1.
1.1.
Polje realnih brojeva
Aksiomatika skupa realnih brojeva
Realni brojevi
Definicija 1..1. Skup realnih brojeva, u oznaci R, je skup u kome važe slijede´ci aksiomi:
(SO) U skupu R definisana je i zatvorena operacija sabiranja, tj. bilo kom paru elemenata (x, y) ∈ R odgovara jedinstven element x + y ∈ R
(S1) (∀x, y ∈ R) :
x+y =y+x
(S2) (∀x, y, z ∈ R) :
(x + y) + z = x + (y + z)
(S3) (∃0 ∈ R) (∀x ∈ R) :
(S4) (∀x ∈ R) (∃x∗ ∈ R) :
x+0=x
x + x∗ = 0
(x∗ = −x)
(MO) U skupu R definisana je i zatvorena operacija množenja, tj. bilo kom paru elemenata (x, y) ∈ R odgovara jedinstven element x · y ∈ R
(M1) (∀x, y ∈ R) :
x·y =y·x
(M2) (∀x, y, z ∈ R) :
(x · y) · z = x · (y · z)
(M3) (∃1 ∈ R \ {0}) (∀x ∈ R) :
x·1=x
(M4) (∀x ∈ R \ {0}) (∃x−1 ∈ R) :
x · x−1 = 1
(x∗ = −x)
(MS) Množenje je distributivno prema sabiranju
(∀x, y, z ∈ R) :
x · (y + z) = x · y + x · z.
Iz definicije 1..1 zakljuˇcujemo, da R ima strukturu polja. Medutim,
skup R jos nije
¯
definisan u potpunosti.
Skup R je ureden,
¯ tj. u R je definisana relacija ≤, tako da za proizvoljne x, y ∈ R
važi
x ≤ y ili y ≤ x.
Relacija ≤ ima slijede´ca svojstva:
(P1) (∀x ∈ X) :
x≤x
(P2) (∀x, y ∈ X) :
(P3) (∀x, y, z ∈ X) :
(x ≤ y ∧ y ≤ x) ⇒ x = y
(x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z
(P4) (∀a ∈ R) :
x≤y ⇒x+a≤y+a
(P5) (∀x, y ∈ R) :
(0 ≤ x ∧ 0 ≤ y) ⇒ 0 ≤ x · y
Iz svojstava relacije poretka u skupu R, primje´cujemo da je sabiranje kompatibilno
sa reiacijom ≤ ((P4)).
Isto tako je množenje kompatibilno sa reiacijom ≤ ((P5)).
Iz dosadašnjeg spiska aksioma u skupu R, zakljuˇcujemo aa je (R, +, ·, ≤) uredeno
¯
polje.
Za neprazni podskup A skupa R, re´ci cemo da je ograniˇcen sa gornje (donje) strane,
ako postoji b ∈ R (majoranta) skupa A ⊂ R (odnosno minoranta a ∈ R) tako da za
svako x ∈ A važi x ≤ b
(a ≤ x).
Definicija 1..2. Tacka M ∈ R naziva se supremum skupa A ⊂ R ako ima slijede´ca
svojstva:
∀x ∈ A :
1. Taˇcka M je majoranta skupa A, tj.
2. ∀x∗ < M,
x≤M
∃x ∈ A, tako da je x > x∗ .
Supremum se oznaˇcava sa sup A = M .
Definicija 1..3. Tacka m ∈ R naziva se infimum skupa A ⊂ R ako ima slijede´ca
svojstva:
∀x ∈ A :
1. Taˇcka m je minoranta skupa A, tj.
2. ∀˜
x > m,
m≤x
∃x ∈ A, tako da je x < x
˜.
Infimum se oznaˇcava sa inf A = m.
Primjer 1..4. Uvidjeti infimum i supremum skupa
1 1 1
A = 1, , , , . . .
2 3 4
.
Aksiom potpunosti
Svaki naprazan podskup A skupa realnih brojeva R ograniˇcen sa gornje strane ima
supremum i on pripada skupu R.
Stavovi - bez dokaza, za vježbu!
1. Za svako a, b ∈ R, jednaˇcina a + x = b ima jedinstveno rješenje u R dato sa
b + (−a), koje po dogovoru oznaˇcavamo sa b − a.
2. Ako su a i b bilo koji realni brojevi (a 6= 0), tada jednaˇcina a · x = b ima
jedinstveno rješenje u R oblika a−1 · b, koje c´ emo po dogovou oznaˇciti sa ab .
3. Za svako a ∈ R važi a · 0 = 0 - (nema dijeljenja s nulom!)
2
4. Neka su a, b ∈ R. Ako je a · b = 0, tada je bar jedan element a ili b nula.
5. Neka su a, b ∈ R . Ako je a ≤ bm tada je −b ≤ −a.
6. Ako je neprazni skup A ⊂ R ograniˇcen sa donje strane, tada postoji inf A koji
pripada skupu R.
Teorema 1..5 (Arhimedov aksiom). Ako su a, b ∈ R bilo koji realni brojevi (a > 0),
tada postoji prirodan broj n sa svojstvom
n · a > b.
(1)
Tvdrnja ove teoreme može uzeti za aksiom i aksiom potpunosti izostaviti, a njegov
iskaz dokazati u obliku teoreme.
Neposredna posljedica ove teoreme je cˇ injenica da skup R nije ograniˇcen skup.
Arhimed - Sirakuza, 287.-212. god.p.n.e
Arhimed je bio helenistiˇcki matematiˇcar, fiziˇcar, inžinjer, izumitelj i astronom. Smatra se jednim od vode´cih nauˇcnika u klasici. Medu
¯ njegovim doprinosima nauci su
osnove hidrostatike, statike i objašnjenje principa poluge. Arhimed se smatra najboljim matematiˇcarom klasiˇcnog doba i jednim od najboljih matematiˇcara svih vremena.
Proširenje skupa realnih brojeva
Ako se skupu R dodaju dva simbola, −∞ i +∞, tada se skup R ∪ {−∞, +∞}
naziva prošireni skup realnih brojeva i oznaˇcava se sa R. Sve operacije iz R važe i u R,
ali se moraju još definisati operacije na dvoˇclanom skupu {−∞, +∞}
Definicija 1..6.
1. (+∞) + (+∞) = +∞
2. (−∞) + (−∞) = −∞
3. (+∞) · (+∞) = +∞
4. (−∞) · (−∞) = +∞
5. (+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞
3
6. (∀a ∈ R) :
a + (+∞) = (+∞) + a = +∞
7. (∀a ∈ R) :
a + (−∞) = (−∞) + a = −∞
+
8. (∀a ∈ R ) :
a · (+∞) = (+∞) · a = +∞
9. (∀a ∈ R+ ) :
a · (−∞) = (−∞) · a = −∞
10. (∀a ∈ R− ) :
a · (+∞) = (+∞) · a = −∞
−
11. (∀a ∈ R ) :
a · (−∞) = (−∞) · a = +∞
Prema tome, u skupu R ostaje nedefinisano:
+∞ −∞
,
.
+∞ −∞
Sa druge strane, u skupu R nije definisano dijeljenje sa nulom, pa takoder
¯ u R ostaje
nedefinisano 00 .
0 · (+∞), 0 · (−∞), (+∞) − (+∞), (−∞) − (−∞),
1.2.
Apsolutna vrijednost realnog broja
Apsolutna vrijednost realnog broja
Definicija 1..7. Apsolutna vrijednost (modul ili norma) realnog broja x (u oznaci |x|)
je preslikavanje R 7→ R+ ∪ {0} definisano pomo´cu
ako je x > 0
x,
0,
ako je x = 0
(2)
|x| :=
−x, ako je x < 0
Ekvivalentno:
|x| := max{x, −x},
√
√
|x| := x · x = x2 .
(3)
(4)
Stav 1
Neka su a, x ∈ R ∧ a > 0. Tada je
|x| < a ⇐⇒ −a < x < a.
Stav 2
Neka su a, b ∈ R. Tada važi
|a · b| = |a| · |b|
Stav 3 - nejednakost trougla
Neka su a, b ∈ R. Tada važi
|a + b| ≤ |a| + |b|.
Pomo´cu stava 3, slijede´ca važna nejednakost (obrnuta nejednakost trougla) se lako
dokazuje
||a| − |b|| ≤ |a − b|.
4
2.
Skup prirodnih i cijelih brojeva
Skup prirodnih brojeva
Skup prirodnih brojeva N je podskup skupa R sa svojstvima:
Peanovi aksiomi
1. 1 je prirodni broj, tj 1 ∈ N.
2. Svaki prirodni broj n ima svog sljedbenika n0 = n + 1, koji je takoder
¯ prirodan
broj, tj.
n ∈ N ⇒ n + 1 ∈ N.
3. 1 nije sljedbenik nijednog prirodnog broja.
4. Ako je m0 = n0 , tada je m = n, tj. svaki prirodni broj je sljedbenik najviše
jednog prirodnog broja.
5. Ako je M ⊆ N i ako u M važe svojstva (1) i (2), tada je M = N.
Princip potpune matematiˇcke indukcije
Iskaz P (n), n ∈ N istinit je za svaki prirodan broj n ako je
1. P (1) istinito;
2. Iz pretpostavke da je P (n) istinit slijedi da je P (n + 1) istinit.
ˇ
Ovo je dakle ekvivalentno 5. Peanovom aksiomu. Cesto
se dešava da izraz P (n) nije
taˇcan za n = 1, 2, 3, . . . , n0 , ali je taˇcan ∀n > n0 . tada se koristi poopšteni princip
potpune matematiˇcke indukcije, gdje samo taˇcku jedan zamijenimo sa
P (n0 ) je istinito (n0 ≥ 1).
Primjer 2..1 (Bernoulijeva nejednakost). Dokazati indukcijom
(1 + α)n ≥ 1 + nα,
(α > −1, α ∈ R ∧ n ∈ N).
Primjer 2..2. Dokazati indukcijom
n
X
k=1
k2 =
1
n(n + 1)(2n + 1)
6
Primjer 2..3 (Goldbachova konjektura). Svaki parni prirodni broj se može napisati u
obliku 2n = p + q, gdje su p i q prosti brojevi.
Goldbachova konjektura
Pruski matematiˇcar Christian Goldbach je 12. juna 1742. pisao Leonhardu Euleru (Pismo XLIII) i predložio pretpostavku: Svaki cio broj ve´ci 2 od je mogu´ce napisati
kao zbir tri prosta broja. Euler se zainteresovao za ovu temu i predložio da se ova pretpostavka izrazi na slede´ci naˇcin: Svaki paran broj ve´ci od 2 se može predstaviti kao zbir
dva prosta broja. Euler je cˇ ak naglasio kako mu ova teorema izgleda priliˇcno oˇcigledna!
5
Skup cijelih brojeva
Oznaˇcimo sa Z = {Zα |α ∈ A}, gdje je A indeksni skup, tj. skup svih podgrupa
grupe (R, +) koje sadrže broj 1 ∈ Z.
Ako stavimo Z = ∩α∈A Zα , odmah je uoˇcljivo da je Z podgrupa od (R, +) i 1 ∈ Z,
pa je prema tome Z ∈ Z.
Skup Z zovemo skupom cijelih brojeva a elemente tog skupa cijelim brojevima.
Pokazuje se da je
Z = (−N) ∪ {0} ∪ N,
gdje je −N = {−n|n ∈ N}.
Skup racionalnih i iracionalnih brojeva
Neka je P = {Qβ |β ∈ B} skup svih potpolja Qβ polja (R, +, ·) i neka je Q =
∩β∈B Qβ .
Oˇcito je takoder
¯ Q ∈ P, tj. Q je potpolje polja R. Skup Q zovemo skup racionalnih
brojeva.
Stav 1.
Q=
p
|p ∈ Z ∧ q ∈ N .
q
Stav 2.
Ako su r0 , s0 ∈ Q i r0 < s0 , tada postoji beskonaˇcno mnogo racionalnih brojev koji
su ve´ci od r0 a manji od s0 .
Aksiom
Svakom realnom broju odgovara jedna i samo jedna taˇcka na brojnoj pravoj i obrnuto,
svakoj taˇcki na brojnoj pravoj odgovara jedan i samo jedan realan broj.
Definicija 2..4. Podskup realnih brojeva koji ne pripadaju skupu racionalnih brojeva
naziva se skupom iracionalnih brojeva i oznaˇcava se sa I = R \ Q.
Stav 3.
neka su x, y ∈ R. Tada postoji racionalan broj r ∈ Q sa svojstvom
x < r < y.
Primjer 2..5. Realni broj
√
2∈
/ Q.
6
Intervali i segmenti
Definicija 2..6. Skup {x ∈ R|a < x < b, a, b ∈ R ∧ a < b} nazivamo otvoreni
interval i oznaˇcavamo ga sa (a, b).
Specijalno, skup
(−a, +a) = {x ∈ R| − a < x < a, a ∈ R} = {x ∈ R| |x| < a}
nazivamo simetriˇcni interval.
Skup {x ∈ R|a ≤ x ≤ b, a, b ∈ R ∧ a < b} nazivamo zatvoreni interval i
oznaˇcavamo ga sa [a, b]. Skupovi oblika [a, b) i (a, b] se nazivaju poluintervali ili
polusegmenti.
Definicija 2..7. Skup x ∈ R takvih da je x ≤ a zove se beskonaˇcni interval i oznaˇcava
sa
[a, +∞) = {x ∈ R|a ≤ x < +∞}.
Sliˇcno se definišu i skupovi (a, +∞), (−∞, a], (−∞, a).
Otvoreni i zatvoreni skupovi
Definicija 2..8. Neka je a ∈ R i ε proizvoljno mali pozitivan realni broj. Skup
V (a, ε) = {x ∈ R||x − a| < ε}
naziva se ε-okolina taˇcke a.
Vidimo da je ε-okolina taˇcke a u stvari otvoreni interval (a − ε, a + ε), cˇ ije je
središte taˇcka a, a dužina 2ε.
Definicija 2..9. Okolina taˇcke a ∈ R je svaki skup koji sadrži taˇcku a zajedno sa
nekom ε-okolinom te taˇcke.
Definicija 2..10. Neka je A ⊂ R. Za taˇcku a ∈ R kažemo da je unutrašnja taˇcka
skupa A ako postoji ε-okolina taˇcke a sadržana u skupu A.
Definicija 2..11. Za skup A kažemo da je otvoren skup ako su sve njegove taˇcke unutrašnje taˇcke.
Teorema 2..12. Osnovna svojstva otvorenih skupova u R:
1. Skupovi ∅ i R su otvoreni skupovi u R.
2. Presjek konaˇcnog broja otvorenih skupova iz R je otovren skup u R.
3. Unija beskonaˇcno mnogo otvorenih skupova u R je otvoren skup u R.
Definicija 2..13. Za skup F ⊂ R kažemo da je zatvoren skup ako i samo ako je R \ F
otvoren skup u R.
7
Taˇcka nagomilavanja
Definicija 2..14. Neka je A ⊆ R- Za taˇcki a ∈ R kažemo da je taˇcka nagomilavanja
skupa A ako i samo ako svaka okolina taˇcke a sadrži bar jednu taˇcku skupa A razliˇcitu
od a.
Ako taˇcka nije taˇcka nagomilavanja, onda se naziva izolovanom taˇckom skupa A.
3.
Polje kompleksnih brojeva
Kompleksni brojevi
Ve´c veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak cˇ ak i za neke od
najosnovnijih jednaˇcina. Primjer toga je
xn + m = 0.
Pokazat c´ emo da postoji logiˇcno proširenje skupa R tako da gornja jednaˇcina ima
rješenje za svako m, n ∈ R.
Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odriˇcemo relacije poretka - no ne
možemo imati sve...
3.1.
Definicija i oblici kompleksnog broja
Definicija 3..1. Skup kompleksnih brojeva C je skup svih uredenih
parova (x, y) real¯
nih brojeva u kome su definisane operacije sabiranja i množenja :
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 )
=
(x1 + x2 , y1 + y2 ),
(5)
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 )
=
(x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 − x2 y1 ).
(6)
Kompleksni broj generalno oznaˇcavamo sa z.
Stavovi
1. Operacija sabiranja u skupu C je komutativna i asocijativna.
2. Operacija množenja u skupu C je komutativna i asocijativna.
3. Operacija množenja je distributivna prema operaciji sabiranja.
4. Za svaki kompleksan broj z = (x, y) vrijedi (x, y) + (0, 0) = (x, y) i (x, y) ·
(1, 0) = (x, y).
Definicija 3..2. Suprotan broj kompleksnog broja z, u oznaci −z je kompleksan broj
koji zadovoljava uslov
z + (−z) = (0, 0) = 0.
Za svaki kompleksan broj z = (x, y) postoji samo jedan suprotan kompleksni broj
−z = (−x, −y).
8
Definicija 3..3. Reciproˇcni broj kompleksnog broja z = (x, y) 6= (0, 0) u oznaci
kompleksan broj koji zadovoljava uslov z · z1 = 1. On je takoder
¯ jedinstven.
1
z
je
Definicija 3..4. Kompleksan broj (0, 1) naziva se imaginarna jedinica i oznaˇcava se
sa i.
Imaginarna jedinica ima svojstvo da je i2 = −1, jer je
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.
Svaki kompleksan broj možemo napisati u obliku
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0),
što predstavlja algebarski ili Gaussov oblik kompleksnog broja
z = x + iy.
Broj x naziva se realni dio, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja i oznaˇcavaju se
sa:
x = Re(z) i y = Im(z).
Definicija 3..5. Za broj z = x − iy kažemo da je konjugovano-kompleksan broju
z = x + iy.
Sabiranjem, odnosno oduzimanjem z i z dobivamo
Re(z) =
1
(z + z),
2
Im(z) =
1
(z − z).
2i
Primjer 3..6. Jednaˇcina x2 + 1 = 0 ima dva rješenja u skupu C.
Stav
U skupu C važe jednakosti
1. z1 ± z2 = z 1 ± z 2 .
2. z1 · z2 = z 1 · z 2 .
3. z = z.
4.
z1
z2
=
z1
z2 ,
z2 6= 0.
Svaki kompleksan broj z = (x, y) se može geometrijski predstaviti taˇckom M u
ravni R × R pri cˇ emu je Re(z) apscisa taˇcke M , a Im(z) ordinata taˇcke M .
Ova ravan se naziva Gaussova ili kompleksna ravan.
Definicija 3..7. Modul kompleksnog broja z u oznaci |z| je nenegativan realan broj
p
|z| = Re(z)2 + Im(z)2 .
Zakljuˇcujemo da modul nije ništa drugo do rastojanje kompleksnog broja u kompleksnoj ravni od broja 0 = (0, 0). Za njega vrijede relacije:
|z| = |z|, |z|2 = z · z.
9
3.2.
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Sa slike i iz znanja trigonometrijskih funkcija, nalazimo
x = |z| cos θ, y = |z| sin θ,
gdje je θ = ∠(Ox, Oz).
Ovaj ugao se naziva argument kompleksnog broja i oznaˇcava sa arg(z). Iz gornjih
jednakosti je jasno da je
y
y
tg θ = ⇒ θ = arc tg .
x
x
y
arc tg x − π, ako je x < 0 ∧ y < 0,
arc tg xy ,
ako je x > 0 ∧ (y < 0 ∨ y > 0),
argz =
ako je x < 0 ∧ y ≥ 0,
arctg xy + π,
Koriste´ci se gornjim, dobivamo novi oblik kompleksnog broja
z = |z|(cos θ + i sin θ)
takozvani trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
3.3.
Operacije na kompleksnim brojevima
Operacije na kompleksnim brojevima
Ako su kompleksni brojevi z1 i z2 dati u trigonometrijskom obliku
z1 = |z1 |(cos θ1 + i sin θ1 ), z2 = |z2 |(cos θ2 + i sin θ2 ),
imamo da je njihov proizvod
z1 · z2 = |z1 ||z2 |(cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )).
Generalnije
n
Y
k=1
zk =
n
Y
k=1
cos
n
X
θk + i sin
k=1
n
X
!
θk
.
k=1
Iz gornje formule direktno slijedi poznata formula za stepen kompleksnog broja, tzv.
Moivre-ova formula:
z n = [|z|(cos θ + i sin θ)]n = |z|n (cos nθ + i sin nθ), n ∈ Z.
Primjenom formule za množenje na brojeve z1 i
dva kompleksna broja
1
z2 ,
dobivamo formulu za dijeljenje
z1
|z1 |
=
[cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 )].
z2
|z2 |
Nejednakost trougla.
10
Korjenovanje kompleksnog broja
√
U skupu komplesnih brojeva definiše se n-ti korijen broja z ∈ C u oznaci n z, kao
broj w ∈ C sa svojstvom da
√
n
z = w ⇐⇒ wn = z.
Ako predemo
na trigonometrijske oblike
¯
z = r(cos θ + i sin θ) i w = ρ(cos ϕ + i sin ϕ),
te iskoristimo Moivreovu formulu za stepen, dobijemo
ρn (cos nϕ + i sin ϕ) = r(cos θ + i sin θ),
odakle je na osnovu jednakosti kompleksih brojeva,
ρ=
√
n
r,
ϕ=
θ + 2kπ
, (k = 0, ±1, ±2, . . .).
n
Prema tome, ako je z = r(cos θ + i sin θ), tada je
√
√
θ + 2kπ
θ + 2kπ
n
z = n r cos
+ i sin
, k = 0, ±1, ±2, . . .
n
n
Moglo bi se pomisliti da je ovih korjena beskonaˇcno mnogo no to nije sluˇcaj. Formula
daje taˇcno n vrijednosti n-tog korjena broja z.
√
Primjer 3..8. Odrediti sve vrijednosti 3 1.
Logaritam kompleksnog broja
Neka je z = r(cos θ + i sin θ) proizvoljan komplesan broj. Eulerov oblik kompleksnog broja je dat sa
z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ .
Na osnovu jednakosti dva kompleksna broja, dobijamo da je
z = rei(θ+2kπ) , k ∈ Z.
Definicija 3..9. Prirodni logaritam kompleksnog broja z u oznaci Lnz, definiše se kao
i u skupu R, tj.
w = Lnz ⇐⇒ z = ew , (w ∈ C).
Iz gornjih relacija, dobivamo
Lnz = ln r + i(θ + 2kπ),
k ∈ Z.
Dakle, Ln je višeznaˇcna funkcija, a izrazom
Lnz = ln r + iπ,
−π < θ < π
je definisana tzv. principalna ili glavna vrijednost prirodnog logaritma kompleksnog
broja.
11
3.4.
Polinomi kompleksne promjenljive
Definicija 3..10. Polinom P kompleksne promjenljive z = x + iy definiše se kao
P (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an =
n
X
ak z n−k ,
k=0
gdje je n ∈ N ∪ {0}, a0 , a1 , . . . , an kompleksni brojevi koji se zovu koeficijenti polinoma kompleksne promjenljive P (z)
Ako je a0 6= 0, n je stepen polinoma, u oznaci n = deg P . Oˇcito je da su polinomi
zatvoreni pod sabiranjem i množenjem, a takoder
¯ imamo da je
deg(P + Q) ≤ max degP, dqgQ,
deg(P · Q) = degP + degQ.
za polinom kažemo da je realan ako su svi njegovi koeficijenti realni brojevi.
Neke operacije sa polinomima
Osobinu da je polinom P (z) djeljiv polinomom Q(z), tj. da je Q(z) djelilac polinom P (z) oznaˇcavamo sa Q(z)/P (Z).
Definicija 3..11. Ako su P i Q dva polinoma i ako vrijedi R/P i R/Q, kažemo da je
R zajedniˇcki sadržilac polinoma P i Q.
Definicija 3..12. Polinom d(z) je najve´ci zajedniˇcki djelilac (NZD) polinoma P (z) i
Q(z) ako je d(z)/P (z) i d(z)/Q(z) i ako za svaki zajedniˇcki djelilac R(z) polinoma
P i Q važi R(z)/d(z).
Jasno je da ako je d(z) NZD polinoma P i Q, tada je i αd(z) takoder
¯ NZD polinoma
P i Q.
Stav
Za bilo koja dva ne-nula polinoma P (z) i Q(z) postoji NZD. On je jedinstvan sa
taˇcnoš´cu do multiplikativne konstante.
Dokaz. Koristimo se Euclidovim algoritmom:
1. Podijelimo P (z) sa Q(z). Neka je koliˇcnik Q1 (z) a ostatak R1 (z), tj.
P (z) = Q(z) · Q1 (z) + R1 (z).
Ako je R1 (z) = 0, onda je NZD polinom Q(z). Ako nije, onda
2. Podijelimo Q(z) sa R1 (z) i neka je koliˇcnik Q2 (z) a ostatak R2 (z), tj.
Q(z) = R1 (z) · Q2 (z) + R2 (z).
Ako je R2 (z) = 0, onda je R1 (z) NZD. Inaˇce nastavljamo dalje dijeliti R1 (z)
sa R2 (z)...
12
Algebarske jednaˇcine
Definicija 3..13. Pod algebarskom jednaˇcinom n-tog stepena po z podrazumjevamo
jednaˇcinu
P (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an = 0.
(7)
Pod nulom ili korijenom jednaˇcine (7) ili polinoma P (z) podrazumjeva se kompleksni
broj z0 za koji je ispunjeno
P (z0 ) = 0.
Fundamentalni stav algebre
Svaka algebarska jednaˇcina stepena n (n ≥ 1) ima barem jednu nulu realnu ili kompleksnu.
Algebarska jednaˇcina n-tog stepena c´ e imati n rješenja u kompleksnim brojevima!
Definicija 3..14. Ako je z1 nula polinoma
Pn (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an ,
linearni binom z − z1 se zove korjeni cˇ inilac polinoma Pn (z).
Stav
Svaki polinom Pn (z) djeljiv je svakim od svojih korjenih cˇ inilaca.
Stav
Za svaki polinom
Pn (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an−1 z + an ,
postoje kompleksni brojevi z1 , z2 , . . . , zn takvi da je
Pn (z) = a0 (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zn ).
Posljedica
Polinom stepena n ne može se anulirati sa više od n razliˇcitih vrijednosti!
Racionalne funkcije
Racionalna funkcija je funkcija oblika:
R(x) =
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
Pn (x)
=
Qm (x)
bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0
Ako je
1. n ≥ m tada je funkcija R(x) neprava racionalna funkcija;
2. n < m tada je funkcija R(x) prava racionalna funkcija.
13
U prvom sluˇcaju, prvo polinome Pn (x) i Qn (x) podijelimo, tj.
Pn (x)
R1 (x)
= Λn−m (x) +
.
Qn (x)
Qm (x)
R(x) =
Drugi dio desne strane ove jednakosti je onda prava racionalna funkcija.
Primjer 3..15.
2x3 − x2 + x + 5
27x − 2
= 2x + 7 + 2
.
x2 − 4x + 1
x − 4x + 1
Rastavljanje prave racionalne funkcije
Prostim racionalnim funkcijama zovemo racionalne funkcije oblika
A
(x − α)k
(k ∈ N )
(8)
gdje su A ia realni brojevi, odnosno
Mx + N
(x2
k ∈ N ; p2 − 4 q < 0 ,
k
+ px + q)
(2.26∗ )
gdje su M, N, p i q realni brojevi.
Stav
Svaka nesvodljiva prava racionalna funkcija može se razložiti u zbir od konaˇcno mnogo
parcijalnih razlomaka.
Dakle svaku pravu racionalnu funkciju možemo predstaviti u obliku :
Pn (x)
Pn (x)
=
, k, l ∈ N.
k
Qm (x)
(x − a) (x2 + px + q)l
Pri tome je p2 − 4q < 0, tj. x2 + px + q se ne može dalje rastaviti na proste realne
faktore (nema nula u R). Tada racionalnu funkciju možemo izraziti kao:
(x −
Pn (x)
k
a) (x2 + px
+
+
q)l
=
A1
A2
Ak
+
+ ... +
+
2
x − a (x − a)
(x − a)k
M1 x + N1
M 2 x + N2
Ml x + Nl
+
+ ... + 2
x2 + px + q (x2 + px + q)2
(x + px + q)l .
A1 , A2 , . . . , An , M1 , M2 , . . . , Ml , N1 , N2 , . . . , Nl su nepoznati koeficijenti koje treba
odrediti.
14
© Copyright 2024 Paperzz
