KARMAŞIK SAYILAR − 4 ( ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRME − KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ ) KARMAŞIK SAYININ ORJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ Örnek...3 : z = a + b i k a rm a ş ı k s a yı s ı n ı , u z u n l u ğ u n u d e ğ i ş t i r m e d e n o r i j i n e t r a f ı n d a p o zi t i f yö n d e β k a d a r d ö n d ü r ü lm e s i yl e e l d e e d i l e n ye n i k a rm a ş ı k s a yı w o l s u n . z = 2 . c i s 2 5 4 0 k ar m a ş ık s a yı s ın ın o r i j i n e t r a f ın d a , n e g a t if yö n d e 1 3 4 0 d ö n d ü r ü l m e s i yl e o l u ş a n s a yı yı s t a n d a r t b i ç i m d e ya z ın ı z. İm (z) w z β θ O Re (z) KARMAŞIK SAYILARIN N. KUVVETTEN KÖKLERİ w = I zI . [ c o s ( θ + β ) + i . s i n ( θ + β ) ] o l u r. z v e w k a rm a ş ık s a yı l a r ı i ç i n w n=z e ş i t l i ğ i n i s a ğ l a ya n w s a yı l a r ın a z s a yıs ın ın n . k uv v e t t e n k ök l e r i d e n i r v e bu kökler G e r e k l i d ü ze n l e m e l e r ya p ı l ı r s a , w = z. [ c o s β + i . s i n β ] n w i= √ z K ı s a c a e ğ e r z s a yı s ı p o zi t i f yö n d e β k ad a r d ö n d ü r ü l ü r s e o l u ş a c a k ye n i s a yı w = z . c i s ( β ) o l u r. B e n ze r b i ç im d e e ğ e r z s a yı s ı n e g a t i f yö n d e β k a d a r d ö n d ü r ü l ü r s e o l u ş a c ak ye n i s a yı s ı w = z. c i s ( − β ) o l u r. Örnek...1 : z= √ 3 +i s a yı s ı n ı n o r i j i n e t r a f ı n d a p o zi t i f yö n d e 6 0 o d ö n d ü r ü l m e s i yl e e l d e e d i l e n k a rm a ş ı k s a yı y ı b u l u n u z. www.matbaz.com o l d u ğ u k o l a yc a g ö r ü l ü r. { i= 0 , 1 , 2 , . . . , ( n − 1 ) } o l a r ak e l d e e d i l i r. B i r z k a rm a ş ık s a yıs ı n ı n n . k uv v e t t e n k ök l e r i b u lm a k i ç i n A) VERİLEN Z KARMAŞIK SAYISI KUTUPSAL BİÇİME ÇEVRİLEBİLİYORSA Adım 1 z= ∣z∣cisƟ v e r i l m i ş t i r. w= r c i s α k a b u l e d i l e r ek w n = r n c i s n α = z=∣z∣cisƟ ya z ıl ır. Adım 2 r n = ∣z∣ v e n α= Ɵ e ş i t l i k l e r i n d e n r v e α d e ğ e r l e r i b u l u n u r. Örnek...2 : z= −√ 3+i s a yı s ı n ı n o r i j i n e t r af ı n d a n e g a t i f yö n d e 1 2 0 o d ö n d ü r ü l m e s i yl e e l d e e d i l e n k a rm a ş ı k s a yı y ı b u l u n u z. 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 Adım 3 1 ( ) Ɵ k.360 + )) n n k = 0 , 1 , 2 . . . , ( n − 1 ) o l a r a k e l d e e d i l i r. ( M o d ü l d e ğ i ş m e zk e n i lk k ök a r g üm e n t i n i n 360 a r t t ır ı l d ı ğ ın a d ik k a t e d i n i z ) n A r a n a n k ök l e r w k = ∣z∣ n .cis (( 1/6 KARMAŞIK SAYILAR − 4 ( ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRME − KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ ) UYARI Örnek...4 : K ök l e r i n m od ü l l e r i e ş i t o l d u ğ u n d a n , k ök l e r k a r m a ş ık d ü zl em d e m e rk e zi 1 + i s a yı s ı n ı n k a r ek ök l e r i n i b u l a l ım . 1 n o r i j i n d e o l a n v e ∣z∣ ü ze r i n d e d i r. ya r ıç a p l ı ç e m b e r n= 2 i ç i n b u ç em b e r i n b i r ç a p ın ı n u ç n ok t a l a r ı d ı r. n> 2 i ç i n i s e d ü zg ü n n − g e n i n k öş e l e r i d i r. Örnek...6 : Örnek...5 : w 2 = 3 − 3 i e ş i t l i ğ i n i s a ğ l a ya n w s a yı l a r ı n ı bulalım. www.matbaz.com z= −√ 3+i s a yıs ın ın k ar e k ö k l e r i n i b u l u n u z. Örnek...7 : i s a yı s ı n ı n k ü pk ök l e r i n i b u l u n u z . Örnek...8 : 4 √−i 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 =? 2/6 KARMAŞIK SAYILAR − 4 ( ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRME − KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ ) Örnek...9 : Örnek...12 : z= −4 √ 3+i k ar m a ş ık s a yı s ı n ı n k a r ek ök l e r i w 0 , w 1 o l s u n . ∣w 0−w 1∣=? K o o r d i n a t d ü zl e m i n d e z4=i . √ 80 + 1 e ş i t l i ğ i n i s a ğ l a ya n z k a rm a ş ık s a yıl a r ı n a k ar ş ıl ık g e l e n noktaları köşe kabul eden çokgenin alanı k aç b r 2 d i r ? z= 5 − 6 i k ar m a ş ık s a yı s ı n ı n k a r ek ök l e r i w 0 , w 1 olsun. w0.w1+w0+w1 =? www.matbaz.com Örnek...10 : Örnek...13 : z= −5−i. √ 39 k ar m a ş ık s a yı s ın ın s a yıs ın ın 6 . k uv v e t t e n k ök l e r i n i n o l u ş t u r d u ğ u k a p a l ı bölgenin çevresi ne olur? Örnek...11 : z= −4i+ √ 11 k a rm a ş ı k s a yı s ı n ı n k üp k ök l e r i n i n h e r h a n g i ik i s i a r a s ı u za k l ı k k a ç b i r im d i r ? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 3/6 KARMAŞIK SAYILAR − 4 ( ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRME − KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ ) B) VERİLEN Z KARMAŞIK SAYISI KUTUPSAL BİÇİME ÇEVRİLEMİYORSA Örnek...16 : z 2 + ( 3 − i ) z+ 4 − 3 i= 0 d e nk l e m i n ç ö züm k üm e s i n i b u l u n u z. A r a n a n k ök l e r a+ i b o l s u n d e n i l i p i s t e n e n k uv v e t a l ı n ı r. A r d ı n d a n k ar m a ş ık s a yı l a r ı n e ş i t l i ğ i n i d e k u l l a n a r ak a v e b yi e l d e e d e r i z. Örnek...14 : UYARI z = a + bi karmaşık sayısı için kökler w0 ve w1 olsun. b > 0 için; b < 0 için; (√ W 0 ;1 =± (√ W 0 ;1 =± √ ) lzl+a lzl−a +i 2 2 www.matbaz.com z 2 = 3 + 4 i e ş i t l i ğ i n i s a ğ l a ya n z k a rm a ş ık s a yı l a r ı n ı b u l a l ım . √ ) lzl+a lzl−a −i 2 2 b a ğ ı n t ı l a r ı d a k ök b u l u n u rk e n k ul l a n ı l a − b i l i r. Örnek...15 : z = 1 + 2 i k ar m a ş ık s a yı s ı n ı n k a r e k ök l e r i n i bulunuz? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 4/6 KARMAŞIK SAYILAR − 4 ( ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRME − KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ ) 1) z= 3+ √−3 sayısının orijin etrafında pozitif yönde 120o döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayı nedir? 2) z karmaşık sayısının orijin etrafında, negatif yönde 1350 döndürülmesiyle oluşan sayı 4 +i √ 2 ise z sayısının reel kısmı nedir? 3) 2 −2 i sayısının karekökleri nelerdir? 4) z= 7 + i k a rm a ş ı k s a yı s ı n ı n k a r e k ö k l e r i a r a s ı n d a k i m e s af e k a ç b i r i m d i r ? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 www.matbaz.com DEĞERLENDİRME – 1 5) z= 64i k ar m a ş ık s a yı s ın ın 1 2 . k u v v e t t e n k ök l e r i n e k ar ş ıl ık g e l e n n ok t a l a r ı k ö ş e k a b u l e d e n ç o k g e n i n a l a n ı k aç b r 2 d i r ? 6) 1 2 i − 5 s a yıs ın ın k a r ek ö k l e r i n e l e r d i r ? 7) z 2 + ( 1 + 2 i ) z+ 3− i = 0 d e n k l em i n ç ö zü m k üm e s i n i b u l u n u z? 8) 3+ 5 i s a yıs ın ın k a r ek ö k l e r i n i b u l u n u z? 5/6 KARMAŞIK SAYILAR − 4 ( ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRME − KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ ) 5) DEĞERLENDİRME – 2 iθ olmak üzere, 1+i sayısını üstel formda gösteriniz? cis θ=cos θ+isinθ=e 1) Karesi −7+24i olan sayıları bulunuz? 6) cis θ=cos θ+isinθ=e iθ olmak üzere, ii =? 3) z6=125i köklerinin toplamını bulunuz? www.matbaz.com 2) Z3=1 denkleminin bir kökü w ( w ≠1 ) olsun. w2+w+1=? 7) Karmaşık sayılardan yararlanarak 1+cis720 +cis1440 +cis2160 +cis2880 =? 4) z1 , z2 , z3 karmaşık düzlemde bir eşkenar üçgenin köşe noktaları olsun. z21+z22 +z23=z1 .z2 +z2 .z 3+z3 . z1 olduğunu gösteriniz? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 6/6