1. Metrik Uzaylarda Kompaktlık ¨ temel ¸sey Bu böl¨ umde metrik uzaylarda kompaktlık kavramı ¸calı¸sılacaktır. Uc gösterilecektir: - Metrik uzaylarda kompaktlık, sayılabilir kompaktlık, dizisel kompaktlık ve limit nokta kompaktlık kavramları denktir. - Bir X metrik uzayının kompakt olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul önkompakt ve tam olmasıdır. - X metrik uzayının kompakt olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸cul yalancı kompakt olmasıdır. - X kompakt uzay olmak u ¨zere, C(X)’i u ¨zerinde tanımlı supremum metri˘gine göre metrik uzayı olarak ele alındı˘gında, C(X)’nin bir alt uzayın kompakt olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul, sınırlı kapalı ve e¸s s¨ırekli olmasıdır. Bunların yanında Stone-Weirstrass Theoremi ifade edilerek kanıtı verilecektir. 1.1. Metrik Topolojide Kompaktlık 1.1 3 Metrik Topolojide Kompaktlık A¸sa˘gıdaki önteorem ile ba¸slayabiliriz. ¨ Onsav 1.1. X Hausdorff dizisel uzayı olsun. X’nin dizisel kompakt olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul sayılabilir kompakt olmasıdır. Kanıt: Dizisel kompakt uzayın sayılabilir kompakt oldu˘gunu biliyoruz. X’nin sayılabilir kompakt oldu˘ gunu varsayalım. (xn ), X’de bir dizi olsun. A = {xn : n ∈ N} sonlu ise, (xn ) dizisinin sabit bir altdizisi vardır, dolayısıyla yakınsak bir alt dizisi vardır. A’nin sonlu olmadı˘ gı durum i¸cin: her m 6= n i¸cin xn 6= xm oldu˘gunu varsayabiliriz. (di˘ ger durumda terimleri birbirinden farklı olan altdizisini alırız.) X sayılabilir kompakt ve A sonsuz oldu˘gundan, A’nın bir yı˘gılma noktası x ∈ X vardır, yani x ∈ A \ {x}. X’nin Hausdorff olması nedeniyle her n i¸cin xn 6= x oldu˘ gunu da varsayabiliriz (Neden?).X dizisel uzay oldu˘gundan, an → x özelli˘ginde A’de (an ) dizisi vardır. a1 = xn1 diyelim. {an : n1 < n} 6⊂ {x1 , ..., xn1 } olmasından dolayı n1 < n2 ve an1 = xn2 o¨zelli˘ginde n2 vardır. Bu yakla¸sımla, t¨ umevarımla N’de kesin artan (nk ) dizisi elde edilir. Dolayısıyla (xnk ), (xn ) dizisinin x’ye yakınsayan bir altdizisidir. Bu kanıtı tamamlar. Metrik uzaylar Hausdorff dizisel uzaylar oldu˘gundan, yukarıdaki önsavın bir sonucu olarak a¸sa˘ gıdaki sonucu elde ederiz. Sonu¸ c 1.2. Metrik uzaylarda dizisel kompaktlık ve sayılabilir kompaktlık kavramları ¸cakı¸sır. Metrik uzaylarda dizisel kompaktlık ve kompaktlık kavramlarıda denktir. Bunu göstemek i¸cin a¸sa˘ gıda verilen Lebesgue sayı kavramını kullanaca˘gız. Tanım 1.1. (X, d) bir metrik uzay ve U, A ⊂ X’nin bir a¸cık ört¨ us¨ u olsun. r > 0 ger¸cel sayısı ∀x ∈ A∃Ux ∈ U, B(x, r) ⊂ U özelli˘gindeyse, r’ye A’nın U a¸cık ¨ ort¨ us¨ un¨ une göre Lebesgue sayısı denir. ¨ Onsav 1.3. (X, d) bir metrik uzay, A ⊂ X dizisel kompakt olsun. A’nın her a¸cık ¨ ort¨ us¨ un¨ un bir Lebesgue sayısı vardır. 4 1. Metrik Uzaylarda Kompaktlık Kanıt: U, A’nın Lebesgue sayısı olamayan bir a¸cık ört¨ us¨ u olsun. Bu durumda A’da öyle bir (xn ) dizisi vardır ki, her U ∈ U ve her n ∈ N i¸cin B(xn , n1 ) 6⊂ U dir. A dizisel kompakt oldu˘ gundan (xn ) dizisinin x ∈ A’ya yakınsayan bir altdizisi vardır. B(x, r) ⊂ U ¨ ozelli˘ ginde r > 0 ve U ∈ U se¸celim. d(x, xk ) < r 2 ve 1 k < r 2 özelli˘ginde k ∈ N se¸cebiliriz. Buradan, B(xk , k1 ) ⊂ B(x, r) ⊂ U olur ki, bu çeli¸skidir ve kanıtı tamamlar. S¸imdi a¸sa˘gıdaki temel teoremi verebiliriz. Teorem 1.4. X bir metrik uzay olsun. A ⊂ X uzayı i¸cin a¸sa˘gıdakiler denktir. i.) A kompact. ii.) A dizisel kompakt. iii.) A limit nokta kompakt. iv.) A sayılabilir kompact. Kanıt: Genel olarak T1 -uzaylarında limit nokta kompaktlık ve sayılabilir kompaktlık kavramları denk olduklarından ve metrik uzaylarda T1 - oldu˘gundan, (iv) ⇐⇒ (iii) dir. (ii) ⇐⇒ (iv) ise, yukarıdaki sonu¸ctur. (i) =⇒ (iv) oldu˘gu genel topolojik uzaylada da do˘ grudur. Dolayısıyla (ii) =⇒ (i) oldu˘gunu göstermek kanıtı tamamlayacaktır. a’nin dizisel kompakt fakat kompakt olmadı˘gını varsayalım. U, A’nin sonlu alt¨ ort¨ us¨ u olmayan a¸cık ört¨ us¨ u olsun. U’nın bir Lebesgue sayısı r > 0 vardır. A ⊂ ∪nj=1 B(xj , r) özelli˘ginde xj ∈ A’lar vardır ( olmadı˘ gını varsayalım. x1 ∈ A olmak u ¨zere, x2 ∈ A \ B(x1 , r) o¨zelli˘ginde x2 ∈ A da se¸cebiliriz. Bu yakla¸sımla, t¨ umevarım kullanılarak her n i¸cin, xn+1 ∈ A \ ∪ni=1 B(xi , r) o¨zelli˘ginde, A’da (xn ) dizisi elde edilir. Her n 6= m i¸cin d(xn , xm ) ≥ r oldu˘gunda, (xn )’nin A da yakınsak altdizisi yoktur ki, bu A’nın dizisek kompakt olması ile ¸celi¸sir.) r’nin Lebesgue sayı oldu˘ gundan, Her 1 ≤ j ≤ n i¸cin B(xj , r) ⊂ Uj o¨zelli˘ginde Uj ∈ U olmasından dolayı, {U1 , ..., Un }, U’nın sonlu altört¨ us¨ ud¨ ur. Bu, A’nın sonlu alt¨ ort¨ us¨ un¨ un olmadı˘ gı varsayımıyla ¸celi¸sr ve kanıt tamamlanır.