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定数係数 2 階線型微分方程式 本講ではニュートンの運動方程式を用

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定数係数 2 階線型微分方程式
2009/05/29 by 矢崎
本講ではニュートンの運動方程式を用いた微分方程式の作成とその解法を講述
し、最終的には、定数係数 2 階線型微分方程式の解き方を紹介する。まず、ベク
トル値関数について定義しておく。
§1. ベクトル値関数
いま、2 つの関数 f1 , f2 があり、実数の入力 x に対して、
y1 = f1 (x), y2 = f1 (x)
という実数値をそれぞれ出力したとする。これらを縦に並べてベクトル表示す
れば、
( )
y1
y2
横でもよい:
(
)
f1 (x)
=
f2 (x)
(y1 , y2 ) = (f1 (x), f2 (x))
となる。ここで、ベクトル
( )
(
)
y1
f1 (x)
, f (x) =
y=
y2
f2 (x)
横ベクトル(行ベクトル)な
らば:
y = (y1 , y2 ), f (x) = (f1 (x), f2 (x))
を導入すれば、
y = f (x)
と書ける。このとき、f を 1 変数ベクトル値関数と呼ぶ。同様に、n 変数ベクト
ル値関数は、
y = f (x);






x
y
f (x)
 1
 1
 1

x 
y 
 f (x) 
 2
 2
 2

x =  .  , y =  .  , f (x) =  . 
 .. 
 .. 
 .. 
 
 


xn
ym
fm (x)
と定義される。
本講でよく用いられるベクトル値関数は、時間変数が t で、2 次元や 3 次元の
位置ベクトルに値を取るベクトル値関数
(
)
x(t)
r(t) =
,
y(t)
(
)
x1 (t)
x(t) =
,
x2 (t)
などである。
1


x(t)



r(t) = 
y(t) ,
z(t)


x1 (t)



x(t) = 
x2 (t)
x3 (t)
§2. ニュートンの運動方程式
空間内を時々刻々と動き回る物体
P があるとする。物体 P の時刻 t での位置ベ


x1 (t)


3

クトルを x(t) = 
x2 (t) ∈ R とする。このとき、速度ベクトル v(t) は、
x3 (t)


ẋ1 (t)



v(t) = ẋ(t) = 
ẋ2 (t)
ẋ3 (t)
で与えられる。ここで、
ẋ(t) =
dx(t)
= x′ (t)
dt
はどれも同じ意味で時間微分した導関数を表す。速度ベクトルの大きさ |v(t)| を
速さと呼ぶ。速度ベクトルの時間微分を加速度ベクトル a(t) という:


ẍ1 (t)



a(t) = v̇(t) = 
ẍ2 (t) .
ẍ3 (t)
ニュートンはある時刻 t で x(t) にある質量 m の物体 P の運動は以下の運動方
程式に従うと発見した。
ma = f .
 
f
 1

ここで、f = 
f2  は外力ベクトルである。外力として、例えば、重力、摩擦力、
f3
抵抗力などがある。
§3. 等速運動
x 軸上を質量 m の物体 P が一定速度 v0 > 0 で運動しているとする。すなわち、
物体 P の位置を x(t) とすれば、ẋ(t) = v0 である。いま、ある時刻(簡単のため
t = 0 とする)から ∆t 時間だけ、物体 P にその運動する方向と反対向きに力 F0
を加えて、物体 P の速度を零にすることを試みた。すなわち、
ẋ(t) = v0 (t ≤ 0),
mẍ(t) = −F0 (0 < t < ∆t),
とする。第 2 式を [0, t] で積分すると、
ẋ(t) = ẋ(0) −
F0
t
m
を得る。これより、
ẋ(∆t) = ẋ(0) −
F0
F0
∆t = v0 −
∆t = 0.
m
m
すなわち、時刻 ∆t で、物体 P の速度を零にするには、
F0 =
mv0
∆t
の力が必要である。
2
ẋ(∆t) = 0
左からニュートン、ライプニ
ッツ、ラグランジュの用いた
記号。
√
|v(t)| = ẋ1 (t)2 + ẋ2 (t)2 + ẋ3 (t)2
問題 1. 上の考察より、「車は急に止まれない」ことを説明せよ。
問題 2. 単位円周上を物体が反時計回りに一定の角速度 ω0 > 0 で回転運動してい
るとする。このとき、速度ベクトルは接線方向で、その大きさは ω0 に等しく、ま
た、加速度ベクトルは動径と反対方向(内向き法線方向)であり、その大きさは
ω02 に等しくなることを示せ。
§4. 落下運動
外力が重力のみの場合、質量 m の物体の鉛直方向の運動方程式は、
鉛直上向きを y の正の方向と
する。
mÿ = −mg
である。
問題 3. 時刻 t = 0 での初期位置を y(0) = 0, 初速度を ẏ(0) = v0 > 0 としたと
き、物体が最高点に到達するまでの時間とそのときの位置を求めよ。
物体が運動するとき、外力として重力だけでなく空気抵抗を加わえた方が現実
的であろう。一般に、半径 r の球形の物体が液体や気体中を「遅い速さ」で動く
ときに、その抵抗力(摩擦力)は、
f = −6πηrẏ
のように半径と速度の積に比例することが知られている(ストークスの抵抗法則)。
ここで、η は粘性係数と呼ばれる。上向きの速度 ẏ > 0 の場合、摩擦力 f は負(下
向き)で、下向きの速度 ẏ < 0 の場合、摩擦力 f は正(上向き)であることに注
意せよ。結局、運動方程式は、
mÿ = −mg − 6πηrẏ
となる。
問題 4. (液体中の落下) 液体中を質量 m, 半径 r の球形物体が落下する場合の運
動方程式を、浮力を考慮して導け。ただし、浮力は重力と逆向きで、その物体と
同じ体積の液体の重さである。また、液体の密度を ρ, 粘性係数を η とせよ。
問題 5. (放物運動) 物体に働く外力が重力のみとする。いま、初速度 v0 で地面に
(
)
ẋ(0)
対して角度 θ で物体が投げられたとする。すなわち、初速度ベクトルは
=
ẏ(0)
(
)
cos θ
v0
である。また、初期位置を x(0) = y(0) = 0 とする。このとき、運動
sin θ
方程式
mÿ = −mg,
mẍ = 0
を解いて、物体が放物運動することを示せ。また、物体の最高の高さを求めよ。
更に、物体が飛んでいく距離が最大となる角度 θ を求めよ。
3
正 確 に は 、レ イ ノ ル ズ
Reynolds 数と呼ばれるある
無次元量が小さい運動。レイ
ノルズ数は、流体の状態を表
現する指標としてよく使わ
れる。
George Gabriel Stokes
1819.8.13 [アイルランド] –
1903.2.1 [英]. 粘性流体の流
体力学の基礎を作った [1]。
§5. バネの振動
図 1 のようにばねの先端に質量 m の物体がとりつけられている。
u(t)
図 1. ばねの振動。
時刻 t での変位を u(t) とする。床は滑らかである(摩擦がない)としたとき、
ばねの復元力は変位に比例する
f = −ku(t)
ことが知られている(フックの法則)。k をばね定数という。ばねの質量を無視す
れば、運動方程式は、
mü = −ku
となる。また、速度に比例した摩擦力が働く場合は、運動方程式は、
mü = −ku − γ u̇
となる(γ は比例定数)。
§6. マルサスの法則の拡張
マルサスの法則とは、ある生物の個体数の増殖率はその時点での個体数に比例
するという法則であった。例えば、
生物種
時刻 t での個体数
増殖率
I
u(t)
a
II
v(t)
d
のようなデータが得られている場合、マルサスの法則にしたがうとすると、生物
種 I, II の個体数は、それぞれ
u̇ = au, v̇ = dv
という微分方程式に支配される。
2 種の生物が影響しあっている場合、次のようなモデル微分方程式が考えられ
る(a, b, c, d は定数)。

u̇ = au + bv = au + bv
v̇ = dv + cu = cu + dv
第 1 式より、bv = u̇ − au であり、これと第 2 式を b 倍したものを比較して、
ü − (a + d)u̇ + (ad − bc)u = 0
を得る。
問題 6. v も同じ方程式を満たすことを確認せよ。
4
Robert Hooke
1635.7.18 – 1703.3.3. 広範
分野に貢献のあるイギリスの
科学者 [2]。
§7. 振り子の運動
図 2 のように、鉛直下向きに x 軸、水平方向に y 軸をとった xy 座標平面を用
意する。
O
y
l
θ
P
x
図 2. 振り子の運動する xy 座標平面。
原点 O から質量 m の錘を紐で吊るす。錘の中心を点 P とし、質量はそこに集中
しているものとし、紐の重さは考えない。紐は伸縮もたわみもせず、その長さを
−→
OP = l とする。ベクトル OP と x 軸のなす角度を θ とし、反時計回りをその正の
(
)
−→
cos θ
方向とする。よって、x = OP とすると、その成分は x = l
となる。点
sin θ
P にかかる力を F とすると、運動方程式は、
mẍ = F
−→
である。OP 方向の単位ベクトルを n =
t =
(
)
− sin θ
cos θ
(
)
cos θ
, それに直交するベクトルを
sin θ
とおく。点 P の軌跡は円弧であるので、n と t はそれぞれ点 P
における円の 法線ベクトルと接線ベクトルである。これより、x = ln, ṅ = θ̇t,
ṫ = −θ̇n に注意すると、速度ベクトル ẋ と加速度ベクトル ẍ は、それぞれ

ẋ = lθ̇t
ẍ = −lθ̇2 n + lθ̈t
と計算される。
点 P にかかる力を紐の張力 fT = −T n と外力 f に分けて F = fT + f と分解
( )
1
する。いま外力が重力 f = mg
のみであると仮定する。運動方程式の両辺
0
と n との内積を取ると
mẍ · n = −T + f · n = −T + mg cos θ
となるので、張力
T = m(g cos θ + lθ̇2 )
を得る1) 。また、t との内積を取ると
mẍ · t = f · t = −mg sin θ
|θ| は最大値に近く、|θ̇| ∼ 0 であり、このとき T は
非常に小さい(ふわっとした感覚)。一方、最下点付近では |θ| ∼ 0 で、|θ̇| は最大値に近いので、大
きな T で引っ張られていると感じる。
1) ブランコに乗っているとき、最高点付近では
5
法線 normal, 接線 tangent
となる。力の t 方向成分の釣り合いの式(運動方程式)
mlθ̈ = −mg sin θ
を得る。残念ながらこの方程式を初等解法で解くことはできない。が、|θ| が小さ
いとき、sin θ ∼ θ であるから、近似的に、
mlθ̈ = −mgθ
が成り立つ。
§8. 1 階線形微分方程式の解き方
前節までに登場した運動方程式は、
y ′′ (x) + ay ′ (x) + by(x) = c
(a, b, c は定数)
の形にまとめられる。この方程式 —2 階線形微分方程式— は完全に解けること
が知られている。その解法は次節で説明するが、その準備として、次の正規型微
分方程式 —1 階線形微分方程式— の解法を紹介する:
y ′ (x) = p(x)y(x) + q(x).
ここで、p, q は与えられた関数である。
まずは簡単な場合から解いてみよう。q(x) ≡ 0 の場合、方程式は変数分離型
y ′ (x) = p(x)y(x)
となり、
y(x) = Cer(x) ,
r′ (x) = p(x)
q(x) ≡ 0 は q(x) はどんな
x の値を代入しても「恒等的」
に零であるという意味である。
つまり、全ての x に対して
q(x) = 0 が成り立つ。
(C は任意定数)
と解くことができる。
問題 7. これを示せ。
次に、q(x) ̸≡ 0 の場合は、次のように C を微分可能な x の関数 C(x) と置き換
えた解
y(x) = C(x)er(x) ,
r′ (x) = p(x)
を想定し、C(x) の満たすべき条件を調べる。方程式に代入すると、
y ′ (x) = C ′ (x)er(x) + p(x)y(x).
これが、p(x)y(x) + q(x) に等しいのだから、
C ′ (x) = q(x)e−r(x) .
こうして、一般解
y(x) = C(x)er(x) ,
C ′ (x) = q(x)e−r(x) ,
6
r′ (x) = p(x)
q(x) ̸≡ 0 は恒等的に零ではな
いという意味である。つまり、
ある x に対して q(x) ̸= 0 が
成り立つ。
を得る。以上の解法を定数変化法という2) 。
例. y ′ (x) = y(x) + x を解く。y ′ = y の一般解は、y(x) = Cex である。定数 C を
C(x) とした解 y(x) = C(x)ex を想定し、これを方程式に代入すると、
y ′ (x) = y(x) + C ′ (x)ex .
故に、C ′ (x) = xe−x . よって、
C(x) = −(x + 1)e−x + A (A は任意定数)
これより、一般解
y(x) = Cex − x − 1 (C は任意定数)
を得る。
注. ここで、Cex は y ′ = y の一般解、−x − 1 は y ′ = y + x の特解となっている。
一般に、y ′ (x) = p(x)y(x) + q(x) の一般解は、y ′ (x) = p(x)y(x) の一般解 y0 と
y ′ (x) = p(x)y(x) + q(x) の特解 y∗ の和で表される。実際、y(x) = y0 (x) + y∗ (x)
とおくと、
y ′ (x) = y0′ (x) + y∗′ (x) = p(x)y0 (x) + p(x)y∗ (x) + q(x) = p(x)(y0 (x) + y∗ (x)) + q(x) = p(x)y(x) + q(x)
が成り立つ。
注. 1 階線形微分方程式の「線形」とは、方程式が y と y ′ の 1 次式であるとい
う意味である。1 次と線形(線型)は同義語で、英語では linear という。linear
は straight line(直線)に由来しており、正比例の関係を拡張した概念である。
次節で扱う 2 階線形微分方程式は、2 階の微分方程式が未知関数 y とその導関数
y ′ , y ′′ について 1 次式になっている。より一般に、n 階の微分方程式が未知関数 y
と y, y ′ , y ′′ , . . . , y (n) の 1 次式となっているものを n 階線形微分方程式という。
§9. 2 階線形微分方程式の解き方
2 階線形微分方程式
⃝
1 ······
y ′′ (x) + ay ′ (x) + by(x) = c (a, b, c は定数)
の一般解は、⃝
1 で c = 0 とした方程式
⃝
2 ······
y ′′ (x) + ay ′ (x) + by(x) = 0
の一般解 y0 (x) と⃝
1 の特解 y∗ (x) の和で表される。実際、y = y0 + y∗ とおくと、
y ′′ + ay ′ + by = (y0 + y∗ )′′ + a(y0 + y∗ )′ + b(y0 + y∗ )
= (y0′′ + ay0′ + by0 ) + (y∗′′ + ay∗′ + by∗ ) = 0 + c = c
2) 定数
C を C(x) のように変化させて解を見つけた。
7
1 次と線形は同じといっても、
1 階 1 次微分方程式とはいわ
ない。1 階導関数 y ′ を 1 次
導関数とも呼ぶからである。1
次の微分方程式といった場合
は、最高次数の導関数が y ′ で
ある微分方程式のことを指す。
⃝
1 の特解はすぐ見つかる。例えば、b ̸= 0 ならば y∗ = c/b は⃝
1 を満たすので特
解である。b = 0 のときは、a ̸= 0 ならば y∗ = cx/a, a = 0 ならば y∗ = cx2 /2 な
どの特解が見つかる。
さて、⃝
2 の一般解を求めよう。発見的ではあるが、y = eλx を⃝
2 に代入すると、
(λ2 + aλ + b)eλx = 0.
故に、2 次方程式
⃝
3 ······
λ2 + aλ + b = 0
の根 λ が見つかったならば、eλx は⃝
2 の解である。この⃝
3 を⃝
2 の特性方程式と呼ぶ。
特性方程式⃝
3 の根の形態は 3 通りある。
(1) 異なる 2 つの実根の場合。 これらを α, β とおくと、⃝
3は
(λ − α)(λ − β) = 0
と因数分解され、解と係数の関係から、
a = −(α + β), b = αβ
となる。いま、D =
y ′ − αy =
d
とおいて、
dx
d
を 1 階の微分作用
dx
素と呼ぶ。
D =
d
y − αy = Dy − αy = (D − α)y
dx
と書くことにすると、
D(D − α)y = (D − α)Dy
−β(D − α)y = (D − α)(−β)y
などから、
y ′′ + ay ′ + by
= y ′′ − (α + β)y ′ + αβy
=
(D2 − (α + β)D + αβ)y
=
(D − α)(D − β)y
=
0
D2 =
が成り立つ。
これより、u(x) = (D − β)y(x) とおくと、


(D − α)u = u′ − αu = 0

(D − β)y = y ′ − βy = u
を解けばよいことがわかる。
第 1 式の一般解は、
u(x) = Ceαx
であるので、これを第 2 式に代入して、
y ′ = βy + Ceαx
8
用素。
d2
は 2 階の微分作
dx2
を得る。これに y = z(x)eβx を代入して、
定数変化法!
z ′ (x) = Ce(α−β)x
すなわち、
z(x) =
C
e
e(α−β)x + C
α−β
がわかる。よって、一般解
y(x) = C1 eαx + C2 eβx
を得る。
(2) 共役複素根の場合。 それらを α, β とおくと、解の形は (1) と同じで
y(x) = C1 eαx + C2 eβx
である。ただし、α = µ + iν, β = µ − ν, C1 = a + bi, C2 = c + di は全て複素数
であり、y(x) は複素解である。以下のように実数化しよう。これらの複素定数を
全て代入して、オイラーの公式を用いて整理すると、
y
= eµx ((a + bi)(cos νx + i sin νx) + (c + di)(cos νx − i sin νx))
= eµx ((a + c) cos νx + (−b + d) sin νx + i ((b + d) cos νx + (a − c) sin νx))
となる。ここで、a = c, b = −d と選び、C1 = a + c, C2 = −b + d と改めておけ
ば、実数の一般解
y(x) = eµx (C1 cos νx + C2 sin νx)
を得る。
(3) 実重根の場合。 これを α とおくと、特性方程式は、
(λ − α)2 = 0
である。これより、


(D − α)u = 0

(D − α)y = u
を解けばよい。第 1 式の一般解 u = Ceαx を第 2 式に代入して、
y ′ = αy + Ceαx
を得る。これに y = z(x)eαx を代入して、
y ′ = αy + z ′ eαx
e これより、一般解
となるので、z ′ = C より、z = Cx + C.
y(x) = (C1 x + C2 )eαx
を得る。
9
定数変化法!
§10. いままでの例に適用
いままでの例を解いてみよう。
問題 8. (§4) 抵抗を考慮した物体の落下運動の運動方程式
mÿ = −mg − 6πηrẏ
の一般解は
c
6πηr
y(t) = C1 + C2 e−at + t, a =
, c = −g
a
m
であることを示せ。
また、初期位置を y(0) = y0 > 0, 初速度を ẏ(0) = v0 > 0 とおいたとき、C1 ,
C2 を決定せよ。
初速度が正 v0 > 0 なので、ある時刻 t0 > 0 で ẏ(t0 ) = 0, すなわち物体は最高
点に到達する。この時刻 t0 の値と y(t0 ) の値を求めよ。
注意 上の問題の仮定のもとで、十分に時間が経ったとき、速度 ẏ は
c
に近づ
a
く。この値を終端速度という。
問題 9. (§5) 速度に比例した摩擦力が働く場合のバネの振動を表す運動方程式
mü = −ku − γ u̇
の一般解を求め、γ 2 < 4mk のときは周期運動、γ 2 ≥ 4mk のときは減衰運動す
ることを示せ。
問題 10. (§6) マルサスの法則を一般化した運動方程式
ü − (a + d)u̇ + (ad − bc)u = 0
の一般解が周期的になるための条件を示し、その意味を考察せよ。
問題 11. (§7) 振れ幅が小さいときの振り子の運動を近似的に表す運動方程式
mlθ̈ = −mgθ
を解き、その周期が 2π
√
l
であることを確認せよ。
g
√
l
は、おもりの質量や振り子の振幅に無関係である。つまり、
g
振り子の紐の長さが同じならば、おもりが重くても、軽くても、振幅が大きくて
注意 周期 2π
も、小さくても、周期は同じである、ことを示している。これを振り子の等時性
と呼び、ガリレオの発見といわれている。
参考文献
[1] Stokes: The MacTutor History of Mathematics archive
http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Stokes.html
[2] Hooke: The MacTutor History of Mathematics archive
http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Hooke.html
10
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