Çalışma Soruları (Arasınav) MAT 118 Matematik-2

Çalışma Soruları (Arasınav) MAT 118 Matematik-2
S-1) Aşağıdaki genelleştirilmiş integralleri hesaplayınız?
∞ 𝑑𝑥
𝑥 2 +1
1 𝑑𝑥
a) ∫0
b) ∫0
4 𝑑𝑥
√4−𝑥
c) ∫0
√𝑥
∞ 2𝑑𝑡
𝑡 2 −1
d) ∫2
∞
2𝑥𝑑𝑥
e) ∫−∞ (𝑥 2 +1)2
S-2) Aşağıdaki serilerin yakınsaklık yarıçaplarını ve yakınsaklık aralığını bulunuz.
𝑛
𝑛
a) ∑∞
b) ∑∞
𝑛=0(−1) (4𝑥 + 1)
𝑛=0
(𝑥−2)𝑛
7𝑛
𝑛𝑥 𝑛
c) ∑∞
𝑛=0 𝑛+2
d) ∑∞
𝑛=0 𝑛
𝑥𝑛
√𝑛3𝑛
e) ∑∞
𝑛=0
3𝑛 𝑥 𝑛
𝑛!
S-3) Aşağıda verilen fonksiyonları karşılarında verilen nokta civarında Taylor serisine açınız.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥, 𝑎 = 1
b) 𝑓(𝑥) = 1/𝑥, 𝑎 = 2 c) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑎 =
𝜋
4
d) 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑎 = 4
e) 𝑓(𝑥) = ln(1 + 𝑥), 𝑎 = 0
S-4) Aşağıdaki serilerin yakınsaklık durumlarını araştırınız.
a) ∑∞
𝑛=0
(−1)𝑛+1 3
𝑛
cos(𝑛𝜋)
5𝑛
∞ 𝑙𝑛𝑛
∞ 2
∞
∑
∑
∑
c)
d)
𝑒)
𝑛=2
𝑛=0
𝑛=0
2𝑛
5𝑛
5𝑛
4 𝑛 +3
√𝑛
3
1+𝑐𝑜𝑠𝑛
1
3
∞
∞
∞
∞
g) ∑𝑛=0
ğ) ∑𝑛=0
h) ∑𝑛=3
ı) ∑𝑛=0 3
𝑛+√𝑛
𝑛+√𝑛
ln(𝑙𝑛𝑛)
√𝑛 +2
b) ∑∞
𝑛=0
f) ∑∞
𝑛=0
1
3
2√𝑛+ √𝑛
S-5) Aşağıdaki denklemleri verilen eğri ve doğrular arasında kalan bölgelerin Ox-ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan dönel cisimlerin hacimlerini bulunuz.
a) 𝑦 = 4𝑥,
b) 𝑦 = 𝑥 2 ,
𝑦 = √𝑥
𝑦 = 0, 𝑥 = 2
c) 𝑦 = √9 − 𝑥 2 , 𝑦 = 0
𝜋
d) 𝑦 = √𝑐𝑜𝑠𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
e)
f)
g)
h)
𝑦 = 𝑥 3 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 2
𝑦 = 𝑥 − 𝑥2, 𝑦 = 0
𝑦 = 4𝑥 − 𝑥 2 , 𝑦 = 2𝑥
𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 0
S-6) Aşağıdaki denklemleri verilen eğri ve doğrular arasında kalan bölgelerin Oy-ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan dönel cisimlerin hacimlerini bulunuz.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
𝑦𝑥 = 3, 𝑦 = −𝑥 + 4
𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 2
𝑦 = √𝑥 − 2, 𝑦 = 0, 𝑥 = 4
𝑦 = 𝑙𝑛𝑥, 𝑦 = 0, 𝑦 = 1, 𝑥 = 0
𝑦 = 𝑥 3 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 2
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥, 𝑦 = 0
𝑦 = 4𝑥 − 𝑥 2 , 𝑦 = 2𝑥
𝑦 = 𝑥 3 , 𝑦 = √𝑥
S-7) Aşağıdaki denklemleri ve uç noktalarının apsisleri verilen eğri parçalarının uzunluklarını bulunuz.
3
𝑥 2
a) 𝑦 = (2) , 𝑥 = 0,
b) 𝑦 =
𝑥3
12
𝑥=2
1
𝑥
+ , 𝑥 = 1, 𝑥 = 2
c) 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥, 𝑥 = √3 , 𝑥 = √8
d) 5𝑦 3 = 𝑥 2 , 𝑥 = 0,
𝑥 = √5
S-8) 𝑦 = 𝑥 2 𝑣𝑒 𝑥 = 𝑦 2 eğrileri tarafından sınırlanan bölgenin ox-ekseni etrafında döndürülmesiyle
oluşan cismin hacmini Pappus-Guldin Teoremi yardımıyla hesaplayınız.
𝑥2
𝑦2
S-9) 𝑎2 + 𝑏2 = 1 elipsi tarafından sınırlanan bölgenin elipsin esas eksenlere göre eylemsizlik
momentlerini bulunuz.
S-10) Aşağıda verilmiş parametrik eğrilerin uzunluklarını bulunuz.
a) 𝑥 = 2𝑡 3 , 𝑦 = 3𝑡 2 ;
b) 𝑥 = 𝑙𝑛𝑡, 𝑦 =
c) 𝑥 = 𝑒 𝑡 , 𝑦 = 𝑒
1
;
𝑡
2𝑡
−1 ≤ 𝑡 ≤ 1
1≤𝑡≤2
; −∞ < 𝑡 ≤ 0
S-11) Aşağıda denklemleri verilen eğriler, belirtilen eksenler etrafında döndürülüyorlar, dönel
yüzeylerin alanlarını bulunuz.
a) 𝑥 = 𝑡 3 , 𝑦 =
3𝑡 2
;
2
0 ≤ 𝑡 ≤ 1, 𝑥 − 𝑒𝑘𝑠𝑒𝑛𝑖
𝜋
2
b) 𝑥 = sin2 𝑡 , 𝑦 = cos 2 𝑡 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ , 𝑦 − 𝑒𝑘𝑠𝑒𝑛𝑖
𝜋
2
c) 𝑥 = 𝑒 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑦 = 𝑒 𝑡 cos(𝑡); 0 ≤ 𝑡 ≤ , 𝑥 𝑒𝑘𝑠𝑒𝑛𝑖
S-12) Aşağıda verilmiş sistemlerin kütlelerini ve ağırlık merkezlerini bulunuz.
a) 𝛿0 sabit yoğunluklu ve 𝑦 = 𝑥 2 ve 𝑦 = 4 ile sınırlanan bölgeye yerleştirilmiş levha,
b) 𝛿0 sabit yoğunluklu ve 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 2 ve 𝑦 = −𝑥 ile sınırlanan bölgeye yerleştirilmiş levha,
c) 𝛿0 sabit yoğunluklu ve 𝑦 = 2𝑥 2 − 4𝑥 ve 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 ile sınırlanan bölgeye yerleştirilmiş
levha,
S-13) Pappus-Guldin teoremini uygulayarak, 𝑦 = √𝑎2 − 𝑥 2 yarı çemberin kütle merkezini bulunuz.
S-14) −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎, 0 ≤ 𝑦 ≤ √𝑎2 − 𝑥 2 ile tanımlanan yarı-dairenin diskin ağırlık merkezini bulunuz.
S-15) 𝑦 = √𝑎2 − 𝑥 2 yarı-çemberin ağırlık merkezini bulunuz.
S-16) Aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız.

Download Report