パワーポイント8

数理統計学
西山
現在の目標
正規分布のポイント
標準値の意味と使い方
数値表の使い方
1シグマ、2シグマ、3シグマの使い方
教科書：第2章の頁76、82,83～86、
及び巻末の「数値表１」
＜補足＞標準値は統計分析の定番ツール
ある試験の得点分布をみると、平均値が３００、標準偏
差が３０だった。
A君は得点350だった
平均値を引いてから、標準偏差で割った値にしなさい。
標準値は１．７
別の試験では平均が500点、標準偏差が40点だった。
B君は得点555点だった
A君とB君はどちらが好成績だったか？
正規分布は常用ツール
面積が割合（＝
確率）です。全
体は面積１です
N(130、400）
血圧150以上の
人は全体の6分
の１位だと示さ
れています
X
正規分布の利用法①―標準値
1. 標準値にする．
2. 数値表を使う．
標準値をZとか、S.S.といいますが・・・
Xの値－ Xの平均値 X  E X 
標準値＝
＝
Xの標準偏差
SDX 
平均＝130、標準偏差＝20の場合
平均
N(130、400）
標準値が１を超える
平均と同じなら
標準軸から分布を
人は全体の何％い
(１３０－１３０)÷２０
みると平均０、標準
るだろうか？
だから標準値は０
偏差１になります
分散
血圧１５０の標準値
150 − 130
=1
20
X
正規分布の利用法②―数値表
教科書の258頁
標準正規分布
N(0,1）
標準値が1.0以上に
なる確率。
これが求める確率
正規分布－理論的な確率分布の一つ
平均＝０、標準偏差＝１の場合
𝑓 𝑥 =
1
2𝜋
𝑥2
−
𝑒 2
【参考】前ページ作成の方法
統計ソフト＜R＞入力例
> hist(rnorm(100),prob=T,main="正規分布と100個のデータ")
> curve(dnorm(x,mean=0,sd=1),add=T)
正規分布－理論的な確率分布の一つ
平均（𝜇）と標準偏差（𝜎）の二つが＜母数＞
【参考】前ページ作成の方法
統計ソフト＜R＞入力例
> par(mfcol=c(2,2))
> hist(rnorm(100,mean=130,sd=20),prob=T,xlim=c(50,200),main="N(130,20^2)")
> curve(dnorm(x,mean=130,sd=20),add=T)
> hist(rnorm(100,mean=130,sd=10),prob=T,xlim=c(50,200),main="N(130,10^2)")
> curve(dnorm(x,mean=130,sd=10),add=T)
> curve(dnorm(x,mean=170,sd=10),xlim=c(130,210))
> curve(dnorm(x,mean=170,sd=15),xlim=c(130,210),lty=2)
クイズ
０．日本人の成人男性の身長はN(168,100)に従っ
て分布しているとします。168センチ以上の人の
割合はいくら位だろうか。
平均値±標準偏差以内の範囲に含まれる割合は確
率P(158 ≦ X ≦ 178)から分かる。この範囲を１
シグマ区間と呼ぶ。
【解答】
標準値にしてから数値表
身長の分布は平均168、標準偏差10と仮定。故に、
158−168
158の標準値は𝑍 =
= −1
10
178−168
178の標準値は𝑍 =
=1
10
したがって求める確率は、標準正規分布の中で
𝑃 −1 ≤ 𝑍 ≤ 1 = 1 − 2 × 0.16 = 0.68
正規分布では
１シグマ区間に全体の６８％が含まれる
クイズ
身長分布はN(168,100)の正規分布が当てはまって
いる。身長の2シグマ区間はどんな範囲か？２シグマ
区間に全体の何％程度が含まれるか。
（注）２シグマ区間とは標準値が－2から＋2までの区
間のこと。
クイズ
身長分布はN(168,100)の正規分布が当てはまって
いる。身長の３シグマ区間はどんな範囲か？３シグマ
区間に全体の何％程度が含まれるか。
（注）３シグマ区間とは標準値が－3から＋3までの区
間のこと。
【参考】統計ソフトRで正規分布の確率を確かめる
数値表＝右側確率、 R＝左側確率
> pnorm(1.0) ← 標準値が1.0以下の面積
[1] 0.8413447
> pnorm(-1.0) ← 標準値が－1.0まで
[1] 0.1586553
> 1-2*pnorm(-1.0) ← 標準値が±1以内
[1] 0.6826895
> 1-2*pnorm(-2.0)
[1] 0.9544997
> 1-2*pnorm(-3.0) ← 標準値が±3以内
[1] 0.9973002
正規分布の確率法則
1シグマの法則
 標準値で－１から＋１までの範囲
 「平均圏」、「普通の範囲」と解釈できる
 概ね3分の２、68％が含まれる
 2シグマの法則
 標準値で－２から＋２まで
 95%圏と解釈できる－厳密には95.45%
 3シグマの法則
 最大限、最小限の目安として使われる
 3シグマの中に入る確率は99.7%、「ほぼ100%」になる。

練習問題
1. 標準値が－1.5から＋1.5までにおさまる確率は？
2. 標準値が2.21以上になる確率は？
3. 日本の成人男子の身長には、µ＝170、σ＝12セン
チの正規分布が当てはまっている。180センチ以上
の人は全体の何%程度いると推測できるか？190
センチ以上の人はどうか？
4. ある試験を400名が受験したところ、平均点が65点
、標準偏差が15点となり、全体の得点分布には正
規分布がよく当てはまっていた。A君は80点だった
が、得点順位が何位くらいだったか推測できるか。
指数分布
期待値と標準偏差が一致する右下がり型
ある会社の受付で、1回電話がかかった後
、次にかかってくるまでの待ち時間を測って
みた。データ数は30個。単位：分。
> mean(x); sd(x)
[1] 15.46632
[1] 18.60807
𝑓 𝑥 = 0.067𝑒 −0.067𝑥
1
= 0.067
15

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