VEKTÖRLER

5.
ÜNİTE
VEKTÖRLER
Bu ünitenin sonunda;
• Yönlü doğru parçasının ne olduğunu,
• Vektör kavramını,
• Vektörün bileşenlerinin neler olduğu,
• Konum (yer), birim, sıfır ve zıt vektörlerinin neler olduğunu,
• İki vektörün toplamını,
• Bir vektörün gerçek bir sayıyla çarpımının cebirsel ve geometrik olarak gösterimini
öğreneceksiniz.
213
5.1. VEKTÖR KAVRAMI VE VEKTÖRLERLE İLGİLİ İŞLEMLER
Vektör Kavramı
Bir hava yolu şirketine ait A ve B uçaklarının Konya ve İstanbul şehirleri
arasındaki karşılıklı uçuşları vardır.
TERİMLER
• vektör
• vektörün
doğrultusu
• konum vektörü
• vektörün
uzunluğu
• sıfır vektörü
• birim vektör
• vektörlerin
toplamı
1. Konya’dan kalkıp İstanbul’a giden A uçağının uçuştaki başlangıç ve bitiş noktaları nelerdir?
2. Benzer durumu İstanbul’dan kalkıp Konya’ya ulaşan B uçağının başlangıç ve bitiş noktalarını
belirleyerek iki uçuşu karşılaştırınız?
3. Uçakların hareketinde yönünün, başlangıç ve bitiş noktalarının niçin önemli olduğunu tartışınız.
ETKİNLİK
Yanda dart okları 6 farklı durumda
şematize edilmiştir.
1. Durum
3. Durum
5. Durum
2. Durum
4. Durum
6. Durum
❖ Her durumu kendi içinde kıyaslarken dart oklarının uzunlukları,
yönleri ve doğrultuları hakkında
neler söyleyebilirsiniz.
❖ Sizce dart oklarının uzunlukları,
yönleri ve doğrultuları benzerlik
ya da farklılık gösterir mi?
❖ Bu sorular ışığında aşağıdaki
tabloyu tamamlayınız.
Uzunluk
1. durum
Yön
Doğrultu
Aynı
2. durum
3. durum
4. durum
Aynı
5. durum
6. durum
Farklı
214
BİLGİ
Uzunluğu, doğrultusu ve yönü olan doğru parçasına, yönlü doğru parçası denir.
d
A: Başlangıç noktası,
taşıyıcı
doğru
B: Bitim noktası,
B(c, d) bitim noktası
d: taşıyıcı doğru (doğrultu) dur.
A(a, b) başlangıç noktası
Başlangıç noktası A ve bitim noktası B olan bir yönlü doğru parçası AB şeklinde gösterilir. AB
yönlü doğru parçasının üzerinde bulunduğu doğruya taşıyıcı doğru denir.
AB yönlü doğru parçasının A ve B noktaları arasındaki uzaklığa AB yönlü doğru parçasının
uzunluğu denir. | AB | veya AB şeklinde gösterilir.
Doğrultuları ve yönleri aynı, uzunlukları da eşit olan
D
yönlü doğru parçalarına, eş yönlü doğru parçaları denir.
Doğrultuları ve yönleri aynı, uzunlukları da eşit olan
B
AB ve CD yönlü doğru parçaları AB + CD biçiminde
C
A
gösterilir.
ÖRNEK
Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen A, B, C, D noktaları için AB , BC , CD , CA ve BD yönlü doğru
parçaları ile ilgili tabloda verilen bilgileri inceleyelim.
A
–8
–7
B
–6
–5
–4
C
–3
–2
–1
0
D
1
2
3
4
5
6
7
8
Gösterimi
Başlangıç Noktası
Bitim Noktası
Uzunluğu
AB
A
B
3 br
BC
B
C
4 br
CD
C
D
5 br
CA
C
A
7 br
BD
B
D
9 br
215
BİLGİ
Yönü, doğrultusu ve şiddeti olan çokluklara vektör denir. Vektörler doğrultuları, yönleri ve
uzunlukları olan doğru parçalarıyla gösterilir. Doğrultuları, yönleri ve uzunlukları eşit olan bütün
doğru parçaları aynı vektörü gösterir.
Vektörler a , b , u , v , w ... şeklinde gösterilir.
A
B
C
D
F
E
H
G
|AB| = |CD| = |EF| = |GH| olmak üzere;
A
v
B
C
v
D
E
v
F
G
v
H
AB , CD , EF ve GH yönlü doğru parçaları AB ile
temsil edilebilir. Bu yönlü doğru parçalarının kümesi v
ile gösterilebilir.
AB + CD + EF + GH
v
ETKİNLİK
❖ Kırmızı renkle gösterilen
yönlü doğru parçalarının
doğrultuları ve yönleri hakkında ne söylersiniz?
y
❖ OA yönlü doğru parçasının
bileşenlerini nasıl yazarsınız?
❖ EF , GH , TU ve RS yönlü
doğru parçalarını, başlangıç noktaları orijinde olacak şekilde taşıyınız.
❖ F, H, U ve S noktaları analitik düzlemde hangi nokta
ile çakışır?
❖ EF , GH , TU ve RS yönlü
doğru parçalarının bileşenlerini karşılaştırınız.
F
E
B
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3–2 –1O
–1
–2
U
–3
–4
–5
–6
–7
T
–8
–9
❖ Aynı işlemleri mavi ve mor
renkteki yönlü doğru parçaları için de yapınız.
216
H
G
A
1 2 3 4 5 6 7 8
D
S
R
x
UYARI
D
• Bir vektör yönü, doğrultusu, uzunluğu değişme-
F
a
B
a
C
mek şartı ile düzlemde yer değiştirebilir.
a
a
E
A
AB + CD + EF + ... a
• A(x1, y1) , B(x2, y2) olmak üzere, AB vektörünün, bileşenleri (x2 – x1 , y2 – y1) ikilisi ile ifade
edilir.
y
B(x2, y2)
• Başlangıç noktası koordinat sisteminin orijininde
olan bir vektöre konum (yer) vektörü denir.
A(x1, y1) , B(x2, y2) ve P(a, b) olmak üzere,
b
AB = OP = (x2 – x1, y2 – y1) = (a, b) olur. OP = (a, b)
şeklinde gösterilir.
A(x1, y1)
P(a, b)
O
x
a
y
ÖRNEK
D
Analitik düzlemde, C(4, 2) ve D(5, 6) noktaları verilsin. CD
vektörlerinin bileşenlerini bulalım.
C
ÇÖZÜM
C ( 4 , 2 ) ve D ( 5 , 6 ) dir.
. .
. .
x1 y1
x2 y2
O
CD = D – C= (x2 – x1, y2 – y1)
= (5 – 4, 6 – 2)
= (1, 4) olur.
ÖRNEK
A(–1, 2) ve B(2, 4) noktaları ile tanımlanan AB ve BA vektörlerinin bileşenlerini bulalım.
ÇÖZÜM
A(x1, y1) , B(x2, y2) olmak üzere AB = B – A = (x2 – x1, y2 – y1) olduğundan;
AB = (2 – (–1), 4 – 2) = (2 + 1, 2) = (3, 2)
BA = (–1 – 2, 2 – 4) = (–3, –2) olarak bulunur.
217
x
y
ÖRNEK
Analitik düzlemde A(4, 6), B(–2, 4), olmak üzere
6
BA vektörünün konum vektörünü çizelim.
B
A
BA
4
ÇÖZÜM
P
2
OP
A(4, 6) ve B(–2, 4) olmak üzere;
konum vektörü BA = OP = (x 2 – x 1, y 2 – y 1)
O
–2
4
6
x
= (6, 2) olur.
y
ÖRNEK
B
4
C
3
Yandaki analitik düzlemde verilen vektörlerin bileşenlerini bularak, konum vektörlerini gösterelim.
D
2
A
1
–5 –4 –3 –2 –1 O
–1
–2
1 2
F
3
4
5
x
–3
–4
E
y
ÇÖZÜM
B
AB vektörünün bileşenleri (–2, 3)
4
3
F
2
CD vektörünün bileşenleri (4, –1)
1
EF vektörünün bileşenleri (4, 2) dir.
AB , CD ve EF vektörlerinin konum vektörleri
şekildeki gibidir.
–5 –4 –3 –2 –1 O
–1
–2
–3
–4
218
1
2
3
4
D
5
x
BİLGİ
Uzunluğu 1 birim olan vektöre birim vektör denir.
Başlangıç ve bitim noktaları aynı olan vektörlere sıfır vektörü denir. O
AA
ya da AA, BB şeklinde gösterilir.
b
Düzlemde başlangıç noktaları aynı ve aralarındaki açı 90° olan vektörlere dik vektörler denir.
=b
a
Doğrultuları aynı, yönleri zıt olan vektörlere zıt (ters) vektörler denir.
AB ve BA vektörleri zıt vektörler olup AB = – BA yazılır.
A
B
A
B
T
ÖRNEK
L
C
Yandaki şekilde verilen vektörlerden birim, zıt, dik ve sıfır vektör olanlarını bulalım.
D
A
B
K
Z
V
P
E
N
X
F
M
G
R
S
ÇÖZÜM
Z
Y
BA ile FG birim, BA ile CD zıt, RP ile RS ve VT ile VZ vektörleri dik, EE sıfır vektördür.
BİLGİ
Bir yönlü doğru parçasının başlangıç ve bitim noktaları arasındaki uzaklığa vektörün uzunluğu denir. Bir P(a, b) noktasının konum vektörünün uzunluğu, O (0, 0) ve
P(a, b) noktaları arasındaki uzaklıktır. Bu uzaklık | OP | veya || OP ||
biçiminde gösterilir.
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarının belirttiği vektörün uzunluğunu yazalım.
AB = OP = (x2 – x1, y2 – y1) ve
AB = OP =
A(x1, y1)
b
O
(x 2 – x 1) 2 + (y 2 – y 1) 2 dir.
219
B(x2, y2)
y
P(a, b)
a
x
y
ÖRNEK
B(3, 4)
4
Analitik düzlemde A(0, 0) ve B(3, 4) noktaları verilsin. AB vektörünün uzunluğunu bulalım.
ÇÖZÜM
A(0, 0) ve B(3, 4) noktalarının belirttiği vektörün uzunluğu
AB =
(x 2 – x 1) 2 + (y 2 – y 1) 2 olduğundan;
AB =
(3 – 0) 2 + (4 – 0) 2 = 9 + 16 = 25 = 5 br dir.
x
3
A(0, 0)
ÖRNEK
A(2, 3), B(-3, 4), C(–12, 5) noktaları verilsin. OA , OB , AB , ve BC vektörlerinin uzunluklarını bulalım.
ÇÖZÜM
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarının belirttiği vektörün uzunluğu AB =
(x – x ) 2 + (y – y ) 2 ol2
1
2
1
duğundan;
OA =
2 2 + 3 2 = 13 br, OB =
BC =
(–12 + 3) 2 + (5 – 4) 2 =
(–3) 2 + 4 2 = 5 br, AB =
(–3 – 2) 2 + (4 – 3) 2 =
26 br
82 br bulunur.
İki Vektörün Toplamı
Ankara’dan kalkan bir uçağın Amerika
Birleşik Devletleri’ne gidebilmesi için Fransa
üzerinden aktarma yapması gerekmektedir.
Ankara’dan kalkan uçağın direk Amerika’ya
gidebileceğini düşündüğünüzde her iki durumdaki uçuşların başlangıç ve bitiş noktalarını karşılaştırınız.
ETKİNLİK
C
v
Şekildeki u ve v vektörleri gibi iki vektör çiziniz.
B
D
u
v vektörünün başlangıç noktasını u vektörünün bitim noktasına
gelecek şekilde taşıyınız.
A
Son durumda x vektörünün diğer iki vektörle nasıl bir ilişkisi vardır? Tartışınız.
D
v
CB
u
x
220
A
BİLGİ
• Doğrultuları ve yönleri aynı olan vektörler toplanırken vektörlerin uzunlukları toplanır. Toplam vektörünün doğrultusu ve yönü başlangıçtaki vektörlerin doğrultusu ve yönü ile aynıdır.
a
b
a
a +b
b
• Doğrultuları aynı, yönleri farklı olan iki vektör toplanırken vektörlerin uzunlukları çıkarılır. Toplam
vektörün doğrultusu değişmezken, yönü uzunluğu büyük olan vektörlerin yönü ile aynıdır.
a +b
b
a
a
b
ÖRNEK
Aşağıda, doğrultuları aynı olan vektörlerin toplamını bulalım.
a)
b
a
a
a+b
b
b)
a
b
a
a+b
b
c)
a
b
b
a
221
0
BİLGİ
Doğrultuları farklı olan iki vektör toplanırken paralelkenar, çokgen (uç uca ekleme) ve bileşenleri toplama yöntemi kullanılır.
Çokgen (uç uca ekleme) yöntemi
İki vektörün toplama işlemi çokgen yöntemi
ile yapılırken birinin bitim noktası ile diğerinin
başlangıç noktası sabit bir noktaya taşınır. İlk
vektörün başlangıç noktasına diğer vektörün bitim noktasını birleştiren vektör toplam vektördür.
b
a
b
a+b
a
a
b
Paralelkenara tamamlama yöntemi
İki vektörün toplama işlemi paralelkenar yöntemi ile yapılırken, her iki vektörlerin başlangıç noktaları sabit bir noktaya
taşınır. Başlangıç noktaları ortak olan her iki vektöre paralel
eş vektörler çizilir. Oluşan paralel kenarda, her iki vektörün
başlangıç noktasından çizilen köşegen sonucu oluşan yeni
vektör bu iki vektörün toplam vektörüdür.
a
b
a+b
b
Bileşenleri toplama yöntemi
b
a = (x1, y1) ve b = (x2, y2) vektörleri verilsin.
a
a + b = (x1 + x2, y1 + y2) dir.
ÖRNEK
Aşağıda, doğrultuları farklı olan vektörlerin toplamını bulalım.
a)
a
a
b
b
a+b
b)
b
a
a+b
b
a
c)
c
c
a+b+c
a
b
b
222
a
a
ÖRNEK
Yan tarafta verilen vektörlerin toplamlarını çokgen ve paralelkenar yöntemiyle bulalım.
ÇÖZÜM
a
b
Paralelkenar yöntemi
Çokgen yöntemi
a
b
b
a
a
a+b
a+b
b
ÖRNEK
a ve b vektörlerinin toplamını bileşenlerini toplama yöntemi ile bulalım.
y
ÇÖZÜM
3
a ve b vektörlerinin bileşenlerini yazalım.
2
1
–4 –3 –2 –1
a = ( 2 , 3 ) ve b = ( 3 , –2) ’dir.
. .
. .
x1 y1
x2 y2
O
–1
a + b = (x1 + x2 , y1 + y2)
= (2 + 3, 3 + (–2))
= (5, 1) elde edilir.
a
1
2
3
4
x
b
–2
–3
BİLGİ
İki vektörün farkı bulunurken u – v = u + (–v) eşitliğinden yararlanılır.
ÖRNEK
u = (5, 2) ve v = (2, 3) vektörleri verilsin. u – v = u + (–v) eşitliğini gösterelim.
İki vektörün toplamının ya da farkının yine bir vektöre eşit olacağını biliyoruz. Dolayısıyla u – v = t
vektörüne eşit olsun. Bu durumda u = v + t olacaktır. t = (x, y) diyelim.
(5, 2) = (2, 3) + (x, y) olur.
5 = 2 + x ise x = 5 – 2 = 3
123
(5, 2) = (2+ x, 3 + y) (vektörlerin eşitliği prensibinden)
2 = 3 + y ise y = 2 – 3 = –1
t (x, y) = t (3, –1) elde edilir.
u + (–v) = r vektörüne eşit olsun. u + (–v) = r = (5, 2) + (–2, –3) = (5+ (–2) , 2 + (–3)) = (3, –1) elde
edilmiş olur. Dolayısıyla;
t = r = (3, –1)
u – v = u + (–v) eşitliği gösterilmiş olur.
223
ÖRNEK
Vektörler için verilen aşağıdaki tabloyu uygun işlemler yaparak tamamlayınız.
a
b
a+ b
a –b
(1, 3)
(2, 2)
(1 + 2, 3 + 2) = (3 ,5)
(1 – 2, 3 – 2) = (–1, 1)
(2, –1)
(–4, 3)
(2 + (–4), (–1) + 3) = (–2, 2)
(2 – (–4), –1 – 3) = (6, –4)
(3, 5)
(–2, –6)
(........., .........) = (........., .........)
(........., .........) = (........., .........)
(–4, –1)
(5, 3)
(........., .........) = (........., .........)
(........., .........) = (........., .........)
(6, –3)
(–6, –2)
(........., .........) = (........., .........)
(........., .........) = (........., .........)
(–1, 0)
(–2, –4)
(........., .........) = (........., .........)
(........., .........) = (........., .........)
(–7, 3)
(0, 0)
(........., .........) = (........., .........)
(........., .........) = (........., .........)
ÖRNEK
Vektörler için verilen aşağıdaki tabloyu uygun işlemler yaparak tamamlayınız.
x
y
z
x+y+z
x+y–z
(2, 1)
(3, 4)
(4, 5)
(2 + 3 + 4, 1 + 4 + 5) = (9, 10)
(2 + 3 – 4, 1 + 4 – 5) = (1, 0)
(1, –5)
(2, –2)
(4, 7)
(........., .........) = (........., .........) (........, .......) = (........, ........)
(–3, –6)
(–2, 4)
(1, –3)
(........., .........) = (........., .........) (........, .......) = (........, ........)
(–1, 4)
(–3, –8) (–2, –1) (........., .........) = (........., .........) (........, .......) = (........, ........)
ÖRNEK
Aşağıdaki düzlemde verilen vektörlerle ilgili işlemleri yapalım.
a)
a–b
a
a–b
b
a
–b
a
b
a
b)
a
c
b
–c
a+b–c
224
a+b–c
–b
Vektörün Bir Gerçek Sayıyla Çarpımının Cebirsel ve Geometrik Olarak Gösterimi
Hareket
noktası
1.
durak
2.
durak
3.
durak
4.
durak
5.
durak
Son
durak
Her durak arasının eşit olduğu ve doğrusal bir güzergâhta hareket eden bir metro düşünelim.
Şekildeki gibi hareket noktasından yola çıkan metronun 1. durağa geldiğinde almış olduğu yol ile,
sırasıyla 2, 3, 4 ve 5. duraklara geldiğinde almış olduğu yolları karşılaştırınız.
Güzergahı boyunca metronun doğrultusu değişir mi, yönü değişir mi? Son durağa gelen metronun tekrar hareket noktasına geleceği düşünülürse metronun ilk duruma göre aldığı yolu, yönündeki
ve doğrultusundaki değişmeleri karşılaştırınız.
ETKİNLİK
u
❖ Düzlemde bir u vektörü alınız.
❖ Almış olduğunuz vektörü kendisi ile toplayınız.
❖ Toplam vektör ile ilk vektörün uzunluklarını, yönlerini ve
doğrultularını karşılaştırınız.
u
❖ 3 u ve – 3 u vektörlerini nasıl elde edersiniz?
u
u + u = 2u
❖ u vektörünü 0 vektörü ile çarptığınızda nasıl bir sonuç
elde edersiniz?
❖ Herhangi bir vektörü bir reel sayıyla çarptığınızda nasıl bir genelleme yapabilirsiniz. Tartışınız.
BİLGİ
u = (x1, y1) ve k ∈ R olmak üzere k . u = (kx1, ky1) biçimindedir.
ÖRNEK
u = (2,5) vektörü için aşağıda verilen tabloyu uygun işlemler yaparak tamamlayınız.
u + u = (2 , 5) + (2 , 5) = (4 , 10)
2. u = 2(2 , 5) = (2.2 , 2.5) = (4 , 10)
u + u + u = ........................................
3 . u = ................................................
u + u + u + u = .................................
4 . u = ................................................
u + u + u + u + u = .............................
5 . u = ................................................
..
.
u + ... + u = + ... + u =
1 44 2 44 3
k tan e
..
.
k . u = ..................................................
225
UYARI
Herhangi bir u, k ∈ R ile çarpıldığında elde edilen yeni vektör
için,
u
k.u
• k = 1 ise u vektöründe hiçbir değişim olmaz.
• 0 < k < 1 ise, u vektörünün yönü ve doğrultusu değişmez, uzunluğu azalır.
• k > 1 ise, u vektörünün yönü ve doğrultusu değişmez,
uzunluğu artar.
k.u
k.u
u
• k = 0 ise 0 vektörü elde edilir.
k.u
• k = –1 ise u vektörünün uzunluğu ve doğrultusu değişmez, yönü değişir.
0
k.u
• –1 < k < 0 ise, u vektörünün doğrultusu değişmez, yönü
değişir ve uzunluğu azalır.
• k < –1 ise u vektörünün doğrultusu değişmez, yönü değişir ve uzunluğu artar.
k.u
k.u
ÖRNEK
Birim karelerden oluşmuş bir zemin üzerinde bir u vektörü alalım. k ∈ R olmak üzere k . u nü çizelim.
• k = 1 için
• 0 < k < 1 ise
örneğin k = 1
2
için
u
1.u
• k = 0 için
• k > 1 ise
örneğin k = 2
için
2.u
0.u
0
• –1 < k < 0 ise
örneğin k = –1
2
için
• k = –1 için
–1 . u
• k < –1 ise
örneğin k = –2
için
1 .u
2
–1 . u
2
–2u
UYARI
Bir vektör, bir gerçek sayıyla çarpıldığında sadece vektörün yönü ya da uzunluğu değişebilir.
Doğrultusu ise değişmez.
226
ÖRNEK
Yan taraftaki şekilde u ve v vektörleri için 2 u + 2 v ve 2( u + v ) vek-
u
v
törlerini bularak eşit olup olmadıklarını inceleyelim.
ÇÖZÜM
2.v
2.u + 2.v
2.u
2.u
2.v
1. adım: Öncelikle 2 . u ve 2 . v vek-
2. adım: 2 . u ve 2 . v vektörlerini çok-
törlerini çizelim.
gen yöntemiyle toplayalım.
v
u+v
u
2.(u + v)
2.u + 2.v
2.(u + v)
u+v
4. adım: Her iki yoldan da elde ettiğimiz
3. adım: u + v vektörünü çokgen
yöntemiyle bulalım. Elde ettiğimiz vektör-
vektörleri çizelim.
den 2 . ( u + v ) vektörünü oluşturalım.
Sonuç olarak
2 . u + 2 . v = 2 . ( u + v ) olduğu görülür.
BİLGİ
• u , v ∈ V ve m ∈ R olmak üzere, m . ( u + v ) = m. u + m . v
• u ∈ V ve m, k ∈ R olmak üzere, m . (k . u ) = (m . k) . u
• m, k ∈ R ve a ∈ V olmak üzere, (m + k) . a = m . a + k . a şeklinde olur.
227
ÖRNEK
Düzlemde u ve v vektörleri verilmiştir. Buna göre;
1
v
2
vektörünü bulalım.
a) 2 . u +
1v
2
u
2u
v
b)
3
2
u+ v
2
3
vektörünü bulalım.
1v
2
2u
2u + 1 v
2
2v
3
v
u
3u
2
2v
3
3u
2
3u+ 2v
2
3
b) 3 u – 2v
u
vektörünü bulalım.
–2v
v
3u
–2v
3u – 2v
3u
ç) 2v – 3 u
vektörünü bulalım.
u
2v
2v
v
–3u
–3u
2v – 3u
d)
1
1
u– v
3
2
vektörünü bulalım.
1u 1v
–
3
2
v
1u 1v
–
3
2
1u– 1v
2
3
u
228
ALIŞTIRMALAR
1. Analitik düzlemde, A (–1, 2) ve B (5 , –4) noktaları veriliyor. AB vektörünün konum vektörünü bularak analitik düzlemde gösteriniz.
2. u = (–3, 5) ve v = (1, –4) olduğuna göre aşağıdaki işlemleri yapınız.
a) u + v b) u – v c) v – u ç) 2 u + v d) 3 v – 2 u
3. Başlangıç noktası A(2, 3) ve bitim noktası B(5, 7) olan vektörün uzunluğunu bulunuz.
4. Yandaki a , b , c vektörlerini kullanarak
c
b
• a + b • a + c
• b + c • a + b + c
a
vektörlerini oluşturunuz.
5. x = (–2, 3), y = (3, –1) ve z = (4, 0) vektörlerine göre aşağıdaki tabloyu doldurunuz.
2x
–3y
x + 2z
3y – 4 x
x + 2y – 3 z
–5z – x
6. Analitik düzlemde verilen A(2, –1), B(3, 2) ve C(1, –2) noktaları ile oluşturulan AB , AC ve BC
vektörlerini gösteriniz.
7. A(2, 0), B(–3, 4), C(a, –3) ve D(–2, b) noktalarına göre AC = BD ise a + b yi bulunuz?
8. A(2, 5), B(–1, 3) ve C(1, 0) olmak üzere 3AB – 2 BC ifadesinin eşitini bulunuz.
9. AB = (0, 2) ve B = (–3, 4) ise A noktasının koordinatlarını bulunuz.
10. 2A – B = (–2, 1) ve A + B = (5, 2) ise A vektörünü bulunuz.
11. A = (–3, 4), B = (5, –12) ise;
a) | A |
b) | B |
c) | AB | ç. | A + B | değerlerini bulunuz.
12.A(1, –2) ve B(3, 2) noktaları ve C = (–1, 4) vektörüne göre AB + C vektörünü bulunuz.
13. A = (–1, 2) ve B = (3, 9) ise
A B
–
vektörünü bulunuz.
2 2
229
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
1. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlarına “D”, yanlış olanlarınaysa “Y” yazınız.
(.....) Uzunlukları ve doğrultuları aynı, yönleri farklı olan doğru parçalarına eş yönlü doğru parçaları denir.
(.....) Tüm bileşenleri aynı olan eş yönlü doğru parçalarının kümesine vektör denir.
(.....) Uzunluğu 1 birim olan vektöre birim vektör denir.
(.....) Başlangıç noktaları düzlemde aynı noktaya taşındığında iki vektörün arasındaki açı 90° ise
bu vektörlere dik vektörler denir.
(.....) Doğrultuları farklı olan vektörlere ters vektörler denir.
(.....) Vektörlerin toplamında çokgen ve paralelkenar yöntemleri kullanılır.
(.....) Doğrultuları ve yönleri aynı iki vektörün toplamının boyu, verilen iki vektörün boylarının
toplamına eşittir.
(.....) İki vektörün toplamlarının boyu, her iki vektörün boylarının toplamından büyük olamaz.
(.....) Doğrultuları ve yönleri farklı iki vektörün toplamından elde edilen vektörün doğrultusu ve
yönü, her iki vektörün doğrultusu ve yönünden farklıdır.
(.....) Bir vektörü reel bir sayı ile çarptığımızda yönü ve doğrultusu değişir.
(.....) Analitik düzlemde A(x1,y1) ve B(x2,y2) olmak üzere AB yönlü doğru parçasının bileşenleri
(x1+y1, x2+y2) dir.
(.....) k > 0 ise k . a ile a vektörü zıt yönlüdür.
(.....) k < 0 ise k . a ile a vektörü zıt yönlüdür.
(.....) k = 0 ise k . a birim vektöre eşittir.
2. Aşağıda boş bırakılan yerleri uygun ifadelerle tamamlayınız.
• Başlangıç noktası orijinde olan vektöre ....................... denir.
konum vektörü
• Uzunluğu 1 birim olan vektöre ....................... denir.
sıfır vektörü
• Başlangıç ve bitim noktaları aynı olan vektöre ...............................
.................... denir
• ........................ aynı, ........................ farklı olan vektörlere ters
vektörler denir
• AB yönlü parçasının üzerinde bulunduğu doğruya, AB vektörünün …………. denir.
• C den D’ye doğru yönlendirilen doğru parçası………. ile gösterilir.
230
birim vektör
yön
uzunluk
doğrultu
CD
DC
taşıyıcı doğru
3.
A
B
C
D
Yukarıdaki şekilde noktalar arası uzaklıklar eşittir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) AB ile CD ’nin doğrultuları aynıdır.
B) BC ile DC ’nin uzunlukları aynıdır.
C) AB ile CD ’nin yönleri farklıdır.
D) AB ile BD ’nin uzunlukları farklıdır.
E) BC ile CD ’nin yönleri aynıdır.
4. Yandaki şekilde verilen yönlü doğru parçalarına göre aşağıdakilerden
hangileri eştir?
A) AB + PR B) CD + EF C) MN + EF N
M
B
C
A
D) AB + MN E) EF + AB
F P
E
5. AB vektörüne eş ve başlangıç noktası C olan yönlü doğru parçasının
B
A
bitiş noktası aşağıdakilerden hangisidir?
A) D
D) G
B) E
E
C) F
D
6. Yandaki vektörlerden hangisi birim vektör değildir?
C) c b
e
c
7. Yandaki birim karelere ayrılmış zeminde FX birim vektörü çizilmek
isteniyor.
Bu durumda X aşağıdakilerden hangisi olamaz?
B) B
D) D
E) E
d
E
D F
B) –1
D) 2
E) 4
C)
A
C B
C) C
K
8. Yandaki şekilde KL = k . u ise k kaçtır?
A) –2
H
a
D) d E) e
A) A
F
C
E) H
A) a B) b R
D
–1
2
D
v
u
C
231
L
9. Aşağıdaki vektörlerden hangi ikisi dik vektör değildir?
A) KL ile CD B) AB ile PR D) CD ile EF C
D
E
A
C) PR ile TS
F
B
E) MN ile EF
S
T
P
L
K N
M
R
10.A(2, 1) ve B(3, 5) noktaları veriliyor. Buna göre AB vektörü aşağıdakilerden hangisidir?
A) (3, 4)
B) (2, 4)
C) (1, 4)
D) (–1, 4)
E) (2, 3)
11.C(2, –2) ve D(x, y) noktaları veriliyor. CD = (–4, 1) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
12.A(2, a + 1) ve B(4, a – 1) noktalarından geçen AB vektörünün konum (yer) vektörü aşağıdakilerden hangisidir?
A) y
B)
C)
2
x
0
D)
y
2
2
0
y
0
y
2
1
x
–2
0
x
2
E)
0
x
–2
y
1
x
–2
13.M(–2, 3) ve N(3, –9) noktaları verilsin. MN vektörünün uzunluğu kaçtır?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
14.A(1, 2) ve AB = (–4, 2) olduğuna göre | OB | = ?
A) 2 2 B) 4
C) 2 3 D) 5
E)
26
15.P(2, 0), R(–1, 3) ve S(1, –2) olmak üzere PR + RS vektörü aşağıdakilerden hangisidir?
A) (3, 5)
B) (–1, 4)
C) (–2, 0)
D) (–1, –2)
E) (–2, –5)
16. u = (1, 3) ve v = (1, x) olmak üzere u + v = (2, 0) ise x kaçtır?
A) –3
B) 2
C) –1
D) 0
E) 1
17. A = (–2, 1) ve B = (1, 3) vektörleri verilsin. Buna göre 2A + 4 B vektörü aşağıdakilerden hangisidir?
A) (0, 14)
B) (4, –4)
C) (2, 1)
D) (–1, 14)
E) (6, 10)
18. A = (1, 2) ve B = (–1, 3) olmak üzere 2A –3 B aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–5, 5)
B) (–4, 5)
C) (5, –4)
D) (5, –5)
232
E) (4, –4)

Download Report