Faik Sultanmuradoflu
Sadrxov
(1e3s)
Bakr Dovlat
Universitetini
farqlanma diplomu ile va Moskva
Universitetinin
aspiranturasur.l
(1961) bitirmiqdir. 1965-1971-ci itlarde Birlegmig Niive Tedqiqatlarr
institutunda (Dubna) ve Roma
Universitetinda elmi iglar
aparmrqdrr. 1973-cn ilda "Yi.iksak enerjili lepton ve hadronlann
elektromaqnit qarprlrqh tasirlarinin tedqiqi" adL doktorluq
dissertasiyasr miidafie edib, fizika-iyaziyyat elmleri doktoru
darecasi almrg ve l97rl-cii ilden Bakr Universitetinin professorudur.
1973-80-cr illarde Universitetin Fizika fakultasinin dekanr va elni
qurasrnrn sadri olmugdur. 1992-98-ci i[erde Tiirkiyeda
earadeniz
Texniki (Trabzon) ve Erciyes Universitetlarinda (Kayseri) aparrcr
professor vezifesinde faaliyyat gristermiqdir. Onun rahberliyi ile 6
nefer elmlar namizedi adr almrgdrr. Sadixov 100-dan 9ox elmi
moqalenin mtiallifidir. Aldrg ekni naticaler yiiksak enerjilera aid
diinya laboratoriyalannda dz tacriibi tasdiqini tapmrqdr. Onun
elmi neticelari Amerikada neqr olunan "Methods of experimental
Physics vol. Y. Nuclear Physics", New-york, 1960 ve ',Voprosr
estetisznaniya" Moskva, l96l kitablanna daxil edilmigdi. O, "Kvant
mexanikasr (mosellerde)" Bab, 1992, "problelerle kvant mexanili,,
Trabzon, 1996
va
"Leptonlar
kitablannrn mtiallifi dir.
ve
Hadronlar", Bakr,
2001
Naveleria Qanira va
hhraya hesr etdim.
Faik SultanmuradoElu
(Sadrxov)
Kvant mexanikasr kursu
s-\
\!
.
(iki citdlik)
Bakr Ddvlet Universitetinin
Fizika fakultasinin
toqdimatr ila gap olunur.
Kitaba ray verenler:
Akademik F.M.Hagimzada
AzMi Universitetinin Fizika kafedrasr
ixtisas redaktoru:
Fizika-riyaziyyat elmleri doktoru $.M.Naltyev
Faik Sultanmuradoflu (Kvant mexanikast kursu>. Bakt'
"ismayrl" Naqriyyat Poliqrahya Miiassisesi 2002-ci il. 296 sah.
Olgtisii: 60x84
Tiraj:
1000 niisxa
t/t6
(I buraxrhq
-
300 niisxe)
<Patronat-S> $irkatinde tertib edilmig
ve gaP olunmuqdur.
c
1704O2(XnO
t25
2OO2
Lisenziya AB 022062
@ Faik Sultanmurado[lu
On sdz
Qa[da5 frzikamn asasrnda kvant mexanikasl durur, Uzun iller
Bakr Ddylat, Roma, Tiirkiyenin Qarxd6pi2 fqniki 6 Erciyes Universitetlarinde verdiyim "Kvant mexanikasl,' rra ..yiiksak enerjiler" fzikasrna aid derslerin, hemginin talebolarls bu sahada mesalalar hall edarkan meydana gxao gatinliklarin aradao qaldmlmasr_
nrn naticaleri bu kitabm ya"'lmasya4 sabeb oldu. Kitab iki cild olaraq tartib olunmu{du. Birinci cild qeyrirelyatvistik kvant mexanikasr rra onun bir gox problemlarinin i.-hrnda istifada olunmasrna,
ikinci cild isa relyatvistik kvant mexaaikasr problernlarina hsr
olunnrugdur.
Birinci cild I-V fasilden ibaratdir. I fesil kvant mexanikasrnrn
yaranrnaslna sebeb olan tacriibi faktlar, dalfa funksiyasrnrn xass+
lari, dinamik deyigenlerin operatorlarla temsil olunmasr, faza koor_
dinatorlannrn, imFuls, herakat miqdan moment! enerji operatorla_
rnrn agkar gaklinin airnmaq, gu oppratorlann mexsusi funksiyalan
ve maxsusi qiymetlari, bezi fziki kemiyyatlar [giin qeyriE[ay],an-
lik miinasibetlarinin 2lrnmas1, onlann naticaleri, kyant mexarrik"qmn harakat tanlilleri, onlardan klassik mexaoikaya kegi4 keilmz
ve diskret spektre sahib olan haltana ahnmasl6tralh garh olunmuqdur.
II fesilda zarraciyin potensial qutuda haraketi, gr6dinger tanliyinin harmonik osilyatora tatbiqi, markazi sahade harekat, maqnit
sahasinda hareke! hidrogen atomutrun enerji saviyyelerinin alnmasr, birvalenfli atomlann davranqr, onlann maqnit momentlerinin alnmasr atralh incalanmitdir.
Fesil III. DalTa funksiyasr va operatorlann tamsil nazariyfes!
na gora m[xtalif tamsillerda ye",'h$r, unitar gevirmeler va zaDana
g<ira dayigmani aks etdiren unitar gevirmaler, sistemin hatrn'n sr.:r[q
matrisi ila xarakteria olunmasr, matris kvant mexanikaslna girit
kimi mdvzular aragdrrlrugdrr.
IV fesilda kvant mexanikastnda istifada olunan taqribi metodlardan , varyasiya metodu, kvaziklassik yaxinlagma fisulu va hayacanlagma nazariyyainin e6aslan, onlann stasionar ve stasionar olmayan hallarda tetbiq olunmasr tafsilatr ils miizakira olunmugdur.
V fail isa hayacanlagma nszoriyyasinin tetbiqlarina hasr
olunmugdur. Burada anharmonik osilyatorn enerjisi ve mexsusi
funksiyasr, xarici elektrik sahsinde atomlann ene{i saviyyalarinin
pargalanmasl xatti ve qeyri xatti $tark effekti, rotatorun xarici
elektrik sahminde enerjisinin dayigilmasi, elektronun spin momentinin meydana gelnasi ro spin funksiyalanmn xasselari, simmetik,
antisimrnetriklik $artlari, helium atomunun naariyyesi, para vo ortohelium hallan, oolann enerji deyarlarinin miiayyen edilmasina
hasr olunmugdur. Buradaca elementlarin periodik sisteminin esaslandmlmasr g6sorilmigdi. Bu failda tafsilatr ila dipol va muldipol
$iialanmanm kvant nazariyyasi incalanmiqdir. Dipol, maqnit dipol
ve kvadrupel rromeotlarin hesabrna olan kegid ehtimallan tap ml$dn.
Kvant mexanikasina esasen homopolyar va heteropolyar molekullann yaranma sabableri aydrnlagdrrlmrgdr. lki atomun molekul yaratmasrnda sinqlet vo triplet hallann olmastnrn rolu mtayyan
edilmisdir.
Hayacanla5ma l626riyyesinin bariz tatbiqi olaraq isrpn koherent sopilmasi, yani i$rtsn dispersiyasr hadisasi aragdrrrlmrgdr.
Kvant mexanikasinda iki n6v miisbot normal ve anomal dispersiya, hem da menfi normal w anomal dispersiyanrn varh$ gdstarilmig va onun tacriibada tasdiq olunmasr qeyd edilmigdir. Burada
hamginin koherentolmayan Ramau effelti adlanan kombinansiyon
sapilma hadisai da 6yrenitmigdir. lgr$n sepilmasi naticesinde, sapilmadan sonra mirxtalif teliklarin kombinasiyasr yaramr. Bu sa.
pilmadan istifade edarek molekullanD qurlutuDu dyranmak olur.
Xarici maqnit sahesinda atomlann enerji seviyyalarinin deyi$ilmasindo bu failde 6yranilmigdir. Xarici maqnit sahaainin qiy-
matindan asrh olaraq enerji saviylolarioin mflrakkab gakilda pargalanmasr, Zeeyman effekti miifossal izah olunmugdu. Onun normal,
anomal qisimlrinin varhf,r asaslandrnlruqdrr.
ikinci citd VI-ViIi fasildon ibaratdir. VI fasilde qrup nazeriyyasinin anlayrglan, onlann kvant mexanikasrada istifade olunmasr,
matris mexanikasrna g6re ba'zi kvant kamiyyatlarinin qiymati miiayyan edilmigdir. Burada y[ksak enerjilar fzikasrnda genit tatbiq
olunan be2i saxlanan kamiyyatlarin xasselari ara5drnlmrgdu.
Hamginin Lorentz ve Puankare qruplarrna girig verilmiqdir.
Vii fesilin m6vanlan Kleyn-Gerdon, Dirak tanliklrinin asaslarr, burada istifada olunan matrislar, onlann xassalori, tam her+.
kat miqdan momenti, onun maxsusi funksiyast incilanmigdi. Burada Dirak Cenliyinin sarbet zarracik iigfn helh, bu hallin d6rd hala
uylun gelmesi gristarlmig, spinin re enerjinin iki qiymatinin-menfi
va musbat halda olnasr g6steritniqdi. Eyni zamanda hidrogenabenzer atomlarda relyatvistik elfektler arasdrnlmrgdr.
Giiclii maqnit sahasiniu atomun eneryisinia dayigilmasina etg6starmesi
ki
VIII faslae dyranilniSdi. Spin orbital tasirin maqnit
momentleri ila bafihhlr alde eilmiqdir. S-seviyyasinin pargalanmasrnrn tecriibedaki qiymata uylun galmasi miieyyen olunmugdur. Burada hemginin Dirak matrislariniu cabri, fermionlarrn sxLq matrisleri 6z gerhini tapmrgdu.
Bu fesilda neytrino adh, sfikunet kiitlai srfua yaxrn olan, polyariza olunmug zarraciyin slxtq matrisi aragdrnlmrgdr. Burada
hamginin sepilma mauisi va sapilma amplitudu, Born yaxrnlagmasrnda amplitudun araSdrnlmasr, hayacanlagma naariyyesinda Feynman diaqramlandau istifada edarak Compton effektinin kasiyi incalanmiqdir.
Elektronlann xarici sahede sepilmesi va onlann hadronlardan elastiki, hamginin, darin qeyrielastiki sapilma prosesinin effektiv kasiyi mflayyen edilmi$di, Proton-neytronlann xasselari taprlm,s
ve onlann maqnit momentleri elda edilrr$dir.
Hamginin elementar zorreciklar fizikasrmn miiasir anl,ayr$lan,
kvarklann hadron fzikasrnda rolu miioyyanlegdirilmigdir.
VIII fmilin sonunda isa ikinci kvantlanma nmriyyasinin esas
miiddaalan verilmigdir. I(itabrn sonunda isa fesillara aid gahgmalar
wa onlann hellan verilrnitdir.
Zann edirsm ki, bu kitab gaEdaS fzikaila bir 9ox problemlaririn araldrnlmasmda vts onlann yax;r anlagrlmasrnda 6z semarali
faydasrm gdsterecekdir.
Kitabm yazrlrnes6da yaxrndan iqtirak eden re faydah maslehatler veron hemkarlanma samimi tatakktriimfl dncaden bildirmeyi Oziima borc samram.
Prof.Faik Sultanmuradollu Sadxov
Bah 2002 il.
Odebiyyat
t.
Li.ShilI, Kvant
New York. 1955
mexanikasr, MeGraw_Hill Book Company inc.
2.
D.I.Blochinzev, Osnovi kvantovoy mexaniki Vissaya
,
$kota,
Moskva, 1961
-1. {,A.S.o!o-19y,-l.M.Temov, y.M.Loskutov, KvaDtovaya Mexa_
nika, Izd.Mir.P.Mos. 1962
4. Albert lvl-essian, Quantum Mechanics, North-Holland, Amsrcrdam, 1962, I,II tom
L A.S.Davrdov, Quantim Mechaniks, Fianatriz, Moskva, 1963
d. I.D.Bjorken,. _S.D-.D1ell, Relativistik erranfisl Mcchanics,
McGraw-Hill Book Comany, New york,lgOA
7. L.D.Landan, E.M.Lifschiz, Kvantovaya Mexanika, Nauka,
Moskva, 1965
8. P.A.Dirak,
Quantum Mechanics,4th ed Oxford University
Press, London, 1967
9.
LD.Landa^u_,-E.M.Lifchia Teoreticeskaya Fizika,
t.fu, Nauka,
Moskva, 1968
Id. S.Fliigge,. Practical euantum Mcchanics, Lii, Spriger-Verlag
New York. l97l
,1.{. F.S.Sadxov, Kvant mexanikasr (maelaler),
Bakr Uoiversi0eti,
Bakr, 1992
12. F.S.S_ultanmuradoElu, problemlarla Kuantum
Mekanifi, (tiirkce) Trabzon 1996
.lJ. E.P.Wigner, Teoriya qrup ro onun kvant mexanikasrnda
tatbi_
qi,Moskva, 196l
14.!?ryV Hochad! The Functio-ns
of matematical physics,
McGraw-Hill Book Company, New york, 196g
15. Georye Arfken, Mathemat ul methods for physiciits,
Wiley,
New York. 1973
Fiziki qanunlar riyazi nefislik talab edir.
A.P.Dirak
I fesil
Kvant mexanika va onun riyazi asaslan
$1. Kvant mexanikasrmn yaranmasrna sabeb olan hadisalar
Niiyuton mexanikasr, elastiklik nazariyyasi, aerodinamika, termodinamika va elektrodinamika klassik fzika adlaoan fzikanm
tarkib hissalaridir. Klassik fzika makroskopif, sisimblin tamsli
goxlu sayda atomLar sistcmlarinda baq veran hadisalri aragdran sahadir. Klassik fzikamn biitila b6lmalerinde olan ksslar )O( y[zilin baqlanfrcrnda 5z izahmr tapmaq [zra idi, Demek olar ki, bir
nega fziki hadsa var idi ki, onlarn da fziki esasrnr vermak la-rm idi.
Bela hadiseler olaraq, istilik giialanmasr, berk cisimlarin xususi istilik tutumu, atomlann xatti spektro malik olnasr, elektronlann difraksiyasr, fotoeffekt, FraDk-Herst tacrubasi, Stern-Herlah hadisaleri'kimi lziki hadisalari gostarmak olar. 1925-ci ildan sonralir bir
gox bagqa l-rziki hadisalerde m[gahide olunmuEdur ki, onlar da
klassik fzikamn qanunlanna gdra izah olunmah idi. Lakin bu hadi
salarin heg biri klassik fzika qanunlanna gdra tamamila dofrudiirfist izahrnr tapa bilmemigdir. Bu hadisaleri sadalandrmala kegayin.
a) istilik $fialanmasr. Qrzdrnlmlg cisinrlar elektromaqnit g[alan buraxrlar va kifayat qodar yiiksak t€mperatwlarda q[alanmanm
bir qismi g6da giirfinan iqrq gaklinda mii5ahide olunur. $fialanoanrn intensiliyi va enerjinin miixtalif tezlikli dal[alara [6re paylanmasr (spektral paylanma) giialanan cisimin 166p6t"1*rnun rre cisimin materiahndan as rdr. Qara cisimin ;[alanmasr isa maddalerin
materiahnm xassalarindao demak olar ki, asrJ.r olmur. Ozarina diigan igr$ tamamila udan cisima miitlaq qara cisim deyilir. Bela qara
cisimierin giialanmasr yalnrz cisimin temperaturundan as r olub,
11
onuD materiahndan as r deyil. $,ialanrnenrn tezliye gdra enerji pay-
lanmasr qanunu
ae.(r)=)\
,'a,
(1.
l)
€11 -t
alde edilmigdi. Bu qanuoauyE'unluq yalnrz enerji miibadilasinin
krantlarla (porsiyalarla) olmasr ile izah olunur. Spcktral paylanmam pkil {a olan kimi gOstarmak olar.
,lE
dv
voV
$akil
l.t.
Belli temperaturda spektral paylaoma.
$ekil l.lde qrlq-qEq ayri Reley-Cins qanununu, biit6v xatt isa
teriibanin netcasidir. X[susi halda
an"(\=ffrv'"rav
(1.2)
olur.
burada V=abc kubun h*midi, K-Bolsman sabii, T-miitlaq temperaturdur, c-i;lq s[retidi. $Ealanmanrn t"m enerjisi
(l.3)
E(f)= 21r v (a-sabitdir)
Buna da Stefan-Bolsman qanunu deyilir.
b@Molekulyar
fzikadan ballidir ki, berk cismin xiisusi istilik tutumu
c =ff=*=s,e11kat.dra
(1.4)
qiymatini alu. Buna D[yling-Piti qanunu deyilir. Burada R (R=
1,99 kal.dart.) universal qaz sabitidi. Tacr[ba g6starir ki, xususi is-
12
ii.lik tutumunu-n temp€raturdan as rlgr gakil 1.2 da g6s16fi161 kimi-
dir.
c
6
Sakil L2. Berk cisirnin xfisusi istilik tutumuuun
temperaturdan as IB.
$ekil 1.2-da birinci ayri tecrridan alman, 2-ci eyri Diiylonq-piti qanunundan, 3-cii eyri isa Eynitteyin diisturuna g6ra olan naticalardi.
lstilik tutunu Eynitteyina g6ra
c=*(b\'"1
\r/
gaklinda teyin olunur. Burada
f^=!!
"K
(1.5)
ao.
Atonutr xotti spektri. Tacriib faktlara g6ra maddani qzdudrqda
ve ya her hansr bir yolla hayecanlagdudrqda maddanin qaz hallndakr atomlan xatti spektre malik olur. OzUda buraxrlan iqrqda yalnz miiayyen tezlikli elektromaqnit dalfalar mdvcud olur. Ogar her
c)
bir atomun spektrinda v, w vrtez)Mi xatttar varsa, spektrde
vt + v2 ye lv, - vrl tezlikli xattlerda mdvcutdur. Bu qanunauyfiunluq Ritsin kombinasiya prinsipi adlamr. Bu prinsipden alnr ki, iki
tezliyiu cemi (ve ya farqi) varsa, bu spektrda onlann cami re ya farqine uylun olan xettlerdo mtgahide olunur. Bunu stbut ttmak
igln Fank-Herts tacriibasinde kdzardilmiq katod ile anod arasm&kr potensial ferqi cirra buxan tgiin miayyan qiymatler alr re bu
qiymatlar 4,9V, 9,EV; 16,7V ya s. olur. Tecr[ba !6starh ki, katod
l3
ila anod arasrndakr voltamp€r xarakteristikasr aqairdakr kimidir
($€kil 1.3).
4,9 9,8 t6,7
u(ev)
$ekil 1.3. Frank-Herts teriibsinin neticasi.
e) Elektronlann difraksivasr. Kristal, atom va ya ion qrupunun miayyan qanunauylunluqla feza qafainin d[y[m n6qtalerin-
de yerlogmasi demakdir. Bura dflSan elektrou dalf,asr bu ciira diiy[mlarioi yeni dalla manbayine gevirir va ekanda bu dallalar
iiciin ma'lum
2dsn9 = nl", n=1,2,3,...
dfisturu ila tayin olunan difraksiya menzaresi atntr.
Burada n- difraksiya maksimumlanmn daracesi, 7v -gtanrn dalga
uzuntulu, d- difraksiya qafasinin sabiti, d - qafesin normah ile sepilan q[a arasrndakr bucaqdr. Difraksiya hadisasinin a;afrdakt qakillarda gdstarilan kimi miigahide olunmuSdur.
gekil 1.4. Elektronlann difraksiyasr. Giimiig inca ldvhada elektron
giiasrrun difraksiyast.
t4
hv
ftt
impulsa malik olan elektro
nun de Broyl dal[asl olrasl sfibut edilmigdi.
d) t'otoeffekt. Metal sathine drigen igrq metaldan elektron 9rxanr va bunun neticasinda ddvrada carayan atnu. Balli tedikli igrq
eyni energiye malik olan elektronlan metaldan grxarr. Ogar igrfrn
intensivliyini artrmrg olanqsa , gxan elektronlann kinetik enerjileri
dayigmaz qalrr, lakin onlanu sayr artr. Elektronlarrn enerjisi isa d[9en igllrn tezliyi b6yldikca artmg olur. Diigan iprf,rn enerjisi
Buradan da E =
enerjiya, P =
h,=^u'+A
2
tanliyi ila ifada olunur. Burada h - Plank sabiti, A- elektronun metaldan 9rx9 igidir. Fotoeffekt hadisasinin fziki esaslanm tapmaq la-
zmdr,
h) Stern-Herlax tacrflbasi. GtmE atomunun spektrinin maqnit sahasinde iki dastaya aynlmasl mfi$ahida olunmugdu. Bu hadisa
faza kvantlanmasrnrn oldutunu gOsterir. Yeni, faza kvantlanmasrnda gumflq atomlann dast€si iki destaye pargalamr. Demali, xarici
maqnit sahasinda atom dastasinin pargalanmasr faza kvantlanmastna siibutdur.
Biitin sdylonilan hadisaler fuiki kamiyyetlarin hemiga kesilmaz qiymedar deyil, bir gox halda kasitli, diskret qiymetler da almasura siibutdur. Fiziki kamiyyatlarin diskret qiymat almasr bu kemiyyetlerin kvantlanmasr demakdir, Yani, tabiatda ela qanunlar
var ki, onlar kvant xarakterlidi. Bu qanunauy[unlu['u agrqlamaq
kvant lzikasrnrn esas problemlarindendir ki, onun da temelinda
klant mexanikasr durur.
$2. Kvant hahnrn dalla funksiyasl ila xarakteriza olunmasr
prinsipi
Kvant mexanikasmda har hansr bir hal, l-tziki hal olaraq, bir
dalla funksiya ile xarakteriza olunur. Sistemin hahnr xarakteriza
etnek [9[n dalla funksiyasr
a) arqumenta gdre kasitnaz,
b) arqumentin bir qiym.atina bir funksiyanrn
yani bir qiymefli funksiyamn uyflun gelmesi,
c) arqumentin biitiin qiymatlarinda sonlu,
d) kvadratik intcqrallanan, yani
15
uylun
galmasi,
!v1'ar.*
otnahdu.
(2.1)
Bu gartlari 6deyan ixtiyari funksiya, dalf,a funksiyasr ve ya hal
vektoru adlanu. Bu funksiya
ile va ya la) ita iqare olunur.
y
1r funksiyala sonsuz sayda olub, kompleks de ola bilarler. (2.1)
padlarini ddayen sonsuz sayda heqiqi va kompleks funksiyalar coxluf,una Hilbert fazasl, 1r -lar isa Hilbert fazastnm vektorlarl adlamr.
Dolaysr ile, dalia funksiyalan hal vektoru olub, Hilbert fazasrm
ula5drnrlar. Dalta funksiyasr har hansl bir dinamik dayiganin va ya
radius vektorunun funksiyasr ola bilar.
G6turiilm$ hacm elemanrnda zarraciklerin saymrn, ayn-ayn
arreciklerin hemin hecmda olma ehtima[nrn hasilina beraber olmasr bellidir. Ona g6re y(r-) t r*"iy""rom kvadrah q'?(i) ehtimal
sdrtsna m[tanasibdir. ja -fu:*siya 66"mi gakilde kompleksda oldufu iigiin, ehtimal sulf,r haqiqi kemiyyat (real) olduguna gdra
ld'dy =y,'(ifu(r)*ayaz
(2.2)
[w'vau= !v1'a*ayar=t
Q.4)
ifadasi zerraciyin dV- hacminda olma ehtimal,na miivafiq olur.
Belalikla, (2.2) ifadasi zerreciyin i - n6qtaindo olna ehtimalmrn
suh[rdr. Bu ciire gdstarilen dalia funksiyasr fziki me'na kasb ettuaz va v -ya fazada olan bir dalla kimi baxmaq olnaz. Bu funksiya ile fezanm her hansr bir ndqtasinda olma ehtimahnr, yaxud
bu va ya her hans bagka bir fziki deyigenin bu ro ya bagqa qiymet
alma ehtimahnr aragdrmaq olar.
Kvant mexanikaslrun asas m[ddaasr olaraq, zarrriyin harakatinin str1i-r11 ,arakerda olmasr tamal gartlerdan biri kimi qabul
olunur. Bu xfisusiyyot zarrociklarin sayrmn gox olmasrna balh olmayb, yalnrz tak bir zerreciyin hahmn ehtimalh olaraq m[ayyen
olunmasrm tayin edfu. T.aneriyin dV -hecmindo olma ehtimalr
y'yrdv olduqda va bu vahida nomralla5nus olursa, onda l0ffZ
ehtimalla zarr&ik Y -tr*minda olar. Umumiylotla, inteqrallama
biitiin faza iizra oldulu iigiin inteqrallama sarheddini - - o
dan
+ co -a qadar gdtiirmaf, le-rmdrr, yeni
16
olub, biitnn foza iizra inteqralamau gdstarir. (2.4) ifadai datEa fuu_
ksiyasrmn normallama gertidir. Bu garta g6ra potensial enerji-miiayyan-srgrayrga u$asa bele va ya potemial enerji sonsuz olarsa, dalga
funksiyasr va onun tOromasi kaiilmaz olur ve ya srfira yaxlrla5r.
a"yd etmigdik ki, kvant rnexanikasr zarraciyin dawanrpmr
yalnrz shlimzl anlamrnda 6yranilir. Bu ehtimaltq Tqraciyin miqdanmn gox olnasna baE} deyil. Klassik frzikadai:r da sttistik anlamda goxlu zerrecikler sistemi eh-:malt davranrg da olur. Lakin
kvant mexanikasmdah statistik qanunauylunluq klassik fizikadakt
statistik anlal$dan ferqlidir. Statistik qununauygunluq goxlu sayda
zerreciklarin qarg rqh tasiri neticesinda yararur va zarrecivin Ler
birinin dawamgr klassik mexanikamn dinl-ik qanunlan
tmvir
olunur. Zarrecitlerin sayr azaldrqca klassik statistik qauunauvEuD_
lufiun rolu azalu, zerracik sayr kifayat qadar az olduq'cla iso, kiissit
statistik qanunauyfiunluq 6z ma'nasrm itirir. Maealan, t€rnperatwa
az sayd.a zerraciklar fiCiitr (va ya zarracik rjgnn) 6z antamiu ifi61.
Kvant mexanikasrnda statistik qanunauyfunluq, arraciyin da:ili
xassalerinin meydana grxmasl olur ve onlann sayr bir dena olanda
ilj
t
.)
\
bela bir,'?_qxir. Zarraciyin ham korpusklyar ve ham de dalEa xassasina malik olmasr, onun iigrin klassik frzika metodlanndan-ro an-
lay4lanndan istifa6" stmsf, imkxm vermir. Bundan 6tari zarrmiyin
xasselarini Oyranmak iiiun yeni iis,llar.t"n, yeni tamsillardan isifa_
do etmok l2zm galh.
Mikroarreciklerin heraket qanunauySnluqlanm tapmaqdau
6tr0, o.nlann meydaua galma sabablarini ve idarj olunmi qani,,,auy[unluqlanu tayin etuak iigtn yeni mexanikadao istifada olun_
mahdr. Bu masalelarla kvant mexanikasr maqlul olur.
Kvant mexanikasmda sisternin iki miixtslif haldan, yeni bir
hahn.ahnmast taynamilo bagqa qanunauylunlula tabe oi.ri. Bro,
gora kvant mexanrkasrmn asasr olaraq, superpozisiya prinsipi qebul
olunur. Bu prinsipe g6re ogar kvant sistemi 92, {al[a fuaksiyasr
ile xaakteriza olunao haldadrsa va y, {al[a funksiyasr ila xarakteria olunan haldadrsa ve s., onda bu sistem datfa funksiyasr
V pV 2,.. fu*siyalann cami
V = arVr+ azll2 +...+ a,V.
srIM6lVr?
r)41\|I.'
r
t' t n.r.ILc rT FTt
KITqBxI(A
*...
=jo"V"
(2.,
at,a2,...da ixtiyari sabitlrdi. Yeni stsYa s. halmdadrna, onda hemin sistem p/ -
olan halda da olar. Burada
ytz , tttt
haLnda da olar re bu hal
tefr. Vlt
,
v
= arvr + a2tlr2+...+ aryt.
+.-.=za,v,
a-l
Q
5)
gaklinda da tasvir olunur. Klassik fzikada da bu prinsip var. Orada
her hansr bir fiziki kemiyyat superpozisiya naticasinda ahnmtqsa,
bu kamiyyet sup€rpozisiya olunan kamiyyatlarin kombinasiyasr
olur. Masalen, dinamik dayipan olaraq elektrik sahasinin garginliyini tapmrg olursaq, bu kemiyyet her bir n6qtade olan gerginliklarin
cami olar:
E=LE,=E,+E.+E, +...
I
Kvant mexanikasrnda toplam (superpozisiya) (2.5) kimi ise,
y, -halrnda fziki kamiyyat q, y, ba\nda bu kemiyyat 4,
deyrini va saire alrsa yr hahnda da bu fziki kamiyyat yalr.z q,
q,
qiymatini alu. Klassk fizikada (q r+ qr) -inin ortaq
bir qiym.ati olar. Kvant mexanikaslnda q, ve g, -dan yalnu birini
alnrg olar. AJrnan q, va Yz Qz qiymati har hansr birinin na qpdar gaki ilq yani (2.5) -daki a amsallanmn qiymti la mlayyn olunur. Mesalan, klassik fuikada amplitudu a olan iki eyni raqsi top
rra ya
da
lasaq
Xt = dsito:,
X, -- asittot
yekuo raqs
X=Xr+Xz=2asina
kimi olar, yani, amplitudu 2a olan reqs atnar. Yani, toplamdan
6nca raqsin anplitudu a -drsa, superpozisiya naticasinde toplam
reqsin amplitudu 2 a olar. Kvant nazariyyasinda iki eyni hah topladrqda, yeni dal[a funksiyasr bir sabita vurulur. Belolikla, hal funksiyasr eyni hah xarakteriza edar. Superpozisiya qaydasrna gdre fiziki kamiyyet qiymatini dayigmez re sistemin hah dayigmez qalar.
18
(2.5) ifadasina gdra ahnan differensial tanliklar xatti differensial tanliklardir. Ona g6re da kvant mexanikasrnrn tanliklari xatti
diferensial tanliklerdir vo bu tanliklerin
va saira
YpVz,Vt
halleri m'ovcutdursa
V = all\ + a2y, 2 + d3ty1 +...
hallida dillerensial tanliyin hallidir.
Kvant mexanikasr klassik nexanikam xiisusi hal olaraq oziind
aks etdirmalidi. Kvant mexanikasrnda &[a fuoksiyasr *"tii differensial tenliyin halli olur. Klassik frzika& isa elettron arrecik
olub. i(r) trayektoriya ile harekat edir. Bu trayektoriya harekat
tenliyina gatirib , guanr. Kvant va klassik mexanikamn bir birina
kcaidi handasi optika ila fziki optikanrn arasrnda ot"n te+i.l tini
miigahida olunmahdrr.
Dalia (frziki) optikasrnda, v = aei? dal1as;5;g. heqiqi a am_
piitutu va g fazasrna (buna hendesi optikada eykonal deyilir) malik olur. Oger dalla rzunlu[.unun kigik qiymatlarinda va ya kigik
mosafalarda fazanrn b6yiik qiynretJrinda hJndoi optikanrn mUdds_
alanm tatbiq eunak keg€rlidir. Yani, b6yuk dalla uzunlufiunda va
kigik tezliklerda fziki optika qanunauyfunluqlin ratbiq 6f*u Uilir.
Soylanilanlere uyfiun olaraq, kvant mexanikas rrrda ty 1sto
=
dalfla funksiyasrn da fazam p-ni
Q = constl
ila avaz olunmahdu. Burada I -ta,sir inteqral yo ya eylem adlamr.
i- ta'sir inteqrahmu 6l9iis[ enerji ile zaman vaUiaierinin hasiliklmi
olmalrdn. Onda g=s6611 dekr sabit ft-r -olna1d6(
hidi enerji zamamdu). Ya'ni
,p
i
-iu va-
=lr
h
olarsa, dalfia fuoksiyasr
it(i
tl
=ae"
w
Q.6)
peklinda ya.a.Lnaldr. (2.Q gaklinde olan datfa funksiyasrna
kva_
ziklassik va ya klassikabanzar dalfa funksiyasr deyilir. Iiraot mex"19
Eikasmdan klassik mexanikaya kegid, boyuk fazaya uyfun oldu[-u
+ 0 yaxrola.gmasr (dalfia optikasrndan hendasi optikaya
[gun i
kegid dalfia uzunlufiunun
)L-+0 [irni) vacibdir.
53. Operatorlar vo onlann xassaleri
Kvant mexanikasrnro riyazi esaslanm operator hesabl teqkil
edir. Verilmis coxluqda bir funksiyam bagqa bir funksiyaya geviran
amaliyyata oPerator ve ya iglamgi deyilir:
p=0v
(3.1)
p -funksiyasr0 - igemqisi va ya operatoru r4 -funksiyam baSka bir
na gevirdi. $[bhmiz, hem y ve ham de g funksiyalan (2.1) gertini
6depn fuoksiyalar olnahdt ki, sistemin fziki hellini xaraktetlua
etsin. Xfisusi halda, operatorun tairi ila yeni I funksiyasr deyil,
qz funksiyasrmu bir q - sabitina vurulmug ifadesi ahnmrg olsun,
ye'ni
Q.2)
P = qv
otsun. Onda (3.1) ifadasini
(3.3)
Qw =qv,
kimi yaza bilarik. Bu tenliyin har iki tarsfinden kompleks qogma
emaliyyatr alruq olursaq
(3.4)
olur. (ulduz kompleks qogmahpr meselan, Z-- x + iy olaoLda Z' = x
- iy olar, gthterir). (3.3) ve ya (3'4) tsnliyine mexsusi funksiyanr tayin edan tanlik deYilir
0w=qv
(3.3)
tanliyinda funksiyaya mexsusi fuoksiya, q - isa mexsusi qiymet deyilir. Bir yz - funksiya iigiin bir dene q- taprlusa, bele hala crlagmaau5 hal deyilir. $ayat tap an q -uitr bir qiym.atina bir nega yz funksiya uylun golarse, bu hala orlagmrg (qetmarlaqmig) hal deyilir.
(3.3) tenlilnin helli zamau q-ler kacitnaz qiymatler alarsa' (3.3)
20
tanliyi kesilmez spektra malik olur. Ogar ahnan qiymatlar diskret
qiymetler olarsa, onda C operatoru diskret spektra malik olar.
Diskret va kasitnaz spektre malik olan operatorun maxsusi
funksiyalan baqka-ba9ka xassalere sahib olurlar. Beleliklq diskret
spektr iigiin
(3.3)
Qw" =
va kasilmaz spektr [giin isa
q"w"
0w
tanliyini yazarrq.
=qv
(3.3)
Riyaziyyatda goxlu sayda op€rator (i9lem9i) var : wrma, kG
kalma, qiiwete yflksaltmak, inteqrallama, tdramealma va saire ilaxire.
Kvant mexanikasrnda rizal operatorlardan istifada olunur.
Burada olleratorlar iki 6zal Frti odayon operatorlar olmahdu ve
bu 6zallik bilavasita fiziki talabatdan ireli plir.
Bu 6zlliklar bunlardr:
a) Operatlar xetti operatorlar olmah:
Q(o,,y, + a r,y, + - -. + a sy,) =
Qf r ", " =i."
o-l
aEl
"bd
*ltbrh=frbv0")
(3.5)
b) Operatrlar ermit (62<iziina qosma) qogma operatorlardr:
0'6)
Burada g ve y ixtiyari hahn dal[a funksiyasrdr.
Bu gartlerden xettilik garti superpozisiya prinsipinin istifada olunmasrm va ermitlik garti isa operatorun maxsusi qiynratinin haqiqi
(real) adad oknasrm tayin edir.
Ogor (3.3) sol tarafdan ry' -e, (3.4) ise rg -ya vurub, b[tin faza iZra inteqrallamrq olursaq
fr'(nrh,
=efv'vav
frb'r'b,
=tit*,
Taref-terefe gxmrg oiursaq, ermitlik
21
g.iir.
gore
o
Normallama $€rtina
,'T
=\q
gora
-
q')
olar.
)v'vdtt
jr'lrr,
=1
olduEu fi9tn
o:q-9*
olar.
q=q+
(3.7)
Belelikla
baraberliyini alnq. Yani, ermit operatorun maxsusi deyerinin (qiymetinin) haqiqi eded olduBuDu taPm$ olanq'
Oger iki ixtiyari xatti lro ermit oPeratorlann yerlarini deyigdirdikde:
(3 8)
)h,y = B2,y
olurra, ^i, t operatorlanna komutativ operatorlar deyilir. Yox,
.gn 2 o 6 operatorlarr srr,ajaggan operatorlar deyilse, yeni
ABy *
BAy
(3.9)
olana, .2 va .6 operatorlanna komutativ olnayan operatorlar deyilir. Ogar,
ABy
-BAty
(3.10)
=
olursa, 2 ve 6 operatortanna antikomutativ operatorlar deyilir.
(3.8) - (3.10) ifadalaini 6dayen gartlar fzikada gox dnemli gartlerdi
vs kvant mexanikasrnda faydah fziki neticalare gBtirib guaran ;ar-
tlardir.
.
54.Kvantmexanikastntnpostulatlart
Kvant mexanikasrnda dinamik dayigenin bu va yada ki, bagka qiymat alma ehtimaltndan va dinamik deyiSanin orta qiymatinden s6hbet agrlr. Buna gdra da kvant moonikaslnda dinamik dsylganlar edadlarle deyil, daha baSka dalliyi olan operatorla xarakteriza olunur. Mahz, ona g6re de kvant mexanikasmda postulat olaraq rig postulat qebul olunur:
Her bir dinamik dayiSan xetti ve ermit op€ratorla ta'sil olunur.
Bu kvant mexanif,251nrn lid1si p6stulatrdr. Yani, p operatoru
1.
01'"r" =1""0r"
(4.1)
Ie'1vav
=
!'ea'e'ar
Jerini ,6dayen operatordur/ Bu; gartlar daxilinda bu iura operator
vurma operatoru (i -radius vektoru) ve ya diferensial operator
(-iV)oh bilir.
2. Her bir operatorun mexsusi qiymetini tapmaq iigiiu
0w,
=
tY,
(4.2)
tanliyindan istifade olunur. p - operatoru ila xaral:teria olunan
dinamik dayigen daqiq olaraq, bu operatorun mexsusi qiymatlarindn har haosr biri olan q mfi5ahide olunur. Buradan gdriinur k!
fziki kamiyyatleri xarattcriza edan operatorun maxsusi qiymati
gergal haqiqi adaddir. Bu kvant mexanikasrnrn ikincl postulattdf.
-3. Ogar har hansr bir y funksiyasr ixtiyari haL xarakteriza
edirsa, bu funksiyanr maxsusi funksiyalarrn cemi gaklinde yaza bilarik.
v=Zr"v"
(4.3)
Dalf,a funksiyasrrun 591"1;111 snlamrpa gdra fazada goxlu sayda birbirlari ile kaigmayan oblastlar var ki, onlann her birisinda
olma ehtimat y ila tayin olunur. Burada iigiincl poshrlat olaraq
bele bir postulat qabul olunur. gayet har hansr bn dinamik dayipai dlgerken q dayarini alrna ehtimah superpozisiya prinsipinda olan
ao
-lann
la,l'
mUtlaq qiymatinin kvadratr ila tayin olunur.
w=lo"l'
ya'ni
(4.4)
ehtimal srxlEr bu gakilda verilmig olur. Bu postulata g6ra istanilan
dinamik deyiganin bu va ya ba.$ka qilmet al-a ehtimahm g6starir.
Belalikle, q maxsusi qiym.ati dlgiilmakda olan q-lerin har hansr biri.
nin alna ehtimah,
-funksiyasrnm, y/e -maxsusi funlsiyalanu
y
biri ila tist-usta dugps 6[1i62tnr iaamla s6ylamak olar.
Beleca, iig postulat qabul olunur:
1.
2.
3.
Dinamik dayiganlar xatti ve ermit (62-6ziina qoqma) operatorlarla gbstarilir.
Olgti zamam operatorlann moxsrsi qiymatlarindan q biri
ahnrr.
Ol9[ zamanr maxsrsi qiymotlarden birinin alma ehtimalt
srxhgl
w=
lr,l' -diskret halda
dW =laql- dq -kesilmaz halda
tt)
(4.5)
teyin olunur.
$ 5. Kasilmez spektre sahib olan operatorun
maxsusi funksiYasr
Operatorun kesitnez maxsusi qiymetini va mexsusi funksiyasrm teyin eden tanlik (3.3)-e gore
0W
=
c,t,
(3.3)
kimi yazlr. Kasitnadiyi tafsilatr ila aragdrmaq iigfln bu tanliya
kasilmaz dayigan q daxil edak. Onda (3.3) tanliyini
(3.3)
lvo =sv,
gaklinda da yaza bilerik. Bu nana ftyrl'dl da! an ifade olur ve
yaxmlagtr.
llrrl- it ar.i a*r,
Belalikla, zerr+
cik bu durumda da mahdud olmayan, infrnitiv harakat edir. Bele
hallarda ixtiyari hahn dalla funksiyasrru superpozisiya prinsipina
tez sonsuzluqda srfira
giira
wG)= lo,v,GYs
(5.1)
kimi gostare bilarik. Kesilmez spektrin maxsusi funksiyastnt ela 5akilde secak U.
I 12
lol dq
kemiyyata q ila q+dq intervahnda qiymet
alma ehtimahn tayin edor. q - qiymatinin biitiin deyarlarinin alma
ifadesi y
hahnda fziki
6[1iap]l4snrn 6ppi;
bwrabwr olar/
olduEu
t/
=r
[1""]'aq
-funksiyan'n normallama ;wrtinw g,rw (2/4)
(5.2)
t''Ydv =r
iigtn
{i:ll
,),r1y;;;)t:,)'ffn==,0
hahnda
ifadaini alarkan,
yaznaq mtmkiundu.
kasilmaz spektr
15.+;
olan
l"ivla<
superpozisiya prinsipinden istifada olunmu;dur/
w'=
a, =
Buradan
lv'wdY
(5'5)
(5/4) ifadwsindwn
(s.6)
uhnq.
i)
[o,.(!v,.v;avfu'
ddanilir. Bunun
ixtiyari a, iigin
(s
o, =
yaza bilarik. Bu ifadaui
nqnn
q'+q
her zaman
otnayanda lVr'Wiaf
=O ola4 q'=q
olanda isa
-) co sonsuan yaxrnlaSr, grinki aks taqdirda dV g6re inIV r,V;a,
teqral srfrr olar. Demali inteqral
[vnv;ar
(
q'
- C)
-nin funksiyasr olmahdu. Bu funksiya ozal funksiya olan
6 -funksiya olar.
Yeni
[v,.v;av = tU - A=f;,'r',!',
(s.E)
olmasr laztmdr.
Bu ifade kesilmez spektrin maxsusi funksiyasrmn 6'-fuoksiyava normallanmasr gartidir. Bu $orta 86re fiziki kamiyyat F ile F+dF
;6rnda qi;mat alma ehtimahm tayin edir. F fiziki kamiyyeti her
bir F -e beraber olmaYanda
(5.e)
lv,,vidv =o,q * q'
hasr
25
oldugu ugun ksilmaz spektril mexsusi funksiyalarr ortoqonal
(v".,V)=O olur. ogar fziki kamiyytlar eynidirsa, onda (5.8)-e
giiro inteqral dafi an olar. (5.8) ifadesindeki 6 (q' -q) funksiya
xiisusi funksiya olub, Dirakrn d -funksiyasr adlanu. Bu funksiya
sinkulyar funksiya olaraq her yerda srfir olub, yalnz x=0 ndqtsinda
sonsuz Syfrkdiir va onun inteqrah (Olava A)
IiGY,
d'
=,
olur.
- funksiyanrn tarifmo g6ro
yaza bilerik.
6 -funksiyanm agagdakr xassleri ma'lumdur:
a(.r)=
a(-x)
,(r=-d(-,
-a(:)
ra(;)= o,.ra(.r)
=
a(*)= JaG)
fd(x
-
lal
(5.1)
")19)* = 1(")
ale(I')-eDt=dfou'-tl
I ur l,=,
Mesalann? koordinat operatoru kasilmaz spektre malik oldu[u
[9iin
v@= I""y"FV"
o, = [wGbG'-i)a
yazrraq olar-
26
=vG)
(s.r2)
Be
lalikla, bfitrin kasilmaz spcktra malik olan operatorlann
maxsusi funksiyalan, d - funksiyaya normaLlanan funlsiyalardu
ve normalama qertlari d - funksiyasrrun xasselari ila mfleyyanlegdi-
rilir.
$6. Diskret spektra malik olan operatorun maxsusi funksiyalarr
Ferz edek ki, operator porhgmamrg diskret spektra malik
olur. Onda bele operatorun maxsusi funksiyasr
Qv"=q"v"
(3.3)
tanliyini 6doyan funksiya olur. Bu tanliya kompleks qogma tanlik
l'fi=so,ti
olar. (3.3) ifadmini soldan 7}-e
faza lzra inteqrallamr$ olursaq
v-o
(6.1)
(6.1}i ise
r7, -ya
vurub, bfltiin
[fi1v"av =0"!$v,"av
Iw"O"Yiar = qt lv"fiav
Bu ifadelari teraf-tarafa gusaq,
p
alanq.
olrratorunun ermitlik gartine
gdra
lv,ilv"av
=
!w"l',t;aY
olar va buradan
(0"-q)l viv"dv
elda edilar. Ogar
q. * q, -disa, yani a * p farqlidirsa, onda
(6.2)
(6.2)
ifadasinda
l4w"dr
=o
(6.3)
qarti alnar. Bu maxsusi funksiyalann ortoqonalhq gar tidir. Yani
mfixtalif maxsusi qiymati olan hallar bir-birina ortoqonaldr. Ba5qa
sdzla, lrziki kamiyyati vo ya dinarnik deyigani 5l9en zamant a -hatnda fziki kamiyyet iig[n bir qiymet, /-hahnda isa bagqa bir qiy-
27
mat alm$ oluruq. Ogar 8, = 4s olarsa, yam a = polursa. onda
(6.2)rdan
! viy,"av = !w,1'av =r
(6.4)
olar. Yani bu halda 100/o ehtimalla sistrm a hahnda olur ki, bela
a halnda olma ehtimallarrn cami vahiddir.
(6.4) normasrm g6z6n0na alaflqsa, diskret spektrin maxsusi
funksiyalar goxluiu (6.3) ila birlikda ortonormal funksiyalar sistemi tegkil edir va ortonormaLrq sarti
t '
' (r a=B
lv)v"dv=d*=lo o*B
(6.5)
olur. Demeli diskret spektra sahib olau olrratorun moxsusi funksiyalan ortonormal funksiyalardr. Diger tarefdan bu mexsusi funksiyalar tam (va ya qapaL) sistem taqkil edirlar. Ya'ni istenilan ixtiyari
funksiya 12, dayiqanlerdan as r olarsa, 14o maxsusi funksiyalann
srasr kimi tamsil olunar:
(6 6)
vQ)=Z""v"Q)
burada carrlama biitiin kvant adedleri a iizrd olur.
(6.5) ortooormallamam nezera atarrqsa, (6.6)-m
!{
-ye vurub,
biit0n faza iia'a int€qrallam$ olursaq
IwiwkYc
=
lv)v.a.dt = 2".6 *
(6.7)
o, = [fivqW
alda edirik.
lstanilen funksiyaru diskret spektrin maxsusi funksiyalartn
toplamr kimi g6stare bilarik:
a(q'-il=Z""G'fu"(q)
Bu (6.E) ifadasi (6.6!nrn x[susi bir
""(q')
=
lvibbb'
hatdr,
- qW
olur. Buradan (6.8) yerina yazanqsa
2E
=
(6.8)
ona gdre (6.7]ya asasen
dQ')
(6.e)
a(q'-d=Zwib'fu"k)
(6.10)
alm$ oluru,q. Ham diskret ro [..da kxilmez spektre malik olan
operatorlarin moxsusi fuuksiyalarr agaf,rdakt gakilda ortonormalama $ertini Mey6n funksiyalar olur
Zvi?'fu"(q) * [v ":w,a' = aQ' - o)
(6.l1)
Opratorlann maxsusi funksiyalan eyni zamanda Hilbert fezasrr,,r,
ort vektorlan olduqlan iigln ortonormahq gartini bu gakilda da
yazraq olar
<
a=
B
flla>= ! v;w"a=r, =fi
a+p
G'12)
97. Fiziki kamiyyatia orta qiymati
Her hansr 6i1 dinqmik dalgenin orta qiymeti bu dayigane
qargr qoyulan ermit va xatti operatorun vo ixtiyari hahn hal vekto,
runun veri.lmesi ila tayin olunur. Bunu gdstarmak iig[n orta qiymat
anlay4rndan istifada edek. Me'l"mdur ki, orta qiymat
'
Nr4 + NrF, + "' N,4
p :. p
4Il"
r-
kini
r{
5.
?N
iilqarken,
=
(7.1)
h^esablanrr. V-aanj,
Nr dafe Fr qiymeti,
-taguffatini
N: dafa Fz qiymati, N1 dafa
F3 qiymati ve saire qiymatlar alr. Ehti_
|
mar naan)rydtna gorE)
F=<F>=ria1f
nff=Znw(+)
paklinda yazrla bilar.
Ugiincii postulata gdre
(a.4)
v(\)=b"@l'=";(q\p"@)
oldugu ng[n
F
=lqo;a"=llqa;a.a*
d
at
yaanaq olur.
29
(7.2)
OrtonormalLq gartina gdra
6*=[v,v)dv=<Bta>
(7.3)
Onda F-in orta qiymeti [gEn
a)y)F,a,y dY =
=ll@A r,a;a" lw "v;av =21
dP
= lZ"i4Zr"asy.av =[la)fiFla.y.dv =
iand
F
=
(7.4)
ll";r;t\,a;Y-dY
alda edarik. Boilidir ki, ixtiyari
r1r
ve 7'funksiyalanm
,{=Zo"v,
'
, =.,
Z.ivi
mexsusi funksiyalann srrasr kimi yaza bilerik va
<F>=F = [v'G,t)rv?,t)av
e.s)
kimi orta qiymeti tapmrg oluruq. Demali, kvant mexanikastnda fizi-
ki kemiyyetin orta qiymati ixtiyari hahn dalla funksiyasr ile teyin
olunur. Orta qiymat, sistem naxsusi halda oldulu zaman mexsusi
funksiyalarrn toplamr ile ifade olunan, ixtiyari haftn dalfia funksiyasr
ile
F = lv'G,t)rwG,t)av
Q.6)
m[ayyan olunan qiymatdir.
$E. Mexsusi qiymat va moxsusi funksiya
tanliyi
Dinamik deyiganin orta qiymeti (7.6) ifadesi ile teyin olunur:
F=
[v'F,t)rv?.tU"
(7.6)
Bu ifada ila nainki orta qiymati, hamginin kvadratik orta ferqlenmeni hesablamaq olur. Haqiqaten F-in xatasr
M =F-<F >
olur va buna uyfun ermit operator da
(8.1)
LF=F-<F>
(8.2)
olar. Buradan va (7.6!ya g6ra kvadratik orta ferqlanma
.(ar)'r=
fu'(,;r\;r)r*
(8.3)
gaklinde yazrla bilar. AF operatorun ermitlik gartina gdra
!v' tF rydv = [,1ir) v'av
(8.4)
oldu[u iigiin
.(ar)',= !v' trdr = h(;r)'
t*
=
$,,{;,)','* = il;,),|*
yaalar. Yani,
=
ftimi
.(ar),,=
l@)4'*
(8.s)
alde edirik.
(8.5) ifadasi istanilan dinamik dayiqanin ixtiyari halda orta
qiymatinden kvadratik orta farqlanmani hesablamaq m[mk[ndiir.
(E.S)-den ma'lum olmayan hal, kvadratik orta ferqlanme srfir olanda mdvcud olar, yani, F kamiyyati m[ayyan qiymata sahib olur.
Bela hallar figiin (8.5) ifadasi srfublar
l(b),|'*
=,
(8.6)
Inteqral altr ifade mItleq miisbet ifadedir. Ona gore inteqrahn srfr
olmasr iigiin
(#),*
prti
(E.7)
daxilinde lab[dd[r., (8.2) ifadasinden
(F_.
r,)r
31
=o
(8.E)
yazrlas. Qgql F' rnriayyan olursa, <
Fv
=
F >= F olar
Fv
ve (8.8) tenliyi
(8.e)
kimi yazrlar. Bu tanlik xotti bkcins differensial tanlikdir. Mehz bu
ciira taDliyi hell etdikda disket ye kesilnaz spektr, hamginin culagma olub va ya olnamasl rapa bilorik.
OperatoruD maxsusi qiymatlorin toplam-r F kemiyyatinin ixtiyari halda mr'lmkfla olan qiymetlar abnasrna imkan verir.
59. Fiziki kemiyyatin mteyyan qiymat alma gerti
Ogar her hansr bir halm dalta funksiyasr eyni zamanda bir nega operatorun moxsusi funksiyasrdusa, onda bu halda
operatorlara
uyf,un galan frziki kemiyyatlar mibyyen qiym.at alr. Sisterrin haLndan asrh olaraq bu ve ya bagka kemiyyat miiayyan qiymata sahib
olar. Trruba g6starir ki, faqat ela kamiyyatler da olur ki, onlar heg
bir halda mtieyyen qiymet ala bitnir. Yeni, onlar qeyrimrieyyen qalu. Bu xlsusiyyat mikroalamin 6zalliyidir ki, bunuda kvant mexanikasrnda aks etdirmeliyik.
GSstarmek olar ki, eger iki fziki kamiyyat eyni zamanda mfrayyan qiymat alrsa, onlarrn operatorlan komutativ olurlar. Fiziki
ksmiyyatlarin miieyyan olnrasr,
bir
y"
A*
iki
I u I
operatorannrn eyni
mexsusi funksiyaya malik elmacl d6nsf,dir. Riyazi dilde bu
O, operaorlan iigfin
QrV"=qrv"
(e
QzV" = ?zV.
yarmaq demekdir. Buradan
l)
AQ,v"=c,Av"=492v"
Q,Av"
= q,Q,w" = 4z4rv.
alda edarik. (92) ifadasindaki tanliklari
olar. Buradan
tarf-tarofa gxanqsa, onda
lo,A - AAV " = Q$zw " - e $ t, " = o
32
(e.2)
b,o,-aab"=o
40,=0,a
(e.3)
tapmr$ olariq. lxtiyari hahn dalla funksiyasmr
v=2""w"
yazmq olursaq
(g,o, -
O,aD,", " = b,o, - AAV
=
tapanq. Ye'ni,
(0,0,-aaV=o
(e.4)
olar. Demali, ixtiyari halda da cyni bir dalEa funksiyasrna sahib
olan iki operator srradayigan, komutativ operitorlar oiarlar. Bu teoremin tarsini do g6starmak olur. Bunu crlagmamrg hal olanda
giisterak. Taoliyi AA = AA part daxilinde
Q,V"=q,V,
(e.,
gaklinda yazaq. (9.5)-in her terefini pr -ye vuraq.
O,(0,r,)=r,(0,r")
Ye'ni
O,b,r.)= r,(0,r")
olar.
o'b,v,)=qr" =q,*"
Burada
(e.6)
P" =Qrv"
CrrlagmamrE hal oldulu flgiin g,
yro den ferqli ola bilmez rra
egar farqli olursa, bu farq yalnz bir sabitla farqhne biler:
(e.7)
9" = lzY"
(9.6)l'nl yerina yazarsaq
Qzt{"=42V"
33
(e.8)
olar. Buradan hem
Q ve Q,
ham da operatorunun eyni bir mex-
susi funksiyasr olur. Ogor 1r - hahnda bir nege kamiyyetin 12, mii-
eyyen qiymeti varsa, onda bu kamiyyatlerin mistarok dayarlari
olar. Baqka deyirrla. operatorlan komutasiya eden frziki kamiyyetleri bir-birina engal olmurlar.
$10. Dinamik dayiqanler
[9[n qeyrimtayyenlik
m[nasibeti
Operatorlan komitasiya edan
lziki
deyigenler bir-birilarina
angel olmayan kamiyyetJar olurlar va onlar eyni zamanda miiayyan
qiymat alan kemiyyetlerdi. Lakin komutasiya etmayon operatorlarrn dinamik dayipnlari ise bir-birine ongol olan kamiyyatlar olur,
onlar eyni amanda heg bir halda miiayyan dayar almaq imkanrna
sahib deyiller, onlar arasrnda qeyrimiiayyenlik m6vcuddur. Oger
operatorlan komutasiya etrnoyotr ermit op€ratorlar Ug[n komutasiya gerti
I
-l
^
lA'Bl=iC
(lo'l)
varsa, ixtiyari halda A ve B kemiyyatlarinin orta qiymeti
7=
!v'Lvar =(/,Ay'\E = [v'bvav =(v,By,)
olmaqla, A ve B-nin xatasr
M=A_7,M=B_8,
kimi olur ve bunlarrn olrratorlan iigiinda (10.1) ifadesi alnar
[^+r,]=,e
burada
Onda
M
(10.2)
=l- 7,U= n -8,-av.
@)' = fu
(M1'
(t-tfvar
= @, e',y) = (e v,, e v,)
(r0.3)
(u)'= [v' lB-n)ydY
ltny
= (y, o',y) = (B v. s w)
(10.4)
yaza bilorik. Ogar
(az)r
(aaI = (v,,v
^fu
,,y,,)
paklinda yezmrs olursaq, ( la6l' s lal'zlDj'z oruugu tgun;
lttYltsy
ya.anaq olar. (v, 1y,) = (e w, n
.
>1Q,,1y,1'
d
=
(10.5)
ft{, eA) olduf,u iie[n re
),i=,fr u2
-EA *b!^E) =6*i"rz
(10.6)
@(*r,(,,ir)' .1@,ur)'
(,0,)
' AB-BA\
6=4!*BA
^r.z'"=i)
oabulerr"r(
va ya
(^AF(^BI
;2
>o
uo.8)
olur.
Buradan
7
(^AI^B)>;
(ro.e)
dmq.
_
Demali, (10.1) garti olduqda, bu A ve B kamiyyatlar [q[n (10.9)
qeyrimiieyyanlik m[nasibeti ahnr.
Bu (10.9) miinasibeti baqqa yolla da alda eda bilerik. Bunun
iigiin haqiqi parametr olan a g6ra mUtlaq misbat ifada)"a baxaq:
&)= I(,^A-it'n),,,1'a,>o
Bu ifadanin gaklini dayigsak
35
I
t,o.,or
4d=
I("i^-, b)r("^i'-,^i'),'on
=
(ilX*.)*.,n *(e),(d. ),.,, -
=
",
-
- (t'"Xd')0,
=
" [v'li\ w, . 1r'(k)' wv - i, !,y'[i,.elav
., t(,io),(^L'),'
"
*
=
alanq. Ya'ni
r(a\
Buradan
iiqtD
a
=
a'(tef
+
ad
+
(anf
>o
(10.1t)
olur.
parametrinin bfltiin qiymatlarinda 1(a) > 0 olrnasr
(nI@r=+
(r0.12)
1@1@=;
(r0.13)
olur. Buradan
alanq.
Operatorlan komutasiya etmayan fiziki kemiyyatlerdan kordinat
va impuls, ,7imut bucap va harekat miqdan momentinin birlageni,
zaman ve enerji
Ax.aPr ,-f;,w
ts.u->!
2
.tt, ,L,tz. P,>I,
(lo.t4)
Ar.AE>!)
kamiyyatleri arasrnda qeyrimfieyyanlik miinasibati yaramr.
(10.14) miinasibetina gdra impulsun x-birlagani barede ma'lumatL onun uyEun koordinatr haqqrnda ma'lumatl tamaman itirdik-
da atrmaq olur. Eynila koordinatrn daqiq tayin olunmasr [ein, lmpulsun uylun birlagani haqqrnda melumat alrnq olmaz. Hamginin
zarraciyin miayyan bir orbitde veziyyeti orbita perpendikulyar
miistavida impuls momentiun birlegeninin barada ma'lu:natrn tamamen itirilmesi ila alde olunur. Enerji ila zaman lqfinda bu sdzlari
sdylamak mflmkiindiir, Enerjinin AE deqiqliyi ila tayini & zaman
intervalnda olur. Ye'ni, sistem & zaman farqinio her hansr bir
qiymeti olanda, onun enerjisi
LE-+
N
daqiqliyi ila tayin olunur ve enerjinin dlgilme m[ddati N zamamnda mi5ahida olunur.
Belalikla, qeyrimriayyanlik miinasibeti zarraciyin atom 6lgtl+
rinda traektoriya anlayrgma malik olmamasmr g6starir.
$l l. Koordinat va impuls operatorlarrnrn agkar gakili,
onlarrn maxsusi qiymati ve maxsusi funksiyalarr
Bu va ya bagqa bir operatorun agkar $okilinin miloyyon €dihoasi
dalfa funksyasrnrn hansr dayigaudan asrh olmasrna bafhdr. Koordinata ba[h olan dalfia funksiyasr verilmig olursa, on& bu funksiya
koordinat iasvirinde verilmig funksiya olur. Yani, farz edek ki, dal!a funksiyasr koordinat tavirinda verilmigai (y(;)) . Orta qiymatin
F = [w'Fvav =
[v'iva,ata,
Ifadasina gdre koordinatrn orta qiymeti
i
=
yazla bilir. Digar tarefdan
lv'iv*a*
y
(l
r.l)
hahnda f,661dinatm qiymati
t = [tfyl' av = lr*'n, = lv';vart
bu ifada ile teyin olunur. (l1.2) ile (l
dinat tasvirinde
l.lli
([t.2)
mtqayisa edersak, koor-
(l r.3)
alanq.
Demali, koordinat tasviriude koordinat operatoru, koordinata wrma operatoru olur. Bu operatorun maxsusi qiymatiui tapmaq [giin
?,y,"(r)=4y,.(r)
tanliyini yazaq. Bu tanlikde
olmayanda isa
ty,"-o
delta funksiyasr O(f
f = i, olanda, ry,,*o
olmasr
-;")
lazndr.
(11.4)
olmali.,
i +i.
Bu ciire xassaye Dirakrn
malik olur. Ye'ni
-i)
yr,. = 6(i
Be1ece, faza koordinahnrn operatoru ve mexsusi funksiyasr
r =r
,/"=6[eic-;.wdR=6(i-i")
(1r.5)
kimi tayio olunur. Burada koordinat i,-6 -dan, + co -a qader ke5ilmz qiymetler alar. (- o < i <
"o)
Llpuls operatorunun agkar gaklini tapmaq figiin dal[a funksiyasrmn radius vektorundan asfi olmasrnr ferz edek va onu r- atrafinda sraya ayuaq.
,y(i)-+ y(r
'=
+a)=v,@.a9#-l:'
' or v=a
(r 1.6)
Oger ry funksiyasr klassikebenzer funksiya olarsa,
,y1;1=
d/
ai
"i'G\
ifud"uioi h"rablamrs olsao
Oty
alde edarik.
O
0i- tr
!;67
AI
-i hai ^:IFt
(r 1.7)
Bellidir ki, klassik fzika& impuls, teeir inteqrahmn fezada dayigmasi kimi, yani t+ir intcqrahnrn qradientidir. Bunu nazara alsaq
olur. Onda (l1.7)-den
$lr)=o,=t
38
(r 1.8)
Buradan
da
a i_a=_Dtu
ofn
ahnar.
^e
D=-ih;=-ihv
(ll.e)
alde edilir.
Belalikla, iig dena impuls operatoru alrrug oluruq:
i,=-ih+,b"=-in*.p,,=-ih+
doyoz
(u.ro)
Bu operatorlar bir-birlari ila komutasiya edqn operatorlardr
i,i, - i,i,
=li,,,l,l=o
i,i,- b,b,=[P,.P,l=o
(1r.11)
n,i.-
b.b, =lp,.o.l=o
Lakin koordinat x,y,z operatorlan ila uylun i,.ir.i" op"r^torlan
komutasiya etmir, ancaq garpaz uyEun komponentler komutasiya
edar. Mesalan,
(o.- p,,\y =-*(,*-*,), =-tn(,{-w
-,*)=,0*
Gi, - i,,\y = -"(,
=
-,X)=,
&- *,Y -.?X
alnar.
Demali
xfi, - ff,x =lx, fi,1= in,l,,l,,l=1,,1,1=o
o
- b,v =lv, i,l= in,[v, l,,l={v, i,,l=
,i, - i,, =lr, i,l-- in,[r,p,l=lr,fi,)= o
vh,
(l I'
12)
miinasibetlarini alda edarik.
indi do impuls operatorunutr maxsusi qiymati va maxsusi funksiyaslnl tapaEln. Bunuo [g[n Snce maxsusi qiymat rra mexsusi funksiya
tanliyini yazaq:
iv,Q)=-i1tr*,(r)=
n,,F)
Ve uyf,un birlagenlarin odadiyi tanliklarin
(n.r3)
-
.-av*G)
ih::z:J
= b,w,Q) = p,,y *(r)
-rra, AyrG) - ",v.(7)=
.-aw-G)
---:---z-:--
- ih
hallini
Az
= i,Vr
p"v.(t)
(11.14)
rG) = p,,f rG)
,y,(;)=x(x)v(y)z(,)
(l r.rs)
saklinda axtaraq. Onda
-
n*)
v
0z(,)
=
p.x(x\v $BQ)
-ta*)=n,x(,)
-in\) =t,v(t)
_.*dz(r)
=
(n.r6)
p,z(r)
. olar. Buradan
#=;,'.*, #=;0,*'#=i,,*
.,,7)
olduf,u figiin
i
x(x)=
";"
i
Yb/)= eiP"
(11.1E)
i
z(z)=
Yani
aLnar.
";"'
I
v",=f,$t,zPe"
t
v r, =
f,(x,zPi"'
40
(l1. re)
i
,/r,
olar.
fr(r,yb;'"
Bu hellar impulsun - co < { < +co \@ -co<Pr<+<o qiy=
matlerinde yararlr hall olur. (l 1. l9)-da
funksiyalan ixtiyari funksiyatardr,
Buradan (11.13!n helli
vr7)=c":b'*."''.')
7$, z\ |r(x,z\
=c";io
fir(x,
y)
(lr.2o)
alda edilar.
impulsun - co < P < t{ kesilmez qiymatlarinda y, -nin dalla
funksiyasr olmasrm saxlar (kasilmaa birqiymedi, sonlu qaIar).Impuls kesilmaz maxusi qiym.atlar aldrgna g6ra, (1 L20) maxsusi funksiyalan d -funksiyaya normallanan fuaksiya olar (bax
(s.10) ve (s.l lle)
(l l.2r)
Iv,"'G\y,GYv =a(p'- pl
Buradan
,o' 1ia'-ov a' -
6G' -
n)
5(i'-F)=#Ptt'-cvo
c=Ara't,
tapanq. Belalikla, impuls operatorunun maxsrsi funksiyasr
t !a;
v,=wn
Bu zaman impuls
-o
<
F
<
+-
(|.22)
kasilnaz qiymatlar atorg olar.
$12. Encrji operatoru, grddinger tanliyi
DalEa funksiyasrnm sistemin hahm xaraktcriza etmosiuo miivafiq
olaraq, hahn z"mana g6ra deyigilmasi da dalia funksiyasrnrn zamanla dayigmesi ila teyin olunur. Bunu g6starmek Egiin ferz edek
41
ki, datEa funksiyasr zamana bafhdu. t-anmda sistemin hah y/(i,r)
funksiyasl ila xarakteriza olunursa, t'=t+toannda aa y(11)
funksiyasr ila xarakteriza olun ar. agar
Vr(i,{)
funksiyasrm Teylor
srlztsrna ay[anqsa:
olar. Bu srram
v(;,t+t")=1fiffv{r,,)=
i'*v{;,,)
oz.2)
kimi de yaaaq imkanmda da olanq. y/(i,t) va r4(/,r') funksiyalan eyni bir hah ifade edan funksilardr. y(i,l) funksiyasrm
kvaziklassik fuuksiya kimi qabul etsak
fiv{;,i
yaza bilarik.
Klassik mexanikaa"o -
=
fia'"''' = iff ,{r.,)
$At = 11 fru-ilton tunksiyasr olnasr bellidir
va
av
dh=_!y.
(t2.3)
alds edilo bilar. Buradan
fi =E=inL
At
(t2.4)
yazarg. (12.4) ifadeei enerji operatorudur ki, buda Hamiton operatoruna baraberdi. Hamiton opratoru relyativistik olmayan (v<<c)
halda kinetik ve potensial enerji operatorlanmn toplamrdu:
a
=fi+uQ,y,d=-*o' +u(x,y,z)
(r2.5)
(12.3!e gore
NAVS,',) = A,rG,,)
42
(12.6)
Bu tanliyi grtidinger tanliyi deyilir. grodinger tanliyine g6re
Hamilton operatorunun dalfia funksiyasrna tasiri sistcmin halmn
zamana gdra deyiqmmini verir. Bu tanlik kvant mexanikasrmn aas
tanliyidir.
Ogar Hamilton operatoru zamandan agkar qakilde asrh deyilse,
g(rr)-"i
vFr)=v?bk)
(12.7)
kimi yaanq va onu (12.6)da yerina yazaraq
inddi! v@= av(i\ek)
alda edarik. Buradan
fidt$(
"'
lr - wG) =s
-"
e0 --rtY(t)
iki muxtalif doybanlardan asrl olan ifadelarin bir-birine berabsr
olmasr iig[n, onlarrn bir sabita baraber olmasr laamdr. Bu sabita E
deyariksa
th*=EeQ)
rtyQl= ay(r)
(12.8)
.
yazslar.
(12.4) g<ira (12.8)-in brincisindan E-niu tam enerji glmas1 ayd6
olur. (l 2.8!in birinci tanliyindan
inl d4',) =ofu,
r
'pld
ihtnek)= Et
e1()=
(t2.e)
"-;"
olur.
(12.9) ifadasinda zamana balhhflr E enerjisi ile tayin olunur. (12.8)
ifadasinda
iry(i)= ryQ)
(12.10)
tenliyina stasionar (qararh) hal iigfin grodinger tanliyi deyilir.
nilan hahn dalf,a funksiyasrm stasionar hallann
43
lst+
v"Q,)=,v,1;1n-i'
dalfa funksiyalann superpozisiyasr kimi yazanq:
vQ,t)=l'",y;(t,t)
diskret spektr olanda,
!,(rfu,Q\:'ao
olanda alanq.
w|,t)=
kaailmaz spektr
Stasionar halda ehtimal
sutlr
danda stasionar hahn ehtimal
suhft
w:l,."F,i'
zamandan asrh deyil.
=lv:Gv;'v"trvi"l=
(r2.rl)
Dofur-
02.12)
vi?lc"F)=lv,,Ql'
zamandan as t olmaz.
Eyni zamahda fziki kamiyyatin orta qiymeti
F=
lw'Qt)rv?,tVr
zamandan asrh deyil. Hoqiqotan orta qiymet
..la^
F = [viQpi"
J6,
rr"e'-dY = lwi?)Fw,Fpv
(12.13)
olar ve operatoru zamana bafh olmazsa, onda
F=
[v|G\rv,Fyv
as r deyildir. Elece da dinamik dayisanin her hansr bir qiymet alma
ehtimah zamaadan asr.h otnaz. Dolrudanda
w
(r.) =la(r.l'
l!r;.t
=llw;,F,t\r\,,Yy''
=
v;" rrrv*" ol' =1fu,.(r\,{(rv4'
02'14)
aknar. Stasionar hal& sistemin hahmn zamandan as hF enerji ila
miiayyen olunur.
44
$13. Kvant mexanikaslmn heraket tenliyi
KvaDt mexanikasrnda harakat tanliyini almaq [9[n frziki kemiyyatin orta qiymati dfisturundan
F=
lv'G,t)rv?,t)*aya,
istifade ctmek miimkiindlr. Burada yalnrz
dF
ap-
a=i
(r3.r)
Frtini, yani kemiyyetin deyigma siiratinin orta qiym.atinin, orta
qiymatin zamana g6ra dayiymasina berabarlik gartini qabut edak.
Burada
ff=fu't,..tffrtr,, )*aya,
-# =
* fu' r' r)r'v(r. t)*ava'
oldulu [9[n
!v'
G,tffv7,,Yr = ft !v' G,tPy(;,t)ar
(t3.2)
1n.t1
yazanq. Buradan
!v'
G,tff
wV,Nv = [
fi<v'G,irvi r)dn =
t{*u,.r*r.r'rXYn
(13.4)
elda edarik.
(12.6)-dan gch<idinger tanliyine g6re
a,y6.l
=Lpy,G,l
ve (12.6!nin qogmasr olan
-,oa,zfr) =rr'r'(r,,)
tan-liyinden
45
(13.5)
av'!,t)
=_L;1.r.1;,t1
(13.6)
yaza bilerik. (13.5) va (13.6}ni (l3.alda yerine yazmrg olursak
(13.4) ifadesi
!v'G.iffv7,tYt'=
=
I{-' 0,,1ff,Q, ) + !
-
jn',y'1;,4rv6,,1\ar
v'
Q,
)rn'v(;, )
-
gekline diiqar.
Hamilton operatorunun ermitlik qartini naara alsaq
(r,t\y(r, tpr, =
G. tYt,y(t, tpv
lv'
ln',y'
onda ahnan ifadani
[w'
.
G, n
$
v
G,,yy = !,,,' (,. i{# .
}(r' * - r,il},{ G, tY v
gaklinda gdstare bilarik. Buradan
A^
.L(FH -HF)
+=a!
dt d i,
o3.7)
aluar. (13.7) tanliyina kvant mexanikastmn harakat tanliyi deyilir.
(13.7) tanliyinda
lt"^
_
,ro
ih.
^^\ lr^ ^l
_rp1=:_lF,Hl
' t
iht
(13.8)
Puasonun kvant miitarizasi adlanu.
Burada agar operator. c |ardan agkar qakilda asrh olmazsa,
ifadsi
^A
Id
0 ta
zam.nda
"yoi
ile komitasiya edarsa
=
F
operatoru Hamilton operatoru
Fn - uF =0,Fft
onda
=
frr
(13.e)
dF
=o
dt
(13.10)
olar.
Yani
{=o,F=co*t.
dt
olur. Demali,
ff
= Ulf'nl=o
olarsa, frziki kemiyyat saxlauan ka.
miyyatdir. Masalan, enerji operatoru olan Hamilton operatorunuD
ff!66w
1*
,
tj=
o
ot
or"-d-
enerji dayisani sadanrhr, sferik
simmetrik saheda herekat miqdan momentinin kvadratr va onun
proeksiyasr
at
ff=o *
[*,r]=o
*" V,,*l=o
*-=o
At
(r3.u)
oldufu iigiin
olurlar,
yenil
i
i
=
const
=
,ont,
(13.12)
va Z, sferik simmetrik sahede saxlanrlr.
gl 4.Kesilmezlik tentiyi
_Universal saxlanma qan'rnlarindan , olan ylkiin va madda
miqdanntn. saxlanTlsJ ganunu kvant mexanikasrnrn asas tanliyi
olan Sch6'dinger tenliyinda 6z aksini tapmqdr.
Bela ki, (12.Q ifadasine uyfiun olaraq
.
-*P=(-*v.
47
*u)wl,i
-
=(-L * * *u)v'Q'i
"*P
(r4 r)
yaza bilirik. Bu tanliklarin har terefini uyfiun olarak biringini
p'(r,r)ikingini isa r7(i,r) soldan vurub, taraf-tarefa gxaq:
in
v'
=
*' (-
tn
Q,
)Uf-'
fiv
fr(v'
=
+
-
vG,igYSA
=
u)v|. t) - wG r\- L*v . u\r' G,,l
F, t\r F,
- y' (;, t\t,y(;,
*T
4. + ih
t)
i\
=
-
fi<{ G, tfi ',v(r, t) - v, (;, iv' v' G, i -
+,y(;,t\t,y'
*UV'n
w
(r,
t)
- vp v')- vu rr,' + It v' w
Buradan
#=-*uU*w-dv')
olar.
hr
lw'Vw-vNVr'l
=
't
' Limt'
\
-i
o8er
I{
e4.2)
(14.3)
= tlr.W
i|ara qebul etsak, (14.2)r-dan
alf
i=-vi
va ya
L*fi
=o
a
(r4.4)
elda ediik.
(14.4) anliyine kesi.lmedik tanliyi deyilir. (14.4)-de W ehtimal srxh-
g,
7-
cerayamn ehtimal srxhEr adlanrr.
Ogar W
-ni va
j
-ni elektrik yiik[no vursaq
w. = p, =/yl'z
- ehr
i.=ffV'vv-ww')
(r4.5)
kosilrnazlik tenliyi
9?*afr"
At
=o
(14.6)
alanq. Bu (14.Q ifadesi elekkik yuktnun sirKlanmasl qanununu
gdsterir. Qtnki,
!fur.
Jaiq="ar =o
inteqrallama bEttin faza tizra olduf,una g6ra
filo.av=4i_a
(14.o
yaza biiarik va sonsuz hcmi ahata edan sathden
kegan selin miqdan sfir olar. Onda
fi[o'o'
olar. Buradan
Q=
lodY
=o
=const
olur. Yeni tam elektrik y[k[ saxlanrlr
Q = const
Eyni yolla (14.3![ kiitle m-a vursaq
V,
=
(r4.7)
(14.8)
pt. = ml1tl'z ,
i^=!(w'vv-ww').
madrla miqdanm xarakteri.a edao madde
(14.e)
sulpnr rre maddenin
lini alanq ye bu da maddanin miqdann,n ,fi;;;;;;;;"
se-
olar. Ya'ni
**o*-='
49
(14.e)
aY;
=o,M^="o^t.
(14.lo)
olur.
Demeli, madda miqdannrn va y[k[n saxlan::rast qanunu $chddinger tanliyinda iiz aksini tapmaqdadrr'
$15. Erenfest teoremleri
Kvant mexanikasrnda zaman kegdikca impuls va koordinatrn deyigma qanunauygunlultnu tapa bilmek lazrmdu' Koordinat ve imop".utott"-"-r"ma-ndan aSkar gekilda asrh olmadrf,tna gdra ha-
i,ifr
rakat tanlillari
n =!bB1
dt ih'
(1s.1)
!!=Lli.a1
dt ihL')
kimi vaalar. (15.1) ifadaleri klassik Hamilton tanliklarina anoloji
tenti(tarai, y"'tn, (t S. t ) ifadaleri operatorlu tanliklar gaklindadir'
g6ra dan-u tentiUaisUrat il'a impuls arasrnda va impulsun zamana
yigimini gdstarir' (l 5. l) birincisindan
l,,a\=*@;x
- )P:)
t'*l=*@'-'F;)
(r5.2)
V,*l=*@z-ze)
almrr. Buradan
V,,l=*@i-iF'\
(15.3)
yazmaq olar. (15'3) ifadasinde
i,rf _fi,, =-ZinF
alrnar va
50
(1s.4)
a
V,kl=:
(15.5)
olde edirik.
Beleikle
diP
dtm
(15.6)
ahmr.
Eyni qayda ila (15.1) ikincisinden
A
d4 _ _au
dt
Ax
A
dP,
ay
dt=-oU
(1s.7)
A
d4
dt =_au
Az
yaza bilerik. Yani
/\
!!=-vu
dt
(r5.8)
olar.
(15.6) va (15.8)-a gora
) t:-l,y'ivdv
' lv'pvav
=
dt J
mr
fi!r';*n
=-!v'nu,ov
(r5.e)
(15.9) ifadalari Erenfest teorer eri adlanr. Ye'ui, Uassik fuikadan
ferqli olaraq, kvant mexanikasrnda faza koordinatrnn va impulsun
dayi5masi orta qiymat anlamrnda istifade olunur. Ya'ni
==
drp
a=;'
5l
dF
(15.10)
V=-sradU
olar. Oger poteDsiyalrn qradienti qox az dayigima maruz qalarsa,
onda biitiiu faza iiae potensiyahn dayigimi az olar va klassik frzikada olan taoliyi, yani Nyutonun ikinci qanununu alarrq.
$16. $r6diuger tanliyindan
Hamilton-Yakobi
tanliyinin ahnmasr
Kvant mexanikasr ile klassik mexanika arastnda olan elaqe
flanil16a- Yakobi tenliklerinin, $ch6dinger tanliyinin xtsusi hali
olnasrnda daha qabanq gakilda 6z[o[ gostarir. Ma'lumdur ki, Hamilton- Yakobi tanliyi
^tr
-=--U =o
E
(16.1)
2m
geklindadir. Ogar farz etsek ki, dalla funksiyasr kJassikabenzar dal-
!a funksiyasrdr
(burada
! ;tl
v=er'
(t6.2)
-*P=(-*v, +u)vi,i
(16 3)
a=l qebul olunub). Ixtiyari hal iigto gddinger tanliyini
gaklinda yazaq.
(12.4) ifadaina g6re tam enerji
r-+E=inL
At
oldulu iig[n
(-Lo'+u\u,=o,
\2nt
I
tanliyini alanq. (16.2) kvaziklassi dalf,a fuoksiyasror burada yerina
yazmq oluruqsa
h2
lt
lt
-!t
+ Uer = Eer
--!-Y'e,
2m
alanq. (16.4!do Y2 ila
ry
funksiyaya tasirini hesablasaq
(16.4)
'!1=g.ye,
- -i'=9[i9r,*')=
V,e,
(fr
= l y,pl,'
h
)
* i lit.it -- i'
=
hh
_+(vrl"*,
=!y,p*,
hh
alda ederik. Bu ifadelari yerine yazsaq
-:Lw **(trl
+u
=
r
(16.5)
Klassik mexanikadan mo'lumdur ki,
it=sradl=F
olur. Bunu nezare alsaq
Ye ya
L *u -Lfu.vr = r
2m 2m
r-t--u
*J!-divF=o
Zm 2m
r-!-u
*nlE=s
2m
2m
(16.6)
alda edarik.
(16.6) tanliyine kvaziklassik va ya klassikabanzar tanlik devilir. Bu
tenlik Hamilton-Yakobi tanliyi (t 6. I ) tanliyinden
;;;il-h"dl.
ferqlanir. Ogar
LrrLh,uF,
2m 2mt
t
(r6.7)
oluna, (16.Q
!9nliyl1dan..t ila proporsional heddi nazara atmsnqsa, Hamilton-Yakobi tenliyi aluu. (16.7)dan
tr
rrn!!
dx
olur.
53
Yeni, impulsun kvadrahmn impulsun-qradientinden gox-gox bdyiik
fr^"mao khssik qanunauy[unluqla kifayetlenme\ olar' Bir
"f-r'r,
9ox
tr*n a"vi",t , impulsun deyiqmasi, kinetik enerjiye nisbetenoluna
ticiil of;.", kiassik mexanikamn tatbiqi qanaetbex$ hesab
biler va ya fezada dal[a uzunlu['u ], =
$erso, yanl
?4
p
1"tp;n oLayaraq dayil
4..ro
dx
olarsa, $chodinger tanliyinin teqribi halli, klassik mexanikanrn
miiddaalin ila uzlagan naticelar verir'
aqkar geklnin
$17. impuls momenti operatorunun
aLnmasr, onun mexsusi qiYmati
ve maxsusi funksiYasr
Kvant mexanikasrnda asas operatorlardan biriside impuls momenti oDeratorudur' Bu operatorun na ciira operator oldufunu- tap
izotopluEundar istifada edak va ferz edak ki,
-." riJto f"-ntnf.oordinatm
funksiyast olur' QaPah sistem iigiin fof,rtiu iint.ivr",
hfiquqlu oldu[una g6ra lazada soneyni
lstiqamatlori
zurin btitun
eysuz kigik ddntqfime baxanqsa, VF)* VF) dalfa funksiyasr
qani hah xarakteriza edir. Burada / deyiqenin d6nmeye meruz
lan radius vektoru
/ =i +e =i +16O.il
geklinda olar.
indi
y(/)-i E
vr(r) = y,G + d) =
etattnda uraya ayrtlusa
rt l. * *lr.
*
='
07.1)
y"zla bilar. Onda
va
,e)=(t.t5l1*. YG\
('=*)
VrF =dol-l=aq.l-,|*oe"Wl,-ur,[,rL
54
07.z)
oldugu iigiin 6g,,6g"va 5p, bucaqlarr x,y ya z oxlan atrafrnda
aonsuz kigik ddnma bucaqlandu. (17.2) diisturunda
loL=,*_,*,
:'.L=,*-,*,
wL=,*-,*,
olur'
oger (17.2|ni +ih-a vurub ve b6lsa*
*!do["vl=i(nqolwl
alanq ki, burada
i
operatoruna
a
r -l - .
L=-ihwl=vil
rrr.t].
kimi baxa bilerik ve bu operatora impuls momenti operatoru deyilir. Buradan iig dane impuls momenti operatoru
: .-. A A-)= w,_2p",
L,=_,nu=_z
^
oz oy
^
L, = -ih(z
'dxdz
a
a.
* - x a)
=,i, - ri,,
^aa
L.
= -ih(x: -
oydY*)
=
,i" - Yb.,
(17.4)
olur ki, bunlar bir-birlari ile komutasiya ehayan operaorlardr.
Mesalen, 6mak [g[n Z, ve t, operatorlanna baxarsaq
L,i, - i,L * = Qf', - zfi )(2i,, -,n ) - Qb, -,O,YyO, - A,) =
= yb,zi, - zb,zb, - yi,xi, + zbrxi, - zn,yb, + ,i,yb, + zb,zi, - xi,zb, = yft,it,z - yfit,zfi, + ,i rri, - ri,i,, = yp',(l,z - zi')+
+
xb,Gb"
- p,z)= -inyf,, +iaxfi, = in(ri', - yil= thi,
olur. Eyni yolla
55
lt,,t,l= i,i, - i,i, = ihi,
lt., r.,l= t.L, -
rl
i,i,
=
ini,
lL,,L"1= L,1, - 7"L, = ihl,
( l7.s)
miinasibatlerinde alarrq.
Buradan gdriiniir ki, Z, , Z, va Z.
opratorlan komutasiya etmazfunlsiyalarr yoxdur, onlar tam fziki
lar, yani onlann ortaq mexsusi
kamiyyatler goxluflu tagkil €tmazlor. Bu baxmdan, elverigli olur
ki, L,,L"wa Z, operatorlar avezina -8 va impuls momentinin har
hansr bir
birlapni, masalan,
i,operatorlan komitasiya
i,
iglencisinden istifada olunur.
edan operato-rlar
?
va
olubl ve L,fziki
kamiyyetlari tam f-ziki kamiyyetlar goxlulu taqkil cdirlar. impuls
momenti operatoru d6nme ila alaqadar oldulu [g[n onlan sferik
koordinatlarda yezrnsq lg2u1u meydana golir. Dekart koordinat
sistemindan sferik koordinat sistemina kegid bu ciira apanlr.
(ay,z -+ r,0,p ) (qakil 1.5)
r
= rsind cosp
/ = rsindsinp
z=
(17.6)
rcose
I
'.. \|
gekil 1.5. Sferik koordinata kegid
Burada
, =(*' * y' *
,'ft Jgp = !xf,sss6 = 1
I
Ya ya
e=arccosz ,g=arcfgJ
rx
olur. Buradan
a_44r.000
00o
ar- a, ar- aee*
ar2xx_
A=r@
e
=;=sindcosP
00 _ cos?cosp 0e
Ax
aa
__sing
'Ox
r
(17.7)
r sin7
Onda
cosdcosp d
sing o
9=
'
ex "ire"orra*
Ar r O0 rsin? Op
Eyni qayda ila
^,^_ '
.,r'u
/1
ioy - da yazanq.
a AAr AA0
_-!___! O6o
Ay
yazrlar vo
At
Ay
Ae
Ay
a9 ay
Ar= Slnt/sltrp,;_
A0 cnsflsnp. ._a_
09
_ -,- ^ _._ . =
oy
oy
'ay
r
cos@
rsind
olduiu rigiin
A
d
. cosdsino
O
cosa 6
-,_ ^_.
-=stnaslIrp6*7
U*ffi ,,
ifadosini alrmg oluruq.
a
- tdremasini da sferik koordinatlara g6ra yarnug olursaq
;
A= __AtA-t __AeA __-L_
0ad
_
Az
Az
Ar
_L
Az
57
60'
Az 69
(12.8)
0r - 0o= 0,^ Ae= sind
-:- = cos,,=-dzozozr
A
^0 sin9 A
-=COSAT---Az0rr00
(r 7.e)
tapanq. (17.7)-( 17.9) ifadalarinin cami
d cosdcos@ d sinP d
A A *;=slnocosP-+-A
^
;-*
'
^
r 00 r sin0 )tP
0r
0x Ay Az
D cosdsino 0 cnsroco",^ a sind d
+str|OstIrg-+ --"""""""
ar-; ae
Ae+ rsrlte+
verir. (17.4) ifadasinda
yeriue, (17.7),(17.8) ve
*,*r"*-"ri
(l 7.9) ifadalarini yazartqsa
i. = -*(,
r,
=
* ry *)
-in(, fi -, *)= -.(*", * - "E e,i^
*)
!
-,
+
&)= "("^,
e
"o"
"
e
e
r.=-in(,!-y9l=-*9
ox) ap
\d/
(r7 ro)
alanq. Buradan (17.10)a gore
t = L; + 1,, . i, = -"*l#*(* t *).
alda edirik
#h)
.
Belalikle, sferik koordinat sistemin da L,, L,
,L,u.
t,=in(";^e$*"Eo*"e*)
t, = -,n(*"
e
JU
-
"
tc o
5E
"i^
e
*)
i)
operatorlan
(17.t2)
(17.13)
i"=-in!09
(t7.14)
a
t =-nl-LL(.", 00)
)*sin'00p2)
'. a' I
[sinddd\
(17.15)
gekilinde tayin olunur.
L, va D operatorlan p va d-dan
iigiin, dalla funksiyasmrn
g
yatdir. Mahz buna g6reda
mati
as r operatorlar oldugu
ve d - dan asrllllrnr qabul etmak kifa-
t
u"
i,
t,y(e,fi=
operatorlannm mexsusi qiy-
r?,y(e,e)
(17.16)
(17.t'1)
L,v@,d=r.w(e,q)
tenliklerindan taprlmahdr. Indi agar gdstarsak ki, bu tanliklerin
halli eyni funksiyadr, onda bu operatorlar biri digari ile komutasiya edirlar. Onca ( 17.17) tantiyinin hallina baxaq.
y
-inaYb)
09
'''
funksiyasr yalnrzg -dan asrh oldugu
[9[n
-*!=1,,v
oQ
9Y=,?ae,
v/n
yazrlar. Bunu inteqrallasaq
gY=t*ae,
ryh
alarrq. Omumi her,
v/1,=e;L'P
,r.,"
Vt'=Aea
olur. Burada
!=rz
h
adedi olduqda m = 0,+1,!2,.
ri alrr va hall
59
.. qiymatla-
V L' = Aei"e
ftirni ya.rls.
Demali, Z, = hrz qiymatlari aLr va m-a maqnit kvant adadi deyilir
va orbital momentin pro€ksiyasm tayin edir. impuls momentinin
z-birlaqani
L"=o
L,=th
L,=L2h
va saire diskret qiymatleri alr. Ya'ni,
Z"
dinamik dayiqeni
kvaotlanr. Bu kvantlanma da m adadiuin impuls momentinin
proeksiyasrn,n tayin eden bir kamiyyet olaraq, fziki ma'na dagrmasr aydrodr. Dalga funksiya5lnrn normalizo olunmasl $ortina gdre
2
2l
lwulae=r
0
y"zlar. Buradan
2r22,
lel*l
ae =14' le-bs
ebe
de = zvltrl'z =
1
I
''lztt
alanq. Onda
i
-in mexsusi funksiyasr
vr,=*"^,
.l2tr
ve mexsusi qiymati
lndide
I
ni tapaq.
L,--hil,
m=
(7.18)
0,+1,fl-,"'olar.
operatoruuun mexsusi fuoksiyast va mexsusi qiymat!
f
-nin tanliyi (17.16)"ya g6ra
ilv=rlw
Yani
60
-,'
"' *).
[#*(.,
Bu tanliyin hallini
##),
=,,,
=o(fi:c.(e)
,y
(r7.re)
iaklinda axtaraq (17.19) halli (17.16) - da yerine yazarsaq
H *(,^, #). ##
.
ffi*(",#).#'""
=
vo ya
#
e
(ep(n
=o
-h#
o7
20)
alanq. (17.20|dan goriiudiiyu kimi bu tanlilo soldakr qismi
yalnra 0 -nn, safidakr qismi isa p -nin funksiyasrdr. Onda onlar bir-birina barabar oldupu Ugun (17.20) berabarliyi bir sabito
berabar olar. Bu sabita l,' deyek. Onda
t d2abl -.
-@-;=^"
(t7'21)
yazrnaq olar va buradao
(t?.22)
=ehe (X= m)
tapanq. Taprlan (17.22) helh ela Z, operatorunun da maxsusi
@.
funksiyasrna uyfun galir. (17.20]nin sol tarafi
"i"eft("i"eff)*{"i,,
eele)=x,e{e)
(17.23)
va ya
**$*nP).(#-#)0,=,
olur. z=rcos d oldufu iigiin
4Y-=9 !Y-=-sinedv
de
de
dz
6l
dz
sino d ( _
"^z
sin4
dz\
ifadalarinden
(1
s!9_\.(
4 _ !_
d, ) \h' r-z' )'u'='
7.23) canliYi
*(ogaklina dfrger. Bu
r$).(#-#)'r,=,
tenlik
z=+l
qiymetind.
o7
24)
n*O,n ,0."
$
z2 -+ * sonsuz-a yaxrnlaqrr ve tanlik sinqulyarhla sahib olur.
Sinqulyarhqdan azad olnaq figiin (17.24)-iin hellini
e(z)=1tQ7.2s)
yazmtg
yerin
olarsaq
bunu
kimi axtaraq.(17.24)-de
-
221't2u1z1
(t- z,)u,(z) - (2* *2"1u,(,\*($
(t
-
22
)(r' (z) -
zz
u. qu' t
).(# -,
*
.
3,)rt,=
t!-4)u
O) = o
u'G)=*
(17.26)
v = rz > 0 qiymetinda sinulyarhq aradan qalxar ve
(t
-
zz
o
(I7
alarrq.
tenliyi
'26)
! - ^1- 9lu(,)
') "
' ln'
gaklinde
)(t' (z) - 2 z(m + grr(,) +l
+
=
o
1
r
z.z
z;
gakline dii5ar. (17.27) tanliyinin hellini srra
(17.28)
U@)=larzk
l=0
axtaraq. (17.27) ifadesinda (17.28) strasrm yerina yazsaq a;aflrdakr
cabri tanliyi alanq:
-(
f
{to.
buradan
rxo.
t), *,
ffl
*1f; - (t' * ^\*
I
+m+
r\,fr
=o
,2
"v
-(k+^\* n+t)
at*z=--6;m;r--,.
+
(17.2e)
srrasrmn amsallan [giin rekuent distur ahmr. DalEa funksiyasr
sonlu olmaldr. Bunun rigiin (17.28) srrasrnrn (t 2.29)imsallan'bO-
yiik k qiymetlerinda ao
vaxt olar ki,
*0
olar, lakin ar*, = Oolrnahdr. Buda o
fi-te*^Xn*n
ohun. (p = 9,1,2,3,...)
Ogar p+m=l ile igare etsak,
gostarir
+r)=o
/-in 0,1,2,...
(r7.30)
qiynatler almasrm
.
(17.30) -dan
t =n t(t+t\ l=0,1,2,... (17.31)
qiymati alrnaq imkanr yaramr. Demali, impuls momentinin
kvad_
ratr operatoru n'tQ +t) maxsusi qiymata sahib olur. (l7.3lldan
I =0,L2 =0
I =1,L2 = 2h2
I =2,L2 =6h2
(17.32)
I =3,L2 =12h2
adadi orbital kvant adadi adlanr va bu kvant adadi
impuls momenrinin kvadratrm tayin edan adaddir. G6rilii;Lmi impuls momentinin kvadratr diskret qiymatlar al[. i k ;;i J._
b.r1 qiy-ati [9[n 2I + I qadar ha[ mdvcud olur.
Ona g6re
9l1r1r-ltgl
(17.25) ifadsini
Belelikla,
/
'rto=1ffia"1"""r1
(17.33)
.f
gaklinda yazanq. Burada
(cosd) funksiyas, Lejandr polinomu
adlamr va onun ifadesi (Olave B)
ryGosq=*(t-*.,a8ffi/
(17.34)
kimi elde edilir. (Olava '..)
(17.22) ifadesini da nezare alsaq, impuls momentinin kvadratt ve
momeDtin z-birlaganin in maxsusi funksiyasr
, ;. (t.d
=
lffi
P,^
siferik ftfira) funksiya olur' Ye'ni, ham
lan
tenliklarinda
t
Y,- (e'
.8
(cos
va
op-"
(r7.35)
hemdai " operator-
e\ = n' ft + )r,' (e' e)
(17.36)
L,Y,'(e,fi=n^Y,^(e,e)
fr'zI(/ +l),hrn maxsrsi qiymoto vo Yi@,A)
maxsusi
funksiyaya malik olarlar.
(17.35)da ff (cosA) funksiyalan k0renin sethinde ortonormalltq
gertini tideyan
,2,
(t7'37)
I00IVI te,r}Yl(0'e)sinilHe =
funlsiyalardr. Sferik funksiyalann xfisusi halda bazilari l -in ve
m-in qiymatlarinda cadvel I {e g6starilmigdir.
Cedval l.
5,t'5--'
t=o,m--o
r=r,m=o
t=G lt r=*
t.,
t =1fi*"e
l=1,m=+r r,' =
t=l,m:l
y,-' =
Ez,ma Y! =
ff"ira""
lYil'=|**e
lr,'l'
ffosirae-n
lY,-'l'
E(i*r ' -i),Vtl'
64
=)"in' e
=
=)"in'e
*G"".,
d
-
l)'
t=2,m=2
Y,'
t =2,m'=t,Y)=
t =2,m = -1,
15
lyll'=
e
=!.p-"in'g"-'',
ttt
4Y2z
32t-"'"in,
Esin'e.os'0
rEsindcosdd' lr;l' =
r;' =
I = 2, m = -2,Y,-2 =
ffsinecoslte',
-l.l]1.in'
4\21t
a,
,lr;'l' = flsin'dcos'd
-zte
15
.ly.-zlz =
.int,_
.tzt
32t_---
Indide impuls momenti ila Hamilton operatorunuD elaqasini ve
Hamilton operatorunun be'zi dzalliklerini araSdrafrn.
$18. impuls Eomenti va Hamilton operatorunun
bezi dzolliklari
f
we i, op"rrto.l"r, eyni mexsusi funksiyaya sa.hib olduqlan [giin onlar komutasiya edarlar, yeni fziki
kemiyyatlari eyni zamanda daqiq dlgiilen kamiyyatler oluilar.
(17.5) ifadesindan istifada etsak
(17.36) ifadesine gora
It:,i..]=
= i\i. +
t t, - i,t
\
i.r4 * t, * Et =
i.4+ 11.- i,4 = fii,+i.i,i.-i.i,i..- i.4+
i"i,i, - i,i,i,
-
= 1fi-+
+
E>i, -
i,\ = i,1t ,i, - i,i.,1+ 1i,i, - i,L) +
i,i") + 1i,L, - i,i,)i, = t,eini) + enL)L
+ L,(ihi,) + ihl,i, =o
+
L,1L"i" -
olduiunu g6riiriik. Yeni
'
It,t,l=o
\i,+
+
(rE.r)
olur. Qapah sistem flgin faza bircins olduiiuna gdra impuls saxlaou,
yeni impuls operatoru" Hamilton operatoru ila komutasiya edir.
Bagqa srizla
65
E = lv'GVv?pr = lv'T *a)n'v(t +o)av =
=
iv'G\,-,o. )e(,.iat,, -)vGYv =
=e
-;latl.ob')
yaza bilarik. Buradan
n =n
olur. Yani [e]=
ropliyindan ise
o.r- * f
E = !v'G +nEr,y(r
= !v'
G\,
-
-iali*)*rfu')
saxlanan kemiyyetdir' Fezantn izot-
+rPv
TaotioJ)a(,. ;
= [v' G\n vGV, .
ff
(18.2)
=
ra['-vl)rt V,
=
!r' a\Llit))a;vv
+
o(de' ) =
=n.raolin)*o(de')
yazanq. Yani
n
=n.ia{ie).40o')
olur. Buradan
[zr]=,
(,8.3)
Demeli, qapah sistem [giin impuls momenti saxlanan kemiyyat olmahdr. (l2E) va (14.1) ifadalrina g6re
.*P=(_*v,+u)vl,i
tt'Y\;)= t'Y(;)
Buradan. Hamiltotr operatoru, kinetik enerji operatoru ile potensi-
yal enerjinin
.
:,
rt =-L'v'1au
2m
cemi kimi g6sterila bilar. Sferik koordinat sisteminde Laplas opera-
toru
" i *?' *). i [.-- # ('" $).
=
fi
*!-)
or
o
oidufuna. gdra .8 operatorunu V2 operatorunun bucaqdan asrh
olan qismi ila
il =-n=v,"-=-nl-f-!(.i,a
d'o
aA(""'l_sind
elaqada olar va Laplas operatoru
ton operatoru
-r
d')*
I a'I
'
ae
)
s;n'e dp,
l
ile ifada olar. Buradan Hamil-
u=-#*(,,*).fiu.u
(186)
qeklinda yazrlar.
Belelikle, kinetik enerji operatou radius vektorun herekatinin kine_
tik
enerjisindan
-#*(-*Jra
aon-" hareketine uy[un
i2
olan
-a-
kinetik eoerjisinden ibaret olur.
Elektromaqnit sahasinde enerji operatoru
H^
t /
^ --\2
=;lF-zA)
+ey+u
(rE.?)
gaklinda yazrlr. Burada 7 sahenin vektor-potensiyah, eV-isa skalyar potensialdr. (IE.7)-den .& operatorunu
n
=
*(i' * ! e' - itl -
yaza bilarik. Ogor
e
ii,)+
"v
*
u
FA+ AF= -invl-zihAV
oLnastnr nazere alsaq, Hamilton oPeratorunu
fr = i'
* "' . A, - mc
" fi*
2m 2mc'
!-"h div),+ev
zmc
+IJ
(18.8)
qeklinde alda ederik.
Demeli, Hamilton oP€ratoru, enerji operatoru olaraq, zerracikler sisterninin va onlar arasrndakr tesir qlwatinin xarakteri ile mtayyen olunur. Dolaysr ile Hamilton, t w L,op,oto,larr siferik
simmetrik sahade bir-biri ile komutasiya ederler, onlann fziki kemiyyetleri saxlanan kemiyyatlardir.
Potensiahn minimum qiymati U-r -olarsa, enerjinin orta
qilmeti ixtiyari halda
E=K+A
(18.e)
olur. Kinetik enerji operatorunun K mexsusi qiymati her zaman
i(- > 0 olar' 7 > U* oldugu tlqfln
musbetdir, ona gdra
de
E
,U
onda
elde edhik. Bu gart @> U.- ) bfitiin hallarda dofrudur,
maxsusi qiymatlar figtnde
(18.r0)
8,,U.^
^^
biitiio
olur. SonsMuqda sfira yaxrnla5an potensialh sahedo U(x,y,z)-+0
olursa, mexsusi qiyrratler menfi qiymetlar alu E<0 vo onlar diskret
oiymatlar olurlar. Bu ise sistemin hahnrn rabitali olmasrnr g6starir,
yani baEh sistem olugdururlar ve harekat finit olur. Oksina maxsusi
qiymatlar miisbet oluna, onda onlar kasilmaz spektr olugdurur ve
haraket infinit herokat olar.
Brltiin fazada U(x,y,z)>0 olanda (18.10) g6ra E>0 olar ve E>0
olduqda, spektr kasLnaz olar. Yeni bu halda iimumiyyatle diskret
spekti oLnaz ve hareket hemige infrnitiv olar. Derneli, enerjinin
qiym.eti potensial enerjinin ne gekilde olmastndan asrh olub, diskret
vC kesilmaz qiymeflare uy[un ola biler. Diskret spektrinin stasionar hallan hemipa frnit harakat eden sistem olur, yoni sistem rro ya
onun miieyyen qismi sonsuzlupa gede bilmaz,
68
Fasil I-e aid gahgmalar va onlann halli
Qalrpma
I.l . Q =
frogo^a^orn
ermit operator olrnasru gdstarin.
Hall: Ermitlik gartina giira
Iwilv,a,=
!v,l'via,
.,,
r:
olmalrdrr.
f,;
Yani
Onda
ff*
lVi
= 1,;
fit r* a"'-r€qraL 89saq:
r,l:
-f,y,
i.drv,.
a dd.
_!rri*=-
)V;i*
operatordur.
Qalr5ma
I.2. O=!
-dx
#*
=
-f v, ftr,; a,
ohu. Dernali,
:d
operatoru antiermir
o*rrroruoun maxsusi funkiyasrnrn ve
maxsusi
qiymatini taprn.
Hall: p operatorunun mexsusi funkiyasr va maxsusi qiymatini tayin edan
lanliyi
1vG)=
tv?)
yazarsaq
lvp = p6,fvp = fd,, ,lly = !r*
ax
yrlx)
v
lnry=fx,y=s*
alanq. Onda bu funksiyaru
V=Aefr
yaza bilarik.
,f = tr,t ohnaa
yr -funkiyasr birqiymatli,
ksilmaz va sonlu
olar. k-mn b[t[n_ kasilmaz qiynatlarinda bu furksiya dalfa funksiyasr
olur, yani f- xayali qiyrnatlar alnup olur
Cahsma I.3. Ermit opcratorun maxsusi qiymatinin va dinamik daqigantn
orta qiymatinin haqiqi olmasml gdstarin.
ohn
Holli: Diskr€t spektra malik
qiymati
@ operatoru g6tiirak Onun maxsusi
QV, = qrvr
0.3.1)
tanliyindan taprlr. Onun komplek qogmasl
4..
Q'vi
=qivi
(I.3 2)
olar. Ermitlik gartina giire
'
Il:(so,hn
=
!v,(o'v;bn
[v;(ovr\v
=
!v,(o'w;bv
oldufu igfln
yaalar. Buradan (1.3.1) va (I.3.2!ya giira
i vi(q,v
rYtr = lw,Givibv
olar ki, buda
e,[wiv,dv=tilviv,av,
033)
4t=ci
demakdir.
F = [V'\VaV 'A".
qotma alsaq F' =
IV@'V'W
Fiziki dayieanin orta qiymati
Har iki terafindan crmit
lik sartina giira bu ifadalarin saE taraflari
F = F' ury, < F >=< F' > alda cderik.
olar. Ermit-
baraberdi, ona gtira de
Cahlma 1.4. Kompleks qosma operatonrn ermit
Ya
xatti operator olma-
masrnr giistarin.
Hall: Kompleks qotma ollerator ta'rifa gtira
Qrv=v'
ohr. lxtiyari c,vac,
sabitlari iigiin
Q(o,,y, + a,,y r) = (a,V, + a zV zl = di
70
tli + a;V;
= ai Q y, + alQ
y,
yaziar. at
*
ar' va ar r. a; oHuEuna
i"t"qot lVi1vrdt/ = lvividtt
g610 bu qogma xetti operator deyil.
olduEu iiciin va inteqral
lv,0'viav = lw,(P,y,l av = [v,w,av
olmasrna giira
IViViay * [VrW.rdV olar. Lakin ermitlik gartindan
[viv;av
=
Iv,v,ar
olmaL idi. Ona giira, kompleks qogma operator ermitlik partini 6damir.
Qahgma 1.5. Ciitliik operatorunun maxsusi qiymatini taprn.
Hall: Ctitliik operatoruDun tarifina g6rc
F'r(,)=Yg x)
Maxsusi qiymat
;*
V( r)= qVG)
otdufiundan
F y/(x) = q
V(-r)
tanliyinOan taprlr. Tarifa g6re
fr'y(- ,)= qFy,(x)
olar. Bu ifadani VG)= q'VG\q' =l,q =Xl yazanq.q=+l otmasr ciitliiytin miisb€t, q=- I olrnasr isa ciit[yin manfi olmasr demakdir.
Carrsma
r.6.
)=( ,L\'
\ dx )
n"
miiqayisa edin.
6-( d \2 on"ratott"nDr
[7r-'J
taprn va onlan
Hall:
;, G) =(, fr)' v G) =(,
Bu yolla
*\. *)
=(,
^. d .d2
A=x-+x'dx d,x'
7L
* .,, #)=
o,u)=(*.)'o=(*.\i,*C=(ft .\,a>.*)=
= *1,1
*
*,ff
r,oo.t) * *
hesablayaraq
*
r,o**) *," o
ff
=
*,ff *
{r9) = ve)
*ff
v{,).
*
*
ff
h=r**ft*,'fi
tapanq. Belelikb,
^=,**,'#,
alanq.
Qalrgma
L7.
Q=
s,u' V=19+.r-
dx
OvO =(=(- nv - in9
7i
w
-ini +976)
c
i=r*2,ft.r#
opcratorunu kvadrata viiksaldin.
1.t9
dy ot
ian * e
k)\-,nv
ia|l\* 1,c'
*
g
k))r@
=
ini y,(r) + e 1(;\yg))= -n'v' ,y(;)
-
(i\r = -h'v',ri) -
ini(il wG\ * 7n y * iv v) *
A' Gfu = -h'v' y,(i)
-
-
"l
-,
!
(v zb O I -
Yani
O,
=-h,v,
znan,lfl *
!
e'
FfuF)
-,4lt|)-z,4e|\n
+le,Q)
orur.
I
Qahgma
,
Q=
.d2
ar,
1.8.
- 4r'
re-e'fuDksiyasr
k-mn haosr
qiymadarinda
operatorunun maxsusi funksiyasr oldulunu g6staran va
uylun moxsusi qiymati tapn.
Han:
(a'
,)
1ft,-*,
ruAl
)v@=
=#**
(#-^'1*-"'
-ote-o'
=*(n
-ztd" "')-
-ax'e-o' =-2ta[b' -4beb' +4k2x1e-b' -at'e-k' =
= -6be-'' + 4k'x'e-b' - afe-o' =f6k++k'x'-ax'\xe-b, =
b' +(+k' a\' r"-"'
= 4Axe
Burada
(
a,
.\n_o,
\E-*'f"
'
olmasr
iiciin
4k2
(#
+-f
-
a = O,k =
-
*')*'
t
=
-r^c
"_,,
obnald,r.
Ond
a
'
=l- a* + (+*' - o)"1'"'''
oldulu igiin
f=-6k
1=x{=+tJ;
-
olar. Demali, p operatorunun mexsusi funksiyasr xe-k'olursa, maxsusi
qiymati T 3r/a olar.
't3
Calrtma 1.9. Bircins xarici elektik sahasinda yanmkepiricinin udma zolalrnrn kanar qisminin pozulmasmrn (Frans-Keldig effekti) qiymatini taprn.
Hall: Elektrik sahasinda yanmkegiricinin elektronlanmn enerjisinin minimal qiymati azallr. Bu zaman optik udma zolalnrn kanar hissasi pozulur.
Onda da kiristal tarahndan enedisi qadaEan olmug zolalrn enindan az
olan fotonlar udular.
Ma'lumdur ki, elektrik sahasinda clektronur enerjisi dayi5irso va bu
deyigme
D2
LE
=:zm
+
olur (1.9.1)
"n
m' -kegirici zonada elektronun ellektiv kiitlasidir, e -xarici sahanin
intensivliyidir. Qeyrimiiayyanlik miinasibatino asason
h
h-
P.X =:.)l =:
yazlar. Onda enerji impulsla
2'
(1.e.2)
2P
62
tE,r\=!-*4
2m' 2P
(1.e.3)
ifada olunar va enerjinin minimurnluq tartina giira
lazrmdrr. (1.9.3)'e giira
r,4 - *
*. *)=
2P )
2P
\2^'
(
2F3 - ehm'e
2m'P'
= o;2P3
-
=O
ff
or-"r,
ettm' e = o
(1.e.4)
=O;F=rFtapanq.
Bu qiymati (1.9.3)da yerina yazsaq, enerji dayiqimi
(
M= Ec-t,
E, - kegirici zonadakr enerjidir)
tr= lm
1
+ ehm' e
ehe
-\l 2
",1*'"
74
m,L
f
j
1
.
ehm'e
* zlllll
E
(
- m. 21t_
4l_t
"h^'t\v'm
l2
[2
-rl"h^'r\4
, );
3(
3ehm'e
r-----:lehm E
.
t
)
rc =1("h^'c\a'
Yani
(1.e.5)
2[ 2 )
alanq. Demeli, yanmkegiricinin kegirici zonasmda elektronun ener-
jisinin qiymeti xarici elektrik sahainin intensivliyi ilo miitanasib
olur
(1.e.6)
Qahgma 1.10. Di$kret spektrda maxsusi qiymatlari farqli olan maxsusi
funksiyalann ortoqonal olmasml gitsiarin.
Hall; p -operatorunun miixtalif
maxsusi qiym6tlari var.
0v,=q,v,,l'vi,=ervt.
Bunlan uylun olaraq
r/, va y,
(l.l0.l)
vurub, inteqrallasaq
[w;(ov,\r' = q, [v,i'tt,'dv
q,.
lw rb' v',hv =
!v/,tt/i'dv
alanq. Taraf-terafa
g
rxsaq,
I*;bv,bv - lv,b'v;.hr =k, -t)[vi'v,ar
sol tar-afda farq srfrr olur. Onda
o
olur va g* +
q.
=(q. -q,,)[yri.v,,dv
oldugu iig[n
lv,vi.aY
75
=o
(l.lo2)
qerti ahnar ki, buda maxsusi funksiyalann ortoqonalhq gerti olur. (1.10.2)
ifadaini
gaklinda da
(w,,w)=o
y,,q bilarik. Yaal, q.*qL,
ham k, hamda
Qalrgma I . I
I
.
f'
(1 r0.3)
deyiJsa, sistemin eyni zamanda
halmda olna ebtimah srfirdr.
tlatt VG) = 1s-i ''** ,u*r,r^, ila xarakteriza olunan
sistemin koordinat va impulsunun orta qiymotini tapm.
H.il,
x=
,
*.
dr=l4'
Jdyl d, =Vf I r;7-''"' e "'-h'
inteqralaltr ifada tak funksiya olduluna gore
I tl,'l'
Iir *
(- "o,+"o)
intewahnda
onun cavabr sfir olar: X =0
lmpulsun orta qiymati:
u
=j:. (-.
*)*
=T* "* (,*ff * a\*,* *
=
=#.i|"+l'*.*, !, Gl',e
fr
Burada birinci inteqral, inleqralaltr ifada tak funksiya oldufu iigiin srolar va ikinci inteqral isa normalama gartina g6re vahid olur. Onda
P
=hh
Qahgrra 1.12. Sistemin hah
v$) = ca$)ei'"'
1
p(x) -haqiqi runtsivaarr;
funksiyasr ila xaraktcriza olunursa, impulsun orta qiymatini uprn.
HaU: yr(.r)-in normallama gartina giira
tu'Gpklt'=r
76
olar.
Vl'
!"ri* r6Yi'*
c9)a' =
H'=f'lrH'^l'=*
L'
)
H'fe' GV, = t
-l-
[le!l'a'
alanq.
, =fr(- . *)vG)*
=Vf
=
=*!py
=
i" ?"r(,\-,ro'1') -'^' ,oe;))"in'* -
kl"i, i'"r(,{
- iade*)
= -npY'ir14dPk) * +pf
lcl!
;i"' ,<,\- t),a>-*"' *
"
*
pop1\"f*
*
=
r"'ibe)'*
-nin qiymatii yerina yazsaq
e=r"-*ffi$l,r=*
F=po
tapanq.
Qalrgma 1.13. Ssten
qrymatini taprn.
y(0,g)= ,lsingcosp
Hall: Normalama qartina 96ro
lv'
lzl'
@,
J
o\,r@, oYo = r, da = sinod H e
Jsn
00
a
cosp sin 0 cosp sio,d%g = t
halnda olduqda Zr orra
'i** ar='!l(r+coszepe=le
'!sa' we=f-"o,a *1"o,'
r].
=,
li' +)";,2,p l"'
=(t -
-i=i
i-.-, i)=r
1n1'!=r,n=ff
,' =l.E)'
Jsa
=
(*)Tj'"
=
-t'(f)iiC
=-
*' (*):
f
a cos
*(#
*',1-
d + cos' d
"n'
,
"in'
)sin d cos pdo =
e(- t'v3,n
e
.
"o'
*.
#,,
- t)sinacos'? p'twp
sinH 0 = -2
#')sin
a cos
oao =
=
*' (|)' !G*" -
r
)a (cos a
)
alanq. Buradan da
r =r*,(a\!=2h2;T
\4x )3
alda edarik
.
_G_,sf
Calrsma
=2h2
i
r^,
Ll4. Ae 2" er ' @,
mir halda
r.
Ze,@,@
Po,xo -sabitlardi) funksiyast ila veril-
(Ax'AP,)-un
tresablavtn.
Hall: Normalama gartina gdra
+o
[v'GVGtl.lel
;,1",,.
G-,")'
!" "
_t
6a
r
=ltl'
alr =t',lel=-r"la"ltt
G-,")r
.'
alr= lxe
X=
_'_
dx
X=
OLp-'a,=x".-aa
t=x
rxo
avazramasi
f = Xo alda edarik.
"LlF"dt*
GI =G-, = 7--r2ordugurrEun
caariksa,
lv'vo'd,=fi!@,*,"f n,o,=#b, [fe-,'dt+
?
=
+
2axo
!ye- "
dy +
,i !"-r
ay l=
t
-
,,
ahnar. Onda da
w =t..:-4=+
Sonra
1= [v'1v*=e"
oldulu iietin (Pl'l =
Po'?;
1a4I
yazrb
=p;PJ = r' -P;
@T
=fi.t
alda edorik. Onda
@=*.q-q=*
vuunt. Lx =
fr ,Lp, = h
ouu[undan
t-op.=4L=L
' ,lz
z
Jza
79
arrnar.
Calrrma 1.15. Laplas operatorunun ermit operamr olduEunu gdstarin.
Hall: Ermitlik sartina gitra
l.,it,y,ar
=
lw,(tvibr
a2 a2
a',
"4:-1--!-&2 av2 az'
olmahdr. Bunun sol terafini aqsaq
l*i;;,;i = lw9(nv,pv = !n(v:nv,pt, = 1(v,v;p,v,pr =
= !an(y;n,y,\v
=-[(l,y,l,y; -v/,n(ny/i)bv =
!v,(nv wt\v = lv,(n' w;Pv = lv,(tv;Pv
o halda
lvi6w,Pv
=
olar'
lv,(tvi\v
olur. Ye'ni, I:plas op€ratoru ermit op€natordur.
Qalgma I.16. ll7, op"r.to-r,on -u*susi qiymatini va maxsusi funksiyasttaprn.
A
Hill: Iil r<b = M.O tanliyinda M ,'dQ
= -ihL- olduluna g6ra, onun
iimumi baui
0
ila
= M -@:A= 7ri'''
- ih9
0p
2rz arasnda oldugu
*kliod.
axtaraq. p davisani
[9[n
2tt:M,=2mn
h
t l,t2,"'Yani M, = hm,Q^ = lsi^o
yazanq. Burada m=0,
olar. Normallama partindan
*lo.l'
00
a9 =
\el"*7n'n "^' 6,
alds edarik-
80
= t;zrl,el' = t; e =
fi
II
F asil
Ba2i sade hallarda gfidinger tanliyinin halleri
_Kiitlasi m olan zarraciyin potensialh sahada hareketi stasionar
$ch<idinger tenliyinin
- frv',y1r,
y,
11
+ u (x, y,
z\y(x, y, z) = t y(x, y,
z)
Gr.A)
va ya iimumi haLn $urodinger tanliyinin
,19tt'l
a
=Pr17,,1
Gr.B)
enerj.inin. ifadai ila miiayyenlagen hall ile teln
:,.I1-,$p.1.1*l
olunur.
onda (II.A) tan.liyinin, yeni stasionar heLliri pchdinger ton_
liyini araqdrrafrn. Stasionar hal [9[n gchddinger tanliyinin
rtw
=
E,y
([c)
halli, U(x,y,z) potensial enerjinin ifadesinden as1[ olaraq mfixtolif
xarakter da$ry[. Ona g6ra da miixtalif potensial enerji [i.En (II.C)
tenliyinin halli ila megfiul ola[rn.
$19. Potensial qutuda haraket eden zarracik
Daxilda poteDsial enerjisi srfir va ooun xaricinde sonsuz bdviik
sistema potensial ((quro) deyilir. Sadalik rigtn ferz edak
Kl, x lstrqamotlnda olan harakata baxrnq. yani potensial qutu de_
dikda gakil I.6-dakr kimi arrecik nezarda tutuluri
-
glrl-g"q"l,
U(x)=6,65r.o
U(x)
U(;)=t"o,r.6 o,"ro"
U(x) -+
U(:) -+
*
"o
olsun, x>a olanda
olur.
(J(x)--+a
ua
(II.F) tanliyi qutudan kenarda
$okil I.6. Darin Potensial qutuda
harakat
81
fiS**r(,)=ny,(,)
isa
(1e.1)
gaklinda olar ve qutu daxilinda
d'Yt(x)=ru,(,\
-h2m dxz - "Y \''
(le.2)
V(x)= Asin*:+ ncoskx
(1e.3)
Bu tenliyin hallini
yaza bilerik, haradaki
-
Jz^E
k = __olr.
.
h
y(r)fot"iyut,
kesilmez oldu[u iigiin qutunun kanarlartnda (x=0'
x=a qiymatlerinde)
.1,(o)=,rG)= o
(1e.4)
otnahdu. Bu serhed qartinin olmasr gdstarir ki, B=0 olmahdtr.
Onda (19.3)-da hell
olmasr vacibdir'
r(a)
y(')=
=0
*nu
prtina gore
ka=t tt
(1e.s)
(1e.6)
olar ve (19.S)-den hall
,(,)=n'"("7)
seklinde olar. (19.6) mtinasibetinden
'[2^E d = nE
-:_-
2mEra2
a' n r
-----in
=
yazanq. Buradan
^ t'h'n' h'n'
""- 2ma' 8ma2
(1e.8)
alarrq. (19.8) ifadasindan g6rundiiyii kimi potensial qutuda herekat
diskret qiymatlar alr, burada olan n kvant
.a.o'zart"ciyio
"nerjisi
edadi n=0,I,2,3,.. ' qiYmatlari alar:
z=0'4=0
, =1,8, = !'h',
2ma2
, = z,a.r-=2o't
ma'
va caire olur. Qutu daxilinde zarraciyin olma ehtimah
lyl2 = A2 si1;
!L,
(1e.8)
olub, 0-dan ,f -a qadar qiym.atler alruE olar.
Qutuda zarreciyin impulsu
"!,'(-.*)*
t
lsln
,11t
nz
a -a
.-i -.rcos
= -tn-:--
P=
a . nrf
lsrn'-rdr
[v'vd,
rdr
=0
(le.e)
la
0
olur va
r'h'n'
D2_
a2
(le.l0)
Dz
=!2m
alde ediler. Buradan
E
oldufiu iigiin
F =z^r
alarrq. Bu natica klassik fizikadakl zarraiyin qutu daxilinde irali
ve geriye hareketina uyiun galir. Ogor qutu daxilinde zarraciyin
vaziyyatini tayin edarsek
^, -'1'""'(';')*
'*-i65,
a
(le.l l)
olar ki, buda klassik naticanin ffstta a dwl' = A2 sinz nLx obnda
d
83
Lcdx
J.
X = +-
?Z
=:)
dilgiir. Anrma xz-nrn orta
qiynati [9iin
1"tu
0
* ='!':.,(?:,Y
3 \'
'!:^'(":'Y +b
=
alnr ki, buda
#)
"s,2,
klassik ftzikanm verdiyi netice ila uy[unlagr.
Klassik fzikada
lt'"d*
=t,r-J =+
X,,
(19.13)
l"e
0
Lakin n-nin gox b6yuk qiymetlarinda buradan aLnan netice ila
klassik natica ist-ilsta dflgar. Oger zarracik flgiilgfll[ qutu daxilinda
hareket edarsa, x,y,z istiqamatlarindapotensial
(o<x<a
u(,,y,i=o)s3 y36
(1e.14)
[o<,<"
olur va bu sarhadlardan kenarlarda isa U _+ +coyaxrnlagrr. Bu hal_
da dalla funksiyasr
,y(x,y'z)=15i"1r:rsin!ysintz
(19.15)
gaklinda yaala bilar. Buradan
-
k, =
,t-
\;,kr=
,tnzi,kr=
\i
,t
Ugolgul[ qutuda zarrmiyin enerjisi
,
=*[+\.(?)'.(?)'] = fi&: * o: * o:) (,e,6)
qiymotini almr$ olar. Burada har bir nr,n2va nr kvant adadi l-den
baqlayaraq tam adedler dayari alu. Enerjinin qiym.atlari artdrqca,
enerji seviyyelari bir-birina yaxrnlagu. Bir noga haldan eyni en€rjili
qruplar yaranrr. Maala, (nr, a1 n3)=(l,1,6),(1,3,2) va (2,1,3) hallan
enejisi E -o[an qrupa uyf,un galir.
Darin potensial qutuda dalfa funksiyasl va enerjinin qiymati tokil I.7-de gOsterilnigili.
fz.t^
{_stn_
fi.z*
= il- sln-
E: =9Er
%=
y/2
tirlr
la
=
Ez-4Et
a
E.*
rlla
sln
^
-4
ft2h2
2ma
"-(3-*T
r=0"*?
- r't'
* -f 1'1".i=
gakil I.7. Darin qutuda zarraciyin enerji saviyyelari.
$20. Harmonik osilyatorun kvant nazariyyasi
Kvazielastiki qiiwa tairi altrnda miieyyan tp-litle raqs edan
m k[tleli maddi obyekta osilyator deyilir. Bela bir obyektin yerdayi$imi
5=asin(ar+p)
(xo".raqsin amplitududur) 9 -fazadtr.
85
yaalu.
Cisime tesir edan kvazielastiki qiiwa
F=-to(
olur. Potensial eDerji bu qiiwe iigfln
VG)=+
gaklinda yazlrr ve obyekt
o
=
IT
,lL
lm
rczltyi ila harmonik roqs edor.
Bu reqs k- elastiklik amsah ile miiayyen olunur. Bela sistemin cnerjisi klassik fzikada
. mal'xf,
(20. r)
ila tayin olunur. Bu ifadaden aydrn olur ki, klassik fzikada osilyatorun enerjisi kesilmez qiymatlar ahr.
Born nazariyyesinda isa osilyatorun enerjisi diskret qiymetler ahb,
(20.2)
E, = nha
paklinda olur. Bom nazeriyyasina g6ra osilyatorun minimum enerjisi srfudr. Anma tacrubonin naticasine g6ra diskret qiymatlar
alan osilyatorun miuimum enerjisi srfudan farqlidi ve
'
p qiymat;2"
ni alr. Indi kvant nazariyyasina g6ra harmonik osilyatorun fiziki
xassalarini atrafu ara$d[aErn
.
Problemin basit hah olan x - istiqametinda raqs edan, ;'eni
xatti harmonik osilyatorun fziki hallanm araqdraq. Bir6l9[lii osilyatoruu potensial enerjisi
uG)=!4!
'2
(2c.3)
olan zarraciyin $chddinger tanliyi
h2
2m
W.ry,yg)=r,y(x)
ya,rla biler. Bu tanliyin her ta."frni
4.
- 2m
5a1."L
W.#(,-Y)a,t=,
86
(20.4)
(20.5)
alar'rq. Yeni dayipa n olan
( = ,l!9 r -€ kegsak, onda
Yfi
d2V _ mot d2rtr
dx2 h
d4'
oldu[u iigi.in, (20.5) tanliyi
&-e-"V=o
dq'
seklina diisar.
B*udu
,
=
2E
(20.6)
-do.
hot
(20.6) tanliyinin hellini Sommerfeldin polinom qaydasr ila tap
inaq lazrmdr. Qiinki, kasilmez, sonlu va birqiymetli hall (bu gartler
holiin dalia funksiyasr olnasl g6storir) polinom qaydasrnda 6danen halldir. Bunun ig[n awalca (20.6)-mn asimitotik hallini, yani
+ +co qiymatindeki helli tapaq. (20.6) tanliyinin asimtotik toD-
j
Lyi
d'v-:
d1'
-E',tr.=o
(20.7)
olar ve bu tanliyin hellini
v,
=
e'e'
(20.8)
kimi axtaraq.Onda
,t '" =
v', =
"(q'l "a'
2ce'a'
= 2c€e'c'
+ zc€fl,q'zl e4' = zce'c' + 4c' 1'e'e' = (u
+
+z
1z\r+' '
(4c2 E2 >> 2c olacaq)
birinci va ikinci tartib tSremaler olurlar. (20.7!dan
4c2E2e"e1 _
€re"a' =O
tonliyi ahnrr ve 4cL1=0 qiymatini tapanq va buradanda c- [9[n
.=r12
alcia cdarik. Ona gdre (20.E)-in
clr':
iki
87
hissaden ibarat oldu!'u aqkar
Yo =
!,,
!,,
_\,,
c'e" + c'e
"
f -+tro
Burada e2' halli,
olanda dafrlan olur, ona gOrada bu
hellden vaz kegarik ve yalnrz
v.=e
)!
z'
(20.9)
hallinden istifada etuak la.zmdr. (20.9) helli ila birlikde (20.6) tanliyinin hallini
v,(d=u(q>y,
=u(qb-:"
(zo.ro)
gaklinda axtaraq. (20.IOldaki U(6) -ni
u(il=Zcrq'
(20.11)
srrasr kimi segek. Bunu gchddingcr tanliyinde yerine yazsaq
d'zu
^,du-+(e-lxl=o
7P-n4
yeni tanlik alanq. (20.1l)den tdrema alsaq
#
=
Eo"r-'
;ff = ydr - ry re*.
ve burada k-nr k+2 ila aroz etsak
d2u
d4'
yazanq. Burada
k-i
l{r'
+
z)(*' + rY *. *,8''
*,
-,
k ila deyiSsak
{!=21r*q*+2y,*,€,
d€' ?'
olar. Buradan
t
cabri tanlik alanq. Bu tanliyin amsallan
[9[o
2k+1-e ^
^ =@ffi1)Lr
Lr*:
88
(20.13)
ifadasini taparrq. (20.13) dusturu (20.12) cabri tanliklar sisteminin
amsallarr iig[n rekkuretrt dustur olur. Qox btiyiik k-lar [grin
C, + 0 olub, C,.z=O olmatdr ki, (20.1l) srast sonsuz sra ol-masm.
Qtnki srra sonsuii olarsa, 1r -funksiyast sonsuz olar va dalf,a funksiyasrnrn gartlarindan biri pozular. U-nun da.lfa funksiyasr olmasr
iigiin onu sonlu sraya cevirmek lazmdr. Bu o zaman olar ki, Myiik k-larda (X = n) C, rr 0 otnaqla, G*z=O olsun. (20.13!e g6ra
bu gart
2n+l-e=0
mfinasibotindan taprlmrg olur. Buradan
e=2n+l
2E.._
.
alLtat. e=
olduguna gora
ho
2E = ha(Zn
+l)
yazanq. Onda
,.=o,(".;)
(20-14)
alda edilar. Burada olan n-edadi tam adadlar goxluf,udur. Ya'ni
n=0,1,2... sonsuz qiymatlor alan kvant adadidir. (20.14!dan
n=0,8"=E,tu=+
n=1,g,r=3)
2
n=Z,Er=5*
2
n=l,Er=7*
2
enerji deyerlari olar ki, buda enerjinin diskret qiymatler almast demakdir. Demeli, osilyatorun enrjisi kvantlanu va diskret qiymatlar
ahnaqla yanagr, Born nezeriyyasinden farqli olaraq n=Gda ft=O
olanda- burada E.,,
=h'2
olur. Klassik fzikada isa Eu-kesilnez
deyerlara mensub olur. Yani enerji
89
.
"u ----
ma'xf,
Z-
Ea = nha
(20.15)
2,,
"'\=(n*\\n.
2)
4assik, Borh ve kvant nazariyyalarinda ferqli neticaler verir. Enerjinin_ kvant xarakteri da5rmasrmn Born nezariyyesindan ferqli
ola_
raq kvant mexanikasrnda osilyatorun sfinncr enerjisinin srfudan
ferqli olub,
!9
oy^", qeyrimiieyyenlik mfinasibetinin (koordinat
ile impuls arasrnda) neticasidir. Koordinat ile impuls arasrnda qeyrimuayyanlik miinasibati
(a,I(ar,)e
olur ve osilyator iigtin (a,)r
bu munasibet
>
h2
4
>7 r. K,T = Pj olduEuna gtiro
t4.).4
(20.16)
geklinde, yazrla bilar. Osilyatorun tam enerjisinin orta qiymntini
yazmrf olursaq, (20. I 6) berabersiztiyine gdre
h' _ -g,7
,-s;7"E =L*mat'x'
2m' 2
2
(20.17)
elda edilar. x2=0 vo ya da -r2 -+ olan zaman enerjinin orta qiy "o
mati sonsuz olur. Enerjinin minimum
qiymetini tapmaq iigun
(20.17) ifadasinden .r2 -ye g6re t6rame alaraq, srfira berabar gdtitrsak, yani minimumluq gartini yazsaq:
a_
--erE=0
a\,')
ma'
_ h2r +_=0
s^F'l
2
Buradan
*-r,,TT
^^'=-I
u'.'@l
=0,,?
=*
aliriq. Olde edilan bu qiymati (20.17)da yerine yaanr; olanqsa
o
-
h2
2mo mo). h
8mtt22mo2
ha
taparrq. Yani
E
>!e
(20. t 8)
2
'2 t9
olur. Demeli. osilyatorun an kigik enerjisi
61.
Belalikle, koordinatla impulsun arasrnda olan qeyrimiiey_yen-
lik miinasibati osilyatorun minimum enerjisiuin srfrr de
Vl,
4V!
mati almasru gdsterir. (20.1l) ifadasi bu zaman sonlu srra olar ki
u(4 )=a,($=c,"e'{3!
bu polinoma Ermit polinomu deyilir. Ermit polinomu
t)
n(n - tXn z\n - z)
H
= (?4y ='Q', 1ay- *
-
"(4
*{b,€,
I
(20.1e)
(z€l -, * ... *
ntekolanda
olanda
kimi verile bilar (alava C)
z cfit
Buradan xisusi halda
tu
n,(E) = y n,($ = 4, m,(0 = ag, - 2, 4(q) = 8€, _
!'a- s..Eflnit polinomlannrn ifadolari alnar. (20.19) ifadasinda
(20.lO)-da nezara alsaq gchMinger tanliyioin osilyator [9[n
halli
,y.1E1=c,;ie' n,1Et
9l
(20.20)
gaklinda olur. Harmonik osilyatorun enerjisi diskret qiymetler aldrSna gdre, rg" funksiyalan ortonormalhq gartini ddeyan funksiyalar
olar:
lm'w"a'=0.',
!v:v.a,
=
ci
ffi k"'
n.(EYt
"(e VE=r
Burada I1. (6)-birisinin avazina
H,(il=F"""
'
d":::
d4"
ifadasini yazarsaq
etF^.c:ln.1q)ffat=r
alanq. Me'lum
lluvau,=err _f:u'n*
(20.21)
dusturuou gdzdofin alanqsaq va n dafa hiss+hissa ipteqrallamrq
olarsaq
E,koffie='
(20.22)
alde edarik. Balli dusturlan
fi
n.@)= z",t;
noaro alsaq, G emsallan
[9
["
e'
aq
=.1;
n
c,=+!- "rffl'u.(re,)
.lz"tG
I
tapanq.
-
(20.23)
Q0.25)
mto
Sel{ I.Aaa (ZO.l4) enerji \ra (20.25) dal[a funksiyastmn qraf*i
n-J), 1,2 hahnda gdstsriloigdi.
",
Jior
2
r- Jio
2
'-
tko
2
gekil I.8.Osilyatorun enerji saviyyalari.
(20.14) va (20.25) ifadelerinden xrlsusi halda
lrd.
-
Eo
=:hot,rtro
2
-
E, =
t,
=
2
= Coe
|
lrd.
tha,r/,
2r
= Cr2€e
]n,,v,
=
I
c,(+fft - r)E "'i*"
Co=
2'otGT
,C,=
,C, =
gakil I.8-daki qiymetler verilmiSdi.
$ 21.
Maquit sahesinde zarraciklerin harskati
Xarici maqnit sahsinda zarr€ciyin harakatini tapmaq iig[n
Hamilton operatorunun elektromaqnit sahcinda yazmaq lazmdu'.
(lE.l8)-de divi = 0 va eY =0 g6ttirsak,
tt
-AF+
"" A'
=-Lv''
2m mc Zmc'
93
elda edarik. Sadelik iigiin A, =A{=0, Ai=By qabul etsek, B,= By=0
B,= B olur. Bu halda $rOdinger tanliyi
(-Lo'- " iF* -"',e'),y=rw
2* mc 2mc'
I
I
(2r.r)
geklinde yazrlar. Buradan
!r.
\2m
(
-
i,e * r,t,')1y6,y.z) = E vG, y.z)
- :mc
zmc )
="
olar va ya
(-** -#r*.*,','),=u,
(2,2)
yaalar. Burada dal[a funksiyasrm
v,G,v,,)= I1b'@'*)
timi 211saq. 1a va p sabitlardi) Onda
vz14yt(d+il =(o, * B,)f(y)",t*.o
fl f ,oPn^.
*'
= i 4'
*d'!?) ao.*t
$)"tt-. rt
alde ediler. Ona gdra (21 .2) ifadasi
*Q . t - f),ot
-
#'*). #
7$) =
ttu)1zt t1
gaklini alar. Ogor
,ro = "B ,, = g -h'-F'
, = ,' -"o!
lm
elt
mc
Qt.41
eyezlemelari qebul ederiksa, onda
*w.ryfo,)={6,)
(21.5)
tanliyini elde edarik.
(21.5) tenliyi harmonik osilyatorun taoliyidir va onun helli
l.z
.f,(4\="-1'a"((\n=0,t,2,...
(21.6)
olar. Yeni deyiqenlarde
*=Wr=W Y- cha\)
"B
(21.7)
"=0,"(".))
taprlar. Belalikle, maqnit sahesinda enerji
'
ehB(
'.=;l' r*!\*t"P'
2) 2m
(21.8)
qiymatini alar. nur^ao
ffn*di OZ istiqametinda herakat edan
zarraciyin kinetik eerjisidir, 4!( , .:\ haddi isa oZ istiqameti,rtc
l)
\
oa prcrpendikulyar miistavidaki roqsi herekatin enerjisidir.
Demali, maqnit sahasinda zerraciyin harekati OZ istiqamatin-
Ceki iralilema heraketi ve tarazllq atrafinda titrame harakatinden
ibarst olur.
$ 22.
-
-
Ogar
Merkazi sahade hereket. Rotator
_potensiyal enerji radius vektorunun
mitlaq qiymetinin
yi iferik_sim_
metrik sahe deyilir. Siferik-simmetrik saheda Srddingir tenliyi
funksiyasrdusa,.bela potensiyalh sahaya merkazi va
Hv=Ev
olaraq, Hamilton olrcratoru
Q2.r)
r =-*;*(,,*|*.,0',
qeklindadir.
Sferik-simmetrik saha iigtn
vt,o,d=yi@,dR(r)
u(;)=u(r)
Q22)
gotiiri.iliir. luraaa Y,^ (0,g) siferik funksiya olub, (17.35) ifadasi ila
t+yin olunur. Yani merkezi saheda tanlik
-
*;
*(, *)', t',oxo-. #r
(e,
e)n(,)
+
e2
3)
tr,'
(e,,)a(,)
= a)r,^ (e,e)a(,) =
olar. Onda radial hissa U(a)=O qlypatlarinde (R(r=a))
+
u(r
)*(r#).(ry-'+)^='
e24)
tanliyini 6dayan funksiya olur. Rotator sabit radiusla r=a=cotrst,
hareket edan obyekt R(r)=R(3;=s olduf,undan
r_ a
aRG)) _
fd,
fu )
a'fo\
olar va
Q2.4lden
znc
h'-
olur. Bwadan
alrnar. Burada mal =
run klassik ifadasi ila
o
t(t +r\
_^
r' -"
t, _h'!(t +rt)
J
(22.s)
2ma'
atalat momentidir. (22.5) iladasini rotato-
^M2
Eu
= -:2J
va Bom
122.6)
nezariyyesindaki
E,
=i4"
t1'
\D.7)
ifadai ile mlqayisa oderiksa, kvant mexanikasmdak t E r, - l(l + l)
dayeri olmasr y,,L, va L, operatorlannm komitativ olmamasr ila
alaqadardr. l-in cox boyflk qiymatlerinda /2 >>
/
olar va
Err-lZ
2J
ifadasi (22.7) ila iist-usta d[Sur.
Gor[ndiiyu kimi enerjinin qiymati / orbital kvant edadi ilo,
lakin dal[a funksiyasrruo qiymeti Y,^ isa I va m orbital ve maqnit
kvant adadlari ila tayin olunur. rn adedi -/-den +/-e qeder qiy-
.l
I
metlar aldrfr iig[n E qiymstlerinda 2/ +l qadar qarg rqh ortoqonal
maxsusi funksiyalar uyf,u gelir. Ya'ni rotatorun hah E,2I +1 tartibdan crrlagmrg hal olur.
Rotatoruo enerji saviyyelarinin crlagmasr sistemin sferik-simmetriyaya malik olmasrdu. Koordinat markazinden biitfin istiqamatlar eyni hiiquqludur yo istanilatr markazi simmetrik sisrcmlar
crrlaqmaya meruz qalr. Oger fzada miiayyan segilmiq istiqamat
varsa (mesalen, maqnit sahasi varsa) merkazi simmetriya pozulur,
onda crrlaqma ya tamamau, ya da qisman a12dan q.alxu. Rotatorun
/ =0 hah s-saviyyesi, I
adlanr.
hah psaviyyasi, / =2 hah d-saviyyosi va s.
=l
Rotatorun s-saviyyainda enerjisi
,:
=
lh2 psaviyy*inda
,
fr
ea
vo
,, _
-
eui Et
fz
l_l
11.4o
=:-
h=0, hal
funksiyasl
olub, hal funksiyasr
s6s6t
-13 e'' sino
' = Y8z
Y.'
Y-t
"
T?
:- l-!-?te
1l8o
"ing
iig moxsusi funksilar gaklinda olurlar. s-hal.rnda
ehtimal srxlgr
I
-41r
ZY miistavisinda
qiymeti alar ($ekil I.9a)
0l
| -4n
gakil I.9a. Rotatorun s-haLnda ehtimal surlr.
97
Burada L-in Z-istiqamatinda qiymeti istanilan ola bilar, giinki
12 =h'zl(l +l), srfir olur. Yani sferik a -radiuslu sath iizra rotatorun vaziyyetin eyni hiiquqludur. Rotatorun l=1, m=0 hahnda o1masr, Z oxundan kegan miistavida olnast demekdir. Bu zaman
moment Z oxuna perpendikulyar olur ($ekil I.9b)
lxol'=1"o.'o
l'r
4n
L(n=0)
$akil I.9b. Rotatorun phahnda ehtimal srxhfr.
P-saviyyesinin / =l va m=0 hahnda rotatorun an cox ehrimallr
traektoriyasr XY- mflstavisnda olur.
Bu halda m=l va m=-l qiymetleri fulanrna istiqamatlerinin
bir-birine aks istiqametde olmasr ile ferqlenir. (gekil I.9c) m=l
olanda rotator safi fulanma (hereket miqdan momenti Z-oxuna paraleldir), m=-l olanda isa rotator sol firlanma (irrpuls momenti Zoxuna antiparaleldir) hareketinde olur.
,0
L(n = -t)
i--l
$ekil I.9c. Rotatorun phahnda ehtimal
sullr.
Belalikla, / =2 (d-saviyyasi), J =3 (f-seviyyesi) ve s. hallarrnda
rotatorun ehtimal srxlg va onun enerjisini mfiayyan eda bilarik.
Rotatorutr enerji saviyyeleri $ekil LlO-dakr kimi gostarmak olar.
I
t:4
t:3
l:2
t-,
l:0
gekil I.10. Rotatorun enerji saviyyelari.
923. Kulon sahesinda zarraciyin harakati
Elektrik yiikti Zft va Zze olan zarrriklerin coulomb qargrltqh
potensiyal enerjisi, sferik-simmetrik sahanin potensiyah olub
g
= -Z'Zzez
gakilindedir. Ogar zarraciklar et"ktrron ve proton olarsa, Zr= Zz=l
olur ki, buradan da
(J(r) = -e'
r
(23.t)
bilir. Bu ciira potensiyalh saheda harekat edan zarr*ik coluomb sahasina ba[h olur ve belalik]e, elektron protonun coloumb
sahasinda horakat etmi$ olar ki, buda hidrogen atomu demakdir.
Belalikla, (23.1) potensiyah olan sahe flgiin Hamilton operatoru
yazrl'a
n
yazrlar. Burada m.
=-Ly-{
2*" r
po
= mP+m.
(23.2)
gatirilmiE kttladir va taqriben elek-
tronun kiitlasina braber olur. Onda hidrogen atomu iigfin $chodinger tenliyi
(*"*!*s)wl)=o
(23.3)
qaklinda yazrlar. (23.3) tanliyinin sferik koordinat sisteminda aragdrrrlmasr alveriglidir. Onda (23.3) tanliyi
(a' 2a rl r a/.i"as)*_]_ j'l*
lar,*; u*7l.i.a ae[""aa )**a 6r,1- e3.4)
.T('.+l\,o,',,)=o
gaklinda yaahr. Bu
onliyin hallini
c[ra axtaraq. (23.5)-i
.2 (
z
d'F d\
(23.5)
2^"r'( r
llzz.;*)*
__ t
r(r)v(e,fi
,y(r,e,$=
(n.$-d yerina yazsaq
h,
*!)=
l"-;)r_ a'v(erp)\
+
Ae sin'd Ap'
(a'v(erd +"koaY(e,e)
"
Y(e,d\ Ae'
)
alda edarik. Bu tanliklarin birincisi rJe, ikincisi isa 0,9 -ya balhdr. Bu tanliklar bir-birina baraber o zaman olar ki, onlartn har ikisi eyni bir sabita baraber olsun. Ya'ni
I ( a'{ *2ar\*r^{' (, *"'\
rlar' ' r ar )' ft' l.- '- ,_)=,l a':)
t(dY
- y166,*oso^aY
N*Ro aA )="
(23.6)
olur. (23.Q ikincisindan (17.35) ve (17.36)ya gora
i: Y," (e, e\ = n' t (t + DY @, e\
i
i
v
olur
v"a
(0,
d
=J(frmr'
(cos
d)s''n
buaunla da C sabiti
c =tQ +r)
qiymatini alar. Onda (23.Orun birincisindan R(r)=rR.) qabul etsak
d.'n{,)
1_/01l))nf"t=
dr' *(,*z^,e'
1 n;i-l-
tanliyi alda edilar. Burada
100
o
)R\r)=o
(23'7)
o..
- -2m,E
'--E(23 7) toniiyinda r -+ 0 da hall sfira yaxula5rr, R -+ 0 olmasr
iigiin E>0 hahnda hall, asimitotik bdlgede osilyasiyaya ufirar. E-nin
-olira{
biitiin srfirdan bdytik qiym.etlari maxsusi qiym.at
qahr. Bu
halda da rabitali sistem ahnmaz va elektron protondan sapilar.
.
E<0 olanda isa iki c[re ,f-' u.
birlikde
"-f-'f*ksiyalann
ifadalarindan ibarat olaraq E-nin yalnrz
miiayyso qiymatlarinda
mexsusi qiymat olur.
(23.7) tanliyini
D
x=2rJ-E
-a-;ewraqva
4'
evezlamssi
edariksa
+#-+1".'#:-'+)^=,
tenliyini alanq va ahnan tanlikdeds
dR dRdx ^ r-dR
dr dx dr
dx
#=,t-*#=,r#*=4"#
+-#-(i-#*.ry)^o,=o
avezlanmasini ehigolanqsa
(23s)
alanq. Buradan
#1;#*.9)"r=.
#-(i-:.9)^=,
yazrlar. Burada
"=ffinn
101
Q3.e)
(23.9) tanliyinin hallini polinom qaydasr ila tapaq. x>>l qiymatinde (23.9) tenliyinin asimtotik tanlik geklina kegmasine baxaq.
x>> I hahnda asimtotik tanlik
o'R.'
4
dxz -L*,
(23.10)
=o
olur. Bu tenliyin sonlu hellini
I
R. = e-1'
(23. l 1)
kimi gOstoro bilorik. (23.7) ifadesinin hellini (23.1 1)-la ifade edariksa
g6starmig
n(x)= r(atr-;'
. dR na
.. dzR ngnn
.. ..
olanq va buradan
ifadelarini
&,
dr
#=-i'Gv"'.*)r+
i'
l'
=n#rl'
-dLk) " .111,1"
#
yerina
alanq. Bunlan
yazartqsa
(23.7)-da
# *. i,o
-
vo ya
(23.t2)
!9) _ a*)
(A-dxLrrl
a'
=l-
*fr
i. :- 91,u, = .
_ t0
i
l)lr1,y
=o
elda edarik. L(x) halli sabitle baqlamaz, giinki L(x)=Ca+
+CIX+C2X2+... olarsa (23.13)-da yerina yazanda GXz haddi meydana galer ve buda tanliyin saxlanmasr pozar. Bu sababdan
(23 . I 3) tanliyinin hallini
L(r)= xr2",1
(23.14)
paklinda axtaraq. (23.14)-[ (23.13)-da yerina yazartqsa, bela bir
cabri tanlik alanq
r02
c,lr<(t
-r)-r(r +r)Jx'-'
+
)((*
+i
- t)(t +;)-
r(r + t)lc,
*),rr.,
r,
+(r+i-t)-v]c,-, )r'*'-' = o
(23.15)-den
k(k-lll(l+1)=0
vo
(r
+;-
tlt
+ t)lc,
miinasibetlerini alanq, Buradan
+4
-l(r
-
[u
- (t + ; -
t)]q-, = o
v-(&*i-l)
c _,;k =l +l
' (,t+i-l)(/r+i)-/(/+t)'-"
(23.t6)
elda ederik. Yani x-in daracasi (l+ l)-dan baglar. Ogar x-in daracasi
sonsuzdursa. (23. l6)-dan CJar Eg[n
c,
=lc,
I
,
yazarrq. Bu gdstarirki x>>l olanda L(x) funksiyasr er kimi dawanrr. Lakin L(x)-in sonlu suaya, yani polinoma gewilnasi zaruriyyeti meydana cxrr. Onda i=j haddinden baglayaraq sonrakr heddler
srfir olar. Bu halda
v = k + = I + j +lolanda c. *0,c;rr =0olnahdrr.
j
Ogarv=l+j+1
tam say olaraq qabul edilerse, (23.16)-r
-
(l+i-")
l(l + r) "'-'
kimi yazanq va cr=O olmasr o vaxt olurki
"
(I +
i[/ +; + t)-
n=l+i=v
olsun. Buradan
n=
,€,
h'..1-;
yazarrq. Demali
F:F:-m,e1
--Rh
",z --mleo
h'e '"
2h2 n2
n'
olar. Burada R - fudberg sabitidir
r03
(23.17)
1
p = m:,e. o 109677,581sm-l
2h'
Belalikle, hidrogen atomunun enerjisi
[9[n
E.=__4_
(23.18)
2h2n2
qiymetini elda edarik ki, buda hidrogen atomunun enerjisinin disfret qiymatlar almasr demakdir. Ya'ni kvant mexanikastnda enerji
kvantlinr. (23.18)da n-tam adadlar olub, ba9 kvant ededi adlamr.
Onun aldrg-qiymatlar I den sonsuzluf,a qedar tam edadlar .9ox1ugudur. (n;1,2,3,...co) . (23.18!a g6ra enerji saviyyaleri 9aki1 I 1ldaki kimi olur.
E/e
4s 1p 4d
3s 3p 3d
E/1
2s Zp
Er/16
$okil
I.ll.
4I
Hidrogen atomunun enerji saviyyelari.
Ba9 kvant ededinin har bir qiymati [gun /=0,1,2,...(n-l)dayarlarini ala biler.
(23.16 ) ifadaine istinad ederek
,G)
=
t-,).
$1-,1..y
rt
-= Lv
elda ederik.
(23.5!e gora
(l
-
t(t-+ d t(t - tXt +-lxt
*
,t(&+s)l
.*,-,rT:m;;:J)J
B
+s
mexsusi qiymatina uyfiun olan
- t),r-,
)
dalfa
-
funksiyasr
-r*,
vQ,e,d=+LneJ--er)P,'(coseboe
(23.1e)
Laguene polinomu adlanu (alava B) va
olar. Burada 4(ZJ"r)
onun ifadai xrlsusi funksiyalar sinfure aid olan
104
L *(2
J;,)
=
ffi1",
",r-,
o,
Q
g*l.'
)
$:klr.nda t?yin olunur. Hidrogen atomutrun dalla funksiyasrnrn ra_
dial hissasi
Ra=
(23.2o)
miixtalif n va I Eg[n a$aErdah ifadalari alr:
n=l,l=0,Rrc=2e-,
n=
z,t = o, R^ =
-
+(t
t!
re
'' -!.2116
n = 2,1 = 1,X., =
n=3.t=
0,R,o
!,)"-;
z
1(
)
.t
\
a
=-+ll-]r+:_l )e,
ve s. Laguerre polinomlan ila Ermit polinomlan arasmda miiayyan
alaqe var. Meselan,
fl,,G)=(-
ty2*kti!,)
a*-,(:)= (- rlz *.*ri.G,)
miinas ibetlari bu alaqelarden birisidir.
v"o (23.20}den g6rundiiyu
kimi hidrogen aromunun
. . Q3)9)
dalfa funksiyasr iig kvant adadinden asdr olur. Bu Lvant adedlari
ba$ kvaDt adadi - a orbital kvant adadi / va Eaqoit kvant adadi
m-dir.(nlm)
Enerjinin her bir E, qiymeti iigtn /=0,i,2,...n-t ye hor bir I
[9in ise m=0,1,-1,..., pni m=-1,...+l olmasr sabebinden hidrogen
atomunun hah culagmrg hala uylun galir. Bu halda orlagmar,,r, iar_
tibi
r, =
k
i(u
l-0
+ t) = z
_tt
l-o
*
n
=
2n(n-- r)
=n'
105
+ n = n(n
-
r) a a = n2
ila tayin olunar. Yeni crrlagmamn tertibi ba; kvant adadi ile teyin
olunur. Hidrogen atomunun n=1 hahnda / =0, m=0 olar ki, bu asas
hal olur. Bu hala ls hah deyilir, n=2 qiymatindo /=0, m=0, +1, -1
qiymetleri alar ki, /=0, m=0 hallna 2s hah; /=1,m=0,+1,-1 hahna
ii" Z" hut devilir: / =2 olanda 3d hah olur. Burada bir 3s, iiq dana
ln va bes dene 3d hah m6vcud olur. Har hanst sebebden atom hevlcanlasmrs halda olursa, a5a[r seviyyelare keqid eder' Oger yuxan
iaviwalerdan. n= I saviyyasina kegid edarsa, Layman, n=2 saviyyesina (ecidler ederse, Balmer, n=3 saviyyesine keqidlarde Pufut ve s'
.oiuuturrn" uvEun tplen xetlar altmr. Belalikle, atomlann xatti
ip"it.l"r seriyl-lar qeik-linde ahmr. Buda tacriibeda miiqahida olunmusdur.
' Biittn bunlar giisterir ki, elektron miiayyon traektoriya ile haraket etmadivino edra elektronun atomda har hanst halda olmast
artEu funisivusr il-a osvir olunur ve bu funksiya (23 l9)-dakr kimi
gu ,aoiuo
bir haldan bagka hala kegidi elektronun
"lektronun
"iiri.
fazadakr haraketi ile elaqedar olrraz.
$24. Birvalentli atomlarrn enerjisi ve
dalfa funksiYast
Birvalentli atomlarda bir valent elektronu olur va bela atomlar
oalavi metal atomlart adlanlr. Bu atomlara litium Li, natrium Na'
t"ii"- n rubidium Rb, sezium Cs kimi atomlar daxildir' Onlar
s.it.tS.fz,sS elektrona sahib olub, bir elektrondan baqka, yerde
oalan elelitronlarla eZ* yiikll niive arasrnda effektiv sahe yaranr
Ja valent elektronu bu sahada olur' Buna uylun olan --eN yiikii
- "N = to^!o|)'d,
0
= 4rr'"!,v,,,1'
dr= -rN(r. )
(24.1)
olar va onda eZ+ yiikfi effektiv qiymat alar ki, buda
s'=z-N(r,)
(24.2)
olur. Z valent elektrondan bagka, yerde qalan elektronlann saytdtr'
Yeni xarici elektron Z-1 sayh elektron tabeqasini bir qadar demorfe edir va coulomb sahesi dayigar. Ona g<ire valent elektronun hareket etdiyi sahanin potensial enerjisi
U
/r A B \
. +a+"'l
=-d,:+
[rr'r-)
106
-.
Q4.3)
yaz a bilar. Burada A va B heddleri qelavi atomlann sahosinin
hidrogen atomlannrn sahasindan ferqlendiran qismini g6storan d[zaliglardi.
(24.3) ifadesinda birinci va ikinci haddlari nazare alsaq, hidrogen atomundakr hesablamalar <iz gticiinda qalrr va
ger tanliyinin radual hissasi
) *,(,
yalnz $chriidin-
*). #11-.,. # *9\*t
=,,^ n
-
qeklinda olar. Bu tanliyi
) *(,
#).W,.+
+ - i?a
*s
-aff.\
t = o<z+ st
kimi yazasr olursaq
t(t
+r)-ffe'1A=
t'Q'
+r)
(24.6)
igarasini qabul edarik. Bu halda $cbriidinger tanliyi qelevi atomlar
iigtin
; *? ry). {T' . ? + -'$)}^o't = o 1'o v
gaklini alar. (24.6)
ifadai /'-a
giira kvadrat tanlik olur va buradan
2m"e2
2m"ez
l'+t'-''i'Z'
,c=O,f =-it.,li +l'+l-"".1i" A
h2
h2
yaza bilarik. (24.8) ifadsinda
(24.8)
r=-!-.1!*r*t-2^1"'A
2 14
h'
olan qiymati dalla funksiyasrmn srfir n6qtasinda sonsuz oldulunu
g6starir va ona gOrade bu heddi nazara abnaya bilerik. Onda
.,
ll
22
@+rf-ffe=
(24.e)
4m"e2
(u +rf n'
yazanq. Ogar A=0 olursa, /' = / olar va hidrogen atomunun natic+.
larini alarrq. Demali, * 0 olmasr, sahanin qisman deyigmasini
I
107
gostarir. (24.9) ifadasindan
4m e2
1__________j_ I
"
+ 112 trz
yaza bilerik. Belelikla, (24.9)-dan
(21
r
"FffiA
=l2*12- ,2^,".' A*r
lt-))n'
va ya
' ' ;Flt
,t
-,
mre'A
(24.10)
alanq. Demali, $23-daki bttiin diisturlann burada da kegerli olnasr
gdriinfrr. Lakin bu dfrsturlarda /-in yerina I'-daxil olur. Onda bag
kvant adedi n'
n, = t, + k +t= t + o., _
frh
_
"
ffirro
gaklinda olur. Ya'ni qelevi atomlann enerjisi
Ed
=-
m.z'e' m.z'e'
=- Zh,
2hz na
[,- -m"z'e'
. me'A I
2h2
I
mle'A2
h' ,*i tn(t.))'
yaalar re
108
o
,'' -rUll
,n'
=
l)
l+ ;l
,'[r* l)'
*
t( t * L\*',""t'
2) ^,!'
h, \ 2)
4h2
I \
alda ediler.
.. Buradan aydrn olur ki, bu atomlann enerjisi ba5 kvant ededi
ile yanagr, hemda orbital kvant adadindan de as r olur. Orbital
kvan! ad_adindan x5rlrlrg da, hidrogen atomundah asrllfrndakrn_
dan ferqli olurasrm ahnr. Bag kvant adadi"i" eyni bir qifuatinde,
orbital kvant adadinin miixtalif qiymatlarine uylun olao iraU. tirbirindan ferqli olur. Kalium atomunun enerji siviyeleri gakil I.l2-
da gdstorilmigdi.
2r
2p (n=2,
gakil I.12. Kalium atomunrin enerji seviyyalari.
Qalavi atomlann dalfa funksiyasr isa hidrogen atomunun
dalga fuoksiyasr kimi olub
v*(,,e,d=
R"(,)U.@,d
e4.t3)
iig kvant edadindan as rdrf. Buuun (24.12) ila mflqayisasindan ah_
nu ki, kvant edadino g6ra olan crla5ma olmaz, yatnrz maqnit
kvant adadina m g6re crlagma olar-
/
$25. Atomlarrn maqnit
monentlari
Stasionar halda atomun elektrik careyamn re yfrknn[n srxtlr
(14.5) ifadaleri ila mtayyan oluuur
i,
=
ff(to
w
- vn w'\p = 4v1'
109
(r4.5)
Sferik koordinatlarda carayamn ehtimal srxllrnr yazmah olartqsa,
nabla operatoru
',=*,o,=l*'',=**
qeklinda ifada edilir. Ona g6ra careyann ehtimal sxh[r iig hissadan
ibaret olur.
.
j'=
en
( . ov
a,z')
a,
r*l'';-v I
',=*(r#-,u#),
(25,)
'.=#(,'x-,#).
Atomlar [9[n dalla funksiYasr
w*O,e,a)= n",(rfi(cosep'^' (25.2)
olduluna gdra (25.I)-da gva y'Jarin yerina (2 5 -Z)-ni yazartq:
v,
=
.
( . Ow.,^ avi,^\
2jmlv"h;-r* a, ),
t,=
en
i"=fi(v;ff-,,"'*), (253)
i,=ffi(w;W---'+)
R,
va
{
haqiqi funksiyalar olduf,u rig[n (25.2)-ni burada yerina
yaTarcaq
t,
=
#(*,,
r* e-nn
oln
n^
=9*-n4*-*")rr
2m]
\ crr or /
"'^n
=o
110
-
n n p,^
"'^o
*
n"
"^')
=
:
i =
"
fi(*,,
n^
"-^n
# R,,"-n -
=-:!-*i,r
tm.tr (an'
R,,
p,.
eo,
L *,",-")=
ae-\
ri-;;1=o
t,
=
R,H !#- - R,tPr etryR
#"*(u,pi' "*
ehrr, , i
=-----lv"ul
m.r stna
Pr,
ffi=
alda ederik. Bu miinasibetlara diqqat edarsak, aydrn olur ki, stasio_
nar hallarda carayanln radius boyunca da miitlJq qiymati va mere_
dian boyunca proekiyasr srfir olur va c€rayan en aairesi boyunca
axar. Carayamn bu qismi srfirdan farqli olar. d,S sahasinden keqan
7, enina careyan suhlr dI carayan giddeti yaradar va
41 =
(25.5)
iodS
5aklinda tayin o.lunar. Elektrik kursundan ballidir ki, bele carayan
giddetinin yaratdrf,r maqnit momenti
dpz=-
dr.s
j-sds
Qs.6)
cc
kimi taprlu. Burada S sahasi dI carayarunln ahata ctdiyi sahedir.
Bu saha
S=
n)
sinz
oldufu iigiin (25.6)-dan maqnit momenti
0
(2s.7)
, =r' sin2 0 .- n2 sin2 o etrt
c- Jnd;=--- ,- i.,"in6lv r^l- dS IZS.A1
aP,
,,=-#!2,"-uslv",^l'
(2s.e)
olur. 2za'sin ddS = dll hacm elementi oldugu iigtin
,"=-#llv*l'ar
11r
(25.l0)
!v,,.\'av =t
almar. Normalama $artino gora
ehm
(25.11)
2m.c
elde ederik. Z, = irn oduEu [qnn
lJ' =
eh-
L'
--:-2mc'
(2s.t2)
yazanq. Buradan da z- istiqamati hca bir fist[nliiya malik olmadrlr
rigiin maqnit momenti vektorunun, mexaniki moment vektoruna
nisbetini
lre
Z
2..c
(25.13)
yamaq olar. Bu mfinasibet, klassik fzikada --e yiiklii, m kiitlali zaraciyin hesabrna yaranau mfinasibatla eynidir. Orbital momentin
qiymeti
lzl=n$(;t)
ve momentin proeksiyasr
I, = ftn olduEundan
*,(ri)=ffi
(2s.t4)
aralarrndakr bucafrn kosinusu geklinda olar. Onda faza kvantlanmasrm (25.12!dan
F,
=
-pr*
p, = -"h -Bo*maqnitonudur.
(2s.15)
s-hahnda orbital
2m.c
moment srfu olur va bu dzallik klassik ftzikada yoxdur.
tapanq. Burada
t12
Fesil II-e aid gahgmalar
II.l. Potensiyal U(z)=az 1"o"Or*tr, olan sahada enerjinin, impulsun va impuls momentinin saxlanan kamiyyat olmasrru ara$rnn.
Qahgma
Hell: Kvant mexanikssnda haEkat tanliyi
aQ=aQ*tV;U1
dt A ih,' '
olur ve
N - r^^l
a
==o,lQHl=o
ol"na"
4dt
=
I
o1*. Yani Q=sabit va y a Q = sabirolur, saxlandrr.
D #*|rt,H]=o
4
ou,Euusun
E =sabitdir.
* =,,* = itu.,,l= jlo,,j(o:*
F,' * F,,)] = o;,,
P'= sabit
aF= o, ai' r t^ t t^-+
;
; ;la,;\a
=
ry
--rl
)l=
+ P:
o;
\ = sabit
4t
-'dt =o-* !(
-'dt
' L
-dz) -*&
il = 0.4
r'n[- in@
d, * in*L\=
=
-,.
1=-o*o
5)
(
*
= ir{Oe
-,1)}@: + r; + F;)+,(yr, -,F,L-
ll3
- *(ra, - ,0,)-
-*b,lbu,
)(o;
- i',y)i,,
. o; . a;lo4 - u,l\=
*
i',(2,i,,
-* .
- F,t)- F,K,F, - i,,z)i',
+
0.,\ l\=-oy
* o,(,0. -
a' =-or-Lt=*. '=,
'dt
"dt
dt
Eyni qayda ile
),,
a'
dt
=
-aL,y - ayl,
+ aL"x +
axl,
{=-z,no*2ofu,-ri,)
elda edarik. Demali, U(z)=a7 sahasinda
P,,L,,L.,L2
4,Pr,,i
saxlanrlrr, lakin
kamiryatlari saxlanmayan kamiyyetlerdi.
Qahqma II.2. Eni
a olan qutuda sarbost harakat edan zarraciyin 'enerjisi-
ni taprn.
Hall: DalEa funkiyasrnrn periodikliyina g6ra
,y(i,)=
I
A"au
o.
p-;@-x\ =,yQ
i-
i,-
"ii'
=ff
alda edarik.
=
tr"
^u
i--
i--
";F "iFa
", {'r.
=
+a,)= te
=
:tE'*nc*a\1
,
t
rr;fr =t,pa
*,=
= zmh,p =
2rh!
e\,, r. =44,'
tt4
Qaltgma II-3- Sonsuz derin, eoi 0 ilo a arasmda doyi$an potensiyal qutu_
da zarraciyin enerjisini va dalfia funksiyasmr tapn.
Hall: (0,a) inrenahndan kanarda zarreciyin enerjisi, potensiyatn dayarin_
dan az olur va burada enerji srfir olur. lakin (0,aj intervaLnda
o,r(:)
*r!
dx2 'fi'\
(u _u(x)\y(x)=o
yazattq.
$chrodinger tanliyinin halli
vQ)='"*EEua'
yazr)a bilar. Sarhad Sartina g6ra
y(o)=y(a)=o
olmalrdrr. Onda (0,a) btilgasinda hall
Y(x)= 'ls;n(ta + P)
olduEu
[ciin fr(O)= ,fG) = O s.rtina sdra
v(o)= Asinp,rp =o
,y(o)
=,l.si" *a
= O Xa =
nz, k =
olur. U=0 olan zonada
T
.E=k.
*,=4r
\ n'" -^"' h2 "
yazrlar, Buradan
E' , Zm^ ^ t'h, .
E, E,=;*n'
Vn'=
O
enerji dayarini alanq. Dalga funksiyasl isa
'Y(r)=
olacaq. Normalama $artina giira
'
ItwG),
a, = t, 1ty
!,n
e"ir(41r\
\a)
(ff ,)a, =+'[, - *{+,)y
115
=
+rl;-""(T)):,.=+=,
yaru
^=E , vl)=S'a(r,)
funksiyasrm alda edarik.
Cahtma II.4. Hamonik osilyatorun maxsusi funksiyalanntn ortoqonal olmasrnl gdstarin.
Hall: Osilyatorun maxsusi funksiyalan
d1.y-:
dE'
d',v=;'
de'
+Q,+r{\y,=o
+ Qm + I
-
1'\t':
tanliklarindan tap lr. Bu tenliklarin birincisini
=o
r7]'4, ikincisini isa
vurub, bitED faza iizrs inteqrallasaq:
lr:ff
[v: ff
u . @n + | !v';v.a ( - [€' dw.at
a6
. Pn + t) [v'^tv d ( - $' v;v t
"a
alnar va bunlan taraf-tarafa gusaq
-,. #)aa =
{,, #
tL?, # -,. #),,
(.,
#
yaza bilarik. Ogar m
- -.
t
=
#),".
ndirsa, onda
l16
z(' - ['v;'v.aa
^)
= z(n
za -
-
m)
lnv.a
^t 1, -,.a 6
E
r4, -e
Iy,iw,ae =
olar. m=n{irsa, onda
P!,*.*
Iv.r,€=P!v.t'*=r
olar. Ya'ni n + n olanda miktaMenerji dayarli osilyatorun maxsusi funksiyalan ortoqonaldr:
[i,,
'li
Jv:v'a'=o
Bagka s6zla, harmonik osilyatorun maxsusi funksiyalan ortonormalik
fii,
tli Jw:'w'a'=a^
gartini 6dayan fuaksiyalar olurlar.
Qahgma II.5. Xetti osilyatorun potensiyal enerjisinin orta qiymotini tapm.
Hall: Osilyatorun enerji tamsilinda ifadasi
--
=
olur. Buradan
ri, =4R,,
ffif,rrr,.,,
*
r[u, o.,.., ]
,. =:1b,,,,.,Fo,,.,]
5 r,t-,
1f,u,,,.
*1ffia-*
yazznq.
_,
k
k' = k olanda
17
+
[*or,*
x:=
*ll
n(
r= _ln
ma\
t\
+-)t
|
otensiyal enerji osily ator tioitn U(x)
=Sx2
olduluna giira
q=+v =+*(^.;)=ry?.:)
a = )n,(^ * t) = i,.,u.
=
i".
ahnar.
minimum qiymatini taptn'
Qahpma II.6. Osilyatorun enerjisinin
Hall: Koordinatla impuls arasmda qeyrim[ayyanlik miinasiboti
(a,I(aP.I
,'2>4
eakrindadir.
(nXY
= X',(tp,I = Pj ou,Eu uctn x' .P'>
L
ya-
2
zanq. Osilyatorun tam enerjisi
P' ma'
f,=-1-a'
2m2
oldufundan
h' ma' ,
E>\mx'
: +-x2
alanq. Enerjinin minumluluna
9610
.
,ora
$- = O olmahdrr' Enerjidan
av')
tdroma alsaq
118
x2
\' ,. **"
- 8^6'f
=0,
2
m'co'-#=,
n
2mat
tapanq. Onda
2ma mo), h
8m h
2 2mat
-- ha ho hat
442
.-ha
-
.
-
h2
2
Ya'ni. osilyatorun minimum enerjisi
, ,!t
-^^2
olur.
(jalrtma II.7. Metal daxilinda olan elcktron qazrnrn, potensiyal
outuda
serbost harakat edan elektronlara uyfun olaraq elektron kegiriciliyi mey_
dana guanr. Kub gakilli gnm[g pargasrnrn (Vahid iona diigan sxhqj srx.hfi
p =10,59 I sm! aLr. Bu clektronun maksimum enerjisini, onun orta
enerjisini va elektron gazrnrn tazyiqini taprn.
Hall: Hacmi L! olan gimtg kubun daxilinda enerjinin qiymati
^
E=
h'tt'
+ni+fi)
2^1,!f-bi
miiayyan olunur, burada nr, n2, nr miisbat tam adadlardi (1,2,...)
n'=nl +nl+nl t atrna baxaq. Radiuslan n ila n+dn olan n6qtalarin
sayrnr
!4-,7r=!
82
yaza bilarik. Bu nihtalarin har
nr Tn
birinde spinlari bir-birina zidd olan iki
clektron yerlapdirak. Onda n ila n+dn arasrnda zat2dn qadar elektron
olar. Yani, bu elektronlann enerjisi
il9
o'h'=
E=
oru.
nr
2nL'
o B iL E+dE enerji dayarlari
- dE =o'h|- ndn
mli
arasnda olan elektronlann sayt
^!"dE
z'h'
Ya
o*=,12^$JEar
ya
alrnar. Enerjinin maksimum qiymatini taPmaq igiin asas halda olan elek-
tronlann saylru
N
^" fJ-r.ar
=.[Z^ o'ht
!'
yazanq. Vahid hacma d0gan elektronlann sayr (sxltq)
N=
A/
7
oldueu
[9iin
-=#('y)'
yaza bilarik. Buradan
r.,-=fib;ruY
,MN = I
^Urrq.
oldufuna g6ra M bir giin[s atomunutr kfltlasi olmaq-
laM=1,80.10-2 gram olduEu ncnn -|r' = 5,85'10*2(sz)-3 olda edarik.
qiymatindan E = 8,80'10r'z erg = 5,55ev dayarini alanq. Bu
qiyrnat istilik enerjisindan ftT=0,026 ev CI=300K) qat-qat goxdur. Ona
giire isti.lik enerjisi clektronlann enerjisini c[zi dafigir. Enerjinin bu dayigmaine fermi qazn orfumast deyilir. E-- ifadasi elektron qazmtn Fermi
E--
enerjisi adlanu. Ebktron qazrnm orta enerjisi
.
" --ldN
-lr*
J
diisturu
ih tayin olunur. dN qiymatini burada yerine yazsaq
120
lJErat
_J2
E=i_
=iE*
J
IJ-r*
0
- 5""^
"i_3,
alarrq. Elektron qaznra taryiqi qaan hacminh azalmasEda gdrulan i9i
isa dA=pdv miiayyan edir. Bu i5 qazn enerjisinin azalmasrna seriolunur:-
dA=d U
Digar tarafdan qaz zarr*iklerinin enerjibrin.cami
_1
u=N.E=;*r*
/
olar. Bu enerji qazrn hacmi ila mitarusib oldulu r[iun
-2'/
-Y /1
du __2dy
U
.
yazrlar. Onda qaz ln tazyiqi
u
3v
P=_du =?u =?Nr
dy 3y
ahnar va tazyiqi iig[n P=2,06.101ldina/sm2
Qahgma
tapln.
"
200000arm alda edilor.
IL8. M[stayi osilyatorun dalla funksiyasrnl va en€rji qiymatini
Holl: Ikittlgiilii osilyatorun Hamilton operatoru
fr
.
-
=*(P:
*
P)++g
+ v')
h2 d2 mo)2 .
ti.at = ---'---:' +
X'
d'-
mot'
*
u,
' -h'
2m dy'
2 '
11. =
Bu operatorlann moxsusi funksiyalan
121
,/,, (r) =
C,,;X "
,y,,(r) = 6,,"-
u'Y
r,(f+,1
"
r,(ff ,)
olur. Bu hallan-n enerjisi
,.,=0,(o-))
e, --nr(\.,. *!\
2)
iigtn .
B = hat(n + z, + t)= na{]Y a
olacaq. Onda m[stavi osilyatorun enerjisi
1)
alda edarik. N=nr+n2 kvant adaddir. Yani, miistavi osilyatorun
enerjisi
(N+ l) dafa culagmrS haldadrr.
Qahfma II.9. Ytiklii zarracik sabit maqnit sahasinda harakat edarkan
onun enerjisini taptn.
-
Hell: Maqnit sahasini OZ oxu istiqamatindo ydnaldak:
potensiyah
Sahanin vektor
B, = By =O,B = 8,.
Ay =
,L =O,,L = By
rt
olar. xarici sahada Hamilton operatoru
" 7i* "' ' A'
=-Lv'2m mc' 2mc'
olduf,u iigfin $chriid inger tanliyi
(-!o'- mc
.e'\v=r,
" 4*3
zmc
l
\/m
va ya
(-*"-*n','.*nY=,,
olur.
t22
i
Buradan
(-
**
-
*,','),
#,, *.
=
u,
tanliyini yazarrq. Bu tanliyin hallini
gaklinda axtaraq.
v,
(
a
wQ,y,z)= 1g\nr{^.*t
va p lar sabitlardi) Onda
d'
f (y)et(*.il = -(o" * B,)f (y)",r--*t * [?) ",e,*t
t {rPu-. *' = i d 0\F'@. e)
fr
oldu!undan
*(t . r' - fi)ror ff
r
{t).
nliyini alanq. Ogar
ath
y=y .___:,
eb
ff
flt) = oro)o
eB c= L__i__
- h2B'
mc
2m
avazlamasi aparsaq bu tanliyi
*+P ryrl)="ro)
yaza bilarik. Giiriindiiyu kimi bu tanlik harmonik osilyatorun tanliyidir.
Ya'ni
-t=-@-u'
t,@=n.(EY-i" ,r_\
h,
"=nr(n*!\.r=E-h'P'
'\. 21
2m
t -="8(n*L\*h'f'
"o
' z)- zi
^"1'
Olf'
ifadqalarini ahnq. Burada
2m
o,
123
oxu boyunca kinetik
enerji,
4!(
,nc
[ "-!)2)
isa
XY m[stavisinda maqnit sahasina perpendikulyar ola-
raq harckat edanda osilyatorun enerjisi olur.
Cah5ma II.10. Harmonik osilyatorun kvadrupol g[alanmasrnr taprn ya
onu spontan giialanma intensivliyi ila mfiqayisa elin.
Hall; Kvadrupol gialanmanrn intensivliyi
r=#Fot;,
ila tavin olunur. Burada
Dr,
=*,r,* -,'6r*\G')r* =Z,r,,n
ifada edilir. Osilyator [grjn matris elementi
lh l--ti l-1,
v
,**-,.t-lm(,l2-\Z^r^
It+r,t =
(t + 1)
;-:_
zma
olduluna g6ra
(r')r-,.-=rkJi@4
1r'
1
r.r., = -L-,[Gl
1x'1r.,
tfi + I
+t)
==!-(z*
tma
kvadrupol giialanmanm matris elementlarini alanq va buradan da segma
qaydasr olamq
Lk =0,!2
olda edrik. Spontan g[alanmamn ehtimalr
n.-
'Lka
aL.(o-[,(D-)..
-= gohr,
Eynlteyn amsah ib tayin olunur. Burada
(D,,),,= !viD*,wd'
124
E, x nha
hahnda, yani, b6yrik kvant adadlerinda kvadrupol kegidin eh_
timah
*n* =[e'?', '','
15 mzcs
olar. Dipol giialanmasrnur ehtimah
w"_
oldulu iigiin, onlann nisbati
=?4E.
5mc-
w* _1(at\'z4 _er,
/d'e
5\c ) maf
qiymatini alar. Ya'ni
wM
5 mc
*( 2 \E.
Wd,e lma, ) lr,
tap ar.
Il.l l- Potensiyal qutuda olan zarraciln koordinatrrun orta qiy_
matini va kvadratik xatanln orta qiymatini tapm.
Qahgma
Hell: Potensiyal qutuda zarraciyin dal[a funksiyasr
l//. =
fi sml
. (no \
rl-
I
la
\a
-I )
olur. Onda:
?"1
lL,*
t =' fyiQ)x y
"(x)* = x sin,
ai
;
l-\,
(a,)'=G-;)' =lr'
-zxz
a
=
!
2
+2,)=7 -2, =7 -o'
4
7 ="lvl!b,yr.1rpr=?ir,.io,no xdx=o,(!- t \
ai
a
i,
\3 2trzn2)
125
(u)'="
'(:-i)-*=*(,*)
,=;,@=tl-#)
olan zarraciyin
Cahqma U.12. Sferik-simmetrik sahade impuls momenti
hesablaYm.
kvadrupol momentini
Hall: Sferik
sahade zarrociyin hal funksiyast
y.,^
=
n,(r)ri@,p)
zarraziyin kvadrupol momenti tenzoru kanmiyyat olub
Q* =3x'xr
-
r'67
izi srfirdrr. Onun beg asrltolmayan komponenti var:
r'Y|
t
= c(32'
Y;, =
- r'\r'Yr*' = *J6(x
;J 6(,
+
iY)z
t
=
{iYil' da
"Y, " F*,,
dQ=shAdAdq
=
1
Ya'ni
u F,uP""'g' f*
=
=
,'
*' = E*l:(e,,
(Q"
t
is'l
- e,,) t i q,7
olur. Orta qiymat Kvadrupol momentin
@
.2,
On = [ln,,l' ,'a, [ [ivN' o,rao
00
0
ila tayin olunur. Qir-nin dioqonalolrnayan elementlari p dan as tdrr'
sfir olar' Diaqo'
l4'l'i* gA"" ^th olmur. ona gdra uygun inteqrallar
nal clsmentlar
126
Q-="(3sin'ecos'9-t)
e"in' P -l)
Q' =
"b"i"
Q-="b"o"'e-t)
p -ya gitra inteqrallama
l2
wruEu verar va
1rin,6 _1= _L(:"o.,
olur.Q-
=Q,
a_
t)
= @- oldulu [qnn, agar
,,
= [r,ln,,(,\, a,
o
i5arasi qobul etsak,
Q. =7
! 1Q"."'e-t)r1l'aa
yazanq.
cosqf,'
= a7 Y,' + ai-rY,\
,,- . (-^= [(r+,+r[-,+r)/)
1
lt' L-0/ .
orqusuna sora
.J
o"=t(brf*(,r,l)
alda edarik. Buradan
6 --2lQ +t)-om'
u._,@+ffinl..
tapanq. S hah iigtn l=0 olur va
0-=0ot^r. phahugflnisa
o-=!7(t-1^,\
5\ 2
)
alanq. m=0 olanda
p,, <0
Q- > 0
olur, m=l olanda isa
qiymatini alar.
t27
p-
iki dafe az olar va
Cal$ma II.13. Mlxtalif maxsusi qiymatlari olan
O
op€ratorun mexsusi
funksiyalann ortoqonallEml gostarirva maxsusi funksiya tanliyindan
Hell: Maxsusi qiymat
A. .
A Vr
0Y,
=
lrVr
= q,vr,
lvio,vdY =e,twiwdv
lw,l'widv =t,lwiv,aY
Iv:(ov,hr
=
IviO,y,av = [
v,lviav
e,lvivd.r =l,lwivdv
alanq. Buradan
Qz #
4r
lViVdV =0 olu.
128
III
Tasvir
ve
Fosil
ya Tamsil (g6sterim) nozariryasi elemen tleri
ikinci fesitda fziki kemiyyetlara qargr qoyulan operatorlar differensiyal operatorlar idi. Ona g6re dj bela-tivirda iv-ant mexanikasrnda aLnan tanliklar xatti diferesiyal tanliklar olurlar. Lakin
operatorlar arasrnda komutasiya mnnasibetlari fiziki
-"a3 dafrdr$r
[giin bu mana, operatorlann hanu riyazi gakilda verilmasinden
asfu
olmaz.. Operatorlann bu.wa ya bagka iyazi gakilda verilnsi, onlarrn birinin digarina gcwilnasi, temsil va ya tesvit (eGtarimi naza_
riyyasinda aragdrnlr. Operatorlen va hai vektoruni bir tanrsilaen
(osvirdan) baqka bir tamsila gcvirenda matris cabrindan istifada
olunur. Ona g6re kvant mexanikasrmn bu yeni gekli matris kvant
^
mexanikasr adrnr dagryr.
Bu baxrmdan ikinci fasilda aldrErnrz bir qox anlayrslann veni
taklin tamsil nazariyyxinda aragdrragn.
$26.
Dalfa funkiyasrnrn mfixtalif tasvirde verilmesi
Maxsusi funksiyasr diskret spektre uylun olan maxsusi funksiyadrrsa, F operatorunun maxsusi qiymeti va maxsusi funksiyasmr
tayin edcn tanlik
Fv,= 4w.
(26.1)
geklinde olur. Ixtiyarr hahn dalla funksiyasrm
ksiyalann superpozisiyasr gaklinda
y(i,t)
mexsusi fun-
y(r1)=la,,y,
yaza bilarik. (26.2)da
(26.2)
F operatorunun mexsusi funksiyasrdu,
,y(;1) io koordinat tamsilinde verilmig ixtiyari hahn funksiyasr<fi. (26.2)-il lrrj, -e vurub, bUtiin f€za iizro inteqrallasaq,
lr,
Jy,;.y(;,t\prt =
,
lwi,Zo.,r,av
=
1+
lvi,w,av
alarrq. Diskret spektrin maxsusi funksiyalan ortonormallanan funksiyaiar oldulu iigiin, (6.5)-e g6ra
129
n
Sr:'r^o'
=
u* ={l =n
nt*n
olur. Onda
lilv?,tPv =\a.5.,.
=a..
(26.3)
".. = lvi,v?,tYv =(w..v)
alnar. Q6.3) g6riindriyii kimi ahnan a,, yeni tasvirda ,y(l,t) t"ksiyasrrun ifadasi olur. qrinki (26-3)-i dV hacmi lzra inteqrallasaq
netice yalnrz z'-dan asrh olar.
Oger F operatoru kesilmez spektra malikdirsa, onda
Fv, = Fv,
(26_4)
yazlzr va V 1 (w ya rg(/) ) kasilmez spektrin maxsusi funksiyalanau. y(i,r)-ni ,y, = ryQ1)-io ioteqrah geklinde yazrb
vG,t= kUlvUYr
bu ifadanin har iki tarafini
(zs.s)
ty'lf')vuraraq, inteqrallasaq
lw' U'VG,,Vv =
I!"U\c' U'tuUYnv
alnar. (5.8)-e g6ra
[w'U'VUYr
=
dU'-
I)
oldulu iigiin
I",oU'- tYt = Iv'U'YG,tYv
slda edarik. Buradan
a(7')= lv'$'fu{p1Pv
(26.6)
almr. (25.6) ifadesi yeni tamsilda qr(i,r) funksiyasnrn ifadesi olur.
(26.3) va (26.6) dfisturlan koordinat tasvirinda verilmig y(;,1) fuoksiyamn
F
tamsilinda ahnan o, ve o(1) frot.iy"larrn olur. Gd-
rundiiyu kimi F -in maxsusi funksiyalan Vi va W'G) ila temsil
olunurlar. Ornak olaraq koordinat tamsilinda verilmiq dalfa funksiyasrnr enerji tamsilinda yaaaq
t30
a,@=
ly;(r\y(r,t)av
e6l)
olar. Burada yz! funksiyas' n,y(;) = n,y(;) tanliyinin ha[idir.
impuls temsilinda ise
a, = IY;Q\YQ,tPtt
olar va ry, impuls operatorunun mexsusi funksiyasr olduluna g6re
Vo
-ni
,y,Q1=!"t"
,ll2ril1
geklinda yazsaq,
i--
,y(r,)av
o = (zat)-trz
impuls tamsilinda dalla funksiyasr olur.
Impuls momenti tesvirinda dalla funksiyasr
let"
a
,, = [w;FVG.fi' = [r;"
yaalr. Burada
(26.8)
(e,qfu(;,tprr
Ij'-
funksiyasr .impr:ls momenti operatorunun mox_
susi funksiyasrdr. Ornok olaraq
Q)=
|"ic'.'\f-*
.la
2<, < *l
2'
funksiyasrnr imputs tamsirinda
yazaq.
o, =
IfiGVQ)*
.1
=
#
Irr- +";b"',ud,
t
i
t "uo' - "-io'
= ==f- i
= -!
"i'''*
tl2zah p.
Zi
^t2rha _l
;n
6;sinl
-ffi2h e'! ="1;-;
.D
- Ei"'";
p.
",-\;
131
=
e69)
Bu impuls tamsilinde
r4(:) funksiyasrnrn ifadasi olur.
Belalikla, requlyar funksiya olan
va
Odeyen funksiya olar
an
ve
y(i,t)
,Q)
funksiyasr (2.1) qartini
amsallan ila tayin olunur.
Ona g6ra siste,nin hah ya requlyar funksiya olan
y(i,t)
funtsiyas,
yadakr
,
(26.10)
[;i]
matrisi ila tasvir olunur. (26.2), (26.3), (26.5) va (26.6) diisturlanndao istifade ederek ve Hilbert fezasrnrn vektorunun ao.at,az,--.
komponentlerini bilerak, y -funksiyasrnr va yadakr ry -ni bilerek,
ao,q,ar,.
-
-
amsaTTan tapmaq m[mkflndlr. Nonnalama gertina
g610
!rl'on = lv'vav =r
oldugu tgiin superpozisiya prinsipine istinad etsak
lZ,l.wi.Z".v/dY =t
alde cderik. Bu ifadani
ZZ"l.".[ilv.av =t
(26.1l)
yaza bilerik. Diskret spektir halmda ortonormalhq qartinin
?.
lwi'v"av = a''"
olduiunu naara alsae, (26.1lldan
llai,a"d,."=r
yazaraq (26.11)-i
(26.r2)
\ala,=lla,l'=t
kimi sla11q. Kaitnaz spektr haluda ise (26.1
132
llin
yerina
fi"' U'fu ',.'U'r,t, lfdf dy = t
ifadasini alarrq. Kasilmaz spektir hahnda
lvlv'ar =5A'- f)
olduiuna g6ra
lltWWV'-
f\r'rat =l
olar. 6 -[unksiyasrmn
ItGbQ-tn''
= tG)
xassoslno asason
ItUhUYt =r
va ya
lv(fl'at=,
Q6.t3)
gartini alda edarik. (26.12) ve Q6.13) gertleri maxsusi funksiyalann
tam sistem ta$kil etmasi Sartidir. QUnki bu gartlar istanilen ixtiyari
funksiyanr, maxsusi funksiyalann superpozisiyasr gaklinda tasvh etmaye imkan verir.
$27. Operatorlann
mtxtalif tasvirde yazhgr
Operatorlann tarifina g6ra eyni goxluqda verilniq bir funksiyanr, bagka bir funksiyaya gevirma amaliyatma operator deyildiyi
[qUn
V
=Q9
(27.r)
yazrlrr. Burada verilal V,e ve Q-ler eyni deyiganlarin fu:rksiyasrdrr. Ogar bvada ry, vap-ni har hansr bir operatoruD mexsusi
funksiyalanrun superpozisiyasr kimi
'=1".o.
P=lt'v'
yaznug olursaq, onda
l'.v.=olt.v.
133
Q7.2)
olar. Bu ifadenin har iki tarafini l,.;, -€ yurub, brltiin faza iizra intcqrallasaq
=lr"lvi,|v"av
l+lfiv"av
e7.3)
elde ederik. Mexsusi funksiyalann ortonormalanma qertinden istifade etsak
1,,a,,.=1t"9.,,
yazanq. Buradan
a*
=lt,g,.^
(27.4)
haradakr
ld1v"av
Q-" =
e|.s)
(27.1) va (27.4) ifadeleri miixtelif tamsillerda verilmig hal vekrorunun temsilidir. (27.5) diisturu isa yeni tamsilde verilmig operatorun
ifadasidir va p operatorunun matris elementi adlanrr.
Koordinat tamsilinda koordinata vurma emaliyatr olan operatoru impuls tamsilinda ifadasini tapaq. Matris elementlarinin (27.5)
ifadasina gdre koordinat operatoru impuls tamsilinde
-t
;ro=
)y).iyodt/
yaalar. Burada impuls operatorunun maxsusi funksiyasmr yerina
, __\
/
\./o "^'
ya.znrg olursaq
I
V,
fi,
I
=(2.,tt)-' 1"-u';"*n
ar
=
= -ih+(2d,)' S"-@-iY ar
aD'
alanq. Bu inteqral d -funksiya oldufu iigiin
r,.,---ih&l|,-F)
alde edarik. Belelikla, matris gakilinde opemtoruD kasiknez spektr
hahnda ifadasi
134
yazrl-mrg oluruq.
t@')= f,,,c(p)ap
Ya'ni
bG)=-th!#G,- pYbvp
oIrr. Bunu hissa-hissa inteqrallasaq
tG) =l- inoG' -pEG)H
+
tn [a(p,, - p1rc=9)
"aF
yazrlar. Bu ifadade birinci haddi redulyarhq gartina g6ra
va ondada
*
sfu olur
tG)=in{@
(24.6)
olcia edilir. Yani, koordinat tamsilinde verilmig (27.1) tanliyine ek-
vivalent tanlikdir. Onda
7
=ih+
qp
e7.7)
operatoru impuls tesvirinde verilmig koordinat operatorudur. Demali, koordinat operatoru impuls tamsilinde impulsa g<ire diferensiyal operatordur. Elni qayda ile kasilmaz spektre malik olan,
maxsusi qiymetlerini ve maxsusi funksiyalanm istifada etmig olursaq.
y,=["Uvrdf.
yanb
e
=pff\y,,a1
e\.B)
!'UY,at =|laUly,ar
ifadalarinin har tarefrni yr. vurub, inteqrallasaq (V hacmi iizre)
!!a(f\ti'v, afar = [lr(1\v;.Q,v,
a1ar
alarrq. Ma'lumdur ki, kasilmez spektrin maxsusi funksiyalan d
funksiyaya normalanan funksiyadu:
Eyni zamanda
lv,,wav=oU'-f)
Qo =
iga,rasi qebul olunarsa,
_
[vr.lwrav
135
Q7.8,)
kUbU'-
ilr
=
pUD,,a
va buradanda
'U')=
alnar.
[tjD,,af
el.s)
KasiLnez spektr hahnda da (27.1) ila (27.9) ifadalari bir-birina
ekvivalent ifadalerdi, yalnz onlar ba$ka- ba$ka tasvirlarda yazrlmrg
dalla funksiyalardr.
(2715)iw Q7l8)i matris ;wklindw dw yaznaq mlmklndlr^
Qu Qrr"'
Q^ Qr"'
Qu
Qr"
(27.10)
0=
Qt Q.r"' Q., "'
Kasilmaz spektrin matrisi isa her k6masi dolu olan bir matrisdir. Buradan balli olur ki, har bir operatora qargr yeni tamsilda
(ta6virinda) bir matris uyiun gelir. Otda Q7.1) ifadasini, M matrisini p velloruna tairini
V
=M9
kimi yaza bilerik. Yani sonsuz sayda komponentlari olan p -vekto-
nr
rPr + M o92 + "' + M ngL + "'
Yz = M uPr + M 2292+ '" + M zrQL + "'
(27.1r)
... +... +... +... +... + '.. +..'
Y t = M uPr + M.292 + "' + M bPL + "'
... +... +... +... +... +..' +.'.
yaalar va M p -ninda sonsuz sayda komponentlari olan vektordur.
M -matrisi
Vr=M
Ml
M!
Mrr"'Mt
Mo... Mr,
M
M
M=
rr"'
136
Me
...
(27.12)
olaraq, y/ -vektorunun komponentlari
ai.
=ia,Mn
Q7.13)
diisturu ile teyin olunur.
Matrislarin toplanmasr va vurulmasl, operatorlann toplaDma-
kimidir. Ya'ni
CV = Artt + B ttr,DV = AB rtr
sr va vuruLnasr
A+ B = c.c,., =
[ilcv"av
=
[dU*
n\y.av = lw)Awdrt +
[wl.BvdY;C,., = A*, + 8,"
olur. Digar tarafdan l.B=Dolduqda
+
lvi.e*y,av
elde edarik. BV^
ksiyalan
r7u^
=
lvi.e(tdar -- lvi,eodv =,t,r e7.14)
=p,
bir funksiyadu va ortonormal olan bu fun-
-larin srasr kini yaza bilarik
Ew,=Zb,wr
t
burada
.
(26. I 5)-i (26.
o,,,=
bt =
[vibw,dr
=
n,
eT.ts)
e7.16)
l4}da yazlnqsa
lfielt,y,av = [vi.elBoydlt =lnny)Aydy =
=LBoA,.,
olar. Ye'ni
'
o,\=24*Bo
e7.17)
I
almu. Demali, iki matrisin hasiliode, bir matrisin uyEun satr elementlarini, o biri matrisin uyEun siitun elementlerine wrub, camla.
mak lazrmdr.
. Q7 .5) d[sturutrdan istifada edarak, ermitlik gartini matris $aklinda yaza bilarik
!,fi|w.av = lvil.w.,av
ermitliye g6ra buradan
t37
o,.,=o:",
(27.18)
alanq. Yaoi ermit operator, elementlari kompleks qogma olan va
eyni zamanda transporiza olunan matrise uylun geler. Oger
Aw =qv
tenliyi varsa va her hansr bir F operatorunun, y, maxsusi funksiyasr m6vcuddursa, onda
lZoowr=QZorY,
ak
yazanq. Har iki tarafini r7i, -a
la,
t
lyi.Q
wrub, inteqrallasaq
ry dv =
aZor lvi.,r rav
t
(21.j9)
Z(Q,*-s6,,)o* =o
tenliyini alanq. Buradan
det(Q*r-q5,*)=o
Q7.20)
vo ya
Qtr-q
n:
Q,r"'
Qn-..4"'
Q,o"'
n,:..
=0
Qyr-T "'
Qrt
tanlik kimi yazlar. (27.20) tenliyina bezen esri tanlik da deyilir. Fiziki kemiyyetin orta qiymoti diskret mexsusi funksiyalanna uylun
olanda
<
r
>=
!v;
Fvav =
=lla',a oFoo
fi+,viFZ+vrdv
k.
k
tf k
(Z7.Zl)
Fr, =
[,y'rFWrdY
gaklinda yazrlar. Oger kasilrnez spektrin maxsusi funksiyalan
sa, orta qiymat
138
var-
:
. F,= Ill,' @'fu(t')r"(r,\y(rprar*'
=
=
fftVhQ,Y**4,
bele yaalar. Burada
r*=
grridinger tanliyinin da
lv'&'YvQ'Yv
^ /-
.\
inov\rJ)
At
=
el.n)
it,y(;,)
matris qaklinda ya.anaq olar. Bunun iig[n tanlikda olan
yanr maxsusi funksiyalarrn cami kimi yazaraq,
14
-funksi-
y(r,t)=lo,,yr
I
*z(*rr*'-ff)=A2o,r,
alarrq. Burada or = fQ) zamamn funksiyasrdr. tyr -lar isa
zamandan asrh olmaz. Onda
fA,,n!!r-,
dt' =Zorrtv,
r
alda edarik. Bu ifadanin har iki tarefini yrj.-a vurub, inteqrallasaq
.
inlff
-in
r [vi. fr w, av
-l dt'[vi.v ra r = Za
r
ahnar. Buradan
ihz!:?r,,=zorHr*
Tdt
r
yazanq. (26.23)-dan da
dlt =l
in$.
alnar. (26.24)da H r*
H,,
--
ttrra,
Q7.23)
(27.24)
lyi.rty,dv =(1y,..nv,)-V, / HV, > e7.zs)
139
Hamilton opratorunun matris elementidir. (27.24) tanliyi da $rG
dinger tanliyidir, lakin bu tanlik yeni tamsilda yaalmrgdu. Hamilton operatoru ermit operatoru, olduEu iig[n
(27.26)
H*=HL'
yaziar. Ogar (27,25) marris
elementinda
y, -lar
enerji
operatorunun maxsusi funksiyasrdrrsa, onda
Hvo=Evr
tenliyindan istifada etsek, (27.25){an
H r* =
ly|Ery rdY = E tv rv *d/
yaza bilerik. Buradan
(27.2'.1)
Hr' = Ed *'*
olur. Yani enerji tamsilinda tramilton operatorunun matris elementi
dioqonal matris elementidir. IJmumiyyatla, har bir operator 62
tamailinda dioqonal matrisla xarakeriza blunur. Ogar
0V, = qW, - drsava y,Q operatorunun maxsusi funksiyasrdusa
fui.Av,av = t !vi't{
dY = q6,'o
(27.28)
Qaq =Q$a'
olar. Yeni
Q,
dioqanal matris olub
Qrr00
Q*=
.: n:
.
er*
...
gekilindadir.
$2E.
Unitar gevirmaler
Xatti vo ermit operatoru ixtiyari bir tamsilden diger tamsile
gevirmak igiin unitar gevirmalerden istifade olunur. p operatoru
her hansr bir F tamsilinda Q- va har hansr bir baqqa temsilda
140
olsun. Yani F tasvirinde maxsusi funksiyalar
VpV2,...,V.,...V,,...dk. (Fy" = F,v), G tasvirinda mexsusi
Q,,
funksuyalar gvgu...,V
p,...y,.,.. dir. Baqka sdzle
F-tamsili
A-, = [d)v,all
a"p =
yazrlar.
Iei1e"aY
indi g^Tg*Xqiaiti
(28.1)
G-tamsili
aparmaq figiin laam olan gevirmani
tapaq. Bunun figrin maxsrsi funksiyalan, digar maxsusi funksiyalann superpozisiyasr kimi yaza bilarik:
,"=Iu""o",
ei=Zuipvi,
Q8.2)
(28.1lin ikisinden
aq = Ie'p1q"ar =
=
LZU :ru." ldl
llu'.rv'.|lu,,y,ar
v.av
=
--
ZZU :,u ."0 *
alanq. Ya'ni
O*
=Z>u *u ,"O^ =ZZu,"u;O*,
(2E.3)
% = ZZU ^"0 ^u h = ZZU ba^u."
0'=u.Ou
(28.4)
olur. (28.2)-ni bir-birina wrub, inteqrallasaq
=l Zu,"u'^ !fiv,arr =
=llu."u;o -, =l u."u = d *
[o'ro
"ar
tapanq.a=polanda
ULU""=U-U
^
=l=W';
U.
=U''
(28.5)
(28.5) gartini ddeyen gevirmeya unitar gevirma deyilir. Demali, uni-
= l va ya (/U* = 1 ile operatoru istanilan bir
tamsildan, baqqa bir tamsila gevirmek olur.
tar gevirma U'U
l4l
Sonsuz kigik faza gevirmesine unitar gevirme kimi baxsaq
d << I olanda
U=
e^ = e'
(2E.6)
<iz-6ziina qogma (errnitlik) faza alanq. UnitarLEa gdra
(,-;*- X,.ir.. )=,.r(o-F.)+o(r,)=r
:F
ya.alar. Ogar
Buradan
U=ei'olursa, F =F- - dvto,onda U.U
F=
F-
= l olar.
e8.7)
alda edarik. Unitar gevirmade dalia funksiyasr a;alrdakr kimi yaz-
lar:
/
.^
\
v' =Uv =lr+ f F +... l=
[ft
y,
)
*
;^
ih Fv
Operator isa
I
; ^ \^/
i ^ \ ^ i ^^
l. F+... lfl t+- F +... l= Q +-eF l.h/-\h)-h-
0, =U.OU =l
-
;
FO +
i FOi ....
=O
*
i@r -
nQ)*... = Q *
;104.
.#[o'1'1.'
olar. Belelikla, unitar gevirmada faza dayigmasi olaraq ( F -faza)
v'=w+!pw
o,=o.;lol)
gdstarmek garakdir.
A. B = C,A+ B = C,lA,Bl= A. B -8',{miinasibatleri unitar
gevirme zamam gaklini deyiqmader, yani invariant qahrlar.
t42
$29. Zamam deyigdiron
unitar gevirma
- Sistemin haLmn zamana g6ra deyigmesini uuitar gevirme vasi_
tosila tayin etmak olur. Bu halda iig mrlxtalif duruma iesadfif edan
hallan-nezera_ almaq lazrmdlu'. Birinci dal[a funksiyasrn:n zamana1fa1 a_s']1 oknaqla,._operatorlar zaminm funkiiyasr olmasrn.
{a1
Bu halda $rMinger tamsili deyilrr.
lkincisi. dal[a funksiyaslnrn zamandan asrh olmayrb. ooeratorun zamanrn funksiyasr olmasrdrr. Bele hala Heyzenberq ta'msili
deyiiir.
Ugiincfl halda ise, ham dalfa funksiyasr ve ham da oDerator
zamand,an asrhdr ki, bu hal da qargrhqh tasir tamsili adlroo. Si.t"_
mrn halmrn zamana g6ra dayigmesi butamsillerda ferqli ciire iiada
olunur.
A) grodinger tamsil! . Maxsusi qiymatlar spektri zaman deyigdikca,
eynr qalirsa, zamandan as r olmayan operatorlardan istifade olu_
nrrr. va zmana g6re hahn deyiqimi, dalf,a funksiyasrnfit zamana
Daglltlg rla tayln otunur. Onda hal vektorunun zamandan as lhlrnr
unitar gevirme vasitasi ila
y(;,t)=uQ\yQ)
kimi yazaraq t=0 anrnda U(0)=1 o1,r. va tral y(i)ita
(2e.1)
ifade olunur.
Unitarhq qartina gdra.
olmahdr.
y(;,r) t rot.iy".t
U. (t)u(t) = |
iheyP=fry1,i
(2e.2)
(2e.3)
tenliloi tideyen funlsiyadu. Burada .& operatoru zamandan asrL
deyildir. (29.1)-i yerine yazsaq
.- au(t\ ,_
tnffwG)=nuQlvt)
olur.Buradan
dU
d,
=-iHU
olda edarik. Onda
t43
.
i.
auT\=-!nukVt,u1t7="-t*
n
es.4)
alnar. (29.Q-n (29.llda yerine qoysaq
yQ,t)=
"-in',y1t)
alanq. Belelikle, $rddinger tamsiliuda.
rzo.sy
,y(;)
,y,(t ,) = iih
tzs.a)
alda ederik. Bu $r6dinger temsilindeki funksiyadu.
B) Hcsenbero tamsili. Hal vektoru zamana !{[ leyilry, operator
unitar gevirma vasitasi ila Hesenberqin hal
*oanau"
"uha"s.,
vektoru
'Y,(')=
u'Q\'Y,(;'t)
yazla bilar. Herrmginin Helsenberq tamsiliude operator
Q,
olur. Unitar
gevirm"
=u'(tPuQ)
_ru,
U =e r
oldufu [giin (2E.6)-Ya gdra
.
'it, .t-it, ,.
Vn(i)=e^
O,
=
,
-
e''Y\i)=Vli)
"**
e"-i*
(2s.7)
olar. Op€ratorun zamana g6re dayigmasi
QQ +
u)=u'(uD,QV@)
oldufundan
QQ+u)=QQ)+;la,oh,yaalar ve Hesenberq tamsilinda harakat tanliyi
dQ
^
d,
olur.
c) Oarsrhqh tssir
;r^
'=iP,H
(2e'8)
tamsili. Bir-birlari ila qargrltqh tesirda olan
sis-
terrlarde sisttmin habnr 6yranmek iigiin sistemin Hamilton operatorunu
144
fr=fro*rt'
ya.znaq alveriqlidir. Burada
Ii,
-qargrhqh
(2e.e)
ttrir
olmayanda Hamil-
ton operatorudur. n' -A qarg rqh t€6ir Hamiltonudur. Bu halda
ham dalia funksiyasr ve hamde operatorlar zamandan asrh ola bi_
lir. Unitar gevirmani
uQ)=
(2e.10)
";i'
kimi g6starsak, qarqrJrqh tasir tamsilinde hal vekoru
Y"(t't)=uQ\Y'(;'t)
(2e.11)
olur. SrMinger tanliyinden
v
,oa
yaza bilerik. (28.1
t)
rG, =
&
lli
6 " * fr,\y,6, 4
(2e.12)
U.-ya wrsaq
u. 1t1,y,(;, t) = u u -,y,(r, t)
alanq. U+U=l unitar oldufuna g6ra
v"Q 't)=
"-fr., ''17''7
yazanq. Bu ifadani (2E.12)rda yerina
ya.ab
in
9
"in,
;*0 ",o(=
fr
""iu'
w,(t,
t1
=
(* * fi ,l-
*n
"
i,Y "r,(r,,)
*
in"-in'
",
a
"6,ty
w r?'t)
-
yr,(;,,'y + it'"
^i'',y,(;, r)
Ahnan ifadani
,-i"
-r.
",rr*q
inff="in,
p1,"-in,,,
(2e.r3)
**=u,,,
alanq. Demeli, qargilrqh tasir tamsilindo Hrmilton op,€ratoru
145
fio =
"*o'
P'"-*o'
(2e.14)
olur. Bu tamsilda harakat tanliYi
*=lll,,t.l
dt ih'
(29.1s)
qaklinda olur.
$30. Osilyatorun enerji
tesvirinda yazrhgr
Oqilyatorun dafa funksiyalarr Ermit polinornlarr ila ifada olunur ve onun enerjisi diskret qiymatlar altr.
V,
r,([Tr)
=""r"'*"
(30.1)
I
c.
n,y.=n.(".1)v.
Bu tamsilde koordinatrn matris elernenti
x.,.=fic..c.!wi*v.a,
gaklindadir. e =
ff,
x...
=
a**ni
fic,c.
qebul olduqda, matris elementlari
!"*' EIr,,(1W,GV
I
(30.2)
olur. Ermit polinomunun xassasina asasan
tt,($=zntt,-,(x)
ry,(€) =,n,-,(q) *
olar va (30.2) ifadesinda (30.3)
iiC[n
-ii
(30.3)
ir,.,G)
nazara alsaq, matris elementlari
146
x..
=
=
fic.
c.
!""'1"ru"-,{t7 * )[email protected] Y t
r.t, k
*r.
edarik. Nezara
elda
e'
H.H.-dq
+
;
!e+'
=
(30.4)
n,a,^a q \
alsaq ki,
d"y:(€)
=2^,r, !ee,a6
d0t
=
G
(30.5)
drlsturlarr movcuddur, (30.4)deki inteqrallar
["u' n,u,-,a I
e'
[" tt,u,-,ag
- t't G d,.., -,
=
z*'
(n
=
z'.'
(n +
t\G 6,..,-,
notic€ni verar, Bunlan istifade etsak
**
=
ff
",r.{,2*'
G
- t)6..,-,
+
:2*'(,
* r)4
-, } =
=*{*-r-,t##(T)'.
(30.o
.),*,a.,t(T)1ffi#-l
|tz"'l'r(,*r)f ^
--T;Q;ry-or,--l=
1
alanq. Ya'ni koordinatrn matris elementleri
*.
"=
ffi|f"t..,.
-, +
.[-* 15.,,,,
(30.7)
olub, enerji tamsilinda osilyatorun yazrhsrdr. (30.7) ifadasinda
6 sinvoluna g6ra kvant adadinin deyipilnasi + I -dir. Ye'ni
(30.8)
Nr -- n' - n = +l
olur. (30.E) ifadasi osilyator figiin segme qaydasrdr.
t47
931. Sistemin hahmn srxhq
matrisi
(statistik operator) ila veritnasi
Yerilnig halm dalia funksiyasrnl misyyon ehak [gin dinamik dayigenlerin (fziki kamiyfotin) tam goxlulunun tayin olunmasr laamdu. Bu goxlu!'un operatorlannu mexsusi funksiyalan verilmit hahn dalfa funksiyasrdu. Dalla funksiyalarla teyin olunan hallara tamiz hallar deyilir.
Lakin ele hallarda olur ki, onlan he9 bh da[a funksiyasr ile
xarakteriza eErak mfimkfin olmur. Masalan, polyarizalanmemig foton dastasina qarpr heg bir dalla funksiyasr qoymaq miirnkfln deyilse, bela hala qangrq hal deyilir. $ekil 1.13-da g6starilan kimi
$akil 1.13. Qan;rq hal.
sistemi tassawlr edak. S boyuk sistemin hah tamiz haldu. Qapat S sistemin hah tamiz hal olduf,u [gun, yr(q,r) autg" frrnt.iy"r,
ila xarakteriza olunur. Burada q- sisteminin dalta funksiyasr yoxdur, faqat x- altsisteminin isa dalf,a funksiyasr var. Yani, x alt sisteminin hah tamiz haldr. Qapah S sisteminda orta qiymat:
F=
[v'G,,VvQ,,Wa,
(31.
l)
tayin olunur. Fiziki kemiyyatin orta qiymatinin tayin olunmasrnda
temiz hallann ,Il ,rlzl ...r(tl7^
igtirakr va bu tamiz hallarrn
"rn:n
hansr ehtimalla llt), f2),... ot-rsr vacib saylrr. Yeni, omiz hallann hansl ehtimalla i$trakrnr tapmaq liizumu ortaya gxu.
.
ptl >
ly$rw@*Ql4y =
p0l,,(r)
1rr.z;
Buradakr y(') -lari superpozisiya prinsipina g6re her hansr bir operatoruo moxsusi funksiyalann cemi qaklinda gthterila bilar:
148
vo =Z"!tv,
(31.3)
on'= .l.o!tr,
.
p(i) ;'=
(31 . I )-da
fi a!t,yiil"!t,y,av = ll,1at r^
oP
bunu nizer. ulsaq,itatistik
(3
r.4)
o.taJ-*,
.Fr=I llufttaft'ftr*
(31.5)
i.t
yaza bilorik. Buradan
p*=Zul,)ayta{u)
(3t.o
<F>=IIr_4."
(31.7)
ifadasini qabul etsak
alda edarik. Yani
.Fr=Zbr)"
(3r.8)
alanq. Buradanda
.<F >=TrpF =Tr(Fp)=SppF
=hpF
(31.9)
olur. (31 .9)ifadainda (race)) vs (spun> matrisin dioqonal element_
larinin camidir ki, bunada Iz deyilir-.
p -matrisina suhq matisi \ra ya statistik olrcrator deyilir. Sxhq matrisinio vasitaila istanilen fziki kemiyyatin orta qiym.atini
hesablamaq miimk[ndfir. Masalan, polyarizasiya (qttfiblas;J hallanm hesablaya bilarik. Sistcm qaryrq halda olanda sulrc iotiiiirtttifaq-a ehak olur. (31.9) iladsinden sxhq matriiin;,, 6a16
99n.
kimida istifada oluna bilar. Har hansr fz.iki kamiyyatin orta oivmatini qanyq_halda 6l9mokla, veritmig halda srxftq matrisini dimuq
mfimkr]n olur. Ye'ni bu matrisin b[tiin elemanlanu alde edarik.
Onun siituD vo setir elemanlarun sayr asrh olmayan haltan gOst+
rir. Mesalan, protonutr, neytonun polyazalanmrg hah iU nrffiiya
ila xarakteriza olunar. Bu zaman qUtflblagme olmayanda suhq
matrisi dioqonallagr rrc
149
P=
1/l
o\
zlo t)
olur. Orta qiymet haqiqi olduluna g6re
p*= p;
(3l.lo)
qiyrreti
I oldufu lgiin
olmahdu, Yahid operatorun orta
(31'l l)
TrP = lzP =1
vahid
oldu[u
matris
F*
matrisini
olar. Qfinki (3l.9}da F=l olursa,
aqkar olur.
F^=5*
(31 .5)pa g6ra
<
F >=< F(;) >=llF*o!,\o!\
#trisi
6^ = t'(r\a(t'l
oldu[u figiin temiz namraa suUq
geklinde olar.
(31' 12)
= t no.rrrulama gertina gdre
Ilr"l'
(p,)^=
p-
olacaq.
(31.13)
Bu qart tamiz hallar [9[n kafi va zaruri $artdir. Agor sistem dal[a
funksiyasrna malikdirsa
'
p(',r',t)=,y(r,t\y'(t,t)
qabul oluna bilar. Onda $chrddinger tanliyinden
in?=rtp
dt
inff = in y' (x',4%p + in w1,4a v'lt't) = y' (x',tfi y(x,t\ -,y(r, t)fr ",y' (t, t)
yaza bilarik.
eair,
If
!s6d2 ll flamilton
op€ratoru x koordinatlna tasir
isa x'koordinatrna tasir edir. Belalikla
,nap(+:,,,)
At
tenliyini alanq. Ogar
sa, sulrq matrisi
1r
=tt
_n")p1*,t,4
(3r.14)
Jar stasionar hallann dalia funksiyasrdr150
p(x, r, t) =
=
yazslat va
a^
ZZ
a *yr)(x',
tly,(x, t) =
>z' ^rri'v "(,Pi' "
-'"'
emsallarr
a* = ai^
ermitlik gartini ddayan emsallardr. Temiz hal.lar iigiin
a =a'a
Belalikla temiz halda
a,.
=
a'^a,
(31 ' 15)
olar. F kamiyyatinin orta qiymeti
u
=
t)i
tY,
11 " * lw i(*. vG, =
l
=I,I,a^F*ei@-u')
kimi yaalar. Burada
'
F^
.F operatorunun matris elementidir va
r*= lv'.G)rv^G\t,
geklindedir. Ogor x ila q bir-birlari ila elaqadar deyilse,
yaalar va
vi,d=tQ\vG)
y(x,q)=lc,{,la;y,)cp.(,(q\y.(x)
(31.16)
ttrJ
elda ediler. al, = c,a, qabul edilarsa
P* =la!'a:,
"io,Zq,l'
olur. Bu zaman suhq matrisi sadalagir va onun gakili
Eb,l'=r,p,.,=\a)a,
matrisioin
=
(31.17)
(3l.rE)
olar. Suhq
bu xassalarindan spin effektlarinin ara$drrlmasrnda, statistik fizikanrn bir gox mesalalarde istifada olunur.
151
Fesil III-o aid gahgmalar
Qahgma III-1. F operatoru ermitdirsa,
ma oldulunu g66tarin
U = e# cevirmasinin unitar
qevir-
Hall:
Oldulu
[ctn
-
rtu'
W*
alanq.
Qahgma
Hall:
Il =ei =l+iF +-..
(J+ _ e-ii. =t_iF _...
F=F-
* ii' *.. [r - ;r =U*U =l
=$
..)
=r*
r)* o(r' ) = r
III.2. Yakobi eyniliyinin dolrulugunu g6storin.
r^r^
^n ALBCI-lBcy=
^r^^t r^^t^ A13s
-93)-(BC
LALBCII=
=
i(r' -
-cB)A=
)fre - \eB - BeA+ eEA
r^t^^It
^t" ^l r^^t^
lBlcAll= BpAl-LcAlB = B(cA-
Aq-(cA- AqB =
heT- Bie -ilik + \eE
t.t^ ^Il ^r"^t r" ^l^
=
plAull=clAul-tLABp =c(AB - BA)-(AB - BA)c =
= elir - ekL - )ne + biC
Bu iic m6tarizEni toDlasao
t^t^'^I r^i^^n'r^r:
^n
plAu)l=
Auc - AcB - BcA+ cBA+
+ Bd - ile - AB + )eh + e26 - ehi - )ie + hie = o
f^r- ^It r^I^ ^I f^r^ ^I
fpc.ff
+ [r[c,elf +
lepc!+lDpe!+lcplll=0
Buna Yakobi eyniliyi deyilir.
152
Qahgma lII.3. L, operatoruna
i*,i_
va L, ifua"
"aio.
Hall:
L. = i,+ii,,L
--
i,-i,
Lj_ = 1i, + ii,yi, - ii,)
= ii, *
i
+ ili,L,l= D, *
i1*i',=i-i--hi,
L, =
- ii,i, + ii,f; + =
* i(- nt,)= 4 + + ni.
= i?,
I
\
\
l+\+l
otduluiieiin
Qahima III.4.
i' =L,i_-hL,+il
(o
Jl o)
yuonq.
(o o
o\
L.=nlooAl,t_=nlAool
lo o o)
matrislarindan istifad,
t,,t
"d.-k,
;hi-l= 2i, m[nasibatini g6starin.
ii,. f +tr+ ;
,1[l
t+;:trl f+ll
'lt,
(t o o)
o o o l=znL,
[o o -rJ
= za'l
onaa
[o,lro)
I t^ ^ I
7LL-L-l=2L,otat
153
;]
:ll [;::]l
Qahtma III.5. Sonsuz kigik unitar gevirme ila dal[a funksiyasrna va operarora tasir edin.
!n
Hell: U = e^
I
;^
\
+f F +... 1=v, + lFw +...
w'=u,y =lrl.fr)h
=uOu.=(,.;,. )r( v ;F.
. jl,Vol,
o'
o
)=
o. ;lno).
=0.;liol.'jlrbo\
Qahgma
III.6. Unitar g€virmani
sinus va kosinus vasitasila ifada edin.
Hall: Unitar gevirman
u =4*iB'
A_iB
ya.anaq olar. Bela'ki
ii
",;
=",1;l
yazrnaqla
e
'F
="-+=+=""';i.,','?I
"-'1 "-'1
cosi -;sin
F
,?="o"1. i=sinl
2'2
alanq.
Cahsma
IIt.7. Ixtiyari 7 vaE vettorlan [giin
(az\as)=
ia * iafirl
oldu{unu gtistarin.
154
=#
Hall:
)
= 1,1,,,1,,,1,1,8
=@,,a,,a,)
d) = o,A, + o rA, + o,A,,dE = o,B, + o rB, + o,B,
(a;\at)= o ,2 A,B, + o ,o,A,B, + o,o,A,B, + o,o ,tt,B,
+o
A
"'
rB
^
iJgar
"
+ o ro,
A rB,
+
+
o,o, A,B, + o d, A,B, + o,' A,B,
o',=62 =62 =1
o,o, = io,,oro, =io,,o,o,
=
io,
oldufunu rnzara
alsaq
(a;\ae)= A,B, + A,B" + A,B, + io,A,B, - io,A,B, - io,A,B, +
+ io rA,B, + io,ArB, - io,A,8, = f,E + io"(A,B, - ArB,) +
+ io,(A,8, - A,B,)+ io,(A"B, - A,B) = iE +;1orl,ltl + o,f{nl
+
o,[anl1= ;e . r(a[Zil
yaza bilarik. Demali,
(az\a)=m*r(a[n\
Qahgma
III.t.
Ogar S, =
.l'
spinia
f
i
koordinatr istiqamatinda pro€ksi-
yasrdrsa
tsit= -t
s.1=,tlis]
ormasrnr g6s6rin.
Hall:
,.,'.
f
l'.,
il
|].
=
o,
olduEu iiqiin
[+, ",
i].
h, +l=
[o,
"s,,
o
i]
tr.,s,
I=
=
r+,s.ti * [s.,s. tl..
-,iE
h,cl=,,(,, ; - s,1)= n(1 s, -,r s,)
olar. Eyni ila
155
ts.,s.1z
+
t+,+
J
=,,(;,. _ ;,,),b.,el=,(;o
yazanq. Onda
+r)
ahnar
[S'3']=fr[is]
+,[ q,:)= -. i,le,i]= -. ;
v.,s,l= 6e- a)(i ;. i :. :)=l,r.s. :].
q
.
s.
[,u i].[,i ?)-14,s. i]- t4is, i
[e,}l
=
oldulu asanhqla alda edildiyina g6ra
u
"
-l+s.il=*[is,
r )
L r ) \r -is.]
alanq. Eyni ila
lr,,el=,r(;i _;s.)
h,il=,{;i-;i)
yaza bilarik. Ona giira
ir,;.]= -,,[;,3]
ifadaini tapmrt olanq.
earrema
!ILe. vk) =
i "7' (- i=, = i)o"ua
funksiyasrnr irn-
puls tamsilind yazm.
Hall:
"
"
=
rl* !o{,v;*
=
fi
!ra;
:"
*
=
#
1
"t'o-'\
d, =
, "i"'-n' lt
=wfi41:;=
I
_
2h
.1zflfta
(n-p) "|{r"-,v 2i"i1,"-,,
(@ -p\.'):
t
2h -.,.'
@'"(@*)
=@tr:fi'\
2n J=',1;--6:4-
-r),)
\ 2h )
-.,,[(P.
-_lzh
"'-\i-7-4-
Bu dalla funksiyasrmn impuh tamsilinda ifadasi olar.
III.I0. ,1r)=
Qarrema
< p <Zo) funksiyasrnr imfisA' O @
puls momenti tamsilinda yazur va
I,,Zr
qiymatini taprn.
Hall:
v-@=fi"-'
Y@): !,/@t:{oYe
sin' o =
L-9
29-,cos
=
fi'1"^'
29 =
lG'.
oldufundan
)
^,
=
#'!$
-
cos?4|-n' ds =
*
w-n'de
"'")
#
k
* - *"*--'be
=#'!{"* -iQ*"-, *"-*"-n 1po=
.
=
hr
i6l["*o
.2,
o, -
.2,
] !"t''v -' ["""''
ae
157
l
orl
=
--
=*{*'""-!d^,-T'^-}
,o,t= E{0,,- }(,,,
.,,,;}
olar-
Buradan
r,@
=
i. l! t, (^ = -z) =
)!an'
a
L?
, " = r,lr(, "l' = t,<* = oll.
l!
1
2r,-!?2h=s
=s?*!2
3 43 43
L, =O
E =14v1t,1'
= L'
(^ = ol!.
a1' =
!v,'
4-,
;i
J
Cahsma III.Il. Matrislarin toplamrfl, hasilini, komutatorunu va izinin
unitar gevirmaya giira invariant olmasrru g6starin.
Hall:
A=B+C,A=BC,UU' =UtU =l
A'=UAU. =U(B+C)U- =UBU' +UCU, =B'+C'
.4 = B'+C'
A'=UAU- =UBU-UCU-
Cahlma IIL
12.
B,C
A' = B'C'
=
Cntl[k operatorunun pro€ksiya operatoru olduEunu gtista-
rin.
Hall: Citl[k operatoru o, -matrisi ila
e.
=)0*.,\F- =f,{t-",)
yazlat
158
Buradan
o),fr o)) fr
6_rffr
-r(.(o
'-
o)
rJ-lo -rJ.J=[o
'
;[(;
?)
(; :,;;
alanq. Eyni qayda ila
oJ
1; i;
e,, =(; ;x;)=(;)=,
u,,=(l ?xl=(:)=,,
\v,
=o,P-v, =o
i'-(,y, + ryrl = i'-V,
.
r/r,f'-(Vr +ry) = F1y, =ry,
taprlar.
Cahtma
Hall:
-
=
III.l3.
OrtonormaLq tartini vahid matris ila ifada edin.
Diskret spektrin maxsusi funksiyalan ortonormaldr:
yoya
yazanq.
matris
[vi'vrdv
=
a*
(v,,',vr)= 6,,
k'=kolanda6*, =1,k'+ k olandaise dr* =0
(t o o
ro
olur. yani
...\
" lo o 1 ...1
"'r-lo
r.
I
l
olar vo bfltiin tamsillarda bu vahid olaraq qalu. Dioqonal matrisi har
man
Q" = Ftdr*
r59
za_
yaza bilarik. Onda operatoru dioqonal matrislo
o 0... o.'.
lO,,
I
eu o... 0..
u=1...
^_lo
0,"..1
lr
1""""'l
I
gakilda g6sterita bilar.
Calsma IILI4. Iki matrisin hasilini taprn.
Hall:
c n = !w| AB v *du = I,/i
2(frj
y,,b"
Ev,=1r.,yb.= [wiitv,ttv= Bn
c n = [vi.e v dv = !w|
lln *v ^au = LB n [vi) v,au =
=1n-:u*
Crr=l.,ln,Bn
Cal$ma UI.l5. $Sdinger tanliyini enerji tamsilinda yazul.
Hall: $6dinger tanliyi koordinat tamsilinda
,oa,r!r.t) =;1*17,,1
At
olur. Dalta funksiyasmr
wf1)=Zo4,
enerjinin nrarsusi funksiyasrmn
$6dinger tenliyini
12.
-nm superpozisiyasr olaraq g66tarsak,
160
ih*}aln = fiZo,,t,,ihZffv,
yazanq. Bu
tanlil
yrj, -e vunaq va
b[t[o
,o1*
lvi.v, drt =
n\ff
a
= uZo,v,
faza [zra int€qrallasaq
| a, lwl frv,dY
* =larz,,;ih!
=
Eoru,*
burada Hamilton operatoru
ttn=[vi.Hw,dV=E,6,*
enerji tarnsilinda olur. Onda enerji tamsilinda g6ding€r tanliyi
i1!.=
r,o,
dt
olar va buradan
o,'Q)= o,'1s)Pi""
alanq.
t6l
IV
fasil
Kvant mexanikasnda istifada olunan taqribi metod-
lar
Bir sra fziki hadisalarin anlag masrnda va tacr0ba ila uzlagan neticalari garh etmek iigiin $chrtidinger tanliyini deqiq hallini
tapmaq m[mkiin olmadr$ndan taqribi iisullara miraciat etmoyin
Ilzumu meydana gurr. Ornak olaraq, xarici elektrik ve maqnit sahesinda olan atomlann enerji saviyyelarinin deyiEilmasi relyativistik effektlarin nazara ahnmast, goxlu sayda elektron sisteminin
spektrlari ve s. ara;dn masr iigfln $chrodinger tenliyini hall etmak
macburiyyatinda qahnq. Bu ciira hadisalarin fziki qanunauyiunluEun miiayyan olunmasrnda taqribi metodlardan istifada etrnek lazm qalir. Taqribi metodlan-n sayr goxdur. Lakin bizim bu kitabda
istifada edacayimiz taqribi metodlardan klassikabanzar (kvaziklassik) yaxrnlagma, Ritsin variyasiya tsulu, heyacanlagma (tadirgama,
pertubasyon) nazeriyyasi olacaqdr. Ona g6re taqribi metodlarla
tan$ olaq.
$32. Ritsin variyasiya iisulu
Bu iisulun asas x[susiyyati ondan ibaratdir ki, ixtiyari hal funksiyasrmn miieyyan parametrlardan asrll[r belli olub, normalama
prtini odayt.
Parametrlor
a,p,...vas. olursa normalama
lv'@,P,.0\r@,P,...qEq=r
(32.r)
Sadini yaza bilerik. Sistemin Hamilton operatoru bellidirsa, onda
t(",p,...)= !v'@,0,[email protected],...q)dq e22)
inteqrahudau enerjinin orta qiymetini tapa bilerik. Bu inteqrahn
minimum qiym.atinden dalla funksiyasr"'.' va enerji saviyyesinin
taqribi ifadasini tapnaq mflmkundtu.
r4k) H operatorunun maxsusi funksiyalardrrsa, t{,r (q)}-a"sa) ixtiyari v@,f ,...,q) funksiyasmr r7, (4)funksiyalarrn supcrpozi+iyasr kimi yaza bilarik.
162
V@,8,...q\=ZC.V"G)
,!o
(32.3)
Ilc,l'=r
,=0
(32.2)-dan stasionar hallar tgfin
lw'
=
@,
o,
tV,y@, F,... qVq = !v'
F, .. dfrt
,=0
" "r.(nyo
=
tc. lv' @, 0.... qEtv "(q)aq = ic.r. !v' @. n,... q\y. bW =
i=0
=
@.
r-O
i""" [i.;
! v.@)v.{M =i1c.1,, p,
alarq. Osas haln enerjisi B olursa, butfin E"-lor [gun
.q1'
Eo
r.
>E" (n>0)
olduf,una gdra
eza2
Zlc,lr,>t">lc,l
nn
:'
=8,
',.
(32'5)
ZF.lr.>n.
,-o
ahnar. Ye'ni
Ei > E,
Q2.6)
olar. Enerjiye olan birinci tartibdan alaveni tapmaq [9[n isa
Wr@, P,...q) funksiyasrndan istifada etuek la.zmdu.
Birinci tartibdan alava
c',(",P,. .)=
!vi@,f,...t$v,@,f,...qW
e2.7)
olur.
Misal iigiin harmonik osilyatorun enerjisi va dalla funksiyasrm hesablamaqdan iitari smaq funksiyasrm a- parametrindan asrh funksiya olaraq
Y(''o)= '4":i'
kimi seqarikse, normala gartina g6re
163
fr' Q, drG,,Y, =1,elf"-^' a* let' E
=
t
n=(g\"
ln)
olur. Onda (32.7)-ya g6re
t(')= ! lQ.")n,y(x,a)*
(32.8)
olar. Osilyatorun Hamilton operatoru
.-
h' d' +-mo)'x'
dx' 2
H = --2n
va srnaq funksiyast
,y1,,oP(t)u'
\")
"-'zr
olduqda (32.8!dan
'
@
=f(:),
g\u'i
"r'
(-
*#. +\;)"
ts.( v4- 44I,]*
\")1-.--,1l-2^ \2
=(
=G)"1*
z^))
r'
*-
=
E.(+ *)*,)=*.(+ #)*=
h2a ma'
4m
"
4a
aLnq. Bura& belli inteqral olan
f-3
dx =
I xze-".
cavabrndan istifad.
ot*-*.
\l rt -;,
_\1
Belelikla,
;(a)-o-
r(.)=+.4
4m
4a
dayerini aLnq. Minimumluq Sa(io g6ro
164
{G)=o
Aa
oldugu figiin
h2
ma'
o^- oS =u
olur. Buradan
.
m2a'
ma
,""=i
";= h,
(32.10)
ahnar. Onda
-. ma
h'_
lb^\=" T + mal -ha
4m,m@442
-h
elda edarik. Demeli
E*=4
*hot -hat
=ry
(32'rr)
tapmrg oluruq.Bu zaman bu hahn hal funksiyasr
t
'.U. -o ,
,/"=[!+l
\rfr)
"-n''
(3z.tz)
elda edilir. Yeni (32.11) va (32.12)-ya giire variyasiya fisulu ila osilyatorun sfiflncl enerjisi ve dalta funksiyast deqiq ma'lum qiym.etlari alr. Birinci hayacanlagmrg hahn srnaq funksiyasrn:
,,G,p)=rn-?"
kimi 5ggdikdq y. -ya ortoqonal olar va normalama qartine g6re
lv,G,n\v.(,)*=o
.
ir; G, plo,G. p\tu = lnl'l-*'
"- ^'
alda ediler. Ona g6ra
B=
J' ptt'
;F
165
*
=B'
#
=,
4mh 4ma-!0,
2
J.(B\= d'') -3hmo: *3ma2h
"
.,a=#(T)''' r*"
(32.13)
birinci seviyyenin enerjisi va dalf,a funksiyasrm ifadesini almrq oluruq.
$33. Klassikebeozar ftvaziklassik) yaxrnlaqma
Ma'lumdur ki, kvaziklassik dalla funksiyasr (2.O diisturu ila
ifada
olunur:
,,
V ru- = ae'
i.,1
(2'6)
burada a -dalf,a funksiyasrnrn amplitudur vo onu a=l qabul edek,
1(;,r) isa t€6ir inteqrahdr:
r(;,)='!r8,i,tfu
vi, otru
.
kirni yaza
I(i,t)=a-n
bilarik. Ha'nilton-Yakovi tenliyi
_(irl
A2m +u
_ar
gaklinde olduf,u [giin, klassikabenzar tenlik (Hamilton-Yakovi tan-
liyi)
(v"l *,
-r-Lv,o=o
2m
(33.
r
)
qaklinda yaalr. (33.1) tanliyini klassikabenzar ve ya buna VKB
(Ventsel-Kramer-Burulyen metoduda deyilir) flsulu ila hall edak.
(2.6) ifadesindaki d-zi fr - in deracasine gdre
(33.2)
sua gaklinde axtaraq. Bu sram (33.1) tanliyinde yerine yazsaq
166
,,*...}' *u
*{r("..1,,*(!)'
_
*,,("".+,,.(+),
-u-
.,. ) =,
*1r".*tv,, *(l)'v ,,*...)+uQ)-e -*(u""*1v,, *(t)'v,, *. .)=o
alanq. Buradan
i
fiF o,t, * fi{tr o,), i!v, o, o
- 1u... v o, + u (t) - e - !r, o. - !v, o, =
m'2m"2m'2m
)tn
.
o"t, *
lo
"".
o, -
yazrb, t-ineyni daracaina
g610
uylun haddlarin srfira barabor
olmasr qertini taparrq:
(n".1 +z^(u - e)=o
ioo.io,-)v'oo=o
t-
(33.4)
\,
\Yorl -zYoo.Yo, +Yzo, =g
(33.4!Un bfitiin tonliklerini bir 6l9filii yazanqsa
@il +z^(u -n)=o
l,
o,"oi_)oi=o
(oif -2o'"o|+oi=o
t67
(33.5)
alanq. Burada gtrik birinci tartib torama demakdir. Ye'ni
, do^ , do, ., _ do, -. _doi
o;=;-,o;=i,o;=;t;=d
(33.6)
qabul oluomugdur. (33.5)-in birincisindan
,'.={m@--fl=*e(,)
(33.7)
yazanq. Buradanda
,"=tlP(*V.
(33.8)
elda ederik. OgBr (33.8)Ei (33."5>in ikincisinda yerina yazsaq
,i @r9)-f,r!)=o
4=.++-+=t14r,p')
' 2tPlx) dx zda
(33.e)
,,=tf,inr{')+c
alanq. Onda dalfa funksiyasr
, *G) = c,";!*'w.lt
4n
c. ii+'r.'+--+e
c^
=--*e'
JP(,)
yaala biler.
iiarit'-j u rt'r
*
","-
-
-ii*'*'
J4,)
(33.10)
'
Burada Cr ve G ixtiyari sabitlerdi. Ma'lumdur ki, zarraciyin x ila x+ax n6qtalari arasrnda olma ehtimah
gak.linda
lrTj'ila mrayyan edilir ve ona g6rada
bu ehtimal 1-a
baraberdi.
(33.5)-in figiincii tanliyine g6ra
(o.f -zo'.o',+4=o
"t4-+@iY -i.,=o
(33. t
l)
olur. (33.lllde (33.7)den oive (33.9)-dan of nazera alsaq, ikinci
tertiMa dalfia fuaksiyasrna olan elaveni
168
o,
3P2
=iF
8^P
(33.12)
P I rP2
o.=
l-d.x. 4P'- +-8 J.P"
tapanq. Onda klassikabonzer funksiya (33.12!i nezare almaqla
ikinci yaxrnlagmada (or) d"lg" frrokriy"",
*' *")
,1,
u = "ib'
-
=
"l
I - in r rl
(33.13)
geklinda yazrlar. Bu yaxrnlaEmanr "*G'
bir qox potensialh sahalarde horakat eden zarr*iyin dalf,a funksiyasrnr tapmaq Ugfin istifada olunur.
Harmonik osilyatorun enerjisinin klassikabanzar yaxrnlagma
metodu ila tapanqsa, onun enerjisinin
r,=nr(,*!\
\2)
ifadesi almasrnrn qahidi oluruq.
Heyacanla.$ma (tedirgeme) nezariyyesi
Miiasir frzikada an gox tatbiq olunan tetbiqi metodlardan birisi
heyacanlagma (perturbasiyon) nazariyyasidir. Bu nezariyya ilk defa
goy mexanikasrnda istifado olunmugdur. Yer-Gtneg, Ay-Yer ve c.
sistemlerin harakati asas hal kini qebul olunaraq bagka planetlerin
bu sister are tasiri alava kigik bir tasir kimi qebul olunur. G-uneg
ile Yer planeti arasrnda tasir esas qabul olunaraq, bagka planetlarin
tasiri va onlann bir-biri ile qarqrlqh tasirleri zaif , az olaraq alava
verir. Yeni, <<heyacanlaqma (tadirgame, perturbasiyon) neariyyasine> g6re mfimktn olan tasirlerdan esas tasiri ayrnb, tanliyi daqiq
hell edib, sonra isa hayacanla;ma q[wasinin tasirini nazars al-aq
lazrmdr.
Culagma (qatmerlagm.e)olaoda, diskret spektrli sistemlerin h+
yacanla$masl va zamandan asrh olan bayacanla5;manrn nazariyyasi
bagka-ba;ka gakilda qurulur.
169
$ 34. Heyacanlagma
nazariyyasinin osas tanliklari
Oncs Hamilton operatoruoun zamandan as r olmamasrm farz
edak. Bu hal da
geklinda
f
-un
fr=k+0+t=no+fr'
tavir edak.
(34.1)
Eo operatoru hayacanla5ma olmayan zaman,
Hamilton operatorudur, E'ise hayacanla$mant nozoro
alan qismidir. Btnada fi'<<fr,olmahdr. Onda tadirgema enerjisi
esas hahn
aas haln enerjisinden gox- gox kigik olar. Ogar
a
f'
operatoru iigun
pardmetri daxil edoriksa (mesala, incequrlug sabitl
I
" =;it3t
)
fi --at,a <<l
E' ..
H
"
parti tanzimlanir. Oger V=0 olursa, asas hahn $chr6
dinger tanliyin
ft"y{el = 5{'lr{")
hallindan
(34.3)
,bl ""E<ot balli olur. Bu zaman 7(')
(fr.*otly
=
n,y
va E{or bilarak
(34.4)
tanliyinin hallinden, y-ni va E-ni tapmaq talab olunur. (34.4)'
y va E-ni a -mn dsrocasine g6ra srra kimi
dan
=rbl a orll * azy,(z\ *...
(34.5)
p = Bbl a ,g(t + a, EGI + ...
yaz tq. Burada ,(t),1')birinci martebaden olan elava,
VQI,EQ'' iso ikinci tartiMen olan elave va s. olur. Demali
y,
,(o),g(o) parametrden as r olmur.
,(r),8$ a
-rirn
birinci daracas!
ne uylun olan ela yr,, VO),Eo isa a2uylun olan elave va s. olurlar.
(x.5)"i (34.4}da yerina yazsaq
(n"*ot\,y("t *ovo +azy/tz) +"')=
=1d'l +adi +atQ\ *-.-yrl") *o*il *oz*(zl *-..1
170
i
alda edarik. Buradan
(fi.-
rofot"t
*ol(a"-
-
-
* .,1(H
Eb\Vot
"
alanq. Belalilla,
ot"t\no -
soro *pr",l*
do v{t + 12 vro -
E@ y/1"
t
]
+
o(", ) = o
(rt"-t<"tYt"t=o
(n.-l'>)n<'>*tri-gfrL('r=s
- t t)ra> * p - E$V$t - EQV@ =
"
(34.6)
o
Qi
ardrcrlhqla tanlikler sistemi ahnrr. Ba5lanclqda sistem z' = z hahnda olursa, vl"\ = v!l\ uanf\ = ol:l o1"r. ikinci tanlik flgiin
@".
-tr"\rYt =-(r:,
-tV:,
e4.i)
yazanq. iitiyari funksiyam tam ortoqonal vo normallanan funksiyalann cami kimi yaza bildiyimizden
vi.=Zo.w!"|
(34.7) ifadasinda yerina yazsaq
|"..<ri
-, "j,A"t = -(Eo - t|b'
alrrrq. (34.6)-nrn birinci tanliyini nazara alsaq
Zo.'
(ti -
ei')vld = -14't -
t h'!f
(34.8)
tapanq. Bu tanlikdan enerjiye olan birinci tartib alavani elda etmak
olur.
$35. Crrlagmam'9 (qatmarlagmemiE) hahn hayacanlagmasr
Ogar baxdrluuz sistem culalmarnrgsa, yani har bir enerji Ej')
qiymatina qargr yalnu bir maxsusi funksiya uy[un golarsa, onda
(34.8)i soldan /')vurub, biitiin feza'izra inteqrallasaq
L,,,(o: - E:.)[y/4"t y/d dy = - l,{:@ (E:r - v\yp av
t'n
Z'..(c|,"
-
e$b
+
av
^. = -d *.ali lvi@v,yp
(35.1)
alanq. Burada z = n ' olduqdg sol tarof srfir olar va ona g6re de
E(n
(35.2)
!V,.b\,tyr@dy =y*
elda ederik. Ya'ni, hayacanlagma varsa, enerjiya olan birinci tartibdan alave hayacanlaSma enerjisinin matris elamanrna baraber olmasr g6riinlr. Ozlda bu elaman hayacanlalmanm orta qiymatidir.
(35.1) ifadcini yeniden (34.E) gaklirLda yazzraq
za.(4"t - 4?tv.t".t =-(Eo -,tvGl
n*n'olanda
I
a"'=76ffi6v,n+n'
(35.3)
alanq. Bumda
v^. =
lvPtwPav
Belalikle, dal[a funksiyasrna olan birinci tartib alavoni
..,,
Y.
kimi tapanq.
y^'
- \'
/-.i6t _"6t{:?t, n*
n'
(35.4)
+oplaimnda bir hadd yoxdur. Demali, enerjinin
va dalf,a funksiyasrnrn if4l6si ftsy26snlagm.a hesabrna birinci tartib
elavani nazare almaqla, agapdakr gakilda yaalar
|
E,=Ep +at*
,t,, =,/:;)
.
"\fi:4xS),
n
*
(35.5)
n,
(35.3) ifadmindan hayacanlaEma nezariyyasinin tarbiq olunma kriteriyasrnr tapmaq mimk'undiir. Bela ki, agar (35.3)-de
Y_.
olarsa, onda
E'
<<w) -Eb\l
<< H
(35.6)
fziki me'na da;ryr. Ye'ni, heyacanlaqm:n'n matris elemanr,"prti
hayacanla$mamrg hallann enerji farqindqn
9ox-9ox kigik olduqda, hayacanlagma nezariyyesini tatbiq etmjk
172
olar. Ba$qa s6zla, asas halln enerjilor ferqi, heyacanlagma encrjisina
gdra 9ox b6y[k olarsa, bu nazariyya ni tetbiq ede bilarik.
Oger spektrda kesilmez qisimde varsa, dalEa funksiyasr birinci
..
tortib olavs ila
,/.
=vy)."1fi!4r,rSt +o[U{1Ur,gtav
(3s.7)
birlikde bu gakilde tap u. Burada y kesilmaz qiymetler alr. Enerjiye olan ikinci tartib elava (34.6) d[sturuna g6ra
nli=\_o!tr,^*fu
(3s.8)
almar. Yeni
d,t
"
=tJV
-. r",=461-.<0
(35.e)
olar. Buradan goriiniir ki, lf-l'vurugu m[tleq mr)sbetdir. Lakin
mexracda EI') > E(') oldufu [9iia mexrec sfirdan kigik olur. yeni,
E:')
*)
<O olar, ona g6re da Ej')ikinci tartrlb elave manfi, sfirdan kigk olur. Cam igaralarinin qtirik ila g6starilmasi, bele cam.lar_
de bir haddin, n * rz heddinin olmamasr demakdir.
. Eyni qdyda ila (34.Qda ikinci tertib alaveni dalfia funksiyasm-
-
da nezara alsaq
,/, =,/y\
*"2.r{1rry,9t *
*{E1w#:W_w),y,-
(35.10)
1dffi,y-lqffi,r,\
tapm:g oluruq. Ya'ni, kigik parametir a-nin ikinci tartib ile m[ta_
nasib olan heyacanla$m'S halu dalfa funksiyasrm elda edirik.
173
936. Crlagma (qatmarlegme) olan hahn
heyacanlagmasr
Crlagma olduqda her bir maxsusi qiymata bir
funksiya uyf,un galdiyina giire
ne.ga mexsusi
fi"v!! = r9tvP)
(36.1)
yjj
funksiyatanl Salrrrni halda hansrnrn ortonormal olmas.rnr
bilmak laamdr. (36.I)de a indeksi crlagmanrn tertibini gdstarir.
Umumi gakilda {yj} runtsiyatann xatti kombinasiyasrnda Eo
operatorunun maxsusi funksiyalarr olur.
Uu
,r11,\
=ZoPv!9
(36.2)
yjjfunksiyalannm ortooormal olmasr Egin
olmasr laamdr.
(35. I )
ao, emsallannm unitar
&"'P=r
'
(36.3)
tanliyinin helli bellidirse
(a,*ot\y = r,y
. tenliyinin helli talab olunur. Yena da
'Y,"='Y!!
(36.4)
E,,vay""
+"'Y!)+"'
(36.5)
r," = n!! + atll) +...
kimi axtaraq. (36.5)-i (36,4)-da yerine yazsaq
(fr. *,t\vfl * y!)
alnar va buradan
"
+ - -.) =
@!!
+
4!
ulvfii = sb\rbt
u.w!!- rPvP = Bltyfl
*
i@9)
*
a
v!)
-tyfl
+ ...)
(36.6)
sistem tantiklar alanq. Birinci tanlik hamige 6danir. Ikinci tanliyi
,4') -"
faza iizra inteqralasaq
*-U,
lv*\fu.-Eb\VPdv
=
E!)
lv*)w?av - !v'Ptv!\av
174
elda ederik. Buradau
Iv*)(n" - r<o)ryar
olduiu igiin
e!
-
= lv!\@9\
[,yf),yfr)ar -
zlt\nflav =o
lv'Pvvfi)av
e6.7)
yaza bilarik. (36.2) ifadasindan istifade etsak
r!! lv'P},$v!tav = lv*\tZop,y!\ar
Lv*oP -2r9,9a.^
(36.8)
=o
alanq. Burada
r,-
= lvi?ttv"9)ar
(36.e)
a^ = tw'*tv%av
igaralari qabul olunmu$du.
(36.8pen fimumi gekilda
_
flt",\t;)
lQ,*
k'
=o
(36.10)
kimi yaza bilerik. Bu tanliklar sisteminin halli olnasr figiin
ae\rt",
.
-
fla*l=o
bu esri (sekulyar) tenlik yazrlmahdu. Bu tanliyi ho[
(36.11)
edib, Eg -i
y aab ap -i al-
tapanq. Taprlan E$| -in qiymatini (36.10)da yerioa
da eda bilerik. Ya'ni, enerjiya olan birinci tartib elaveni ve dalf,a
funksiyasrna olan srfrrncr tertib elaqeni tapa bilarik.
Ikinci tartib elavani tapmaq 09iin
rjta$=lv"op+lv,"!l
(36.12)
tanliyini yazanq. Burada
'
'r;=2uP*rtt
Bu ifadani (36.
(36 13)
l2)da yerine yazsaq
41"1")=>,,,flt('n'*Z
''
ffi)
t' "p
\
alanq. Oger
175
"t' )
ou.,o,
ru
HN=Ya'->
(36.15)
Dy
a, "p
iprasi qabul ctsek
l!11)=l.fin",
(36.16)
ikinci tartib tanliyi y",-,9 olrruq r.e bu tanliyi hall edib, {l)-niatda edarik.
(36.10!dan va (36.14){an 4! *" IJl! enerji alavalarini taprnq. Buradao g6rtrniir ki, hayacanlagma a crlagmanrn aradan qalxmasrna sabeb olur. Hayacanlaqma culagmam ya qismen, ya da ki,
tqmamile aradan qaldrnr.
$37. Stasionarolmayan heyacanlagma ve
kegid ehtimalt
'
7-amatdan asrh olan hayacanlaSma varsa, dalf,a funksiyaslna
qatqE tapmaq miimkfit olur va hayacanlaqma hesabrna dalla
funksiyasrnrn dayigilmasi miiayyan ola bilir. Ogor hayacanlagma
olan
opcratoru zamandan asrh olursa:
.
rt@=n"+v@
hayacanlagn4 hahn A operatoru
man gchr6dinger tanliyi
{37.r)
zarla n funksiyasr olur. Bu za-
ihavq,,t\ =HQfuG,i
(37.2)
At
kimi yaatr. Buada y/(i,r) funksiyasr heyacanlagmrg hahn dalfia
fuuksiyasrdu re onu hayacanlagmamrg haln dalf,a funksiyasrntn superpozisiyasr gaklinda
,y(r)=la,Q\yP(r,t)
yaza bilarik.
y(')(f,r) f"nuiyast
ger tanliyinin
hallidir:
,oa
(37.3)
hayacanla5mamrg hahn $chrddin-
vb{'t)
176
=
p
"k\v!'\
G,,)
(37.4)
.vo
,yfi1r,4="-",1"t(i)="-^,,yto|)
geklindedir. (37.5)-i
ih
*Z "
r
v-o
Q\,/y) (,
) = (rt. + "r, Q)fi a rQ\yft (;, t)
tt4(*v,lo.,t.noffn)=
=
fsz.sl
(37.1)"i (37.2|da yerine yazarrqsa
|a r@u sy!'t (r, t) + alt
Q\
rQ\t P
G7q
F,t)
ahnar. (37.6) ifadesinin her trarafini yi(")(;,r)vuruU, butun feza uzre inteqrallasaq
n2ff yv;t (i, ),ylo
t
=
"lt
(r.
t\ar
=
[v ;!"t G, t)v v,I.t (i, tb r QVr/
ahnar ve buradan da
in4$=olrrno*Q)
dtk
e7.7)
elda ediler.
(37.l)daki Yr*-ti
v* =
(t, tltt kVI"t G,,Vv
l,y;!'t
yazanq ki, bu da heyacanlagma enerjisinin matris eleuranr olur,
(37.7) tanliyi enerji tamsilinda grddinger tanliyidir. luradek,
ar - lana <<lkigik parametrin deracasina g6ra suaya ayraq
arQ)=ald!)+aapQ)+...
Bunu (37.7)-da yerine yaab,
ih*@!dQ)+",!t(t)+--.1=alrr,-1a!)Q)+aapQ)+...1
ardrcrl olaraq
177
(37.E)
,oaaf)G) =o
dt
-Zv*Qhp@
intu!(D
o:.s)
ihda?(t) _Zy,,Qb!tQ)
sistem tenlikler utu"q. (ji.s) t"rtiU"rini ardrcrl yaxrnlagma rjsulu
ila hall edilir. (37.9)-in birincisinden
=o
dt
'ndo9'
inAalo'l
a[?) =
=at
sabit olur.Onda bu sabiti
fi
a\r1t=6rr={O
k'=n
(37.l0)
U,*,
olaraq sega bilarik. ikinci tanlikda (37.10)-i yerine yaxaq
.in$=lr,,ao
dt?
aat'.1
,,
alanq. Burada a *t =
l
_tu,.
-,^. *,lt)=;vr,e''"'
r - r,
(37.1
l)
+ - + -dir va (36. I l)-dan
altQ)=-!'[vr.,e",',at (37.t2)
@
=
alda ediler.
t' * z
olduqda ajl)amsahmn sa! tarefi /r'we n indeksina balh ol-
duf,undan ar, -e bir n indeksida yaza bilarik:
of)Q)=-f,,'[vrr"'',,,at
t7E
(37.13)
(37.9)
-un iigiinciisiinden ikinci tartib elave isa
.Y)
a = (- ;)'
1
IIq. )r,.
Q
QY r a t
(37.14)
olar.
Ma'lumdur ki, qarSrhqh tasirin Fourier (F[rye) inteqrah yazlr va
vQ)=
olur. (37.15)
[r(dtp'"at
I'(ar) amsallarr kegid ehtimah ila alaqedardr
(37 . I 5)
"" -w(rt(a))
ifadasini ei'? vursaq ve t iizra inteqrallasaq
I
e'''' v Qpt
= !!r (.Y'<' -'> o,
Fourier amsah Z(ar)-ni tapanq. Beleki,
I e'' rrQpt = zr lr (atp(ro'
- opat
=
2xv(at)
olur. Buradan
v@')=+lYQY-',dt
va ya
v,(Q=)frtQP'*
(37.16)
yazanq. Bunu (37.13) ila miiqayise etsak
"fl
=-ffv'@)
(37.17)
alanq. Kvant mexanikasrnrn 3-c[ poshrlattna g6re n hahndan k hahna kegid ehtimah (4.4) oldulu [gtn
w,=l"gl'
=$v,@,1'
(37. rE)
yaza bilarik. (37.18) ifadesi t=0 anmda n hahnda olan sistemin,
, * 0 amnda k halna keqme ehtimalm gdstarir. Sistemin ha'hnrn
hayacanlaqmasrndan aLrnan kegid ehtioah (37.18) ifadesi ila tayin
olunw. Ogor hayacanlagma periodik olarsa, mesalan
Vn(x,t) = a6ns''*'
olursa,
179
co5@t
Q7.re)
.9 =-;!v*(.,$t = -ixn'!e''-'
cosattdt =
ta
'n["'-'(a- + "-'-\t =-ffrn1'!e't'*.'>'at
2h'*
2h
+' ftte- -t, a t - -
o
(
#,,
"(ffi . #:;)
nit--,olr _1 e,(ar
- zh^nl a4+a
v
I
( et(ad'olt _1
a
=
_l)
ah-@ )
ahmr. Demali,
ti
-d,X
+
2,(o"r-o)r _l\
zn \ or*+a
a*-@ )
-a
haradakr
,* =
[,y!t
Udulna va $falanma rlqtn
(;,t)xl't (;,t)*
7,.i2=?1,",=+
olduf,uudan ar., -in kigik qiymatlari kegidda esas rolu oynayrr. Rezonans oblasttnda (.n =
Onda da (36.20)-in yerine
r\
E* +ha =
4
E^ kigik qiymatlar
et(d*-,,\
s,*
^(rl -- ^- r*tn
-l
a*-@
alar.
(37.21)
ifadsini yazanq. (37.18)e gore
(e't'.-'t'-tl _ d' t- tzzft-co{o4-a\l
o,
w*=G'*"@*_f
- d' ,
=
e,t *t --G;_4r-=
=
o{F*r
ilr-*{,* -r}l
@n-'Y
yaza bilarik. Buradan
180
t
"io'tn-@
w*=o'F*l'V@;7ff
e7.22)
alanq. Bu ifadani
-')'
Wn = a'zlxnl'1 -------2 tn -'
hrl
[2 )
o"ro'('n
e7.23)
I
gaklinde yazanq, d -funksiyasrnn tarifindan
o*r(.n-r\
'-*
2.=t,a(@*:')\
-'* (
2
-,\'
o,( 'n
[2
)
)
(37.24)
olduf,unu nezera aiaraq (37.23!dan
wn=a'lxnl'tr)t(W)
(372s)
taprlar. Yani d'-funksiyasrmn xassasina g6ra
o@)=!56)air
olur- Onda
va ona gdre de
'(o;)=^@*-,)
w*=T|*l'a(.o-r)
e7.26)
alde edirik. Vahid zamanda kegidin ehtimah aqapdakr kimi yazla
biler. (a=1 qebul edek)
* =+ =#F*l'
d(04-,)
e7.27)
Bu kegid ehtimah periodik sahede sistemin k hahndan n hahaa f6ryme ehtimahu teyin edir.
181
Fasil IV-a aid gahgmalar
Qal$ma IV.l. Klassikabanzar ftvaziklassik) osilyatorun encrjisini hesablaym.
Hall: Enerji seviyyelarini hesablamaq iigtn
olo*=oo(n*!)
o=0,r,2,r,...
:\2)
m[nasibatindan istifade edak. Osilyator iigiin potensiyal enerji
u(x)=^@1"
2
Ddniim ndqtalerini hesablamaq igiin
^t"'
= o,2E - mat'x' =o
2
fzE
- 2E
x'=
,,x=fr!
E
-
z
tapnq.
On&
b
IJr@-uV, h 2m
-2(Y
-;[z JE:7
E
2
Bu halda
b
IJW=uV,
E
,-Y)"=i'!,!r-t,at=
,,*,,
#). = :l: -"," f#,):) "
alanq.
ID
Beleca
t82
o,ur
( :r\
E =hrln+
olduEuiigiin
-?t
)
E"=h.("-;)
ahnq.
Yan-i, klassikabanzer osilyalorun enerjisi kvant haLndakr enerji iizarine
diigiir.
-y = &2 potensiyalt sahada
dayiqmasini taprn.
()alrgma IY.2.
saviyyelarinin
harmonik osilyatorun enerji
Hall: Hayacanla5maya g6ra
4't =
lv!"Vwl'ta,=i llvgl'td,=ZVL
Ee=z#*=IzE#w
x'^
=lxux-.
yaz^nq.
L
Onda
E!'
=
=
;G'L = lG*.+..,*,,,,*,,".,,,)
1(+
olar. Burada o
.
ry)
=
i
* {,, .,)
=
=
# ^(". i)
=.E- o*
lmo
Belalikla, enerjiya olan I tartib elave
4i=n,#(,-;) ,*
II brtib alava
183
*'=+Z7r,r:*
olduluiiern
v^=llxoxn-aan
"",.,=f,[fi4
',rr,,={J6;tW;l
alanq. Onda
n(n-l)
a2
(n+l[n+2)
-a'4 4 2ha *a'4 .4 2.ha o='
-a'o' 4( n*!\=- l6-2hat
=o.( ,*L\
\ 2) &m'a'
\ 2)
o4z1
a'z
Demali, xarici
f
.,,anq'
s.Uarinda osityatorun enerjisi
,,' )
'
r' =nJn*!Y'
\ 2^l* 2^''* 8^"')
rigfln ifadasini alrmg oluruq.
Iv3. lkiqat culagmrg halda cnerjiya olan
ksiyasrna olan II tertibdan alavalari taptn.
Cahrma
Hall: lkiqat
fflafla
birhci tartib, dalla fun-
olan zaman enerjiya olan I tartib alava
fu,-zt'\\i +v,,"i=ol
v,,al +(Yo-lth:=ol
tanliyindan tsprlar. Burada
v*
=
fiylovyldar
dir
Bu tanliklor sisteminin helli detcrminant srfir olanda
olar. Buradan
l'';:"'
n-'!'s.,1=o
184
0r,,
- ilr\r" -
d'))
- r,,u,, = o
(d'lf - 1v,, + t .1E!t + Y,,I/o - Y,"V,, = o
Btl
=Y"!Y' 1@,ny.y aay,,ryal1v,,f =r,,;v- rA
V,, + YuY + +VrrVu + \trrrl'z
yazanq. Onda
c41
''l
-Vrr+Yo
=--tA
rlrl =Yr,
"r-
+ /2,
2
,,
-
A
olar. Yani bu iki k6knn olmasr orlaqmam aradan qaldrnr. Bu k6klari sistem bnlikda yerina yasaq Ya
"#="#i
,tp=#,
igaralari qabul etsak
/o-c)\
'
I
lry )^,=,n="'ri
(#),,,,=o,,=ot
alanq. Belalikla,
ff') 6 5j'l k6kleri iigrtn normala5mrg dalf,a funksiya,y, =,y!d
"o"f,
ahnar.
185
+,y!)
";"
$
Y Fesil
Hayacanlagma nazoriyyesinin tetbiqlari
|v{fiasi1 f12il6a11 bir gox problemlarinin hellinda IV fasilda
ara5dr mq mtxtalif tatbiqi metodlardan istifade olunur va onlardan an gox tatbiq olunant hayacanlagma nezariyyasidir.
$38.
Ynkl[ xatti harmonik osilyatorun elektrik
sahasinda heraketi
Xatti harmonik osilyator xarici elektrik sahesinda olanda
onun enerjisi dayiqir. Bu dayiqmani tapmaq iigiin farz edak ki, bir
619[l[ osilyatorla xarici elektrik sahasi reqsi istiqamatinda yonalmigdi. Onda elektrik sahasi ile osilyator
Y =-ea
(38.1)
qargftqh tasirde olur. Burada e-elektronun yiikn, e -ise bircins xarici clektrik sahasinin intensivliyidir. Xarici (3E.1) rasiri olmayanda
osilyatorun enerjisi va dalEa funk<iyasr
=6(n*!\
'\.2)
,t,,t
,/')
e2i
=
,^(
(38.2)
kimidir. (bax.(20.14) wo (20.25)-a). Burada B -nin va yr, -nin srfir
fistleri osilyatorun osas haLrm, hayacanlagmam4 hahm gOstarir.
Osilyatorun asas hah diskret va crlagmamrg hal olduluna gdre
(35.2) wa (35.9)-dan
d,t = !y<"ti,yt"'tao
r(:)
dal[a funksiyasr
n
^
- s.
ly",l'
"r^:'.;:F=W
186
(38.3)
va
=27fu,4'9t
=11w6fu"'ldWY'-i1d#Y)
wla
hesablamr. (38.2)-nin birincisinde
s0
=
(38.lli
nazare alsaq
-., [r'(.t rw9, a* = -" -)---='
"y;+"
(384)
r:(ff,)*
,
ff
olar. Burada inteqralaltl ifada tok funksiya oldulu [9[n onun cavabr stfrr olar. Yani, bu halda Ej') =O-ar, enerjiya olan birinci tartib
alave srfirdu. ikinci tartib alavani (38.3pan hesablayaq. Hayacan_
laqmanm matris elemanr
y^
= -ee
k:@xv!.ta, - an
(38.5)
Buradan (38.5) flgiin
It
,^ = -"{,^
.
^,
G
E)' (* "'o E)
.
u;+..,_([T,)".([+.
alanq. Ermit polinom.lar figtn rekuretrt d[sturdan
H,.,(() + 2mH _,G) = zA
^
"G)
istifada olunarsa
*, ^(e,)= . ^.,(c.).,*.,(ff
mtinasibetini qebul edarek, (38.6)m
187
(38.6)
ll
v^ = -",n -(2" -,o
E)' (r' ",.a ff)'' .
E{.i* -,(,P.)" -([+,);+'
*'
.
:'l, .,\f+.Y -lE.), *l
.
*+
(38 7)
galJinda yazanq. Osilyator iki halda, m = n ! 1 olanda srfirdan farqli matris elementina sahib oldufu iigiin rz = z + I hahnda
n
(, .
.
(r,, O [T)'
r\O
E):
;ia.,w:(lT.)*"*=*"EE
v,,u
=
{,2'.'
olar. Ye'ni
n,.r,,=-""ff!
olur. Eyni yolla zr = z
v.-,.. =
-
(38.8)
I hah iigiin
tl
- {z*' b -,\ c
ff)' (r',,t; ff)- .
; i o - +, :(ff ,)-* r * = *"
F^,
E
atnq, Ye'ni, bu ha.hn matris elemant
V,-r,,=n"ffi
Onda bu ifade ile (38.8!in cemini
v.u,+Y.-,.^=--E(E.E)
yaza
bilerik. Bu hallar [giin eoerjiler farqi
18E
EY\
-
EP -
41, = ha{n -
n
4!,
n + t) = hco
= hat(n
-
-
r) =
-no
(38.e)
II tartib alave (38.3|a
deyari alar. Bellikla, encrjiya olan
gore
Eyt =
I
nat \-2hat)
e2e2
",h
Zmaz
elda edilir. Bircins elektrik sahsi olanda osilyatorun enerjisine olan
I tartib alava srfu olur, II tartib alava sfrdan farqli olub, encrjiya
olan alava ila birlikda
,,=*(,.;)-#
(3E.10)
olur. Yani, ikinci tartib alava msnli olub, sahenin intensivliyi ila e nin kvadrauna mttaoasibdir.
Osilyatorun dalia funksiyasr xarici elektrik sahesinda
z'-'(n
.
+rl.6
#(*)W;rt
yl
+
J7;ty,w!'t
-
(z^ + )ot"t|
lh
""
rl
^,
z*'(n-tlG
-!- s
ha
zt
;;\
f;,.-,( h.)
pklindadir.
189
(38.1l)
-
(3E.10) ve (38.11) ifadalerindan gitrundiiyii kimi bircins xarici
elektrik sahasinde osilyatorun enerjisi, sahanin intensivliyinin kvadrah ila, dalfa funksiyasr isa intensivliyin birinci ve ikinci darrasi
ila mfitanasib olaraq deyiqir.
$39. Anharmonik osilyator
Potensiyal enerjisi
(J
=*""2
-d",
farqli olduqda osilyator harmoniklikdan gxar va onun raqslari
qeyriharmonik olar. Bu zaman qeyriharmonik reqs edan osilyatorun enerjisi ve dalf,a funksiyasr dayigir ve bu ciire osilyatora anharmonik osilyator deyilir.
Sistemin potensiyal enerjisini fazarun har hansr n<iqtasinda minimumluq gertine gdre bu ntikte etrafinda srraya ayrsaq
u
=
u(q.
;(#),o .,.(#),, . *.[#),o
.
=
*d * &,
=^r'*'
2
iaza bilerik. Potensiyal enerjisi
u(x)=nal^x'
2
+*'+ P'
(39 1)
olan osilyator anharmonik raqsi harakatde olar. Bu potensiyah
0
gaklinda yazanq.
U, va
=u"+t
es.z)
V ugun
ma'x'
-' ;y =u, + ft,
u^="'"2
ifadalarini elda ederik. Potensiyah
ff
(39.3)
ot^rsistem harmonik
heraket eder va V = ut + fta potensiyah m6vcutduna bcla hera.
+ fu'hddini hayacanlagkat qeyriharmonik harekat olar. Y =
ma qebul edarek, anharmonik osilyatorun enerjisini va dalla fun-
d
190
ksiyaslm tapaq. Burada crrlagma olmayanda stasionar hal iiciin h+
yacanlaqma nezeriyyesini tatbiq edak. Bu zaman enerjiye ve dalla
IunKs)yasrna olan alavalor
E(n =
fu.@tvgdy
E9=z#gt,,*^
(3e.4)
geklindedir.
vr\
=Z;rpicl
osilyatorun . esas. n_aLmn hayaca"j^-il, hal olmasr taqdirda,
.
onun enerjisi va dalia funksiyasl
d",
" =n,(
,*!\
\2)
t^a, /r-\
(39.5)
,bt=9"-it{11^lrlT,l
olaraq, qabul olunur. (39.4)iin birircisinitapmaq'Ugfln heyacanla!manm matris elemanr
r*=(m'+ fu'),,=d*+ fui^
(3e.o
yazaq. Burada olan -r) va .r) matris elemanlanm (29.7)ye g6ra
x,* = x*.x,^,x^,
,:*
=Zr**
t'
=
=(*)" @t**l.!-nt+16^.,,*,
x^.--,*-,,^ +x-.^*,*,,-
yaza bilerik. Bu matris elemanr n-in bir nega qiym.atinde srfudan
farqli olur:
a) n=m-3 olanda
xl,._,
elemam sfudan ferqli olub
*,=ft ,t;O:^=f^-2."=(*)"
qiymetini alar.
191
(3e.E)
b)
n=m-l olanda .r],.-, matris elemam
t,--,=fr^n
(3e.e)
olur.
c) n=m olanda
,1,.
=o
(3e.lo)
qiymatini alar.
d) n=m+l olanda da
,
x1^,^-,=ft(n+l)Jm+l
3a3
(3e.11)
olar.
e)
n=m+3 qiym.etioda
*,,=ftA;w;m-.1
(3s-12)
olur.
f) n=m-4 olanda
,:
^-,
=+,{;@
-t[-fl6;--t
qiym.atini,
g) n=m-2-da isa
,:..-,=+(2^-rV;6:T
va
(3e 13)
(3e.r4)
h) n=m iigfln ise
' 3o'( ^'*^*!\
,-..=2[,.._",_r)
(3e.ls)
\J,.
qiymetlarini alular.
(39.10) v'e (39.15)-e g6re (39.4!dan
4t
=
*'-. ft:. p+(*' .,. ;)=+(*)' (* . ^. ;)
=
alanq. Yani,
\'( ' +n+-l\
o$ j|(-h
,:'=;l^,)ln"
)
(3e.r6)
olur. (39.4)-[n ikincisina g6ra
t:,
#
t\n -
{*^(, -fr(,*rh*zX,*l)}
=
olur. (burda
z)
+
fin2
(n + t)
-
At haddi"in ikinci tartib alavsi naara
ahnmayrb)
Buradan
,v'=*'(*)'f (,'.,.*)
(39.17)
ahnar. Belelikle, anharmonik osilyatorun enerjisi (39.5), (39.16) ve
(39. l 7) ifadelerina gcira
r, = n,(^ . l). +(*)'
ll\
_a.l.(_n\'s(.
l_l ,.+n +_l
30/
lma) 4\
(-.,
.
l) -
(3e.1E)
ahnu. Burada olau ikinci ve iigtincfi haddler osilyatorun qeyriharmonik reqslari naticesinda harmonikliyin pozulmast hesabrna meydana gelen enerji dayiqimidi. (39.4) dusturlann figiincfisina osasan
anharmonik
asilyatorun
dalla
funksiysst
.
fi ,rc-.W=tn.rv :l .
v
!
.
#(*)''' )6.rc=w=zw_* :t, .
.
#(*)'
-
=
w
t"'
fi(
*z)
\) w-t
#(#)', I
*( *,u)' rf
Q
*
t!, .
#(*)"
il;urv !! -
lG * tF *rto
193
!.t,
-
ft ,l;v !! -
( o \"JT;tp'u't6t,n:!-=:
5n@ \ma )
(3e.1e)
-ff(fi)'.P;6;,',P;-,P;,Y.11,
ifadasi ila
tams olunur.
(39.19) hal funksiyasr anharmonik osilyatorun hal funksiyast
olub, osilyatorun harmoniklikdan kanara grxmasrnl g6starir.
940. Stark effekti (xarici elektrik
sahesinde atomun enerjisi)
Tacrlbaden me'lumdur ki, (1913 il) xarici elektrik sahasinde
atomlann caerji saviyyalari dayigir. Bu dayigma elektrik sahasinin
zeif ve ya gficlfi olnasrndan, sahenin bircinsliliyinden, elektrik sahaine hansr atomun sahnmasrndan asrh&r. Zaif bircins elektrik sahasina hidrojen atomu saldrqda atomun enerji saviyyelerinin dayipmasi sahanin intensivliyinin birinci darecasi ile, giicl[ saheda ise sahenin kvadratr ila m[tanasib olaraq dayiqir. Digar atomlarda isa
enerji xett}arinin pargalanmasr e2 miitanasib olaraq dayigma bag
verir. Belalikla, xarici bircins elektrik sahesinda atomlann enerji saviyyeleri deyigir ve bu dayigmeya STARK effekti deyilir. Oger
enerji dayigm.asi e -ila xarakteriza olursa, bele Stark effektina xatti
Stark effchi, e -nrn kvadratr ila mfitenasibdirse bele effekta qeyrixatti Stark effekti deyilir.
Stark effektinin meydana gelmasinin sebebini kvant mexanikasr izah edir. Onca xarici sahanin giiclii ve ya zaif saha olnasrru
mflayyan etmek lazmdu. Aqkardr ki, atomunun daxilindaki elcktrik sahasinin intensivliyi
e
"r=4
gaklinda olur. Burada a,-birinci Bohr orbitinin radiusudur
(a, = 0,5' 10*sz ) e-elektronun yiik[ditu. Bunlan yerine yazsaq
ea
=5,l3.l}evl
sm alanq. Onda xarici sahanin
194
intensivliyi
e, =105 vlsmolduqda bela saha e, -ya nisbetan zaif saha olar.
t,
Demeli, intensivliyi 105 I-- v6 bundan kigik olan sahelar zaif,
sm
v
lOt -1- -dan boyuk sahelar guclfi sahalardi. Belalikla, xarici sahenin
SM
I/
intensivliyi
l0' '
-dan kigik olan halda hidrojen atomunda xotti
SM
Stark effekti, diger atonlar Egfrn qeyrixatti Stark effekti, guclii
(
a, =
105
-1- ; 53hede hidrojen atomu flgiin kvadratik Stark effekti
sm
ahnr. Saheni g[clendirdikda spektral xattlar itir va ionlagma bag
verir. Xarici elektrik sahasinda atom elektronunun potensiyal enerjisi
v =-aE
gaklinda olur. 7 -"to-,ro elektrik dipol momentidir. Ogar E elektrik sahesi z oxu boyunca y6nalmigsa, onda bu enerji
(40.1)
Y = -dE = -eze cos4
olar. d=ez dipol momeotinin orta qiymatidir. Hidrojenebaozar
atomlann asas hahnrn eoerjisi Ef)va dafta funksiyasr
Ef)
v9" = n,
(r)P,^ ("os e)ei^"
enerjisini xaracteria edan
tmurri funksiya
(40.2)
+l
o=lasY!=la;Yfl
,--l
(40.3)
gaklinda yazrlar. Elektrik dipol momentinin orta qiymoti
7, =
[o'adr = lZZ":'r,"'o,o.,y$)av
=
(40.4)
=>Za:,a^(d,)^,.
yazlar. Burada
(a,)^,"=
elektrik dipol momentinin matris
lvl:la,w$ar,
elemamdr. (40.lle
195
g6ra
(40.s)
Y^,, =
olur.
(,10.2)ifadesine gtire
(40.6)
-4a,,^ = -d^,^E
(40.5!dan elektrik dipol momentinin
matris elemaDr
(a,)
^..
=
*
J
n,,4r' ar lei' ri
kimi almar. (40.7>da m'
cosfl sin&t 0
[e
^' e et^e d 9
(0.7)
* m olarsa, inteqral
2,
l^tt
_.,Vrr_,
J"
olw. Oger m = mt ofursa,
)Pi Pf coseshHe =o
olar. Yani, har ik
ihalia (m' * n ,m= n' ) olduqda
(a.).,. =o
(40.8)
olar.
Demeli, E"!) enerjryo uyguD olan halda elektrik dipol momentinin
orta qiymati srfu olur. Onda (40.Q uy!'un olaraq hayacanlagma
enerjisi sfu olur. Ye'ni, hidrogenabanzar atomlarda xarici elektrik
sahasinda, sahenin intensivliyi ila miitenbsib olaraq enerji saviyyelarinin parqalanmasr ba; verer. Ba5ka s6de, xatti Stark effekti mii$ahida olunmaz. [,akin sahonin intensivliyi ile m[tanasib olaraq
qeyrixotti Stark effekti miiSahida olunur. Qrinki, atomun deformasiyasr ile alaqedar olaraq ( baqka elektronlanu sahesinin movcud olmasrna uygun) orta elektrik dipol momenti intensivlik ila miitanasib olur:
(40.e)
tl, = ae
r"a bu dipol momentinin yarannasr, atomun xarici sahada polyarla5masrna (q[ttiblaqmaye) getirib, gxanr. Onda potensiyal enerji
Y
=-Ae'
2
gaklinda olar wa eoerjinin dayigmesi e2 ila miitanasib olur.
196
(40.10)
g4l. Hidrogen atomu [9[n Stark effekti
Stark effektinin diirfist iz"h'n' yalns kvant mexanikasrnda
garh edilir.- Bu baxrmdan hidrojen atomunun elektrik sahsinda
enerji seviyyelerinin dayiqmasini, yeni, xetti Stark effektini kvant
mexanikasma g6re araqdrraq. Hi&ojen atomunun n=l hah cularmamrg (qatmarlagmamrq) hal oldu[u iigin bu hal pargalanmaya
mflruz qalmaz. Ona g<ire de n=2 haLnrn xarici bircins-eleltrik sahi
sinde dayigmasine baxaq. Hidrojen atomunun tamal hahun enerjisi
r(")
i&
'n2
(4 = e'nl2h'
Ridberq sabitidir)
va hal funksiyasr
v9)^ =
n*(,)Pi!osopn' -d"
n=2 hah iigtn
-",,.d_
h4
+
(41.
r)
n!") = 4,n7!os0)r,,
olur. Bu hal d6rd qat crrlagmrg hal olduEuna g610
n-2-nin biri I-0, m-0
.
n=2-nin ikincisi l=1, m=0
n=2-nin riginciis[ l= I , m= I
n=2-nin ddrdlncflsu ise l=1, m=-l
olar. Onda (41.1|da crlagmrp halm funksiyalan bunlardr
v!'t
=v*
= R-(r)Y:(o,e)
v\l
=y,,o = &,(r)v,.(e,q)
v9l = v u, = n,(r)Y,' (e,e)
v!'l =vrr-,= n r(r)Yi'@,q)
Olave D.12-den sferik funksiyalar
Y:
Yr'
=
1
JG'
*"ora,
.,l4tr
197
(4t.2)
y,'=lsin}e'e
'
'l8tt
Y,'=-ft;sinoe-''
qekildadir. I-aquerre polinomunun xassalarina g6ra
(41 '2)-da
radial
funksiyalar
r"(, ;)
o =all)"'(t\-i
""Jllzo') 1"'S
r,=(+)'''
gaklinda olurlar.
(41.2)-da
h'
,. =;t
(r.
-
(4,4)
Borh orbitinin radiusudur)'
(al.4)'ii nazora alsaq, n=2 saviyyesinin dalla funksiyalan
| .( L_\''' ( r- !-\i
Y' =
- JGl2d")
\- '.),,,t"t
,v,=hG+)'''(t)"*
(41.5)
-t'=#C\'' "*'t"^o*
,t,
=-
!#(+)''' "i
",,
o-*
yazrlar. Crlagma olanda hayacanlagma nazariyyesinde al.rnan
(36.10) tanliyina g6ra
-rt'r4,)ali
)(r**
t'
istifada etsak
198
=o
(v,,
-
rt'l\to * r ra!) + tt ra!.) + It,,a\.\ = o
+(t u- Earhbl +y84.) +It,.a\.) =g
^o{'l
i,,,,p, *n)y, *1n, l'tlr1.t
f,"t
Y,,al'l +vrraf;\ +y.,*) *(v*-E('))aG) =o
illerini alarrq. Burada
t
*i-
-
tanl
=o
v,*= [,y;!.tt,y!.)ay = Ivl.)"oroseyttav=
= [vibt"acosov!"tat,
olur, haradakr v!') -1", v*,vlll,v9rl,v9,)-,-dir,
Yu = et
(41'6)
(4t.7)
onda
lvi@rcosev!")4,
vr, = ee |rqrl'lrcosev/t"\dY
Yo = ee
lvib\rcosovt"ldr
Yn =
lvibl, "os ov!"|
",
va s. qargrhqh tasirler olur. Buradan
Y,, = ee
tvi@rcosoY!"1r2
dv
sin%rd%p =
'
_",( t\'1,,( ,_," qar
lae[cosesnflo=o
n\za") I l- ,.)e
2*
olur. Eyni yolla Vs-da
v*=ec!1y;('t,"o"t*lr*=i3"(;)'1t;;a,'1"in,tcos*l=o
va s. olar. Belalikla, Vr: va Vzr-den baqka yerda qalau matris elemanlarr srfu olmasr agkar olur. Vrz matris elementini
I
Y,,=u'[v;t'tSar'! coslsin*dli aqvgt =
f-\' :ti,.( z - :-\-t a,'t"os,
o sin o
" f* -*'*"
lza,) za.! l- ,.f
=(
t99
tgiin
alda ederik. Buradan inteqrallar
!"o"'e"inae =2,
'|('-;\'*=-"',
cavabrm alanq. Belaca, matris elemam
,,
. t2 -
€c 2(-tzo:)=-1"*"
16a. 3\
olar. Demali,
=Yz, = -3eao
olmasr mfleyyan olunur. (41.Q ifadcinde (41.E]i
manlannr nezere alsaq (41.6) sistemi
g(r\obl 3"*"o(d =g
(4i 8)
Yrz
-
wa
sftr matris ele-
-
-3ea"a!")
-d')o1'l
-
g1rtlobl
=g
(41.e)
=o
-d't1'r=o
gaklinda yazlar: (41.6) tanliklarine asas€)n, bu tanliklerin amsallanndan d0alan determinant sfir olar
0
0
0
=0
-6(t)
Buradao da
l-3ea" o o
(l,tf *u*"1 0 -d') 0 l=(Et'l -(r,-,|(r0))
l
lo
o
=o
-dDl
(41.10)
olur. Bu tanliyi hsll etsak
200
(EoI(E(,)F -1r"*.y):o
E'ol =3"ao
E'l)
=-3"a'
(41' l
l)
(')
E _ E1(') _ 0
alanq. (41 .I l) qiymatini naara alsaq, xarici elektrik sahsinda IIidrojen atomunun enerjisi i9 dayar et-r$ olur:
z,@=-ff+*a" (a) (4t.t2a)
z,(l=-ff-*a" (b) (4l.l2b) (41.12)
r,(z)= r.(z)= dr!)=+ (c) (41.1?r)
(41
.9}da
(41 . I
I
) k6klarini nazare alsaq emsallar iigiin
a!'t = obl = abt
l)
2)
4"\ =-obt =abt
3)
4d =o!4 =o
a!') = oto =,
4") +o'o!t *o
tayin edarik.
Normalama gartina gdre
w=
|
al:t
k'
oldu[u
[lrl' =,
va 2) hal da
labtl'
olar ve
y -funksiyasr
yll = ol"t,yfl + {t yl1,l + ayt v4't + altv\",
iqrn
Eartindea l)
4"t =o9t =o
fi{Hl'dY *)"b\l' [iv,9)"1'ar =r
201
(41'13)
zlat'tl' =r,at't
=fi
alda ediler. 3) na 4) hahnda ise
lo,btl'
llvgll'av
*lo,@l' [iw\1!-,1'av
=r
yazanq. Buradan da
lzt"tl' =loj,rl' +lal'rl' =r
tayin olunar. Belalikla, atomun xarici sahada dalfia funksiyasr
(41.12a) hah [9t1n
(4l.l2b) hah [9[n
(4l.l2r)
v,=fi(vfJ*vII)
(4r .13)
y,,=i|,t*-,/9t)
(4r.14)
v,=o\dv9,l*"\"tvl1!-,
(4r.rs)
hah nqun isa
aLnar. Burada yr, funksiyasr ham 4(Z), nam aa E (2) enerji qiymatlarini xarakteri.a edir. Corlnduyu kimi xarici elektrik sahesi olmayanda euerjinin bir qiymatina '
Eb\(2,\=_R,h
,4
mflvafq olan dord dane v*,,y[ll,v*)t,vll]-, autg" funksiyastna
uyfun galdikda, xarici elektrik sahasinda iig eoerji qiymati (41.12a),
(41.12b) v-o (4l.l2c) ahnu va onlar (41.13), (41.14), (41.15) dalga
funksiyalan ila xarakteriza olunurlar:
r,(z)
=
-
ff + t" * ", v,
e,(z)=-ff-*-.
E,(2)=
-+
=
+(y9
,v,, =
* y,lll)
+(,/:l -,/:10
(4u6)
, v, = o\"'w!1t,+ oPVlll-,
Bu qiymetlarin ahnmasl heyacanlagrug halda sisternin markezi sim-
202
metriyaya malik olnamasmdadr. Hidrojen atomunda bunun naticasinda srfirdan fardi elektrik dipol momenti yaramr va bu dipol
momenti xarici elektrik sahasi ile qargrhqh tasirda olur.
(41.16)-dan gdrfindiiyu kimi xarici elektrik sahesi crrlaqmaur
qisma._ aradan qaldrruq olur. Xarici sahe olmayanda d6rdqat crla;mrg ha_l sahe olanda rl9 enerji qiymetine uyfun gelir. Hidrojen
atomu ii9[n Stark effekti gekil Il.l4da g6sterilm19di.-
-
-
- Rrh f4 - 3ed,e
- R.h14
- R.hf4 + 3.o,e
R,h
4
R,h
- x.i
a=0
e+0
(o)
(6)
gakil II.14. Hidrojen atomunuo n=2 s€viyyasi
iigfln Stark effekti: (a]xarici saha olmayanda,
(b)-xarici saha olanda.
Giiclii sahelarde. hidrojen atomunda qeyrixetti Stark effekti ahnr.(37.3)-a gore II tertib elava
F l4rnl'
-E(2) --L&t---frt
k, Lt - Lk.
d[sturundan hesablamr. Buradan da enerjiya olan
iigiin
gal
=-!!n,$ln,
-9m,
Ii
+D)
tartib
elav-e
(41.17)
alanq. Burada m- maqnit kvant adedidir. Demeli, kifayat qeder
giiclii sahalerda maqnit kvant edadino g6re de crlagma aradan g0tiiriiliir.
942. Ogolg[lfi rotatorun xarici elektrik
sahasinde hereketi
RotatoruD enerjisi m kvant [ahnda 61[i12[ kvant edadi l-deu
asrh olub
203
_a't(c+t)
,6y
'2J
(42.1)
Bu ciira enerjili rotatoru qarsrlqh ta6ir potcnsiyal
V
(42.2)
olan elektrik sahesinda (d-elektrik dipol momentidi) yerleqdiri.lir. Er
enerjisine sahib olan elavelsr bu saheniu hesabrna
=-dcosO
ewt- (e, e)sn
lv
I'rtl12
E(2) _ \'
;G''---;rt
,, LL _ D!
En\
= [Y;-
(e,
il u e
(42.3)
dtsturlarrndan tayin edilir.
Rotatorun hayacanlagmamg esas hah
l=O,m=0
t.
olarsa, Vm, Vor, Vrr ro
(42.4)
=1,n = 0,+1,-l
V1,.1
ahnar. Qfinki (41.4) [sllnrn dalla fun-
ksiyalan
I
,._G,
vo-
' =acosd
,l4tr
Xo
' =lsiaPJte
J8r
y.-,
, =-lsing"-,"
,lhr
Y:
oldugu iiqutr
,2,
Y" = -d
! !YEi'.,
cosdr;il'o'
s
nuile
(2.s)
matris elemam sfir olar. Bela ki, bu matris elemanura daxil olan inteqrallar bu hallarda (l=0, m=0, l=l,m=0, +l )
+t
+l
[*'*;l(r-,')*
-l
-l
204
qaklinda oldupundaa
ber olar. Yani,
T1
intervahnda onlann qiymati srfira bera-
=0
Yo
olar va buradalLda enerjiye olan elave [9En
d'l =Vo
alda ederik.
(42.6)
=O
ikinci rertibde enerjiya olan alava
(42.7)
ise (41.3!a g6re
r(. lv*l'
" --.Lat&t
E(2)
a Lo
La
olduiu iigln
,, --j
=_h.
g@ _p.\.)
ahnar va enerjiya olan alavani
,,py
_
Jd2 e2
3h1
taprug. oluruq. Onda xarici bircirs elektrik sahcinda rotatorun
€nerJlsr
u =h'
tlt
:t) *n*.t-=l3L = 2J
or.rt
2J
3h2 \-r
i ?cyt-g1"t :i -t41.:'
o',!^
olur. (42.9) ifadasindan gdr[DdUyu kimi enerjiya olan alava, manfi
qiymat alr va xarici sahanin kvadratr ila mrltanasiMir.
$43. Spinin varhfr. Maxsusi qiymat va
maxsusi funksiyalar. Pauli matrislari
Atomlano xarici nraqnit saheinda s-hahnrn
-Iara parcalanmasr
va ya maqnit momentinin
p=_F.m
olmasrnr, ham de
P,:_
L,
e
2mc
205
iki yaxrn saviyya-
miinasibatinin dofiru olmasrnr miiayyen etmak tociiboda SternHerlak va Eyn$teyn-de Qaas tarefindan m[gahida olunmugdur.
Stern-Herlak tacriibosinda hidrojen atomunun s-hatnda (l=0) saviyyasi bircins olmayan maqnit sahesinda iki dastaya ayrrhr. Bele
ki, elektronun maxsusi maqnit momenti Stern Herlak tecriibesinden Bohn maqnitonuoa berabor olub
o,=o*==o.
qiymatini alr. Eynigteyn-de Qaas tacrfibesinde maqnit momenti
p=3-s
mc
olur ki, burada 5 -spin momentidir. Bu spin momenti elektronun
orbital hereketi ile elaqadar deyilir (orbital herekatla ba[h olan
,e: L
p=
^
gaklindadir.)
2mc
Bu neticelar ham klassik ya hemda gchr6dingerin kvant maxanikasrnrn miiddaalanna gdre anlag maz qalrr. Ona g6rada maxsusi momentin (spinin) varhgm nezariyyeya daxil edek.
Bunun iig[n ferz edek ki, dalla funksiyasl faza koordinatlanndan bagka bir dayiqan olan spin dayi;ani s-dan de asrh olsun.
maqnit momenti
.
v =yQ,t,s)
Bura& S- dayigani feza ila alaqesi olmayan, zerraciyin daxili
simmetriyasrna baih bir dayiqandir. Ona gora dalla funksiyasrnr
,y(t,t,s)=,y(r,tfu(')
qaklinda yaza bilerik. Bu funksiyaya unitar gevirme ile tasir etsok,
yo'ni
u vG, t,s) = u v
F,th{u\ = vG,tV eG)
e'G)=ueG)=(r* 6u)e!)
yazanq.
U
=l+
5U c*virmasi sonsuz kigik ccvirma olur.
dv
=zue!)
Unitar gevirma
206
U
U"\_( a+ip 7+i6). a-+t
=(U"
lu,, uu)- \-
y+
i6
a - ip )' p,y,d -+ o
olarsa
0\*{p
u=P
(0
"/ [0
gaklinda yazanq. Buradan
ur(i
=
!o).t,;).{:
;)
"(:')rro.r[i _0,)rr,l.r(_0, l)r0.
.,(i j),o=[(; :)".{;
.(l ;),1,o
- r'\
-")'.(:
o
l*
(43'r)
olde edarik. f43.1) ifadosini
ue(,)
=
q(")+
iio-a*e(,1
=
(,.,i,-a,)r{")
kir4ida yaza bilerik. Burada
t\
&r=d,
ot= (:
o)=
&z=f ,
oz=
-r
&,=
g,
",=[;
i:
o
o"
I
)=o,'
_',)="
,,
(43.2)
igaraleri qabul etsek, o,,o, veo" spin matrislari ahnar ki, bunla_
ra Pauli matrisleri deyilir. Bu matrislar
orar=-oy6,=io,;
oyo, = -o,o, = io,;
o,o,=-o,o,=iori
ol = o] = ol =1
(43.3)
miinasibetlarini odayan matrisler olurlar. Ogar bu matrisler vasitai
ila
3
=|u
s3.4)
operatoru daxil etsak, iig dana
6-I
", = zo,
=\",
3,,L
(43.s)
^h
'2=:o-
S-
Unitarhla gdre U*U = 1 olduEundan
= (r - i)o-.a. )(r + ilo,e,) =
spin operatorlanm alanq.
U' U =
w.
=r+;)(a* -o;b,-...=r
olar. Buradan dr = di olar va buda Pauli matrislarinin ermit matrislar olmasr demokdir. Pauli matrislarinden istifade edarek .i2
operatorunun maxsusi qiymatini tapanq
s' =+G: +.i
S'
*,)=lt
*) =T eG) = n's(s + rb(s)
Bu berabarliyin Odanmasi iigrin
SrG)=n',(,*r)rG)
miinasibetlarinden
5=1
2
alanq. Demali, elektron, spin momenti
.S
=
1
2
olan arracikdir
(fr = t olanda). Indi ise S', Sy, S. operatorlannrn maxsusi qiymati
ve maxsusi funksiyasrnr aralduaq. Bunun iigEn elektronun dalf,a
funksiyasrm iki s[tunlu matris gaklinda tasvir edak (o Jar iki satr
va sttunlu matrislar olduluna gora)
208
,=(i;,)
O S,
=f,",
,.,,.
oldulu rein
=
i(: ;tr;: )
*,.,,,=
l r, = t.r,l|;Lrqv, = s.v,*
!r,
=
alrnu. Oger
V/r
=
(43.6)
s.r,J
l'v, siv,
=
.! = t olr..",
=
ud?,)='.(:;,)
:= * ft
" ='
Vrt=Wz olar,
-Vz olur. Hal fnksiyasmrn normallama
lr"''' l'
Vts,=Vzs,=yu",oldufu
s,=-|
nur,oau
o.
*
[e[n
q = -]
gartina g6ra
l'r''" l' = r
S,
=f,
natoa^
v,=i,v,=-i
olanda
-=([)=+(l)
olar, lakin S, =
-|
ofaucaa isa
ohnaa isa
l,)
209
Vr,=f;ahnar.
"^.
**
s,=X
olar, Belalikle, ,S, operatorunun maxsusi qiymeti va maxsusi funksiyasr
h Vs. =Et,
trl)
s,=1,
s.=-+,,,"
Saklinda
tap u.
^h
S"=1o,
b)
=+(-',)
oldufu ugiin
i(: ;trn *l :;:)=',(r;,)
=
ya.zlar. Buradan S, =
I
5r6ou
_ivr=V,
iv' = rlr'
ot
r. S = -ta
hahnda isa
iv, = V,
iv' = -ttr'
ahnar. Onda S, =
:h qiymetinde
*
,a
fl_h=-Z
v,\ v, ) f1'\
=lr)=1,r,)=\,)''
(
(
qlymotrnda rsa
(v,\ ( r, ) f l)
'=lr)=l-,r,)=l-,)''
alnar. Normalama gartine gdra
210
s37)
lv*,1'
olur. Belace. S, =
*lw,,,l' =1
operatorunun maxsusi qiymati va maxsusi
lo,
funksiyasr
'"=X..r,,=#0
s,=-f;, ,,,=L6 '.)
-t)
c; ,i, = 4o, olduqda
S,vr, = s,v,,
;(;
i\T,)
i(:;,) =',V,)' i1;,=){;,
=
ahnar. Buradan
s,=j
s,
olar. Normallama gartine
=-t2
g6re
lr'o l' * l'r"' l'
'2=t
yazanq. S-
=
'
olanda
Vs, =l,Vzs, =0
olur. t akin 5- =
'2
-t
olduqda isa
Vs, =0,Vzs,
olar. Onda da
2tt
=l
(43.8)
,=(i;,)
hal funksiyasr
S
=l
olanda
,r,=[;)
q = -t
olanda isa
olmalrdrr. Belalikla,
t,^h=
^=(:)
operatorunun mexsusi qiymati va
ir,
maxsusi funksiyasl
/t\
. =;,
-fi
t r. =[OJ
",
^h/o\ V,
',1,=l . I
J- = ---,
'
2'
gaklinda olur.
\l)
S,,3, ,a.i, op"tatorlannn
t^ - I
(43.e)
arasrnda
F,,s,l=&s, -s,s, =iis,
r^ ^ r
[s,,El=s,E-s's,
r^ ^ I
='frs,
(43'lo)
tE,s,l=s,s, -s,& =,ns,
komutasiya miinasibatleri mSvcuddur' Bu m[nasibetler orbital mova i, arasroda olan (17.5) monasibatlarinin eyni olmeotlar
i' i
duE'uua g6ra spinin moment xarakteri dagrmasr agkar olur. Ona
g6ra spiu momcnti, maxsusi moment adlanu va bu momentin varhEr daxili simmetriya ile alaqadardr. Bu baxmdan spin momentinin
varlp arreciyin (elektronun) ferdi xassasi olduf,u meydana gxrr.
212
Demali, moment xarakteri dagryan 3,,
mexsusi qiymati va maxsusi funksiyasr
q
"a
q op"r"to-rro
t.=X,r,.=+(l
t'=-,o,r,.=+(],)
t.=-X.,r,.=#(],)
,,=l*,,=#(i,)
"=')'"=#[]')
t
=;,'r" =[;)
(43. r 1)
i,^ (l)
=
qiymatlari atr va hamginin 32 ila S" arasrnda miinasibatlerin
s,.i, -^f"s,
=o
s'=1n'=$: +S: *Srz={f
4
'
t
o)
4[0 t/
'
G3.t2)
S'r = t's(s+ tV
S,w
=ns,,y,s
=),s,
=
*;
olnasr balli olur. Buradan ahnu ki, elektronuoun sfini
j
oUr va
bu qiymat Stern-Herlak ile Eynigteyin-de Gaas trriibasindaki naticalari tasdiq edir.
213
$44. Spin funksiyasr. Pauli
tanliyi
Ma'lumdur ki, sistemin spin hah iki funksiya ile xarakterize
olunur, Spin operatoru ,S'ueS, -nio maxsusi qiymatleri
olandakr hallara uyf,tn galir. Ogor spio
|
+4
2
-air.", aaE" funksiyasr
,r=rr\rr,i)
'2 -t olanda isa dalEa funksiyasr
soini
w'=w(t'''-L)
olur. Onda spini mfieyyan edan p, (q )fu*siyasr aaxil edilirsa, sist€rnin hah
(M.t)
wG,t,s,) =,y(t,r)p, (s, )
funksiyasr ila xarakteriza olunur.
s"
ooda r,(r, r,Lr)ntt funksiyast
=f n r'vtr,,,s,)=w,(;,,,-f,)
fulsiyasr isa spininin z-oxu boyunca proeksiyasmm
t, = -*
^'
masrnr gdsterir. Uy$un olaraq zerraciyin spin hallanm miieyyan
edan spin funksiyalan
e,(s.)=ri(*)=',"tEl=,i(-.,t)
,"6.\ =,
i(i)=o,e,(',)
2t4
=,
.o
=,
i(- 1)
@42)
(44.2) paklinda yazrlan funksiyada, Spin S, , bagqa mexaniki kamiy_
yat kimi dinamik deyi;an xarakteri da5ryrr. Burada otan p, (.S,
)spin
funksiyasr (214.2|a g0ro ortonormallagan funks[ysdr., yqsi
Zeiq,(s,)=0,.,
(44.3)
s,
olar. Ogar faza ve spin koordinatlanndan as
varsa (mesala j va d kimi) ki:
r olan
operatorlar
Q=0,0,
bu operatorlann (44.1)-a tasiri
tp,e
=Q
")
"(s,)
",y(t,
gaklinda yazrlmahdr, p, operatoru dalf,a funksiyasrmn faza koordiQ,yQ 1 s
fl
natlanndan as r hissasina,
isa spin funksiyasrna tesir edir.
pauli
Spin deyiqani ilk dafa
tanliyi adlanan tanlikda naara
ahnmtgdr. Bu tanliyi almaq iigrin elektromaqnit sahasindo harekat
edan zarreciyin Hamilton operatoruna, xarici maqnit sahasinin intensivliyi ile maxsusi maqnit momentinin
p,=-:-s
qarflllqh tasirini noza..
"luq,
y"oi
tu
'"
=_F,B
bu tmirin potensiyal enerjisi olar ve Hamilton operatorunu
n
=!(i-g;\'
zm\c)
-"e+u
+d,u
yazzriq
I h,d spin oneratoru
S=
n
f
=
olduEunu n66ra itmaqla
j(F-t;,)' -",*u *fi(o.n,+o,B,+o,B,)
yaza bilarik. Ogar dalla funksiyasrm
215
o
=(v')
lv,)
pklinda qebul etsak, bu funksiya aqa$dekr tanliyi
olar:
Odeyan funksiya
(v,\= | (i,_ea\'(r,\_"r(r,)*
ot\v,) 2n\ c ) \v,.)
,ha
.u(;'.).fitun\y',)
-'\vz)
g4.4)
Bu tanlifs Pauli tanliyi deyilir. (44.4) tanliyinde 6(o,'or,o,) spin
matrislari (,14.3) ifadesindaki matrislardi (43.3)tanliyini
inff
= tr
gaklinde de yaza bilarik' Burada
mayan Hamilton oPeratorudur vo
".=(? ;),",=(l
",y
f,,
+
p,(ai\y
operatoru
(44.s)
d
matrisleri ol-
;),",=(l -',),,=(r, i)',,=*
Bu tanliyin oz-6z[oa qogmasl
-,o+= u:v, * p,(aE\ v.
(ail r' =v'(ai)*
olduf,una gdre (44.6)-i soldan
raf-tarafe grxsaq
y- -
e4.6)
(tA.6ln.tiso safidan q4vurub te-
infi(v'w)= w.(fr.v)-@
"rl , *
.b.@[email protected],
alanq. Buradan kailmadik tanliyini
aW
a
+aii
216
=o
(44.7)
alde edarik. Bu ifadedaki W ehtimal suhfir ve
7- careyanrn ehtimal
srxll$
w
=v-v
=u;r;\|,)=ri,r,,+vi,t, , =(r,\
; =]Q*w.
-,y.io)+aer., * =ltlrrl'*"
?auli tanliyinde ehtmal sxlrlr va caroyamn ehtinal suJr$ olurlar.
z- oxu boyunca yi,naltdikdo pauli
xusus.l .halda maqnit sahasini
tanliyini stasionar halda
vQ,t)=161r-''
(44.e)
fi"=-fiv, *u(,)
yazaflq (H2 olan haddi emal etsak) onda tanlik
#a' . *'\f) = 4f ,)
burada iki tanlik
u'(f;,).
oldu[una gdre
t"w,
*ffi(i. +n\y, = "r,
e.v,*fi(i._hV,=ev,
(r-o"r^-r.r-*)r,=,
z\
/
(44'lo)
Ir-r"nn+r"n-*P,=,
qaklinda ya.alar. Birinci tantik ya y, spini
,
ci tanlik ve
yr,
spini S, = -f n"frnr
217
teln
q =t
61xa
5rt,r,,, 116-
eden tanliklor olurlar.
Belelikla, zerreciyiu spin hahnr maqnit sahesinda aragdumaq iigiin
Pauli taDliyinh Szalliklarini m[ayyen etsnok olur.
p.mB !a! P"B enerjilari uylun olaraq orbital va spin momentlarin maqnit sahesile qargrtqh tasirini xarakterize etmig olur.
g45. Simmetrik vo antisimmetrik hal funksiyalarr.
Pauli PrinsiPi.
,",r=E[
h2
vi+u(q,,)]+
J
(+s.r)
*Lw(q,c,)
qaklinda olar. Burada U potensiyah ve W qarg tqh tasiri eyni kiitla,
yiik, spin ve s. eyni crire qabul olunur. Gtiriind[yu kimi <b ila (>
zerraciklarin yerini dayigdikda H dayigmir'
H (q u q r r " e r r " Q,, "' t,, t) = fr (t,, 42,"' Q 1 ; " Q p "' N, t) @ -2)
Yani eyni zerrecikler sisteminin Hamilton operatoru zerreciklarin
yerdayigimina gora invariant olur, istanilan arracik ciitiiniin yerin
dayildikda Hamilton oP€ratoru dayigmaz qalr. Bu invarianthq
gGterir ki, eyni zarrecikler sisteminda ele hallar realiza olur ki, zarraciklerin yerini deyigdikda sistemin hah deyigmir. Yeni, 6l9ii zamanr har hansl fziki kamiyfatin qiymeti eyni arreciklerin yerini
dayigande dayigmaz qalr. Buna kvant mexanikastda eynilik prinsipi deyilir.
- Ferz edek ki, iki zarracikli sistemimiz var va t=0 anlnda l-civa
2-ci zrrirer,ift- a haLrnda olarsa,, * 0 aDrnda qakil II. I 6 A-da oldu[u
kimi simvolik olaraq gdstarmek olar. / * 0 annda <b> vaziyyatinda
ham l-ci, hamde 2-ci zarracik olar, bansr zarreciyin bu halda olmasmr s6ylamek miimkiin deyildi' Eynilik prinsipine g6re
2t8
t
i
Eyni zarraciklerdan taqkil olurmug sistemin kvant mexanik
xassalirini miieyyan qanunauyfunluqla aqkar olur. Kiitlesi -m, yukii-e, spini-s ve s. eyni olan va har hansr xarici tasirda eyni ciiro oziin[ aparan zarracikler eyni zarracikler adlamr. Onlartn dzelliyi miixtalif zarreciklerin xassalerindan farqli olur. Eyni zerraciklar sisteminin Hamilton operatoru
fr(\uq,;"4r;"qi,
i
!
t:0
gakil II.l5. lki zerraciyin hih
<b> hahnda eyni zamanda 1 va 2 zarreciyin olmasr
ehtimal ya_
ranu. Ogar zarraciklarin yerdayiSme operatorunu pn ila igare etsek, bunu
Q+dc,,c u "c r,"' q,, .q
= v/(c,,Q n... 4 1 ;.. Q u...Q u,t) u.z1
kimi yazanq. Bu operatorun maxsusi qiymatini tapmaq [9[n
V'lQ,,Qz,"' e, ;'. Q* ; -. q, 1)= 1o1or,9z;.. Qt;.. e t,...e n,t)
yazaqva
*l
(4s.4)
Q,aV=kV
(yrqoxlu sayda zarraciklerin koordinatrndan
Qpez;..Qx,t asir_
du.) tanliyindan, onun mexsusi qiymetini a;kar ede bilarik. k adadi
mexsusi qiymatdir. (45.4) ifadesinin her iki tarefrni soldan pn ope_
ratoruna vursaq
1iv=@ov=tv'=k'r/
(45.s)
010y,=lnt =w
(4s.6)
alanq. Bu ifadeni
kimi yaza bilerik. (a5.5) ile (45.e-m m[qayisa etsak
olduf,u agkar olar va buradan
k2
v' = k2ttl
=l,k =+l
(4s.7)
tapanq. Yani, yerdayigma operatorunun tasiri
Qpv=v
(45.8)
Qav=-w
219
verir. Ogar Q,oV = ry olun , y funksiya simmetrik funksiya adlalrlr.
(45.e)
1nw =v,
Ogar Qrty = -ry olursa, 7 funksiya antisimmetrik funksiya adlanr'
dnv=-v=w,
(45.10)
Simmetrik dal[a funksiya ile xarakteria olunan zerraciklara bozonlar deyilir ve onlann spini fr vahidlerinda tam deyerlar altr:
O h , I h ,2 ft ,... (foton, Pionlar va s.)
Antisimmetrik dalfia funksiyaila xarakterize olunan zarreciklara fermionlar deyilir ve onlarrn spini h vahidlarinda kasir dayerlar alrr:
ln h ,312 h , 5t2 h ,... (elektron, proton ve s')
Bozonlar Boze-Eynigteyn, fermionlar ise Fermi-Dirak statisti
kasrna tabe olan zerraciklardi. Fermioular ugln Pauli prinsipi adlanan bir prinsip mOvcuddur' Bu prinsipa gora har hansr kvant hahnda birdin goi arrecik ola bilmaz. Superpozisiya prinsipindaki a
amsallan figiin
,@,k,)= Iw|(tfuo(1Yv,
o\,k,\= [v'nQ\voQYv,
inteqrallan oldug'una goIE
a(k,, k,, tV,, $h, *@)
,y (r,2, t) =
ll
kt
(45.11)
kt
ifadaindan
I
a(t,*,, t) =
lvi(\\y,,(z\c(r,z,tPv,ar,
yaza bilarik. Kvant mexanikasmr
III postulatma 86ra
w(tc,,*,,t)=la(tq,tc,,tl'
-
(45'12)
oldufu iig[r l-ci zarracikla 2-ci zarraciyin yerini dayiqsak
v(z,r,t)=
t\,,,(2\t,,,(2)
II(&,r,,
kz
(45.13)
Lr
syazanq. Fermionlar figiin (45.12) ve (45.13) aks igare ile bir-birina
beraber olar, onda da
t\
Zla(t\*,t\y,,(z)r,,$)=-22"G,k,t)y,,,(tVL,e)
(t,2, t) = -,y (2.,t,
,y
yaza bilarik. kr ile
krnin yerini dayigsak
2f ,"(rr,r,,t)y,,(rP.,(t)=-IIa(k,k,tfu *,0h,4(2)
Buradan
(tq4t)= a(*,*,t)
altnar. Burada egar kr=kz=k eyai hal olursa
a(t, *, t) = a(1r, 1r,1) = s
(4s.15)
elda edarik.
Y.ri T zarrciyin eyni halda olma ehtimal-rm tayin
eaan a(k,k,t) amsah sfir olacaqdu
w =tp(r,*,tl' =o
(45.1O
Belalikle,. iki arraciyin eyni halda olma ehtimah sfir olur.
rlu r,autl prrnsrpl olub, biit[n fermionlar igfin yararL bir prinsiodir.
(e)ektro_n, proton, neytrotr vs s. bele zarraciklardi)
.Fermionlann, sayr ikidea gox olarsa, yene-de eyni bh hatda
olrna ehtimah srfir olar.
.- _
.
.$46.
Helium atomunun enerji seviyyalari.
'
Para, ortohelium hallarr
_ , Hidrojen atomundan sonra nlve atrafinda hareket eden iki
elektronlu sistem. o.laraq, heliln t16 atomunu ggrt"r-ai oLi. nu
atomun. xassalerinin gragdrnlmasnda m[htm-iolu elektronlann
sptn na an oynayfi. Helium atomunu sxematik olaraq gekil l.lG
daki kimi tasvir etmek olar.
I
2
$akil I.16. Helium atomunun sxe.mi.
221
Helium atomu Ug[n SchrMinger
iha v(4d,,s,,
J)
=
tanlil
fr (t i,s,,s,, \y(r,r,s,,s,,,t)
(46.1)
qaklinde yazla biler. Burada
-Js,
,y
(4;rS,,S r,, t) =
u (;,;,s,,s,.) = -
"1
",Y (irirs,,S
r,,
t)
fitl - *o?+ -T.
\ =.[i . )]rt,n =,[4
+
r'4,r,,
=li, -
*,-
*
(46.2)
7,1
W potensiyal mnmkiin olan biitiin qargrhqh tasirlarin potensiyal
Burada yalnz, Kulon tasirini nezara aldr[rmz iigiin
"r"i.1i"iair.
W=0 gdt[rek. Yani tonliyi
-4 .(\,lro"s")
|l2n'
lu -Ar, - *o
?sn ' rz \z)
=
rl,,as,s,\
6a.t1
yazanq, burada [S,,, l-ci elektronun, irSr, isa ikinci elektronun
dayiganlaridir. Oger
rtg)=-!vi
lm
-b'rt.
+2
zez
vi-rtQ)=-^
zm\
r $,2) = !,ff,,s,")
ftz
'
(46.4)
: r,(r,,s,,) = z
igaralari qabql etsek,
[i+61.r+121* v(t)1,$,2)= r,y(t z\
(46.5)
tenliyini yaza bilarik. Elektronlar arasmda Coulomb tasirini nezara
aLnasaq v(I,2)=0 olar, onda (46.4) tanliyinin halli
(4o sr;
'Y(t,z)='Yr(t\'Y,'(z)
yaza bilarik. Burada r7. (1)
rt(r\y,$)=
nr,yr(r)
canliyinin hellidir . ,yr.(Z) is
fr(z\v,(z)= n,,v,'(z)
tanliyinin hellidir. Onda bu halda heliumunun enerjisi
EL
=
=-+(+.#)=*o,(#.#)
E,.,-
$6 6)
olar. Eyni zamanda VQ,t)= W r$fur|) funksiyasrda (46.Q enerji
qiymatini xarakteriza edar. Yani bu hal ikiqat crlaSmrs hal olar.
2
I-akin f
(t,Z)=l--ni naara alsaq,
bu crrla5ma aradan qalxar. Fe-
\z
za koordinatlan ila spin koordinatlan bir-birindan as
1
qlmadrSna
7
gora I/(t,Z) =
9-
llduqda iki elektronlu dalla funksiyasrm
\z
vQ,;,s,,s,,) = 6$,;, b(q, q, )
(46.7)
faza va spin funksiyalanmn hasili kimi yaza bilarik. Elektronlar Pa-
uli prinsipina tabe olan zarreciklar oldufiuua g6re (216.7) funksiyasr
antisimmetrik funksiya olmahdr. Butrun igfin iki hal m[mk[nd[r.
Bu zaman ya faza funksiyasr /(4r, )simmetrik, spin funksiyasr
p(S,,Sr") antisimmetrik, ya aa /(4r, funtsiyasr 'antisimmetrik,
)
e6,,Sr,) isa simmetrik otnahdr. Onda He atomunun m[mkiin
olan hahm iki funksiya ila g6sormek olar
Y,=6,Q,;"fu"$,,5,,\
v, = o,Q;nh,(s,,s,,)
burada
<<s>
indeksi simmetrikliyi,
<<an
,n. VrG\y r(7r) funksiyalanndan [9
isa
(46.8)
xnlisimmetrikliyi g6sta-
dene simmetrik va bir dane
de antisimmetrik funksiya tagkil etmek olar:
o,Gr,)=wrL\c,G)
(46.e)
o,G,i)=v,t\c,G)
o'
G,;)
=
izlv
r
Q,\v r Q,) +'v (r,\v
"
r
Q)l
o"G;)
=
i[v
-G,fu,(;) - v,G,\v ,(r,)]
Eyni qayda ila spin funksiyas, e(q,q,) figiiu da ii9 dena simmetrik, bir dan.e de antisimmetrik funksiya qura;drmaq olar:
9,^(s,,s,,)
= 9r,,(s r,h,,
g,n@,,S r,) =
I
r(s r,\
-u,6', b-,,, (s,,
)
e*$,"s,,)=ile,,,(s',b-,,,(s,,)*q-,,,(s,,fu,,,(s,-)l{+elo1
,-,^6,.s,,)
=
izlp,,,(s
uh-,,,(s,,) - p -,,,(s,")p,,,(5,,)l
Bu spin funksiyxt"t, S, =
.i,
+ Sr, ve
operatorla,nln maxsusi funksiyalar olub, i, 0- h va2h2,2h2 ,2fi2 maxsusi qiymatleri xarakleria edirlar. Simmetrik spin funksiyalan iki elektronun
spini S=1 hatnr miieyyan edir. Burada [9 hal ola biler: har iki elektrouun spini OZ oxuna paralel (S,=l), antiparalel (S,=-l) va OZ
oxuna perpendikulyardf (S,=0). Ya'ni" bu hallar nghlk hah (S=l
hiplet hah) va bklik hah (S=0 singlet hal) adlanrr.
Demeli, toplam spil vahid olanda, spin funksiyasl simmetrik
funksiya olub, triplet (iigl[k) hah, spini srfir olanda isa spin funksiyasr, antisimmetrik funksiya olub, sinqlet (raklik) hah gdsterir.
_ Heli L'.'n atomunun triplet hah ortohelium, sinqlet hah isa parahelium adlanr. Ortohelium atomu, simnetrik spin funksiyasr ila
( pr, ), parahelium atomu isa antisimmetrik spin funksiyasr ila
(p- ) xarakteria olunur. Odohelium atomunun spin funksiyasr
(46.10)a gora
,32
qrrG)Pr,r(S-)
q-u,6uh-,,16r,)
fife,,,(s,,)o-,,,(s,,
)* p-,,,(s,,h,,,(s,,
I
n9 funksiya, parahelium atomunun spin fuoksiyasrna isa bir dana
fi\e,,,(s,,b -,,,(s,. )
- e-,,,
(s,,
b,,, (8,
I
funksiyasr uyiun gelir.
Indi isa faza koordinatLanna baf,fu feza funtsiyasrm ara5draq.
Ogar (46.7) funksiyasrora fazadan asrh hissasi (46.9) kimi simrnctrik
d(r,rr) ve-antisimmetrik funksiyadan
flgi.in (46.9) funksiyalar Schrodinger
dir ki, bu tanlik
olu.gan funksiyalar oldugu
enliyinin halli olacaqdtr. Balli-
|*
"" " rrr)"" "
L "6,.,1*!1,6,(4r,)=
gaklinda olur. Burada
u.(at)=-fiv,
Tamal hal kimi V(l,2)=0 olan
| -Lr:
L 2^
4 Q,;,)
-T-*rr-T
hal qabul
(46.r r)
(Mt2)
etsak
'-)9\\\)=E"PVr'?)
E,,Dh;.\ (46'13)
ta6
-L-Lvz
r, ?-n ' -41,rr;.t=
tenliyinin halli
vb\ =w,G\y,(r,)
va ya
vbt
=v*(i\y,G)
olurlar. Bu hallarin uyi'un olaraq enerjisi
do =ri
+
ri.
(46.14)
Hayacanlagma naariyyasina g610 He atomuoun hah ikiqat anlagdalfa funksiyasrnr
mrg hal olar. Buna g6reda
2
q\i,) = Zb,,/yt = b,,y ,(i,\y ,(i,) + o7y,(;,\y,(;,)
i-l
1r.
r sy
crrlagmtg hahn dafia funksiyalannrn loplama kimi g6tiirek. Crlagma olanda hayacanlagma nezariyyainde enerjiya olan biriDci tartib
elava ve dalfa funksiyasrna olan srfinncr tertib elavo
_
2@*. z!,ton\,. =o
L'
tanliyindan taprLr. (46.16) tanliyinda iki tanlik var:
)r\
(46.16)
Vu
-
E'lb, +Ynb2 =o)
i).t,.@)-6c1=o
Burada
v"
=
"'
I fwiG\vi,
v.
=
"'
I fvi,
"'
!
v,, =
v.
=
qargrhqh
G\t
oattt
J
v, 8)v,. Q,\vdv,
Q,'IL
ftz
i
8,*,12v, G\t, Q,\v,av,
lviGbi,Q,\v
(46.18)
.G)a rQ,\v,av,
"' ! lvi G\t i 8.,\ v, G)+,,, Q,\v,av,
tair intcqrallandr- Bunlan uyiun
Y,, =Y,, = K
=a' !llvr7,l'lv,(r,1'dUY'
"'!!lv,F,l'lv,G,f
v,2=y2:=e2
olaraq
-
ry
!!v*G,1'l,.*Gl'on!"=
'
ttz
"' !!w*Gl'lv*.g,'f
dWY'
(46.re)
-n
rD=l\-r2l
iqaralari ila g6starmak olar. K-ya Kulou tash eoerjisi, A-ya mrlbadila ebnerjisi deyilir. K inteqrahnda l-ci elektron k hahnda, 2-ci
elektron ise &' halrnda ve ya l-ci elektron t'hahnda, 2-ci elektron
k hahnda olur. Lakin A inteqrahnda l-ci elektron eyni anda hem k
rre ham de t' halnda, 2-ci elektron da eyni anda ham t' , hem de k
hahnda olur. Yani, l-ci va 2ri elektron k ila t'hallan arasmda m[badila eder. Oger
226
"lw,(rl' = n*
Aw,Ql' = p*,,dtw,(2l' = pu
Qv r(rl' = cn,
"lv
igaralari qabul etsak,
*'$l'
p,.
I
= p,o',Av rr(21' =
(46.20)
P,,,
-ci elektronun y0kiinfin k hahnda
su[!r-
u, prr. Z-ci elektronun t'hahnda s lfuor, pr, l-ci elektronun
ft' hahnda yuk sxhgrnL
p!l).
t*i
l,4r 2-ci elektrouun k halnda yuk su[!rnr,
elektronuo eyni andah k va t' halnda y[k srxhlrnr
g<istarir.
Demali, I va 2ri elektronun k, k' ua k' k hallannda y[kiiniin
sxh[r Coulomb va m[badile enerjilerini tayin edir.
(46.19)-dan
x=[ffiv,ar,=!!ffiv,av,
(46.21)
^=!l++rar,=!!ffiv,av,
K va A-nr yaza bilerik. (46.211i nazare alsaq, (46.17) sistemi
(r-ro))a+,1a, =o
I
(6.22)
n,+(x-er't)p,=o[
yadar. (46.22) tanlikler sistemin birgo halli
dan qurulan determinant
buradan
sfr
oLmasr
iig[n amsallar-
olmahdu:
f;'' "l,,{=,
(46.23)
(x - r{,tf - e, =o
olar va
4'l=x+rt,4'\=x-rt
(46.24)
Ett)-lar iigiin iki qiymat almry olanq. Onda He atomunun euerjisi da
(46.14) ile birlikde (,16.24!deki enerji qiym.etlari uaare al,nmahdu.
Buradan He atomunun enerjisi iki qiymat alar ve bular yalnz mi.ibadila enerjisi ila ferqlenir.
z,=fl"t+z!)+x+.a
t,=\d + *)
+
(46.2s)
K- e
Mibadila enerjisinin ma'nasrm anlamaq iigin k ve t'hallanna fiksa olunmug tallar kimi baxaq. Sirnmetrik ye antisimmetrik faza
funksiyalan stasionar halda
o,F,F,l=+2lv*Q,\v,8,)+,v,(;,\r,F,)ki'4.4".'
o"G,r,l=izh,G\v,(,,)-,r,hfu ,(i,)b:wt'+)*-^)
gaklinde olar. Ogar
,.=-fi"t+e!)+x
^_t
n ,"=
A
evezlemaleri qabul etsek, eyni anda He atomunun orto va para helium hallannda dalfa funksiyasr (45.25)-e giira
6ff,i)=fi16"t7,;,t)+6.Q;)l=frfr{rr{rlr,,t,)*
+,y,
=
Q,\,y r
""'
yaalar
(t )p-'','
eu
a+
ly/ r
(it>{ r Fr) - w,
+
)lv,G,\r,, Q,\"o "o
r,la
)
+ y,,,
F,lr r Fr)b" t r,'
\=
,G)t-f
(r,fu
ya
6Q;)= c,Q\,y,h\y,(,,)* c,Q\y,.(;,\,,(r,)
@6.26)
geklinda tasvir eda bilarik. Burada
C, (r)
=
"-'""
cos
&
(46.27)
crk)=i"-'"'"n&
Buradan
lq(r)' l<i "t"tt
ehtimahar,
lCr(l'io
onun k, 2-ci elektronun
t'
hahnda olrna
l-ci elektronun /c' hahnda, 2-ci elektronun k
halmdaolma ehtimalmr gdstarir
q(r)'z = c.os'&
(46.28)
lq(r)'=sm'a
(46.28)-a gdra t=0 olanda
/<' halrnda
l-ci elektron &'hahnda, 2-ci elektronun
olmasrm Zutarn.
t=fi
lq(,)'=0,
zamam kegdikden sonra
lqt)'=r
olur. Yeni, l-ci elektron ,t'hahnda, 2-ci elektronun k haLoda olar
t
zama lq (r)' =0,
lG
(r)'
=t
oldugu
tetn
fifi
(46.2e)
2A
miibadile zamam mibadila enerjisinin tors qiymati ile mfitanasib
olur. Ogor k ve f,' hallan fezanrn miixtalif yerlarinda olursa, m[badile enerjisi azrlrr va pnehlimal sxhlr gox az olar. Bu halda m[badile enerjisi srfira yaxrnlagu.
mtbadile zemam deyilir.
(46.22)-da Ell = K+ Anenra alsaq
br=b:
olur. Ogor Ell = K - Arcara alsaq
br=-b:
olar. Normalama gartine g6re
(216.29) ifadasina
.
(46.30)
(46.31)
P'l'+P'l'=r
oldugu iig[n (46.25)
v-e
(46.27)-ye g6ra
P,l=lb,l=b
olar
ki, p,l'
*W' =t
olnasrndan as r olaraq
b=+,
(46.32)
aLnar. (46.30) nezara alsaq, (46.15)r.4 g6re
o,F,;,) =
izlw
rb,\v, (t ) * w, G,V r7,)l
(46.33)
alnar ve enerji dayeri isa
t"=fl"\+nl)+K+A
olar (46.311i nezara alsaq, (46.15)-e g6re
o.h;,)=izlvrb,fuJd-v,G\c,G)l
(46'34)
almar va enerji deyari isa
t^=ffi+*t+K-A
olar. Faza funksiyasr simmetrik oldulu figiin spin funksiyasr antisimmetrik olub, (46.10)nun ddrdiinciisii olar. Yaoi, helium atomunun parahelium halr otar (5 = 0)
O,
e. =
G,;,) =
+
y, (i,\y rff)l
-,, (&, ) - p,,,
(s,, )e,,, (s,"
ilv,G\y,
frlo,,,(s,,)e
(t
)
)
(46.
3s)
Bu hahu enerjisi
n"=tf;)+t!)+x+,t
Faza funksiyasr antisimmetrik olduiu zaman, spin funksiyasr simmetrik olub, (46.10)-un birinci [9 funksiyasr olar. Ya'ni, h€lium atomunun ortohelium hah (s=t)
o.=ily,,Gh,-.b)-v,t>{,GI
tao.:ei
q" =
Pr,(S')q,,(5,,)
9, = I -,, r(S ub -,,,(S r,)
o, =
$1e,,,(s,,h-,,,(&,)*
p-,,,(d,b,,,(s,,)
Bu hahn enerjisi
E,=6f,iaB{'t*6-1
Belelikle, paraheliumun enerjisi va da[a funksiyl5l
E,=EId+dd+x+,q
,y(a;,i,,s,,)=
p,Q,rh.(s,,s,,)
ortohcliumun enerjisi va dalEa funk<iyasr
(46'37')
E,=fla+sftay-1
6.(r;;)e,(s,,s,,)
(46.38)
w(;,t s,.s,,)=
olur. Parahelium va ortoheliumun haltan gekil I.17{a gostarilen
ki_
mi enerji dioqramrnda gdstarmak olar
-,s=!illl:s{s=ortlr
Parahcliun
Y
'
k =1, k'=2
'....
r. = rl") + EII + ,r- l,lrlr
Ortohcliuru
E(o) =
,'
,E.=Elo)+E!?+K+A1.,
$ekil I.17. Parahelium
PstelElite
rre
Y
ortohelium atomunun sxemi.
Geriindiiyfi kimi helium atomunun an aga[t saviyyesi parahelium
atomudur. yani, helium atomunda elektronlann riiof"rilrtir".u_
lel olurlar ve bu hal paraleliain hahdrr.
947. Elementlerin
periodik sisteni
Elernentlerin penodik qanunauyfunlu!.u elektrou sist€,miDin
niivenin Kulon sahainda harakati il5 Uag[rar. fauti p.i^iolo"
asaslanaraq elektronun merkazi qtwa saha-inda harekafi
io-.i"o_
riyyasi clektronlann atom.larda piylalmasrm \€ bunt;r8""-.;rq
kimyevi xassalarir periodikliyiui reyin etmek otr.. ii"it Jum
elementlarda-paylanrnast b€la qayda fiaa olur ki, her bir yeni
rplan
etcment avvolki elementdan bir protonla farqlanir. Meseian.
hldrojcrr atomunda bir proton, heliumda iki proton,
titiumaa Uc'ploton
va s. olur. Atom niiyesinda Z sayda proton, N'oya"
o"ytrt'" otur,
ona grirada atomdakr elektronlarrn sayrda Z qedjr of*]
i.oi. t",
bir kunyavi elemeatden sonra galen elementin elektro"t-,
,"n Ui,
artrq olar.
Aton(Z) -+ Atom(Z+l)
231
elektronlarla
Elektronlar arasrnda qargrhqh tasiri nazare almasaq,
Z niivasi arasrnda Kulon sahesi naticesinde
Y=
-k'r
sayl
Kulon potensiyah mdvcuddur. Protonlann sayt Z, neytronlann
eda biN, elektronlann sayl Z olduf,u ugfin atomu i X kifl tasvir
ile allarik. Atou ann valentliyi atomun spininin ikiya.vurulmasr
'ir?.i*,
iig[n'
misal
oldu[u
spin
V-=ZS. Vani atomun valentliyi =2
beledir:
valentliyi
oUrL b.ri
H He Li Be B C N O ts Neo
Element"t"-"nttarin
.;;;- rn o tn o !2tn3t2t ttz
llil"tritl0l0121210
enerjisi
Bu atomlann
/
E
l\
-z
= i[ -^':":
!i\ zn'ni
ln,
S'
=1.2,3,...
(47.t)
qiymatina uyiun gaolur ve aa aga$ encrji seviyyasi nr=n:=" 'n'= I
i* otivyiit. Normala$an maxsusi funksiyast
r+h2
v,=GTo:." -',a.=
nu
(47.2)
saklinde ola bilir.
'--s[t[o
elementJerin fiziki va kimyavi xassaleri Z sra n6mrastnofrt q, p.riodik dayiSir. Elementlarin periodik cadvelinda
a."
olur, onlar az ionlagr"i.ut*a. .t"li "tementbrde qalavi metallarspektrine
benzar-speknib olan hidrojen atomunun
valentliboyiik
galan
siitunda
dogu
i.J. .irlir.t.Ga.n sonra sagi
olmetal
sonra
ve
daha
yinm
metallar
x"t, sonra ise
yerelementler
neytral
siitunda
.t.-"ottir Yerlasir. bn safi
-^,ii
-i "i-iiti"" t
;;;;;;t
i.,"r"
f"si;. Ef".*tl";n'takrir xassalarinin periodu 2,8,E, 18, l8'32 olduqbinra gutr.
da
- takrarlanma$
m
Sistcmin enerjisi veriloig n adadi [giin l=0,1'" 'n- I'
I
qiYmattar aldrqda
= -1,".+1, S, = t,
n=ir.1,
11','
(47.3)
olur. Bu sistemin dalla funksiyasr [giin
v,hs, = R,(r)yi @, de
"(s,)
yazJrnahdr. Yeni, verilmiE 1"^, funksiyasr [9[n
(47.4)
n hahnda
lz(zt+r)=zn'
l4
(47.s)
elektronnn hal uyfur galir. (46.5]da n=1,2,3,4 yaznqsa,2,g,l1,32
reqamleri ahnar ki, bu da tacr[bada m[ayyan ediJmig periodhrdr.
Ogar elektronlar arasrada Couloumb tasirini neare atsaq, gox
elektronlu sistemin potensiyah
,=-+.ry
(46.6)
olaraq gostarilir. Burada Z(r[{kZ(r)<Zl) ekranlagdnlmrg (perd+,
lenmig) elektronl_ann saydu. Z(rldeki r nlvadan elektrooJqader
olan
lnaafedir. BSyiik momenta malik olan maxsusi funk"iyalann
ekr. anla;masr_(perdaanmasi) 9ox olar, ona gdroda atomlann inerjisi
n-la birlikda l-dan da asdr olar. Bu atomlann enerjisi saviyyaleri
5a-
kil
I.
1
8-da gdstarilniSdi.
gakil I.18. B6y[k
ZIi
atomlann saviyyasi
Periodlar agaf,rdakr kimi yaramrlar:
Birinci oeriod. Umumiyyatla atomlar (n,/) kvant adadlari ile xarakteiza olunur. (1,0) haluda ya bir ro ya antiparalel spinli iki
elektron ola bili. Yani, atom hidrojen rre helium hatnda-olur ya
helirrm atomuoda bu preriod temamlaur.
233
lkinci oeriod. Litium atomunun [9 elektrondan biri n=2
haltnda
olur. Iki elektronla tabaqa qapanll, n=2 seviyyesinde olan bir elektron litium atomunun fziki ve kimyevi xassalerinin mfiayyan edir.
Onun rlstiinde olan hidrojen atomunun xasselarini daqryu. Onun
bir kanar elektronu gox asanlkla atomdan xarice gtxtr. Litiumdan
sonra galan atomlarrn ta@eleri tadricen dolur' Bundan sonra gelen atomlarda tadricen ikinci tabeqa dolur. Berilium atomunda 2
elektron n=1, /=0 hahnda 2 elektronda n=2, I=0 hahnda olar. Bor
atonunda bir elektron n=2, l=l hahnda olar. Sonra karbon atomunda 2, azot atomunda 3, oksigen atomunda 4, ftor atomunda 5
elektrou qapanmamg tabaqede olar va neon atomunda 6 elektron
son tabeqade olanda, tabeqe qapanar.
Og[ncfi period. Bu periodda n=3-olan halda tebeqa qapanu. Tabaqeler nairir-,la dolmala baglar. Ozunt litium kimi aparar (qapanni5 tabaqeda alava bir elektron olur). Sonrakr elementlarde (3't)
seviyyasi dolna[a baglar va bu arqon atomunda tamamlanar.
D6rd[ncii period. (3,2) saviyyesi / =2 olduEu ii9fin (4,0) saviyyasindeo yuxanda yerlasir. Ona gora (3,1) seviyyag! dolandan sonra
dorduncn (n=4) saviyyai dolmala ba5layu. Kalium atomu qalavi
metal atomu olaraq 6ztn[ litium va natirium atorrlan kimi aparrr.
(4,0) seviyyasi dolmaf,a baglayr va (3,2) saviyyesi sonra dolar.
Qeyd edek ki, dolmam$ (3,2) seviyyesinde olan dcrnir atomunda
dbid elektron spini s=+1/2 va spini s=-ll2 olan halda olar. Bununlada damirin maqnit xassalari meydana gurr. (3,2) saviyyasi dolandao sonra (4,1) saviyyasi dolmafa baqlayr.
Besinci period. (5,0) saviyyasi dolduqdan sonra (4,2) va (5,1) seviyyalari dolmaga baglayr. Atom srasl 46 olan elementin beqinci elek-
tron saviyyaindsn elektron (4,2) seviyyaine keger' lununlada
*ll2
dolnamrs elektron tebeqasi meydana gelir va spini +ll2 ve
olan antiparalel spinlar cfit-ctt quruplaqrrlar. Giimflg atomunun
xassaleri beqinci tabeqeda olan yalnz elektronla miiayyon olunurlar. Beqinci period (5,1) seviyyesinin dolmasr ila bitir. (4,3) savi;yesi
isa bog qalu.
Altrnca period. Bu periodda (n=6) 57dan 7l-i yerde olan atomlara
qedar atomlann daxili saviyyalari (4,3) olaolan dolur' (4,3) dolduq-
ca be$ vo altrnct tabaqolarin konfuquryasr dayigmir. Bu eleinenflo_
nn klmyevr xasselari dayigmir. onlan bir-birindan aurmao cetin
olur. Burada (6,l) ta@esi dolmaf,a baglayrr.
Ye{9ingi oerio4. Bu te@a fransium elementi ila ba$laru (n=7) vo
daxili ta-begelerden (5,3) tebeqasi bol oldugu tiq[n ablnaf;- U;lur
(),J) taboqosinda olan elementlarin xasselari bir_birinJ benan.
Yeddinci period elementlerina transuran elelnentlari d;ildir.
saylan 100-den gox olan elementlarda bu perioda daxil
Belalikla_ elementlerin periodik sistemj ve elektron taGalarin
qapanmasr. hansr seviyyada ne qader elektronun olmasril
;6;to;an
A;_
"Gd.
cooval A-da ver mr$dl.
Cedvel
A.
Elementlarin periodikliyi
3
l)
2)
| 012341012
lS 25 2P3S3P3d 49tP4d4f5s5p5d5f5e 6S6p6d6f6ebg 7p
2
I
t
sua
S.He
2
2
tS.Be
4)
2
S)'Pr,rB 2
6)'P"C 2
7) 1S3r2N 2
8)3P2O 2
9)rP3t2F 2
10)'S,nfe 2
1l)'?.Sr,rNa 2
3)2St/2Li
|
2
2 I
2 2
2 3
2 4
2 5
2 6
z 6
I
rz)ts.Mg 2 z 6 z
B)24t2Al 22621
14)rP,S' 2 2 6 2
2
235
2 Z 6 2 3
2prS
22624
161
2Pstzcl
22625
t7)
t9)2s.Ar 22626
l9)2s,t2K2262611
z})2s"ca2262612
24t2sc 2 2 6 2 6 I
2t)
22)'F2Ti 2262622
1F3t2r 2262632
23)
15)1sr/rP
2
zq'4cr2262642
25)6S.t2Mn
2 2 6 2 6 5
2
22 62 66 2
2T'4nco2 2 6 2 6 7 2
2B)tFNi 2262682
29)2s1t2cu 2 2 6 2 6102
3o)Ls"znz2626lo2
3l)zPr2ca z 2 6 2 6lo2
32)3P"Ge 2 2 6 2 6 lo2
33)1gDAs2 2 6 2 6lo2
341'Prse z 2 6 2 6 lo2
2PrzBr 2 2 6 2 6 lo2
35\
t6)'S"Kr 2 2 6 2 2 lo2
37)zst2Rb2 2 6 2 6lo2
ra;'qsr 2 2 6 2 6 lo2
391'4,rY 2 2 6 2 6 10 2
4o)3F2zr 2 2 6 2 6 lo2
z6)5D.Fe
236
l'
2
2
2
2
2
6
6
6
6 |
62
I
2
2
2
2 2 6
42)7qMo 2 2 6
6s5t2Tc
43)
2 2 6
54Ru
44)
22626
45) 's.R/t
22626
46)1Fet2Pd 2 2 6
47)2sl2A8 2 2 6
4qts.cd 2 2 6
49)24t2Jn 2 2 6
50)3P..tn 2 2 6
5l)'E/,,SD 2 2 6
52)'P2Te 2 2 6
53)2P!2J 2 2 6
s4)ts.xe 2 2 6
4t)6D,t2Nb
2 6 102
2 6 tO 2
2 6 lO2
102
102
2 6lO2
2 6 102
2 6 tO2
2 6 tO2
2 6 lO2
2 6 lO2
2 6 tO2
2 6 lO2
2 6 tO2
6 3 I
6 5 l
6 7 I
6 8 l
610 I
6 lOl
6 102
6 1021
6 102 2
6 102 3
6 tO2 4
6 tO2 5
6 t02 6
6 lO2
Hal-hazrrda I I Gdan cox kimyevi element tabiatda, tapilm5&.
Elementlerin periodik sisteminin izaht kvant mexanikasrmn en miihiim nabyyatlerinden birisidir. Kvant mexanikasl yaranaudan sonra, kimya ebni sahasinda cox vacib nsliqal sld6 edilmiq ve kimyevi problemlarin goxu 6z[n[n fiziki esaslannr tap:A&. Atomda,
elektronlar niiva atrafinda bsli bir tabaqani tuturlar. Buuu eyani
olaraq gakil I.19{a gdstarilan kini tavir edo bilarik.
z:t
z:2
z=3
o-,.o.,,@
Z-10
Z-tI
Z=18
@,"@,@)
gakil I.19. Atomlarda elektron tabeqelari.
237
$48. Molekullantr yaranmasl. Hidrogen molekulu
Madda qurlugunun kimyavi ve optik xasselari asasen atomlar_
da olan ntva atrafmdakr an uzaq orbitdaki elektronlarla tayin olu-
nlT. Faqat niivaya yaxrn orbitdaki elektronlar niive ila sx 5hqede
oldufiu iigln, onlar kimyavi proseslarda rol oynanlrlar. Ona etira
kimyavi reaksiyalarda aynlan enerji, daxili elektronlarrn
"o..ilrio9:q Cor: qqI. Bununla alaqedar olaraq kimyevi rabita iki asis qakilde. ola bilir: ion (heteropolyar) va alom (homopolyar) rabitali
qoleiular. Heteropolyar mollekullarda bir elektron aiomda artrq
olub, bagka bir atomda isa bir elektroD gat$madl$ [q[n bela atomlar rastlaganda gatr$mayan elektronlu atom, artrq elektronlu atomun elektronunu qabul edib, dayanaqh bir sistem yaradrrlar ki, bununlada molekul yaranmasr olur. Mesalen, NaCl (xorek duzu) molekulu bela bir rabitaniu Datic€sidh. Bunu ayani olaraq gakil I.20de gdstarak.
Z= l1
Z=
l7
R
gekil I.20. Xiirek duzu molekulu.
Na atomunda qapanmrg tabeqadan elave kanar tabeqada bir
_
elektroq olur, lakin Cl atomunda lianar ta@ade isa bir ejektron
gatrur.Cl atomu Na atomunun elektronunu alaraq tebaqabi doldu_
rur va belalikla, molekul yaramb, xtirak duzu ahnu.
Heteropolyar rabitali molekullann nazeriyyasi besitdir va ona
gdra homopoJyar (atorrlu) rabitali molekullano yaranmasrna ba_
xaq. Bela molekullara misal olaraq hidrojen molekulunu Hz.(oksigen, azot) O2.N2 ve s. gdstarmak olar. Iki hidrojen atomu birlasarok
molekulu yaradr va bu molekul daha baSka hidroien atomlan
ila dayamqL-sistem yarada bilnir. Bu isa kimyavoi proieslarin doy_
ma xassasi dagrmasrnr gdstarir. Hidrojen atomunun kvant mexani_
kasrna gdre aragduaq.
Iki hidrojen atomunun niirrai arasrndakr masafa R olsun va
ferz edek ki R adabatik olaraq dayigir. Ye'ni, R ela tadricen deyigir
.
lt
238
ki, gchrridinger taaliyinin halli zamam onu sabit qabul etunak olar.
A nfivesi B niivaindan R masafasinda yerlagir. Ahidrojen atomunun elektronu l(rr,Sr), B atomunun elektronu 2 (rz,Sz) olsun ($ekil
r.2l).
$akil I.21. Hidrogen molekulunun sxemi.
Bu sistemin $chrddinger tanliyi
in
fr v(n,s,,s,,) = a y(r,r,s,. s,,,)
(48.1)
Ogar spin-orbital qargrhqh tasiri gOz 6n[ne almanqsa, bu sistemin
Hamilton operatoru
1
I I I
n=-L(o:+v:)+rf1+
'
zm
ltt - ltz - ftz -'r", lror.rr
\ft
\z
)
gaklinda yazrlar. Burada ezlR Ave B n[rralori arasrndakr Coulumb
qargrhqh tasiri, e2lr,lr l-ci elektronla A nfiyesi arasmdakr tasir,
ezlrrz 2-ci elektronla B nivasi arasrndakt tasir, e2lrn1 l-ci elektronl,
B nflvasi arasrndakr tesir, e2lra2 2-ci elektronla A niivesi arasmdakt
tasir ve ePlrrz l-ci elektronla 2-ci elektron arasrndalo qargrhqh Coulumb tasiridir. Vf vavl l-ci va 2-ci elektronun Laplas operatorudur. Ogar Coulumb tasirini nezara alnasaq, hidrojen molekulunun
enerjisi iki hidrojen atomunun enerjilryinin.6s6ils g66ber olur:
h=2ffi=zr,
(48.3)
Yeni, bir-birindon uzaqda olan H atomlan figfin R, rrr, rA2 va rr2
haddleri cmal olunduqda (47.2) enerjisi alnar.
Onda hayacaolagma nazariyyaina g6ra sfinncr yaxrnlagmada
dalla funksiyasrm ty
r(2\ w ry r(2)yu, (1) -m superpozisiyasr
^(l)ry
239
$, = c1v,(t)v,(2) + c1v
gaklinda yaza bilerik. Heyacaulagm'S hahn dal[a funksiyasl
^(2)rv"(l)
g,(i,i,)=
(48.4)
ryt
(48,5)
,(t)ry r(2) + crry r(2)ry r(l) +
kimi ya-alar. Burada y'hidrojen atomlannln tsiri neticasinda dal!a funksiyasrna olan elawadir. (47.5) ifadaini stasionar $cfu6dinger
c,ry
tanliyinda yerine yazsaq
rtc,,y,(t\y,(z)
+
hc,,y,(z|,y,(t)
+
tt y' =
=c,,ri,tti,,Q).i,i*,ai,o.'rr,
(48'6)
alanq. H2 molekulunun enerjisini
E =zEH + €(R)
(4a.or;
tapanq. e(R) atornlarrn qarqrftqLr tasiri neticesinde enerjiye olan
alavedir. Potensiyal enerjini
,1,,,t=*(f,-* *.;)
(487)
*(f,_* +.+)
alsaq, (47.6)-m a.gairdakr gakilda yazarrq:
,1,.t=
old.ufunu nezare
v(r2)fu,(t\y,(z) +
+c,fn,@)+n,(r)+rt(2,rfi y,Q\y"61*[t,X1*A,pfu
c,lit,(r)
+
n,(z)
+
*
+v(t,z\V+ln,Q)+a,$fu +vQ,r\Sy=zr,fc1y,0\c,Q)*
+
c;y ,(z\y ,(r)l+
+Bc,+ln)fu
Ur
{,ficy ,(r\y ,(z) + cy ,(z\y ,(r)l+
aaa r (1,2\y',r (2.,t\y' ua
ln\y'
heddlari, o birisi hedtare nis-
betan kigik oldufu [giiu, onlan naara alrnaya bilarik va tanliyi
- zr ,y' =[e{n) - v(yz)py ,(r\y ,(z)
+le\n)-r@t)p,,/,(zfu ,(t)
ln ,(t) + a ,(z)fu'
+
[i,1r1*u,1rfi,:-ri,,i4,@)-v(sz)py,(r\y,(zy*(48'a)
+lln)-r(glp,v,,Qfu ,(t)
alda edorik. (48.8)-da
.
f{,e)=-!vi-1,*,frl=-!rt-i
zm
ftz
2m
(48'e)
tet
Riyaziyyatdan me'lumdur ki, (48.8) tanliklsliail saf, tarafi bircis
tanliyin hallina ortoqonaldu.
[fl,(n) - r0,4lc, v,(r\,r,Q) *
+b@) -r(z,t)Y,w,Q\y
f fl,(n )
'
rQ,z)F, y
"(r)l
^(r\,y,(z)
w
+
^(r\y,(z)av,ar,
(4s.10)
+le(n)-r(2.,t)p,v,Q\y,(r)1,y,(z\y,(rpv,ar,
Ogar
r = llil(rVi?\y,(z\y,(tpu,ar, = llnQ\,'Jr)to
e=
[!fi(zYi(rV
= ![w'^\V; @r,
x
=
Q.,r\y
^(r\y,(zpu,av,
(t,z\y,(z\y, (rP r,a rr,
^(t\,y,(zp
v,a rr,
=
[[v:(t\,iQ)v (r,z\y,(r\y,(zYr,ar, =
=![w',QV;0Y(z,t\v,(z\,v,(t\1r,av,
(48.10!dan ["(n)- rF, * ["(n!, - AF, = o
b@y, -,rb,.1r1"1-*!,
igaralari qa'bul etsak,
=o
(48'l
l)
(4E 12)
tanliklarini alda edarik.
(48.1 l) ifadainde K-Kulon, A-mtbadila enerjisi, 12 isa itrtma
inteqrah adlan:r. R -+ co yaxrnla$qda A atomu B atomundan
vaq olur va onlar az kasigirlar. Onda da I -r 0 yaxr.nlaqmrq olur.
R -+ 0 olduqda ise A atomu ila B atomu Ust-iista dii$it ya
.R -+ 0 olanda 1 -+ 1 yaxlrlagr. Yeni I int€qra[ srfu ile vahid arasrnda qiyrnatler aln:g olur:
241
0</<l
K iki yiikiin Kulon qargrhqh tesirini xarakrcrize eder. Y[k sxhpr
pr=_y'v,1,,p, =_4w1,
\
daxil edariksa, K enerjisini
* n e,(i.
-K = "'
R t ,r,
dy. *
p,Q). ay-
' " t ,r,
'
* JJ1p^(!)p,Q) s.av
1
\z
yaza bilerik. Bwada ty r.ryr, A rre B hidrojen atomunun normalagmrg dalla funksiyalandu. Mfibadila enerjisi isa
,q( n\
=
"'
*
ILEA- av. *
R " , r,,
puk)
av.,
[2a@). 6v^ + t I2-A
" , ;:o"+ llwdYiv2
kimi yazrlar.
G6r[nd[yu kimi ham K@) va hemda A(R) miisbet va manfi
qiymatler alrr vo bu atom nriveleri arasrndah masafe ila alaqadardt.
(48.12) tanlikler sisteminin birga halli olmasr [9[n Cr ve Cz
emsallanndan dtzaldilen determinant srfir olmahdn:
ll
Buradan
,G)-r
"(n\'-,tfi_^
114il,'-n '(n)-r ll-"
.
olar. Ye'ni
tG)-rI-["(*)i'-el
=o
e'(a)-zxe(a)+ K' - e'(R)I' +u'za€(R)- a" =o
(r-r'p1n)-z(r - rAp@)+(x' -,()=o
alanq. Belalikle, e{R) -io tou"ri
€t,z
=
K+12A T,IK - I' A
l-
12
taprtar. onaa e(R)-io
iti totl
242
K-I,A+KI'-A lt+I' -i+ I'
[-r'lt+,r')
(t-u'
K+AI'-lI'K-Al
1+ 11
:fi
(48'13)
K+A
(48.14)
- .--'i
l+ I2
olar. (48.13) va (48.14) hidrojen atomunun enerjisina Coulumb tasirlerini nazare aldrqda olan alavelardi. Bu elavolar da mtbadila
cnerjisi ve drtma inteqralr-nn i5arosila farqlanirlar:
-z--t.
,tt
-lu
. _K+A
- l+ r
ot'2
(48.13)
k6k[n[
' = [:!
t-r' gA.tZ]da yerina yazsaq
",
(fi-.)r.(#-n)',=o
(fi- -^)",.(fi-*).,=o
(ru'-,tY,*(ru'- eN,=o)
(xt'-,tb,*@t'- eN,=ol
alanq. Buradan
Cr=1r=CH
olar. oger
+
=
ff/
$l*tini
(,18.
C, = Cr=L6'1
elda ederik. (48.4F gora
(4E.15)
l2)-da yerine yazrup olanqsa
(48.16)
(4t.17)
,(z) - w,Q\y,(r)1
(48.18)
h, = c oiv,(r\v,(z) * w,@\v,(r)l
faza funksiyalan iigun iki (4E.17) ve (48.1E) ifadalarini alorg oluruq.
Buradan gorln[r ki, (4E.t7) halmda antisirnmetrik fuoksiya, G8.18)
halrnda isa simmetrik funksiya almq. Q.t rc Q*; emsallan
fir"vah, funksiyalannda normalama gertlerindao tap r.
6,, = c6{v
^(rfu
243
lo:"h,ar,ar.=t
(48. r9)
Pi,o,,anan--t
Normallama gartine g6ra
lc
Fl' llf,,)$V;@fu^(M "Q\ - dzh,;$fu,(1fu,,(2)
-
-il(lvi!\v,(z\r,$*ilQ|i\fu ^Q\v,$)\a4ar,=r
lc,.)' llV)(Ni@\c ^$V,Q\ * ilQfui(lv ^$V "Q) *
fi(N;Q\r,Qfu,0) * ilQfui(N,@\v,Q)\av,a
*
v, = r
lc,-,1'Q-lr')=t,"=#
t
tLt
1Ctl1
almr.
p
+
.'l_r.,
I
=
E * zr
u'
)
\Co\ _
=
(4E.20)-tri, (4E.17)-i we (48.18)da, (48.13)
(48.6)-da yerina yazsaq:
ve
f.,
Iiiil]
q=2E,*ff ,0,=fi W^{r\r,(z)-y,(z\y"(r)11+t.zty
E, = 2 E, *
fff, o,
;
=
fuW,,1\y,(z)
alda edarik.
II:
+
y,(z\y,(t)l
molekulu iig[n iki enerji qiymati vd iki antisimmetrik ve
sirnmetrik dafta funksiyasr alanq. Dalla funksiyasrnrn simmetrik
rre antisimmetrikliyi hidrijen atomlanoro elektronlanmn yerdoyigiEina gtira olur. Faza funksiyasr (tE.21), yani yerdayigmeye gtira
antisimmctrik olduqda, fermion sistemi (iki elektronlu sistem) Pauli
prinsipini 6dadiyi [giD, spin funksiyas simmetrik olmahdr. Faza
funksiyasr (4E.22) olduqda isa spiu funksiyasr antisimmetrik olmahdr. Ya'ui, simmetrik spin funksiyasr
244
p, = e,(s,,)p,(sr,\
,
2
(48.23)
p,,=P ,(s,,)e ,(5,,\
(s
(s,,il
,,=*lr,$,,h,(s,,)*p
-i ,,)r,
-i
lzL ;
,
va antisimmetrik spin funksiyasr isa
r.l
I
'f
=ilr+(s"h,(s,.)-p_r(s"h+(t,,).1
,"
(N.24)
olurlar. Belalikla, iki atomlu bir sistemin (Hz molekulu) enerjisina
iki funksiyaya uyEun golir.
E(t=2E,*ff
1;e,=ffi\r,0\r,(z)+,y^(z\y,(t)lga.zs1
dlt=2Ett*ff
;o,=fi
lr,Q\n,(z)-,y,(r\y,(z)lga.zq
(48.25) ifadasinda bir spin hah olur, ona g6re bu hala sinqlet hal
[I
), toe.ZOl habna isa [9 spin hah uySun galir ki, ona g6ra da
bu hal triplethal
f2
)
"o"rr.
Potensiyal enerjinin niivaler arastndakr masafadan asrldrpr:rn
qrafr*ini qursaq, gekil I.22. qrafrki alm4 olanq.
u(r)
Sekil I.22. Kulon ve m[badila enerjisinin Hr molekulu
nlvasinin arasrndakr maafedan
asllrp
Miibadile enerjisinin A qiymati R-in bdytik obnayan dayarlerinda manfi olur va onun mfftlaq qiymati Kulon enerjisindan kiyiik
olur. Bu onun.la alaqadardr ki, spinlari paralel olan iki hidrojen
atomunu bir-birine yaxnlagdrqda onlann enerjisi arhr. Lakin iki
antiparalel spinli atomlan yaxnlagdrqda miibadila enerjisi, iimumi
enerjini azaldu. Sinqlet halnda hidrojeu atomlan bir-birina cazb
olunur, bu zaman onlar yaxrnlaqdrqca, enerji aynhr, enerjisi qararlagan sistem olan hidrojcn molekulu yaranu. Sinqlet haltnda iki
hidrojen atomunun niivesi arastndakt mesafa texminan 1,5 Borh
radiusuna berabar olur. Bu masafade hidrojen molekulunun dissosiya (pargalanmasr) enerjisi D=2Eu-E(r)-e baraber olar. Buradan da
hesablamalar
D" = 4,37 ev
X, = 0,735 10-Esz
tacrfiboda D va R iigiin
D, = 4,38ev;R, = 0,753 ' l0*srz -dir. Giirlnd[y[ kimi naticalar gox
qiymetlarini verir,
lakin
yaxgr udagu.
Miiqahideler giistarir ki, hidrojen molekulunun spini va maqnit
mom€nti asas halda srfirdr. Yani, bu molekul iiziinfi diamaqnit kimi apanr. Belelikle, spinin istiqameti paralel olan hidrojen atomlarr
arasrnda daf qtwelari mdvcuddur ve onlar mplekul yarada bilmir-
lar.
Dcmeli, neytral atomlardan molekul yaranmasma sebab antiator ann mfibadila enerjisinin m6vcud olmasrdrr.
Tecrubeda iki c[r hidrojen molekulu mlphide olunmugdu.
Bu molekullar elektronlann spini ila alaqadar olnayrb, nfivelerin
spinlarin istiqamatiile bafhdrr. Bela molekullar parahidrojen va ortohidrojen molekulu deyilir. Parahidrojen molekulunda iki hidrojen
atomunun niivasi iki prototrdan ibarat olduluna g6ra (protonlar
fermion olub, spini l/2-dir) antiparalel spinli molekullar olur. Ortohidrojen molekulunda isa atom niivesindaki protonlann spini paralel olur. Iki protonlu sistemde paralel spinli hal iig dafa (iig simmetrik hal funksiyasr oldufu 09un) antiparalel spin hahndan gox olduEuna gore adi garaitda hidrojen rtolekulunun 25%o-.iparahidrojen,
75% isa ortohidrojen olur. Temperatur agap dfi5diikca parahidrojenin miqdan goxalrr, &K temeraturunda onun miqdan 100/o olur va
sistem uzun mtddat bu halda qala bilir.
paralcl spinli
246
Ta'sirsiz qaz atom.lann.m elekhon taboqolorinda elektronlann
hamrsr iki-iki antiparalel spina malik olurlar. Ona g6rada onlann
bagqa atonr.larla miibadila enerjisi cezb olunrnaya gatirib, grxarmrr.
Pauli prinsipina gOrada bu halda otna qadaf,an olunur. Bu sebebdan tasirsiz qazlarrn atomlan molekul yaratm.ular. Hz molekulu ila
hidrojen atomunun sistem tagkil etmasi zamaru, agar H atomunun
spini yuxandrsa, Hz molekulunda spinlar antiparalel oldulu iigiin
spini yuxarr olan elektrouu, H atomu miibadilade def eder. Ogar H
atomunun elektronu spin agaf,r olan Hz molekulunun elektronu ila
miibadile etmig olarsa, spinlar yuxarr olan iki elektronlu sistem
amele galmig olur. Bela sisteode molekulun pargalanmasrna (disso-
siya) getirib, gxanr. Belelikle, adi garaitde [9 hidrojen acomlu dayanacaqh sstem molekul yaranmaz,
Bagka bir sistema baxaq. Oksigen atomu maqnit momeoti srfirdan farqli olan paramaqnit atomdur. Tecriibede oksigen atomunun
spini vahid ahnr. Onun iki elektronu kompensasiya (tazminat)
olunmamrg qalrr. Ogar oksigen atomu spinlari agair olan iki hidrojen atomunun, ikisi ilada miibadile ederse, spinlari antipa.ralel olar.
Yani, har iki hidrogen atomu oksigen atomuna c€zb olunar va naticada HzO (iki hidrogen va bir oksigen atomlu sistem) molekulu yaranar. Belaikle, kvant mcxanikasr atomlardan mtrekkab dayanqh
sistemler yaranma saboblerini iz"h edir.
$49. $fialanmamn kvant nezariyyasi,
mecburi va Ozbagrna (spontan) kegid ehtimallan
Cisimlarin giia udma ve buraxmasr, atomlarda elektron kecidlari ile alaqadardr. Kogid s[timallsnma tap masrnda rE ona uypun olaraq g[a udub, buraxmasmr araqdrrmaq [9[n hayacanlagma
nazariyyesindan istifada olunur. A.Skardr ki, xarici elektromaqnit
sahasinda Hamilton operatoru
-P2o-zioh--o2(49.1)
ag
H
AP-:"'
"
*"r+
='' mc
2m
yaztu.
)
ve p -ni ela segak ki 97 =
etsek Hamilton operatoru (49. I )
VA+-+-A'
m'c'
2mc
0
olsun. A2'nr gox kigik qabul
o -.
^ d
H=+U+ - AP
2m mc
247
(4e.2)
gaklinda yazanq.
tsizo edk
7
vektoru potensiyah E elektrik sahasini xarak-
;t;.4=-!a?,,r)
7
(f,t) p"t"nriy"l,',rn Fourier inteqrah
7('-,0=
!4@P4'-n)a.
gakilda verilir. Bunu
i(i,t)="* !7.(at)e'"aot
(4e.3)
@s.4)
(4e.s)
kimi de yaza bilarik. Onda (49.3)-a g6re
!
t8
''1
't) = - c ''117
olar. (49.6)nm iki terafini ei" -ya vurub, t lzra inteqrallasaq
1.,-
;(;,gt
=
-i
yazanq. Digar tarefdaa F-nin va
7
(4e 6)
[d- 1(i.int
-nrn Fourier obraa
e(i,)= le(op""ao
'
1(t,t)=
li.(.)""-a,
oldu[una g6re, Furier amsallan figiin
utE(a)=-!e
c
241.'1
gs.,)
alda edarik. Buradan
i"(a)=+!9e@)
(4e.8)
i.(,)='";1.y
a)
(4e.e)
alanq va ya
yaza bilerik.
Potensiyahn
Buada i vektoru
f6uder-obraa isa
v(a,)=
E sahesine
paralel vahid vektordur.
!"i'
li"(.\'- iaa
mc
(4e.to)
olur. BuradaD
v
,mc
(')= J3-5(,P"'ii i
(4e'rr)
yazsaq, matris eleman
vn(a*)= JLE(a,.b
!w;9)(;pft
iyyt(iw
(s.rz)
olar. Kegid ehtimahnm (36.18) ifadaindan
wr.,
=
=ff[,*(at,,l'
=
SF{,,,\' fi;la !v!t4b* iv",@*l
(4e'r3)
alanq. Bu ifadede
r=
evezlemesi etsek, (49.
I
[v;!.,GWFy,,b\GW
3)'[
w,*=Tle@,*l'#!;(nF\,
goklinda yazarrq.
le(o:l'
t
Gs.t4)
annda enerjinin qiymatini g6starir.
Onda vahid sathdan kegan elektromaqnit sahesinia enerjisi
E=lftk$
4o
Bunu bir qedar deyigsak
t
=
=
* iio*,' rnQo' - ot\(a)c' (a')
fif-"'dVt
yazanq ve
c
=
=
*
(4e.r5)
--
fi"?dr-* o,''1"' {,'Y-' o*,
=
bwa&n
i !"(,b' (,Y, = ;i{G,l' a, = "'!p(.1' a,
(4e.ro
tapanq. Digar tarefden dar tedikli eocrjinin miqdann E(w) ile
249
if_
ra edariksa, tam enerjini
e=
lr(o\at
geklinda yazanq. Buuu (49.15)Ja miqayisa edarikse
=Qe(ral'
n
(s.17)
alanq. Digar tarafdan enerjinin miqdan, spektral sxhq, igrq sflrati
va zamanrn hasilina berabar olur:
E(a)= p(ro)'c't
p@)=
M.l'
oldufu figiin vahid zamanda kegid ehtimahm
*,,=Thbn\'o@;
(4e.rs)
diisturu ila va ya
*,-
=
Tl*
=$lanl'
ila teyin oluuar. Burada
'
"o",
4*l' "o"' e,,r
p1.,'r7
=
(4e.1e)
e*,p(r,,)
D*r=-
i" 4r
@**
(g.zo)
Klassik lzikadan ma'lumdur ki, udulma vo ;[alanmau miiayvan eden macburi va 6zba$rna (spontan) kegidlarin ehtimah Eynifieyn amsallan ila tayin olunur' Ya'ni,
(4e.2t)
Y'* =
B*p(a\
Wq=4r
Burada
B,*
=
lbrrdc>
Bu amallar arasrnda
8,,=#Ar*
alaqa m6vcuddur. Oolar macburi
B*" va spontan l** kegidlari xa-
rakteriza edir. Bu mtnasibeti kvant mexanikasrnda yaznug olanqsa, o -, oftavaz etmak gorakdir.
o,,={|.t,,
noi*
(4s.22)
B.* -ni 7o* ile tutr4dursaq
-
bu =
alanq. Buradan isa
,,, =TlD,,l'
.R11
Fos'
4rz t'
tz
fi-lD,rl
cos' 0r,
emsalrnt
e,d{t,*
=Slnr.l'
!!".s, e,,sine*d0,rds =
=ff1o,rf!=$1,-l'
almrg oluruq. Bdylaca
,,r=#l1rl,
(49.23)
amsah macburi kegidin ehtimahm xarakteriza edarek, dipol mo-
mentinin .D = ei matris etementi ila tayin otunur.(49.22) ifadasinden
16x3t= tz 4tt2c'
n,,
lD*l =
*,
31,
yazanq. Buradan da spontan kegidin ehtimah
4,=#P,l'
(4e.24)
olar. Burada.dipol momentinin matris elemanr
D,*
=--+
f;yf't(r)ar
Ott' l*;!'t(r)p*
olar.
Ya'ni, atomun hayacanla$mrg halda oLna miiddati
L*
ila tayin
olunur. (4923) ua (49.24) ifadelerindan lazer glalanmacrnda istifada olunur. indi (49.l8)dan istifade edarak, dipol va multipol $[alanmamn intensivliyini tapaq. (49.lEle gOra
25r
*r,=TfrbD*\'o@*)
kcaid ehtimahdu ve burada
Dr,
i" lvld7bn i,v!.)Qqy
=- @rr'
diisturunu aLnrgdrq. lnteqral altrndakr
(49.25) matris elema"''''
n,,
=
=-
;fi;
{
e*
vurugunu sraya ayrsaq
=t+i6i +...
(4e.26)
-.-li rY lrYv
!v:l')(r[ +,[i *
-;i-llv;t't(,)pvPt|Yv
fr@tt -
@s.2s)
=
* i lv;tdlllrtbo<'>Q)dv
+
"'\=
-*lttr'0)lv9'('Yr' *t!v;t'tGl+;bl''('y' . '
l=
=- ie F,, - ie f (fr)el,
=
@tr 4
@ttfr'
[email protected]\ ifaoasinde birinci hadd elaktrik dipol m".""(,?'r?
itinci tiada isa maqnit dipol ve kvadrupol momenta mivafiq olur.
Erenfest teoremina g6ra
i(')'titr
$s,8)
= 4, =
=|a4,t,
"lw;l"t(;Yv?,GW
@tt
(s.zs)
+ =(*),,=#
=*'.-e'n'
=
oldu[undan
b!)
elektrik dipol momeutinin matris elemant
De
=
**lf"vl" -;{v,)*},,=
=
= *{r*twFr. .;H'#l].,}
=
=
-*{,.,"((r'FI, .. }[u1.,]=
=;G,Y),,-
2corrm
(4e.30)
brl,,
elektrik kvadrupol va maqnit dipol momentinin matris elementlari
-!-
^l^o. @t'=!c
(d- -sualanma y6niinda olan vahid velilordu) ve
= --:- L lt,aqnit momentini nmre
it-e_zmc
D.e)
=;((E
alsaq (49.30)u
y),,*i@
pl-,
(49.31)
kimi yazanq. Belalikle, D -matris element
D*=fl1+D!)
olur. Burada
Df)
="r,,
DP
=80,,*tb
pl
(s.32)
l*' ry ol
o=11v,
'lo
v'vrl
,v ,'l
oldufiu iigiin
Ds=-eirr-Eg**ip pl*
(49.33)
elektrik dipol, elektrik kvadrupol re maqnit dipol momeotlarina
uyfun galir. Bu haddlarin hesabrna olan qfialanma elektrik dipol
(ED, elektrik kvadrupol (Q2) maqoit dipol (MI) giialanmasr adlaar.
Vahid saniyade giialanmanrn orta enerjisi, Siialanmanrn intensivliyini verir va g[alanmanrn t^m intensivliyi
olur. Burada
dr
If..
5=r=*,ffF,,|'
k
(4e.v)
hayacanlaSmrg saviyyada olan atorrl:rnn sayr-
NL'
=CO\F-
kr
A,Skardrr ki, bazi garaitda kvadrupol va maqnit dipol Siialanmasrmn
intensivliyi gox az olduqda, yalnz elektrik dipol momenti hesabrna
olau ;lalanma bag verir. Niivo fizikasrnda isa Q2 ve MI giialanma-
lanna
taad[f olunur.
g50.
lygn mthitden sepilmasi (dispersiya)
lgrq gEalan miihitden koqdikda, mthit onlan udmaqla berabor, hem da mthitin atomlan tarafindan sapilirler. Bu zaman igrq
dallalan 6z istiqamatini dayigir. Mthitin srndrma amsah diiSan i;rfrn tezliyine uyf'un olaraq daybir. Bu hadisaya dispersiya deyilir.
M[hitin srndrma smsah dielektrik ro maqnit nflfudufu ile alaqedardr va p = t 6iihitleri ugrin Maksivell nezariyyasine gdre smdrma emsah n = Ji -a". Dielektrik sabiti 162 niivbesinda miihitin
q[tlblagmasi (polyarizasiyasr) a ila baf,Ldr.
e=l+4xa
n' -l = 4tta
Oger 1 smr{a N qadar atom varsa, oada a =
mun qiitiiblagmasi olur. Onda
(50.
Nf
olar ve
p
r)
ato-
n'-1=4Ni
ya.zlar va polyarizasiya vektoru F induksiya vektoru D ila alaqadar olur qflttblegma vektoru
D =E + 4nF =n'E
P=n'-l4tt
(50.2)
gaklinda olar. Digor tarofdan atomlann dipol momentlarinin camr
polyarizasiya vektorunu xarakteriza edir.
F=
Dipol momentini
a
= Ne
lwiQ,tfi ,y,(,,tprt
D=re
(50 3)
kimi t€6vir etmak olar. ; -iflEn daltasmrn deyigen elektrik sahesinin intensivliyidir. Z oxunu igrgn yaylnasr istiqamatinda y6nelde254
riksa, a, = s,6', =
r,
=
0 olar, maqnit
sahosi v/c tartibindo olduEu
* -ry')ile xarakterize olunar. GdrEL)
I
nen igrq L - l}-s sm,x = a, = 10+ sz xarakteri.a olanda,i,
iigiin igrq dalfasr
,
=
- \
"""o{
hoddi 1O3 tartibde olar ve ona gdreda onu nozoro almamaq olar.
Neticede
E = E.cosa
yaza bilarik. Dipol momenti
fi = B;"cosat
gaklinda oldufiu iigtn burada
(50.4)
p=+
(s0.5)
4rt
dlffi
igrq sahesi movcud olduqda atomun hah aeyblr, ma"Urrri
meydana gelir p -m fussallamaq iigin zamandan asfi gchrddinger
tanliyinin hallinden istifada edek ve qeyristasionar heyacanlasma
ne_zeriryesinin miiddatlerini terbiq edek. gchr<idinger teitiyina lOre
n hahmn dalia funksiyasr
ih+=ir,y,,+tv,
(s0.o
tanliyinin hallidir. Burada 1/, igrq sahesi olnayanda Hamilton ope-
/
ratorudu, isrq dallasr hesabma yaranan hayacanlagmadr. (50.4)
a gdra bu hayacanlagma
t
olar.
/
= e\re.)cosr,t
-
(50.7)
=0 olanda (50.6) tanliyi
t)
,oa v!')J', =
i,
(i,t\
"v,y,
qeklinda yazanq va
n"v!\@=t,wPG)
vla (,,t) = v@ (rb^,,, =
^
(50.E)
*
stasionar hal iigiin gchrddinger tanliyinin helli olur. Igrq sahesi ol255
duqda (50.6) tanliyi
,rav,G,t) = fr .,y,(r, t) + e e
a
c'x
", "ns
y,(r, t)
yaalar. Bu tanliyi
-e4)
=ln.
*
*"".,t{)r.<r,,1
kimi yazaraq, ooun hallini
-ot +
+ u,V\paxtaraq. Bu halli (50.9)-da yerina yazsaq
w
*ry.
=
+
n
t(o"
"G,t) =,rl't bb-tol
"yf)
n{, - dp,e-o,>
tfi
+
+
f,* ", la 6yo.,-t
I
(50.e)
Qb't(".-')
1so.
ro;
t{dt, + rise,"4o*r -+
)ee "r
yfi (;p.t".-t
fr,u,e'@*l + H.qe'@.*> +)"" "*,"*,
+f,ee.rl,e'* +f,ee"ru,e'b-z'l * ! u"rg
*
(50.1t)
+
"'@'*z,,l
alanq. Bu ifadede eorun va a,r9. hedleri , bagka hedlera gore kigik olduf,u rigtn onlardan vaz kegerik. Onda (50.1 lldan
h(at. - ot\t,p.{-''\ + h(to, + a\9,eul"*"| =
=
i1.y,.-(,.'-l + fi .5.e,@.,-\ +
le.r
h(a.
+9
-o\,e'-
".rvr|l"-,*
+ h(at. +
+9
a)eu' s,
=
fr
y!'t
""1"...',
"u,"n
+
+9
E
fr"9,"u'
J
V(4
e4(',-"v
+
r.rvg)",.
alde edarik. Buradan iki tanlik elda edilir:
h(a. -at)a,
=
n"". +le
h(a, +o\9. = ft"s"
2s6
"r,y!)(r)
*9".r,/!tb)
(50.12)
(50.12) tenliklarinin hallini
perpozisiyasr ki mi axtaraq
H"d) = nrWfl anliyinin [s1io;o
,u-
u,(r)=lauy!"\
(50'13)
s.(')=Zt*'/P)
t
Bunlan (49.12) tanliklerinda yerina yazsaq
hlau(a. - a, - rlyP\ = 1"., vtd t)
L
'
nl.b u(a, - ot, + ar'ly l = 9 €
t
"r
v4"\
(50 14)
G)
ahnar. (50.14)-i soldan rgil") -e vurub, bfitln faza iizra inteqrallasaq
-a, -.)p* Iv,<d(,Vyt1,yr, =ilvl")Q)e .,,y!t(rpv
ln(o4
*
- ot, *,b *
ln(o4
L
Iw la
(,\ryt
t\f
y=
;
[v
i9t (,b
",
v9t QY rr
elde edarik. Buradan
'*=-4fff;1
,
E"i,,
""'=-Wi*d
Yadakt
a,,
= @,
- at
iSarasi qabul etsek,
uu__frili
^ -- E.iu
':
"u
^
---
E"d*
2n(04+o)
alanq. Burada
iu = -tvibt;'Yb\aY
(50.15)
€lektrik dipol momentinin matris elemanld[. a* vo b* ifadalarini
ycrina ya.ab, heyacanlagnug hahn dalia funksiyasrm tapanq:
y,(t,)
=,y!"\ (;,t)
-
"''*'' Z:"!"*f, lr)(50.16)
-ffqfi*'r,t
Belalikla, E sahesinin tasiri ila rTrj')(r,r) haL, y"(i,t)hahna kegir
va atomun d,o dipol momenti meydana grxu:
a* =-[yiQ.gy.(r,tpv =-.l,lv.G,tl'
ay
60.t7)
burada
v:
= v:bt
(i,i - "':;'
_e-'YY,
2h I
(50.16)
v"o
\ffint
o-
e"di
(50.18)
*.tar,,
au +ot'
(50.18) ifadalerini (50.17).da yerina yazsaq
i-o=a^@-;1b#;4ffi
;+b#
_ e,-
,l-\-/-\-\,t-\-
1(
\E
")di
znllru-,
"d
*+k
_\E "d
")dl
.u+.
alda edarik. Ermitlik gartina gdra
a
-@
=a
-(il- ;+(b*.
=i*(;)+i;Q)
Buradan
*=d-(F)e,"
s. I F,a" )a; _v.d.r )d; )
' ,u-, )
znllau+.
)
)
_
di = dr
olduEu iigiin
.b#)-+t
=
a;@=a^@_a*Q)
(50.20)
yazanq. (50.7)-ya gdre (50.20!ni
A, = p-E"cosoa
(s0.21)
gaklinde yaza bilarik. Burada
/, gfttiblagma a-ra1 ,imumi halda
atomun qfltiiblegma tenzorudur va onun komponentlerinin sayr
doqquz daaedir. Yafi, pu -tenzont
(n- o, o-\
fu=lf, B. p*l
lp^ p" B.)
olur va onlar
(s0.22)
(ai), = rc{p-e*e'- + p,e,ei' + p
-e,e''l
(a-), =P"lprr*d' + PrErei* + Bne
,e''l
(a;,),
=rc{p-"-d' + Bre,e,* + B-e,e,-\
ifadasinden tap an komponentlerdi. Re-real cismi gdstarir. -lar
B
!;(
p.. - 'hil
(a
(a"
(a"
),
),')
au-o"), * au+a )
"),(a
o"=iz(ffi.9#)
(50.23)
ve sairadirlar. Bu teDzor ermit tenzordu (p"= p;), ona gdrada
onun dioqonal haddlari haqiqidir.
Ozal halda di,(r) momentinin fazasr va istiqameti igr[rn fazasr
vo istiqametinda olarsa, polyarizasiya tenzorutrun
p-= Br= p-= B olar ve yerde qalan komponentleri sfir olur.
Ya'ni, bu halda emsallar skalyar olar:
a,a, *
a=-LI{
' h?\r"-a
dodo\
au+a )
(s0.24)
Buradan (otu
='-ato)
o\ld.,l'
oY
-za
hl ot'* -ot'
alanq. Atomut q0tiiblagma amsah
p=*#E*:F"f
gektinda yazrlar. Ya'ni,
(50.2s)
rj=
o=i\v!,
(50.26)
r*=ffla,f=T.,V'l'
(s0.2't)
olur. Burada
f*-kamiyyati fiziki me'na kasb edan, bir kamiyyat olub, osi.lyatoruD qflw-asi G[cn) adlanu. Bu kamiyyat spontan (6zbagrna) gtalanmanrn intensivliyini miiayyan edir:
1- -- 3mc1 t
(50.28)
dr "ht
k2@1
Gorlndiiyii kimi osjlyatorua qUv\rsi klassik fizikadan ferqli olaraq
(klassik arzikada fk say olduf,u iigiin hemiSa mfisbatdir) ham miisbat
va ham de manfi ola bilr. Dolurdan da eger dalfa funksiyasr bellidirsa, manfi olrnamaq ehtimah olur' Tacr[ba gostarir ki, f't kasr
qiymatlari da ata bilir. Onun mfisbat va ya menfi dayarlar almast
agkar olur.
ar* >0 olanda f* >O,ar. <0 olandaisa f* <0 olur.
Ogor aton n -saviyyasindan alava, bagqa saviyyelarde da
olursa, tam qiit[blegmeni tapmaq iigUn atomun n-saviyyasinda olma ehtimahDr (49.?n\ya wrub, cemlamak laamdu. Onda I sm3
qaan qttiiblagmesi
J
"=*11*.,,"J+=*
(50.2e)
olar. Burada N I sm3 olao atom.lann saydu. Mfihitin srndrma amsalr
260
,,(.\=r*4@'N
rlw =l*
- m ??"".i-.,
",*,
.
(s0.30)
yaz ar. OgBr atom hayacanlaSmr$ n-hahnda olaEa, onda k hallanndan elosi olar ki,
E. E,
a*=;-;'o,L=-ak,
<8, olsun. Yeni , 4", < 0 olsun. Onda da f"* < 0 olar ki, buna
manfi dispersiya (klassik ftzikada bu dispersiya yoxdur) deyilir.
Dispersiya qrafikini sakil I.23-da gdstarek.
Er,
n'
o
-l
ro = @,r
= G!.t
$€kil I.23. Igrpn atomlardan sapitmesi.dispersiya.
$ekil I.24-da solda mfisbat, safda ise menfi dispersiya ayrileri
gostarilmi$di. Bu dispcniya ayrilarinin har birinin normal ve ano'
mal qisimleri var. Dii;an iqr$n tediyi artdrqca mfihitin smdrma
emsalr
artrsa
(*r r\bela
dispersiya normal (igrf,rn veddi reogo
aynlmasr), ager m[ayyan oblastda
$da a O ol"rru, U"la dispersiyaya
dispersiya deyilir. Adatan anomal dispersiya oblastr udma
oblastl ila iist-iista dii$iL.
(50.26) d[sturuna g6ra anomal dispersiya elektronun mexsusi
tediyi ila du5en igrlrn tezliyi eyni olanda deyil (klassikada beladir),
ano-rl
261
iErSn tezliyinin kegid tezliklarinin farqina berabar olanda mugahida
olunur.
Oal halda manfi dispersiya ila mlsbat dispersiya oblastlarr
harmonik osilyator ii9iitr iist-Usta dti$iir.
Dispersiya hadisesini enerji anlamrnda 9aki1 I.2tl-da giistarilen
kimide tesvir etmek olar.
k'
-fr@
hro' (fitto.nadan
flnta udd o)
ho 4ddmzdeasotta
fialan u oLr)
oohq hd
gakil L24. lgr[rn sapilnasinin enerji sxemi.
@ -d[tan itr$n tezliyi, ar' -sapilan igrfin tediyidir.
Tebiatde her iki dispeniya mfi5ahida olunmuEdur.
$51. Raman effekti (Kombinasion
sapitna).
lqrq dalfasr maye rre bark cisirnlardan sapilerkan elastiki sapilme ile yanagq elastiki olmayan sapilmada bap vcre bilir. Bu zaman
atom ve molekullann reqsleri noticasinda sapilan iqr[rn tezliyi, dii$atr i$lEtn tediyindan farqlenir va buna g6ra da bu crlr sepilmada
tedik deyigmig olur, sapilon iqrlrn tediyi bir noga tedikdan ibarat
olur. Ya'ni, sepilrnade tezliklar kombinasiyasr yaranu. Bu c[re qeyrielastiki sepilmaye Raman effelti va ya kombinasion sapilma dcyilir. Dispersiyadan ferqli olaraq Raman effektinde elektronlar diigan
fotonu udub, yeui hala kegerak, udulan fotonu yenidan buraxaraq
bagka bir saviyyaya kegir. Bagqa s6zla, d[5an igrgn enerjisi fiar drsa, sapilendan sonra onun etexjsi hat' = h(ao + o)rn yu
ha'=h(ar-ar)
olur. Ona g6reda bu n0v sapilma kombinasiyon
sepilms 661uno. Indi bu sepilmenin naariyyesi ita tan$ olaq. Ogar
sepilmq66o 5oca ristein n-halmdadrsa, onun dalla funksiyasr
y,.(t, t) = v ld Gb-'..' -
#+ f:yt,
@
(51.1)
-*#1#*or',
gaklinda olur. m- hahnrn dalEa funksiyasr ise
v:G,i
= v:bt
(7)e^' -
n''T"'
1{Vt'
6-
-"-"T'l4arrrrn
(st.2)
frrnksiyasrdr. N-saviyyesindan m-saviyyasina keqid olanda elektrik
dipol momenti meydana galir ki, onuda
D^@=
-lv:G,tfiv.(;,)ar
(51.3)
qaklinda tamsil etmak olar. (51.I)-la (51.2!ni bir-birine vursaq
--.Y
= v'!t 17W 17Vt'"(i,l
t(a'---.\
v/:G,
"
.n-
tfu
6-,at
Ed,u*y,a.t
2!........
2h ?ru-r'^
1,-*..19,
d - __ ;tr.
s 3.a,
- '
"-"?
i:-L:+4d!4dla,*+a
=-i'
;n' T-fut,,4, =A*!2,fut
=n'-,r<a4o-dYt
t
Z!*ff"
#+#:y;bv"\ -cY'' Z;:p?:{.:dv4.t -
-"*!2:e*;"*
alarrq. d-lerin ermitliyinden istifada etsak, di. = d.r indusa olunmu5 dipol momenti [9[n
D*Q)
=
i *e'-r
*G-4i4'\r**^' -
*1(T+
_ t ,(<e"a)i*
2hll a.r+o
*GirE-\^"--",
otn-a
)
D- (r)-ni
D,*ft)= i^,"''^' +Aae{'-*'v
elde edarik. (50.4)-a gdre
yaza
+
d!)s'('--'t
(51.5)
bilerik. Burada
,rr,=-*+(,"**.**)
aH=-*z(#.**)
(51.6)
Ye'ni, (51.5) ifadesine uyfun olaraq, igrfirn qeyrielastiki sepilmasi
naticasinde zamaoa balh olan d- dipol momenti ila yanagt alava
indusa olunmug
Me'lumdur
ifl
n"
ifl
entleri meydana galir.
enerjisi
^o
ki, bir saniyade Eflalan:na
at _4ai"6 l,
dt - 3ct l" ^l
olduf,una g6ra enerjinin (51.7) ifadesinde
fektinde iig ciira rcdik alnq:
(5i.7)
ar- avezina Raman ef-
o=(D*=(D_-4"
@'=@*+a=on-@^+4,
0)" =a*-o=@^-@,-@
(s1.8)
Sapilan i9rlra tezliyi diiSan igtSn tezliyinden kiqik olarsa
al = @ - @* < ar, bu xattlera <<sfoko> xattleri, sapilen iqr$n tazliyi
co' : o * o)m, > 0 -drsa bu xettl ate <<antistoke> xattlari deyilir.
Bu tezliklari seviyyelar arasrnda kegid uyiun olaraq gekil I.25deki kimi gdstararik.
2U
n
$akil L25. Kombina<iy6a 5spilmada kegidlar:
ot' = tD - @^ = a - @t - o),;o' = @ + o: = a) + or, + ar
(51.7) ifadasine g6ra Raman effektinda $iialanmanrn intensivliyi iki
nov xatto uyguD gelir. Bunlar
r, =4(ai;o')'
*^logf
(51.e)
beniivgeyi giialaomaru
t,
=a('-:d*)o|f'
iso
qrmrz
N.
sayr m seviyyasinda
(51. r 0)
gtialanmanl tayin edon $lalanma intensivliyidir.
elektronlann saydu:
".
--",_f-l
"T
T artdrqca benov$ayi giialanma 5psttrinin
intensivliyi artu. Bu natica tacrubada de m[gahida olunur.
Mollekullann raqslerinin tediyi onun qurlu.gu ila elaqadardr.
Kombinasion sepilnanin tediyi, g<iriinen i;r$n tezliyinin deyigmesini miayyan edir. Optik aktiv va aktiv olmayan mollekullann reqslari gdriinan igrirn tediyi oblastmda Raman effektindan asanlqla
tayin oluna bilir.
$52. Segma qaydasr
$ta udma ve buraxma, saviyyeleri arasrnda elektron kegidlari
olur. E, tra Er saviyfalerin olmasr hahnda, kegid tediyinin udulub va buraxrLmasr mtayyan qanunauypunlula tabe olur.
hesabrna
265
Bu qanunauyfunluq segma qaydasr adlanr. Segma qaydasrna g<ire
E .<-E kegidlarindan miimkiin olanlarr tap r va giia udulub va
burax mast bag verir.
Osilyatorun g[a udub va buraxmast [9[n segma qaydasr enerji
tesvirinda verilmil osilyatorun matris elemam
'*
taprlrr. Bu matris
olurki
lhttr+r
t7^
I
lrbrl 'l
^.Uib''n'"
elemant srfirdan ferqli olan X,, + 0 hah o vaxt
=
I
+
n=n'!l
olsun. Buradan
n'-n=Ln=I\
(52.1)
yazanq. Ya'ni, kvant edadi -l va +l qiymatlar alanda matris elemanr srfrdan farqli olar. Baqqa s<izla, qongu saviyyaler arasrnda kegidler olur. Bu halda kegid tezliyi a = a4(n' - n) =+ro. osilyatorun
mexsusi tediyina uylun galir. (52.1) ifadasi osilyator tlgun segmo
qaydasr olur. Bu segma qaydastna g6ra Az = Tl olanda osilyator
aromaxsusi tezliye baraber olan giia udar va ya buraxar. Bu segme
qaydasrndan n kvant ededinin biiy[k qiymaflarinda kanara gumalar m[gahide olunur.
Optik elektron rigfin segma qaydastu tapaq. Atomun dal[a
funksiyasr
,y.nQ,s,e)=R,,(r)r,"(cosep'"'
(52.2)
gaklindadir va dipol, multipol g[alanmam mlayyan eden qadalan
olmayan kegidleri tapmaq imlam verir.
Momentlarin matris eleman.lanm tapmaq [9[n x,y,z yerine
X =x+iy=rsinfuie
Y
=x-iy=rsinfune
(52.3)
7-kombinasiyalannr gdtrirek. Onda (52.2)-ye g6ra matris elemanr
Dn= fiy'r,Dydv
266
'!
l
oldugu iiqiin
2,
X
t.;r.. = tR,R,,,,r'dr Ip,'p;
ynn.t,...
stn2
,o
-o
M0 t"t('-''b.tod,
,)
= lnnn;.,.r'a, lp,'p,i'sinz ed| l"t(^-^')+ +d,
000
2.,..,.,... = I R,t R,Ir' dr I n' ni' sn 0 cos 0d 0 tea' - th
o0o
yazlar. tp -ya g6re inteqral asanhqla agftr:
2,
l"tt--.'h,+
o,
d,
te,l,-.'ba,
=
216 -.a1..
a
$2.4)
I
(52.5)
= 2116....
opr
[R,,R,','"d" = Jn,,','
-lrff'sinz
o=P,,,'^'
0
lPi Pi sin9cosH0 = P,.,r",
0
igarelari qabul etsek, (52.4) ifadalerini
X *,,r,^, = ZttJ n,,r,Pn,r^.5^,^.-,
Yn^,.,r^, =
Z*.,,^,
.
2trl n,n1'Pn,r^,6
= futI ,1,,r,Pn,r^,6
^,^,u
62.6)
^,^,
geklinda ya'maq olar.(52.6)-dan maqnit kvant edadi m iigiin segma
qaydasrnr almrg oluruq. Yeni Xn^,rr^',Y*,*r^, va 2.n,,.,.., matrk
elemanlarr, maqnit kvant edadinin Lm = m - m' = 0,11 qiymatl+'
rinda srfudan farqli olur. Demeli,
267
(s2.7)
Arz = 0,T1
olanda kogid ola
-in matris elemanmrn srfirdan farqli
b rlar . Z
^,^,,,,,n,
qiymetini tapmaqdan 6tari m = m' halsnda
P,^r.^.
= lPi' 4r'
sin o
cos%o
0
ifadainda r = cosd g06tarsok, onu
n^'''''=
(52.8)
!'rGW(.Y'
kimi yaza bilarik. I-ejan& polinolunun xassesina gdra
xri'$)=q,ff,(x)*b,^4,
oldupu ug[n (a va b-lar sabitlardi) (52.8)
dan istifada edariksa
Po,r-, = an5r,1*, +
(s2.e)
ortoqonalh[rnifadainin
bh6r,t-t
(52.10)
qaklinda elda ederik. Buradan
N
=l'-l
--+l
segma qaydastnt alanq. Oger sferik funksiyalann
tf
ri
Q) =
$etsek
xassasindan istifada
P,n,r^, =
",^4,'
G)
*
9,^P,7,'
G)
a,^6,u,, + bn6,rr,,
alanq va buradan da orbital kvant adei iigfln yenade segma qaydaslm
(s2.1r)
N=l'-l =!l
kimi alanq. Ya'ni optik elektronlarm bir saviyyadan bagqa saviyyaya kegidi, qongu saviyyelar arasrnda miimkfln olur va
L'z = h'zl(l +l) orbital momentin dayigirni bag verir. Bagqa sdzla,
optik kegidlar s ila p, p ila d ve d ila f termlari arastnda bag verir.
Belalikle, maqnit kvaut odedi (52.7)-ye g6re
Art = 0,Tl
orbital kvant edadi ise (52.1 l)-a gora
A/=tl
gaklinda dayigir. (52.11) segme qaydasrndan istifade etsak, matrislarin wrulnasr qaydasrm tatbiq edarak
(,,}, =IG),,G),,
matris elemamnm kvadratrm yala bilerik. Onda
va
oldulu iigiin, buradan
vo
l,
=tll
y=r+l
l,=l,N=0
l'=lr2,N =t2
(s2.t2)
alarrq. Demeli, kvadurupol momentin dayigmasi I, / olanda
re
=
ya N' =12 olanda ba9 verir. Eyni iisulla'maqnit
a*
-o."oiioio
y$masl
l,=t,N=0
L7a=mt _m=+l
olur. Briylaca, orbital kvaDt adadi rro maqnit kvant edadlari
Egiin
A/=0
N =!2
62.13)
bn=+l
qiymatlari alanda., bu ctra segma qaydasrna gdra kvadurupol
ve
maqnlt ke9ldlen ba$ verir. Bu kegidlare uyf,un olaraq maqnit ve
kvadurupol gfialanmasr olur.
$53. Serbast zerraciyin va atomun
maqnit
sahosindo davramgr. Zeeyman effektii
Bu. paraqrafda
.
raKau
xarici maqnit sahainda sarbat zarraciyin he_
vo-atomun ener.li saviyyalarinin deyisilmaini arasdriao.
onco larz €dak ki, yuklii zerracik bircins naqnit satasinad ne_
rekat cdir va maqnit sahasi z oxu boyunca ydnalmigsa B, B,
=
=O
va B" = B olar. Bele sahe [9[n vektor-potensiyal
_yB,A, = A, =0
qeklinde se4ita bitir. Onda E =r"A=[nAl ifadaaindan
maqnit
14,
=
sahesinin intensivliyi iigfin
B,=By=0,8,=-%=,
'Ay
269
elde ederik. egor miimkfin olan baSqa sahelarda.o vaz kegerikse,
stasionar halda-bele maqnit sahasinda olan zarracik iigiin $rtidinger
tanliyi
s,,y-4yn9!-*!-r,n,r=o,y
-L2m'mc'&2mc'
geklini alar. Bu tanlikda 7
ve ona g6ra
(53.1)
deyigenlara ayrmaq mimkiin olur
-ni
vG'Y'z)= e'l^*""t'6'
(53.2)
(burada Cr ve Cz sabitlerdi ) kimi segak (53'2)-ni (53'l)-de yerina
vazrms olsaq, Y(Y)iig0n
(fl+!!lf re)=
*#*llltfiy
(53.3)
=(,-# #1,"
tanliyi ahnar. Bu taolikde
,=/-*
,,--q
"
=E
(53.4)
-h'"1
2m
evazlemasi edariksa, (53.3) tanliyi yerine
-*#-+y'vbi=ev!)
tenliyi ahnu. (53.5) tarliyi a.reiliyi ila raqs eden
harmonik osilyatorun tarliyidir va onun hallini
rtoi="4 a,G)
,=ffr=ff(,.**)
gaklinde tapanq. Bu helle uylun olan enerji
(53.5)
e
enerjili Y(y)
(53.q
, =n."( , *!),,
2I
"\
= 0,1,2,.-.
(53.7)
n'(€)
(53.E)
olar va (53.2)-nin halli olaraq
V'(x'
Y' z)
=
alde edarik. Bu hella uylun
**l
s'("
"n
olan e qiymati (53.4)dan
e=
"
g
-h2c2'
2m
oldulu iigrin maqnit sahesinda zerraciyin enerjisinin qiymeti
E,=h."(,+1\+ry
" "\. 2) 2m
alrnar. Burada sonuncu hadd
(53.e)
:z:rr*iViosahe istiqametindaki
ff
kinetik enerjisidir. (53.9!un birinci haddi
,.(u)
=
#(,. f,) = on,t " *
r7
(C), -Larmor tediyidir) maqnit sahasina perpendikulyar (x,y) miistavisinda zerraciyin herakat enerjisidir. Belalikla, maqnit sahainda
zarrocryln enerjlsl
,
#(,.
ff =
=
^
olur. Buradakr birinci haddi
;)*
na,(z.n + t) +
t-E
r,(r) = - p,(z.n + in,p, = - *
zmc
(53.
r0)
(53.rl)
gaklinda da yaza bilarik. Bu gb'starfu ki, kvant mexanikasma g<ire
elektron qaamn diamaqnit xassasi meydana grxr. Klassik fzikada
bu dzallik yoxdur. (52.8) ifadoine g6re arreciyin iimumilagmig im-
pulsu OX oxu istiqamatinda
I
(=hc,
va OZ
istiqamatinde
= hcrqiymatili alr. OY oxu boyunca isa zarracik tarazhq va^Do
z:yyati y = !--z- atrafinda harmonik ar, tezliyi ila reqs edir.
'eB
271
<r.=el.
mc
lndi isa atomun xarici maqnit sa-hainda enerji saviyyalarinin
deyigilmesini
ara gdrraq.
Bir valentli atom bfucins maqnit sahainda yerlegdirilir. Bele
atom eyni zamanda ham maqnit va hemda niive ile diger elektronlann elektrik sahsinde olar. Bu elektrik sahasiai markazi U(r) potensiyalh saha qabul edak. Maqnit sahesiui OZ oxu boyunca ydnaldak. Onda vektor-potensiyah
=-f,tr,
,t.
=!,,,e, =o
(53.12)
kimi qabul esok, E =rotl=B7] if"a"uioa"o B,-Br-0, Br=g
olar. Onlan Pauli tanliyinda yerine ya-aaq va ahnan ifadada do
m kigik sahaler rigiin nazere alnasaq
n!
+
=
-flv,y
!!-o,n
zmc
+
u(,y -
* r(,* -,*).
Bz.
rrr,r,
'Y
alde edarik.
_*(,*_,*)=
r,
(s3.14)
-
!v,
2m
*u(,)=
fr
"
olduf,una g6ra (53. 1 3)-i
* a.,\y
= rt.y,
*
**.(t,
yazanq. Ye'ni, maqnit sahainde
th
+
(53.15)
momentl
olao maqnit dipolunun potensiyal enerjisi
ou
=-(?n)=*(i.*n.,)
(53.16)
maqnit sahainin tasiri ila m[ayyan olunur. Stasionar hala baxrrqsa, dalla funksiyasr
272
(s3.17)
vQ,,1=,y1;1"-"
olanda bu hal iig[n Pauli tanliyi
rt.,/+#(i,+no,\y = o,y
olar. Pauli matrist ., =
(l _.,) * *,e funksiya.sr , =(rr,,)",
duf,una g6ra
rt
"y,,
;#(i,
+ ao,)y, = Ev,
t.v"*ff(i,-to,f
(s3.18)
,= ry,
iki tonlik gakilina d[g[r. Bu tanliklarin halli maqnit sahei olmayanda da iki c0re olur
/* =('{),, = fii sorni s. = f;
(53.1e)
*=(;*\r=fiiwni s.=-!
y*
= 4Q)r7(asep\",
(53.19)-u (53.18)-da yerina yazsaq,
e
=ei^=zfii
/n-nslio
*fr{.*t\s,=f;
yL r6in ise
r = EL=E?t]#b-t\s,
=-:
(53.20)
ahnar. Ye'ni, xarici maqoit saiasinda atomun dalfa funksiyasr
dayigmir. l^akin enerji isa momentin maqnit sahasindaki
orientirindan asrh olur. Belelikla, maqnit sahesinda maqnit kvant
adadina gdro saviyyalari pargalanr. m-o g610 olan orlagma ortadan gdtiiriiliir.
(53.20) ifadalarini
E,--- Ell +hL"(n+l)
ri-= t$t +na,(m-r)
geklindade
y""-aq olar.
(53.21)
C), -Larmor tediyinin ifadasi
a,="8
. 2mc
(53.22)
(53.21) dusturundan kegid tezliyi
F
61
-E
=",it'a'_ "aa
a
= otbl
r'G)
- nb)
_a?*or\^,-^)
*n"*
olar. Burada
,<">=L(t<:,|
_a!t)
h
Q,' = "B
2mc
dm = 0,11
Xarici maqnit sahesinda atomun enerji seviyyelari pakil L27-da oldupu kimi pargalanma verir. Ya'ni, xarici maqnit sahasi atomlarda
Zeeyman effekti (enerjinin deyigiknasi) yaranr.
= 3/2
2p+
3
I =r, I =r,
4
r:aF------
3
m --
rl2
n, = - ll2
n,=-3/2
nt =VZ
2po
nt = -ll2
nt =UZ
l=1,
2"*
nt=-ll2
t=o,i=f,.s=z
$akil L26. s ve p saviyyalarinin maqnit sahasinda
pargalanmasr. Normal Zeeyman effekti.
2',14
Z.*ymat effekti impuls momentinin maqnit sahesi istiqamotinda presesiya harakati ile baf,hdrr. Gflclii maqnit sahesinda spin
momenti ile orbital momeat ayn-ayflhqda maqnit sahosi ilo tasirda
olur ve bu iasir normal T,eyman effektini realiza edir. Bu zaman
maqnit sahasinda seviyyalar arasrnda olan kogida uy!'un olaraq [g
spektral xett ahnu.
Lakin, tacrlbo gdstarir ki, normal Zeeyman effektinden ba5qa,
daha mflrakkab Zeeyman cffekti da mflgahida olunur. Z*ymzn effektini atraflr 6yranmek tgiin tam impuls momentini aragduaq
Tam moment operatoru
aa:
J=L+S
(s3.24)
orbital momentle, spin momentinn cami gaklindadir. Burada
i=ftil=-nftvl
. h_
s =;o
s' =.i| +sj + 3! = i)*,i' * z(i,s, + i,s, + i,s,)
*h
J =-d
'2
J' = ii.+ 1; + Ji
Onda
i, =-inlnl*f;,.
(53.2'
vazrlar va
i'y, = i',y
tenliklerindan
i'va j,
(s3.26)
j,v = J,v
operatorlarrnn maxsusi qiymatlerini tapa-
rrq. (53.24) ve (53.25)-dan
u(r,).io(i,).+.:(i i).ai(l
.,.
:(; !,)\(i;,)=,, (Y;,)
27s
-i\ l+
0,
'
(s3.27)
yazanq. Matrislarin vurulmasl va toplaDmast qaydaslndan istifado
edariksa
li:o,
li:,y,
*1n' r,
+
* 1 n,,y, -
a(i,,y,
*(t, - it,f
,) 4 )r,r,
n(t,r, * (i, * ii,\y,)
ol- V'
r,
alanq ve bura&n da iki tanlik
i.?y,
*1h'y, +n(i,,y, *(i, -i,\y,)= r,y,
(53.28)
i),y, *1h',y, -h@,w,
*(i, *i,)y,)= r,y
alda ederik. Me'lumdur ki,
tv, =a'\t +t\y,;L,,y, =h^,y,
ilw, = n'0t +t\y,ri,v,
olur. Eyni ila
(t, - it,l,^
= -n,!Q +
=
$3'29)
n-w,
ifri
+ r)v,.^-,
b,*n,Y.=-ag-,,fi +ilJr,:;.,.,
(53'30)
oFr
rYr=aY,^;Yr=bYt,^*,
kimi qabul ctsak, (53.28) tnliklerinden
*]" -,1g:q;;;7p = L
It,. t. |.
a
(s33r)
[,O.r.i-.], -J,-ffi +m+t\p=Lb
tenlikler sistc,mi alanq. Onlana srfrdan farqli o zaman olar ki, a va
b emsallanm determinantr sfu' olsun:
lr{r*,)*}*,
#
-
JA.;.N-_;i)l
l-vtmr,--a ft.q.1-,,-f
=0
J2
Bu determinantdao I-= UgUn iki ktlk
alarq.
# =(,.+)''(,.;)
(s3.32)
r-\2^2)
=n'(r*lY t*1\
t lY,_1)
t'1 =n'1lt +-
(53.33)
Buradan
1rr
--
1
ifadasinde birinci orbital va spin momentlerinin cami, ikinci isa orbital ve spin momenlarinin ferqi kimi taprlu. Ya'ni
l, =h,j(j+r)
.135
' z'z'z'
(53.34)
tapmrg oluruq. j -kvant adadi daxili kvant adadi adlaur va
'l=/+'S
j=r_sl
deyarlari alu. Eyni yolla J, iig[nda
=(t,.*(i II;:
(t..,.\,
(r(^*!\,.
)=,,(:;,)
o)
fl.^li,-."{,,',",1=^(-.;\r,)=''(r;,)
\ 2)'' )
yazanq ki, buradan
&
/ l\
J,=hlm+;)
ahnu. BaSqa qakilde
(53.35)
r,
= hm,,m,
kimi yazrlrr. Belelikle,
=
xltlt],... t i
j'v
=h'
i"Y
=nt'w
j(i
'
+1\Y
(53 36)
aldo edarik. Tam momentlo atomun maqnit momenti
i,=:-(j
' 2mc\ .3\=;-(i.23\
) Zmc\
)
(53 37)
ifada olunur. (53.37) ifadasinden maqnit momentini
e /:
:
tt =
zmclJ
+
:\
S
)=
'
OJ
(53.38)
kimi yazanqsa, Q-nir ifadesini tapanq. (53.38!ni
*3)i
ojj
' =:-(i
2mc\ ) =-:-(;,*s')=
Zmc\
)
: zmcl" [,*s)
l')
gaklinde yazarrqsa, Q iigiin
o=:-(*Y)
- z^rlr*v]
*,
(53.3e)
elde ederik. (52.24!dan orbital momen operatoru
L=J -S
oldufiu r1giin
t:
=
j'
*3
-23,i
Sr=1(r'+s'-l)
2'
yaalar. Bunu (53.39) -da yerine yazsaq
O==e-(si'*-S:--tl
- 2ncl
2J' )
1rroo,
alanq. (53.40)r (53.3E)da yerine qoysaq, maqnit momenti iigiin
e (, i'*,('-i''\"
'i=__:_-lt+:_:_:
-2
--1
=0j
lJ
zJ.
zncl
(53.41)
)
alde edaiik. Bu momentin xarici maqnit sahsi ila tasiri
Y =-oe
enerjiya olan birinci tartib elave
r = -lvl!il.u,nr!)ar
=-
qeklinde olar.
t'
= h' j(j +
oldu[una g6re bu ifadeden
,
=
- Srl;l
t\I]
r^"(r.
= n' tQ +
[vi!"].p,Qn,y!)av
t),s' = r's(s + l)
UYy "yf)ar
=
ffs,6,rr^r
(s3.42)
yazanq. g-nin ifadesi
,
=,
*
.r(.r'
* t)*-s(s *
r)-(r
* r)
zi$ +t)
(53.43) ifadasina hiromaqnit mtinasibeti ve ya Lande
lir. Demali, zayif maqnit sahesinda atomun enerjisi
E^=Ebl-h(rrmtg
gaklinde olar. Burada
E(o)
(53.43)
wrulu
deyi_
(53.44)
maqnit sahasi olmayanda atomun enerji-
sidi, O. -Larmor tediyidi, g-l,ande vuruEu, tam momentin proeksiyasrnr teyin
.air. lz,
'
=
1];1,...,+j-kvant
2'L
edaddir rrr, ededi
-
j-dao +j-ye qadar qiymetler aldrlrna g6ra, har bir saviyya zayif
maqnit sahasinda 2j+l qader pargalanma verir.
Atomun zayif maqnit sahasinda
's,,,(i
=l,t =o):n,,(i =1,, =r)*'e,,,(i =),t =r)
soviyyelarinin pargalanmasr $akil I.27da gostarilmigdi
279
B{
s'
=-hlz
B*0
$okil L27. Zayif maqait sahasinda S1;4 P12 va Pm
Seviyyalarinin parcalanmasr' Anomal Zeeyman effekti.
gekil I.27dan goriindflyii kimi normal Zeeyrran effektinden ferqli olaraq, maqnit sahasinda [9 xett arrazina, datra gox sayda xattlar
almr. Sahanin g0cl[ va ya zayif olmasr
!a.|m,.1
zmc
(53.45)
,..1ffo",1
qartindan taprlr. Oger
M/,
F,
5,3 ' 10s
(Na atomu [grin) olursa,
ersted olar. Maqnit sahesinin lff erstedden kigik qiy(zayif
maqnit sahmi) olmasr, bela xarici sahenin spin ormatlaridn
bital rabitani qra bilmasine uyfun galir ve ona gdrade atomal Zeeyman effekti almu.
G[cln maqnit sahasinda Normal Zceyman effekti ($ekil I.28)
B>5.101
ahntr
280
Fasil V-e aid gal4malar
qahfma V.l. Xatti harmonik osilyatorun kvaziklassik euerji saviyyalarini
tapm.
Hall: Stasionar enerji saviyyaleri
'y*=*(".))
U(r)=^4r"
ila mriayyan olunur. Potensiyal enerji
E-m@'
ot"naa x =
olduflu ngrtn
,'=o
l rF
tr/a
I m@'
ohr. Ya,ni, d6nma ndqtalari
olar. Buradan
lz^<,
=z(2.6a
o \a)
-rdt)dx
=
ZbIJE- y, dy =
**,#). =:(:-""^8,)i,.
taprLr. Ya'ni,
,[u,1t-qay
E
E -( r)
-rf=nrdn+-|
a\2)
Buradan
2,,
=n,(".))=
Ea-,,n =0,1,2,...
enerji tapdar.
281
yezlet.
a)
oldugu iigrln
Cahima V.2. Sistemin har harur bir k hahndan t, halna kegma ehtimaln_
da hayacanlagmanrn Fouier amsah ila tayin edin.
Hall: III
postr.rlata g6ra
w"=Fgr
4) =-i.ir,,kb^"a,
olur. Zr(r)-nin Fouicr amsah
Y(,)=fy(.b^d.
Bunun har iki tarafini
e''t
-ye
*Jq
w t iizra inteqrallasaq
J ",.',rQY, = l[rr(rp'<"-"> o,o, = zr lv(a)a(at, -
=Zztt(a')
alanq. Buradan
v@)=*lvkb*dt
voya A -+ @b yazlLrsaq
,"(,")=* !n|b,""a,
aldo edilar. Bu ifadani
alanq. Onda
a$
a m,uqayisa etsak
"! =-ffv,(,,)
v,=l,Pl' =ffv,,(,,1'
tap lr.
282
at\a
=
Qahgma V.3. Monoxromotik, periodik dalfiasr ila tairinde oLan atomun
ehimalmr hesablaym.
Hall: igrq dalfasr
r ="r""or(*-!r\
( r/
l0{ + 10-5srz olur va atomun olgiisii .r - 10{ sm tartiMadir. Onda ZxolO-1 olar. Heyacanlag\"
ile xaraktcriza olunur. G6riilan
iSrq
i&tin
f,, :v
ma
f (r,t)=
-lfax
=-esocos@r lilx = --e€oxcoszat
verilar va matris elemanr
rtn (x, r) = -
s
6.
sos
d
Iv, :@
(i, rh
w
P G, t\r'v
YnQ,t)= -"e
"rnQ)cosra
"tol d,v = ei'-t x,n
, *Q) =
!dc) (;h,yl,,t1;yiHj'
Y
*
(x, t) = - e 6.
cG)
a
nei' -'
cos o)t,
x
n = lw i,@ Gh wf\ GVtr,
p(")
-^^ =----iLL
alda edilir. Hayacanla5ma nezariyyeina g6ra
-i I'*G,IP = ff-* fei"-' tordr =
='*. *' [:'"'' G'- + eu- \ t = *, -(f"' -v +'k'b -''|
"!)
cos
=
'o!
- ec"(
ul"'('-,*.,-l
-. e&.-o)-l'\
,*-, )
E-
saviyyaina koqid, udulma olan zaman
-@ =0 olaJ.'ta E, +ha = E^dir. $talanma olan zaman isa
+a=0ol w E,-ha=E,dir. Onda ar,* -arkigik qiymetla-
alanq.
o
a
E
d t) =
saviyyasindan
rinda onun rolu miihiimdiir vo rezonans oblashnda a.r,o
283
-
al dayari kiqik
olur
va 4 -hat= E.coxbaynk ol,ar- Ona g610
eE" . etlo''-a\ -1
-lrl
"n-- 2h'* ,n_,
III
yazlar.
postulata g610
w*=1"91'
olduguna giira
**=ffv*rLffid=#iv-rff#
yaza bilarik. Buradan
wn
=
""3!nl'
l[r-"or(r* -,]l
n'(an-dtf
.", (r., -r)
=a":F*l'76;T
olar. 5 -funksiyamn torifna gijra
o"'"*f
(rn-r\'
lz
=^a{'*-'\
[ 2 )
)
w*=d"jfil,*rtryt)
elde edarik.
a(ax) = 1 561 **sasina s6ra
4*;)=*(,n-.)yazrarva
n*=#V*ld(an-,\
olar. Yahid zamanda kegid chtimah iignn
n=+=#Fnl'a(,*-,)
tapilar.
2U
Qal$ma V.4. (0,a) intervalmda
Y(i=1-x
rociyin enerjisina olan E(r) va Ee)
tlolt,
hayacanlagma sahcinda
ar-
ahvaUfri uprr.
V(x)=L a sahaeinde asas hahn ene{i va hal funksiyasr
a
e,,
=
E,rg,
=
E"^(+,),
olur. Enerjiya olan I va tr nartib alava
"
= 1,2,3,...
4,t=v*,44=I;ph
ile tayin olunur. Buradan
19 ='lv :bY,y!., *
Jrt "^(+,)""(T.)E+ *
(v,\*
=?L'kn
a': \a /
olar.
V--ni
,*
=
=Y"
.o<,t
2' '
=
=Y,
2
hesablasaq
ff'y, ";"(7,)"*(7,)*
=?
il#
=
-a""h*, - #;i",,tu:-&-,j,,
=
=3{6#"*@'&,-6fu*.(q& .)). =,
sfrr alanq. Onda [I tartib alavsnin
t-.
t2
5r,r=y
__n
L *),lf-l81.)
-"
rtrur
srfrr qiymatini alda edarik.
-
Qahgma V_.5. Elektrik y[kl[ harmonik osilyator raqs istiqamatinda y6nsl_
mig elektrik sahainda olarsa, ooun enerjisina olanl
li t".tiU ,t"'"ofe.i
"a
tapln.
285
Hell: OsiJyatorun ene{isi ve hal funksiyasr
,,", = o,(, *
l).
-ea
Bu osilyator Z =
r!'t
=
v-
w@ = (z,
=-
""Q'
G,t ol" "-:(:)' H.(1),.
sahacinda olsun. Onda
G
nrof!,"1)'
n'(t)a,
lh
= ,l
^,
=o
G oy i p' u;,\ i 1,"$' n .(t-\r .(t)a,
^ " "(z' ^r
oldufiundan, z = rz t l qiymatinda
v
=-
Et'\=1.#n=k+.k+'
,*,*^(t)-",
'""(i)-* ^(:).^'v^.. =
-."(z-
,(:)
=o
,"^"0
^rGo)-Q.ta.fi.{y-" ,(;)r.(;)*.
.;t,".,GY"(:)i'l-]
alanq. m=n+l va m=n-l olduEu iigfin
r,,*,,,=-eE"ab'*'(,*
jGofi lz'^tJ;,li!1,*1n:(t\$'*-
trn
=_eqal_r_
286
Vdni = -eaod
Onda
na ;Vr-\, =
1,
- lr,.^-,1' 1r..,.,1'
"'-i;6i-A-i&-t-da(:)
--e€od
ahnar.
e'e'a'!
, "'"'o'n!r
-h@
-ho
n+l n\ e'c'a' e'e'
=-e'e'a'(
h, I z -i)- 2h, =-z*r'
pll
"n - - z*a'
e2
e2
olar. Demali, xarici sahada osilyatorun enerjisi iigiin
4=n,(n*!)-!'""
'
( 2) 2mot"
almrg oluruq.
Qahpma V.6.
y
=1r'
2
saheinda olan osilyatorun enerjisini taprn.
Hall: Osilyatorun k- seviyyasinda encrjisi
/ r\
\. lY*rl'
z)
kEyt--*r
\
E, =htol k +7l+Yo +
olur.
Elt
=
ttt
Orl'da
=vu
=zirf,l'**=21,**,*
("*,',-,,
t
+ xtbtxl+tr)=
(
h@l'*
1\
=
d
,)r^r, =
o(
k
k *l\
o
o' * o'
=
= o' bn* r)= tr'[, *1)
2[ 2
2) 4
2 [ 2)
l\
c(\ -v -na(
Di.=yt=
z*.lr*r)
f
tt,,
=
llx,.,
xu =
Yu,, =Zr'r-,r
lG r
=f
r-,, u,r. + rr.,r+rrr*u, )
^tW-tl
ru,r=1*i-rr=4
oldulu iigiin
a'a'k(k-l) a'a' (t+tXt+z)
sr lyul'
^(2)
. Lt E\ot _ E\?) 16 2ha
a'at ( n +-l\
=
--l8&ar
\
_
16
|
2)
enerjiya olan tr tartib alavani tapanq. Ondaosilyatorun €nerjisi
*![r*i^ot,
" --
e.
-"-\"-r)L'", =a.(t
"]
-1
8m,o;, )
olar.
Cahima v.7. ikiqat orlagm5 halm hayacanfuma hesabrna enerjisini va
ha! funkiyasmr taprn.
Hall: lki qat orla5m5 halda tanlikler
V,,-d'tYt"t *n ol") =oI
t uo!"t +(vu- dD)rl') = oJ
olur. Bu tanliklerin birgo halli olmast
ohddu.
l'";:"'
Buradan
fir,,
iq[n
Y.v:E$l=o
- to\ro - t(r))- F/zl' = o
(dr!
-Qr,,-Yu)Eo +v,,vu-lv,,l' =o
olar.
288
B(,t
=Y" lYu
a,lvt d, 46y"
_Yr*Vo *
)
Irr,
,(rl
+ Yr,
;1rl
- Vzz D
+;)
=
-yu)' + \Itrrl'
Demali,
-Y|
'22
-Yr,
'22
,D
D= Y,,-vuY *ql\,,l'
f!') * 4'l
ohnda crlagmanrn hayacanlagmamn hesabma aradan qal-
xmasr miigahida otuaur. Efr)
rina yazsaq
ve Ej') qiymerterini tanlikbr sisteminde ye-
#='#n*'=#'
ala.,q. Ef')
va El )tott".i oeii,
(#)'=*t(#)'='r+
tapanq. Onda
y,--yrld"o"L*Vfl";nE
,y, =
-,y!'tsin!+vfi "o"L
alda edilir.
QahgmaV. E. Otalat ve dipol momenti
elektrik sahainda encrjisini tapur.
i
va d olan rotatorun xarici bircins
Hall: Elektrik saheini OZ oxu bolrunca y6nahsak, hayacanlagma
Y = -decos9 olrur. Rotatorun &lEa funksiyasr va encrjisi saha olmayanda
289
Y:(o.a\,Eld =
olar. osas hal l=0, m=0 oldulu ii90n
uL{t*t)
f:
tenib alave
2,,
4'\ = ! [v;'
r
(e,
e)v; (e, epc- =
-,
=
\
,-)-,n
=0dir.
Birinci
2a!-
! ld e
cos 0 sin H
He=o
4)=o
olar. II tartib alava isa
,:'=1d#-dr,1,=Y*.,.=
=
-*"!* F
=
*(cosd)cos
d sin
6ud =
+yGY.=r-T'!#l+!)*
yazrlar. Burada
!#l+!)* #(+#l* 1#[9#)_ a., ( (,, -tl )-' _
-
a., [(r. - r] )-'
ar'-'[ z'tt )., dx"l 2'l
oldugu
[{[n, />t
qiyrratinda bu ifadalar stfir olar. /=1 olarsa
I*(+)*
olur. Onda
),,
=
)# * =( *. ;),.'.,= i
,'@'I0=-Jla2 ?
3
=-T
rlo -61.t =-rt,
c(z)
"h'3
J
e2d2
alde edilir. Belalikla,
g. =
Bbl a
g(t * E:n
"
=
-J"_'4.'
3h'
alanq.
Qahgma V.9. iki elektron arasrnda qargrhql tasiri hayacanlagma hesab
edarak, helium atomunun ve hcliumabanzar ionlann enerjisini taplD.
Hull:
Osas halda hayacanlaSmamrg halda 2 elektronlu sistsmin enerjisinin
ciymoti
l'
6t"t
oz\
=) -L l-
l2)
olur. Enerjiye olan I tartib alava
v = y,(r,\y,(rr)=Z'
1t
-7,2
"-'1"*'7
funksiyasrila tayin olunur.
Et'''
= !v,'
;vdYdv,
=z'!4y,0,|!o,or,
burada
tt2
p, =lv ,l' , o, =lv,l'
dY, = 4rz 4r, , 4n, = 4trz' dr,
Onda
d't
=12
8
alanq. Belalikla, helium atomunun ene{isi
6
= 2@ a
5$ =-Z' +12
8
olar. Buradan da helium atomunun enerjisi
291
-e =l=z,ts
qiymatini alar. Tenibadan ahnan qiymat -E=2,9O (atom vahidtarinde)
olw,
Cahtna V.10. N[vanin maqnit mom€ntini gdz6nfina alaraq atomun ifratrnca qurlu$unu tapm.
Hall: Ogar hidrojen atomu (Z=l) maqnit momentina sahiMirsa, onun
maqnit momenti
It o =
f oA'o@i-
Pczlj matrisid
n
,
A, =
ft)
ou, va bu maqnit
sa-
hai
i =,,
+ =lo,t4-).
e=
-a
=lv
;l
potcnsiyalla tayin olununr. Bele saha elektronun maqnit momenti ila
yaU" = pod'") qanrhqh tasirda olur vo bu tsir naticasinda alava enerji
ranrr. QarprJlqh ta'sir:
y,o=-pB=topo("t*r!)=r,o,lao(a;vY-d:a',v':)
olar. Ogar sog mif istiqamat yoxdursa, ybni faza izotropdursa
(afi\a',v)=!(a'"a,P'
v'L = -+oa(i)
olar va ifratinca qurlu5
vr=)r"a,(a',a',\1;1
qargrtqh tasirdan taprlu. Elektron-proton sisteminin spin operatoru
s'=l@:*a,Y
oldugu ugim
l@:*a',1=n's(s+r)
292
yazanq. Burada S toplam spir ($+Sr) olduluna g5re, ya S=0 va yadakr
S=l olar-
l(,:
oj
ifadasindan o',2 +
*
a; * ,a:,r; )= s(s + r)
=3+3=6 oldufundan
6'dr=ZS(S
+t)-3
yazz-
nq. d -funksiyanrn
!w' va(;pr,=
tr(o)'[k(o)'
=
#(T)', -= {: : : |)
verdiyi naticaya g6ra S saviyyasinin dayigilmasi (ifratinca qurlug) aqatrdakr ifada ila m[ayyan olunur:
=lnr,ff[zs(s
rc"
+ r)
-:]
Ogar elektron ila protonun spini bir-birina antiparaleldirsa (S=0), onda
ttr(s
=o)=-ep,p,ff
olar. Oger elektron \ra protonun spini bir-birina paraleldirsa (S=l), onda
*,(s=l=lo,o,#
.
olar. S=1 hahndakr cnerji i.la S=0 hahndakr enerjinin farqi iigrin.
ar,,(s
=
0-
(s = A
^E&
=!
nr,ffi
alanq. Onda S saviyyainde kogid tediyi
o.
olar. n=l hah
igin
=32
rttpe nlel
3 h
n'ho
Aar -nin nazari qiymati
La'* =1417^f1"
taprlar. Onun tacr[bi qiymeti isa
A
Qahgma
a'*
= l420mghs
V.l1. Srndrma amsah n>l miihitda harakat
edon elektron stlalan-
ma verir (Qerenkov gfialanrnasr). Bu $alanmann €lcktronun sdratindan
asfiIgmr tapln
293
Hell: $iialanma zamanr enerji-impulsun saxlanmasr qanuna gdra
E=hot+E
olur.Va ya
F=P
(^'
+nE
*
"' "'
Fl'' = hr +(^'
F=P+ni
+
"' "'
P'l''
olur. Burada Fva P u.gan5rc va son halda elektronun impulsudur,
hE vo ha fobnun impulsu va enerjisidir. Buradan
"(*'r'*
p'\'' = h, *
"(^'"'
*
P'"J''
F--P =hi
c'(n'c'+ p')=h'af +ctQn'"'+ p''\''
+ Zhax(*zrz
*
O'zlt2
alanq. Onda fotonun gxts bucaElnm cosiousu
.o"e=
*""
' *2h(r-4).u=Y
-iiP'
zPl' c'?k'z )'t'- c
olar. Stndirma amsah
e = hat
(
c' =
9
n
- mrihitda isltsn
= ihk =cfu
It
faa siiratidir ) mfinasibatinden taprldrfr iigfin
pl 2p\ n')
"o,a=a*!{(r-1)
ahnar. Ogar,
pr
> I dirse, elektronun sirati, islgm mlhitdaki siiralindan
b6y[k olana (c > v'
> c')
qiialanma bag verar. Klassik fzikada giialanma
bucaF
.ora
=a(a -+o)
fti'
olar. Bo5luqda bela tiialanma bag vermoz, 9[nki
n=l va cosd = 9 olur.
v
Buna g6rada elektrooun Z s[rati, i$rfrn siiretindan biiyiik ola bilmaz.
294
Kitabrn igindekilar
On sd2..,..
.5
Odabiyyat
I Fesil. Kvant mexanikasr rre onun riyazi esasIan...................... I I
$ l. Kvant mexanika.:irmn yaranmasrn& sabab olan hadisalar........ I I
$ 2. Kvant hahnur dalla funksiyasr ila xaraktcriza olunmasr
l5
Operatorlar va onlana xassalari..............
20
4. Kvant mexanikaslnm postulatlan
............22
ti 5. Kasilmaz sp€ktra sahib olan operatorun maxsusi funksiyasr...24
$ 6. Drskret spektra malik olan operatorun maxsusi funksiyilan..2?
$ 7. Fiziki kamiyyatin orta
..._........29
g 8. Maxsusi qiymat va maxusi funksiya tanlil ............................
30
g 9. Fiziki kamiyyetin m[ayyan qiymat alma garti ..............
......---.-32
$ 3.
.
$
qiymeti.....
g 10. Dinamik dayi5anlar figiin
l. Koordinat
qeyrimiiayFnlik mfinasibati
_........ 34
va impuh operatorlannrn agkar gakili,
onlann maxsusi qiymati ve maxsusi funksiyaIan.................... 32
$ 12. Enerji operatoru, S6dinger bnliyi .........
.41
$ 13. Kvant mexanikaslnm harakat tanliyi..................................... 45
$I
tanliyi........................
teorem1ari......................
$ l4.Kasilmezlik
............47
$ 15. Erenfest
.............50
g 15. Stidinger tanliyindan Hamilron-Yakobi tanliyinin ahnmasr .. 52
$ 17. Impuls momenti operatoruDun a$kar gaklnin almmasr,
onun maxsusi qiymati va mexsusi funkiyasr......................... 54
g 18. impuls momenti ya Hamilton opratorunun b@i 6zalliktari. 65
Fesil I-e aid gahgmalar yaonlann
II F asil. Ba'zi
helli
...........69
sada hallarda gchodinger tanliyinin hellori......... El
$ 19. Potensial qutuda harekat edan zarracik ...
. .. . ... . ......... .. ...........
20. Harmonik osilyatorun kvant nozariyyasi........-......................
21. Maqnit sahesinda zarraciklarin harekati ...............................
$ 22. Markazi saheda harakat. Rotator.......:..................................
$ 23. Kulon sahasinda zarr*iyin harakati.....................-...............
$ 24. Birvalentli atomlann enerjisi ve da[a funksiyasr...................
$ 25. Alomlann maqnit momentlari
$
g
Fasil ll-e aid galgmalar.....................................
III
8
I
85
93
95
99
106
109
I l3
Fasil.Tasvir va ya Tamsil (g6starim) nazariyyasi elemcotlarit2g
g 26. Dal[a funkiyaslnm mfixtalif tsvirda verilmasi ............. .........lZ9
$ 27.
Operatorlaun miixtalif tasvirda yaahtr..................................
295
133
...-..
gevirma
........... 140
2E. Unitar gevhn€1er..................
........... 143
29. Zamanr dayi$iran unitar
g 30. Osilyatorun enerji tavirinda ya2l51.............................. -...-....146
$
g
$
3l. Sistemin hatnn sdlq makisi (statistik operator)
ila
Fasil
IV
.................................... 148
verilmasi...........
............. 152
aid gal6malar.....................
III€
Fesil. Kvant mexanikaslnda istifado olunan
teqribi metodlar............
0 32.
g 33.
$ 34.
$ 35.
g 36.
$ 37.
Ritsin variyasiya
[suIu................
.....,,,..........,.. 162
............, 162
Klassikabanzar (kvaziklassik) yaxmlagma.......... . ... .......... 166
HayacanlaSma nazariyyesinin aas tanliklari ................ .........170
Crlagmanrlg (qatmarlaEmamii) hatn hayacanlagmasr ....-...... 17l
Crlasma (qatmarlagma) olan hahn hayacanlagmast.............. 174
Stasionarolmayan hayacanlagma va kegid ehtimal ............... 176
........................... lE2
Fasil IV-e aid gl4malar
Fesil. Hayacanla5ma nazariyysinin tetbiqlari.....................
$ 3E.
g
I
86
Y[Hn xatti harmonik osilyatorun elektrik
sahasinda harakati
39. Anharmonik
osi1yator...................
,,',...,....'..,''. lE6
........... I90
9ll(). Stark effekti (xaricielektrik sahasinda atomun enedisi)........ 194
41. Hidrojen atomu irgrin Stark elfekti .....................'....... ............ 197
g 42. Oqdh[l[ rotalorun xsrici elektrik sahasinda harekati............ 203
g 43. Spinin vart$. Maxsusi qiymat va marsusi funksiyalar.
.................................... 205
Pauli
g.14. Spin funksiyasr. Pauli
............214
prinsipi. . 218
0 45. SiEmetrik va antisimmetrik hal funksiyalan. Pauli
$ 46. Helium atomunun encrji saviyyalari
Para, ortohelium hallan .......................................................... 221
g 47. Elementlarin periodik sistemi .....................
231
g 48. Molekullann yaranmasr. Hidrogen molekulu ........................ 238
g
matrisleri.....
tanliyi........
49. $iblaDmanin kvant nazariyyasi,
mrburi ra 6zbagrna (spontan) kegid ehtimll1an.................... 247
g 50. Iqr[rn mrlhitdan sapilmai (dispcrsiya)......................... ...........254
g 51. Raman cffekti
g
g 52. SeCrne
qaydas1..............................
............265
Sarbs6t zarraciyin vo atomun maqnit sahasinda davran4r.
............269
Zeeyman
.................... 281
Fasil V-e aid 9a14ma1ar.................
$ 53.
elfckti.....
296

gümrüklenmiş hazır ve yüklemeli pamuk tekliflerimiz

ue$Ger,eleni

ders bilgileri - Düzce Üniversitesi Cumayeri Meslek Yüksekokulu

ELEKTRoNixa - SDU-nun Elektron Kitabxanası

PROJEKT˙IF (Düzlem) GEOMETR˙I(S˙I): Projektif geometri

OOA[ayev, RiMemmedova - SDU

Bağırsak.pdf için Tıklayınız

şeftali bahçeleri - Journal of International Social Research

1. Metrik Uzaylarda Kompaktlık

PProfof PPrP sman Osmsm Sİİ VR V YA KAYA İnşaat t M İ çin eoloji

KULLANMA TALIMATI RECTODERM rektal merhem Haricen