close

Enter

Log in using OpenID

BÖLÜM 3- KAFES SİSTEMLER

embedDownload
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
BÖLÜM 3
3.1. KAFES VE EĞĐLMEYE ÇALIŞAN SĐSTEMLERDE MESNET ÇEŞĐTLERĐ
Mesnet; bir sistemde elemanın/elemanların taşıdığı yükleri belli noktalara ve oradan da zemine
aktarıldığı noktalara denir. Örneğin bir otomobilin mesnedi lastikleri iken bir yapınınki ise kolonlar ve
temeldir. Bir sistemin, mesnet reaksiyonları dahil bütün kesit tesirlerinin belirlenmesi için ΣFx=0, ΣFy=0
ve ΣM=0 denge denklemleri belirlenebiliyor ise sistem izostatiktir.
Mesnet şekli ve tepki kuvvetleri
Tip Konum
Menet şekli
Reaksiyonlar
Kayıcı
Kenar
Ry
Rx=0
Ry≠0
R
Ry=R cosα
α
α
Rx=R sinα
Rx Ry
Rx≠0
Ry≠0
Orta
Eğik
α
α
Sabit
Kenar
Orta
Eğik
α
Ry
Ankastre
Rx
Tam
M
Ry
Rx
Kayıcı
Bilinmeyenler Moment Dönüş
M
M=0
ϕ≠0
M≠
≠0
ϕ=0
Ry=R cosα
α
α
Rx=R sinα
Rx≠0
Ry≠0
Rx≠0
Ry=0
Labil
Labil
Labil
Şekil 3.1. Taşıyıcı sistemlerin analizi
83
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
Şekil 3.2. Bazı mesnetler ve tepki kuvvetleri
pin
sabit
Deprem yükü hasarı
Şekil 3.3. Kafes sistem hasarları
Yukarıdaki resimlerin incelenmesiyle kafes sistemler, taşıdıkları yükler ve hasar şekli ve nedenleri
daha iyi anlaşılacaktır.
84
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
3.2. KAFES SĐSTEMLERĐN GENEL KRĐTERLERĐ
Kafes sistem, sanayi, özel mühendislik [otogar, hangar, depo] yapıları ve köprü gibi geniş açıklı
yapıların betonarme ve dolu gövdeli çelik sistemlerle yapmak teknik ve ekonomik bakımdan uygun
olmaması sonucu hazır ve yapma profil şekilleri ile belli kurallar içinde oluşturulan sistemdir. Bu
sistemin en az iki çubuğunun veya bir çubuk ile mesnedin birleştiği noktaya düğüm noktası denir.
Kafeslerin tertip şekilleri esas alınacak olursa; üçe ayrılırlar
1. Basit Kafesler sistemler
2. Kompoze Kafesler sistemler
3. Kompleks Kafesler sistemler
Bu kafes sistemlerin yapıların,
a.
b.
c.
d.
e.
Yapıların çatı kaplama
Köprü
Vinç gövdesi
Kuleler (Elektrik direkleri, baz istasyonu)
Viyadük ayakları
Şekil 3.4. Kafes sistem kullanım alanı örnekleri
85
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
Yapımında kullanılan,
a. Kaynak
b. Bulon
c. Perçin
ile birleştirilerek,
a. Yüklemeler tekil olarak düğüm noktalarına yapılan
aa. Ancak yayılı yük olduğu zaman bu yük düğümlere yapılan aşıklara oradan düğümlere aktarılır.
Yapıların çatıları bu şekilde düzenlenir. Çatı kaplama yükleri [kremit, ondilin] düğüm noktalarına
uygulanan aşıklara aktarılır oradan düğüm noktalarına ve mesnetlere uygulandığı kabul edilerek
boyutlandırılır.
q kN/m
B
A

Ay
By
aşık
Ž

Œ
Ž
Œ




b. Düğün noktaları mafsallı
M=0
ΣFx≠0
ΣFy≠0
86
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
c. Elemanları sadece eksenel yük taşıyan
basınç
çekme
І kesit
dairesel kesit
basınç
çekme
І kesit
basınç
basınç
çekme
dairesel kesit
çekme
Eleman boyunca eksenel kuvvet sabittir değişmez.
P
P
P
Basınç
P
P
P
P
P
P
P
P
P
Çekme
d. Elemanları doğru eksenli olan
basınç
çekme
dairesel kesit
basınç
çekme
OLMAZ
Çubuk Kuvvetleri; A: Düğüm Dengesi
P
P


FA
FB
FŒ
FA
A
Œ
B
FB
FŒ
AX
A
AY
FAŒ
FŒA
Œ
FŒB
B
FBŒ
BY
AA. Düğüm dengesiyle bulunan çubuk kuvvetleri ve/veya çubuk kuvvetleri ile mesnet tepki
kuvvetleri açıları ile birlikte ölçekli bir şekilde çizildiğinde poligon kapanmalıdır. Aksi halde bulunan
değerler doğru değildir. [Bu örnek 2.2’den alınmıştır]
87
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
FBŒ=-1.49 kN
FA=1.87 kN
3.0 kN

BY=1.125 kN
FB=1.87 kN
FB=1.87 kN
F A
FŒ
FB
3 kN
FB2 = 1.492 + 1.1252 = 1.87
B: Grafik Yöntemi
Düğüm dengesi yönteminde çizilen kuvvet çokgenlerinin (kuvvet üçgenlerinin) bazı kurallara uyarak bir
arada çizimini veren diyagrama Cremona diyagramı adı verilir. Bu diyagramı çizmek için kuvvetlerle
tepkileri gösteren kuvvet çokgeninde sıralanış yönü ne alındı ise düğüm noktalarındaki kuvvetlerin
sıralanış yönü de aynı alınarak cremona diyagramı çizilir. Sonuç olarak tepkilerle kuvvetler için bir yön
seçilir bu takip edilerek çizim yapılır. Bir noktada birleşen kuvvetler cremona diyagramında kapalı bir
çokgen meydana getirirler. Cremona diyagramını kolayca çizebilmek için Bow notasyonlarından
yararlanılır. Bow notasyonlarının esası cremona diyagramını bir harfleme yönteminden yararlanarak
çizmektir. Bunun için önce tepkiler hesap edilir. Tepkilerin ve kuvvetlerin arasındaki bölgeler
alfabedeki harf sırasıyla harflenir. Bu harfleme sırasında şekilde görüldüğü gibi bir sıralama yönü
seçilir. Bu sıralama yönüne göre kuvvetler iki tarafında bulunan bölgelerin küçük harfleriyle adlandırılır.
Đlk harf dönüş yönü esasına göre alınan bölgedir ve buna göre kuvvet çokgeni çizilir. Daha sonra aynı
sıraya uyarak kafesin içindeki bölgeler de harflenir. Bundan sonra düğüm dengesi göz önüne alınır.
Cremona diyagramının çizilmesinde veya Bow notasyonlarının kullanılmasında bazı problemlerde
düğüm noktalarını sırayla almak mümkün olmaz. Bu gibi hallerde bir düğüm noktasından uygun diğer
bir düğüm noktasına sıçramak gerekir. Bazen de noktalar çakışık çıkabilir.
Luigi Cremona, 1830-1903, Đtalyan Matematik, Statik
Kafes sistemlerin grafik çözümü: Cremona metodu.
C: Ritter Kesim Metodu
Karl Wilhelm Ritter, 1847-1906, Đsviçreli Statik
Kafes sistemlerde Ritter kesim metodu.
88
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
Verilen sistemde Œ- çubuk kuvvetinin kesim metoduyla bulmak için,
a. Mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır
b. Düğüm dengeleri yazılarak istenilen çubuk kuvveti bulunur.
P
P


FA
FA
P
A
B
FB
FŒ
AX
A
Œ
FB
FŒ
FAŒ
AY
P
FBŒ
FŒB
FŒA
Œ
BY
VEYA istenilen çubuğu içine alacak şekilde kesim yapılarak istenilen çubuk kuvveti hesaplanır. Buna
KESĐM METODU denir. Ancak Œ düğümünde P kuvveti gibi bir kuvvet yoksa istenilen çubuk kuvveti
bulunamaz.
P

FŒ
P
P
FŒB
Œ
A
B
Œ
bulunabilen yapı sistemlerine [KAFES] denir. Kafes sistemin çözümünde izlenen yol,
a. Mesnet tepki kuvvetleri
b. Düğüm dengesi yazılarak çubuk kuvvetleri
c. Veya kesim metodu [Ritter] uygulanarak çubuk kuvvetleri
Hesaplanır.
P
Kafes sistemler,
1. Düzlem kafes sistemler
a. Dolu gövdeli
b. Basit
c. Çıkmalı
d. Konsol
e. Kafes çerçeve
f.
Üç mafsallı
g. Gerber kafes kiriş
89
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
2. Uzay kafes sistemler
olmak üzere ikiye ayrılır. Yani iki ve üç boyutlu olarak ikiye ayrılır. Kafes sistemlerin düzenlenişlerine
göre,
A. Basit kafes sistemler
B. Birleşik kafes sistemler
C. Karışık kafes sistemler
olmak üzere de üçe ayrılır.
3.3. DÜZLEM KAFES SĐSTEMLER
Çubukları ve yükleri düzlemde olan kafes sistemlerdir. Kafes sistemin en basiti üç elemanlı olup
aşağıda verilmektedir.
P
P
LABĐL TAŞIYICI OLAMAZ
TAŞIYICI OLABĐLĐR
Düzlem kafes sistem ilk önce üç çubuklu
eleman olarak basit bir şekilde oluşturularak başlanır. Daha sonra bu elemanlara iki çubuklu elemanlar
ek bir düğüm noktası oluşturacak şekilde eklenerek istenilen kafes sistem elde edilir. Bu eklemeler bir
önceki çubuklarla aynı doğrultuda olmamalıdır.
OLMAZ
ÖZET: Genel olarak Kafes sistem,
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Yüklemesi düğüm noktasına yapılan
Düğüm noktaları mafsallı [M=0]
Elemanları doğru eksenli olan
Elemanları sadece eksenel yük alan [Çekme [+], Basınç [-]]
Çubuk kuvvetleri,
5a. Düğüm dengesi
5b. Kesim metodu ile hesaplanan
En az üç ve daha fazla elamanın birleşmesi sonucu teşkil edilebilen
yapı sistemlerine denir.
90
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
3.4. ÇUBUK KUVVETLERĐNĐN DÜĞÜM DENGESĐ ĐLE BULUNMASI
Örnek: Şekilde verilen kafes sisteminde çubuk kuvvetlerinin bulunması
3 kN
3 kN
Œ
Œ
3m
A
3m
B
4m
AX
4m
A
B
m
m
4
AY
4
BY
Çözüm: Önce sistemin mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
3 kN
Œ
3m
A
∑Fx = 0
Ax − 3 = 0
Ax = 3kN
∑Fy = 0
Ay + By = 0
B
4m
∑ Fy = 0
∑MA = 0
4m
3x3 +8xBy = 0
By = −1.125kN Ay = 1.125kN
A Y + FA1 sin37 = 0
FA1
FA1 = [ − A Y / sin37] = [ −1.125 / sin37] = −1.87kN
37o
AX=3 kN
A
FAB
A
∑ Fx = 0 A x + FAB cos37 + FA1 = 0
AY=1.125 kN
FAB = −[A x + FA1 cos37] = −[3 − 1.87x0.8] = −1.51kN
∑ Fy = 0
− B Y + FB1 sin37 = 0
FB1
FB1 = [B Y / sin37] = [1.125 / sin37] = 1.87kN
B
FBA
∑ Fx = 0 FB1 cos37 + FAB = 0
B
BY=1.125 kN
FAB = −FB1 cos 37 = −1.49kN
3 kN
1.87 N
1.87 N
FA1
1.87 N
AX=3 kN
1.87 N
FAB
A 1.51 N
1.49 N
AY=1.125 kN
B
BY=1.125 kN
91
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
ÖRNEK 3.1: Kafes sistemde çubuk kuvvetlerinin düğüm dengesi yazarak bulunması.


3 kN
3 kN
3.6m
3.6m
Ax
A
Œ
∑Fx = 0
Ay
4.8m
A x −3 =0
∑M A = 0
∑Fy = 0
A x = 3kN
A
Œ
B
4.8m
By
4.8m
A y +B y =0
3x3.6 + 9.6xB y = 0 ise B y = −1.125kN
∑Fy = 0
A
B
4.8m
A y =1.125kN
A Y + FA 2 sin37 = 0
FA2
FA 2 = [ − A Y /sin37 ] = [ −1.125/sin37 ] =−1.87kN
o
37
AX=3 kN
∑Fx = 0 A x + FA 2 cos37 + FA 1 = 0
FA1
AY=1.125 kN
FA 1 =− [ A x + FA 2 cos37 ] = − [ 3 −1.87 x 0.8 ] =−1.51kN
∑Fy = 0
B
− B Y + FB 2 sin37 = 0
FB2
FB 2 = [B Y /sin37 ] = [1.125/sin37 ] =1.87kN
FB1
B
∑Fx = 0 FB 2 cos37 + FB 1 = 0
BY=1.125 kN
FB 1 = − FB 2 cos37 = −1.49kN
Bir düğümde bulunan çubuk kuvvetleri şiddetleri ve yönlerine göre işaretlendiğinde poligonu kapatmalıdır.
FB=[ FBŒ2+By2]0.5=1.87 kN
Yani,
2 ∑ Fy = 0
1
∑F
x
=0
FA 2 cos 53 + FB2 cos 53 + F21 = 0 [ −1.87] cos 53 + 1.87 cos 53 + F21 = 0
− FA1 + FB1 = 0
− [−1.51] + [ −1.49] = 0

F2A
FA=1.87
3.0 kN
F21
FB=1.87
F2B
3 kN
Ax=3 kN
AY=1.125 kN
FB1=-1.49 kN
3 kN
FB1=-1.51 kN
1.87 N
1.87 N
BY=1.125 kN
0.00
FA1 = (3 − 1.51)2 + 1.125 2 = 1.87
FB2=1.87 kN
FB2
FA2
AX=3 kN
F21 = 0
1.87 N
A 1.51 N
FB2 = 1.492 + 1.1252 = 1.87
1.87 N
0.00
FA1
1.51 N 1.49 N
AY=1.125 kN
FB1
1.49 N
B
BY=1.125 kN
F12
F1A
F1B
Œ
92
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
ÖRNEK 3.2. Çubuk kuvvetlerinin [FAC=? FBC=?] ve mesnet tepki kuvvetlerinin hesabı
Bx
B
By
m
4
Serbest cisim diyagramı
C
A
Ax Ay
40 N
m
6
C
40 N
m
6
Çözüm 1. Mesnet tepki kuvvetlerini hesaplamadan düğüm dengesi yazarak çubuk kuvvetleri
hesaplanır.
∑F
y
=0
FBC sin 33.7 − 40 = 0
FBC = 72.10 N
C
FCB
C
FCA
∑ Fx = 0 FBC cos 33.7 + FAC = 0
40 N
FAC = −60 N
Çözüm 2. Mesnet tepki kuvvetlerini hesapladıktan sonra çubuk kuvvetleri hesaplanır.
Serbest cisim diyagramında yatay ve düşey denge yazılarak çözüm aranır.
∑ Fy = 0
A y + B y − 40 =0
A y + B y = 40
1
1 ve 2 ile çözüm olmaz.
∑ Fx = 0
A x + Bx = 0
A x + Bx = 0
2
O zaman herhangi bir noktaya göre moment alınır.
∑ MA = 0 4 x Bx + 40 x 6 = 0 Bx = −60 N
∑ MB = 0 4 x A x − 40 x 6 = 0 A x = 60 N
A
A düğümünde denge yazıldığı zaman Ay=0 olur.
Ax
Ay
Buna göre düşey dengenden,
FAC=60
By=40 N olarak bulunması gerekir. B düğümünde denge yazılarak hesaplanır.
B ∑ Fy = 0
B y − FBC cos 56.3 = 0
B y = 40 N
Bx=60
By
56.3
o
FBC=72.11
NOT: Mesnet tepki kuvvetleri çözüm 1’den sonra hemen bulunabilirdi. Bunun gibi bazı sistemlerde
önce çubuk kuvvetleri hesaplanır daha sonra mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
93
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
Uygulama: Şekilde verilen kafes sistemin çubuk kuvvetlerinin bulunması.
12 kN
12 kN
E
E
m
5
3
6
106o
5
3m
6
o
37
D
C
D
C
53o
6m
1
m
2
3
3
4
Ax
B
m
2
4
A
4
6
1
4m
Ay
4m
4m
Bx
By
Çözüm: Verilen kafes sistem mesnet tepkileri bakımından hiperstatiktir. Ancak kafes sistemlerin
özelliği gereği çözüme istenilen düğümden başlanabilmesi sistemi çözümlü hale getirebilmektedir. Bu
özelliğinden dolayı çözüme ilk önce düğüme birleşen çubuk sayısı en az olan E noktasından
başlanarak sistem aşağıdaki şekilde çözülmüştür. Aksi halde sistem bilinen yöntemlerle çözülemez.
∑Fy = 0 F5 cos53 + F6 cos53 +12 = 0 F5 = −10 kN


E

∑Fx = 0 − F5 sin53 + F6 sin53 = 0
F6 = −10 kN F5


12 kN
5 E
6
F6
∑Fx = 0 F5 cos37 + F4 cos37 = 0 −10cos37 + F4 cos37 = 0 ⇒ F4 = 10 kN

C

∑Fy = 0 F5 sin37 − F4 sin37 − F1 = 0 −10sin37 −10sin37 − F1 = 0 ⇒ F1 = −12 kN
F5
C
F5
C
F4
F4
F1
F1
F6=10
∑Fx = 0 F6 cos37 + F3 cos37 = 0 −10cos37 + F3 cos37 = 0 ⇒ F3 = 10 kN

D
∑Fy = 0 F6 sin37 − F3 sin37 − F2 = 0 −10sin37 −10sin37 − F2 = 0 ⇒ F2 = −12 kN

A x +10 ⋅cos37 = 0
A x = −8 kN
∑Fx = 0 A x + F3 cos37 = 0

A
∑Fy = 0 A y + F3 sin37 + F1 = 0 A y +10 ⋅ sin37 −12 = 0 A y = 6 kN

F1=-12
Ax
94
F3
F2
F3=10
Ay
F4=10
∑Fx = 0 Bx − F4 cos37 = 0 Bx −10 ⋅cos37 = 0 Bx = 8 kN

B
∑Fy = 0 By + F4 sin37 + F2 = 0 B y +10 ⋅ sin37 −12 = 0 B y = 6 kN

D
By
F2=-12
Bx
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
SORU 1: Verilen çerçevenin çubuk kuvvetlerinin kesim metoduyla bulunması.
50 kN
100 kN
50 kN
24 kN
D
C
B
B
A
-88
5m
E
m
Ax=24 kN
m
5
53.75
A
F
5
50 kN
100 kN
-62
C
-62
24
D
-112
50 kN
-100
24 kN
87.69
E
00
F
5m
Ay=88 kN
m
5
5m
Ey= 112 kN
∑ MA = 0 24 ⋅ 5 + 100 ⋅ 5 + 50 ⋅ 10 − 10E y = 0
E y = 112 kN
∑Fx = 0 FAF − 24 = 0 FAF = 24 kN
∑ ME = 0 24 ⋅ 5 − 100 ⋅ 5 − 50 ⋅ 10 + 10A y = 0
A y = 88 kN
∑Fy = 0 FAB + 88 = 0 FAB = −88 kN
∑Fy = 0 − FAB − 50 − FBF sin45 = 0 FBF = 53.75 kN
24
FBC = −62kN
FAF
88
100
FCB
∑Fy = 0 −100 − FCF = 0
FBF
FCF = −100 kN
FCF
50
FDC 45
FEF E
∑Fx = 0 FDC + FDF cos45 = 0
FCD
C
∑Fy = 0 − FDE − 50 − FDF sin45 = 0 FDF = 87.69 kN
FED
∑Fy = 0 FED +112 = 0 FED = −112kN
A
O
FAB
∑Fx = 0 FEF = 0
24
∑Fx = 0 FCD − FCB = 0 FCD = −62kN
FBC
45
B
Ay=88 kN
∑Fx = 0 24 + FBC + FBF cos45 = 0
50
FAB
FDF = 87.69 kN
O
D
FDF
FDE
112
Örnek: Şekilde verilen kafes sistemde tüm çubuk boyları 4 m olduğuna göre çubuk kuvvetlerini bulunuz.
40 kN
40 kN
9
8
9
8
7
7
20 kN
20 kN
1
A
3
4
2
1
6
5
B
6
5
4
2
Ax
100 kN
3
B
100 kN
Ay
∑Fx =0
By
A x = 40 + 20 =60kN
∑MA =0 100i 4 + 20i3.464 + 40i6.928 −8By =0
∑MB =0
∑Fy = 0 A y + F1 sin60 = 0
∑Fx = 0 − A x + F2 + F1 cos60 = 0
−60 + F2 + (−7.71icos60) = 0
F1 = −7.74 kN
Ax
By =93.33kN
−100i 4 + 20 i3.464 + 40 i 6.928 +8A y =0 A y = 6.70kN
F1
F6
∑Fy = 0 B y + F6 sin60 = 0
F1 = −107.77 kN
∑Fx = 0 F4 + F6 cos60 = 0
F4 = 53.89 kN
F2
F4
Ay
By
F2 = 63.855 kN
95
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
∑Fy = 0 F3 sin60 + F5 sin60 −100 = 0
F3
 F3 = 47.75 kN


F2
∑Fx = 0 − F3 cos60 + F5 cos60 − 63.855 + 53.89 = 0 
  F5 = 67.72 kN
∑Fy = 0 F8 sin60 + F9 sin60 −100 = 0  F8 = 40 kN


∑Fx = 0 − F8 cos60 + F9 cos60 + 40 = 0  F9 = −40 kN
F5
F4
100 kN
40 kN
F8
F9
∑Fx = 0 − F7 + 20 + F6 cos60 − F5 sin60 − F9 cos60 = 0 
F9

 F7
−F7 + 20 −107.77icos60 − 67.72isin60 + 40cos60 = 0

 F5
F6
F7 = −47.74 kN

20 kN
ÖRNEK 3.3. Şekilde verilen kafes sistemlerde çubuk kuvvetlerinin bulunması
40 kN
Çubuk
L [m]
Çubuk kuvvetleri [kN]
1
3.0
-43.75
2
3.6
26.25
3
3.0
-6.25
4
3.6
-22.50
5
3.0
6.25
6
3.6
18.75
7
3.0
-31.25
20 kN
4
7
1
3
1
2.4 m
5
1
6
2
B
A
3.6 m
3.6 m
Çubuk kuvvetleri [kN]
Çubuk
L [m]
1
3.0
-0.625
2
3.6
0.375
3
3.0
0.625
4
3.6
-0.750
5
3.0
0.625
6
3.6
0.375
7
3.0
-0.625
4
1
3
2
A
2.4 m
7
5
6
B
1 kN
3.6 m
3.6 m
3m
ÖRNEK 3.4. Şekilde verilen kafes kirişin çubuk kuvvetlerinin hesaplanması.
4
2
3m
5
6
A
Çözüm: Önce mesnet reaksiyonları bulunur.
7
C
60 kN
8
200 kN
B
9
3m
96
1
3
6m
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
ΣFx = 0 dan Ax = 60 kN
∑ M A = 0 dan
∑ MB = 0
4
− 3 A y − 60 x 3 − 200 x 6 = 0
2
5
C
1
6.708
447.210
2
6.000
-340.000
3
3.000
-600.000
4
4.240
565.766
5
3.000
-400.000
6
3.000
400.000
7
4.240
84.866
8
3.000
-660.000
9
3.000
0
60 kN
200 kN
60 kN
B
9
460 kN
A y = − 460kN
L (m)
8
7
B y = 660 kN
Çubuk
1
3
6
dan
3 B y − 60 x 3 − 200 x 9 = 0
Mesnet tepki kuvvetleri
660 kN
Çubuk kuvvetleri [kN]
ÖRNEK 3.5. Şekilde verilen kafes kirişin çubuk kuvvetlerinin hesaplanması.
4
1
3
2
5
6
C
1 kN
8
7
B
9
Önce mesnet reaksiyonları; ΣFx = 0 dan Ax = 1 x cos 26.6= 0.894 kN
∑ M A = 0 dan
3 B y − 1x cos 26.6 x 3 − 1x sin 26.6 x 9 = 0
B y = 2.236 kN
∑ MB = 0 dan
3 A y − 1x cos 26.6 x 3 − 1x sin 26.6 x 6 = 0
A y = 1.789 kN
4
1
3
2
5
6
7
C
1 kN
8
Mesnet tepki kuvvetleri
0.894kN
B
9
1.789 kN
2.236 kN
ÖRNEK 3.6. Şekilde verilen kafes sisteminde,
Çubuk
L (m)
Çubuk
kuvvetleri [kN]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6.708
6.000
3.000
4.240
3.000
3.000
4.240
1.000
0.000
-1.342
1.265
-0.894
0.894
1.266
3.000
-2.236
3.000
0
a. Tüm çubuk kuvvetlerini
b. Kesme metodu ile -Ž çubuğun bulunarak kontrol edilmesi.
36 kN

63 kN

Ž
3.6m
A
Œ
“
m
4.8
’
m
4.8

‘
B
4.8m
m
4.8
97
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
ΣMA=0 dan B mesnedinin düşey tepkisi,
Çözüm: Mesnet tepki kuvvetleri için
ΣMA=0
36 x 4.8 + 63 x 9.6 – 4 x 4.8 By = 0
By= 40.50 kN
ΣMB=0
36 x 3 x 4.8 + 63 x 9.6 – 4 x 4.8 Ay = 0
Ay= 58.50 kN
36 kN

63 kN

Ž
3.6m
A
Ay
Œ
“
4.8m
’
4.8m

‘
4.8m
4.8m
B
By
N12
∑Fy = 0 A Y + N12 sin37 = 0
o
A
37
AX=0 kN
N12 = [ − A Y / sin37 ] = [ −58.5/sin37 ] = −97.21kN
A
∑Fx = 0 A x +N12 cos37 + N18 = 0
N81
AY=58.5 kN
N18 = − [ A x +N12 cos37 ] = − [ 0 − 97.21x0.8 ] = 77.76kN
Düğüm dengeleri ile bulunan çubuk kuvvetleri
Çubuk
Œ-“
Œ-
-“
-’
-Ž
Ž-
-’
-‘
-
-‘
’-‘
Ž-’
’-“
L (m)
4.8
6.0
3.6
6.0
4.8
4.8
6.0
3.6
6.0
4.8
4.8
3.6
4.8
A[alan]
2.0
2.5
1.3
2.5
2.6
2.6
2.5
1.3
2.5
2.0
2.0
1.3
2.0
N [Çubuk kuvveti kN]
78.00
-97.52
0.00
37.52
-108.00
-108.00
67.50
0.00
-67.50
54.00
54.00
-63.00
78.03
NOT: Verilen sistemlerde çubuk kuvvetleri sıfır “0” olan çubuklar [-“ ve -‘],
1. Sistem değiştiği zaman yük taşıyabilecek olması [elemanlardan birinin hasar görmesi veya
sistemin göçme durumuna ulaşması durumunda]
2. Kafes sistemin kendi ağırlığını taşıyor olması
3. Kafes sisteme gerekli şekli-formu veriyor olması
4. Kafes sistemin statikçe belirli veya belirsiz olmasında etkisi olması
5. Kafes sistemde bir elemanın değiştirilmesinin gerektiği durumda ihtiyaç duyulur olması
gibi sebeplerden dolayı gereksiz olduğu düşünülemez.
98
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
3.5. SĐSTEMLERĐN MESNET TEPKĐLERĐ HESABI [TESĐR ÇĐZGĐSĐ]
Bunun için aranan mesnet tepkisi 1 birim ve diğer mesnet tepkisi ise sıfır olacak şekilde aşağıdaki gibi
üçgen çizilir. Sistemdeki verilen dış yükler altında kalan ordinatların yük şiddetleri ile çarpımı mesnet
tepkisini verir. Eğer sistemde (eğilmeye çalışan) yayılı yük var ise o zaman çizilen üçgenin yük
altındaki alanı alınır. Bu çözüme TESĐR çizgisi denir ve ilerideki dönemlerde görülecektir.
15 kN/m
1.8 m

30.94 kN

Ž
68.06 kN


Ž
3.6m
A
Œ
“
4.8m
’
4.8m

‘
4.8m
3.6m
B
Œ
4.8m
Ay
“
m
4.8
’
m
4.8

‘
m
4.8
m
4.8
B
By
1
0.75
0.50
1
0.25
0.50
Aşıklar üzerine gelen yayılı yüklerden aşık mesnet tepki kuvvetleri bulunarak düğüm noktalarına tekil
kuvvet olarak uygulanır ve bu kuvvetlere göre sistemin mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
Tesir çizgisinin eğilmeye çalışan elemanlar için kullanımı ilgili bölümde yine kullanılacaktır.
1.B y = 0.25 x 30.94 + 0.50 x 68.06
By = 41.76kN
1.A y = 0.75 x 30.94 + 0.50 x 68.06
A y = 57.24kN
3.6. ÇUBUK KUVVETLERĐN KESĐM METODU [RITTER] ĐLE BULUNMASI
Kafes sistemi diğer yapı sistemlerine göre eleman sayısı daha fazla olabilmektedir. Yine kafes
sistemlerin düğümlerinde mafsallı birleşimler olmasından dolayı elemanların gerekli bazı önlemle
alınarak değiştirilebilme özelliği diğer eğilmeye çalışan sistemlere göre kolay olmaktadır. Bu
nedenlerden dolayı kafes sistemde bir hasar görmüş veya değiştirilmek istenen bir elemanın
sistemden aldığı eksenel yükün değerini bulmak için sistemin tamamının çözümüne gerek yoktur. Bu
elemanın eksenel yükünü kesim metoduyla hesaplanabilir.
Bir kafes sistemin kesilmesinde,
• Kafes sistemlerin çözümünde ∑Fx=0, ∑Fy=0 ve ∑M=0 olmak üzere üç adet denge denklemi
olmasından dolayı bir kafes sisteminde kesim metodu yaparken en fazla üç eleman
kesilebilir.
•
•
•
•
Kesim kafes sistemi iki parçaya ayıracak şekilde yapılır
Kesimle iki parçaya ayrılan sistemler her biri bir sistem olarak ele alınır.
Kesim ile elde edilen sistemde kesilen çubuk kuvvetleri bulunarak diğer çubuk kuvvetleri
bulunur.
Kesim sonucu bulunan sistemde denge denklemlerinden moment yazılarak bulmak daha
kolay olur.
99
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
ÖRNEK 3.7. Verilen sistemde F2-3 F2-7 ve F8-7 çubuk kuvvetinin kesim metoduyla hesabı.
36 kN
63 kN


Ž
3.6m
A
Œ
“
Ay
4.8
∑ MB = 0
’
4.8m
m

‘
4.8m
63 ⋅ 9.6 + 36⋅14.4 −19.2 A y = 0
B
By
4.8m
A y = 58.50kN
∑ MA = 0
63 ⋅ 9.6 + 36 ⋅ 4.8 −19.2B y = 0
B y = 40.5kN
Bu çubuk kuvveti düğüm dengesi yöntemiyle -Ž =-108 N olarak bulunmuştu. Burada aşağıdaki
kesim yapılarak bulunacaktır.
36 kN


F23
36 kN
F23
x=9.6sin37=5.78m
F27
F27
Œ
Ay
4.8
4.8
A
’
F87
“
m
90-37=530
Œ
m
Ay=58.5 kN
F8 − 7 x 3.6 − 58.5x 4.8 = 0
∑M=0
 düğümde moment dengesi,
∑M
F2-7 için ’ düğümde yatay dengeden
4.8
A
’
F87
4.8
F2 − 3 x 3.6 + 58.5x 9.6 − 36 x 4.8 = 0
∑M’=0
’ düğümde moment dengesi,
“
m
m
F2 − 3 = −108N
ise
F8 − 7 = 78N
ise
= 5.78xF2 − 7 + 3.6xF2 −3 + 4.8x36 = 0
F2 −7 = 37.7N
ise
yukarıda bulunan sonuçla aynısı olduğu görülmektedir.
ÖRNEK 3.8. FDE FDG FDF FEG çubuk kuvvetlerinin kesim metoduyla bulunması.
B
B
F
F
D
D
E
A
4m
E
A
H
4
m
4
4m
m
G
4m
H
20 kN
20 kN
C
20 kN
20 kN
C
4m
G
4
4m
m
1
Đlk önce sistemin mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
0.50
0.25
1
∑ MA = 0
20 ⋅ 8 + 20 ⋅12 − 16B y = 0 B y = 25 kN
∑ MB = 0
20 ⋅ 4 + 20 ⋅ 8 − 16 A y = 0
0.50
A y = 15 kN
100
0.75
1.A y = 0.50 x 20 + 0.25 x 20
A y = 15kN
1.B y = 0.50 x 20 + 0.75 x 20
By = 25kN
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
Kesim yapılarak istenilen çubuk kuvvetleri aşağıdaki şekilde hesaplanır.
FDF
B
FDF
B x=8sin37
D
D
FDG
E
A
FDG
E
FEG
4m
4m
FDG
G
20 kN
C
FDF
B
D
A
G
20 kN
C
FEG
4m
4m
∑ MG = 0
3 xFDF + 12 x A y − 20 x 4 = 0
∑ MD = 0
3 x FEG − 8 x A y = 0
∑ MC = 0
8 sin37 ⋅FDG + 4 ⋅ A y + 3 ⋅FDF + 20 ⋅ 4 = 0
E
A
20 kN
C
4
m
4
m
o
β=37
G FDGcosβ
FEG
FDGsinβ
FDF = −33.33kN
FEG = 40kN [çekme]
FDG = −8.31kN
VEYA [ FDG çubuğu G noktasında düşey ve yatay birleşenlerine ayrılarak A noktasına göre moment alınır.]
∑ MA = 0
12 sin37 ⋅FDG + 20 ⋅ 8 + 3 ⋅ [−FDF ] = 0
FDG = −8.31kN
VEYA [ FDG çubuğu G noktasında düşey ve yatay birleşenlerine ayrılarak C noktasına göre moment alınır.]
∑ ME = 0
4 sin37 ⋅FDG + 15 ⋅ 8 + 3 ⋅ [−FDF ] = 0
FDG = −8.31kN
II-II
FDF
FFG çubuğu kuvveti diğer bir kesim yapılarak aşağıdaki şekilde hesaplanır.
∑ FY = 0
25 − FFG = 0 FFG = 25 kN [çekme ]
FFG
G
FBG
By=25 kN
ÖRNEK 3.9. Şekilde verilen kafes sisteminde çubuk kuvvetlerinin bulunması.
2
m
2 kN
2
m
2
B
m
C
A
D
4 kN
3
G
m
F
E
Çubuk
FAB
FAG
FGC
FGF
FCF
Çubuk kuvveti [N]
8
-8.94
2.24
-11.18
-1
101
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
Uygulama: Verilen kafes sistemin çubuk kuvvetlerinin bulunması
30 kN
20 kN
2.5
m
30 kN
2.5
m
2.5m
20 kN
C
B
D
3.54
5.59
F
2.5m
3.54m
D
2.5m
5.59
O
5.59
m
5.59
m
A
2.5m
E
5 kN
5m
m
F
26.5O
E
5m
m
m
63.4
A
C
B
2.5m
2.5m
5m
25 kN
5m
∑ MA = 0
Çözüm: Verilen kafes sistemin mesnet tepkileri bulunur.
20 ⋅ 5 + 30 ⋅ 5 − 10B y = 0 B y = 25 kN ⇑
20 ⋅ 5 − 30 ⋅ 5 + 10 A y = 0
∑ MB = 0
A y = 5 kN ⇑
A X = 20 kN ⇐
Mesnet tepki kuvvetleri bulunduktan sonra düğüm dengeleri yazılarak çubuk kuvvetleri hesaplanır.
63.4O
63.4O
FAFsin26.5
FABsin63.4
∑ Fx = 0 − 20 + FAB cos 63.4 + FAF cos 26.5 = 0

A düğümü 
∑ Fy = 0 5 + FAB sin63.4 + FAF sin26.5 = 0
26.5O
20 kN
A
FABcos63.4
0.448FAB + 0.895FAF = 20 FAF = 33.48 kN
0.894FAB + 0.446FAF = −5 FAB = −22.24 kN
26.5O
FAFcos26.5
5 kN
20 + 22.24 sin26.5 + FBF sin 45 + FBC = 0
FBC = −49.83 kN = FCD
22.24cos 26.5 − FBF cos 45 = 0
B
22.24
FBC
20
26.5
FBF
FBA=22.24
FBF = 28.15 kN
FBFsin45
FBFcos45
45o
FABsin26.5
 ∑ Fx = 0

D düğümü 
 ∑ Fy = 0
49.83 − FDF sin 45 + FDE sin 26.5 = 0
− 0.707FDF + 0.446FDE = −49.83
FDE = −37.16 kN
− FDF cos 45 − FDE cos 26.5 = 0
− 0.707FDF − 0.895FDE = 0
FDF = 47.04 kN
{
FDE
E düğümü ∑ Fx = 0
FDEsin63.5
o
37.16
49.83
FDF
FDE
26.5
37.16 cos 63.5 − FEF cos 26.5 = 0
FDEcos63.5
63.5
o
FDEcos26.5
45
FDF
FDEsin26.5
D
FDFcos45
FDFsin45
D
FCD
26.5
O
FEFsin26.5
FABcos26.5
∑ Fx = 0

B düğümü 
∑ Fy = 0
37.16
26.5
FEFcos26.5
FEF = 18.53 kN
E
-37.16
-22.24
63.4O
26.5O
O
-49.83
-49.83
-30
+28.15
+47.04
+33.48
E
+18.53
20 kN
5 kN
25 kN
25 kN
25 kN
Çubuk kuvvetlerinin elemanlar üzerine işlenmiş hali aşağıda verilmiştir.
28.15
30 47.04
O
45O
26.5O
33.48
18.53
45
O
26.5
F düğümünde   ∑ Fx = 0


Kontrol (x,y)   ∑ Fy = 0
47.04 cos 45 − 28.15 cos 45 − 33.48 cos 26.5 + 18.53 cos 26.5 = 0
47.04 sin 45 − 30 + 28.15 sin 45 − 33.48 sin 26.5 − 18.53 sin 26.5 = 0
102
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
Uygulama: Verilen kafes sistemin çubuk kuvvetlerinin bulunması
10 kN
20 kN
C
B
D
G
10 kN
F
3m
3m
∑ ME = 0
A
E
6m
HA
71.6
VA
HA + HB − Cos71.6 ⋅ (10 + 10 + 10) = 0
HA + HB = 9.47 2
∑ Fy = 0
VA + VB − 3 ⋅ 20 − 3 ⋅ 10 ⋅ sin 71.6 = 0
VA + VB = 88.47 3
VB = 0 ise 3. denklemden
2. denklemden HA + HB = 9.47
10 kN
m
m
O
G
HB + FBC = 0
6m
12VA + 12VB + 3HB = 439.79 1
VA = 88.47 ↑
HA
VA
FAG
20 kN
207.28
0.95FCD + 0.707FCF = 121.97
−0.316FCD − 0.707FCF = −58.98
FCD
45o
0.0 FCF
FCD
o
0.0 45
FCDsin71.6
71.6o
71.6o
10 kN
− 38.88cos 45 + 128.3 + FDF cos 71.6 + FEF = 0 0.316FDF + FEF = −100.81
38.88 sin 45 + FDF sin71.6 = 0
20 kN
10 kN
FEF
∑ Fx = 0
125.13
FCF
10 kN
20 kN
207.28
10 kN
FCDcos71.6
10 kN
FDE
45O
FAG
VA=88.47
FCD = 99.46 kN
FCD
∑ Fy = 0
HA=197.81
FGC = 0
− 20 − 10 sin71.6 − FCD cos71.6 + 125.13 sin 45 − FCF cos 45 = 0
∑ Fx = 0
HB = −207.28 kN
FAG = −128.30 kN = FGF
∑ Fy = 0
FGC
FBC
FAC = −125.13 kN
− 207.28 − 10 cos71.6 + FCD sin71.6 + 125.13 cos 45 + FCF sin 45 = 0
FAC
VB
FAC
∑ Fx = 0
20 kN
FBC
HB
HA = 216.75 kN
 ∑ Fy = 0 88.47 + FAC sin 45 = 0

A düğüm dengesi 

 ∑ Fx = 0 216.75 + FAC cos 45 + FAG = 0
FCF = 38.88 kN
10 kN
O
E
3m
VA + VB = 88.47
FBC = 207.28 kN
G noktasında ∑ Fy = 0
20 kN
m
18.4
FAC
∑ Fx = 0
5.692
F
12 ⋅ 88.47 + 12 ⋅ 0 + 3HB = 439.79
HA − 207.28 = 9.47
10 kN
D
1.8m
3m
∑ Fx = 0
1. denklemden 12VA + 12VB + 3HB = 439.79
4.243
71.6o
20 kN
0.6m
12VA + 12VB + 3HB − 20 ⋅ 9 − 10 ⋅ 9.487 − 20 ⋅ 5.4 − 10 ⋅ 5.692 = 0
B düğüm dengesi ∑ Fy = 0
O
3.795
4.243m
3m
20 kN
71.6
C
HB V B
B
10 kN
3m
A
10 kN
20 kN
20 kN
18.4o
E
FDE
91.66
FDF = −28.97 kN
20 kN
10 kN
18.4o
E
71.6
FEF = −91.66 kN
FCF
FGF
FDF
F
FDF
38.82
FFE
45
O
128.3
o
10 kN
91.66 − FDE cos18.4 − 10 cos 71.6 = 0
FDE = 93.27 kN
103
http://mizan.ogu.edu.tr.
71.6
F
O
FFE
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
FFG FGH FGI FHI çubuk kuvvetlerinin kesim metoduyla bulunması [Yükseklik eşit ve 8/3].
ÖRNEK 3.10.
100 N
100 N
100 N
100 N
100 N
F
H
100 N
G
A
500 N
100 N
Her açıklık 5
H
100 N
8m
G
I
B
500 N
500 N
100 N
F
500 N
Ay=1250
m
100 N
I
B
By=750
500 N
500 N
Her açıklık 5
8m
m
Çözüm: Đlk önce mesnet kuvvetleri hesaplanır.
∑ MA = 0
100 x [5 + 10 + 15 + 20 + 25] + 500 x [5 + 10 + 15] − 30B y = 0
B y = 750N
∑ MB = 0
100 x [5 + 10 + 15 + 20 + 25] + 500 x [15 + 20 + 25] − 30 A y = 0
A y = 1250N
FHFsinα
100
F Ncos
HF
FHFsinα
FHF
100 N
F
HF
H
100 N
Ay=1250
500 N
100 N
F
x=15sin47
H
100 N
8m
α=28o
FHGsinα
B
By=1250
FGI
Her açıklık 5
FHF
500 N
Ay=1250
m
G
100 N
8m
β=43o
FHG
G oI
γ=47
G
500 N
100 N
β=43o
FHG
∑M
100
F Ncos
G oI
γ=47
α=28o
FGI
500 N
FHGaçıklık
cosα 5m
Her
B
By=750
= 0 8xFHF cos28 + 750x15 − 100x5 − 100 x10 = 0 FHF = −1380.32N
G
FHG ⇒
∑M
veya
B
= 0 15 xFHG cos 43 + 100 x5 + 100 x10 = 0 FHG = −136.73N
∑M
B
FGI ⇒
= 0 15sin47 xFHG + 100x 5 + 100x10 = 0 FHG = −136.73N
∑M
H
= 0 750x10 − 100x 5 − [2x8 / 3]xFGI = 0 FGI = 1312.5N
FHF
100 N
100 N
FHI
FGI I
100 N
100 N
F
100
100 N
α=28o
100 N
F
H
FHG
100 N
β=43
8m
100 N
FGF
H
100 N
FGH
o
8m
By=750 N
G
500 N
Ay=1250
500 N
G oI
γ=47
FGI
α=28o
A
B
By=750
A
500 N
500 N
G
I
G 500 NFGI
B
=750 N
Her açıklıkdaha
5
FHI çubuk kuvveti için bir kesim
yapılır. ∑ MB = 0 10 x FHI − 100 xHer
5 açıklık
= 0 5 FHI = 50B N
FGF çubuk kuvveti ise aşağıdaki gibi kesim yaparak bulunur.
m
m
y
∑ M A = 0 15 x FGF − 15 x FGH sin 47 − 750 x 30 + 100 [15 + 20 + 25 ] = 0 FGF = 1200 N
104
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
ÖRNEK 3.11. FBD FCD FCE çubuk kuvvetlerinin kesim metoduyla bulunması.
2000 N
D
4000 N
B
F
30
2000 N
O
A
E
C
3m
G
2000 N
3m
3m
Mesnet tepki kuvvetlerinin hesabı FG = 3 cos 30 = 2.6 m
DG = 4.5 / cos 30 = 5.2 m
2000 N
D
4000 N
B
F
2000 N
30O
A
E
C
Ay=2980 N
3
m
3
G
2000 N
m
3
By=750 N
m
∑ MB = 0 2000 x 3 + 4000 x 2.6 + 2000 x 5.2 − 9 A y = 0 A Y = 2980 N
∑ Fy = 0 B y + 2980 − 2000 − 8000 cos 30 = 0 B Y = 5950N
∑ Fx = 0 B x − 8000 sin30 = 0 B x = 4000N
D
∑ MD = 0 2980 x 4.5 − 5.2sin30FCE = 0 FCE = 5157.69N
B
30O
∑ MC = 0 2980 x 3 + 3 sin30FBD = 0 FBD = −5960N
FBD
FCD
C
FAC
x=5.2sin30
Ay=2980 N
∑ MA = 0 5.2 sin30FCE = 0 FCE = 0
veya
∑ Fy = 0 2980 + cos60FBD + cos30FCD = 0 FCE = 0
4 kN
G
ÖRNEK 3.12. Şekilde verilen sistemde,
3
a. FEC FED FFD ve FDB çubuk kuvvetlerinin
m
2m
4 kN
E
F
3m
4 kN
b. Mesnet tepki kuvvetlerinin hesaplanması.
D
C
3
m
3m
4 kN
Çözüm: Şekildeki gibi sistem kesilir ve FED çubuk kuvveti bulunur.
A
B
4m
105
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
tan α = [ 2 / 3]
α = 33.69o
4 kN
G
x=6sin33.7
∑ MG = 0
4 x 3 + 6 xFED sin33.69 = 0
FED = −3.606 kN
2m
4 kN
∑ MG = 0
4 x 3 + FED [6 x sin33.69] = 0
2m
VEYA
F
4 kN
α
E
[B]
4 kN
G
[A]
FED = −3.606 kN
F
E
FED
FEDsinα
D
D
FEDcosα
[C]
∑ MG = 0
4 x 3 + FED [3 x sin33.69 + 2 x cos33.69] = 0 FED = −3.606 kN
4 kN
tan β = [ 6 / 4 ]
∑ MD
o
α = 56.31
=0
2m
4 kN
[A]
4 x [3 + 6] − 4 xFEC sin56.31 = 0
FEC = 10.82 kN
∑ MD
∑ ME = 0
4 kN
F
2
FFD
β
FECcosβ
D
FED
m
F
α
E
β
FECcosβ
G
α
E
FECsinβ
[B]
4 kN
G
x=4sin56.31
D
FFD
FECsinβ
FED
[B]
=0
4 x [ 3 + 6 ] − FEC [4 x sin56.3] = 0 FEC = 10.82 kN
4 x 3 + 2 x FFD = 0
4 kN
FFD = −6 kN
G
4 kN
FDB çubuk kuvveti için aşağıdaki şekilde kesim yapılır.
2
m
F
E
C
D
FDB
4 kN
G
∑ MC = 0
4 x [3 + 6 ] + 4 x FDB = 0
FDB = −9 kN
3m
4 kN
E
∑ MA = 0
4 x [12 + 6 + 9] − 4 x B y = 0
B y = 27 kN
∑ MB = 0
4 x [12 + 6 + 9] + 4 x A y = 0
A y = −27 kN
∑ Fx = 0
4 x 4 − Ax = 0
F
3m
4 kN
C
Mesnet kuvvetleri,
2m
D
3m
3m
A x = 16 kN
4 kN
A
27
16
ÖRNEK 3.13. Şekilde verilen sistemde,
B
27
A
20 kN
5m
B
a. FBD, FBE, FCE, FDE ve FEG çubuk kuvvetlerinin
C
20 kN
b. Mesnet tepki kuvvetlerinin hesaplanması.
J
5m
D
E 20 kN
20 kN
5m
F
4 kN
tan β = 2 / 5
β = 21.80o
tan γ = 5 / 4 γ = 51.34o
4
m
2
m
G
2m
4
m
H
∑ MB = 0
20 x 5 − 4FCE = 0 FCE = 25kN
∑ MH = 0
20 ⋅ [ 5 + 10] + 15FBE cos γ = 0 FBE = −32.02kN
∑ MC = 0
32.02
20 ⋅ 5 − 4FBD cos β + 5 ⋅ FBE
cos γ = 0 FBD = 53.85 kN
β
20 kN
20 kN B
FBD
γ
A
C
FCE
FBEcosγ
FBE
106
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
∑ MI = 0
H
20 x [ 5 + 10 + 15] − 15FDE = 0 FDE = 40 kN
β
∑ ME = 0
− 20 x [ 5 + 10 ] + 15FBD sin β = 0 FBD = 53.85 kN
∑ MD = 0
20 x [ 5 + 10 ] + 6FEG = 0
FEG = −50 kN
∑ Fx = 0
20 kN
∑ FY = 0 FEG + FBD cos β = 0
FEG = −50kN
20 kN B
A
C
γ
20 kN
FBD
20 + 4 + Fx = 0 Fx = 84 kN ⇐
FDE
Mesnet kuvvetleri
FGE
∑ MF = 0
20 ⋅ [ 5 + 5 + 10 + 15] − 8Gy = 0 Gy = 87.50 kN ⇑
Fy = −87.50kN ⇓
ÖRNEK 3.14. Şekilde verilen kafes sistemde FFG, FDG FDH ve FDE çubuk kuvvetlerinin hesabı.
3 kN
A
3 kN
C
FFGcosα
B
E
D
A
m
4.04
F
FFGsinα
α=30O
7 kN
H
3 kN
3 kN
C
F
4.04m
m
m
7
4.04m
G
m
7
7
4.04m
H
G
m
B
E
D
7
7m
G
m
7
7m
m
7
8 kN
Çözüm: Sistem simetrik olmasından dolayı mesnet tepki kuvvetleri birbirine eşit olup düşey yüklerin
yarısına eşit olur. Ay=(3+3+8)/2=7 kN By=(3+3+8)/2=7 kN
FEG çubuk kuvvetini bulmak için bu çubuk kuvveti bileşenlerine ayrılır ve A veya G noktasına taşınarak
D noktasına göre moment alınarak bulunur.
A noktasında bileşenlerine ayrılırsa ∑MD = 0 14 ⋅FEG sin30 + 3 ⋅7 −14 ⋅7 = 0 FEG = 11.00 kN

D
G noktasında bileşenlerine ayrılırsa ∑MD = 0 8.08 ⋅FEGcos30 + 3 ⋅7 −14 ⋅7 = 0 FEG = 11.00 kN

Sistemin simetrik olmasından dolayı simetrik olan çubukların kuvvetlerinin eşit olacağından FEG= FGH
olur ve G düğümünde düşey denge yazılarak FDG dik çubuk kuvveti bulunur.
∑ Y = 0 2adet ⋅11⋅sin30 + FDG − 8 = 0 FDG = −3 kN
FDG
FEG=11
α=30O
FGH=11
G
α=30O
8 kN
( −3kN)
∑MA = 0 8.08 ⋅FDH cos30 + 3 ⋅7 +14 ⋅FDG = 0 FDH = 3.00 kN
FDHcosα
FDHsinα
FDHcosα FDHsinα
3 kN
A
C
7 kN
α=30O
3 kN
B
E
D
m
4.04
F
m
7
G
7 kN
m
7
α=30O
B
E
D
H
4.04m
7
3 kN
C
G
m
3 kN
A
FDH
4.04m
FDH
F
H
m
4.04m
7
G
7m
∑MG = 0
(3kN)
8.08 ⋅FDE + 8.08 ⋅FDH
cos30 − 3 ⋅7 + 7 ⋅14 = 0
107
m
7
G
7m
m
7
FDE = −12.13 kN
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
ÖRNEK 3.15. Şekilde verilen K kafes sistemde FDK FEI FDG FEG çubuk kuvvetlerinin kesim
metodu ile bulunması [Yükseklik eşit ve 6/2].
K
H
K
H
D
D
A
20 kN
20 kN
4x4
I
A
B
m
E
C
E
C
6
G
F
6m
G
F
20 kN
Ay=25 kN
m
I
20 kN
4x4
B
By=15 kN
m
Çözüm: Sistemin mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
∑ Fy = 0
∑ MA = 0
20 x [ 4 + 8 ] − 16 B y = 0
B y = 15 kN
∑ MB = 0
20 x [ 8 + 12 ] − 16 A y = 0
A y = 25 kN
A y + B y = 40
Buradaki kesimde 4 çubuk kesilmiştir.
H
D FDK
FDG
FDK ⇒ ∑ ME = 0
G
F
25 x 8 − 20 x 4 − 6 x FDK = 0 FDK = 20 kN
FEI ⇒ ∑ MD = 0
25 ⋅ 8 − 20 ⋅ 4 + 6 ⋅ FEI = 0 FEI = −20kN
FEG
E
C
20 kN
20 kN
FEI
Ay=25 kN
NOT: Kesim sonucu FEG ve FDG çubuk kuvvetlerini bulmak için FEF ve FDF çubuk kuvvetlerinin
hesaplanmış olması gerekir. Bunun için aşağıdaki şekilde kesim yapılır.
F düğümünde yatay ve düşey dengenin olması koşulu yazılırsa,
∑ Fy
FD sin α − FE sin α − 20 + 25 = 0
∑ Fx
FD cos α + FE cos α = 0
FD sin 36.87 − FE sin 36.87 = −5
H
FDcos 36.87 + FE cos 36.87 = 0
FBD
FFD
F
α = 36.87 için
o
C
0.6FD − 0.6FE = −5
FFE
FCE
FD = −4.17 kN FE = 4.17 kN
Ay=25 kN
20 kN
0.8FD + 0.8FE = 0
∑ Fy
FD sin α − FE sin α − 20 + 25 = 0
FD sin36.87 − FE sin 36.87 = −5
∑ Fx
FD cos α + FE cos α = 0
FD cos 36.87 + FE cos 36.87 = 0
0.6FD − 0.6FE = −5
FD = −4.17 kN FE = 4.17 kN
0.8FD + 0.8FE = 0
Örnek: Verilen kafes sistemde belirtilen çubuk kuvvetlerini hesaplayınız.
∑Fx =0 A x =100N
∑MA =0 80i(4 + 8)+ 200i12+ 60i(16 + 20 + 24)−100i3 −24By =0 By =277.5N
∑277.5 + 342.5 −3 i80 −3i 60 − 200 =0
∑Mg =0 12A y −100i3 −80i(4 + 8 +12)+ 60i(4 +8 +12)−12By =0 A y =342.5N 
108
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
80
KAFES SĐSTEMLER
80
60
80 N
c
3m
60
f
e
4m
4m
4m
Ax
100
g
Ay
4m
e
4m
4m
80
d
g
∑Me =0 342.5i8 −80i(4 + 8)+ 6Fcf =0
Fcf =−296.67N
∑Mc =0 342.5i8 −80i(4 + 8)−100i6 −6Feg =0
Feg =196.67N
200
80
80 N
Fcf
Ff df
c
θ
θ
d
3m
Fdg
∑Md =0 342.5i8 −80i(4 + 8)−100i3 −3Feg +3Fcf =0
Fcf =−296.67N
∑Md =0 342.5i8 −80i(4 + 8)−100i3 +3( −Fcf )−3Feg =0
Feg =196.67N
g
4m
80
Fcd=(42+32)0.5=5m
sinθ=3/5=0.6
cosθ=4/5=0.8
Feg
e
4m
342.5
200
80 N Fcf
80
c
3m
f
g
4m
e
4m
342.5
Fdfcosθ
θ
θ
d
3m
100
Feg
e
4m
3m
100
Feg
200
Fdgsin
θ
Fdgcosθ
∑Mf =0 342.5i12−80i(4 + 8 +12)−100i6 −6Feg196.67 −6Fdg cosθ=0
∑Mg =0 342.5i12−80i(4 +8 +12)+ 6( −Fcf 296.67 )+ 6Fdf cosθ=0
∑Mh =0 6Faf = 60i 4 + 60i8 −277.5i8 −100i3
∑Mq =0 6Fhg + 60i 4 + 60i8 − 277.5i8 +100i3 =0
85.41
196.67
By
f
3m
80
4m
Fcf
c
4m
342.5
4m
80 N
3m
100
4m
200
200
80
60
f
3m
4m
60
d
B
4m
60
80 N
c
3m
g
4m
80
100
d
3m
A
80
60
Ffg
Faf =−300N
Fdg =85.41N
Fdf =−85.41N
60
60
Faf g
100
Fhg = 200N
Fhg h 4m
Fgb
α F
hg
60
4m
By
200
∑X =0 200 −196.67 −85.41i0.8 +Fgb cosα=0
Fgb =81.25N
∑Y =0 85.41sinα+Ffg − 200 +Fgb sinα=0
Ffg =100N
109
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
ÖRNEK 3.16. Verilen kafes sistemde Œ,  ve ‘ çubuk kuvvetlerinin bulunması.
1.5m
Œ


1.5m
1.5m

Ž
‘
A
B
20 kN
3
m
3
m
3
m
3
m
Đlk önce mesnet tepki kuvvetleri Ay=5 kN By=15 kN olarak bulunur. Đstenilen çubuklardan geçecek şekilde
kesim uygulanarak çubuk kuvvetleri aşağıdaki şekilde bulunur.
N
NŽ
NŒ
NŒ


NŽ

1’
1 N‘
A
N
N1
1
A
N1

N‘
5 kN
5 kN
3m
3m
3m
1 düğümünde moment ve yatay denge yazılır.
ΣM1=0
ΣFx1=0
-1
NΠ= 5.59 kN
5 x 3 + 3 x cos (tan (1.5/3)) NΠ=0
-1
cos (tan (1.5/3)) NŒ +N‘ = 0
NŒ = -N‘
N‘ = 5.00 kN
1’ sanal düğümünde moment dengesi yazılır.
ΣM1’ =0
ΣM1’ =0
5 x 3 - 6 x N =0
N = 2.50 kN
veya
-1
2
2 0.5
5 x 3 – sin (tan (6/3)) x (6 +3 ) N =0
110
N = 2.50 kN
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
ÖRNEK 3.20. Şekilde verilen üç mafsallı kafes sisteminde FFH ve FDE çubuk kuvvetlerinin hesabı. [Not:
6 kN 5.5m nin ortasından ve 9 kN da BC boyunun düşey ve yatay boyların ¼’den etkiyor.]
F
D
H
C
9 kN
E
Mafsal
M=0
4.0m
B
6 kN
1.5m
A
3.5m
5.5m
Çözüm: Verilen sistemin mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
ΣMB=0
9 x 3.81 / 4 + 6 x [3.5 + 2.75 ] + 1.5 A x − 9 A y = 0
F
1.5 A x − 9 A y = −46.07
1
D
H
C
E
Mafsal
M=0
4.0m
9 kN
6 kN
B
Bx
1.5m
Ax
By
A
5.5m
3.5m
Ay
F
H
C
4.0m
6 kN
Ax
A
5.5m
Ay
ΣMC=0
∑ MC = 0
6 x 2.75 + 4 A x − 5.5 A y = 0
1 ve 2 nolu denklemlerin ortak çözümünden Ax=3.78 kN
4 A x − 5.5 A y = −16.50
Ay=5.75 kN
olarak bulunur.
9 cos 66.8 x [1.5 + 2.5 / 4 ] − 9 sin 66.8 x [5.5 + 3x3.5 / 4 ] − 6 x2.75 + 1.5B x + 9B y = 0
ΣMA=0
1.5B x + 9B y = 76.18
1
111
http://mizan.ogu.edu.tr.
2
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
F
D
H
23.2o
E
9cos66.8
4.0m
Bx
B
6 kN
9sin66.8
1.5m
By
Ax
A
5.5m
3.5m
Ay
−9 cos 66.8 x [3x2.5 / 4 ] − 9 sin 66.8 x [3x 3.5 / 4 ] − 2.5B x + 3.5B y = 0
ΣMC=0
− 2.5B x + 3.5B y = 28.36
2
1 ve 2 nolu denklemlerin ortak çözümünden Bx=0.41 kN
By=8.40 kN
olarak bulunur.
D
C
23.2o
E
9cos66.8
Bx
B
9sin66.8
1.5m
By
3.5m
3.7. HĐPERSTATĐK KAFES SĐSTENLER
Hiperstatik kafes sistemler aşağıda maddeler halinde açıklanmaktadır.
1.
Mesnet sayısı ikiden fazla olan kafes sistemlere bilinen üç denge denklemiyle
çözülemeyeceğinden dıştan hiperstatik sistem denir.
P
2P
B
A
C
Verilen bu sistemde mesnet tepkileri [Ay, By ve Cy] bakımından sistem birinci dereceden hiperstatiktir.
2.
Bir kafes sistemde mesnet tepkileri 3 denge denklemleri ile bulunuyor iken çubuk
kuvvetleri bulunamıyor ise böyle sistemlere içten hiperstatik denir. Bunun kontrolü
aşağıdaki gibi yapılır.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
3.
m: çubuk sayısı
n: düğüm sayısı
r: mesnet tepki sayısı
q=2n-r
Hiperstatiklik derecesi=m-q
1. ve 2. maddedeki durumların birlikte olması durumunda da sistem hem içten hem
dıştan simetrik olur.
112
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
ÖRNEK 3.17. Aşağıdaki kafes sisteme mesnet tepkilerinin bulunması.
Ž

3m

‘
Œ
4m

4m
4m
30 kN
ΣMŒ=0 dan  mesnedinin düşey tepkisi,
30 x 8 +– 12 Y = 0
Y= 20 kN
ΣM=0 dan Œ mesnedinin düşey tepkisi,
30 x 4 Р12 YΠ= 0
YŒ= 10 kN
Ancak bu sisteme yukarıda verilen şartlar uygulanırsa
m=10, n=6, r=3, q=2n-r=2x6-3=9 ve
Hiperstatiklik derecesi=m-q=10-9=1
olduğu görülür. Yani bu sistem içten birinci dereceden hiperstatiktir. 1 ve 2’de açıklandığı gibi sistem
hem içten hem de dıştan hiperstatik olabilir. Bu hiperstatik kafes sistemlerin çözümü ileri dönemlerde
Yapı Statiği derslerinde açıklanacaktır.
ÖRNEK 3.18. Verilen kafes sistemin hiperstatik olup olmadığının belirlenmesi.

Ž
10 kN
6m


Œ
6m
6m
m=8, n=5, r=4, q=2n-r=2x5-4=6 ve
Hiperstatiklik derecesi=m-q=8-6=2
Sistemde ikinci dereceden hiperstatiktir. Ancak sistem 3 mesnet olmasından dolayı sistem dıştan 1 ve
içten 1 olmak üzere ikinci dereceden hiperstatiktir.
113
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
3.8. UZAY KAFES
Yapı teknolojilerinde hafif, hızlı ve endüstrileşmiş çözümler arayışı uzay kafes sistemlerin doğmasına
sebep olmuştur. Bu sistemler yapılarda büyük açıklıkların kolonsuz ve hafif bir yapı sistemi ile
geçilmesini sağlayarak işlevsel olarak yapıların daha esnek ve kullanışlı olmasını sağlamaktadır. Uzay
kafes sistemlerin tarihte ortaya çıkışı deniz kabuklusunun geometrik yapısına duyulan hayranlıkla
başlar. Çubuk ve düğümlerden tasarlanarak geliştirilen sistem; Dr. Max Mengeringhausen’in deniz
kabuklusunda hayran kaldığı logaritmik heliks büyümenin bir etkisi gibi yapılarda büyük açıklık
geçebilen sistemlerdir [1].
Şekil 1. Dr. Max Mengeringhausen ve ilk uzay kafes sistem modeli (1903-1988) [1]
Đlk olarak Dr. Max Mengeringhausen uzay kafes sistemleri geliştirmiş ve 1940'lı yıllarda yapılarda
kullanmıştır. Mengeringhausen "Bauhaus" ekolü ile ortaya çıkan mimaride berraklık, güzellik ve
işlevselliğin en güzel örneğini uzay kafes sistemlerini geliştirerek ortaya koymuştur. Bauhaus’un
kurucusu olan Gropius, Mengeringhausen’nin geliştirdiği çubuk/düğüm (uzay kafes) sistem ile ilk
yapılar 1942 yılında yapılmıştır. Çubuk/düğüm sistemler kısa zamanda büyük programlar içinde
endüstriyel şekilde üretilen sistemler olmuşlardır. Uzay kafes taşıyıcı sistemlerin birim elemanı, altı
çubuk ve dört düğüm noktasından oluşan bir dörtyüzlüdür. Böyle bir dörtyüzlü her biri aynı düzlem
içinde bulunmayan üç çubukla kolaylıkla büyütülebilmektedir. Çubuk birleşimleri, montajda çeşitli
kolaylılar sağlayan patentli düğüm noktası elemanları ile yapılmaktadırlar.
Statik yararları açısından, bu sistemler diğer bir çok taşıyıcı sistemlere oranla çok daha hafiftirler. Sabit
yüklerin azlığı sadece çatıda değil, alt sistem öğeleri ile temellerde kendini göstermekte ve buna bağlı
olarak maliyet önemli ölçüde azalmaktadır. Uzay kafes sistemler günümüzde büyük açıklıklı sanayi ve
spor kompleksi yapıları ve uçak hangarlarının örtülmeleri konusunda oldukça fazla uygulama alanı
bulmaktadır (Şekil 2). Teknolojinin ilerlemesiyle birlikte bu sistemlerle 150 m’ye kadar olan açıklıklar
geçilmektedir. Bu strüktür sistemleriyle kare, dikdörtgen, poligon ve daire şeklindeki mekanlara uygun
örtü biçimleri oluşturularak mimari görünüm kazandırmaktadır. Düzlem yüzeyler ve bunun katları
geliştirilebileceği gibi, ayrıca kubbe ve tonozsal biçimler ve bunların tekrarı şeklinde de
kurulabilmektedir. Ayrıca Uzay kafes sistemlerde elektrik, sıhhi tesisat, havalandırma kanalları klima,
iklimlendirme sistemleri gibi donatılar, bu sistemlerin oluşum ilkesinden doğan boşluklarda kendilerine
kolaylıkla yerleşim alanı bulabilmektedir. Uzay kafes sistemlerle geometrisi tanımlanan hemen her
form çözülebilir. Bu da mimari isteklere statik olarak cevap verebilmek demektir.
Şekil 2. Çeşitli uzay kafes sistem örnekleri [2]
114
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
Uzay kafes sistemleri gerekli tasarım ve mühendislik hesapları yapıldığında her yükü taşıyabilir. Şekil
3’de görüldüğü gibi sürekli ve hareketli yüklerin olduğu köprüde taşıyıcı sistem olarak uzay kafes
seçilmiştir. Yukarıdaki şekillerin incelenmesinden de görülebileceği gibi geniş açıklıklı yapıların
[otogar, alış veriş merkezleri, hangar, köprü gibi] çatılarının kapatılması ve mimari görünüm
kazanılması için sık olarak kullanılır. Geniş açıklıkların betonarme ve iki boyutlu kafesler ile geçmek
mümkün ve ekonomik olmayabilir. Bu amaçlarla kullanılan,
1. Bundan önce incelenen iki boyutlu kafes en az üç elemanlı ve üç düğüm noktalı olmak
üzere elde edilmişti.
y
x
2. Bu üç elemanlı sisteme,
a. Yeni üç eleman ekleyerek
b. 4 düğüm noktası [üç düğüm ile aynı düzlemde olmayan ilave bir düğüm noktası
yani üç boyutlu olacak şekilge]
c. 4 yüzlü bir sistem
y
y
y
x
z
z
x
x
z
d. 6 bilinmeyenli olacak şekilde sabit ve kayıcı mesnet düzenlenmesiyle
[daha fazla
ΣFx=0
ΣFy=0
olması durumunda sistem hiperstatik olacağı için çözümü bu aşamada olmaz
ΣFz=0 ΣMx=0 ΣMy=0 ΣMz=0]
y
y
x
z
z
e.
x
x
Küresel
mesnet
z
Büyütmek için ilave bir düğüm teşkil edecek şekilde 3 eleman ekleyerek yapılan
y
x
z
115
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
f.
Elemanlar birbirine kaynak ve perçinle yapılan
g. Düğüm noktaları moment taşımayan yani mafsallı
taşıyıcı sistemlere UZAY KAFES sistem denir. Bu kafes sistemde,
h. m: çubuk sayısı
i. n: düğüm sayısı
j. r: mesnet tepki sayısı [6]
olmak üzere,
1.
2.
3.
m+6=3n ise sistem izostatik
m+6>3n ise sistem hiperstatik
m+6<3n ise sistem labil
olur. Burada izostatik sistemler incelenecektir.
Uzay kafes sistemlerin çözümünde, düzlem kafes sistemlerin düğüm noktalarında yazılan,
ΣFx=0
ΣFy=0
ΣFz=0
ΣMx=0
ΣMy=0
ΣMz=0
denge denklemleri yazılır. Ayrıca kesim metodu uzay kafes sistemlerin çözümünde de uygulanabilir.
Kesim metodunun uygulandığında kesim ile en fazla 6 çubuk kesilebilir.
ÖRNEK 3.19. Şekilde verilen uzay kafes sisteminde çubuk kuvvetlerinin hesaplanması
[A mesnedi ve C mesnedi küresel mesnet B mesnedi ise kablo [Ax Ay Az Cx Cy Cz Bx]].
Bx
x
y
x
B
B
5m
5m
8m
8m
Cz
C
O
6m
A
z
5m
D
6m
5m
Cx
6m
A
5m
Ax
D
6m
5m
5 kN
Cy
C
O
Ay
Az
z
y
x
5 kN
x
Çözüm: Serbest cisim diyagramı yandaki gibi elde edilir.
116
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
ΣFx=0
Ax - Bx+ Cx=0
ΣFy=0
Ay+ Cy – 5 =0
ΣFz=0
Az + Cz =0
rAD x 750 + rAB x B + rAC x C = 0
∑ MA
=0
rAD = [6 i − 5 k ] m
rAB = [8 j − 5 k ] m
rAC = [ −10 k ] m
j
k  i
j k  i
j
k 
i


 
 
=
−
+
−
+
−
M
6
0
5
0
8
5
0
0
10
∑ A 
=0
 
 


0 − 5 0   −B x 0 0  Cx C y Cz 
∑ MA = [ −25 i − 30k ] + [5B x j + 8B xk ] + [10C y i − 10C xy ] = 0
i
− 25 + 10C y = 0
Cy = 2.5 kN
j
5B x − 10C x = 0
C x = 1.875 kN
k
8B x − 30 = 0
B x = 3.75 kN
∑ Fx
=0
A x + Cx − Bx = 0
A x + 1.875 − 3.75 = 0 A x = 1.875 kN
∑ Fy
=0
A y + C y − −5 = 0
A y + 2.5 − 5 = 0
A y = 2.5 kN
z ekseni yönündeki mesnet tepki kuvvetleri olan Az ve Cz bulmak için aşağıdaki yol izlenir.
rAB = [8 j − 5k ]m
rAB = 82 + 52 = 9.434m
[8 j ]
r
[5 ]
u AB = AB =
− k = 0.848 j − 0.530k
rAB 9.434 9.434
A düğümünde denge
rAD = [6 i − 5k ]m
rAD = 62 + 52 = 7.810m
[6 i ]
[5 ]
r
u AD = AD =
− k = 0.768 i − 0.640k
rAD 7.810 7.810
∑F = 0
[A x A y A z ] + TABuAB + TADuAD
∑ Fx = 0
A x + TABuAB + TADuAD = 0
1.875 + TAB [0] + TAD [0.768] = 0
∑ Fy = 0
A y + TABuAB + TADuAD = 0
2.5 + TAB [0.848] + TAD [0] = 0
∑ Fz = 0
A z + TABuAB + TADuAD = 0
A z + TAB [ −0.530] + TAD [ −0.640] = 0
TAD = −2.441 kN
TAB = −2.948 kN
A z = −3.125 kN
C düğümünde denge
117
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
rCB =[8 j +5k ]m rAB = 82 +52 = 9.434m
∑F=0
[8 j ]
r
[5 ]
uCB = CB =
+ k = 0.848 j +0.530k
rCB 9.434 9.434
rCD =[6 i +5k ]m rCD = 62 +52 = 7.810m
[6 i ]
[5 ]
r
uAD = CD =
+ k = 0.768 i +0.640k
rCD 7.810 7.810
[Cx Cy Cz ]+ TCBuCB + TCDuCD =0
∑Fx =0
Cx + TCBuCB + TCDuCD =0 1.875 + TCB [0]+ TCCD [0.768]=0 TAD =−2.441kN
∑Fy =0
Cy + TCBuCB + TCDuCD =0 2.5+ TCB [0.848]+ TCD [0]=0 TAB =−2.948kN
∑Fz =0
Cz + TCBuCB + TCDuCD =0 Cz + TCB [0.530]+ TCD [0.640]=0 Cz =3.125kN
rDB =[ −6Đ + 8 j ]m rDB = 82 + 62 =10.000m
B düğümünde denge
∑F y =0
−5 + TDBuDB =0 −5 + TDB [0.800]=0 TDB =6.250kN
r
[6 ] [8 ]
uDB = DB =− i + j =−0.600 i + 0.800 j
rDB
10 10
Bx
x
x
y
B
y
B
5m
5m
8m
C
Cy
8m
C
Cx
Cz
6m
6m
A
Ay
A
z
Az
z
Ax
5m
5m
D
6m
D
6m
5m
x
5m
5 kN
5 kN
x
9. UZAY KAFES SĐSTEMĐN BĐLEŞENLERĐ
Uzay kafes sistemler geniş açıklıkların geçilmesi için en uygun sistemdir. Uzay kafes sistemler ile
kazanılacak hacim ve tüketilen yapı malzemesi arasındaki oran diğer yapı malzemelerinin tüketim
oranına göre oldukça uygundur. Oluşturulacak hacim büyüklüğü ile yapı maliyeti ve geniş açıklıkların
geçilmesinde diğer yapı elemanlarının ağırlığı ve maliyeti ile ters orantılıdır. Bu sistemler, iskele
gereksinimini ortadan kaldırmak için genellikle zemin kotunda kurulmakta ve çeşitli yöntemler ile
yerlerine monte edilmektedirler. Bu nitelikler uzay kafes sistemler ile oluşan yapıların maliyetini ve
yapım sürecini azaltmaktadır. Uzay kafes sistemleri diğer yapı sistemlerinden ayıran en büyük özellik
montaj edilen yapı bileşenlerinin sökülerek başka bir yerde tekrar uygulanmaya imkan vermesidir.
Böyle bir şey betonarme için söz konusu değildir. Uzay kafes sistemler ise modüler olan yapı
bileşenleri ile rahatlıkla sökülüp taşınmakta ve başka bir yerde yeniden kurulabilmektedir (Şekil 7). Bu
nedenle kalıp ve iskele masrafı ortadan kalkmakta, inşaatın süratle bitirilmesi de ekonomi
sağlamaktadır.
Küreler
Düğüm
Somun
Konik
Pim
Şekil 7. Uzay kafes sistem düğümünde kullanılan elemanlar [2]
118
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
Çelikte de en hafif ve hiperstatik çözümü olan uzay kafes sistemlerdir. Uzay kafes sistemler yüksek
derecede hiperstatik sistemlerdir. Sistem elemanlarını eğilmeye zorlamadığı için büyük açıklıkların
geçilmesinde yapısal güven sağlanmaktadır. Uzay kafes sistemler diğer yapı sistemlerine oranla daha
hafiftir. Yapı sisteminden gelen sabit ve hareketli yüklerin zemine ileten temel sistemleri de yapının
hafif olması sebebi ile daha az yük taşıyacak şekilde ebatları küçük olmaktadır. Depremin etkisi
yapının ağırlığı ile doğrusal orantılı olarak arttığı için uzay kafes sistemleri depremden daha az
etkilenir. Betonarme yapı sistemlerine göre daha elastik ve sünektir [3].
Çelik yapı malzemeleri; üretimi, dağıtımı ve yapı sistemlerinde kullanımı yaygınlaştıkça ucuzlamış ve
günümüzde diğer yapı malzemelerine göre daha ekonomik olarak kullanılabildiği alanlar bulmuştur.
Yapı için gerekli açıklığın büyüklüğü arttıkça çelik kullanmak daha ekonomik bir hale gelmektedir.
Uzay kafes sistemleri yapının olduğu yerde değil endüstriyel olarak projesine göre fabrikada
üretilmektedir. Bu da yapı bileşenlerinin endüstrileşmiş bir seri üretim ile hızlı ve ekonomik olarak elde
edilmesi demektir. Uzun süre şantiye kurma ve sabit giderlerin ortaya çıkmasını bu endüstrileşmiş
yapım engellemektedir. Yapım yerinde sadece montaj yapılmaktadır. Hızlı yapılan montaj çok kısa
sürer, şantiye ve şantiyenin sabit giderleri gibi masrafları ortadan kaldırır. Kurulum parçaların birbirine
bağlanması ve bir somun anahtarı ile sıkıştırılmasından ibarettir. Sanayi tesislerindeki üretimin
sürekliliği ve sürdürülebilirliği önemlidir. Kısa sürede inşaatı bitirilebilen uzay kafes sistemler üretime
uzun süre ara vermeden tesisini yenilemek zorunda olan işletmeler içinde hızlı bir inşaat yöntemi
olarak seçilebilir.
3.9.1. Uzay Kafes Sistemlerin Projelendirme Esasları
Uzay kafes sistemler, düğüm noktaları mafsal bağlantılı kabulü ile tasarlanmış, narin kesitli boru
elemanlardan teşkil edilmiş yüksek dereceden hiperstatik sistemlerdir. Uzay kafes çatıların
hesaplarında yükler düğüm noktalarından aktarılır. Sadece eksenel yük alacak şekilde kesitler
boyutlandırılır. Bu yüzden imalat ve montaj sonrası da bu koşul sağlanmalı, gerek kaplama detayları
gerekse aksesuar bağlantıları elemanlara doğrudan veya kelepçeler ile bağlanmalı, tüm bu yükler küre
elemanlar üzerinde bırakılmış ve diş çekilmiş delikler yardımı ile sisteme aktarılmalıdır. Statik hesaplar
yapılırken, projenin uygulanacağı ülkenin ve bölgenin koşulları esas alınmalıdır. Seçilecek standart,
uluslararası alanda kabul gören ve yaygın olarak kullanılan bir standart olmalıdır. Bu durumda
hesaplarda bir standart bütünlüğü olmalı, bir kaç ülke normu bir arada kullanılmamalıdır.
Uzay kafes sistem elemanlarına gelecek kuvvetleri taşıyabilecek nitelikte seçilmelidir. Her elemana
gelen çekme ve basınç yüklerinin mutlak değerce en büyük olanı boyutlamada esas alınmalıdır (Şekil
8). Bir elemanın çekme taşıma kapasitesi, boru galvaniz deliği en kesiti, kaynak, konik ve cıvata
çekme kapasitesinin en küçüğü olarak seçilmelidir. Benzer şekilde bir borunun basınç taşıma
kapasitesi, boru ortasında burkulmalı basınç, galvaniz deliği en kesitine basınç, kaynak, konik ve
somun basınç kapasitesinin en küçüğü olarak seçilmelidir.
1 2
3 4 5
6
7
1-1.Cıvata diş dibi en kesitine göre çekme kapasitesi;
Çekme
2-2.Cıvata pim deliği en kesitine göre çekme kapasitesi;
3-3.Cıvata kafası, konik kalınlığından zımbalama tesiri ve kapasitesi;
4-4.Konik en kesitine, konik et kalınlığı için çekme taşıma kapasitesi;
5-5.Konik boru kaynağı en kesitinde, kaynak taşıma kapasitesi;
1 2
3 4 5
13
12
7
6
11 10
9 8
6-6.Galvaniz deliği en kesitinde, net en kesit alanı gerilme yığılmalı çekme
kapasitesi;
7-7.Boru ortasında boru en kesit için boru çekme kapasitesi.
8-8.Somun oturma yüzeyinde basınç ve ezilme taşıma kapasitesi;
Basınç
9-9.Somun pim deliği en kesitinde basınç taşıma kapasitesi;
10-10.Konik en kesitinde, konik et kalınlığı için basınç taşıma kapasitesi;
11-11.Konik-boru kaynağı en kesitinde, kaynak taşıma kapasitesi;
12-12.Galvaniz deliği en kesitinde net en kesit alanı gerilme yığılmalı basınç
13
12
11 10
9 8
Şekil 8. Çekme ve basınç çubuk bağlantı detayları
Statik hesaplar yapılırken, çözüme dahil edilen dış yüklerin toplamı, mesnet reaksiyonların toplamını
verir. Sıcak daldırma galvaniz işlerde, boru çekme ve basınç taşıma kapasiteleri hesabında, galvaniz
119
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
deliği nedeniyle olan kayıplar hesaba dahil edilmelidir. Bu kısımlar, gerilme yığılması yaratan
bölgelerdir. Net alan kullanılarak azaltılan en kesitler dahi büyük delik çaplarında problem yaratabilir.
Konik et kalınlığında cıvata kafasının zımbalama tesiri önemlidir. Bu tesirin oluşmaması için hem
konik et kalınlığı yeterli olmalı, hem de cıvata kafası yeterli çapta ve standartlara uygun seçilmelidir.
Sıcak daldırma galvanizli işlerde, cıvata sonradan boru içine atıldığından, galvaniz delikleri çapı,
cıvatanın sonradan içeri girmesine izin verecek büyüklükte olmalıdır. Galvaniz delikleri küçük yapılan
borularda muhtemelen bu delik cıvata atımı için değil başka amaçlara yönelik olabilir. Bu tür
projelerde, hazır galvanizli boru kullanmak gibi hatalı uygulama şekilleri kullanılmış olabilir.
Statik hesaplarda proje ve sözleşme şartlarına bağlı olarak göz önüne alınabilecek başlıca yük
kriterleri, zati ağırlıklar, servis yükleri (aydınlatma, havalandırma, temizlik teçhizatı…), deprem yükleri,
rüzgar yükleri ve sıcaklık tesirleridir. Kaynakların emniyet gerilmeleri şartnamelerde verilen limitlere
uygun seçilmelidir. Kaynak kalınlığı boru kalınlığından fazla olamaz. Kaynak kalınlığının üst siniri boru
et kalınlığını geçmeyecek şekilde standartlarda yer alan koşullar ile sınırlı tutulmalıdır (Örneğin max.
a<=0,7t min. ) (Şekil 9). Farklı malzeme kalitesinde olan çelik elemanların kaynaklanması halinde
kaynak emniyet gerilmesi, düşük kalitedeki malzeme esas alınarak hesaplanmalıdır. Örneğin St52
boru kullanılarak yapılmış uzay çatılarda koniklerin St37 olması halinde, kaynak emniyet gerilmesi
St37 için verilen değere göre seçilmelidir. Uzay kafes sistemlerde çubuk olarak kullanılan boru
elemanlar kesinlikle bir bütün olmalı yani kaynaklı birleşimle çubuk yapılmamalıdır. Aksi halde bu tür
çubuk elemanlarda hasar kaçınılmaz olmaktadır (Şekil 9)
Şekil 9. Kılıçoğlu Anadolu Lisesi uzay kafes sistem hasarları [4]
2
Yukarıdaki şekilde çatı hasarı görülen spor salonu çatısı 28.8x43.68 m ’dir. Çatı elemanları farklı
boyutlarda olabilen borular, konikler, cıvatalar, somunlar ve kürelerden oluşmaktadır. Boru uçları
koniktir. Konik ucunda yer alan cıvataya somun pim ile çakılmıştır.
Etrafı açık yapılarda rüzgar basınç faktörleri, kapalı alanlara göre 3 kat daha fazla olmaktadır. Örneğin
açık bir uzay etkileyen rüzgar yükü emme katsayısı C=l,2, kapalı bir uzayı etkileyen rüzgar yükü
emme kat sayısı C=0,4 olmaktadır [7]. Bu durum hesaplarda ve imalatta mutlaka göz önüne alınmış
olmalıdır. Uzay çatı boru elemanlarının narinlik hesabında burkulma boyu hesaplanırken, küre
aksından küre aksına olan boy esas alınmalıdır. Ayrıca çubukların maksimum olarak seçilen narinlik
oranı standartlarda belirtilen orandan fazla olmamalıdır. Çubuklara gelen maksimum çekme ve basınç
kuvvetlerine göre, eleman üzerinde teşkil edilen boru, cıvata, konik ve küre çapları uyumlu olmalıdır
(Şekil 10). Bu homojenliğin sistemin tamamında sağlanmış olmasına dikkat edilmelidir.
Şekil 10. Kurtuluş pazarı uzay kafes sistem hasarları
120
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
Uzay model geometrisi tasarlanırken modül genişliğinin yüksekliğe oranı 0,8 sabitiyle pratik olarak
hesaplanabilir [5]. Bu şekilde düğüm detaylarında minimum ölçülerle geçilmiş olunur. Bunun dışında
boru akslarında dar açılar bırakmaktan kaçınılmalıdır. Aksi durumda somun yada cıvata çakışması
sebebiyle büyük çapta küreler sistemde belirir. Montaj her zaman statik hesapların bir parçasıdır.
Montaj tasarımın en başında dikkate alınmalı ve alınması gereken önlemler tespit edilmelidir. Örneğin
dört açıklıklı bir uzayın ilk açıklığı komşu açıklıkların yardımıyla hafifletilse bile, montaj aşamasında bu
dengeleyici yerleşimin olmaması ilk açıklıkta sorun yaratabilir. Benzer bir şekilde vinç ile kaldırılan
uzayların kaldırma noktalarına yakın yerlerde veya farklı diğer bilgilerde, dikkate alınmaması halinde
elemanlar tehlike yaratabilir. Bu yüzden montaj yöntemi, mutlaka analizin bir parçası olarak
düşünülmeli ve paralel hazırlanmalıdır. Uzay kafes sistemlerde mesnet bağlantıları sistemin sıcak ve
soğuktan dolayı hareketine imkan verecek şekilde düzenlenmesi sistemin sağlıklı işlevini yapması
bakımından önemlidir. Ayrıca sistemin mesnetleri bağlantı noktalarına tam aksında yapılmalıdır. Aksi
halde çeşitli sebeplerden dolayı hasarlar kaçınılmaz olmaktadır (Şekil 11).
Kurtuluş Pazarı
Kılıçoğlu Anadolu Lisesi
Şekil 11. Mesnet bağlantı hasarları
Uzay kafes sistemlerin kar yükünün diğer düşey yüklerden daha fazla etkili olduğu görülmüştür.
Dünyada her kış birçok çatı kar yükü altında çökmekte can ve mal kaybına neden olmaktadır (Şekil
12). Özellikle büyük alanları kaplayan spor, sergi, kongre salonu, süper market, pazaryeri ve hangar
türü yapıların çelik yada ahşap taşıyıcılı çatıları çökmektedir. Çökme nedeni ilk bakışta kar yükü gibi
görünmekle birlikte bu doğru değildir. Çöken çatıların hemen hepside proje, inşaat ve bakım hataları
içermektedir. Kar yükü sadece çökmeyi tetiklemektedir.
Basmanny kapalı pazaryeri çatısı
Çelik kafes (2000 m2)/ Moskova-2006
Hartford Civic Center (Hartford belediye spor salonu) çatısı
uzay kafes (91.44x109.73=10034 m2) /ABD1978
Şekil 12. Kar yükünden dolay hasar gören uzay ve kafes yapıları [4]
Bad Reichenhall/Almanya spor salonunun çökmesi sonrası Alman Teknik Denetim Kurumu (TÜV)
geniş kapsamlı bir incele başlatmış, 200 den çok spor salonunda yaptığı incelemede çatıların
%24'ünde proje ve hesap hatası, %29'ünde malzeme ve inşaat hatası ve %37'sine bakım hataları
belirlemiştir. Kar yükü nedeniyle çöken çatı sadece %16 dır [4]. Doğu Karadeniz bölgesinde yapılan
121
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
araştırmada kar verilerinin yük değerleri istatiksel olarak incelenmiş günümüz şartlarındaki
değerlerin zamanın imkanlarıyla hazırlanmış TS498’deki değerlerden daha büyük olduğu
görülmektedir.
3.9.2. Üç Değişik Çatı Tipine Göre Çözülen Model
Burada uzay çatı konusunda genel bilgi vermek için bu çözüm yapılmıştır. Artık statik dersi alan bir
öğrenci mühendisliğin büyük bir kısmını tamamlamış sayılır. Çelik yapılarda çatının şekli ve eğimi
yapının ağırlığında ve dolaysıyla maliyetinde çok etkili bir parametredir. Bu nedenle bu bölümde 3
değişik çatı şekli için aynı yapı çözülerek değişim bir grafikte gösterilmiştir. Özel ilavelerin haricinde
standart modüle sahip ana bölüm uzay çatının çözümü aşağıda başlıklar halinde verilmiştir.
2
Betonarme kolon sistemi üzerine oturtulan 43,2x43,2 m kare geometriye sahip olup 7,2 m kolon
aralıklarına sahiptir. Yapı yüksekliği 15 m ve kaplama açısı 8° uzay diyagonal açısı 63° ‘dir. Mesnetler
ısı yüklerini sistem dışına atacak şekilde mesnet düzenlemesi yapılmıştır. Isı, yükleme durumları (zati,
hareketli..), yükleme kombinasyonları mesnet şartları yönetmelik kriterlerince alınmıştır. Bu çözümde
42 adet kombinasyon bulunmaktadır. Burada bazı kombinasyonlar devre dışı kalmaktadır. Hangi
kombinasyonun nerde lüzumlu nerde lüzumsuz muhakemesini yapmak tamamen zaman kaybıdır.
Sistem otomatik olarak devre dışı bırakır. Çözülen sistemde 761 adet düğüm noktası, 2888 adet
2
2
2
2
çubuk, 10 çeşit yük, E=21000000 kg/m , 22.3 kg/m zati yük, 105 kg/m ölü yük ve 80 kg/m rüzgar
yükü bulunmaktadır (Şekil 13) [6].
% 1 4 E ğ im
Ç a tı k a p la m a s ı+ A ş ık
A
B
C
y
x
z
122
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
y -y ö n ü n d e
k a y ıc ı
m esnet
S a b it
m esnet
x ve
y -y ö n ü n d e
k a y ıc ı
m esnet
ISI GENLEŞME YÖNÜ
x -y ö n ü n d e
k a y ıc ı
m esnet
y
x
Şekil 13. Çözülen çatı tipleri
Alınan model üç değişik durum için çözülmüştür. Birinci durum çatı düzlem olarak ve mesnet
düzenlerinin ısı yüklerini sönümleyici şekilde açık mesnet tipinde çözümüdür. Çatı kaplaması eğimi
aşık sistemiyle %14 eğim verilerek yapılmıştır (Şekil 13A). Bu çözüm sonucu bulunan kafes sistem
eleman ağırlıkları Tablo 1’de verilmiştir.
Tablo 1. Çözüm-1 Uzay Kafes Sistem Özet Değerleri
Toplam yapı ağırlığı [kg]
55723,9
Uzay kafes sistemin ağırlığı [kg]
45723,9
Aşık sistem ağırlığı [kg]
10000
En büyük boru çapı [inc]
6”
En büyük küre çapı [cm]
160
En büyük mesnet kuvveti [kg]
X=4,559 Y= 0,000 Z=19,451
Düşey yönde max. deplasman [m]
-0,102077
Đmalat boru tip sayısı [adet]
109
Đmalat kre tip sayısı [adet]
155
Đkinci durumda çatı ortadan iki yöne %14 eğimle kırılma açısı verilerek, kırık çatı tipinde çözümü
yapılmıştır (Şekil 13B). Bu durumda mesnet düzenlemesi birinci durumdaki gibi alınmıştır. Üçüncü
durumda ise ikinci durumdan farklı olarak mesnetler x-yönünde kapalı, y-yönünde açık olarak
çözülmüştür (Şekil 13C). Bu da ısı farkı yükünün y-yönünde dışarı atılması, x-yönünde sistem içinde
sönümlenmesidir. Bu üç durumda yapılan çözümler sonucunda çatı ağırlığı değişimi Şekil 14’de
verilmiştir.
123
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
60000
55723,9
50824
50000
45301,1
40000
30000
20000
10000
0
Çözüm 1
Çözüm 2
Çözüm 3
Şekil 14. Sistem Ağırlığı Değişim Grafiği
Şekil 14’ün incelenmesinden de görülebileceği gibi tüm yapılarda özellikle de uzay kafes sistem ile
yapılan yapılarda sistem seçimi çok önemlidir. Günümüzde tüm hesaplamaların bilgisayarla yapıldığı
düşünülürse mühendisliğin işin içine girdiği tek yer sistem seçimi olduğunu söylemek hiç de zor
değildir.
3.9.3. Farklı Bölge Koşullarında Çözüm Ve Değerlendirme
Burada uzay kafes sistemlerde etkin olan yüklerden birinin kar yükü olduğu vurgulanması için bu
açıklamalar yapılmaktadır. Uzay kafes sistemlerde etkin olan diğer bir yük ise ısıdır. Bu konu ilerdeki
derslerde açıklanacaktır. Bu kısımda kar yükünün bölgelere göre değişiminin etkisinin uzay kafes
sistemler üzerindeki etkisinin incelenmesi yapılmıştır. Şekil 13’deki B modeli çatı sistemi model kabul
edilerek Türkiye’nin farklı bölgelerindeki davranışı kar yükü ve deprem kuvvetleri altında incelenmiştir
(Şekil 15).
Şekil 15. Türkiye kar yağış yüksekliği haritası [7]
Burada esas olan yükler kar yükleri TS498 [5], deprem yükleri de deprem yönetmeliği kriterlerine göre
belirlenmiştir (Tablo 2) [8].
124
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM3
KAFES SĐSTEMLER
125
http://mizan.ogu.edu.tr.
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
11
File Size
1 660 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content