06.05.2014 Ders 11: Bazı İki Kitleli Hipotez Testleri, Kikare Uyum ve Bağımsızlık Testleri 06.05.2014 İki kitlenin ortalamalarının farkı için hipotez testi Ki-kare uyum testi Ki-kare bağımsızlık testi 06.05.2014 Red Bölgesi 𝐻0 𝐻𝑎 𝜇1 = 𝜇2 𝜇1 ≠ 𝜇2 𝑍 > 𝑍1−𝛼 𝜇1 ≤ 𝜇2 𝜇1 > 𝜇2 𝑍 > 𝑍1−𝛼 2 𝜇1 ≥ 𝜇2 𝜇1 < 𝜇2 𝑍 < −𝑍1−𝛼 𝜇1 − 𝜇2 = 𝑑 𝜇1 − 𝜇2 = 𝑑 𝑍 > 𝑍1−𝛼 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 𝑑 𝜇1 − 𝜇2 > 𝑑 𝑍 > 𝑍1−𝛼 𝜇1 − 𝜇2 ≥ 𝑑 𝜇1 − 𝜇2 < 𝑑 𝑍 < −𝑍1−𝛼 Test istatistiği: 𝑋1 − 𝑋2 − 𝜇1 − 𝜇2 𝑍= 𝜎1 2 𝜎2 2 𝑛 + 𝑚 2 06.05.2014 1 06.05.2014 Red Bölgesi 𝐻0 𝐻𝑎 𝜇1 = 𝜇2 𝜇1 ≠ 𝜇2 𝑡 > 𝑡𝑛+𝑚−2;1−𝛼 𝜇1 ≤ 𝜇2 𝜇1 > 𝜇2 𝑡 > 𝑡𝑛+𝑚−2;1−𝛼 2 𝜇1 ≥ 𝜇2 𝜇1 < 𝜇2 𝑡 < −𝑡𝑛+𝑚−2;1−𝛼 𝜇1 − 𝜇2 = 𝑑 𝜇1 − 𝜇2 = 𝑑 𝑡 > 𝑡𝑛+𝑚−2;1−𝛼 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 𝑑 𝜇1 − 𝜇2 > 𝑑 𝑡 > 𝑡𝑛+𝑚−2;1−𝛼 𝜇1 − 𝜇2 ≥ 𝑑 𝜇1 − 𝜇2 < 𝑑 𝑡 < −𝑡𝑛+𝑚−2;1−𝛼 2 Test istatistiği: 𝑡= 𝑋1 − 𝑋2 − 𝜇1 − 𝜇2 𝑆𝑝 1 1 + 𝑛 𝑚 ; 𝑆𝑝 2 = 𝑛 − 1 𝑆1 2 + 𝑚 − 1 𝑆2 2 𝑛+𝑚−2 06.05.2014 Yeni geliştirilmiş bir kimyevi gübrenin buğday üretiminde kullanılması durumda dekar başına verimin en az 15kg artacağı söylenmektedir. Söz konusu gübre 70 dekarlık bir tarlada denenmiş, dekar başına verimin ortalamasının 440kg, standart sapmasının 5kg olduğu görülmüştür. 100 dönümlük benzer bir tarlada ise aynı yıl eski tip gübre kullanılmış, verimin ortalamasının 410kg, standart sapmasının 8kg olduğu görülmüştür. Buna göre %1 önem derecesi ile verimin en az 15kg artacağı iddiasını inceleyiniz. 06.05.2014 𝐻0 : 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 15 𝐻𝑎 : 𝜇1 − 𝜇2 > 15 Kritik değer: 𝑡70+100−2;0,99 = 2, 3487 70 − 1 52 + 100 − 1 82 𝑆𝑝 2 = ≅ 47,98 70 + 100 − 2 440−410− 15 𝑡= ≅ 13,89 ⇒ 𝐻0 reddedilir 1 1 47,98× 70+100 Yeni gübre verimi en az dekar başına 15kg arttırmaktadır. 06.05.2014 2 06.05.2014 Kategorik bir değişkenin gözlemlenme frekansları 𝑜1 , 𝑜2 , … 𝑜𝑘 ve bunlara karşılık gelen beklenen frekanslar 𝑒1 , 𝑒2 , … 𝑒𝑘 olsun, 𝜒 2 = 𝑜1 −𝑒1 2 𝑜 −𝑒 2 𝑜 −𝑒 2 + 2 2 + ⋯ + 𝑘 𝑘 test istatistiği 𝑒1 𝑒2 𝑒𝑘 gözlem sayısı yeterince büyükse (genelde 50 kabul edilir) 𝑘 − 1 serberstlik dereceli 𝜒 2 dağılımına yaklaşır. Gözlemler bağımsız olmalıdır Testin gücünün en yüksek olduğu durum: 𝑒𝑖 = 𝑒𝑗 ≈ 𝑛∀ 𝑖, 𝑗 06.05.2014 Beklenen ve gözlemlenen değerler arası fark hesaplanarak varsayımın doğruluğu test edilir. Eğer dağılımın parametresi biliniyorsa test istatistiği 𝑛 − 1 serbestlik dereceli 𝜒 2 dağılımı göstermelidir Dağılımın 𝑘 parametresi örneklemden tahmin ediliyorsa serbestlik derecesi 𝑛 − 𝑘 − 1 olacaktır. 𝑒𝑖 değerleri 5’ten az olmalalıdır, gerekirse gruplar birleştirilebilir. 06.05.2014 Bir ilçede son 50 gün içinde meydana gelen trafik kazası sayıları aşağıda verilmiştir. Buna göre, günlük kaza sayısının 𝜆 = 3 parametreli poisson dağılımından geldiği varsayımının yanlış olduğunu %5 önem derecesi ile söylemek için yeterli delil mevcut mudur? 5 1 1 2 4 1 4 5 4 3 4 3 2 1 1 2 2 1 3 1 8 8 7 8 6 5 3 0 3 5 0 2 0 4 2 3 0 2 5 5 3 1 1 1 3 4 6 4 2 2 06.05.2014 3 06.05.2014 𝐻0 : 𝑋’in dağılımı 𝜆 = 3 parametreli poisson 𝐻𝑎 : 𝑋’in dağılımı 𝜆 = 3 parametreli poisson değildir Kaza sayısı Beklenen 0 2,489 1 7,468 2 11,202 3 11,202 4 8,402 5 5,041 6 2,520 7 1,080 8+ 0,595 Gözlenen 4 10 9 8 7 6 2 1 4,196 3 9,957 11,202 11,202 8,402 5,041 14 9 8 7 6 6 Kritik değer:𝜒 25;0,95 = 11,07 Test istatistiği: 2 𝜒2 = 𝑟 𝑖=1 𝑂𝑖𝑗 −𝑒𝑖𝑗 𝑐 𝑗=1 𝑒𝑖𝑗 ≅ 4,18 ⇒ 𝐻0reddedilmez 06.05.2014 Kategorik değişkenlerin bağımsızlıklarını test etmek için 𝑟 satır ve 𝑐 sütundan oluşan sınıflandırma (contingency) tabloları oluşturulur. Serbestlik derecesi: 𝜈 = 𝑟 − 1 𝑐 − 1 Test istatistiği: 𝜒 2 = Satır B1 A1 O11 A2 O21 A3 O31 ... . ... . Ar Or1 Sütun toplamı n.1 B2 O12 O22 O32 . . Or2 n.2 𝑟 𝑖=1 𝑂𝑖𝑗 −𝑒𝑖𝑗 𝑐 𝑗=1 𝑒𝑖𝑗 Sütun ... ... . . . . . . . . . . ... ... ... ... Bc O1c O2c O3c . . Orc n.c 2 Satır toplamları n1. n2. n3. ... ... nr. n 06.05.2014 Sigara alışkanlığının hipertansiyona etkisi üzerine yapılan bir araştırmada 180 denekten aşağıdaki veriler toplanmıştır: Hipertansiyon Normal tansiyon Sigara içmeyenler 21 48 Orta yoğunlukta içenler 36 26 Çok içenler 30 19 Buna göre, %5 önem derecesi ile hipertansiyonun sigara alışkanlığından bağımsız olduğu hipotezini test ediniz. 06.05.2014 4 06.05.2014 Gözlemlenen değerler: içmeyen Hipertansiyon Normal tansiyon Sütun toplamı 21 Orta 36 Çok içenler 30 Satır toplamı 87 48 69 26 62 19 49 93 180 29,97 Çok içenler 23,68 Satır toplamı 87 32,03 62 25,32 49 93 180 Beklenen değerler: Hipertansiyon Normal tansiyon Sütun toplamı içmeyen Orta 33,35 35,65 69 06.05.2014 𝐻0 :Sigara içme ile hipertansiyon bağımsızdır 𝐻𝑎 :bağımsız değildirler Kritik değer:𝜒 2 2;0,95 = 5,991 Test istatistiği: 𝑟 𝑐 𝜒2 = 𝑖=1 𝑗=1 𝑂𝑖𝑗 − 𝑒𝑖𝑗 𝑒𝑖𝑗 2 ≅ 14,46 > 5,991 ⇒ 𝐻0 reddedilir. 06.05.2014 5
© Copyright 2024 Paperzz
