座標系
金属材料の代表的な結晶格子（結晶系）と座標系
面心立方格子（立方晶系）
x3
体心立方格子（立方晶系）
fcc
x2
x1
最密六方格子（六方晶系）
x3
hcp
x1
x2
各種単結晶金属材料の弾性係数
各種単結晶金属材料の弾性係数
独立な成分は３個
c11
c33
c44
温度 T
(K)
(GPa) (GPa) (GPa)
c66
(GPa)
c12
c13
(GPa) (GPa)
物質名
結晶系
アルミニウム
（Al）
立方晶
300
106.8
(=c11)
28.2
(=c44)
60.7
(=c12)
金
（Au）
立方晶
300
192.3
(=c11)
42.0
(=c44)
163.1
(=c12)
銅
（Cu）
立方晶
300
168.4
(=c11)
75.4
(=c44)
121.4
(=c12)
マグネシウム
（Mg）
六方晶
298
59.7
61.7
16.4
(=(c11−c12)/2)
26.2
21.7
チタン
（Ti）
六方晶
298
162.4 180.7
46.7
(=(c11−c12)/2)
92.0
69.0
独立な成分は５個
等方線形熱弾性体の構成式（ひずみと温度変化幅からひずみを計算）
（ひずみと温度変化幅からひずみを計算）
等方線形熱弾性体の構成式
（応力）＝（力学的ひずみによって生じる応力）＋（熱ひずみによって生じる応力）
指標表現
σ ij =
E ⎛
ν
⎞
ε kk δ ij ⎟ − β ΔT δ ij
⎜ ε ij +
1 +ν ⎝
1 − 2ν
⎠
温度変化幅
σ ij = λε kk δ ij + 2με ij − β ΔT δ ij
シンボリッ
ク表現
σ=
E
1 +ν
（ラメの定数を用いた表現）
ν
⎛
⎞
ε
tr
ε
I
+
⎜
⎟ − β ΔT I
⎝ 1 − 2ν
⎠
σ = λ tr ε I + 2 μ ε − β ΔT I
（ラメの定数を用いた表現）
等方線形熱弾性体の構成式（応力と温度変化幅からひずみを計算）
（応力と温度変化幅からひずみを計算）
等方線形熱弾性体の構成式
（ひずみ）＝（力学的応力によって生じるひずみ）＋（熱によって生じるひずみ）
指標表現
1 +ν
ν
ε ij =
σ ij − σ kkδ ij + α ΔT δ ij
E
E
温度変化幅
シンボリッ
ク表現
ε=
1 +ν
ν
σ − tr σ I + α ΔT I
E
E
線膨張係数
α=
β
3λ + 2μ
物体の温度が1K上昇した
ときに生じるひずみ
1 dl
l dT
α= ⋅
各種材料の線膨張係数
各種材料の線膨張係数
線膨張係数
物質名
α (×10-6 K-1)
アルミニウム（Al）
23.1
金（Au）
14.2
銅（Cu）
16.5
鉄（Fe）
11.8
白金（Pt）
8.8
チタン（Ti）
8.6
ジュラルミン
21.6
ガラス（フリント）
8−9
ゴム（弾性）
77
ポリエチレン
100 − 200
ポリスチレン
34 − 210
Constraint direction 1
熱応力（１軸拘束）
（１軸拘束）
熱応力
Rigid body
１軸拘束
Δσ
= −αE
ΔT
Δσ ：1Kの温度変動によって
ΔT 生じる熱応力
1 +ν
ν
ε 11 =
σ 11 − σ 11 + α (ΔT ) = 0
E
E
σ 11 = −αE (ΔT )
ΔTが正（温度上昇）
のときに発生する応
力は負（圧縮）
Heat
熱応力（２軸拘束）
（２軸拘束）
熱応力
２軸拘束
ν
1 +ν
⎧
⎪ε 11 =
σ 11 − (σ 11 + σ 22 ) + α (ΔT ) = 0
⎨
E
E
⎪⎩σ 11 = σ 22
αE
(ΔT )
σ 11 = −
1 −ν
Δσ
1
=−
αE
ΔT
1 −ν
Constraint direction 1
Rigid body
Heat
Constraint
direction 2
熱応力（３軸拘束）
（３軸拘束）
熱応力
３軸拘束
Δσ
1
=−
αE
ΔT
1 − 2ν
1 +ν
ν
⎧
⎪ε 11 =
σ 11 − (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) + α (ΔT ) = 0
⎨
E
E
⎪⎩σ 11 = σ 22 = σ 33
αE
(ΔT )
σ 11 = −
1 − 2ν
Constraint direction 1
Rigid body
Heat
Constraint
direction 3
Constraint
direction 2
10000
E=constant
-6
-1
線膨張係数と縦弾性係数の関係
線膨張係数と縦弾性係数の関係
r
he
ig
H
th
1000
er
al
m
s
es
str
等しい熱応力を生じ
させるα－E関係
PE
PS
100
Al
Au
10
Cu
Ti
Pt
Lo
er
w
er
th
1
m
s
es
str
al
0.1
0.01
0.1
1
10
E
100
1000

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