Šefket Arslanagić Jedno poboljšanje Nesbittove nejednakosti i neke

MAT-KOL (Banja Luka)
XVII (1) (2011), 5-11
ISSN 0354-6969 (p)
ISSN 1986-5228 (o)
Metodika matematike
JEDNO POBOLJŠANJE NESBITTOVE NEJEDNAKOSTI
I NEKE NJENE GENERALIZACIJE
Dr. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
Sažetak: U radu je dokazano jedno poboljšanje Nesbitove nejednakosti a zatim dvije
generalizacije te nejdnakosi.
Abstract: In this paper we show an improvement of Nesbitt's inequality.
Math.Subj.Classification (2010): 97F50
ZDM Subj.Classification (2010): F50, N50
U matematičkoj literaturi nejednakost oblika
a
b
c
3


 ;
bc ca ab 2
 a,b,c  0 
(1)
je poznata kao Nesbittova nejednakost. Naime, nju je matematičar A.M.Nesbitt
postavio 1903. godine kao Problem 15144 u časopisu Educational Times, 3 (1903),
37-38. Čitav istorijat ove nejednakosti te pokušaj njene generalizacije dat je u [1] i
nešto opširnije u [4]. Recimo i to da se u [1] nalazi deset raznih dokaza nejednakosti
(1), a u [2] još jedanaest njenih dokaza. Uočavamo da je ova nejednakost ciklička,
simetrična i homogena. Za njene dokaze u [1] i [2] smo koristili nejednakosti
između brojnih sredina, nejednakost Koši-Bunjakovski-Švarca, te nejednakost
Jensena, Čebiševa, Myurheada i još neke.
U ovom radu ćemo najprije dokazati bolju (jaču) nejednakost od nejednakosti (1), a
koja glasi:
a
b
c
ab
bc
ca
3





 ,
b  c c  a a  b a  b  2c b  c  2a c  a  2b 2
(2)
gdje su a,b,c  0 .
Dokaz:
10 Najprije ćemo dokazati da vrijedi nejednakost
a
b
c
ab
bc
ca





.
b  c c  a a  b a  b  2c b  c  2a c  a  2b
Imamo
(3)
MAT-KOL (Banja Luka), XVII (2011)
Š.Arslanagić
1 a
b 
ab



2  b  c c  a  a  b  2c

a  c  a   b b  c 
2  b  c  c  a 
(4)

ab
a  b  2c
  a  c  a   b  b  c    a  b  2c   2  a  b  b  c  c  a 




 ac  a 2  b 2  bc  a  b  2c   2 ab  b 2  ac  bc  c  a 
 a 2 c  a 3  ab 2  abc  abc  a 2 b  b3  b 2 c  2ac 2  2a 2 c  2b 2 c  2bc 2 
 2abc  2b 2 c  2ac 2  2bc 2  2a 2 b  2ab 2  2a 2 c  2abc
 a 3  a 2 c  ab 2  2abc  a 2 b  b3  b 2 c  0
 a 3  2a 2 b  ab 2  a 2 b  2ab 2  b3  a 2 c  2abc  b 2 c  0

 
 

 a a 2  2ab  b 2  b a 2  2ab  b 2  c a 2  2ab  b 2  0
 a  b
2
a  b  c  0 ,
što je tačno. Dakle, nejednakost (4) je tačno. Analogno dobijamo još dvije
nejednakosti:
1 b
c 
bc



2  c  a a  b  b  c  2a
(5)
1 c
a 
ac
.



2  a  b b  c  a  c  2b
(6)
i
Nakon sabiranja nejednakosti (4), (5) i (6), dobijamo nejednakost (3).
Vrijedi jednakost u (3) ako i samo ako je a  b  c .
20 Sada ćemo dokazati da vrijedi nejednakost
ab
bc
ca
3


 .
a  b  2c b  c  2a c  a  2b 2
6
(7)
MAT-KOL (Banja Luka), XVII (2011)
Š.Arslanagić
Dokaz: Označimo lijevu stranu nejednakosti (7) sa L ; imamo:
L
ab
bc
ca
ab
bc
ca



1
1
13 
a  b  2c b  c  2a c  a  2b a  b  2c
b  c  2a
c  a  2b

2 a  b  c
a  b  2c

2 a  b  c
b  c  2a

2 a  b  c
c  a  2b
3 
1
1
1


 2 a  b  c


3,
 a  b  2c b  c  2a c  a  2b 
a odavde zbog nejednakosti između aritmetičke i harmonijske sredine tri pozitivna
broja:
L  2 a  b  c 
9
3
1
1
1


1
1
1
a  b  2c b  c  2a c  a  2b
 2 a  b  c 

9
3
4 a  b  c
9
3
 3  , tj.
2
2
L
3
.
2
q.e.d.
Dakle, nejednakost (7) je tačna.
Sada iz 10 i 20, tj. nejednakosti (3) i (7) slijedi nejednakost (2). Vrijedi jednakost u
(7), odnosno u (2) ako i samo ako je a  b  c .
Sada ćemo dokazati dvije teoreme koje na izvjestan način predstavljaju
generalizacije Nesbittove nejednakosti (1).
Teorema 1. Neka su a,b,c,k pozitivni realni brojevi. Tada je
a
b
c
3



.
kb  c kc  a ka  b 1  k
(8)
Dokaz: Koristit ćemo nejednakost Koši-Bunjakovski-Švarca za n  3 , tj.
 x1 y1  x2 y2  x3 y3 2   x12  x22  x32  y12  y22  y32  ,
7
(9)
MAT-KOL (Banja Luka), XVII (2011)
Š.Arslanagić
gdje su x1 ,x2 ,x3 , y1 , y2 , y3  ¡ .
Stavljajući u (9) da je
x1 
a
kab  ac
, x2 
b
kbc  ab
, x3 
c
kac  bc
, y1  kab  ac , y2  kbc  ab, y3  kac  bc
,
dobijamo:

a2
b2
c2 


   kab  ac  kbc  ab  kac  bc  ,
 kab  ac kbc  ab kac  bc 
 a  b  c 2  
a odavde
a  b  c
a
b
c



.
kb  c kc  a ka  b  1  k  ab  bc  ca 
2
(10)
Kako je
 a  b  c 2  3  ab  bc  ca 
1
2
2
2


   a  b    b  c    c  a    0  , tj.
2


 a  b  c 2
ab  bc  ca
3,
to iz nejednakosti (10) dobijamo:
a
b
c
3



, q.e.d.
kb  c kc  a ka  b 1  k
Vrijedi jednakost u (8) ako i samo ako je a  b  c . Ovim je Teorema 1. dokazana.
Za k  1 iz nejednakosti (8) dobijamo nejednakost (1).
Napomena 1: Na sličan način se dokazuje da važi opštija nejednakost od
nejednakosti (8) koja glasi:
a
b
c
3



,
kb  rc kc  ra ka  rb k  r
gdje su a,b,c,k ,r  0 .
Dokaz: Uzimajući u nejednkaosti Koši-Bunjakovski-Švarca (9) da je:
8
(8')
MAT-KOL (Banja Luka), XVII (2011)
x1 
a
kab  rac
Š.Arslanagić
, x2 
b
kbc  rba
, x3 
c
kac  rbc
,
y1  kab  rac , y2  kbc  rba , y3  kac  rbc ,
dobijamo:


a2
b2
c2


   kab  rac  kbc  rba  kac  rbc  ,
 a  kb  rc  b  kc  ra  c  ka  rb  
 a  b  c 2  
a odavde
a  b  c
a
b
c



.
kb  rc kc  ra ka  rb  k  r  ab  bc  ca 
2
Kako je  a  b  c   3  ab  bc  ca  , tj.
2
 a  b  c 2
ab  bc  ca
3,
to imamo da je:
 a  b  c 2
3
,




k
r
ab
bc
ca
k


 r
odnosno
a
b
c
3
, q.e.d.



kb  rc kc  ra ka  rb k  r
Jednakost vrijedi ako i samo ako je a  b  c . Za k  r  1 iz ove nejednakosti
dobijamo nejednakost (1).
Teorema 2. Neka su x1 ,x2 ,...,xn pozitivni realni brojevi i n  2 prirodan broj. Tada
je
xn
x1
x2
n

 ... 

.
x2  x3  ...  xn x1  x3  ...  xn
x1  x2  ...  xn 1 n  1
(11)
Dokaz 1: Neka je S  x1  x2  ...  xn ; sada imamo:
xn
xn
x1
x2
x1
x

 ... 

 2  ... 
.
x2  x3  ...  xn x1  x3  ...  xn
x1  x2  ...  xn 1 S  x1 S  x2
S  xn
9
MAT-KOL (Banja Luka), XVII (2011)
Š.Arslanagić
Nejednakost (11) je simetrična te ne umanjujući općenitost možemo pretpostaviti da
je x1  x2  ...  xn ; tada je
S  x1  S  x2  ...  S  xn , te
xn
x1
x2

 ... 
.
S  x1 S  x2
S  xn
Sada na osnovu nejednakosti Čebiševa imamo:
x
x1
x
 S  x1   2  S  x2   ...  n  S  xn  
S  x1
S  x2
S  xn

x
x
1  x1
 2  ...  n

n  S  x1 S  x2
S  xn
 x1  x2  ...  xn 

  S  x1    S  x2   ...   S  xn  

x
x
1  x1
 2  ...  n

n  S  x1 S  x2
S  xn

   n  1 S ,

a odavde zbog x1  x2  ...  xn  S :
x
x1
x
n
 2  ...  ... n 
, q.e.d.
S  x1 S  x2
S  xn n  1
Jednakost u (11) vrijedi ako i samo ako je x1  x2  ...  xn . Za n  3 iz nejednakosti
(11) dobijamo nejednakost (1).
Dokaz 2: Uvedimo smjenu:
x2  x3  ...  xn   n  1 A1 ,
x1  x3  ...  xn   n  1 A2 ,
M
x1  x2  ...  xn 1   n  1 An.
Nakon sabiranja ovih jednakosti dobijamo:
 n  1 x1  x2  ...  xn    n  1 A1  A2  ...  An  ,
a odavde
x1   2  n  A1  A2  ...  An ,
x2  A1   2  n  A2  ...  An ,
M
xn  A1  A2  ...   2  n  An.
Data nejednakost (11) sada postaje:
10
MAT-KOL (Banja Luka), XVII (2011)
Š.Arslanagić
A  A2  ...   2  n  An
 2  n  A1  A2  ...  An A1   2  n  A2  ...  An

 ...  1
 n  1 A1
 n  1 A2
 n  1 An

n
,
n 1
odnosno
 2  n  A1  A2  ...  An
A1
2  n 

A1   2  n  A2  ...  An
A2
 ... 
A1  A2  ...   2  n  An
An
 n , tj.
A
A
A
A2
A
A
A
 ...  n  1   2  n   ...  n  ...  1  2  ...  n 1   2  n   n ,
A1
A1 A2
A2
An An
An
a odavde
A
 A2 A3
A  A
A
A 
A 

 ...  n    1  3  ...  n   ...   1  ...  n 1   n  n  2  n   n  n  1 ,

A1   A2 A2
A2 
An 
 A1 A1
 An
a ova nejednakost je tačna na osnovu nejednakosti
n
nejednakosti ima 2Cn2  2    2 
2
n  n  1
2
a b
  2;
b a
 a,b  0  , a ovih
 n  n  1 .
Ovim je nejednakost (11) dokazana.
LITERATURA
[1] Š. Arslanagić, Matematička čitanka, Grafičar promet d.o.o., Sarajevo, 2008.
[2] Š. Arslanagić, Matematička čitanka 1, Grafičar promet d.o.o., Sarajevo, 2009.
[3] Bencze, M., Arslanagić, Š., A Mathematical Problem Book, Grafičar promet d.o.o.,
Sarajevo, 2008.
[4] D.S. Mitrinović, Analitičke nejednakosti, Građevinska knjiga, Beograd, 1970.
[5] F. Wei and Sh. Wu, Generalizations and analogues of the Nesbitt's inequality, Octogon
Mathematical Magazine, Vol. 17, No. 1, April 2009, pp. 215-220.
Primljeno 22.03.2011.
11

Download Report