三平方の定理 A B C D G F H c b b b b a a a a E c a b H G F E

数学Gアップシ-ト 3年第6章 三平方の定理(2)
-三平方の定理を証明できるようになろう- p.150,151
学習日
月
日
年
組
番 氏名
1
3年6章
No.2
空らんをうめて,三平方の定理を確認しなさい。(p.151)
○三平方の定理
定理
A
直角三角形の
の長さをa,b, c
b
の長さをcとすると,次の関係が成り立つ。
B
2 次の図のように,正方形DBAEの外
側に△ABCと合同な直角三角形を3つ
かき加えると,1辺の長さがa+bの
正方形FGCHができます。このとき,
a2+b2=c2となることを空らんを
うめ証明しなさい。
(p.150)
a
F
b
E
b
A
c
a
b B
b
a
C
1辺がcの正方形DBAEの面積は,
(正方形FGCHの面積)
-(△
であるから
c 2=
=
C
3 ∠H=90°の直角三角形AHDと合同
な直角三角形を,次の図のように並べま
す。このとき,a2+b2=c2が成り立
つことを証明しなさい。
(p.150)
D
c
A
E
a
b
H
a
D
G
H
a
(
(
=
すなわち
a2+b2=
の面積)×
2
)
1
- ×ab×
2
)-2
F
B
G
C
3年6章
1
No.2
<解答・解説>
○三平方の定理
定理
A
直角三角形の 直角をはさむ2辺 の長さをa,b,
斜辺 の長さをcとすると,次の関係が成り立つ。
a2+b2=c2
2
a
b
E
b
D
G
b B
b
E
a
H a
F
G
C
b
a
B
C
1辺がcの正方形DBAEの面積は,
(正方形FGCHの面積)
-(△ ABC の面積)× 4
であるから
2 1
c2= a+b
-2×ab× 4
= a2+2ab+b2 -2 ab
= a2+b2
すなわち a2+b2= c2
(
(
C
a-b
A
c
a
c
H
a
b
D
A
a
B
3
a+b
F
c
)
)
1辺がcの正方形ABCDの面積は
(正方形EFGHの面積)
+(△AHDの面積)×4
であるから
2
c2=( a-b ) +
1
×ab× 4
2
=(a2-2ab+b2)+2ab
=a2+b2
すなわち a2+b2=c2
チャレンジ問題
次の図のように,∠C=90°である直角三角形ABCにおいて,頂点Cから辺ABへひいた
垂線をCHとし,3辺をそれぞれa,b,cとし,AH=x,BH=yとする。
このとき,△AHC∽△ACBと△CBH∽△ABCを用いてa2+b2=c2となることを
証明しなさい。 C
b
A
x
a
c
H y B
チャレンジ問題の解答
△AHC∽△ACBより
x:b=b:c
b2=cx…①
△CBH∽△ABCより
y:a=a:c
a2=cy…②
①+②をすると
a2+b2=cx+cy
=c(x+y)
x+y=cであるから
a2+b2=c2