binom açılımı

BİNOM AÇILIMI
Tanım
2.
x  y n açılımında her terimdeki x ve y çarpanlarının
üslerinin toplamı n sayısına eşittir.
n doğal sayı olmak üzere,
 n  n  n  n1
 n
.x   .x y  ...   .y n
0
1 
 n
x  y n  
Örnek:
x  2y 3  x 3  6x 2y  12.x y2  y 3 açılımında dikkat
 n  n  n  n1
 n
.x   .x y  ...   .y n
0
1 
 n
x  y n  
edilirse her terimdeki üsler toplamı 3 tür.
ifadelerine binom açılımı denir.
3.
n
 
0
Örnek:
,
1 yazılarak bulunur.
n
n
  ,…,   sayılarına binom katsayıları denir.
1 
n
n n
 .x
0
 n  n1
,  .x y , … ,
1 
x  y 2 açılımında x ile y yerine 1 yazılırsa katsayılar
n n
 .y
n
toplamı,
x  y 2  1  12  4 olur.
ifadelerin her birine terim denir.
 n  nr r
n
 .x y ifadesinde   katsayı,
r 
r 
x  y n ifadesinin katsayılarının toplamı x ile y yerine
x
nr
r
ile y terimin
4.
x  y n ifadesinde sabit terimi bulmak için x ile y
yerine 0 yazılır.
çarpanlarıdır.
Örnek:
Örnek:
x  34 ifadesinin açılımında katsayıların toplamı m, sabit
3 3 3 3
3
3
.x   .x 2y   .x 3 2y 2   .y 3
0
1 
2
3
x  2y 3  
 1.x
x
3
3
terim n olduğuna göre m + n toplamını bulalım.
Çözüm:
2
2
3
 3 x .2y  3.x.4 y  1.y
Açılımda katsayılar toplamını bulmak için x yerine 1 yazılırsa
katsayılar toplamı,
2
2
3
 6 x y  12.x y  y

m  1 3
Açılımda tanımsızlığa neden olmuyorsa değişkenlerin yerine
0 yazılarak sabit terim bulunur.
Binom Açılımının Özellikleri
1.
x  y n açılımında n + 1 tane terim vardır.
Buna göre x yerine 0 yazılırsa sabit terim,

n 03
Örnek:
x  2 y 
3
4  4 4  256 olur.
4  34  81 olur.
Buna göre
açılımında 3 + 1 = 4 tane terim vardır.
m + n = 337 bulunur.
1
5.
x  y n ifadesinin açılımı x’in azalan kuvvetlerine
Çözüm:
göre dizildiğinde baştan r + 1 inci terim nda n + 1 tane
x  2y 5
 n  nr r
terim  .x y olur.
r 
5 5 5 4
5
 x    x  2y     x 3  2y 2
0
1 
2


Örnek:
5 2
5
5
 x  2 y 3    x1 2 y 4    2 y 5
3
4
5


6
 y
 x   ifadesinin açılımında terimler x in azalan
 3
kuvvetlerine göre dizildiğinde baştan 2. terimi bulalım
5
4
3 2
2 3
4
5
 x  10.x .y  40.x y  80 x y  80 x y  32 y
Çözüm:
Örnek:
6
 y
 x   ifadesinin baştan r + 1 inci terimi,
 3
6
 y
 x   ifadesinin açılımında terimler x in azalan
 3
 6  6r  y r
 .x    olur.
 3
r 
kuvvetlerine göre dizildiğinde sondan 2. terimi bulalım.
Çözüm:
r yerine r +1= 2 ise r = 1 yazılırsa,
 6  61 y 1
y
 .x     6.x 5 .
3
 3
1 
6.
x  y 
2n
6
 y
 x   açılımında 6 + 1 = 7 terim vardır.
 3
5
 2 x y bulunur.
Sondan 2. terim baştan 6. terimdir. r + 1 = 6 ise r = 5 olup
bu terim;
 6  6 5  y 
 .x .  
 3
5
 2n  n n
açılımında ortanca terim  .x y dir.
n 
5
 6.x.
y
5
243

2
81
5
x y bulunur.
Örnek:
Örnek:
6
2x  y 8  ...  ax 3y 5  ... olduğuna göre a kaçtır?
 2 2 
 x   açılımında ortanca terim,

3

x 
 6   2 3  2 
 . x   
 3     x3 
3
Çözüm:
6 8
3
 20.x .
 160.x
tür.
9
x
2x  y 8 açılımında baştan r + 1 inci terim,
Örnek:
 8  8r
r
 .2 x   y  olup, bu terimin
r 
x  2y 5 ifadesinin açılımını yapalım.
– r = 3 olması gerekir. Buradan r = 5 bulunur. Bulunan bu r
değeri yazılırsa,
2
3 5
ax y olabilmesi için 8
 8  8 5
 .2 x   y 5
5
 56.8 x
3
 y 5  448 x 3 y 5 olup
olmalıdır. Buradan 12 – 5r = 2 olup r = 2 bulunur.
Buna göre,
a = – 448 olmalıdır.
6 2
.2
2
a

Örnek:
x  y 8 ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre sıralandığında
 15.4  60 olur.
Örnek:
ortanca terimi bulunuz.
9
 2 2
 x   ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
x

1.Çözüm:
 2n  n n
.x y idi. O halde
n 
Çözüm:
x  y 2n açılımında ortanca terim 
8 4 4
ortanca terim,  .x y
4
x yerine 0 yazıldığında ifade tanımsız olacağından bu
yöntem kullanılamaz.
4 4
 70.x y bulunur.
Baştan r + 1 inci terim sabit ise,
2.Çözüm:
 
9 2
 . x
r 
x  y 8 ifadesinde 8+1= 9 terim olup ortanca terim 5.
9r
 2
.  
 x
r
9
. 2 r .x18  3r olup bu terimin
r 


terimdir. r + 1=5 ise r = 4 olup baştan 5. terim,
sabit terim olması için x in kuvveti 0 olmalıdır.
 8  8 4 4
 .x y
4
Çünkü sabit terim değişken içermez.
4 4
 70.x y tür.
O halde 18 – 3r = 0 ise r = 6 bulunur.
Bu durumda sabit terim,
Örnek:
9
 . 2 r
r 
6
 2 2 
 x   açılımında bir terim

3

x 
2
ax dir. Buna göre a
9
. 2 6
6


 84.64  5376 olur.
kaçtır?
Örnek:
Çözüm:
 x 2  3y  ifadesinin açılımında


n
Baştan r + 1 inci terim,
 6r . x23 
6 2
 . x
r 
r
kaçtır?
dir. Bu terimin
2
ax olması için;
 
6 2
 . x
r 
6 r
 2 
.

 x3 
6 3
x y lü terimin katsayısı
Çözüm:
r
 6  12  2r 2

.
 r .x
3r
 
x
 6  r 12  5r

 r .2 .x
 
r
6 3
x y lü terim baştan r + 1 inci terim olsun.
Buna göre,
2
 ax
3
 nr .3y r   nr .3r.x2n  2r yr olup bu terim x6y 3
 n 2
 . x
r 
Çözüm:
 
Verilen açılım 1  10  ifadesinin açılımıdır.
n
lü terim olacaksa kuvvetler eşit olmalıdır.
O halde r = 3 tür. 2n – 2r = 6 ise 2n – 2.3 = 6 olup n = 6
bulunur.
O halde, 1  10   3
 n r
O halde katsayı,  .3
r 
1  10n   9n   32 
6 3

 3 .3
 
n
 20.27  540 olur.
18
olup, buradan;
9
 
 
9
9
 9   9 elde edilir.
 9n   99  n  9 dur.
Örnek:
5
 x 2  2x  1 

 açılımında bir terim
 x2 


Örnek:
ax
4
tür. Buna göre a



kaçtır?
x
10


x
2
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
Çözüm:
Çözüm:
 x 2  2x  1 


 x2 


5
 x  12 

 x2 





5
10
 x  1

 x 

 10 
 .
r 
 x
1

x
olup bu ifadede baştan r + 1 inci terim ax
r
Baştan r + 1 inci terim sabit ise,
10
 1 
 10  9r  1 
 .1 . 
x
r 
x yerine 0 yazıldığında ifade tanımsız olacağından bu
yöntem kullanılamaz.
 10   r
.x
r 


 ax
4
4
10r

. 



x
2
r
r r
 10 
r 5 
. 2  .x 2 2
r 


 10 
r
. 2  .x 5r
r 
ise,


olup buradan r = 4
olup sabit terim x’ten bağımsız olacağından x’in kuvveti 0
olmalıdır. Şu halde 5 – r = 0 ise r = 5 bulunur.
bulunur.
O halde sabit terim,
 10 
O halde a     210
4 
 10 
r
 . 2 
r 
 10 
. 2 5
5 


 8064 bulunur.
Örnek:
Örnek:
 n
n
n  n
.10   .10 2  ...   1 . .10n
1 
2
 n
1 

18
 3
x  2y  3z 9 açılımındaki terimlerin kat sayılarının
toplamı kaçtır?
olduğuna göre n kaçtır?
4
Çözüm:
Şu halde;
x  2y  3z 9 açılımındaki terimlerin kat sayılarının
8
7
. 3 3 . .2 7  4  56. 27 .35.8
3
4
1960m  

toplamı,
x  2y  3z 9  1  2.1  3.19  69 dur.
m


56.  27 .35.8
1960
bulunmuş olur.
Örnek:
x  38 .2x  y 7 ifadesinin açılımındaki bir terim
8 4
1960mx y ise m’yi bulalım.
Konu Bitmiştir…
Çözüm:
x  38 ifadesinin açılımında baştan r + 1 inci terim,
 8  8r
r
 .x . 3  dir.
r 
2x  y 7 ifadesinin açılımında baştan k + 1 inci terim,
 7  7k k
 .2 x  .y dır.
k 
x  38 .2x  y 7 ifadesinin açılımındaki bir terim
8 4
1960mx y ise,
 8  8r
r 7
 .x . 3  . .27k.x 7  k .y k
r 
k 
8 4
 1960mx y
8
r 7
 . 3  . .27  k.x 8r x 7k .y k
r 
k 
8 4
 1960mx y
8
r 7
 . 3  . .27  k.x15r k .y k
r 
k 
8 4
 1960mx y ise;
k = 4 ve 15–r–k= 8 ise 15–r–4= 8 olup r = 3 bulunur.
5
 216

Download Report