Čitanka broj 1
PDF generated using the open source mwlib toolkit. See http://code.pediapress.com/ for more information.
PDF generated at: Mon, 21 Mar 2011 10:56:55 UTC
Contents
Articles
Treći dio
1
Skup
1
Prazni skup
6
Funkcija (matematika)
9
Domena (matematika)
10
Slika (matematika)
11
Injektivna funkcija
12
Surjektivna funkcija
13
Bijekcija
14
Kodomena
15
Niz
16
Geometrijski niz
17
Prirodni broj
18
Zbrajanje
19
Nula
19
Cijeli broj
20
Množenje
20
Racionalni broj
21
Realni broj
21
Kvadratna funkcija
22
Eksponencijalna funkcija
25
Logaritam
28
Broj e
30
Drugi dio
31
Kartezijev koordinatni sustav
31
Krivulja
36
Ortodroma
37
Jednadžba pravca
38
Koeficijent smjera pravca
41
Parabola (krivulja)
42
Hiperbola (krivulja)
44
Elipsa
46
Kružnica
48
Promjer
52
Luk (matematika)
53
Treći dio
54
Trokut
54
Trigonometrija
55
Sinus
56
Kosinus
57
Period
58
Kompleksni broj
59
Imaginarni broj
60
Vektor
61
Matrica (matematika)
65
Jedinična matrica
68
Rang matrice
69
References
Article Sources and Contributors
71
Image Sources, Licenses and Contributors
72
Article Licenses
Licencija
73
1
Treći dio
Skup
U matematici, skup se može shvatiti kao bilo koja kolekcija različitih objekata smatranim cjelinom. Iako se ovo čini
jednostavnom idejom, skupovi su svejedno jedan od najvažnijih fundamentalnih koncepata u modernoj matematici.
Matematička disciplina koja proučava moguće skupove, teorija skupova, je sadržajno bogata i aktivna.
Teorija skupova, stvorena tek krajem 19. stoljeća, je danas sveprisutni dio matematičkog obrazovanja, te se stoga u
većini zemalja uvodi već u osnovnoj školi. Teorija skupova se može shvatiti kao osnova nad kojom može biti
izgrađena gotovo cijela matematika, te kao ishodište iz kojeg gotovo cijela matematika može biti izvedena. Ovaj
članak predstavlja kratak i osnovni uvod u ono što matematičari zovu "intuitivna" ili "naivna" teorija - za više detalja
pogledati naivna teorija skupova. Za rigorozniji i moderniji aksiomatski pristup skupovima, pogledati aksiomatska
teorija skupova.
Definicija
Na početku svog djela Beiträge zur
Begründung der transfiniten Mengenlehre,
Georg Cantor, principijelni tvorac teorije
skupova, je napisao sljedeću definiciju
skupa:[1] Pod terminom skup smatramo bilo
koju kolekciju M određenih, različitih
objekata m naše zamjedbe ili misli (koji će
se zvati elementi skupa M) u cjelinu.
Objekte skupa također zovemo njegovim
članovima. Elementi skupa mogu biti raznih
Matematički odnos između skupova se može vizualizirati Vennovim dijagramom.
vrsta: brojevi, ljudi, slova abecede, drugi
skupovi itd. Skupovi se dogovorno
označavaju velikim slovima A, B, C, itd. Za dva skupa A i B kažemo da su jednaka i zapisujemo A = B ako imaju iste
članove.
Skup, za razliku od multiskupa, ne može sadržavati više jednakih elemenata. Sve skupovne operacije čuvaju svojstvo
jedinstvenosti elementa u skupu. Slično, redoslijed nabrajanja elemenata skupa je nebitan, za razliku od slijeda ili
tupla.
Skup
2
Opisivanje skupova
Nemaju svi skupovi precizan opis - neki mogu jednostavno biti proizvoljne kolekcije, bez nekog jasno izraženog
"pravila" koje kazuje koji su elementi unutar ili van skupa.
Neki skupovi mogu biti opisani riječima, na primjer:
A je skup čiji su članovi prva četiri cijela broja.
B je skup čiji su članovi boje francuske zastave.
Dogovorno se skup također može definirati eksplicitnim nabrajanjem svih elemenata između vitičastih zagrada, na
primjer:
C = {4, 2, 1, 3}
D = {crvena, bijela, plava}
Dva različita opisa mogu definirati isti skup. Na primjer, gore definirani skupovi A i C su identični, pošto imaju
jednake članove. Skraćeni zapis A = C se koristi za izražavanje takve jednakosti. Slično, za gore definirane skupove
vrijedi B = D.
Identitet skupa ne ovisi o redoslijedu nabrajanja elemenata skupa, kao i o mogućim ponavljanjima elemenata
prilikom nabrajanja. Na primjer, {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}.
Za skupove sa mnogo elemenata ponekad se koristi skraćena lista. Na primjer, prvih tisuću pozitivnih cijelih brojeva
se mogu opisati simboličkom kraticom:
{1, 2, 3, ..., 1000},
pri čemu specijalni simbol od tri točke (...) označava da se lista nastavlja na podrazumjevani način.
Slično se skup parnih brojeva može opisati notacijom:
{2, 4, 6, 8, ... }.
Složeniji skupovi se ponekad opisuju različitom notacijom. Na primjer, skup F čiji su članovi prvih dvadeset brojeva
koji su za četiri manji od kvadrata cijelog broja, može biti opisan na sljedeći način:
F={
– 4 : n je cijeli broj; i 0 ≤ n ≤ 19}
U ovom opisu, dvotočka (:) znači "takav da", i matematičari interpretiraju ovaj opis kao "F je skup svih brojeva
oblika
– 4, takvih da je n cijeli broj u opsegu od 0 do 19 inkluzivno." (Ponekad se umjesto dvotočke koristi
vertikalna crta |.)
Članstvo skupa
Ako nešto jest ili nije element nekog pojedinačnog skupa, tada to simboliziramo sa
odnosno
. Na primjer, u
odnosu na već definirane skupove, vrijedi:
•
i
(budući da je 285 = 17² − 4); ali
•
i
.
Kardinalnost skupa
Svaki gore opisan skup ima konačan broj članova - na primjer, skup A ima četiri člana, dok skup B ima tri člana.
Skup također može imati nula članova. Takav skup zove se prazni skup i označava simbolom ø. Na primjer, skup A
svih trostranih kvadrata ima nula članova, i stoga je A = ø. Poput broja nula, iako naizgled trivijalan, prazni se skup
pokazao kao poprilično važan u matematici.
Skup također može imati beskonačan broj članova - na primjer, skup prirodnih brojeva je beskonačan.
Kaže se da su dva skupa ekvipotentna (imaju isti kardinalitet ili su jednakobrojni ili su bijektivni) ako postoji
bijekcija iz jednoga skupa u drugi skup. Relacija ekvipotencije je relacija ekvivalencije, pa se skupovi svrstavaju u
Skup
3
disjunktne klase - klasa kojoj pripada skup S zove se kardinalni broj skupa S i oznčava se sa
ili card S ili #S.
Podskup
Ako je svaki član skupa A također član skupa B, tada se za A kaže da je podskup od B, piše se
A je sadržan u B. Može se, također, zapisati
Relacija između skupova uspostavljenu sa
, te izgovara
što se čita kao B je nadskup od A, B uključuje A ili B sadrži A.
zove se inkluzija.
Ako je A podskup i nije jednak skupu B, tada se za A kaže da je pravi podskup skupa B, zapisuje s
pravi podskup od B) ili
i
i
(A je
(B je pravi nadskup od A). Međutim, u nekoj literaturi ovi se simboli čitaju isto kao
, te se stoga češto preferira korištenje eksplicitnijih simbola
i
za prave podskupove i nadskupove.
A je podskup od B
Primjeri:
• Skup svih žena je pravi podskup skupa svih ljudi.
•
•
Prazni skup je podskup svakog skupa i svaki skup je sam svoj podskup:
•
•
Posebni skupovi
Neki istaknuti skupovi imaju izuzetnu matematičku važnosti i toliko se često koriste da su dobili posebna imena i
notaciju. Jedan od njih je već spomenuti prazni skup. Neki od ostalih su:
•
•
•
označava skup svih prostih brojeva.
označava skup svih prirodnih brojeva. Drugim riječima,
= {1, 2, 3, ...}, ili rjeđe
= {0, 1, 2, 3, ...}.
označava skup svih cijelih brojeva (bilo pozitivnih, negativnih ili nule). Stoga je = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
•
označava skup svih racionalnih brojeva (tj. skup svih pravih i nepravih razlomaka). Stoga je
i b ≠ 0}. Na primjer,
•
i
= { : a,b
. Svi cijeli brojevi su u ovom skupu pošto se svaki cijeli broj a
može izraziti kao razlomak .
je skup svih realnih brojeva. Ovaj skup uključuje sve racionalne i iracionalne brojeve (tj. brojeve koji se ne
mogu zapisati u obliku razlomka, kao što su
•
je skup svih kompleksnih brojeva.
i √2).
Svaki od ovih skupova brojeva je beskonačan, premda vrijedi
, iako se prosti
brojevi općenito koriste manje od ostalih skupova izvan teorije brojeva i srodnih disciplina.
Međutim, ne postoji samo jedna vrsta beskonačnosti. Za skup koji je ekvipotentan (jednakobrojan) sa skupom
prirodnih brojeva
kažemo da je prebrojivo beskonačan (kraće prebrojiv), a "veći" skupovi su neprebrojivo
beskonačni (kraće neprebrojivi).
Skup
4
Prebrojivo beskonačni skupovi su, na primjer, skupovi
, kao i skup svih prirodnih brojeva koji su parni,
neparni, djeljivi s 3, djeljivi 4, itd. Primjeri neprebrojivo beskonačnih skupova su
i
.
Unija
Postoji nekoliko načina za konstruiranje novih skupova od već postojećih. Dva se skupa mogu "zbrojiti". Unija
skupova A i B, označena sa A U B, je skup svih elemenata koji su članovi ili skupa A ili skupa B.
Unija skupova A i B
Primjeri:
• {1, 2} U {crvena, bijela} = {1, 2, crvena, bijela}
• {1, 2, zelena} U {crvena, bijela, zelena} = {1, 2, crvena, bijela, zelena}
• {1, 2} U {1, 2} = {1, 2}
Neka osnovna svojstva unije:
•
•
•
•
A U B = B U A
A je podskup skupa A U B
A U A = A
A U ø = A
Presjek
Novi se skup također može konstruirati određivanjem "zajedničkih" elemenata obaju skupova. Presjek skupova A i
B, označen sa A ∩ B, je skup svih elemenata koji su članovi i skupa A i skupa B. Ako je A ∩ B = ø, tada za A i B
kažemo da su disjunktni.
Presjek skupova A i B
Primjer:
• {1, 2} ∩ {crvena, bijela} = ø
• {1, 2, green} ∩ {crvena, bijela, zelena} = {zelena}
• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}
Neka osnovna svojstva presjeka:
• A ∩ B = B ∩ A
Skup
5
• A ∩ B je podskup skupa A
• A ∩ A = A
• A ∩ ø = ø
Komplementi
Dva se skupa također mogu "oduzeti". Relativni komplement skupa A u skupu B (još se koristi i naziv skupovna
razlika skupova B i A), označeno sa B − A, (ili B \ A), je skup svih elemenata koji su članovi skupa B, ali nisu
članovi skupa A. Potrebno je uočiti da je valjana operacija "oduzimanja" članova koji nisu u skupu, poput micanja
elementa zelena iz skupa {1,2,3} - takva operacija nema učinka.
U određenim postavkama, svi skupovi koji se promatraju, smatraju se podskupovima nekog danog univerzalnog
skupa U. U takvim slučajevima, U − A zove se apsolutni komplement ili jednostavno komplement skupa A, i
označava s A′, AC ili
.
Relativni komplement
skupa A u skupu B
Komplement skupa A u skupu U
Primjeri:
•
•
•
•
{1, 2} − {crvena, bijela} = {1, 2}
{1, 2, zelena} − {crvena, bijela, zelena} = {1, 2}
{1, 2} − {1, 2} = ø
Ako je U skup svih cijelih brojeva, P skup parnih brojeva, a N skup svih neparnih brojeva, tada komplement
skupa P u U iznosi N, ili ekvivalentno, P′ = N.
Neka osnovna svojstva komplementa:
•
•
•
•
•
A U A′ = U
A ∩ A′ = ø
(A′ )′ = A
A − A = ø
A − B = A ∩ B′
Skup
6
Bilješke
[1] Allenby, 1991. p. 1
Izvori
• Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
• Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
• Allenby, R.B.J.T, Rings, Fields and Groups, Leeds, England: Butterworth Heinemann (1991) ISBN
0-340-54440-6
Prazni skup
U matematici, specifično u teoriji skupova, prazni skup je jedinstveni
skup koji ne sadrži nijedan element. U aksiomatskoj teoriji skupova se
njegovo postojanje postulira aksiomom praznog skupa, iz kojeg se
grade svi konačni skupovi.
Razna općenita svojstva skupova su trivijalno istinita za prazni skup.
Notacija
Prazni se skup označava jednim od simbola "
" ili "
",
izvedenim iz slova Ø danske i norveške abecede, i uvedenim od strane
grupe Bourbaki (specifično André Weil] 1939. [1]). Druga uobičajena
notacija za prazni skup jest "{}".
Svojstva
• Za svaki skup A, prazni skup je podskup od A:
∀A: ∅ ⊆ A
• Za svaki skup A, unija skupa A i praznog skupa jest A:
∀A: A ∪ ∅ = A
• Za svaki skup A, presjek skupa A i praznog skupa je prazni skup:
Prazni skup je skup koji ne sadrži elemente.
∀A: A ∩ ∅ = ∅
• Za svaki skup A, Kartezijev produkt skupa A i praznog skupa je prazni skup:
∀A: A × ∅ = ∅
• Jedini podskup praznog skupa jest sam prazni skup:
∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
• Broj elemenata praznog skupa (tj. njegova kardinalnost) jest nula - prazni je skup konačan:
|∅| = 0
• Za svako svojstvo:
• za svaki element skupa ∅ svojstvo je zadovoljeno (trivijalno istinito)
• ne postoji element skupa ∅ za koji je svojstvo zadovoljeno
• Obratom ove tvrdnje slijedi: ako su, za neko svojstvo, sljedeće dvije tvrdnje zadovoljene:
• za svaki element skupa V svojstvo je zadovoljeno
Prazni skup
7
• ne postoji element V za kojeg je svojstvo zadovoljeno
tada V = ∅
U matematici je termin prazan skup nedvosmislen u uporabi - u teoriji skupova, dva skupa su jednaka ako imaju iste
elemente, te stoga može biti samo jedan skup bez elemenata.
Smatran podskupom brojevne crte (ili općenitije bilo kojeg topološkog prostora), prazni je skup istovremeno i
otvoren i zatvoren. Sve njegove granice (kojih nema) su u praznom skupu, te je skup stoga zatvoren - a istovremeno
za svaku svoju točku (kojih također nema) postoji otvoreno okruženje u praznom skupu, te je stoga i otvoren.
Štoviše, prazni skup je kompaktan činjenicom da je svaki konačni skup kompaktan.
Okruženje praznog skupa je prazno. Ovo je poznato kao "očuvanje nularnih unija".
Uobičajeni problemi
Prazni skup nije isto što i ništa - on je skup koji sadrži ništa, a taj skup jest nešto. Ovo poimanje često uzrokuje
nedoumice kod onih koji se prvi put susreću sa pojmom praznog skupa. Korisno je predočiti si prazni skup kao vreću
koja može sadržavati neke stvari - vreća može biti prazna, ali vreća zasigurno sama po sebi postoji.
Po definiciji podskupa, prazni skup je podskup bilo kojeg skupa A, budući da svaki element x skupa {} pripada skupu
A. Ako ne bi bilo istinito da je svaki element skupa {} u skupu A, tada bi morao postojati barem jedan element skupa
{} koji nije prisutan u A. Budući da uopće ne postoje elementi skupa {}, ne postoji element skupa {} koji nije u A,
što vodi do zaključka da je svaki element skupa {} u skupu A, te da je {} podskup skupa A. Svaka tvrdnja koja
započinje sa "za svaki element skupa {}" ne tvrdi ništa novo - ona je trivijalno istinita. Ovo se često parafrazira kao
"sve je istina nad elementima praznog skupa".
Aksiomatska teorija skupova
U aksiomatskoj teoriji skupova poznatoj i kao Zermelo-Fraenkelova teorija skupova, postojanje praznog skupa je
osigurano aksiomom praznog skupa. Jedinstvenost praznog skupa slijedi iz aksioma rasprostranjenosti.
Svaki aksiom koji tvrdi postojanje nekog skupa će implicirati aksiom praznog skupa, koristeći separacijsku shemu
aksioma. Na primjer, ako je A skup, tada separacijska shema aksioma dopušta konstrukciju skupa B = {x in A | x ≠
x}, koji se može definirati da bude prazni skup.
Operacije na praznom skupu
Operacije obavljene na praznom skupu (kao skup stvari nad kojima se operira) mogu također zbunjivati. (Takve
operacije zovemo nularne operacije.) Na primjer, suma svih elemenata praznog skupa je nula, ali produkt svih
elemenata praznog skupa je jedan. Ovo se čini čudno, pošto prazni skup nema elemenata, i postavlja se pitanje kakvu
razliku čine operacije njihova zbrajanja i množenja (pošto oni ni ne postoje)? U konačnici, rezultat ovih operacija
više govori o operaciji u pitanju nego o praznom skupu. Na primjer, uočavamo da je nula neutralni element operacije
zbrajanja, dok je jedan neutralni element operacije množenja.
Međe
Budući da prazni skup nema članova, kad ga promatramo kao podskup bilo kojeg uređenog skupa, bilo koji član
skupa će biti gornja i donja međa za prazni skup. Na primjer, kada ga smatramo podskupom realnih brojeva, sa
svojim uobičajenim uređenjem predstavljenim realnom brojevnom crtom, svaki realni broj je i gornja i donja međa
praznog skupa. Kad ga promatramo kao podskup proširenih realnih brojeva koje dobijemo dodavanjem dva "broja"
ili "točke" normalnom skupu realnih brojeva, negativnu beskonačnost označenu simbolom
za koju definiramo
da je manja od bilo kojeg drugog proširenog realnog broja, te pozitivnu beskonačnost označenu simbolom
koju definiramo da je veća od bilo kojeg drugog proširenog realnog broja, tada vrijedi:
za
Prazni skup
i
To jest, najmanja gornja međa (sup ili supremum) praznog skupa je negativna beskonačnost, dok je najveća donja
međa (inf ili infimum) pozitivna beskonačnost. Po analogiji sa gornjim, slijedi da je u domeni proširenih realnih
brojeva negativna beskonačnost neutralni element za operatore maksimuma i supremuma, dok je pozitivna
beskonačnost neutralni element za minimum i infimum.
Prazni skup i nula
Već je spomenuto da prazni skup ima nula elemenata, ili da je njegova kardinalnost jednaka nula. Veza između ova
dva koncepta ide i dalje: u standardnoj definiciji prirodnih brojeva preko skupova, nula je definirana kao prazni
skup.
Teorija kategorija
Ako je A skup, tada postoji točno jedna funkcija f iz {} u A, prazna funkcija. Kao rezultat toga, prazni skup je
jedinstven inicijalni objekt kategorije skupova i funkcija.
Prazni se skup može pretvoriti u topološki prostor na samo jedan način (definiranjem da je prazni skup otvoren) ovaj prazni topološki prostor je jedinstven inicijalni objekt u kategoriji topoloških prostora sa kontinuiranim
(neprekinutim) preslikavanjima.
References
[1] http:/ / members. aol. com/ jeff570/ set. html
8
Funkcija (matematika)
9
Funkcija (matematika)
Funkcija ili preslikavanje je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova koji predstavlja preslikavanje elemenata
iz jednog skupa (domena) u drugi (kodomena). Pri tome preslikavanje mora biti jedinstveno, tj. svaki član domene se
preslikava u točno jedan član kodomene.
Definicija
Funkcija ili preslikavanje je uređena trojka
po kojem se svakom elementu
Skup
funkcije
koja sadrži skupove
pridružuje jedinstveni element
se naziva područje definicije ili domena funkcije
. Element domene
,
i neko pravilo
tako da je
, a skup
.
područje vrijednosti ili kodomena
je nezavisna varijabla ili argument funkcije
, a element kodomene
varijabla funkcije .
Želimo li istaknuti skupove na kojima funkcija izvršava pridruživanje, pišemo
pravilo po kojem funkcija djeluje, pišemo
je zavisna
. Želimo li istaknuti
.
Jednakost funkcija
Funkcije
i
su jednake, što zapisujemo sa
1. imaju jednake domene, tj.
;
2. imaju jednako pravilo preslikavanja tj.
Znači, iako funkcije
razlomak dobijemo
i
, ako vrijedi:
.
imaju jednako pravilo pridruživanja (kada se kod
) one nisu jednake jer nemaju istu domenu (
, dok je
skrati
).
Klasifikacija funkcija
Funkcija može imati mnogo svojstava, ali neka od važnijih su injektivnost, surjektivnost i bijektivnost.
Injekcija ili 1-1 preslikavanje je funkcija takva da ne postoje dva različita elementa domene koja se preslikavaju u
isti element kodomene. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo injektivnosti i da je injektivna.
Matematički zapisujemo,
ili ekvivalentnu tvrdnju
.
Slika funkcije f je skup elemenata iz kodomene na koje se preslikava neki element domene.
Surjekcija ili preslikavanje na je funkcija čija slika je jednaka cijeloj kodomeni
.
Drugim riječima, za svaki element kodomene ima neki iz domene koji se u njega preslikava, pa su svi elementi
kodomene "iskorišteni".
Matematički zapis:
. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo surjektivnosti i da
je surjektivna.
Bijekcija ili 1 na 1 korespondencija ili obostrano jednoznačno preslikavanje je funkcija koja je injektivna i
surjektivna. Kažemo još da je funkcija bijektivna i da ima svojstvo bijektivnosti.
Primjer bijekcije je identiteta, odnosno funkcija
definirana s
.
Funkcija (matematika)
10
Graf funkcije
Graf funkcije
Graf funkcije
jest skup točaka
ravnine
skup
za koje vrijedi
te čine krivulju. Formalnije, to je
.
Domena (matematika)
U matematici, domena k-mjesne relacije L ⊆ X1 × … × Xk je jedan od skupova Xj, 1 ≤ j ≤ k.
U specijalnim slučajevima za k = 2 i L ⊆ X1 × X2 je funkcija L : X1 → X2, uobičajeno je da se X1 naziva domena ili
područje definicije i X2 kodomena ili područje vrijednosti.
Domena funkcije
Za danu funkciju f:X→Y, skup X svih ulaznih vrijednosti zovemo domenom funkcije f, a skup svih mogućih izlaznih
vrijednosti Y kodomenom. Slika funkcije f je skup svih stvarnih izlaza {f(x) : x je u domeni}. Ponekad se kodomena
netočno zove slikom prilikom nerazlikovanja između stvarnih i mogućih vrijednosti.
Dobro definirana funkcija mora preslikavati svaki element domene u element svoje kodomene. Na primjer, funkcija f
definirana sa
f(x) = 1/x
nema definiranu vrijednost za f(0). Stoga, skup R realnih brojeva ne može biti njena domena. U ovakvim
slučajevima, funkcija je ili definirana na R\{0}, ili se "rupa" eksplicitno popuni definiranjem f(0). Ako proširimo
definiciju f na
f(x) = 1/x, for x ≠ 0
f(0) = 0,
tada je f definirana za sve realne brojeve i možemo odabrati R kao njenu domenu.
Nad bilo kojom funkcijom se može napraviti restrikcija na podskup svoje domene. Restrikcija funkcije g : A → B na
S, pri čemu jeS ⊆ A, se piše kao g |S : S → B.
Domena (matematika)
11
Domena parcijalne funkcije
Postoje dva različita značenja u trenutnoj matematičkoj uporabi u svezi notacije domene parcijalne funkcije. Većina
matematičara, uključujući teoretičare rekurzije, koristi termin "domena funkcije f" za skup svih vrijednosti x takvih
da je definirano f(x). Neki (osobito teoretičari kategorija), smatraju da je domena parcijalne funkcije f:X→Y jednaka
X, neovisno o tome postoji li f(x) za sve x u X.
Teorija kategorija
U teoriji kategorija, umjesto sa funkcijama barata se sa morfizmima, koji su jednostavno strelice iz jednog u drugi
objekt. Domena bilo kojeg morfizma je stoga objekt iz kojeg strelica započinje. Ovako gledano, mnoge ideje o
domenama iz teorije skupova moraju biti ili napuštene, ili preformulirane nešto apstraktnije. Na primjer, notacija
restrikcije morfizma na podskup svoje domene mora biti modificirana, uvođenjem koncepta podobjekta.
Kompleksna analiza
U kompleksnoj analizi, domena je otvoreni povezani podskup skupa kompleksnih brojeva.
Slika (matematika)
U matematici, slika funkcije je skup svih izlaznih vrijednosti koje funkcija poprima.
Formalna definicija
Za danu funkciju
, slika od
je definirana kao skup
Slika od f se ponekad označava i sa ran(f).
Sliku ne treba brkati sa kodomenom B. Slika je podskup kodomene, koji može, ali i ne mora obuhvatiti cijelu
kodomenu - mogu postojati elementi kodomene koji nisu elementi slike (vidi primjere niže). Ponekad se neprecizno
za kodomenu uzima slika funkcije. Češće (i preciznije) je kodomena neki standardni skup, poput npr. realnih ili
kompleksnih brojeva, a slika je tada podskup toga skupa.
Funkciju čija je slika jednaka kodomeni zovemo surjekcija ili preslikavanje na.
Primjeri
Neka je f funkcija nad realnim brojevima:
definirana sa
Kodomena funkcije f je R, i f poprima sve nenegativne vrijednosti ali nikad ne poprima negativne vrijednosti, i stoga
je slika funkcije ustvari skup R+—skup nenegativnih realnih brojeva, tj. interval [0,∞):
Neka je sad g funkcija nad realnim brojevima:
definirana sa
Slika (matematika)
12
U ovom je slučaju slika funkcije g jednaka svojoj kodomeni R, pošto za svaki realni broj y vrijedi:
Drugim riječima, g je preslikavanje na R.
Injektivna funkcija
Na slici vidimo da su se svi elementi iz X
preslikali u različite elemente u Y
Za funkciju
kažemo da je injektivna funkcija ili samo injekcija ako ne postoje dva različita
elementa domene, a koji se preslikavaju u neki isti element iz kodomene.
To znači da se svi elementi iz domene preslikavaju u međusobno različite elemente iz kodomene (funkcija ne "lijepi"
različite elemente u isti).
Zapisano simboličkom logikom,
je injektivna ako vrijedi:
što je ekvivalentno tvrdnji:
Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. funkcija Dopunite ga
Wikipedije.
References
[1] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ :Injektivna
[1]
prema pravilima
Surjektivna funkcija
13
Surjektivna funkcija
Za funkciju
kažemo da je surjektivna ili surjekcija ako je slika funkcije jednaka kodomeni funkcije.
To znači da za svaki član kodomene funkcije postoji barem neki član iz domene funkcije koji se preslikava u njega.
Zapisano simboličkom logikom,
takav da
.
Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti.
funkcija Dopunite ga [1] prema pravilima Wikipedije.
Na slici vidimo da su svi elementi u Y
"pogođeni" nekim elementom iz X
References
[1] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ :Surjektivna
Bijekcija
14
Bijekcija
U matematici, za funkciju iz skupa X u skup Y kažemo da je
bijektivna ako za svako y u Y postoji točno jedan x u X takav da
f(x) = y.
Drugim riječima, f je bijektivna je 1-1 korespondencija između
tih skupova, tj. i 1-1 (injekcija) i na (surjekcija)[1]
Na primjer, funkcija sljedbenika sljed, definirana na skupu cijelih
brojeva u , tako da svakom cijelom broju x pridjeljuje cijeli
broj sljed(x) = x + 1. Za drugi primjer, neka se promotri funkcija
sumraz koja svakom paru (x,y) realnih brojeva pridjeljuje par
sumraz(x,y) = (x + y, x − y).
Bijektivna funkcija.
Bijektivna se funkcija još zove bijekcija ili obostrano jednoznačno preslikavanje ili permutacija. Potonji se
termin češće koristi kad je X = Y. Valja uočiti da 1-1 funkcija nekim autorima znači 1-1 korespondencija (tj.
bijekcija), a drugim autorima injekcija. Skup svih bijekcija iz Y u Y se označava kao X
Y.
Bijektivne funkcije imaju fundamentalnu ulogu u mnogim područjima matematike, poput definicije izomorfizma (i
srodnih koncepata poput homeomorfizma i difeomorfizma), permutacijske grupe, projektivne ravnine, i mnogim
drugim.
Kompozicija i inverzi
Funkcija f je bijektivna ako i samo ako je njezina inverzna relacija f
bijekcija.
Kompozicija g o f dvaju bijekcija f
X
Yig
Y
−1
funkcija. U tom je slučaju f
također i
Z je bijekcija. Inverz od g o f je (g o f)−1 = (f −1) o (g−1).
S druge strane, ako je kompozicija g o f
dvaju funkcija bijektivna, možemo samo
reći da je f injektivna i g surjektivna.
Relacija f iz X u Y je bijektivna funkcija ako
i samo ako postoji druga relacija g iz Y u X
takva da je g o f identiteta na X, i f o g je
identiteta na Y. Slijedi da skupovi imaju isti
kardinalni broj
Izvori
[1] (Bilješka: uporaba pojma "1-1" za opis injektivne
funkcije može biti problematično, s obzirom da ga
neki autori shvaćaju u smislu 1-1 korespondencija,
tj. bijektivna funkcija
−1
Bijekcija komponirana od injekcije i surjekcije.
Bijekcija
15
Vidjeti također
•
•
•
•
•
injekcija
izomorfizam
permutacija
simetrična grupa
surjekcija
Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/
:Bijekcija) prema pravilima Wikipedije.
Kodomena
U matematici, kodomena ili područje vrijednosti
funkcije f : X → Y je skup Y.
Domena funkcije f je skup X.
Slika funkcije f je skup f(X) definiran s {f(x) : x ∈ X}.
Iz ovih definicija slijedi da je slika funkcije f uvijek
podskup kodomene od f.
Primjer
Zorni prikaz razlike između kodomene i slike se može
pronaći razmatranjem matrice linearne transformacije.
Dogovorno je domena linearne transformacije
asocirane sa matricom
a kodomena
, pri
čemu je matrica tipa
Domena, kodomena i slika funkcije
(ima m redaka i n stupaca). Ali bi slika (skup brojeva dobiven množenjem udesno
svakog vektor-stupca matrice duljine n) mogla biti znatno manja. Na primjer, ako matrica sadrži samo nule, tada je
bez obzira na veličinu njena slika samo vektor 0. Dimenzija rezultirajućeg vektora je m. Ovo je važan zaključak, s
obzirom da je dovoljno promijeniti samo jedan broj u matrici da njena slika ne bude nula.
Drugi primjer: neka je funkcija f funkcija nad realnim brojevima:
definirana sa
Kodomena funkcije f jest R, ali očito f(x) nikad ne poprima negativne vrijednosti, te je stoga slika u biti skup
R0+—nenegativnih realnih brojeva, tj. interval [0,∞):
Funkcija g je mogla biti definirana i na sljedeći način:
Iako f i g imaju isti krajnji učinak na dani broj, one nisu, u modernom shvaćanju, jednake funkcije, pošto imaju
različite kodomene.
Da bismo pobliže vidjeli zašto, pretpostavimo da imamo definiranu drugu funkciju,
Kodomena
16
Moramo definirati domenu te funkcije kao
:
.
Sada definirajmo kompozicije
,
.
Postavlja se pitanje, koja od ovih kompozicija ima smisla?
Ispostavlja se da je prva ta koje nema smisla. Pretpostavimo da ne znamo koja je slika funkcije f - samo znamo da
može poprimiti vrijednosti iz
. Ali tad dolazi do problema, pošto drugi korijen nije definiran za negativne
brojeve! Sad imamo moguću kontradikciju.
Ovakva je situacija nejasna, i u formalnom bi se radu trebala izbjegavati. Kompozicija funkcija stoga zahtijeva po
definiciji da kodomena (ne slika, koja je pak posljedica funkcije i stoga neodređena na razini kompozicije) funkcije
na desnoj strani bude jednaka domeni funkcije na lijevoj strani.
Kodomena može utjecati na surjektivnost funkcije - u našem primjeru, g je surjekcija dok f to nije. Kodomena ne
utječe na injektivnost funkcije.
Niz
Općenito, niz možemo zamisliti kao objekte poredane po nekom pravilu, tako da uvijek znamo tko je prethodnik i
sljedbenik svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).
Uzmimo za primjer razred od dvadeset učenika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od učenika znamo
tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg). To možemo zamisliti kao da smo svakom
od brojeva iz skupa
pridružili po jednog učenika.
Sličan primjer su dani u tjednu (brojevima od 1 do 7 pridruženi su prvi dan, drugi dan,...).
Matematička definicija niza
Takvi primjeri motiviraju matematičku definiciju niza: funkciju
zovemo niz u skupu S.
Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom našem primjeru,
skup S bi mogao biti {"Učenici razreda"}, a u drugom {"Dani u tjednu"}.
Niz se, umjesto uobičajene notacije
, označava sa
ili samo
ili
.
Primjeri
Članovi niza zadanog sa
izgledaju ovako:
Primjećujemo da je brojnik uvijek jedan, a nazivnik su prirodni brojevi. Broju jedan je pridružen 1, broju dva 1/2,
broju tri 1/3, i tako dalje. Zato kažemo da je npr. 1/16 šesnaesti član niza. Oznaka trotočje označava da je niz
beskonačan.
Sama funkcija može biti definirana sa više od jednog pravila. Primjer za takvu funkciju je:
Ova funkcija također zadovoljava uvjete za niz jer joj je domena skup
(kodomena je skup
).
Niz
17
Članovi ovog niza izgledaju ovako:
Važni nizovi
Posebno su važni aritmetički niz i geometrijski niz.
Geometrijski niz
Geometrijski niz je niz brojeva kod kojeg je količnik svakog člana i člana ispred njega uvijek stalan broj. Taj broj
označavamo sa q i nazivamo ga kvocijentom, a računamo ga pomoću formule
Da bi formirali geometrijski niz moramo poznavati a1 i q. Opći član niza koji ima beskonačno elemenata:
Formula za zbroj konačno mnogo članova:
Ime geometrijskog niza govori da je svaki član (osim prvog) geometrijska sredina dvaju susjednih članova.
Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. niz Dopunite ga [1] prema pravilima Wikipedije.
References
[1] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ :Geometrijski
Prirodni broj
18
Prirodni broj
Prirodnim brojevima zovemo pozitivne cijele brojeve {1, 2, 3, ...} ili, ponekad, ne-negativne cijele brojeve {0, 1, 2,
...}. Skup prirodnih brojeva u matematici označavamo velikim slovom N, a u slučaju da skup sadrži nulu,
označavamo ga i s indeksom 0: N0.
Eksperimentalno možemo reći:
I nije prazan skup.
II je uređen skup.
III Ako je n
IV Skup
, onda je skup svih prirodnih brojeva manjih od n konačan.
nema maksimalnog (najvećeg) elementa.
Definicija
Neprazni skup
zove se skup prirodnih brojeva, a njegovi su elementi prirodni brojevi, ako vrijede ovi uvjeti
(aksiomi):
Aksiom A: Postoji funkcija s sa
u
Aksiom B: Postoji barem jedan element u
Aksiom C: Ako je s(m)=s(n) za m,n
Aksiom D: Ako je M podskup od
(I) 1
.
, označimo ga sa 1, takav da je s(n)
1,
.
, onda je m=n.
i ako vrijedi:
M
(II) (
) (n
M
s(n)
M)
onda je M=
Navedeni aksiomi poznati su pod imenom Peanovi aksiomi skupa prirodnih brojeva, prema talijanskom
matematičaru G. Peanu (1858-1931).
Zbrajanje
Zbrajanje
Zbrajanje je osnovna aritmetička operacija, kojom saznajemo informaciju kad dvije ili više veličina (brojeva)
skupimo zajedno, koliko ih sveukupno ima. Zbrajati možemo jabuke, kruške, lubenice, ovčice u snu ili ljude na plaži
(sve su to cijeli brojevi), no i tekućine utočene i istočene iz spremnika, težine razne hrane i neprehrambenih artikala
(decimalni brojevi).
Matematički zbrajanje predstavljamo znakom plus +, npr. 1 + 2 = 3. Brojeve koje zbrajamo nazivamo pribrojnici.
Zbrajanje je komutativno, što znači da je 1 + 2 = 2 + 1, tj. možemo slobodno zamijeniti mjesta pribrojnika, a rezultat
zbrajanja se neće promijeniti.
Zbrajanje je i asocijativno, jer vrijedi ( 1 + 2 ) + 3 = 1 + ( 2 + 3 )
Kod zbrajanja članova nekog niza koristi se veliko grčko slovo sigma:
što znači da zbrajamo prvih n članova niza, od x1 do xn. Zbroj članova nekog niza zovemo red.
Nula
Nula je jedini realni broj koji nije ni pozitivan ni negativan.
Pri zbrajanju je neutralni element. Budući da je broj nula kardinalnost praznog skupa, ovisno o definiciji dopunjuje i
skup prirodnih brojeva.
U skupu cijelih brojeva nula slijedi minus jedan i prethodnik je broja jedan.
Nula je parni broj.
Povijest
Znamenka »0« (ništica) omogućila je nastanak dekadskog brojevnog sustava, i s time razvitak suvremene
matematike. Razumijevanje prirode nule kao broja, tj. kao predmet aritmetike se je razvio tek nakon izuma ništice.
Podrijetlo pojma
Naziv dolazi od latinske riječi nullus (="niti jedan", "ništa").
19
Cijeli broj
20
Cijeli broj
Cijelim brojevima zovemo skup brojeva {0,1,-1,2,-2,...}, tj. skup koji uključuje prirodne brojeve, nulu i negativne
cijele brojeve. Skup cijelih brojeva u matematici označavamo velikim slovom Z, a matematičkom notacijom to
izgleda ovako:
U skupu prirodnih brojeva
a,b,c
često ne možemo izvršiti operaciju oduzimanja. Naime ako je
a-b=c i a<b , ne postoji broj c
brojevima čine skup cijelih brojeva. Skup
. Zato se uvode negativni cijeli brojevi i 0, koji zajedno sa prirodnim
je ekvipotentan skupu
(postoji bijekcija između tih skupova -
skupovi koji imaju jednako mnogo elemenata).
Množenje
Množenje cijelih brojeva je aritmetička operacija višestrukog zbrajanja
broja sa samim sobom. Na primjer, četiri pomnoženo s tri je dvanaest,
jer kad tri puta zbrojimo 4 sa samim sobom dobijemo dvanaest:
3 × 4 = 12, dvanaest točaka prikazano je kao tri
reda po četiri točke (ili 4 stupca po 3 točke)
Svojstva množenja
Za cijele brojeve, racionalne, realne i kompleksne brojeve množenje posjeduje sljedeća svojstva (tj. množenje u tim
skupovima ispunjava sljedeća svojstva):
komutativnost
množenik i množitelj mogu zamijeniti mjesta bez promjene umnoška
x · y = y · x.
asocijativnost
redosljed množenja nije bitan
(x · y)·z = x·(y · z).
distributivnost
množenje je distributivno prema zbrajanju
x·(y + z) = x·y + x·z.
Racionalni broj
21
Racionalni broj
Racionalni broj lat. (ratio - omjer, razmjer) je broj nastao dijeljenjem dva cijela broja, npr. 1:2, 1:3, 555:333. Može
se napisati
u obliku razlomka, a/b, gdje je a brojnik a b nazivnik (cijeli broj različit od 0) ili
u obliku decimalnoga broja npr. 1/2 = 0,5; 1/3 = 0,3333333333...
Skup racionalnih brojeva
uveden je zato što operacija dijeljenja nije uvijek moguća na skupu cijelih brojeva
Ako su a, b, c brojevi iz skupa cijelih brojeva
Skup racionalnih brojeva
.
a je djeljivo sa b ako postoji cijeli broj c takav da je a = b × c.
je skup svih klasa ekvivalencije na skupu
x
, odnosno
= {m/n : m
, n }.
Dok su skupovi prirodnih
i cijelih
brojeva diskretni, skup racionalnih brojeva
je gust (između svaka dva
različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).
Realni broj
Skup realnih brojeva
je unija skupa racionalnih brojeva
Računske operacije na skupu
,
i
i skupa iracionalnih brojeva.
su definirane kao i za ostale skupove
, tj. za realne brojeve vrijede svojstva asocijativnosti i
komunikativnosti zbrajanja i množenja, te distributivnost množenja
prema zbrajanju.
• Skup
je gust, odnosno između svaka dva različita realna broja
postoji beskonačno realnih brojeva.
• Skup
je neprebrojiv.
• Elementi skupa
prekrivaju čitav brojevni pravac.
Kvadratna funkcija
22
Kvadratna funkcija
Matematička funkcija y=f(x), pojednostavljeno, podrazumijeva ovisnost jedne veličine o drugoj. Pri tome
razlikujemo slobodnu veličinu ili nezavisnu varijablu x koja poprima vrijednosti iz skupa domene funkcije (skupa
elemenata vrijednosti varijable za koje je funkcija definirana) i zavisnu varijablu y koja poprima vrijednosti iz skupa
kodomene funkcije. O kodomeni funkcije govorimo često kao i o skupu vrijednosti funkcije, a o funkciji kao o
procesu pridruživanja gdje se svakom elementu iz domene funkcije pridružuje jedan i samo jedan odgovarajući
element iz kodomene funkcije. Uobičajeno je govoriti i o preslikavanju elemenata iz domene funkcije u kodomenu
funkcije. Postoje brojne vrste funkcija, gdje su jedne od njih polinomne funkcije gdje je funkcija y=f(x) izražena u
obliku polinoma određenog stupnja
a kvadratna funkcija je polinomna funkcija gdje je najveća potencija n=2.
Karakteristične vrijednosti kvadratne funkcije
Kvadratna funkcija se najčešće zapisuje u
obliku
f(x) = x^2 - x - 2\,\!
te u nekom konkretnom slučaju može imati na primjer oblik
gdje je grafički prikaz takve funkcije u koordinatnom sustavu prikazan na priloženoj slici (gore desno).
Kvadratna funkcija
23
Nulišta funkcije
U analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći nulišta funkcije, odn. nultočke grafa funkcije za koje
funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kvadratne jednadžbe
rješenja koje su :
Točke
i
predstavljaju zato nultočke grafa funkcije
.
U jednostavnijim slučajevima nulišta funkcije, odn. nultočke grafa funkcije možemo naći neposredno iz same
funkcije. Naime, razmatrajući funkciju
na prvi pogled je vidljivo da se ona može prikazati u obliku umnoška dva binomna člana kao
gdje će očito vrijednost funkcije biti jednaka nuli za
i
.
Ukoliko graf funkcije zaista siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, tada će nulišta funkcije biti realni brojevi
jer su i rješenja kvadratne jednadžbe realna. No, međutim, ukoliko graf funkcije ne siječe x-os tada niti odgovarajuća
kvadratna jednadžba neće imati realna rješenja, već će se rješenja nalaziti u domeni kompleksnih brojeva.
Tjeme grafa funkcije
U primjeru datu kvadratnu funkciju možemo razmatrati i kao parabolu osnovnog oblika
no pomaknutu iz središta koordinatnog sustava, gdje je p poluparametar parabole. Iz funkcije zadane sa
može se naći redom
odakle slijedi da su koordinate tjemena T grafa funkcije određene koordinatama x=0,5 i y=-2,25 te govorimo o grafu
funkcije čije je tjeme "pomaknuto" izvan središta koordinatnog sustava.
Kvadratna funkcija
24
Ekstremi kvadratne funkcije
Kvadratna funkcija ima jedan ekstrem, minimum ili maksimum funkcije, a ovisno o predznaku vodećeg člana
funkcije. Za funkciju
to će biti minimum funkcije (a>0) koji se na grafu funkcije nalazi u točki gdje je smješteno tjeme funkcije T.
Ekstrem funkcije može se naći i na drugi način. Diferencirajući funkciju nalazimo da je
odakle slijedi da je
Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0 što vrijedi za x=1/2, a to je upravo x koordinata tjemena parabole u grafu. Kako
je, nadalje, druga derivacija za svaki x veća od nule, očito se zaista radi o minimumu funkcije što se evidentno vidi i
iz grafa funkcije.
Parabola i kvadratna funkcija
Parabola je kao krivulja de facto graf kvadratne funkcije. Valja samo ustanoviti vezu između odgovarajućih članova
polinoma kvadratne funkcije te poluparametra p parabole.
Paraboli s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava i osnosimetričnoj u odnosu na y-os koordinatnog sustava
odgovara tjemena jednadžba oblika
odakle slijedi da je
Uspoređujući parabolu s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava kao grafa odgovarajuće kvadratne funkcije
nalazimo da je
gdje je evidentno
, odnosno
što predstavlja neposrednu vezu poluparametra parabole p i vodećeg člana a polinoma kvadratne funkcije. Do
odgovarajuće sličnih odnosa može se doći i razmatranjem parabole, odn. odgovarajućeg grafa kvadratne funkcije s
pomaknutim tjemenom izvan središta koordinatnog sustava.
Konačno, valja napomenuti da paraboli definiranoj tjemenom jednadžbom
odgovara inverzna kvadratna funkcija oblika
gdje će sada, naravno, članovi a, b i c poprimiti neke druge vrijednosti, a uz zadržavanje svih odgovarajućih
ekvivalentnih odnosa.
Kvadratna funkcija
25
Značaj kvadratne funkcije
Razmatranje svojstava kvadratne funkcije često je na neki način uvod u analizu sve složenijih matematičkih funkcija
i uvod u matematičku analizu općenito. Kvadratnu funkciju, međutim, vrlo često nalazimo u prirodi u različitim
fizikalnim sustavima jer je, na primjer, u svakom ubrzanom gibanju prijeđeni put ovisan o kvadratu vremena,
električna snaga na otporniku ovisna je o veličini otpora i kvadratu struje koja prolazi kroz njega, električna energija
pohranjena u kondenzatoru ovisi o njegovu kapacitetu i kvadratu napona koji postoji na njegovim oblogama i td.
Literatura
• Gusić J., Mladinić P., Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
• Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
Eksponencijalna funkcija
U matematici eksponencijalna funkcija je funkcija y = ex gdje je broj e
prirodna konstanta i baza prirodnih logritama. Funkcija y = ex je
definirana unutar cijelog skupa realnih brojeva, monotono je rastuća
porastom nezavisne varijable x, gdje se brzina rasta povećava kako
raste x.
Graf funkcije (slika desno) leži iznad x-osi, ali joj se asimptotski
približava kako x teži prema sve manjim negativnim vrijednostima.
Brzina rasta funkcije je u svakoj točki jednaka vrijednosti funkcije u toj
točki. Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je funkcija prirodnog
logaritma y = ln(x) te se u starijim izvorima eksponencijalna funkcija
spominje kao antilogaritamska funkcija.
Eksponencijalna funkcija
Eksponencijalna funkcija
26
Definicija
Eksponencijalna funkcija ex može biti definirana kao niz potencija
razvijenih u Taylorov red:
Eksponencijalna funkcija (plavo) i vrijednost
limesa za n=0 do n=8 (crveno).
Eksponencijalna funkcija se može također izraziti i kao limes:
Kako n raste, vrijednost limesa izraza se sve više približava vrijednosti ex (slika desno).
Jedinstveno svojstvo eksponencijalne funkcije može se izraziti pomoću jednakosti
odnosno napisano drukčije
Derivacija
Važnost eksponencijalne funkcije u matematici i znanosti potječe uglavnom iz svojstava njezine derivacije koja ima
svojstvo da je
što znači da je funkcija ex ujedno i svoja derivacija. Isto takvo svojstvo imaju i funkcija oblika Kex gdje je K
konstanta.
Za sve funkcije takvih svojstava vrijedi da je:
• strmina, odn. nagib grafa funkcije u svakoj točki jednak vrijednosti funkcije u toj točki,
• brzina porasta funkcije za vrijednost slobodne varijable x jednaka vrijednosti funkcije u x,
• eksponencijalna funkcije rješenje diferencijalne jednadžbe y ′ = y.
Štoviše, i drugi oblici diferencijalnih jednadžbi nalaze rješenje u eksponencijalnim funkcijama uključivši
Schrödingerovu jednadžbu, Laplaceovu jednadžbu te jednadžbu jednostavnog harmoničkog gibanja.
Eksponencijalna funkcija
27
Eksponencijalna funkcija s realnim brojem a kao bazom
Katkada se pojam eksponencijalne
funkcije koristi općenitije za funkcije
oblika
gdje baza a može biti i bilo koji pozitivni
realni broj, a ne nužno broj e.
Za eksponencijalne funkcije s drugim
bazama vrijedi da je
Graf funkcije y=ax za različite baze a: baza10 (zeleno), baza e (crveno), baza 2 (plavo) i
baza ½ (cijan). Svaka krivulja prolazi točkom (0,1), a za x=1 vrijednost y funkcije
upravo je jednaka bazi.
Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravnini
Eksponencijalna funkcija može se definirati i u kompleksnoj ravnini na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih
odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija
kompleksne varijable može se izraziti u obliku reda potencija gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:
Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost
vrijedi i u kompleksnoj ravnini.
Razmatrana kao funkcija definirana u kompleksnoj ravnini, eksponencijalna funkcija zadržava svoja osnovna
svojstva:
Eksponencijalna funkcija
28
za sve kompleksne brojeve z i w. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog
argumenta perioda
jer vrijedi
i
gdje su a i b realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s
hiperboličkim funkcijama. Štoviše, može se definirati i funkcija oblika ab, gdje su i a i b kompleksne veličine.
Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(z), gdje možemo
definirati općenitije da je
za sve kompleksne brojeve z i w. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir
višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata
za pozitivne realne brojeve
Literatura
• Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.
• Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, 2006.
Logaritam
Logaritam nekog pozitivnog realnog
broja x u nekoj bazi b je broj y kojim
se treba potencirati bazu da bi dobili
zadanu vrijednost x.[1]
Što pišemo na slijedeći način:
Logaritamska funkcija po tri baze, crveno po bazi 10, zeleno po bazi e, plavo po bazi 2
Primjeri logaritama brojeva po bazi 10:
Logaritam
Negativni logaritam se piše kao n = −logb x; primjer njegove upotrebe je u kemiji gdje predstavlja koncentraciju
protona (pH).
Antilogaritam se koristi da označi funkciju inverznu logaritmu (eksponencijalna funkcija, odnosno stupnjevanje).
Piše se kao antilogb(n) i znači isto što i bn.
Dvostruki logaritam je inverzna funkcija dvostruke eksponencijalne funkcije. Super logaritam ili hiper logaritam je
inverzna funkcija super eksponencijalne funkcije. Super logaritam za x raste sporije i od dvostrukog logaritma za
veliko x.
Diskretni logaritam se pominje u teoriji konačnih grupa. Veruje se da je za neke konačne grupe diskretni logaritam
vrlo teško izračunati, dok je diskretne eksponencijale veoma lako izračunati. Ova asimetrija ima primijene u
kriptografiji.
Povijest
Jost Birgi, švicarski proizvođač satova je prvi primijetio logaritme. Metod prirodnog logaritma je prvi predložio
1614 John Napier u svojoj knjizi Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Ovaj metod je doprinjeo u napretku
nauke, a posebno astronomije čineći neke teške računice mogućim. Sve do upotrebe računara u nauci, ovaj metod je
korišten u svim granama praktične matematike. Pored svoje upotrebe u računima, logaritmi su popunili važno
mijesto u višoj, teoretskoj matematici.
U početku, Napier je logaritme zvao "umjetnim brojevima", a antilogaritme "prirodnim brojevima". Kasnije, Napier
je stvorio riječ logaritam, zvučnu kovanicu koja je trebala označiti odnos: λoγoς (logos) i αριθμoς (arithmos) što
predstavlja broj. Termin antilogaritam je uveden pred kraj 17. stoljeća i iako se nikada nije pretjerano koristio u
matematici, postojao je u tablicama dok nije izašao iz upotrebe.
Logaritamske operacije
Ukidanje eksponenta
29
Logaritam
30
Promjena osnove
Prirodni logaritam
Logaritam po bazi e (Eulerov broj) zovemo prirodnim logaritmom i pišemo kao ln umjesto log.
Izvori
[1] http:/ / hjp. srce. hr/ index. php?show=search_by_id& id=e15lXBA%3D
Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/
:Logaritam) prema pravilima Wikipedije.
Broj e
Broj e još nazvan i Eulerov broj ili Napierova konstanta je baza prirodnog logaritma je jedan od najznačajnijih
brojeva u sadašnjoj matematici, pored neutrala zbrajanja i množenja 0 i 1, imaginarne jedinice broj i i broja pi. Osim
što je iracionalan i realan, ovaj broj je još i transcendentan. Do tridesetog decimalnog mjesta, ovaj broj iznosi:
e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 34678 2376732 6727 267 274728 3 39^˘654...
Broj -{e}- se može definirati kao :
1. Limes niza brojeva
2. Suma beskonačnog niza:
gdje je -{n}-! faktorijela n.
3. Pozitivna vrijednost koja zadovoljava sljedeću jednadžbu :
istovjetnost između ova tri slučaja dokazanа.
4. Ovaj broj se sreće i kao dio Eulerovog identitetа:
Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. e Dopunite ga [1] prema pravilima Wikipedije.
References
[1] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ :Broj
31
Drugi dio
Kartezijev koordinatni sustav
Povijest
Zasluga za otkriće Kartezijevog koordinatnog sustava
kako on danas nosi ime, pripala je francuskom
matematičaru Reneu Descartesu (1596.-1650.) koji ga
je imenovao po svojoj latinskoj inačici imena
Cartesius. Premda je ideja bila utemeljena još 1637.
godine odvojeno u dva zapisa Descartesa i Fermata,
potonji nije objavio svoje otkriće. Upravo je Descartes
zato uveo novu zamisao određivanja položaja točke ili
objekta u ravnini upotrijebivši dvije međusobno
okomite osi kao mjerila. Otkriće Kartezijevog
koordinatnog sustava značilo je velik napredak u
matematici povezujući najprije Euklidsku geometriju i
algebru. Kružnice, elipse i druge krivulje sada su prvi
puta mogle biti opisivane “kartezijskim” algebarskim
jednadžbama pomoću koordinata točaka krivulje u
ravnini. Razvoj kartezijevog koordinatnog sustava
značajno je doprinijeo daljnjem razvoju matematike i
omogućio Newtonu Isaac Newton i Leibnitzu Gottfried Wilhelm Leibniz skoro otkriće diferencijalnog i integralnog
računa.
Kartezijev koordinatni sustav
Kartezijev koordinatni sustav
Nalik zemljopisnoj karti gdje je položaj nekog mjesta određen s dva podatka: zemljopisnom širinom i zemljopisnom
dužinom, nacrtamo li dva međusobno okomita brojevna pravca, na primjer x i y - uobičajeno x horizontalan, a y
vertikalan, koji se sijeku u točki O i odredimo li na pravcima x i y jedinične točke E i F, tako da je /OE/=/OF/=1,
definirali smo pravokutni ili Kartezijev koordinatni sustav u ravnini.
Kartezijev dvodimenzionalni koordinatni sustav
Točka O zove se ishodište koordinatnog sustava,
brojevni pravac x zove se os x ili apscisa, a brojevni
pravac y os y ili ordinata koordinatnog sustava.
Katkada govorimo skrećeno o x-osi ili y-osi, odn. o
osima koordinatnog sustava. Na svaku od osi smješten
je brojevni pravac, gdje svaki realni broj: cijeli,
racionalni ili iracionalni ima jedinstveno mjesto na osi.
Svakoj točki ravnine dodijeljene su na taj način
odgovarajuće koordinate koje nalazimo okomitim, odn.
ortogonalnim projekcijama koje iz odgovarajuće točke
povlačimo na os x, odn. os y, gdje su koordinate date u
određenom broju jediničnih duljina.
Kartezijske koordinate se zapisuju u zagradama u
obliku uređenog para brojeva gdje prvi broj označava
položaj osi na x-osi, a drugi na y-osi. Na slici gore
desno prikazane su tako četiri točke s njihovim
odgovarajućim koordinatama u Kartezijevom koordinatnom sustavu i to: (2,3) zeleno, (−3,1) crveno, (−1.5,−2.5)
plavo i ishodište (0,0) ljubičasto.
Osi koordinatnog sustava dijele ravninu na četiri beskonačno velika dijela, “kvadranta”, od kojih je svaki omeđen s
dvije odgovarajuće osi i naznačen rimskim brojevima od I do IV kako je prikazano na slici desno.
Kartezijev trodimenzionalni koordinatni sustav
Kartezijev koordinatni sustav možemo izabrati i kao o
jednodimenzionalni matematički prostor, gdje će takav
prostor biti određen jednom osi uz izbor orijentacije osi
i jedinične dužine, a koordinata (jedna) će u tom
slučaju određivati položaj točke na brojevnom pravcu
koji je pridružen koordinatnoj osi.
Kartezijev dvodimenzionalni koordinatni sustav
određuje položaj točke u ravnini, a kartezijev
trodimenzionalni koordinatni sustav određuje položaj
točke u prostoru gdje je takav koordinatni sustav
definiran središtem koordinatnog sustava 0, i tri
orijentirane osi (x, y i z) s odgovarajućim jediničnim
dužinama. Koordinate svake točke u takvom sustavu
zadate su uređenim skupom od 3 broja, na primjer (3,
32
Kartezijev koordinatni sustav
33
-1, 5) koji označavaju odgovarajuće koordinate u trodimenzionalnom matematičkom prostoru, gdje su koordinate
predstavljene orijentiranim okomitim udaljenostima od neke točke do odgovarajuće ravnine. U trodimenzionalnom
koordinatnom sustavu nazivi osi (apscisa i ordinata) nisu uvjetovane, no ukoliko se koriste tada je uobičajeno treću,
z-os, nazvati aplikata. Na isti način je uobičajeno x-os i y-os postaviti u horizontalnu ravninu, a preostalu, x-os
postaviti okomito na njih. Konačno, trodimenzionalni koordinatni sustav dijelimo na osam područja, “oktanata”,
omeđenih s odgovarajućim dijelovim ravnina. Prvi oktant je onaj gdje su sve tri poluosi pozitivne.
Kartezijev višedimenzionalni koordinatni sustav
Slijedeći navedeni princip općenito se mogu koordinate točke odrediti i u n-dimenzionalnom matematičkom prostoru
gdje će se pomoću n odgovarajućih koordinata definirati orijentirana udaljenost od točke do jedne od n hiperravnina.
U četverodimenzionalnom matematičkom prostoru na primjer, postojat će četiri osi x, y, z i w, a koordinate svake
točke u takvom matematičkom prostoru bit će određene uređenim skupom od četiri broja.
Neposredne primjene i svojstva
Udaljenost između dviju točaka u ravnini
Udaljenost dviju točaka u ravnini određenih Kartezijevim koordinatama
i
je
što je na neki način izraz Pitagorina poučka iskazanog u Kartezijevom koordinatnom sustavu.
Polovište dužine
Neka je dužina zadana točkama A i B i njihovim koordinatama A
iB
tada će polovište dužine
imati koordinate
i
.
Koordinate težišta trokuta
Neka je trokut ABC smješten u Kartezijevom koordinatnom sustavu i određen točkama s koordinatama A
B
iC
, tada će težište trokuta imati koordinate
i
.
,
Kartezijev koordinatni sustav
Udaljenost između dviju točaka u prostoru
Udaljenost dviju točaka u prostoru određenih u trodimenzionalnom Kartezijevom koordinatnom sustavu
and
je
što se može utvrditi primjenom Pitagorina poučka
Translacija
Skup točaka u ravnini, na primjer trokuta ABC, može se pomaknuti u ravnini uz očuvanje međusobnih udaljenosti i
orijentacije uz dodavanje utvrđenog parova bojeva (X,Y) Kartezijevim koordinatama svake točke skupa. Ukoliko su
koordinate točaka trokuta A(x’, y’), B(x’’, y’’) i C(x’’’, y’’’) tada će translatirani, odn. pomaknuti trokut imati
koordinate A’(x’+X, y’+Y), B’(x’’+X, y’’+Y) i C’(x’’’+X, y’’’+Y)
Uvećanje, smanjenje
Želimo li u Kartezijevim koordinatama neki lik prikazati većim ili manjim tada valja sve koordinate svih točaka
pomnožiti faktorom proporcionalnosti, nazovimo ga m. Ukoliko su koordinate točaka koje određuju dužinu AB, A(x’,
y’) i B(x’’, y’’) tada će nove koordinate točaka koje određuju dužinu A’B’ biti A’(mx’, my’) i B’(mx’’, my’’). Ukoliko je
m>1 dobiveni lik će biti veći, a ukoliko je m<1 dobiveni lik bit će manji od izvornog lika.
Prikaz krivulja u koordinatnom sustavu u
ravnini
U Kartezijevom koordinatnom sustavu jednostavno se
prikazuju krivulje u ravnini (kružnica, elipsa, parabola i
td.) te različite funkcije (linearne, polinomne,
eksponencijalne, trigonometrijske i td.).
Prikazujući na primjer kružnicu u Kartezijevom
koordinatnom sustavu ustanovljavamo da za svaku
točku kružnice vrijedi da je
te će prema tome jednadžba kružnice polumjera 2 (slika desno) biti
34
Kartezijev koordinatni sustav
35
Prikaz vektora u Kartezijevim koordinatama
Točka u prostoru opisanom Kartezijevim koordinatama može definirati vektor. Vektor pomaka, na primjer r, može
imati hvatište u ishodištu Kartezijeva koordinatnog sustava i vrh u točki u prostoru. Strelica koja pokazuje prema
vrhu vektora definira smjer vektora (smjer pomaka), a ortogonalne projekcije na osi x, y i z odgovarajući pomak u x,
y ili z smjeru. Dužina samog vektora tada je apsolutna veličina pomaka u prostoru
,
a također možemo zapisati da je
,
gdje su i, j i k jedinični vektori u smjeru x, y i z osi.
Vektor u Kartezijevom trodinemzionalnom prostoru određen je na taj način u cijelosti uređenim skupom od četiri
veličine (r, x, y, z). Ovakav prikaz vektora uveo je Sir William Rowan Hamilton.
Primjene
Svaka os može u praktičnoj primjeni prema potrebi imati različite mjerne jedinice (kilograme, sekunde, vate, itd), što
znači da Kartezijevim koordinatnim sustavom možemo prikazivati ne samo krivulje, likove i geometrijska tijela u
dvodimenzionalnom, odnosno trodimenzionalnom prostoru, već da možemo prikazivati i sve moguće ostale varijable
(masa, vrijeme, energija, sila i mnoge druge). Premda je teško vizualizirati četvero i višedimenzionalne prostore,
algebra Kartezijevih koordinata može se jednostavno proširiti na četiri ili više varijabli tako da se mogu izvršiti
izračuni vrijednosti funkcija i s četiri ili više varijabli. Takva algebra definira geometriju višedimenzionalnih
prostora.
Značaj
Kartezijeve koordinate su temelj analitičke geometrije i osiguravaju geometrijsku interpretaciju za brojna područja
matematike kao što su linearna algebra, kompleksna analiza, diferencijalna geometrija i td. Jedan od najpoznatijih
primjera je koncept grafičkog prikaza ili grafa funkcije. Kartezijske koordinate su osnovno oruđe u mnogim
područjima koja se bave geometrijom uključujući astronomiju, fiziku, tehničke struke, ekonomiju i drugdje.
Premda je Descartes dao koordinatnom sustavu svoje ime, valja naglasiti da su se slični koordinatni sustavi koristili i
prije njega uključivši Abu Rayhan Birunia te Perzijsku matematiku X i XI stoljeća.
Nakon Descartesa razvijeni su i drugi koordinatni sustavi kao što su polarni, sferični, cilindrični i drugi.
Krivulja
36
Krivulja
Krivulja je neprekidna linija, ili točnije rečeno, jednodimenzionalni
skup točaka.
Ravninska krivulja je krivulja kojoj su sve točke u jednoj ravnini, npr.
kružnica, elipsa, hiperbola, parabola, spirala, kardioda, astroida,
cikloida, Gaussova krivulja, Arhimedova spirala.
Prostorna krivulja je krivulja u prostoru, npr. loksodroma.
Cikloida nastaje gibanjem kružnice po pravcu.
Loksodroma je spirala na sferi.
Ortodroma
37
Ortodroma
Ortodroma je najkraći put između dvije točke na
zemaljskoj kugli.
Put po ortodromi i loksodromi
Općenito
Velikim krugovima koji opisuju Zemlju, kao što su
ekvator i svi meridijani središte se nalazi u centru
Zemlje. Ortodroma je najkraći put između dviju točaka
na istom meridijanu. Paralelama središte nije u centru
Zemljine kugle te najkraći put između dvije točke na
istoj paraleli nije njen luk nego dio velikog kruga
(ortodroma) koji prolazi kroz obje točke. Luk
ortodrome predstavlja najkraći mogući luk između bilo
koje dvije točke na površini Zemlje.
Veliki krug
Veliki krug je krug na površini zemaljske kugle koji
ima isti opseg kao i zemaljska kugla i dijeli ju na dva
ista dijela.
Loksodroma
Najkraći putovi po oksodromama
Loksodroma je linija koja presijeca sve meridijane pod
istim kutom (držanje istog pravca). Što je veća razdaljina između nekih dviju točaka na površini Zemlje duži je i put
po loksodromi u usporedbi s putom po ortodromi.
Zaključak
Pri manjim udaljenostima između dvije točke na površini Zemlje nema velike razlike između ortodromskog i
loksodromskog pravca puta i lakše je zadržati pravac po loksodromi presijecajući meridijane uvijek pod istim kutom.
Putujući po ortodromi pravac se tijekom puta mora mijenjati jer veliki krugovi sijeku meridijane pod različitim
kutovima. Pri velikim udaljenostima između dvije točke put po ortodromi se znatno skraćuje štedeći tako gorivo i
vrijeme njegovog trajanja. Linije ekvatora i meridijana kao jedne od linija velikog kruga površine Zemlje, istodobno
su i ortodrome i loksodrome.
Ortodroma
Vanjske poveznice
Veliki krug
Jednadžba pravca
O pravcu se može razmišljati kao o najkraćoj udaljenosti između dvije točke ili kao o krivulji s beskonačno velikim
radijusom zakrivljenosti. Pojmovi kao što su točke i pravci te njihovi jednostavni i složeniji odnosi u prostoru jedan
su od temelja Euklidske geometrije, a kasnije i analitičke geometrije kakvu je danas poznajemo.
Jednadžba pravca
Implicitna jednadžba pravca
Razmatramo li jednakost oblika
ustanovit ćemo da postoji beskonačan broj parova x,y koji udovoljavaju jednakosti. Kako svaki uređen par brojeva u
kartezijanskom koordinatnom sustavu x0y određuje koordinate jedne točke, grafički prikaz svih točaka daje nam
sliku pravca u ravnini, a gore prikazanu jednadžbu nazivamo implicitnom ili općom jednadžbom pravca.
Eksplicitna jednadžba pravca
Preuredimo li implicitnu jednadžbu pravca
u drugi oblik kako slijedi
naći ćemo i eksplicitnu jednadžbu pravca koja se može zapisati i u obliku
gdje a i b ovise o A, B i C na način da je
Eksplicitna jednadžba pravca izravno prikazuje koficijent smjera pravca, odn. nagib pravca a te odsječak b koji
pravac određuje na y-osi, odn. ordinati.
38
Jednadžba pravca
39
Segmentna jednadžba pravca
Preuredimo li
jednadžbu pravca
sada
eksplicitnu
u treći oblik kako slijedi
Grafički prikaz pravca y=ax+b i njegovih odsječaka na osima x i y.
naći ćemo i jednadžbu pravca u segmentnom obliku gdje su b i -b/a segmenti ili odsječci na y, odn. x-osi. Segmentna
jednadžba pravca može se zapisati i u slijedećem obliku
gdje su
Druge oznake
Ponekad se implicitna jednadžba pravca iskazuje u obliku
gdje se tada eksplicitna jednadžba pravca prikazuje kao
gdje je k koeficijent smjer pravca, a l odsječak na y-osi.
Jednadžba pravca
40
Određenost pravca
Pravac je u ravnini određen ili sa zadanom točkom kroz koju prolazi pravac i koeficijentom smjera ili s dvije zadane
točke kroz koje pravac prolazi.
Pravac određen točkom i koeficijentom smjera
Neka je pravac određen točkom
i koeficijentom smjera a. Jednadžba pravca se u tom slučaju
uobičajeno prikazuje u obliku
.
Pravac određen s dvije točke
Pravac je po definiciji određen s dvije točke koje nisu jednake, a jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke
i
prikazuje se uobičajeno u obliku
.
Značaj
Pravac, njegovu grafičku i matematičku interpretaciju nalazimo u brojnim područjima matematike i ne samo
matematike. Naime, razmotrimo li eksplicitni oblik jednadžbe pravca
i ukoliko definiramo da je x slobodna promjenljiva veličina, odn. nezavisna varijabla, a y zavisna varijabla gdje će
nezavisna varijabla poprimati vrijednosti iz domene realnih brojeva i gdje će se svakom elementu domene pridružiti
jedan i samo jedan odgovarajući element kodomene, tada gore prikazani izraz možemo nazvati funkcijom gdje je
Kodomenu nazivamo i područjem vrijednosti funkcije, a u slučaju gdje je funkcija oblika:
, funkciju
nazivamo i linearnom funkcijom, a pravac grafom ili grafičkim prikazom takve funkcije. Linearna funkcija uključuje
i proporcionalnu, odn. razmjernu funkciju oblika
koju slijede brojni prirodni zakoni i pojave u svim područjima znanosti.
Koeficijent smjera pravca
41
Koeficijent smjera pravca
Koeficijent smjera pravca je mjera kojom se opisuje nagib pravca u
Kartezijevom ili pravokutnom koordinatnom sustavu.
Definicija
Koeficijent smjera pravca (obično označen slovom k) se definira kao
promjena u y koordinati podijeljena s odgovarajućom promjenom u x
koordinati između dvije točke (x1,y1) i (x2,y2) na pravcu:
Koeficijent smjera pravca određen je omjerom
(Simbol delta, Δ, u matematici ima standardno značenje "promjene" ili "razlike".)
Čim je vrijednost koeficijenta smjera veća (po apsolutnoj vrijednosti), nagib pravca je strmiji u odnosu na x os. Ako
je vrijednost koeficijenta pozitivna, pravac raste (za veću vrijednost koordinate x neke točke na pravcu povećava se i
njena koordinata y), a ako je koeficijent negativan, pravac pada. Točke s kojima se računa i njihov poredak mogu se
odabrati proizvoljno.
Geometrijsko značenje
Koeficijent smjera pravca se geometrijski može definirati kao tangens kuta što ga pravac zatvara s pozitivnim
dijelom x osi.
Posebni slučajevi:
• ako je pravac paralelan s x osi, koeficijent smjera pravca jednak je nuli
• ako je pravac okomit na x os, njegov koeficijent smjera nije definiran
Algebarsko značenje
Ako je y linearna funkcija od x, tad je koeficijent uz x koeficijent smjera pravca koji je graf funkcije y. Drugim
riječima, pravac se može zapisati algebarski, u obliku jednadžbe
,
gdje je x argument funkcije, k koeficijent smjera pravca, a l odsječak na y osi.
Parabola (krivulja)
42
Parabola (krivulja)
Parabola je skup svih točaka u ravnini koje su
jednako udaljene od zadane točke (žarišta) i
zadanog pravca (ravnalice). Poluparametar
parabole je udaljenost od žarišta do ravnalice.
Parabola je krivulja koja nastaje presjekom stošca i
ravnine.
Jednadžba parabole
Ukoliko je ravnalica parabole r okomita na apscisu
njena je jednadžba x = -p/2, gdje je p
poluparametar parabole, tjeme parabole je u
ishodištu koordinatnog sustava, a žarište parabole
ima koordinate F(p/2,0) tada jednadžba oblika
Parabola je krivulja koja nastaje na presjeku između stošca i ravnine.
Parabola kojoj je tjeme u ishodištu koordinatnog sustava.
Parabola (krivulja)
43
Parabolična putanja mlaza vode.
predstavlja tjemenu jednadžbu parabole. Ukoliko je parabola osnosimetrična u odnosu na ordinatu (y-os)
koordinatnog sustava, tada je njezina jednadžba:
.
Tangenta parabole
Tangenta parabole kojoj je tjeme u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom T
na paraboli,
određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući odgovarajuću jednadžbu parabole
dobiva se:
odakle slijedi da je
odn. da je jednadžba tangente na parabolu
.
Ukoliko je parabola osnosimetrična u odnosu na ordinatu (y-os) koordinatnog sustava, tada diferencirajući
odgovarajuću jednadžbu parabole slijedi da je
odakle slijedi da je
Parabola (krivulja)
44
odn. da je jednadžba tangente na parabolu
.
Hiperbola (krivulja)
Uz zadane dvije točke u ravnini, točke F1 i F2, te duljinu 2a koja simetrično leži na dužini F1F2 uz uvjet 2a<d(F1,
F2), tada hiperbolom s fokusima (žarištima) u točkama F1 i F2 i velikom osi 2a nazivamo skup točaka u ravnini za
koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti do fokusa F1 i F2 jednak 2a.
Smjestimo li središte hiperbole u središte koordinatnog sustava, tada udaljenost /OF1/=/OF2/ nazivamo linearnim
ekscentricitetom hiperbole. Numerički ekscentricitet hiperbole određen je kao
Jednadžba hiperbole
Jednadžba hiperbole sa središtem u S(0, 0)
Hiperbola sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava, realnom poluosi 2a i imaginarnom osi 2b određena je
jednadžbom
koja se može prikazati i u segmentnom obliku
Jednadžba hiperbole sa središtem u S(p, q)
Hiperbola sa središtem točki S određenoj koordinatama S(p, q), realnom osi 2a i imaginarnom osi 2b određena je
jednadžbom
koja se može prikazati i u segmentnom obliku
Hiperbola (krivulja)
45
Tangenta hiperbole
Tangenta hiperbole sa središtem u S(0, 0)
Tangenta hiperbole koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom T
na
hiperboli, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu hiperbole
nalazimo da je
odakle slijedi da je
te da je jednadžba tangente na hiperbolu
odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžbe tangente hiperbole
Tangenta hiperbole sa središtem u S(p, q)
Tangenta hiperbole koja ima središte u točki S(p, q) i koja prolazi točkom T
na hiperboli, određena je
koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu hiperbole nalazimo da je
odakle slijedi da je je
te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente hiperbole
Elipsa
46
Elipsa
Ovo je glavno značenje pojma Elipsa. Za značenje u kontekstu književnosti, pogledajte Elipsa (figura).
Elipsa je zatvorena krivulja iz obitelji
čunosječnica. Elipsa je određena dvjema
poluosima: velikom (oznaka: a) i malom
(oznaka: b). Oblik elipse definira se njenim
ekscentricitetom (ili eliptičnošću, oznaka:
e).
Uz zadane dvije točke u ravnini, točke F1 i
F2 i duljinu 2a na kojoj su simetrično
odabrane točke F1 i F2 uz uvjet 2a>d(F1,
F2), tada elipsom s fokusima (žarištima) u
točkama F1 i F2 i velikom osi 2a nazivamo
skup točaka u ravnini za koje je zbroj
udaljenosti do fokusa F1 i F2 jednak 2a.
Elipsa:
a = velika poluos
b = mala poluos
Parametri
Smjestimo li središte elipse u središte koordinatnog sustava, tada udaljenost /OF1/=/OF2/ nazivamo linearnim
ekscentricitetom elipse e. Numerički ekscentricitet elipse određen je kao
Elipsa je određena velikom poluosi i ekscentritetom, ili velikom i malom poluosi gdje vrijedi
i
Jednadžba elipse
Jednadžba elipse sa središtem u S(0, 0)
Elipsa sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava i poluosima 2a i 2b određena je jednadžbom
koja se može prikazati i u segmentnom obliku
Elipsa
47
Jednadžba elipse sa središtem u S(p, q)
Elipsa sa središtem točki S određenoj koordinatama S(p, q) i poluosima a i b određena je jednadžbom
koja se može prikazati i u segmentnom obliku
Tangenta elipse
Tangenta elipse sa središtem u S(0, 0)
Tangenta elipse koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom T
na elipsi
određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je
odakle slijedi da je
te da je jednadžba tangente na elipsu
odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžba tangente elipse
Tangenta elipse sa središtem u S(p, q)
Tangenta elipse koja ima središte u točki S(p, q) i koja prolazi točkom T
na elipsi određena je
koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je
odakle slijedi da je je
te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente elipse
Vidi također
• Ekscentricitet
• Prvi Keplerov zakon
Kružnica
48
Kružnica
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane
točke (središta). Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom.
Aksiom prenošenja dužine
Na datom polupravcu postoji jedna i samo jedna točka B takva da je
dužina jednaka datoj dužini .
Posljedica
Ako su B1 i B dvije točke polupravca h s početkom u A takve da
AB =AB1 onda je B = B1. Odnosno, dvije različite točke polupravca h
ne mogu imati jednaku udaljenost od početka polupravca.
Kružnica polumjera r i promjera d te središtem u
točki M
Jednadžba kružnice
Jednadžba kružnice sa središtem u S(0,0)
Kružnica sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava i polumjerom r određena je jednadžbom:
koja se može prikazati i u segmentnom obliku
.
Jednadžba kružnice sa središtem u S(p,q)
Kružnica sa središtem u točki S(p,q) i polumjerom r određena je jednadžbom:
ili prikazana u segmentnom obliku
.
Kružnica
49
Tangenta kružnice
Tangenta kružnice sa središtem u S(0,0)
Tangenta kružnice koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom T
na kružnici,
određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferenciranjem jednadžbe kružnice nalazi se da
je:
odakle slijedi da je
te da je jednadžba tangente na kružnicu
odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžba tangente kružnice
.
Tangenta kružnice sa središtem u S(p, q)
Tangenta kružnice koja ima središte u točki S(p, q) i koja prolazi točkom T
na kružnici određena je
koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferenciranjem jednadžbe kružnice nalazi se da je:
odakle slijedi da je
te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente kružnice
odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžbe tangente kružnice
.
Opći pojmovi
Neka je u ravnini data točka O i dužina r. Tada, prema aksiomu prenošenja dužine, na svakom polupravcu čiji je
početak točka O i leži u ravnini, postoji jedinstvena točka X takva da je OX = r.
Definicija 1
Kružnica je skup svih točaka ravnine kojima udaljenost od date točke O na toj ravnini jednaka datoj dužini sa
središtem u O i polumjerom r.
Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice.
Središnji pravac kružnice je pravac koji prolazi kroz središte kružnice. Središte kružnice O dijeli središnji pravac na
dva polupravca koji imaju jednu zajedničku točku s kružnicom, odnosno središnji pravac i kružnica imaju dvije
zajedničke točke.
Dužina PQ koja spaja središnje simetrične točke kružnice naziva se promjer kružnice. Ako je PQ promjer kružnice
onda je PO = OQ odnosno O je sredina promjera.
Tetiva je dužina koja spaja dvije točke kružnice. Promjer je tetiva na kojoj leži središte kružnice.
Središnji pravac dijeli ravninu kružnice na dvije poluravnine odnosno točke kružnice dijeli na dva skupa:
Kružnica
50
• skup koji leži u jednoj poluravnini
• skup koji leži u drugoj poluravnini. Ovi skupovi su polukružnice.
Koncentrične kružnice su kružnice koje imaju isto središte.
Središnji kut je kut kojemu je vrh u središtu kružnice.
Luk je dio kružnice koji pripada središnjem kutu. Polukružnica je luk koji odgovara ispruženom kutu. Luk koji
odgovara nultom kutu svodi se na točku. Punom kutu odgovara kao luk cijela kružnica.
U pravokutnom koordinatnom sustavu jednadžba kružnice glasi:
, gdje su (p, q) koordinate točke središta kružnice
Opseg kružnice је
.
Površina ravnine omeđene kružnicom је
.
Središnji kut je dvostruko veći od perifernog kuta nad istom tetivom. Pravi kut je periferni kut nad promjerom. Kut
između tetive i tangente povučene iz jedne točke kružnice jednak je perifernom kutu nad tom tetivom Periferni
kutevi nad istom tetivom su isti ili suplementni.
Udaljenost točke od kružnice
Ako se točka C spoji s točkama kružnice K(O,r) dobije se beskonačan skup dužina za C ≠ O. U slučaju C = O to je
nulta dužina.
Postoji li u ovom skupu dužina od koje ni jedna dužina skupa nije manja i takva dužina koja nije manja ni od jedne
dužine skupa?
To su dužine CA i CB, gdje su A, B točke kružnice koje leže na centralnom pravcu koji prolazi kroz C. Točka A je s
one strane točke O s koje je C, a B sa suprotne strane.
Definicija 2
Element m skupa E (u kome između elemenata postoji relacija < ili > ) koji nije veći ni od jednog elementa skupa
naziva se minimum (najmanji element skupa E). Element koji nije manji ni od jednog elementa skupa je maximum
(najveći) element skupa E.
U navedenom slučaju dužine AB i AC su minimum i maximumu u skupu dužina.
Definicija 3
Minimum skupa udaljenosti date točke od skupa naziva se udaljenost te točke od skupa.
Teorem 1
Neka je data točka C i kružnica K(O,r) i pri tom C ≠ O i neka su točke A, B točke kružnice koje leže na središnjem
pravcu, koja prolazi točkom C. Točka A neka je s one strane s koje je točka O, a B sa suprotne strane od O. Tada od
svih točaka križnice točka A ima najmanje ,a točka B najveće rastojanje od C i pri tome je:
CA = │CO - r│ i CB = CO + r.
Beskonačni skupovi ne moraju imati minimum i maksimum.
Na primjer skup brojeva 1, 1/2, 1/4, 1/8,... ima maksimum a nema minimum.
Kružnica
Zajedničke točke kružnica
Neka su zadane dvije kružnice K(C,R) i k(O,r). Ako se odredi međusobni položaj ovih kružnica, povuče središnji
pravac CO ovih kružnica, s A, B označe točke druge kružnice i to sa A onu koja leži sa one strane od točke O s koje
je točka C, a s B točku druge kružnice.
Između dužina R – r, CO i R + r za R > r postoji jedan i samo jedan od ovih odnosa
1.
2.
3.
4.
5.
CO > R + r
CO = R + r
R –r < CO < R + r
CO < R – r (R > r)
CO = R - r (R > r)
Presjek kružnica je prazan skup
• Za CO > R + r <=> CO – r > R <=> CA > R
Sve točke jedne kružnice su izvan druge kružnice.
• CO < R – r <=> CO – r < R <=> CB < R
Sve točke jedne kružnice su unutar druge kružnice.
Tangiranje kružnica
• CO = R + r <=> CO – r < R <=> CA = R
Točka A druge kružnice pripada točkama prve kružnice. Sve ostale točke su izvan prve kružnice. Za kružnice koje
imaju jednu i samo jednu zajedničku točku i ona leži na pravcu CO kaže seda se one dodiruju izvana u točki A.
• CO = R – r (R > r) <=> CO - r = R <=> CB = r
Točka B pripada prvoj kružnici sve ostale točke druge kružnice su unutar prve kružnice. Ako dvije kružnice imaju
dijametralno raspoređene dvije zajedmočke točke M na pravoj CO onda su one dijametralno suprotne za svaku od te
dvije točke koje leže na pravoj . za svaku od te dvije kružnice pa se one poklapaju.
Presjek kružnica
R – r < CO < R + r (R < r)
• A je u B izvan K(C,R)
• R – r < CO => CB > R
B je van K(C,R) CO < R + r => CA < RA je u kružnici.
Aksiom 2
Ako se jedan kraj luka nalazi u kružnici a drugi izvan je onda taj luk s kružnicom ima jednu i samo jednu zajedničku
točku.
Teorem 2
Zajednička točka dviju kružnica koje se dodiruju leži na njihovom zajedničkom središnjem pravcu, i obratno, dvije
različite kružnice koje imaju zajedničku točku na pravcu dodiruju se. Ako dvije kružnice imaju zajedničku točku
koja ne leži na središnjem pravcu imaju još jednu zajedničku točku.
Teorem 3
Dvije kružnice K(C,R) i k(O,r)
• Nemaju zajedničkih točaka ako i samo ako je
• CO > R + r (svaka od križnica je izvan druge kružnice)
51
Kružnica
52
• CO < R - r (kružnica manjeg promjera je unutar kružnic večeg promjera)
• Imaju jednu i samo jednu zajedničku točku koja leži na zajedničkoj središnjem pravcu
• CO = R + r sve točke kružnice osim zajedničke su izvan druge kružnice
• R – r < CO < R + r imaju dvije i samo dvije zajedničke točke koje leže na raznim stranama središnjeg pravca.
Teorem 4
Kako bi dvije kružnice imale zajedničke točke u slučaju da se središte prve kružnice nalazi
1. na drugoj kružnici
2. u drugoj kružnici
potrebno je i dovoljno
1. R ≤ 2r
2. CA < R < CB
gdje su CA i CB odsječci na koje središte O dijeli promjer AB kružnice k(O,r).
Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga [1] prema pravilima Wikipedije.
References
[1] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ :Kružnica
Promjer
Promjer je pojam u geometriji koji označava duljinu dužine koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se
nalaze na kružnici. On je ujedno i skup polovišta međusobnmo paralelnih tetiva. Ukoliko znamo promjer kružnice,
možemo izračunati i površinu kruga unutar kružnice koristeći slijedeću formulu:
ili
gdje slovo
označava promjer (lat. diametar), a π (čita se pi) je iracionalan broj koji iznosi približno 3,14159 .
Slovo označava polumjer (radijus), što je polovica promjera, odnosno udaljenost od središta kružnice do crte
kružnice.
Luk (matematika)
53
Luk (matematika)
Luk je u matematici dio kružnice omeđen dvjema točkama i određen pripadnim kutom. Duljina luka za pripadni kut
α iznosi rπα/180.
Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. (matematika) Dopunite ga
Wikipedije.
References
[1] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ :Luk
[1]
prema pravilima
54
Treći dio
Trokut
Ovo je glavno značenje pojma Trokut. Za druga značenja, pogledajte Trokut (razdvojba).
Trokut je geometrijski lik koji ima 3 stranice, 3 kuta i 3 vrha.
Trokute prema vrsti kutova dijelimo na:pravokutan, šiljastokutan i
tupokutan trokut
Pravokutan trokut ima jedan pravi kut.
Šiljastokutan trokut ima sve kutove šiljaste.
Tupokutan trokut ima jedan tupi kut.
Trokuti se dijele i prema vrstama
jednakostranični te jednakokračni.
stranica:
raznostranični,
Raznostraničan trokut je onaj trokut kome su sve stranice različitih
duljina.
Jednakostranični trokut je onaj kome su sve stranice istih duljina.
Jednakokračni trokut je onaj kome su dvije stranice istih duljina, i te
stranice se nazivaju krakovi, dok je treća stranica (osnovica) različite
duljine od duljine kraka.
Pravokutni trokut
Opseg, tj. zbroj duljina svih stranica se stoga može računati na tri načina, koristeći se gore navedenim svojstvima:
• za jednakostranični trokut:
, gdje je
• za jednakokračni trokut:
duljina stranice;
, gdje je
• za raznostranični trokut:
duljina kraka, a
, gdje su
,
i
duljina treće stranice;
duljine pojedinih stranica.
Nadalje se definiraju još dvije karakteristične dužine:
• srednjica trokuta je dužina koja spaja polovišta dviju stranica trokuta,
• visina trokuta je dužina koja je okomita iz bilo kojeg vrha na njemu suprotnu stranicu.
Površina S se tada računa kao
, gdje je
stranica, a
visina nad tom stranicom.
Površinu S možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac):
gdje je
poluopseg trokuta;
Svojstvo kuteva trokuta je da se nasuprot većoj stranici nalazi veći kut, a nasuprot manjoj stranici se nalazi manji
kut. Zahvaljujući tom svojstvu možemo zaključiti puno o trokutima. Npr., kod jednakostraničnog trokuta imamo i
sve jednake kuteve, kod jednakokračnog trokuta imamo 2 jednaka i 1 različit kut, a kod raznostraničnog trokuta
imamo tri različita kuta. Zbroj sva tri kuta u trokutu uvijek iznosi
°. Zahvaljujući ovom
svojstvu trokuta možemo riješiti neke zadatke, primjerice : Ako je: α=60°, β=80°, γ=? Primjećujemo da se u zadatku
traži treći kut, tj. . Ovaj ćemo zadatak riješiti koristeći svojastvo kuteva, pa ćemo dobiti:
°,
iz čega uvrštavanjem proizlazi:
slijedi:
, a odatle slijedi da je
. Dolazimo na rješavanje linearne jednadžbe,pa iz toga
°. Dva ili više trokuta mogu biti sukladni. Sukladnost
se dokazuje poučcima o sukladnosti:S-S-S, to jest stranica-stranica-stranica. Trokuti su, po tom poučku, sukladni ako
se podudaraju u tri stranice, tj. ako imaju tri jednake stranice.(Sukladnost ujedno znači jednakost). Slijedeći poučak
Trokut
55
je K-S-K, tj. kut-stranica-kut. Zatim je poučak S-K-S.
Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga [1] prema pravilima Wikipedije.
References
[1] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ :Trokut
Trigonometrija
Trigonometrija (grč. trigonon = trokut + metron = mjera) je dio matematike koji proučava odnose među
segmentima pravaca (dužinama) i kutovima trokuta na ravnini (ravninska trigonometrija) ili na površini kugle
(sferna trigonometrija).
Trigonometrijske funkcije su sljedeće:
Sinus kuta uz vrh A jednak je kvocijentu nasuprotne katete i hipotenuze pravokutnog trokuta.
Kosinus kuta uz vrh A jednak je kvocijentu prilazeće katete i hipotenuze pravokutnog trokuta.
Tangens kuta uz vrh A jednak je kvocijentu nasuprotne i prilazeće katete pravokutnog trokuta. (u praksi se rabe dvije
notacije: tg i tan za tangens)
Kotangens kuta uz vrh A jednak je kvocijentu prilazeće i nasuprotne katete pravokutnog trokuta. (u praksi se rabe
dvije notacije: ctg i cot za kotangens)
Trigonometrija
56
Vanjske poveznice
• Trigonometrijska kružnica [1]
• Trigonometrijske funkcije (Ivan Slapničar, Matematika 1) [2]
References
[1] http:/ / andrej. fizika. org/ ostalo/ gimnazija/ math/ trigonometrija/ index. html
[2] http:/ / lavica. fesb. hr/ mat1/ predavanja/ node91. html
Sinus
Sinus
Osnovne osobine
Parnost
neparna
Period
2π
Specifične vrijednosti
Nule
-{k}-π
Lok. maksimumi
((2-{k}-+1/2)π,1)
Lok. minimumi
((2-{k}--1/2)π,-1)
Specifične osobine
Prijevoji
-{k}-π
Ulazak u nulu pod kutom
π/4
Promjenjiva -{k}- je cijeli broj.
Sinus je trigonometrijska funkcija. Definira se kao odnos hipotenuze i suprotne katete nekog odgovarajućeg
pravokutnog trokuta koji je izgrađen nad danim kutem, čiji se sinus određuje.
Vidi još
• Sinusoida
Vanjske poveznice
• Funkcija sinus na wolfram.com [1]
Trigonometrijske i hiperbolične funkcije
Sinus
57
Sinus
Kosinus
Tangens Kotangens
Sekans
Kosekans
Funkcija
sin(x)
cos(x)
tg(x)
ctg(x)
sec(x)
cosec(x)
Inverzna
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arcctg(x)
arcsec(x)
arccosec(x)
Hiperbolična
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
ctgh(x)
sech(x)
cosech(x)
Inv. hiperbolična arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)
Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga [2] prema pravilima Wikipedije.
References
[1] http:/ / functions. wolfram. com/ ElementaryFunctions/ Sin/
[2] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ :Sinus
Kosinus
Kosinus
Osnovne osobine
Parnost
parna
Period
2π
Specifične vrijednosti
Nule
-{k}-π
Lok. maksimumi
(2kπ 0,1)
Lok. minimumi
((2k +1) π, -1)
Specifične osobine
Prijevoji
(2k +1 / 2) π
Ulazak u nulu pod kutom
π/4
Promjenljiva -{k}- je cijeli broj.
Kosinus je trigonometrijska funkcija koja se za neki kut definira kao odnos duljina hipotenuze i pripadajuće katete
nad njime konstruiranim pravokutnim trokutom.
Kosinus
58
Vanjske poveznice
• Funkcija kosinus na wolfram.com [1]
Trigonometrijske i hiperbolične funkcije
Sinus
Kosinus
Tangens Kotangens
Sekans
Kosekans
Funkcija
sin(x)
cos(x)
tg(x)
ctg(x)
sec(x)
cosec(x)
Inverzna
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arcctg(x)
arcsec(x)
arccosec(x)
Hiperbolična
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
ctgh(x)
sech(x)
cosech(x)
Inv. hiperbolična arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)
References
[1] http:/ / functions. wolfram. com/ ElementaryFunctions/ Cos/
Period
Period je u fizici veličina kojom se iskazuje trajanje jednog ciklusa
periodične promjene, kao što je npr. harmonijsko titranje. To je
najmanji vremenski interval nakon kojeg vremenska funkcija f(t)
kojom se ta promjena opisuje poprima iste vrijednosti, tj. za period T
vrijedi:
Mjerna jedinica SI za period je sekunda.
Odnos prema drugim veličinama
Period titranja frekvencije f:
Period kružnog gibanja kutne brzine ω:
Period vala valne duljine λ:
gdje je v fazna brzina vala.
Animacija promjene perioda
Kompleksni broj
59
Kompleksni broj
Kompleksni brojevi su u izrazi oblika
, gdje su a i
realni brojevi,
istaknuti simbol.
Zbrajanje, množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva definira se formulama:
,
,
U kompleksnom broju
broj
se naziva realni dio, piše se
, a broj
je imaginarni dio, i
piše se
.
Kompleksan broj čiji je realni dio jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.
Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz
jednak nuli). Iako se
kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u
rješavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primjer, problema o prolazu struje kroz vodič, o
profilu krila aviona itd.
Ništa manje važna nije primjena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primjer, za
određivanje korijena kubne jednadžbe potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Povijesno, kompleksni su
brojevi uvedeni radi rješavanja kvadratne jednadžbe. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je
povoda za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Leibnitz). Velika zasluga u smislu materijalističkog
tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Euleru. Kompleksni broj se aksiomatski definira kao uređen par realnih
brojeva
. Formule zbrajanja, množenja, dijeljenja se postuliraju ovako:
,
,
.
Par
se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom
. Iz potonjih formula slijedi da je
.
Operacije nad kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti
(kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije nad kompleksnim brojevima pod radikalima (korijenima)
donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je
.
Trigonometrijski oblik
Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:
,
, za
, ako je
i
, ako je
i
za
. Broj
; kada je
se naziva modul kompleksnog broja, a
onda je
je argument
kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je vrlo pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih
brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se zbrajaju. Iz ovog pravila proizlazi [[De Moivre|De Moivreova
formula:
.
Kompleksni broj
60
Kompleksni se brojevi često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravnini (slika dolje). Geometrijski smisao
brojeva
vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se zbrajaju po pravilu
paralelograma.
Duljina vektora
je modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću
Pitagorinog teorema. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost
broja od ishodišta koordinatnog sustava:
.
Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog
argumenta. Vrijedi sljedeća Eulerova formula:
;
preko nje se definira stupnjevanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.
Kompleksni brojevi oblikuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih
brojeva pridruživanjem ovom polju elementa , takvog da je
.
Imaginarni broj
Imaginarni broj jest broj koji ne postoji u skupu realnih brojeva. Označava se oznakom i, te ima vrijednost √-1. Tu je
vrijednost nemoguće dobiti kvadriranjem dva jednaka realna broja (i2=-1), jer dva pomnožena eksponenta (+*+=+,
-*-=+) daju pozitivan eksponent, a ne negativan. Taj se broj koristi kad se treba odrediti vrijednost negativnog
korijena, npr. √-16=√16*√-1=4*i=4i, te se još koristi kod kompleksnih brojeva: a + bi.
Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. broj Dopunite ga [1] prema pravilima Wikipedije.
References
[1] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ :Imaginarni
Vektor
61
Vektor
Ovo je glavno značenje pojma Vektor. Za druga značenja, pogledajte Vektor (razdvojba).
Vektor je pojam iz matematike, grane linearna algebra, koji je uveden da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju
u prirodi, a imaju pravac, smjer i intenzitet, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo intenzitet i zovu se
skalari.
Vektorske veličine su veličine određene s tri ili više parametara. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u
prostoru gdje se vektor određuje pravcem, smjerom i intenzitetom (iznosom, veličinom, dužinom), a predstavlja
strjelicom orijentiranom duž pravca, duljine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smjer na zadanom
pravcu. Poopćeni vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor se u n-dimenzionalnom prostoru opisuje sa
n parametara.
Fizikalno se tumačenje vektora obično svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila,
ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, obujam.
Fizikalne veličine čija vektorska vrijednost ovisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički
predstavljaju matricom, u najjednostavnijem slučaju 3×3. Tenzorskim se veličinama opisuju vektorske veličine u
anizotropnoj sredini - npr. kod nekubičnih kristala. Tenzorske su veličine toplinska vodljivost, električna vodljivost,
koeficijent difuzije, indeks loma itd.
Definicija
Vektor može biti definiran uređenim parom točaka. Recimo da su to A i B iz Rn. Tada je:
,a
Vektor se može predstaviti i polaznom točkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:
Ako ovdje ||AB|| zamijenimo sa l koji može biti bilo koji broj iz R, definirali smo pravac koji prolazi kroz točku A a
za vektor pravca ima vektor AB. Ukoliko je l samo nenegativno ili samo nepozitivno, definiran je polupravac, s
početkom u točki A.
Ukoliko je l neki broj različit od ||AB||, rezultat je vektor koji je s prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor AB',
tada vrijedi:
Vektor
62
Nul-vektor
Nul-vektor a0 je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Označuje se kao nula s naznakom za vektor.
Jedinični vektor
Jedinični je vektor vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki se ne-nul vektor a može odrediti odgovarajući
jedinični vektor v iste orijentacije i smjera.
Ovaj se postupak zove normiranje vektora.
Operacije nad vektorima
Nad vektorima se, kao i svim ostalim elementima analitičke matematike, mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome
se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primjer:
,
je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definiran
pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva Kn, a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o
njihovoj poziciji u uređenoj n-torci koordinate vektora. Na primjer, a1 je prva koordinata vektora, a2 je druga
koordinata vektora itd.
Slijede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definiraju nad vektorima istih dimenzija.
Intenzitet vektora
Intenzitet vektora se u euklidskoj geometriji definira kao kvadratni korijen zbroja kvadrata njegovih koordinata.
Množenje vektora skalarom
Množenje vektora
nekim skalarom
skalarom. Ova je operacija komutativna.
=
=:
je definirano kao množenje svake koordinate vektora tim
Vektor
63
Zbrajanje vektora
Uzmimo dva vektora
:
Zbrajanje vektora
Oduzimanje vektora
Njihovo se zbrajanje u principu definira kao zbrajanje komponenti sa istim indeksima.
,
, gde je
Pri ćemu će vektor c biti iz prostora
Pri čemu
. Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:
.
Vektor
64
Skalarno množenje vektora
Slično zbrajanju, skalarno se množenje vektora definira kao broj umnoška svih parova koordinata dva vektora, koje
imaju iste indekse. Ovaj se zbroj i umnožak preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na zbrajanje je ta što je rezultat
skalarnog produkta dva vektora iz Kn u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz Kn bi umnožak k
izgledao ovako:
,
, gdje je
Ovdje treba primjetiti da je skalarni produkt vektora također jednak
pri čemu je ω kut između a i b.
Ovo zapravo znači i:
To jest da su dva vektora okomiti ako im je skalarni produkt jednak nuli.
Vektorski produkt
Još jedan tip umnoška karakterističan za trodimenzionalne euklidske prostore (E3) je vektorski produkt. Definira se
na sljedeći način:
Jer su
,
i:
vektori kanonske baze E3.
Kod vektorskog je produkta bitno primjetiti sljedeće osobine:
, tj. vektorski produkt dva vektora je okomit na njih same.
, gdje je :
kut između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet
vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
, tj. vektorski produkt nije komutativan.
, gdje je
skalarom slijeva.
. Tj. vektorski produkt se lijepo ponaša prema množenju
Vektor
65
Mješoviti produkt
Mješoviti produkt vektora je ternarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz E3 preslikava u skalar iz
E. Zapisuje se sa
A po definiciji je:
:
Što znači da je vrijednost mješovitog produkta tri vektora jednaka volumenu paralelepipeda kojeg oni oblikuju.
Slijede neka osnovna svojstva mješovitog produkta:
•
•
•
•
Vidjeti također
• Vektorski prostor
• Vektorsko polje
Matrica (matematika)
U matematici, matrica je pravokutna tablica brojeva, ili općenito, tablica koja se sastoji od apstraktnih objekata koji
se mogu zbrajati i množiti.
Matrice se koriste za opisivanje linearnih jednadžbi, za praćenje koeficijenata linearnih transformacija, kao i za
čuvanje podataka koji ovise od dva parametra. Matrice se mogu zbrajati, množiti i razlagati na razne načine, što ih
čini ključnim konceptom u linearnoj algebri i teoriji matrica.
Definicije i notacije
Horizontalne se linije u matrici zovu retcima, a vertikalne stupcima
matrice. Matrica sa m redaka i n stupaca se naziva m-sa-n matricom
(kaže se i zapisuje da je formata m×n) a m i n su dimenzije matrice.
Član matrice A koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu se naziva
(i,j)-ti član matrice A. Ovo se zapisuje kao Ai,j ili A[i,j]. Uvijek se prvo
naznačuje redak, pa stupac.
Organizacija matrice
Često se piše
kako bi se definirala m × n matrica A čiji se svaki član A[i,j] naziva ai,j za sve 1 ≤ i
≤ m i 1 ≤ j ≤ n. Međutim, konvencija da i i j počinju od 1 nije univerzalna: neki programski jezici započinju od nule,
u kom slučaju imamo 0 ≤ i ≤ m − 1 i 0 ≤ j ≤ n − 1.
Matricu čija je jedna od dimenzija jednaka jedinici često nazivamo vektorom, i interpretiramo je kao element realnog
koordinatnog prostora. 1 × n matrica (jedan redak i n stupaca) se naziva vektor redak, a m × 1 matrica (jedan stupac i
Matrica (matematika)
m redaka) se naziva vektor stupac.
Primjer
Matrica
je 4×3 matrica. Element A[2,3] ili a2,3 je 7.
Matrica
je 1×9 matrica, ili vektor redak sa 9 elemenata.
Zbrajanje i množenje matrica
Zbrajanje
Ako su dane matrice A i B, dimenzija m-sa-n, njihov zbroj A + B je m-sa-n matrica, izračunata zbrajanjem
odgovarajućih elemenata (t.j. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Na primjer:
Množenje skalarom
Ako uzmemo matricu A i broj c, skalarni produkt cA se računa množenjem skalarom c svakog elementa A (t.j.
(cA)[i, j] = cA[i, j] ). Na primjer:
Operacije zbrajanja i množenja skalarom pretvaraju skup M(m, n, R) svih m-sa-n matrica sa realnim članovima u
realni vektorski prostor dimenzije mn.
Množenje matrica
Množenje dvije matrice je dobro definirano samo ako je broj stupaca lijeve matrice jednak broju redaka desne
matrice. Ako je A matrica dimenzija m-sa-n, a B je matrica dimenzija n-sa-p, tada je njihov umnožak AB matrica
dimenzija m-sa-p (m redaka, p stupaca) dan formulom:
za svaki par i i j.
Na primjer:
Množenje matrica ima sljedeća svojstva:
66
Matrica (matematika)
• (AB)C = A(BC) za sve k-sa-m matrice A, m-sa-n matrice B i n-sa-p matrice C (asocijativnost).
• (A + B)C = AC + BC za sve m-sa-n matrice A i B i n-sa-k matrice C (desna distributivnost).
• C(A + B) = CA + CB za sve m-sa-n matrice A i B i k-sa-m matrice C (lijeva distributivnost).
Valja znati da komutativnost ne vrijedi u općem slučaju; ako su dane matrice A i B, čak i ako su oba umnoška
definirana, u općem slučaju je AB ≠ BA.
Posebno, skup M(n, R) svih kvadratnih matrica reda n je realna asocijativna algebra sa jedinicom, koja je
nekomutativna za n ≥ 2.
Linearne transformacije, rang, transponirana matrica
Matrice mogu na zgodan način predstaviti linearne transformacije jer množenje matrica odgovara slaganju
preslikavanja, kao što će dalje biti opisano. Upravo ovo svojstvo matrice čini moćnom strukturom podataka u višim
programskim jezicima.
Ovdje i u nastavku, promatramo Rn kao skup stupaca ili n-sa-1 matrica. Za svako linearno preslikavanje f : Rn → Rm
postoji jedinstvena m-sa-n matrica A, takva da f(x) = Ax za svako x u Rn. Kažemo da matrica A predstavlja linearno
preslikavanje f. Ako k-sa-m matrica B predstavlja drugo linearno preslikavanje g : Rm → Rk, tada je njihova
kompozicija g o f također linearno preslikavanje Rm → Rn, i predstavljeno je upravo matricom BA. Ovo slijedi iz
gorepomenute asocijativnosti množenja matrica.
Općenito, linearno preslikavanje iz n-dimenzionog vektorskog prostora u m-dimenzioni vektorski prostor je
predstavljeno m-sa-n matricom, ako su izabrane baze za svaki.
Rang matrice A je dimenzija slike linearnog preslikavanja predstavljenog sa A; ona je ista kao dimenzija prostora
generiranog retcima A, i također je iste dimenzije kao prostor generiran stupcima A.
Transponirana matrica, matrice m-sa-n, A je n-sa-m matrica Atr (nekad se zapisuje i kao AT ili tA), koja nastaje
pretvaranjem stupaca u retke i redaka u stupce, to jest Atr[i, j] = A[j, i] za svaki i i j. Ako A predstavlja linearno
preslikavanje u odnosu na dvije baze, tada matrica Atr predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dualne baze
(vidi dualni prostor).
Vrijedi (A + B)tr = Atr + Btr i (AB)tr = Btr Atr.
Vidjeti također
• Rang matrice
67
Jedinična matrica
68
Jedinična matrica
Jedinična matrica je u linearnoj algebri naziv za kvadratnu matricu kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jedinice,
a ostali nule. Ova se matrica još naziva matricom identiteta, jer množenjem s drugim matricama daje upravo njih
kao rezultat množenja tj. ne mijenja ih. Ova se matrica označuje velikim slovom E a indeks koji može i ne mora
stajati pored oznake označuje dimenziju iste. Oznaka za matricu identičnog preslikavanja je Id ili samo I.
Što se također može definirati i Kroeneckerovom deltom:
,
gdje je:
Alternativni zapisi su:
Osobine
Množenje
Jedna od bitnih osobina jedinične matrice En nekog prostora Kn × n jest ta da je ona jedina za koju vrijedi:
Štoviše, vidi se da je matrica nad prostorom Kn × n komutativna, tj. nije bitno množi li se njome slijeva ili zdesna.
Ovo ne vrijedi za prostore Kn × m, m ≠ n, gdje se ovom matricom može množiti samo slijeva odnosno samo zdesna.
Iz ove osobine također slijedi i:
Primjer:
Determinanta i inverz
Determinanta ove matrice je uvijek 1, dok je ona sama sebi inverz.
Druga se osobina može dokazati na sljedeći način:
, opće pravilo koje vrijedi za sve matrice
, množenje slijeva sa E-1
, matrica pomnožena svojim inverzom uvijek daje E
Jedinična matrica
69
, matrica pomnožena jediničnom daje samu sebe
, kraj dokaza
Rang matrice
Rang matrice je jedan od najvažnijih pojmova linearne algebre, područja matematike. U izvjesnom smislu, rang
mjeri "punoću" matrice i njoj odgovarajućeg linearnog preslikavanja. Pojam komplementaran rangu je defekt
matrice.
Definicija
Postoji nekoliko ekvivalentnih definicija ranga matrice. Najčešće se on definira kao dimenzija slike matrice, odnosno
kao dimenzija prostora koji generiraju (katkad se kaže i "razapinju") njeni stupci. Drugim riječima, rang matrice je
najveći broj njenih linearno nezavisnih stupaca.
Vektorski prostor koji generiraju stupci matrice naziva se i njenim prostorom stupaca, a njegova dimenzija rangom
stupaca. Analogno, prostor redaka je vektorski prostor koji generiraju redci matrice, dok njegovu dimenziju
nazivamo rangom redaka. Rang redaka i rang stupaca svake matrice su jednaki, odakle i slijedi zajednički naziv
"rang". Posebno je rang matrice jednak rangu njoj transponirane matrice.
Elementarne operacije nad redcima i stupcima matrice ne mijenjaju njen rang. Stoga ekvivalentne (i posebno slične)
matrice imaju jednak rang. Sve matrice linearnog preslikavanja između dva vektorska prostora u odnosu na
proizvoljan par njihovih baza su ekvivalentne; njihov zajednički rang se naziva i rangom danog linearnog
preslikavanja i jednak je dimenziji njegove slike. Rang matrice je također jednak broju vodećih kolona u po redcima
svedenom ešelonskom obliku matrice; ova definicija se često koristi u uvodnim kolegijima linearne algebre.
Alternativno, matrica se može rabeći elementarne operacije i nad redcima i nad stupcima svesti na točno jednu
ekvivalentnu joj matricu čiji su svi elementi nule, osim što na izvjesnom broju prvih mjesta duž glavne dijagonale
stoje jedinice - rang polazne matrice jednak je broju jedinica u njenom tako svedenom obliku.
Determinantni rang matrice je red najveće njene inverzibilne podmatrice, odnosno najvećeg njenog ne-nul minora.
Determinantni rang matrice jednak je njenom rangu.
Svojstva ranga
Rang m×n matrice je cijeli broj između 0 i min(m,n). Jedina matrica ranga nula je nul-matrica. Kvadratna matrica
reda n je ranga n ako i samo ako je inverzibilna, te stoga za inverzibilne matrice kažemo i da su "punog ranga".
Općenitije, rang dijagonalizabilne kvadratne matrice jednak je broju njenih ne-nul svojstvenih vrijednosti,
uračunavajući kratnosti. Ako je 0≤k≤n i P matrica projekcije prostora Rn na neki njegov k-dimenzioni potprostor
(ortogonalne ili duž bilo kojeg komplementarnog (n − k)-dimenzionalnog potprostora), tada je P ranga k. Svaka
matrica ranga k je umnožak inverzibilne matrice i matrice projekcije na neki k-dimenzionalni potprostor.
Linearno preslikavanje L : Rn → Rm je monomorfizam (injektivno) ako i samo je r(L) = n, a epimorfizam
(surjektivno) ako i samo ako je r(L) = m. Za m × n matricu kažemo da je "punog ranga stupaca" ako je r(A) = n,
odnosno "punog ranga redaka" ako je r(A) = m.
Jedan od najvažnijih iskaza o rangu matrice, koji ponekad naziva i osnovni teorem linearne algebre, je sljedeći
Teorem o rangu i defektu: Za svaku m × n matricu A je
δ(A) + r(A) = n.
Značajno svojstvo ranga matrice je i sljedeća Sylvesterova nejednakost:
Rang matrice
r(B) + r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC),
koja vrijedi za svake tri matrice A, B, C formata takvog da su svi matrični produkti u nejednakosti definirani.
Posebno je za svake dvije m × n i n × p matrice A i B
r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) ≤ min(r(A), r(B)).
Rang umnoška AB je jednak rangu matrice A ako je B punog ranga redaka, i rangu matrice B ako je A punog ranga
stupaca.
Konačno, kako je ker(ATA) = ker(A), to je prema teoremu o rangu i defektu i
r(ATA) = r(A).
Prema ovoj jednakosti je rang realne matrice jednak broju njenih ne-nul singularnih vrijednosti.
Rang i sustavi linearnih jednadžbi
Kronecker-Capelijev teorem tvrdi da je sustav linearnih jednadžbi
Ax = b
konzistentan ako i samo ako je rang proširene matrice sustava [ A : b ] jednak rangu matrice koeficijenata sustava A.
Rang matrice može ponuditi i dodatne informacije o broju rješenja linearnog sustava (formata m × n), na primjer:
• Ako je r(A) = m, tada će sustav u VSEO imati vodeću varijablu (pivot) u svakoj od jednadžbi i stoga je nužno
konzistentan, sa jedinstvenim rješenjem ako je m = n ili beskonačno mnogo rješenja (koja čine afin potprostor
dimenzije n − m ako je m < n).
• Ako je r(A) = n, tada su sve varijable vodeće u svedenom obliku, pa je sustav ili nekonzistentan ili ima
jedinstveno rješenje, ovisno od toga je li rang proširene matrice sustava jednak n + 1 ili n.
• Ako je r(A) < n, tada sustav ima i slobodnih varijabli u svedenom obliku, pa je ili nekonzistentan ili ima
beskonačno mnogo rješenja, ovisno od toga je li rang proširene matrice sustava veći ili jednak r(A).
Numeričko izračunavanje
Rang matrice se uvijek može izračunati Gaussovim postupkom eliminacije, ali je u numeričkim izračunavanjima
koja koriste aritmetiku pomičnog zareza ovaj postupak (LU dekompozicija) nestabilan. Umjesto njega, češće se
koriste dekomopozicija po singularnim vrijednostima ili QR dekompozicija s pivotima. Numeričko određivanje
ranga uvijek uključuje i praktični izbor praga pomoću kojeg se određuje kad element jako male numeričke
vrijednosti treba tretirati kao nulu, koji će ovisiti od svojstava matrice i konkretne primjene.
Poopćenja
Rang se definira i za matrice nad proizvoljnim prstenovima. U ovim poopćenjima, rang stupaca (najveći broj
linearno nezavisnih stupaca), rang redaka, dimenzija prostora stupaca, dimenzija prostora redaka, determinantni
rang, itd. mogu biti međusobno različiti ili ne biti definirani.
Rang glatkog preslikavanja između dvije glatke mnogostrukosti u nekoj točki se definira kao (linearni) rang
njegovog diferencijala.
70
Article Sources and Contributors
Article Sources and Contributors
Skup Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2484400 Contributors: ALE! on Commons, Argo Navis, Dalibor Bosits, Donatus, Dubby, Fraxinus, Ivan Štambuk, Roza, SvekY,
Tycho Brahe, VKokielov, Xeniorn, 4 anonymous edits
Prazni skup Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2826039 Contributors: Ivan Štambuk
Funkcija (matematika) Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2757689 Contributors: Ivan Štambuk, Jakiša Tomić, Sanya, SpeedyGonsales, Stazh, Stevo-88, SvekY, Th dalibor,
Zmaj, 21 anonymous edits
Domena (matematika) Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2782164 Contributors: Ivan Štambuk
Slika (matematika) Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2587280 Contributors: Andre Engels, Ilija Pavlic, Ivan Štambuk, 1 anonymous edits
Injektivna funkcija Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2755857 Contributors: Ilija Pavlic, 2 anonymous edits
Surjektivna funkcija Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2789554 Contributors: Ilija Pavlic, Ozi64, 1 anonymous edits
Bijekcija Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2700226 Contributors: Ilija Pavlic, Ivan Štambuk
Kodomena Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=1603536 Contributors: Ilija Pavlic, Ivan Štambuk, 1 anonymous edits
Niz Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2803817 Contributors: Argo Navis, Dubby, Ilija Pavlic, Raf 2.a, 1 anonymous edits
Geometrijski niz Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2752008 Contributors: Frka, Saxum, Systat, Trudbenik, 4 anonymous edits
Prirodni broj Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2775611 Contributors: Argo Navis, Ivan444, SpeedyGonsales, Zmaj, 4 anonymous edits
Zbrajanje Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2775276 Contributors: -vega, Raf 2.a, Sanya, SpeedyGonsales, 1 anonymous edits
Nula Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2812323 Contributors: AmyMirka, Croq, Kubura, 2 anonymous edits
Cijeli broj Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2832761 Contributors: -vega, Ivan Štambuk, Kurtelacić, Sanya, SpeedyGonsales, Zmaj, 4 anonymous edits
Množenje Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2795929 Contributors: SpeedyGonsales, 2 anonymous edits
Racionalni broj Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2817762 Contributors: -vega, Ivan Štambuk, Raf 2.a, Roza, SpeedyGonsales, Svjetlana3, Zmaj, 4 anonymous edits
Realni broj Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2592279 Contributors: -vega, Gemini1980, Ivan Štambuk, Maria Sieglinda von Nudeldorf, SpeedyGonsales
Kvadratna funkcija Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2560721 Contributors: Bracodbk, Dubravko1, 1 anonymous edits
Eksponencijalna funkcija Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2254822 Contributors: Dubravko1, Fraxinus
Logaritam Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2819584 Contributors: Armend, Donatus, F0ggY, Jure Grm, Lasta, MayaSimFan, SpeedyGonsales, Tycho Brahe, 8 anonymous
edits
Broj e Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2710762 Contributors: Aradic, Argo Navis, 2 anonymous edits
Kartezijev koordinatni sustav Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2720986 Contributors: Dubravko1, Gdje je nestala duša svijeta, Svjetlana3, 2 anonymous edits
Krivulja Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2781591 Contributors: Svjetlana3
Ortodroma Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2766435 Contributors: Dtom, Vhorvat, 2 anonymous edits
Jednadžba pravca Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2753351 Contributors: Bracodbk, Dubravko1, Kubura, Txus.aparicio
Koeficijent smjera pravca Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2560648 Contributors: Tupars, 1 anonymous edits
Parabola (krivulja) Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2652782 Contributors: Bracodbk, Dubravko1, MayaSimFan, Svjetlana3
Hiperbola (krivulja) Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2663183 Contributors: Culo-sija, Dubravko1, MayaSimFan
Elipsa Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2758537 Contributors: Abyssus, Argo Navis, Dubravko1, Ivan Bajlo, Ivan T., MayaSimFan, Tycho Brahe
Kružnica Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2781355 Contributors: Aradic-es, Argo Navis, Donatus, Dubravko1, Fraxinus, Jure Grm, Kubura, MayaSimFan, Roza, Svjetlana3,
Tycho Brahe, 9 anonymous edits
Promjer Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2753214 Contributors: Argo Navis, DarkoS, Kal-El, SpeedyGonsales, Vodomar, 3 anonymous edits
Luk (matematika) Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=1816780 Contributors: Argo Navis, MayaSimFan, Prof saxx
Trokut Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2846956 Contributors: Angler, Argo Navis, DarkoS, Donatus, F0ggY, Herr Mlinka, Ivo grdjan, Kubura, Kurtelacić, Mozak, Roberta
F., Rosier, Saxum, Sombrero, SpeedyGonsales, Stoos, Tycho Brahe, 14 anonymous edits
Trigonometrija Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2794494 Contributors: 4ndY, Argo Navis, Kubura, Pokemon, Sombrero, SpeedyGonsales, 4 anonymous edits
Sinus Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2662856 Contributors: BlackArrow, Fraxinus, Roberta F., Sokac121, 3 anonymous edits
Kosinus Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2662862 Contributors: Anton008, Roberta F., 1 anonymous edits
Period Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2419011 Contributors: Bethnim, Kurtelacić, Smiljan, Tycho Brahe, 2 anonymous edits
Kompleksni broj Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2343612 Contributors: Ivan Štambuk
Imaginarni broj Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2791368 Contributors: Tvrtko26
Vektor Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2660853 Contributors: Argo Navis, Babalu, Deternamor, Dubby, Duh Svemira, Generalisimus, Ivan Štambuk, SpeedyGonsales,
Stazh, 5 anonymous edits
Matrica (matematika) Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2788200 Contributors: Baqu11, DarkoS, Ivan Štambuk, 1 anonymous edits
Jedinična matrica Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2774366 Contributors: Ivan Štambuk
Rang matrice Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2673056 Contributors: Ivan Štambuk, 1 anonymous edits
71
Image Sources, Licenses and Contributors
Image Sources, Licenses and Contributors
Datoteka:Venn-diagram-AB.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Venn-diagram-AB.svg License: GNU Free Documentation License Contributors: Ivan Štambuk
Datoteka:Venn_A_subset_B.png Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Venn_A_subset_B.png License: GNU Free Documentation License Contributors: Darapti,
EugeneZelenko, Porao, Yuval Madar
Datoteka:Venn_A_union_B.png Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Venn_A_union_B.png License: GNU Free Documentation License Contributors: Darapti,
EugeneZelenko, Lipedia, Romanm, Teox, Yuval Madar, Ævar Arnfjörð Bjarmason
Datoteka:Venn_A_intersect_B.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Venn_A_intersect_B.svg License: Public Domain Contributors: User:Cepheus
Datoteka:Venn_B_minus_A.png Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Venn_B_minus_A.png License: GNU Free Documentation License Contributors: User:Paul
August
Datoteka:Venn A complement.png Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Venn_A_complement.png License: GNU Free Documentation License Contributors: Original
uploader was Paul August at en.wikipedia Later versions were uploaded by Dcoetzee at en.wikipedia.
Datoteka:Nullset.png Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Nullset.png License: GNU Free Documentation License Contributors: User:Spindled
Datoteka:Quadratic function.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Quadratic_function.svg License: Public Domain Contributors: Kilom691, Luks, OsamaK
Datoteka:Injection.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Injection.svg License: Public Domain Contributors: Sl, 2 anonymous edits
Slika:P math.png Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:P_math.png License: GNU Free Documentation License Contributors: Abnormaal, Bayo, Booyabazooka, Hobo
Lifting Aroma, Kontos, Rocket000, WeFt
Datoteka:Surjection.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Surjection.svg License: Public Domain Contributors: Darapti, Sl
Datoteka:Bijection.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Bijection.svg License: Public Domain Contributors: Darapti, Manscher, Ramac
Datoteka:Bijective_composition.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Bijective_composition.svg License: Public Domain Contributors: Darapti, Sl
Datoteka:Codomain.SVG Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Codomain.SVG License: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contributors: Cronholm144,
Darapti
Datoteka:Three by Four.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Three_by_Four.svg License: Public Domain Contributors: User:Jim.belk
Datoteka:Odnos_skupova_brojeva.png Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Odnos_skupova_brojeva.png License: unknown Contributors: -vega
Datoteka:Polynomialdeg2.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Polynomialdeg2.svg License: Public Domain Contributors: User:N.Mori
file:exp.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Exp.svg License: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contributors: User:Pjacklam
Image:Exp series.gif Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Exp_series.gif License: Public Domain Contributors: User:Oleg Alexandrov
Image:Expo02.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Expo02.svg License: GNU Free Documentation License Contributors: EnEdC, Jalanpalmer
Slika:Common Logarithms.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Common_Logarithms.svg License: Public Domain Contributors: User:Pafcu
Datoteka:Cartesian-coordinate-system.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Cartesian-coordinate-system.svg License: GNU Free Documentation License
Contributors: K. Bolino
Image:Cartesian coordinates 2D.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Cartesian_coordinates_2D.svg License: GNU Free Documentation License Contributors:
Darapti, Gustavb
Image:Coord system CA 0.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Coord_system_CA_0.svg License: Public Domain Contributors: User:Jorge Stolfi
Image:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg License: GNU Free
Documentation License Contributors: User 345Kai on en.wikipedia
File:Cycloid f.gif Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Cycloid_f.gif License: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contributors: User:Zorgit
Image:KUGSPI-9_Loxodrome.gif Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:KUGSPI-9_Loxodrome.gif License: GNU Free Documentation License Contributors:
w:de:Benutzer:Karl BednarikGerman Wikipedia User Karl Bednarik
Datoteka:Greatcircle Jetstream routes.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Greatcircle_Jetstream_routes.svg License: Public Domain Contributors: ChaosNil
Datoteka:Spherical triangle 3d opti.png Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Spherical_triangle_3d_opti.png License: GNU Free Documentation License Contributors:
User:DemonDeLuxe
File:Graf of linear equation.png Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Graf_of_linear_equation.png License: Public Domain Contributors: Pietros Sacanis
Datoteka:Slope picture.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Slope_picture.svg License: Public Domain Contributors: User:Oleg Alexandrov
File:Conicas2.PNG Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Conicas2.PNG License: GNU Free Documentation License Contributors: Marcelo Reis
Slika:Qfunction.png Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Qfunction.png License: GNU Free Documentation License Contributors: Derbeth, EugeneZelenko, Marcelo
Reis, Myukew, 1 anonymous edits
Slika:ParabolicWaterTrajectory.jpg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:ParabolicWaterTrajectory.jpg License: GNU Free Documentation License Contributors:
User:GuidoB
Slika:Disambig.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Disambig.svg License: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contributors: User:Baumst
Datoteka:Elipse.png Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Elipse.png License: Public Domain Contributors: Andre Engels, Duesentrieb, EugeneZelenko, Muffin,
Ricky81682, SpeedyGonsales, Stanmar, W!B:
Datoteka:Kreis.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Kreis.svg License: GNU Free Documentation License Contributors: User:Sven
Datoteka:Trokut (trigonometrija).svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Trokut_(trigonometrija).svg License: GNU Free Documentation License Contributors:
User:SpeedyGonsales
Image:Sin.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Sin.svg License: Public Domain Contributors: User:Keytotime
Image:Cos.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Cos.svg License: Public Domain Contributors: User:Keytotime
Datoteka:Wave period.gif Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Wave_period.gif License: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contributors: Cdang, Kersti
Nebelsiek, Mike.lifeguard, Superborsuk
Datoteka:Kompleksna-ravan.gif Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Kompleksna-ravan.gif License: unknown Contributors: Ivan Štambuk
Datoteka:sabiranje.vektora.png Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Sabiranje.vektora.png License: unknown Contributors: Ivan Štambuk
Datoteka:oduzimanje.vektora.png Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Oduzimanje.vektora.png License: unknown Contributors: Original uploader was Михајло
Анђелковић at sr.wikipedia
Datoteka:Matrica_hr.svg Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Matrica_hr.svg License: GNU Free Documentation License Contributors: User:DarkoS, User:Lakeworks
72
Licencija
Licencija
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/
73

ovdje - Hrvatsko muzejsko društvo

Demo poglavlje - Pripreme za državnu maturu | Algebra

Kratak program i sponzorske pogodnosti

Suvremena Kristalografija u Hrvatskoj

komentari

PROGRAM i PRISTUPNICA - Hrvatsko psihijatrijsko društvo

Matematika

prijavni list 2015 (pdf) - kotorski festival pozorišta za djecu

Igrajmo se zagradama - T-com

iterativne procedure koje sam dosad proučio