Kanıtlama Biçimleri İçin Doğruluk Tabloları Şimdi artık, tümdengelimli geçerlik için mantıksal operatörlerin semantiğine dayalı incelikli bir izah sunabilecek konumda bulunuyoruz. Bir kanıtlama biçimi eğer onun tüm özellemeleri geçerli ise geçerlidir. Bir kanıtlama biçiminin özellemesi, eğer öncülleri doğru iken sonucun yanlış olması imkansız oluyorsa, yani sonucun yanlış ve öncüllerin doğru olduğu hiçbir olası durum bulunmuyorsa geçerlidir. Şimdi, bir doğruluk tablosu aslında bütün olası durumların sergilendiği bir listedir. Demek ki eğer bir doğruluk tablosuna sırf bir ikb değil de bir kanıtlama biçiminin bütününü yerleştirirsek, bu tabloyu söz konusu biçimin geçerli olup olmadığını belirlemekte kullanabiliriz. Eğer söz konusu biçim geçerli ise, bu durumda onun herhangi bir özellemesi de aynı şekilde geçerli olacaktır. Demek ki doğruluk tablolarını sadece kanıtlama biçimlerinin değil, fakat belirli özel kanıtlamaların geçerliliğini tayin etmede de kullanabiliriz. Mesela seçenekli tasımı ele alalım: Ya prenses veya kraliçe törene katılacak. Prenses törene katılmayacak. Kraliçe törene katılacak. Biz bunu şu şekilde biçimselleştirebiliriz: P Q , P ˫ Q Daha sonra bu biçim için bir doğruluk tablosu oluşturabiliriz: P Q P V Q, P Ⱶ Q D D D D D Y D D Y D D Y Y Y Y D Y D D D D Y Y Y Y Y D Y Bu tablo, ikb örnekleri için olanla aynı yöntem kullanılarak oluşturulmuştur, fakat burada bir yerine üç tane ikb gösterilmektedir. Bu örnekte, iki değerli mantık gereği, toplam dört olası durum vardır: ya prenses ve kraliçe törene katılacaktır, ya prenses katılacak kraliçe katılmayacaktır, ya prenses katılmayacak kraliçe katılacaktır veya her ikisi de katılmayacaktır. Ve bu olası durumlar içinde sadece üçüncüsünde, öncüllerin her ikisi de doğru ve ayrıca sonuç da doğrudur. Görüldüğü gibi öncüllerin doğru sonucun yanlış olduğu hiçbir olası durum yoktur; o halde, bu tablo bu kanıtlamanın geçerli olduğunu gösteriyor. Aslında bu tablo bu biçime sahip tüm kanıtlamaların geçerli olduklarını gösteriyor. Zira bu biçime sahip her kanıtlama, doğru veya yanlış olabilen P ve Q cümlelerinden oluşmaktadır ve tablonun gösterdiği gibi, bu cümlelerin doğru veya yanlış hangi şekilde bir araya geldikleri önemli değildir, çünkü olası bir araya gelme şekillerinin hiçbirinde öncüller doğru sonuç yanlış olmayacaktır. Dolayısıyla bu biçimin hiçbir özellemesi geçersiz olmayacaktır. Demek ki bu biçimin kendisinin geçerli olduğu açık hale gelmektedir. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 3.17 Aşağıdaki biçim için bir doğruluk tablosu oluşturunuz ve bu tabloya dayanarak bu biçimin geçerli olduğunu gösteriniz: P Q , QR ˫ P R ÇÖZÜM P Q R P D D D D Y Y Y Y D D Y Y D D Y Y D Y D Y D Y D Y D D D D Y Y Y Y D D Y Y D D D D Q, Q D D Y Y D D Y Y D D Y Y D D Y Y D Y D D D Y D D R ˫ D Y D Y D Y D Y D D D D Y Y Y Y P D Y D Y D D D D R D Y D Y D Y D Y Öncüllerin birlikte doğru oldukları dört olası durum vardır (1, 5, 7 ve 8. satırlarda), bütün bu durumlarda sonuç da doğrudur, o halde biçim geçerlidir. Eğer bir biçim geçersiz ise, onun tablosunda öncüllerin doğru sonucun yanlış olduğu bir veya daha fazla satır vardır. Böyle satırlara karşıörnekler adı verilir. Tek bir karşıörneğin varlığı bile bir kanıtlamayı geçersiz olarak tayin etmeye yeterlidir. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 3.17 Aşağıdaki biçim için bir doğruluk tablosu oluşturunuz ve bu tabloya dayanarak bu biçimin geçersiz olduğunu gösteriniz: P Q , Q ˫ P ÇÖZÜM P Q P D D Y Y D Y D Y D D Y Y D Y D D Q, Q ˫P D Y D Y D Y D Y D D Y X Y Öncüllerin birlikte doğru oldukları iki olası durum vardır, 1 ve 3. satırlar. 1. satırda sonuç da doğrudur fakat 3. satırda sonuç yanlıştır. Demek ki 3. satır bir karşıörnektir, buna işaret etmek için bu satıra bir (x) koyarız. P’nin yanlış Q’nun doğru olduğu P ve Q cümlelerinden kurulu herhangi bir özelleme bu karşıörneğe denk gelecektir. Örneğin P, ‘balinalar balıktır’ cümlesini ve Q, ‘balinalar su dolu ortamlarda yaşar’ cümlesini gösterirse şunu elde ederiz: Eğer balinalar balıksa, su dolu ortamlarda yaşarlar. Balinalar su dolu ortamlarda yaşar. Balinalar balıktır. Bu kanıtlama, yukarıdaki biçimin, öncülleri doğru sonucu yanlış olan bir özellemesidir. Bir biçim tek bir özellemesi bile geçersiz ise geçersiz olacağı için bu biçim açıkça geçersizdir. Bu biçim, aslında daha önce ele aldığımız, artbileşenin onaylandığı koşullu tasımdır. Geçersiz kanıtlama biçimleri geçerli olan özellemelere de sahip olabileceği için, doğruluk tablosuyla yapılan denetleme belirli özel kanıtlamaların geçerliliğini tayin edemez. Eğer bir kanıtlama örneğini biçimselleştirir ve bu biçimin geçersiz olduğunu gösterirsek, kanıtlamanın kendisinin de geçersiz olduğu söyleyemeyiz. Ama bir doğruluk tablosu bir kanıtlama biçiminin geçersiz olduğunu gösteriyorsa, bu biçime dair hiçbir özellemenin sırf bu biçime sahip olduğu için geçerli olmadığını gösterir. Daha önce verdiğimiz şu kanıtlama örneğini ele alın: Eğer Nisan Mayıstan önceyse, Nisan Mayıstan öncedir ve Mayıs Nisandan sonradır. Nisan Mayıstan öncedir ve Mayıs Nisandan sonradır. Nisan Mayıstan öncedir. Mesela bu kanıtlama, geçersiz bir kanıtlama biçiminin (artbileşenin onaylandığı koşullu tasımın) bir özellemesi olduğu halde kendisi geçerlidir. Oysa bu kanıtlamanın doğruluk tablosuyla denetlemesini yaptığımızda geçersiz çıkar; çünkü biçimselleştirmeyi yaparken, burada sonucun doğrudan ikinci öncülden çıkarsanabildiği bilgisi kaybolur, biçimde gözükmez olur. Yine daha önce gördüğümüz gibi, bir belirli kanıtlama örneği aslında birden fazla biçimin bir özellemesi olabilir ki bu biçimlerden bazısı geçerli bazısı geçersiz olabilir. Ama eğer geçerli biçimin özellemesi ise o halde geçerlidir. Mesela şu örnek, Eğer o beni seviyorsa benden nefret etmiyor. Onun benden nefret etmediği doğru değildir. O beni sevmiyor. aşağıdaki şu biçimlerin her birinin bir özellemesi durumundadır ve bunlardan sadece ilki ikisi geçerlidir: SN, N ˫ S (S: “o beni seviyor”, N: “o benden nefret ediyor”) SM, M ˫ S (S: “o beni seviyor”, M: “o benden nefret etmiyor”) SM, D ˫ S (S: “o beni seviyor”, M: “o benden nefret etmiyor”, D: “onun benden nefret ettiği doğru değildir”) SM, D ˫ S1 (S: “o beni seviyor”, M: “o benden nefret etmiyor”, D: “onun benden nefret ettiği doğru değildir”, S1: “o beni sevmiyor”) S2 ,D ˫ S1 (S2: “eğer o beni seviyorsa benden nefret etmiyor”, D: “onun benden nefret ettiği doğru değildir”, S1: “o beni sevmiyor”) bu kanıtlama örneğine uygun düşen belki daha fazla biçim de bulmak mümkündür. Dolayısıyla, bir kanıtlama örneğini biçimselleştirirken bu kanıtlamanın mantıksal yapısını en fazla gösteren biçimi (yukarıdaki ilk biçim) tercih ederiz, çünkü eğer kanıtlama sahip olduğu biçimlerden birisi sayesinde geçerli ise, işte bu söz konusu biçim sayesinde doğru olduğunu söyleyeceğiz. Bununla birlikte, eğer daha az yapı içeren bir biçim geçerli ise (yukarıdaki ikinci biçim gibi) o zaman bu biçim de uygun bir tercih olabilir. Eşdeğerlikler 1. P D D Y Y Q D Y D Y (P D D Y Y D Y Y Y Q) D Y D Y (Q D Y D Y D Y Y Y P) D D Y Y Tabloya göre, (PQ) (QP) yani birlikte evetleme değişme özelliğine sahiptir. 2. P D D Y Y Q D Y D Y (P D D Y Y D D D Y Q) D Y D Y (Q D Y D Y D D D Y P) D D Y Y Tabloya göre, (P Q) (Q P) yani seçenekli evetleme değişme özelliğine sahiptir. 3. P D D Y Y Q D Y D Y (P D D Y Y D Y D D Q) D Y D Y (Q D Y D Y D D Y D P) D D Y Y Tabloya göre, (PQ) (QP) yani koşullu değişme özelliğine sahip değildir. 4. P D D Y Y Q D Y D Y (P D D Y Y D Y Y D Q) D Y D Y (Q D Y D Y D Y Y D P) D D Y Y Tabloya göre, (PQ) (QP) yani karşılıklı koşul değişme özelliğine sahiptir. 5. P D D Y Y Q D Y D Y Y D D D (P D D Y Y D Y Y Y Q) D Y D Y Tabloya göre, (PQ) (P Q). (P Y Y D D Y D D D Q) Y D Y D 6. P D D Y Y Q D Y D Y Y Y Y D (P D D Y Y D D D Y Q) D Y D Y (P Y Y D D Y Y Y D Q) Y D Y D D Y D D Q) D Y D Y (P D D Y Y Y D Y Y Q) Y D Y D D Y Y Y Q) D Y D Y D Y Y D Tabloya göre, (P Q) (P Q). 7. P D D Y Y Q D Y D Y (P D D Y Y D Y D D (P Y Y D D Q) D Y D Y Tabloya göre, (PQ) (P Q) dir. 8. P D D Y Y Q D Y D Y Y D Y Y (P D D Y Y D Y D D Q) D Y D Y Tabloya göre, (PQ) (P Q) dir. 9. P D D Y Y Q D Y D Y (P D D Y Y D Y Y D Q) D Y D Y (P D D Y Y Tabloya göre, (PQ) (P Q) (P Q) dir. (P Y Y D D Y Y Y D Q) Y D Y D 10. P D D Y Y Q D Y D Y Y D D Y (P D D Y Y D Y Y D Q) D Y D Y (P D D Y Y Y D Y Y Q) Y D Y D Y D D Y (P Y Y D D Y Y D Y Q) D Y D Y Tabloya göre, (PQ) (P Q) (P Q) dir. Birlikte Tutarlılık Bir ikb’nin doğruluk tablosunda eğer doğru ve yanlış değerleri bulunuyorsa bu biçime olumsal dendiğini söylemiştik. Olumsal bir biçimin aynı zamanda tutarlı olduğu da söylenebilir, çünkü tutarsız biçimler hiçbir durumda doğru değeri alamazken, olumsal bir biçim en az bir durumda doğru değerini almaktadır. Bununla benzer şekilde, eğer iki veya daha fazla ikb, doğruluk tablosunda aynı satırda doğru değeri alıyorsa bunların birlikte tutarlı oldukları söylenir. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 3.18 Aşağıdaki biçimlerin birlikte tutarlı olduklarını doğruluk tablosunda gösteriniz: (P Q) ,P Q), (P Q) ÇÖZÜM P D D Y Y Q D Y D Y (P D D Y Y Y D D Y Q) Y D Y D (P Y Y D D D D D Y Q) D Y D Y (P D D Y Y D D D Y Q) D Y D Y 2. ve 3. satırlarda bu üç biçim doğru değeri aldıkları için birlikte tutarlıdırlar. 3.19 Aşağıdaki biçimlerin birlikte tutarsız olduklarını doğruluk tablosunda gösteriniz: (P Q) ,P Q) ÇÖZÜM P D D Y Y Q D Y D Y (P D D Y Y D Y Y Y Q) D Y D Y (P Y Y D D Y Y Y D Q) Y D Y D Hiçbir satırda bu iki biçim aynı anda doğru değeri almadığı için birlikte tutarsızdırlar.
© Copyright 2024 Paperzz
