添付資料 - TOKYO TECH OCW

力学
(物理学A) 2014年度 1学期開講　7月8日　第11回剛体の運動2
担当教員　：　陣内修　（基礎物理学専攻）
11章　剛体の運動2
応用例
−　斜面を転がる球
−　ヨーヨーの運動
−　ビリヤード球
−　スーパーボールの動き
−　コマの歳差運動
2014/7/8
力学（陣内）
2
(例１) 斜面を転がる球
•  右図のように球が坂を転がり降りるとき
• 
加速度はどうなる？
あれ、いつもの斜面問題？何が違うの？
•  静止摩擦がかかっていて（斜面と球の間に
滑りはない）、球の回転の速さと、重心の
落ちる速さが等しい
•  最初にあった重力ポテンシャルは、重心の
運動エネルギーの他、球の回転のエネル
ギー（質量は球内部で一様に分布）にも
使われる
a
H
ω
v
y
θ
その他の条件
a、
最初の静止位置（高さ）　、　球の半径
H
I
v
ω
高さ y における重心の速度　、回転角速度　、斜面の角度　、　球の慣性モーメント　θ
[1] 転げ落ちるときの加速度はどうなるのか
[2] どの角度まで滑らずにいられるか（角度きつくすれば当然・・・）
2014/7/8
力学（陣内）
3
(例１) 斜面を転がる球　続き
[1] 転げ落ちる時の加速度
方程式をたてる
回転エネルギー
1
1
Mv 2 + I ω 2 + Mgy = MgH
2
2
v = aω
・・・①
・・・②
dy
①の斜面方向の速度 v （運動エネルギーに関与）と高さの変化　が
dt
dy dt = −v sin θ も使う）
リンクするところがミソ　（　リンクさせるため、②代入後、両辺時間微分
1
I
dv
dy
(M + )2v
+ Mg
=0
2
2
dt
dt
a
I dv
(M + )
= Mg sin θ
2 dt
a
dv
1
=
Mg sin θ
2
dt
M +I a
2
2
ところで、球の中心を貫く軸のまわりの慣性モーメントは I = Ma
5
dv 5
= g sin θ 単なる重心の移動なら g sin θ それよりは遅い、回転のエネルギーに取られてる為
すると
dt
7
（質量は一様に分布）　2014/7/8
力学（陣内）
4
(例１) 斜面を転がる球　続き２
[2] 滑りはじめない条件を考える
F
(静止)摩擦力　が球の回転の力を与えている
（もし摩擦がなかったら、球は回転せずに、ずるずる・・・）
回転の運動方程式を立てよう
dω
ω = v a より
I
= Fa
dt
ω
F
v
θ
I dv
I
=
Mg sin θ （前ページ参照）
2 dt
2
a
Ma + I
= 2 7 Mg sin θ
F=
これが最大静止摩擦力 F0 と比べてどうか
F0 = µMg cosθ
(µ x 垂直抗力)
2 7 Mg sin θ
F
=
<1
F0
µMg cosθ
7
この角度を超えたら滑り始める
tan θ < µ
2
2014/7/8
力学（陣内）
これが円柱だったらどうだろうか？
（自分でやってみよう）
5
(例２) ヨーヨーの運動
•  ヨーヨーの動き、なんとも不思議である
•  回転を伴いながら、重力のせいで当然加速する（しかし遅い）
•  何が速度・加速度を決めているのだろうか？？
問題の条件
R
•  ヨーヨーの質量は　で、全て半径　の一様な密度の
M
円板からなると近似
•  半径 r の巻き取り軸（質量無し）に糸が巻いてある（糸重量＝0）
•  巻いた後、十分な高さの天井に吊るし、自然に放した
R
r
M
問題
[1] 始めに放した地点から距離  だけ下降した地点Pにおいて
このヨーヨーの中心Oの速さ v を求めよ
Kr
[2] 並進運動エネルギー　Kt と、回転運動エネルギーの　の比
を求めよ
[3] P点を下降方向に通過、ヨーヨーの加速度、糸の張力を求めよ
2014/7/8
力学（陣内）
6
(例２) ヨーヨーの運動　続き
質量が重心に集まったとして扱ってよい
[1] 速度を求める
(位置ポテンシャル)＝（並進運動エネルギー）＋（回転エネルギー）になる
1
1
Mg
Mv 2
I ω2
2
2
1
2
円板の慣性モーメントは（2つの円板だが、重ねて考えればよい）→ I = MR
2
回転の角速度x巻き取り軸半径＝下降速度　→　v = rω
1
1
v
Mg = Mv 2 + MR 2 ( )2
2
4
r
⎛
2⎞
1 2 ⎜⎜
1 ⎛⎜ R ⎞⎟ ⎟⎟
g
g = v ⎜⎜1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⇒ v = 2r
2
2
2 ⎜⎜
2 ⎜⎝ r ⎟⎠ ⎟⎟
R
+
2r
⎝
⎠
[２]　運動エネルギーの比
2
1 2Mv 2
1 2Mv 2
Kt
1
=
=
= (r R)
Kr
1 2I ω 2
1 2×1 2MR 2 ×v 2 r 2 2
巻き取り軸が太い→速く糸が出る→遅く回転→（相対的に）並進運動エネルギー大
これは直観と合う
もう一点気付くこと：糸の長さに関係していない
2014/7/8
力学（陣内）
7
(例２) ヨーヨーの運動　続き２
[3]　ヨーヨーの加速度、糸の張力
加速度 a は下向きに正。重心、回転の二つの運動方程式を立てる
Ma = Mg −T
dω
I
= rT
dt
T
ω
r
また重心の加速度と、角速度の間に
dω
= a の関係がある、これを上の式に代入、　の2変数、2式なので解ける
a,T
dt
1
I = MR 2 は使う
2
r
à a = g
2r 2
2
2r + R
2
,
T = Mg
Mg
R2
2r 2 + R 2

気付くこと、どちらも一定（糸の長さ　に拠っていない）
2014/7/8
力学（陣内）
8
(例３) ビリヤード球
•  ビリヤードは羅紗のテーブルの上を転がる、静止摩擦
• 
係数は結構高い
順回転、逆回転、加速、減速、
球のどこを打つとどうなるか？
力積
M
P
状況
h
叩く場所は右図のように高さ　の一点
力は撃力（力積）で与えられる
（撃力のルール）
力積＝運動量の変化
h
O
R
球の慣性モーメントは既知とする
2
I = MR 2
5
叩かれた直後の初期速度は P = Mv0 ⇒ v0 = P M
これは球全体の速度
ω0
Δt
一方で、与えられた回転の速度も考える必要あり　ヒット直後　初期回転速度　とする
2014/7/8
力学（陣内）
9
(例３) ビリヤード球　続き
球の中心のまわりの回転の運動方程式をたてる
Δt
叩いた瞬間（　）だけ
I
dω
= F(h − R)
dt
球は回転速度＞進行速度、摩擦が生じる
球の加速方向、徐々に進行速度が上がる
両辺一瞬だけ時間積分すると
7
R < h < R のとき
5
I (ω0 − 0) = FΔt(h − R) = P(h − R)
5P(h − R)
ω0 =
・・・①
2MR 2
球は回転速度＜進行速度、摩擦が生じる
球の減速方向、徐々に進行速度が下がる
v0 = Rω0 のとき
v0 =
P
5P(h − R)
7
=
⇒h = R
M
2MR
5
v = Rω
上記どちらも　に落ち着いたら、
滑らなくなるので、摩擦力は発生しない
→　等速度運動に変わる
つまり
h=
7
h > R のとき
5
ボールの下を叩いた場合
7
R のとき
5
球は回転速度＝進行速度、即ち羅紗の上を
滑らずに転がる
0 < h < R のとき、
さてどうなるか？
球は戻ってくるか？
2014/7/8
力学（陣内）
10
(例３) ビリヤード球　続き2
ω0 (< 0)
右図の右方向を速度の正方向にとる
初期に逆回転がかかるので、摩擦力は図のように負方向
M
dv
= −µMg
dt
⇒
M
力積
v(t) = v0 − µgt
P
回転の運動方程式は摩擦によって回転が遅くなる向き
2
dω
MR 2
= µMgR
5
dt
①より ω0 =
⇒
5P(h − R)
2
ω(t) = ω0 +
O
R
h
µMg
5µg
t
2R
t1
時間が経ったとき v = Rω となる時間　は
2MR
5v (h − R) 5µg
v0 − µgt1 = 0
+
t1
2R
2

t1 =
v0
5h
(1 −
)
µg
7R
計算してもらう
⇒
v1 = v0 − µgt1 = v0 (1 −1 +
2014/7/8
5h
5h
)=
v0 (> 0)
7R
7R
力学（陣内）
つまり最終速度は正
ビリヤード球はどんなに逆回転をかけても
戻ってはこない
動画見る
11
（例４）スーパーボールの動き
•  回転してるスーパーボールを床に落とすとどうなるか
•  スーパーボール、何が特別？
•  床に着いたときに、静止摩擦係数が高い（強い
• 
ω0
M ,I
a
グリップ）からすべらない、角運動量、
力学エネルギーの保存が成り立つ
スーパーボールを回転させながら真下に落とす
•  地面についた瞬間、摩擦のおかげで、右手にキックされる
•  直前までの角速度 ω0
v1
ω1
•  直後の角速度、直後の水平方向速度
〜思い出しましょう〜全角運動量＝（重心の角運動量）＋（重心からみた角運動量）　C点まわりの角運動量保存則
I ω0 = I ω1 + Mv1a
運動エネルギー保存則
1
1
1
I ω02 = I ω12 + Mv12
2
2
2
y方向は同じなので省略
2014/7/8
着いた瞬間垂直抗力N
2
I = Ma 2 を代入すると
5
v1 = 0 という解は却下
3
ω1 = − ω0 ,
7
v1 =
4
ω0a
7
F
C
スーパーボールは逆回転になり右に飛び出す
力学（陣内）
12
（例４）スーパーボールの動き　続き
•  前頁で跳ねたあとどうなるか、
•  同様に保存則を立てる
別の初期条件も考えてみよう
I ω1 + Mv1a = I ω2 + Mv2a
・・・②
1
1
1
1
I ω12 + Mv12 = I ω22 + Mv22 ・・・③
2
2
2
2
②③は常に成り立つ、
これに v2 = −v1
3
4
2
I = Ma 2 ω1 = − ω0 , v1 = ω0a
7
7
5
を代入すると
さっきと同じ解は捨てる
ω2 = ω0 ,
v2 = 0
つまり右左に行ったり来たりを考える
このとき
ω2 = −ω1 回転も逆転する
②よりもし速度、角速度が同符号だと
左辺＝正、右辺＝負　となり矛盾
即ち、逆符号になる、これはまさにスーパー
ボールの動き
つまり
時計回り回転は戻り、真上に跳ねる
初期条件に戻るので、後はこれの繰り返し
同じ軌道に戻る
左右に飛び跳ねる
2014/7/8
力学（陣内）
13
（例５）コマの歳差運動
•  コマは回転対称の形をしている
•  軸が直立した状態では、対称にまわり続ける
•  軸が斜めになったとき、どうなるか？そのまま一気に倒れ
るのか？→　そのまままわり続ける、軸はゆっくりと地面に
鉛直な軸のまわりを回る、これを歳差運動と呼ぶ
問：どうしてこんなことが起こるのか？なぜ倒れないか？
問：コマが反時計まわりに回っているときに、歳差運動は
どちらまわりか？
L
G
どうして倒れないか：重心Gにかかる重力はMg下向き
点Oを支点とした動きしかできない→Mgはトルクとして貢献
もともとコマの角運動量がゼロだった場合（回ってないと）
このトルクは角運動量の変化に使われる。つまりコマを
倒すという変化に使われる

θ
Mg
O
コマが回っている場合、図の　を変化させることに
L
使われる（次ページ）、なので倒れない
2014/7/8
力学（陣内）
14
（例５）コマの歳差運動　続き
•  重力によるトルクの向きは紙面に刺さる向き
 

N = OG ×Mg ,
• 
L
N = Mgl sin θ

このとき、コマの角運動量　の変化は右下図のよう
L
Ω
に円周上を回る、歳差運動の角速度を　とすると
右下図より
コマが反時計まわりのときには、
dL = L sin θ Ωdt
歳差運動も反時計まわり
また
dL = Ndt = Mgl sin θdt
Mgl
Ω=
L
G

θ
N⊗
O
コマの回転が遅くなる→　小
L
Ω
が速くなる
L sin θ
確かに経験上の方向と合致している→　動画見る
L
（マメ) コマのように軸を倒す力がかかる場合、自転方向と歳差運動の方向
は同じになる、地球の地軸の傾きのように太陽の引力で地軸が立て直される
向きに力がかかるときは、自転と歳差運動の回転方向は逆になる
2014/7/8
Mg
力学（陣内）
dL
L + dL
N
15
まとめ
•  質点、剛体の応用問題にあたってみた
•  是非、自分で解き直してみよう
次回
•  相対運動その１
•  回転しない座標系
•  重心系と実験室系
•  回転座標系
2014/7/8
力学（陣内）
16

Download Report