Arasınav çalışma soruları

SAYISAL ÇÖZÜMLEME DERSİ ÇALIŞMA SORULARI(Harita
Müh. Böl. Arasınav)
S-1) Aşağıdaki nonlinear denklemlerin sıfır yerini sabit nokta(basit ) iterasyonu kullanarak 𝜀 = 10−3
tolerans için bulunuz.
a)𝑥 = 𝑥 5 − 0.25
b) 𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥0 = 0 𝑏𝑎ş𝑙𝑎𝑛𝑔𝚤ç 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑠𝚤 𝑖𝑙𝑒
𝑥0 = 2 𝑏𝑎ş𝑙𝑎𝑛𝑔𝚤ç 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑠𝚤 𝑖𝑙𝑒
c) 𝑥 = √3𝑥 + 1
𝑥0 = 2 𝑏𝑎ş𝑙𝑎𝑛𝑔𝚤ç 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑠𝚤 𝑖𝑙𝑒
2−𝑒 −𝑥 +𝑥 2
3
𝑥0 = 1 𝑏𝑎ş𝑙𝑎𝑛𝑔𝚤ç 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑠𝚤 𝑖𝑙𝑒
d) 𝑥 =
S-2) Aşağıdaki nonlinear denklemlerin sıfır yerini ikiye bölme yöntemi yardımıyla 𝜀 = 10−3 tolerans
için bulunuz.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑥 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢𝑛𝑢 [0; 2] 𝑎𝑟𝑎𝑙𝚤ğ𝚤
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 − 1 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢𝑛𝑢 [−2; 3] 𝑎𝑟𝑎𝑙𝚤ğ𝚤
c) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 + 1) −
𝑥2
4
𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢𝑛𝑢 [1; 4] 𝑎𝑟𝑎𝑙𝚤ğ𝚤
d) 𝑓(𝑥) = 5𝑒 −𝑥 − cosh(𝑥) 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢𝑛𝑢 [0; 4] 𝑎𝑟𝑎𝑙𝚤ğ𝚤
Derste tanımlanan bisect.m programı ve MATLAB ait fzero programları yardımıyla Soru 2 de verilen
fonksiyonların sıfıryerlerini belirleyiniz.
fzero aşağıdaki örnekteki gibi sıfır yeri hesaplar;
>>f=inline(.log(x)-x+4.)
>> fsifir(f,4)
ans =0.3183
Başlangıç tahmin için x0 = a(keyfi değeri siz belirleyin) değerlerini alınız.
S-3) Üçüncü dereceden bir polinomun kökleri analitik olarak hesaplanabilir. Ömer Hayyam ve
Girolamo Cardano.nun önemli katkı sağladığı alanlar olarak bilinen bu tür polinomların
köklerini MATLAB ortamında hesaplayan program aşağıda verilmektedir. Polinomlar
P(x) = a(1)x3 + a(2)x2 + a(3)x + a(4)
olarak tanımlanmaktadır.
function X=kubik(a)
%x^3+px^2+qx+r polinomunun sıfıryeri
a=a/a(1);
p=a(2);q=a(3);r=a(4);
a=1/3*(3*q-p^2)
b=1/27*(2*p^3-9*p*q+27*r);
delta=b^2/4+a^3/27;
A=(-b/2+sqrt(delta))^(1/3);
B=(-b/2-sqrt(delta))^(1/3);
x1=A+B;
x2=-1/2*(A+B)+i* sqrt(3)/2*(A-B);
x3=-1/2*(A+B)-i*sqrt(3)/2*(A-B);
X=[x1 x2 x3]-p/3;
end
𝑥 3 − 0𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0 polinomun katsayıları girilerek program çalıştırılmış aşağıda sonuçlar
elde edilmiştir.
>> a=[1 0 -1 -1]
>> kubik(a)
ans =
1.3247 -0.6624 + 0.5623i -0.6624 - 0.5623i
Elde ettiğiniz sonuçlar yukarıdaki formül ile elde edilen sonuçlarla aynı olmalıdır:
>> roots(a)
ans =
1.3247
-0.6624 + 0.5623i
-0.6624 - 0.5623i
Aşağıda verilen polinomlar için yukarıda verilen programı çalıştırarak kökleri elde ediniz ve ayrıca
roots(a) komutu ile elde edilen sonuçları karşılaştırınız.
a)
b)
c)
d)
𝑥 3 − 0𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0
2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 6𝑥 + 1 = 0
3𝑥 3 − 5𝑥 2 + 9𝑥 − 7 = 0
−𝑥 3 − 6𝑥 2 + 8𝑥 − 1 = 0
S-4) MATLAB ortamnda Ax = b denklemsistemi ‘\’ operatörü yardımıyla x = A\b komutu ile
çözmektedir. Buna göre aşağıdaki denklem sistemlerini çözünüz:
𝑥 − 2𝑥 = 3
2
a) { 1
3𝑥1 − 𝑥2 = 5
𝑥 − 2𝑥 = −1
1
2
b) { 2𝑥
−
𝑥
1
2 =2
𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 = 1
−𝑥
c) { 1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 3
2𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 = 4
S-5) Aşağıda verilen iki tabanlı sayıların on tabanlı gösterimlerini belirleyiniz
a)
b)
c)
d)
e)
(110101)2
(10101011)2
(110101000)2
(10011001)2
(0.101101)2
S-6) Aşağıda, ondalık sistemde verilen sayıların ikili sistemdeki karşılıklarını bulunuz.
a) (23532100)𝑜𝑛
b) (30002)𝑜𝑛 c) (1663211)𝑜𝑛
ç) (8.88888)𝑜𝑛 d)
(0.256321)𝑜𝑛 e) (0.7777777)𝑜𝑛 f) (2.344431)𝑜𝑛
S-7) Aşağıda verilen fonksiyonların (1.0, 2.0, 4.0) noktasında değeri bulunduğunda yapılacak olan
mutlak ve bağıl hata büyüklüklerini bulunuz. Burada 𝑥, 𝑦 𝑣𝑒 𝑧 değişkenlerinde yapılan hata
büyüklüğünün 0.4𝑥10−3 olduğunu kabul ediniz.
𝑥
a) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧
b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 𝑧
c) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
S-8)
4 1 −1
𝐴=[ 1 3 1 ]
−1 1 2
S-9)
−3 1 0
𝐴 = [ 1 3 1]
0 1 3
𝑎
S-10) 𝐴 = [𝑑
0
𝑐
𝑎
𝑑
0
𝑐]
𝑎
S-11)
Aşağıda verilen denklem sistemlerini LU ayrışım yöntemiyle çözünüz.
4𝑥 − 2𝑥2 = −6
a) { 1
3𝑥1 − 𝑥2 = −2
𝑥2𝑧
√𝑦
b)
c)
2𝑥 − 9𝑥2 = 7
{ 1
7𝑥1 − 13𝑥2 = 6
15𝑥1 + 22𝑥2 = 37
{
37𝑥1 − 19𝑥2 = 16
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 14
ç) { 12𝑥1 + 13𝑥2 + 6𝑥3 = 40
−3𝑥1 + 8𝑥2 + 9𝑥3 = −28
3𝑥1 + 9𝑥2 + 5𝑥3 = 17
d) { 21𝑥1 − 13𝑥2 − 6𝑥3 = 2
−3𝑥1 + 18𝑥2 + 9𝑥3 = 24
−13𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 11
e) {12𝑥1 − 13𝑥2 + 6𝑥3 = −5
−3𝑥1 + 8𝑥2 − 9𝑥3 = 4
S-12)
Aşağıda verilen denklem sistemlerini Cholesky yöntemiyle çözünüz.
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 5
𝑎) {2𝑥1 + 13𝑥2 + 8𝑥3 = 15
𝑥1 + 8𝑥2 + 9𝑥3 = 9
5𝑥1 + 9𝑥2 + 7𝑥3 = 21
b) {9𝑥1 − 13𝑥2 − 6𝑥3 = −10
7𝑥1 − 6𝑥2 + 3𝑥3 = 4
15𝑥1 − 2𝑥2 − 3𝑥3 = 2
c) { 12𝑥1 − 7𝑥2 + 9𝑥3 = 25
−3𝑥1 + 9𝑥2 + 6𝑥3 = 33
S-13) Aşağıda verilen denklem sistemlerini
2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 1
𝑎) {2𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 = 5
𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 = 5
3𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 4
𝑏) {2𝑥1 + 5𝑥2 − 8𝑥3 = −1
𝑥1 − 6𝑥2 + 2𝑥3 = −3
S-14) Aşağıdaki denklemlerin sıfır yerini Newton-Raphson yöntemini kullanarak 𝜀 = 10−4 tolerans
için bulunuz.
a)𝑥 3 − 2𝑥 2 − 4 = 0
[1, 4]
b)𝑥 3 + 5𝑥 2 − 1 = 0
[−3, 0]
c) 𝑥 + sin(𝑥) − 1 = 0
d) 𝑥 3 − 𝑥 − 1 = 0
𝜋
2
[0, ]
[1,2]
Derste tanımlanan newton.m programı ve MATLAB ait fzero programları yardımıyla Soru 14 de
verilen fonksiyonların sıfıryerlerini belirleyiniz.
S-15) Aşağıdaki denklemlerin sıfır yerini sekant yöntemini kullanarak 𝜀 = 10−4 tolerans için bulunuz.
a)𝑥 =
2−𝑒 𝑥 +𝑥 2
3
b)3𝑥 3 − 𝑒 𝑥 = 0
[0, 2]
[0, 2]
c) 𝑒 𝑥 + 2cos(𝑥) − 5 = 0
d) 𝑥 2 + 5 sin(𝑥) − 1 = 0
[0,2]
[0,2]
Derste tanımlanan sekant.m programı ve MATLAB ait fzero programları yardımıyla Soru 15 de verilen
fonksiyonların sıfıryerlerini belirleyiniz.
S-16) Aşağıdaki denklemlerin sıfır yerini regula false yöntemini kullanarak 𝜀 = 10−3 tolerans için
bulunuz.
a)𝑥 =
2−𝑒 𝑥 +𝑥 2
3
b)3𝑥 3 − 𝑒 𝑥 = 0
[0, 2]
[0, 2]
c) 𝑒 𝑥 + 2cos(𝑥) − 5 = 0
d) 𝑥 2 + 5 sin(𝑥) − 1 = 0
[0,2]
[0,2]
Derste tanımlanan regulafalse.m programı ve MATLAB ait fzero programları yardımıyla Soru 16 da
verilen fonksiyonların sıfıryerlerini belirleyiniz.
Doç. Dr. Mehmet MERDAN
Matematik Mühendisliği Bölümü

Download Report