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行列方程式 = dc ba A OEbc ad Ada A = - + + - ) ( ) ( 5 ,3 =

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行列方程式
◇行列方程式をケーリー・ハミルトンの定理で次数下げし 1次の方程式に帰着
a b
のとき(前提条件)
c d
A
トレース
解 (
a d
よって, a
d
反例 a
2, b
A2
3, ad
0, c
0, d
2 次の行列方程式
(a
a d
d ) A (ad
bc ) E
s とおくと A
O
O を得る.
t
t (3 t )
s
s
3 t
3 かつ ad bc 2 」は偽
4
2 次の行列方程式が
C.H. の 次 数 下 げ 定 理
によ っ て同値な 1次 の
行列方程式に帰着され
た 特に の確認を
O を解け
O ① だから
d ) A (ad bc) E
d 3) A (ad bc
d 3
または A
bc 2
q
0; A
E
a d 3
p
よって ⅰ)
なる A
ad bc 2
a b
ad bc 2
または ⅱ) A
E なる A
a d 3
c d
t, b
O
= 2E は
4, ad bc
3A 2E
3A 2E
ⅰ)から a
bc ) E
3 A 5E
0 2
O ② ⇔ (a
pA qE O
⇔ (a
ⅰ) p q 0 A は任意
a
⇔
ⅱ) p 0, q 0 解なし
ad
ⅲ) p
3A 2E
d ) A (ad
2 0
2 のときつまり A
a b
のとき、 A 2
c d
A
a b
2
のとき A
c d
A2
(a
A2
3 A 2E O ⇒(ならば例外なく) a d
O を満たすが
3A 2E
⇒
2
5 を代入して A 2
bc
a b
2
のとき「 A
c d
は偽) A
解1 A
bc
a b
2
のとき,C.H.の定理より A
c d
)A
(
かつ 行列式 ad
3
①かつ②⇔①かつ③
3 A 2E ③
2) E O
1次に次数下げ 同値な1次
の行列方程式に帰着する
ad bc 2
E (a d
a d 3
3)
1次の行列方程式を
トレースが0となるものとなら
ないもので場合分けして解く
a b
c d
ただし a
( t, s は任意の実数)
d
3
0
行列の
成分を求めるの
だから、2つの
文字 s,t で表現
a b
ad bc 2 1 0
より
c d
a d 3 0 1
b 0 A kE の形(必要条件)として
c 0 ad 2
A2 3A 2E O に 代 入 し k
a
a 2 3a 2 0
a d 3
を確定する解答例が多い
ad 2
d
d 2 3d 3 0
a d 3
a d 3 0 , a 1,2 d 1,2 より (a, d ) (1,1), (2,2)
ⅱ)から A
ⅰ)ⅱ)まとめて A
t
t (3 t )
s
s
3 t
( t, s は任意の実数)、 A
E ,2 E ・・・(答)
[行列と係数比較] (誤) A :2次の正方行列 , p, q, p' , q'
解2
pA qE
p' A q' E
p
p'
A kE
(正) A :2次の正方行列
R のとき
q q'
, p, q, p' , q'
R のとき
q'
pA qE p ' A q ' E
p p'
q
(誤) A :2次の正方行列 p, q, p' , q' R のとき
A 2 pA qE A 2 p ' A q' E
p p'
q
q'
求める解を A kE のものと それ以外のものと
kE の形の解を求める
で分けて求めることにする
A kE のもとで
2
2
A 3 A 2 E O ⇔ (kE ) 3kE 2 E O ⇔ (k 2 3k 2) E O ⇔ k 2 3k 2 0
⇔ k 1,2 ⇔ A E ,2 E
イ) A kE のときの解を求める
何次であろうと1次まで落とす
a b
2
すると C.H.の定理より A
(a d ) A (ad bc ) E O ①
A
c d
ア) A
① のもとで
A2
O ② ⇔ A 2 3 A 2 E A 2 (a d ) A (ad bc ) E ③
⇔
3 A 2E
(a d ) A (ad bc ) E
a d 3
と同値
A kE のときは さらに
ad bc 2
a d 3
a b
(ア)(イ)合わせて すべての解は A E ,2 E と
なる A
ad bc 2
c d
a b
2
解3 X
とおくと X
E の解は
c d
3A 2E
成分で
a
b
a
c
d
c
②③からア. a
イ. a
ア.イから
A2
そこで
b = 1
d
0
0
a2
bc
ab
1
ac
cd
bc
3A 2E
O ⇔ (A
E, E または 2 A 3E
ゆえに
A
x v
x
u
0 ②
(a
d )c
bc
d
3 2
E)
2
a b
1
E だから (2 A 3E )2
4
2
0 ③
1 ④
1 (複号同順)
E
(a d 0, ad bc
1)
c d
b
1 a 3
E ,2 E ,
(a d 0, ad bc
1)
d 3
2 c
y
とおくと ( a d
v
1
(a d
2
1 ①
d )b
0 のとき②③は満たされ,①④から ad bc
1
1, d
0 のとき②③から b 0, c 0 さらに①④から a
d
d
2 A 3E
A
bc
(a
a2
bd = 1 0
0 1
d2
6)
3 , xv
0, ad bc
yu
1) より
1
{(a 3)(d
4
3) bc}
1
{ad
4
bc 3(a
d ) 9}
2
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