1. Dizisel Topolojik Uzaylar
Topolojik uzay teorisinin temel motivasyon kayna˘gının metrik uzaylar oldu˘gunu
s¨oylemi¸stik. Bir X metrik uzayının A altk¨
umesinin kapanı¸sının
A = {x : ∃f ∈ AN ,
f → x}
oldu˘gunu biliyoruz. Bu g¨
ozlem sonucu hangi t¨
ur X topolojik uzayında her
A ⊂ X i¸cin
A = {x : ∃f ∈ AX ,
f → x}
oldu˘gunu sorgulamak ve bu ¨
ozellikteki topolojik uzayları sınıflamak ya da
¸cercevesini belirlemek anlamlıdır. Bu b¨
ol¨
umde bu t¨
ur sorular etrafında dola¸saca˘gız.
1.1. Dizisel Topolojik Uzaylar
1.1
3
Dizisel Topolojik Uzaylar
X bir topolojik uzay ve U ⊂ X verilsin. U ’nın a¸cık k¨
ume olması i¸cin gerekli
ve yeterli ko¸sulun X \ U ∩ U = ∅ olması gerekti˘gi hemen hemende barizdir.
Bunu net terimiyle ifade edecek olursak: U ’nın a¸cık olması i¸cin gerekli ve
yeterli ko¸cul, X \ U ’da, U ’nın bir elemanına yakındayacak netin olmamasıdır.
Bu betimlede ”net yerine dizi alınabilir mi?” sorusu anlamlıdır. Bu soru bizi
a¸s˘gıdaki tanımı vermeye y¨
onlendirir.
Tanım 1.1. X bir topolojik uzay ve A ⊂ X verilsin. A k¨
umesinin dizisel
kapanı¸sı
sclA = {x ∈ X : ∃f ∈ AN , f → x}
olarak tanımlanır.
Bir X topolojik uzayında her A ⊂ X i¸cin
A ⊂ scl(A) ⊂ A
ve
Ao ⊂ X \ (scl(X \ A)) ⊂ A
oldu˘gu a¸cıktır. Bu kapsamaların e¸sit olma durumları a¸sa˘gıdaki gibi tanımlanır.
Tanım 1.2. X bir topolojik uzay ve A ⊂ X verilsin. A k¨
umesine:
i.) A = scl(A) ise dizisel kapalı,
ii.) A = X \ (scl(X \ A)) ise dizisel a¸
cık
denir.
Bir topolojik uzayda: kapalı k¨
ume dizisel kapalı ve a¸cık k¨
ume dizisel a¸cıktır.
Bir A k¨
umesinin dizisel a¸cık olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul, limiti A’da olan
X \ A’de bir dizinin olmamasıdır.
Tanım 1.3. (X, τ ) topolojik uzay olsun. Her A ⊂ X i¸cin,
A = scl(A)
ise X’e Frechet-Uryshohn uzayı denir.
¨
Ornekler
1.1. Metrikle¸sbilir topolojik uzaylar Frechet-Uryshon uzayıdır.
Tanım 1.4. Bir topolojik X uzayında her a¸cık k¨
ume dizisel a¸cık ise X’e
dizisel topolojik uzay (yada dizisel uzay) denir. Dizisel uzayın topolojisine
dizisel topoloji denir.
4
1. Dizisel Topolojik Uzaylar
Her topolojik uzay dizisel topolojik uzay de˘gildir. Bununla ilgili ¨ornekler a¸sa˘gıda.
¨
Ornekler
1.2. X sayılamaz bir k¨
ume olsun.
τ = {A ⊂ X : X \ A
sayılabilir},
Xu
¨zerinde bir topolojisdir. Bu topolojik uzayın en ince topolojiden farklı oldu˘
gu bariz.
X’nin dizisel topolojik uzay olmadı˘
gını g¨
ostermek i¸cin X’nin her alt k¨
umesinin dizisel a¸cık oldu˘
gunu g¨
ostermek yeterlidir. A ⊂ X alt k¨
umesi verilsin. A’nın dizisel a¸cık
olmadı˘
gını varsayalım. xn → y ∈ A o
¨zelli˘
ginde X \ A k¨
umesinde (xn ) dizisi vardır.
B = {X \ {xn : n ∈ N}) ∪ {y}
k¨
umesi a¸cık ve y ∈ B dir. Buradan her n ≥ n0 i¸cin xn ∈ B olacak bi¸cimde n0 ∈ N vardır
ki, bu c¸eli¸skidir. B¨
oylece X’nin her alk k¨
umesi dizisel a¸cıktır. Dolayısıyla X topolojik
uzayı dizisel topolojik uzay de˘
gildir.
1.3. w1 ilk sayılamaz ordinal olmak u
¨zere,
[0, w1 ] = {α : α
ordinal ve
α ≤ w1 }
tam sıralı k¨
umeyi sıra topolojik uzay olarak ele alacak olursak, bu uzayda {w1 } dizisel
a¸cık olmasına kar¸sın a¸cık de˘
gildir. Dolayısıla [0, w1 ] sıra topolojik uzayı dizisel topolojik
uzay de˘
gildir.
Q
1.4. I sayılamaz bir k¨
ume ve {0, 1} en ince topolojik uzay olmak u
¨zere X = i∈I {0, 1}
c¸arpım uzayını ele alalım.
X = {χA : A ⊂ I}
olarak yazalim.
Y = {χA : A ⊂ I,
sayılamaz}
k¨
umesinin a¸cık oldu˘
gunu g¨
ostermek zor de˘
gildir.
χAn → χA ∈ Y
olsun. Bu durumda A ⊂ ∪n An dir. A sayılamaz oldu˘
gundan en az bir n ∈ N i¸cin An
sayılamaz k¨
umedir. Bu bize
χAn → χA ∈ Y
gını s¨
oyler. O halde Y , dizisel a¸cıktır.
o
¨zelli˘
ginde X \ Y ’de (χAn ) dizisinin olmayaca˘
B¨
oylece X dizisel topolojik uzay de˘
gildir.
Bir X bir topolojik uzayın her noktasının sayılabilir a¸cık tabanı var ise X’e
birinci dereceden sayılabilir denildi˘gini hatırlılayalım.
Teorem 1.1. Birinci dereceden toplojik uzay Frechet-Uryshohn uzay ve Frechet Uryshon topolojik uzay, dizisel topolojik uzaydır.
Kanıt: X birinci dereceden sayılabilir topolojik uzay olsun. {Un : n ∈ N},
X’nin sayılabilir tabanı olsun. Her n i¸cin Un+1 ⊂ Un oldu˘gunu varsayabiliriz.
A ⊂ X verilsin. sqc(A) ⊂ A oldu˘
gunu biliyoruz. x ∈ A verilsin. Her n ∈ Ni¸cin
xn ∈ Un ∩A se¸cebiliriz. f (n) = xn olarak tanımlanan f dizisi A’da dır ve f → x
dir. Buradan scl(A) = A elde edilir ki, X’nin Frechet-Uryhson uzay oldu˘gu
g¨osterilmi¸s olur. S
¸ imdi X’nin Frechet-Uryhson uzay oldu˘gunu varsayalım. U ⊂
X dizisel a¸cık olsun. Buradan
1.1. Dizisel Topolojik Uzaylar
5
U = X \ sqc(X \ U ) = X \ X \ U = (X \ (X \ U ))o = U o
elde edilir. Yani, U a¸cıktır. X’nin dizisel a¸cıl oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur.
Teorem 1.2. X bir topolojik uzay olsun. A¸sa˘gıdakiler dekntir.
i.) X Frechet-Uryshohn uzayıdır.
ii.) X’nin her altuzayı diziseldir.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): Bunun do˘
gru olmadı˘
gını varsayalım. Yani X’nin bir Y alt
uzayı dizisel olmasın. Yanı, bir A ⊂ Y altk¨
umesi dizisel kapalı fakat Y uzayında
Y
Y
kapalı olmasın, yani A 6= A olsun. w ∈ A \ A se¸celim. A, Y uzayında dizisel
kapalı oldu˘gundan, f → w (Y uzayında) olacak bi¸cimde f ∈ AN dizisi yoktur.
Dolayısı ile X uzayında f → w olacak bi¸cimde f ∈ AN dizisi yoktur. Di˘ger
Y
taraftan w ∈ A ⊂ A ve X Frechet-Uryshohn oldu˘gundan, X uzayında g → w
olacak bi¸cimde g ∈ AN dizisi vardır. Bu ¸celi¸skidir.
(ii) =⇒ (i): X Frechet-Uryshohn uzay olmasın.
A 6= scl(A)
olacak bi¸cimde A ⊂ X vardır. X’nin topolojik altuzayı Y = A ∪ {x}’nı g¨oz¨one
alalım. Y uzayında Y \ {x} k¨
umesi dizisel kapalı, fakat kapalı de˘gildir. Bu
¸celi¸ski nedeniyle X Frechet-Uryshohn uzayıdır.
Alı¸stırmalar
1.5. Bi topolojik uzayın altk¨
umesinin dizisel a¸cık olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sulun t¨
umleyeninin dizisel kapalı olması gerekti˘
guini g¨
osteriniz.
1.6. Bir topolojik uzayda bir A k¨
umesinin dizisel a¸cık olmaması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul,
limiti A’da olan X \ A’de bir dizinin olmaması, oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.7. X bir topolojik uzay ve A ⊂ X verilsin. A¸ca˘
gıdakilerin denkli˘
gini g¨
osteriniz.
(i) A dizisel a¸cıktır.
(ii) f → x ∈ A olacak bi¸cimde f ∈ (X \ A)N yoktur.
1.8. Birinci dereceden sayilabilir olmayan Frechet-Urysohn ve Frechet-Urysohn olmayan dizisel topolojik uzay o
¨rnekleri veriniz.
© Copyright 2024 Paperzz
