close

Вход

Log in using OpenID

(1) Vektörler

embedDownload
(1) Vektörler
Tanımlar
• Elektromanyetik teoride alanları ve dalgaları ifade etmek için genellikle
vektörlerden faydalanılır.
• Kuvvet ve hız gibi hem büyüklük hem de yöne sahip olan değerler vektör (vector)
ile gösterilir. Vektörler büyük ve kalın harfler ile gösterilir. Örnek: A
• Buna karşın skaler (scalar) tanımı yönü olmadan sadece büyüklüğe sahip değerler
için kullanılır. Buna örnek olarak ağrılık ve enerji verilebilir.
• Örnek: hız (speed) ve sürat (velocity) kavramları
V
v = |V|
Koordinat Sistemleri (1)
• Uzayda bir noktayı göstermek ve vektörleri görselleştirerek daha kolay
anlaşılmasını sağlamak için koordinat sisteminden faydalanılır. Verilen bir vektör
matematiksel olarak seçilen koordinat sistemi üzerinde bileşenlerine ayrılarak
ifade edilir.
• Uzayda çok sayıda dikgen (orthogonal) koordinat sistemi mevcuttur. Burada
dikgen terimi koordinat sistemi içinde her bir noktanın birbirlerine dik üç yüzeyin
kesişimi ile tanımlanabileceğini anlatmaktadır.
• Elektromanyetik teoride alanları ve dalgaları ifade etmek için Kartezyen
(Cartesian), silindirik (cylindrical) ve küresel (spherical) koordinat sistemlerinden
faydalanılır. Verilen bir vektör ifadesi için koordinat sistemleri arasında dönüşüm
yapmak mümkündür.
Koordinat Sistemleri (2)
Kartezyen
Silindirik
Küresel
Kartezyen koordinat sisteminde üç adet düzlem, silindirik koordinat sisteminde iki adet düzlem ve bir adet silindir, küresel koordinat sisteminde ise bir adet küre, bir adet düzlem ve bir adet koni bulunur. Kartezyen Koordinat Sisteminde Vektörlerin Gösterimi (1)
: A vektörünün x bileşeninin büyüklüğü
: x ekseninde birim vektör*
*Büyüklüğü
1 olan vektör «birim vektör» olarak isimlendirilir.
Kartezyen Koordinat Sisteminde Vektörlerin Gösterimi (2)
• Vektörün büyüklüğü:
• Vektörün yönü: x, y ve z eksenleri ile yaptığı açı ile belirlenir.
MATLAB Uygulaması
• Kartezyen koordinat sisteminde birim vektörlerin tanımlanması:
Vektörlerde Toplama ve Çıkarma (1)
Vektörlerde Toplama ve Çıkarma (2)
Vektörlerde Skaler Çarpım (1)
ise A ve B vektörleri birbirlerine diktir.
Vektörlerde Skaler Çarpım (2)
Vektörel Çarpım (1)
Vektörel Çarpım (2)
• Kartezyen koordinat sisteminde
Vektörel Çarpım (3)
• İki birim vektörün çarpımı (vektörel çarpım) yönü üçüncü birim vektör olan yüzeyi
tanımlar. Kartezyen koordinat sisteminde tüm birim vektörler birbirine dik ve
yönleri konumlarından bağımsızdır. Buna karşın silindirik ve küresel koordinat
sistemlerinde birim vektörlerin yönleri konumlarına bağlı olarak değişir. Örneğin
küresel koordinat sisteminde uρ birim vektörü θ=0 için +z yönünde, θ=π için ise ‐z
yönünde olacaktır.
MATLAB Uygulaması
MATLAB Uygulaması
>> a=[6 2.5 ‐0.8];
>> b=[‐3 2 6];
>> c=[1 ‐3 10];
>> d=cross(b,c);
>> e=dot(a,d)
ans =
312.4000
>> a=[6 2.5 ‐0.8];
>> b=[‐3 2 6];
>> c=[1 ‐3 10];
>> d=cross(c,a);
>> e=dot(b,d)
ans =
312.4000
Ödev
?
?
Diferansiyel Uzunluk, Diferansiyel Yüzey ve Diferansiyel Hacim
Kartezyen koordinat sistemi için 1 adet diferansiyel uzunluk, 6 adet diferansiyel alan ve 1 adet diferansiyel hacim ifadesi yazılabilir. Not (1)
= paralel kenarın alanı
Not (2)
• Hacim
• A = [3 0 0]; B = [0 2 0]; C = [0 2 4];
Hacim = 24
Silindirik Koordinat Sisteminde Vektörlerin Gösterimi
• Silindirik koordinat sisteminde bir nokta silindir ile iki düzlemin kesişimi ile
tanımlanır.
ρ : z eksenine olan uzaklık (pozitif)
Φ : (phi) x ekseni ile olan açı (0,2π) veya (‐π, +π) arasında
z : z ekseninde koordinat değeri
A vektörü
Kartezyen ve Silindirik Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşüm (1)
Verilen A vektörünün silindirik koordinat sisteminde karşılığını bulun?
Kartezyen ve Silindirik Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşüm (2)
• İki koordinat sistemi arasındaki dönüşüm silindirik koordinat sistemindeki birim
vektör ile Kartezyen koordinat sistemindeki vektörün skaler çarpımı alınarak
bulunur. Dikkat edilirse her iki koordinat sisteminde Az terimleri aynıdır.
Kartezyen ve Silindirik Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşüm (3)
• Benzer şekilde y ekseni için
Kartezyen ve Silindirik Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşüm (3)
• Genelleme yapılırsa Kartezyen koordinat sisteminden silindirik koordinat
sistemine dönüşüm yapıldığında aşağıdaki ifadeler kullanılır.
• Bunun tersine silindirik koordinat sisteminden Kartezyen koordinat sistemine
dönüşüm yapıldığında ise aşağıdaki ifadeler kullanılır.
Kartezyen ve Silindirik Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşüm (4)
Küresel Koordinat Sisteminde Vektörlerin Gösterimi
• Küresel koordinat sisteminde bir nokta silindir ile iki düzlemin kesişimi ile
tanımlanır.
r , Θ, Φ
Kartezyen ve Küresel Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşüm (1)
• Kartezyen koordinat sisteminden küresel koordinat sistemine dönüşüm yapmak
için aşağıdaki ifadeler kullanılır:
Kartezyen ve Küresel Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşüm (2)
Silindirik ve Küresel Koordinat Sistemleri Arasında Dönüşüm (1)
Örnek
• Merkezi orijin olan küre üzerinde bir P noktası çapı r=1 birim ve açısal pozisyonu
θ=45, φ=45 olarak tanımlanıyor. Bu noktanın Kartezyen ve silindirik
koordinatlarını bulun?
Diferansiyel Uzunluk
Diferansiyel Uzunluk
Diferansiyel Yüzey
• Yüzey, iki çizgi elemanı ile tanımlanır.
• Kartezyen koordinat sisteminde yüzey elemanları
• z sabit düzlem ise
• y sabit düzlem ise
• x sabit düzlem ise
Diferansiyel Yüzey
• Silindirik koordinat sisteminde yüzey elemanları
• ρ sabit yüzey ise
• φ sabit düzlem ise
• z sabit düzlem ise
Diferansiyel Yüzey
• Küresel koordinat sisteminde yüzey elemanları
• r sabit yüzey ise (küre)
• θ sabit yüzey ise (koni)
• φ sabit yüzey ise (yarı‐düzlem)
Diferansiyel Hacim
• Hacim, üç çizgi elemanı ile tanımlanır.
• Kartezyen koordinat sisteminde hacim elemanı
Diferansiyel Hacim
• Silindirik koordinat sisteminde hacim elemanı
Diferansiyel Hacim
• Küresel koordinat sisteminde hacim elemanı
Author
Документ
Category
Без категории
Views
2
File Size
2 163 Кб
Tags
1/--pages
Пожаловаться на содержимое документа