Kuvvet Yöntemi

Dış Etki Olarak Sıcaklık Değişmesi ve/veya Mesnet Çökmelerinin Göz
Önüne Alınması Durumu
Dış etki olarak göz önüne alınan sıcaklık değişimi ve mesnet çökmeleri hiperstatik
sistemlerde şekil değiştirme ile birlikte kesit zoru da meydana getirir.
Sıcaklık değişimi:
Tanımlar:
Uzama (genleşme) katsayısı (beton ve çelikte : ε =10-5 m/m0C)
Kesit yüksekliği
Đlk sıcaklık
Üst liflerdeki son sıcaklık
Alt liflerdeki son sıcaklık
Çubuk eksenindeki son sıcaklık
ε
d
t1
to
tu
tG
Yapı sistemlerinin hesabında iki tür sıcaklık değişimi söz konusudur.
•
(t) Düzgün sıcaklık değişmesi
•
(∆t) Farklı sıcaklık değişmesi
Düzgün sıcaklık değişmesi, (t):
Düzgün sıcaklık değişimi çubuk eksenindeki sıcaklık değişmesidir. ( t = tG-t1 )
Düzgün sıcaklık değişmesinden dolayı çubuk elemanda yalnız boy değişmesi meydana gelir.
∆ds = ε tds
∆ds
=ε t
ds
ds
Yapı Anabilim Dalı
Yapı Statiği Çalışma Grubu
Prof.Dr. Sumru Pala – Y.Doç.Dr. Mecit Çelik
∆ds = εtds
1/KuvYön-2
Farklı sıcaklık değişmesi, (∆t):
Farklı sıcaklık değişmesi çubuğun alt ve üst lifler arasındaki sıcaklık farkıdır. ( ∆t = to – tu )
Farklı sıcaklık değişmesinden dolayı çubuk elemanda yalnız dönme oluşur.
∆ϕ ε ∆t
=
ds
d
Mesnet Çökmeleri:
Mesnet
çökmeleri
mesnetlerde
meydana
gelen
ve
mesnet
tanımına
uymayan
yerdeğiştirmelerdir.
ϕ
u,v : Doğrulsal (lineer) mesnet çökmeleri (m),
ϕ : Açısal mesnet çökmesi (radyan)
Hiperstatik sistemlerin Kuvvet Yöntemi ile hesabında dış etki olarak sıcaklık değişmesi ve
mesnet çökmelerinin göz önüne alınması durumunda aşağıda verilen yol izlenir.
Süperpozisyon Denklemleri:
Hiperstatik sisteme dış etki olarak sıcaklık değişmesi ve/veya mesnet çökmelerinin etkimesi
halinde süperpozisyon denklemlerinde kavramsal olarak herhangi bir değişiklik yoktur.
Ancak Đzostatik sistemlerde sıcaklık değişmesi ve mesnet çökmelerinden dolayı kesit zoru
meydana gelmediği için, ĐES de dış etkilerden (sıcaklık değişmesi ve /veya mesnet çökmesi)
meydana gelen M0≡N0≡T0 dır. Bu durumda süperpozisyon denklemleri:
M = M 1 X 1 + M 2 X 2 + ⋯⋯⋯⋯ + M n X n
N = N 1 X 1 + N 2 X 2 + ⋯⋯⋯⋯ + N n X n
T = T1 X 1 + T2 X 2 + ⋯⋯⋯⋯ + Tn X n
R = R1 X 1 + R2 X 2 + ⋯⋯⋯⋯ + Rn X n
şeklini alır.
Yapı Anabilim Dalı
Yapı Statiği Çalışma Grubu
Prof.Dr. Sumru Pala – Y.Doç.Dr. Mecit Çelik
2/KuvYön-2
(i) Sayılı süreklilik denkleminin yazılması
Sistemde dış etki olarak sıcaklık değişmesi ve mesnet çökmeleri bulunması hali.
Đzostatik esas sistemde Xi=1 durumu
(Yükleme durumu)
Hiperstatik sistem
(Virtüel şekildeğiştirme durumu)
Kesit Zorları
Hiperstatik Sistem
(Dış Etki-Sıcaklık Değişimi,
Mesnet Çökmesi)
Đzostatik Esas Sistem
(Xi=1 Durumu)
M, N, T
Mi, Ni, Ti
:
∆ϕ M ε ∆t
=
+
ds EI
d
∆ds
N
=
+ε t
ds
EF
∆v
T
=
ds GF ′
Şekildeğiştirmeler :
Virtüel Đş Teoremi:
ds
Đç Kuvvetlerin Đşi = Dış Kuvvetlerin Đşi
ds
ε ∆t
ds
ε tds = R u + R v + M ϕ + 1.u
∫ M M EI + ∫ N N EF + ∫ T T GF ′ + ∫ Mdds+∫N
i
i
i
i
i
δ it
xa a
ya
a
a
a
b
Ji
(i = 1,2,3,.........n)
Yapı Anabilim Dalı
Yapı Statiği Çalışma Grubu
Prof.Dr. Sumru Pala – Y.Doç.Dr. Mecit Çelik
3/KuvYön-2
Kapalı Süreklilik Denklemleri
M, N, T nin süperpozisyon denklemlerindeki ifadeleri kapalı süreklilik denklemlerinde yerine
konarak denklem yeniden düzenlenirse,
ds
+
EI
ds
∫ N i ( N1 X 1 + N 2 X 2 + ⋯⋯⋯ + N n X n ) EF +
ds
∫ Ti (T1 X 1 + T2 X 2 + ⋯⋯⋯ + Tn X n ) GF ′ +
ε ∆t
∫ M i d ds + ∫ N i ε tds = R xa u a + R ya v a + M a ϕ a + 1.u b
∫M
i
( M 1 X 1 + M 2 X 2 + ⋯⋯⋯ + M n X n )
ε ∆t
(i = 1,2,3,.........n)
ds
ds
+ ⋯⋯⋯⋯ + X n ∫ M i M n
+
d
EI
EI
ds
ds
∫ Niε tds + X 1 ∫ Ni N1 EF + ⋯⋯⋯⋯ + X n ∫ Ni N n EF +
ds
ds
+ X 1 ∫ TiT1
+ ⋯⋯⋯⋯ + X n ∫ TiTn
= R xaua + R ya v a + M a ϕa + 1.u b
GF ′
GF ′
↓
↓
↓
↓
∫M
i
ds + X 1 ∫ M i M 1
δit
δi1
δin
δ it + δ i1 X 1 + δ i 2 X 2 + ⋯⋯⋯ + δ in X n = J i
Ji
( i = 1,2, ........n)
Bu denklem sistemi i=1,2 ......n için açık olarak yazılırsa Açık Süreklilik Denklemi
elde edilir.
δ 1t + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ⋯⋯⋯ + δ 1n X n = J 1
δ 2t + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ⋯⋯⋯ + δ 2 n X n = J 2
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
Açık Süreklilik Denklemleri
δ nt + δ n1 X 1 + δ n 2 X 2 + ⋯⋯⋯ + δ nn X n = J n
Yapı Anabilim Dalı
Yapı Statiği Çalışma Grubu
Prof.Dr. Sumru Pala – Y.Doç.Dr. Mecit Çelik
4/KuvYön-2
Açık süreklilik denkleminde katsayılar ve sabitler:
δij : Denklem takımının daha önce açıklanan katsayılarıdır.
δ ij = ∫ M i M j
ds
ds
ds
+ ∫ Ni N j
+ ∫ Ti T j
EI
EF
GF ′
δi0 : Dış yük söz konusu olmadığı için sıfırdır.
Uygulamada genellikle uzama ve kayma deformasyonları eğilme deformasyonu yanında
ihmal edilir. Bu durumda δij katsayıları daha basit bir şekilde sadece M fonksiyonlarına bağlı
olarak yazılabilir. ifade edilebilir.
δit :
Sıcaklık
değişmesinden
dolayı
Xi
bilinmeyeninin
uygulama
noktasının
yerdeğiştirmesidir. Sıcaklık değişmesi terimi adını alır.
δ it = ∫ M i
ε ∆t
d
ds + ∫ N i ε tds =
∑
çubuk
ε ∆t
d
∫ M ds + ∑ ε t ∫ N ds
i
i
çubuk
şeklinde hesaplanır.
Sistemde dış etki olarak yalnız t düzgün sıcaklık yüklemesi varsa, ∆t=0 olacağı için birinci
terim sıfır olur sadece ikinci terim kalır.
Sistemde dış etki olarak yalnız ∆t farklı sıcaklık yüklemesi varsa, t=0 olacağı için ikinci terim
sıfır olur sadece birinci terim kalır.
Ji : Xi=1 yüklemesindeki dış kuvvetlerin (birim yükleme ve mesnet tepkileri) sistemin verilen
mesnet çökmelerinde yaptıkları işlerdir.
Xi=1 yüklemesindeki dış kuvvetlerin (birim yükleme ve mesnet tepkilerinin) verilen
mesnet çökmeleri ile karşılıklı olarak çarpımlarının toplamı olarak hesaplanır.
J i = ∑ ( X i = 1 Yüklemesindeki dış kuvvetler, mesnet tepkileri * bu kuvvetler
doğrultusundaki mesnet çökmeleri)
Yapı Anabilim Dalı
Yapı Statiği Çalışma Grubu
Prof.Dr. Sumru Pala – Y.Doç.Dr. Mecit Çelik
5/KuvYön-2
Hesapta izlenen yol
1. Đzostatik esas sistem seçilir, hiperstatik bilinmeyenler belirlenir.
2. Xi=1 yüklemeleri yapılarak Mi diyagramları çizilir. Bu işlem i=1,2,........n kez tekrarlanır.
t düzgün sıcaklık değişmesi için hesap yapılıyorsa Ni diyagramları da çizilmelidir.( Ni
diyagramları uzama şekildeğiştirmelerinin terk edilmesi durumunda da çizilmelidir )
3. Denklem takımının δij katsayıları ve δit sıcaklık değişmesi terimleri ve Ji mesnet çökmesi
terimleri hesaplanır.
Uygulamada, EIc çarpanı ile çalışılıyorsa:
EI c δ it = EI c ∫ M i
ε ∆t


ε ∆t
ds + EI c ∫ N i ε tds = EI c  ∑
M i ds + ∑ ε t ∫ N i ds 
∫
d
çubuk

çubuk d
EI c J i = EI c ∑ ( X i = 1 Yüklemesindeki dış kuvvetler, mesnet tepkileri * bu kuvvetler
doğrultusundaki mesnet çökmeleri)
Görüldüğü gibi EIc çarpan olarak kalmaktadır. Bu durumda bu çarpanın sayısal değeri
bilinmelidir.
4. Denklem takımı kurulur ve çözülerek X1, X2, ..........Xn hiperstatik bilinmeyenleri
belirlenir.
5. Kesit zorları diyagramları çizilir. Bu işlem için iki yoldan yararlanılabilir.
(i) Süperpozisyon denklemleri kullanılarak ( M=M1X1+M2X2+.....MnXn)
(ii) Dış yükler ve hiperstatik bilinmeyenler izostatik esas siteme yüklenerek
6. Sonuçlar kontrol edilir. Bunun için Kapalı Süreklilik Denklemleri (KSD) kullanılır.
Hiperstatik sistemin M diyagramının kapalı süreklilik denklemlerini %0.5-%1.0 rölatif
hata ile sağlaması gerekmektedir.
∫M M
i
Ic
ε ∆t
ds + EI c ∫ M i
ds + EI c ∫ N iε tds = EI c J i
I
d (i = 1,2,3,.........n)
EI c δ it
∫ Mi M
Ic
ds + EIcδ it = EIc J i
I
(i = 1,2,3,.........n)
Görüldüğü gibi EIcδit ve EIcJi terimleri kapalı süreklilik denkleminin içinde de yer almaktadır.
Bu durumda bu terimlerin kontrolü yapılmamış olmaktadır.
Yapı Anabilim Dalı
Yapı Statiği Çalışma Grubu
Prof.Dr. Sumru Pala – Y.Doç.Dr. Mecit Çelik
6/KuvYön-2
Açık süreklilik denklemlerinin matris gösterilimi ile yazılması
(n) bilinmeyenli bir sisteme ait açık süreklilik denklemi:
δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ⋯⋯⋯ + δ 1n Xn1 + δ i 0 + δ 1t − J1 = 0
δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ⋯⋯⋯ + δ 2 n Xn1 + δ 20 + δ 2t − J 2 = 0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
δ n1 X 1 + δ n 2 X 2 + ⋯⋯⋯ + δ nn Xn1 + δ n 0 + δ nt − J n = 0
Bu denklemlerdeki terimler matris formunda gösterilirse:
δ 11 δ 12 ⋯ δ 1n 
 X1 
 δ 10 + δ 1t − J 1 
δ



δ + δ − J 
δ 22 ⋯ δ 2 n 
X2
21


[δ ] = 
[X] =   , [δ 0 ] =  20 2t 2 
,

⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮


 


δ n1 δ n 2 ⋯ δ nn 
X n 
δ n 0 + δ nt − J n 
Katsayı lar Matrisi
Bilinmiyenler Matrisi
Sabitler Matrisi
(n * n) : Kare Matris
(n * 1) : Kolon Matris
Açık süreklilik denklemi matris formunda :
(n * 1) : Kolon Matris
[δ ][X ] + [δ 0 ] = 0
olarak yazılabilir.
β Sayıları
Hipersatatik sistemin çok sayıda farklı yükleme için ayrı ayrı hesabı gerektiği durumlarda ve
hiperstatik sistemlerin tesir çizgilerinin çiziminde de β sayılarından yararlanır.
Tanım: βij : Açık süreklilik denklemlerinde δj0=1 diğer bütün sabitler sıfır iken Xi hiperstatik
bilinmeyeninin aldığı değerdir.
Örnek: 3 bilinmeyenli, bir sistemde:
[δ ][X ] + [δ 0 ] = 0
1
[δ 0 ] = 0
0
X 1 = β 11
X 2 = β 21
X 3 = β 31
[δ ][X ] + [δ 0 ] = 0
0 
[δ 0 ] = 1
0
X 1 = β 12
X 2 = β 22
X 3 = β 32
[δ ][X ] + [δ 0 ] = 0
0 
[δ 0 ] = 0
1
X 1 = β 13
X 2 = β 23
X 3 = β 33
n bilinmeyenli bir sistemde;
(i=1,2,........n)
(j=1,2,........n)
βij ⇒ olmak üzere n2 adet β sayısı vardır .
β sayılarını hesaplamak için denklem takımının (n) kez çözülmesi gerekir. Bir hiperstatik
sistemde β sayıları biliniyorsa sisteme etkiyen herhangi bir yükleme için hesap yapılırken
Yapı Anabilim Dalı
Yapı Statiği Çalışma Grubu
Prof.Dr. Sumru Pala – Y.Doç.Dr. Mecit Çelik
7/KuvYön-2
denklem takımının tekrar çözülmesine gerek yoktur. Verilen yükleme için δi0 yükleme
terimleri hesaplandıktan sonra hiperstatik bilinmeyenler; [ X ] = [β ][δ 0 ] olarak hesaplanabilir.
Burada [β] matrisi,
 β11
β
[β ] =  21
 ⋮

 β n1
β12 ⋯ β1n 
β 22 ⋯ β 2 n 
⋮
β n2
yazılabilir.
⋮
⋮ 

⋯ β nn 
X 1 = β11δ 10 + β 12δ 20 + ⋯⋯⋯ β1nδ n 0
Hiperstatik bilinmeyenlerin açık ifadeleri ise;
X 1 = β 21δ 10 + β 22δ 20 + ⋯⋯⋯ β 2 nδ n 0
⋮
⋮
⋮
⋮
X 1 = β n1δ 10 + β n 2δ 20 + ⋯⋯⋯ β nnδ n 0
şeklinde yazılabilir.
•
Bir hiperstatik sisteme etkiyen yükleme sayısı (m) sistemin hiperstatiklik derecesi (n)
den büyükse yani m>n ise hipersatatik bilinmeyenlerin hesabı için β sayılarından
yararlanmak uygun olmaktadır.
•
Hiperstatik sistemin çözümü için δij ler yerine EIcδij ler hesaplanmış ve β sayılarının
hesabında bunlar kullanılmış ise gerçek β lar yerine β/EIc sayıları hesaplanmış
olmaktadır.
[β] Matrisinin özellikleri
[β] matrisi esas köşegenine göre simetriktir. βij=βji
1. [β] Matrisinin esas köşegeni üzerindeki bütün terimler negatiftir.
[β ] = −[δ ]−1
2. [β] Matrisi, (-) işaretle [δ] matrisinin tersine (inversine) eşittir.
Yani: [I] : Birim matris olmak üzere
 β11
β
 21
 ⋮

 β n1
[β ][δ ] = [I ]
βii< 0
yazılabilir.
β12 ⋯ β1n  δ 11 δ 12 ⋯ δ 1n  − 1 0 ⋯
β 22 ⋯ β 2 n  δ 21 δ 22 ⋯ δ 2 n   0 − 1 ⋯
*
=
⋮
β n2
⋮   ⋮
⋮
⋮
⋮ 
 

⋯ β nn  δ n1 δ n 2 ⋯ δ nn 
⋮
⋮

0
⋮
0
0
0 
⋮
⋮ 

⋯ − 1
Bu özellikler [β] matrisinin kontrolünde kullanılır.
Yapı Anabilim Dalı
Yapı Statiği Çalışma Grubu
Prof.Dr. Sumru Pala – Y.Doç.Dr. Mecit Çelik
8/KuvYön-2

Download Report