# analiza prostornih linijskih nosača po teoriji drugog reda analysis of

```Ljiljana Žugić1, Stanko Brčić2, Špiro Gopčević3
ANALIZA PROSTORNIH LINIJSKIH NOSAČA PO TEORIJI
DRUGOG REDA
Rezime:
U radu je prikazana analiza prostornih linijskih nosača, sastavljenih od grednih
elemenata, po teoriji drugog reda. Matrica krutosti i vektor ekvivalentnog opterećenja po
teoriji drugog reda za gredni element u prostoru dobijeni su na osnovu tačnog rješenja
odgovarajućih diferencijalnih jednačina teorije drugog reda. U cilju numeričke realizacije
ovog problema razvijen je i odgovarajući kompjuterski program, koji koristi tačnu matricu
krutosti i tačni vektor opterećenja, za razliku od komercijalnog programa TOWER koji
koristi geometrijsku matricu krutosti.
Ključne riječi:
teorija drugog reda, gredni element u prostoru, matrica krutosti
ANALYSIS OF SPACE FRAMES ACCORDING TO THE SECOND
ORDER THEORY
Summary:
The paper is analyzing the space frames of beam elements according to the second order
theory. The stiffness matrix and the vector of equivalent loads for beam elements are
derived according to the exact solution of the corresponding differential equations due
to the second order theory. In order to obtain the solution of the given numerical
formulation, the corresponding computer program was developed. The code is using the
exact stiffness matrix and the load vectors due to the 2nd order theory, as opposed to the
commercial computer code TOWER which is using the geometric stiffness matrix.
Keywords:
the second order theory, spatial beam finite element, stiffness matrix
1
Dr docent, dipl. inž., Građevinski Fakultet Univerziteta Crne Gore, Cetinjski put bb, Podgorica, [email protected]/* <![CDATA[ */!function(t,e,r,n,c,a,p){try{t=document.currentScript||function(){for(t=document.getElementsByTagName('script'),e=t.length;e--;)if(t[e].getAttribute('data-cfhash'))return t[e]}();if(t&&(c=t.previousSibling)){p=t.parentNode;if(a=c.getAttribute('data-cfemail')){for(e='',r='0x'+a.substr(0,2)|0,n=2;a.length-n;n+=2)e+='%'+('0'+('0x'+a.substr(n,2)^r).toString(16)).slice(-2);p.replaceChild(document.createTextNode(decodeURIComponent(e)),c)}p.removeChild(t)}}catch(u){}}()/* ]]> */
Dr redovni prof., dipl.inž., Građevinski Fakultet Univerziteta u Beogradu, Bulevar kralja Aleksandra73,
[email protected]/* <![CDATA[ */!function(t,e,r,n,c,a,p){try{t=document.currentScript||function(){for(t=document.getElementsByTagName('script'),e=t.length;e--;)if(t[e].getAttribute('data-cfhash'))return t[e]}();if(t&&(c=t.previousSibling)){p=t.parentNode;if(a=c.getAttribute('data-cfemail')){for(e='',r='0x'+a.substr(0,2)|0,n=2;a.length-n;n+=2)e+='%'+('0'+('0x'+a.substr(n,2)^r).toString(16)).slice(-2);p.replaceChild(document.createTextNode(decodeURIComponent(e)),c)}p.removeChild(t)}}catch(u){}}()/* ]]> */
3
Dr, dipl. inž., AD Železnice Srbije, Nemanjina 6, [email protected]/* <![CDATA[ */!function(t,e,r,n,c,a,p){try{t=document.currentScript||function(){for(t=document.getElementsByTagName('script'),e=t.length;e--;)if(t[e].getAttribute('data-cfhash'))return t[e]}();if(t&&(c=t.previousSibling)){p=t.parentNode;if(a=c.getAttribute('data-cfemail')){for(e='',r='0x'+a.substr(0,2)|0,n=2;a.length-n;n+=2)e+='%'+('0'+('0x'+a.substr(n,2)^r).toString(16)).slice(-2);p.replaceChild(document.createTextNode(decodeURIComponent(e)),c)}p.removeChild(t)}}catch(u){}}()/* ]]> */
2
1.
UVOD
Osnovne pretpostavke u linearnoj teoriji konstrukcija (teoriji prvog reda) su:
pretpostavka o malim deformacijama, pretpostavka o malim veličinama pomjeranja
napadnih tačaka spoljašnjih sila i pretpostavka o linearnoj vezi između dilatacija i napona,
odnosno temperaturnih promjena. Teorija drugog reda odbacuje drugu od navedenih
pretpostavki, ali zadržava prvu i treću pretpostavku, što dovodi do toga da se uslovi
ravnoteže postavljaju na deformisanom elementu nosača. Pri tome se pretpostavlja da se
opterećenje u toku deformacije ne mjenja po pravcu i veličini, a smatra se da je zadato po
elementu dužine nedeformisanog štapa.
U ovom radu prostorni linijski nosači su modelovani grednim elementom u prostoru,
sa dvije čvorne tačke i sa po šest nepoznatih u svakom čvoru, čija matrica krutosti u teoriji
drugog reda je dobijena na osnovu tačnog rješenja diferencijalnih jednačina teorije drugog
reda.
2.
ANALIZA GREDNOG ELEMENTA U PROSTORU
Osnovne kinematičke veličine u čvorovima grednog elementa u prostoru su
generalisana pomjeranja, odnosno pomjeranja u, v, w u pravcima osa x, y, z i obrtanja ϕx,
ϕy, ϕz oko istih osa. Generalisana pomjeranja i odgovarajuće generalisane sile u čvorovima
i i j predstavljaju komponente vektora generalisanih pomjeranja q i vektora generalisanih
sila R.
qT = [ ui vi wi ϕxi ϕyi ϕzi uj vj wj ϕxj ϕyj ϕzj ]
T
R = [Ni Tyi Tzi Mxi Myi Mzi Nj Tyj Tzj Mxj Myj Mzj ]
(1)
(2)
2.1. MATRICA KRUTOSTI
Kao što je poznato, veza između vektora generalisanih sila R i vektora generalisanih
pomjeranja q uspostavlja se preko matrice krutosti elementa k:
R = kq
(3)
Elementi matrice krutosti po teoriji drugog reda mogu se dobiti rješavanjem sistema
homogenih nezavisnih diferencijalnih jednačina (4) i primjenom odgovarajućih graničnih
uslova, odnosno generalisanih pomjeranja čvorova obostrano uklještenog prostornog
grednog elementa.
EA u" = 0
EI z v IV − Sv" = 0
EI y w
IV
(4)
− Sw" = 0
GI x ϕ " = 0
Prva i poslednja jednačina sistema (4) definišu dobro poznate probleme aksijalnog
naprezanja i torzije elementa po teoriji prvog reda. Rješavanjem ovih jednačina se dobijaju
poznate matrice aksijalne i torzione krutosti elementa, koje se mogu naći u bilo kom
udžbeniku iz metode konačnih elemenata. Druga i treća jednačina sistema (4) definišu
probleme savijanja, elementa opterećenog aksijalnom silom S na krajevima elementa, u
ravnima xy i xz po teoriji drugog reda. Tačnim rješavanjem ovih jednačina se dobijaju
matrice krutosti savijanja, pritisnutog i/ili zategnutog grednog elementa, u ravnima xy i xz
po teoriji drugog reda.
Dakle, matrica krutosti po teoriji drugog reda za gredni element u prostoru (5)
dobijena je na osnovu tačnog rješenja homogenih diferencijalnih jednačina teorije drugog
reda. Za razliku od matrice krutosti po teoriji prvog reda [1], kod koje su svi elementi
konstante koje zavise od geometrije i mehaničkih karakteristika grednog elementa, elementi
matrice krutosti po teoriji drugog reda su trigonometrijske ili hiperbolične funkcije u
zavisnosti od toga da li je gredni element pritisnut ili zategnut (funkcije φi prikazane su u
tabeli 1).
EA
 EA

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 
 L
L


EI z
EI z
EI
EI z
 0
0
0
0
0 - 3z φ1
0
0
0
φ1
φ2
φ2 
L3
L2
L
L2


EI y
EI y
EI y
EI y


φ
φ
φ
φ
0
0
0
0
0
0
0
0
5
6
5
6


L3
L2
L3
L2


GI x
GI x
 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 
L
L


EI y
EI y
EI y
EI y


0
0
0
0
0
0
0
0
φ
φ
φ
φ
5
8
6
7


L2
L
L2
L

EI z 
EI z
EI z
EI z
φ2
φ4
φ3 
0
0
0
0 - 2 φ2
0
0
0
 0
L2
L
L
L

k =
EA
- EA
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 
 L

L

EI z
EI z 
EI z
EI z
φ1
0
0
0
- 2 φ2
0
0
0
0
- 2 φ2 
 0 - 3 φ1
L
L
L3
L


EI
EI
EI
EI
y
y
y
y
 0
φ6
φ5
φ6
0
- 3 φ5
0
0
0
0
0
0 
2
3
2


L
L
L
L


GI x
GI x
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0


L
L


EI y
EI y
EI y
EI y
 0
0
- 2 φ6
0
0
0
0
0
0 
φ7
φ6
φ8
2


L
L
L
L


EI z
EI z
EI z
EI z
0
0
0
0 - 2 φ2
0
0
0
φ2
φ3
φ4 
 0


L2
L
L
L
Tabela 1. Funkcije φi za gredni element u prostoru
Funkcija
φ1
φ2
φ3
φ4
Aksijalna sila u grednom elementu u prostoru
pritisak
zatezanje
ω z3sinω z
∆z
ωz2 (1 - cosωz )
ωz3shωz
∆z
ω z2 (chω z
- 1)
∆z
∆z
ω z (ω z - sinω z )
ω z (shω z - ω z )
∆z
∆z
ω z (sinω z - ω z cosω z )
ω z (ω z chω z - shω z )
∆z
∆z
(5)
Aksijalna sila u grednom elementu u prostoru
pritisak
zatezanje
Funkcija
ω y3 shω y
ω y3 sinω y
φ5
∆y
∆y
ω y2 (chω y
ω y2 (1 - cosω y )
φ6
∆y
∆y
ω y (ω y - sinω y )
ω y (shω y - ω y )
∆y
∆y
ω y (sinω y - ω y cosω y )
ω y (ω ychω y - shω y )
∆y
∆y
∆z = 2(1-cosωz) - ωzsin ωz
∆ z = 2(1-ch ωz) + ωzsh ωz
∆y = 2(1-cosωy) - ωysin ωy
∆ y = 2(1-ch ωy) + ωysh ωy
φ7
φ8
- 1)
gdje su:
S
ωz = L
EIz
S
ωy = L
EI y
Približnim rješavanjem diferencijalnih jednačina teorije drugog reda (4) dobija se
matrica krutosti teorije drugog reda u vidu zbira dvije matrice, matrice krutosti po teoriji
prvog reda i geometrijske matrice krutosti, vidjeti [1].
2.2. VEKTOR EKVIVALENTNOG OPTEREĆENJA
Osnovna jednačina neopterećenog grednog konačnog elementa data je izrazom (3).
Ukoliko postoji raspodjeljeno opterećenje duž ose grednog elementa, osnovna jednačina
takvog konačnog elementa je:
R = kq - Q
(6)
gdje je:
Q
QT = [N i
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
T yi T zi M xi M yi M zi N j T yj T zj M xj M yj M zj ]
vektor ekvivalentnog opterećenja, slika 1.
Slika 1. Ekvivalentno opterećenje u čvorovima grednog elementa
(7)
Do vektora ekvivalentnog opterećenja grednog elementa u prostoru Q može se doći,
kao i do matrice krutosti, razdvajanjem prostornog naponskog stanja elementa na: aksijalno
naprezanje, savijanje u ravni xy, savijanje u ravni xz i torziju.
Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja od aksijalnog ravnomjerno
raspodjeljenog opterećenja i ravnomjerno raspodjeljenog momenta torzije duž ose elementa
po teoriji drugog reda su isti kao elementi vektora ekvivalentnog opterećenja po teoriji
prvog reda, jer su diferencijalne jednačine u slučaju aksijalnog i torzionog naprezanja
elementa u teoriji drugog reda iste kao u teoriji prvog reda. To nije slučaj sa elementima
vektora ekvivalentnog opterećenja od transverzalnih raspodjeljenih opterećenja. Ovi
elemenati se mogu dobiti rješavanjem diferencijalnih jednačina:
EI z v IV − Sv" = p y
(8)
EI y w IV − Sw" = p z
(9)
i primjenom odgovarajućih graničnih uslova obostrano uklještenog grednog elementa.
Prema tome, elementi vektora ekvivalentnog opterećenja grednog elementa po
teoriji drugog reda (10) od transverzalnih raspodjeljenih opterećenja duž ose elementa,
dobijeni su na osnovu tačnog rješenja odgovarajućih diferencijalnih jednačina teorije
drugog reda, tj. primjenom Metode početnih parametara [2]. Funkcije γy i γz predstavljaju
uticaj teorije drugog reda i za slučaj pritisnutog ili zategnutog grednog elementa u prostoru
prikazane su u tabeli 2.
QT =
L
p x
2
py
pz
mx
−
pz L
γy
6
py L
6
γz
px
py
pz
mx
pz L
γy
6
−
py L
6

γ z  (10)

Tabela 2. Funkcije γy i γz za gredni element u prostoru
Aksijalna sila u grednom elementu u prostoru
Funkcija
pritisak
γy
γy =−
γz
γz = −
gdje su:
3.
zatezanje
6ω y sin ω y + 12(cos ω y − 1)
γy = −
ω 2y (1 − cos ω y )
6ωzsin ωz + 12(cos ωz − 1)
ωy = L
γz =−
ωz2 (1 − cos ωz )
S
EI y
ωz = L
6ωysh ωy + 12(1 − ch ωy )
ω2y (1 − ch ωy )
6ω z sh ω z + 12(1 − ch ωz )
ω z2 (1 − ch ω z )
S
EIz
ANALIZA SISTEMA ELEMENATA PO TEORIJI II REDA
Do sada je gredni elementi analiziran kao nezavisni elementi konstrukcije. Međutim,
pri prelasku na analizu nosača, odnosno na sistem međusobno povezanih elemenata, mora
se voditi računa o njihovoj međusobnoj povezanosti. Elementi sistema, u čvoru u kome su
povezani, moraju da zadovolje kako uslove kompatibilnosti pomjeranja tako i uslove
ravnoteže.
Uslovi ravnoteže u čvorovima sistema po teoriji drugog reda, mogu se prikazati u
obliku matrične jednačine:
K *q* = S*
(11)
gdje su: K* matrica krutosti sistema elemenata po teoriji drugog reda, q* vektor
generalisnih pomjeranja čvorova sistema, S* vektor opterećenja po teoriji drugog reda, koji
predstavlja zbir vektora zadatih spoljašnjih sila u čvorovima sistema i vektora
ekvivalentnog opterećenja sistema po teoriji drugog reda.
Pošto je matrica krutosti sistema singularna, da bi sistem jednačina (11) mogao da se
riješi uvode se konturni uslovi, odnosno uslovi oslanjanja sistema elemenata, tako što se
dodaju relativno velike konstante na poziciju dijagonale matrice krutosti sistema koja
odgovara spriječenom stepenu slobode. Ovo je ekvivalentno dodavanju velike krutosti u
sistem elemenata na mjesto i u pravcu spriječenog generalisanog pomjeranja.
Kada su određena pomjeranja čvorova sistema po teoriji drugog reda generalisane
sile na krajevima pojedinih elemenata po teoriji drugog reda, u globalnom koordinatnom
sistemu određuju se iz jednačine:
R *k = k *k q *k − Q *k
(12)
gdje su k *k i Q *k matrica krutosti i vektor ekvivalenog opterećenja elementa k po teoriji
drugog reda u globalnom koordinatnom sistemu.
Generalisane sile na krajevima pojedinih elemenata po teoriji drugog reda, u
lokalnom koordinatnom sistemu određuju se prema izrazu:
R k = Tk R *k
(13)
gdje je Tk matrica transformacije elementa k iz globalnog u lokalni koordinatni sistem.
Proračun po teoriji drugog reda, u ovom radu, vrši se tako što se u prvoj iteraciji
normalne sile u elementima uzimaju na osnovu proračuna po teoriji prvog reda, dok se u
sledećim iteracijama uzimaju vrijednosti izračunate po teoriji drugog reda i iterativni
postupak se ponavlja dok razlika između pomjeranja iz dvije uzastopne iteracije ne postane
manja od neke unaprijed zadate veličine ili se proračun prekida poslije određenog broja
iteracija.
4.
NUMERIČKI PRIMJERI
Na osnovu prethodno navedenih rješenja, razvijen je kompjuterski program ALIN
(Analiza LInijskih Nosača) [4], napisan u programskom jeziku C++, namijenjen za analizu
prostornih i ravanskih linijskih nosača kako po teoriji prvog reda, tako i po teoriji drugog
reda.
Primjenom programa ALIN, u ovom radu, izvršena je analiza okvira u ravni i nosača
u prostoru, po teoriji prvog i teoriji drugog reda, usled zadatog opterećenja. Dobijeni
rezultati su upoređeni sa rezultatima dobijenim korišćenjem programa TOWER, sa
zanemarivanjem uticaja transverzalnih sila na deformaciju nosača. Pri proračunu nosača po
teoriji drugog reda, primjenom programa TOWER zadata je podjela štapova na manje
segmente da bi se dobili što tačniji rezultati [3], dok je kod primjene programa ALIN ostala
ista podjela kao u teoriji prvog reda, odnosno jedan štap je jedan konačni element.
Na slici 2 prikazan je
okvir u ravni opterećen ravnomjerno podjeljenim opterećenjem duž ose štapa 1-2 i
koncentrisanim silama u čvorovima 2 i 3. Da bi se dobila što
E=3·107 kN/m2
veća razlika u dobijenim
rezultatima po teoriji prvog i
teoriji drugog reda vrijednost
zadatih koncentrisanih sila je
oko 50% kritične sile razmatranog okvira.
U tabeli 3, prikazane su
vrijednosti momenata savijanja
Slika 2. Okvir u ravni. Geometrija i opterećenje
po teoriji prvog reda i po teoriji
drugog reda za razmatrani okvir, dobijene primjenom programa ALIN kao i primjenom
programa TOWER za različite podjele greda na segmente.
Tabela 3: Vrijednosti momenata savijanja kod okvira u ravni
1
2
3
Čvor
Greda
Momenti savijanja [kNm]
1
2
2
3
3
4
Teorija I reda
ALIN
TOWER
/1/
28.730
7.175
-7.175
-11.417
11.417
15.178
Teorija II reda
TOWER
k.e.= štap k.e.= 1m
/2/
/3/
/4/
41.437
37.330
41.429
17.192
20.173
17.196
-17.192 -20.173 -17.196
-22.110 -23.307 -22.111
22.110
23.307
22.111
26.438
27.683
26.441
Razlika [%]
ALIN
/2/-/1/
44.23
139.61
139.61
93.66
93.66
74.19
/2/-/3/
11.00
-14.78
-14.78
-5.14
-5.14
-4.50
/2/-/4/
0.02
-0.02
-0.02
-0.01
-0.01
-0.01
Iz tabele 3 se vidi, da ako u TOWER-u nije izvršena podjela greda na manje
segmente, tj. ako je jedan štap zapravo jedan konačni element, razlike u vrijednostima
momenata savijanja po teoriji drugog reda se kreću do 15%, u odnosu na „tačne“ rezultate
dobijene primjenom programa ALIN. Dok u slučaju, kada je u TOWER-u izvršena podjela
greda na segmente od 1m razlike u vrijednostima momenata savijanja dobijene primjenom
programa ALIN i TOWER praktično ne postoje.
U tabeli 4, prikazane su vrijednosti momenata savijanja po teoriji prvog reda i po
teoriji drugog reda za nosač u prostoru, prikazan na slici 3, dobijene primjenom programa
ALIN i TOWER. Pri proračunu nosača po teoriji drugog reda u programu TOWER zadata
je podjela greda na segmente od 0.50m i u tom slučaju imamo dobro slaganje dobijenih
rezultata sa rezultatima dobijenim primjenom programa ALIN.
Vrijednosti presječnih sila po teoriji prvog reda dobijene primjenom programa ALIN
se u potpunosti poklapaju sa vrijednostima dobijenim korišćenjem programa TOWER. Pri
proračunu nosača po teoriji drugog reda, u slučaju kada je u TOWER-u izvršena podjela
greda na sitnije segmente (0.5-1m), razlike u rezultatima dobijenim primjenom programa
ALIN i TOWER praktično ne postoje.
Brojni podaci:
E = 3·107 kN/m2
ν = 0.25
Štap 2-3: b/h = 0.25/0.6m
Štapovi 1-2 i 3-4: b/h = 0.25/0.4m
Štapovi 2-5 i 3-6: b/h = 0.4/0.4m
Slika 3. Nosač u prostoru. Geometrija i opterećenje
Tabela 4: Vrijednosti momenata savijanja kod nosača u prostoru
1
2
3
Čvor
Greda
Momenti savijanja Mz [kNm]
1
2
2
3
3
4
Teorija I reda
ALIN
TOWER
/1/
27.98
3.95
1.82
-126.91
106.96
135.14
Teorija II reda
TOWER
ALIN
k.e.= 0.5m
/2/
/3/
110.86
110.78
74.90
74.78
-71.73
-71.64
-200.25
-200.20
171.03
170.98
214.27
214.26
Razlika [%]
/2/-/1/
296.21
1796.20
3841.21
57.79
59.90
58.55
/2/-/3/
0.07
0.16
0.12
0.02
0.03
0.00
Dakle, prednost programa ALIN je što se pri proračunu po teoriji drugog reda ne
mora voditi računa o podjeli greda na manje segmente, kao kod primjene programa
TOWER, jer ALIN koristi tačnu matricu krutosti i tačni vektor opterećenja, za razliku
TOWER-a koji koristi geometrijsku matricu krutosti.
Proračun prema teoriji prvog reda, gdje se uslovi ravnoteže ispisuju na
nedeformisanom sistemu, može dovesti do netačnih rezultata u odnosu na tačniju teoriju
drugog reda, što je na ovim primjerima očigledno pokazano.
LITERATURA
[1]
[2]
[3]
[4]
Sekulović M.: Teorija linijskih nosača, Građevinska knjiga, Beograd, 2005.
Đurić M.: Stabilnost i dinamika konstrukcija, Građevinski fakultet Beograd, Beograd, 1977.
TOWER 5, TOWER 6, Uputstvo za rad sa programom, Radimpex, Beograd
Žugić Lj: Nelinearna analiza mostova sa kosim kablovima, doktorska disertacija, Univerzitet