Boπko JagodiÊ Ivan Mrkonjić NA©A MATEMATIKA 4 UDÆBENIK ZA ČETVRTI RAZRED OSNOVNE ©KOLE Nakladnik NIP ©kolske novine d.o.o. A. Hebranga 40, Zagreb Za nakladnika Ivan Vavra Urednik i lektor Ivan RodiÊ Recenzentica Blanka CrnkoviÊ, učiteljica savjetnica GrafiËka urednica Morana Kukec Ilustracije Maja KriπkoviÊ SunËana ©priovan Design naslovne stranice Morana Kukec Slog i prijelom Grafički studio ©kolskih novina Tisak www.skolskenovine.hr BO©KO JAGODI∆ − Ivan MrkonjiÊ NA©A MATEMATIKA 4 UDÆBENIK ZA »ETVRTI RAZRED OSNOVNE ©KOLE Zagreb, 2014. www.skolskenovine.hr 4 www.skolskenovine.hr SADRÆAJ PONAVLJANJE 7 BROJEVI DO 1000 8 USPOREĐIVANJE BROJEVA DO 1000 9 PISANO ZBRAJANJE I ODUZIMANJE BROJEVA DO 1000 10 PISANO MNOÆENJE DVOZNAMENKASTOG BROJA JEDNOZNAMENKASTIM BROJEM 14 DIJELJENJE DVOZNAMENKASTOGA BROJA JEDNOZNAMENKASTIM BROJEM 15 PISANO DIJELJENJE DVOZNAMENKASTOGA I TROZNAMENKASTOGA BROJA JEDNOZNAMENKASTIM BROJEM 16 PRAVAC, POLUPRAVAC I DUÆINA 18 MJERENJE DUÆINE 21 KRUG I KRUÆNICA 22 MJERENJE OBUJMA TEKUĆINE 23 MJERENJE MASE 24 1. BROJEVI DO MILIJUN 25 ČITANJE I PISANJE VIŠEKRATNIKA BROJA 1 000 U SKUPU BROJEVA DO 10 000 25 ČITANJE I PISANJE ČETVEROZNAMENKASTIH BROJEVA 26 ČITANJE I PISANJE BROJEVA DO 100 000 28 ČITANJE I PISANJE BROJEVA DO MILIJUN 30 ČITANJE I PISANJE ŠESTEROZNAMENKASTIH BROJEVA 31 DEKADSKE JEDINICE I MJESNA VRIJEDNOST ZNAMENKE 33 USPOREÐIVANJE BROJEVA DO MILIJUN 34 ZBRAJANJE I ODUZIMANJE U SKUPU BROJEVA DO 1 000 000 35 PISANO ZBRAJANJE I ODUZIMANJE U SKUPU BROJEVA DO 1 000 000 36 VEZA ZBRAJANJA I ODUZIMANJA 44 2. KUT 46 RAVNINA (PONAVLJANJE) 46 KUT 48 UNUTARNJE, RUBNE I VANJSKE TOČKE KUTA 49 USPOREÐIVANJE KUTOVA. PRAVI KUT. ŠILJASTI KUT. ISPRUÆENI KUT. TUPI KUT 50 3. PISANO MNOÆENJE 53 MNOÆENJE BROJEVA (PONAVLJANJE) 53 MNOÆENJE ZBROJA BROJEVA I RAZLIKE BROJEVA S BROJEM 54 PISANO MNOÆENJE VIŠEZNAMENKASTOG BROJA JEDNOZNAMENKASTIM BROJEM 56 PISANO MNOÆENJE VIŠEZNAMENKASTOG BROJA DVOZNAMENKASTIM BROJEM 60 4. TROKUT, PRAVOKUTNIK, KVADRAT 63 PRAVOKUTNIK, KVADRAT I TROKUT KAO PLOHE UGLATIH GEOMETRIJSKIH TIJELA (PONAVLJANJE) 63 STRANICE, VRHOVI I KUTOVI TROKUTA 64 VRSTE TROKUTA S OBZIROM NA DULJINE STRANICA 66 CRTANJE JEDNAKOSTRANIČNOG, JEDNAKOKRAČNOG I RAZNOSTRANIČNOG TROKUTA 67 ŠILJASTOKUTNI, TUPOKUTNI I PRAVOKUTNI TROKUT 69 OPSEG TROKUTA 71 VRHOVI, STRANICE I KUTOVI PRAVOKUTNIKA 75 CRTANJE PRAVOKUTNIKA 77 VHOVI, STRANICE I KUTOVI KVADRATA 79 www.skolskenovine.hr 5 OPSEG PRAVOKUTNIKA 81 OPSEG KVADRATA 84 MJERENJE POVRŠINE 86 POVRŠINA PRAVOKUTNIKA 89 POVRŠINA KVADRATA 92 5. PISANO DIJELJENJE 94 PISANO DIJELJENJE VIŠEZNAMENKASTOGA BROJA JEDNOZNAMENKASTIM BROJEM 96 PISANO DIJELJENJE VIŠEZNAMENKASTOGA BROJA DVOZNAMENKASTIM BROJEM 101 VEZA MNOÆENJA I DIJELJENJA 104 IZVOÐENJE VIŠE RAČUNSKIH RADNJA 106 6. KOCKA I KVADAR 108 KOCKA 108 KVADAR 110 MJERENJE OBUJMA 112 OBUJAM KVADRA 115 OBUJAM KOCKE 117 6 www.skolskenovine.hr PONAVLJANJE Mi smo u četvrtome razredu. UËit Êemo matematiku. Ponovimo najprije jedan dio gradiva iz treÊega razreda. Čitanje i pisanje brojeva do 1000 Uspore�ivanje brojeva do 1000 Pisano zbrajanje i oduzimanje brojeva do 1000 Pisano mnoæenje dvoznamenkastoga broja jednoznamenkastim brojem Dijeljenje dvoznamenkastoga broja jednoznamenkastim brojem Pisano dijeljenje dvoznamenkastoga i troznamenkastog broja jednoznamenkastim brojem Pravac, polupravac i duæina kao dijelovi pravca Mjerenje duæine Krug i kruænica Mjerenje obujma tekućine Mjerenje mase www.skolskenovine.hr 7 BROJEVI DO 1000 »ITANJE I PISANJE BROJEVA DO 1000 1. Zapiši redom stotice, od veÊe prema manjoj. 900, 800, ______, ______, ______, ______, ______, ______, 100. 2. Zapiπi redom sve desetice. 420, 430, ______, ______, ______, ______, ______, ______, 500. 3. 4. 5. Sljedeće brojeve zapiπi rijeËima. 200 ______________________________ 321 ______________________________ 430 ______________________________ 529 ______________________________ 1000 _____________________________ 907 ______________________________ Zapiπi brojeve: Ëetiristo __________ osamsto dvadeset sedam __________ petsto pedeset __________ πeststo pet __________ devetsto devedeset __________ sedamsto trinaest __________ DjeËak broji po dva, djevojËica po tri, a zatim zapisuju te brojeve. Provjeri jesu li djeËak i djevojËica pravilno upisali brojeve. Ako uoËiπ pogreπku, ispravi ju i redom napiπi odgovarajuÊe brojeve. 8 www.skolskenovine.hr USPORE–IVANJE BROJEVA DO 1000 PRIKAZIVANJE BROJEVA DO 1000 NA BROJEVNOJ CRTI Na brojevnoj crti kriæiÊem oznaËi toËke koje pripadaju brojevima 400, 600, 700 i 900. Ispod svakoga kriæiÊa napiπi odgovarajuÊi broj. 1. 5 0 100 200 1000 KriæiÊem oznaËi toËke koje pripadaju brojevima 220, 240, 260, 270, 290. Ispod svakoga kriæiÊa napiπi odgovarajuÊi broj. 2. 5 200 210 220 300 3. U pravokutnike upiπi odgovarajuÊe brojeve. 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 Napiπi sve brojeve veÊe od 497, a manje od 505. 4. ______________________________________________________________________ Poredaj po veliËini brojeve od najmanjega prema najveÊemu: 781, 326, 950, 890, 120, 416. 5. Poredaj po veliËini brojeve od najveÊega do najmanjega: 103, 254, 723, 810, 314, 902, 500. 6. www.skolskenovine.hr 9 PISANO ZBRAJANJE I ODUZIMANJE BROJEVA DO 1000 ZBRAJANJE TROZNAMENKASTOGA I DVOZNAMENKASTOGA BROJA 1. IzraËunaj usmenim naËinom. 300 + 50 = 430 + 40 = 520 + 60 = 2. 720 + 50 487 + 12 513 + 69 958 + 41 74 +125 542 + 28 364 + 36 429 + 38 196 + 87 245 + 98 325 23 + 34 526 37 + 42 754 9 + 31 8 425 + 99 879 36 + 5 Zbroji. 625 10 + 4 6. 10 + 698 = 70 + 473 = 90 + 599 = Zbroji. 670 + 30 5. 898 + 20 = 654 + 60 = 471 + 80 = Zbroji. 524 + 60 4. 780 + 50 = 660 + 70 = 150 + 90 = IzraËunaj usmenim naËinom. 627 + 30 = 349 + 50 = 777 + 20 = 3. 830 + 70 = 740 + 60 = 920 + 80 = PËelar je dobio 287 kilograma meda iz polovice svih koπnica. Iz druge polovice koπnica dobio je 13 kilograma viπe. Koliko je ukupno dobio meda? ____________________________ ____________________________ ____________________________ 10 www.skolskenovine.hr ODUZIMANJE DVOZNAMENKASTOGA OD TROZNAMENKASTOGA BROJA Oduzmi. 1. 460 − 60 = 500 − 40 = 430 − 50 = 570 − 30 = 800 − 90 = 220 − 60 = 390 − 60 = 1000 − 30 = 740 − 70 = 2. Oduzmi. 797 − 30 = 808 − 50 = 959 − 90 = 284 − 50 = 702 − 60 = 656 − 60 = 491 − 60 = 313 − 70 = 125 − 80 = 3. Oduzmi. 473 − 30 946 − 34 797 − 42 642 − 27 576 − 59 398 − 89 4. Oduzmi. 900 − 45 200 − 94 723 − 85 306 − 87 555 − 66 162 − 87 IzraËunaj usmenim i pisanim postupkom. a) 254 + 25 − 64 = b) 473 + 27 − 78 = c) 623 − 54 + 67 = d) 852 − 79 − 99 = VoÊar je na trænicu dovezao 205 kilograma lubenica. Prvoga je dana prodao 98, a drugoga dana 99 kilograma lubenica. koliko mu je kilograma lubenica ostalo? 5. 6. __________________________________ __________________________________ __________________________________ __________________________________ www.skolskenovine.hr 11 ZBRAJANJE TROZNAMENKASTIH BROJEVA 1. 2. 3. IzraËunaj. 453 + 216 = 325 + 542 = = (400 + 50 + 3) + (200 + 10 + 6) = = ________________________________ = (400 + 200) + (50 + 10) + (3 + 6) = = ________________________________ = 600 + 60 + 9 = ____________________ = ________________________________ IzraËunaj usmenim naËinom. 234 + 545 = 652 + 131 = 413 + 376 = 123 + 321 = Zbroji. 524 + 351 4. Zbroji. 345 + 237 5. 705 + 193 800 + 198 370 + 629 404 + 505 428 + 437 536 + 244 724 + 195 653 + 254 370 + 330 119 + 798 347 + 258 623 + 177 394 + 306 555 + 245 Zbroji. 456 + 289 6. 232 + 645 Na slici su prikazane udaljenosti (u kilometrima) izmeu mjesta A i B, B i D, A i C te C i D. VozaË kreÊe iz mjesta A u mjesto D. Koja je cesta kraÊa: od A preko B do D ili od A preko C do D? ______________________________________________________________________ 12 www.skolskenovine.hr ODUZIMANJE TROZNAMENKASTOGA BROJA OD TROZNAMENKASTOGA 1. IzraËunaj. 768 − 325 = = 700 + 60 + 8 − 300 − 20 − 5 = = (700 − 300) + (60 − 20) + (8 − 5) = = 400 + 40 + 3 = 443 987 − 435 = = ________________________________ = ________________________________ = ________________________________ Oduzmi. 768 − 235 938 − 613 473 − 132 554 − 232 671 − 330 839 − 705 2. Oduzmi. 654 − 227 467 − 139 775 − 326 891 − 488 970 − 342 550 − 148 3. Oduzmi. 526 − 283 743 − 363 809 − 136 732 − 345 605 − 506 800 − 333 4. 5. Oduzmi pa zbrajanjem provjeri rezultat. 561 − 273 288 + 273 603 − 105 629 − 370 + + U tablici je prikazano koliko je putnika jednim autobusom prevezeno od Zagreba do Samobora u jednome tjednu. 6. Popuni tablicu. Prijepodne Poslijepodne Ponedjeljak 323 237 Utorak 219 296 Srijeda 246 364 »evrtak 225 215 Petak 475 325 Subota 460 448 Nedjelja 486 415 Ukupno u danu Kojega je dana prevezeno najviπe, a kojega najmanje putnika? IzraËunaj razliku. www.skolskenovine.hr 13 PISANO MNOÆENJE DVOZNAMENKASTOGA BROJA JEDNOZNAMENKASTIM BROJEM 1. Pomnoæi. 43 · 3 2. 52 · 4 71 · 9 82 · 4 19 · 5 38 · 2 16 · 4 95 · 3 78 · 4 29 · 9 67 · 8 84 · 6 77 · 7 80 · 9 99 · 9 67 · 5 28 · 0 Pomnoæi. 24 · 3 3. 4. 5. Pomnoæi. Popuni tablicu. a 2 68 · a 136 3 5 8 9 1 4 Promotri sliku. 6 · 25 = 25 · 6 = 7 · 37 = 37 · 7 = 8 · 24 = 24 · 8 = PËelar je posude napunio medom. NaznaËeno je koliko kilograma meda sadræi svaka posuda. IzraËunaj koliko je ukupno meda u posudama. 6. Ako je uËenik u πkoli po 4 sata dnevno, koliko sati provede u πkoli za 3 mjeseca? RaËunaj da je uËenik u πkoli 23 dana mjeseËno. ______________________________________________________________________ 14 www.skolskenovine.hr DIJELJENJE DVOZNAMENKASTOGA BROJA JEDNOZNAMENKASTIM BROJEM 1. Popuni tablicu. DJELJENIK 96 52 98 91 84 90 96 99 84 DJELITELJ 3 4 2 7 6 5 8 9 6 KOLI»NIK IzraËunaj i odgovarajuÊe brojeve upiπi u pravokutnike. 91 :7 ·6 :3 ·2 2. + 48 Za koliko je koliËnik brojeva 81 i 3 manji od njihove razlike? 3. ______________________________________________________________________ Koliko je puta zbroj brojeva 50 i 46 veÊi od njihove razlike? 4. ______________________________________________________________________ Ocu je 36 godina, a kÊi je 9 puta mlaa. Za koliko Êe godina kÊi biti 5 puta mlaa? 5. ______________________________________________________________________ U vrtu su zeËevi i kokoπi. DjeËak je izbrojio ukupno 126 nogu i 25 kokoπjih glava. Koliko je zeËeva tada bilo u vrtu? 6. ______________________________________________________________________ DjevojËica broji kokoπi i zeËeve. Izbrojila je 19 glava i 56 nogu. Koliko je tada bilo zeËeva, a koliko kokoπiju? 7. __________________________ __________________________ __________________________ __________________________ __________________________ www.skolskenovine.hr 15 PISANO DIJELJENJE DVOZNAMENKASTOGA I TROZNAMENKASTOGA BROJA JEDNOZNAMENKASTIM BROJEM 1. Podijeli ove brojeve i mnoæenjem provjeri rezultate. 96 : 6 = 72 : 3 = 95 : 5 = 84 : 7 = Provjera: 2. Svaki od brojeva 78, 36 i 90 podijeli redom brojevima 2, 3 i 6. ______________________________________________________________________ 3. Podijeli sljedeÊe brojeve: 64 98 72 77 96 4. :4 70 76 91 52 63 :7 Ako 3 knjige stoje 87 kuna, koliko stoji 5 knjiga? ______________________________________________________________________ 5. DjeËaci su kupili dvije jednake lopte za koπarku po 59 kuna. DjevojËice su kupile 3 jednake lopte za rukomet. Sve su zajedno platili 214 kuna. Koliko je stajala jedna rukometna lopta? __________________________ __________________________ __________________________ __________________________ __________________________ 16 www.skolskenovine.hr IZVO–ENJE VI©E RA»UNSKIH RADNJA 1. IzraËunaj: a) 124 + 76 : 4 + 60 · 8 − 45 · 9 = ______________________________________________________________________ b) 128 · 4 − 28 · 4 + 16 − 62 · 7 = ______________________________________________________________________ c) 201 + 9 · 4 + 10 − 480 : 3 = ______________________________________________________________________ Broj 734 rastavi na dva pribrojnika tako da je jedan za 68 veÊi od drugoga. 2. ______________________________________________________________________ Zbroj dvaju brojeva je 360. Jedan je Ëetiri puta veÊi od drugoga. Koji su to brojevi? 3. ______________________________________________________________________ Otac je Ivici, Dinku i Mirni podijelio 500 kuna tako da je Dinko dobio dva puta viπe od Ivice, a Mirna 50 kuna viπe od Dinka. Koliko je kuna dobilo svako dijete? 4. ______________________________________________________________________ Vinogradar planira proπiriti vinograd. “Koliko sada imaπ Ëokota u vinogradu?” pitaju vinogradara. “Kad dodam dvostruko viπe Ëokota nego πto ih imam sada, nedostajat Êe mi 7 Ëokota do 1000.” Koliko Ëokota ima u vinogradu? 5. ______________________________________________________________________ Odredi za koliko je razlika brojeva 72 i 6 veÊa od njihova koliËnika. 6. ______________________________________________________________________ www.skolskenovine.hr 17 PRAVAC, POLUPRAVAC I DUÆINA 1. 2. 18 Kakve su crte nacrtane na slici? a) b) __________________________________ __________________________________ c) d) __________________________________ __________________________________ Nacrtaj jednu ravnu crtu, istakni Ëetiri toËke A, B, C i D, tako da toËke A i B pripadaju toj ravnoj crti, a da toËke C i D ne pripadaju toj ravnoj crti. www.skolskenovine.hr Istakni dvije toËke, oznaËi ih slovima A i B i nacrtaj duæinu AB. 3. Kako se zovu ove ravne crte? 4. a a) __________________________________ b) b __________________________________ c) A __________________________________ B Istakni toËke C i D te nacrtaj pravac koji prolazi tim toËkama. 5. Zadana je toËka T. Nacrtaj pet pravaca koji prolaze toËkom T. 6. T www.skolskenovine.hr 19 7. Koliko pravaca moæe prolaziti jednom toËkom? ______________________________________________________________________ 8. Koja je razlika izmeu pravca i polupravca? ______________________________________________________________________ 9. Nacrtaj tri duæine koje imaju zajedniËku toËku A. Krajeve tih duæina oznaËi slovima A i B, A i C, A i D. A 10. Nacrtaj sve duæine odreene: a) dvjema toËkama b) trima toËkama c) Ëetirima toËkama C D B C E A D 11. A B Promotri sliku. Kvačicom označi toËne tvrdnje. b M A K a ToËka A pripada pravcu a. ToËka A ne pripada pravcu b. ToËka L pripada pravcu b. ToËka K ne pripada pravcu a. ToËka M pripada pravcu a. ToËka M ne pripada pravcu b. L 20 www.skolskenovine.hr MJERENJE DUÆINE 1. Izmjeri duljinu i πirinu sobe. Duljina __________ cm. ©irina ___________ cm. 2. Popuni. 4m = 40 dm 50 dm = 5 m 8 m = ______ dm 90 dm = ______ m 3 dm = ______ cm 70 cm = ______ dm 5 cm = ______ mm 60 mm = ______ cm 3. Popuni. 5 m i 4 dm = 54 dm 87 dm = 8 m i 7 dm 6 m i 7 dm = ______ dm 75 dm = ______ m i ______ dm 8 dm i 3 cm = ______ cm 38 cm = ______ dm i ______ cm 9 cm i 1 mm = ______ mm 99 mm = ______ cm i ______ mm Duljina jedne cijevi iznosi 28 m, druge 34 m, a treÊe 19 m. Kolika je njihova ukupna duljina? 4. ______________________________________________________________________ Asfaltirano je 47 km ceste koja je duga 75 km. Koliko kilometara treba joπ asfaltirati? 5. ______________________________________________________________________ Izmeu dvaju mjesta treba izgraditi cestu duljine 94 km. S jedne je strane izgraena cesta duga 23 km, a s druge strane 36 km. Koliko kilometara te ceste treba joπ izgraditi? 6. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ www.skolskenovine.hr 21 KRUG I KRUÆNICA 1. Promotri sliku i dopuni reËenice. Na slici su _________________________. Kako se zove ravna ploha valjka? Ravna ploha valjka zove se ____________________. Kako se zove zakrivljena crta koja omeuje krug? ______________________________________________________________________ 2. PomoÊu vrpce od debljega papira nacrtana je kruænica. Nacrtaj i ti kruænicu na taj naËin. − Kruænici na slici oznaËi srediπte. − Na kruænici oznaËi jednu toËku i nacrtaj jedan polumjer. 3. PomoÊu papirnate vrpce nacrtaj dvije kruænice sa srediπtem u toËki S. 4. PomoÊu πestara nacrtaj neku kruænicu. Njezino srediπte oznaËeno je slovom S. Nacrtaj jedan promjer te kruænice. S 22 www.skolskenovine.hr MJERENJE OBUJMA TEKU∆INE Promotri sliku i rijeπi. 1. 1 l = __________ dl 100 dl = __________ l 100 l = __________ dl 2. PreraËunaj u decilitre. 4 l = ______ dl 17 l = ______ dl 98 l = ______ dl 7 l 5 dl = ______ dl 25 l 6 dl = ______ dl 99 l 9 dl = ______ dl 3. PreraËunaj u litre. 40 dl = ______ l 70 dl = ______ l 90 dl = ______ l 230 dl = ______ l 460 dl = ______ l 870 dl = ______ l 4. PreraËunaj u litre i decilitre. 56 dl = ______ l ______ dl 94 dl = ______ l ______ dl 248 dl = ______ l ______ dl 759 dl = ______ l ______ dl Zdenko je popio 1 l i 2 dl voćnog soka u jednom danu, a njegova sestra u isto vrijeme 8 dl soka. Koliko su Zdenko i njegova sestra ukupno popili voćnoga soka u tom danu? 5. ____________________________________________________________________ U posudi je 357 dl jabuËnoga soka. Koliko je to litara i decilitara? 6. ______________________________________________________________________ www.skolskenovine.hr 23 MJERENJE MASE 1. ProdavaË je vagao ovako: Koliko je ? 1 kg = ______ dag 1 kg = ______ g 1 dag = ______ g Objasni kako je prodavaË vagao. Koliko je voÊa izvagao? ______________________________________________________________________ 2. 3. 4. PreraËunaj u dekagrame. 6 kg = ______ dag 70 g = ______ dag 9 kg 70 dag = ______ dag 8 kg = ______ dag 900 g = ______ dag 3 kg 6 dag = ______ dag 10 kg = ______ dag 540 g = ______ dag 5 kg 69 dag = ______ dag PreraËunaj u kilograme, dekagrame i grame. 200 dag = ______ kg 258 dag = ____ kg ____ dag 269 g = ____ dag ____ g 700 dag = ______ kg 780 dag = ____ kg ____ dag 534 g = ____ dag ____ g 900 dag = ______ kg 608 dag = ____ kg ____ dag 401 g = ____ dag ____ g IzraËunaj. 7 kg + 17 kg = ______ dag 489 kg + 268 kg = ______ kg 25 kg − 9 kg = ______ dag 782 kg − 396 kg = ______ kg 520 g + 96 g = ______ g 612 dag − 17 dag = ______ dag 5. 346 g − 157 g = ______ g 125 dag − 99 dag = ______ dag U jednoj kutiji nalazi se 6 čokolada, svaka je mase 30 dag. U drugoj je kutiji 8 čokolada, svaka mase 20 dag. Kolika je ukupna masa čokolada u te dvije kutije? ______________________________________________________________ 6. Tomica i πkolska torba ukupno imaju 43 kg 9 dag. Tomica bez torbe ima 39 kg. Kolika je masa torbe? __________________________________ __________________________________ 24 www.skolskenovine.hr BROJEVI DO 20 »ITANJE I PISANJE VIłEKRATNIKA BROJA 1000 U SKUPU BROJEVA DO 10 000 Naučili ste čitati i pisati brojeve: 1, 10, 100, 1000. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1 10 100 1 000 deset sto tisuću jedan Koliko jedinica ima broj 10? Koliko desetica ima broj 100? Koliko stotica ima broj 1 000? 1. Višekratnici broja 1 000 u skupu brojeva do 10 000 jesu: 1 · 1 000 = 1 000 2 · 1 000 = 2 000 3 · 1 000 = 3 000 4 · 1 000 = 4 000 5 · 1 000 = 5 000 6 · 1 000 = 6 000 7 · 1 000 = 7 000 8 · 1 000 = 8 000 9 · 1 000 = 9 000 10 · 1 000 = 10 000 jedna tisuća dvije tisuće tri tisuće četiri tisuće pet tisuća šest tisuća sedam tisuća osam tisuća devet tisuća deset tisuća 1 tisuća 2 tisuće 3 tisuće 4 tisuće 5 tisuća 6 tisuća 7 tisuća 8 tisuća 9 tisuća 10 tisuća 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 10 000 deset tisuća Poredajte po veličini višekratnike broja 1 000 do 10 000: 1 000 < 2 000 < 3 000 < 4 000 < ... < 9 000 < 10 000. Pročitajte prethodni zapis. 2. Poredajte po veličini od manjega prema većemu ove višekratnike broja 1 000: 3. 7 000, 8 000, 3 000, 9 000, 10 000, 2 000 2 000 4. Popunite tablicu. a 6 a · 1 000 6 000 9 3 7 1 www.skolskenovine.hr 25 »ITANJE I PISANJE »ETVEROZNAMENKASTIH BROJEVA 1. Čitajte i zapisujte sljedeće brojeve: 1 000 1 1 001 tisuću jedan 1 000 1 1 1 002 tisuću dva 1 000 1 1 1 1 003 tisuću tri itd. 1 000 10 1 010 tisuću deset 1 000 10 1 011 tisuću jedanaest 1 000 1010 1 020 tisuću dvadeset 1 000 101010101010101010 1 091 tisuću devedeset jedan 1 000 100 1 100 tisuću sto 1 000 100 100 100 100 1 401 tisuću četiristo jedan 1 1 1 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1 000 1 000 1 000 1 000 9 999 2. 1 000 1 000 1 000 1 000 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 devet tisuća devetsto devedeset devet 10 000 deset tisuća 100 100 100 100 100 100 10 10 1 1 1 1 1 4 625 četiri tisuće šeststo dvadeset pet Uočite vrijednost znamenaka prema mjestu na kojemu se nalaza. Znamenka 5 označava broj jedinica (5 J). Znamenka 2 označava broj desetica (2 D). Znamenka 6 označava broj stotica (6 S). Znamenka 4 označava broj tisućica (4 T). Koliko jedinica, desetica, stotica i tisuća ima broj 8 753? 8 753 = ____T + ____ S + ____ D + ____ J 3. U tablici mjesnih vrijednosti upisani su brojevi. Pročitajte i napišite riječima te brojeve. T 7 9 6 3 7 5 9 26 S 4 8 5 0 2 0 9 D 5 4 3 7 0 0 0 J 6 2 0 4 8 5 0 sedam tisuća četiristo pedeset šest _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ www.skolskenovine.hr 4. U tablicu mjesnih vrijednosti upišite ove brojeve: pet tisuća četiristo devedeset tri dvije tisuće tristo devedeset tisuću šeststo šest sedam tisuća petsto devet devet tisuća sedamsto osam tisuća sedam T 5 S 4 D 2 J 3 Napišite sve prirodne brojeve izme�u 4 797 i 4 804. 5. ______________________________________________________________________ Napiši dan, mjesec i godinu svoga ro�enja. ___________________________________ 6. Napišite sljedbenik najmanjega i sljedbenik najvećega četveroznamenkastoga broja. ______________________________________________________________________ 7. Broj 5 984 moæemo napisati ovako: 8. 5 984 = 5 · 1 000 + 9 · 100 + 8 · 10 + 4 · 1. Broj 8 509 moæemo napisati: 8 509 = 8 · 1 000 + 5 · 100 + 0 · 10 + 9 · 1 = 8 · 1 000 + 5 · 100 + 9 · 1. Kao u prethodnom zadatku napišite brojeve: 9. 10. 9 236 = ________________________________________________________ 6 904 = ________________________________________________________ 4 078 = ________________________________________________________ VozaËica tramvaja prodala je jednoga dana prvu kartu s rednim brojem 17, a zadnju kartu s rednim brojem 37. Drugoga je dana prodala prvu kartu s rednim brojem 63, a zadnju s rednim brojem 91. Koliko je ukupno karata prodala vozaËica u ta dva dana? www.skolskenovine.hr 11. 27 »ITANJE I PISANJE BROJEVA DO 100 000 Naučite sada kako se čitaju i pišu brojevi do 100 000. 1. Brojite po deset tisuća do sto tisuća. 2. Naučite višekratnike broja 10 000. Napisani su neki višekratnici broja 10 000. Ispišite ostale. 3. 1 · 10 000 = 10 000 2 · 10 000 = 20 000 3 · 10 000 = ______ 4 · 10 000 = ______ _________________ _________________ _________________ deset tisuća dvadeset tisuća ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ 10 tisuća 20 tisuća ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ 8 · 10 000 = ______ _________________ ________________ ________________ ________________ ________________ 10 · 10 000 = ______ ________________ ________________ Naučite kako se čitaju i pišu peteroznamenkasti brojevi. Pročitajte brojeve i ispišite ih riječima. 10 001 10 002 10 007 10 010 10 100 45 560 78 936 10 200 50 000 90 000 100 000 4. 28 deset tisuća jedan _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ Broj 85 749 peteroznamenkasti je broj. Znamenka 8 znači osam desettisućica, znamenka 5 znači pet tisućica, znamenka 7 znači sedam stotica, znamenka 4 znači četiri desetice, znamenka 9 znači devet jedinica. U tablici mjesnih vrijednosti taj broj pišemo ovako: DT 8 T 5 S 7 D 4 J 9 www.skolskenovine.hr Napišite u tablicu mjesnih vrijednosti ove brojeve: 30 048, 58 045, 98 001, 100 000. 5. ST DT T S D J U sljedećoj rečenici brojeve napišite riječima. Ukupna površina Republike Hrvatske iznosi 87 661 četvornih kilometara. Kopno je veličine 56 594 četvornih kilometara. _______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 6. Napišite brojeve veće od 77 996, a manje od 78 003. 7. ________________________________________________________________________ 8. Napišite najmanji šesteroznamenkasti broj i najveći peteroznamenkasti broj. ________________________________________________________________________ Sljedeće brojeve usporedite po veličini pa izme�u njih upišite znak < ili >: 23 002 9 875 91 999 92 001 70 008 70 007 99 999 100 000 9. 10. Najviši neposredni prethodnik i neposredni sljedbenik brojeva. PRETHODNIK BROJ SLJEDBENIK 34 569 70 301 19 209 60 009 99 999 Koristeći se s ponu�enih 5 znamenaka zapiši najmanji i najveći četveroznamenkasti broj. 3 2 4 8 7 6 1 9 7 5 4 8 6 5 2 9 6 8 9 7 2346 7643 Dobivene četveroznamenkaste brojeve poredaj po veliËini poËevπi od najmanjega. ________________________________________________________________________ www.skolskenovine.hr 29 »ITANJE I PISANJE BROJEVA DO MILIJUN Sada ćete upoznati brojeve od sto tisuća do milijun. Brojimo po sto tisuća od sto tisuća do milijun. To su brojevi: sto tisuća, dvjesto tisuća, tristo tisuća, itd. do devetsto tisuća, pa milijun. Ti su brojevi višekratnici broja 100 000. 1. Naučimo pisati i čitati višekratnike broja 100 000, uključivši broj 1 000 000. 1 · 100 000 2 · 100 000 3 · 100 000 4 · 100 000 5 · 100 000 6 · 100 000 7 · 100 000 8 · 100 000 9 · 100 000 10 · 100 000 = 100 000 = 200 000 = 300 000 = 400 000 = 500 000 = 600 000 = 700 000 = 800 000 = 900 000 = 1 000 000 sto tisuća dvjesto tisuća tristo tisuća četiristo tisuća petsto tisuća šesto tisuća sedamsto tisuća osamsto tisuća devetsto tisuća milijun 2. Pročitajte brojeve: 400 000, 600 000, 900 000 i 1 000 000. 3. Napišite brojeve: a) tristo tisuća b) sedamsto tisuća c) milijun 4. __________________ __________________ __________________ Brojite po 100 000: a) od 100 000 do 600 000 b) od 300 000 do 1 000 000. Višekratnike broja 100 000 moæemo poredati po veličini: 100 < 200 000 < 300 000 < 400 000 < ... < 900 000 < 1 000 000. Pročitajte prethodni zapis. 5. Poredajte po veličini od manjega prema većemu brojeve: 400 000, 700 000, 500 000, 1 000 000, 100 000, 600 000. 100 000 30 www.skolskenovine.hr »ITANJE I PISANJE łESTEROZNAMENKASTIH BROJEVA Pročitajte i riječima napišite peteroznamenkaste brojeve: 10 001 10 002 10 003 10 099 10 100 10 101 10 999 20 000 20 001 20 787 60 325 98 937 99 999 deset tisuća jedan deset tisuća dva ___________________________________________ deset tisuća devedeset devet deset tisuća sto ___________________________________________ ___________________________________________ dvadeset tisuća ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ Pročitajte i riječima napišite šesteroznamenkaste brojeve: 100 000 100 001 100 002 100 028 100 278 175 428 100 000 200 001 275 034 307 528 875 031 900 009 999 999 1 000 000 1. 2. _____________________________________________________ sto tisuća jedan sto tisuća dva _____________________________________________________ _____________________________________________________ sto sedamdeset pet tisuća četiristo dvadeset osam _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ osamsto sedamdeset pet tisuća trideset jedan _____________________________________________________ _____________________________________________________ milijun Zapamtite: Izme�u znamenke stotice i znamenke tisućice postoji razmak da bi se broj lakše pročitao. www.skolskenovine.hr 31 3. Pročitajte i riječima zapišite sljedeće brojeve: 149 565 387 997 989 546 4. Napišite riječima ove brojeve: 39 900 405 001 729 348 5. _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ Nastavite upisivati brojeve u nizu prema redoslijedu prva tri broja. 10 991 50 710 91 000 100 000 200 020 561 000 101 500 10 992 50 720 92 000 200 000 200 030 562 000 102 000 10 993 50 730 93 000 300 000 200 040 563 000 102 500 10 997 50 750 96 000 700 000 103 500 104 500 6. Napišite sve prirodne brojeve izme�u 309 000 i 309 010. ______________________________________________________________________ 7. Prema popisu stanovništva 2011. godine, Zagreb je imao 828 021 stanovnika, Rijeka 128 192 stanovnika, a Split 178 192 stanovnika. Napišite riječima te brojeve. Zagreb _______________________________________________________________ Rijeka _______________________________________________________________ Split 32 _______________________________________________________________ www.skolskenovine.hr DEKADSKE JEDINICE I MJESNA VRIJEDNOST ZNAMENKE 1. Broj 375 869 šesteroznamenkasti je broj. Čitamo ga: tristo sedamdeset pet tisuća osamsto šezdeset devet. Znamenka 3 znači tri stotisućice 3 ST. Znamenka 7 znači sedam desettisućica 7 DT. Znamenka 5 znači pet tisućica 5 T. Znamenka 8 znači osam stotica 8 S. Znamenka 6 znači šest desetica 6 D. Znamenka 9 znači devet jedinica 9 J. U tablici mjesnih vrijednosti taj broj pišemo ovako: 100 000 10 000 ST DT 375 869 3 7 Broj 1 000 T 5 100 S 8 10 D 6 1 J 9 2. U tablicu mjesnih vrijednosti upisan je broj 243 571. Upišite brojeve: 309 780, 800 500, 705 001. Broj 243 571 309 780 800 500 705 001 ST 2 DT 4 T 3 S 5 D 7 J 1 3. Napišite znamenkama sljedeće brojeve: sedamdeset osam tisuća ___________________________ petsto devedeset tisuća ___________________________ sedamsto trideset tisuća pet ___________________________ devetsto devedeset tisuća pedeset tri ___________________________ osamsto tisuća dvadeset devet ___________________________ devetsto devedeset tisuća devet ___________________________ osamsto tisuća petsto pedeset pet ___________________________ www.skolskenovine.hr 33 USPORE�IVANJE BROJEVA 1. U trećem ste razredu uspore�ivali brojeve do 1 000 i naučili znakove <, = i >. Sada ćemo uspore�ivati i ostale brojeve. Od dva broja veći je onaj broj koji ima više znamenaka. Usporedimo brojeve 573 984 i 98 769. Koji je od tih brojeva veći? Jasno vam je da je broj 573 984 veći od broja 98 769. 2. To zapisujemo ovako: 573 984 > 98 769. Zadani su brojevi 99 898 i 110 001. Je li istinita ova tvrdnja: Od dva broja manji je onaj koji ima manji broj znamenaka. Ako dva broja imaju jednak broj znamenaka, onda ih uspore�ujemo po prvoj znamenci koja je različita. 3. Usporedimo brojeve 349 871 i 349 698. Prva znamenka koja se razlikuje jest znamenka stotica. Veći je broj 349 871 od broja 349 698 jer je znamenka stotica prvoga broja 8, a drugoga 6, pa je: 4. 5. 349 871 > 349 698. Usporedite brojeve i napišite znakove <, = ili >. 73 845 110 001, 455 432 455 342 234 567 99 999, 123 505 123 505 777 777 888 000, 876 540 876 542 Napišite sljedbenik najmanjega šesteroznamenkastoga broja i sljedbenik najvećega šesteroznamenkastoga broja. ______________________________________________________________________ 6. 7. Poredajte po veličini od najmanjega do najvećega broja: 380 456, 987 001, 110 345, 78 987, 380 449, 978 001. __________________________________________________ Odredite brojeve x za koje vrijedi: 807 548 < x < 807 553 x = ____________________________________________________ 34 www.skolskenovine.hr ZBRAJANJE I ODUZIMANJE U SKUPU BROJEVA DO 1 0OO OOO ZBRAJANJE I ODUZIMANJE VIŠEKRATNIKA BROJEVA 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 1. Izračunajte. 4+2=6 5+3= 4+5= 2+7= 1+9= 40 + 20 = 60 50 + 30 = 40 + 50 = 20 + 70 = 10 + 90 = 4 000 + 2 000 = 6 000 5 000 + 3 000 = 4 000 + 5 000 = 2 000 + 7 000 = 1 000 + 9 000 = 400 + 200 = 600 500 + 300 = 400 + 500 = 200 + 700 = 100 + 900 = 2. Proučite ove zadatke i izračunajte. 5 000 + 4 000 = 5 · 1 000 + 4 · 1 000 = 9 · 1 000 = 9 000 9 000 − 4 000 = 9 · 1 000 − 4 · 1 000 = 5 · 1 000 = 5 000 6 000 + 2 000 = 8 000 − 6 000 = Izračunajte. 5 000 − 4 000 = 1 000 8 000 − 3 000 = _______ 3. 9 000 − 6 000 = _______ 10 000 − 7 000 = _______ 4. Moæemo i ovako zbrajati i oduzimati višekratnike broja 1 000. 3 000 + 2 000 5 000 5 000 − 3 000 2 000 9 000 + 1 000 10 000 10 000 − 4 000 6 000 5. Zbrojite. 20 000 + 60 000 = 80 000 30 000 + 50 000 = 80 000 + 10 000 = 60 000 − 40 000 = 200 000 + 600 000 = 800 000 300 000 + 500 000 = 800 000 + 100 000 = 600 000 + 400 000 = 6. Oduzmite. 70 000 − 30 000 = 40 000 90 000 − 60 000 = 80 000 − 70 000 = 100 000 − 50 000 = 700 000 − 300 000 = 400 000 900 000 − 600 000 = 800 000 − 700 000 = 1 000 000 − 500 000 = Mirko je posudio 10 000 kuna. Dug je otplaćivao godinu dana po 1000 kuna mjesečno. Koliko je Mirko više kuna dao nego što je posudio? 7. _____________________________________________________________________ www.skolskenovine.hr 35 PISANO ZBRAJANJE I ODUZIMANJE U SKUPU BROJEVA DO 1 0OO OOO Zbrajat ćemo i oduzimati brojeve tako da ćemo ih najprije upisivati u tablice mjesnih vrijednosti, a zatim bez tablica potpisivati jedan ispod drugoga. Zapamtite kako se potpisuju brojevi: Potpisuju se jedinice pod jedinice, desetice pod desetice, stotice pod stotice, tisućice pod tisućice, desettisućice, pod desettisućice, stotisućice pod stotisućice. 1. Zbrojimo brojeve 8 936 i 42 Zbrajat ćemo jedinice s jedinicama i desetice s deseticama. U tablicama mjesnih vrijednosti to računamo ovako: + T 8 S 9 8 9 D 3 4 7 J 6 2 8 Ili, kraće: 8 936 + 42 8 978 Dobro uočite kako se potpisuju brojevi. 2. Od broja 9 485 oduzmimo broj 53. Oduzet ćemo jedinice od jedinica i desetice od desetica. − 3. 4. T 9 S 4 9 4 Izračunajte. 6 789 − 46 + J 5 3 2 Ili, kraće: 9 485 − 53 9 432 7 023 73 − Govorimo: 5 manje 3 je 2 8 manje 5 je 3 4 manje 0 je 4 9 manje 0 je 9 pa je razlika: 9 485 − 53 = 9 432 1 181 51 3 004 + 44 7 903 + 95 = 8 017 + 81 = Oduzmite na dva načina (usmeno i pisano). 3 576 − 51 = 8 099 − 38 = 36 D 8 5 3 Zbrojite na dva načina (usmeno i pisano). 1 735 + 43 = 3 241 + 58 = 5. Govorimo: 6 više 2 je 8 3 više 4 je 7 9 više 0 je 9 8 više 0 je 8 pa je zbroj: 8 936 + 42 = 8 978 4 586 − 76 = 5 093 − 93 = www.skolskenovine.hr Zdravko se rodio 1974. godine. U kojoj je kalendarskoj godini slavio 25. ro�endan? 6. ____________________________________________ 7. Zbrojimo brojeve 7 358 i 36. Potpišimo ih pa zatim zbrojimo. T 7 S 3 7 7 3 3 D 5 3 1 9 9 + J 8 6 7 358 + 36 7 394 14 4 8 više 6 je 14; 4 pišemo, a jednu deseticu zbrojimo s deseticama. 5 više 3 više 1 je 9. 3 i 7 prepišemo. 8. Oduzmimo broj 68 od broja 5 493. Brojeve smo potpisali, a zatim oduzeli. T S D 5 4 9 1 6 2 − 5 4 J 10 3 5 493 68 5 425 − 8 5 Umanjeniku smo dodali 10 jedinica, a umanjitelju 1 deseticu. 13 manje 8 je 5. 6 više 1 je 7, 9 manje 7 je 2. 4 i 5 smo prepisali. 9. Izračunajte. 2 134 + 56 3 078 + 19 5 224 + 38 8 059 + 38 10. Popunite tablice. a 3 546 7 018 83 a 6 395 7 080 9 571 b 49 66 5 007 b 67 71 69 a+b a−b 11. Zbrojimo brojeve 6 478 i 65. T S D J 6 4 7 8 6 5 1 + 1 6 5 14 13 6 5 4 3 Ili kraće: 6 478 + 65 6 543 Računamo: 8 više 5 je 13, tri pišemo, a deseticu zbrajamo s deseticama. 7 više 6 više 1 je 14, četiri pišemo, a stoticu zbrajamo sa stoticama. 4 više 1 je 5. 6 više 0 je 6. www.skolskenovine.hr 37 12. Od broja 9 832 oduzmimo broj 67. T S 9 8 9 1 7 − 13. D 10 3 6 1 6 5 8 067 + 95 4 087 + 18 8 236 79 + 1 135 99 79 17. + 31 7 648 7 679 42 79 − 52 5 382 5 330 82 97 6 146 Izračunajte. 5 736 + 97 = 5 833 − 97 = 7 150 − 94 = 7 056 + 94 = 84 + 1 356 = 1 440 − 84 = Proučite ove zadatke i objasnite postupak. T 7 S 9 1 8 8 1 10 0 D 8 6 1 15 5 J 7 5 12 2 T Ili kraće: 7 987 + 65 8 052 − 6 1 S 10 0 1 5 9 D 10 2 1 9 2 J 10 1 7 4 Izračunajte. 5 945 79 + 38 99 Popunite tablice. + 18. + − 2 069 16. 1 509 + 99 Oduzmite i izvedite provjeru. − 15. U tablici je prikazan postupak. Ili kraće: 9 832 − 67 9 765 Zbrojite. 7 359 + 64 14. J 10 2 7 7 914 86 + 4 053 75 − 9 008 69 − www.skolskenovine.hr Ili kraće: 6 021 − 97 5 924 19. Majka je kupila knjige za Sanju i Zorana. Sanjine knjige stajale su 678 kuna, a Zoranove 102 kune viπe od Sanjinih. Koliko je ukupno kuna majka dala za knjige? _______________________________________ _______________________________________ Majka je ro�ena 1973. godine. Otac je ro�en 4 godine prije. Sin je 32 godine mla�i od oca. Koje je godine ro�en otac, a koje sin? Koliko godina sada imaju otac, majka i sin? 20. _______________________________________ _______________________________________ 21. Izračunajte x. 7 293 + 57 = x x= 3 007 + x = 4 106 x= 5 632 − 44 = x x= 2 176 − x = 2 085 x= Zbrojimo brojeve 7 543 i 621. + T 7 1 8 8 S 5 6 11 1 D 4 2 6 6 J 3 1 4 4 Ili kraće: 7 543 + 621 8 164 Ili kraće: 8 735 − 914 7 821 Objašnjenje: 5 J manje 4 J je 1 J 3 D manje 1 D je 2 D 17 S manje 9 S je 8 S (umanjeniku smo dodali 10 S) 8 T manje 1 T je 7 T (umanjitelju smo dodali 1 T). Oduzmimo brojeve 8 735 i 914. T − 8 1 7 S 10 7 9 8 D J 3 1 2 5 4 1 22. Objašnjenje: 3 J više 1 J je 4 J 4 D više 2 D je 6 D 5 S više 6 S je 11 S, 1 S pišemo, a 10 S = 1 T pribrajamo tisućicama. 24. Zamijenite mjesta pribrojnicima i zbrojite. 3 471 + 217 217 + 3 471 523 + 8 759 23. + 5 076 + 935 + www.skolskenovine.hr 39 25. Oduzmite i izvedite provjeru. − 26. 7 381 572 + − + 5 000 935 + 7 345 645 2 837 125 3 085 370 8 742 605 6 789 567 789 9 211 6 347 128 5 498 707 8 006 342 5 099 999 7 101 808 9 000 999 Popunite tablicu. a b a−b 28. 572 7 005 867 Popunite tablicu. a b a+b 27. − Zbrojimo brojeve 5 928 i 3 495 i oduzimanjem provjerimo točnost rezultata. + T 5 3 1 9 9 S 9 4 1 14 4 D 2 9 1 12 2 J 8 5 Ili kraće: 5 928 + 3 495 9 423 T − 13 3 9 1 3 5 S 10 4 1 4 9 D 10 2 1 9 2 J 10 3 Ili kraće: 9 423 − 3 495 5 928 5 8 Potpisali smo jedinice pod jedinice, desetice pod desetice, stotice pod stotice i tisućice pod tisućice. Objašnjenje ovoga postupka: 8 (J) više 5 (J) je 13 (J). 3 (J) pišemo, a 1 (D) pribrajamo deseticama. 2 (D) više 9 (D), više 1 (D) je 12 (D), 2 (D) pišemo, a 1 (S) pribrajamo stoticama. 9 (S) više 4 (S), više 1 (S) je 14 (S), 4 (S) pišemo, a 1 (T) pribrajamo tisućicama. 5 (T) više 3 (T) više 1 (T) je 9 (T). 29. Proučite zadatke. 7 538 + 1 065 8 603 40 13 (J) manje 5 (J) je 8 (J). 12 (D) manje 10 (D) je 2 (D). 14 (S) manje 5 (S) je 9 (S). 9 (T) manje 4 (T) je 5 (T). 2 864 + 7 136 10 000 8 135 − 4 097 4 038 10 000 − 7 803 2 197 www.skolskenovine.hr Zbrojite. 3 570 + 4 815 8 587 + 1 326 3 081 + 1 758 6 009 + 2 541 30. Oduzmite. 3 456 − 1 789 8 094 − 5 096 3 001 − 2 009 7 000 − 3 504 31. 32. Neka je obitelj u jednome mjesecu potrošila za hranu 3 750 kuna, a u drugome 455 kuna više. Koliko je ta obitelj potrošila za hranu u dva mjeseca? _____________________________________ _____________________________________ Darko kupuje štednjak i odijelo. Ako štednjak stoji 3 270 kuna, a odijelo 1 500 kuna manje, koliko iznosi račun za oba predmeta? ______________________________________________________________________ 33. Zbrojimo brojeve 345 216 i 23 483. Zadane brojeve upišimo u tablicu pa ih zbrojimo. 34. ST 3 DT 4 2 T 5 3 S 2 4 D 1 8 J 6 3 3 6 8 6 9 9 + Zbrojimo bez tablice. Pazimo na potpisivanje: 345 216 + 23 483 368 699 Zbrojili smo jedinice s jedinicama, desetice s deseticama, stotice sa stoticama, i tako redom. 35. Zbrojimo brojeve 457 389 i 278 659. + ST 4 2 1 7 7 DT 5 7 1 13 3 T 7 8 1 16 6 S 3 6 1 10 0 D 8 5 1 14 4 J 9 9 Ili kraće: 457 389 + 278 659 736 048 18 8 Govorimo i pišemo: 9 više 9 je 18, 8 pišemo, a jednu deseticu zbrajamo s deseticama. 8 više 5 više 1 je 14, 4 pišemo, a stoticu zbrajamo sa stoticama. 3 više 6 više 1 je 10, 0 pišemo, a tisuću zbrajamo s tisućama. 7 više 8 više 1 je 16, 6 pišemo, a desettisućicu zbrajamo s desettisućicama. 5 više 7 više 1 je 13, 3 pišemo, a stotisućicu zbrajamo sa stotisućicama. 4 više 2 više 1 je 7. www.skolskenovine.hr 41 36. Zbrojite brojeve. 452 031 + 47 953 230 047 + 659 857 456 789 + 123 456 37. Zadane brojeve potpišite pa ih zbrojite. a) 7 986 i 379 989, b) 45 076 i 780 326. 38. Od broja 758 329 oduzmimo broj 437 126. Zadane brojeve upišimo u tablicu pa ih oduzmimo. − ST 7 4 DT 5 3 T 8 7 S 3 1 D 2 2 J 9 6 3 2 1 2 0 3 574 081 + 325 979 Zadane brojeve oduzmimo bez tablice. 758 329 − 437 126 321 203 Objasnite postupak. 39. Od broja 573 284 oduzmimo broj 275 376. ST − 5 1 2 2 DT 10 7 1 7 9 T 10 3 1 5 7 S 10 2 3 9 D 8 1 7 0 J 10 4 Ili kraće: 573 284 − 275 376 297 908 6 8 Oduzimali smo jedinice od jedinica, desetice od desetica, stotice od stotica, i tako redom. Pri oduzimanju ne zaboravite „prenijeti” jedinicu ako ste u prethodnome stupcu dodali deseticu. 40. Oduzmite brojeve. 763 458 − 231 357 41. 807 456 − 205 857 763 804 − 364 714 987 654 − 321 065 Zbroj brojeva 548 071 i 234 805 umanji za njihovu razliku. _____________________________________________________________________ 42. Broju 325 748 dodaj razliku brojeva 805 432 i 654 809. _____________________________________________________________________ 42 www.skolskenovine.hr 43. Kolika je ukupna cijena svih predmeta na slici? 899 kn 1 790 kn Ukupna je cijena: _______________________________________________ 2 240 kn Jedan član obitelji zaradio je u jednome mjesecu 7 955 kuna, a drugi član 780 kuna više od njega. Koliko je tog mjeseca zaradio drugi član obitelji? 44. _________________________________ U nekoj je školi bilo 726 učenika i 873 učenice. Jednog dana zbog bolesti izostane 27 učenika i 18 učenica. Koliko je ukupno učenika i učenica došlo tog dana u školu? _____________________________________________________________________ 45. Slika prikazuje predmete za igru koje je Darko kupio za sebe i sestru. ProdavaËu je dao 1 000 kuna. Koliko mu je kuna vratio prodavaË? 46. U knjiænici su knjige na dvije police. Na prvoj je polici 2 135 knjiga, a na drugoj 200 knjiga manje. Koliko je ukupno knjiga na obje police? _____________________________________________________________________ 47. www.skolskenovine.hr 43 VEZA ZBRAJANJA I ODUZIMANJA Već ste naučili da postoji veza (izme�u) zbrajanja i oduzimanja. to ćemo ponoviti i uvjeæbati računajući s brojevima do 1 000 000. Ako od zbroja dvaju brojeva oduzmemo jedan pribrojnik, dobit ćemo drugi pribrojnik. Na primjer: 8 + 7 = 15 1. 15 − 7 = 8 15 − 8 = 7 Proučite sljedeći primjer pa provjerite je li sve točno izračunano. 943 008 − 317 159 = 625 849 625 849 + 317 159 = 943 008 943 008 − 625 849 = 317 159 2. 3. Na osnovi poznatog zbroja pribrojnika napišite razlike brojeva: a) 200 000 + 650 000 = 850 000 850 000 − 650 000 = 850 000 − 200 000 = b) 412 345 + 345 755 = 758 100 758 100 − 345 755 = 758 100 − 412 345 = Izračunajte i napišite odgovarajuće brojeve. − 390 180 = 78 540 78 540 + 390 180 = 468 720 − 4. Popunite tablicu. a b a+b 5. = 390 180. 738 496 470 563 96 513 670 563 234 567 375 400 800 000 765 432 Tomislavov otac kupuje auto čija je cijena 114 000 kuna. Uštedio je 97 900 kuna. Koliko mu kuna još treba da kupi auto? ______________________________________________________________________ 44 www.skolskenovine.hr 6. Mjesto točkica napišite znamenke tako da zbroj bude točan. 285 432 + ... ... 697 789 ... ... + 584 372 949 629 4 . 7 63 . + 23 . 3 . 3 . 89 . 57 45 . 791 + . 65 . 06 819 5 . . 7. Izračunajte nepoznati pribrojnik. 587 042 + x = 898 021 ______________________________ x + 472 065 = 910 443 ___________________________________ Ako razlici dvaju brojeva dodamo umanjitelj, dobit ćemo umanjenik. Na primjer: Iz 9 − 4 = 5 slijedi 5 + 4 = 9. 8. Izračunajmo razliku 873 569 − 209 478. 873 569 − 209 478 664 091 slijedi 664 091 + 209 478 873 569 Ako od umanjenika oduzmemo razliku, dobit ćemo umanjitelj. Na primjer: Iz 9 − 4 = 5 slijedi 9 − 5 = 4 9. Izračunajte. 654 321 − 567 890 654 321 − 86 431 86 431 + 567 890 10. Izračunajte nepoznati broj. x − 12 786 = 780 954 _____________________________ 826 064 − x = 32 769 _____________________________ Nikola je kupio mobitel, zvuËnike i radio za 1025 kuna. Za mobitel je dao 399 kuna, a za zvuËnike 299 kuna. Koliko je platio radio?____________________________________ www.skolskenovine.hr 11. 45 2. KUT RAVNINA (PONAVLJANJE) Promotrite najprije kocku i kvadar, a zatim valjak i kuglu, pa uočite ravne i zakrivljene plohe. 1. Promotrite kocku i kvadar. Kocka ima samo ravne plohe. Kako se zovu plohe kocke? __________________________ 2. I kvadar ima samo ravne plohe. Kako se zovu plohe kvadra? ________________________________ Promotrite valjak i kuglu. Valjak ima dvije ravne i jednu zakrivljenu plohu. Kako se zovu ravne plohe valjka? _____________________________________ Kugla ima samo zakrivljenu plohu. 3. Slika nam predočuje jednu ravnu i jednu zakrivljenu plohu. 4. RAVNINA Zamislimo da se kvadrat neograničeno povećava. Tako nastane ravnina. Slika predočuje ravninu R. R Ravnina je neome�ena ravna ploha. 46 www.skolskenovine.hr Ravna ploha stola, školske ploče, poda učionice i školskog igrališta predočuju nam dijelove ravnina. List papira na kojemu crtamo tako�er nam predočuje ravninu. Sve što nacrtamo na listu papira pripada ravnini koju taj list predočuje. 5. Nacrtajte u biljeænicu: ravnu crtu zakrivljenu crtu izlomljenu crtu Svaka točka tih crta pripada istoj ravnini. 6. 6. Nacrtajte: pravac polupravac duæinu Sve točke pravca, polupravca i duæine nacrtani na ovom listu pripadaju istoj ravnini. 7. Nacrtajte u biljeænicu: S dva pravca koji se sijeku dva usporedna pravca Pripadaju li sve točke ovih pravaca ravnini u kojoj su nacrtane? 8. Nacrtajte u biljeænicu: B V A dva polupravca koji imaju istu početnu točku dva polupravca kojima su početne točke različite www.skolskenovine.hr 47 KUT 1. Ponovimo o polupravcu: T a Točka T rastavlja pravac na dva dijela. Svaki se dio, zajedno s točkom T, zove polupravac. T je početna točka polupravca. T T Polupravac je dio pravca. To je ravna crta. Označuje se malim slovima: a, b, c, ... a b c P i T dvije su različite točke pravca b. Kako se zovu dijelovi pravca koje odre�uju te dvije točke? T P b I. Dio I.____________ 2. II. III. Dio II.______________ Dio III._______________ Nacrtajmo dva pravca koji se sijeku. R b T a Pravci a i b sijeku se u točki T. Koliko polupravca s početnom točkom T vidite na slici?_____________________________ Ravnina R podijeljena je na četiri dijela. Svaki dio ravnine odre�en je dvama polupravcima koji imaju istu početnu točku T. Dio ravnine ome�en dvama polupravcima s istom početnom točkom zove se kut. 3. Na slici je nacrtan kut. 4. Oznaka za kut: kut (a, b), ili (a, b). Čitamo: kut a, be. Na primjer, na slici su nacrtana tri kuta. Prvi slijeva je (k, l). Napišite oznake druga dva kuta. d l n Polupravci koji ome�uju kut zovu se kraci i oni tako�er pripadaju kutu. Početna točka obaju polupravaca je vrh kuta. Vrh kuta označen je slovom V. Kraci kuta označeni su slovima a, b. k 48 c m www.skolskenovine.hr UNUTARNJE, RUBNE I VANJSKE TO»KE KUTA 1. Promotrite odnos točke i kuta. d Točka B pripada kutu (c, d). Točka A pripada kraku kuta (c, d) i ujedno kutu (c, d). Točka C ne pripada kutu (c, d). c Na slici je nacrtan kut (a, b). Nacrtajte: 2. a) točku A koja pripada kutu (a, b), b) točku B koja pripada kutu (a, b) i jednom njegovu kraku, c) točku C koja ne pripada kutu (a, b). U kakvom su odnosu pravci a i b prema kutu na slici? n 3. Pravac a siječe kut (m, n). Pravac b ne siječe kut (m, n). m Pravac b i i kut (m, n) nemaju ni jednu zajedničku točku. Pravac a siječe kut (m, n). Svaka točka duæine AB ujedno je i točka kuta (m, n), tj. pripada kutu (m, n). Promotrimo me�usobni odnos kuta (k, l) i pravaca c i d. 4. l k Pravac c i kut (k, l) imaju samo jednu zajedničku točku V. Točke koje pripadaju polupravcu s početnom točkomV ujedno pripadaju i kutu (k, l). Nacrtajte kut i jednu duæinu koja nema ni jedne zajedničke točke s kutom. www.skolskenovine.hr 5. 49 USPORE�IVANJE KUTOVA. PRAVI KUT. łILJASTI KUT. ISPRUÆENI KUT. TUPI KUT 1. Usporedite ova dva kuta: Radite ovako: Preslikajte kut (a, b) na prozirni papir pa prekrijte kut (c, d). Pri tome pazite da krak a pokrije krak c, a vrh A vrh B. Što opaæate? Koji je kut veći? 2. Usporedite pomoću prozirnog papira ova dva kuta: n l C m D Što opaæate? Kutovi koji se mogu dovesti do prekrivanja sukladni su. k Sukladni su kutovi jednake veličine. 3. Usporedite kutove na slici što ih čine prvaci koji se sijeku a i b. Koji su kutovi jednaki (sukladni)? d 4. a c b Mogu li sva četiri kuta što ih čine dva pravca koja se sijeku biti jednaka? DA − NE. Nacrtajte sliku u tom slučaju. Dva me�usobno okomita pravca dijele ravninu na četiri jednaka dijela, tj. na četiri kuta jednake veličine. Kraci svakoga od ta četiri kuta me�usobno su okomiti. Kut kojemu su kraci me�usobno okomiti zove se pravi kut. 50 www.skolskenovine.hr CRTANJE PRAVOG KUTA Pravi se kut crta ovako: V a V a V a 1. Nacrtajte polupravac a. 2. Postavite manji brid pravokutnog trokuta uz polupravac a. 3. Prislonite ravnalo uz najveći brid trokuta. V a b a 4. Pomičite trokut duæ ravnala dok drugi kraći brid ne pro�e točkom V pa točkom V nacrtajte polupravac b. 5. Dobili ste pravi kut. ©ILJASTI, ISPRUÆENI I TUPI KUT Usporedite ova dva kuta pomoću prozirnog papira: 1. Kut (c, d) je______ od kuta (a, b) Svaki kut koji je manji od pravoga kuta zove se šiljasti kut. Nacrtajte dva šiljasta kuta. 2. Povećanjem kuta (c, d) moæe se dogoditi da krak d padne na produæenje kraka c. Nastali kut zove se ispruæeni kut. 3. www.skolskenovine.hr 51 4. Na slici je nacrtan ispruæeni kut s vrhom V. Nacrtajte jedan polupravac s rubnom točkom V koji pripada kutu i označite nastale kutove. Usporedite te kutove. Mogu li ta dva kuta biti sukladna? Da − NE. (Odgovor obrazloæite.) Nacrtamo li polupravac p okomito na pravac a, tada je ispruæeni kut podijeljen na dva prava kuta. Polupravac p moæemo nacrtati i tako da nastane kut veći od pravoga, a manji od ispruæenoga. 5. Nacrtajte tri kuta veća od pravog kuta, a manja od ispruæenog kuta. 1. kut 2. kut 3. kut Ti se kutovi zovu tupi kutovi. Svaki kut veći od pravoga, a manji od ispruæenog kuta zove se tupi kut. 6. Nacrtajte: 52 a) pravi kut, b) šiljasti kut, c) tupi kut. www.skolskenovine.hr 3. PISANO MNOŽENJE MNOÆENJE BROJEVA (PONAVLJANJE) 1. Izračunajte: 23 · 3 69 75 · 5 87 · 9 57 · 10 Ponovimo osnovna svojstva mnoæenja. 2. Popunite tablicu. a b a·b b·a 8 2 16 16 Uočite da je: 5 4 7 6 9 3 4 9 7 8 6 10 a·b=b·a Za mnoæenje brojeva vrijedi svojstvo komutativnosti (zamjene faktora). Umnoæak ostaje isti ako faktorima zamijenimo mjesta. 3. Popunite tablicu. a 7 5 9 2 10 7 b 6 8 6 4 7 8 c 9 3 5 8 4 9 a·b 42 b·c 54 (a · b) · c 378 a · (b · c) 378 Uočite da je: (a · b) · c = a · (b · c) Za mnoæenje brojeva vrijedi svojstvo asocijativnosti (zdruæivanje faktora). Zdruæivanje faktora prikazano je zagradama. Umnoæak se neće promijeniti ako faktore zdruæimo. www.skolskenovine.hr 53 MNOÆENJE ZBROJA BROJEVA I RAZLIKE BROJEVA BROJEM 1. Učenici 4. a i 4. b razreda idu na izlet. Iz 4. a na izlet idu 34, a iz 4. b ide 29 učenika. Za autobus svaki učenik treba dati 9 kuna. Koliko je ukupno iznosio račun za autobus? Mirjana skuplja novac u 4. a, a Branko u 4. b razredu. Mirjana računa: 34 · 9 = 306 Branko računa: 29 · 9 = 261 Zatim zbrajaju: 306 + 261 = 567. Ukupno je za autobus plaćeno 567 kuna. Cjeli ovaj račun kratko zapisujemo ovako: (34 + 29) · 9 = 63 · 9 = 567. Ovdje smo zbroj brojeva 34 i 29 mnoæili s devet. Svaki smo pribrojnik pomnoæili s devet i dobivene umnoške zbrojili. 2. Popunite tablicu. a 28 50 28 41 27 b 46 30 42 39 48 c 8 6 5 9 4 a+b 74 a·c 224 b·c 368 (a + b) · c 592 a·c+b·c 592 Uočite da je: (a + b) · c = a · c + b · c Za mnoæenje zbroja brojeva vrijedi svojstvo distributivnosti (raspodjele). Zbroj mnoæimo nekim brojem tako da svaki pribrojnik pomnoæimo tim brojem i dobivene umnoške zbrojimo. 54 www.skolskenovine.hr Sad ćemo naučiti kako se razlika brojeva mnoæi nekim brojem. 3. Popunite tablicu. a 83 70 95 87 91 b 37 30 45 24 26 c 6 10 5 7 9 a−b 46 a·c 498 b·c 222 (a − b) · c 276 a·c−b·c 276 Uočite da je: (a − b) · c = a · c − b · c Razliku dvaju brojeva mnoæimo nekim brojem tako da oba člana razlike pomnoæimo tim brojem i dobivene umnoške oduzmemo. 4. Izračunajmo:28 · 7 + 42 · 7. Taj bismo zadatak mogli riješiti ovako: 28 · 7 = 196, 42 · 7 = 294, 196 + 294 = 490. Zadatak lakše riješimo ovako: 28 · 7 + 42 · 7 = (28 + 42) · 7 = 70 · 7 = 490. Ovdje smo primijenili formulu za distributivnost (čitanu zdesna ulijevo): a · c + b · c = c · (a + b) Izračunajte na najbræi način: 89 · 9 − 39 · 9. 5. 89 · 9 − 39 · 9 = (89 − 39) · 9 = 50 · 9 = 450. Sada smo se koristili jednakošću: a · c − b · c = (a − b) · c Zadatak riješite na drugi način i provjerite jeste li dobili isti rezultat. www.skolskenovine.hr 55 PISANO MNOÆENJE VI©EZNAMENKASTOGA BROJA JEDNOZNAMENKASTIM BROJEM U ovome ćete poglavlju naučiti kako se troznamenkasti, četveroznamenkasti i peteroznamenkasti brojevi mnoæe jednoznamenkastim brojevima. 1. Napišite brojeve 357, 505, 1 784, 37 586, 257 349, 807 500 u tablicu mjesnih vrijednosti, a zatim u obliku zbroja višekratnika dekadskih jedinica. ST DT 8 2. T 0 7 S 3 D 5 J 7 5 0 0 = 3 · 100 + 5 · 10 + 7 · 1 = 300 + 50 + 7 = __________________________ = = 1 · 1 000 + 7 · 100 + 8 · 10 + 4 · 1 = = ________________________________ = = ___________________________________ = = 8 · 100 000 + 0 · 10 000 + 7 · 1 000 + 5 · 100 = Pomnoæite broj 324 brojem 2. T S 3 6 D 2 4 J 4 8 Najprije mnoæimo jedinice, zatim desetice i napokon stotice. Govorimo ovako: ·2 Račun kraće zapisujemo ovako: 324 · 2 648 Provjerite rezultat zbrajanjem: 3. 2 puta 4 je 8 2 puta 2 je 4 2 puta 3 je 6. 324 + 324 = Izračunajte: 323 · 3 124 · 2 222 · 4 103 · 3 234 · 2 431 · 2 132 · 3 411 · 2 220 · 4 402 · 2 310 · 2 123 · 3 Rezultate provjerite zbrajanjem. 4. 56 U kinu sa 320 sjedišta prikazuje se film jednom na dan. U tri dana rasprodane su sve ulaznice za svaki dan. Koliko je gledalaca gledalo taj film u ta tri dana? _____________________________________________________________________ www.skolskenovine.hr 5. Pomnoæite 328 brojem 3. T S 3 9 9 D 2 2 6 8 J 8 ·3 Račun kraće zapisujemo ovako: 3 puta 8 je 24; to su 4 jedinice i 2 desetice. Jedinice zapisujemo, a 2 desetice pribrajamo deseticama. Izgovaramo ovako: 3 puta 8 je 24; 4 3 puta 2 je 6; 6 i 2 je 8 3 puta 3 je 9 328 · 3 984 24 4 Izračunajte: 6. 318 · 3 261 · 2 213 · 4 732 · 3 252 · 4 4 · 116 6 · 115 7 · 113 3 · 217 3 · 129 Umnoæak brojeva 732 i 2 zbroji s umnoškom brojeva 262 i 2. ______________________________________________________________________ 7. Jedna litra mlijeka stoji 560 lipa. Koliko stoje dvije litre mlijeka? Izrazite rezultat u kunama i lipama. 8. _______________________________ 9. Jedan kilogram jabuka stoji 6 kuna. Koliko treba platiti za 115 kilograma? _______________________________ 10. Pomnoæite 154 brojem 4. T S D J ·4 1 5 4 2 1 4 20 16 6 1 6 Pomnoæite: 148 · 5 Ili kraće: 154 · 4 616 Izgovaramo ovako: 4 puta 4 je 16; 6 4 puta 5 je 20; 20 i 1 je 21; 1 4 puta 1 je 4; 4 i 2 je 6. 11. 425 · 3 321 · 8 418 · 5 921 · 9 Tijekom jednog sata prošlo je autoputom 215 putničkih automobila. Koliko su ljudi ti automobili mogli prevesti ako bi se u svakom autu vozila 4 čovjeka? _____________________________________________________________________ www.skolskenovine.hr 12. 57 13. Šaljivi zadatak: Lete dva jata ptica. Ptica iz jednoga jata kaæe: „Dajte nam jednu pticu, pa Êe nas biti jednak broj kao u vaπem jatu.” Ptica iz drugoga jata odgovori: „Dajte vi nama jednu pticu, pa Êe nas biti dva puta viπe nego vas.” Koliko je ptica u jednome, a koliko u drugome jatu? ____________________________ ____________________________ 14. Zamislio sam dvostruki zbroj brojeva 154 i 199. Koji sam broj zamislio? _____________ 15. Nepoznati je broj za 18 veći od umnoška brojeva 186 i 5. Koji je to broj?_____________ 16. Koji brojevi mogu biti x ako je: 123 · 5 < x < 155 · 4? ____________________________ 17. Pomnoæite broj 845 sa 4. T 3 3 18. S 8 1 32 3 ·4 Ili kraće: 845 · 4 3380 Izgovaramo ovako: 4 puta 5 je 20; 0 4 puta 4 je 16; 16 i 2 je 18; 8 4 puta 8 je 32; 32 i 1 je 33. Izvedite ova mnoæenja: 287 · 7 19. D J 4 5 2 16 20 8 0 354 · 3 475 · 8 259 · 6 „Koliko imate ovaca?” upita djeËak starca. „Izbroji ih!” reËe starac. DjeËak je brzo brojio i rekao: „Ovaca je 23.” „Ne”, odgovori starac. „Pri brojenju si izostavio svaku petu ovcu.” DjeËak je nakon toga brzo odgovorio koliko starac ima ovaca. Na to pitanje odgovori i ti. _______________________________ _______________________________ _______________________________ 58 www.skolskenovine.hr Pomnoæimo broj 43 142 brojem 2. DT 4 8 T 3 6 S 1 2 D 4 8 J 2 4 20. Sa 2 mnoæimo najprije jedinice, zatim desetice pa stotice, itd. ·2 Mnoæimo bez tablice: 43 142 · 2 86 284 Umnoæak brojeva 43 142 i 2 je 86 284, tj. 43 142 · 2 = 86 284. Mnoæiti moæemo i bez potpisivanja: 43 142 · 2 = . . . . 4 Umjesto točkica, upišite odgovarajuće znamenke. 21. Pomnoæite: 320 143 · 2 320 143 · 2 = . . . . . . 22. Pomnoæimo broj 78 051 sa 6. ST DT T 7 8 4 4 42 48 4 6 8 S D 0 5 3 0 30 3 0 J 1 6 · 1 = 6, pišemo 6. 6 · 5 = 30, pišemo 0, 3 (dalje) 6 · 0 = 0, 0 + 3 = 3, 3 pišemo 6 · 8 = 48, 8 pišemo, 4 (dalje) 6 · 7 = 42, 42 + 4 = 46. ·6 6 6 Pomnoæimo bez tablice: 78 051 · 6 468 306 ili 78 051 · 6 = 468 306 23. Provjerite jesu li točno riješeni sljedeći zadatci: 23 456 · 7 164 192 38 095 · 8 304 760 50 403 · 9 453 627 137 095 · 6 822 570 Pomnoæite: 24. 4 532 · 3; 70 532 · 2; 25 000 · 8; 123 456 · 7; 7 203 · 8; 38 490 · 6; 70 005 · 6; 204 067 · 8. www.skolskenovine.hr 59 PISANO MNOÆENJE VI©EZNAMENKASTOGA BROJA DVOZNAMENKASTIM BROJEM Mnoæenje brojeva sa 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 i 90. 1. Pomnoæite: 378 · 10 = 3 780 Zadanom broju 378 dopisali smo nulu. 378 · 20 = 378 · (2 · 10) = (378 · 2) · 10 = 756 · 10 = 7 560 378 · 30 = 378 · (3 · 10) = (378 · 3) · 10 = 1 134 · 10 = 11 340 378 · 40 = 378 · (4 · 10) = __________________ 378 · 80 = ______________________________ Broj mnoæimo višekratnikom broja 10 (do broja 90) tako da ga pomnoæimo brojem desetica, a zatim dobivenom broju dopišemo nulu. 2. 3. Izračunajte: 7 806 · 50 = 390 300 2 300 · 30 = 8 768 · 90 = 789 120 4 805 · 50 = 2 900 · 70 = 203 000 3 254 · 60 = 3 960 · 40 = 158 400 7 560 · 70 = 6 758 · 80 = 540 640 8 675 · 90 = Pomnoæimo broj 328 sa 32. Najprije mnoæimo u tablici. DT T 9 1 0 S 3 8 6 4 D 2 4 5 9 J 8 0 6 6 DT · (30 + 2) 328 · 30 328 · 2 Broj 32 napisali smo kao 30 + 2 Broj 328 pomnoæili smo najprije sa 30, a zatim sa 2. Dobivene smo umnoške zbrojili. 60 T 9 1 0 S 3 8 6 4 D 2 4 5 9 J 8 0 6 6 · 32 328 · 3 D 328 · 2 J Broj 328 najprije smo mnoæili sa 3 desetice, a zatim sa 2 jedinice. Trebamo paziti na pisanje brojeva tako da jedinice do�u u stupac jedinica, desetice u stupac desetica itd. www.skolskenovine.hr Mnoæimo bez tablice: 328 · 32 984 + 656 10 496 Govorimo i pišemo: 3 puta 8 je 24, 4 pišemo, 2 dalje 3 puta 2 je 6, 6 više 2 je 8, 8 pišemo 3 puta 3 je 9, 9 pišemo Mnoæenjem sa 3 desetice dobili smo umnoæak 984. Sada mnoæimo sa 2 jedinice. 2 puta 8 je 16, 6 pišemo, 1 dalje 2 puta 2 je 4, 4 više 1 je 5, 5 pišemo 2 puta 3 je 6, 6 pišemo Mnoæenjem sa 2 jedinice dobili smo umnoæak 656. Broj 656 pomaknut je za jedno mjesto udesno radi točnog upisivanja znamenaka u tablici mjesnih vrijednosti. Jedinice pišemo na odgovarajuće mjesto jedinica, desetice na odgovarajuće mjesto desetica itd. U jednome zooloπkom vrtu æivi 5 deva i 6 magaraca. Svaka od tih æivotinja, uz stalnu hranu, pojede tjedno i po 2 kilograma jabuka. Koliko ukupno kilograma jabuka te æivotinje pojedu u 12 tjedana? 4. Pomnoæite brojeve: 5. 230 · 45 6 325 · 38 4 082 · 64 8 765 · 97 Koji je broj 75 puta veći od broja 6 500? ______________________________________ 6. U knjiæari je prodano 3 728 knjiga iz matematike po cijeni od 39 kuna. Koliko je ukupno plaćeno za te knjige?_______________________________________ 7. Zbroj brojeva 2 378 i 4 572 pomnoæite brojem 78. 8. _____________________________________________________________________ Razliku brojeva 5 876 i 986 pomnoæite brojem 93. 9. ______________________________________________________________________ www.skolskenovine.hr 61 10. Izračunajte: a) 2 358 · 67 + 3 142 · 67. b) 38 · 4 958 + 38 · 3 153. 11. Izračunajte: a) 98 · 8 956 − 98 · 1956. b) 9 090 · 56 − 56 · 7 085. 12. UËenici su 3 mjeseca redovito iπli u πumu hraniti srne. UËenici 4. b razreda davali su srnama mjesečno 1 103 kilograma hrane, a uËenici 4. a razreda 4 kilograma hrane manje. Koliko su ukupno hrane uËenici dali za srne? _____________________________________________________________________ 13. Meu 61 uËenikom 4. a i 4. b razreda 32 su djevojËice. Lovci su djevojËicama dali kolaËe, a svakomu djeËaku po dvije jabuke. Koliko su jabuka lovci dali djeËacima? _____________________________________________________________________ 14. Voćar je prodao 875 kg jabuka prvog dana i 525 kg drugog dana po cijeni od 12 kuna za kilogram. Prodao je i 270 kg krušaka prvog dana i 380 kg drugog dana po cijeni od 14 kuna za kilogram. Koliko je ukupno kuna dobio za kruške i jabuke? ______________________________________________________________________ 15. Povratna karta od jednoga grada do drugoga stoji 280 kuna za odrasle osobe, a za djecu 180 kuna. Koliko Êe ukupno platiti za prijevoz mama, tata i troje djece? ______________________________________________________________________ 62 www.skolskenovine.hr TROKUT, PRAVOKUTNIK I KVADRAT PRAVOKUTNIK, KVADRAT I TROKUT KAO PLOHE UGLATIH GEOMTERIJSKIH TIJELA (PONAVLJANJE) 4. Promatrajte razne predmete i gra�evine te uočite njihove oblike. Upoznali ste različita geometrijska tijela: kvadar, kocku, piramidu, valjak i kuglu. Nacrtana su neka uglata geometrijska tijela. Promotrite njihove plohe. 1. Plohe ovih tijela su pravokutnici, kvadrati i trokuti. 2. Na slici su piramide. Nacrtana je piramida, promotrite njezine strane. 3. Nacrtana su tri geometrijska lika. Napišite kako se oni zovu. _______________ ________________ ______________ www.skolskenovine.hr 63 STRANICE, VRHOVI I KUTOVI TROKUTA Trokut je geometrijski lik koji ste već upoznali. U ovom poglavlju trokut ćete detaljnije proučavati. 1. U ravnini označimo tri točke A, B, C koje ne pripadaju istom pravcu. Spojimo li te tri točke duæinama AB, BC i CA, nacrtali smo trokut ABC. Na slici je nacrtan trokut ABC. Duæine AB, BC i CA zovu se stranice trokuta. One ome�uju trokut. Trokut je dio ravnine ome�en s tri duæine. Po dvije susjedne stranice imaju jednu zajedničku točku. Na slici su to točke: ______, ______, ______. Točke A, B, C zovu se vrhovi trokuta. Duljine stranice trokuta označujemo: |AB|, |BC|, |CA|. Izmjerite stranice trokuta. |AB| = ________ mm, |BC| = _________ mm, |CA| = __________ Duljine stranica trokuta označujemo i malim slovima abecede: a, b i c. Često kaæemo da su stranice trokuta a, b i c. Uočite da se stranica duljine a nalazi nasuprot vrhu A, stranica duljine b je nasuprot vrhu B i stranica duljine c je nasuprot vrhu C. Dakle, a = |BC |, b = |AC | i c = |AB |. 2. Na slici je trokut s vrhovima D, E i F. Govorimo i pišemo: trokut DEF ili DEF. Koje su stranice toga trokuta? Izmjerite duljine stranica trokuta DEF. |DE| = __________________ |EF| = __________________ |FD| = __________________ 64 www.skolskenovine.hr Nacrtan je trokut ABC. Označene su neke točke ravnine. Promotri sliku. 3. Točke D, E, F, G točke su na stranicama trokuta ABC. Te točke pripadaju trokutu. Sve točke stranica trokuta pripadaju tom trokutu. To su rubne točke trokuta. Označite još neke rubne točke trokuta ABC. Točke K i L točke su trokuta ABC. To su unutarnje točke trokuta. Označite još neke unutarnje točke trokuta ABC. Točke M i N ne pripadaju trokutu ABC. Označite tri točke koje ne pripadaju trokutu ABC. Na slici je nacrtan kut (m, n) s vrhom A. Pravac p dijeli kut na dva dijela: dio I. i dio II. 4. Dio I., uključujući duæinu BC, trokut je ABC. Stranice trokuta su duæine: ___, ___, ___. Vrhovi trokuta su točke: ___, ___, ___. n Dvije susjedne stranice trokuta ABC nalaze se na kracima kuta (m, n). Kaæemo da stranice trokuta ABC, AB i AC zatvaraju kut (m, n). Trokut ABC dio je kuta (m, n). m n p p Trokut ABC moæemo shvatiti i kao dio kuta (p, m), odnosno i kao dio kuta (p, n). m Prema tome, trokut ABC ima tri kuta: kut pri vrhu A, kut pri vrhu B, kut pri vrhu C. Kaæemo još da trokut ABC ima tri kuta. Po tome je dobio naziv. Nacrtan je trokut ABC. Označeni su kutovi (c, b), (c, a) i (a, b) te stranice a, b i c. www.skolskenovine.hr 65 VRSTE TROKUTA S OBZIROM NA DULJINE STRANICA Razvrstat ćemo trokute prema duljinama njihovih stranica. 1. Izmjerite stranice nacrtanog trokuta u milimetrima pa odredite zbroj njihovih duljina. Ovaj trokut ima sve stranice različitih duljina. Trokut kojemu su sve stranice različitih duljina zove se raznostraničan trokut. 2. U ovom su trokutu sve tri stranice jednake duljine. Provjerite to mjerenjem. Trokut koji ima sve tri stranice jednake duljine zove se jednakostraničan ili pravilan trokut. 3. U ovom su trokutu dvije stranice jednake duljine. Provjerite to mjerenjem. Trokut koji ima dvije stranice jednake duljine zove se jednokračan trokut. Stranice BC i CA, koje su jednake duljine, zovemo kracima trokuta ABC. Stranica AB zove se osnovica jednokračnog trokuta. Izmjerite i izrazite u milimetrima zbroj duljina stranica trokuta ABC. 4. S obzirom na duljinu stranica trokute smo podijelili na raznostranične, jednakostranične i jednakokračne. Nacrtana su tri trokuta. Izmjerite njihove stranice i napišite koji su to trokuti. __________________ 66 ________________ _________________ www.skolskenovine.hr CRTANJE JEDNAKOSTRANI»NOGA, JEDNAKOKRA»NOGA I RAZNOSTRANI»NOGA TROKUTA Poznato vam je da su sve stranice jednakostraničnog trokuta jednake duljine. Sada ćete naučiti kako se crta jednakostraničan trokut. Nacrtajmo jednakostraničan trokut ABC kojemu je duljina stranice 3 cm. 1. Nacrtamo duæinu čija je duljina 3 cm. B A 1. 2. Nacrtamo dvije kruænice kojima su radijusi duljine 3 cm. Središte jedne kruænice je točka A, a druge točka B. C 3. Sjecište kruænica označimo sa C. A B 4. Spojimo li točke A i B s točkom C (ravnim crtama), nacrtali smo trokut ABC. Dakle, jednakostraničan trokut crtamo na sljedeći način: 1. Nacrtamo jednu stranicu trokuta, npr. stranicu AB . 2. Nacrtamo samo dio kruænice (kruæne lukove) sa središtima A i B te radijusom AB , tako da se sijeku u točki C. 3. I na kraju nacrtamo duæine AC i BC . Nacrtajte jednakostraničan trokut kojemu je duljina stranice 27 mm. www.skolskenovine.hr 2. 67 3. Nacrtajmo jednakokračan trokut ABC kojemu je duljina jedne stranice (osnovice) 20 mm, a duljina kraka 25 mm. 1. Najprije nacrtamo stranicu AB čija je duljina 20 mm. 2. Nacrtamo dvije kruænice radijusa 25 mm i sa središtem u točkama A i B. 3. Sjecišta tih kruænica označimo sa C i D. 4. Nacrtamo li duæine AC i BC , dobili smo trokut ABC. Ubuduće nećemo crtati cijele kruænice nego njihove lukove tako da se presijeku u točki C. 4. Nacrtajte jednakokračan trokut ABC kojemu je duljina osnovice a = 3 cm, a duljina kraka b = 2 cm. 5. Nacrtajmo raznostraničan trokut kojemu su duljine stranica a = 25 mm, b = 30 mm, c = 35 mm. 1. Nacrtamo najprije stranicu AB duljine 35 mm. 2. Nacrtamo dio kruænice (kruæni luk) sa središtem u točki A i radijusom duljine 30 mm. 3. Nacrtamo dio kruænice (kruæni luk) sa središtem u točki B i radijusom duljine 25 mm. 4. Sjecište kruænica (kruænih lukova) označimo sa C. 5. Spojimo ravnom crtom točke A i B s točkom C. 6. Nacrtajte raznostraničan trokut kojemu su duljine stranica 68 a = 28 mm, b = 32 mm i c = 4 cm. www.skolskenovine.hr łILJASTOKUTNI, TUPOKUTNI I PRAVOKUTNI TROKUT 1. Nacrtan je trokut čija su sva tri kuta šiljasta. Trokut kojemu su sva tri kuta šiljasta zove se šiljastokutni trokut. Nacrtan je trokut kojemu je jedan kut tupi. Ostala dva kuta su šiljasti kutovi. 2. Trokut koji ima jedan tupi kut zove se tupokutni trokut. 3. Nacrtan je trokut koji ima jedan pravi kut. Trokut koji ima jedan pravi kut zovemo pravokutnim trokutom. U trokutu ABC pravi kut je kut (a, b). Kakvi su kutovi (b, c) i (a, c)? c a 3. b Nacrtana su tri trokuta. Kako se oni zovu s obzirom na veličinu njihovih kutova? _____________ ______________ 4. ______________ Drugi trokut ima jedan pravi kut i dva šiljasta kuta. Treći trokut ima ___________________ kut i dva __________________________kuta. www.skolskenovine.hr 69 5. Nacrtajmo pravokutni trokut ABC ako su duljine stranica koje zatvaraju pravi kut |CA| = 30 mm, |CB|= 25 mm. 1. Nacrtamo pravi kut s vrhom u točki C. 2. Na jedan krak nanesemo stranicu CA duljine 30 mm. 3. Na drugi krak nanesemo stranicu CB duljine 25 mm. 4. Nacrtamo stranicu AB . 6. Nacrtajte pravokutni trokut ABC kojemu su duljine stranica |CB| = 3 cm, |CA| = 4 cm. Izmjeri treću stranicu. 7. Nacrtajte dva trokuta tako da jedan ima tupi kut, a drugome su sva tri kuta šiljasta. 8. Koliko trokuta vidiš na slici? a) b) _________________ 9. 70 c) ________________ _______________ Nacrtajte jedan pravokutan jednakokračan trokut i jedan tupokutan jednakokračan trokut. www.skolskenovine.hr OPSEG TROKUTA Sad ćete naučiti što je opseg trokuta. 1. Mladen je napravio trokut od letvica, tako da se stranice mogu pomicati, a trokut „otvoriti”. Na slici c) letvice su ispruæene pa čine jednu duæinu. Duljina te duæine jednaka je zbroju duljina svih stranica toga trokuta. Nacrtan je trokut ABC kojemu su duljine stranica a = 25 mm, b = 28 mm i c = 26 mm. 2. Zbrojimo duljine stranica tog trokuta: 25 + 28 + 26 = 79. Zbroj duljina svih stranica zadanog trokuta je 79 mm. Stranice trokuta prenijeli smo na jednu duæinu. Izmjerite duæinu. Kolika je njezina duljina? Zbrajanjem duljina svih stranica trokuta odredili smo njegov opseg. Opseg trokuta je zbroj duljina svih stranica trokuta. Oznaka za opseg je slovo o. Ako su duljine stranica trokuta a, b i c njegov je opseg: o=a+b+c www.skolskenovine.hr 71 3. Izračunajte opseg trokuta kojemu su duljine stranica: a = 47 mm, b = 55 mm i c = 78 mm. Opseg zadanog trokuta izrazite centimetrima. 4. Izračunajmo duljinu treće stranice raznostraničnog trokuta kojemu su zadane duljine dviju stranica i opseg: a = 9 m, b = 7 m, o = 26 m. o=a+b+c 26 = 9 + 7 + c 26 = 16 + c c = 26 − 16 c = 10 m Duljina treće stranice trokuta je 10 m. 5. Izračunajte duljinu treće stranice raznostraničnoga trokuta kojemu su zadane duljine dviju stranica i opseg: a = 49 mm, c = 51 mm, o = 147 mm. 6. Nacrtajmo jednakokračni trokut kojemu je duljina osnovica a = 32 mm i duljina kraka b = 34 mm. Izračunajmo opset tog trokuta. Poznato vam je da su dvije stranice jednakokračnog trokuta jednake duljine. To su kraci tog trokuta. b b Zbrojimo duljine stranica tog trokuta: 32 + 34 + 34 = 100 Zbroj duljina stranica tog trokuta je 100 mm ili 10 cm. a Ako je duljina osnovice jednakokračnog trokuta a te duljina kraka b, onda je opseg toga trokuta o=a+b+b 72 ili o=a+2·b www.skolskenovine.hr Izračunajmo opseg jednakokračnog trokuta kojemu je duljina osnovice a = 378 m i duljina kraka b = 311 m. 1. o=a+2·b o = 378 + 2 · 311 o = 378 + 622 o = 1 000 7. Opseg zadanog trokuta je 1 000 m ili 1 km. Izračunaj opseg jednakokračnog trokuta kojemu je duljina osnovice a = 54 dm i duljina kraka b = 43 dm. Izrazi opseg tog grokuta u metrima. 8. ______________________________________________________________________ Opseg jednakokračnga trokuta iznosi 23 m, a duljina njegova kraka b = 8 m. Kolika je duljina osnovice tog trokuta? 2. 9. o=a+2·b 23 = a + 2 · 8 23 = a + 16 a = 23 − 16 a=7 Duljina osnovice zadanoga trokuta je 7 metara. Izračunajte duljinu kraka jednakokračnoga trokuta kojemu je duljina osnovice a = 15 cm i opseg o = 65 cm. 3. Nacrtajmo jednakostranični trokut kojemu je duljina stranica a = 4 cm. Izračunajmo opseg tog trokuta. 10. 11. Znamo da su sve stranice jednakostraničnog trokuta jednake duljine. Zbrojimo duljine svih stranica toga trokuta: 4 + 4 + 4 = 12. 4. Opseg tog trokuta je 12 m. Ako je duljina stranice jednakostraničnoga trokuta a, opseg tog trokuta je o=a+a+a ili o=3·a www.skolskenovine.hr 73 12. Izračunajmo opseg jednakostraničnoga trokuta kojemu je duljina stranica a = 278 metara. o=3·a o = 3 · 278 o = 834 Opseg toga trokuta je 834 metara. 13. Dječje igralište ima oblik jednakostraničnoga trokuta. Duljina jedne strane igrališta je 28 metara. Koliki je opseg tog igrališta? 14. Kolika je duljina stranice jednakostraničnoga trokuta kojemu je opseg o = 81 cm? o = 81 cm o = 3 · a, 81 = 3 · a, a = 81 : 3, a = 27 Duljina stranice toga trokuta je 27 cm. 15. Izračunajte duljinu stranice jednakostraničnoga trokuta kojemu je opseg 96 metara. 16. Nacrtaj raznostraničan trokut. Izmjeri mu stranice i izračunaj njegov opseg. 17. Nacrtaj pravokutan jednakokračni trokut. Izmjeri mu stranice i izračunaj opseg. 74 www.skolskenovine.hr VRHOVI, STRANICE I KUTOVI PRAVOKUTNIKA Ranije ste upoznali pravokutnik, a sad ćete o njemu više naučiti. 1. Pogledajte nacrtani lik. Na slici je lik koji zovemo četverokut. Četverokut je dio ravnine ome�en sa četiri duæine. Na slici su nacrtana tri četverokuta. 2. Prvi četverokut ima 2 tupa kuta i 2 šiljasta kuta. Drugi četverokut ima 2 prava, 1 tupi i 1 šiljasti kut. Treći četverokut ima četiri prava kuta. Četverokut koji ima sva četiri kuta prava zove se pravokutnik. Nacrtan je pravokutnik. Točke označene slovima A, B, C i D zovu se vrhovi pravokutnika. Duæine AB, BC, CD i DA zovu se stranice pravokutnika. Izmjeri stranice: IAB| = __________ |CD| =____________ |BC | = __________ |DA| = ____________ Promotrite sliku. Nacrtan je pravokutnik ABCD. Njegove stranice AB i CD nalaze se na usporednim (paralelnim) pravcima e i f, pa su i te stranice me�usobno usporedne. Tako�er su i stranice BC i DA me�usobno usporedne, jer se nalaze na usporednim pravcima h i g. 3. 4. Stranice AB i CD pravokutnika ABCD nasuprotne su stranice. U pravokutniku su nasuprotne stranice i stranice BC i DA. Dakle, nasuprotne stranice pravokutnika me�usobno su usporedne. Nasuprotne stranice pravokutnika jednake su duljine. www.skolskenovine.hr 75 Stranice pravokutnika koje imaju zajedničku točku (zajednički vrh) zovu se susjedne stranice. Parovi susjednih stranica su AB i BC, BC i CD, CD i DA, DA i AB. Susjedne stranice nalaze se na okomitim pravcima pa su me�usobno okomite. Na primjer, me�usobno su okomite stranice AB i DA. Napišite ostale parove okomitih stranica: ________________, ________________, ________________. 5. U ravnini je nacrtan pravokutnik ABCD, te su istaknute neke točke ravnine. Točke E, F, G pripadaju stranicama pravokutnika. One pripadaju i pravokutniku ABCD. Sve točke koje pripadaju stranicama pravokutnika pripadaju i pravokutniku. Zovemo ih rubnim točkama pravokutnika. Točke H i K pripadaju pravokutniku, a nisu rubne točke. To su unutarnje točke pravokutnika. Točke M i N ne pripadaju pravokutniku. 6. Nacrtan je pravokutnik EFGH. Istaknite i označite tri rubne i tri unutarnje točke ovog pravokutnika. Pripadaju li točke E, F, G i H pravokutniku EFGH? 7. Pogledajte sliku: Kakav oblik ima ploha: a) školske ploče _______________________ b) vrata učionice _______________________ c) jedna strana spuæve _______________________ 76 www.skolskenovine.hr CRTANJE PRAVOKUTNIKA 1. Nacrtajte pravokutnik bilo koje veličine. Nacrtajte dva para usporednih pravaca koji se sijeku tako da čine prave kutove. Zatim sjecište pravaca označite slovima, npr. A, B, C, D. Četverokut ABCD je pravokutnik. D C A B Pravokutnik crtamo ovako: 1. Nacrtamo pravac p i na njemu označimo neke dvije točke, npr. A i B. p A B 2. Nacrtamo okomice na pravac p tako da prolaze točkama A i B. A 2. p B D 3. Na jednoj okomici označimo neku točku, npr. D na okomici koja prolazi točkom A. 4. Kroz točku D nacrtamo usporedan pravac s pravcem p. Sjecište toga pravca i druge okomice (koja prolazi točkom B) označimo sa C. p A B D C Točka C je četvrti vrh pravokutnika. Tako smo nacrtali pravokutnik ABCD. A p B www.skolskenovine.hr 77 3. Zadane su duljine stranica pravokutnika ABCD: a = |AB| = 40 mm i b = |AD| = 17 mm. Nacrtaj taj pravokutnik. Najprije nacrtaj pravi kut (slika I.). S mjerila uzmite u otvor šestara duæinu od 40 mm i prenesite je počevši od vrha pravoga kuta na jedan njegov krak (slika II.). Zatim uzmite s mjerila u otvor šestara duæinu od 17 mm i prenesite je počevši od vrha pravoga kuta na njegov drugi krak (slika III.). Tako otvoren šestar prenesite iznad točke B i u nju zabodite vrh igle, a olovkom na drugom kraku šestara nacrtajte mali dio kruænice, kruæni luk (slika IV.). Sada uzmite ponovo u otvor šestara duæinu od 40 mm (to je duæina AB) te zabodite vrh igle u točku D, a olovkom na drugom kraku šestara nacrtajte luk tako da presiječete onaj luk koji ste već nacrtali iz točke B (slika V.). Nacrtani se lukovi sijeku u točki C, koja je četvrti vrh pravokutnika i zato tu točku spojite s točkama B i D (slika VI.). I. II. III. IV. V. VI. a b b a 4. 78 Nacrtajte pravokutnik ABCD kojemu su duljine stranice: a = 4 cm, b = 3 cm. www.skolskenovine.hr VRHOVI, STRANICE I KUTOVI KVADRATA Nacrtaj plohu kocke tako da je prisloniš na papir i uz bridove povučeš crtu. 1. Slika plohe kocke: 2. Nacrtana je kocka. Poznato vam je da su strane (plohe) kocke kvadrati. Jedan kvadrat na kocki je obojen. S koliko je kvadrata ome�ena kocka? Promotrite sliku. Slika prikazuje četverokut kojemu su svi kutovi pravi. Na osnovi toga zaključujemo da je nacrtan pravokutnik. 3. Izmjerite stranice nacrtanog pravokutnika. |AB| = ____________ |BC| = ____________ |CD| = ____________ |DA| = ____________ cm cm cm cm Stranice ovog pravokutnika jednake su duljine. Pravokutnik kojemu su sve stranice jednake duljine zovemo kvadrat. a a a a Nacrtan je jedan kvadrat. Točke označene slovima A, B, C i D zovu se vrhovi kvadrata. Duæine AB, BC, CD i DA zovu se stranice kvadrata. Sve stranice kvadrata jednake su duljine: a = |AB| = |BC| = |CD| = |AD|. www.skolskenovine.hr 4. 79 5. Nacrtajmo kvadrat bilo koje veličine. Kvadrat moæemo nacrtati još bræe nego pravokutnik jer u otvor šestara treba s mjerila uzeti samo jednu stranicu. Tu duæinu prenesite iz vrha pravoga kuta na jedan i na drugi njegov krak, a zatim i iz točke B i D, kao kod pravokutnika. Slika prikazuje kako se korak po korak crta kvadrat. 6. Nacrtajte kvadrat kojemu je duljina stranice 35 mm. 7. Koliko kvadrata vidiš na slici? a) Na slici je _____________ kvadrata. b) Na slici je _____________ kvadrata. 8. Nacrtajte kvadrat kojemu je duljina stranice 50 mm i 4 kvadrata kojima je duljina stranice 25 mm. 80 www.skolskenovine.hr OPSEG PRAVOKUTNIKA Iz papira izreæite usku traku pa napravite pravokutnik, kao na slici. 1. Promotrimo duljine stranica pravokutnika ABCD. 2. Duljine stranica pravokutnika označavamo: |AB|, |CD|, |BC|, |DA| ili malim slovima a i b. U svakome pravokutniku nasuprotne stranice jednake su duljine pa je: a = |AB| = |CD|, b = |BC| = |DA|. Nacrtan je pravokutnik ABCD kojemu su duljine stranica a = 36 mm, b = 24 mm. Zbrojite duljine svih stranica pravokutnika ABCD. 3. Stranice pravokutnika prenijeli smo na duæinu. Kolika je duljina te duæine? 4. Izmjerimo stranice ovoga pravokutnika: |AB| = 5 cm |CD| = 5 cm |BC| = 2 cm |DA| = 2 cm Duljina stranice AB je 5 cm, a duljina stranice CD je 5 cm. Te dvije stranice imaju jednake duljine. Za njih kaæemo da su sukladne. Stranice BC i DA tako�er imaju jednake duljine. I te su stranice sukladne. www.skolskenovine.hr 81 5. 5. Duljine stranica ovoga pravokutnika jesu: |AB| = 4 cm |CD| = 4 cm |BC| = 3 cm |DA| = 3 cm Zbrojimo: 4 + 4 + 3 + 3 = 8 + 6 = 14. To moæemo pisati: 2 · 4 + 2 · 3 = 8 + 6 = 14. Zbroj duljina svih stranica pravokutnika zove se opseg pravokutnika. Opseg označujemo slovom o. 6. Opseg ovoga pravokutnika je 14 cm. Ako duljine stranica pravokutnika označimo slovima a, b, tada opseg pravokutnika o moæemo pisati ovako: o=a+a+b+b ili o = 2 · a + 2 · b. 7. Koliki je opseg ovoga pravokutnika? 8. Izmjerite stranice ovoga pravokutnika i izračunajte mu opseg. 82 o = _________ cm o = _________ cm www.skolskenovine.hr Duljine stranica pravokutnika jesu a = 7 cm i b = 9 cm. Koliki je opseg toga pravokutnika? ______________________________________________________________________ Koliko je potrebno metara daske da se ogradi vrt pravokutnog oblika ako je duljina vrta 18 metara, a širina 17 metara? Daske treba postaviti u 3 reda. 9. 10. ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ Duljine stranica pravokutnika jesu: a = 27 m i b = 18 m. Koliki je opseg toga pravokutnika? 11. ______________________________________________________________________ Slika ima oblik pravokutnika duljine 7 dm i širine 5 dm. Kolike je duljine potrebna ukrasna letvica da se uokviri slika? 12. ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ Riješimo sljedeći zadatak: Opseg pravokutnika je 34 cm. Duljina njegove stranice a = 8 cm. Kolika je duljina stranice b? o = 2 · a + 2 · b, 34 = 2 · 8 + 2 · b, 34 = 16 + 2 · b, 18 = 2 · b, b = 9 cm Duljina stranice ovoga pravokutnika je 9 cm. 13. Opseg igrališta pravokutnog oblika iznosi 294 m. Širina igrališta je 50 m. Kolika je duljina toga igrališta? 14. ______________________________________________________________________ www.skolskenovine.hr 83 OPSEG KVADRATA 1. Na slici je kvadrat kojemu je stranica duga 5 cm. (Dovoljno je izmjeriti jednu stranicu, a ostale su jednake duljine.) Zbrojimo: 5 + 5 + 5 + 5 = 4 · 5 = 20. Zbroj duljina svih stranica kvadrata zove se opseg kvadrata. Opseg ovog kvadrata je 20 cm. 2. Ako duljinu stranice kvadrata označimo sa a, tada opseg kvadrata moæemo pisati ovako: o=a+a+a+a ili o=4·a 3. Koliki je opseg ovoga kvadrata? o = ________________ 4. Izmjerite stranicu kvadrata i izračunajte mu opseg. o = ________________ 84 www.skolskenovine.hr Duljina stranice kvadrata je 7 cm. 5. Koliki je opseg tog kvadrata? ______________________________________________________________________ Zoran je imao vrt pravokutnog oblika duljine 18 m i širine 15 m. Proširio ga je još za 3 metra, tako da je dobio vrt kvadratnog oblika. 6. Za koliko se povećao opseg toga vrta? ______________________________________________________________________ Riješimo sljedeći zadatak. 7. Ako je opseg kvadrata 20 cm, kolika je duljina njegove stranice? Budući da kvadrat ima 4 stranice jednake duljine, do rezultata dolazimo tako da 20 podijelimo sa 4. Duljina stranice toga kvadrata je 5 cm. Ako je opseg kvadrata 28 cm, duljina njegove stranice je 7 cm. Kako smo to izračunali? 8. ______________________________________________________________________ Kolika je duljina stranice kvadrata kojemu je opseg 12 cm? 9. ______________________________________________________________________ Školsko igralište ima oblik kvadrata kojemu je stranica duga 600 metara. Na slici je prikazan dio ograde koji je postavljen. 10. a) Izračunajte koliko metara ograde još treba kupiti da bi se moglo ograditi cijelo igralište. __________________________________ __________________________________ b) Izračunajte opseg igrališta. __________________________________ __________________________________ www.skolskenovine.hr 85 MJERENJE POVR©INE 1. Procijenite odoka koji od ova tri pravokutnika ima najveći opseg, a koji najmanji. Provjerite svoju procjenu mjerenjem. Kada æelimo doznati opseg pravokutnika, mjerimo duæine koje ome�uju taj pravokutnik. Duæine uvijek mjerimo duæinama. Mjerne jedinice za duæine jesu: 1 mm, 1 cm, 1 dm, 1m, 1 km. Kako ćemo doznati koliki dio ravnine ome�uju stranice svakoga ovog pravokutnika? Promotrite dobro sva tri pravokutnika i procijenite odoka jesu li oni jednako veliki ili nisu. Da bismo točnije (nego procjenom) odredili veličine tih pravokutnika, potrebno je mjeriti površine. Treba naučiti jedinice za mjerenje površine. Za mjerenje pravokutnika I., II. i III. na našoj slici dovoljno je kao mjernu jedinicu uzeti kvadrat kojemu je stranica duga 1 cm. Kvadrat kojemu je duljina stranice 1 cm zove kvadratni centimetar, a kraće se piše: 1 cm2. 2. 1 cm2 Izreæite od papira nekoliko kvadrata čija je duljina stranice 1 cm. Ispitajte s koliko takvih kvadrata možete pokriti I., II. i III. pravokutnik. Vidimo da se na svaki od ta tri pravokutnika moæe postaviti 12 takvih kvadrata, a taj se broj (12 cm2) zove površina tih pravokutnika. To se kraće piše: P = 12 cm2. Povrðina je broj mjernih kvadratnih jedinica kojima se moæe pokriti lik koji mjerimo. Prema tome, sva tri naša pravokutnika imaju jednaku površinu. 86 www.skolskenovine.hr Za mjerenje vrlo malih površina kao mjerna jedinica uzima se kvadrat kojemu je stranice 1 mm. Takav se kvadrat zove kvadratni milimetar, a piše se kraće 1 mm2. 3. Veće plohe mjere se kvadratom kojemu je duljina stranice 1 dm. To je kvadratni decimetar, koji se kraće piše 1 dm2. Promotrite sliku kvadratnog decimetra. Uočite kvadratne centimetre i kvadratne milimetre. Napišimo koliko kvadratnih centimetara i kvadratnih milimetara ima kvadratni decimetar. 1 dm2 = 10 · 10 cm2 1 dm2 = 100 cm2 1 dm2 = 100 · 100 mm2 1 dm2 = 10 000 mm2 Plohe zidova, podova, gradilišta, vrtova i njiva mjere se većom mjernom jedinicom. To je kvadrat duljine stranice 1 m i zove se kvadratni metar, a piše se kraće 1 m2. Izreæite od papira 1 dm2, a iz omotnog papira načinite 1 m2, pa ispitajte koliko kvadratnih decimetara sadræi 1 m2. 4. Napomena! Postoje i veće mjerne jedinice od navedenih. One sluæe za mjerenje polja, šuma, gradova i dræava, a to su ar, hektar i kvadratni kilometar. Kvadrat kojemu je duljina stranice 10 m zove se 1 ar, a piše se kraće 1 a. Kvadrat duljine stranica 100 m zove se 1 hektar, a piše se kraće 1 ha. Kvadrat kojemu je stranica duga 1 000 m zove se 1 kvadratni kilometar, a piše se kraće 1 km2. 5. www.skolskenovine.hr 87 6. Ponovimo. Kako mjerimo površine? Površine mjerimo jediničnim kvadratima koje prenosimo po mjerenoj površini jedan do drugoga. Manje površine mjerimo manjima, a veće površine većim jediničnim kvadratima. U tablici su napisane neke veličine jediničnih kvadrata koje najčešće upotrebljavamo. Duljina stranice kvadrata Veičina kvadrata (površina) 1 cm 1 cm2 1 kvadratni centimetar 1 dm 1 dm2 1 kvadratni decimetar 1m 1 m2 1 kvadratni metar 1a 1 ar 1 ha 1 hektar 1 km2 1 kvadratni kilometar 10 m 100 m 1 km 7. Proučite veze me�u jedinicama za mjerenje površine: * 8. 88 Čitanje znaka m2 dm2 cm2 mm2 1 100 10 000 1 000 000 1 100 10 000 1 100 km2 ha a m2 1 100 10 000 1 000 000 1 100 10 000 1 100 Izračunaj i napiši koliko je: 7 m2 = _________________ dm2 9 dm2 = ________________ cm2 7 m2 = _________________ cm2 9 dm2 = ________________ mm2 17 m2 = _________________ dm2 19 dm2 = ________________ cm2 17 m2 = _________________ cm2 19 dm2 = ________________ mm2 www.skolskenovine.hr POVR©INA PRAVOKUTNIKA Lako je utvrditi koji je od ova dva pravokutnika veći. 2 cm 3 cm 2 cm 2 cm 1. Me�utim, za ova dva pravokutnika ne bismo na prvi pogled mogli ustanoviti koji je veći. Potrebno je mjeriti, odnosno odrediti njihove veličine mjerenjem. Pravokutnik ABCD sadræi 6 jediničnih kvadrata. Kaæemo da je površina pravokutnika 6 cm2. Znakovima to pišemo ovako: 2. P = 6 cm2. Broj 6 je mjerni broj koji kaæe koliko se jediničnih kvadrata veličine 1 cm2 nalazi u pravokutniku ABCD. 3. b = 3 cm Nacrtan je pravokutnik kojemu su duljine susjednih stranica a = 5 cm i b = 3 cm. Kolika je površina ovoga pravokutnika? Površinu moæemo odrediti kao u prethodnome zadatku. Odredimo koliko je kvadratnih centimetara potrebno staviti na pravokutnik. Na jednu stranicu moæemo staviti 5 cm2 u jednome redu, a u 3 takva reda nalazi se 15 cm2. a = 5 cm Površina ovoga pravokutnika je: P = 3 · 5 cm2, P = 15 cm2. Površinu pravokutnika odredili smo mnoæenjem duljina njegovih susjednih stranica. Površinu pravokutnika moæemo dobiti i računom. Pokaæimo to na primjeru pravokutnika kojemu su duljine stranica 3 cm i 4 cm. 1. red U svakom se redu nalaze četiri 2 jedinična kvadrata od 1 cm . 2. red Redova ima tri. Dakle, 3 · 4 = 12. Površina pravokutnika je 12 cm2, 3. red kraće P = 12 cm2. 4. Ako duljine susjednih stranica označimo slovima a i b, tada je površina pravokutnika P jednaka umnošku a · b, tj. P=a·b Dakle, površina pravokutnika jednaka je umnošku duljina njegovih susjednih stranica. Duljine stranica pravokutnika mjerimo jedinicama za duæinu (cm, dm, m itd.), a površinu pravokutnika odgovarajućim jedinicama za površinu (cm2, dm2, m2 itd.). www.skolskenovine.hr 89 5. Izmjerite stranice nacrtanog pravokutnika i izračunajte mu površinu. a a = _____ cm b b = _____ cm b P = _____ cm2 a 6. 7. 8. Izračunajte površine pravokutnika kojima su duljine stranica dane u tablici. Izračunajte površinu poda vaše učionice. Dulja stranica ima ______ m ______ dm. Kraća stranica ima ______ m ______ dm. I. 2 cm 5 cm II. 3m 15 dm III. 10 m 20 m P = _____________ Izmjerite susjedne stranice pravokutnika pa usporedite površine tih pravokutnika. C D G H F B E A a) površina pravokutnika ABCD je ______ cm2. b) Površina pravokutnika EFGH je ______ cm2. c) Razlika površina je ____ cm2. Površina pravokutnika ABCD _________________ je od površine pravokutnika EFGH. 9. Izračunajte površine pravokutnika kojima su zadane duljine stranica. Rezultate upišite u tablice. a 2 cm 4 cm 12 dm 45 m b 8 cm 5 cm 8 dm 76 m P a 3 dm 2 cm 8 m 4 dm 4 cm 3 m 4 dm 4 cm b 4 dm 5 cm 5 m 8 dm 5 cm 8 mm 15 dm 2 cm P Uputa: Višeimene veličine preračunajte u jednoimene, a zatim pomnoæite mjerne brojeve. 90 www.skolskenovine.hr Na slici je nacrtan tlocrt (pogled odozgo) kuće s dvorištem i vrtom. 10. Izračunajte površine: a) dvorišta _____________ m2, b) vrta ________________ m2, c) kuće _______________ m2. Na gradilištu će se graditi 17 m duga i 12 m široka kuća. Promotrite sliku i izračunajte koliko će m2 još ostati za dvorište i vrt. 11. Površina pravokutnika je 56 cm2. Duljina jedne njegove stranice je 7 cm. Kolika je duljina njegove stranice b? 12. Površina pravokutnika je: P = a · b Budući da je P = 56 cm2 i a = 7 cm, dobivamo: 56 = 7 · b pa je b = 56 : 7 b = 8 cm. Nacrtajte jedan pravokutnik površine 10 cm2. 13. Nacrtajte dva različita pravokutnika tako da svaki ima površinu 12 cm2. 14. www.skolskenovine.hr 91 POVR©INA KVADRATA 1. Nacrtan je kvadrat kojemu je duljina stranice a = 3 cm. Kolika je površina toga kvadrata? Znamo da je kvadrat pravokutnik kojemu su sve stranice jednake duljine. Površinu pravokutnika izračunavamo tako da pomnoæimo duljine njegovih susjednih stranica. Primijenimo li to na nacrtani kvadrat, dobivamo njegovu površinu: P = 3 · 3 cm2, P = 9 cm2. Promatranjem slike zadanoga kvadrata zaključujemo: U jednome se redu nalaze tri kvadrata veličine po 1 cm2. U tri se reda nalazi 3 · 3 cm2 = 9 cm2. Na isti način izračunavamo površinu kvadrata kojemu je duljina stranice a: P=a.a Površina kvadrata izračunava se tako da se duljina njegove stranice pomnoæi sama sa sobom. 2. Nacrtajte kvadrat kojemu je duljina stranice 2 cm i odredite mu površinu na dva načina: a) mjerenjem, b) izračunavanjem. 3. Nacrtajte neki kvadrat. Izmjerite mu stranicu i duljinu izrazite u milimetrima. Izračunajte površinu toga kvadrata. 4. Promatrajte redom ove pravokutnike: Duljina stranice (maloga) kvadrata kojim mjerimo površinu pravokutnika je 5 mm. Odredite redom i napišite površine pravokutnika na slici. Koji je od nacrtanih pravokutnika kvadrat? 92 www.skolskenovine.hr Površina kvadrata je 25 cm2. Kolika je duljina stranice tog kvadrata? 5. Znamo da je površina kvadrata P = a · a. Budući da je P = 25 cm2, slijedi: 25 = a · a Pitamo se koji broj pomnoæen samim sobom daje 25. To je broj 5. Dakle, duljina stranice kvadrata površine 25 cm2 iznosi 5 cm. Nacrtajte kvadrat kojemu je površina 16 cm2. 6. Kvadrat ima duljinu stranice 5 cm 6 mm, a pravokutniku su duljine dviju susjednih stranica 4 cm 2 mm i 7 cm 3 mm. Izračunajte površinu pravokutnika i kvadrata, a zatim odgovorite za koliko je kvadratnih milimetara površina pravokutnika manja od površine kvadrata. 7. ______________________________________________________________________ Pogledajte sliku: 8. Pao je veliki snijeg. Učenici æele očistiti okoliš svoje škole. Dvorište škole ima oblik kvadrata duljine stranice 54 metra. a) Kolika je površina dvorišta koje čiste učenici? ______________________________________________________________________ b) Učenici su očistili stazu oko ograde dvorišta. Kolika je duljina te staze? ______________________________________________________________________ www.skolskenovine.hr 93 5. PISANO DIJELJENJE PISANO DIJELJENJE VI©EZNAMENKASTOGA BROJA JEDNOZNAMENKASTIM BROJEM Ponovimo najprije vezu dijeljenja i mnoæenja. Ako umnoæak dvaju brojeva podijelimo jednim faktorom, dobit ćemo drugi faktor. 1. Na primjer: 6 · 5 = 30 30 : 6 = 5 30 : 5 = 6 To ćemo svojstvo primjenjivati u sljedećim zadatcima. Proučite zadatak i izračunajte: 3 · 10 = 30 30 : 3 = 10 5 · 10 = ______ 50 : 5 = ______ 3 · 100 = 300 300 : 3 = 100 5 · 100 = ______ _____________ 3 · 1 000 = 3 000 3 000 : 3 = 1 000 5 · 1 000 = ______ _____________ 2. Popunite tablice. x 3 4 7 9 3. x:6 3 : 54 48 60 72 2 3 6 1 Izračunajte x : 4. x 18 24 42 54 6·x 18 8 · x = 56 x = 56 : 8 x = _____ x · 7 = 42 x = 42 : 7 x = _____ x : 5 = 7 x = 7 · 5 x = ____ 24 : x = 3 x = 24 : 3 x = _____ Iznos od 693 kune treba podijeliti na tri jednaka dijela. Koliko kuna iznosi svaki dio? To ćemo izračunti tzv. pisanim postupkom na dva načina: a) pomoću tablice, b) kraćim postupkom (bez tablice). 1. način (pomoću tablice) S 6 −6 0 94 D 9 9 −9 0 J 3 3 −3 0 :3= S 2 D 3 J 1 2. način (bez tablice 693 : 3 = 231 −6 09 −9 03 −3 0 www.skolskenovine.hr Govorimo: 6 podijeljeno s 3 je 2; 2 puta 3 je 6; 6 manje 6 je 0; dopisujemo 9, 9 podijeljeno s 3 je 3; 3 puta 3 je 9; 9 manje 9 je 0; dopisujemo 3, 3 podijeljeno s 3 je 1; 1 puta 3 je 3; 3 manje 3 je 0. Odgovor: Svaki dio iznosi 231 kunu. Provjera: 693 : 3 = 231 jer je 3 · 231 = 693. 5. Podijelite: 468 : 2 = 688 : 2 = 633 : 3 = Podijelite: 424 : 2 = 848 : 4 = 999 : 3 = 6. U restoranu se za 6 dana potroši 672 kg kruha. Koliko se kilograma kruha potroši prosječno svakoga dana? 7. Broj 672 treba podijeliti sa 6. Radit ćemo na dva načina: 1. način (pomoću tablice) 2. način (bez tablice) S 6 −6 0 D 7 7 −6 1 −1 J 2 :6= 2 2 0 Govorimo ovako: S 1 D 1 J 2 672 : 6 = 112 −6 07 −6 12 −12 0 6 podijeljeno sa 6 je 1; 1 puta 6 je 6; 6 manje 6 je 0; dopisujemo 7, 7 podijeljeno sa 6 je 1; 1 puta 6 je 6; 7 manje 6 je 1; dopisujemo 2, 12 podijeljeno sa 6 je 2; 2 puta 6 je 12; 12 manje 12 je 0. Odgovor: U tom se restoranu svakoga dana potroši prosječno 112 kilograma kruha. U navedenom primjeru broj desetica nije djeljiv sa 6, ostala je jedna desetica; 1 desetica i 2 jedinice je 12 i taj je broj djeljiv sa 6. www.skolskenovine.hr 95 8. Podijelite: 9. Broj 978 podijelimo brojem 6. 656 : 2 872 : 4 565 : 5 678 : 6 1. način (pomoću tablice) 2. način (bez tablice) S D 9 7 −6 3 7 − 3 6 1 −1 J 8 S 1 :6= D 6 J 3 978 : 6 = 163 −6 37 −36 18 −18 0 8 8 0 Govorimo ovako: 9 podijeljeno sa 6 je pribliæno 1; 1 puta 6 je 6; 9 manje 6 je 3; dopisujemo 7, 37 podijeljeno sa 6 je pribliæno 6; 6 puta 6 je 36; 37 manje 36 je 1; dopisujemo 8, 18 podijeljeno sa 6 je 3; 3 puta 6 je 18; 18 manje 18 je 0. U ovome primjeru ni stotica (broj 9) ni broj desetica (broj 37) nisu dijeljivi brojem 6. Pri oduzimanju stotica ostatak je bio 3, pri oduzimanju desetica ostatak je bio 1. Na kraju nije bilo ostatka. Da bismo podijelili i ostatke, postupamo ovako: ostatak stotica pretvaramo u desetice i pribrajamo ga deseticama, a ostatak desetica pretvaramo u jedinice i pribrajamo ga jedinicama. Još kraće dijelimo ovako: Govorimo: 9 podijeljeno sa 6 je pribliæno 1; 1 puta 6 je 6; 9 manje 6 je 3; dopisujemo 7. 37 podijeljeno sa 6 je pribliæno 6; 6 puta 6 je 36; 37 manje 36 je 1; dopisujemo 8; 18 podijeljeno sa 6 je 3; 3 puta 6 je 18; 18 manje 18 je 0. 978 : 6 = 163 37 18 0 10. Podijelite: 11. U ovome primjeru najveća dekadska jedinica nije djeljiva sa 5. Zato stotice mijenjamo u desetice i pribrajamo ih deseticama. Radimo ovako: 96 774 : 6 920 : 8 538 : 2 950 : 5 315 : 5 = 63 − 30 15 −15 0 Još kraće: 315 : 5 = 63 15 0 www.skolskenovine.hr Podijelite i mnoæenjem provjerite točnost. 12. 584 : 4 = ________ jer je ___________ 213 : 3 = ________ jer je ____________ 992 : 8 = ________ jer je ___________ 695 : 5 = ________ jer je ____________ 13. Koje su jednakosti točne (istinite)? 52 : 2 = 21 0 : 5 = 0 658 : 7 = 94 316 : 4 = 79 ______________________________________________________________________ 14. Izračunajte: 408 : 2, 505 : 5, 650 : 3. Radite ovako: 408 : 2 = 204 008 0 I govorite: 4 podijeljeno s 2 je 2; 2 puta 2 je 4; 4 manje 4 je nula; 0 podijeljeno s 2 je 0; 2 puta 0 je 0; 0 manje 0 je 0, dopisujemo 8; 8 podijeljeno s 2 je 4; 4 puta 2 je 8; 8 manje 8 je 0. I pri dijeljenju višeznamenkastoga broja jednoznamenkastim moæe se pojaviti ostatak, tj. broj koji je manji od djelitelja. U tom slučaju kaæemo da djeljenik nije djeljiv djeliteljem. Primjer: 553 : 3 = 184 25 13 1 15. Broj 1 je u ovom primjeru ostatak Ostatak je manji od djelitelja. Ako pri dijeljenju dobijemo ostatak, točnost dijeljenja provjeravamo ovako: a) pomnoæimo količnik djeliteljem, b) umnošku količnika i djelitelja pribrajamo ostatak, c) moramo dobiti djeljenik. Provjera: 3 · 184 + 1 = 553. Sad ćemo dijeliti brojeve do milijun jednoznamenkastim brojevima. Pri dijeljenju četveroznamenkastog broja jednoznamenkastim brojem postupamo isto kao i pri dijeljenju troznamenkastoga broja jednoznamenkastim. 16. Primjer: U pekarnici se za tri mjeseca potrošilo 4 515 vreća brašna. Koliko se vreća brašna trošilo prosječno u jednome mjesecu? www.skolskenovine.hr 97 Treba 4 515 podijeliti brojem 3. a) Pomoću tablice. b) Bez tablice. T 4 1 S 5 5 D 1 J 5 1 5 0 :3= T 1 S 5 D 0 J 5 4 515 : 3 = 1 505 15 15 0 Pekarnica je mjesečno trošila prosječno 1505 vreća brašna. Provjera: 1 505 · 3 = 4 515. Upamtite: 17. Pri mnoæenju počinjemo mnoæiti od jedinica, a pri dijeljenju počinjemo dijeliti od najveće dekadske jedinice. Dakle: 1 505 · 3 4 515 : 3 Odredite broj znamenaka u količniku, a da ne dijelite. Naznačeni količnik: 158 : 2 285 : 5 644 : 7 6 564 : 3 Broj znamenaka u količniku: ________ ________ ________ ________ 18. Riješite zadatak: Tomica s prijateljima bere kruške i jabuke tri dana. Ubrali su 825 kilograma krušaka, te 201 kilogram jabuka više nego krušaka. a) Koliko su kilograma voća ukupno ubrali? ________________________________________ b) Koliko su voća ubrali u jednom danu, ako su svakog dana brali jednako. ________________________________________ 19. Putnički zrakoplov je za 3 sata preletio 2 505 km. Koliko je kilometara taj zrakoplov preletio za 1 sat? _______________________________________________________ 20. Od dva broja jedan je četvrtina od 3 584, a drugi je trećina od 1 794. Koji je broj veći? _______ 21. Rastavite broj 2 184 na dva dijela tako da jedan dio bude tri puta veći od drugoga. jedan dio tri puta veći dio 98 www.skolskenovine.hr Izračunajte vrijednost izraza (a − b) : c ako je a = 5 746, b = 2 855, c = 7. _________________________________ 22. Odredite x: a) x · 4 = 1 200, x = __________ c) 7 · x = 2 135, b) 8 · x = 3 616, x = __________ d) x · 9 = 2 295, 23. x = __________ x = __________ Kojim jednoznamenkastim brojevima moæemo podijeliti bez ostatka broj 30? _________ 24. Koliko je puta 1 644 veći od 6? _____________________ Koliko se puta 3 nalazi u 1 644? _____________________ Kolika je četvrtina broja 1 644? _____________________ Za koliko je broj 1 644 veći od polovine toga broja?______________ 25. Opseg prvoga kvadrata iznosi 348 cm, drugoga kvadrata 452 cm. Za koliko je centimetara stranica prvoga kvadrata manja od stranice drugoga kvadrata? ______________________________________________________________________ 26. Broj 17 544 podijelimo sa 6. 27. DT 1 −1 T 7 2 5 −5 S 5 D 4 J 4 :6= T 2 S 9 D 2 J 4 Desettisućice su prva znamenka u djeljeniku, ali 1 desettisućicu ne moæemo dijeliti sa 6, pa je treba pretvoriti u tisućice. To je 10 tisućica i 7 4 2 tisućica je 17 tisućica. Dakle, počet ćemo dijeliti tisućice. Znači da će u količniku prvo mjesto biti 2 4 4 tisućice. Prema tome, količnik će imati 4 mjesta. −2 Sada počinjemo dijeliti. 0 Postupak pri tom dijeljenju moæemo skratiti ovako: 17 tisućica podijeljeno sa 6 je 2 tisućice; DT T S D J 2 tisućice puta 6 je 12 tisućica; 1 7 5 4 4 17 manje 12 je 5, dopisujemo 5. 5 5 Tako postupamo i s ostalim mjesnim vrijednos1 4 tima, sve do kraja dijeljenja. 2 4 0 Podijelimo 17 544 sa 6 izvan tablica. Govorimo i pišemo: 17 544 : 6 = 2 924 17 podijeljeno sa 6 pribliæno je 2, 2 · 6 = 12 do 17 je 5, 5 5 5 pišemo i dopišemo 5. 55 podijeljeno sa 6 je pribliæno 9, 9 · 6 14 = 54 do 55 je 1, jedan pišemo 4 dopišemo. 14 podijeljeno sa 6 je pribliæno 2, 2 · 6 = 12 do 14 je 2, 2 24 pišemo i 4 dopišemo. 0 24 podijeljeno sa 6 je 4, 6 · 4 = 24., do 24 je 0. Ostatak je 0. 5 4 1 −1 www.skolskenovine.hr 99 28. 29. Podijelite: 91 752 : 8 = 168 287 : 7 = 75 324 : 4 = 417 384 : 9 = Podijelimo broj 31 684 sa 7. Provjera rezultata: 31 684 : 7 = 4 526 3 6 4 526 · 7 18 31 682 + 2 44 31 684 2 30. Ostatak je broj 2. Podijelite i provjerite rezultat: 57 428 : 5 = 196 152 : 8 = 23 196 : 7 = 394 075 : 4 = 48 605 : 9 = 938 321 : 3 = 20 560 : 6 = 784 032 : 9 = 31. Zbroj brojeva 23 781 i 8 261 podijelite sa 7. ___________________________________ 32. Razliku brojeva 130 164 i 24 786 podijelite sa 6._______________________________ 33. Škola je nabavila (kupila) 8 jednakih računala i platila 44 560 kuna. Kolika je cijena jednog takvog računala? _______________________________ _______________________________ 34. U devet ormara sloæeno je 3 465 knjiga tako da je u svakome ormaru jednak broj knjiga. Koliko je knjiga u jednome ormaru? _______________________________ _______________________________ 100 www.skolskenovine.hr PISANO DIJELJENJE VI©EZNAMENKASTOGA BROJA DVOZNAMENKASTIM BROJEM DjeËak je kupio 2 sladoleda po 3 kuglice. Platio je 42 kune. Koliko stoji jedna kuglica? 1. ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Podijelite s ostatkom i rezultat provjerite mnoæenjem i pribrajanjem ostatka. 2. 58 : 7 = ___ i ostatak ___, 78 : 5 = ___ i ostatak ___ , 7 · 8 + 2 = ___ i ostatak ___ Podijelimo troznamenkasti broj 240 dvoznamenkastim brojem 15. 3. a) Pomoću tablice b) Bez tablice T S D J S D J 1 6 0 : 15 = 240 : 15 = 16 2 4 − 1 5 −15 9 0 90 9 0 − −90 0 0 Govorimo: 24 podijeljeno sa 15 je pribliæno 1; 1 puta 15 je 15; 24 manje 15 je 9, nulu dopisujmo, 90 podijeljeno sa 15 je 6; 6 puta 15 je 90; 90 manje 90 je 0. Podijelite i mnoæenjem provjerite rezultat: 4. 629 : 17 = 874 : 46 = U voćnjaku je 12 stabala jabuka. Sa svih stabala ubrano je 936 kg jabuka. Koliko se prosječno ubralo kilograma jabuka s jednog stabla? 5. ____________________________________________________________________ www.skolskenovine.hr 101 6. Naučili ste kako se dijele troznamenkasti brojevi dvoznamenkastima. Slično postupamo i pri dijeljenju četveroznamenkastoga broja dvoznamenkastim brojem. Primjer. Podijelite broj 6 144 brojem 16. a) Pomoću tablice b) Bez tablice T 6 −4 1 −1 S D 1 4 8 3 4 2 8 6 −6 0 J 4 T : 16 = S 3 D 8 J 4 4 4 0 6144 : 16 = 384 − 48 134 −128 64 −64 0 Govorimo: 61 podijeljeno sa 16 je pribliæno 3; 3 puta 16 je 48; 61 manje 48 je 13, 4 dopisujemo; 134 podijeljeno sa 16 je pribliæno 8; 8 puta 16 je 128; 134 manje 128 je 6, 4 dopisujemo; 64 podijeljeno sa 16 je 4; 4 puta 16 je 64; 64 manje 64 je 0. 7. Podijelimo 7 356 sa 45 i provjerimo točnost rezultata: 7356 : 45 = 163 − 45 285 −270 156 −135 21 8. 163 · 45 652 815 7335 7 335 + 21 7 356 Podijelimo: 9688 : 28 = 346 − 84 128 −112 168 −168 0 Skratimo postupak: 9688 : 28 = 346 128 168 00 Govorimo i pišemo: 96 podijeljeno s 28 je pribliæno 3; 3 puta 8 je 24 do 26 je 2, 2 pišemo, a 2 dalje; 3 puta 2 je 6 i 2 je 8 do 9 je 1, pišemo 1, broju 12 dopišemo 8 i nastavimo dijeliti. U skraćenom smo postupku oduzimali, a nismo potpisivali umanjitelje. 102 www.skolskenovine.hr Podijelimo na kraći način i provjerimo točnost rezultata: 7358 : 86 = 85 478 48 85 · 86 680 510 7310 9. 7 310 + 48 7358 Podijelite na dulji i na kraći način: 10. 1 150 : 25 = 1 656 : 92 = 7 830 : 84 = Podijelite s ostatkom i provjerite točnost rezultata: a) 899 : 37, b) 7 845 : 28. Koji je broj označen slovom n? 12. a) 15 · n = 1 260 b) 32 · n = 768 13. Izračunajte: 11. a) (485 + 1 765) : 5, b) (1 404 − 468) : 18. U spremnicima benzinske crpke ima 58 hl 50 l benzina. 14. Koliko se automobila moæe opskrbiti tim gorivom ako svaki automobil moæe prosječno primiti 45 l benzina? ______________________________________________________________________ Putnički zrakoplov potrošio je za 11 sati leta 4 510 l benzina. 15. Koliko goriva potroši taj zrakoplov za 1 sat leta? __________________________________ www.skolskenovine.hr 103 VEZA MNOÆENJA I DIJELJENJA Otprije ste naučili da postoji veza izme�u mnoæenja i dijeljenja. Ponovite to na primjerima: 7 · 8 = 56 1. 56 : 7 = 8 56 : 8 = 7 Provjerimo vrijedi li: 76 · 54 = 4 104 4 104 : 76 = 54 4 104 : 54 = 76 4 104 : 76 = 54 304 00 4 104 : 54 = 76 324 00 Ako umnoæak dvaju brojeva podijelimo jednim faktorom, dobijemo drugi faktor. 2. Izračunan je umnoæak brojeva 83 i 24: Bez računanja napišite koliko je: 83 · 24 = 1 992 1 992 : 24 = 1 992 : 83 = 3. 4. Izračunajte x. 75 · x = 2 625 x = ________ x = ________ 104 98 · x = 3 626 x = ________ Popunite tablicu. a b a·b 5. x · 35 = 2 590 78 59 45 1 710 89 80 7 600 100 10 000 6 764 Nikola je zamislio neki broj, pomnoæio ga sa 40 i dobio 3 800. Koji je broj zamislio? ______________________________________________________________________ www.skolskenovine.hr Poznato vam je da umnoæak djelitelja i količnika daje djeljenik, npr. 6. 42 : 6 = 7, 6 · 7 = 42. Tim se svojstvom koristimo u provjeri točnosti rezultata pri dijeljenju. Podijelite 1 776 sa 37 i provjerite točnost rezultata. 7. Izračunajte x: 63 : x = 9 U ovom zadatku traæimo nepoznati djelitelj: x = 63 : 9, x = 7 Dakle, djeljenik podijelimo količnikom pa dobijemo djelitelj. Izračunajte x ako je 8 712 : x = 99. 8. Popunite tablicu. a b a:b 8. 1 470 35 1 204 43 73 46 5 082 77 5 000 100 9. Izračunajte x. 3 960 : x = 22, x : 68 = 95, 3 384 : x = 47 Mirjana je zamislila neki broj pa kaæe: „Umnoæak zamišljenog broja i broja 70 jednak je 3 850. Koji sam broj zamislila?” 10. ______________________________________________________________________ www.skolskenovine.hr 105 IZVO�ENJE VI©E RA»UNSKIH RADNJA Ako se u zadatku (nekome matematičkom izrazu) na�e više računskih radnja, onda najprije mnoæimo i dijelimo, a zatim zbrajamo i oduzimamo. Kad su u zadatku zagrade, tada prije svega izračunamo ono što je u njima. 1. 2. Izračunajmo: 73 586 + 3964 · 78 − 5 664 : 96 = = 73 586 + 309 192 − 59 = = 382 778 − 59 = 382 719 Izračunajte: 3. 4. Izračunajmo: 987 345 − 100 · (423 570 − 423 314) − (347 + 2 876). Najprije ćemo izračunti ono što je u zagradama: 987 345 − 100 · 256 − 3 223 = = 987 345 − 25 600 − 3 223 = = 961 745 − 3 223 = 958 522. Izračunajte: 5. 6. 775 486 − 5 486 · 29 − 2 652 : 34 + 2 652 · 7 = 375 864 + 524 136 − 80 000 : 40 + (3798 − 798) · 20 = Izračunajte: a) 545 + (545 + 55) b) 8 084 − 3 804 · 2 c) (1 856 − 256) : 100 d) 4 + 5733 : 3 e) 5 278 − 3 542 : 7 f) 125 : 5 · 28. Izračunajte: a) 6 000 + 400 : 10 · 1; b) 3 · 275 − 19 : 19 · 455; c) 53 · 12 · 12 + 756 : 756; d) 800 : 20 − 356 · 0; e) 1 384 · 20 : 40 − 2 080 : 40; f) 2 590 : 70 · 10 + 8 640 : 40; g) 840 · 6 + 840 · 10 − 840 · 16; h) 8 520 : 60 · 40 + 868 · 2. 106 www.skolskenovine.hr Zbroj brojeva 4 567 i 4 529 pomnoæite njihovom razlikom. 7. Broj 6 450 podijelite razlikom brojeva 453 292 i 453 217. 8. U jednom se hladnjaku nalazi 478 sladoleda po 12 kuna, a u drugome 526 sladoleda po 14 kuna. Kolika je ukupna vrijednost sladoleda u oba hladnjaka? 9. Otac je sa svojom obitelji ljetovao na moru. Za dvije sobe platio je 4 560 kuna. Dnevno je trošio 585 kuna. Koliko mu je ostalo kuna pri povratku ako je na odmoru proveo 25 dana, a prije polaska imao je 20 000 kuna? 10. Dinko reče: „Ako broju koji sam zamislio pribrojim 8540, dobivam broj koji podijeljen s 4 daje 2 385.” Koji je broj zamislio Dinko? 11. IzraËunaj. 12. a) 378 + 526 − 89 − (248 + 99) = b) 929 − (96 + 378) − (125 − 78) = c) 1000 − 115 − (97 − 9) + (231 − 97) = IzraËunaj. 13. (39 + 48) · 6 = (58 + 23 + 9) · 7 = (724 − 625) · 8 = (67 − 28 − 5) · 9 = IzraËunaj. 14. (600 + 138) : 6 = (112 + 72 + 576) : 8 = (852 − 412) : 4 = (546 + 252 − 203) : 7 = IzraËunaj. 15. 28 · 8 + 72 · 8 = 813 : 3 + 87 : 3 = 66 · 9 − 34 · 9 = 912 : 6 − 312 : 6 = Brod niz rijeku za 7 sati prijee 217 kilometara. Uzvodno prijee na sat 8 kilometara manje nego niz rijeku. Koliko Êe kilometara prijeÊi uzvodno za 9 sati? 16. ____________________ ____________________ www.skolskenovine.hr 107 6. KOCKA I KVADAR Kocku i kvadar upoznali ste već u prvom razredu. Promatrajte predmete oko sebe. Uočit ćete da mnogi od njih imaju oblik kvadra ili kocke. KOCKA 1. Sad ćemo pobliæe proučavati kocku. Uočili ste neke predmete koji imaju oblik kocke. Prava „matematička” kocka je pravilno geometrijsko tijelo. Nacrtana je takva kocka. 108 www.skolskenovine.hr Kocka ima šest strana. Strane kocke su jednaki (sukladni) kvadrati. 2. Na slici je nacrtana kocka. Istaknuta je gornja strana te kocke. To je kvadrat EFGH. Uočite i zapišite ostale strane kocke: donja strana ABCD desna strana __________ lijeva strana ___________ prednja strana _________ straænja strana _________ Znamo da kocku ome�uju kvadrati. 3. Stranice kvadrata koji ome�uju kocku zovu se bridovi kocke. Kocka ima 12 bridova. Bridovi kocke su duæine AB, BC, CD itd. Napišite ostale bridove: ______________________________ Krajnje točke bridova kocke ujedno su vrhovi kvadrata koji ome�uju kocku. 4. Te se točke zovu vrhovi kocke. Kocka ima 8 vrhova; to su točke A, B, C,... Napišite ostale vrhove kocke: _________________________________ Koliko bridova „izlazi” iz svakog vrha kocke? ___________________________________ www.skolskenovine.hr 109 KVADAR 1. Mnogi predmeti u našoj okolini imaju oblik kvadra, npr. razne kutije, ormari, zgrade ravnih krovova, sobe, učionice i drugo. Navedite neke predmete koji imaju oblik kvadra. U matematičkom smislu kvadar je geometrijsko tijelo. Nacrtan je jedan kvadar. Kvadar je omeen pravokutnicima. Na slici je obojena jedna strana kvadra. 2. Pravokutnici koji ome�uju kvadar zovu se strane kvadra. Kvadar je ome�en sa 6 pravokutnika od kojih su po dva jednaka (sukladna). Istaknuti su pravokutnici: donji ABCD prednji ABFE desni BCGF Napišite slovima pravokutnike koji su jednaki obojenim pravokutnicima. 110 www.skolskenovine.hr Stranice pravokutnika koji ome�uju kvadar zovu se bridovi kvadra. 3. Kvadar ima 12 bridova. Bridovi kvadra su duæine. Po četiri brida kvadra jednake su duljine. Napisani su neki bridovi kvadra, a vi napišite ostale: AB, CD ______________ AE, CG ______________ AD, FG ______________ Koji su bridovi kvadra me�usobno jednake duljine? Kocka je kvadar kojemu su svi bridovi jednake duljine. 4. Kojim je geometrijskim likovima ome�ena kocka? _____________________________ Krajnje točke bridova kvadra zovu se vrhovi kvadra. 5. Vrhovi kvadra su ujedno i vrhovi pravokutnika koji ome�uju kvadar. Kvadar ima 8 vrhova; to su točke: A, B, E. _________________________________ Napišite ostale vrhove kvadra. Koliko bridova izlazi iz jednog vrha kvadra? __________________________________ Napišite bridove kojima pripada vrh F: __________________________________ www.skolskenovine.hr 111 MJERENJE OBUJMA Promatrajte razne predmete koji vas okruæuju. Svaki predmet zauzima dio prostora. Predmete često uspore�ujemo po veličini, pa kaæemo: ovaj je veći, a ovaj je manji ili oni su jednaki. 1. To su predmeti naše okoline. Svi ti predmeti imaju isti oblik. Ako promatramo razne predmete, na primjer oblika kvadra: kutije za šibice, kutije za cipele, ormare, sobe, zgrade ravnih krovova i druge, uočit ćemo koji su jednaki, a koji su različite veličine. Znamo da je kutija za šibice manja od kutije za cipele, kutija za cipele manja od ormara itd. 2. Često postavljamo pitanje koliko je neko tijelo veliko, odnosno koliki mu je obujam (volumen). To znači da treba odrediti koliki dio prostora zauzima tijelo. Nacrtane kocke imaju različite obujme (volumene). Kvadri prikazani na slici imaju jednake obujme (volumene). 112 www.skolskenovine.hr Da bismo odredili obujam (volumen) nekoga tijela, to je tijelo potrebno mjeriti. Ako æelimo mjeriti neko tijelo, potrebno je odabrati mjernu jedinicu. Do sada ste mjerili duæine. Duæine ste često mjerili duæinom kojoj je duljina 1 cm. 3. 1 cm Naučili ste mjerne jedinice za duæinu. Navedimo ih: 1 cm, 1 dm, 1 m, 1 km. Koliko 1 metar ima decimetara, centimetara, milimetara? 1 m = ___________ dm 1 m = ___________ cm 1 m = ___________ mm Koliko 1 kilometar ima metara, decimetara, centimetara? 1 km = ___________ m 1 km = ___________ dm 1 km = ___________ cm 4. Površine smo mjerili kvadratima. Osnovna jedinica za mjerenje površine je 1 cm2. Nacrtan je kvadrat kojemu je duljina stranice 1 cm. Navedimo mjerne jedinice za površine: 1 cm2, 2 dm2, 1 m2, 1 mm2. Odgovorite koliko je: 1 m2 ________ cm2, 1 m2 ________________ mm2. 1 m2 ________ dm2, Na slici je predočena kocka kojoj je duljina brida 1 cm. 5. Obujam (volumen) te kocke je kubični centimetar. Umjesto „kubični centimetar” kratko pišemo cm3. 1 cm3 jedinica je za mjerenje obujma. Dakle, 1 cm3 je obujam kocke kojoj je duljina brida 1 cm. Ako neku kutiju, npr. oblika kvadra, moæemo potpuno ispuniti s 2 400 kocaka kojima je duljina brida 1 cm, kaæemo da je obujam te kutije 2 400 cm3. Ako kutiju oblika kocke moæemo potpuno popuniti sa 8 malih kocaka od kojih svaka ima obujam 1 cm3. Koliki je obujam te kutije? www.skolskenovine.hr 113 6. Veća jedinica za obujam od 1 cm3 jest jedan kubični decimetar. Kubični decimetar je obujam kocke kojoj je duljina brida 1 dm. Jedan kubični decimetar kratko pišemo 1 dm3. Slika pokazuje kocku kojoj je obujam 1 dm3. Poznato vam je da vrijedi: 1 dm = 10 cm 1 dm2 = 10 cm · 10 cm = 100 cm2 Uočite da je: 1 dm3 = 10 cm · 10 cm · 10 cm = 1000 cm3. Napomena: Posuda oblika kocke čija je duljina brida 1 dm sadræi 1 l tekućine. Posuda oblika kocke duljine brida 1 m ima 10 · 10 · 10 dm3 = 1000 dm3, to jest sadræi 1000 l tkućine. 114 www.skolskenovine.hr OBUJAM (VOLUMEN) KVADRA Sada ćete naučiti kako se izračunava obujam kvadra. Tada ćete znati izračunati obujam raznih predmeta oblika kvadra. Na slici su nacrtane dvije kutije oblika kvadra. Označena je njihova duljina, širina i visina. Jasno vam je da će volumen tih kutija ovisiti o njihovoj duljini, širini i visini. 1. Uočite da su duljina, širina i visina kvadra ujedno duljine triju bridova koji izlaze iz istog vrha. 2. Na slici je kvadar koji sadræi tri kocke. Obujam svake kocke je 1 cm3. Jasno je da obujam nacrtanog kvadra iznosi 3 cm3. Duljine bridova koji izlaze iz istoga vrha redom su 3 cm, 1 cm, 1 cm, pa je: 3 cm · 1 cm · 1 cm = 3 cm3. Nacrtan je kvadar. Koliko taj kvadar sadræi kocaka čiji je brid duljine 1 cm? 3. Duljine bridova kvadra koji izlaze iz jednog vrha redom su 4 cm, 3 cm i 1 cm. Obujam tog kvadra je 12 cm3. 12 = 4 · 3 · 1 www.skolskenovine.hr 115 4. 5. Nacrtani su kvadri „sastavljeni” od kocaka čiji je obujam 1 cm3. Koliki su obujmi tih kvadara? _________________ _________________ Promotrite ovaj kvadar: Duljine bridova ovog kvadra iz istog vrha su: 2 cm, 3 cm i 5 cm. Uočite da kvadar sadræi 30 kocaka čiji je obujam 1 cm3. Obujam toga kvadra je 30 cm3. Računamo: 2 · 3 · 5 = 30. Pomnoæili smo duljine bridova iz istog vrha kvadra i dobili njegov obujam. Obujam kvadra jednak je umnošku duljina triju njegovih bridova iz istog vrha. Ako obujam kvadra označimo slovom V, onda za kvadar na slici vrijedi: V = 2 · 3 · 5 cm3, V = 30 cm3. Vrijedi općenito: Ako su duljine triju bridova iz istoga vrha kvadra redom jednake a, b, c, tada je obujam V tog kvadra jednak umnošku a · b · c, tj. V=a·b·c 6. Koliki je obujam kvadra čije su duljine triju bridova iz istog vrha 4 cm, 3 cm i 2 cm? ___________________________ 116 www.skolskenovine.hr Izračunajmo obujam kvadra čije su duljine bridova iz istog vrha 7 cm, 9 cm i 10 cm. V = 7 · 9 · 10 cm2, V = 630 cm2. 7. Izračunajte obujam kvadra čije su duljine bridova iz istog vrha 27 cm, 19 cm i 47 cm. ______________________________________________________________________ Odredi obujam sobe čija je duljina 6 m, širina 5 m i visina 3 m. ______________________________________________________________________ Koliko vode stane u posudu oblika kvadra čija je duljina 40 cm, širina 25 cm, a visina 20 cm? 8. 9. _________________________________________________________________________ OBUJAM (VOLUMEN) KOCKE Poznato vam je da kocka čiji je brid duljine 1 cm ima obujam 1 cm3, kocka čiji je brid duljine 1 dm ima obujam 1 dm3 itd. Sad ćete naučiti kako se računa obujam kocke kojoj je poznata duljina brida. 1. Nacrtana je kocka. Odredimo njezin obujam. Ova kocka sadræi 27 kockica čiji je obujam 1 cm3. Prema tome, obujam ove kocke je 27 cm3. Računamo: V = 3 · 3 · 3 cm3, V = 27 cm3. Uočite da je duljina brida te kocke 3 cm. Svaka je kocka kvadar čiji su svi bridovi jednake duljine. Obujam kvadra jednak je umnošku duljina triju bridova iz istoga vrha. Prema tome, ako je duljina brida kocke 3 cm, njezin je obujam 3 · 3 · 3 cm3 = 27 cm3. 2. Općenito: Ako je duljina brida kocke jednaka a, onda je obujam V kocke jednak a · a · a, tj. V=a·a·a a a a www.skolskenovine.hr 117 3. Izračunajmo obujam kocke kojoj je duljina brida 17 cm. V = 17 · 17 · 17 cm3, V = 4 913 cm3 _____________________________________________________________________ 4. Zgrada ima oblik kocke čiji je brid 15 m dugačak. Koliki je obujam te zgrade? _____________________________________________________________________ 5. Koliko vode stane u posudu oblika kocke čija je duljina brida 20 cm? _____________________________________________________________________ 6. Jedna sportska dvorana ima oblik kvadra duæine 28 m, širine 25 m i visine 5 m. Druga dvorana ima oblik kocke kojoj je jedan brid dugačak 16 m. Koja dvorana ima veći obujam i za koliko? _____________________________________________________________________ 118 www.skolskenovine.hr www.skolskenovine.hr 119 120 www.skolskenovine.hr
© Copyright 2024 Paperzz
