lagrange interpolasyon ve ardışık farklar

Ç.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:2009 Cilt:20-1
İNTERPOLASYON VE KALAN TEORİSİ *
Interpolation and Remainder Theory *
Figen GÜLTÜRK
Matematik Anabilim Dalı
Yusuf KARAKUŞ
Matematik Anabilim Dalı
ÖZET
Bu çalışmada İnterpolasyon tanımlanmış, Lagrange İnterpolasyon Formülü
ile Newton İnterpolasyon Formülü incelenmiş ve örnekler sunulmuştur.
Anahtar Kelimeler: Lagrange İnterpolasyon, Newton İnterpolasyon
ABSTRACT
In this study Interpolation, Lagrange Interpolation Formula and Newton
Interpolation Formula were investigated and examples were solved.
Key Words: Lagrange Interpolation, Newton İnterpolation
Giriş
I aralığında tanımlı ve sürekli bir f(x) fonksiyonu verilsin. I’ nın n+1 tane
farklı noktası x0 , x1 , x2 ,..., xn olsun.n , n-inci dereceden polinomlar kümesini
göstersin.
p( xi )  f ( xi ),
xi  I
i  0,1,..., n 1
p n polinomu bulma işlemine interpolasyon ve p( x)
polinomuna da xi noktalarında f ( x) için interpolasyon polinomu denir. xi ,
i  0,1,..., n noktalarına ise , interpolasyon düğümleri adı verilir.
olacak şekilde bir
İnterpolasyonun diğer gösterimleri olan Lagrange Formülü ve Newton
Formülü, Davis (Davis, 1975) ’te verilmiştir.
zo , z1, . . . , zn (gerçel veya kompleks) farklı noktaları
ve n + 1 tane w0 ,w1, . . . ,wn (gerçel veya kompleks) değerleri verilsin. n n-inci
Teorem 1: n + 1 tane
dereceden polinomlar kümesini göstersin.
pn ( zi )  wi
i  0,1, 2, ..., n
olacak şekilde bir tek pn ( z ) n polinomu vardır.
*Yüksek Lisans Tezi-MSc. Thesis
120
Ç.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:2009 Cilt:20-1
Lagrange İnterpolasyon Formülü
z0 , z1 , . . . , zn
farklı noktalar olsun ve n. dereceden
(z – z0 )(z – z1 ) . . . (z – zk –1 )(z – zk 1 ) . . . (z – zn )
k =0,1, . . . , n (1)
lk (z) 
(zk – z0 )(zk – z1 ) . . . (zk – zk 1 )(zk – zk 1 ) . . . (zk – zn )
polinomlarını göz önüne alalım ve burada
0 eğer k  j ise
lk ( z j )   kj  
1 eğer k  j ise
(2)
dir.
w0 ,w1, . . . ,wn değerleri için
n
pn ( z )   wk lk ( z )
(3)
k 0
polinomu n ’dedir. Bu formül Lagrange Interpolasyon Formülü olarak adlandırılır.
pn(z) ’nin açık şekli:
pn ( zk )  w0l0 ( zk )  w1l1 ( zk )  ...  wk lk ( zk )  ...  wnln ( zk )
olduğundan
pn ( zk )  wk
k = 0,1, . . . , n
(4)
dir. Bu interpolasyon problemi tek bir çözüme sahiptir.
Bir alterne form yararlı olacaktır.
w( z)  ( z – z0 )( z – z1 ) ... ( z – zk –1 )( z – zk )( z – zk 1) ... ( z  zn )
(5)
wı ( zk )  ( zk – z0 )( zk – z1 ) ... ( zk – zk –1 )( zk – zk 1 ) ... ( zk  zn )
(6)
O zaman
dır. Böylece (1) formülü :
lk ( z ) 
w( z )
( z – zk ) wı ( zk )
(7)
olur. (3) formülü :
n
pn ( z )   wk
k 0
w( z )
( z – zk ) wı ( zk )
(8)
olur.
lk (z) polinomları noktasal interpolasyon için temel polinom olarak
adlandırılır.
wi sayıları, zi noktalarında f(z) fonksiyonunun aldığı değerlerdir, yani
wi = f(zi.) ’dir. (8) ile verilen pn(z) polinomu z0 , z1, . . . , zn noktalarında f(z)
fonksiyonunun aldığı w değerlerinden oluşur.
Eğer ,
121
Ç.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:2009 Cilt:20-1
n
n
k 0
k 0
pn ( z )   f ( zk )lk ( z )  f ( zk )
w( z )
( z – zk )wı ( zk )
(9)
ise
k = 0, 1, . . . , n
(10)
pn (zk )  f (zk )
dir. Burada (9) interpolasyon probleminin aldığı yeni şekil ve (10) da onun
çözümüdür.
Temel polinomların önemi (2) özdeşliğinde yatar ve interpolasyon
probleminin (9) ’daki açık şekliye sonuçlanır.
L0 ( f )  f (z0 ) , L1 ( f )  f (z1 ) , . . . , Ln ( f )  f (zn )
Li (l j )   ij
olarak yazılabilir.
Bu durumda
(11)
li (z) polinomları ve Li fonksiyonellerine biortonormal denir.
Verilen lineer bağımsız fonksiyoneller kümesi için polinomların biortonormal
kümesini daima bulabiliriz. Gerçekten aşağıdaki teoremde Lagrange formülünün
genelleştirilmişine sahip oluruz.
Teorem 2: X, n boyutlu bir vektör uzayı olsun. L1, L2 , . . . , Ln X* ’da n
tane lineer bağımsız fonksiyonel olsun. O zaman X ’in n tane lineer bağımsız
x1* , x2* , . . . , xn* elemanları
Li (x*j )   ij
(12)
olacak şekilde tek olarak belirlenir.
Herhangi bir xX için,
n
x   Li ( x) xi*
(13)
i 1
dır.
w1,w2 , . . .,wn ’lerin her seçimi için,
n
x   wi xi*
(14)
Li (x)  wi i  1,2, . . . ,n
(15)
i 1
elemanı
interpolasyon probleminin tek çözümüdür.
Örnek 1 (Taylor İnterpolasyonu) : X
L0 ( f )  f (z0 ) ,
n
L1 ( f )  f ( z0 ) , . . . , Ln ( f )  f ( n ) ( z0 )
ı
z0 =0 alırsak,
122
Ç.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:2009 Cilt:20-1
X n L0 ( f )  f (0) ,
L1 ( f )  f ı (0) , . . . , Ln ( f )  f (n) (0)
olur.
zn
n = 0, 1, . . . olsun. O zaman
n!
z0
z2
z3
l0 (z) 
 1 , l1 (z)  z , l2 (z)  , l3 (z)  , . . . ,
0!
2!
3!
ln (z) 
dir.
(11) bağlantısına göre,
j ( j  1) . . .( j  (i  1))( z j i )(0) 0, i  j
 zj 
Li (l j )  l (0)    

  ij
j!
1, i  j
 j ! (0)
(i )
(i )
j
bulunur.
Newton Formülü
(3) ve (14) Lagrange İnterpolasyon formülleri bazı engeller
içermektedirler. Eğer n boyutlu uzaydan, bir boyut yüksek olan uzaya geçmek
istersek
*
elemanlarının
x1* , x2* , . . . , xn* eski kümesiyle ilgili olmayan y1* , y2* , . . . , yn1
tamamen yeni bir kümesini belirlemeliyiz. Newton gösterimiyle hem
x1 , x2 , ... baz
elemanlarının hem de
L1, L2 , . . . belirlenmiş fonksiyonellerinin lineer
kombinasyonunu alarak bu engeller ortadan kaldırılmaya çalışılır.
z0 , z1, . . ., zn n +1 farklı nokta olsun. n+1 tane bağımsız Newton polinomu
şeklindedir.
Verilen
w0 ,w1, . . .,wn değerleri için ,
i = 0,1, . . . , n
p(zi )  wi
olacak şekilde n ’de bir tek p polinomu vardır.
Eğer bu eleman
p(z)  a0  a1 (z  z0 )  a2 (z  z0 )(z – z1 )  . . .  an (z  z0 )(z – z1 ) . . . (z – zn1 ) (16)
formunda temsil edilebilirse söz konusu polinom görülmüş olur.
ai sabitlerini bulmak için ardışık olarak z  z0 , z  z1,
elde edilen lineer denklemler çözülür. Böylece
123
. . . koyulur ve elde
1
Ç.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:2009 Cilt:20-1
a0  w0
a1 
w1  w0
z1  z0
(17)
1  w2  w0 w1  w0 
a2 



z2  z1  z2  z0
z1  z0 
bulunur.
ai , wi ’lerin bir lineer
kombinasyonudur. Ve üstelik a0 yalnız w0 ’a bağlıdır. a1 w0 , w1 , z0 , z1 ’e bağlıdır
ve a2 ise w0 , w1, w2 , z0 , z1, z2 ’ ye bağlıdır.
z0 , . . . , zn
noktalarının belirli kümesi için her
Tanım 1 : (17) ile ifade edilen
a j sabitlerine z0 , z1 , ... , z j ’ye göre
w0 , w1, . . . ,w j değerlerinin j-inci kesirli farkı denir ve
a j   w0 , w1 , ... , w j 
(18)
şeklinde gösterilir.
(16) ’da
z n ’in katsayısı an , (8) ’de z n ’in katsayısı
n
wk
 w (z )
k 0
ı
’dır.
k
Bundan dolayı
n
an   w0 , w1 , . . . , wn   
k 0
wk
w ( zk )
ı
(19)
bulunur. Burada
w( z )  wn ( z )  ( z  z0 )( z  z1 )...( z  zn )
dir. (19) ’dan
a0  w0
w0
w1
a1 

z0  z1 z1  z0
a2 
dir.
Eğer
w0
w1
w2


(z0 – z1 )(z0 – z2 ) (z1 – z0 )(z1 – z2 ) (z2 – z0 )(z2 – z1 )
(20)
wi ’ler f fonksiyonunun zi ’deki f (zi )  wi değerleri olarak alınırsa,
124
Ç.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:2009 Cilt:20-1
(16) ve (18) ’i birleştirerek;
n
pn ( f ; z )    f ( z0 ), f ( z1 ), . . . , f ( zk )  ( z – z0 )( z – z1 ) . . . ( z – zk 1 )
(21)
k 0
w1 (z)  1
elde edilir.
Tanım 2 : İnterpolasyon polinomunun (21) formuna bir f(z) fonksiyonu için
Sonlu Newton Serisi denir.
z0 , z1, . . . , zn sabitleri için L0 , L1, . . . , Ln lineer fonksiyonellerini (20)
şemasına uygun olarak aşağıda olduğu gibi tanımlayalım.
L0 ( f )  f (z0 )
f ( z0 )
f ( z1 )
L1 ( f ) 

z0  z1 z1  z0
olur. Burada Lk ( f )  ak ,
Bu durumda (21) formülü:
f (zi )  wi
(22)
i =0,1,2, . . . ’dir.
n
pn ( f ; z )   Lk ( f ) wk 1 ( z )
(23)
k 0
şeklini alır.
Eğer
0  j  n  1 ise, w j (z) n olduğundan
w j ( z)  pn (w j ( z); z)  pn (w j ( z); z) – w j ( z)  0
(*)
olur ve böylece
n
w j ( z )   Lk ( w j ( z )) wk 1 ( z )
(24)
k 0
elde edilir.
(*) ’daki eşitlikler z  z0 , z1, . . . , zn değerleri için n +1 farklı noktada
sağlanır. Bu n. dereceden bir polinomun n+1 defa 0 olduğunu gösterir. O halde bu
polinom 0’a özdeştir. Bundan dolayı (*) ’ın 1. eşitliğini ve (23) ’ü kullanarak da (24)
’ü elde ederiz.
(24) ’te ardışık olarak j = 0,1,2, . . . alınırsa
Lk (w j 1 (z))   kj
(25)
olur.
Teorem 3 : X sonsuz boyutlu bir vektör uzay ve X ’in elemanlarının bir
dizisi
x1 , x2 , ... olsun. Her n için x1 ,..., xn ’ler lineer bağımsız ve X* ’daki lineer
125
Ç.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:2009 Cilt:20-1
L1 , L2 ,... olsun. Her n için nxn determinantı olan
fonksiyonellerin bir dizisi
Li ( x j )
kabul edelim.
O zaman
n
0
i , j 1
(26)
aii  0 olmak üzere aij ve bij sabitlerinin tek olarak belirlediği
L*1  a11 L1
x1*  x1
L*2  a21L1  a22 L2
x2*  b21x1  x2
L  a31L1  a32 L2  a33 L3
x  b31x1  b32 x2  x3
*
3
(27)
*
3
şeklinde iki üçgensel bölge varsa
L*i (x*j )   ij ,
i,j = 1,2, . . .
(28)
dir.
Sonuç 1 :
X n , a1 x1 
X n , x ’in x1 ,
, xn tarafından gerilmiş bir alt uzayı olsun (yani
 an xn lineer kombinasyonunun kümesi olsun). Eğer x Xn ise o
zaman
n
x   L*k (x)xk*
k 1
dır.
Bir
x X elamanı için

 L ( x) x
k 1

x
 L ( x) x
k 1
*
k
*
k
k


serisine biortogonal açılım denir.
(29)
k
yazılır.
Kaynaklar
DAVIS, P. J., 1975. Interpolation and Approximation . Dover Publication , Inc., New
York.
HAASER, N. B., SULLİVAN, J. A., 1971. Reel Analysis. Van Nostrand Reinhold
Company, New York.
126

Download Report