close

Enter

Log in using OpenID

Çözümlü Problemlerle Kısmi Diferensiyel Denklemler

embedDownload
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ
BÖLÜM 1
BÖLÜM 2
iX
TEMEL KAVRAMLAR
1
1.1. Tanımlar
1.2. Diferensiyel Denklemlerin Çözümü (İntegrali)
1.3. Başlangıç Değer ve Sınır Değer Problemleri
2
5
7
LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER
9
2.1. Birinci Mertebeden İki Boyutlu Lineer Kısmi Diferensiyel Denklemler
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
2.2. Birinci Mertebeden Çok Boyutlu Lineer Kısmi Diferensiyel Denklemler
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
2.3. Birinci Mertebeden Kuazilineer Kısmi Diferensiyel Denklemler
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
10
14
16
30
31
34
36
54
55
57
59
75
iii
BÖLÜM 3
KARAKTERİSTİKLER
3.1.
İki Boyutlu İkinci Mertebeden Kısmi Diferensiyel Denklemlerin
Karakteristikleri
3.1.1. Hiperbolik Denklem
3.1.2. Parabolik Denklem
3.1.3. Eliptik Denklem
3.1.4. Sabit Katsayılı Lineer Denklemlerin Kanonik Formları
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
3.2. Çok Boyutlu İkinci Mertebeden Kısmi Diferensiyel Denklemlerin
Karakteristikleri
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
3.3. İki Boyutlu Birinci Mertebeden Kısmi Diferensiyel Denklem Sisteminin
Karakteristikleri
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
BÖLÜM 4
HİPERBOLİK TİP DENKLEMLER
4.1. Bir Boyutlu Dalga Denkleminin Başlangıç Değer Problemi İçin D’Alembert
Formülü
4.1.1. Sonsuz Aralıkta Homojen Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer
Problemi
4.1.2. Sonsuz Aralıkta Homojen Olmayan Dalga Denklemi İçin Başlangıç
Değer
4.1.3. Yarı Sonsuz Aralıkta Homojen Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer
Problemi
4.1.4. Sınırlı Aralıkta Homojen Dalga Denklemi İçin Başlangıç Sınır Değer
Problemi
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
4.2. Bir Boyutlu Dalga Denkleminin Sınırlı Aralıkta Başlangıç Değer Problemi
İçin Fourier Yöntemi
4.2.1. Sturm-Liouville Problemi
4.2.2. Bir Boyutlu Homojen Dalga Denkleminin Sınırlı Aralıkta Başlangıç
Değer Problemi İçin Fourier Yöntemi
77
78
81
82
82
83
85
87
106
107
110
111
118
119
124
125
133
135
136
136
138
140
143
145
147
159
161
161
164
4.2.3. Bir Boyutlu Homojen Olmayan Dalga Denkleminin Sınırlı Aralıkta
Başlangıç Değer Problemi İçin Fourier Yöntemi
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
4.3. Goursat Problemi
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
4.4. Çok Boyutlu Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer Problemi
4.4.1. Çok Boyutlu Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer Probleminin
Çözümünün Tekliği ve Enerji Yöntemi
4.4.2. Çok Boyutlu Homojen Dalga Denkleminin Başlangıç Değer
Probleminin Çözümü İçin Poisson Formülü
4.4.3. Üç Boyutlu Homojen Olmayan Dalga Denklemi İçin Başlangıç
Değer Probleminin Çözümü İçin Kirchhoff Formülü
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
BÖLÜM 5
PARABOLİK TİP DENKLEMLER
5.1. Bir Boyutlu Isı Denklemi, Maksimum Prensibi ve Çözümün Tekliği
5.1.1. Bir Boyutlu Isı Denklemi
5.1.2. Maksimum Prensibi
5.1.3. Çözümün Tekliği
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
5.2. Bir Boyutlu Başlangıç–Sınır Değer Problemi İçin Fourier Seri Yöntemi
5.2.1. Homojen Isı Denklemi İçin Homojen Sınır Koşullu Başlangıç-Sınır
Değer Problemi
5.2.2. Green Fonksiyonu
5.2.3. Homojen Olmayan Isı Denklemi İçin Homojen Başlangıç ve
Homojen Sınır Değer Problemi
5.2.4. Homojen Olmayan Isı Denklemi İçin Homojen Olmayan Başlangıç
ve Homojen Sınır Değer Problemi
5.2.5. Homojen Olmayan Isı Denklemi İçin Homojen Olmayan
Başlangıç-Sınır Değer Problemi
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
5.3. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Başlangıç Değer Problemi
5.3.1. Fourier İntegral Dönüşümü Yöntemi
5.3.2. Laplace İntegral Dönüşümü Yöntemi
168
170
172
197
199
203
204
208
209
209
211
214
217
218
235
237
238
238
238
240
241
243
246
247
247
250
252
253
254
255
257
295
299
299
302
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
5.4. Çok Boyutlu Isı Denklemi
5.4.1. Çok Boyutlu Parabolik Denklemler İçin Fourier İntegral Dönüşümü
Yöntemi
5.4.2. Çok Boyutlu Parabolik Denklemler İçin Cauchy Problemi ve
Poisson Formülü
5.4.3. Çok Boyutlu Parabolik Denklemler İçin Fourier Seri Yöntemi
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
5.5. Başlangıç Şartları Olmayan Parabolik Denklemler
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
5.6. Sabit Katsayılı Parabolik Denklemler için Operatör Yöntemi
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
BÖLÜM 6
ELİPTİK TİP DENKLEMLER
6.1. Laplace Denklemi, Temel Çözüm ve Gösterilim Teoremi
6.1.1. Laplace Denklemi ve Sınır Problemleri
6.1.2. Temel çözüm
6.1.3. Green Formülleri
6.1.4. Gösterilim Teoremi
6.1.5. Harmonik Fonksiyonun Özellikleri
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
6.2. Laplace Operatörü İçin Green Fonksiyonu
6.2.1. Green Fonksiyonu
6.2.2. Green Fonksiyonun Özellikleri
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
6.3. Potansiyel
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
6.4. Düzlemde Laplace Denkleminin İç Sınır Problemleri İçin Fourier Seri Yöntemi
308
310
321
323
323
323
324
328
329
335
337
339
339
342
343
344
344
349
351
352
352
353
355
356
358
362
365
376
377
377
379
381
382
388
389
393
394
398
399
6.4.1. Kutupsal Koordinatlarda Laplace Denkleminin İç Sınır Problemleri
İçin Fourier Seri Yöntemi
6.4.2. Kutupsal Koordinatlarda Laplace Denkleminin Dış Sınır Problemleri
İçin Fourier Seri yöntemi
6.4.3. Dikdörtgende Laplace Denklemin Dirichlet Problemi İçin Fourier
Seri Yöntemi
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
6.5. Üç Boyutlu Yüzeyde Laplace Denkleminin Sınır Problemleri İçin Fourier Seri
Yöntemi
6.5.1. Dikdörtgen Paralelyüzde Laplace Denkleminin Sınır Problemleri
İçin Fourier Seri Yöntemi
6.5.2. Silindirik Koordinat Sisteminde Laplace Denkleminin Sınır
Problemleri İçin Fourier Seri Yöntemi
6.5.2.1. Silindirik Koordinat Sistemi ve Bessel Fonksiyonları
6.5.2.2. Silindirin Yan Yüzey Alanı Üzerinde Homojen Sınır Şartı
6.5.2.3. Silindirin Alt ve Üst Sınırlarında Homojen Dirichlet Şartı
6.5.2.4. Silindir İçin Homojen Olmayan Dirichlet Problemi
6.5.2.5. Silindirin Alt ve Üst Sınırlarında Homojen Neumann Şartı
6.5.3.Küresel Koordinatlarda Laplace Denkleminin Sınır Problemleri İçin
Fourier Seri Yöntemi
6.5.3.1. Küresel Koordinatlarda Laplace Denklemi ve Legendre
Polinomu
6.5.3.2. Topun İçi İçin Sınır Problemleri
6.5.3.3. Topun Dışı İçin Sınır Problemleri
Bölüm Problemleri
Bölüm Problemlerinin Çözümleri
Ek Problemler
KAYNAKLAR
DİZİN
399
402
404
407
408
415
417
417
419
419
421
423
424
425
427
426
428
429
430
431
437
439
441
TABLOLAR
Trigonometrik Formülleri Tablosu
İntegral Tablosu
Laplace Dönüşüm Tablosu
Fourier Dönüşüm Tablosu
445
445
446
447
448
ÖNSÖZ
Bu kitap, üniversitelerimizde okutulan “Kısmi Diferensiyel Denklemler” derslerinde
yararlanılabilecek bir kaynak olarak hazırlanmıştır. Bu alanda yazılmış mevcut kaynaklar
detaylı teorik bilgiler içermesine karşın, çözülmüş problemler bakımından yeterli zenginliğe
sahip değildir. Bu kitapta, ihtiyaç duyulan teorik bilgilere yeterli ölçüde yer verildikten sonra,
çok sayıda çözümlü problemlerle konunun pekiştirilmesi sağlanmaktadır. Böylece lisans ve
lisansüstü öğrencilerinin fazla sayıda uygulama yaparak, konuların zorluğuna ilişkin ön
yargılarından kurtulmaları hedeflenmektedir. Çözümlerin anlaşılır bir dil ve pedagojik bir
yaklaşımla sunulması için özen gösterilmiş, işlem aşamaları arasındaki geçişler detaylı
olarak ifade edilmiştir. Bu özellikleri dolayısıyla, alanındaki önemli bir ihtiyacı
karşılayacağına inanıyoruz.
İlk bölümünde temel kavramların tanıtıldığı bu çalışma, altı ana bölümden
oluşmaktadır. İkinci bölümde, I. mertebeden lineer ve kuazilineer kısmi diferensiyel
denklemler incelenmektedir. Üçüncü bölümde, II. mertebeden kısmi diferensiyel
denklemlerin ve I. mertebeden kısmi diferensiyel denklem sistemlerinin karakteristikleri
anlatılmaktadır. Ayrıca kanonik formda yazılan diferensiyel denklemlerin hiperbolik,
parabolik veya eliptik olarak sınıflandırılması yapılmaktadır.
Sadece hiperbolik denklemlere ayrılan dördüncü bölümde, hiperbolik tipteki lineer
kısmi diferensiyel diferensiyel denklemlerin çözümü Fourier seri (değişkenlerine ayırma),
D’Alembert ve Kirchhoff yöntemleri ile verilmektedir.
Metot olarak, Fourier seri (değişkenlerine ayırma), Laplace ve Fourier integral
dönüşüm yöntemlerinin kullanıldığı beşinci bölümde, parabolik denklemlerin çözümleri ele
alınmaktadır. Altıncı bölümde ise, eliptik tipteki lineer kısmi diferensiyel denklemler konu
edilmektedir. Farklı sınır şartlarına sahip eliptik denklemlerin çözümleri; Green fonksiyonları
yardımıyla ve Fourier seri yöntemiyle, Kartezyen, kutupsal ve silindirik koordinatlarda ayrı
ayrı irdelenmektedir.
İncelenmek istenen bir diferensiyel denklemin (çözümü varsa); analitik, yaklaşık,
nümerik ve kalitatif çözüm yöntemlerinden söz edilebilir. Bu kitap, kısmi diferensiyel
denklemlerin analitik çözümlerinin elde edilmesi için kullanılan yöntemlerin tanıtılmasına ve
çok sayıda uygulamaya yer verilerek konunun pekiştirilmesine hasredilmiştir. Analitik
çözümler elde edilirken, yaygın olarak kullanılan klasik yöntemlerin hemen hepsine
değinilmiştir.
Hatırlatmak gerekir ki, bu kitaptaki konuların anlaşılması için, altyapı olarak temel
matematik (özellikle integral) ve adi diferensiyel denklemler bilgilerine sahip olunmalıdır.
İlk baskı olması dolayısıyla, yazım ve baskı hatalarının kaçınılmaz olduğunu takdir
edersiniz. Bu hataları minimize etmek için özenle incelememize rağmen gözden kaçanlar
olabilir. Gördükleri eksiklik ve hataları bildiren okuyucularımıza, şimdiden minnet ve
şükranlarımızı iletiyoruz. Bu geri bildirimler, izleyen baskıların daha hatasız bir şekilde
çıkması için önemli katkılar sağlayacaktır.
Editörler
ix
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
1
File Size
545 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content