Milan Janji´c
Predavanja iz Osnova matematike
2014-2015 god.
Matematiˇcka logika, skupovi, funkcije, brojevi
Prirodno-matematiˇcki fakultet
Univerzitet u Banjoj Luci
Uvod
Ovo su predavanja iz predmeta Osnovi matematike odrˇzana u ˇskolskoj
2014-2015 godini, koji se sluˇsa na Odsjeku za matematiku i informatiku
Prirodno-matematiˇckog fakulteta u Banjoj Luci, u prvom semestru.
Kursevi matematike u srednjim ˇskolama daju prednost raˇcunskim manipulacijama u odnosu na logiˇcko rezonovanje, tako da uˇcenici ne dobijaju jasne
ideje ˇsta je matematika u suˇstini. Posebno se jasno istiˇcu pogreˇsne ideje o tome
ˇsta je matematika u kursevima apstraktne algebre.
Namjera je ovih predavanja da se studentima prenese mali, ali vaˇzan dio
stvarne matematike, stvorene od nekih od najznaˇcajnijih matematiˇcara u istoriji. Kako je matematika logiˇcka nauka, svaka ozbiljna matematiˇcka knjiga mora
potencirati dokaze. Student koji savlada tehniku dokaza i usvoji obiˇcaj da dokazuje je na dobrom putu da razumije prirodu matematike. To nije lako, ali je
ve´cina studenata sposobna da taj cilj ostvari.
Predavanja obuhvataju standardne sadrˇzaje, koji se ˇsirom svijeta izuˇcavaju
u ovakvim kursevima. Krajnji cilj je da se razjasni pojam realnog broja, i svih
ostalih standardnih klasa brojeva, kao ˇsto su Prirodni, cijeli, racionalni, iracionalni i kompleksni. Od ovih pojmova su nastali svi ostali pojmovi u matematici.
Sadrˇzaj
1.
Matematiˇ
cka logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.
Skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.
Relacije i funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1
Matematiˇcka logika
Od svih nauka matematika je najbliˇze vezana sa logikom. Razlog za to je
ˇsto se tvrdnje dobijaju kao logiˇcna posljedica pretpostavki. To ´cemo ilustrovati
sa tri teoreme, ˇciji su dokazi jednostavni, ali njihove tvrdnje predstavljaju neka
od najve´cuh otkri´ca u matematici.
Teorema 1.1
Postoji beskonaˇcno mnogo prostih brojeva.
Dokaz
Ovaj dokaz potiˇce joˇs od Euklida. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji samo
konaˇcno mnogo prostih brojeva. Oznaˇcimo ih sa p1 , p2 , . . . , pn . Posmatrajmo
broj N = p1 · p2 · · · pn + 1. Broj N je ili prost, ili ima bar jedan prost faktor.
To znaˇci da postoji prirodan i, (1 6 i 6 n) i prirodan broj m, za koje je
pi · m = p1 · p2 · · · pn + 1. Slijedi pi m − p1 p2 · · · pn = 1, ˇsto je nemogu´ce, jer je
lijeva strana djeljiva sa pi , a desna, oˇcigledno, nije.
Sljede´ci rezultat je Pitagorin i predstavlja vaˇzno otkri´ce pojma iracionalnosti,
ˇsto je jedno od velikih dostignu´ca Pitagorine ˇskole.
Teorema 1.2
Broj
√
2 nije racionalan.
ˇ
GLAVA 1. MATEMATICKA
LOGIKA
Dokaz
√
Pretpostavimo suprotno, da vrijedi 2 = pq , gdje su p i q cijeli brojevi. Pri
tome moˇzemo pretpostaviti da su p i q relativno prosti. Kvadriranjem dobijamo
2
2 = pq2 , tj. p2 = 2q 2 . To znaˇci da je p2 paran. Ali, kvadrati parnih brojeva su
parni, a kvadrati neparnih brojeva su neparni. Prema tome, p je paran, pa
je p = 2r, za neki cio broj r. Prema tome, vrijedi 4r2 = 2q 2 , tj. q 2 = 2r2 .
Zakljuˇcujemo da je i q paran. Tako p i q imaju zajedniˇcki faktor 2, ˇsto je u
kontradikciji sa pretpostavkom da su relativno prosti.
Napomenimo da su oba dokaza dobijena metodom svod¯enja na apsurd ili
reductio ad absurdum, za koju se kaˇze da je bila omiljena Euklidova metoda,
koju je koristio u svojim Elementima, svakako jednoj od najvaˇznijih knjiga iz
matematike.
I sljede´ca teorema vjerovatno pripada Pitagori.
Teorema 1.3 (Pitagorina teorema)
Ako su a i b duˇzine kateta, a c duˇzina hipotenuze pravouglog trougla, onda
vrijedi
c2 = a2 + b2 .
Obrnuto, ako za duˇzine a, b, c stranica nekog trougla vrijedi prethodna jednakost, onda je taj trougao pravougli.
Dokaz
Od mnogobrojnih dokaza ove teoreme izloˇzi´cemo jedan u kome se jedino koristi
pojam sliˇcnosti. Neka je h duˇzina visine spuˇstene na hipotenuzu c. Ta visina
dijeli trougao na dva pravougla trougla. Oba ta trougla su sliˇcni poˇcetnom.
Oznaˇcimo sa x i y duˇzine odsjeˇcaka koje uoˇcena visina pravi na hipotenuzi.
Dakle, vrijedi c = x + y. Iz sliˇcnosti se dobijaju sljede´ce proporcije:
C
a
b
h
y
A
c D
x
B
h : a = b : c, x : a = h : b, h : a = y : b.
2
ˇ
GLAVA 1. MATEMATICKA
LOGIKA
Iz prve proporcije je h = ab
c , dok iz preostale dvije slijedi x =
pa je c = x + y = ( ab + ab )h. Tako dobijamo jednakost
ab
=
c
a
b
c
+
b
a
ah
b ,
y=
bh
a ,
,
odakle se unakrsnim mnoˇzenjem dobija c2 = a2 + b2 .
Dokaˇzimo na kraju i obrnuto tvrdnju. Neka za duˇzine stranica a, b, c datog
trougla vrijedi c2 = a2 + b2 . Posmatrajmo, sa druge strane, pravougli trougao ˇcije su duˇzine kateta a i b. Prema ve´c dokazanom, duˇzina hipotenuze tog
trougla mora biti c. Dakle, ta dva trougla su podudarna, na osnovu stava o
podudarnosti trouglova sa jednakim stranicama, pa moraju imati iste uglove,
ˇsto znaˇci da je i dati trougao pravougli.
Ilustrova´cemo to jednim jednostavnim primjerom.
Primjer 1.4
Koliko se partija odigra na teniskom turniru koji ima 1025 uˇcesnika.
Rjeˇsenje. Da´cemo dva rjeˇsenja ovog problema.
1. U prvom kolu se odigra 512 meˇceva (jedan igraˇc je slobodan), u drugom
kolu 256 meˇceva itd, u posljednjem kolu se digra samo jedan meˇc. Tako je
ukupan broj meˇceva jednak
1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 512 = 1 + 22 + · · · + 29 .
Koriste´ci se poznatom formulom
1 + q + q2 + · · · + qn =
dobijamo da je broj odigranih meˇceva
q n+1 − 1
, (q ̸= 1),
q−1
210 −1
2−1
= 1024.
2. Sada ´cemo pokazati da se broj meˇceva lako dobija bez ikakvog raˇcuna. Naime, u svakom meˇcu je jedan igraˇc poraˇzen. Sa druge strane svaki igraˇc moˇze
biti samo jednom poraˇzen. Zakljuˇcujemo da je odigrano onoliko meˇceva koliko ima poraˇzenih igraˇca. A kako samo pobjednik nije poraˇze, to znaˇci da
je odigrano 1024 meˇca.
Osnova matematiˇckog jezika su reˇcenice koje nazivamo iskazima. To su
reˇcenice kojima se moˇze pridruˇziti samo jedna od dvije vrijednosti: taˇcno ili
netaˇcno. Naˇsi iskazi ´ce biti matematiˇcke tvrdnje, za koje ´ce biti jasno da su ili
taˇcne ili netaˇcne. U nekim opˇstim razmatranjima to ne mora biti jasno.
U vezi s tim navodimo poznati semantiˇcki paradoks sa bricom.
3
ˇ
GLAVA 1. MATEMATICKA
LOGIKA
Primjer 1.5
U selu se ljudi briju ili kod brice ili se briju sami. Kako se brije brico? Ako se
ne brije sam onda se mora brijati kod brice. To znaˇci ako se ne brije sam onda
se brije sam, ˇsto je kontradikcija.
Zakljuˇcujemo da se brico brije sam. Ali onda se on ne brije kod brice. Dakle,
ako se brije sam onda se ne brije sam, ˇsto je, opet, kontradikcija.
Dakle, Pitanje ,,Kako se brije brico” se ne moˇze smatrati iskazom.
Znaˇci, svakom se islazu moˇze pridruˇziti taˇcno jedno od slova T, ako je iskaz
taˇcan ili N, ako je iskaz netaˇcan. Tako je npr. 1 + 1 = 2 taˇcan, a 1 + 1 = 1
netaˇcan islaz.
Sa druge strane, x + 1 = 2 nije iskaz. Ovakvi se izrazi nazivaju iskazne
formule, dok se x naziva promjenljiva. Kada se promjenljiva zamijeni nekom
konkretnom vrijednoˇs´cu, onda iskazna formula postaje iskaz koji je za neke
vrijednosti taˇcan, a za neke netaˇcan. Kada je iskazna formula taˇcna za sve
vrijednosti promjenljive onda se takva formula zove identitet.
U matematiˇckim teorijama uvijek postoje pravila pomo´cu kojih se od osnovnih pojmova formiraju sloˇzeni. Ta su pravila u osnovi izvedena iz zakona logike
od kojih su nam najvaˇzniji modus ponens i modus tolens.
Modus ponens: Ako je taˇcno da p povlaˇci q i ako je taˇcno p, onada je taˇcno
i q.
Modus tolens: Ako je taˇcno da p povlaˇci q i ako je netaˇcno q, onada je taˇcno
i p.
U iskaznoj logici se osnovni sloˇzeni iskazi: negacija ¬ ili ,,nije”, konjunkcija
∧ ili ,,i”, disjunkcija ∨ ili ,,ili”i implikacija ⇒ ili ,,ako...onda..”
Znaˇcenja ovih iskaza definiˇsemo sljede´cim tabelama:
p
T
N
¬p
N
T
p
T
T
N
N
q
T
N
T
N
p∧q
T
N
N
N
p
T
T
N
N
q
T
N
T
N
p∨q
T
T
T
N
p
T
T
N
N
q
T
N
T
N
p⇒q
T
N .
T
T
√
Iskaz: ,,Broj √ 2 je iracionalan realan broj,
√ je taˇcna konjunkcija, jer se sastoji
od dva
iskaza:
,,
2
je
iracionalan
broj”i
,,
2 je realan broj”koji su taˇcni. Iskaz:
√
Broj 2 je racionalan realan broj, je netaˇcna konjunkcija, jer je prvi iskaz od
kojeg je sastavljena netaˇcan, a drugi taˇcan.
Implikacija je definisana na ovaj naˇcin u skladu sa logiˇckim zakonom modus
ponens, koji glasi: Za dva iskaza p i q, ako je iskaz p taˇcan i ako je taˇcna
implikacija p ⇒ q, onda je taˇcan i iskaz q. Najve´ci broj teorema je iskazan
upravo implikacuijom. Sljede´ci jednostavan primjer bi mogao posluˇziti za bolje
razumijevanje pojma implikacije.
4
ˇ
GLAVA 1. MATEMATICKA
LOGIKA
Primjer 1.6
Koje je od sljede´cih tvrdnji taˇcna?
1. Ako je 1 > 0, onda je 2 > 0.
2. Ako je 1 < 0, onda je 1 > 0.
3. Ako je 1 > 0, onda je 1 < 0.
4. Ako je 1 < 0, onda je 2 < 0.
Rjeˇsenje. Taˇcnost svake od navedenih implikacija je jednostavno utvrditi na
osnovu same definicije. Npr. 1 > 0 je taˇcan, a 1 < 0 je netaˇcan iskaz, iz ˇcega
slijedi da implikacija 3. nije taˇcna.
Mi pokuˇsavamo opravdati definiciju, pa ´cemo zbog toga dokazati taˇcnost ili
netaˇcnost gore navedenih implikacija. Ako je 1 > 0, onda na osnovu saglasnosti
relacije poretka sa sabiranjem, slijedi 1 + 1 > 0 + 1, tj. 2 > 1. Sada iz 2 > 1
i 1 > 0, na osnovu tranzitivnosti relacije poretka zakljuˇcujemo da je 2 > 0.
Prema tome implikacija 1. je taˇcna.
Ako je 1 < 0, onda zbog saglasnosti relacije poretka i sabiranja imamo da je
1+(−1) < 0+(−1), tj. 0 < −1. Zbog saglasnosti relacije poretka sa mnoˇzenjem,
odavde slijedi 0 · (−1) < (−1) · (−1), tj. 0 < 1, pa je implikacija 2. taˇcna.
Ako bi implikacija 3. bila taˇcna, onda na osnovu ˇcinjenice da je iskaz 1 > 0
taˇcan, pomo´cu zakona modus ponens zakljuˇcili bismo da je i iskaz 1 < 0 taˇcan,
ˇsto bi bila kontradikcija. To znaˇci da implikacija 3. nije taˇcna.
Implikacija 4. je taˇcna, jer iz 1 < 0 slijedi 1 + 1 < 0 + 1, tj. 2 < 1, pa na
osnovu tranzitivnosti slijedi 2 < 0.
ˇ
Cinjenica
da je implikacija p ⇒ q taˇcna moˇze se interpretirati na dva naˇcina.
1. Ako p, onda q. Ova fraza znaˇci da pod uslovom da je p taˇcan slijedi i da
je q taˇcan. Napomenimo da iskaz q moˇze biti taˇcan i ako je p netaˇcan. U
ovoj situaciji kaˇzemo da je iskaz p dovoljan uslov za iskaz q.
2. p samo ako q. Ovo znaˇci da iz netaˇcnosti iskaza q slijedi netaˇcnost iskaza
p. Kaˇze se joˇs i da je iskaz q potreban uslov za iskaz p.
Moˇze izgledati neobiˇcno da implikacija p ⇒ q bude taˇcna i u sluˇcaju kada
izgleda teˇsko povezati iskaze p i q. Ilustrujmo to primjerom.
Primjer 1.7
Implikacija 1 = 2 ⇒ 1 < 1 je taˇcna.
5
ˇ
GLAVA 1. MATEMATICKA
LOGIKA
Dokaz
Implikacija je taˇcna po definiciji, jer su oba iskaza netaˇcni, ali je mogu´ce dati
i direktan dokaz. Za to treba dokazati da ako je 1 = 2 taˇcno (a nije), onda
je i 1 < 1 taˇcno (a nije). Posmatrajmo iskaznu formulu x + 1 = y ⇒ x < y.
Ova je formula taˇcna za svako pozitivno x i y. Stavljaju´ci specijalno x = y = 1
dobijamo traˇzenu implikaciju.
Ekvivalencija p ⇔ q je iskaz koji je taˇcan ako su oba iskaza p i q ili taˇcni, ili
netaˇcni, a u ostalim sluˇcajevima je netaˇcna. Postoji viˇse naˇcina da se iskaˇze
ekvivalencija p ⇔ q. Sljede´ca tri iskaza imaju isto znaˇcenje.
(i)
p ⇔ q.
(ii)
p ako i samo ako q.
(iii)
p je potrebno i dovoljno za q.
p i q u oznaci Iskaz (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) se oznaˇcava sa p ⇔ q i naziva
ekvivalencijom. Vrijednosti ekvivalencije date su u sljede´coj tabeli
p
T
T
N
N
p⇔q
T
N .
N
T
q
T
N
T
N
Ukoliko je ekvivalencija p ⇔ q taˇcna, onda se kaˇze da je p potreban i dovoljan
uslov za q.
Logiˇ
ckim zakonom ili tautologijom nazivamo iskaz sastavljen od iskaza
p, q, r, . . . i veza ∨, ∧, ⇒, ⇔, ¬ koji je uvijek taˇcan, bez obzira na taˇcnost ili
netaˇcnost iskaza p, q, r, . . . od kojih je formiran. Naveˇs´cemo neke od najznaˇcajnijih tautologija:
[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r), zakon silogizma,
p ∨ ¬p, zakon iskljuˇcenja tre´ceg,
p ⇔ ¬¬p, zakon dvojne negacije,
}
¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)
De Morganovi zakoni,
¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q)
(¬p ⇒ (q ∧ ¬q)) ⇒ p, svod¯enje na apsurd
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p), zakon kontrapozicije,
(p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q).
Primjer 1.8
Primjenom De Morganovih zakona na posljednju gore navedenu tautologiju
dobijamo
¬(p ⇒ q) ⇔ (p ∧ (¬q)).
6
ˇ
GLAVA 1. MATEMATICKA
LOGIKA
Ovaj primjer pokazuje ˇsta treba dokazati da bi se negirala implikacija, ˇsto se u
dokazima ˇcesto susre´ce.
Propozicija 1.9
Operacije ∨, ∧ i ¬ nad iskazima p, q, r, . . . zadovoljavaju sljede´ce uslove:
p∧p⇔p
p∨p⇔p
zakoni idempotentnosti
p∧q ⇔q∧p
p∨q ⇔q∨p
zakoni komutativnosti
(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
zakoni asocijativnosti
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
zakoni distributivnosti
p ∧ ⊥ ⇔ ⊥, p ∨ ⊥ ⇔ p
p ∧ ⊤ ⇔ p, p ∨ ⊤ ⇔ ⊤
p ∧ ¬p ⇔ ⊥, p ∨ ¬p ⇔ ⊤
p ∧ (p ∨ q) ⇔ p
p ∨ (p ∧ q) ⇔ p.
7
2
Skupovi
Osnovni (nedefinisani) pojmovi teorije skupova su: skup, element skupa i
pripadnost. Skupove oznaˇcavamo velikim latiniˇcnim slovima, elemente skupova
oznaˇcavamo malim latiniˇcnim slovima, a pripadnost oznaˇcavamo sa ∈ . Oznaka
s ∈ S znaˇci da je s element skupa S, dok s ∈
/ S znaˇci da s nije element skupa
S.
Jedan od naˇcina oznaˇcavanja skupova je S = {s1 , s2 , . . . , sn } pri ˇcemu su
u zagradi navedeni svi elementi tog skupa. Drugi naˇcin zapisivanja je S =
{s|P(∫ )}, pri ˇcemu je P neka osobina koju s ili ima ili nema.
Intuitivno se pod pojmom skup podrazumijevaju neki objekti koji ulaze
u taj skup, a da se pri tome ne podrazumijeva nikakva med¯usobna veza tih
objekata. Druga stvar, skup mora biti dobro definisan u smislu da za svaki
objekt moˇzemo utvrditi da li pripada tom skupu ili ne. Drugim rijeˇcima, skup
mora biti dobro definisan. Tako npr, skup pametnih studenata, koji studiraju
matematiku, nije dobro definisan, jer ne postoji kriterijum pomo´cu koga za
svakoga moˇzemo utvrditi je li pametan ili nije. Mogu´ce je, doduˇse, postaviti i
pitanje: Da li iko pametan studira matematiku?
Nejasno´ca ˇsta je to precizno skup dovela je do Raselovog paradoksa,
kojeg ´cemo objasniti malo kasnije.
Kad smo ve´c lijepo zbunjeni oko pojma dobro definisanog skupa moˇzemo
postaviti pitanje: Da li uopˇste postoji neki dobro definisan skup. Taj problem
se rjeˇsava tzv. aksiomom praznog skupa.
Aksioma 2.1
Postoji skup koji nema elemenata.
GLAVA 2. SKUPOVI
Skup iz ove aksiome naziva se praznim skupom i oznaˇcava sa ∅. Sada moˇzemo
zakljuˇciti da je {∅} takod¯e dobro definisan skup, jer svaki dobro definisan skup
ili ima bar jedan element ili nema nijednog.
Sljede´ca jednostavna aksioma je veoma znaˇcajna jer se njome uvodi znak
=, svakako najznaˇcajniji simbol u matematici
Aksioma 2.2 (Aksioma ekstenzionalnosti)
Dva skupa A i B smatramo jednakim i piˇsemo A = B, ako se oni sastoje od
istih elemenata.
Ako za sve elemente skupa A vrijedi x ∈ A ⇒ x ∈ B, onda se kaˇze da je A
podskup skupa B i piˇse A ⊆ B. Znak ⊆ naziva se inkluzija. Za skup B kaˇze
se da je nadskup skupa A.
Skup A je, dakle, podskup skupa B ako je svaki element skupa A ujedno i
element skupa B, tj. ako je za svaki a ∈ A taˇcna implikaja a ∈ A ⇒ a ∈ B.
Kako je za svaki skup A ispunjeno x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A, jer je prvi iskaz uvijek
netaˇcan, to zakljuˇcujemo da vrijedi:
Propozicija 2.3
Ako je A skup tada je ∅ ⊆ A. Specijalno je ∅ ⊆ ∅.
Jasno je da vrijedi:
Propozicija 2.4
Ako su A, B skupovi tada
A = B ⇔ A ⊆ B, B ⊆ A.
Propozicija 2.5
Prazan skup je jedinstven.
Dokaz
Pretpostavimo da su ∅1 i ∅2 dva prazna skupa. tada na osnovu propozicije
2.3 vrijedi ∅1 ⊆ ∅2 , a takod¯e i ∅2 ⊆ ∅1 , pa iz prethodne propozicije slijedi
∅1 = ∅2 ,
Od dva skupa A i B koriˇs´cenjem disjunkcije i konjunkcije moˇzemo formirati
skupove A ∪ B i A ∩ B, koji se nazivaju unija i presjek skupova A i B, a
9
GLAVA 2. SKUPOVI
definiˇsu ovako:
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B},
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Uniju, dakle, ˇcine svi elementi oba skupa A i B, dok presjek ˇcine zajedniˇcki
elementi ta dva skupa. Razliku dva skupa definiˇsemo na sljede´ci naˇcin:
B \ A = {x : x ∈ B ∧ x ̸∈ A};
ona se sastoji od onih elemenata skupa B koji nisu elementi skupa A. Ako je
A ⊆ B, tada se B \ A naziva komplementom skupa A u odnosu na skup B i
oznaˇcavamo CB (A).
U teoriji skupava su vaˇzni simboli ∀ i ∃. Prvi se naziva univerzalni, a drugi
egzistencijalni kvantifikator.
Neka je P neka osobina koju svaki element skupa A ili ima ili nema. Izraz
∀a ∈ A, P(⊣) znaˇci da svi elementi skupa A imaju osobinu P, dok izraz ∃a ∈
A, P(⊣) znaˇci da bar jedan element skupa A ima osobinu P.
Ako je A skup tada se sa P(A) oznaˇcava skup svih podskupova od A i
naziva partitivnim skupom od A.
Pomenuti Raselov paradoks je vezan za pitanje: Postoji li skup svih skupova.
Ako bi takav skup U postojao onda bi svaki skup bio njegov element, pa i sam
U. Dakle vrijedilo bi U ∈ U. Prema tome postoje skupovi koji su elementi
samog sebe. Naravno, postoje i skupovi koji nisu elementi samog sebe. To bi
znaˇcilo da je osobina Y ̸∈ Y validna osobina za formiranje skupova. Neka je
dakle X = {Y ; Y je skup i Y ∈
/ Y } je skup. Moralo bi biti ili X ∈ X ili X ∈
/ X.
Ako je med¯utim X ∈ X, onda po definiciji X vrijedi X ∈
/ X, ˇsto je kontradikcija.
Ako pak X ∈
/ X, onda je, opet po definiciji X ∈ X ˇsto je kontradikcija.
Ovo je Raselov paradoks.
Prema tome, skup svih skupova nije dobro definisan skup. Ipak se pojam
univerzalnog skupa koristi i to da se oznaˇci neki skup ˇciji su podskupovi posmatrani skupovi (a ne svi skupovi).
Neka je U univerzalni skup. Ako se simboli za iskaze p, q, r, . . . zamijenimo
simbolima za podskupove P, Q, R od U, ∧ zamijenimo sa ∩, ∨ zamijenimo sa
∪, ⇔ Zamijenimo sa =, ⊥ zamijenimo sa ∅ i, na kraju, ⊤ zamijenimo sa U i
na kraju ¬ zamijennimo sa C
10
GLAVA 2. SKUPOVI
Propozicija 2.6
P ∩P =P
P ∪P =P
zakoni idempotentnosti
P ∩Q=Q∩P
P ∪Q=Q∪P
zakoni komutativnosti
(P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R)
(P ∪ Q) ∪ R = P ∪ (Q ∪ R)
zakoni asocijativnosti
P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R)
P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R)
zakoni distributivnosti
P ∩ ∅ = ∅, P ∪ ∅ = P
P ∩ U = P, P ∪ U = U
P ∩ C(P ) = ∅, P ∪ C(P ) = U
P ∩ (P ∪ Q) = P
P ∪ (P ∩ Q) = P.
11
3
Relacije i funkcije
Elementi dva skupa mogu, na neki naˇcin, biti povezani jedni sa drugima.
Te veze dovode do pojma funkcije, jednog od fundamentalnih pojmova u matematici. Prethodno ´cemo definisati pojam relacije.
Skup {{a}, {a, b}} se naziva ured¯enim parom elemenata a i b i oznaˇcava
se sa (a, b). Element a se naziva prvom, a b drugom koordinatom ured¯enog para
(a, b). Dakle, ured¯eni par je dvoˇclani skup sa dodatnom osobinom
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c, b = d.
Zaista, jednakost {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} vrijedi jedino u sluˇcaju da je
a = c i b = d.
Za date skupove A i B sa A × B oznaˇcavamo skup
A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B},
i nazivamo ga Dekartovim ili direktnim proizvodom skupova A i B. Analogno se moˇze definisati Dekartov proizvod A1 × A2 × · · · × An n skupova.
Taj se skup sastoji od ured¯enih n-torki (a1 , a2 , . . . , an ), pri ˇcemu je ai ∈ Ai ,
i = 1, 2, . . . , n.
Neprazne podskupove direktnog proizvoda skupova A i B naziva´cemo relacijama. Ako je R ⊆ A × B, tada (a, b) ∈ R piˇsemo u obliku aRb i kaˇzemo
da je a u relaciji R sa b. Ako je A = B, onda se kaˇze da je relacija zadata na
skupu A.
Dvije vrste relacija su posebno bitne. To su relacija poretka i relacija ekvivalencije.
Ako je R neka relacija na nepraznom skupu A, onda se ona naziva:
1. refleksivnom, ako je aRa, za svako a ∈ A,
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
2. simetriˇ
cnom, ako iz aRb slijedi bRa,
3. antisimetriˇ
cnom, ako iz aRb i bRa slijedi a = b,
4. tranzitivnom, ako iz aRb i bRc slijedi aRc.
Relacija koja je refleksivna, antisimetriˇcna i tranzitivna se naziva relacijom
poretka. Za skup na kom je definisana neka relacija poretka se kaˇze da je
ured¯en (parcijalno ured¯en).
Ako je R relacija poretka na skupu A i ako za svako a, b ∈ A vrijedi aRb ili
bRa, onda se kaˇze da je skup A totalno ili linearno ured¯en relacijom R.
Primjer 3.1
1. Partitivni skup P(A) je ured¯en relacijom ⊆ . Ovo ured¯enje nije totalno
ured¯enje.
2. Skupovi prirodnih, cijelih, racionalnih i realnih brojeva su totalno ured¯eni
u odnosu na relaciju 6 . Zbog toga je praksa da se relacije poretka uopˇste
oznaˇcavaju sa 6 .
Ako je A ured¯en skup, tada za element a ∈ A kaˇzemo da je minimalni (ili
najmanji) element tog skupa ako ne postoji a′ ∈ A takav da je a′ 6 a, a′ ̸= a.
Totalno ured¯en skup u kome svaki neprazni podskup ima najmanji element
naziva se dobro ured¯enim skupom.
Skup prirodnih brojeva je primjer dobro ured¯enog skupa.
Neka je skup X ured¯en relacijom 6 . Podskup Y ⊆ X nazivamo lancem ako
je on totalno ured¯en. Ako postoji x in X takav da je y 6 x za svako y ∈ Y , onda
se x naziva gornjom granicom lanca Y. Za skup X kaˇzemo da je induktivno
ured¯en ako svaki lanac ima gornju granicu. U ured¯enom skupu X element x
nazivamo maksimalnim (ili najve´cim) ako ne postoji element y ∈ X za koji je
x 6 y i x ̸= y.
Teorema 3.2 (Cornova lema)
Svaki induktivno ured¯en skup ima maksimalni element.
Moˇze se pokazati da je Cornova lema jedan od ekvivalentnih iskaza tzv.
aksiome izbora, koju ´cemo pomenuti kasnije. Napomenimo da se aksioma
izbora u algebri najviˇse koristi u ovoj formi.
Relacija koja je refleksivna, simetriˇcna i tranzitivna naziva se relacijom
ekvivalencije. Jedan od uobiˇcajenih simbola koji se koriste za oznaˇcavanje
relacija ekvivalencije je ∼ . Relacija jednakosti je svakako najvaˇzniji primjer
relacije ekvivalencije.
13
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Ako je ∼ relacija ekvivalencije na A, onda se za svako a ∈ A podskup
C(a) = {b ∈ A|a ∼ b}
naziva klasom ekvivalencije elementa a. Sljede´ca teorema opisuje vezu izmed¯u
relacija ekvivalencije na nekom skupu i particija tog skupa.
Teorema 3.3 (Teorema o klasama ekvivalencije)
Neka je ∼ relacija ekvivalencije na skupu A. Skup klasa ekvivalencije ove relacije
ˇcini particiju skupa A. Obrnuto, ako je {Ai }i∈I neka particija skupa A, tada
na tom skupu postoji relacija ekvivalencije, za koju su skupovi Ai , i ∈ I, klase
ekvivalencije.
Dokaz
Dokaˇzimo prvo da je C(a) = C(b) ako i samo ako a ∼ b.
Zaista, neka je a ∼ b i x ∈ C(a). Zbog simetriˇcnosti relacije vrijedi b ∼ a,
a onda zbog tranzitivnosti vrijedi b ∼ x, tj. x ∈ C(b). Tako smo dokazali da
C(a) ⊆ C(b). Na isti se naˇcin dokazuje i obrnuta inkluzija. Obrnuto, ako je
C(a) = C(b) tada je a ∈ C(b), tj. a ∼ b.
Iz refleksivnosti relacije ∼ slijedi da za svako a ∈ A vrijedi a ∈ C(a), ˇsto
pokazuje da nijedna klasa nije prazna i da se svaki element skupa A nalazi
u nekoj klasi. Da bi klase ˇcinile particiju skupa A treba joˇs dokazati da su
dvije razliˇcite klase med¯usobno disjunktne. Zaista, ako su klase elemenata a i
b med¯usobno razliˇcite, to po ve´c dokazanom znaˇci da a ̸∼ b. Ako bi postojao
c ∈ C(a) ∩ C(b), onda bi bilo a ∼ c, b ∼ c, pa bi, zbog tranzitivnosti, vrijedilo
a ∼ b, a to nije taˇcno. Zakljuˇcujemo da su klase C(a) i C(b) disjunktne.
Vrijedi i obrat prethodne teoreme.
Teorema 3.4
Ako je {Ai }i∈I neka particija skupa A, tada je na A mogu´ce definisati relaciju
ekvivalencije ˇcije su klase ekvivalencije skupovi {Ai : i ∈ I}.
Dokaz
Ako se relacija ∼, definiˇse sa a ∼ b ako i samo ako a i b pripadaju istom bloku
Ai , za neko i ∈ I, lako se provjerava da ona zadovoljava uslove teoreme.
Definicija 3.5
Relaciju f ⊆ A × B u kojoj nema ured¯enih parova ˇcije su prve koordinate
14
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
jednake, a druge razliˇcite nazivamo funkcijom ili preslikavanjem iz skupa A
u skup B, i oznaˇcava sa f : A → B. Ako (a, b) ∈ f onda piˇsemo b = f (a) i a
nazivamo originalom, a b slikom.
Zahtjev iz definicije funkcije znaˇci da svaki original ima jedinstvenu sliku.
Skup
D(f ) = {x ∈ A : (∃y ∈ B) y = f (x)}
nazivamo domenom ili definicionim podruˇcjem funkcije f . Kada budemo pisali
f : A → B podrazumijeva´cemo da je D(f ) = A.
Slikom funkcije f naziva se skup
f (A) = {y ∈ B : ∃x ∈ A takav da je y = f (x)}.
Prethodna definicija precizira pojam funkcije pod kojom se (,,intuitivno”)
podrazumijeva pridruˇzivanje jedinstvenih elemenata slike elementima domena.
Za funkcije f i g kaˇzemo da su jednake ako je D(f ) = D(g) i f (a) = g(a),
za svako a ∈ D(f ).
U algebri se ˇcesto raˇcuna sa klasama ekvivalencije. Taj se raˇcun izvodi
pomo´cu ,,predstavnika” klasa. Pod skupom predstavnika neke relacije ekvivalencije, podrazumijeva se skup koji se sastoji od taˇcno jednog elementa iz
svake klase. Pri tome ti elementi mogu iz klase biti nasumice izabrani.
Postavlja se pitanje: Da li je mogu´ce formirati skup predstavnika koji bi se
sastojao od po jednog elementa iz svake klase ekvivalencije? To je mogu´ce, ali
samo na osnovu aksiome izbora. Napomenuli smo da je Cornova lema jedna od
mogu´cih formulacija te aksiome.
Prije toga ´cemo dati razjaˇsnjenje joˇs jednog pojma sa kojim se ˇcesto susre´cemo. Naime, ˇcesto ´cemo u matematiˇckim knjigama proˇcitati reˇcenicu: Neka
je data familija (ai )i∈I . Ovo znaˇci da je zadata neka funkcija f : I → A, takva
da je f (i) = ai ∈ A, za svako i ∈ I. Frazom ,,neka je data familija” naglaˇsavamo
da nas ne zanima sama ta funkcija, nego samo njena slika. Pojam unije i presjeka se moˇze proˇsiriti na proizvoljne familije skupova. Neka je (Ai )i∈I neka
familija skupova definiˇsemo
∪
Ai = {a : ∃i ∈ I, za koji je a ∈ Ai },
i∈I
∩
Ai = {a : ∀i ∈ I, vrijedi a ∈ Ai }.
i∈I
De Morganove formule, u ovom sluˇcaju, imaju oblik:
(
)
(
)
∪
∩
∩
∪
C
Ai =
C(Ai ), C
Ai =
C(Ai ).
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
Navedimo sada standardnu formulaciju aksiome izbora:
Neka je data familija (Ai )i∈I nepraznih skupova. Tada postoji funkcija izbora,
tj. postoji funkcija f : I → ∪i∈I Ai , za koju je f (i) ∈ Ai , za svako i ∈ I.
15
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Drugim rijeˇcima, postoji skup koji se sastoji od taˇcno po jednog elementa
iz svakog skupa Ai .
Aksioma izbora je najkonraveznija aksioma teorije skupova. Razlog za to je
njena egzistencijalna priroda. Naime, u samoj formulaciji ove aksiome vidi se
da je ona samo ,,pretpostavljad¯a takva funkcija postoji, a ne kako se ona moˇze
eksplicitno konstruisati. U ogromnom broju sluˇcajeva se takva funkcija moˇze
eksplicitno konstruisati, ali ima sluˇcajeva kada ne moˇze.
Za ilustraciju te ˇcinjenice slikovit je sljede´ci primjer poljskog matematiˇcara
Sjerpinskog: Zamislimo prodavnicu cipela i ´carapa u kojoj ima beskonaˇcno
mnogo pari i jednog i drugog (kao npr. Planet obu´ca). Funkcija izbora bi bila
neka funkcija koja bi propisivala izbor taˇcno jednog elementa od svakog para i
cipela i ´carapa. Za cipele je jednostavno konstruisati takvu funkciju. Na primjer,
to bi bila funkcija koja iz svake kutije cipela uzima npr. lijevu cipelu. To je,
dakle, mogu´ce, jer se elementi skupova sa cipelama razlikuju.
Sa ´carapama je situacija drukˇcija. I tu se radi o parovima elemenata, ali
nemamo nikakvog dodatnog kriterijuma pomo´cu koga bismo razlikovali elemente tih skupova, jer se lijeva i desna ´carapa ne razlikuju. Ne moˇzemo, dakle,
unaprijed propisati koju bismo od dvije ´carape iz jednog para izabrali. Po aksiomi izbora takva funkcija postoji, ali ne moˇzemo konstruisati nikakvu takvu
funkciju eksplicitno.
Funkciju f : A → B nazivamo konstantnom funkcijom ako je f (a1 ) =
f (a2 ), za sve a1 , a2 ∈ A.
Funkciju idA : A → A nazivamo identitetom na A ako je idA (a) = a, za
svaki a ∈ A. Umjesto idA moˇze se pisati samo id, ukoliko to ne moˇze dovesti
do zabune.
Ako f : X → Y i Y1 ⊆ f (X), tada se skup f −1 (Y1 ) = {x ∈ X : f (x) ∈ Y1 }
naziva praslikom ili originalom skupa Y1 . Ako je Y1 = {y1 }, tada se f −1 (Y1 )
oznaˇcava sa f −1 (y1 ).
Teorema 3.6
Ako je f : X → Y funkcija onda familija {f −1 (y) : y ∈ f (X), } ˇcini particiju
skupa X.
Dokaz
Ako je x ∈ X proizvoljan i y = f (x), onda je x ∈ f −1 (y), pa je unija pomenute
familije jednaka ˇcitavom X. Ako bi bilo x ∈ f −1 (y1 ) ∩ f −1 (y2 ), vrijedilo bi
f (x) = y1 , f (x) = y2 , pa bi bilo y1 = y2 , tj. f −1 (y1 ) = f −1 (y2 ), ˇsto znaˇci da su
razliˇciti skupovi iz familije med¯usobno disjunktni.
Neka su f : A → B i g : B → C funkcije, tada se kompozicija g◦f : A → C
tih funkcija definiˇse sa (g ◦ f )(a) = g(f (a)), a ∈ A.
16
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Teorema 3.7
1. Ako su f : A → B, g : B → C, h : C → D funkcije, tada je
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f.
2. Ako je f : A → B funkcija, tada vrijedi
idA ◦ f = f ◦ idB = f.
Dokaz
1. Za svako a ∈ A vrijedi:
[h ◦ (g ◦ f )](a) = h[(g ◦ f )(a)] = h(g(f (a)),
[(h ◦ g) ◦ f ](a) = [h ◦ g](f (a)) = h(g(f (a))).
2. Tvrdnja je oˇcigledna.
Za funkciju f : A → B kaˇzemo da je injektivna ili ,,1 − 1”ako su slike
razliˇcitih elemenata razliˇcite, tj. ako
f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 .
Re´ci ´cemo da je f sirjektivna ili ,,na” ako je f (A) = B. Funkciju f
nazivamo bijektivnom ako je f i injektivna, i sirjektivna funkcija. Sljede´ca
teorema daje jednu od karakterizacija injektivnih i sirjektivnih funkcija.
Teorema 3.8
1. Funkcija f : X → Y je injektivna funkcija ako i samo ako postoji funkcija
g1 : f (X) → X za koju je g1 ◦ f = idX .
2. Funkcija f : X → Y je sirjektivna funkcija ako i samo ako postoji funkcija
g2 : Y → X za koju je f ◦ g2 = idY .
3. Funkcija f : X → Y je bijektivna ako i samo ako postoji funkcija g : Y → X
za koju je g ◦ f = idX , f ◦ g = idY .
Dokaz
1. Prvo ´cemo dokazati da je uslov dovoljan. Pretpostavimo da postoji funkcija
g1 sa navedenom osobinom. Ako su x1 , x2 ∈ X takvi da vrijedi f (x1 ) = f (x2 ),
tada je g1 (f (x1 )) = g1 (f (x2 )), ˇsto znaˇci da je (g1 ◦ f )(x1 ) = (g1 ◦ f )(x2 ), pa
kako je g1 ◦ f = idX slijedi x1 = x2 .
17
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Dokaˇzimo sada da je uslov potreban. Pretpostavimo da je funkcija f injektivna. Uzmimo proizvoljno y ∈ f (X) i definiˇsimo g1 (y) = f −1 (y). Kako je
zbog injektivnosti funkcije f skup f −1 (y) jednoˇclan, to je funkcija g1 korektno
definisana. Oˇcigledno vrijedi g1 (y) = x ako i samo ako f (x) = y, tj. g1 ◦f = idX .
2. Neka postoji funkcija g2 sa navedenom osobinom. Tada, za svako y ∈ Y
vrijedi y = f (g2 (y)), pa je f sirjekcija. Obrnuto, neka je f sirjekcija i y ∈ Y.
U ovom sluˇcaju ne moˇzemo funkciju g2 : Y → X definisati sa g2 (y) = f −1 (y),
jer skup f −1 (y) nije jednoˇclan. U ovom sluˇcaju ´cemo iz svakog skupa f −1 (y)
izabrati taˇcno jednog predstavnika i definisati g2 : Y → X tako da je g2 (y) = x,
pri ˇcemu je x predstavnik skupa f −1 (y). Funkcija g2 oˇcigledno zadovoljava
traˇzeni uslov.
3. Na osnovu 1. i 2. tvrdnja da je f bijekcija je ekvivalentna postojanju funkcija
g1 : Y → X i g2 : Y → X takvih da je g1 ◦ f = idX , f ◦ g2 = idY . Neka je y ∈ Y
proizvoljan, a x ∈ X takav da je f (x) = y. Tada je g1 (y) = (g1 ◦ f )(x) = x. Isto
tako, y = f (g2 (y)) = f (x), pa kako je f injekcija, vrijedi g2 (y) = x = g1 (y).
Zakljuˇcujemo da je g1 = g2 .
U razmatranjima prethodne teoreme smo doˇsli do vaˇznog pojma inverzne
funkcije. Naime, ako je f : A → B injektivna funkcija, tada je f : A → f (A)
bijekcija. I funkcija g : f (A) → A definisana sa g(c) = d, ako je f (c) = d, je
takod¯e bijekcija.
Ako je f injekcija, tada se funkcija g naziva inverznom funkcijom od f
i oznaˇcava se sa f −1 .
Bijektivne funkcije f : X → X se nazivaju permutacijama skupa X. Skup
svih permutacija skupa X oznaˇcava´cemo sa SX .
Iz prethodnih razmatranja lako se dobija sljede´ca propozicija.
Propozicija 3.9
Ako je X neprazan skup tada vrijedi:
1. f, g ∈ SX ⇒ f ◦ g ∈ SX ,
2. f, g, h ∈ SX ⇒ (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h),
3. f ∈ SX ⇒ id ◦ f = f ◦ id = f,
4. za svako f ∈ SX postoji g ∈ SX takav da je f ◦ g = g ◦ f = id.
Vidimo da su permutacije primjer grupe, veoma vaˇzne algebarske strukture.
Ako za skupove A i B postoji bijekcija f : A → B, onda kaˇzemo da je
skup A ekvipotentan skupu B, i piˇsemo A ≡ B. Naˇsa rijeˇc za ekvipotentnost
mogla bi biti ,,jednakobrojnost”.
18
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Teorema 3.10
Ekvipotentnost skupova je relacija ekvivalencije.
Dokaz
Ovdje se pretpostavlja da su svi posmatrani skupovi podskupovi nekog univerzalnog skupa X. Za svaki skup A identiˇcno preslikavanje idA : A → A je
bijekcija, ˇsto znaˇci da je relacija ekvipotentnosti refleksivna. Ako je f : A → B
bijekcija, tada je i f −1 : B → A takod¯e bijekcija, pa je ekvipotentnost simetriˇcna relacija. Na kraju, ako su f : A → B, g : B → C bijekcije, tada
je g ◦ f : A → C takod¯e bijekcija, a to znaˇci da je relacija ekvipotentnosti i
tranzitivna.
Klasu ekvivalencije skupa A u odnosu na relaciju ekvipotentnosti nazivamo
kardinalnim brojem skupa A. Za neki skup kaˇzemo da je prebrojiv ako je
ekvipotentan skupu prirodnih brojeva.
Teorema 3.11
Skup racionalnih brojeva je prebrojiv.
Dokaz
Dokazati da je neki skup prebrojiv znaˇci da se elementi tog skupa mogu poredati
u niz oblika a1 , a2 , . . . . Pokaˇzimo kako se u takav niz mogu poredati racionalni
brojevi. Prvo ´cemo pozitivne racionalne brojeve smjestiti na jednu pravougaonu
ˇsemu.
1 2 3 ··· n ···
1
2
3
· · · n2 · · ·
2
2
2
1
2
3
· · · n3 · · ·
3
3
3
.. .. ..
.
.
. . . · · · .. · · ·
1
n
..
.
2
n
..
.
3
n
···
..
.
n
n
···
..
.
Jasno je da se svaki pozitivan racionalan broj pojavljuje bar jednom u ovoj
ˇsemi. Sada poˇcnimo redati ove brojeve u niz poˇcev od gornjeg lijevog ugla.
Dakle, prvi element u nizu je 1. Sljede´ci ˇclanovi se uzimaju sa dijagonale ispod
jedinice od desnog do lijevog kraja, a da se pri tome izostavljaju ve´c uzeti
elementi. Prema tome, sljede´ci elementi u nizu su 2 i 12 , a zatim prelazimo na
sljede´cu dijagonalu. Sljede´ci elementi niza su 31 , pa izostavljamo 22 , pa 3, itd.
19
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Na taj naˇcin ´cemo sve pozitivne racionalne brojeve smjestiti u niz
1 1
3 2 1
1, 2, , , 3, 4, , , , . . . ,
2 3
2 3 4
ˇsto znaˇci da je skup pozitivnih, pa i skup svih, racionalnih brojeva prebrojiv.
Sve racionalne brojeve moˇzemo poredati u niz tako da iza svakog broja u prethodnom nizu stavimo njemu suprotan broj, i joˇs stavimo nulu bilo gdje.
Skupove koji su ekvipotentni skupu prirodnih brojeva nazivamo prebrojivim.
Ostale beskonaˇcne skupove nazivamo
neprebrojivim
√
Dokazali smo u uvodu da 2 nije racionalan broj. On pripada skupu iracionalnih brojeva, koji zajedno sa skupom racionalnih brojeva ˇcini skup realnih
brojeva R. Jedino ´cemo konstatovati da je (R, +, ·) polje, te da Q ⊂ R. Kardinalni broj skupa realnih brojeva se naziva kontinuumom i oznaˇcava se sa
c.
Dokaza´cemo da je skup realnih brojeva iz intervala (0, 1) neprebrojiv. Racionalnim, realnim i kompleksnim brojevima biˇze posve´cena posljednja predavanja. Ovdje se pretpostavlja da studenti ve´c imaju osnovna znanja o tim
brojevima. Pretpostavljamo npr. da studenti znaju da se realni brojevi mogu
predstavljati tzv. decimalnim brojevima.
Teorema 3.12 (Kantorov dijagonalni postupak)
Skup realnih brojeva iz intervala (0, 1) je neprebrojiv.
Dokaz
Pretpostavimo suprotno, da sve realne brojeve moˇzemo poredati u jednu kolonu. Prije toga svaki realan broj napiˇsemo u obliku decimalnog broja. Ta
kolona izgleda ovako:
0.a11 a12 a13 . . . a1n . . .
0.a21 a22 a23 . . . a2n . . .
..
.
.
0.an1 an2 an3 . . . ann . . .
..
.
Pri tome su aij cifre. Drugim rijeˇcima, za svako ∀i, j, aij ∈ {0, 1, . . . , 9}.
Mi, dakle, pretpostavljamo da su na ovoj tabeli ispisani svi realni brojevi
iz intervala (0, 1). To je, med¯utim nemogu´ce, jer se npr. broj 0.b1 b2 . . . bn . . . ,
za koje je bi ̸= aii , (i = 1, 2, . . .) ne nalazi na ovoj tabeli. Naime, on nije prvi
broj na tabeli, jer je b1 ̸= a11 . To nije ni drugi broj na tabeli jer je b2 ̸= a22 ,
itd.
20
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Razmatranja u ovom poglavlju zapoˇce´cemo binomnim koeficijentima, jednoj
od najzanimljivijih klasa brojeva. Oni su, kao ˇsto im i samo ime kazuje, u vezi
sa stepenima binoma.
U ˇcitavom tekstu ´cemo se susretati sa sumama i proizvodima. Spomenimo
sada sljede´ce dvije konvencije:
n
∑
ai = a0 + a1 + · · · + an ,
i=0
n
∏
ai = a0 · a1 · · · an .
i=0
ˇ
Posmatrajmo izraz (1+x)n koji predstavlja n-ti stepen binoma 1+x. Zelimo
da ovaj izraz ,,razvijemo”po stepenima od x. Oˇcigledno da se oslobad¯anjem od
zagrada u izrazu na desnoj strani jednakosti (1+x)n = (1+x)·(1+x) · · · (1+x)
k
dobija suma monoma oblika xk , 0 6 k 6 n. Pri tome se monom
(n) x moˇ
( z)e
pojavljivati viˇse puta. Oznaˇcimo broj njegovih pojavljivanja sa k . Broj nk
se naziva binomni koeficijent.
Dakle, vrijedi sljede´ca jednakost
n ( )
∑
n k
(1 + x)n =
x .
(3.1)
k
k=0
Specijalno, za x = 1 se dobija formula za sumu svih binomnih koeficijenata:
n ( )
∑
n
= 2n .
(3.2)
k
k=0
Za binomne koeficijente vrijedi
( ) ( )
n
n
=
= 1,
0
n
jer se stepeni x0 = 1 i xn pojavljuju samo po jedanput u sumi na desnoj strani
(3.1).
Iz oˇcigledne jednakosti (1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n dobijamo
n+1
∑(
k=0
)
n ( )
n ( )
n ( )
∑
n+1 k
n k ∑ n k ∑ n k+1
x = (1 + x)
x =
x +
x
.
k
k
k
k
k=0
k=0
Izjednaˇcavanjem koeficijenata uz stepen xk dobijamo
(
) ( ) (
)
n+1
n
n
=
+
, (k ≥ 1).
k
k
k−1
k=0
(3.3)
Prethodna formula predstavlja rekurziju za binomne koeficijente. Iz nje se jednostavno izvodi sljede´ca, eksplicitna, formula za binomne koeficijente.
21
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Propozicija 3.13
Za svaki nenegativan cio broj n i svaki cio broj k, 0 ≤ k ≤ n, vrijedi
( )
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
=
,
k
k!
pri ˇcemu je 0! = 1, k! = 1 · 2 · · · k.
Takod¯e je
( )
n
n!
.
=
k!(n − k)!
k
(3.4)
Dokaz
(1)
Dokaz izvodimo
(1) indukcijom po n. Za n = 1, k = 0 formula vrijedi, jer je 0 = 1.
Isto tako je 1 = 1, pa formula vrijedi i za n = 1. Pretpostavimo da je formula
taˇcna za n. Na osnovu rekurzije i induktivne pretpostavke imamo
(
) ( ) (
)
n+1
n
n
=
+
k
k
k−1
n(n − 1) · · · (n − k + 1) n(n − 1) · · · (n − k + 2)
=
+
k!
(k − 1)!
n(n − 1) · · · (n − k + 1) + k · n(n − 1) · · · (n − k + 2)
=
k!
n(n − 1) · · · (n − k + 2)(n − k + 1 + k)
=
k!
(n + 1)n(n − 1) · · · (n + 1 − k + 1)
=
,
k!
pa je formula taˇcna i za n + 1.
Druga formula iz propozicije je jednostavna posljedica prve formule.
Iz (3.4) lako se dobija sljede´ca osobina simetriˇcnosti binomnih koeficijenata:
( ) (
)
n
n
=
.
k
n−k
Binomni koeficijenti imaju veoma vaˇzno kombinatorno znaˇcenje, koje dokazujemo u sljede´coj tvrdnji.
Propozicija 3.14
Broj
nata.
(n)
k
jednak je broju podskupova sa k elemenata nekog skupa sa n eleme-
22
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Dokaz
Razvojem binoma (1 + x)n dobijemo neku sumu monoma. Svaki taj monom
jednak
je prizvodu n elemenata, pri ˇcemu je svaki taj element ili 1 ili x. Broj
(n)
jednak
je broju onih monoma kod kojih se 1 pojavljuje k-puta, a x prek
ostalih n − k puta. Skup ovakvih nizova je u bijektivnoj korespondenciji sa
skupom podskupova sa k elemenata, skupa {1, 2, . . . , n}. Ta bijekcija se postiˇze na sljede´ci naˇcin. Uzmimo proizvoljan podskup A skupa {1, 2, . . . n} sa k
elemenata i formirajmo niz f (A) duˇzine n, uzimaju´ci da i-ti ˇclan ima vrijednost
1 ako i ∈ A, a vrijednost x u ostalim sluˇcajevima. Jasno je da se na ovaj naˇcin
svakom podskupu sa k elemenata pridruˇzuje taˇcno jedan niz i obrnuto, a to
znaˇci da je f bijekcija.
23
© Copyright 2024 Paperzz
