close

Enter

Log in using OpenID

Demo poglavlje - Pripreme za državnu maturu | Algebra

embedDownload
 Matematika
Osnovna razina
Marina Ninković, prof.
Vesna Ovčina, prof.
Zagreb, 2014.
Autor: Marina Ninković, prof.
Vesna Ovčina, prof.
Naslov: Matematika Osnovna razina
Izdanje: 2. izdanje
Urednik: Ivan Jurišić
Voditelj projekta: Domagoj Mak
Stručni recenzent:
doc. dr. sc. Petar Javor
Nakladnik:
Algebra d.o.o., 2014.
Za nakladnika:
mr.sc. Mislav Balković
Mjesto i godina izdanja:
Zagreb, 2014.
www.drzavnamatura.hr
[email protected]
U ovom izdanju korišteni su zadaci prošlih rokova državne mature,
Nacionalnog centra za vanjsko vrednovanje obrazovanja koji su javno
objavljeni i dostupni na www.ncvvo.hr, uz odobrenje NCVVO-a.
Sva prava pridržana. Niti jedan dio ove knjige ne smije se reproducirati ili
prenositi u bilo kojem obliku, niti na koji način. Zabranjeno je svako
kopiranje, citiranje te upotreba knjige u javnim i privatnim edukacijskim
organizacijama u svrhu organiziranih školovanja, a bez pisanog
odobrenja nositelja autorskih prava.
Copyright © Algebra d.o.o.
Pripreme za državnu maturu Matematika (B)
Str. 1
SADRŽAJ
1. POGLAVLJE:
BROJEVI I ALGEBRA ............................................................................................................................................................ 3
1.1
Skupovi brojeva N, Z, Q i R.................................................................................................................................................. 4
1.2
Elementarno računanje ..................................................................................................................................................... 20
1.3
Postotci i omjeri ................................................................................................................................................................... 41
1.4
Algebarski izrazi i algebarski razlomci ......................................................................................................................... 55
1.5
Mjerne jedinice ..................................................................................................................................................................... 69
2. POGLAVLJE:
2.1
FUNKCIJE ........................................................................................................................................................................ 83
Definicija funkcije ................................................................................................................................................................ 84
2.2
Linearna funkcija ................................................................................................................................................................. 90
2.3
Kvadratna funkcija .............................................................................................................................................................. 99
2.4
Eksponencijalna funkcija s bazom 10 ......................................................................................................................... 117
3. POGLAVLJE:
JEDNADŽBE I NEJEDNADŽBE......................................................................................................................................... 121
3.1
Linearne jednadžbe ........................................................................................................................................................... 122
3.2
Linearne nejednadžbe ...................................................................................................................................................... 128
3.3
Kvadratne jednadžbe........................................................................................................................................................ 134
3.4
Jednostavnije eksponencijalne jednadžbe ................................................................................................................. 142
3.5
Jednostavniji sustavi linearnih i/ili kvadratnih jednadžbi .................................................................................... 146
4. POGLAVLJE:
4.1
GEOMETRIJA ................................................................................................................................................................. 157
Elementarna geometrija likova u ravnini .................................................................................................................. 158
4.2
Prizma, piramida, valjak, stožac, kugla ...................................................................................................................... 183
4.3
Koordinatni sustav na pravcu i u ravnini................................................................................................................... 195
4.4
Jednadžba pravca .............................................................................................................................................................. 215
5. POGLAVLJE:
MODELIRANJE .............................................................................................................................................................. 231
1. poglavlje:
Brojevi i algebra
U ovom poglavlju naučit ćete:

o skupovima N, Z, Q, R

uspoređivanje brojeva

intervale

postotke i omjere

računati s algebarskim izrazima i razlomcima

pretvarati mjerne jedinice

računati te kako koristiti kalkulator
Str. 4
1. poglavlje: Brojevi i algebra
1.1
Skupovi brojeva N, Z, Q i R
1.1.1
Ponavljanje
1.1.1.1
Pojam skupa i osnovne skupovne operacije
Skup je osnovni matematički pojam koji se ne definira, ali je intuitivno jasan (objedinjuje objekte koji
imaju neka zajednička svojstva).
Primjer 1. Skup svih polaznika ovog tečaja.
Skup svih državljana Hrvatske.
Skup svih višekratnika broja 3.
Skupove označavamo velikim slovima abecede: , , , , . . .. te oznakom
. Unutar vitičastih zagrada
ispisujemo članove koji pripadaju skupu ili svojstvo koje zadovoljavaju članovi (elementi) skupa.
Činjenicu da broj 1 pripada skupu A zapisujemo 1 ∈
i čitamo: „1 je element skupa A“.
Činjenicu da broj 2 ne pripada skupu B zapisujemo 2 ∉
i čitamo: „2 nije element skupa B“.
Za dva skupa
ako je svaki element skupa
i
kažemo da su jednaka i pišemo
skupa , odnosno ako je svaki element skupa
ujedno i element
ujedno i element skupa , tj. ako ti skupovi sadrže sve
iste elemente.
Ako skupovi nisu jednaki, kažemo da su različiti i pišemo
Primjer 2.
1,3,5,7,9
∈ : :
4
3
U primjeru 2. skup
,
0
10
š
.
ž
4
3
10
0
zadan je ispisivanjem svih njegovih elemenata, dok su skupovi
i
zadani
navođenjem svojstava njihovih elemenata.
Lako možemo ispisati elemente zadanih skupova:
Primjer 3. Jesu li skupovi
i
1,3,5,7,9 ,
1,3 .
iz primjera 2 jednaki?
Odgovor: Jesu, jer sadrže iste elemente. Dakle
.
Prazan skup je skup koji ne sadržava niti jedan element. Označavamo ga simbolom ∅.
Primjer 4.
je skup svih ljudi koji su viši od 3 m.
Očito je
∅.
Ako je svaki element skupa
Ako je
⊆
i
pravi podskup od
ujedno i element skupa , kažemo da je
( tj. skup
i pišemo
podskup od
i pišemo
⊆ .
sadrži još barem jedan element koji ne pripada skupu ), kažemo da je
⊂ .
Pripreme za državnu maturu Matematika (B)
Str. 5
Primjer 5. Promotri skupove u primjeru 2.
Jesu li istinite tvrdnje: a)
b)
⊂
⊂ ,
?
Odgovor: tvrdnja pod a) je istinita; tvrdnja pod b) nije istinita.
Odnos skupova možemo prikazati Euler Vennovim dijagramom:
⊂
1.1.1.2
Skupovi brojeva
Skup prirodnih brojeva
Prethodnik broja
∈
1,2,3,4, …
je broj
1.
Svaki prirodni broj, osim broja 1, ima svog prethodnika.
Sljedbenik broja
∈
je broj
1.
Svaki prirodni broj ima svog sljedbenika.
Najmanji prirodni broj je 1, ne postoji najveći prirodni broj.
Prirodni broj
Tada je broj
djeljiv je prirodnim brojem
ako postoji prirodni broj
višekratnik broja , odnosno broj
takav da je
∙ .
je djelitelj (faktor) broja .
Najveći zajednički djelitelj ili najveća zajednička mjera brojeva , , ... je najveći prirodni broj koji
ima svojstvo da dijeli brojeve ...
Označavamo ga sa
, , , … ili
, , ,… .
Prirodni broj veći od 1 je prost ako je djeljiv samo sa jedan i sa samim sobom.
Prirodni broj veći od 1 je složen ako nije prost.
Broj 1 nije ni prost ni složen.
Prostih prirodnih brojeva ima beskonačno mnogo.
Str. 6
1. poglavlje: Brojevi i algebra
Svaki složeni prirodni broj možemo prikazati u obliku produkta prostih faktora. Kažemo da ga možemo
rastaviti na proste faktore.
Relativno prosti brojevi su oni brojevi čiji najveći zajednički djelitelj je broj 1.
Zbroj i umnožak prirodnih brojeva ponovno je prirodni broj, dok razlika i količnik prirodnih brojeva ne
moraju biti prirodni brojevi.
Zbroj (sumu) brojeva označavamo sa
Razliku (diferenciju) brojeva
. Zbroj je rezultat računske operacije zbrajanja.
označavamo sa
. Razlika je rezultat računske operacije
oduzimanja.
Umnožak (produkt) brojeva označavamo s
∙ ili
. Umnožak je rezultat računske operacije
ili
ili
množenja.
Količnik (kvocijent) brojeva označavamo s
∶
/
. Količnik je rezultat računske operacije
dijeljenja.
Skup cijelih brojeva
… , 3, 2, 1,0,1,2,3, …
Zbroj, razlika i umnožak cijelih brojeva ponovno je cijeli broj. Količnik cijelih brojeva ne mora biti cijeli
broj.
Svaki cijeli broj ima svog prethodnika i sljedbenika.
Ne postoji ni najmanji ni najveći cijeli broj.
Skup racionalnih brojeva
Broj oblika
:
naziva se razlomak.
∈ ,
∈ ,
je brojnik,
0
je nazivnik.
Nazivnik razlomka uvijek mora biti različit od nule, jer se nulom ne smije dijeliti.
Razlomačka crta ima ulogu dijeljenja,
: .
Svaki racionalni broj možemo prikazati i u decimalnom obliku tako da brojnik podijelimo nazivnikom,
: ,
∙
, ∈
,0
.
Decimalni zapis racionalnog broja može biti konačan (ima konačno mnogo decimala)
Npr.
0,2;
0,625;
0,37
ili beskonačan periodički decimalan broj (ima beskonačno mnogo decimala, koje se periodički ponavljaju
odmah iza decimalne točke ili se periodički ponavljaju nakon konačnog broja decimalnih mjesta).
Pripreme za državnu maturu Matematika (B)
Npr.
0, 3;
0,33333 …
Str. 7
0, 428571;
0,42857142857142 …
1,083
Skupina znamenaka koja se ponavlja naziva se period. U zapisu ga označavamo tako da iznad prve i
zadnje znamenke perioda napišemo točku.
Vrijedi i obratno, tj. svaki konačni decimalni broj i svaki beskonačni periodički decimalni broj možemo
napisati u obliku razlomka. Dakle to su racionalni brojevi.
Jednakost racionalnih brojeva
akoje ∙
Uspoređivanje racionalnih brojeva
∙
Skraćivanje razlomaka
∙
∙
Proširivanje razlomaka
∙
akoje ∙
,
0
,
0
∙
∙
Zbroj, razlika, umnožak i količnik racionalnih brojeva ponovno je racionalan broj.
Računanje s razlomcima
Razlomak koji je rezultat provedenih računskih operacija, obavezno treba do kraja skratiti (ako je
moguće).
Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s jednakim nazivnikom
Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima
Neka su ,
∈
∖ 0 , tada vrijedi:
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
Napomena:
Ukoliko nazivnici razlomaka koje zbrajamo (odnosno oduzimamo) nisu relativno prosti brojevi svodimo
ih na najmanji zajednički nazivnik. Najmanji zajednički nazivnik je najmanji zajednički višekratnik svih
Str. 8
1. poglavlje: Brojevi i algebra
nazivnika, tj. najmanji broj koji ima svojstvo da je djeljiv sa svakim od nazivnika. Nakon toga razlomke
zbrojimo (odnosno oduzmemo).
Množenje razlomaka
∙
∙
∙
; ⋅
0
Dijeljenje razlomaka
:
∙
∙
∙
; ⋅ ⋅
0
Dvojni razlomak
∙
∙
; ⋅ ⋅
Kažemo da skup
0
ima svojstvo gustoće: između svaka dva racionalna broja postoji beskonačno mnogo
racionalnih brojeva.
Skup iracionalnih brojeva Iracionalni brojevi su svi decimalni beskonačni neperiodički brojevi.
Npr. √2,
√7, √5, ….
Kažemo da su kupovi
i su disjunktni, tj.
∩
∅.
Iracionalne brojeve možemo aproksimirati (zaokružiti na određen broj decimala) pomoću racionalnih
brojeva.
Kažemo da skup ima svojstvo gustoće: između svaka dva iracionalna broja postoji beskonačno mnogo
iracionalnih brojeva.
Skup realnih brojeva
∪
- algebarski pristup - realni brojevi su svi decimalni brojevi (konačni, beskonačni, periodički,
neperiodički).
(Pri tome, prirodne, odnosno cijele brojeve možemo tumačiti kao decimalne sa svim decimalama
jednakim nula koje se ne pišu.)
- geometrijski pristup - skup realnih brojeva identificiramo s brojevnim pravcem.
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
3
File Size
1 087 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content