close

Enter

Log in using OpenID

Cebir Notları

embedDownload
www.mustafayagci.com, 2005
Cebir Notları
Mustafa YAĞCI, [email protected]
O.B.E.B. ve O.K.E.K.
Geldik matematik dersinin en temel konularından birine… Zaten bundan dolayı ta ilkokuldan
beri anlatılır. Gerçi o zamanlar EBOB-EKOK diye
öğrenmiş olabilirsiniz. Şimdi isimleri OBEB ve
OKEK oldu. Bu konunun karşımıza çıkamayacağı
matematik konusu yok gibidir. Geometride bile
karşımıza çıkar desem yeridir. Hadi bakalım, bir
güzel okuyun, önemli yerlerin altlarını çizin. Size
ödev olarak bırakılan her şeyle mutlaka uğraşın.
Alıştırma sorularını da çözüp, çözemediklerinizi
mutlaka bana gelin sorun.
Önce bilinmesi gereken temel şeyleri hatırlayarak konuya bir giriş yapalım.
Tanım. a ≠ 0 olup a, b, q birer tamsayı olsun.
Eğer b = q⋅a ise ‘’a böler b’yi’’ veya ‘’b sayısı
a’nın bir katıdır’’ deriz.
Bunu a|b şeklinde gösterir ve ‘’a böler b’yi’’
diye okuruz. Eğer a sayısı b’yi bölmüyorsa a†b
şeklinde gösteririz.
Ama siz bu gösterimlere alışık olmadığınızdan
ben mümkün olduğunca bunları kelimelerle anlatacağım.
Örneğin; 8, 4’ün katıdır. O halde 4 böler 8’i.
(Bunu 4|8 diye yazarız.)
9, 4’ün katı değildir. O halde 4, 9’u bölmez.
(Bunu da 4†9 şeklinde yazarız.)
Burada ‘’bölmek’’ten kastımız ‘’tam bölmek’’
yani ‘’kalansız bölmek’’tir. ‘’Katı olması’’ da
‘’tam katı’’ manasında anlaşılmalıdır.
Aşağıda OBEB-OKEK dersinde zorlanmamanız için bilmeniz gereken birkaç teorem var. Aslında hepsi zaten bildiğiniz şeyler ama ben yine de
yazayım dedim. İlerde bakıp, ‘Yahu Mustafa hocam, bizim için ne kadar da güzel teksirler hazırlarmış, içinde yok yok!’’ filan dersiniz. ☺
Teorem. k herhangi bir tamsayı olsun. a, b’yi
bölüyorsa bk’yı da böler.
Kanıt: a, b’yi bölüyormuş, yani b, a’nın katıymış. c katı olsun diyelim (c bir tamsayı). O halde b = a⋅c’dir. b⋅k = a⋅c⋅k olduğundan a⋅c⋅k sayısı
da a’nın katıdır hem de tam c⋅k katıdır. Madem
katı, o zaman a, b⋅k’yı böler.
Bir örnek verelim:
20, 10’un katıdır. 2 sayısı 10’u bölüyorsa,
20’yi de böler. Doğru!
Teorem. a, b’yi bölüyor, b de a’yı bölüyorsa a
= b veya a = –b’dir.
Kanıt: a, b’yi bölüyormuş. Bir k tamsayısı için
b = a⋅k olsun. b de a’yı bölüyormuş. Bir t tamsayısı için de a = b⋅t olsun. Bu a değerini ilk eşitlikte
yerine yazalım. b = b⋅t⋅k olur ki buradan t⋅k = 1
bulunur. t ve k birer tamsayı olup çarpımları 1 olduğundan 1 veya –1 dışında bir şey olmayacakları
aşikar.
k = 1 olursa a = b olur, k = –1 olursa a = –b
olur.
Buna da bir örnek verelim:
20, 40’ı böler. Ama 40, 20’yi bölmez. Niye,
çünkü 20 ile 40 eşit değil. Peki şuna bakın:
4, (–4)’ü böler. (–4) de 4’ü böler. Tam istediğimiz gibi. Birbirinin aynısı olan iki sayıda da deneyin, yine olacağını göreceksin.
Teorem. a, b’yi bölüyor ve b de c’yi bölüyorsa
a, c’yi böler .
Kanıt: a, b’yi bölüyormuş. Bir k tamsayısı için
b = a⋅k olsun. b de c’yi bölüyormuş. Bir t tamsayısı için de c = b⋅t olsun. İlk bulduğumuz b değerini
ikinci eşitlikte yerine yazarsak; c = a⋅k⋅t olur. Bu
da c’nin a’nın k⋅t katı olduğunu, dolayısıyla a’nın
c’yi böldüğünü anlarız.
Sayısal örnek verelim:
4, 20’yi böler. 20 de 240’ı böler. O halde 4,
240’ı da bölmeli. Evet!
Bunların ne önemi var demeyin, matematik bu
aslında. Her şey bunlar üstüne kurulu.
Mustafa YAĞCI
OBEB-OKEK
Bunu zaten bundan bir önceki ders olan bölünebilme dersinde bir güzel işlemiştik. Bu konuda
da sıkça geçtiği için hatırlatma yaptık.
Artık ufak ufak derse geçiyoruz.
Teorem. a hem b’yi bölüyor hem de c’yi bölüyorsa k⋅b+ t⋅c’yi de böler. (k,t∈ )
Kanıt: a, b’yi bölüyormuş. Bir k1 tamsayısı
için b = a⋅k1 olsun. a hem de c’yi bölüyormuş. Bir
t1 tamsayısı için de c = a⋅t1 olsun. k⋅b+ t⋅c = k⋅a⋅k1
+ t⋅a⋅t1 = a⋅(k⋅k1 + t⋅t1) olduğundan k⋅b + t⋅c sayısının a’nın katı olduğunu anlarız. Böylelikle istenilen kanıtlanmış olur.
OBEB
Tanım: a ve b’yi aynı anda bölen en büyük
pozitif tamsayıya a ile b’nin en büyük ortak böleni veya kısaca OBEB’i denir.
(a, b) ile gösterilir ama biz yine OBEB(a, b)
yazarak göstereceğiz.
Yalnız önce OBEB’i biraz daha açıklayalım.
a, b, d tamsayıları için d hem a’yı hem b’yi bölüyorsa d’ye a ile b’nin bir ortak böleni denir.
Hem a’yı hem b’yi bölen d gibi birçok sayı olabilir. İşte bu sayıların en büyüğüdür OBEB(a, b).
İki sayının OBEB’i bölme algoritması yardımıyla da bulunabilir.
Eğer OBEB’leri aranan iki sayının ikisi de sıfır
ise OBEB’den bahsedilemez.
Diğer yandan sayının biri sıfırdan farklı ama
diğeri sıfır ise bu iki sayının OBEB’i sıfırdan farklı olanın mutlak değeridir. Neden mutlak değeri
olduğunu anladınız umarım. Tanıma tekrar bir bakın göreceksiniz. OBEB daima pozitiftir.
Eğer a ve b sıfırdan farklı iki sayıyken |a| ≤ |b|
ise d’nin bütün pozitif bölenleri kümesi; a ve
b’nin ortak bölenleridir. Bu bölenlerin en büyüğü
b’yi de böldüğünden buna OBEB denir.
Bunu bir örnekle açıklığa kavuşturalım:
a = 12 ve b = 18 olsun. OBEB(12,18)’i bulalım.
a’nın bölenlerinin kümesi =
{–12, –6, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 6 ,12}
b’nin bölenlerinin kümesi =
{–18, –9, –6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6, 9, 18}
a ile b’nin ortak bölenlerinin kümesi =
{–6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6}
Örnek: 4 hem 16’yı hem de 24 ‘ü böler. Şimdi
kafadan iki tamsayı atalım. Mesela 7 ve –3. O halde 4, 16⋅7 + 24⋅(–3)’ü de bölmeli. Hesaplarsak o
garip sayı 40 çıkar. Gerçekten de 4’ün katıdır.
O halde bu da doğru!
Teorem. k sıfırdan farklı bir tamsayı olsun. a,
b’yi bölüyorsa k⋅a da k⋅b’yi böler.
Kanıt: a, b’yi bölüyormuş. Bir k1 tamsayısı
için b = a⋅k1 olsun. O halde k⋅b = k⋅a⋅k1 olur. k⋅a⋅k1
sayısı k⋅a’nın k1 katı olduğundan yine kanıt biter.
Örneksiz olmaz:
4, 12’yi böler. O halde 4’ün bir katı da 12’nin
aynı katını bölmesi lazım. Kaç katı olsun peki?
Atalım, 3 olsun mesela. 12, 36’yı böler mi? Böler.
O zaman bu da doğru!
Teorem. a ve b pozitif olsun. Eğer a, b’yi bölüyorsa b, a’dan büyüktür.
Kanıt: a, b’yi bölüyormuş. Bir k1 tamsayısı
için b = a⋅k1 olsun. a ve b pozitif olduğundan k1 de
pozitiftir.
k1 ≥ 1 olacağından b – a = a⋅k1 – a = a⋅(k1 – 1)
≥ 0 diye b – a ≥ 0.
O halde b ≥ a.
E, buna örneği de siz düşünün!
Teorem (Bölme Algoritması). a pozitif bir
tamsayı, b de herhangi bir tamsayı olsun. b = q⋅a
+ r ve 0 ≤ r < a şartını sağlayan tek bir şekilde q
ve r tamsayıları vardır.
b
Kanıt: ’dan büyük tamsayıların kümesine A
a
diyelim. İyi tanımlılık özelliğine göre, A’nın en
b
küçük elemanı t; öyle ki t – 1 ≤
< t’dir. Şimdi q
a
= t – 1 diyelim. Eşitsizliklerimiz, q⋅a ≤ b < (q +
1)⋅a şekline döner. Kümemiz r = b – q⋅a şeklinde
ise, b = q⋅a + r ve 0 ≤ r < a’dır. Buradaki q tamsayısına bölüm ve r’ye kalan denir.
İşte bu ortak elemanlar kümesinin en büyük
elemanı OBEB’i verir.
OBEB(12,18) = 6.
Yukardan da göreceğiniz üzere a ile –a’ nın ve
b ile –b’nin bölenleri kümesi eşit olduğundan
OBEB(a, b) = OBEB(–a, b)
= OBEB(a, –b)
= OBEB(–a, –b)
olacağı görülür.
Örnek: OBEB( 12, –18) = 6
2
Mustafa YAĞCI
OBEB-OKEK
OBEB(–12, 18) = 6
OBEB(–12, –18) = 6
Teorem. Herhangi x ve y tamsayıları için,
OBEB(a, b) = OBEB(a, b + ax)
= OBEB(a + by, b).
Kanıt: OBEB(a, b) = d ve OBEB(a, b + a⋅x) =
k olsun. d sayısı hem a’yı hem b’yi böldüğünden
x⋅a + 1⋅b ‘yi de böler. Dolayısıyla d, k’yı da böler.
Diğer yandan k sayısı da hem a’yı hem de b +
a⋅x’i böldüğünden –a⋅x + 1.(b + a⋅x)’i yani b’yi
böler. O halde k, d’yi de böler. Hem d, k’yı hem
de k, d’yi böldüğünden d = k’dır. OBEB(a, b) =
OBEB(a + b⋅y, b) olduğu da benzer şekilde gösterilebileceğinden kanıt tamamlanır.
Soru. 47 ve 63 sayılarının x ile bölünmelerinden elde edilen kalanlar sırasıyla 2 ve 3 ise x kaç
farklı değer alabilir?
Çözüm: 47 sayısı x’e bölününce 2 kalıyorsa 45
sayısı x’e bölününce 0 kalır. Aynı zamanda 63 sayısı x’e bölününce 3 kalıyorsa 60 sayısı x’e bölününce 0 kalır. 0 kalanı da x’in hem 45’in hem de
60’ın bir böleni olduğunu anlatır. O halde x sayısı
ikisinin ortak bölenleri kümesinde yani OBEB(45,
60) = 15’in bölenleri kümesindedir. x’in 3’ten büyük olduğunu bildiğimizden x sadece 5 ve 15 olmak üzere 2 farklı değer alabilir.
Birkaç özellik daha verelim:
i) n ≥ 3 ve a1, a2, a3, …, an sıfırdan farklı tamsayılar olmak üzere;
OBEB(a1, a2, a3, …, an) =
OBEB(OBEB(a1, a2, a3, …, an-1), an).
Yani kısacası şöyle diyelim: 12, 18, 24 sayılarının OBEB’ini hesaplamak için önce canımızın
istediği iki tanesinin OBEB’ini bulup, sonra bu
sayıyla kullanmadığımız üçüncü sayının OBEB’ini alabiliriz. Aşağıdaki gibi:
OBEB(12, 18, 24) = OBEB(OBEB(12, 18), 24)
= OBEB(6, 24) = 6
OBEB(12, 18, 24) = OBEB(OBEB(12, 24), 18)
= OBEB(12, 18) = 6
OBEB(12, 18, 24) = OBEB(OBEB(18, 24), 12)
= OBEB(6, 12) = 6
Teorem. c herhangi bir tamsayı olmak üzere;
OBEB(c⋅a, c⋅b) = c⋅OBEB(a, b)’dir.
Örneğin;
OBEB(12, 18) = OBEB(6⋅2, 6⋅3)
= 6⋅OBEB(2, 3)
= 6⋅1
=6
olur.
Teorem. OBEB(
a b
, ) = 1 ise d = OBEB(a,
d d
b) olur.
Hemen buna da bir örnek verelim:
12 18
OBEB( ,
) = 1 olduğundan
6 6
OBEB(12, 18) = 6’dır.
ii) OBEB(a, b) = OBEB(a, c) ise
OBEB(a2, b2) = OBEB(a2, c2) ve
OBEB(a, b) = OBEB(a, b, c).
Tanım: a ve b tamsayı olmak üzere,
OBEB(a, b) = 1 ise a ve b’ye aralarında asal
veya birbirine asal sayılar denir.
Yani; a ile b’nin 1’den başka pozitif ortak çarpanı yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir.
2 ile 3, 4 ile 9, 15 ile 16 gibi… Çünkü,
OBEB(2, 3) = OBEB(4, 9) = OBEB(15, 16) = 1.
iii) OBEB(a, b, c) =
OBEB(OBEB(a, b), OBEB(a, c))
iv) OBEB(a, b) = 1 ise OBEB(a2, ab, b2) = 1
OKEK
Tanım. a ve b sıfırdan farklı tamsayılar olsun.
a ve b’nin en küçük pozitif ortak katına a ve b’nin
en küçük ortak katı denir ve [a, b] ile gösterilir.
Biz yine sizleri düşünerek böyle değil,
OKEK(a, b) yazacağız.
a1, a2, a3, …, an ve i ≠ j olmak üzere;
OBEB(ai, aj) = 1 ise a1, a2, a3, …, an sayılarına
ikişer ikişer aralarında asal sayılar denir.
İkişer ikişer aralarında asal sayılar, aralarında
asaldır. Fakat bunun karşıtı doğru değildir.
Buna da bir örnek verelim:
OBEB(3, 4) = OBEB(4, 7) = OBEB(3, 7) = 1
olduğundan 3, 4, 7 sayıları ikişer ikişer aralarında
asaldır.
Teorem. a ve b nin bir katı k ise OKEK(a, b)
daima k’yı böler.
3
Mustafa YAĞCI
OBEB-OKEK
iii) a + b toplamının en büyük değeri kaçtır?
Çözüm: Üstteki çözümdekine benzer şekilde m
ve n tamsayıları için a = 3m ve b = 3n diyelim. m
ile n’nin birbirine asal olduğunu unutmayalım.
a⋅b = 3m⋅3n = 9⋅m⋅n = 135 olduğundan m⋅n =
15’tir.
i) Çarpımlarının 15 olması gerektiğinden sadece (m, n) için (1, 15) ve (3, 5) ikilileri mevcuttur.
O halde (a, b) ikilileri (3, 45) ve (9, 15) olmak
üzere 2 tanedir.
ii) min(a + b) = 9 + 15 = 24.
iii) max(a + b) = 3 + 45 = 48.
Genel olarak; t bir tamsayı olmak üzere, a ve
b’nin her katı t⋅OKEK(a, b) formundadır.
Teorem. a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere;
OBEB(a, b)⋅OKEK(a, b) = a⋅b’dir.
Kanıt: OBEB(a, b) = d olsun. d = a⋅x + b⋅y yazabiliriz. OKEK(a, b) = m olsun. d böler a⋅b oldua ⋅b
= m bir tamsayıdır. Şimdi OKEK (a,
ğundan
d
b) = m olduğunu gösterelim. m, a ve b’nin ortak
bir katıdır. n de a ve b’nin ortak bir katı ise
n n⋅d
n
n
=
= n(a⋅x + b⋅y) = ⋅x + ⋅y bir tamsam a ⋅b
b
a
yıdır. Dolayısıyla, m böler n ve m ≤ n dir. Buradan, m sayısının a ile b’nin en küçük ortak katı olduğunu buluruz.
Soru. OBEB(a, b) = 4 ve OKEK(a, b) = 32 ise
i) a + b toplamı kaçtır?
ii) a⋅b çarpımı kaçtır?
Çözüm: m ve n aralarında asal iki sayı olsun.
O halde a = 4m ve b = 4n olsun diyebiliriz. OKEK
(4m, 4n) = 4⋅m⋅n = 32 olduğundan m⋅n = 8 buluruz. Bu eşitliği sağlayan birbirine asal olma kaydıyla sadece (1, 8) ikilisi vardır. O halde, m = 1 ve
n = 8 olduğundan;
i) a = 4 ve b = 32 olur ki a + b = 36 bulunur.
ii) a = 4 ve b = 32 olur ki a⋅b = 128 bulunur. a ile
b’nin çarpımını a ile b’yi bulmadan da bulabilirdik. Hani iki sayının çarpımı her zaman
OBEB’i ile OKEK’inin çarpımıydı ya, bundan
dolayı
a⋅b = OBEB(a, b)⋅OKEK(a, b) = 4⋅32 = 128.
Soru. OBEB(a, b) = 2 ve a + b = 20 ise bu koşulları sağlayan;
i)
Kaç farklı (a, b) ikilisi vardır?
ii) a⋅b çarpımının en küçük değeri kaçtır?
iii) a⋅b çarpımının en büyük değeri kaçtır?
Çözüm: OBEB(a, b) = 2 eşitliği bize hem
a’nın hem de b’nin 2’nin bir katı olduğunu anlatır.
O halde m ve n tamsayıları için a = 2m ve b = 2n
olsun diyebiliriz. Burada dikkat edilmesi gereken
çok önemli bir nokta var ki o da m ile n’nin aralarında asal olmaları gerekliliğidir. Bunu şöyle izah
edeyim: Eğer aralarında asal olmasalardı, örneğin
her ikisi de ortak olarak 3 çarpanına sahip olsalardı, zaten ortak olarak 2 çarpanına da sahip olduklarından OBEB’leri 6 olurdu. Halbuki OBEB’leri
2 olarak verilmiş, o halde m ile n aralarında asal
sayılardır.
i) a + b = 2m + 2n = 20 olduğundan m + n =
10 dur. Sonuç olarak (m,n) ikilisi sadece (1,9) ve
(3,7) değerlerini alabilir. Bazı öğrenciler burada
(9,1) ve (7,3) ikililerini de almaya kalkıyorlar
ama sıralı ikili demediğinden (yani herhangi bir
i-kilide sıra önemli olmadığından) diğerlerini
almaya gerek yoktur. a = 2m ve b = 2n olduğunu
hatırlayarak (a,b) sadece (2,18) ve (6,14) olmak
üzere 2 farklı değer alabilir.
ii) min (ab) = 2.18 = 36
iii) max (ab) = 6.14 = 84
Soru. Eni 12 cm, boyu 16 cm olan dikdörtgenlerin en az kaç tanesi bir araya getirilerek bir kare
oluşturulabilir?
Çözüm: Oluşturacakları karenin yan şekilde gösterilen
ABCD karesi olduğunu düşünelim. Karenin AD kenarını dikdörtgenin uzun kenarlarının, AB
kenarını ise dikdörtgenin kısa
kenarlarının oluşturacağını dikkat ediniz. Karenin
kenarları birbirine eşit olduğundan bir kenarının
hem 12’nin hem de 16’nın katı olacağını anlıyoruz. Yalnız hem 12’nin hem 16’nın katı olan sonsuz tane sayı var. Biz en küçük ortak katını arıyoruz. Çünkü soruda en az kaç dikdörtgenle bu
işin gerçekleşebileceği soruluyor. En küçük ortak
kat kelimesinden OKEK’in arandığı çoktan belli
oldu bile. OKEK(12, 16) = 48 olduğundan karenin
bir kenarı 48 cm olmalıdır. O halde bize 4 kısa kenar, 3 uzun kenar lazım. Yani 1 satırda 3 dikdörtgen ve böyle 4 satır olduğu için toplam 12
dikdörtgene ihtiyacımız olacak. Aslında bunun bu-
Soru. OBEB(a, b) = 3 ve a⋅b = 135 ise bu koşulları sağlayan;
i) Kaç farklı (a, b) ikilisi vardır?
ii) a + b toplamının en küçük değeri kaçtır?
4
Mustafa YAĞCI
OBEB-OKEK
lunmasının başka bir yolu daha var. Karenin alanı,
dikdörtgenin alanına bölünürse kaç adet dikdörtgen kullanıldığı bulunmuş olur.
48 2
Anlayacağınız,
= 4⋅3 = 12.
12 ⋅ 16
Sorduğumuz bu soru, bu tarz örneklerin ilki olduğundan açıklamayı biraz uzun tuttuk. Bu yüzden, bu soruların çok uzun şekilde çözüldüğü anlaşılmasın.
Hatta tek bir formülle işi bitirelim:
Kenarları a ve b olan dikdörtgenleri bir araya
getirerek bir kare oluşturabilmek için en az
OKEK 2 (a, b)
a ⋅b
tane dikdörtgen lazımdır.
Üstteki iki problemde elimizdeki küçük nesneleri bir araya getirerek büyük nesneler elde ettik.
Bunları yaparken OKEK kullandığımı unutmayın.
Bazen elimizde büyük nesneler olur. Bunları makasla, bıçakla, olmadı testereyle parçalama ihtiyacı duyarız. Aslında böyle bir ihtiyaç filan duyduğumuz yok da soruyorlar ne yapalım?☺
Parçalama soruları da genelde OBEB ile çözülür. Aşağıdaki örnekleri de inceleyiniz, ne demek
istediğimizi o zaman daha iyi anlayacaksınız.
Soru. Eni 12 cm, boyu 18 cm olan dikdörtgen
şeklindeki bir karton, hiç parça artmayacak şekilde makasla eşit karelere bölünmek isteniyor. En
az kaç kare elde etmek mümkündür?
Çözüm: Hiç parça artmayacağı söylendiğine göre, kesilecek karelerin bir kenarı hem
12’nin hem 18’in böleni olmalıdır. En az kare elde etmek için
de karelerin kenarları mümkün olduğunca büyük
olmalıdır. O halde hem 12’nin hem 18’in böleni
olan en büyük sayıyı arıyoruz. En büyük ortak böleni kısacası OBEB’i yani. OBEB(12, 18) = 6’dır.
Dikdörtgenin alanını, tek bir karenin alanına bölerek kaç kare olduğunu bulabiliriz. O halde bu dik12 ⋅ 18
dörtgen en az
= 2⋅3 = 6 eş kareye parçala62
nabilir.
Bu tarz soruların formüllerini de siz çıkarmaya
çalışınız. Ayrıca bu sorular da üç boyutta sorulabilir. Hemen bir örnek verelim:
Soru, farklı kenar uzunlukları verilen paralelkenarlardan bir eşkenar dörtgen oluşturma problemi olarak da karşımıza çıkabilir, çözümü de aynıdır, formülü de. Hatta bu soru üç boyutta da karşımıza çıkabilir, şöyle ki:
Soru. Farklı ayrıt uzunlukları 2 cm, 3 cm, 4 cm
olan dikdörtgen prizmalardan en az kaç tanesi bir
araya getirilerek bir küp oluşturulabilir?
Çözüm: Kübün bir kenarı
prizmaların eninden, bir kenarı boyundan bir kenarı da
yüksekliğinden
oluşacağı
için kübün bir kenarı hem
2’nin hem 3’ün hem de 4’ün
katı olmalıdır. En az prizma
kullanmak için de en küçük katı aramalıyız. Yani
OKEK’i.
OKEK(2, 3, 4) = 12 olduğundan kübün bir ayrıtı 12 cm olmalıdır. Kübün hacmini dikdörtgenler
prizmasının hacmine bölersek kaç prizmadan küp
yapıldığını bulmuş oluruz.
12 3
= 6⋅4⋅3 = 72 prizma laO halde en az
2 ⋅3⋅ 4
zım.
Bu işlemi yine genelleyip formülize edebiliriz.
Soru. Farklı ayrıt uzunlukları 24 cm, 30 cm, 36
cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir pasta hepsi eş olan küp şeklinde küçük parçalara dilimlenmek isteniyor. Hiç parça artmama koşulu ile
en az kaç küp elde edilebilir?
Çözüm: Kesilecek küp şeklindeki dilimin bir
kenarı (hiç parça artmayacaksa eğer) hem 24’ün,
hem 30’un hem de 36’nın böleni olmalıdır. Mümkün olan en büyük parçalar için ise en büyük bölen olmalıdır.
OBEB(24, 20, 36) = 6 olduğundan küp şeklindeki parçaların bir ayrıtı 6 cm olmalıdır. Prizmanın hacmini küçük bir kübün hacmine bölersek
kaç tane küp elde edeceğimizi buluruz.
24 ⋅ 30 ⋅ 36
= 4⋅5⋅6 = 120.
O halde cevabımız
63
Bu tarz soruların genel formülünü de çıkarmaya uğraşınız. Bulamazsanız yanıma gelin☺
Farklı ayrıtları a, b ve c olan dikdörtgen prizmaları bir araya getirerek bir küp oluşturabilmek
için en az
OKEK 2 (a, b, c)
a ⋅b ⋅c
tane dikdörtgen prizma lazımdır.
5
Mustafa YAĞCI
OBEB-OKEK
Soru. Eni 12 cm, boyu 18 cm olan dikdörtgen
şeklindeki bir karton, hiç parça artmayacak şekilde makasla karelere bölünmek isteniyor. En az
kaç kare elde etmek mümkündür?
Yanlışlıkla aynı soruyu bir daha yazdığımı düşünüyorsanız yanılıyorsunuz. İki önceki soruyla
aynı gibi görünüyor değil mi? Değil…
Bu sefer parçaların eşit kare olması gerekmiyor, kare olsun yeter deniliyor.
Böyle sorularda önce eldeki dikdörtgenden kısa
kenar uzunluğuna eşit kenara sahip bir kare kesilip
atılır. Sonra elde yine bir dikdörtgen kalır. Bu dikdörtgenden de kısa kenarına eşit kenara sahip bir
kare kesilip atılır. Geriye kalan dikdörtgende de
aynı işlemler yapılmaya devam edilirse sonunda
bir kareye erişilir. Sonunda eldeki ilk dikdörtgenden hepsi birbirinin aynı olmasa da hiç parça artmadan tamamen karelere parçalanmış olur.
Şimdi bu dediklerimizin bir uygulamasını yapacağız:
Çözüm: Dikdörtgenin kısa
kenarı 12 cm. olduğundan önce
bir kenarı 12 cm. olan şekildeki
gibi büyük kareyi keselim. Geriye kısa kenarı 6 cm, uzun kenarı 12 cm. olan
başka bir dikdörtgen kalır. Bundan da bir kenarı 6
cm. olan bir kare kesilir atılırsa geriye kalanın da
bir kenarı 6 cm. olan bir kare olduğu görülür ki hiç
parça artmadan ilk dikdörtgen 3 ayrı kareye parçalanmış olur. Şimdi biraz daha gıcık rakamlarla bir
örnek daha çözelim ki pekişsin:
Çözüm: Ağaçların eşit aralıklı dikilmesi gerekiyorsa bu aralık
hem 20’nin hem 24’ün böleni
olmalı ve bu işi en az ağaçla gerçekleştirmek istiyorsak en büyük
ortak bölenleri yani OBEB(20,
24) = 4 mt. olmalıdır. Dikdörtgenin kısa kenarında
20/4 = 5 aralık, uzun kenarında 24/4 = 6 aralık elde etmeliyiz. 5 aralık elde etmek için de 6 ağaç lazım ama köşeleri şimdilik saymayalım, o halde bir
kısa kenarda 4 ağaç olmalı, diğer kısa kenarda da
4, etti 8. Uzun kenarlarda 6 aralık elde etmek için
de 7 ağaç lazım, köşeleri saymayalım, bir uzun
kenarda 5 ağaç lazım, karşısındaki uzun kenarda
da 5, etti 10. Bunları toplayalım, etti 8 + 10 = 18.
Bunlara bir de köşelerdeki 4 ağacı ekleyelim, etti
18 + 4 = 22.
Aslında tüm bu işlemleri tek bir formülle de
yapabilirdik. Ben formülü vereyim, siz aynen bu
soruyu çözdüğümüz gibi kanıtlamaya çalışın.
Eşit aralıklı olmak ve köşelere de gelmek koşuÇevre
luyla gereken en az ağaç sayısı
’tir.
OBEB
Yani sorumuza göre Çevre = 88, OBEB = 4 olduğundan 88/4 = 22. Ne güzel değil mi?
Bu soru bazen şu tarzda da sorulur: Tarlamız her biri birbirine
eş en büyük kare parsellere ayrılıyor. Tüm parsellerin köşelerine
de ağaç gelmesi mecbursa en az
kaç ağaç lazım?
Dikdörtgenin uzun kenarına satır diyelim. Bir
satırda 7 ağaç var ve toplam 6 satır olduğundan
toplam 6⋅7 = 42 ağaca ihtiyacımız vardır.
Soru. Eni 4 cm, boyu 11 cm olan dikdörtgen
şeklindeki bir karton, hiç parça artmayacak şekilde makasla karelere bölünmek isteniyor. En az
kaç kare elde etmek mümkündür?
Çözüm: İlk dikdörtgenin kısa kenarı 4
cm. olduğundan önce
bir kenarı 4 cm. olan
bir kare keselim. Geriye kalanda da durum aynı.
Ondan da 4’lük bir kare keselim. Geriye kaldı kısa
kenarı 3 cm. olan bir dikdörtgen. Ondan da bir kenarı 3 cm. olan bir kare keselim. En son da 3 tane
bir kenarı 1 cm. olan kare kesilirse toplam olarak 6
kareye parçalanmış olur.
Soru. 2, 3, 4 ile bölündüğünde her defasında 1
kalanını veren en küçük sayma sayısı kaçtır?
Çözüm: Önce 1 kalanını hesaba katmayalım.
Nasıl bir soruya dönüştüğüne bakalım: 2, 3, 4’e
tam bölünen en küçük sayma sayısı kaçtır? Aradığımız sayı, bu sayılara bölünüyorsa bu sayıların
katıdır. Böyle en küçük sayıyı sorduğu için en küçük katıdır. Yani OKEK(2, 3, 4) = 12’dir. Şimdi
gözardı ettiğimiz 1 kalanını tekrar hatırlayalım.
Hepsine tam bölünen en küçük sayı 12 ise hepsinde 1 kalanını veren en küçük sayma sayısı da
13’tür.
Soru. 20×24 mt2 ebadında dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın çevresi eşit aralıklarla ağaçlandırılmak isteniyor. Köşelere ağaç dikme mecburiyeti varsa bu ağaçlandırma için en az kaç ağaç
gerekir?
Şimdi bu sorunun çözümünde yaptığımız işlemleri genelleyip, formülünü çıkaracağız:
6
Mustafa YAĞCI
OBEB-OKEK
3 = 4c + 4 oldu. Ne güzel de oldu. Çünkü 2a + 2
sayısı 2’nin katı, 3b + 3 sayısı 3’ün katı, 4c + 4
sayısı da 4’ün katıdır. O halde x + 1 sayısı hem
2’nin hem 3’ün hem de 4’ün katı oldu. Yani
12’nin katı oldu. Biz bir k tamsayısı için x + 1 =
12k diyelim. O halde x = 12k – 1 olur. En küçük
sayma sayısı sorulduğundan k = 1 olsun denir ve
doğru cevap olan 11 bulunmuş olur.
Bazen ‘’ x > 100 olduğu bilindiğine göre…’’
diyerek soruya başlar. O zaman da k = 9 alarak x =
108 – 1 = 107 buluruz.
Uygun a, b, c, k değerleri için a, b, c ile bölündüğünde her defasında k kalanını veren en küçük
sayma sayısının kaç olduğu sorulduğunda cevabımız OKEK(a, b, c) + k olacak.
İşin garibi tamamıyla bu sorunun aynısı olan
ama soruluş itibariyle çok da benzemeyen iki ayrı
soru tipi daha vardır. Bunlara da birer örnek vereyim:
i) x, a, b, c sayma sayıları için
x = 2a + 1 = 3b + 1 = 4c + 1
koşulunu sağlayan en küçük x kaçtır?
ii) Ahmet, bilyelerini ikişerli de, üçerli de, dörderli de gruplasa her defasında 1 bilyesi artıyor.
Ahmet’in en az kaç bilyesi var?
Yukarıdaki her iki sorunun da cevabı, aynı ilk
soru gibi 13’tür. İkisi de benzer şekilde formülleştirilebilir. Yeter ki hepsinde kalanlar aynı olsun.
Burada akla gelen ilk soru: ‘‘Ya kalanlar aynı olmazsa?’’.
Şimdi bunlara örnekler vereceğiz.
Soru. 2, 3, 4 ile bölündüğünde sırasıyla 1, 2, 3
kalanını veren en küçük sayma sayısı kaçtır?
Çözüm: Dikkat ettiyseniz x sayısı neye bölünmüşse 1 eksik kalan vermiş. Yani; x sayısı her
kaçsa o sayıdan 1 büyük olsaymış, hepsine tam
bölünecekmiş. O halde biz hepsine tam bölünüyormuş gibi x’i bulalım, o sayıdan 1 çıkartalım.
OKEK(2, 3, 4) = 12 olduğundan verilen koşulu
sağlayan en küçük x sayma sayısı 11’dir.
İnanmayanlar deneyebilir☺
Bu soru da genelleştirilebilir, dolayısıyla formülleştirilebilir:
Uygun a, b, c, k değerleri için a, b, c ile bölündüğünde sırasıyla a – k, b – k, c – k kalanlarını
veren en küçük sayma sayısının kaç olduğu sorulduğunda cevabımız OKEK(a, b, c) – k olacak.
Soru. 8, 9, 10 ile bölündüğünde sırasıyla 4, 3,
2 kalanını veren en küçük sayma sayısı kaçtır?
Çözüm: Sorunun daha önce formüllerini çıkardığımız koşulları sağlamadığına dikkat ediniz.
Dikkatli öğrenciler bu sefer de farklı bir koşulun
sağlandığını görmüş olmalı. 8 + 4 = 9 + 3 = 10 + 2
= 12. Yani bölenler ile kalanların toplamı sabit ve
12.
Bunu sağlayan en küçük sayma sayısı da bölenlerin OKEK’ine bu sabit toplamın eklenmesi
ile bulunur.
OKEK(8, 9, 10) = 360 olduğundan cevabımız
360 + 12 = 372’dir. Şimdi nedenine gelelim.
Uygun x, a, b, c, k sayma sayıları için x = 8a +
4 = 9b + 3 = 10c + 4 yazabiliriz. Her terimden 12
çıkardığımızda neler olduğuna bir bakalım: x – 12
= 8a – 8 = 9b – 9 = 10c – 10 olduğundan (x –
12)’in hem 8’in hem 9’un hem 10’un bir katı olduğunu görürüz. x – 12 = OKEK(8, 9, 10) = 360
eşitliğinden x = 360 + 12 = 372 buluruz.
Artık formülü bulunan koşullar vermeyeceğiz.
Hiçbir koşula uymayan, arasında hiçbir bağ bulunmayan bölen ve kalanlar için bu soruların nasıl
çözüldüğüne bir örnek verip bu sayfayı kapatacağız.
Yukardaki çözümü anlamış olmanıza rağmen
(umuyorum öyledir) bu soruyu farklı bir şekilde
daha çözeceğim. Zira verdiğim koşullarda olmayan bu tarz soruları çözmek uygulanması gereken
metottur.
x sayısı 2, 3, 4 ile bölündüğünde 1, 2, 3 kalanlarını veriyordu ya, bölümler de a, b, c olsun. O
halde x = 2a + 1 = 3b + 2 = 4c + 3 yazmak mümkündür. Birbirine eşit bu 4 ifadenin dördünden de
aynı sayının çıkarılması veya dördüne de aynı sayının eklenmesi eşitliği bozmaz. Biz hepsine 1 ekleyelim bakalım. ‘’Abi, niye 1?’’ demiyorsundur
inşallah, çünkü hepsinde kalanların bölenlerden 1
küçük olduğunu söylemiştik. x + 1 = 2a + 2 = 3b +
Soru. x, a, b sayma sayıları için x = 3a + 2 =
7b + 5 eşitliğini sağlayan en küçük x sayma sayısı
kaçtır?
Çözüm: Dikkatle bakılacak olursa ne kalanlar
eşit, ne kalanlar ile bölenler arasındaki fark eşit,
ne de bölenler ile kalanların toplamı eşit. Yani
formülünü çıkardığımız üç koşula da uymayan bir
örnekle karşı karşıyayız. Daha önce de anlattığımız gibi eşitlikteki her ifadeye öyle bir sayı ekleyeceğiz ki (çıkarabiliriz de) ortadaki terim 3’ün
katı olacak, en sağdaki terim de 7’nin katı olacak.
‘’Peki abi, önce hangisini halledelim, hangisinden
başladığımızın bir önemi var mı yani?’’ diye sorabilirsin. Evet var, aslında yok da daha erken ceva7
Mustafa YAĞCI
OBEB-OKEK
ba ulaşmak istiyorsan var. Önce katsayısı büyük
olandan başlamalısın. Yani 7b + 5 ifadesini 7’nin
katı yapmaya çalış. İlk eklenmesi gereken sayı 2.
Peki her terime 2 ekleyince 3a + 2 ifadesi de 3’ün
katı oluyor mu, olmuyor. O halde (7b + 5)’i 7’nin
katı yapmak için ikinci bir sayı deneyelim. Bu da
9 olmalı. Hani 7b + 14 sayısı 7’nin katı ya. Ama 9
ekleyince yine 3a + 2 ifadesi 3’ün katı olmadı.
Üçüncü olarak denenmesi gereken sayı 16. Şimdi
oldu işte. x + 16 = 3a + 18 = 7b + 21 olduğundan x
+ 16 sayısı hem 3’ün hem de 7’nin katıdır, o halde
21’in katıdır. x + 16 = 21k olsun diyelim, o halde x
= 21k – 16 olmalıdır. En küçük sayma sayısını
bulmak için k = 1 olsun diyoruz. Ama yine bir sorun çıktı. Çünkü k = 1 olursa x = 5 olur ki x = 7b +
5 olduğundan b = 0 çıkar, yani sayma sayısı çıkmaz. Bundan dolayı k = 2 almalıyız. k = 2 için x =
26 bulunur ki bu da doğru cevaptır. Aslında önümüzde şıklar olduktan sonra bu soruyu böyle
çözmek anlamsızdır. Siz deneme sınavındaysanız
eğer şıklardan verilen koşulu sağlayanı işaretleyebilirsiniz. Allah, yazılıya girecek olanlara yardım
etsin. ☺
8.
OBEB(a, b) = 23⋅3 ve OKEK(a, b) = 22⋅32⋅5 olduğuna göre a⋅b çarpımı kaçtır?
9.
OBEB(a, 90, 225) = 15 ve OKEK(a, 90, 225) =
2250 şartlarını sağlayan en küçük a kaçtır?
10.
OBEB’i 8, OKEK’i 64 olan tüm doğal sayı ikililerini bulunuz.
11.
(3m) ve (4n) iki basamaklı sayılarının OBEB’i 6,
OKEK’i 252 ise m+n = ?
12.
3! + 4! + 5! ve 4! + 5! + 6! sayılarının OKEK ve
OBEB’ini bulunuz.
13.
3, 4, 5 ile bölündüğünde 1 kalanını veren en küçük
doğal sayı kaçtır?
Alıştırmalar
14.
12, 14, 18 ile bölündüğünde 8 kalanını veren en
küçük doğal sayı kaçtır?
1.
(18, 30), (130, 455), (24, 30) ikililerinin
OBEB’lerini bulunuz.
15.
x, a, b, c sayma sayıları için x = 2a + 1 = 3b + 1 =
4c + 1 ise x’in en küçük değeri kaçtır?
2.
(24, 30, 40), (4500, 30000, 2160) üçlülerinin
OBEB’lerini bulunuz.
16.
(120, 320), (42, 70), (1200, 900) ikililerinin
OKEK’lerini bulunuz.
Ali, adedi 100’den fazla olan bilyelerini 5’erli veya 7’şerli gruplayınca 2 bilye artıyor. Ali’nin en az
kaç bilyesi vardır?
4.
17.
(24, 54, 90), (5, 6, 42), (15, 90, 120) üçlülerinin
OKEK’lerini bulunuz.
2, 3, 4 ile bölündüğünde sırasıyla 1, 2, 3 kalanlarını veren en küçük sayma sayısı kaçtır?
5.
18.
Aralarında asal sayıların OKEK’i nasıl bulunur?
x, a, b, c sayma sayıları için x = 3a + 1 = 4b + 2 =
6c + 4 ise a’nın en küçük değeri kaçtır?
3.
6.
Aralarında asal sayıların OBEB’i kaçtır?
19.
7.
8, 9, 10 ile bölündüğünde sırasıyla 4, 3, 2 kalanlarını veren en küçük sayma sayısı kaçtır?
İki sayının OBEB’i ile OKEK’inin çarpımı neye
eşittir?
20.
8
Mustafa YAĞCI
OBEB-OKEK
x, a, b sayma sayıları için x = 3a + 2 = 7b + 4 ise
x’in en küçük değeri kaçtır?
21.
x, a, b, c sayma sayıları için x = 3a + 1 = 4b = 5c +
4 koşulunu sağlayan en küçük x kaçtır?
22.
2 3 4
, , sayılarının OKEK ve OBEB’ini bulunuz.
3 4 5
9
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
0
File Size
226 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content