www.mustafayagci.com, 2005 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, [email protected] O.B.E.B. ve O.K.E.K. Geldik matematik dersinin en temel konularından birine… Zaten bundan dolayı ta ilkokuldan beri anlatılır. Gerçi o zamanlar EBOB-EKOK diye öğrenmiş olabilirsiniz. Şimdi isimleri OBEB ve OKEK oldu. Bu konunun karşımıza çıkamayacağı matematik konusu yok gibidir. Geometride bile karşımıza çıkar desem yeridir. Hadi bakalım, bir güzel okuyun, önemli yerlerin altlarını çizin. Size ödev olarak bırakılan her şeyle mutlaka uğraşın. Alıştırma sorularını da çözüp, çözemediklerinizi mutlaka bana gelin sorun. Önce bilinmesi gereken temel şeyleri hatırlayarak konuya bir giriş yapalım. Tanım. a ≠ 0 olup a, b, q birer tamsayı olsun. Eğer b = q⋅a ise ‘’a böler b’yi’’ veya ‘’b sayısı a’nın bir katıdır’’ deriz. Bunu a|b şeklinde gösterir ve ‘’a böler b’yi’’ diye okuruz. Eğer a sayısı b’yi bölmüyorsa a†b şeklinde gösteririz. Ama siz bu gösterimlere alışık olmadığınızdan ben mümkün olduğunca bunları kelimelerle anlatacağım. Örneğin; 8, 4’ün katıdır. O halde 4 böler 8’i. (Bunu 4|8 diye yazarız.) 9, 4’ün katı değildir. O halde 4, 9’u bölmez. (Bunu da 4†9 şeklinde yazarız.) Burada ‘’bölmek’’ten kastımız ‘’tam bölmek’’ yani ‘’kalansız bölmek’’tir. ‘’Katı olması’’ da ‘’tam katı’’ manasında anlaşılmalıdır. Aşağıda OBEB-OKEK dersinde zorlanmamanız için bilmeniz gereken birkaç teorem var. Aslında hepsi zaten bildiğiniz şeyler ama ben yine de yazayım dedim. İlerde bakıp, ‘Yahu Mustafa hocam, bizim için ne kadar da güzel teksirler hazırlarmış, içinde yok yok!’’ filan dersiniz. ☺ Teorem. k herhangi bir tamsayı olsun. a, b’yi bölüyorsa bk’yı da böler. Kanıt: a, b’yi bölüyormuş, yani b, a’nın katıymış. c katı olsun diyelim (c bir tamsayı). O halde b = a⋅c’dir. b⋅k = a⋅c⋅k olduğundan a⋅c⋅k sayısı da a’nın katıdır hem de tam c⋅k katıdır. Madem katı, o zaman a, b⋅k’yı böler. Bir örnek verelim: 20, 10’un katıdır. 2 sayısı 10’u bölüyorsa, 20’yi de böler. Doğru! Teorem. a, b’yi bölüyor, b de a’yı bölüyorsa a = b veya a = –b’dir. Kanıt: a, b’yi bölüyormuş. Bir k tamsayısı için b = a⋅k olsun. b de a’yı bölüyormuş. Bir t tamsayısı için de a = b⋅t olsun. Bu a değerini ilk eşitlikte yerine yazalım. b = b⋅t⋅k olur ki buradan t⋅k = 1 bulunur. t ve k birer tamsayı olup çarpımları 1 olduğundan 1 veya –1 dışında bir şey olmayacakları aşikar. k = 1 olursa a = b olur, k = –1 olursa a = –b olur. Buna da bir örnek verelim: 20, 40’ı böler. Ama 40, 20’yi bölmez. Niye, çünkü 20 ile 40 eşit değil. Peki şuna bakın: 4, (–4)’ü böler. (–4) de 4’ü böler. Tam istediğimiz gibi. Birbirinin aynısı olan iki sayıda da deneyin, yine olacağını göreceksin. Teorem. a, b’yi bölüyor ve b de c’yi bölüyorsa a, c’yi böler . Kanıt: a, b’yi bölüyormuş. Bir k tamsayısı için b = a⋅k olsun. b de c’yi bölüyormuş. Bir t tamsayısı için de c = b⋅t olsun. İlk bulduğumuz b değerini ikinci eşitlikte yerine yazarsak; c = a⋅k⋅t olur. Bu da c’nin a’nın k⋅t katı olduğunu, dolayısıyla a’nın c’yi böldüğünü anlarız. Sayısal örnek verelim: 4, 20’yi böler. 20 de 240’ı böler. O halde 4, 240’ı da bölmeli. Evet! Bunların ne önemi var demeyin, matematik bu aslında. Her şey bunlar üstüne kurulu. Mustafa YAĞCI OBEB-OKEK Bunu zaten bundan bir önceki ders olan bölünebilme dersinde bir güzel işlemiştik. Bu konuda da sıkça geçtiği için hatırlatma yaptık. Artık ufak ufak derse geçiyoruz. Teorem. a hem b’yi bölüyor hem de c’yi bölüyorsa k⋅b+ t⋅c’yi de böler. (k,t∈ ) Kanıt: a, b’yi bölüyormuş. Bir k1 tamsayısı için b = a⋅k1 olsun. a hem de c’yi bölüyormuş. Bir t1 tamsayısı için de c = a⋅t1 olsun. k⋅b+ t⋅c = k⋅a⋅k1 + t⋅a⋅t1 = a⋅(k⋅k1 + t⋅t1) olduğundan k⋅b + t⋅c sayısının a’nın katı olduğunu anlarız. Böylelikle istenilen kanıtlanmış olur. OBEB Tanım: a ve b’yi aynı anda bölen en büyük pozitif tamsayıya a ile b’nin en büyük ortak böleni veya kısaca OBEB’i denir. (a, b) ile gösterilir ama biz yine OBEB(a, b) yazarak göstereceğiz. Yalnız önce OBEB’i biraz daha açıklayalım. a, b, d tamsayıları için d hem a’yı hem b’yi bölüyorsa d’ye a ile b’nin bir ortak böleni denir. Hem a’yı hem b’yi bölen d gibi birçok sayı olabilir. İşte bu sayıların en büyüğüdür OBEB(a, b). İki sayının OBEB’i bölme algoritması yardımıyla da bulunabilir. Eğer OBEB’leri aranan iki sayının ikisi de sıfır ise OBEB’den bahsedilemez. Diğer yandan sayının biri sıfırdan farklı ama diğeri sıfır ise bu iki sayının OBEB’i sıfırdan farklı olanın mutlak değeridir. Neden mutlak değeri olduğunu anladınız umarım. Tanıma tekrar bir bakın göreceksiniz. OBEB daima pozitiftir. Eğer a ve b sıfırdan farklı iki sayıyken |a| ≤ |b| ise d’nin bütün pozitif bölenleri kümesi; a ve b’nin ortak bölenleridir. Bu bölenlerin en büyüğü b’yi de böldüğünden buna OBEB denir. Bunu bir örnekle açıklığa kavuşturalım: a = 12 ve b = 18 olsun. OBEB(12,18)’i bulalım. a’nın bölenlerinin kümesi = {–12, –6, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 6 ,12} b’nin bölenlerinin kümesi = {–18, –9, –6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6, 9, 18} a ile b’nin ortak bölenlerinin kümesi = {–6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6} Örnek: 4 hem 16’yı hem de 24 ‘ü böler. Şimdi kafadan iki tamsayı atalım. Mesela 7 ve –3. O halde 4, 16⋅7 + 24⋅(–3)’ü de bölmeli. Hesaplarsak o garip sayı 40 çıkar. Gerçekten de 4’ün katıdır. O halde bu da doğru! Teorem. k sıfırdan farklı bir tamsayı olsun. a, b’yi bölüyorsa k⋅a da k⋅b’yi böler. Kanıt: a, b’yi bölüyormuş. Bir k1 tamsayısı için b = a⋅k1 olsun. O halde k⋅b = k⋅a⋅k1 olur. k⋅a⋅k1 sayısı k⋅a’nın k1 katı olduğundan yine kanıt biter. Örneksiz olmaz: 4, 12’yi böler. O halde 4’ün bir katı da 12’nin aynı katını bölmesi lazım. Kaç katı olsun peki? Atalım, 3 olsun mesela. 12, 36’yı böler mi? Böler. O zaman bu da doğru! Teorem. a ve b pozitif olsun. Eğer a, b’yi bölüyorsa b, a’dan büyüktür. Kanıt: a, b’yi bölüyormuş. Bir k1 tamsayısı için b = a⋅k1 olsun. a ve b pozitif olduğundan k1 de pozitiftir. k1 ≥ 1 olacağından b – a = a⋅k1 – a = a⋅(k1 – 1) ≥ 0 diye b – a ≥ 0. O halde b ≥ a. E, buna örneği de siz düşünün! Teorem (Bölme Algoritması). a pozitif bir tamsayı, b de herhangi bir tamsayı olsun. b = q⋅a + r ve 0 ≤ r < a şartını sağlayan tek bir şekilde q ve r tamsayıları vardır. b Kanıt: ’dan büyük tamsayıların kümesine A a diyelim. İyi tanımlılık özelliğine göre, A’nın en b küçük elemanı t; öyle ki t – 1 ≤ < t’dir. Şimdi q a = t – 1 diyelim. Eşitsizliklerimiz, q⋅a ≤ b < (q + 1)⋅a şekline döner. Kümemiz r = b – q⋅a şeklinde ise, b = q⋅a + r ve 0 ≤ r < a’dır. Buradaki q tamsayısına bölüm ve r’ye kalan denir. İşte bu ortak elemanlar kümesinin en büyük elemanı OBEB’i verir. OBEB(12,18) = 6. Yukardan da göreceğiniz üzere a ile –a’ nın ve b ile –b’nin bölenleri kümesi eşit olduğundan OBEB(a, b) = OBEB(–a, b) = OBEB(a, –b) = OBEB(–a, –b) olacağı görülür. Örnek: OBEB( 12, –18) = 6 2 Mustafa YAĞCI OBEB-OKEK OBEB(–12, 18) = 6 OBEB(–12, –18) = 6 Teorem. Herhangi x ve y tamsayıları için, OBEB(a, b) = OBEB(a, b + ax) = OBEB(a + by, b). Kanıt: OBEB(a, b) = d ve OBEB(a, b + a⋅x) = k olsun. d sayısı hem a’yı hem b’yi böldüğünden x⋅a + 1⋅b ‘yi de böler. Dolayısıyla d, k’yı da böler. Diğer yandan k sayısı da hem a’yı hem de b + a⋅x’i böldüğünden –a⋅x + 1.(b + a⋅x)’i yani b’yi böler. O halde k, d’yi de böler. Hem d, k’yı hem de k, d’yi böldüğünden d = k’dır. OBEB(a, b) = OBEB(a + b⋅y, b) olduğu da benzer şekilde gösterilebileceğinden kanıt tamamlanır. Soru. 47 ve 63 sayılarının x ile bölünmelerinden elde edilen kalanlar sırasıyla 2 ve 3 ise x kaç farklı değer alabilir? Çözüm: 47 sayısı x’e bölününce 2 kalıyorsa 45 sayısı x’e bölününce 0 kalır. Aynı zamanda 63 sayısı x’e bölününce 3 kalıyorsa 60 sayısı x’e bölününce 0 kalır. 0 kalanı da x’in hem 45’in hem de 60’ın bir böleni olduğunu anlatır. O halde x sayısı ikisinin ortak bölenleri kümesinde yani OBEB(45, 60) = 15’in bölenleri kümesindedir. x’in 3’ten büyük olduğunu bildiğimizden x sadece 5 ve 15 olmak üzere 2 farklı değer alabilir. Birkaç özellik daha verelim: i) n ≥ 3 ve a1, a2, a3, …, an sıfırdan farklı tamsayılar olmak üzere; OBEB(a1, a2, a3, …, an) = OBEB(OBEB(a1, a2, a3, …, an-1), an). Yani kısacası şöyle diyelim: 12, 18, 24 sayılarının OBEB’ini hesaplamak için önce canımızın istediği iki tanesinin OBEB’ini bulup, sonra bu sayıyla kullanmadığımız üçüncü sayının OBEB’ini alabiliriz. Aşağıdaki gibi: OBEB(12, 18, 24) = OBEB(OBEB(12, 18), 24) = OBEB(6, 24) = 6 OBEB(12, 18, 24) = OBEB(OBEB(12, 24), 18) = OBEB(12, 18) = 6 OBEB(12, 18, 24) = OBEB(OBEB(18, 24), 12) = OBEB(6, 12) = 6 Teorem. c herhangi bir tamsayı olmak üzere; OBEB(c⋅a, c⋅b) = c⋅OBEB(a, b)’dir. Örneğin; OBEB(12, 18) = OBEB(6⋅2, 6⋅3) = 6⋅OBEB(2, 3) = 6⋅1 =6 olur. Teorem. OBEB( a b , ) = 1 ise d = OBEB(a, d d b) olur. Hemen buna da bir örnek verelim: 12 18 OBEB( , ) = 1 olduğundan 6 6 OBEB(12, 18) = 6’dır. ii) OBEB(a, b) = OBEB(a, c) ise OBEB(a2, b2) = OBEB(a2, c2) ve OBEB(a, b) = OBEB(a, b, c). Tanım: a ve b tamsayı olmak üzere, OBEB(a, b) = 1 ise a ve b’ye aralarında asal veya birbirine asal sayılar denir. Yani; a ile b’nin 1’den başka pozitif ortak çarpanı yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir. 2 ile 3, 4 ile 9, 15 ile 16 gibi… Çünkü, OBEB(2, 3) = OBEB(4, 9) = OBEB(15, 16) = 1. iii) OBEB(a, b, c) = OBEB(OBEB(a, b), OBEB(a, c)) iv) OBEB(a, b) = 1 ise OBEB(a2, ab, b2) = 1 OKEK Tanım. a ve b sıfırdan farklı tamsayılar olsun. a ve b’nin en küçük pozitif ortak katına a ve b’nin en küçük ortak katı denir ve [a, b] ile gösterilir. Biz yine sizleri düşünerek böyle değil, OKEK(a, b) yazacağız. a1, a2, a3, …, an ve i ≠ j olmak üzere; OBEB(ai, aj) = 1 ise a1, a2, a3, …, an sayılarına ikişer ikişer aralarında asal sayılar denir. İkişer ikişer aralarında asal sayılar, aralarında asaldır. Fakat bunun karşıtı doğru değildir. Buna da bir örnek verelim: OBEB(3, 4) = OBEB(4, 7) = OBEB(3, 7) = 1 olduğundan 3, 4, 7 sayıları ikişer ikişer aralarında asaldır. Teorem. a ve b nin bir katı k ise OKEK(a, b) daima k’yı böler. 3 Mustafa YAĞCI OBEB-OKEK iii) a + b toplamının en büyük değeri kaçtır? Çözüm: Üstteki çözümdekine benzer şekilde m ve n tamsayıları için a = 3m ve b = 3n diyelim. m ile n’nin birbirine asal olduğunu unutmayalım. a⋅b = 3m⋅3n = 9⋅m⋅n = 135 olduğundan m⋅n = 15’tir. i) Çarpımlarının 15 olması gerektiğinden sadece (m, n) için (1, 15) ve (3, 5) ikilileri mevcuttur. O halde (a, b) ikilileri (3, 45) ve (9, 15) olmak üzere 2 tanedir. ii) min(a + b) = 9 + 15 = 24. iii) max(a + b) = 3 + 45 = 48. Genel olarak; t bir tamsayı olmak üzere, a ve b’nin her katı t⋅OKEK(a, b) formundadır. Teorem. a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere; OBEB(a, b)⋅OKEK(a, b) = a⋅b’dir. Kanıt: OBEB(a, b) = d olsun. d = a⋅x + b⋅y yazabiliriz. OKEK(a, b) = m olsun. d böler a⋅b oldua ⋅b = m bir tamsayıdır. Şimdi OKEK (a, ğundan d b) = m olduğunu gösterelim. m, a ve b’nin ortak bir katıdır. n de a ve b’nin ortak bir katı ise n n⋅d n n = = n(a⋅x + b⋅y) = ⋅x + ⋅y bir tamsam a ⋅b b a yıdır. Dolayısıyla, m böler n ve m ≤ n dir. Buradan, m sayısının a ile b’nin en küçük ortak katı olduğunu buluruz. Soru. OBEB(a, b) = 4 ve OKEK(a, b) = 32 ise i) a + b toplamı kaçtır? ii) a⋅b çarpımı kaçtır? Çözüm: m ve n aralarında asal iki sayı olsun. O halde a = 4m ve b = 4n olsun diyebiliriz. OKEK (4m, 4n) = 4⋅m⋅n = 32 olduğundan m⋅n = 8 buluruz. Bu eşitliği sağlayan birbirine asal olma kaydıyla sadece (1, 8) ikilisi vardır. O halde, m = 1 ve n = 8 olduğundan; i) a = 4 ve b = 32 olur ki a + b = 36 bulunur. ii) a = 4 ve b = 32 olur ki a⋅b = 128 bulunur. a ile b’nin çarpımını a ile b’yi bulmadan da bulabilirdik. Hani iki sayının çarpımı her zaman OBEB’i ile OKEK’inin çarpımıydı ya, bundan dolayı a⋅b = OBEB(a, b)⋅OKEK(a, b) = 4⋅32 = 128. Soru. OBEB(a, b) = 2 ve a + b = 20 ise bu koşulları sağlayan; i) Kaç farklı (a, b) ikilisi vardır? ii) a⋅b çarpımının en küçük değeri kaçtır? iii) a⋅b çarpımının en büyük değeri kaçtır? Çözüm: OBEB(a, b) = 2 eşitliği bize hem a’nın hem de b’nin 2’nin bir katı olduğunu anlatır. O halde m ve n tamsayıları için a = 2m ve b = 2n olsun diyebiliriz. Burada dikkat edilmesi gereken çok önemli bir nokta var ki o da m ile n’nin aralarında asal olmaları gerekliliğidir. Bunu şöyle izah edeyim: Eğer aralarında asal olmasalardı, örneğin her ikisi de ortak olarak 3 çarpanına sahip olsalardı, zaten ortak olarak 2 çarpanına da sahip olduklarından OBEB’leri 6 olurdu. Halbuki OBEB’leri 2 olarak verilmiş, o halde m ile n aralarında asal sayılardır. i) a + b = 2m + 2n = 20 olduğundan m + n = 10 dur. Sonuç olarak (m,n) ikilisi sadece (1,9) ve (3,7) değerlerini alabilir. Bazı öğrenciler burada (9,1) ve (7,3) ikililerini de almaya kalkıyorlar ama sıralı ikili demediğinden (yani herhangi bir i-kilide sıra önemli olmadığından) diğerlerini almaya gerek yoktur. a = 2m ve b = 2n olduğunu hatırlayarak (a,b) sadece (2,18) ve (6,14) olmak üzere 2 farklı değer alabilir. ii) min (ab) = 2.18 = 36 iii) max (ab) = 6.14 = 84 Soru. Eni 12 cm, boyu 16 cm olan dikdörtgenlerin en az kaç tanesi bir araya getirilerek bir kare oluşturulabilir? Çözüm: Oluşturacakları karenin yan şekilde gösterilen ABCD karesi olduğunu düşünelim. Karenin AD kenarını dikdörtgenin uzun kenarlarının, AB kenarını ise dikdörtgenin kısa kenarlarının oluşturacağını dikkat ediniz. Karenin kenarları birbirine eşit olduğundan bir kenarının hem 12’nin hem de 16’nın katı olacağını anlıyoruz. Yalnız hem 12’nin hem 16’nın katı olan sonsuz tane sayı var. Biz en küçük ortak katını arıyoruz. Çünkü soruda en az kaç dikdörtgenle bu işin gerçekleşebileceği soruluyor. En küçük ortak kat kelimesinden OKEK’in arandığı çoktan belli oldu bile. OKEK(12, 16) = 48 olduğundan karenin bir kenarı 48 cm olmalıdır. O halde bize 4 kısa kenar, 3 uzun kenar lazım. Yani 1 satırda 3 dikdörtgen ve böyle 4 satır olduğu için toplam 12 dikdörtgene ihtiyacımız olacak. Aslında bunun bu- Soru. OBEB(a, b) = 3 ve a⋅b = 135 ise bu koşulları sağlayan; i) Kaç farklı (a, b) ikilisi vardır? ii) a + b toplamının en küçük değeri kaçtır? 4 Mustafa YAĞCI OBEB-OKEK lunmasının başka bir yolu daha var. Karenin alanı, dikdörtgenin alanına bölünürse kaç adet dikdörtgen kullanıldığı bulunmuş olur. 48 2 Anlayacağınız, = 4⋅3 = 12. 12 ⋅ 16 Sorduğumuz bu soru, bu tarz örneklerin ilki olduğundan açıklamayı biraz uzun tuttuk. Bu yüzden, bu soruların çok uzun şekilde çözüldüğü anlaşılmasın. Hatta tek bir formülle işi bitirelim: Kenarları a ve b olan dikdörtgenleri bir araya getirerek bir kare oluşturabilmek için en az OKEK 2 (a, b) a ⋅b tane dikdörtgen lazımdır. Üstteki iki problemde elimizdeki küçük nesneleri bir araya getirerek büyük nesneler elde ettik. Bunları yaparken OKEK kullandığımı unutmayın. Bazen elimizde büyük nesneler olur. Bunları makasla, bıçakla, olmadı testereyle parçalama ihtiyacı duyarız. Aslında böyle bir ihtiyaç filan duyduğumuz yok da soruyorlar ne yapalım?☺ Parçalama soruları da genelde OBEB ile çözülür. Aşağıdaki örnekleri de inceleyiniz, ne demek istediğimizi o zaman daha iyi anlayacaksınız. Soru. Eni 12 cm, boyu 18 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir karton, hiç parça artmayacak şekilde makasla eşit karelere bölünmek isteniyor. En az kaç kare elde etmek mümkündür? Çözüm: Hiç parça artmayacağı söylendiğine göre, kesilecek karelerin bir kenarı hem 12’nin hem 18’in böleni olmalıdır. En az kare elde etmek için de karelerin kenarları mümkün olduğunca büyük olmalıdır. O halde hem 12’nin hem 18’in böleni olan en büyük sayıyı arıyoruz. En büyük ortak böleni kısacası OBEB’i yani. OBEB(12, 18) = 6’dır. Dikdörtgenin alanını, tek bir karenin alanına bölerek kaç kare olduğunu bulabiliriz. O halde bu dik12 ⋅ 18 dörtgen en az = 2⋅3 = 6 eş kareye parçala62 nabilir. Bu tarz soruların formüllerini de siz çıkarmaya çalışınız. Ayrıca bu sorular da üç boyutta sorulabilir. Hemen bir örnek verelim: Soru, farklı kenar uzunlukları verilen paralelkenarlardan bir eşkenar dörtgen oluşturma problemi olarak da karşımıza çıkabilir, çözümü de aynıdır, formülü de. Hatta bu soru üç boyutta da karşımıza çıkabilir, şöyle ki: Soru. Farklı ayrıt uzunlukları 2 cm, 3 cm, 4 cm olan dikdörtgen prizmalardan en az kaç tanesi bir araya getirilerek bir küp oluşturulabilir? Çözüm: Kübün bir kenarı prizmaların eninden, bir kenarı boyundan bir kenarı da yüksekliğinden oluşacağı için kübün bir kenarı hem 2’nin hem 3’ün hem de 4’ün katı olmalıdır. En az prizma kullanmak için de en küçük katı aramalıyız. Yani OKEK’i. OKEK(2, 3, 4) = 12 olduğundan kübün bir ayrıtı 12 cm olmalıdır. Kübün hacmini dikdörtgenler prizmasının hacmine bölersek kaç prizmadan küp yapıldığını bulmuş oluruz. 12 3 = 6⋅4⋅3 = 72 prizma laO halde en az 2 ⋅3⋅ 4 zım. Bu işlemi yine genelleyip formülize edebiliriz. Soru. Farklı ayrıt uzunlukları 24 cm, 30 cm, 36 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir pasta hepsi eş olan küp şeklinde küçük parçalara dilimlenmek isteniyor. Hiç parça artmama koşulu ile en az kaç küp elde edilebilir? Çözüm: Kesilecek küp şeklindeki dilimin bir kenarı (hiç parça artmayacaksa eğer) hem 24’ün, hem 30’un hem de 36’nın böleni olmalıdır. Mümkün olan en büyük parçalar için ise en büyük bölen olmalıdır. OBEB(24, 20, 36) = 6 olduğundan küp şeklindeki parçaların bir ayrıtı 6 cm olmalıdır. Prizmanın hacmini küçük bir kübün hacmine bölersek kaç tane küp elde edeceğimizi buluruz. 24 ⋅ 30 ⋅ 36 = 4⋅5⋅6 = 120. O halde cevabımız 63 Bu tarz soruların genel formülünü de çıkarmaya uğraşınız. Bulamazsanız yanıma gelin☺ Farklı ayrıtları a, b ve c olan dikdörtgen prizmaları bir araya getirerek bir küp oluşturabilmek için en az OKEK 2 (a, b, c) a ⋅b ⋅c tane dikdörtgen prizma lazımdır. 5 Mustafa YAĞCI OBEB-OKEK Soru. Eni 12 cm, boyu 18 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir karton, hiç parça artmayacak şekilde makasla karelere bölünmek isteniyor. En az kaç kare elde etmek mümkündür? Yanlışlıkla aynı soruyu bir daha yazdığımı düşünüyorsanız yanılıyorsunuz. İki önceki soruyla aynı gibi görünüyor değil mi? Değil… Bu sefer parçaların eşit kare olması gerekmiyor, kare olsun yeter deniliyor. Böyle sorularda önce eldeki dikdörtgenden kısa kenar uzunluğuna eşit kenara sahip bir kare kesilip atılır. Sonra elde yine bir dikdörtgen kalır. Bu dikdörtgenden de kısa kenarına eşit kenara sahip bir kare kesilip atılır. Geriye kalan dikdörtgende de aynı işlemler yapılmaya devam edilirse sonunda bir kareye erişilir. Sonunda eldeki ilk dikdörtgenden hepsi birbirinin aynı olmasa da hiç parça artmadan tamamen karelere parçalanmış olur. Şimdi bu dediklerimizin bir uygulamasını yapacağız: Çözüm: Dikdörtgenin kısa kenarı 12 cm. olduğundan önce bir kenarı 12 cm. olan şekildeki gibi büyük kareyi keselim. Geriye kısa kenarı 6 cm, uzun kenarı 12 cm. olan başka bir dikdörtgen kalır. Bundan da bir kenarı 6 cm. olan bir kare kesilir atılırsa geriye kalanın da bir kenarı 6 cm. olan bir kare olduğu görülür ki hiç parça artmadan ilk dikdörtgen 3 ayrı kareye parçalanmış olur. Şimdi biraz daha gıcık rakamlarla bir örnek daha çözelim ki pekişsin: Çözüm: Ağaçların eşit aralıklı dikilmesi gerekiyorsa bu aralık hem 20’nin hem 24’ün böleni olmalı ve bu işi en az ağaçla gerçekleştirmek istiyorsak en büyük ortak bölenleri yani OBEB(20, 24) = 4 mt. olmalıdır. Dikdörtgenin kısa kenarında 20/4 = 5 aralık, uzun kenarında 24/4 = 6 aralık elde etmeliyiz. 5 aralık elde etmek için de 6 ağaç lazım ama köşeleri şimdilik saymayalım, o halde bir kısa kenarda 4 ağaç olmalı, diğer kısa kenarda da 4, etti 8. Uzun kenarlarda 6 aralık elde etmek için de 7 ağaç lazım, köşeleri saymayalım, bir uzun kenarda 5 ağaç lazım, karşısındaki uzun kenarda da 5, etti 10. Bunları toplayalım, etti 8 + 10 = 18. Bunlara bir de köşelerdeki 4 ağacı ekleyelim, etti 18 + 4 = 22. Aslında tüm bu işlemleri tek bir formülle de yapabilirdik. Ben formülü vereyim, siz aynen bu soruyu çözdüğümüz gibi kanıtlamaya çalışın. Eşit aralıklı olmak ve köşelere de gelmek koşuÇevre luyla gereken en az ağaç sayısı ’tir. OBEB Yani sorumuza göre Çevre = 88, OBEB = 4 olduğundan 88/4 = 22. Ne güzel değil mi? Bu soru bazen şu tarzda da sorulur: Tarlamız her biri birbirine eş en büyük kare parsellere ayrılıyor. Tüm parsellerin köşelerine de ağaç gelmesi mecbursa en az kaç ağaç lazım? Dikdörtgenin uzun kenarına satır diyelim. Bir satırda 7 ağaç var ve toplam 6 satır olduğundan toplam 6⋅7 = 42 ağaca ihtiyacımız vardır. Soru. Eni 4 cm, boyu 11 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir karton, hiç parça artmayacak şekilde makasla karelere bölünmek isteniyor. En az kaç kare elde etmek mümkündür? Çözüm: İlk dikdörtgenin kısa kenarı 4 cm. olduğundan önce bir kenarı 4 cm. olan bir kare keselim. Geriye kalanda da durum aynı. Ondan da 4’lük bir kare keselim. Geriye kaldı kısa kenarı 3 cm. olan bir dikdörtgen. Ondan da bir kenarı 3 cm. olan bir kare keselim. En son da 3 tane bir kenarı 1 cm. olan kare kesilirse toplam olarak 6 kareye parçalanmış olur. Soru. 2, 3, 4 ile bölündüğünde her defasında 1 kalanını veren en küçük sayma sayısı kaçtır? Çözüm: Önce 1 kalanını hesaba katmayalım. Nasıl bir soruya dönüştüğüne bakalım: 2, 3, 4’e tam bölünen en küçük sayma sayısı kaçtır? Aradığımız sayı, bu sayılara bölünüyorsa bu sayıların katıdır. Böyle en küçük sayıyı sorduğu için en küçük katıdır. Yani OKEK(2, 3, 4) = 12’dir. Şimdi gözardı ettiğimiz 1 kalanını tekrar hatırlayalım. Hepsine tam bölünen en küçük sayı 12 ise hepsinde 1 kalanını veren en küçük sayma sayısı da 13’tür. Soru. 20×24 mt2 ebadında dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın çevresi eşit aralıklarla ağaçlandırılmak isteniyor. Köşelere ağaç dikme mecburiyeti varsa bu ağaçlandırma için en az kaç ağaç gerekir? Şimdi bu sorunun çözümünde yaptığımız işlemleri genelleyip, formülünü çıkaracağız: 6 Mustafa YAĞCI OBEB-OKEK 3 = 4c + 4 oldu. Ne güzel de oldu. Çünkü 2a + 2 sayısı 2’nin katı, 3b + 3 sayısı 3’ün katı, 4c + 4 sayısı da 4’ün katıdır. O halde x + 1 sayısı hem 2’nin hem 3’ün hem de 4’ün katı oldu. Yani 12’nin katı oldu. Biz bir k tamsayısı için x + 1 = 12k diyelim. O halde x = 12k – 1 olur. En küçük sayma sayısı sorulduğundan k = 1 olsun denir ve doğru cevap olan 11 bulunmuş olur. Bazen ‘’ x > 100 olduğu bilindiğine göre…’’ diyerek soruya başlar. O zaman da k = 9 alarak x = 108 – 1 = 107 buluruz. Uygun a, b, c, k değerleri için a, b, c ile bölündüğünde her defasında k kalanını veren en küçük sayma sayısının kaç olduğu sorulduğunda cevabımız OKEK(a, b, c) + k olacak. İşin garibi tamamıyla bu sorunun aynısı olan ama soruluş itibariyle çok da benzemeyen iki ayrı soru tipi daha vardır. Bunlara da birer örnek vereyim: i) x, a, b, c sayma sayıları için x = 2a + 1 = 3b + 1 = 4c + 1 koşulunu sağlayan en küçük x kaçtır? ii) Ahmet, bilyelerini ikişerli de, üçerli de, dörderli de gruplasa her defasında 1 bilyesi artıyor. Ahmet’in en az kaç bilyesi var? Yukarıdaki her iki sorunun da cevabı, aynı ilk soru gibi 13’tür. İkisi de benzer şekilde formülleştirilebilir. Yeter ki hepsinde kalanlar aynı olsun. Burada akla gelen ilk soru: ‘‘Ya kalanlar aynı olmazsa?’’. Şimdi bunlara örnekler vereceğiz. Soru. 2, 3, 4 ile bölündüğünde sırasıyla 1, 2, 3 kalanını veren en küçük sayma sayısı kaçtır? Çözüm: Dikkat ettiyseniz x sayısı neye bölünmüşse 1 eksik kalan vermiş. Yani; x sayısı her kaçsa o sayıdan 1 büyük olsaymış, hepsine tam bölünecekmiş. O halde biz hepsine tam bölünüyormuş gibi x’i bulalım, o sayıdan 1 çıkartalım. OKEK(2, 3, 4) = 12 olduğundan verilen koşulu sağlayan en küçük x sayma sayısı 11’dir. İnanmayanlar deneyebilir☺ Bu soru da genelleştirilebilir, dolayısıyla formülleştirilebilir: Uygun a, b, c, k değerleri için a, b, c ile bölündüğünde sırasıyla a – k, b – k, c – k kalanlarını veren en küçük sayma sayısının kaç olduğu sorulduğunda cevabımız OKEK(a, b, c) – k olacak. Soru. 8, 9, 10 ile bölündüğünde sırasıyla 4, 3, 2 kalanını veren en küçük sayma sayısı kaçtır? Çözüm: Sorunun daha önce formüllerini çıkardığımız koşulları sağlamadığına dikkat ediniz. Dikkatli öğrenciler bu sefer de farklı bir koşulun sağlandığını görmüş olmalı. 8 + 4 = 9 + 3 = 10 + 2 = 12. Yani bölenler ile kalanların toplamı sabit ve 12. Bunu sağlayan en küçük sayma sayısı da bölenlerin OKEK’ine bu sabit toplamın eklenmesi ile bulunur. OKEK(8, 9, 10) = 360 olduğundan cevabımız 360 + 12 = 372’dir. Şimdi nedenine gelelim. Uygun x, a, b, c, k sayma sayıları için x = 8a + 4 = 9b + 3 = 10c + 4 yazabiliriz. Her terimden 12 çıkardığımızda neler olduğuna bir bakalım: x – 12 = 8a – 8 = 9b – 9 = 10c – 10 olduğundan (x – 12)’in hem 8’in hem 9’un hem 10’un bir katı olduğunu görürüz. x – 12 = OKEK(8, 9, 10) = 360 eşitliğinden x = 360 + 12 = 372 buluruz. Artık formülü bulunan koşullar vermeyeceğiz. Hiçbir koşula uymayan, arasında hiçbir bağ bulunmayan bölen ve kalanlar için bu soruların nasıl çözüldüğüne bir örnek verip bu sayfayı kapatacağız. Yukardaki çözümü anlamış olmanıza rağmen (umuyorum öyledir) bu soruyu farklı bir şekilde daha çözeceğim. Zira verdiğim koşullarda olmayan bu tarz soruları çözmek uygulanması gereken metottur. x sayısı 2, 3, 4 ile bölündüğünde 1, 2, 3 kalanlarını veriyordu ya, bölümler de a, b, c olsun. O halde x = 2a + 1 = 3b + 2 = 4c + 3 yazmak mümkündür. Birbirine eşit bu 4 ifadenin dördünden de aynı sayının çıkarılması veya dördüne de aynı sayının eklenmesi eşitliği bozmaz. Biz hepsine 1 ekleyelim bakalım. ‘’Abi, niye 1?’’ demiyorsundur inşallah, çünkü hepsinde kalanların bölenlerden 1 küçük olduğunu söylemiştik. x + 1 = 2a + 2 = 3b + Soru. x, a, b sayma sayıları için x = 3a + 2 = 7b + 5 eşitliğini sağlayan en küçük x sayma sayısı kaçtır? Çözüm: Dikkatle bakılacak olursa ne kalanlar eşit, ne kalanlar ile bölenler arasındaki fark eşit, ne de bölenler ile kalanların toplamı eşit. Yani formülünü çıkardığımız üç koşula da uymayan bir örnekle karşı karşıyayız. Daha önce de anlattığımız gibi eşitlikteki her ifadeye öyle bir sayı ekleyeceğiz ki (çıkarabiliriz de) ortadaki terim 3’ün katı olacak, en sağdaki terim de 7’nin katı olacak. ‘’Peki abi, önce hangisini halledelim, hangisinden başladığımızın bir önemi var mı yani?’’ diye sorabilirsin. Evet var, aslında yok da daha erken ceva7 Mustafa YAĞCI OBEB-OKEK ba ulaşmak istiyorsan var. Önce katsayısı büyük olandan başlamalısın. Yani 7b + 5 ifadesini 7’nin katı yapmaya çalış. İlk eklenmesi gereken sayı 2. Peki her terime 2 ekleyince 3a + 2 ifadesi de 3’ün katı oluyor mu, olmuyor. O halde (7b + 5)’i 7’nin katı yapmak için ikinci bir sayı deneyelim. Bu da 9 olmalı. Hani 7b + 14 sayısı 7’nin katı ya. Ama 9 ekleyince yine 3a + 2 ifadesi 3’ün katı olmadı. Üçüncü olarak denenmesi gereken sayı 16. Şimdi oldu işte. x + 16 = 3a + 18 = 7b + 21 olduğundan x + 16 sayısı hem 3’ün hem de 7’nin katıdır, o halde 21’in katıdır. x + 16 = 21k olsun diyelim, o halde x = 21k – 16 olmalıdır. En küçük sayma sayısını bulmak için k = 1 olsun diyoruz. Ama yine bir sorun çıktı. Çünkü k = 1 olursa x = 5 olur ki x = 7b + 5 olduğundan b = 0 çıkar, yani sayma sayısı çıkmaz. Bundan dolayı k = 2 almalıyız. k = 2 için x = 26 bulunur ki bu da doğru cevaptır. Aslında önümüzde şıklar olduktan sonra bu soruyu böyle çözmek anlamsızdır. Siz deneme sınavındaysanız eğer şıklardan verilen koşulu sağlayanı işaretleyebilirsiniz. Allah, yazılıya girecek olanlara yardım etsin. ☺ 8. OBEB(a, b) = 23⋅3 ve OKEK(a, b) = 22⋅32⋅5 olduğuna göre a⋅b çarpımı kaçtır? 9. OBEB(a, 90, 225) = 15 ve OKEK(a, 90, 225) = 2250 şartlarını sağlayan en küçük a kaçtır? 10. OBEB’i 8, OKEK’i 64 olan tüm doğal sayı ikililerini bulunuz. 11. (3m) ve (4n) iki basamaklı sayılarının OBEB’i 6, OKEK’i 252 ise m+n = ? 12. 3! + 4! + 5! ve 4! + 5! + 6! sayılarının OKEK ve OBEB’ini bulunuz. 13. 3, 4, 5 ile bölündüğünde 1 kalanını veren en küçük doğal sayı kaçtır? Alıştırmalar 14. 12, 14, 18 ile bölündüğünde 8 kalanını veren en küçük doğal sayı kaçtır? 1. (18, 30), (130, 455), (24, 30) ikililerinin OBEB’lerini bulunuz. 15. x, a, b, c sayma sayıları için x = 2a + 1 = 3b + 1 = 4c + 1 ise x’in en küçük değeri kaçtır? 2. (24, 30, 40), (4500, 30000, 2160) üçlülerinin OBEB’lerini bulunuz. 16. (120, 320), (42, 70), (1200, 900) ikililerinin OKEK’lerini bulunuz. Ali, adedi 100’den fazla olan bilyelerini 5’erli veya 7’şerli gruplayınca 2 bilye artıyor. Ali’nin en az kaç bilyesi vardır? 4. 17. (24, 54, 90), (5, 6, 42), (15, 90, 120) üçlülerinin OKEK’lerini bulunuz. 2, 3, 4 ile bölündüğünde sırasıyla 1, 2, 3 kalanlarını veren en küçük sayma sayısı kaçtır? 5. 18. Aralarında asal sayıların OKEK’i nasıl bulunur? x, a, b, c sayma sayıları için x = 3a + 1 = 4b + 2 = 6c + 4 ise a’nın en küçük değeri kaçtır? 3. 6. Aralarında asal sayıların OBEB’i kaçtır? 19. 7. 8, 9, 10 ile bölündüğünde sırasıyla 4, 3, 2 kalanlarını veren en küçük sayma sayısı kaçtır? İki sayının OBEB’i ile OKEK’inin çarpımı neye eşittir? 20. 8 Mustafa YAĞCI OBEB-OKEK x, a, b sayma sayıları için x = 3a + 2 = 7b + 4 ise x’in en küçük değeri kaçtır? 21. x, a, b, c sayma sayıları için x = 3a + 1 = 4b = 5c + 4 koşulunu sağlayan en küçük x kaçtır? 22. 2 3 4 , , sayılarının OKEK ve OBEB’ini bulunuz. 3 4 5 9