e.ü.zġraat fakültesġ 2014-2015 bahar yarıyılı türk

MATEMATiK
TÜREV
K1
Türevin Tanımı, Süreklilik ve Türevlenebilme
ÖRNEK
Tanım :
A ⊂ R , f : A → R , y = f(x) fonksiyonu a∈A da sürekli
olmak üzere,
f(x) − f(a)
f (a + h) − f (a)
lim
= lim
x →a
h→0
x −a
h
varsa bu limite f fonksiyonunun x = a noktasındaki türevi
df
denir ve f’(a),
(a) yada Df(a) biçiminde gösterilir.
dx
2x − 1

f ( x ) = 4
 2
x − 1
,
x>2
,
x=2
,
x<2
fonksiyonunun varsa x = 2 noktasında türevi varsa
kaçtır? Yok
ÖRNEK
f(x) = 3 x 2 − 5 x + 1 ise,
lim
h→0
f ( x + h) − f ( x )
h
ifadesinin e şiti nedir? 6x – 5
ÖRNEK
4 x − 2

f ( x ) = 10
 2
x + 1
,
,
,
x>3
x=3
x<3
fonksiyonunun varsa x = 3 noktasında türevi varsa
kaçtır? Yok
ÖRNEK / ÖSYM
f(x) = 2x + 3 ise,
2
lim
h→0
f (1 + h) − f (1)
h
ifadesinin değ eri kaçtır? 4
ÖRNEK
 2 x 2 , x ≤ 1
f( x) = 
mx + t , x > 1
fonksiyonu x = 1 apsisli noktada türevlenebilir ise,
m.t kaçtır? −8
Süreklilik ve Türevlenebilme :
Bir fonksiyonun türevinin olabilmesi için fonksiyon
tanımlı ve sürekli olmalıdır.
Ancak her tanımlı ve sürekli fonksiyon türevli değ ildir.
ALIŞTIRMALAR
SORU.1 / ÖSYM
f ı ( x ) = 2x − 1 ve f(2) = 4 ise,
2
SORU.6
 x 2 − 3 x
, x ≤1
f( x) =  2
ax + bx + 3 , x > 1
fonksiyonu x = 1 de türevli ise, b kaçtır? −9
f( x) − 4
x−2
lim
x →2
limitinin de ğeri kaçtır? 7
SORU.7
ax 3 + 1

f ( x ) = b - 1
cx + 4

SORU.2
f(x) = 4x − 3x ise,
2
lim
x →1
,
,
x < -1
,
x = -1
x > -1
fonksiyonu x = −1 de türevli ise, a + b + c kaçtır? 13/2
f ( x ) − f (1)
x −1
limitinin de ğeri kaçtır? 5
SORU.8
 5 x 2 , x ≤ 2
f( x) = 
kx − 20 , x > 2
SORU.3
f(x) = x − 1 ise,
2
fonksiyonu x = 2 noktasında türevlenebilir ise,
k kaçtır? 20
f ( x + h) − f ( x )
h
lim
h →0
ifadesinin değ eri kaçtır? 2x
SORU.9
2x 2 − 3 x , x < 2
f( x) = 
 5 x − 8 , x ≥ 2
ise, f ı (2) kaçtır? 5
SORU.4
 x 2 , x < 2
f( x) = 
x + 2 , x ≥ 2
ise, lim
x →2
−
f ( x ) − f ( 2)
limitinin değeri kaçtır? 4
x−2
SORU.10
3 x 2 + x , x ≤ 2
f( x) = 
kx − 20 , x > 2
fonksiyonunun ∀x∈R için türevlenebilir ise,
x = 2 noktasındaki sağ dan türevi kaçtır? 13
SORU.5
f türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere,
ax 2 + 2 , x < 1
f( x) = 
, x ≥1
 4 x
için lim
x →1−
f ( x ) − f (1)
= 4 ise, a kaçtır? 2
x −1
SORU.11
f(2x − 1) = 4x − 2x − 3 ise,
2
ise, lim
x →3
f ( x ) − f (3 )
limitinin değeri kaçtır? 7
x−3
MATEMATiK
TÜREV
Türev Alma Formülleri :
•
•
K2
Türev Alma Formülleri − 1
k−1
•
f(x) = (cx + d) ⇒ f′(x) = k.(cx + d)
•
f(ax+b) = cx ⇒ f′(ax+b).(ax+b)′ = c
k
.(cx + d)′
f(x) = c ⇔ f ′( x ) = 0
f(x) = x + c ⇔ f ′( x ) = n.x n −1
n
ÖRNEK
f(x) = (x – 3x + 1) ise, f ′(1) kaçtır? 0
3
ÖRNEK / ÖSYM
4
ÖRNEK
f(x) = x 2 − 3 x + 4 ise, f ′(0 ) kaçtır? −
3
4
Şekle göre, f' (0) kaçtır? 3/2
ÖRNEK / ÖSYM
f(3x − 5) = 2x + x − 1 ise, f′(1) + f(1) kaçtır? 12
2
ÖRNEK
f(x) = y − 3 ise, f ′(3 ) kaçtır? 0
5
ÖRNEK / ÖSYM
[
f(x) = 1 + ( x + x 2 )3
]
4
ÖRNEK
f(x) = x + x + 4 x + 8 x + 16 x + .....
ifadesinin terimleri kendisinden önce gelenin karekökü
/
olacak ş ekilde düzenlenmiş tir. Buna göre, f (1) kaçtır? 2
ÖRNEK / ÖSYM
f(g(x)) = x + 4x − 1
g(x) = x + a
f'(0) = 1
2
ise, a kaçtır? 3/2
4
ise, f′(1) kaçtır? 2 .3
8
SORU – 8
ALIŞTIRMALAR
f(x) = 5 x 2 + 4 x +
1
x4
ise, f (1) kaçtır? −5/3
/
SORU / ÖSYM – 1
f(x) = (2x + 1) ise, f (x) kaçtır? 24x (2x + 1)
3
4
/
2
3
3
SORU – 9
f(x) = x (2x − 5x ) ise, f (x) kaçtır? 10x − 30x
4
2
/
4
SORU – 2
f(x) = 2x − 3x + 5
2
g(x) = x + 2x + 4
2
/
/
fonksiyonları için f (a) = g (a) ise, a kaçtır? 5/2
SORU – 10
f(3x + 1) = x + 2x + 1 ise, f (1) kaçtır? 2/3
3
SORU – 11
SORU / ÖSYM – 3
f(x) = (x − 1) .(2x − t) ve f (0) = 0 ise, t kaçtır? −4
2
//
SORU / ÖSYM – 4
/
P(x) − P (x) = 2x + 3x −1 ise,
/
2
Şekle göre, f (3) kaçtır? 7
P(x) in katsayıları toplamı kaçtır? 15
SORU – 12
f(x) = x − 2x
2
SORU – 5
g(x) = x
f(x) = (2x − 3) − (3x − 4) ise, f (2) kaçtır? −28
4
3
3
/
h(x) = (gof)(x)
/
ise, h (3) kaçtır? 108
SORU – 6
f(x) = x − 4x − 3 ise, y = f− (x) fonksiyonunun x = 2 için
2
1
SORU – 13
türevi kaçtır? 1/6
SORU – 7
f(2x + 3) = 4x − 3x + 1 ise, f (1) + f(1) kaçtır? 5/2
2
/
/
Şekle göre, f (2) kaçtır? 0
/
5
MATEMATiK
•
F(x, y) = 0 ⇒ F'(x, y) = −
TÜREV
K3
Türev Alma Kuralları – 2
F' x
•
F' y
[f(x)⋅g(x)]' = f'(x)⋅g(x) + g '(x)⋅f(x)
ÖRNEK
ÖRNEK / ÖSYM
f(x) = (x − 1).g(x) ve gı (0 ) = 4 ise, f ı (0) kaçtır? −4
2
3y
3y − 3xy − 2 = 0 ise, F (x, y) neye eşittir?
3 −3 x
/
ÖRNEK
ÖRNEK
3
F(x, y) = x + x y + xy – 3 ise, F (1, 1) kaçtır? −
2
3
2
3
/
[
]
d
/
( x 2 + 1) ⋅ ( x − 1) ise, f (1) kaçtır? 2
dx
ÖRNEK
y > 0 ve x + y − 10 = 0 ise,
2
2
F (x, y) nin x = 1 için değ eri kaçtır? −1/3
/
ÖRNEK
f(x) = (x − t).(x + 3x) ve f ı(0 ) = −6 ise, t kaçtır? 2
2
SORU – 7
ALIŞTIRMALAR
dy
ifadesinin A(a, b) noktası için
dx
−2a + b
değ eri nedir?
− a + 2b
x − xy + y = 3 ise,
2
SORU / ÖSYM – 1
2
3
x
2
3
+y
=
2
3
a
fonksiyonunun türevi nedir? y′ = −3
y
x
2
SORU – 8
f(x) = ( x 2 + 1) ⋅ x ise, f (1) kaçtır? 3
/
SORU / ÖSYM – 2
f(x) = (x − 1) .(2x − t) ve f (0) = 0 ise, t kaçtır? −4
2
//
SORU – 9
f(x) = x .(x + 1).(x + 2) ise, f (0) kaçtır? 0
2
3
/
SORU / ÖSYM
3y − 3yx − 2x = 0 ise, F (x, y) neye eşittir?
/
3y + 2
3 − 3x
SORU – 10
x y + 3x + 2y = 0 ba ğıntısının türevi nedir? −
2
2
2 yx + 3
x 2 + 4y
SORU / ÖSYM – 3
/
f(0) = f (0) = 4 ise, g(x) = f(x.f(x)) ile tanımlanan g
/
SORU – 11
fonksiyonu için, g (0) kaçtır? 16
f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) … (x + 10) ise, f (0) kaçtır? 10!
SORU – 4
SORU – 12
/
f(x) = (x + 1) .(x − 3) ise, f (0) kaçtır? 27
2
2
3
/
f(x) = ( x 3 + 1)2 ⋅ ( x 4 − 1)3 ise, f (0) kaçtır? 0
/
SORU – 5
F(x, y) = x − y + 2x + 6y − 3 = 0 ise, F (1, 1) kaçtır? −5/3
3
3
/
SORU – 13
y = f(x) olmak üzere,
x + y + xy − 3 = 0 ba ğıntısının
türevinin (1, 1) noktasındaki değ eri kaçtır? −1
SORU – 6
SORU – 14
2−y
xy + y = 2x ise, F (x, y) neye eşittir?
x + 2y
2
/
x y + xy + x + y = 0 ifadesinin türevi nedir? −
2
2
2xy + y 2 + 1
x 2 + 2 xy + 1
MATEMATiK
•
(
TÜREV
K4
Türev Alma Kuralları – 3
f(x)
f' (x) ⋅ g(x) − g' (x) ⋅ f(x)
)' =
g(x)
[g(x)]2
•
(fog)'(x) = f'(g(x)) ⋅ g'(x)
ÖRNEK
f(x) = x +1
3
g(x) = 3x
2
ÖRNEK
f(1) = 2
f′′ (1) = 1
g(1) = 1
g′′ (1) = −2
f (x)
h(x) =
g( x )
ise, (fog)'(x) kaçtır? 54x
ise, h′′ (1) kaçtır? 5
ÖRNEK
g(3) = 5
g′′ (3) = 2
f'(5) = 7
ise, (fog)′′ (3) kaçtır? 14
ÖRNEK
f( x) =
x + x2
x3
ise, f′′ (1) kaçtır? –3
ÖRNEK / ÖSYM
1 1
y = f(x) fonksiyonu
+ = 1 şeklinde tanımlı ise,
x y
f′′ (2) kaçtır? −1
ÖRNEK
f(x) = x − 1
2
g(x) = 2x + 3x
ise, (fog)′′ (2) kaçtır? 11
5
SORU – 7
ALIŞTIRMALAR
g(2) = 4, f (4) = −3 ve g (2) = 5 ise, (fog) (2) kaçtır? −15
/
/
/
SORU / ÖSYM – 1
y=
4 x2 − 6 x + 2
2
6x − 9x + 5
/
ise, y nedir? y′ =
16 x − 12
( 6 x 2 − 9 x + 5 )2
SORU – 8
f(x) =
ax + 1
/
ve f (−1) = 9 ise, a kaçtır? 5
x+2
SORU – 2
2 1
+ =1
y x
SORU – 9
ise, f (−1) kaçtır? −1/2
/
f(x) = x + x, g(x) = x + x
3
4
2
/
ise, (fog) (1) kaçtır? 78
SORU – 3
f(x) =
x 2 − mx + 1
x 2 + 2x + 3
/
ve f (1) = 0 ise, m kaçtır? 2
f(x) = 3x + 2 ve g(x) =
SORU – 4
g(x) =
SORU – 10
x +1
/
ise, (gof) (2) kaçtır? −3/2
x −1
SORU – 11
−x − f( x)
/
/
, f(1) = 4, f (1) = 2 ise, g (1) kaçtır? −1/8
f ( x)
/
/
/
h (x) = f (g(x)).g (x) ise, h(x) ifadesinin eşiti nedir? (fog)(x)
SORU – 12
f(2) = −1
SORU – 5
f(x) =
2x − 1
f ( x ) − f (1)
için, lim
limitinin eş iti kaçtır? 3/4
x +1
x −1
x→1
/
f (2) = 3
g(2) = −2
/
g (2) = 5
ı
f
ise,   (2) kaçtır?−1/4
 g
SORU – 6
f(x) = x 4 − x 3 + 2x 2 + 3 x ve g(x) =
2x − 1
ise,
3x − 2
SORU – 13
(fog) (1) kaçtır? −8
/
f(x) =
( x − 2)( x − 4)
x2
ise, f (2) kaçtır? −1/2
/
14 – K4
MATEMATiK
•
TÜREV
y = f(z), z = g(u), u = h(x) ise,
(fogoh)'(x) =
K5
Türev Alma Kralları – 4
•
x ve y fonksiyonları t ye ba ğlı ise,
dy dy dz du
=
⋅
⋅
dx dz du dx
dy
y′ =
= dt
dx
dx
dt
dy
= f'(g(h(x)))⋅g'(h(x))⋅h'(x))
ÖRNEK
ÖRNEK
2
x = t − 2t
y = 3t + 2
2
y=u +u
2
u=t –t
t = 2x + 1
dy
ise,
dx
ise,
de ğeri kaçtır? 130
dy
1
nin t = −
için değ eri kaçtır? −1
dx
2
x =1
ÖRNEK
ÖRNEK
x=t−1
2
y=t
3
y = u – 2u
2
u = z + 2z + 1
z=x–1
ise,
dy
dx
ise,
d2 y
dx 2
ifadesinin e şiti nedir? 2
de ğeri kaçtır? 2
x =1
ÖRNEK
ÖRNEK
1
y=
t
2
t = 2x – 1
ise,
dy
dx
x =1
de ğeri kaçtır? −4
x=t−1
3
y = t + 4t – 3
/
ise, f (0) kaçtır? 7
ALIŞTIRMALAR
SORU – 6
3
y=x
2
x = 4t
2
t=
z
SORU / ÖSYM – 1
x = t + 3t
3
y = t – 3t
3
ise,
d2 y
dx 2
ise,
dy
nin z = 2 için değeri kaçtır? –192
dz
nin t = 1 için değeri kaçtır? 1/6
SORU – 7
y = (x + 1)
3
2
x=t +t −1
t=u+1
2
SORU – 2
y > 0 olmak üzere,
x = t – 2t + 3
4
2
y = t – 3t – 2
2
ise,
/
2
dy
nin u = 0 için de ğeri kaçtır? 40
du
ise, f (3) kaçtır? 10
SORU – 8
y = (x + 2)
3
x = t − 26
t=u+3
3
SORU – 3
y = 3t + 1
t = 2u + 3
3
u=x +2
2
ise,
ise,
dy
6
nin u = 0 için de ğeri kaçtır? 3
du
dy
2
ifadesinin eşiti nedir? 36.t.x
dx
SORU – 9
SORU – 4
x = 2t − 4
2
y = t – 3t + 5
x = t3 + 1
y = 3t
2
/
ise, f (3) kaçtır? 6
2
ise,
d y
dx 2
nin t = 3 için değ eri kaçtır? 1/2
SORU – 5
y = t + 2t − 1
t = 2v + 3
2
v = −x − x + 5
3
ise,
dy
nin x = 2 için değ eri kaçtır? −50
dx
SORU – 10
3
x = t – 2t
2
y=t +t
ise, t = 2 için
dy
ifadesinin de ğeri kaçtır? 1/2
dx
TÜREV
MATEMATiK
•
K6
Türev Alma Kuralları – 5
ÖRNEK
y = sin u ⇔ y' = u'⋅cos u
f( x) =
•
y = cos u ⇔ y' = –u'⋅sin u
•
y = tan u ⇔ y' = u'⋅sec u
u'
=
cos2 u
2
= u'⋅(1 + tan u)
•
y = cot u ⇔ y' = –u'⋅cosec u
−u'
=
sin2 u
2
= –u'⋅(1 + cot u)
sin x
1
ise, f′ (0) kaçtır?
2
1 + cos x
2
2
ÖRNEK
ÖRNEK
y = cos t

x = sin t
F(x, y) = tan(2x+ y) ise,
dy
ise,
ifadesinin e şiti kaçtır? −tant
dx
 π π
/
F (x, y) nin  ,  noktasındaki değeri kaçtır? –2
 12 3 
ÖRNEK
y = u ve u = sin2x ise,
dy
cos 2x
ifadesinin eşiti kaçtır?
dx
sin 2 x
ÖRNEK
π
 kaçtır? −1
2
f(x) = tan(cotx) ise, f ′ 
ÖRNEK
f(x) = (sinx + cosx)
100
 π
/
ise, f  4  kaçtır? 0
ALIŞTIRMALAR
SORU / ÖSYM – 7
SORU / ÖSYM – 1
 π
f(x) = cosx fonksiyonu 0,  aralığında veriliyor.
 2
π
f   − f (0)
2
/
f (u) =  
π
2
f(x) = sin (3x + 2x + 1) ise, f'(0) kaçtır? 2sin2
2
2
ş artını sa ğlayan u sayısı kaçtır? arcsin
2
π
SORU / ÖSYM – 2
y = cotx fonksiyonunun türevi nedir? −
1
sin2 x
SORU / ÖSYM – 8
x = 6 sin 3 t

y = 6 cos 2 3 t
denklemleri ile verilen y = f(x) fonksiyonunun x = 3 apsisli
noktadaki türevi kaçtır? −1
SORU / ÖSYM – 3
2 3
2
y = sin x fonksiyonunun türevi nedir? 3x sin2x
3
SORU / ÖSYM – 9
d2
SORU / ÖSYM – 4
dx 2
(sin2 3 x ) ifadesinin eşiti nedir? 18cos6x
f(x) = (sin 2 x )2 fonksiyonunun türevi nedir? 4sin2xcos2x
SORU / ÖSYM – 10
2f(x) + f(
SORU / ÖSYM – 5
3
2
y = cos 3x fonksiyonunun türevi nedir? –9sin3x.cos 3x
SORU / ÖSYM – 6
π 3
π

π
f(x) = tan cos x  ise, f ′  kaçtır? −
2
2

3
π
π
− x ) = tanx ise, f'( ) kaçtır? 2
2
4
SORU / ÖSYM – 11
π
π 
f(2x + 5) = tan x  ise, f'(6) kaçtır?
2
2 
MATEMATiK
TÜREV
u′
u
•
y = ln u ⇒ y′ =
•
u' 1
y = logau ⇒ y' = ⋅
u lna
K7
Türev Alma Kuralları – 6
•
y = [f(x)] g(x) biçimindeki ifadelerin türevi için her iki
yanın logaritması alınır.
ÖRNEK
ÖRNEK
f(x) = x ise, f ı (1) kaçtır? 1
x
d
(ln(sin x )) neye eşittir? cotx
dx
ÖRNEK
f(x) = log3 (3 x + 1) ise, f / ( x ) kaçtır?
3
1
⋅
3 x + 1 ln 3
ÖRNEK
f(x) = x
sinx
ı π
ise, f ( ) kaçtır? 1
2
ÖRNEK
f(x) = log( x + 2 ) ( x + 1) ise, f / (0 ) kaçtır?
1
ln 2
ÖRNEK
y=x
ÖRNEK
f(x) = log4 x − 1 ise, f / (2) kaçtır?
1
log4 e
2
ln x
ise, y ı nedir? 2⋅ln x⋅x
ln x− 1
SORU – 8
ALIŞTIRMALAR
f(x) = ln x x ise, f ı (1) kaçtır? loge
SORU / ÖSYM – 1
d
(ln(cos x )) neye eşittir? −tanx
dx
SORU – 9
π
f(x) = (sin x ) x ise, f ı   kaçtır? 0
2
SORU – 2
SORU – 10
 3π 
f(x) = ln(cos 5 x ) ise, f ı 
 kaçtır? 5
 20 
f(x) = x .lnx fonksiyonu için f ıı (e ) kaçtır? 11e
3
SORU – 11
SORU / ÖSYM – 3
f(x) = ln(x – 2x + 7) ise, f ı ( x ) nedir?
2
2x − 2
3
f(x) = log2 ( tan 2 x ) ise, f ı ( x ) nedir?
x 2 − 2x + 7
2 1 + tan 2 x
⋅
⋅ log2 e
3
tan x
SORU – 12
d
(ln sec x ) ifadesinin eşiti nedir? tanx
dx
SORU – 4
 x2 + 1
 ise, f ı ( x ) nedir? −4 x ⋅ log3 e
f(x) = log3 
 x2 − 1
x4 − 1


SORU – 13
f(x) = x log x ise, f ı ( x ) kaçtır? x log x −1(log e. ln x + log x )
SORU – 5
f(x) = ln(lnx) fonksiyonunun x =
1
noktasındaki
e
türevi kaçtır? –e
SORU – 14
1
d 
x − 1 
ln
neye eşittir?
2


dx 
x +1
x −1
SORU – 6
π
2
f(x) = x cos x ise, f /   kaçtır? ln 
2
 
π
1
2
−tanx
5
5
–e
SORU – 7
f(x) = log2 ( x 2 + 3) ise, f ı (3 ) kaçtır?
1
log2 e
2
11
11e
9
3
2x − 2
x 2 − 2x + 7
4
−4 x
⋅ log3 e
x4 − 1
11
14
2 1 + tan 2 x
⋅
⋅ log2 e
3
tan x
13
5
x log x −1(log e. ln x + log x )
0
7
1
log2 e
2
8
loge
12
tanx
6
2
ln 
π
MATEMATiK
•
TÜREV
Parçalı fonksiyon ve mutlak değer fonksiyonu için
kritik noktalarda türev soruluyorsa; önce sürekliliğe,
sonra sağdan ve soldan türeve bakılır. Diğer
noktalarda fonksiyonun tanımlandığı bölgelere göre
türev alınır.
ÖRNEK
x 3 + x + 2 , x ≥ 1

f( x) = 
 ( x + 1)2 , x < 1

/
K8
Türev Alma Kuralları – 7
•
(arcsin u)' =
•
(arccos u)' =
•
(arctan u)’ =
•
(arccot u)’ =
u'
1 − u2
−u'
1 − u2
u'
1 + u2
−u'
1 + u2
/
ise, f (–2) + f (1) kaçtır? 2
ÖRNEK
1
x
x
/
f(x) = arcsin   + arccos   ise, f (0) kaçtır?
12
3
4
ÖRNEK
2
ÖRNEK
/
f(x) =x – 4 ise, f (2) kaçtır? Yok
f(x) = arccos(sinx) ise, f ı ( π) kaçtır? 1
ÖRNEK
ÖRNEK
f(x) = arctan x − arc cot x ise, f (1) kaçtır?
/
f(x) = (x – 3)⋅x – 3
fonksiyonunun varsa x = 3 noktasında türevi kaçtır? 0
ÖRNEK

1
 x + 3 
/
f(x) = cosarccos
  ise, f (1) kaçtır?
8
8



1
2
SORU – 8
ALIŞTIRMALAR
 1
f(x) = arctan2x ise, f ı   kaçtır? 1
2
SORU / ÖSYM – 1
f(x) =2 − x + 2 ise, f ı (1) + f ı (3) kaçtır? 0
SORU – 9
f(x) =
arccos x
x2 + 1
ise, f ı (0) değ eri kaçtır? –1
SORU / ÖSYM – 2
f(x) =3x – 2 fonksiyonunun x 0 =
2
apsisli noktasında
3
SORU – 10
varsa türevi kaçtır? Yoktur
f(x) = 2 − x + x ise, f ( −2) + f ı ( −2) değ eri kaçtır? 3
2
SORU / ÖSYM – 3
f(x) =sinx fonksiyonunun x = 0 apsisli noktasında varsa
SORU – 11
türevi kaçtır? Yoktur
π
4
4
y = arccos (cos x – sin x) ise, f ı   ifadesinin e şiti
4
nedir? 0
SORU / ÖSYM – 4
f(x) =x – 8 – x ise, f ıı ( −1) kaçtır? 4
3
2
SORU – 12
6
 1
f(x) = ln(arctan3x) ise, f ı   kaçtır?
3
π
 
SORU / ÖSYM – 5
y = arcsin
x
x2 + 1
SORU – 13
fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevi kaçtır? 0
3
π
y = arcsinx ise, ( f −1 )ı   değ eri kaçtır?
2
6
SORU – 6
SORU – 14
1
 1
4
f(x) = arccos(cosx ) ise, f ı   kaçtır?
16
4
f(x) = arccos
SORU – 7
x
ise, f ı ( 3 ) değ eri kaçtır? –1
2
SORU – 15
ı
f(x) = x + 2  + x − 4  ise, f (k ) = 0 e şitliğ ini sağlayan k
tamsayısı de ğeri kaç tanedir? 5
f(x) = arctan(ln x ) ise, f ı (e) kaçtır?
1
2e
MATEMATiK
•
TÜREV
K9
Türev Alma Kuralları – 8
Fonksiyonun tersinin türevi için önce tersi alınıp
sonra türev alınabilir.
•
f(x) = a
u
⇔ f ı (x) = u ı ⋅ a ⋅ lna
•
f(x) = e
u
⇔ f ı (x) = u ı ⋅ e
u
u
ÖRNEK
f(x) = 4x – 2 ise, (f
–1 ı
) (x) kaçtır?
1
4
ÖRNEK
f(x) = 3 x + 2 4 x + ise, f ı (0 ) kaçtır? ln3 + 4ln2
ÖRNEK
f(x) = x ⋅ e x
2
ise, f′ (1) kaçtır? 3e
ÖRNEK
f(x) =
x−5
13
–1
ise, (f ) ı (−1) kaçtır?
9
2x + 3
ÖRNEK
f(x) = e sin x ise,
d
f ( π) kaçtır? −1
dx
ÖRNEK
f(2x ) = x + 1 ise, (f ) ı (5) kaçtır? 2
2
2
–1
ÖRNEK
f(x) = e 2 x ⋅ (e x + 1) ise, f ı (0 ) kaçtır? 5
ALIŞTIRMALAR
SORU – 9
SORU / ÖSYM – 1
π
f(x) = e ⋅ cos 2x ise, f   kaçtır? − 2e 4
4
 
ı
x
π
f(x) = ln(sin x + e ) ise, f ı (0) kaçtır? 2
2
2x
SORU – 10
SORU / ÖSYM – 2
f(x) = ln(3x − 1) ise, (f
f(x) = ( 4 x − 2) 3 ise, (f ) ı (8) kaçtır? 1/48
–1
–1
)(0) + (f
–1 ı
) (0) kaçtır? 1
SORU – 3
f(x) = 2
sin(3x)
SORU – 11
π
1
ise, f ( ) kaçtır? ln
8
3
ı
f(x) = e x
2
ise, f ı (1) kaçtır? 2e
SORU – 4
f(x) = e
π

tan cos x 
2

SORU – 12
3π
π
ise, f ı   kaçtır? −
e
3
2
 
f(x) = e
sin 2 x
π
f( x) − f  
 4  değ eri nedir? e
ise, lim
π
π
x→
x−
4
4
SORU / ÖSYM – 5
f(x) = e tan x
π
f( x) − f  
 4  değ eri nedir? 2e
ise, lim
π
π
x→
x−
4
4
SORU – 13
f(x) = 4 ln x
2
ise, f ı (1) kaçtır? ln16
SORU / ÖSYM – 6
f(x) = ln(3
cos5x
 3π 
) ise, f ı 
 kaçtır? 5ln3
 10 
SORU – 14
f(x) = 8 x ⋅ 2 − x ise, f ı (log2 3) kaçtır? ln8
SORU / ÖSYM – 7
e− x
d2
dx 2
( x 3 .e x ) ifadesinin eşiti nedir? x + 6x + 6x
3
2
SORU – 15
f(x) = e 5 x ise, f ı (0) kaçtır? 5/2
Türev – K9
SORU – 8
d −1
1

f :  , ∞  → R , f(x) = log2 (5 x − 1) ise,
( f (2))
5
dx


4
değ eri kaçtır? ln 2
5
TÜREV
MATEMATiK
•
K10
Türev Alma Kuralları – 9, Türevin Fiziksel Yorumu
Yüksek merteben türev sorularında alınan birkaç
türev sonunda işin sistematiği görülmeye çalışılır.
TÜREVĐN FĐZĐKSEL YORUMU
Bir hareketlinin
•
•
•
ÖRNEK
f(x) = ln x ise, f
(50)
(x) nin eşiti nedir? –49!⋅x
-50
t zamanda aldığı yol s(t),
t anındaki hızı s′′ (t),
t anındaki ivmesi s′′′ (t)
dir.
ÖRNEK
t sn de aldığı yol, s(t) = t + 3t m olan hareketlinin t = 4 sn
2
sonundaki hızı ve ivmesi nedir? hızı 11 m/sn, ivmesi 2
ÖRNEK
y=e
3x
fonksiyonunun n. mertebeden türevi nedir? 3 ⋅e
n
3x
ÖRNEK
Dikey olarak yukarı doğru fırlatılan bir topun t sn de aldığı
yol, s(t) = 32t − 2t m olarak veriliyor. Buna göre, bu top
2
en çok kaç m yükselir? 128
dy = d[f(x)] = f′′ (x).dx
ÖRNEK
3
2
f(x) = 3x + 2x + x + 10 ise,
2
df(x) ifadesinin eşiti nedir? (9x + 4x + 1)dx
SORU – 7
ALIŞTIRMALAR
f(x) = x.e ise, f
x
(99)
(1) türevinin değeri kaçtır? 100e
SORU – 1
y = e ise, y
x
(10)
türevinin eşiti nedir? e
x
SORU – 8
y=x
10
ise,
SORU – 2
y=e
2x
d10 y
fonksiyonunun eşiti nedir? 10!
dx10
40
fonksiyonunun 40. türevi nedir? 2 y
SORU – 9
f(x) = cosx fonksiyonunun 48. türevi nedir? cosx
SORU – 3
f(x) = cosx.sinx fonksiyonunun 24. türevi nedir? 2 sin2x
23
SORU – 10
d15
SORU – 4
s(t) = 2t 3 − 4 t 2 + 2t − 1 fonksiyonu bir otomobilin zamana
dx15
15
(sin 2 x ) fonksiyonunun eşiti nedir? –2 .cos2x
göre aldığı yolu göstermektedir. Yolun zamana göre I.
türevi otomobilin hızını, II. türevi ise otomobilin ivmesini
verdiğine göre, otomobilin 2. sn deki ivmesi kaçtır? 16
SORU – 11
f(x) = lnx ise,
SORU – 5
d8 f
dx 8
ifadesinin x = 1 için eşiti nedir? –7!
SORU – 12
f(x) = e 3 x + 2 ise, f
(15)
15
(x) ifadesinin eşiti nedir? 3 .f(x)
t = h anında O noktasında bulunan iki araçtan, K aracı 60
km/h hızla kuzeye, L aracı 80 km/h hızla doğuya doğru
hareket ediyor. t saat sonra araçlar arasındaki uzaklık S
km olursa, S uzaklığının t saatteki hızı kaç km/h tir? 100
SORU – 13
f(x) = ( x 2 − 1)4 ise,
SORU – 6
dx 9
( f ( x )) ifadesinin eşiti nedir? 0
30
Türev – K10
f(x) = (2x + 3)30 fonksiyonunun 30. türevi nedir? 30!.2
d9
TÜREV
MATEMATiK
K11
L’Hospital (Lopital) Kuralı
ÖRNEK
L’HOSPĐTAL (LOPĐTAL) KURALI
lim
x→ a
f(x)
0
şeklindeki ifadelerinin eşitleri aranırken
ya
0
g(x)
lim
x →0
3x 3
de ğeri kaçtır? 18
x − sin x
∞
belirsizlikleri ile karş ılaşılıyorsa ifadenin çözümü
∞
da
için; L’Hospital ( lim
x→ a
f' (x)
) kuralı uygulanır.
g' (x)
L’Hospital kuralını uygulamamıza rağmen belirsizlik
devam ederse belirsizlik ortadan kalkıncaya kadar
L’Hospital kuralı uygulanır.
0 ⋅∞ ya da ∞ – ∞ belirsizli ği ile karş ıla şıldığında limitte
belirsizlik konusunda öğ rendiğ imiz yöntemlerle ifade
∞
0
yada
belirsizliğ ine dönü ştürülür.
∞
0
ÖRNEK / ÖSYM
3
lim
x −4
x −8
x → 64
de ğeri kaçtır?
1
3
ÖRNEK
lim ( x 2 . ln x ) de ğeri kaçtır? 0
x→ 0 +
ÖRNEK
lim
x→
π
2
ln(sin x )
de ğeri kaçtır? 0
cos x
x→ 0
x + arcsin x
de ğeri kaçtır? 1
sin 2 x
ÖRNEK
lim
x→ 0

1 
lim  x ⋅
 ifadesinin eşiti kaçtır? 1
ln(
x
+ 1) 

x→ 0
ÖRNEK / ÖSYM
lim
ÖRNEK
2e x − e − x − 1
de ğeri kaçtır? 3
tan x
ÖRNEK
lim (
x→ 0
1
1
1
−
) de ğeri kaçtır?
x ex − 1
2
ÖRNEK
lim (
x →1
1
1
1
−
) de ğeri kaçtır?
2
ln x x − 1
SORU / ÖSYM – 9
ALIŞTIRMALAR
sin2 x −
lim
SORU / ÖSYM – 1
lim
π
x→
3
2 cos x − 1
tan x − 3
de ğeri kaçtır? −
sin 4 x
π
4
x→
3
4
1
2 de ğeri kaçtır? –1/4
SORU – 10
lim (sec x − tan x ) de ğeri kaçtır? 0
x→
SORU / ÖSYM – 2
lim
x →1
π
2
x. cos( πx ) + 1
de ğeri kaçtır? −1
x −1
SORU – 11
cos x
de ğeri nedir? 1
π
−x
2
lim
π
x→
2
SORU / ÖSYM – 3
lim
x →1
ln x
de ğeri kaçtır? 0
x2 − 1
SORU – 12
π

lim  x. sin  de ğeri kaçtır? π
x

x→ ∞
SORU / ÖSYM – 4
lim
x→ 0
ln(sin x + cos x )
de ğeri kaçtır? 1
arctan x
SORU / ÖSYM – 13
SORU / ÖSYM – 5
f'(1) = 3 ise, lim
h→ 0
lim
f (1 + 2h) − f (1 − 3h)
değeri kaçtır? 15
h
x→ 0
+
1 − cos x
1
de ğeri kaçtır?
x
2
SORU – 14
lim
3π
x→
8
SORU – 6
f(2x + 1) = 4x + 3x − 1 ise, lim
2
x →3
f ( x ) − f (3 )
kaçtır? 11/2
x−3
cos 4 x
de ğeri kaçtır? 4
3π
sin( x −
)
8
SORU / ÖSYM – 15
SORU – 7
lim
x →1
1− x
de ğeri kaçtır? –1/2
ln x
x 2007 + x −2008
de ğeri kaçtır? 4015
x → −1
sin( x + 1)
lim
SORU / ÖSYM – 16
f(x) = 2x – 1
lim
x→ 0
cos x − 2 sin x − 1
de ğeri kaçtır? –1
cos 2x + sin 2x − 1
g(x) =
ise, lim
x→ 2
x 1
−
2 x
f (g( x ))
de ğeri nedir? 3/2
x−2
Türev – K11
SORU / ÖSYM – 8
MATEMATiK
TÜREV
I. Türevin Geometrik Yorumu (Teğet – Normalin Eğimi ve Denklemi)
K12
ÖRNEK
I. TÜREVĐN GEOMETRĐK ANLAMI
Teğet - Normalin Eğimi ve Denklemi:
2
f(x) = 3x – Mx + 2 fonksiyonunun x = –1 noktasındaki
teğ etinin denklemi y = 2x + T ise, M.T kaçtır? 8
ÖRNEK / ÖSYM
Şekilde P(x0,y0) noktasındaki,
• Teğetin eğimi; m t = f ı (x0)
• Teğetin denklemi; y − y0 = mt⋅(x − x0)
• Normalin eğimi; mn = −
f(x) = sin(cos5x) e ğrisinin x =
e ğimi kaçtır?
π
noktasında normalinin
10
1
5
1
mt
• Normalin denklemi; y − y0 = m n⋅(x − x0)
ÖRNEK / ÖSYM
ÖRNEK
y < 0 olmak üzere, x + y = 9 çemberinin x = 3
1
noktasındaki teğetinin eğ imi kaçtır?
2
2
2
3
2
f(x) = x – 3x fonksiyonunun x = 1 noktasındaki normalin
1
7
denklemi nedir? y = x −
3
3
ÖRNEK
f(x) = x − 2ax + 1 fonksiyonunun, apsisi x = 1 olan
4
noktasındaki teğetinin eğ imi 2 ise, a kaçtır? 1
ÖRNEK
f(x) = x + 1 parabolüne orijinden çizilen te ğetlerin
2
e ğimleri kaçtır? 2, −2
ÖRNEK
f(x) = x 2 + 1 parabolüne üzerindeki A(2, 5) noktasından
çizilen te ğetin denklemi nedir? y = 4x – 3
ALIŞTIRMALAR
SORU / ÖSYM – 7
SORU / ÖSYM – 1
x4
− x + 2 fonksiyonunun
4
grafiğine teğet ise, k kaçtır? 10
y = 7x − k doğrusu y =
y = 4x parabolüne üzerinde bulunan A(x, y) noktasından
2
çizilen teğetin eğimi 1 ise, x + y kaçtır? 3
SORU / ÖSYM – 8
SORU / ÖSYM – 2
y = sin(πx) + e eğrisine x = 1 noktasından çizilen teğet y
x
eksenini hangi noktada keser? π
k(x) = ln(f(x)) ise, k'(x) fonksiyonunun x = −3 teki değeri
1
kaçtır? −
5
SORU / ÖSYM – 3
f(x) = 2x − ax + 3 fonksiyonunun gösterdiği eğrinin bir
3
2
noktasındaki teğet doğrusunun denklemi y = 4 olması için
a kaç olmalıdır? −3
SORU / ÖSYM – 9
2
y = –x eğ risi üzerinde, P(–3, 0) noktasına en yakın olan
noktanın apsisi kaçtır? −1
SORU – 10
SORU / ÖSYM – 4
y = x + ax + b fonksiyonu apsisi −4 olan noktada x
3
2
eksenine teğet olduğuna göre, b kaçtır? −32
SORU / ÖSYM – 5
Şekilde g(x) = x .f(2x) fonksiyonu veriliyor.
y = x + bx + c parabolüne x = 2 noktasında teğet olan
Buna göre, g (1) kaçtır? 9
2
2
/
doğru y = x ise, b + c kaçtır? 1
SORU / ÖSYM – 11
SORU / ÖSYM – 6
Şekilde g(x) = x.f(3x − 4) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, g (2) kaçtır? −3
/
Şekilde h(x) = x.f(x) ise, hı ( −3) kaçtır? 7
MATEMATiK
TÜREV
I. Türevin Geometrik Yorumu (Artan – Azalan Fonksiyonlar)
Artan - Azalan Fonksiyonlar :
ÖRNEK
Denklemi verilen f fonksiyonları; f ı > 0 iken artan,
f ı < 0 iken azalan, f ı = 0 iken sabittir.
Grafiği verilen f fonksiyonları için grafiğe teğetler çizilir
teğetlerin sağa yatık olduğu yerlerde fonksiyon artan,
sola yatık olduğu yerlerde ise fonksiyon azalandır.
f ı fonksiyonunun grafiğinin x ekseninin üzerinde olduğu
yerlerde f fonksiyonu artan, altında olduğu yerlerde ise
f fonksiyonu azalandır.
o
o
o
ÖRNEK / ÖSYM
x < 0 için f(x) azalandır.
x > 0 için f(x) artandır.
[–2, 3] için f(x) artandır.
ifadelerinden hangileri doğ rudur? II, III
2x 3 x 2
f(x) =
−
+5
3
2
fonksiyonunun azalan olduğ u aralık nedir? (0,
f : [–2, 3] → R fonksiyonu için;
1
)
2
ÖRNEK
ÖRNEK
mx + 6
+ m fonksiyonu artan ise,
x +1
m nin en küçük tamsayı değ eri kaçtır? 7
f(x) =
Şekildeki f(x) fonksiyonun artan olduğ u aralık
nedir? (–4, 1)
ÖRNEK
ÖRNEK / ÖSYM
f(x) = x − x + (k − 1)x + 3 fonksiyonu daima artan
3
2
oldu ğuna göre, k nın en küçük tamsayı de ğeri kaçtır? 2
f′ : [–4, 4] → R fonksiyonu için;
o
o
o
x < 0,3 için f(x) artandır.
(0, 4) aralığ ında f(x) azalandır.
(–4, 4) aralığında f(x) artandır.
ifadelerinden hangileri doğ rudur? III
K13
ÖRNEK
SORU – 6
o
o
o
o
o
f(x) = −4
f(x) = lnx
f(x) = 2x + 1
f(x) = −2x + 1
f(x) = 4
x
ifadelerinden hangileri daima azalandır? Yalnız IV
f′′ : [0, π] → R fonksiyonu için;
π
için f(x) azalandır.
2
o x > π için f(x) artandır.
2
ifadelerinden hangileri doğ rudur? II
o
x<
SORU – 7
f′′ : R → R fonksiyonu için;
ALIŞTIRMALAR – 12 / 3 / K13
o
o
o
o
SORU – 1
f(x) = x – 12x – 5 fonksiyonu veriliyor. f′′ (x) türev
3
fonksiyonunun artan oldu ğu en geniş aralık nedir? (0, ∞)
SORU / ÖSYM – 2
k nın hangi aralıktaki değ eri için y =
kx + 1
x+k
(−1, 1) aralığ ında f(x) azalandır.
(1, 1) aralığ ında f(x) azalandır.
(3, 5) aralığ ında f(x) artandır.
ifadelerinden hangileri doğ rudur? I, III
SORU / ÖSYM – 8
o
o
o
o
o
fonksiyonu daima azalandır? (–1, 1)
SORU / ÖSYM – 3
(−2, 1) aralığ ında f(x) artandır.
y = 2x
y = −3x
y = −3
y = −lnx
y = x – 3x + 2
2
fonksiyonlarından hangileri daima artandır? Yalnız I
f(x) = x + 6x + kx fonksiyonu (–∞, ∞) aralığında artan
3
2
ise, k hangi aralıktadır? (12, ∞)
SORU – 9
SORU – 4
3 2
x + ln x fonksiyonunun azalan olduğ u aralık
2
nedir? (–∞, 0)
f(x) =
Grafiğ i yukarıdaki gibi olan f(x) fonksiyonunun türevinin
grafi ği hangisidir? I
SORU / ÖSYM – 5
f(x) = x .e fonksiyonunun azalan oldu ğu en geni ş aralık
nedir? (−2, 0)
2
x
o
o
MATEMATiK
TÜREV
Ektremum (Maksimum – Minimum) Noktaları ve Değerleri
EKTREMUM (MAX – MĐN) NOKTALARI VE DEĞERLERĐ
K14
ÖRNEK
Grafiği verilen f(x) fonksiyonun;
Grafiğ e göre;
•
•
•
•
Mutlak maksimum noktası: D dir.
Mutlak minimum noktası: B dir.
Yerel maksimum noktaları: A ve D dir.
Yerel minimum noktaları: B ve E dir.
o
o
o
o
o
x = –4 de yerel maksimum noktası vardır.
x = 5 de yerel maksimum noktası vardır.
f (−2) = f (2) = f (4) = 0
//
//
//
(–2, 2) aralığında f artandır.
(3, 5) aralığ ında f azalandır.
ifadelerinden hangileri yanlıştır? II, V
Grafiği verilen f ı ( x ) fonksiyonun;
x eksenini kesti ği noktalar maksimum ya da minimum
noktalarıdır (Grafi ğin x eksenine te ğet olduğu durumlar
hariç, çünkü buralarda çift katlı kök vardır. Tablo
yapılırsa bu durum daha net görülebilir.).
Denklemi verilen fonksiyonun;
1. türevi 0 a e şitlenir, bulunan x de ğeri ikinci türev* ya
da tablo ile kontrol edildikten sonra bu x de ğeri f
fonksiyonda yerine yazılır, çıkan sonuç maksimum ya da
minimum de ğeridir.
ÖRNEK / ÖSYM
x 2 + mx
fonksiyonunun x = 3 noktasında
x −1
ekstremum noktasının olması için m kaç olmalıdır? 3
f(x) =
* (f′′ (a) < 0 ise, f nin x = a da bir yerel max noktası,
f′ ′ (a) > 0 ise, f nin x = a da bir yerel min noktası vardır.)
ÖRNEK / ÖSYM
ÖRNEK
 1 1
f(x) = x 4 − 5 x 2 + 4 fonksiyonunun − ,  aralığ ındaki
 2 2
maksimum de ğeri kaçtır? 4
ÖRNEK
Yukarıda (A, B) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonunun
kaç tane yerel maksimum noktası vardır? 2 (A ve D)
f ı ( x ) = ( x − 1) ⋅ ( x − 3 )2 ⋅ ( x + 2)3
türev fonksiyonu verildiğ ine göre, f(x) fonksiyonunun kaç
tane yerel ekstremum noktası vardır? 2
ALIŞTIRMALAR – 12 / 3 / K14
SORU / ÖSYM – 6
y = x – 2ax + a eğ rilerinin ekstremum noktalarının
2
geometrik yerinin denklemi nedir? y = –x + x
2
SORU / ÖSYM – 1
1 3
x − mx 2 + nx fonksiyonunun x1 = 2 ve x2 = 3
3
noktalarında yerel ekstremumu olduğuna göre,
7
n − m kaçtır?
2
f(x) =
SORU / ÖSYM – 7
 π
y = sinx + 2cosx in 0 ,  aralığ ındaki en büyük de ğeri
 2
kaçtır?
5
SORU / ÖSYM – 2
f(x) = x – 3ax + 2x – 1 olarak veriliyor. f ı ( x ) in yerel
3
2
minimum de ğerinin –1 olması için a nın pozitif de ğeri kaç
olmalıdır? 1
SORU / ÖSYM – 8
f(x) = x – 3x + 8 fonksiyonunun [–1, 2] aralığındaki en
küçük değeri kaçtır? 6
3
SORU / ÖSYM – 3
SORU / ÖSYM – 9
f(x) = mx + (m + 1)x + m – 1 fonksiyonunun x = −
2
3
te
4
minimumu oldu ğuna göre, m kaçtır? 2
Türevinin grafi ği yukarıda verilen f fonksiyonu, hangi x
değ eri için maksimum değ erini alır? 6
SORU / ÖSYM – 10
y = (cosx + 5)(7 – cosx) ifadesinin en büyük değ eri
kaçtır? 36
SORU / ÖSYM – 4
A = –a + 8a + 1 ve B = b + 18b + 5 ise,
A nın en büyük değ eri ile B nin en küçük değ erinin
toplamı kaçtır? –59
2
2
SORU / ÖSYM – 11
x 2 − mx + 10
fonksiyonunun x = 1 için maksimumu
x −3
oldu ğuna göre, m kaçtır? 5
y=
SORU / ÖSYM – 5
Baş katsayısı 1 olan, üçüncü dereceden gerçel katsayılı
bir P(x) polinom fonksiyonunun köklerinden ikisi –5 ve 2
dir. P(x) in x = 0 noktasında ekstremumu oldu ğuna göre,
üçüncü kökü kaçtır? –10/3
SORU / ÖSYM – 12
y = 2 – sin3x fonksiyonunu maksimum yapan en küçük
pozitif x açısı kaç derecedir? 90
MATEMATiK
TÜREV
Maksimum – Minimum Problemleri
K15
ÖRNEK / ÖSYM
Maksimum – Minimum Problemleri :
Değişen bir miktarın en büyük ya da en küçük değeri
bulunurken;
a pozitif bir gerçel (reel) sayı olmak üzere, kenarları a cm
2
ve (8 – 2a) cm olan dikdörtgenin alanı en çok kaç cm
dir? 8
- En büyük ya da en küçük olması istenilen ifade tek
değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazılır.
- Yerel ekstremum değerini bulmak için, yazılan
fonksiyonun türevinden faydalanılır.
ÖRNEK / ÖSYM
ÖRNEK / ÖSYM
Şekilde üstten görünümü verilen dikdörtgen şeklindeki
konutunun çevresi 72 m ise, mutfağın en geniş alanlı
olması için x kaç m olmalıdır? 3
Dik yarıçapları [OA] ve [OB] olan dörtte bir çember
üzerindeki değişken bir P noktasının OA üzerindeki dik iz
düşümü H ise, POH üçgeninin çevresi en çok kaç
birimdir? 1+ 2
ÖRNEK / ÖSYM
ÖRNEK
ABC dik üçgen, BDEF dikdörtgen, IABI = 6 cm, IBCI = 4
2
cm ise, A(BDEF) en çok kaç cm dir? 6
Şekildeki gibi dikdörtgen biçiminde ve bir kenarı duvar
olan bir bahçenin diğer üç kenarına bir sıra tel çekilmiştir.
Kullanılan telin uzunluğu 80 m ise, Bahçenin alanı en
2
fazla kaç m dir? 800
ALIŞTIRMALAR – 12 / 3 / K17
SORU / ÖSYM – 4
SORU / ÖSYM – 1
Şekildeki denklemi x + y = 9 olan dörtte bir çemberin B
noktasının x ekseni üzerindeki dik iz düşümü A(x, 0)
noktası ise, OAB üçgeninin alanı x in hangi değeri için en
2
A ve B noktaları Ox ekseni üzerinde, C ve D noktaları ise
2
y = 3 – x parabolü üzerinde pozitif ordinatlı noktalar
olmak üzere şekildeki gibi ABCD dikdörtgenleri
oluşturuluyor. Bu dikdörtgenlerden alanı en büyük olanın
2
alanı kaç br dir? 4
2
büyüktür? 3 / 2
SORU / ÖSYM – 5
SORU / ÖSYM – 2
Denklemi y = x olan şekildeki parabolün A ve P
Dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin [AD] kenarının tümü
ile [AB] kenarının yarısına şekildeki gibi duvar örülmüş;
kenarlarının geriye kalan kısmına bir sıra tel çekilmiştir.
Kullanılan telin uzunluğu 120 m ise, bahçenin alanı en
2
fazla kaç m dir? 2400
noktalarının x ekseni üzerindeki dik izdüşümleri sırasıyla
B(36, 0) ve H(x, 0) dır. Buna göre, HBP üçgeninin alanı x
in hangi değeri için en büyüktür? 12
SORU / ÖSYM – 6
SORU / ÖSYM – 3
Yukarıdaki şekilde merkezi O, yarıçapı OA=OB= 4
cm olan dörtte bir çember yayı üzerindeki bir N
noktasından yarıçaplara inen dikme ayakları K ve L dir.
2
Buna göre, OKNL dikdörtgeninin en büyük alanı kaç cm
dir? 8
Bir kenarı y = 4 doğrusu, diğer kenarı y ekseni ve bir
2
köşesi de y = x eğrisi üzerinde değişen dikdörtgenlerin
2
en büyük alanlısının alanı kaç m dir?
16 3
9
MATEMATiK
TÜREV
II. Türevin Geometrik Yorumu (Eğrilerin Konveks ve Konkavlığı)
K16
Eğrilerin Konveks ve Konkavlığı :
Grafiğ i verilen f fonksiyonunun e ğrilik yönünü bulmak
için teğetler çizilir. Eğ ri te ğetin üstünde ise fonksiyon
konveks, e ğri teğ etin altında ise fonksiyon konkavdır.
Konveks
(Dış bükey)
Konkav
(Đç bükey)
Denklemi verilen f fonksiyonunun ikinci türevi pozitif ise;
f fonksiyonunun eğrilik yönü yukarı doğru, negatif ise;
f fonksiyonunun eğrilik yönü aşağı doğrudur.
Denklemi verilen f ı fonksiyonunun türevi pozitif ise;
f fonksiyonunun e ğrilik yönü yukarı doğ ru, negatif ise;
f fonksiyonunun e ğrilik yönü a şağ ı doğ rudur.
Denklemi verilen f ıı fonksiyonu pozitif ise;
f fonksiyonunun e ğrilik yönü yukarı doğ ru, negatif ise;
f fonksiyonunun e ğrilik yönü a şağ ı doğ rudur.
ÖRNEK
4
3
f(x) = x – x + 2x + 1 fonksiyonunun içbükey olduğ u
1
aralık nedir? (0,
)
2
Grafiğ i verilen f ı fonksiyonunun x ekseninin üzerinde
kaldığ ı yerlerinde f fonksiyonunun e ğrilik yönü yukarı
doğ rudur, x ekseninin altında kaldığı yerlerinde ise, f
fonksiyonunun e ğrilik yönü aş ağı doğ rudur.
Grafiğ i verilen f ıı fonksiyonunun e ğrilik yönünü
belirlemek için denklemi yazılır.
ÖRNEK
f : [A, E] → R
fonksiyonu,
o
o
o
o
(A , B)
(B , C)
(C , D)
(D , E)
aralıklarından
hangileri daima
konkavdır? III, IV
ÖRNEK
f ı : [–2, 5] → R
fonksiyonu,
ÖRNEK
f ı (x) = 3x – 12x – 15 şeklinde türevi verilen f
2
fonksiyonunun konveks olduğ u aralık nedir? (2 , ∞ )
o
o
o
o
o
(–2 , –1)
(–1 , 0)
(0 , 1)
(1 , 3)
(3 , 5)
aralıklarından
hangileri daima
konkavdır? IV, V
ÖRNEK
f ıı ( x ) = x − 7x + 12 ise, f fonksiyonunun konkav olduğ u
2
aralık nedir? (3, 4)
ÖRNEK
Yanda Đkinci türevinin grafi ği
verilen f fonksiyonu hangi
aralıkta konkavdır? (– ∞, –1)
ALIŞTIRMALAR – 12 / 3 / K16
SORU – 5
SORU – 1
f(x) = −x + x + 3(k − 1)x + 2x + 1 fonksiyonunun daima
iç bükey olması için, k reel sayısı hangi aralıkta
7
olmalıdır? (−∞,
)
8
4
3
2
A, B, C, D, E noktalarından hangilerinde konkavdır? C, E
SORU – 2
f(x) = 2x – 9x + 15x – 9 fonksiyonunun konveks olduğu
3 
aralık nedir?  , ∞ 
2 
3
2
SORU – 6
f ı : [–6, 6] → R fonksiyonu,
SORU – 3
f (x) = x – 6x – 15x + 2 şeklinde türevi verilen f
fonksiyonunun konkav olduğu aralık nedir? (−1, 5)
ı
3
2
o
o
o
o
(–6, –3)
(–3, 0)
(0, 3)
(3, 6)
aralıklarından hangileri daima konkavdır? III, IV
SORU – 7
SORU – 4
f ıı ( x ) = 6x + 18 ise, f fonksiyonunun konkav olduğu aralık
nedir? (– ∞, –3)
Yukarıda Đkinci türevinin grafiğ i verilen f fonksiyonu hangi
aralıkta konvekstir? (– ∞, –1)
MATEMATiK
TÜREV
II. Türevin Geometrik Yorumu (Dönüm Noktası)
Büküm (Dönüm) Noktası :
y = f(x) fonksiyonunun eğrilik yönünün değiştiği
noktalara büküm (dönüm) noktası denir.
K17
K17
Grafiğ i verilen f fonksiyonun dönüm noktalarını bulmak
için fonksiyonunun denklemi yazılır. (Yada eğ ri incelenir.
Eğ rinin konvekslikten konkavlığ a (konkavlıktan
konveksli ğe) geçti ği noktalar dönüm noktasıdır.)
/
Denklemi verilen f fonksiyonun ikinci türevini 0 yapan
noktalar dönüm (büküm) noktasının apsisidir. Bu
noktalar f de yerine yazılırsa dönüm noktalarının ordinatı
bulunur.
/
Denklemi verilen f fonksiyonun türevini 0 yapan noktalar
dönüm (büküm) noktasının apsisidir. Bu noktalar f de
yerine yazılırsa dönüm noktalarının ordinatı bulunur.
//
Denklemi verilen f fonksiyonunu 0 yapan noktalar
dönüm (büküm) noktasının apsisidir. Bu noktalar f de
yerine yazılırsa dönüm noktalarının ordinatı bulunur.
Grafiğ i verilen f fonksiyonuna göre f fonksiyonunun
dönüm noktaları eğiminin negatiften pozitife (ya da
pozitiften negatife) döndüğü noktadır.
//
Grafiğ i verilen f fonksiyonunun x eksenini kestiği
noktalar dönüm noktasıdır. (x eksenine te ğet olduğu
noktalar hariç.)
ÖRNEK
Yanda grafiğ i
verilen f(x)
fonksiyonun
dönüm noktasının
apsisi kaçtır? –2/3
ÖRNEK / ÖSYM
Denklemi y = x + ax + (a + 7)x − 1 olan eğrinin dönüm
(büküm) noktasının apsisi 1 ise, ordinatı kaçtır? 1
3
2
ÖRNEK
Grafiğ i verilen
f(x) fonksiyonunun (B, D)
aralığında kaç
dönüm noktası
vardır? 1
ÖRNEK
f ı (x) = cosx – k.sinx fonksiyonunun x =
π
te dönüm
4
noktası olduğuna göre, k kaçtır? −1
ÖRNEK
Yanda grafiğ i verilen
f’(x) fonksiyonunun
dönüm noktasının
apsisleri toplamı
kaçtır? 2
ÖRNEK
f ıı ( x ) = 6x – 6 fonksiyonunun simetri merkezinin
ÖRNEK
koordinatları (c, −7) ise, c kaçtır? 1
Yandaki y = f ıı ( x )
fonksiyonunun
grafi ği verildiğ ine
göre, f(x)
fonksiyonunun
dönüm noktalarının
apsisleri
nedir? {–5}
ALIŞTIRMALAR – 12 / 3 / K17
SORU – 8
y = x – 6x + 4x + 3 eğrisinin dönüm noktasından eğriye
çizilen teğetin denklemi nedir? 8x + y – 11 = 0
3
2
SORU / ÖSYM – 1
3
2
y = x + bx + cx – 1 fonksiyonunda apsisi x = 1 olan
nokta dönüm noktasıdır. Fonksiyonun bu noktadaki
teğetinin eğimi 1 ise, c kaçtır? 4
SORU – 9
y = x – (m + 2)x – mx + 4 eğrisinin dönüm (büküm)
noktasının apsisi –1 ise, ordinatı kaçtır? 1
3
2
SORU – 2
Yukarıdaki
3
2
f(x) = ax – bx + 7x + d
fonksiyonunun x = 2
apsisli noktada dönüm
noktası olduğuna göre,
a kaçtır? 3/4
SORU – 10
f(x) = x + (a – 1)x + (b + 1)x + 3 eğrisinin dönüm noktası
(–1, 1) ise, b kaçtır? –4
4
2
SORU – 11
f(x) = x + mx + 6x – 5x + 4 fonksiyonunun dönüm
noktasının olmaması için m nin alabileceği en büyük
tamsayı değeri kaçtır? 3
4
SORU – 3
3
2
f(x) = (x + 1) – 6x + 8x – 5 fonksiyonunun dönüm
noktasındaki normalinin eğimi kaçtır? –1/8
3
2
SORU / ÖSYM – 12
SORU – 4
f(x) = 2x + ax + (b + 1)x − 3 fonksiyonunun x = −1 de
1
yerel ekstremumu ve x = −
de dönüm noktası
12
olduğuna göre, a.b kaçtır? −3
3
Şekildeki eğri üçüncü dereceden bir polinom ise, dönüm
noktasının apsisi kaçtır? 1/3
2
SORU – 13
1 2
x fonksiyonunun dönüm
2
(büküm) noktasının apsisi kaçtır? 1
f : R+ → R, f(x) = ln x +
SORU – 5
3
2
y = 2x + mx – x + t eğrisinin dönüm noktası (1, 2) ise,
m.t kaçtır? –42
SORU – 14
f(x) = x 2 .e − x fonksiyonunun dönüm (büküm) noktalarının
apsisleri toplamı kaçtır? 4
SORU – 6
3
2
f(x) = x – 3ax + 3bx + 3 fonksiyonunun x = –1 apsisli
noktada eğimi 0 ve x = 2 apsisli noktada dönüm noktası
olduğuna göre, a + b kaçtır? –3
SORU – 7
f(x) = x – 6x + 11 ise, y = f(x) eğrisinin dönüm (büküm)
noktalarının koordinatları toplamı kaçtır? –3
3
2
SORU / ÖSYM – 15
a ≠ 0 için, y = ax + bx + cx + d fonksiyonu ile ilgili
olarak;
3
o
o
o
2
Dönüm noktası vardır.
Yerel minimum noktası vardır.
Yerel maksimum noktası vardır.
ifadelerinden hangileri daima doğrudur? I
TÜREV
Grafikler (Düşey – Yatay – Eğri – Eğik Asimptotlar, Grafik Çizimi)
GRAFĐKLER
ÖRNEK
y=
ASĐMPTOTLAR
Bir fonksiyonun grafiğinin sonsuza giden bir kolunun, bir
doğruya ya da eğriye olan uzaklığı sıfıra yaklaşıyorsa bu
doğru ya da eğriye fonksiyonun asimptotu denir.
3x + 1
x+2
e ğrisinin yatay asimptotu nedir? y = 3 do ğrusu
Düşey Asimptot:
lim
x →a
f ( x ) = m∞
ÖRNEK
f(x) =
ise, x = a doğrusuna düşey asimptotu denir.
•
Kesirli bir fonksiyonun paydasını 0 yapan x değeri
düşey asimptottur.
mx + 1
nx − 2
e ğrisinin simetri merkezi (2,1) ise, m − n kaçtır? 0
ÖRNEK
f(x) =
x2 + x − 2
x2 − 1
eğrisinin düşey asimptotları nedir? x = –1 doğrusu
Eğri ve Eğik Asimptot :
f(x) eğ risi ve g(x) do ğrusu verilsin.
lim
x →m ∞
[ f ( x ) − g( x )] = c
ise, y = g(x) doğ rusuna e ğik asimptot denir.
•
Kesirli bir fonksiyonun payı paydasına bölündüğ ünde
bölüm eğik yada eğ ri asimptottur.
ÖRNEK
f(x) =
x +1
x 2 + px + q
e ğrisinin düşey asimptotları x = –3 ve x = 2 ise,
a > b olmak üzere; f(x) = ax 2 + bx + c ş eklindeki
b 

fonksiyonların asimptotu y = m a  x +
 doğrularıdır.
2a 

p + q kaçtır? –5
ÖRNEK
f(x) =
x 2 + 3x + 6
x+2
e ğrisinin e ğik asimptotu nedir? y = x + 1
Yatay Asimptot :
lim
x →m ∞
f ( x) = b
ise, y = b do ğrusuna yatay asimptot denir.
● Kesirli bir fonksiyonun pay ve paydasındaki en büyük
dereceli terimlerin katsayıları yatay asimptottur.
ÖRNEK
y = 4 x 2 − 20 x + 5
e ğrisinin e ğik asimptotu nedir? y = ±(2x − 5)
Eğrinin Çizimi :
•
•
•
•
Grafik hiçbir zaman düşey asimptotu kesmez.
Kesirli ifadelerin grafiğinde;
- Paydada çift katlı olduğunda genellikle baca vardır.
- Paydanın tek katlı olduğu kökler ise kelebek oluşur.
Grafik bazen yatay asimptotu kesebilir.
Kesirli olmayan ifadelerin grafiğinde
- Asimptot yoktur.
- Tek katlı kökler x eksenini keserken, çift katlı kökler
x eksenine teğettir.
SORU / ÖSYM – 3
Şekilde verilen eğ rinin denklemi;
o
ÖRNEK
o
o
o
x−3
x +1
2x − 6
y=
x+2
2x + 1
y=
x −1
2x − 6
y=
x−2
y=
ifadelerinden hangisidir? II.
Grafiği verilen eğrinin denklemi;
o
y=
o
y=
o
y=
x2 + 4
x2 − 1
x2 − 4
x2 − 1
x−4
SORU / ÖSYM – 4
y = 2 ve x = 3 doğ rularını asimptot kabul eden ve y
eksenini –2 noktasında kesen e ğrinin denklemi ne
2x + 6
olabilir? y =
x−3
x2 − 1
ifadelerinden hangisi olabilir? II
SORU / ÖSYM – 5
ALIŞTIRMALAR – 12 / 3 / K18
ax + 2
y=
eğ risinin yatay ve dü şey asimptotlarının kesim
bx + c
a
noktası (–2, 3) ise,
değ eri kaçtır? 3/2
c
SORU / ÖSYM – 2
x 2 − ax − 8
y=
fonksiyonunun gösterdiğ i e ğrinin y
x −b
eksenini +8 de kesmesi ve y = x – 1 doğ rusunu e ğik
asimptot kabul etmesi için a kaç olmalıdır? 2
Şekilde verilen eğ rinin denklemi;
o
y=
o
y=
o
y=
o
y=
o
y=
x−3
( x + 1)2
x 2 + 2x
x + 2x + 1
2x + 1
2
( x − 1)2
( x + 3 )( x − 1)
( x − 2) 2
x 2 − 2x − 3
( x − 2) 2
ifadelerinden hangisidir? II.
turkoglu
SORU / ÖSYM – 1
TÜREV
1.
5.
f ( x ) = 3 x 4 − 5 x 2 + x oldu ğ una göre,
x 3 y 2 − 5 xy 3 + 8 x − 4 y + 24 = 0
f ( x + h) − f ( x )
lim
h→0
h
eğrisinin (0, 0) noktasındaki teğetinin
denklemidir?
ifadesinin eşiti nedir?
A) 12x 3 − 10 x + 15
A ş a ğ ıdakilerden hangisi
B) 3 x 3 − 5 x + 1
D) 12x 3 − 10 x + 1
A) y = − 2x
C) 4 x 3 − 1
B) y = −x
D) y = 3x
E) 4 x 3 − 2x + 1
C) y = x
E) y = 5x
6.
2.
f : R → R olmak üzere,
x 2 − 1
f(x) = 
4x + 1
,
x<2
,
x≥2
fonksiyonunun x 0 = 2 noktasında türevi varsa
kaçtır?
A) −4
B) −2
C) −1
D) 4
Grafiği verilen f(x) fonksiyonu kaç noktada
türevsizdir?
E) Yoktur
A) 1
y=
3.
mx − 2
2x − n
7.
fonksiyonunun asimptotlarının kesim noktası
1 
 , 5  ise, m.n kaçtır?
3 
A) −
5
3
B)
1
3
C) 1
D)
5
3
E)
fonksiyonunun minimum değeri varsa kaçtır?
A) 0
B) 1
C)
3
2
8.
D) 4
E) 5
D) −3
E) −2
değeri kaçtır?
x =1
A) −6
f(x) = 2 x 2 + 4 x + 3
4.
C) 3
1
y = , t = 2 x 2 − 1 oldu ğ una göre,
t
dy
dx
20
3
B) 2
B) −5
C) −4
f( x) = x 2 − 3x
oldu ğ una göre, f′ (− 2) + f′ (2) kaçtır?
D) 2
E) Yoktur
A) −8
B) −6
C) −4
D) −2
E) −1
9.
f(x) = 2 x 3 + mx 2 − nx + k
13.
fonksiyonunun x = –1 de yerel minimum de ğ eri
oldu ğ una göre, m nin en küçük tamsayı de ğeri
kaçtır?
A) 7
B) 5
C) 3
D) 1
E) −1
Grafiği verilen f(x) fonksiyonu kaç noktada
türevsizdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
14.
10. f : [−2, ∞) → R, f(x) = x + 4x + 1
2
Ş ekle göre a ş a ğıdakilerden hangisi kesinlikle
yanlı ş tır?
olduğuna göre, (f −1 )′ (−2) kaçtır?
A)
1
6
B)
1
4
C)
1
2
D) −
1
4
E) −
1
2
A) f′′(−4) < 0
B) f′′(
3
)>0
2
D) f′(4) < 0
C) f′′(2) > 0
E) f′′(5) < 0
11.
15.
Ş ekle göre, f(x) fonksiyonunun (a, b)
aralığında kaç farklı dönüm noktası vardır?
Ş ekilde g(x) = f(x − 2) − f(−x) ise, g ′ (3) kaçtır?
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
f ( x ) = 3 arcsin( x 2 )
12.
oldu ğ una göre, f ′ (
1
) nedir?
6
36
B)
6
12
C) 2 6
B) 3
lim
16.
x→ ∞
C) 2
D) 1
E) 0
C) 1
D) 2
E)
3x + e x
4 x + 2e x
limitin de ğeri nedir?
2
A)
A) 4
E) 0
D) 3 6
E) 6 6
A)
1
4
B)
1
2
T1 ● 1.D 2.E 3.E 4.B 5.C 6.C 7.C 8.A 9.C 10.C 11.C 12.C 13.A 14.D 15.C 16.B
3
4
TÜREV
3
1.
lim
5.
x −4
x −8
x → 64
limitin değeri kaçtır?
A) 3
B) 2
C)
3
2
D)
2
3
E)
1
3
Ş ekle göre hangisi do ğ rudur?
A) f′(2).f′′(2) < 0
B) f′′(−2).f′(2) > 0
C) f′′(2).f′′(−2) > 0
D) f′′(1).f′(−1) > 0
E) f′′(−3).f′(1) > 0
2.
a ve b birer tasayı olmak üzere,
lim
x 2 + ax + b
=
3
x −8
x→ 2
1
2
B) 7
2
e ğ risinin üzerindeki (−1, −3) noktasından çizilen
te ğ etin e ğ imi 1 ise, a + b kaçtır?
ise, b kaçtır?
A) 8
f(x) = ax + (b + 1)x + 2
6.
D) −1
C) 6
E) − 8
A) 9
f( x) =
3
, g( x ) = x 2 − 2 oldu ğ una göre,
x +1
4
3
B) −
1
3
1
2
D)
5
3
E) 13
3
A)
C) −
D) 12
fonksiyonunun apsisi x = 2 olan noktasındaki
1
normalin e ğ imi −
oldu ğ una göre, k kaçtır?
2
f ' (g(2)) g ' (2) kaçtır?
A) −
C) 11
f(x) = 2x − (k + 1)x − 2
7.
3.
B) 10
E)
33
2
B) 21
C) 23
D)
47
2
E) 25
7
3
8.
4.
f ( x ) = 2x 3 − 6 x 2 + 4 x
e ğrisinin konveks oldu ğu aralık hangisidir?
A) (−∞, −2)
B) (−1, ∞)
D) (−3, 1)
C) (1, ∞)
Ş ekilde g(x) = x − 3f(x) ise, g′′ (−
− 2) kaçtır?
2
E) (−2, 0)
A) 1
B) −1
C) −3
D) −5
E) −7
f(x, y) = xy + x − y = 0
9.
13.
olduğuna göre, f ′ (2, - 2) kaçtır?
B) −
A) 1
1
2
C) 0
D)
1
2
E) −1
Grafiği verilen e ğrinin denklemi hangisidir?
A) y =
10.
x−3
( x − 4)
B) y =
2
D) y =
x 2 + 4x
( x − 3)
x 2 − 4x
x+3
2
E) y =
C) y =
x 2 − 4x
( x − 3) 2
x 2 + 4x
x+2
Grafiği verilen fonksiyonun denklemi hangisi
olabilir?
A) y =
x( x 2 − 4 )
B) y =
x2 − 1
D) y =
x( x 2 − 9 )
4 − x2
x2 − 1
E) y =
x( x 2 − 1)
C) y =
x2
x2 − 1
( x 2 − 4)x
1− x2
f ( x ) = 4sin x
14.
π
oldu ğ una göre, f ı   kaçtır?
6
A) 3 ln 4
C) ln 2
B) 3 ln 2
D) 2
E)
1
2
f(x) = x − bx + 5
3
11.
fonksiyonunun apsisi x = −2 olan noktasındaki
te ğ eti y = 4x − 8 dorusuna paralel oldu ğ una
göre, b kaçtır?
A) 8
B) 7
D) −2
C) 6
E) −3
15. P(x) + Pı ( x ) = x 2 + 5 x − 2 oldu ğ una göre,
P(2) kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 2
D) −1
E) −3
f (sin2 x ) = cos x
12.
16. y = − x 2 + 4x parabolünün, 2x − y + 5 = 0
do ğ rusuna en yakın noktasının apsisi kaçtır?
 1
oldu ğ una göre, (f −1 ) ı   kaçtır?
8
A) −
1
16
B) −
1
8
C) −
1
4
D) −
1
2
A) 3
B) 2
C) 1
E) −1
T2 ● 1.E 2.E 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.E 9.A 10.A 11.A 12.C 13.C 14.A 15.A 16.C
D) −1
E) − 2
TÜREV
1.
f(x) = x 2 + mx + t
5.
e ğ risinin A(–3,0) noktasında yerel maksimumu
oldu ğ una göre, m + t kaçtır? a
A) 15
B) 9
C) 6
E) −3
D) 3
Grafiği verilen f(x) fonksiyonunun (−
− 2, 6)
arlığında kaç dönüm noktası vardır? d
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
,
5 x + a
f(x) =  2
x + bx + 1 ,
6.
x≥2
x<2
fonksiyonu bütün reel sayılar için türevlenebilir
ise, a kaçtır? b
f ( x ) = x 3 + ax 2 − 4 x − 1
2.
A) −2
B) −3
C) 0
D) 1
E) 2
fonksiyonunun konveks (dış bükey) oldu ğ u en
geni ş aralık (1, ∞) ise, a kaçtır? d
A) 4
C) −2
B) 2
D) −3
E) −4
7.
3.
Ş ekilde y = 3 – x
2
parabolü verili ğ ine göre,
f(3x) = g(x+2) ve g′(3) = 18
oldu ğ una göre, f′ (3) kaçtır? d
A) 24
B) 18
C) 12
D) 6
E) 1
ABCO dikdörtgeninin alanının alabileceği en
büyük değer kaçtır? a
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
4.
8.
Şekle göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
a
f(x − 2f(x)) = e x
2
2
+1
fonksiyonu veriliyor.
f(1) = 2 ve f′(1) = 0
oldu ğ una göre, f′ (− 3) kaçtır? d
A) f′′(4) > 0
B) f′′(−3).f′′(3) = 0
D) f′′(−3) < 0
C) f′′(−1) > 0
E) f′′(0) > 0
A) −3e
B) 2e
C) e
3
D) e
2
E) e
9.
f(x) =
1 4 4 3
x − x + 2x2 + 1
4
3
f ( x ) = (1 + cot 2 x ) ⋅ sin 2 x
13.
oldu ğ una göre, f ′ (x) nedir? b
fonksiyonunun ekstremum noktaları toplamı
kaçtır? a
A) 1
A) 0
3
C)
2
B) 1
D) 2
ise,
dy
dx
A) 160
lim
14.
x→ ∞
A) ∞
x =1
B) 145
C) 138
D) 130
E) sin x
D) −1
E) − 2
[ln(6x − 2) − ln(2x )]
B) ln 3
f(x) = e
2x
+1
fonksiyonunun apsisi x = 0 olan noktasındaki
te ğetinin denklemi nedir? d
A) y = x − 2
2. log 5
B)
2x − 1
2
A)
2x − 1
D)
f( x) = x
1
2x − 1
2
1
C)
⋅
2x − 1 ln 5
E)
D) y = 2x + 2
C) y = x + 2
E) y = 2x + 4
f(x) = x − 4ax + 3
2
16.
oldu ğ una göre, f ′ (1) nedir? c
C) 2
B) y = 2x − 2
2. ln 5
2x − 1
x +1
B) 1
C) 0
E) 120
oldu ğ una göre, f ′ (x) nedir? c
A) 0
D) cot x
limitin de ğeri nedir? b
f ( x ) = log 5 (2x − 1)
12.
1
sin x
değeri kaçtır? d
15.
11.
C)
5
E)
2
y = u 2 + u , u = t 2 − t , t = 2x + 1
10.
B) 0
D) 3
E) 4
fonksiyonunun apsisi x = 2 olan noktasındaki
1
normalin denklemi y = − x + k do ğ rusuna
2
paralel oldu ğ una göre, a kaçtır? e
A) 6
B) 4
C) 2
T3 ● 1.D 2.D 3.D 4.A 5.A 6.B 7.A 8.D 9.A 10.D 11.C 12.C 13.B 14.B 15.D 16.E
D) 1
E)
1
2
TÜREV
1.
y = 3 ve x = 1 doğrularını asimptot kabul eden
ve y-eksenini 4 noktasında kesen eğrinin
fonksiyonu hangisi olabilir?
A) y =
3x
x +1
B) y =
D) y =
1 − 3x
1− x
x+4
x +1
C) y =
E) y =
5.
3x − 4
x −1
B) −3
x<2
,
,
x=2
x>2
D) 4
E) 6
a < b < c olmak üzere, f : x → [(x− a)(x−b)(x− c)]
fonksiyonunun x de ğ i ş kenine göre türevi f′ (x)
ise, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) f′ (a) > 0
,
C) 3
x−4
x −1
f : R → R olmak üzere,
mx 2 − 7

f ( x ) = x + 3
ax + t

2
A) −4
6.
2.
y = x + ax + 3 e ğ risinin x = 2 ve x = 0
noktasındaki te ğ etleri arasında kalan açının
tanjantının 4 ise, a kaç olabilir?
B) f′′ (a) < 0
D) f′′ (c)< 0
C) f′ (c) > 0
E) f′ (b) < 0
fonksiyonu x = 2 noktasında türevli ise, m + a + t
kaçtır?
A) 3
B) 2
C) − 1
D) −4
E) − 6
y
7.
2
y=x
4
0
3.
y = x − 1 eğrisine teğet ve y = 4x − 3 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi nedir?
2
A) y = 4x − 5
B) y = 4x + 5
D) y = 4x − 1
2
Ş ekle göre, taralı dikdörtgenin alanı en çok
2
kaç cm olur?
C) y = 4x + 1
A)
E) y = 4x + 3
16 3
9
B)
16 2
9
2
B) −1
C) 1
D) −2
E) 0,5
16
9
D)
14
5
E) 3 6
1
x + (2 −m)x − m − 3 = 0 denkleminde köklerin
kareleri toplamının minimum olması için, m ne
olmalıdır? c
A) −0,5
C)
y
8.
4.
x
-3
-2
x
0
/
f (x)
Ş ekle göre, aşağıdakilerden hangisi f(x)
fonksiyonunun ekstremum noktalarından
birinin apsisidir?
A) 1
B) 0
C) −1
D) −2
E) − 3
9.
y
13.
y = ax2 + bx + c
y = f(x)
y
3
1
1
) 45
2
o
x
-1
0
x
2
Te ğ etin denklemi y = x + 1 ve g(x) = f(x)(x − 5)
ise, g′ (x) türev fonksiyonunun x = 2 için
değeri nedir?
2
Şekle göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) −2
B) −
1
2
C) 0
D)
2
3
E) 1
A) 7
B) 8
2
10. y = 36x parabolünün hangi noktasındaki
teğeti y eksenini N(0, − 2) noktasında keser?
A) (
1
,2 3 )
3
B) (
2
, 8)
9
D) (1, 6)
C) (
A) 5
A) −2
C) 3
D) 2
15.
B) −1
C) 0
D) 1
E) 2
C) x − f(x)
2
B) f(x )
E) [f(x)]
2
fonksiyonunun x = −1 noktasındaki te ğ eti x
0
ekseni ile pozitif yönde 45 lik açı yaptı ğ ına
göre, k kaçtır?
E) 1
12. f(x), 0 < x < ∞ aralığ ında azalan bir fonksiyon
ise, aşağıdakilerden hangisi aynı aralıkta
artan bir fonksiyondur?
D) 2f(x)
cos x − 2 sin x − 1
cos 2x + sin 2x − 1
f(x) = 1 − 7kx + 3x
A) −1
A) f(x) − x
E) 11
E) (0, 0)
2
B) 4
lim
x→ 0
D) 10
limitinin değeri kaçtır?
4
, 4)
9
11. y = x + bx + cx − 1 fonksiyonunda apsisi x = 1
olan nokta dönüm (büküm) noktasıdır. Fonksiyonun bu noktadaki te ğ etinin e ğ imi 1 ise, c kaçtır?
3
14.
C) 9
16.
B) −
1
2
C) −
1
4
D) −
1
5
E) −
1
7
E)
π
2
f ( x ) = sin x cos x
π
ise, f ′ ( ) kaçtır?
2
3
A) −π
B) −
π
2
T4 ● 1.C 2.D 3.A 4.C 5.A 6.D 7.A 8.D 9.C 10.C 11.B 12.C 13.E 14.B 15.A 16.C
C) 0
D) 1
TÜREV
f( x) =
1.
2.
1
B)
e2
1
e2
C) −e
D) e
E) e
A) (−∞ , −5)
2
f ( x ) = sin x + cos x
f(x) =
6.
E) ( −4, −2)
x3
2
− ax + 5ax + 2
3
E) 2(cosx −sinx)
A) 1 < a < 9
B) a > 5
D) −5 < a < 0
3.
C) (2, 3)
fonksiyonu daima artan ise, a gerçel sayısı için
a ş a ğıdakilerden hangisi do ğrudur?
B) −cosx − sinx C) −cosx + sinx
D) sinx + cosx
B) ( −2, 2)
D) (3, ∞)
ise, f (15) (x) nedir?
A) cosx −sinx
3
fonksiyonu a ş a ğ ıdaki aralıkların hangisinde
azalandır?
oldu ğ una göre, f ′ (e) nedir?
A) −
f(x) = x − 12x − 7
5.
x2
ln x
C) a > 1
E) 0 < a < 5
f ( x ) = 2 sin x
ise, f′′ (0) kaçtır?
f ( x ) = x 4 − ax 3 + 3 x 2 + bx + 2
7.
A) −2ln3
B) ln
1
3
C) ln2
D) ln3
e ğ risinin dönüm noktalarından birin apsisi x = −1
ise, a kaçtır?
E) 0
A)
1
4
B) 1
C) −
1
4
D) −3
E) −2
4.
f(x) = sin(cosx)
8.
π
olan
2
noktasındaki normalinin e ğ imi kaçtır?
fonksiyonunun apsisi x =
Ş ekle göre, a ş a ğ ıdakilerden hangisi yanlı ş tı?
A) f′ ( −3) < 0
B) f ′ (
1
).f′ (0) > 0
2
D) f′ ( −1).f′ (0) > 0
C) f′ ( −2) = 0
E) f′ (1) > 0
A)
1
6
B)
1
3
C) 0
D) −1
E) −
1
6
f( x) =
9.
(M − 2)x 3 + ( A + 2)x 2 + Tx
3x + 4
B) −4
y=
10.
C) 6
D) 8
(
d 3
x ⋅ ln x
dx
)
ifadesinin e ş iti nedir?
fonksiyonunun yatay asimptotu y = −1 do ğ rusu
ise, M.A.T kaçtır?
A) −24
x −2 ⋅
13.
B) 3lnx + 1
A) 2xlnx
D) x (lnx + 5)
E) 12
C) xlnx + 5
E) 2lnx + 1
2
x−6
x+2
fonksiyonunun grafiği hangisidir?
A)
B)
14. 0 < x <
π
olmak üzere, f(sinx) = tanx ise,
2
 2
 ifadesinin pozitif de ğeri kaçtır?
f ′
 2 


C)
D)
A) 6
B) 4
C) 3 2
D) 2 2
E) 2
E)
15. Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve
türevlenebilir bir f fonksiyonu için, f(1) = f′ (1) = 1
oldu ğ una göre, g(x) = f(x.f(x)) ile tanımlanan g
fonksiyonu için g′′ (1) kaçtır?
y=
11.
2x 2 − 3 x + 5
x2 − 4
A) 0
B)
1
2
C) 1
D) 2
E) 3
fonksiyonunun yatay ve düşey asimptotları
ile Ox ekseninin sınırladığı bölgenin alanı kaç
2
br dir?
A) 12
B) 10
C) 8
D) 6
E) 4
lim
16.
12. f : [0, π] → R
oldu ğ una göre, (f −1 )′(0) kaçtır?
1
2
B)
1
1− x
ln x
limitinin de ğeri kaçtır?
f(x) = sinx − cosx
A)
x→1
C) 1
D) 2
A) −
1
4
B) −
1
2
E) 2 2
2
T5
●
1.D 2.C 3.C 4.E 5.B 6.E 7.D 8.A 9.E 10.B 11.C 12.B 13.B 14.D 15.D 16.B
C) 0
D)
1
4
E)
1
3

Download Report