12/3/2014 IENG 202 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI PAU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 2014-2015 Güz Yarıyılı ULAŞTIRMA PROBLEMLERI Dr. Leyla DEMİR Bu sunum PAU Endüstri Mühendisliği Öğretim Üyesi Dr. Özcan Mutlu’nun Yöneylem Araştırması Ders Notlarından derlenerek hazırlanmıştır. 03.12.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 2 Doğrusal Model • Ulaştırma problemleri malların arz merkezlerinden talep merkezlerine en düşük maliyetle nasıl taşınacağını araştıran doğrusal programlama problemleridir. • Genel olarak bir ulaştırma probleminde m tane arz merkezi ve n tane talep merkezi bulunur. Belirli bir dönem için arz merkezlerinin kapasiteleri si(i=1,...,m), talep merkezlerinin talep miktarları dj(j=1,...,n) ve birim taşıma maliyetleri cij bilinmektedir. Problemde taşıma maliyetlerini minimize edecek şekilde arz merkezinden talep miktarına taşınacak miktarlar belirlenmek istemektedir. 03.12.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 3 03.12.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 4 1 12/3/2014 Örnek • EGS bilgisayar firması İstanbul, Ankara ve İzmir’deki satış merkezlerinden Eskişehir, Denizli, Antalya, Trabzon ve Van’daki beş farklı bölgedeki bayilerin talebini karşılamak istemektedir. Tabloda satış merkezlerinin kapasiteleri, bayilerin talep ettikleri bilgisayar adetleri ve satış merkezlerinden bayilere birim taşıma maliyetleri verilmektedir. Firmanın toplam taşıma maliyetini minimize edecek doğrusal programlama modelini oluşturunuz. 03.12.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir • Ulaştırma problemleri yöneylem araştırmasında şebeke problemleri arasında yer alır. • Arz merkezleri ve talep merkezleri birer düğüm olarak düşünüldüğünde ulaştırma problemi bir şebeke ile gösterilir. • Ulaştırma problemlerinde amaç arz düğümlerinden talep düğümlerine minimum maliyetli akışın belirlenmesidir. 03.12.2014 5 IENG 202-Dr. Leyla Demir 6 Dengeli ve Dengesiz Ulaştırma Modelleri Dengeli ve Dengesiz Ulaştırma Modelleri • Eğer toplam arz miktarı toplam talep miktarına eşitse bu probleme dengeli ulaştırma modeli denir. • Dengeli ulaştırma probleminde kapasitenin tamamı kullanıldığından ve talep merkezlerinin minimum gereksinimi karşılandığından modeldeki tüm kısıtlar eşitlik olarak sağlanır. • Uygulamada karşımıza çıkan problemlerde arz merkezlerinin toplam kapasitesi talep merkezlerinin toplam talebine eşit olmayabilir. • Eğer arz merkezlerinin toplam kapasitesi toplam talep miktarından büyük ise bazı arz merkezlerinin elinde mal kalacaktır. • Diğer durumda ise bazı talep merkezlerinin talebi karşılanmayacaktır. • Böyle durumlarda en iyi çözümü bulmak için ulaştırma probleminin dengeli hale getirilmesi gerekir. • Problemi dengeli hale getirmek için ise hayali talep merkezi veya hayali arz merkezleri oluşturularak, bu merkezlere fiili bir taşıma yapılmadığından birim taşıma maliyetleri 0 olarak atanır. 03.12.2014 03.12.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 7 IENG 202-Dr. Leyla Demir 8 2 12/3/2014 Ulaştırma Tablosu • • • • • • • • • Ulaştırma Tablosu Ulaştırma problemlerinin özel yapısından dolayı problem çözülürken simpleks algoritması daha basit bir şekilde kullanılır. Bu amaçla ulaştırma tablosu adı verilen bir tablo kullanılır. Bu tabloda satırlar arz merkezlerini, sütunlar ise talep merkezlerini temsil eder. Hücrelerin sağ üst köşesinde ise birim taşıma maliyetleri yer alır. Hücreler arz merkezinden talep merkezlerine yapılan taşımaları gösterir. Her hücre ulaştırma modelindeki bir karar değişkenine karşılık gelmektedir. Eğer bir hücreye atama yapılmış ise bu hücreye karşı gelen değişken aynı zamanda temel değişkendir. Atama yapılmayan hücrelere karşı gelen değişkenler ise temel dışı değişkenlerdir. Arz merkezlerinin kapasiteleri tablonun son sütununda, talep merkezlerinin talepleri ise tablonun en alt satırında yer alır. Ulaştırma modeli kullanılarak çözümün bulunabilmesi için problemin dengeli olması gerekir. Eğer dengeli değil ise hayali arz merkezi veya talep merkezi eklenerek problem dengeli hale getirilir. 03.12.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 9 03.12.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 10 Başlangıç Tablosunun Oluşturulması Ulaştırma tablosu kullanılarak optimum çözüm aranırken simpleks algoritmasındaki adımlar takip edilir: 1. Bir başlangıç çözümü oluştur. 2. Çözümün optimum olup olmadığını belirle. Eğer çözüm optimum ise dur, değilse 3. adıma git. 3. Yeni bir tablo oluşturup 2. adıma git. • Başlangıç tablosu oluşturulurken kapasiteleri aşmadan ve talep miktarlarını karşılayacak şekilde hücrelere atama yapılır. • Burada atama yapılacak hücre sayısı önemlidir. • Simpleks algoritmasında temel değişken sayısı toplam kısıt sayısına eşit olmalıdır. • Dengeli bir ulaştırma probleminde m adet kapasite kısıtı ve n adet talep kısıtı olmak üzere toplam m+n adet kısıt bulunmaktadır. • Bu denklem sisteminde m+n-1 tane birbirinden bağımsız kısıt olacağından başlangıç tablosunda m+n-1 adet hücreye atama yapılmalıdır. • Atama sayısının eksik olduğu durumlarda bazı boş hücrelere 0 ataması yapılarak bu şart sağlanır. 03.12.2014 03.12.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 11 IENG 202-Dr. Leyla Demir 12 3 12/3/2014 Başlangıç Tablosu Oluşturmada Kullanılan Yöntemler Kuzeybatı Köşesi Yöntemi Ulaştırma tablosunun sol üst köşesinden başlanarak boş hücrelere kapasite ve talepler dikkate alınarak atama yapılır: 1. Tablonun kuzeybatı köşesindeki hücreyi seç. 2. Bu hücreye kapasite ve talep miktarlarını dikkate alarak mümkün olan en büyük atamayı yap. 3. Atama sonucunda, eğer kapasitenin tamamı kullanılmış ise karşı gelen satırı, eğer talebin tamamı kullanılmış ise karşı gelen sütunu sil. Eğer hem kapasite hem de talep aynı anda sıfırlanmış ise sadece karşı gelen sütunu sil. 4. Atama yapılacak hücre kaldıysa 1. adıma git, kalmadıysa dur. • Kuzeybatı köşesi yöntemi • En düşük maliyet yöntemi • Vogel yöntemi 03.12.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 13 03.12.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 14 En Düşük Maliyet Yöntemi Vogel Yöntemi Bu yöntemde ulaştırma tablosundaki en düşük maliyetli hücreden başlanarak atama yapılır: 1. Ulaştırma tablosunda, en düşük taşıma maliyetine sahip olan hücreyi seç. Eğer birden fazla alternatif varsa rasgele seçim yap. Bu hücreye mümkün olan en büyük atamayı yap. 2. Bu atama sonucunda eğer arz merkezinin kapasitesinin tamamı kullanılmış ise karşı gelen satırı, talebin tamamı karşılanmış ise karşı gelen sütunu sil. Eğer hem kapasite hem de talep aynı anda sıfırlanmış ise karşı gelen sütunu sil. Eğer atama yapılacak hücre kaldıysa 1. adıma git, kalmadıysa dur. Vogel yönteminde başlangıç çözümü bulunurken bir sonraki atamada oluşacak ek maliyetler dikkate alınarak atama yapılır: 1. Satırların ve sütunların ceza maliyetlerini bul. 2. En büyük ceza maliyetine sahip satır veya sütunu seç. Eşitlik halinde rasgele seçim yap. Seçilen satır veya sütunda en düşük taşıma maliyetine sahip olan hücreye mümkün olan en büyük atamayı yap. 3. Bu atama sonucunda eğer arz merkezinin kapasitesinin tamamı kullanılmış ise karşı gelen satırı, talebin tamamı karşılanmış ise karşı gelen sütunu sil ve yeni ceza maliyetlerini hesapla. Eğer hem kapasite hem de talep aynı anda sıfırlanmış ise karşı gelen sütunu silerek yeni ceza maliyetlerini hesapla. 4. Atama yapılabilecek hücre kalmayana kadar 2. ve 3. adımları tekrar et. 03.12.2014 03.12.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 15 IENG 202-Dr. Leyla Demir 16 4 12/3/2014 En İyi Çözümün Bulunması Atlama Taşı Yöntemi • Ulaştırma problemlerinin çözümünde Atlama Taşı Yöntemi ve MODI Testi olarak isimlendirilen iki farklı yöntem kullanılmaktadır. • Her iki yöntemde de ulaştırma tablosunda atama yapılmayan hücrelere bir atama yapılması durumunda toplam taşıma maliyetinde bir azalma olup olmayacağına bakılmaktadır. • Eğer en az bir boş hücreye atama yapılması durumunda toplam maliyette bir azalma oluyor ise en iyi çözüme ulaşılmamıştır ve bu hücreye mümkün olan en büyük atama yapılmalıdır. Aksi takdirde mevcut çözüm en iyi çözümdür. • Atlama taşı yönteminde boş olan hücreye bir birim atama yapılması durumunda toplam maliyette meydana gelecek değişim miktarı belirlenir. • Eğer bu değişim miktarı negatif ise toplam maliyet azalır, pozitif ise toplam maliyet artar. • Bir (i,j) hücresine atama yapılması durumunda toplam maliyette meydan gelecek değişim dij ile gösterilirse, eğer tüm boş hücreler için dij>0 ise mevcut çözüm en iyi çözümdür. • Aksi takdirde mutlak değerce en büyük dij değerine sahip hücreye atama yapılmalıdır. 03.12.2014 03.12.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 17 IENG 202-Dr. Leyla Demir 18 Atlama Taşı Yöntemi 1. 2. 3. 4. 5. Boş olan bir hücre seç. Bu hücre için bir döngü oluştur (Döngü oluşturulurken bir boş hücreden başlayarak satırda veya sütunda sadece bir dolu hücreye gidilerek başlangıç hücresine gelinmesi gerekmektedir). Döngü üzerinde değeri artan hücreleri (+), diğer hücreleri (-) olarak işaretle. Bu hücreye atama yapılması durumunda meydana gelecek birim değişim miktarını (dij) hesapla. Bu miktarı hesaplarken döngü üzerindeki (+) işaretli hücrelerin birim taşıma maliyetleri toplamından (-) işaretli hücrelerin birim taşıma maliyetleri toplamını çıkar. 1. ve 2. adımları tüm boş hücreler için tekrarla. Eğer tüm boş hücreler için hesaplanan dij>=0 ise en iyi çözüm bulunmuştur. En az bir dij<0 ise bu durumda negatif değerler içerisinden mutlak değerce en büyük olan hücreyi atama yapılacak hücre olarak belirle. Bu hücreye yapılabilecek atamayı belirle. Bu değeri belirlerken (-) işaretli hücrelerin değeri azalacağından yapılan atama sonucunda herhangi bir hücrede negatif değer olmamasına dikkat edilmelidir. Bu nedenle (-) işaretli hücreler içinden en küçük atama değeri alınır. Yeni atama değerlerini hesapla ve 1. adıma git. 03.12.2014 IENG 202-Dr. Leyla Demir 19 5