close

Enter

Log in using OpenID

embedDownload
Onerme: (yagmur yagiyorsa bahce islaniyordur)
p: yagmur yagiyor, q: bahce islaniyor.
p': yagmur yagmiyor. q':bahce islanmiyor .
Onerme: Bir sonsuz seride dizinin genel terimi an
Lim an ≠ 0 sartini saglarsa seri iraksakdir.
n →∞
( p: Lim an ≠ 0
q: seri iraksak p→q )
n →∞
p→q. (yagmur yagiyorsa bahce islaniyordur)
Kesin olan sey yagmur yaginca bahcenin islanacagidir.
Dogru kıyas: (q'→p')seri yakinsak ise Lim an = 0 dir.
n →∞
Yanlis kıyas: (p'→q') Lim an = 0 ise seri yakinsakdir.
p→q dogru olmasi
p→q dogru olmasi
q→p olmasini gerektirmez.
p'→q' olmasini gerektirmez.
p→q dogru olmasi
q'→p' olmasini gerektirir.
n →∞
(yakinsak da olabilir, iraksak da olabilir. Lim an = 0
n →∞
olmasi yakinsakligi garantilemez)
Yanlis kıyas: (q→p)seri iraksak ise Lim a n ≠ 0 dir.
n →∞
serinin iraksak olmasi Lim a n ≠ 0 olmasini
Yanlis kıyas: q→p
n →∞
bahce islaniyor → o halde kesin olarak yagmur yagiyor. garantilemez. seri iraksak oldugu halde Lim an = 0
n →∞
Bahce baska sebeblerde dolayi islaniyor olabilir.
oldugu durumlar vardir.
Bahcivan bahceyi suluyor olabilir. su borusu patlamis
olabilir. vs
Dogru kıyas. q'→p'
Bahce islanmiyorsa kesin olarak yagmur yagmiyordur.
Diziler
Yanlis kıyas: p'→q'
yagmur yagmiyor → bahce islanmiyor
Bahcivan bahceyi suluyor olabilir. Yagmur yagmadigi
halde bahce islaniyor olabuilir.
------------------------------ ------------------------
a1, a2, a3, ..... an
1,3,5,7,9,.....99,101,103,....
genel terimi an=2n-1
n
1 2 3 4 ... .. 50 51 ... ...
2n-1 1 3 5 7 .. .. 99 101
Onerme: A yakinsak ise B yakinsakdir. (p→q)
(p:A yakinsak, q:B yakinsak)
Yanlis kıyas: (q→p) B yakinsak ise A yakinsakdir. B
nin yakinsak olmasi A nin yakinsak olmasini
garantilemez, olabilir de olmayabilirde.
Dogru kıyas: (q'→p') B iraksak ise A kesin olarak
iraksakdir.
Yanlis kıyas: (p'→q') A iraksak ise B kesin olarak
iraksakdir. A nin iraksak olmasi B nin iraksak olmasini
garantilemez. olabilir de olmayabilirde.
1 1 1 1
1
1
1
1
, , , , .....
,
,.....
,
,....
10 20 30 40
1990 2000
9990 10000
Genel terimi
an =
1
10n
1, 3, 9, 27, 81, ..... 14348907, 43046721,.......
Genel terimi an=3n
Sonsuz Seriler:
∞
∑a
n =1
n
=a1+a2+a3+....+an+....+...
∞
∑ (2n + 1) =1+3+5+7+9+.....99+101+103,...
n =1
∞
1
1
1
1
1
1
1
1
∑ 10n = 10 ,+ 20 ,+ 30 + ..... + 1990 + 2000 + ..... 9990 + 10000 ,.... ----------------4-------------------------n =1
∞
∑3
n
= 3+ 9+ 27+ 81, ..... +14348907+43046721+......
n =1
Dizinin yakinsak olmasi sarti: Hic bir terimi sonsuz
olmamasi. Dizi monoton artiyorsa
ise dizi yakinsakdir.
Lim an = 0
n →∞
SERILERIN YAKINSAKLIGI
Serinin yakinsak olmasi sarti.
Serinin yakinsakligi
Lim S n = sayi( sonsuz deg il )
Serinin yakinsak olmasi sarti.
Lim S n = sayi( sonsuz deg il )
n→∞
n→∞
Yakinsaklik test kriterleri:
---------------------------------------------------------- --
DIZILERIN LIMITLERI
n→∞ icin dizinin aldigi degere dizinin limiti denir.
1,3,5,7,9,.....99,101,103,....
dizisinin limiti ∞
1 1 1 1
, , , , ....
10 20 30 40
dizisinin limiti sifirdir.
--------- ----------------------- ----------------------- -------------A=a1+a2+a3+....an+...
B=b1+b2+b3+....bn+...
a1<b1, a2<b2, a3<b3, .... an<bn, ....oluyorsa
B yakinsak ise A yakinsakdir. (p→q)
A iraksak ise B iraksakdir. (q'→p')
B iraksak ise, A yakinsak veya iraksak olabilir.
(p'→q' yanlis kıyas olur.)
A yakinsak ise, B yakinsak veya iraksak olabilir.
(q→p yanlis kıyas olur.)
------------------------- -------------------------- -
Ornek P341:
∞
p>1 oldugu halde ϒ sonsuz degilse
∑a
n =1
n
yakinsakdir.
n2, n3, vs ile carpildigi halde dizi hala yakinsak ise
demekki carpilmadan once de yakinsakdir.
----------------- -------------------------- -
1
n =1 n
Sn = ∑
serisini yakinsakligini bulun.
a) Limit an testi.
seride dizinin genel terim an =
Lim an = Lim
∞
∑a
n =1
∞
n
pozitif terimli,
Lim
n →∞
an +1
=r,
an
r<1 ise seri yakinsak
r>1 ise seri iraksak
r=1 ise bu test calismaz.
---------------------------- --------------
n →∞
1 1
= =0
n ∞
sifirdan farkli ciksa idi
kesin iraksak derdik. sifir cikmasi yakinsakligi garantilemez.
b) Oran testi
Lim
n→∞
Lim n an = r ,
n →∞
1
dir.
n
an+1
an
1
n
= Lim n + 1 = Lim
=1
1
n→∞
n→∞ n + 1
n
Bu test bir sonuc vermedi.
n →∞
r<1 ise seri yakinsak
r>1 ise seri iraksak
r=1 ise bu test calismaz.
c)kok testi
1/ n
1
⎛1⎞
Lim n an = Lim n = Lim ⎜ ⎟
n →∞
n →∞
n n →∞ ⎝ n ⎠
Integral Testi
Bu testi sonuclandirmak icin belirsizligi cozmemiz
lazim. Diger metodlarideneyelim, sonuc vermez ise bu
metodu tekrar deneyebiliriz.
an=f(n) olsun.
∞
∞
∫ f ( x)dx
sonsuz degilse
x =1
∑ f ( n)
n =1
yakinsakdir
d)Integral testi:
an = f ( n) =
integral sonsuz ise iraksakdir.
∞
∫ f ( x)dx =
Limit an Testi
x =1
Lim an ≠ 0 ise seri iraksakdir.
seri yakinsak ise
n →∞
1
n
f(x) =
1
x
∞
1
x =∞
dx
=
Ln
(
x
)
∫x
x =1
x =1
= Ln (∞ ) − Ln (1) = ∞ − 0 = ∞
n→∞
Lim an = 0
= 00
dir.
. Lim an = 0 olmasi gereklidir fakat yeter degildir.
n→∞
yani Lim an = 0 oldugu halde seri iraksak olabilir.
n →∞
------------------ -------------------------- -----------------
∞
1
1
1 1 1 1
= + + + ..... + ... +
+ ... = ∞
999
99
1 2 3
n =1 n
Sonuc S n = ∑
Ornek P345:
Ornek P342:
∞
∞
1
Sn = ∑ 2
n =1 n
1
p
n =1 n
Sn = ∑
serisini yakinsakligini bulun.
gosterin.
Limit an testi. Oran testi, kok testi bu seri icinde sonuc
vermez. Integral testini uygulayalim.
1
n2
an = f ( n ) =
∞
f(x) =
1
x2
∞
∞
x − 2 +1
1
∫x =1f ( x)dx = x∫=1 x 2 dx = − 2 + 1
x =1
∞
1
⎛ 1 1⎞
=
= −⎜ − ⎟ = 1
− x x =1
⎝ ∞ 1⎠
integralin degeri ∞ olmadigi icin seri yakinsakdir.
∞
Sonuc S n = ∑ 1 = 1 + 1 + 1 + ..... 1 + ... + 1 + ... < ∞
2
2
2
2
2
2
n =1
n
1
2
99
3
999
seri yakinsakdir.
∞
1
1
iraksak S n = ∑ 2 yakinsak
n =1 n
n =1 n
∞
NOT: S n = ∑
1
k =1 k
n
1
2
3
4
5
8
9
10
50
100
1000
10000
100000
1000000
1
n
1
0.5
0.33333
0.25
0.2
0.125
0.11111
0.1
1
1.5
1.83333
2.08333
2.28333
2.71786
2.82897
2.92897
4.499205
5.187378
7.485471
9.787606
12.09015
14.39273
1
2
k =1 k
n
n
Sn = ∑
1
n2
1
0.25
0.11111
0.0625
0.04
0.01562
0.01234
0.01
Sn = ∑
1
1.25
1.36111
1.42361
1.46361
1.52742
1.53977
1.54977
1.625133
1.634984
1.643935
1.644834
1.644924
1.644933
----------------------------------- ----------------------------------
p>1 icin serisini yakinsak oldugunu
Taylor Serisi
f ' ' (x 0 )
(x − x 0 ) 2
2!
(4)
f ' ' ' (x 0 )
f (x 0 )
+
(x − x 0 ) 3 +
(x − x 0 ) 4 + .........
3!
4!
f(x) = f(x 0 ) + f ' (x 0 )(x − x 0 ) +
turevine esit olan ve x0 noktasindan gecen dogru
denklemini elde ettik. Elde ettigimiz bu dogru denklemi
fonksiyona esittir dedik. Tabi ki bu esitligin gecerli
olacagi yerler x=x0 noktasi civarindaki yerlerdir. x=x0
noktasindan uzaklasildikca bu esitlik bozulacaktir.
eger ilk iki terim alinirsa dogrusal yaklasim
gercek fonksiyon e0.5x
f(x) ≈ f(x 0 ) + f ' (x 0 )(x − x 0 )
eger ilk uc terim alinirsa parabolik yaklasim
f(x) ≈ f(x 0 ) + f ' (x 0 )(x − x 0 ) +
yb
f ' ' (x 0 )
(x − x 0 ) 2
2!
2.2408x-2.2408
yapilmis olur. ilk iki terimin alindigi duruma
fonksiyonun x=x0 civarinda lineerlestirilmesi
(dogrusallastirilmasi) denir.
P221) f(x)= e0.5X fonksiyonunu x=3 civarinda Taylor
serisine aciniz.
Cozum:
f '(x)= 0.5 e0.5X
f ''(x)= 0.5x0.5 e0.5X =0.25 e0.5X
f '''(x)= 0.5x0.5 x0.5 e0.5X =0.125 e0.5X
f (4)(x)= 0.5 x0.5 x0.5x0.5 e0.5X =0625 e0.5X
yaklasik fonk
ya
xa
e0.5X ≈ 4.48+2.24(x-3) (for x=3 civarinda)
---------------------------------- ----------------------Parabolik yaklasim
f ' ' (x 0 )
(x − x 0 ) 2
2!
1.12
= 4.4817 + 2.2408 (x - 3) +
(x - 3) 2
2!
f (3)= e0.5 3=e1.5 =4.4817
f '(3)= 0.5 e0.5 3=0.5 e1.5 =2.24
f ''(3)= 0.25 e0.5 3=1.12
f ''' (3)= 0.125 e0.5 3=0.56
f (4)(3)= 0.28
f(x) ≈ f(x 0 ) + f ' (x 0 )(x − x 0 ) +
Dogrusal yaklasim
x
2
2.5
2.9
2.99
2.7183
3.4903
4.2631
4.45933
3
4.4817 4.4817
3.01
3.1
3.5
4
4.5042
4.7115
5.7546
7.3891
f(x) ≈ f(x 0 ) + f ' (x 0 )(x − x 0 )
=4.4817+2.2408 (x-3)= 2.2408x-2.2408
Ilk iki terimi alara yaklasim yaparsak. x=3 civarinda
e0.5X fonksiyonu 2.2408x-2.2408
fonksiyonuna yaklasik olarak esittir demis oluruz.
2.2408x-2.2408
x
e0.5X
2
2.5
2.9
2.99
2.7183
3.4903
4.2631
4.45933
2.2408
3.3613
4.2576
4.45936
3
4.4817 4.4817
3.01
3.1
3.5
4
4.5042
4.7115
5.7546
7.3891
4.5041
4.7058
5.6021
6.7225
x=3 noktasinda elde ettigimiz yaklasik deger
fonksiyonun gercek degerine tam olarak esittir. Bu
noktadan uzaklasildikca yaklasik fonksiyonun degeri
fonksiyonun gercek degerinden uzalasir.
Yaptigimiz islem x=x0 noktasinda fonksiyona bir teget
cizmektir. Yani egimi fonksiyonun x0 noktasindaki
x0 xb
=4.4817+2.2408 (x-3)+0.56 (x-3)2
= 0.56x2 - 1.12x + 2.8
e0.5X
0.56x2-1.12x+2.8
2.8011
3.5013
4.2632
4.4593
4.5042
4.7114
5.7422
7.2827
Kubik Yaklasim
f ' (3)
f ' ' (3)
f ' ' ' (3)
( x − 3) +
( x − 3) 2 +
( x − 3) 3
2!
3!
1!
1.12
2 0.56
f(x)=4.48+2.24(x-3)+
(x-3) +
(x-3)3+..
2
6
f(x) = f(3) +
Example CT13- Obtain a linear approximation for the
function f(x)=sin(x) around x0=0.8.
Solution
f(x)= sin(x) f (x0)= sin(0.8) =0.71735
f '(x)=cos(x)
f '(x0)= cos(0.8)=0.69670
f ''(x)=-sin(x) f ''(x0)=-sin(0.8)=-0.7173
f '''(x)=cos(x)
f '''(x0)=-cos(0.8)=-0.69670
(4)
f (x)=sin(x) f (4)(x0)=sin(0.8)=0.7173
f(x) = f(x 0 ) + f' (x 0 )(x − x 0 ) +
+
f' ' (x 0 )
(x − x 0 ) 2
2!
f' ' ' (x 0 )
(x − x 0 )3 +
3!
f(x)=0.717+0.696(x-0.8)+(-0.717/2) (x-0.8)2
+ (0.696/6)(x-0.8)3+(0.717/24)(x-0.8)4
Maclauren Serisi
x0=0 alinirsa Taylor serisi Maclauren serisi olarak
adlandirilir ve fonksiyonlarin hesabinda kullanilir.
f(x) = f(0) + f ' (0)(x) +
f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) 3 f (4) (0) 4
x +
x +
x + ...
2!
3!
4!
P321) f(x)= ex fonksiyonunu Maclauren serisine
acin.
Cozum
f(x)= ex, f '(x)=ex, f ''(x)= ex, f '''(x)= ex ..............
f (0) = e0=1
f '(0)= e0=1
f ''(0)= e0 =1
f '''(0)= 1
f (n)(x)= 1
f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) 3 f (4) (0) 4
x +
x +
x + ...
2!
3!
4!
x2 x3 x4 x5
f(x) = e x = 1 + x +
+
+
+
+ ......
2! 3! 4! 5!
f(x) = f(0) + f ' (0)(x) +
P321) f(x)=sin(x) fonksiyonunu Maclauren serisine
acin.
Cozum
f(x)=sin(x), f '(x)=cos(x), f ''(x)=-sin(x),
f '''(x)=-cos(x) ..............
f (0) = sin(0)=0
f '(0)= cos(0)=1
f ''(0)= -sin(0)=0
f '''(0)= -cos(0)=-1
....
x3
x5
x7
+0+
+0−
+ ......
3!
5!
7!
x 3 x 5 x 7 x 9 x11
f(x) = sin(x) = x − +
−
+
−
+ ......
3! 5! 7! 9! 11!
f(x) = sin(x) = 0 + x + 0 −
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
3
File Size
349 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content