close

Enter

Log in using OpenID

1. Metrik Uzaylarda Kompaktlık

embedDownload
1. Metrik Uzaylarda
Kompaktlık
¨ temel ¸sey
Bu b¨ol¨
umde metrik uzaylarda kompaktlık kavramı ¸calı¸sılacaktır. Uc
g¨osterilecektir:
- Metrik uzaylarda kompaktlık, sayılabilir kompaktlık, dizisel kompaktlık
ve limit nokta kompaktlık kavramları denktir.
- Bir X metrik uzayının kompakt olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul ¨onkompakt ve tam olmasıdır.
- X metrik uzayının kompakt olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸cul yalancı
kompakt olmasıdır.
- X kompakt uzay olmak u
¨zere, C(X)’i u
¨zerinde tanımlı supremum metri˘gine
g¨ore metrik uzayı olarak ele alındı˘gında, C(X)’nin bir alt uzayın kompakt olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul, sınırlı kapalı ve e¸s s¨ırekli olmasıdır.
Bunların yanında Stone-Weirstrass Theoremi ifade edilerek kanıtı verilecektir.
1.1. Metrik Topolojide Kompaktlık
1.1
3
Metrik Topolojide Kompaktlık
A¸sa˘gıdaki ¨onteorem ile ba¸slayabiliriz.
¨
Onsav
1.1. X Hausdorff dizisel uzayı olsun. X’nin dizisel kompakt olması
i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul sayılabilir kompakt olmasıdır.
Kanıt: Dizisel kompakt uzayın sayılabilir kompakt oldu˘gunu biliyoruz. X’nin
sayılabilir kompakt oldu˘
gunu varsayalım. (xn ), X’de bir dizi olsun.
A = {xn : n ∈ N}
sonlu ise, (xn ) dizisinin sabit bir altdizisi vardır, dolayısıyla yakınsak bir alt
dizisi vardır. A’nin sonlu olmadı˘
gı durum i¸cin: her m 6= n i¸cin xn 6= xm
oldu˘gunu varsayabiliriz. (di˘
ger durumda terimleri birbirinden farklı olan altdizisini alırız.) X sayılabilir kompakt ve A sonsuz oldu˘gundan, A’nın bir yı˘gılma
noktası x ∈ X vardır, yani x ∈ A \ {x}. X’nin Hausdorff olması nedeniyle her
n i¸cin xn 6= x oldu˘
gunu da varsayabiliriz (Neden?).X dizisel uzay oldu˘gundan,
an → x ¨ozelli˘ginde A’de (an ) dizisi vardır. a1 = xn1 diyelim.
{an : n1 < n} 6⊂ {x1 , ..., xn1 }
olmasından dolayı
n1 < n2 ve an1 = xn2
o¨zelli˘ginde n2 vardır. Bu yakla¸sımla, t¨
umevarımla N’de kesin artan (nk ) dizisi
elde edilir. Dolayısıyla (xnk ), (xn ) dizisinin x’ye yakınsayan bir altdizisidir. Bu
kanıtı tamamlar.
Metrik uzaylar Hausdorff dizisel uzaylar oldu˘gundan, yukarıdaki ¨onsavın bir
sonucu olarak a¸sa˘
gıdaki sonucu elde ederiz.
Sonu¸
c 1.2. Metrik uzaylarda dizisel kompaktlık ve sayılabilir kompaktlık kavramları ¸cakı¸sır.
Metrik uzaylarda dizisel kompaktlık ve kompaktlık kavramlarıda denktir.
Bunu g¨ostemek i¸cin a¸sa˘
gıda verilen Lebesgue sayı kavramını kullanaca˘gız.
Tanım 1.1. (X, d) bir metrik uzay ve U, A ⊂ X’nin bir a¸cık ¨ort¨
us¨
u olsun.
r > 0 ger¸cel sayısı
∀x ∈ A∃Ux ∈ U, B(x, r) ⊂ U
¨ozelli˘gindeyse, r’ye A’nın U a¸cık ¨
ort¨
us¨
un¨
une g¨ore Lebesgue sayısı denir.
¨
Onsav
1.3. (X, d) bir metrik uzay, A ⊂ X dizisel kompakt olsun. A’nın her
a¸cık ¨
ort¨
us¨
un¨
un bir Lebesgue sayısı vardır.
4
1. Metrik Uzaylarda Kompaktlık
Kanıt: U, A’nın Lebesgue sayısı olamayan bir a¸cık ¨ort¨
us¨
u olsun. Bu durumda
A’da ¨oyle bir (xn ) dizisi vardır ki, her U ∈ U ve her n ∈ N i¸cin
B(xn , n1 ) 6⊂ U
dir. A dizisel kompakt oldu˘
gundan (xn ) dizisinin x ∈ A’ya yakınsayan bir
altdizisi vardır. B(x, r) ⊂ U ¨
ozelli˘
ginde r > 0 ve U ∈ U se¸celim.
d(x, xk ) <
r
2
ve
1
k
<
r
2
¨ozelli˘ginde k ∈ N se¸cebiliriz. Buradan,
B(xk , k1 ) ⊂ B(x, r) ⊂ U
olur ki, bu c¸eli¸skidir ve kanıtı tamamlar.
S¸imdi a¸sa˘gıdaki temel teoremi verebiliriz.
Teorem 1.4. X bir metrik uzay olsun. A ⊂ X uzayı i¸cin a¸sa˘gıdakiler denktir.
i.) A kompact.
ii.) A dizisel kompakt.
iii.) A limit nokta kompakt.
iv.) A sayılabilir kompact.
Kanıt: Genel olarak T1 -uzaylarında limit nokta kompaktlık ve sayılabilir kompaktlık kavramları denk olduklarından ve metrik uzaylarda T1 - oldu˘gundan,
(iv) ⇐⇒ (iii) dir. (ii) ⇐⇒ (iv) ise, yukarıdaki sonu¸ctur. (i) =⇒ (iv) oldu˘gu
genel topolojik uzaylada da do˘
grudur. Dolayısıyla (ii) =⇒ (i) oldu˘gunu g¨ostermek kanıtı tamamlayacaktır. a’nin dizisel kompakt fakat kompakt olmadı˘gını
varsayalım. U, A’nin sonlu alt¨
ort¨
us¨
u olmayan a¸cık ¨ort¨
us¨
u olsun. U’nın bir Lebesgue sayısı r > 0 vardır.
A ⊂ ∪nj=1 B(xj , r)
¨ozelli˘ginde xj ∈ A’lar vardır ( olmadı˘
gını varsayalım. x1 ∈ A olmak u
¨zere,
x2 ∈ A \ B(x1 , r)
o¨zelli˘ginde x2 ∈ A da se¸cebiliriz. Bu yakla¸sımla, t¨
umevarım kullanılarak her n
i¸cin,
xn+1 ∈ A \ ∪ni=1 B(xi , r)
o¨zelli˘ginde, A’da (xn ) dizisi elde edilir. Her n 6= m i¸cin d(xn , xm ) ≥ r oldu˘gunda,
(xn )’nin A da yakınsak altdizisi yoktur ki, bu A’nın dizisek kompakt olması
ile ¸celi¸sir.) r’nin Lebesgue sayı oldu˘
gundan, Her 1 ≤ j ≤ n i¸cin
B(xj , r) ⊂ Uj
o¨zelli˘ginde Uj ∈ U olmasından dolayı, {U1 , ..., Un }, U’nın sonlu alt¨ort¨
us¨
ud¨
ur.
Bu, A’nın sonlu alt¨
ort¨
us¨
un¨
un olmadı˘
gı varsayımıyla ¸celi¸sr ve kanıt tamamlanır.
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
2
File Size
164 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content