Prof. dr. sc. Neven Elezovic´
ˇ KI PROCESI
STOHASTIC
Predavanja, 1999./2000.
1.
Vjerojatnost
1.
2.
3.
4.
Algebra dogadaja . . . . . . . . . . . . . .
Vjerojatnosni prostor . . . . . . . . . . . .
Modeli vjerojatnosnih prostora . . . . . .
Elementi kombinatorike . . . . . . . . . .
1
2
3
4
5.
6.
7.
8.
Klasicˇna definicija vjerojatnosti . . . . . 5
Formula potpune vjerojstnosti . . . . . . 6
Uvjetna vjerojatnost i nezavisnost . . . . 7
Bayesova formula . . . . . . . . . . . . . 8
Matematicˇka se teorija vjerojatnosti zasniva na dva pojma: algebri dogadaja i vjerojatnosnoj
funkciji.
Najjednostavnije je pojam dogadaja dovesti u vezu s stohasticˇkim pokusom. Tako nazivamo
svaki pokus cˇiji ishod nije unaprijed odreden. Taj ishod ovisi o nekim nama nepredvidivim okolnostima i stoga je slucˇajan. Novcˇic´ bacˇen uvis pada na jednu od svoje dvije strane, na koju — unaprijed
ne mozˇemo znati. Vrijeme ispravnog rada nekog uredaja nitko ne mozˇe unaprijed predvidjeti.
Ishod takva pokusa zovemo elementarni dogadaj Takvih ishoda mozˇe biti u nekom pokusu
konacˇno mnogo, ali jednako tako i beskonacˇno mnogo. Kocka c´e pasti na jednu od sˇest svojih strana,
a biranje na srec´u jedne tocˇke unutar, recimo, jedinicˇnog kruga ima kao moguc´i ishod beskonacˇno
mnogo elementarnih dogadaja.
Pri svakom se pokusu mogu ostvariti ili ne razlicˇiti dogadaji. Kocka mozˇe na primjer pasti
na paran ili na neparan broj. Hoc´e li se dogoditi neki dogadaj mozˇemo predvidjeti pridruzˇujuc´i mu
ˇ to je dogadaj izvjesniji, njegova c´e vjerojatnost biti blizˇa jedinici. Malo
odredenu vjerojatnost. S
vjerojatni dogadaji imat c´e vjerojatnost blisku nuli.
Racun s dogadajima i vjerojatnostima mora se pokoravati izvjesnim zakonima koje c´emo upoznati u ovom poglavlju.
1.1. Algebra dogadaja
Elementarne c´emo dogadaje oznacˇavati slovom ω . Skup svih elementarnih dogadaja, oznacˇavamo slovom Ω . Skup Ω i sam je dogadaj, on se ostvaruje pri svakom
ishodu pokusa. Nazivamo ga stoga sigurni dogadaj. Njegova je suprotnost nemoguc´ dogadaj, koji se pri realizaciji pokusa nikad ne mozˇe ostvariti. Oznacˇavamo
ga simbolom ; . Po volji odabrane dogadaje vezane uz neki pokus oznacˇavat c´emo
velikim slovima latinicˇne abecede: A , B , C : : : . Oni se sastoje od izvjesnog broja
elementarnih dogadaja. To su dakle podskupovi od Ω .
Primjer 1. Bacamo jednu kocku cˇije su strane oznacˇene brojevima od 1 do 6.
Odredimo elementarne dogadaje i skup Ω .
. Elementarni su dogadaji brojevi na koje kocka mozˇe pasti:
ω1
=
1;
ω2
=
2; : : : ;
ω6
=
6:
Skup svih elementarnih dogadaja je
Ω = fω 1; ω 2; : : : ; ω 6 g = f1; 2; 3; 4; 5; 6g:
U pokusu koji ima samo konacˇno mnogo ishoda dogadaj je bilo koji podskup od Ω .
Evo nekoliko dogadaja vezanih uz ovaj pokus:
A = fpao je parni brojg = f2; 4; 6g;
B = fpao je broj vec´i od 2g = f3; 4; 5; 6g;
C = fpao je parni broj manji od 5g = f2; 4g
i slicˇno. Razlicˇitih dogadaja postoji 26 = 64 , jer toliko skup Ω ima podskupova. Medu njima su nemoguc´ dogadaja ; , 6 jednocˇlanih (elementarnih) dogadaja, 15 dogadaja
od po dva elemenentarna, 20 dogadaja s tri elementarna itd. /
Usporedivanje dogadaja
Kazˇemo da dogadaj A povlacˇi dogadaj B ako iz realizacije dogadaja A slijedi
realizacija dogadaja B . To znacˇi da B sadrzˇi sve elementarne dogadaje koji ulaze u
dogadaj A . Pisˇemo A B , u skladu s zapisom iz teorije skupova. Koristimo takoder
i zapis A =) B . Govorimo josˇ: A je specijalni slucˇaj dogadaja B , B slijedi iz A ,
A je sadrzˇan u B , A je dovoljan uvjet za B , B je nuzˇdan uvjet za A .
A
B
Sl. 1.1. Dogadaj A povlacˇi
dogadaj B
Primjer 2. Bacamo dvije kocke. Oznacˇimo dogadaje
A = foba broja vec´a su od 4g;
B = fzbroj brojeva na kockama vec´i je od 8g:
. Vrijedi A =) B , jer je zbroj brojeva koji su vec´i od 4 sigurno vec´i od 8.
Obrat nije ispunjen, jer zbroj brojeva mozˇe biti vec´i od 8 i kad jedna kocka padne na,
recimo, 3, a druga na 6. Tad se ostvario B , ali se nije ostvario A . /
Primjer 3. Bacamo dvije kocke. Oznacˇimo dogadaje:
A = fzbroj brojeva na kockama vec´i je od 8g;
B = foba broja vec´a su od 2g:
. Sad vrijedi A =) B . Naime, zbroj brojeva ne mozˇe biti vec´i od 8 ako oba
broja nisu vec´a od 2, jer inacˇe najvec´i zbroj iznosi 2 + 6 = 8 . Vezu ovih dogadaja
mozˇemo izraziti josˇ ovako:
Da bi zbroj brojeva bio vec´i od 8, oba broja nuzˇno moraju biti vec´a od 2 ( B je
nuzˇdan uvjet za A ).
Zˇelimo li da oba broja na kocki budu vec´a od 2, dovoljno je da njihov zbroj bude
vec´i od 8 ( A je dovoljan uvjet za B ). /
Ukoliko vrijedi A B i B A , onda kazˇemo da su A i B ekvivalentni ili
jednaki i pisˇemo A = B . Ekvivalentni dogadaji sastoje se od istih elementarnih
dogadaja.
Suprotnost ovoj situaciji je ona u kojoj A i B nemaju zajednicˇkih elementarnih
dogadaja.
Dogadaji A i B su disjunktni, ako se istovremeno ne mogu ostvariti i jedan i
drugi 1 . Kazˇemo josˇ da se A i B medusobno iskljucˇuju. Tako na primjer, pri bacanju
kocke su dogadaji A = fpao je paran brojg i B = fpao je broj 3g disjunktni.
Ω
B
A
Sl. 1.2. Disjunktni dogadaji
Operacije s dogadajima
Neka su A , B dogadaji. Pomoc´u njih mozˇemo nacˇiniti nove dogadaje:
Unija i presjek dogadaja
Dogadaj koji se ostvaruje ako se ostvario barem jedan od dogadaja A ,
B nazivamo unija, suma ili zbroj dogadaja i oznacˇavamo s A [ B , A + B ,
A ili B .
Dogadaj koji se ostvaruje ako su se ostvarila oba dogadaja A i B zovemo presjek, produkt ili umnozˇak dvaju dogadaja i oznacˇavamo ga s A \ B ,
AB , A i B .
1
Nije nuzˇno da se ostvari neki od ova dva dogadaja, moguc´e je dakle da se ne ostvari niti jedan od njih
Ω
Ω
A
A
B
Sl. 1.3. Unija i presjek dvaju dogadaja
B
A B
A B
Primjer 4. Bacamo jednu kocku. Istaknimo dogadaje
A = fpao je parni brojg;
B = fpao je broj vec´i od 2g:
Onda je
A [ B = fpao je parni broj ili broj vec´i od 2g
= fpao je broj vec´i od 1g = f2; 3; 4; 5; 6g;
A \ B = fpao je parni broj vec´i od 2g = f4; 6g:
Operacije unije i presjeka mogu se definirati i za nekoliko dogadaja. Unija n
dogadaja je dogadaj
A = A 1 [ A2 [ : : : [ An
koji se ostvaruje ako se ostvario barem jedan od dogadaja A 1 ,: : : An .
A 1 A2 ... A n
A 1 A2 ... A n
Sl. 1.4. Unija (lijevo) i presjek (desno) visˇe dogadaja
Presjek n dogadaja je dogadaj
A1 \ A2 \ : : : \ An
koji se ostvario ako se ostvario svaki od dogadaja A 1; : : : ; An .
Razlika dogadaja. Komplement dogadaja
Dogadaj koji se ostvaruje ako se ostvari dogadaj A , a da se ne ostvari
dogadaj B , nazivamo razlika dogadaja A i B i oznacˇavamo s A n B , A ; B .
Dogadaj Ω n A nazivamo komplementom ili suprotnim dogadajem
dogadaja A . On se ostvaruje ako i samo ako se A nije ostvario. Oznacˇavamo
ga s A ili s Ac .
A
A
B
_
A
Sl. 1.5. Razlika dvaju dogadaja (lijevo) i komplement dogadaja (desno)
A\ B
Uvjerite se da vrijedi A n B = A \ B , A = A .
De Morganovi zakoni
Veza izmedu operacija komplementiranja, unije i presjeka iskazana je u sljedec´im
formulama:
A[B = A\B
(1)
A\B = A[B
(2)
Te formule nazivamo de Morganovi zakoni.
Ω
Ω
A
A
B
B
A B
A B
Sl. 1.6. De Morganovi zakoni
Dokazˇimo (12):
ω
2 A [ B ()
()
2 [ B () ω 2= A i ω 2= B
ω 2 A i ω 2 B () ω 2 A \ B:
ω =A
Drugu formulu mozˇemo pokazati na slicˇan nacˇin. Medutim, korisno je vidjeti da
ona slijedi iz prve formule. Naime, kako za svaki dogadaj vrijedi A = A , mozˇemo
racˇunati ovako
A [ B = A \ B = po (12) = A [ B;
te je
A [ B = A [ B = A [ B:
Primjer 5. Algebra prekidacˇa. De Morganove zakone mozˇemo ilustrirati koristec´i se jednostavnim modelima serijskog i paralelnog spoja.
1. Serijski spoj. Neka u serijskom spoju dviju sklopki dogadaj A oznacˇava da je
prva sklopka iskljucˇena, a dogadaj B da je iskljucˇena druga sklopka.
1
2
A
B
Veza izmedu tocˇaka 1 i 2 nec´e postojati ako se ostvari barem jedan od dogadaja
A ili B :
f ne postoji veza g = A [ B:
Veza izmedu tih tocˇaka postojat c´e ako se nije ostvario niti dogadaj A , niti dogadaj B
(nema prekida niti na jednoj sklopki):
f postoji veza g = A \ B:
Ova su dva dogadaja komplementarna. Zato vrijedi
A [ B = A \ B:
Dobili smo prvu de Morganovu formulu.
2. Paralelni spoj. Neka su dvije sklopke spojene u paralelnom spoju:
A
1
2
B
Onda vrijedi:
fne postoji vezag = A \ B;
fpostoji vezag = A [ B = A \ B:
/
De Morganovi zakoni poopc´avaju se na uniju i presjek n dogadaja:
A1 [ [ An = A1 \ \ An;
A1 \ \ An = A1 [ [ An :
Ilustrirajte ove formule pomoc´u serijskog i paralelnog spoja n sklopki.
Algebra dogadaja
Dosadasˇnji pristup dogadajima i operacijama zasnivao se na intuiciji, one su definirane na prirodan nacˇin i prirodno je ocˇekivati da, recimo, presjek dvaju dogadaja bude ponovo dogadaj. Medutim,
u strogo definiranoj matematicˇkoj teoriji ovi pojmovi moraju biti vrlo precizno definirani. To je
nuzˇno da bi se izbjegli moguc´i paradoksi unutar same teorije. Tako na primjer, potpuno je jasno da
su dogadaji podskupovi skupa Ω . Medutim, prihvatimo li intuitivno jasnu tvrdnju kao istinitu: svaki
podskup od Ω je dogadaj (ona je bila ispunjena u svim do sada promatranim modelima), doc´i c´emo
do paradoksa pokusˇamo li definirati vjerojatnost na vrlo jednostavnom skupu Ω , intervalu [0; 1] !
Algebra dogadaja
F
Algebra dogadaja je svaka familija
podskupova od Ω na kojoj
su definirane binarna operacija zbrajanja + :
! i unarna
operacija komplementiranja sa svojstvima
1) Ω 2 , ; 2 ,
=) A 2
,
2) A 2
=) A + B 2
. Elemente algebre
zovemo
3) A; B 2
dogadaji.
F
F
F
F
F
F F
F
F
F
F
Primijetimo da je bilo dovoljno zahtijevati samo Ω 2
, jer je ; = Ω pa po
svojstvu 2) on takoder pripada algebri
.
Sˇto je s umnosˇkom dogadaja? Ako su A i B dogadaji, onda A i B pripadaju
, pa toj algebri pripada i njihov zbroj A + B . Konacˇno je
algebri
F
F
AB=A+B2
F:
Dakle, umnozˇak dogadaja ponovo je dogadaj.
Isto vrijedi i za razliku dvaju dogadaja, jer za A; B 2
AnB= AB2
F:
F vrijedi
Booleova algebra
F
U mnogim se primjenama koristi struktura sastavljena od familije
dvije binarne operacije + i , unarne operacije komplementiranja koja zadovoljava sljedec´ih
devet svojstava:
(1)
(4)
A+B= B+A
(A + B) + C = A + (B + C )
;+A=A
A (B + C ) = A B + A C
(5)
(
(2)
(3)
AB=BA
(A B) C = A (B C )
ΩA= A
A + B C = (A + B) (A + C)
8A 2 F )(9A 2 F ) A + A = Ω; A A = ;;
gdje su Ω i ; dva istaknuta elementa. Takvu familiju nazivamo Booleova algebra.
Operacije + i mogu biti definirane na razlicˇite nacˇine. Ako su to operacije
unije i presjeka, a elementi od
podskupovi, zakljucˇujemo da je algebra dogadaja
primjer Booleove algebre.
F
Zadatci 1.1.
1. Novcˇic´ bacamo dok se dva puta za redom ne pojavi isti znak, a najvisˇe pet puta. Opisˇite
g
2.
f
g
f
f
f
f
f
3.
g
g
f
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
f
elementarne dogadaje u skupu Ω i u sljedec´im dogadajima; A = pokus je zavrsˇen u trec´em
bacanju ; B = pokus je zavrsˇen u prva tri bacanja . Odredite B .
U zˇari se nalaze cˇetiri kuglice, dvije jednake bijele i dvije jednake crne. Izvlacˇimo jednu po
jednu tri kuglice, ne vrac´ajuc´i ih u zˇaru. Opisˇite prostor elementarnih dogadaja. Odredite
sljedec´e dogadaje:
A = prva je izvucˇena crna kuglica ;
B = prva je izvucˇena bijela kuglica ;
C = bijela kuglica je izvucˇena barem jednom ;
D = bijela kuglica je izvucˇena tocˇno jednom ;
E = izvucˇena je jedna bijela i dvije crne kuglice .
Bacamo dvije kocke. Biljezˇimo rezultat na svakoj od njih. Koliko ima elementarnih dogadaja? Koliko elementarnih dogadaja imaju sljedec´i dogadaji: A = oba broja su parna ,
B = oba broja vec´a su od 4 , C = razlika brojeva iznosi 2 ?
Bacamo dvije kocke. Biljezˇimo rezultat na svakoj od njih. Neka je A = pojavio se broj
manji od 3 , B = zbroj brojeva manji je od 9 , C = oba broja vec´a su od 4 . Iskazˇi
rijecˇima dogadaje A , B , C . Pokazˇite da su A i C disjunktni, basˇ kao i A i B . Uvjerite se da
vrijedi A = B , ali da ne vrijedi A = B .
Bacamo dvije kocke. Biljezˇimo samo zbroj dobivenih brojeva. Koliko elementarnih dogadaja
ima ovaj pokus?
Bacamo dvije kocke. Oznacˇimo dogadaje A = zbroj brojeva je neparan , B = pojavio
se broj 1 , C = na obje kocke pao je broj 1 . Opisˇite dogadaje AB , AC , BC , A C ,
AB .
Neka su A , B , C dogadaji. Iskazˇite s pomoc´u unije i presjeka ovih dogadaja sljedec´e dogadaje:
A. ostvario se samo dogadaj A ;
B. ostvarili su se A i B , ali ne i C ;
D. ostvario se barem jedan dogadaj ;
C. ostvarila su se sva tri dogadaja ;
E. ostvario se tocˇno jedan dogadaj ;
F. nije se ostvario niti jedan dogadaj .
Sˇto se mozˇe rec´i o dogadajima A , B , C za koje vrijedi ABC = A , A B = A , A B C = A ,
A B = A , A B = AB , AB = A ?
Neka je A B . Cˇemu su ekvivalentni dogadaji AB , A B , ABC , A B C ?
Jesu li po volji odabrani dogadaji A i B ekvivalentni ako je a) A = B , b) A C = B C ,
c) AC = BC , za neki dogadaj C .
g
g
)
f
g
g
f
f
f
g
g
g
f
f
g
g
f
g
g
f
f
f
f
g
f
f
g
[
g
g
[
[ [
[
1.2. Vjerojatnost
Vjerojatnost
F
Vjerojatnost je preslikavanje P :
! [0; 1] definirano na algebri
dogadaja
, koje ima svojstva
1) P(Ω) = 1 , P(;) = 0 (normiranost),
2) ako je A B , onda vrijedi P(A) ? P(B) (monotonost),
3) ako su A i B disjunktni dogadaji, onda je P(A [ B) = P(A) + P(B)
(aditivnost).
Broj P(A) nazivamo vjerojatnost dogadaja A .
F
[
g
g
g
[ [
[
[
f
[
Svojstva vjerojatnosti
Izvedimo neka dodatna svojstva vjerojatnosti.
Neka je A po volji odabran dogadaj, a A njegov komplement. Onda vrijedi
A [ A = Ω i pritom su A i A disjunktni. Zato, po svojstvima normiranosti i aditivnosti
vrijedi
1 = P(Ω) = P(A [ A) = P(A) + P(A);
te je P(A) = 1 ; P(A) . Time smo pokazali:
Vjerojatnost komplementa
Za svaki dogadaj A vrijedi P(A) = 1 ; P(A) .
Pokazˇimo sad kako se racˇuna vjerojatnost unije u slucˇaju kad A i B nisu disjunktni. Presjek dvaju dogadaja ovdje c´emo pisati kao umnozˇak, dakle bez znaka
\.
Vjerojatnost unije
Za bilo koja dva dogadaja A i B vrijedi
P(A [ B) = P(A) + P(B) ; P(AB):
Da pokazˇemo ovo svojstvo, dogadaj A [ B prikazat c´emo kao uniju dvaju disjunktnih dogadaja:
A [ B = A [ (BA)
ˇ emo rastaviti ovako
(vidi sliku 1.9). Slicˇno tome, B moz
B = AB [ BA
i ponovo su dogadaji s desna disjunktni.
A
B
A
B
[
Sl. 1.9. Skup A B mozˇe
se rastaviti na uniju disjunktnih skupova (lijevo).
Slicˇno vrijedi i za skup B
(desno)
_
A B=A BA
Po svojstvu aditivnosti vjerojatnosti slijedi:
P(A [ B) = P(A) + P(BA);
P(B) = P(AB) + P(BA):
B= A B
_
BA
Oduzimanjem dobivamo trazˇenu formulu:
P(A [ B) ; P(B) = P(A) ; P(AB):
Silvesterova formula
Na slicˇan nacˇin mozˇemo izvsti i opc´enitiju formulu:
P(A [ B [ C) = P(A) + P(B) + P(C) ; P(AB) ; P(AC) ; P(BC) + P(ABC):
Racˇunanje vjerojatnosti unije dogadaja cˇesto je slozˇenije od racˇunanja vjerojatnosti umnosˇka dogadaja. Stoga je korisno odrediti poopc´enje ove formule na uniju n
dogadaja.
Silvesterova formula
[
n
P(
X
n
Ai ) =
i=1
P(Ai ) ;
X
X
i=1
P(Ai Aj )
i<j
+
P(Ai Aj Ak ) ; : : : + (;1)n+1 P(A1 A2 An ):
i<j<k
Dokaz c´emo sprovesti indukcijom po n . Baza je indukcije dokazana za n = 2 .
Pretpostavimo da formula vrijedi za familije od najvisˇe n ; 1 cˇlanova. Oznacˇimo
potom
S; A ;
n 1
B=
Ci
i
=
i=1
Ai \ An (i < n)
i iskoristimo bazu indukcije:
S A ) = P(B [ A ) = P(B) + P(A ) ; P(B \ A ):
n
P(
i
n
n
n
i=1
Kako je
B \ An
S; A ) \ A
n 1
=(
i
S; (A \ A ) = S; C ;
n 1
n =
i=1
n 1
i
i=1
n
i
i=1
mozˇemo primijeniti i pretpostavku indukcije
P(B) =
X
P(Ai ) ;
i<n
P(B \ An ) =
X
X
i<n
=
i<n
X
X
i<j<n
P(Ai \ An ) ;
Ai )
i=1
i<j<n
P(Ci ) ;
\;
n 1
P(Ai \ Aj ) + : : : + (;1)n P(
\;
n 1
P(Ci \ Cj ) + : : : + (;1)n P(
X
P(Ai \ Aj \ An ) + : : :
i<j<n
Sredivanjem dobivamo Silvesterovu formulu.
i=1
Ci )
Neprekinutost vjerojatnosti
Iako smo naucˇili mnogo o svojstvima vjerojatnosti, josˇ uvijek ne mozˇemo odgovoriti na mnoga
pitanja povezana s nekim vrlo jednostavnim modelima.
Novcˇic´ bacamo dok se ne pojavi pismo. Kolika je vjerojatnost da se pismo nec´e nikad
pojaviti?
Biramo ‘na srec´u’ realan broj unutar intervala [0; 1] . Kolika je vjerojatnost da c´emo izabrati
1
?
3
Zajednicˇko je svojstvo u oba ova pokusa to sˇto je skup Ω elementarnih dogadaja beskonacˇan.
U prvom slucˇaju broj bacanja u kojem se pismo mozˇe pojaviti bilo koji prirodni broj, pa elementarnih
iskoda ima prebrojivo mnogo. U drugom slucˇaju, elementaran je dogadaj izbor bilo kojeg realnog
broja x iz intervala [0; 1] . Tih dogadaja ima neprebrojivo mnogo.
Razmislimo li o vjerojatnostima dogadaja koje smo istaknuli, osjec´amo da je u oba slucˇaja ta
vjerojatnost jednaka nuli. I dok se u prvom primjeru to ne kosi sa zorom (jer se pismo ‘mora’ pojaviti
ako je novcˇic´ ispravan), u drugom slucˇaju je takav zakljucˇak direktno protivan ‘zdravoj logici’, zato
sˇto kao rezultat pokusa mi moramo dobiti neki realni broj.
Ovi uvodni primjeri pokazuju da pri promatranju modela s beskonacˇnim vjerojatnosnim prostorom mozˇemo imati ozbiljnih logicˇkih potesˇkoc´a. Da bismo ih otklonili, moramo biti precizni u
definiranju svojstava algebre dogadaja i pripadne vjerojatnosti.
Najprije, uvjet zatvorenosti algebre na zbrajanje moramo prosˇiriti i na uniju od prerojivo mnogo
dogadaja. Isto tako, zahtjevat c´emo da aditivnost vjerojatnosti vrijedi i za prebrojivu uniju disjunktnih
dogadaja.
-algebra i -aditivnost vjerojatnosti
Ako je Ω beskonacˇan skup, tad zahtjevamo da algebra dogadaja
bude σ -algebra, tj. za nju vrijedi
F =)
A1 ; A2 ; : : : ; An ; : : : 2
Vjerojatnost P na α -algebri
(prebrojive aditivnosti):
1 X
1
[
P
An
n=1
=
F
P(An );
1
[
An
F
2 F:
n=1
mora zadovoljavati uvjet σ -aditivnosti
ako je An Am
=
; za sve n 6= m .
n=1
Po uvjetu monotonosti vjerojatnosti znamo da za rastuc´e dogadaje vrijedi
A1 A2 : : : An =) P(A1 ) ? P(A2 ) ? : : : ? P(An ):
Neka je sada (An ) niz rastuc´ih dogadaja:
A1 A2 : : : An : : : :
Po uvjetu σ -aditivnosti, A =
1
[
An element je algebre
F . Taj dogadaj oznacˇujemo
i=1
josˇ ovako:
A = lim An :
!1
n
Prirodno je ocˇekivati da je vjerojatnosti dogadaja An tezˇe ka vjerojatnosti dogadaja A .
Pokazat c´emo da je ta tvrdnja ekvivalentna uvjetu σ -aditivnosti vjerojatnosti P .
Teorem 1.2.1. Neka je P vjerojatnost na σ -algebri
samo ako vrijedi
A1
A2 : : : =)
lim P(An ) = P(
!1
n
F.
1
\
P je σ -aditivna ako i
A n ):
n=1
Dokaz. Neka je (An ) rastuc´i niz dogadaja. Definirajmo
B1 := A1;
B2 := A2 n A1;
..
.
Bn := An n An;1
..
.
Skupovi B1; B2; : : : su disjunktni i vrijedi za svaki n
An = B1 [ B2 [ : : : [ Bn
Zato je i
1
[
n=1
Bn
=
1
[
An . Ako je P σ -aditivna, onda vrijedi
n=1
P(
1
[
Bn ) =
n=1
S druge strane, iz (2) imamo
1
X
P(Bn ):
n=1
X
n
P(An ) =
P(Bi ):
i=1
Zato je
lim P(An ) =
!1
n
1
X
P(Bn )
n=1
pa je P neprekinuta.
Pokazˇimo obrat. Neka je B1; B2; : : : niz disjunktnih dogadaja. Stavimo
A1 := B1;
A2 := B1 [ B2;
..
.
An := B1 [ B2 [ : : : [ Bn;
..
.
kako su B1; B2; : : : disjuntni, za svaki n vrijedi
X
n
P(An ) =
i=1
P(Bi )
(1)
Dobili smo niz (An ) rastuc´ih dogadaja za koji je
A = lim An
!1
n
=
1
[
Bn :
n=1
Ako je P neprekinuta, onda vrijedi
P(
1
[
X
n
Bn ) = P(A)
=
n=1
lim P(An ) = lim
!1
!1
n
n
P(Bi ) =
1
X
i=1
P(Bi )
i=1
te je vjerojatnost P σ -aditivna.
Korolar 1.2.2. Ako je (An ) niz padajuc´ih dogadaja i A =
1
\
An , onda vrijedi
n=1
P(A) = lim P(An ):
!1
n
Dokaz. Dovoljno je primijeniti teorem na dogadaje An koji cˇine rastuc´i niz dogadaja.
Sad mozˇemo odgovoriti na pitanje postavljeno na pocˇetku.
Primjer 1. Novcˇic´ se baca dok se ne pojavi pismo. Opisˇi vjerojatnosni prostor.
Izracˇunaj vjerojatnost dogadaja:
A = pismo se pojavilo u prvih pet bacanja,
B = pismo se uopc´e nije pojavilo.
. Skup elementarnih dogadaja je beskonacˇan i prebrojiv, Ω = fω 1; ω 2; : : :g .
gdje je
ω1 = P
P(ω1 ) = 1=2;
ω 2 = GP
P(ω2 ) = 1=4;
ω 3 = GGP
P(ω3 ) = 1=8;
..
.
ω n = G GP
P(ωn ) = 1=2n;
..
.
Odredimo dogadaje A , B i njihove vjerojatnosti. Vrijedi
A = fω 1; ω 2; ω 3; ω 4; ω 5 g;
X1
5
P(A) =
n=1
2n
=
31
:
32
Da bismo odredili vjerojatnost dogadaja B , definirajmo najprije
An = pismo se pojavilo u prvih n bacanja:
Neka je i
Bn = pismo se nije pojavilo u prvih n bacanja = An :
Vrijedi
1
2
P(An ) =
+
1
4
+
::: +
P(Bn ) = 1 ; P(An ) =
1
2n
B2 : : :
2n ; 1
;
2n
1
:
2n
Ocˇito je
B1
=
B=
i
1
\
Bn :
n=1
Zato po uvjetu neprekinutosti vjerojatnosti
P(B) = lim P(Bn ) = lim
!1
1
!1 2n
n
n
=
0: /
1.3. Modeli vjerojatnosnih prostora
Konacˇni vjerojatnosni prostor
Vjerojatnosni prostor Ω , koji posjeduje samo konacˇno mnogo elementarnih
dogadaja nazivamo konacˇni vjerojatnosni prostor. Oznacˇimo njegove elemente,
Ω = fω 1; ω 2; : : : ; ω N g . Dogadaj u ovakvu prostoru je svaki podskup od Ω . Vjerojatnost bilo kojeg dogadaja moc´i c´emo odrediti ako znamo vjerojatnosti elementarnih
dogadaja, tj. ako poznajemo brojeve
p1 = P(fω1 g);
..
.
pN = P(fωN g):
Ovi brojevi imaju svojstvo
p1 > 0; : : : ; pN > 0;
p1 + : : : + pN
=
1:
Zaista, kako je Ω = fω 1; ω 2; : : : ; ω N g , a elementarni dogadaji su medusobno
disjunktni, to je 1 = P(Ω) = P(fω1 g) + : : : + P(fωN g) .
bilo koji dogadaj. On se sastoji od nekoliko elementarnih
Neka je A 2
dogadaja:
A = fω i1 ; ω i2 ; : : : ; ω iM g:
F
Vjerojatnost dogadaja A racˇunamo tako da zbrojimo vjerojatnosti tih elementarnih
dogadaja
P(A) = pi1 + pi2 + : : : + piM :
Opisˇimo nekoliko jednostavnih modela konacˇnih vjerojatnosnih prostora.
Novcˇic´. Dva su elementarna dogadaja: ω 1 = P , ω2 = G . Ako je novcˇic´ ispravan i nacˇin njegova bacanja uobicˇajen, onda je prirodno pretpostaviti da su vjerojatnosti
pojavljivanja obaju ovih dogadaja jednake: p1 = P(fω1 g) = 12 , p2 = P(fω2 g) = 12 .
Neispravni novcˇic´.
Josˇ uvijek postoje dva elementarna dogadaja ω 1 = P ,
G . Medutim, zbog nesimetricˇnosti novcˇic´a ili mozˇda zbog nacˇina njegova
bacanja, jedna njegova strana, recimo P , pojavljuje se cˇesˇc´e nego druga. Sad je
p1 > p2 .
ω2
=
Kocka.
Za ispravnu kocku prirodno je uzeti pi = P(fωi g) = 16 , za svaku
od sˇest moguc´nosti na koje kocka mozˇe pasti. Za dogadaje vezane uz pokus bacanja
kocke imamo na primjer:
3
P(fpao je paran brojg) = P(f2; 4; 6g) = ;
6
4
P(fpao je broj vec´i od 2g) = P(f3; 4; 5; 6g) = :
6
ˇ
Bacanje dvaju novcˇic´a. Cetiri su elementarna dogadaja, iako na prvi pogled
postoje tri razlicˇita ishoda: dva pisma, pismo i glava, te dvije glave:
ω1
ω2
ω3
ω4
— palo je
— palo je
— palo je
— palo je
1. novcˇic´
2. novcˇic´
P
P
G
G
P
G
P
G
Da bismo laksˇe mogli razlikovati elementarne dogadaje ω 2 i ω3 , mozˇemo zamisliti
da bacamo dva razlicˇita novcˇic´a ili da jedan novcˇic´ bacamo dva puta!
Bacanje dvaju novcˇic´a, drugi model. Po pisanim dokumentima, francuski je
veliki matematicˇar i enciklopedist d’Alembert (1717–1783) u ovom primjeru postavio
samo tri elementarna dogadaja:
ω1
ω2
ω3
fpala su dva pismag;
fpalo je jedno pismo i jedna glavag;
= fpale su dvije glaveg:
=
=
I ovaj je pristup ispravan! Medutim, vjerojatnosti ovih elementarnih dogadaja nisu
jednake, 1 vec´ mora biti P(ω1 ) = 14 , P(ω2 ) = 12 , P(ω3 ) = 14 .
Bacanje dviju kocki. Postoji 36 elementarnih dogadaja. Da bismo razlikovali
dogadaje poput (2; 5) i (5; 2) , mozˇemo zamisliti da su kocke obojene razlicˇitim bojama ili pak da umjesto dvije kocke istovremeno, bacamo jednu kocku dva puta tako
da znamo koji je rezultat na prvoj, a koji rezultat na drugoj kocki. Ako su kocke i
nacˇin bacanja ispravni, prirodno je pretpostaviti da su svi elementarni dogadaji jednako
vjerojatni.
1
Veliki autoritet d’Alembert tvrdio je da su sva tri elementarna dogadaja jednako vjerojatna
Primjer 1. Izvlacˇimo na srec´u jednu kartu iz snopa od 52 karte. Kolika je vjerojatnost da je ta karta Q (dama). Kolika je vjerojatnost da je njezina boja  (pik).
Kolika je vjerojatnost da je ta karta dama ili pik boje?
. Oznacˇimo s A i B dogadaje:
A = fizabrana karta je damag;
B = fizabrana karta je pik bojeg:
4
1
. 13 je karata
Kako postoje cˇetiri dame, vjerojatnost dogadaja A je P(A) =
=
52
13
13
1
pik boje pa je P(B) =
. Trec´i je dogadaj C unija prvih dvaju. Prvi dojam
=
52
4
da je broj povoljnih ishoda jednak 17 = 4 + 13 pogresˇan je, jer dogadaji A i B
16
4
nisu disjunktni. Njihov je presjek AB pikova dama! Zato je P(C) =
=
.
52
13
1
Primjetimo da je ovdje P(AB) =
i da vrijedi:
52
4
1
1
1
=
+
;
= P(A) + P(B) ; P(AB): /
P(A [ B) = P(C) =
13
13 4 52
Klasicˇni vjerojatnosni prostor
Promatrajmo pokus koji ima konacˇno mnogo ishoda i u kojem je razumno pretpostaviti da su svi elementarni dogadaji jednako vjerojatni (poput bacanja ispravnog
novcˇic´a, kocke, izvlacˇenja broja u LOTU, lutriji ili ruletu, izbor karte iz snopa i sl.).
Neka je Ω = fω 1; : : : ; ω N g skup svih elementarnih dogadaja i p1; : : : ; pN pripadne vjerojatnosti. Kako su svi ti brojevi jednaki, a njihov je zbroj 1, vrijedi
1
pi = P(fωi g) = ; i = 1; : : : ; N:
N
Ovakav vjerojatnosni prostor nazivamo klasicˇni vjerojatnosni prostor jer se problemi
iz kojih je iznikla teorija vjerojatnosti mogu opisati ovim modelom.
1eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee2
Pierre de Fermat (Beamont-de-Lomagne 17. kolovoza 1601.
– Castres ili Toulouse 12. sijecˇnja 1665.) francuski je matematicˇar. Po zanimanju bio je pravnik. Za zˇivota nije objavljivao
svoje matematicˇke radove, vec´ je to ucˇinjeno tek nakon njegove
smrti. Zajedno s Pascalom drzˇi se osnivacˇem teorije vjerojatnosti. Pomogao je u zasnivanju analiticˇke geometrije kao i
diferencijalnog i integralnog racˇuna. U fizici je dokazao da se
zraka svjetlosti lomi tako da svjetlo bira put koji c´e prevaliti u
najkrac´em vremenu. Najpoznatiji je po tvrdnji nazvanoj njemu
u cˇast velikim (ili posljednjim) Fermatovim teoremom u kojoj
navodi da jednadzˇba xn + y n = zn nema cjelobrojnih rjesˇenja
za prirodni broj n > 2 . Fermat je na rubu knjige napisao da je
pronasˇao cˇudnovat dokaz te tvrdnje, no da je margina premalena
da ga zapisˇe. Tu tvrdnju preko tri stotine godina nije nitko uspio
dokazati, iako je bilo objavljeno na desetke pogresˇnih rjesˇenja a
broj matematicˇara i inih koji su problem pokusˇali rijesˇiti mjeri
se stotinama tisuc´a. Pri pokusˇaju njegova rjesˇavanja zasnovana
su cˇitava nova podrucˇja matematike. Dokazao ga je 1995. g.
engleski matematicˇar A. Wiles slozˇenom matematicˇkom tehnikom.
Neka je A Ω bilo koji dogadaj. Da bismo izracˇunali vjerojatnost dogadaja A ,
nije nam visˇe potrebno znati koje elementarne dogadaje A sadrzˇi, vec´ samo njihov
broj. Naime, ako A sadrzˇi M elementarnih dogadaja, A = fω i1 ; : : : ; ω iM g , tad je
1
M
P(A) = pi1 + : : : + piM = M = :
N
N
Ovu formulu mozˇemo interpretirati na sljedec´i nacˇin: Svaki elementarni dogadaj
nazovimo moguc´im ishodom (svi su jednako vjerojatni). Tako je
N = broj svih moguc´ih ishoda:
Elementarne dogadaje koji su sadrzˇani u A nazovimo povoljnima za dogadaj A :
M = broj svih povoljnih ishoda:
Klasicˇna vjerojatnost
U klasicˇnom vjerojatnosnom prostoru vjerojatnost dogadaja racˇuna se
formulom:
M
broj povoljnih ishoda
P(A) =
=
:
N
broj moguc´ih ishoda
Racˇunanje vjerojatnosti u klasicˇnom vjerojatnosnom prostoru povezano je s prebrojavanjem elemenata konacˇnih skupova, cˇime se bavi kombinatorika. Stoga je za
rjesˇavanje slozˇenijih zadataka nuzˇno poznavanje temeljnih pojmova kombinatorike,
sto c´emo ostaviti za naredno poglavlje i nakon toga navesti neke modele konacˇnog
vjerojatnosnog prostora.
Prebrojivi vjerojatnosni prostor
Pretpostavimo da je Ω beskonacˇan prebrojiv skup:
Ω = fω 1; ω 2; : : :g:
I sada c´e algebra svih dogadaja biti
= P (Ω) , skup svih podskupova od Ω . Ona
zadovoljava uvjet
F
An
2 F =)
1
[
An
2 F:
n=1
F
tako da je
σ -aditivna
Vjerojatnost P na algebri
1 X
1
[
P
An
n=1
=
F mora zadovoljavati uvjet prebrojive aditivnosti:
P(An );
ako je An Am
=
; za sve n 6= m .
n=1
Kao i prije, P je zadana ako su zadani brojevi pi
1
X
i=1
pi
=
1
X
i=1
=
P(ωi ) > 0 . Pri tom je
P(ωi ) = P(Ω) = 1:
Medutim, svi dogadaji ωi ne mogu biti jednako vjerojatni, tako da klasicˇna definicija vjerojatnosti gubi smisao.
Geometrijska vjerojatnost
Zamislimo pokus u kojem biramo na slucˇajan nacˇin tocˇku unutar kvadrata Ω sa
stranicom duljine a . Istaknimo neke podskupove tog kvadrata. Neka je A polovina
kvadrata ispod dijagonale. Neka je B trokut dobiven spajanjem polovisˇta susjednih
stranica.
B
Sl. 1.11. Geometrijska vjerojatnost: vjerojatnost da na srec´u odabrana tocˇka
unutar nekog skupa padne u neki njegov podskup jednaka je omjeru povrsˇina
podskupa prema povrsˇini cijeloga skupa
A
Biramo li tocˇku unutar kvadrata, mozˇemo se upitati kolika je vjerojatnost da c´e
ta tocˇka biti izabrana unutar nekih od ovih podskupova. U ovdje opisanom pokusu
prirodno je sljedec´im dogadajima pridruzˇiti vjerojatnosti:
P(A) = Pftocˇka je pala u skup Ag =
1 2
2a
=
a2
1
;
2
1 2
a
1
P(B) = Pftocˇka je pala u skup Bg = 8 2 = :
a
8
Te smo vjerojatnosti dobili promatrajuc´i omjer povrsˇina podskupova i cˇitava kvadrata.
Opisˇimo opc´enitu situaciju.
Geometrijska vjerojatnost
Neka je Ω ogranicˇeni podskup n -dimenzionalnog prostora R n ( n =
1; 2; 3 ). Pretpostavit c´emo da je Ω izmjeriv skup, tj. da postoji njegova
mjera m(Ω) (duljina za n = 1 , povrsˇina za n = 2 , obujam za n = 3 ).
Neka je A izmjeriv podskup od Ω . Kazˇemo da biramo tocˇku na srec´u
unutar skupa Ω , ako je vjerojatnost da ona bude izabrana unutar podskupa
A jednaka
m(A)
:
(1)
P(A) =
m(Ω)
Ovako definiranu vjerojatnost nazivamo geometrijska vjerojatnost.
Formulom (1) uistinu je definirana vjerojatnost. Provjerimo jesu li ispunjena
svojstva vjerojatnosti 1 – 3 .
1 . U geometrijskoj vjerojatnosti nemoguc´ dogadaj je izbor tocˇke unutar praznog
skupa. Mjera praznog skupa je 0, pa je:
m(;)
m(Ω)
P(Ω) =
= 0;
= 1:
P(;) =
m(Ω)
m(Ω)
2 . Ako su A i B podskupovi od Ω takvi da je A B , onda je m(A) ? m(B) .
Zato:
m(A)
P(A) =
? mm((ΩB)) = P(B):
m(Ω)
3 . Ako su A i B disjunktni podskupovi od Ω , onda je mjera njihove unije
jednaka zbroju mjera pojedinih skupova. Zato je vjerojatnost da tocˇka bude izabrana
unutar jednog od podskupova jednaka:
m(A [ B)
m(A)
m(B)
P(A [ B) =
=
+
= P(A) + P(B):
m(Ω)
m(Ω) m(Ω)
Primjer 2. Biramo na srec´u tocˇku unutar kvadrata Ω sa stranicom duljine a .
Kolika je vjerojatnost da ona padne unutar kruga upisanog u taj kvadrat?
. Neka je A trazˇeni dogadaj. Povrsˇina kruga je:
a 2
m(A) =
π;
2
pa je odgovarajuc´a vjerojatnost:
P(A) =
m(A)
m(Ω)
=
1 2
aπ
4
=
a2
π
4
: /
Primjer 3. Trenutak u kojem c´e signal stic´i do prijemnika je na srec´u odabrani
trenutak unutar intervala [0; T ] . Prijemnik nec´e registrirati drugi signal, ukoliko je
razlika izmedu dva uzastopna signala manja od τ , τ T . Odredi vjerojatnost da
prijemnik nec´e registrirati drugi signal.
. Ako je X trenutak prijema prvog signala, a Y
trenutak prijema drugog signala, taj drugi signal nec´e
biti registriran ako je jX ; Y j < τ . X i Y su dva na
srec´u izabrana broja unutar intervala [0; T ]
Pfjx ;y j < τ g = Pfx ; τ < y < x + τ g
m(G)
= Pf(x; y ) 2 Gg =
m(S)
T 2 ; (T ; τ )2
=
:/
T2
Sl. 1.12.
Primjer 4. Buffonov problem. Ravnina je podijeljena paralelnim pravcima koji
su udaljeni jedan od drugog za 2a . Na tu se ravninu baca na srec´u igla duljine 2l ,
(l < a) . Izracˇunaj vjerojatnost da igla presjeca neki pravac.
. Oznacˇimo sa x udaljenost sredisˇta igle to najblizˇeg pravca, sa ϕ (manji) kut kojeg
igla zatvara s tim pravcem. Igla se baca na srec´u trebamo prevesti sa: x i ϕ se
biraju na srec´u unutar intervala [0; a] , [0; π ] , neovisno jedan o drugom. Polozˇaj igle
jednoznacˇno je odreden izborom para (x; ϕ ) . Njega pak biramo unutar pravokutnika
S (slika 3.9).
Sl. 1.13.
Igla c´e sijec´i pravac ako je x < l sin ϕ : Neka je
G = f(x; ϕ ) : x < l sin ϕ g:
Tada imamo
π
m(G)
1
2l
p=
=
l sin ϕ dϕ =
:
m(S)
aπ 0
aπ
Z
2l
. Pri velikom broju bacanja,
ap
vjerojatnost p mozˇemo aproksimirati relativnom frekvencijom. Tako dobivamo
2ln
π
:
am
Ponavljanjem pokusa moguc´e je dobiti priblizˇnu vrijednost broja π . Medu svima koji
su na ovaj nacˇin isprobavali stohasticˇke zakone i ispravnost bacanja obicˇno se spominju
Wolf koji je 1850. bacio iglu 5000 puta, dobivsˇi π 3; 1596 te Lazzarini koji je 1901.
iz 3408 pokusˇaja dobio sumnjivo tocˇan rezultat π 3; 1415929 . /
Iz ove formule mozˇemo izraziti broj π : π
=
Zadatci 1.3.
1.
U jednakokracˇnom trokutu osnovice a i visine a upisan je kvadrat. Kolika je vjerojatnost da
na srec´u odabrana tocˇka u trokutu ne lezˇi unutar tog kvadrata?
2.
Na kvadraticˇno ispletenu mrezˇicu pada s velike visine metalna kuglica okomito na mrezˇicu.
Ako je stranica kvadrata mrezˇice duga 10 mm, a promjer kuglice 5 mm, kolika je vjerojatnost
da c´e kuglica proc´i kroz mrezˇicu, a da ne dotakne njezine niti?
3.
Na ravninu na kojoj su istaknute tocˇke s cjelobrojnim koordinatama bacˇen je novcˇic´ promjera
0:5 jedinica. Kolika je vjerojatnost da novcˇic´ nec´e pokriti nijednu istaknutu tocˇku?
4.
Dva broja biraju se na srec´u unutar intervala [0; 1] . Kolika je vjerojatnost da je njihov zbroj
vec´i od 3 ?
2
Unutar intervala [0; 1] na srec´u se biraju dvije tocˇke koje ga dijele na tri dijela. Kolika je
vjerojatnost da se od tih dijelova mozˇe sastaviti trokut?
5.
1.4. Nezavisnost dogadaja. Uvjetna vjerojatnost
Pri bacanju jedne kocke, vjerojatnost da se pojavi broj 1 jednaka je 16 . Nakon
bacanja mi sa sigurnosˇc´u znamo je li se taj dogadaj realizirao ili nije. Pretpostavimo
medutim da je netko pogledao na kocku koju mi ne vidimo i kazao nam: kocka je
pala na neparan broj. Kolika je sad vjerojatnost da je ona pala na broj 1 ? Ocˇito, ta se
vjerojatnost promijenila. Kako su nam preostale samo tri moguc´nosti, brojevi 1 , 3 i
5 , ta je vjerojatnost sad 13 .
Evo josˇ jednog primjera.
Bacamo dvije kocke. Neka je:
A = fna prvoj kocki pao je broj 2g;
B = fzbroj brojeva na obje kocke je 6g:
Od 36 elementarnih dogadaja, dogadajima A i B pripadaju sljedec´i
A = f(2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (2; 6)g;
B = f(1; 5); (2; 4); (3; 3); (4; 2); (5; 1)g:
Zato je:
P(A) =
6
;
36
P(B) =
5
:
36
Kolika je vjerojatnost dogadaja A , ako je poznato da se realizirao dogadaj B ?
U tom je slucˇaju dovoljno samo promotriti elementarne dogadaje koji sacˇinjavaju B
(jer samo neki od njih dolazi u obzir) i medu njima traz
ˇ iti one povoljne za dogadaj
A — time trazˇimo elementarne dogadaje za umnozˇak AB tih dogadaja. Ova vjerojatnost ovisi o dogadaju B , nazivamo je uvjetna vjerojatnost i biljezˇimo ju simbolom
PB . Uvjetnu vjerojatnost PB (A) dogadaja A cˇitamo: vjerojatnost od A uz uvjet B .
Imamo:
PB (A) = 15
jer je samo dogadaj (2; 4) povoljan za A .
Definicija uvjetne vjerojatnosti
Da bismo dosˇli do opc´enite formule za uvjetnu vjerojatnost, primijetimo da brojnik 1 oznacˇava broj elementarnih dogadaja koji su povoljni i za dogadaj A i za dogadaj
B . Naime, vrijedi AB = f(2; 4)g . Stoga ovu vjerojatnost mozˇemo pisati i u obliku:
PB (A) =
1
5
1
36
= 5 =
36
P(AB)
:
P(B)
Ovo razmatranje ukazuje na opravdanost sljedec´e definicije.
Uvjetna vjerojatnost
F
Neka je B 2
dogadaj pozitivne vjerojatnosti: P(B) > 0 . Uvjetna
vjerojatnost uz uvjet B je funkcija PB :
! [0; 1] definirana formulom
P(AB)
PB (A) :=
;
8A 2 :
(1)
P(B)
F
F
Lako se je uvjeriti da je formulom (1) uistinu definirana vjerojatnosna funkcija.
Naime vrijedi,
P(B \ Ω)
P(B)
PB (Ω) =
=
=1
P(B)
P(B)
i slicˇno za P(;) . Monotonost i aditivnost dokazuju se takoder po definiciji (1),
korisˇtenjem istovjetnih svojstava vjerojatnosne funkcije P .
Uobicˇajeno je da se uvjetna vjerojatnost PB oznacˇava i formulom P( j B) , dakle
za vjerojatnost dogadaja A uz uvjet B pisat c´emo P(A j B) umjesto PB (A) .
Primjer 1. Dva broja x i y , biramo na srec´u unutar intervala [0; 2] . Kolika je
vjerojatnost da je x > 1 ako je poznato da vrijedi x + y > 2 ?
. Oznacˇimo dogadaje A = fx >
1g , B = fx + y > 2g . Trazˇimo uvjetnu vjerojatnost P(A j B) . Tocˇka s koordinatama (x; y ) je na srec´u odabrana
tocˇka unutar kvadrata Ω stranice 2 (slika 1.14). Izracˇunajmo vjerojatnost dogadaja B i AB :
m(B)
2
1
=
= ;
P(B) =
m(Ω)
4
2
m(AB)
3=2
3
=
P(AB) =
= :
m(Ω)
4
8
Zato je
3
P(AB)
8 = 3: /
P(A j B) =
=
1
P(B)
4
2
x=1
x+y=2
2
B
1
A
1
2
Sl. 1.14.
Definicijsku formulu (1) za racˇun uvjetne vjerojatnosti mozˇemo napisati ovako
(2)
P(AB) = P(B)P(A j B)
Ova se formula koristi u racˇunanju vjerojatnosti umnosˇka dvaju dogadaja. Naime,
uvjetna se vjerojatnost, za razliku od vjerojatnosti umnosˇka, lagano racˇuna.
Ako zamijenimo dogadaje A i B (koji oboje imaju pozitivnu vjerojatnost), dobit
c´emo istovrsnu formulu
P(AB) = P(A)P(B j A):
(3)
Primjer 2. U zˇari se nalazi sˇest bijelih i cˇetiri crne kuglice. Kolika je vjerojatnost
da c´e prve dvije kuglice koje izvucˇemo biti bijele?
. Mozˇemo zamisliti da kuglice izvlacˇimo jednu po jednu. Neka su A i B
dogadaji
A = fprva kuglica je bijelag;
B = fdruga kuglica je bijelag:
Tad je AB dogadaj cˇiju vjerojatnost trazˇimo. Ocˇito je:
6
P(A) =
:
10
Nakon sˇto izvucˇemo prvu kuglicu, u zˇari je preostalo devet kuglica, od kojih je pet
bijelih. Stoga je:
5
P(B j A) =
9
i po formuli (3) slijedi:
6 5
P(AB) = P(A)P(B j A) =
= 13 : /
10 9
Na slicˇan c´emo nacˇin racˇunati i vjerojatnost produkta visˇe dogadaja. Na primjer
P(ABC) = P(A)P(B j A)P(C j AB):
Moguc´e su i druge kombinacije dogadaja s desne strane.
Primjer 3. Kolika je vjerojatnost da tri na srec´u odabrane karte iz snopa od 52
karte budu tref boje?
. Oznacˇimo s A trazˇeni dogadaj i neka je Ai = fi -ta karta je tref boje g ,
i = 1; 2; 3 . Tad je A = A1 A2 A3 i racˇunamo vjerojatnost po formuli:
P(A) = P(A1 )P(A2 j A1 )P(A3 j A1 A2 ):
Pojedine vjerojatnosti su
13
P(A1 ) =
, u snopu ima 13 karata tref boje,
52
12
, nakon sˇto je prva izvucˇena, preostalo ih je 51 od kojih je 12
P(A2 j A1 ) =
51
tref boje,
11
.
P(A3 j A1 A2 ) =
50
Dakle,
13 12 11
P(A) =
= 0:013: /
52 51 50
Nezavisnost dogadaja
Promotrimo sljedec´u inacˇicu primjera iz prosˇle tocˇke:
Primjer 4. U zˇari se nalazi sˇest bijelih i cˇetiri crne kuglice. Izvlacˇimo jednu po
jednu dvije kuglice. Kolika je vjerojatnost da c´e druga kuglica biti bijela, ako je prva
kuglica bila bijela. Kolika je ta vjerojatnost ako je prva kuglica bila crna? Izracˇunajmo
obje ove vjerojatnosti u sljedec´e dvije situacije:
a) prva se kuglica nakon izvlacˇenja ne vrac´a u zˇaru
b) prva se kuglica nakon izvlacˇenja vrac´a u zˇaru.
. Oznacˇimo s A i B dogadaje
A = fprva kuglica je bijelag;
B = fdruga kuglica je bijelag:
Trazˇimo uvjetne vjerojatnosti P(B j A) i P(B j A) . Ocˇito je
6
4
;
P(A) =
:
10
10
a) Nakon izvlacˇenja prve kuglice, u zˇari imamo jednu kuglicu manje. Zato je
P(A) =
5
6
P(B j A) = ;
P(B j A) = :
9
9
b) Ako kuglicu nakon izvlacˇenja vratimo u zˇaru, prije izvlacˇenja druge kuglice
imat c´emo identicˇnu situaciju: sˇest bijelih i cˇetiri crne kuglice, bez obzira je li se
ostvario dogadaj A ili nije:
P(B j A) =
6
6
;
P(B j A) =
10
10
Kazˇemo da realizacija dogadaja A ne utjecˇe na vjerojatnost realizacije dogadaja
B. /
Neka dogadaji A i B imaju pozitivnu vjerojatnost.
Neka je P(B j A) = P(B) , tj. vjerojatnost dogadaja B ne mijenja se nakon sˇto
nam je poznato da se realizirao dogadaj A . Tad kazˇemo da su A i B nezavisni
dogadaji.
U tom slucˇaju vrijedi
P(AB) = P(A)P(B j A) = P(A)P(B):
Ako je pak ispunjena ova jednakost, onda za uvjetnu vrijedi
P(B j A) =
P(AB)
P(A)
=
P(A)P(B)
P(A)
=
P(B):
P(A j B) =
P(AB)
P(B)
=
P(A)P(B)
P(B)
=
P(A):
Isto tako, bit c´e
Ovdje zahtjevamo da oba dogadaja imaju pozitivne vjerojatnosti:
P(B) > 0 .
P(A) > 0 i
Definicija i kriterij nezavisnosti dogadaja
Dogadaji A i B nezavisni su ako vrijedi P(A j B)
P(B j A) = P(B) .
Nuzˇdan i dovoljan uvjet za nezavisnost jest da bude:
P(AB) = P(A)P(B):
=
P(A) ili
(4)
Primjer 5. Ako su dogadaji A i B nezavisni, tad nije posve ocˇito da su nezavisni
i njihovi komplementi A i B . Pokazˇimo to koristec´i ovaj kriterij nezavisnosti.
P(A)P(B) = (1 ; P(A))(1 ; P(B))
= 1 ; P(A) ; P(B) + P(A)P(B)
= 1 ; P(A) ; P(B) + P(AB)
= 1 ; P(A [ B)
= P(A [ B)
= P(A B)
(nezavisnost
od A i B)
(vjerojatnost unije dogadaja)
(vjerojatnost komplementa)
(de Morganov zakon)
Dobili smo P(A B) = P(A)P(B) pa su A i B nezavisni. /
Primjer 6. Bacamo dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da broj na prvoj bude
paran, a na drugoj manji od 3 ?
. Rezultat na jednoj kocki nezavisan je od toga sˇto c´e se pojaviti na drugoj kocki.
Vjerojatnost pojave parnog broja na prvoj kocki je 12 , vjerojatnost da broj na drugoj
bude manji od 3 je 13 . Trazˇeni dogadaj produkt je ovih dvaju. Stoga je njegova
vjerojatnost 12 13 = 16 . /
Nezavisnost skupine dogadaja definira se na slozˇeniji nacˇin. Tako na primjer, ako
su A , B i C po volji odabrani dogadaji, onda imamo
P(ABC) = P(A) P(B j A) P(C j AB):
Nezavisnost triju dogadaja znacˇi da c´e sve uvjetne vjerojatnosti u kojima se ti dogadaji
javljaju biti jednake bezuvjetnima. Na primjer: P(B j A) = P(B) , P(C j AB) = P(C)
i slicˇno za druge moguc´e kombinacije. Tako za nezavisne dogadaje A , B i C vrijedi
P(ABC) = P(A)P(B)P(C):
Slicˇno vrijedi i za visˇe od tri dogadaja. Ako su A1 ,: : : , An nezavisni, onda je:
P(A1 A2 An ) = P(A1 )P(A2 ) P(An ):
Primjer 7. Serijski spoj. Proizvodnja nekog proizvoda organizirana je na traci
koja se sastoji od n dijelova, od kojih svaki radi neovisno o ostalima. Ako barem jedan
od dijelova prestane s radom, prestaje i cjelina:
A1
An
A2
...
Sl. 1.15.
Vjerojatnost da j -ti dio nec´e otkazati tijekom dana jednaka je rj . Kolika je vjerojatnost
da c´e cˇitava traka raditi ispravno u tom danu?
. Oznacˇimo s Aj dogadaj
Aj = f j -ti dio je ispravang
i neka je
A = fcˇitava traka je ispravnag:
Dogadaj A ostvarit c´e se ako se ostvare svi dogadaji A1; : : : ; An . Dakle,
A = A 1 A2 An :
Zbog nezavisnosti
P(A) = P(A1 ) P(An ) = r1 rn :
Na primjer, za n = 5 i r1 = : : : = r5 = 0:9 dobivamo P(A) = 0:9n = 0:59 .
Vjerojatnost ispravnog rada serijski spojenog sklopa brzo opada s brojem elemenata u sklopu. /
Primjer 8. Paralelni spoj. Uz iste oznake kao i prije, izracˇunajmo vjerojatnost
ispravnog rada za proces proizvodnje u kojem se na nekoliko mjesta obavlja istovrsna
radnja:
A1
A2
...
An
Sl. 1.16.
. Ovaj c´e se put proces odvijati ako je ispravan bar jedan njegov dio. Zato je
A = A 1 [ A2 [ [ An :
Vjerojatnost ove unije nije lako direktno izracˇunati.
Promotrimo suprotan dogadaj A : proizvodnja je prestala. Ocˇigledno, on c´e se
ostvariti ako su u kvaru svi elementi, tj. ako se ostvare svi dogadaji A1; : : : ; An . Po de
Morganovim zakonima vrijedi
A = A 1 A2 An
Dogadaji A1; : : : ; An takoder su nezavisni. Zato je
P(A) = P(A1 ) P(An );
tj.
1 ; P(A) = (1 ; P(A1 )) (1 ; P(An ));
P(A) = 1 ; (1 ; r1 ) (1 ; rn ):
S vrijednostima iz prosˇlog primjera imali bismo P(A) = 1 ; 0:15 1 . Paralelnim
organiziranjem procesa postizˇe se velika pouzdanost ispravnog rada. /
Rezultat P(A) 1 ne znacˇi da sklop ne mozˇe nikako biti u kvaru, vec´ samo da
je vjerojatnost takva dogadaja zanemariva. Za takav dogadaj kazˇemo da je prakticˇki
siguran.
Formula potpune vjerojatnosti
Pri racˇunanju vjerojatnosti ponekad moramo sve moguc´e ishode podijeliti u razlicˇite klase. Ilustrirajmo to primjerom.
Primjer 9. Voc´arnica se opskrbljuje jabukama iz dvaju voc´njaka, i to 60% potrebne kolicˇine iz prvog i 40% iz drugog voc´njaka. 15% jabuka prvog voc´njaka prve su
kvalitete, dok to vrijedi za 25% jabuka drugog voc´njaka. Kolika je vjerojatnost da na
srec´u odabrana jabuka bude prve kvalitete?
. Odaberemo na srec´u jednu jabuku u voc´arnici. Dvije su moguc´nosti:
H1 = fodabrana je jabuka iz prvog voc´njakag;
H2 = fodabrana je jabuka iz drugog voc´njakag:
Vjerojatnosti da se ostvari neki od ovih dogadaja su
P(H1 ) = 0:6;
P(H2 ) = 0:4 :
Neka je A trazˇeni dogadaj:
A = fodabrana jabuka prve je kvaliteteg:
Ilustrirajmo ovu situaciju slikom:
H2
H1
Sl. 1.17. Vjerojatnost dogadaja laksˇe
se racˇuna ako promotrimo zasebno
razlicˇite situacije koje se pri njegovoj
realizaciji mogu ostvariti
AH1
AH 2
A
Dogadaj A razbili smo na dva disjunktna dogadaja:
AH1 = fodabrana jabuka prve kvalitete potjecˇe iz prvog voc´njakag;
AH1 = fodabrana jabuka prve kvalitete potjecˇe iz drugog voc´njakag:
Zato je
P(A) = P(AH1 ) + P(AH2 ):
Vjerojatnosti umnosˇka dogadaja racˇunamo na poznati nacˇin:
P(AH1 ) = P(H1 ) P(A j H1 ):
Vjerojatnost da je jabuka prve kvalitete, ako je poznato da potjecˇe iz prvog voc´njaka
je, prema podacima
P(A j H1 ) = 0:15
)
P(AH1 ) = 0:6 0:15 = 0:09 :
)
P(AH2 ) = 0:4 0:25 = 0:10 :
=
Analogno tome vrijedi
P(A j H2 ) = 0:25
=
Sad dobivamo
P(A) = P(AH1 ) + P(AH2 ) = 0:09 + 0:10 = 0:19 : /
Poopc´imo ovo razmatranje na slucˇaj kad se mozˇe pojaviti visˇe razlicˇitih moguc´nosti.
Pretpostavimo da skup elementarnih dogadaja mozˇemo rastaviti u n medusobno
disjunktnih dogadaja:
Ω = H1 [ H2 [ : : : [ Hn
pri cˇemu su dogadaji Hi , Hj disjunktni su za i 6= j i vrijedi P(Hi ) > 0 za svaki i .
Ovakav rastav nazivamo particija vjerojatnostnog prostora. Kazˇemo josˇ da familija
H1; : : : ; Hn cˇini potpun sustav dogadaja.
H1
H2
Hn
A
AH1
AH2
AH n
Sl. 1.18. Particija vjerojatnosnog prostora. Skup Ω razbijen je na medusobno
disjunktne skupove. Time je i svaki dogadaj A razbijen na medusobno disjunktne
dogadaje
Neka je A Ω bilo koji dogadaj. Familijom H1; : : : ; Hn i on je razbijen na
medusobno disjunktne dogadaje:
A = AH1 [ AH2 [ [ AHn :
Kako su dogadaji AHi medusobno disjunktni, vrijedi:
P(A) = P(AH1 ) + P(AH2 ) + : : : + P(AHn )
= P(H1 )P(A j H1 ) + : : : + P(Hn )P(A j Hn ):
Formula potpune vjerojatnosti
Neka je fH1; : : : ; Hn g potpun sustav dogadaja. Za svaki dogadaj A Ω
vrijedi
P(A) = P(H1 )P(A j H1 ) + P(H2 )P(A j H2 ) + : : : + P(Hn )P(A j Hn )
X
n
=
P(Hi )P(A j Hi ):
i=1
Korisno je, zbog razloga koji c´e kroz primjere i zadatke postati jasnim, dogadaje
H1; : : : ; Hn zvati hipotezama. Tijekom realizacije nekog pokusa ostvaruje se tocˇno
jedna hipoteza.
Primjer 10. U prvoj kutiji nalaze se tri crvene i dvije plave kuglice, a u drugoj
cˇetiri crvene i dvije plave. Odaberemo na srec´u jednu kuglicu iz prve kutije i prebacimo
je u drugu. Kolika je vjerojatnost da c´e kuglica nakon toga izvucˇena na srec´u iz druge
kutije biti plava?
. Vjerojatnost izbora plave kuglice ovisi o tome koje je boje kuglica koja je
prebacˇena iz prve kutije u drugu. Postavimo sljedec´e hipoteze:
fprva kuglica je crvenag;
3
P(H1 ) = ;
5
2
H2 = fprva kuglica je plavag;
P(H2 ) = :
5
Oznacˇimo s A dogadaj cˇiju vjerojatnost trazˇimo: kuglica izvucˇena iz druge kutije je
plava. Ako se ostvari prva hipoteza, tad se u drugoj kutiji nalazi pet crvenih i dvije
plave kuglice. Zato je
2
P(A j H1 ) = :
7
Ako se ostvari druga hipoteza, tad se u drugoj kutiji nalaze cˇetiri crvene i tri plave
kuglice. Zato je
3
P(A j H2 ) = :
7
Po formuli potpune vjerojatnosti, vrijedi
3 2 2 3
11
P(A) = P(H1 )P(A j H1 ) + P(H2 )P(A j H2 ) = + = : /
5 7 5 7
35
H1
=
Bayesova formula
Iz poznatih relacija
P(AB) = P(A)P(B j A) = P(B)P(A j B)
mozˇemo napisati
P(B)P(A j B)
:
P(B j A) =
P(A)
Ovu formulu koristimo uglavnom onda kad je dogadaj B jedna od hipoteza
H1; : : : ; Hn na koje je razbijen skup Ω .
P(Hi )P(A j Hi )
:
P(Hi j A) =
P(A)
Pritom se vjerojatnost P(A) racˇuna uglavnom pomoc´u formule potpune vjerojatnosti. Tako dobivamo Bayesovu 1 formulu.
Bayesova formula
Vrijedi
P(Hi j A) =
P(Hi )P(A j Hi )
P(H1 )P(A j H1 ) + : : : + P(Hn )P(A j Hn )
=
P(Hi )P(A j Hi )
X
n
P(Hj )P(A j Hj )
:
j=1
Bayesovu formulu koristimo pri racˇunanju aposteriornih vjerojatnosti pojedinih
hipoteza. Prije pocˇetka pokusa svaka hipoteza ima svoju vjerojatnost realizacije P(Hi ) .
Nakon realizacije pokusa, ako znamo koji se elementarni dogadaj ostvario, tad je nestala neizvjesnost: ostvarila se samo jedna od moguc´ih hipoteza H1; : : : ; Hn , dok za
sve ostale znamo sa sigurnosˇc´u da se nisu ostvarile.
Pretpostavimo medutim da nam nije poznato koji se elementarni dogadaj ostvario, vec´ umjesto toga znamo da se ostvario dogadaj A Ω . U tom slucˇaju ne znamo
tocˇno koja je od hipoteza H1; : : : ; Hn nastupila, ali dodatna informacija o realizaciji
dogadaja A mijenja apriorne vjerojatnosti pojedinih hipoteza. Pomoc´u Bayesove
formule racˇunamo uvjetne vjerojatnosti P(H1 j A) ,: : : , P(Hn j A) , koje nazivamo
aposteriornim vjerojatnostima pojedinih hipoteza.
H1
H2
Hn
Sl. 1.19. Bayesova formula. Na slici je
interpretirana situacija kad su apriorne
vjerojatnosti svih hipoteza jednake. Nakon realizacije dogadaja A (sivo podrucˇje) vjerojatnosti se pojedinih hipoteza
mijenjaju
A
Primjer 11. Bacamo kocku. Neka su H1 i H2 hipoteze
H1 = fpao je parni brojg;
H2 = fpao je neparni brojg:
Prije bacanja kocke vjerojatnosti (apriorne) pojedinih hipoteza su
P(H1 ) = 12 ;
1
P(H2 ) = 12 :
Thomas Bayes (1702.–1761.), engleski matematicˇar
Bacili smo kocku i netko nam je priopc´io da se ostvario dogadaj
A = fpao je broj vec´i od 3g:
On sadrzˇi tri elementarna dogadaja, A = f4; 5; 6g . Ocˇigledno, sad hipoteza H 1 postaje vjerojatnija od H2 , buduc´i da dogadaj A sadrzˇi dva parna i samo jedan neparan
broj. Nove, aposteriorne vjerojatnosti su
P(H1 j A) =
P(H2 j A) =
P(H1 )P(A j H1 )
P(A)
P(H2 )P(A j H2 )
P(A)
=
=
1
2
23
1
2
1
2
13
1
2
=
2
;
3
=
1
:
3
Ako je pak poznato da se ostvario npr. dogadaj
B = fkocka je pala na broj 5g;
tad nestaje svaka neizvjesnost. Naime, vrijedi
P(B j H1 ) = 0; P(B j H2 ) = 13 ;
i Bayesova formula daje ocˇekivani rezultat:
P(H1 j B) = 0;
P(H2 j B) =
1
2
13
1
6
=
P(B) =
1
6
1;
buduc´i da uz ovu informaciju sa sigurnosˇc´u znamo da se ostvarila hipoteza H 2 .
Primjer 12. U zˇari se nalaze tri kuglice. Znamo da je svaka od njih bijele ili
crne boje. Tocˇan broj kuglica pojedine boje nepoznat je i pretpostavljamo da je svaka
moguc´nost jednako vjerojatna. Pretpostavimo cˇetiri hipoteze:
Hi = fu zˇari se nalazi i bijelih kuglicag; i = 0; 1; 2; 3:
Po pretpostavci je
P(H0 ) = P(H1 ) = P(H2 ) = P(H3 ) = 14 :
Izaberimo na srec´u jednu kuglicu iz zˇare. Ispostavilo se da je ona bijele boje. Sˇto
se sada mozˇe rec´i o vjerojatnostima pojedinih hipoteza? Hipoteza H0 postaje nemoguc´a, dok se i vjerojatnosti ostalih hipoteza mijenjaju. Vidjet c´emo da raste vjerojatnost
onih hipoteza koje zastupaju vec´i broj bijelih kuglica. Izracˇunajmo koliko. Vrijedi
P(A j H0 ) = 0;
P(A j H1 ) = 13 ;
P(A j H2 ) = 23 ;
P(A j H3 ) = 1:
Prema formuli potpune vjerojatnosti,
1
1 1 1 2 1
1
P(A) = 0 + + + 1 =
4
4 3 4 3 4
2
i Bayesova formula daje (provjerite!): P(H0 j A) = 0 , P(H1 j A)
1
1
3 , P(H3 j A) = 2 .
1
= 6
, P(H2 j A)
=
Zadatak 13. Neki izvor emitira poruke koje se sastoje od znakova 0 i 1 . Vjerojatnost emitiranja znaka 1 je 0; 6 , vjerojatnost emitiranja znaka 0 je 0; 4 . Na izlazu iz
kanala 10 % znakova se pogresˇno interpretira. Ako je primljena poruka 101, kolika je
vjerojatnost da je ona i poslana?
. Oznacˇimo dogadaje
A = fprimljen je znak 0g;
B = fprimljen je znak 1g;
H0 = fposlan je znak 0g;
H1 = fposlan je znak 1g;
D = fposlana je poruka 101, ako je primljena poruka 101g:
Vrijedi
P(H0 ) = 0; 4;
P(H1 ) = 0; 6;
P(A) = P(H0 )P(AjH0 ) + P(H1 )P(AjH1 ) = 0; 4 0; 9 + 0; 6 0; 1 = 0; 42;
P(B) = 1 ; P(A) = 0; 58:
Izracˇunajmo sada vjerojatnosti da su pojedini znakovi bili pravilno primljeni.
P(H0 )P(AjH0 )
0; 36
= 0; 857;
=
P(H0 jA) =
P(A)
0; 42
P(H1 )P(BjH1 )
0; 54
P(H1 jB) =
= 0; 931:
=
P(B)
0; 58
Prijemovi pojedinih znakova su nezavisni dogadaji, zato je
P(D) = P(H1 jB)P(H0 jA)P(H1 jB)
= 0; 931 0; 857 0; 931 = 0; 743:/
Zadatci 1.4.
1.
Bacˇene su dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da se pojavio broj 6 ako je poznato da je zbroj
znamenaka jednak osam?
2.
Dva su igracˇa bacila kocku i prvi je igracˇ dobio vec´i broj od drugog igracˇa. Kolika je vjerojatnost
da je taj broj jednak 6?
3.
Ispravan novcˇic´ baca se deset puta. Kolika je vjerojatnost da c´e svih deset puta pasti pismo,
ako je poznato da je pismo palo devet puta?
4.
Istovremeno se bacaju novcˇic´ i kocka. Kolika je vjerojatnost dogadaja A = pojavili su se
grb i sˇestica , B = pojavili su se grb ili sˇestica , C = na kocki se pojavio broj vec´i
od 4 ?
g
g
f
g
f
f
5.
Strijelac gada metu dok je ne pogodi. Vjerojatnost pogotka u svakom gadanju je 0.6. Izracˇunajte vjerojatnost sljedec´ih dogadaja:
31. meta je pogodena u trec´em pookusˇaju;
31. meta je pogodena u prva tri pokusˇaja;
31. meta je pogodena nakon petog pokusˇaja.
6.
7.
Dogadaji A i B disjunktni su. Mogu li oni biti nezavisni?
Vjerojatnosti pogotka u metu za svakog od tri strijelca su redom 0.8, 0.6, 0.5. Kolika je
vjerojatnost da c´e meta biti pogodena tocˇno jednom?
8.
Dva strijelca gadaju u istu metu. Vjerojatnosti njihovih pogodaka su 0:4 i 0:8 . Kolika je
vjerojatnost da c´e meta biti pogodena? Ako je pogodena tocˇno jednim metkom, kolika je
vjerojatnost da je pogodio drugi strijelac?
9.
Bacˇene su dvije kocke. Oznacˇimo dogadaje:
A = pojavila se barem jedna jedinica,
B = pojavila su se dva razlicˇita broja.
1) Izracˇunajte P(A) , P(B) , P(A B) . 2) Jesu li dogadaji A i B nezavisni?
j
10.
Izmedu brojeva 1 , 2 , 3 , 4 , 5 odabire se na srec´u jedan broj, a od preostalih se ponovno
odabire na srec´u josˇ jedan broj. Kolika je vjerojatnost da je drugi broj paran?
11.
U skupini od deset strijelaca nalaze se cˇetiri odlicˇna i sˇest dobrih. Vjerojatnost pogotka za
odlicˇne strijelce je 0:9 , za dobre 0:7 . Iz skupine na srec´u izaberimo jednog strijelca. Kolika
je vjerojatnost da c´e on pogoditi metu?
12.
U prvoj se zˇari nalaze dvije bijele i tri crne kuglice, u drugoj jedna bijela i cˇetiri crne. Iz prve
zˇare prebacimo u drugu dvije na srec´u odabrane kuglice. Izracˇunajte vjerojatnost da c´e nakon
toga na srec´u odabrana kuglica iz druge zˇare biti bijela.
13.
U dvije od tri jednake pregrade nalaze se dvije crne i dvije bijele kuglice, a u trec´oj pet bijelih i
jedna crna. Iz na srec´u odabrane pregrade izvucˇena je bijela kuglica. Kolika je vjerojatnost da
je ona izvucˇena iz trec´e pregrade?
14.
U kutiji se nalazi 1000 kockica, od kojih su sve ispravne osim jedne koja na svim stranama ima
broj 6. Izvucˇena je na srec´u jedna kockica i bacˇena cˇetiri puta: sva cˇetiri puta pala je na broj 6.
Kolika je vjerojatnost da je to neispravna kockica?
15.
U dvije od tri jednake pregrade nalaze se 2 crne i 2 bijele kuglice, a u trec´oj 5 bijelih i 1 crna. Iz
na srec´u odabrane pregrade izvucˇena je bijela kuglica. Kolika je vjerojatnost da je ona izvucˇena
iz trec´e pregrade?
1.5. Ponavljanje pokusa
Pretpostavimo da neki pokus mozˇemo ponavljati n puta, pod istim uvjetima. Smatramo da su rezultati u raznim ponavljanjima pokusa nezavisni. Neka je p vjerojatnost
da se u jednom pokusu pojavi dogadaj A :
P(A) = p:
Oznacˇimo s q = 1 ; p vjerojatnost suprotnog dogadaja.
Neka nam + oznacˇava da se A pojavio u nekom pokusu, ; kad to nije slucˇaj.
Tad rezultate pojavljivanja dogadaja A u svih n pokusa mozˇemo predocˇiti nizom od
n znakova + ili ; .
Primjer 1. Kocku bacamo osam puta. Kolika je vjerojatnost da se sˇestica pojavi
tri puta?
. Ovaj c´e se dogadaj ostvariti ako se ostvari niz poput sljedec´eg:
+; ;; ;; ;; +; +; ;; ;
kad se sˇestica pojavila u prvom, petom i sˇestom pokusu.
Rezultati u svakom bacanju kocke nezavisni su dogadaji. Zato je vjerojatnost da
se tocˇno ovaj niz ostvari jednaka
1 3 5 5
1 5 5 5 1 1 5 5
=
6 :
6 6 6 6 6 6 6 6
6
Koliko ima povoljnih nizova za promatrani dogadaj? Onoliko na koliko nacˇina mozˇemo izabrati tri znaka + od osam moguc´ih mjesta. Ili, onoliko na koliko razlicˇitih
nacˇina mozˇemo permutirati niz od tri znaka + i pet znakova ; . Broj tih nacˇina je
8!
8
=
C83 = P58;3 =
:
3
3! 5!
Zato je vjerojatnost da c´e se sˇestica pojaviti tri puta jednaka
8 1 3 5 5
= 0:104: /
3 6
6
Opisˇimo opc´enitu situaciju.
Oznacˇimo s pk vjerojatnost da se u n dogadaja A pojavio k puta. Jedan moguc´i
povoljni ishod je niz poput sljedec´eg
+; +; : : : + ; ;; ;; : : : ; ;
| {z } |
{z
;
k puta
n k puta
}
Vjerojatnost pojavljivanja ovog niza, i bilo kojeg drugog niza u kojem se pojavljuje k
znakova + je
pk (1 ; p)n;k :
Razlicˇitih nizova u kojima se A pojavljuje tocˇno k puta ima
n
:
Cnk =
k
Zato je:
Vjerojatnost realizacije dogadaja pri ponavljanju pokusa
Ako je p vjerojatnost da se dogadaj A pojavi u svakom pokusu, onda je
vjerojatnost da c´e se on ostvariti k puta pri ponavljanju n nezavisnih pokusa
jednaka
n k
pk =
p (1 ; p)n;k :
(1)
k
Primjer 2. Bacamo cˇetiri kocke. Kolika je vjerojatnost sljedec´ih dogadaja:
A = fsˇestica se pojavila tocˇno tri putag;
B = fbroj vec´i od cˇetiri pojavio se tocˇno dva putag;
C = fparni broj pojavio se barem tri putag:
. Vjerojatnost realizacije dogadaja A u jednom bacanju je
rojatnost da c´e se on u cˇetiri pokusa ostvariti tri puta iznosi
P(A) = p3
=
4 1 3
6
3
56 = 0:015 :
1
6
. Prema (1), vje-
Vjerojatnost da se u jednom bacanju pojavi broj vec´i od 4 je p =
vjerojatnost dogadaja B jednaka
4 1 2 2
P(B) = p2
=
2
3
3
P(C)
=
p3 + p4
=
3
2
1
2
=
3
0:296 :
4 1 4
+
. Zato je
2
Vjerojatnost da se u jednom bacanju pojavi parni broj je p =
da se u cˇetiri bacanja taj dogadaj ostvari tri ili cˇetiri puta iznosi
4 1 2
1
= 3
6
4
2
5
16
=
3
1
6 = 2
=
. Vjerojatnost
0:313 : /
Primjer 3. Novcˇic´ bacamo osam puta. Izracˇunaj vjerojatnosti za broj moguc´ih
pojavljivanja pisma.
. U svakom bacanju ta je vjerojatnost 12 . Vjerojatnost da se pismo pojavi k puta
u osam bacanja iznosi
8 1 1 ;
k
8 k
1 8
:
k
2
2
28 k
Uvrsˇtavajuc´i k = 0; 1; : : : ; 8 , dobit c´emo sljedec´e vjerojatnosti
k
0
1
2
3
4
5
6
7
pk
pk
1
256
8
256
=
28
256
56
256
70
256
=
56
256
28
256
8
256
8
1
256
/
Nacrtajmo ove vrijednosti u Kartezijevu sustavu (sl. 1.20).
O modelu ponavljanja pokusa i racˇunanja slozˇenijih primjera bit c´e rjecˇi u poglavlju o binomnoj razdiobi.
Fizikalna definicija vjerojatnosti
Danas je sve manje poznato da je dosta dugo teorija vjerojatnosti smatrana fizikalnom disciplinom. razlog je tome sˇto su prvi ‘ozbiljni’ motivi za uporabu teorije vjerojatnosti dosˇli iz fizike. S tim
je u vezi i problematika definiranja pojma vjerojatnosti jer se do izgradnje aksiomatske teorije rabila
uglavnom fizikalna definicija vjerojatnosti. danas nam je jasno da ta definicija slijedi iz aksiomatske
teorije kao posljedica vazˇnog teorema: zakona velikih brojeva. O tom c´e zakonu biti visˇe govora u
poglavlju ???. Ovdje c´emo se ogranicˇiti na intuitivno razmatranje koje vodi k fizikalnoj definiciji
vjerojatnosti.
70
56
28
8
0
1
2
3
4
5
Sl. 1.20.
6
7
8
Vjerojatnost da kocka padne na broj 6 jednaka je 16 . Ista je vjerojatnost za pojavljivanje
bilo kojeg drugog broja ukoliko je rijecˇ o ispravnoj kocki. Medutim, ako kocka nije ispravna, ako
je njezino tezˇisˇte pomaknuto blizˇe nekoj njezinoj strani, ili ako strane nisu jednakih povrsˇina, ili
ako nacˇin bacanja privilegira neku njezinu stranu, gornje c´e se vjerojatnosti promijeniti. Da bismo
napravili dobar model za bacanje neispravne kocke, moramo odrediti promijenjene vjerojatnosti za
pojavljivanje pojedinih brojeva. Kako doc´i do tih vjerojatnosti?
Promotrimo jednostavniji pokus: bacanje novcˇic´a. Ako je novcˇic´ ispravan i ako je nacˇin bacanja
dobar, vjerojatnosti pojavljivanja pisma i glave jednake su i iznose 12 . Zato ocˇekujemo da c´e i broj
pojavljivanja pisama biti priblizˇno jednak broju pojavljivanja glava.
Oznacˇimo s N ukupan broj bacanja, a s M broj pojavljenih pisama. Bacimo novcˇic´ deset,
dvadeset, pedeset, sto puta i zapisˇimo koliko puta se pojavilo pismo. Dobit c´emo brojeve nalik na
ove:
broj pisama M
6
9 22
48
broj bacanja N 10 20 50 100
Promotrimo omjere M=N broja pojavljivanja pisama prema ukupnom broju bacanja:
6
9
22
48
= 0:6;
= 0:45;
= 0:44;
= 0:48 :
10
20
50
100
Pri ponavljanju ovog pokusa dobit c´e se razlicˇiti brojevi M . Medutim, ako je novcˇic´ ispravan,
i ako je nacˇin bacanja dobar, omjer M=N priblizˇavat c´e se broju 12 , sˇto je vjerojatnost pojavljivanja
1
M
.
pisma. To pisˇemo ovako
N
2
Isto vrijedi za bilo koji drugi pokus:
Zakon velikih brojeva
Ako se neki pokus mozˇe ponavljati pod istim uvjetima po volji mnogo puta i ako je
vjerojatnost pojavljivanja dogadaja A u jednom pokusu p , tad za broj M pojavljivanja
tog dogadaja A pri izvodenju N pokusa vrijedi
M
p:
N
Vrijednost p vjerojatnosti dogadaja A izracˇunata na ovaj nacˇin naziva se fizikalna
definicija vjerojatnosti.
Zakon velikih brojeva koristimo za odredivanje nepoznate vjerojatnosti p dogadaja A . U tu
je svrhu potrebno pokus provesti velik broj puta i za vjerojatnost pojavljivanja dogadaja A uzimamo
omjer M=N .
Primjer 4. Uzmimo jedan novcˇic´, okrenimo ga pismom prema gore tako da ta strana bude paralelna podlozi i ispustimo s visine od 10 cm. Ishod ovog pokusa josˇ uvijek je neizvjestan, medutim,
ocˇekujemo da c´e se pismo pojaviti cˇesˇc´e nego glava. Da odredimo p = P(P) , novcˇic´ c´emo baciti
deset, dvadeset, pedeset puta. Rezultati pokusa mogu izgledati ovako:
broj pisama M
broj bacanja N
6
10
13
20
32
50
Na temelju ovih brojeva je p = 32
50 = 0:64 . Ponavljanjem pokusa vec´i broj puta dobit c´emo
pouzdaniju vrijednost za vjerojatnost p .
Ponovi li se cijeli pokus visˇe puta, ili ako ga izvode razlicˇite osobe, dobit c´e se i razlicˇite
vrijednosti broja p . To nije neprirodna situacija. Bitno razlicˇite vrijednosti za vjerojatnost p dobit
c´emo ako izaberemo novcˇic´e razlicˇitih velicˇina, ili ako se podloge na koji novcˇic´ pada razlikuju. Za
staklenu podlogu mozˇe se cˇak dogoditi da je p < 12 , dok c´e novcˇic´, bacamo li ga na list otvorene
knjige skoro uvijek pasti na pismo. Tu se radi o razlicˇitim pokusima, svaki pokus ima svoju vjerojatnost pojavljivanja dogadaja A . Jasno, sˇto su uvjeti ponavljanja pokusa slicˇniji, to c´e se manje
razlikovati i dobivene vrijednosti p .
Zadatci 1.5.
1.
Bacamo tri kocke. Kolika je vjerojatnost da se pojavi barem jedna sˇestica? Kolika je vjerojatnost
da se sˇestica pojavi tocˇno dva puta?
2.
Vjerojatnost da strijelac pogodi metu je 0:8 . Kolika je vjerojatnost da c´e od pet pokusˇaja on
A. svaki put pogoditi;
B. pogoditi tocˇno cˇetiri puta;
C. promasˇiti samo u trec´em pokusˇaju;
D. pogoditi barem tri puta.
3.
4.
Novcˇic´ bacamo 6 puta. Kolika je vjerojatnost da c´e visˇe puta pasti pismo nego grb?
Kocku bacamo dok se sˇestica ne pojavi dva puta. Kolika je vjerojatnost dogadaja A =
se zavrsˇio u prva tri bacanja , B = pokus se nije zavrsˇio u prvih pet bacanja ?
g
f
g
f pokus
5.
Novcˇic´ se baca dok se pismo ne pojavi dva puta za redom. Kolika je vjerojatnost da c´e pokus
zavrsˇiti u prvih pet bacanja?
6.
Novcˇic´ se baca dok se isti znak ne pojavi dva puta za redom. Kolika je vjerojatnost da c´e pokus
zavrsˇiti u prvih pet bacanja?
7.
Vjerojatnost da se pri bacanju jedne kocke pojavi broj 1 sˇest je puta vjerojatnija od dogadaja
da se pri bacanju dviju kocaka pojave dvije jedinice. Zato je de M´er´e smatrao da su sljedec´i
dogadaji jednako vjerojatni: A =
u cˇetiri bacanja jedne kocke pojavila se barem jedna
jedinica , B = u 24 bacanja dviju kocaka pojavile su se barem jednom dvije jedinice .
Ipak, to nije istina. Izracˇunajte koji je dogadaj vjerojatniji.
g
8.
f
f
g
Paradoks de M´er´ea. Pri bacanju triju kocki, zbroj 11 mozˇe se pojaviti u sljedec´ih sˇest ishoda:
6-4-1, 6-3-2, 5-5-1, 5-4-2, 5-3-3, 4-4-3, a zbroj 12 u sljedec´ih sˇest ishoda: 6-5-1, 6-4-2, 6-3-3,
5-5-2, 5-4-3, 4-4-4. Na osnovi toga, de M´er´e je drzˇao da su oni jednako vjerojatni. Promatrajuc´i igru bacanja triju kocki veliki broj puta, de M´er´e je ustanovio da se prvi dogadaj javlja
cˇesˇc´e nego drugi, sˇto je njemu u cˇast nazvano paradoksom de M´er´ea. Objasnite da nije rijecˇ o
paradoksu vec´ o potvrdi zakona velikih brojeva.
2.
Diskretna vjerojatnost
1.
2.
3.
4.
5.
Diskretne slucˇajne varijable . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dvodimenzionalna diskretna razdioba . . . . . . . . . . . .
Ocˇekivanje diskretne varijable . . . . . . . . . . . . . . . . .
Karakteristicˇna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primjeri diskretnih slucˇajnih varijabli . . . . . . . . . . . . .
2
1
2
3
4
5
ˇ esto je svrha pokuPri realizaciji nekog pokusa ostvaruje se elementaran dogadaj ω
Ω. C
sa mjerenje neke numericˇke velicˇine cˇije vrijednosti ovise o toj realizaciji elementarnog dogadaja.
Jednostavan primjer toga je model bacanja kocke. Tu je prirodno svakom elementarnom dogadaju
pridruzˇiti broj na koji je kocka pala. Time je definirano preslikavanje iz skupa Ω svih elementarnih
dogadaja u skup S = 1; 2; 3; 4; 5; 6 svih moguc´ih ishoda. Takvo se preslikavanje naziva slucˇajna
varijabla.
Uz jedan stohasticˇki pokus mozˇe biti (na prirodan nacˇin) povezano i visˇe slucˇajnih varijabli.
Tako na primjer, ako bacamo dvije kocke onda se kao slucˇajne varijable pridruzˇene tom pokusu mogu
uzeti (uz mnoge druge) zbroj brojeva na kockama, njihova razlika, manji od brojeva, vec´i od brojeva
itd. itd.
Podrucˇje vrijednosti realne slucˇajne varijable neki je podskup skupa realnih brojeva. Pri proucˇavanju slucˇajnih varijabli izvrsˇit c´emo grubu njihovu podjelu i izdvojiti dvije klase slucˇajnih varijabli:
diskretne i neprekinute slucˇajne varijable. Prve poprimaju svoje vrijednosti unutar diskretnog skupa
(obicˇno prirodnih ili cijelih brojeva) a neprekinute mogu kao svoju vrijednost poprimiti bilo koji
realni broj unutar nekog intervala. Ova je podjela uglavnom uvjetovana time sˇto se za proucˇavanje
ovih dviju vazˇnih klasa koristi razlicˇiti matematicˇki aparat, uz diskretne varijable vezani su prirodno
nizovi i redovi realnih brojeva i matrice, dok se matematicˇki aparat kojim se proucˇavaju kontinuirane
slucˇajne varijable zasniva na sredstvima matematicˇke analize: diferencijalnom i integralnom racˇunu.
Naglasimo da ta podjela cˇesto nije uvjetovana samom prirodom pokusa. Uzmemo li kao primjer
slucˇajnu varijablu koja mjeri duljinu odabranog proizvoda, ta je varijabla neprekinutog tipa jer se
duljina neprekinuto mijenja. Medutim, izrazimo li tu duljinu u milimetrima, dobit c´emo slucˇajnu
varijablu diskretnog tipa.
U ovom c´emo poglavlju proucˇavati diskretne slucˇajne varijable.
f
g
2.1. Diskretne slucˇajne varijable
Neka je S = fx 1; x 2; : : :g konacˇan ili prebrojiv skup bez gomilisˇta. Obicˇno je
to podskup skupa prirodnih ili pak cijelih brojeva. Promatrat c´emo slucˇajne varijable,
koje svakom elementarnom dogadaju pridruzˇuju neku vrijednost iz skupa S . Neka je
X preslikavanje sa skupa Ω svih elementarnih dogadaja u skup S . Uz to je preslikavanje prirodno postaviti pitanje: “kolika je vjerojatnost da slucˇajna varijabla poprimi
neku vrijednost x k is skupa S ”. Oznacˇimo s Ak skup svih elementarnih dogadaja koji
se preslikavaju u x k :
Ak := fω 2 Ω : X (ω ) = x k g:
Da bismo mogli odgovoriti na gornje pitanje, skup Ak mora biti dogadaj, dakle, element σ -algebre
svih dogadaja. Tek ako je ovaj uvjet ispunjen, za preslikavanje X
c´emo rec´i da je slucˇajna varijabla.
F
Slucˇajna varijabla
Preslikavanje X : Ω ! S je diskretna slucˇajna varijabla ako je za
svaki x k 2 S skup Ak := fω 2 Ω : X (ω ) = x k g dogadaj. Oznacˇimo
pk := P(Ak ) = PfX = x k g:
(1)
Za ove brojeve vrijedi pk > 0 ,
pk = 1 . Zakon razdiobe slucˇajne varijable X sastoji se od podrucˇja vrijednosti koje ona poprima i odgovarajuc´ih
vjerojatnosti. Pisˇemo
P
X
x1 x2 x3 : : :
p1 p2 p3 : : :
:
(2)
Primjer 1. Novcˇic´ bacamo tri puta. Neka je X broj pisama. Odredimo razdiobu
te slucˇajne varijable.
. Vjerojatnosni prostor sastoji se od osam elementarnih dogadaja. Ispisˇimo ih i
naznacˇimo vrijednost slucˇajne varijable X na svakom od njih:
ω1
ω2
ω3
ω4
ω5
ω6
ω7
ω8
GGG;
GGP;
= GPG;
= GPP;
= PGG;
= PGP;
= PPG;
= PPP;
=
=
X (ω1 ) = 0
X (ω2 ) = 1
X (ω3 ) = 1
X (ω 4 ) = 2
X (ω5 ) = 1
X (ω 6 ) = 2
X (ω 7 ) = 2
X (ω8 ) = 3
Vidimo da X poprima vrijednosti u skupu fx 1 =0; x 2 =1; x 3 = 2; x 4 =3g a vjerojatnosti su
1
p1 = P(X = 0) = P(ω1 ) = ;
8
3
p2 = P(X = 1) = P(fω2 ; ω 3; ω 5 g) = ;
8
3
p3 = P(X = 2) = P(fω4 ; ω 6; ω 7 g) = ;
8
1
p4 = P(X = 3) = P(ω8 ) = :
8
Dakle zakon razdiobe slucˇajne varijable X je,
X
0
1
8
1 2 3
3
8
3
8
1
8
: /
Primjer 2. Neka je p vjerojatnost realizacije nekog dogadaja A . Pokus ponavljamo pod istim uvjetima sve dok se dogadaj A ne ostvari. Neka je X broj ponavljanja
pokusa prije realizacije dogadaja A . (Stavljamo X = 0 ako se A ostvari u prvom pokusu.) Tad za X kazˇemo da ima geometrijsku razdiobu s parametrom p . Odredimo
zakon razdiobe za X .
. Ispisˇimo elementarne dogadaje, vrijednost slucˇajne varijable i pripadne vjerojatnosti u ovom pokusu. Dogadaje i vjerojatnosti c´emo indeksirati s pocˇetnim indeksom
0 , sˇto je prikladnije u ovom primjeru.
ω0
=
A;
ω1
=
AA
P(ω0 )
P(ω1 )
=
=
ω2
..
.
ωn
p;
X (ω 0 ) = 0;
qp;
X (ω1 ) = 1;
A A A;
P(ω 2 )= q p;
X (ω 2 ) = 2;
A A A;
P(ωn )= qn p;
X (ω n ) = n;
| {z }
=
=
2
n
..
.
Zakon razdiobe je
X
0 1 2
p qp q2 p
n
qn p
: /
Zamislimo jednostavan pokus u kojem se kocka baca dva puta. Neka nam X oznacˇava rezultat prvog bacanja, a Y rezultat drugog bacanja. Prirodno je pretpostaviti
da rezultati jednog bacanja ne ovise o rezultatima drugoga. Tako na primjer, vrijedi
1
1 1
P(fX = 3; Y = 5g) = P(f(3; 5)g) =
=
= P(fX = 3g) P(fY = 5g):
36
6 6
Slicˇno se mozˇe pokazati (ispisujuc´i elementarne dogadaje koje odgovaraju dogadaju s
lijeve strane jednakosti) da vrijedi
6
2 3
=
= P(fX ? 2g) P(fY > 4g):
P(fX ? 2; Y > 4g =
36
6 6
Ovaj primjer upuc´uje da je razumno iskazati sljedec´u definiciju.
Nezavisne slucˇajne varijable
Slucˇajne varijable X; Y : Ω ! S su nezavisne ako vrijedi
PfX = x k; Y = y j g = PfX = x k gPfY = y j g
ili opc´enitije, za sve A , B S
PfX 2 A; Y 2 Bg = PfX 2 AgPfY 2 Bg:
(3)
( 4)
Definicija nezavisnosti prosˇiruje se bez ikakvih izmjena i na skup od konacˇno
mnogo slucˇajnih varijabli. Dakle, slucˇajne varijable X1; X2; : : : ; Xn definirane na
istom vjerojatnosnom prostoru su nezavisne ako za sve A 1; A2; : : : ; An S vrijedi
PfX1 2 A1; X2 2 A2; : : : ; Xn 2 An g = PfX1 2 A1 gPfX2 2 A2 g PfXn 2 An g: (5)
I konacˇno, iskazˇimo i definiciju nezavisnosti za niz (Xi ) slucˇajnih varijabli: Slucˇajne varijable X1; X2; : : : su nezavisne ako su za svaki n nezavisne slucˇajne varijable
Xi1 ; Xi2 ; : : : ; Xin , za svaki izbor (razlicˇitih) indeksa i1; i2; : : : ; in .
Primjer 3. Bacamo kocku dok se ne pojavi broj manji od 5 . Neka slucˇajna varijabla X oznacˇava potreban broj bacanja, slucˇajna varijabla Y prvo bacanje u kojem
se pojavio broj 6 ( Y = 0 ako se broj 6 uopc´e ne pojavi). Odredimo zakone razdioba
varijabli X i Y .
. Oznacˇimo sa Xi slucˇajne varijable: rezultate i -tog bacanja. To su nezavisne identicˇki distribuirane slucˇajne varijable, svaka poprima vrijednosti iz skupa
f1; 2; 3; 4; 5; 6g s jednakom vjerojatnosˇc´u.
Varijabla X poprima vrijednosti iz skupa f1; 2; 3; : : :g :
PfX = ng = PfX1 > 5; X2 > 5; : : : ; Xn;1 > 5; Xn ? 4g
= PfX1 > 5g PfX2 > 5g PfXn;1 > 5g PfXn ? 4g
2 n;1 4
2
=
; n > 1:
=
6
6
3n
Varijabla Y poprima vrijednosti iz skupa f0; 1; 2; : : :g :
1
PfY =ng = PfX1 =5g PfX2 =5g PfXn;1 =5g PfXn =6g = n ; n > 1;
6
PfY =0g = PfX1 ?4g + PfX1 =5; X2 ?4g + PfX1 =5; X2 =5; X3 ?4g + : : :
4 1 4
1 2 4
4
1
4
+
+
+ ::: =
= :
=
1
6 6 6
6
6
6 1; 6
5
Zakoni razdioba su:
X
Y
1
2
3
2 ::: n :::
2
: : : 32n : : :
9
4
5
1 ::: n
1
: : : 61n : : :
6
0
:::
;
: /
Funkcije diskretnih slucˇajnih varijabli
Neka je X diskretna slucˇajna varijabla s poznatim zakonom razdiobe, ψ R ! R
zadana funkcija i Y = ψ (X ) . Ako je
X
x1 x2 : : :
p1 p2 : : :
ψ (x ) ψ (x ) : : : zakon razdiobe varijable X , tada je
Y
1
2
p1
p2
y
(6)
:::
zakon razdiobe varijable Y . Njega dovodimo u reducirani oblik
Y
y2 : : :
q1 q2 : : :
1
gdje su y 1; y 2; : : : sve razlicˇite vrijednosti iz skupa fψ (x 1 ); ψ (x 2 ); : : :g . Ako je
y i = ψ (x i1 ) = ψ (x i2 ) = : : : , tada je qi = pi1 + pi2 + : : : .
Primjer 4. Slucˇajna varijabla X ima zakon razdiobe
;2 ;1
X
0:1 0:3
Odredi zakon razdiobe varijable Y
.
Y
=
1 2
0:2 0:4
:
X2 .
4 1 1 4
0:1 0:3 0:2 0:4
=
1 4
0:5 0:5
/
2.2. Dvodimenziona diskretna razdioba
Neka slucˇajna varijabla X poprima vrijednosti u skupu fx 1; : : : ; x n g , a slucˇajna
varijabla Y u skupu fy 1; : : : ; y m g . Razdioba slucˇajnog vektora (X; Y ) je poznata ako
znamo vjerojatnosti
pij = PfX = x i; Y = y j g
pri cˇemu mora biti
Pp
ij =
i;j
obliku tablice
1 . Zakon razdiobe slucˇajnog vektora obicˇno pisˇemo u
pri cˇemu je
pi
=
X
X
pij
XY
x1
x2
..
.
y1
p11
p21
..
.
y2
p12
p22
:::
:::
:::
xn
pn1
q1
pn2
q2
:::
:::
=
j
qj
=
X
X
PfX
= x i;
PfX
=
Y
=
p1
p2
pnm
qm
pn
1
yj g
(suma
i-tog retka);
g
(suma
j-tog stupca):
j
pij
=
i
x i; Y
= yj
i
Marginalne razdiobe varijabli X i Y su
X
ym
p1m
p2m
..
.
x1 x2 : : : xn
p1 p2 : : : pn
;
Y
X i Y su nezavisne ako za sve i; j vrijedi pij
=
y1 y2 : : : ym
q1 q2 : : : qm
;
pi qj .
Primjer 1. Bacamo dvije kocke. Neka je X broj na prvoj kocki, Y vec´i od dvaju
brojeva na kockama. Odredi razdiobu vektora (X; Y ) . Izracˇunaj marginalne razdiobe
od X i Y .
. Postoji 36 elementarnih, jednako vjerojatnih dogadaja. Za svaki od njih mozˇemo odrediti vrijednosti varijabli X i Y . Pri tom neka vrijednost mozˇe ukljucˇivati
visˇe elementarnih dogadaja. Dobivamo sljedec´i zakon razdiobe vektora (X; Y ) (zbog
1
):
kratkoc´e smo oznacˇili p = 36
XY
1
2
3
4
5
6
1
p
p
p
p
p
p
6p
2
0
2p
p
p
p
p
6p
3
0
0
3p
p
p
p
6p
4
0
0
0
4p
p
p
6p
5
0
0
0
0
5p
p
6p
6
0
0
0
0
0
6p
6p
p
3p
5p
7p
9p
11 p
1
;
Y
1
Marginalne razdiobe su
X
/
1
6
2 3 4 5 6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
1
36
2 3 4 5 6
3
36
5
36
7
36
9
36
11
36
:
Uvjetna vjerojatnost dogadaja fX = x i j Y = y j g dana je sa
PfX = x i; Y = y j g
pij
=
:
PfX = x i j Y = y j g =
PfY = y j g
qj
Skup svih takvih vjerojatnosti za sve i daje uvjetnu razdiobu varijable X uz uvjet
Y = yj :
x1 x2 : : :
X j Y = y j p1j p2j : : : :
qj
qj
Ta se razdioba cˇita iz j -tog stupca razdiobe vektora (X; Y ) . Elementi tog stupca
podijeljeni su sa odgovarajuc´om marginom.
Na isti nacˇin racˇunamo i uvjetnu razdiobu varijable Y uz uvjet X = x i :
y1 y2 : : :
Y j X = x i pi1 pi2 : : : :
pi
pi
Primjer 2. Bacamo dvije kocke. Neka je slucˇajna varijabla X manji, a varijabla
Y vec´i od dva pojavljena broja. Odredi razdiobu vektora (X; Y ) , marginalne razdiobe, te uvjetnu razdiobu od X uz uvjet Y = 4 . Izracˇunaj vjerojatnost dogadaja
A = fX > 2 j Y = 4g , B = fY = 4 j X > 2g .
. Postoji 36 jednakovjerojatnih elementarnih dogadaja. Odredi za svaki od njih
vrijednost vektora (X; Y ) ! Dobivamo sljedec´u razdiobu (oznacˇimo zbog kratkoc´e
1
p = 36
).
XY
1
2
3
4
5
6
1
p
2p
2p
2p
2p
2p
11 p
2
0
p
2p
2p
2p
2p
9p
3
0
0
p
2p
2p
2p
7p
4
0
0
0
p
2p
2p
5p
5
0
0
0
0
p
2p
3p
6
0
0
0
0
0
p
p
p
3p
5p
7p
9p
11 p
1
Marginalne razdiobe varijabli X i Y cˇitamo iz posljednjeg retka odnosno stupca:
1 2 3 4 5 6
X 11 9 7 5 3 1 ;
1
36
Y
1
36
Uvjetna razdioba varijable X j Y
PfX
=
1jY
=
4g =
36
36
36
36
36
2 3 4 5 6
3
36
5
36
7
36
9
36
11
36
:
=
4 je
PfX = 1; Y = 4g
PfY = 4g
=
2p
7p
=
2
7
i slicˇno za ostale vrijednosti od X :
XjY
(Pronadi
=
4
1
2
7
2 3 4
2
7
2
7
1
7
:
tu razdiobu direktno iz cˇetvrtog stupca razdiobe vektora (X; Y ) .)
P(A) =
P(B) =
PfX > 2; Y = 4g
PfY = 4g
PfX > 2; Y = 4g
PfX > 2g
=
=
2p + 2p + p
5
= ;
7p
7
2p + 2p + p
9p + 7p + 5p + 3p + p
=
1
:/
5
Primjer 3. Nezavisne slucˇajne varijable X1 i X2 imaju isti zakon razdiobe
X1 ; X2
0 1 2
0:3 0:5 0:2
Odredi zakon razdiobe slucˇajnih varijabli a) Y
=
:
X 1 + X 2 ; b) Z
=
X1 X2 .
. a) Y poprima vrijednosti u skupu f0; 1; 2; 3; 4g s vjerojatnostima
PfY
PfY
0g = PfX1
= 1g = PfX1
=
0; X2
= 0; X2
=
itd. Dobivamo
Y
0g = 0:3 0:3 = 0:09;
= 1g + PfX1 = 1; X2 = 0g = 2 0:3 0:5 = 0:3
=
0
1
2
3
4
0:09 0:30 0:37 0:20 0:04
:
b) Z poprima vrijednosti u skupu f0; 1; 2; 4g s vjerojatnostima
PfZ
PfZ
PfZ
PfZ
0g = PfX1
1g = PfX1
= 2g = PfX1
= 4g = PfX1
0g + PfX1 6= 0; X2 = 0g = 0:3 + 0:7 0:3 = 0:51;
1; X2 = 1g = 0:25;
= 1 X2 = 2g + PfX1 = 2; X2 = 1g = 0:20;
= 2; X2 = 2g = 0:04:
=
=
=
=
te je
Z
0
1
2
4
0:51 0:25 0:20 0:04
:/
2.3. Ocˇekivanje diskretne varijable
X
Ocˇekivanje slucˇajne varijable X definirano je na nacˇin
E(X ) :=
(1)
x k pk
k
ukoliko ovaj red konvergira.
Disperzija (rasipanje, varijanca) slucˇajne varijable X definira se formulom
D(X ) = E[X ; E(X )]2
sˇto se racˇuna na nacˇin
D(X ) =
X
x 2k pk
=
;
E(X 2 ) ; (EX )2 ;
X
k
2
x k pk
:
(2)
k
Ocˇekivanje ima svojstvo linearnosti:
E(sX + tY ) = sE(X ) + t E(Y ):
X
Ako su pak X i Y nezavisne, tada vrijedi
E(XY ) =
x i y j pij
=
X
=
x i y j pi qj
X X i;j
i;j
x i pi
y j qj
i
=
E(X )E(Y ):
j
Za disperziju pak imamo D(sX ) = s2 D(X ) , Opc´enito je D(X + Y )
D(Y ) . Medutim ako su X i Y nezavisne slucˇajne varijable, onda vrijedi
6= D(X) +
D(X + Y ) = E[(X + Y )2 ] ; [E(X + Y )]2
=
E(X 2 ) + 2E(XY ) + E(Y 2 ) ; E(X )2 ; 2E(X )E(Y ) ; E(Y 2 )
=
E(X 2 ) ; E(X )2 + E(Y 2 ) ; E(Y 2 ) = D(X ) + D(Y ):
p
Velicˇinu σ = σ (X ) := D(X ) nazivamo standardna devijacija (odstupanje)
varijable X .
Ako je slucˇajna varijabla Y funkcija slucˇajne varijable X , Y = ψ (X ) , njezino
ocˇekivanje mozˇemo racˇunati pomoc´u njene razdiobe, ali i direktno:
E(Y ) = E(ψ (X ))
=
X
ψ (x k ) pk :
(3)
k
Primjer 1. Izracˇunaj ocˇekivanje i disperziju slucˇajnih varijabli
X
;0:42
6 10
0:3 0:5
;
Y
;0:14
4
0:6
:
Odredi E(X + 2Y ) te, ukoliko su X i Y nezavisne, E(XY ) i D(X ; 2Y ) .
. Odredimo E(X ) , E(Y ) , D(X ) , D(Y ) .
E(X ) = ;4 0:2 + 6 0:3 + 10 0:5 = 6;
E(X 2 ) = 16 0:2 + 36 0:3 + 100 0:5 = 64;
D(X ) = E(X 2 ) ; E(X )2 = 64 ; 36 = 28;
E(Y ) = ;1 0:4 + 4 0:6 = 2;
E(Y 2 ) = 1 0:4 + 16 0:6 = 10;
D(Y ) = E(Y 2 ) ; E(Y )2
=
10 ; 4 = 6:
Zbog linearnosti ocˇekivanja je E(X + 2Y ) = E(X ) + 2E(Y ) = 10 . Ako su X i Y nezavisne, E(XY ) = E(X )E(Y ) = 12 i D(X ; 2Y ) = D(X ) + D(;2Y ) = D(X ) + 4D(Y ) =
52 . /
Primjer 2. Bacamo dvije ispravne kocke. Slucˇajne varijable X i Y definirane su
na nacˇin
X
Y
= apsolutna
vrijednost razlike brojeva na kockama,
= manji od dva broja ako su oni razlicˇiti, jednaka nuli ako su brojevi
jednaki.
Pokazˇi da X i Y imaju identicˇan zakon razdiobe. Odredi njihovo ocˇekivanje
i disperziju.
. Vjerojatnosni prostor sastoji se od 36 jednako vjerojatnih elementarnih dogadaja. Odredimo vrijednost varijabli X i Y na tim dogadajima.
X 1 2 3 4 5 6
Y 1 2 3 4 5 6
1 0 1 2 3 4 5
1 0 1 1 1 1 1
2 1 0 1 2 3 4
2 1 0 2 2 2 2
3 2 1 0 1 2 3
3 1 2 0 3 3 3
4 3 2 1 0 1 2
4 1 2 3 0 4 4
5 4 3 2 1 0 1
5 1 2 3 4 0 5
6 5 4 3 2 1 0
6 1 2 3 4 5 0
Vidimo da varijable X i Y poprimaju razlicˇite vrijednosti na pojedinim elementarnim dogadajima, medutim njihova je razdioba identicˇna!
X; Y
0
1 2 3 4 5
6
36
10
36
8
36
+
2
8
36
6
36
4
36
2
36
Vrijedi
E(X ) = E(Y ) = 0 +
1
10
36
D(X ) = D(Y ) = 0 6
36
+
6
36
1
+
3
6
36
+
10
8
+4
+9
36
36
4
2
+ 16 + 25 ;
36
36
4
4
36
6
36
70
36
+
2
=
5
2
36
=
2:052:/
70
:
36
Primjer 3. Ispravan novcˇic´ je bacˇen tri puta. Neka X oznacˇava broj pojavljenih
grbova, Y duljinu najduzˇeg niza uzastopno pojavljenih grbova. Odredi zakon razdiobe
vektora (X; Y ) te koeficijent korelacije r(X; Y ) .
. Postoji osam jednako vjerojatnih elementarnih dogadaja. Odrediti c´emo za
svaki od njih vrijednosti varijabli X i Y i zatim sastaviti zakon razdiobe vektora
(X; Y ) .
PPP
PPG
PGP
GPP
PGG
GPG
GGP
GGG
X
0
1
1
1
2
2
2
3
Y
0
1
1
1
2
1
2
3
XY
0
1
2
3
0
1
8
0
0
0
1
0
0
0
2
8
0
2
0
3
8
1
8
3
0
0
0
1
8
1
8
3
8
3
8
1
8
1
8
4
8
2
8
1
8
1
=
22
;
8
Izracˇunajmo sada cov(X; Y ) , D(X ) i D(Y ) .
1
3
3
E(X ) = 0 + 1 + 2 + 3 8
8
8
1
4
2
E(Y ) = 0 + 1 + 2 + 3 8
8
8
1
3
1
E(XY ) = 0 + 1 + 2 + 4 8
8
8
22 12 11
44
cov(X; Y ) =
; 8 8 = 64 ;
8
1
3
3
D(X ) = 0 + 1 + 4 + 9 8
8
8
1
4
2
D(Y ) = 0 + 1 + 4 + 9 8
8
8
44
cov(X; Y )
64
r(X; Y ) =
=
48
D(X )D(Y )
47
p
q
64
1
8
1
8
2
8
12
;
8
11
=
;
8
1
+9
8
1
8
1
8
;
=
;
=
64
12 118 2
=
2
8
p 44
47 48
=
=
48
;
64
47
;
64
0:926:/
2.4. Karakteristicˇna funkcija
Karakteristicˇna funkcija
Karakteristicˇna funkcija slucˇajne varijable X jest
ϑX (t ) := E(eitX )
Dakle,
ϑX (t ) =
pk eitxk ;
X
k
(1)
Izdvajamo sljedec´a vazˇna svojstva:
1 Karakteristicˇna funkcija jednoznacˇno odreduje razdiobu: dvije razlicˇite razdiobe ne mogu imati istu karakteristicˇnu funkciju.
2 Ako su X1; : : : ; Xn nezavisne, tada je
ϑX1 +:::+Xn (t ) = ϑX1 (t ) ϑXn (t ):
(2)
3 Vrijedi formula
E(X r ) =
ϑ (r) (0)
;
ir
r
=
1; 2; : : :
(3)
ukoliko ocˇekivanje postoji. Specijalno,
E(X ) = ;iϑ 0 (0);
D(X ) = ;ϑ 00 (0) + ϑ 0 (0)2 :
(4)
Funkcije izvodnice
Za diskretne slucˇajne varijable, koje uzimaju vrijednosti u skupu f0; 1; 2; : : :g
cˇesto je jednostavnije umjesto karakteristicˇne funkcije promatrati funkciju izvodnicu
ψ X definiranu ovako:
ψ X (z )
=
1
X
pk zk
=
E(zX ):
k=0
Ovaj red konvergira sigurno na podrucˇju jz j < 1 jer je pk ? 1 za svaki k . Poznavanje
funkcije izvodnice cˇesto nam omoguc´ava da jednostavno odredimo zakon razdiobe
slucˇajne varijable, jer vrijedi:
ψ (n) (0)
pn =
:
n!
Primjer 1. Izracˇunajmo funkcije izvodnice geometrijske, binomne i Poissonove
slucˇajne varijable:
p
X ( p)
: : : ψ (z ) =
:
1 ; qz
X (n; p) : : : ψ (z ) = ( pz + q)n;
G
B
X P (λ )
. a) X
G (p) . Imamo
ψ (z )
b) X
=
B(n; p) . Imamo
X
1
X
pk zk
=
k=0
=
k=0
1
X
X n
n
pk z
k
=
pqk zk
eλ (z;1) :
=
k=0
n
ψ (z )
ψ (z )
:::
=
k=0
k
pk qn;k zk
p
:
1 ; qz
n
= ( pz + q)
:
c) X
P (λ ) . Imamo
ψ (z )
=
1
X
pk z
k
=
k=0
1 λ
X
k=0
k
k!
e;λ zk
=
eλ z e;λ
=
eλ (z;1) : /
Znajuc´i funkciju izvodnicu mozˇemo odrediti momente slucˇajnih varijabli, jer vrijedi
1
X
0
ψ (z ) =
kpk zk;1
)
=
E(X ) =
k=1
Slicˇno ovome, vrijedi
1
X
kpk
=
ψ 0 (1):
k =1
E[X (X ; 1)] = ψ 00 (1)
pa je
E(X 2 ) = ψ 00 (1) + ψ 0 (1):
Odavde se mozˇe izracˇunati disperzija od X . Opc´enitije, vrijedi
E[X (X ; 1) (X ; n + 1)] = ψ (n) (1):
Zadatak 2. Oznacˇimo
a1
=
E(X );
a2
=
E[X (X ; 1)]; : : :
an
=
E[X (X ; 1) (X ; n + 1)];
m1 = E(X ); m2 = E(X ); : : : ; mn = E(X n ):
Napisˇi algoritam kojim c´e se zadani vektor [a1; a2; : : : ; an ] prebacivati u vektor
[m1; m2; : : : ; mn ] .
2
Funkcija izvodnica zbroja nezavisnih slucˇajnih varijabli
Ako su X1; : : : ; Xn nezavisne, onda i za funkcije izvodnice vrijedi
ψ X1 +:::+Xn (z ) = ψX1 (z ) ψXn (z ):
Ova je formula direktna posljedica nezavisnosti; vrijedi E(zX1 +X2 ) = E(zX1 ) E(zX2 ) i
slicˇno za zbroj n nezavisnih slucˇajnih varijabli.
Ako su X1; : : : ; Xn nezavisne i identicˇki distribuirane, s funkcijom izvodnice ψ X ,
onda je funkcija izvodnice slucˇajne varijable Sn = X1 + : : : + Xn jednaka
ψ Sn (z ) = ψX (z )n :
Promotrimo sad slucˇaj kad promatramo zbroj slucˇajno mnogo slucˇajnih varijabli.
Na primjer: broj ozljedenih u prometnoj nesrec´i je slucˇajna varijabla, a broj nesrec´a u
nekom vremenskom intervalu Poissonova slucˇajna varijabla. Broj ukupno ozlijedenih
bit c´e zbroj od slucˇajno mnogo slucˇajnih varijabli. Isto se mozˇe kazati za ukupno
vrijeme razgovora u nekoj telefonskoj centrali i sl.
Neka je ν slucˇajna varijabla koja poprima vrijednosti unutar skupa f0; 1; 2; : : :g .
Neka je njezin zakon razdiobe i funkcija izvodnica;
gn
=
P(ν
=
n);
ψ ν (z )
=
1
X
n=0
gn zn :
Promotrimo slucˇajnu sumu slucˇajnih varijabli
Sν = X1 + X2 + : : : + Xν :
Stavit c´emo po dogovoru S0 = 0 . Dogadaj fSν = jg jest unija sljedec´ih disjunktnih
dogadaja:
ν = n i Sn = X1 + X2 + : : : + Xn = j:
1
[
Dakle:
fSν = jg =
ν
=
n; Sn
X1 + : : : + Xn
=
=
j :
n=0
Zato je
hj
=
=
P(Sν
1
X
= j) =
1
X
P(ν
=
n; Sn
n=0
P(ν
=
n)P(Sn
= j) =
n=0
= j)
1
X
gn P(Sn
= j):
n=0
Ovdje smo iskoristili nezavisnost slucˇajne varijable ν i slucˇajnih varijabli X1; x 2; : : : .
Funkcija izvodnica slucˇajne sume je:
ψ Sν (z )
=
1
X
hj z
j
=
1
1 X
X
1 X
1
X
j=0
=
n=0
j=0
P(Sn
gn P(Sn
n=0
= j)z
j
gn
j=0
=
= j)
1
X
zj
gn ψ X (z )n
=
ψ ν (ψ X (z )):
n=0
Ovdje smo iskoristili formulu
ψ Sn (z )
=
1
X
P(Sn
j
= j)z =
ψ X (z )n
j=0
koja vrijedi za sumu konacˇno mnogo slucˇajnih varijabli.
2.5. Primjeri razdioba
Geometrijska razdioba
Neka je p vjerojatnost realizacije dogadaja A pri izvodenju nekog pokusa. Ponavljamo pokus do prve realizacije tog dogadaja. Neka slucˇajna varijabla X mjeri
broj ponavljanja pokusa prije realizacije dogadaja A . Onda kazˇemo da X ima geometrijsku razdiobu s parametrom p i pisˇemo X G( p) . X poprima vrijednosti u
skupu f0; 1; 2; : : :g . Odredimo pk = P(X = k) . Ako se realizirao dogadaj fX = kg ,
to znacˇi da se u prvih k pokusa A nije pojavio, a pojavio se u (k + 1) -vom pokusu,
pa je
pk = P(X = k) = p(1 ; p)k :
Stavimo q := 1 ; p Primjetimo da vrijedi
P(X > k) = (1 ; p)k = qk
jer se tada dogadaj A nije ostvario u prvih k pokusa.
Zadatak 1. Dokazˇi da X ima geometrijsku razdiobu onda i samo onda ako vrijedi
za sve k; m > 0
P(X
=
k+mjX
> k) = P(X = m):
(1)
(Uputa: Za smjer dovoljnosti, pokaz
ˇ i da funkcija Q(k) := P(X > k) zadovoljava
relaciju Q(k + m) = Q(k)Q(m) , 8k; m .)
. Jedan je smjer jednostavan: ako X ima geometrijsku razdiobu, onda je
P(X = k + m; X > k)
P(X = k + m)
P (X = k + m j X > k ) =
=
P(X > k)
P(X > k)
k +m
p(1 ; p)
m
=
= p(1 ; p) = P(X = m):
(1 ; p)k
Pokazˇimo obrat. Iz (1) slijedi
P(X > k + m j X > k) = P(X > m):
To znacˇi da funkcija Q(k) := P(X > k) zadovoljava relaciju
Q(k + m) = Q(k)Q(m);
8k; m > 0:
(2)
Nadalje, vrijedi Q(0) = P(X > 0) = 1 , Q(1) = P(X > 1) = 1 ; p =: q . Stavimo u
(2) k = 1 :
Q(m + 1) = Q(1)Q(m) =) Q(m + 1) = q Q(m):
Iterirajuc´i ovu relaciju dobivamo
Q(k)
=
qk Q(0) = qk :
> k) = qk . Zato je
P(X = k) = P(X > k) ; P(X > k + 1) = qk ; qk
Dakle, P(X
/
+1
= (1
; q)qk = pqk :
Primjer 2. Odredimo karakteristicˇnu funkciju geometrijske razdiobe, i njezino
ocˇekivanje.
. Karakteristicˇna funkcija je
ϑ (t )
=
1
X
itk
e
pq
k
=
p
k=0
Vrijedi
pa je
1
X
it k
(qe ) =
k =0
ϑ 0 (t )
=
p
:
1 ; qeit
ipqeit
(1 ; qeit )2
E(X ) = ;iϑ 0 (0) =
pq
(1
q
; q)2 = p :
/
Primjer 3. Nezavisne slucˇajne varijable X1 , X2 imaju geometrijsku razdiobu s
parametrima p1 odnosno p2 : Dokazˇi da X = min(X1; X2 ) ima takoder geometrijsku
razdiobu. Nadi parametar te razdiobe.
.
P(X
> k) = P(X1 > k; X2 > k)
k k
k
= P(X1 > kgPfX2 > k) = q1 q2 =: q
gdje je q = q1 q2 . Zato
P(X
= k) =
P(X
> k) ; P(X > k + 1)
q ; qk+1 = pqk
te X ima geometrijsku razdiobu s parametrom p = 1 ; q = 1 ; (1 ; p1 )(1 ; p2 ) . /
=
k
Primjer 4. U posˇti se nalazi N javnih govornica. Duljina razgovora, mjerena u
jedinicama vremena, ima geometrijsku razdiobu s ocˇekivanjem µ Izracˇunaj srednje
vrijeme cˇekanja do prvog slobodnog telefona.
. Neka su X1; : : : ; Xn duljine razgovora u pojedinim govornicama. Tad je
minfX1; : : : ; Xn g . Ako je p parametar geometrijske razdiobe, onda vrijedi
1;p
1
µ=
te je p =
. Slucˇajna varijabla X ima i sama geometrijsku razdiobu
p
1+µ
s parametrom 1 ; qN . Njezino je ocˇekivanje
X
=
1 ; (1 ; q N )
1 ; qN
5
23:6
0:15
6
19:6
0:10
1
:
1 N
1+
;
1
µ
µ
Za veliki µ , priblizˇna vrijednost ovog ocˇekivanja je .
N
U interpretaciji ovog rezultata treba biti vrlo oprezan. Nije svejedno u kojim se
jedinicama mjeri vrijeme. Uzmemo li da je na primjer µ = 120 sekunda, dobit c´emo
potpuno razlicˇite rezultate od pretpostavke µ = 2 minute. Evo tablica vrijednosti
ocˇekivanja E(X ) za razne vrijednosti broja N :
E(X ) =
N
µ = 120 sec
µ = 2 min
1
120
2:00
2
59:8
0:80
3
39:7
0:42
4
29:7
0:25
=
7
16:1
0:06
8
14:8
0:04
9
12:9
0:03
10
11:56
0:02
Zbog cˇega dolazi do ovako razlicˇitih rezultata? /
Binomna razdioba
Neka je p vjerojatnost realizacije dogadaja A pri izvodenju nekog pokusa. Ponavljamo pokus i brojimo realizacije tog dogadaja. Pretpostavimo da istovjetan pokus ponavljamo n puta. Neka slucˇajna varijabla X mjeri broj pojavljivanja dogadaja A . Onda
kazˇemo da X ima binomnu razdiobu s parametrima n i p i pisˇemo X (n; p) .
X poprima vrijednosti u skupu f0; 1; 2; : : : ng . Odredimo pk = P(X = k) . Ako se
realizirao dogadaj fX = kg , to znacˇi da se u n pokusa A ostvario tocˇno k puta, a
B
n ; k puta se nije ostvario. Broj razlicˇitih moguc´nosti za odabir pokusa u kojima se A
n
ostvario je
. Zato je
k
n k
pk = P(X = k) =
p (1 ; p)n;k :
k
Stavimo q := 1 ; p .
Zadatak 5. Odredi karakteristicˇnu funkciju binomne razdiobe, njezino ocˇekivanje
i disperziju.
. Neka je X (n; p) . Tada imamo
B
X
X n
n
ϑ (t )
=
n
eitk pk
X n eitk
=
k=0
n
=
k=0
Po formuli (4) vrijedi
ϑ 0 (t ) = n( peit
ϑ 0 (0)
=
k
k=0
;
it k n k
( pe )
q
; peit i;
k
pk qn;k
it
n
= ( pe + q)
:
n 1
+ q)
n( p + q)n;1 pi = npi
)
=
E(X ) = np:
Na isti nacˇin dobivamo
ϑ 00 (0) = n(n ; 1) p2 i2 + npi2 = ;n(n ; 1) p2 ; np
te je
D(X ) = ;ϑ 00 (0) + ϑ 0 (0)2 = n(n ; 1) p2 + np ; n2 p2 = np ; np2
/
B
=
npq: /
Zadatak 6. Ako su X 1 (n1; p) i X2 B(N2; p) nezavisne binomne slucˇajne
varijable, pokazˇi da je i X1 + X2 binomna slucˇajna varijabla. Odredi joj parametre.
. Vrijedi ϑX1 (t ) = (q + peit )n1 , ϑX2 (t ) = (q + peit )n2 te je zbog nezavisnosti od
X1 i X2
ϑX1 +X2 (t ) = ϑX1 (t )ϑX2 (t ) = (q + peit )n1 +n2
a to je karakteristicˇna funkcija binomne razdiobe (n1 + n2; p) . / /
Specijalan slucˇaj binomne slucˇajne varijable je Bernoullijeva ili indikatorska
slucˇajna varijabla: ona poprima samo dvije vrijednosti: 1 s vjerojatnosˇc´u p i 0 s
vjerojatnosˇc´u q = 1 ; p . Ona biljezˇi realizaciju dogadaja A u jednom pokusu.
Ako su Xi Bernoullijeve nezavisne varijable s istim parametrom p , tada je njihov
zbroj X1 + X2 + : : : + Xn binomna slucˇajna varijabla (n; p) . Ova tvrdnja slijedi
zbog svojstva stabilnosti binomnih slucˇajnih varijabli. Na temelju toga mozˇemo laksˇe
izracˇunati ocˇekivanje i disperziju binomne slucˇajne varijable. naime, za indikatorsku
slucˇajnu varijablu vrijedi
D(Xi ) = 02 q + 12 p ; p2 = pq;
8i;
E(Xi ) = 0 q + 1 p = p;
pa je, zbog nezavisnosti
E(X ) = E(X1 ) + : : : + E(Xn ) = np;
D(X ) = D(X1 ) + : : : + D(Xn ) = npq:
B
B
ˇ to je vjerojatnije u igri s ravnopravnim protivnikom: dobiti 3 partije
Primjer 7. S
od 4 ili 5 partija od 8? (Igra nema nerijesˇenog ishoda.)
. Broj dobivenih partija ravna se po binomnoj razdiobi. U prvom slucˇaju to je
zakon B(4; 12 ) , a u drugom slucˇaju B(8; 12 ) . Zato imamo
4
Pf3 partije od 4g =
213 12 = 328 ;
3
8
Pf5 partija od 8g =
215 213 = 327 :/
5
Primjer 8. Pokus se sastoji u bacanju triju kocki. Izracˇunaj vjerojatnost da se u
10 nezavisnih pokusa 4 puta pojave tocˇno 2 jedinice.
. Oznacˇimo s A dogadaj f pri bacanju triju kocaka pojavile su se tocˇno 2
jedinice g .
Broj pojavljivanja jedinica je binomna slucˇajna varijabla B(3; 16 ) , posˇto se bacaju
3 kocke a vjerojatnost pojavljivanja jedinice iznosi 16 . Zato je vjerojatnost dogadaja
A jednaka
5
3 1 25
p = P(A) =
=
:
2 6 6
72
Broj realizacija dogadaja A pri ponavljanju 10 pokusa je binomna slucˇajna varijabla B(10; p) . Vjerojatnost da se on pojavi tocˇno 4 puta iznosi
10 4
10 5 67 4
4 6
pq
=
4
72
6
72
=
3:17 10;3 : /
Primjer 9. Slucˇajna varijabla X ima binomnu razdiobu
rojatnija realizacija slucˇajne varijable X ?
. Trazˇimo takav k za koji je
n
B(n; p) . Koja je najvje-
pk qn;k
k
najvec´e. Tada c´e biti p0 ? p1 ? : : : ? pk i pk > pk+1 > : : : > pn . Dovoljno je
stoga promatrati dvije nejednakosti pk;1 ? pk i pk > pk+1 i pronac´i k za koji su one
ispunjene. Vrijedi
n k n;k
pq
pk
q k+1
k
=
=
n
pk+1
p n;k
pk+1 qn;k;1
k+1
i ovaj kvocijent je vec´i od 1 ako je q(n ; k) > p(k + 1) . Odavde dobivamo
k > (n + 1) p ; 1 . Slicˇno
n k n;k
pq
pk
q n;k+1
k
=
=
k >1
n
pk;1
p
pk;1 qn;k+1
k;1
pk
=
P(X
= k) =
daje k ? (n + 1) p .
Prema tome, najvjerojatnija realizacija slucˇajne varijable (n; p) je onaj cijeli
broj ukljesˇten izmedu (n + 1) p ; 1 i (n + 1) p . Ako je (n + 1) p cijeli broj, postoje
tada dvije takve vrijednosti. /
B
Primjer 10. Koliko puta moramo baciti kocku da bi najvjerojatniji broj pojavljivanja sˇestice bio 10?
. Neka je n broj bacanja kocke. Broj pojavljivanja sˇestice u n bacanja je
binomna varijabla (n; 16 ) . Po prosˇlom zadatku mora biti
B
1
1
;
1 ? 10 ? (n + 1) :
6
6
Dakle, n + 1 ? 66 i n + 1 > 60 , odnosno, 59 ? n ? 65 . /
(n + 1)
Poissonova razdioba
Kazˇemo da slucˇajna varijabla X ima Poissonovu razdiobu s parametrom λ > 0
i pisˇemo X (λ ) ako poprima vrijednosti unutar skupa f0; 1; 2; : : :g s vjerojatnostima
λ k ;λ
pk = P(X = k) =
e :
k!
P
Poissonovu razdiobu mozˇemo dobiti kao granicˇni slucˇaj binomne, kad broj pokusa neogranicˇeno raste, a ulogu vjerojatnosti p pojavljivanja dogadaja zamjenjuje
intenzitet λ pojavljivanja dogadaja. Promotrimo sljedec´i problem.
Unutar smjese od koje c´e se ispec´i m = 25 kolacˇic´a stavljeno je n = 100 zrna
grozˇdica. Neka je X slucˇajna varijabla: broj zrna unutar jednog kolacˇica. Kakva je
razdioba slucˇajne varijable X ?
Pretpostavljamo da se svako zrno mozˇe neovisno jedno o drugom nac´i s jednakom
vjerojatnosˇc´u unutar bilo kojeg kolacˇic´a. Vjerojatnost da se zrno nade unutar jednog
1
odabranog kolacˇic´a je p =
. Broj zrna unutar tog kolacˇic´a je binomna slucˇajna
m
1
varijabla s parametrima n i p = .
m
Primjetimo da je ocˇekivani broj zrna unutar jednog kolacˇic´a jednak E(X ) = np =
n
. Oznacˇimo tu velicˇinu s λ . Ona oznacˇava intenzitet pojavljivanja zrna unutar
m
nekog kolacˇic´a.
Model slicˇan ovom pojavljuje se pri promatranju broja poziva koji c´e stic´i na neku
telefonsku centralu u nekoj jedinici vremena. Ako za m = 25 minuta na centralu
stigne u prosjeku n = 100 poziva, tada je broj poziva unutar jedne minute — basˇ kao
u prijasˇnjem primjeru s grozˇdicama — binomna razdioba s parametrima n = 100 ,
1
. Primjetimo da je ocˇekivani broj poziva λ = 4 . Medutim, u ovakvim modep=
25
lima nama je obicˇno vazˇniji taj intenzitet λ od ukupnog broja poziva n koji nam mozˇe
biti i nepoznat (a mozˇemo zamisliti da nije niti ogranicˇen odozgo). U tom slucˇaju je
umjesto binomne reazdiobe prikladnije koristiri Poissonovu. Razdiobu ove slucˇajne
varijable mozˇemo ovako opisati.
1 k
1 n;k
n k
n
pk =
p (1 ; p)n;k =
1;
k
k
m
m
n
Stavimo λ =
i pustimo da broj n neogranicˇeno raste:
m
λ n;k
1 n(n ; 1) (n ; k + 1) k
λ n;k
n λ k
pk =
1;
=
λ 1;
k
k
n
n
k!
n
n
1
1
k;1 k
λ n;k
λ k ;λ
=
1 1 ; n 1 ; n λ 1 ; n
! k! e :
k!
Dakle, vrijedi (n; p) (np) za veliki n i maleni p .
B
P
P
Primjer 11. Odredi karakteristicˇnu funkciju Poissonove razdiobe
(λ ) . Izracˇunaj njezino ocˇekivanje i disperziju. Pokazˇi, ako su X1 (λ1 ) i X2 (λ2 )
nezavisne slucˇajne varijable, da je onda i X1 + X2 Poissonova slucˇajna varijabla. Odredi
joj parametar.
P
. Neka je X
ϑ (t )
=
P (λ ) .
1
X
eitk
k=0
λ k ;λ
e
k!
=
1 (λ e )
X
e;λ
it k
k=0
=
k!
e;λ eλ e
it
=
eλ (e
it
P
;1):
Primjenom formule (4) dobivamo E(X ) = λ , D(X ) = λ .
Stabilnost Poissonovih slucˇajnih varijabli na zbrajanje dobivamo ovako: karakteristicˇna funkcija Poissonove razdiobe je
ϑXk (t )
=
eλk (e
it
te slijedi
ϑX1 +X2
=
;1);
e(λ1 +λ2 )(e
k
it
=
1; 2
;1)
sˇto je karakteristicˇna funkcija Poissonove razdiobe P(λ 1 + λ2 ) . / /
Primjer 12. U telefonskoj centrali tijekom jednog sata bilo je 240 poziva. Odredi
vjerojatnost da tijekom jedne minute a) nije bilo nijednog poziva, b) bilo je barem dva
poziva.
. Neka je X slucˇajna varijabla: broj poziva u jednoj (bilo kojoj) minuti. To je Po= 4.
issonova varijabla s intenzitetom λ koji je jednak ocˇekivanoj vrijednosti, λ = 240
60
λ0
e;λ = e;4 = 0:018;
0!
PfX > 2g = 1 ; PfX = 0g ; PfX = 1g = 1 ; e;4 ; 4e;4
PfX
=
0g =
=
0:908:/
Zamislimo li varijablu X1 kao broj poziva na prvi telefon centrale nekog poduzec´a, a X2 kao broj poziva na drugi telefon, tada, po gornjem, ukupan broj poziva ima
takoder Poissonovu razdiobu. Ako je poznata vrijednost tog zbroja, pogledajmo sˇto se
mozˇe rec´i o vrijednostima pojedinih varijabli.
Primjer 13. Neka su X1 i X2 nezavisne slucˇajne varijable, s Poissonovim zakonom P(λ 1 ) , odnosno P(λ 2 ) . Poznato je da je njihov zbroj X1 + X2 poprimio
vrijednost n . Dokazˇi da je tada vrijednost od X1 rasporedena po binomnom zakonu s
λ1
parametrima n i p =
, tj.
λ1 + λ2
n k n;k
PfX1 = k j X1 + X2 = ng =
pq :
k
. Jednostavni racˇun daje
PfX1
=k
j X1 + X2 = ng = PfXP1f=X k+; XX2 ==nn;g kg
=
λ1k ;λ1
λ2n;k ;λ2
e
e
k!
(n
k)!
(λ1 + λ2 )n ;λ1 ;λ2
e
n!
;
1
=
2
n k
k
λ1
λ1 + λ2
λ2
;
λ1 + λ2
n k
:/
Primjer 14. Centrala poduzec´a ima dva pozivna broja. Na prvi stizˇe oko 20%
poziva visˇe nego na drugi broj. Ako je u protekloj minuti stiglo 5 poziva, kolika je
vjerojatnost da je cˇesˇc´e pozivan prvi broj?
. Pozivi na pojedine brojeve su nezavisne Poissonove varijable s parametrima λ 1 i λ2
pri cˇemu je λ1 = 1:2λ2 . Iskoristit c´emo rezultat prosˇlog zadatka: razdioba varijable
X1 uz uvjet X1 + X2 = 5 je binomna, s parametrima n = p i
λ1
6
p=
=
:
λ1 + λ2
11
Zato je
6 3 5 2
6 4 5
6 5
5
5
+
+
= 0:585: /
PfX1 > 3jX1 + X2 = 5g =
3 11
4 11
11
11
11
Aproksimacija binomne razdiobe Poissonovom
B
Ako je n velik i p malen, tada se binomna razdioba (n; p) dade aproksimirati
Poissonovom razdiobom (np) . Drugim rijecˇima vrijedi
λ k ;λ
n k n;k
pq
e :
(3)
k
k!
Gresˇka koja se cˇini ovakvom aproksimacijom priblizˇno je jednaka izrazu
k ; (k ; np)2
kp2
rn (k) =
+
:
2n
2
Iskazˇimo josˇ jednu ocjenu za pogresˇku. Za svaki skup A f0; 1; : : : ; ng vrijedi
ocjena
jPf (n; p) 2 Ag ; PfP(np) 2 Agj ? np2;
tj.
(np)k ;np
n k n;k
pq
;
e
? np2:
k
k
!
k2A
k2A
P
B
X X
Primjer 15. Proizvodi neke velike serije, koja sadrzˇi 0:7% sˇkarta, pakiraju se u
kutije po 100 komada. Koliki c´e postotak kutija biti bez ijednog sˇkarta, a koliki sa dva
ili visˇe sˇkartova?
. Broj sˇkartnih proizvoda u jednoj kutiji je slucˇajna varijabla X distribuirana po
binomnom zakonu (100; 0:007) . Zato
100
PfX = 0g =
0:00700:993100 = 0:4954;
0
PfX > 2g = 1 ; PfX = 0g ; PfX = 1g
100
; 100
0:007 0:99399 = 0:1554:
= 1 ; 0:993
1
Mozˇemo aproksimirati X P(0:7) . Jednostavniji racˇun daje
PfX = 0g = e;0:7 = 0:4966;
B PfX
> 2g = 1 ; e;0 7 ; 0:7e;0 7 = 0:1558:/
:
:
Primjer 16. Na lovacˇki zrakoplov ispaljeno je 5000 metaka. Vjerojatnost pogotka za svaki metak je 0:001 . Ako je zrakoplov pogoden, vjerojatnost da c´e metak
prouzrocˇiti pad zrakoplova je 0:05 . Izracˇunaj vjerojatnost da c´e zrakoplov biti srusˇen.
. Neka je X slucˇajna varijabla: broj pogodaka u zrakoplov. Tada je X
B(5000; 0:001) . Oznacˇimo
Hk = fzrakoplov je pogoden sa k metakag;
A = fzrakoplov je srusˇeng:
Vrijedi
X
5000
P(A) =
P(AjHk )P(Hk ):
k=1
Pri tom je
P(AjHk ) = 1 ; P(AjHk ) = 1 ; 0:95k
(vjerojatnost da zrakoplov nec´e biti srusˇen ukoliko je pogoden s k metaka jednaka je
0:95k ).
5000
P(Hk ) = PfX = kg =
0:001k 0:9995000;k
k
sˇto je neprakticˇno za daljnji racˇun. Zato aproksimiramo (5000; 0:001) P(5) i
dobivamo
5k
P(Hk ) = e;5 :
k!
Sada je
B
X
5000
P(A) =
k=1
;5
=e
=
; 0:95k) 5k! e;5
k
(1
X 5 X 4:75 5000
k=1
5
e;5 (e
k
;
k!
5000
k=1
k
k!
; e4 75) = 0:22:/
:
3.
Slucˇajne varijable
1.
2.
3.
4.
Slucˇajne varijable i razdiobe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funkcije neprekinutih slucˇajnih varijabli . . . . . . . . . . .
Eksponencijalna razdioba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Normalna razdioba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
3
4
3.1. Slucˇajne varijable i razdiobe
Slucˇajna varijabla
F
F
Neka je (Ω; ; P) vjerojatnosni prostor. Preslikavanje X : Ω ! R nazivamo
slucˇajna varijabla ako je za svaki x 2 R skup Ax = fω 2 Ω : X (ω ) < x g dogadaj,
. Skup fω 2 Ω : X (ω ) < x g oznacˇavat c´emo krac´e sa fX < x g .
dakle element od
Funkcija razdiobe
Funkcija razdiobe slucˇajne varijable X je funkcija F : R
definirana formulom
F (x ) := P(fX < x g):
Ona posjeduje svojstva
1 P(fx 1 ? X < x 2 g) = F (x 2 ) ; F (x 1 ) ,
2 F je neopadajuc´a: x 1 < x 2 =) F (x 1 ) ? F (x 2 ) ,
3 lim F (x ) = 0 , lim F (x ) = 1 ,
x
!;1
x
!1
4 F je neprekinuta slijeva:
F (x ; 0) := lim F (x ; ε ) = F (x );
#
ε 0
Pokazˇimo ova svojstva.
8x 2 R:
! [0; 1]
(1)
1 Neka je x 1
<
x 2 . Onda vrijedi
f
= P(fX
g) = P(fX x 1 g [ fx 1 ? X
x 1 g) + P(fx 1 ? X x 2 g)
= F (x 1 ) + P(fx 1 ? X
x 2 g)
x1
x 2 . Kako vrijedi fX
x 1 g fX
F (x 2 ) = P( X
<
x2
<
<
x2
g)
<
<
2
<
:
g
Neka je ponovo
<
<
< x 2 , tvrdnja slijedi zbog
monotonosti vjerojatnosti.
3 Neka je (x n ) po volji odabran padajuc´i niz realnih brojeva, limn!1 x n =
. Oznacˇimo
1 An = . Zato je,
A2
: : : i vrijedi
An = X < x n . Onda su An padajuc´i skupovi: A1
n=1
zbog svojstva neprekinutosti vjerojatnosti,
lim F (x ) = lim F (x n ) = lim P(An ) = 0:
f
g
x
!1
!;1
;1
\
;
!1
n
n
Druga se tvrdnja dokazuje na isti nacˇin.
4 Tvrdnja ponovo slijedi iz neprekinutosti vjerojatnosti. Naime, ako je (εn ) niz pozitivnih
brojeva koji opada prema nuli, onda je s An = X < x εn definiran rastuc´i niz skupova za koji
vrijedi 1
n=1 An = X < x pa tvrdnja slijedi zbog neprekinutosti vjerojatnosti:
f
; g
g
F (x ; 0) = lim F (x ; ε ) = lim F (x ; εn ) = lim P(An ) = P(A) = F (x ) 8x 2 R
n!1
n!1
ε #0
[
f
;
:
;1 , 0 , 1 s vjerojatnostima
, 14 redom. Napisˇi funkciju razdiobe varijable X i nacrtaj njezin graf.
. Ako je x ? ;1 , tada dogadaj fX < x g ima vjerojatnost 0 te je F (x ) = 0 za
takve x . Za ;1 < x ? 0 vrijedi
Zadatak 1. Slucˇajna varijabla X uzima vrijednosti
1
4
,
1
2
PfX < x g = PfX
=
;1g = 14
itd. Tako dobivamo
8 0;
>
>
< ;
F (x ) =
>
>
: ;
1
4
3
4
1;
x
? ;1;
;1 < x ? 0;
0 < x ? 1;
/
1 < x:
Sl. 3.1.
Opc´enito, funkcija razdiobe diskretne slucˇajne varijable sa zakonom
X
x1 x2 x3
p1 p2 p3
je stepenasta funkcija sa skokovima u tocˇkama x 1 , x 2 ,: : : . Iznosi skokova su vjerojatnosti p1 , p2 ,: : : .
Sl. 3.2. Graf funkcije razdiobe diskretne
slucˇajne varijable stepenasta je funkcija.
U tocˇkama prekida neprekinuta je slijeva.
Iznos skokova jednak je vjerojatnosti s kojom slucˇajna varijabla poprima vrijednost
u toj tocˇki.
Neprekinute slucˇajne varijable
Upoznat c´emo sada drugu vazˇnu klasu slucˇajnih varijabli.
Neprekinute slucˇajne varijable
Za slucˇajnu varijablu X kazˇemo da je neprekinuta (kontinuirana) ako
postoji nenegativna funkcija f : R ! R takva da vrijedi
Z
F (x ) =
x
;1
f (t )dt :
(2)
Funkcija f naziva se gustoc´a razdiobe vjerojatnosti slucˇajne varijable X .
Ona nije nuzˇno neprekinuta, no u tocˇkama neprekinutosti od f vrijedi
dF (x )
f (x ) =
:
(3)
dx
Dakako, funkcija razdiobe neprekinute slucˇajne varijable je i sama neprekinuta,
tj. vrijedi PfX = x g = F (x + 0) ; F (x ) = 0 za svaki x 2 R . Stoga su i svi dogadaji
fx1 < X < x2g , fx1 ? X < x2 g , fx1 < X ? x2g , fx1 ? X ? x2 g jednako vjerojatni.
Njihova se vjerojatnost racˇuna na nacˇin
Pfx 1 < X < x 2 g = F (x 2 ) ; F (x 1 ) =
Z1
Z
x2
f (t )dt :
(4)
x1
Sama funkcija gustoc´e pozitivna je funkcija s integralom
;1
f (x )dx
=
1:
(5)
Slika prikazuje neku funkciju razdiobe i pripadnu gustoc´u
Sl. 3.3. Razlika vrijednosti funkcije razdiobe jednaka je vjerojatnosti da slucˇajna varijabla X
poprimi vrijednost u tom intervalu. Kod funkcije gustoc´e ta je vjerojatnost predocˇena povrsˇinom
ispod grafa funkcije
Znamo da je funkcija razdiobe neopadajuc´a funkcija s vrijednostima unutar intervala [0; 1] . Stoga c´emo neke formule zapisivati u skrac´enom obliku. Tako npr.
umjesto zapisa
0;
x ? 0;
F (x ) =
x;
0 < x < 1;
1;
1 ? x;
8
<
:
pisat c´emo kratko
F (x )
=
x;
0 < x < 1;
jer je tada nuzˇno F (x ) = 0 za x ? 0 i F (x ) = 1 za x > 1 .
Takoder, ako gustoc´u razdiobe definiramo nekom formulom za x 2 [a; b] , tada
smatramo da je van tog intervala po definiciji jednaka nuli.
Na koncu, ako je funkcija F ili f definirana nekom formulom bez naznake
podrucˇja definicije, tada c´e to redovito biti cˇitav R .
Jednolika razdioba
Opisˇimo sad jednostavnu, ali vrlo vazˇnu razdiobu. Prisjetimo se situacije koju
smo imali kad je podrucˇje vrijedosti slucˇajne varijable S = fx 1; : : : ; x n g , bio diskretan
skup. Slucˇajna varijabla koja je poprimala vrijednosti unutar S s jednakim vjerojatnostima opisivala je pokus biranja na srec´u elementa skupa S . Tad je vjerojatnost
1
njezine realizacije bila P(X = x k ) = , za svaki k = 1; : : : ; n .
n
Jasno je da povec´anjem broja elemenata u skupu S ove vjerojatnosti tezˇe k nuli. Ako je na
primjer S skup prirodnih brojeva mozˇemo postaviti pitanje: postoji li algoritam kojim bi, s jednakom
vjerojatnosˇc´u, birali neki prirodni broj. Odgovor na ovo vazˇno pitanje je negativan, takav algoritam
ne postoji. Naime, jasno je da bi vjerojatnost izbora svakog prirodnog broja morala biti jednaka nuli,
pa je, zbog svojstva σ -aditivnosti vjerojatnosti P i vjerojatnost izbora bilo kojeg podskupa skupa
prirodnih brojeva jednaka nuli.
Pretpostavimo sad da je skup S interval [a; b] . Tocˇaka unutar tog intervala ima
beskonacˇno (neprebrojivo) mnogo. Zamislimo postupak odabira na srec´u nekog broja
unutar tog intervala.
Kazˇemo da biramo na srec´u broj unutar intervala [a; b] ako je vjerojatnost da c´e
on biti izabran unutar nekog podintervala proporcionalna duljini tog podintervala.
Neka X oznacˇava izabrani broj. Odredimo funkciju razdiobe slucˇajne varijable
X.
Pfa ? X < x g = K (x ; a) = F (x ) ; F (a):
X uzima vrijednost unutar intervala [a; b] . Zato je
PfX < ag = 0 = F (a);
1 = Pfa ? X < bg = F (b) ; F (a) = K (b ; a);
i odavde je K
=
1
. Dakle,
b;a
F (x )
=
f (x )
=
x;a
;
b;a
1
;
b;a
a?x
? b;
a?x
? b:
Za X kazˇemo da je jednoliko (uniformno) distribuirana na intervalu [a; b] .
Pisˇemo X (a; b) .
U
Sl. 3.4. Funkcija razdiobe jednolike razdiobe je afina na intervalu [a; b] . Gustoc´a jednolike
razdiobe konstantna je na tom intervalu. Odatle i ime razdiobi.
Primjer 2. Unutar kvadrata ABCD stranice a bira se na srec´u tocˇka. Vrijednost
slucˇajne varijable X je udaljenost tako odabrane tocˇke do vrha A . Izracˇunaj pripadnu
funkciju razdiobe FX .
. Oznacˇimo zadani kvadrat sa S , m(S)
a2 . Vrijedi
m(Gx )
m(Gx )
FX (x ) = P(X < x ) =
=
:
m(S)
a2
Razlikujemo dva slucˇaja.
1) 0 ? x ? a . Tada je podrucˇje Gx cˇetvrtina kruga
i vrijedi m(Gx ) = 14 x 2 π .
p
2) a ? x ? a 2 . Tada je podrucˇje Gx sastavljeno
od dva trokuta i kruzˇnog isjecˇka. Neka je α kut tog
isjecˇka, α = π =2 ; 2β (slika 3.5). Vrijedi
a
π
=) α =
; 2 arc cos ax :
cos β =
x
2
Sl. 3.5.
Zato
1
π
a
2
m(Gx ) = a x 2 ; a2 + x
; 2 arc cos x :
2
2
Tako dobivamo
π 2
x;
0 ? x ? a;
4a2
FX (x ) =
p
x 2
π
x2
a
;
1 + 2 x 2 ; 2 arc cos ;
a ? x ? a 2:
a
4a
a
x
=
p
8
>
<
r >
:
Ocˇekivanje i disperzija
Z1
Neka je X neprekinuta s gustoc´om f . Njeno ocˇekivanje definira se na nacˇin
E(X ) =
;1
x f (x )dx
(6)
ukoliko ovaj nepravi integral konvergira. Disperzija D(X ) = E[X ; E(X )]2 racˇuna se
na nacˇin
1
D(X ) = E(X 2 ) ; (EX )2 =
x 2 f (x )dx ; (E(X ))2 :
(7)
Z
;1
x + 1;
Primjer 3. Slucˇajna varijabla X zadana je gustoc´om razdiobe
;1 ? x ? 0;
0 ? x ? 1:
1 ; x;
Napisˇi funkciju razdiobe od X . Izracˇunaj ocˇekivanje i disperziju varijable X .
f (x ) =
. Funkciju razdiobe racˇunamo po formuli
Z
F (x )
Ako je x
? 0 , integral glasi
Z
F (x ) =
Specijalno, F (0) = 12 . Za 0 ? x
=
x
;1
f (t )dt :
x
2
1
;1
(t + 1)dt = 2 (x + 1)
:
? 1 imamo
Zx
2
1
F (x ) = F (0) +
(1 ; t )dt = 1 ; 2 (1 ; x ) :
E(X ) =
Z1
Z
Z
0
;1
x f (x )dx
D(X ) = E(X 2 ) =
Z
=
0
;1
x (x + 1)dx +
Z
0
;1
x 2 (x + 1)dx +
0
1
1
x (1 ; x )dx
x 2 (1 ; x )dx
0
=
=
0;
1
:/
6
Primjer 4. Tocˇka se bira na srec´u unutar polukruga polumjera r . Neka je X
udaljenost tocˇke do promjera. Odredi ocˇekivanje varijable X .
. Kako je
f (x )
=
F 0 (x )
=
lim
∆x
to za malene ∆x vrijedi
f (x )∆x
Odavde
f (x ) =
Z
4
r2 π
r
E(X ) =
0
:
=
p
!0
F (x + ∆x ) ; F (x )
∆x
Pfx < X < x + ∆x g =
r2 ; x 2 ;
4x
r2 π
p
r2
;
0?x
x 2 dx =
=
lim
∆x
!0
Pfx < X < x + ∆x g
∆x
p
m(∆S) : 2 r2 ; x 2 ∆x
:
=
1 2
m(S)
r π
2
? r;
; r22π
Sl. 3.6. Pri racˇunanju povrsˇine ∆S prugu debljine ∆x mozˇemo aproksimirati pravokutnikom iste
debljine. Pri tom je ucˇinjena pogresˇka velicˇine
2
(∆x ) , koja u limesu ne utjecˇe na funkciju f (x ) .
Z p
r
0
r2 ; x 2 d(r2
; x2) = 34πr :/
Do sada smo promatrali diskretne i neprekinute slucˇajne varijable. Spomenimo
da uz njih postoji i trec´a klasa tzv. singularnih slucˇajnih varijabli, cˇija je funkcija
razdiobe neprekinuta, no nemaju gustoc´e. Takva se funkcija ne dade napisati u obliku
x
;1 f (t )dt . Klasu singularnih slucˇajnih varijabli u primjenama ne susrec´emo, posˇto
se njihova funkcija razdiobe ne mozˇe eksplicitno izraziti sluzˇec´i se samo ogranicˇenim
brojem elementarnih funkcija (iskljucˇimo li granicˇne procese).
Svaka se funkcija razdiobe F dade napisati u obliku F = p1 F1 + p2 F2 + p3 F3 ,
gdje je ( pk > 0; p1 + p2 + p3 = 1 ) a F1 , F2 , F3 su redom funkcije razdioba diskretne, neprekinute i singularne slucˇajne varijable. Da bismo te tri klase mogli promatrati
istovremeno, nuzˇno je Riemannov integral zamijeniti Riemann–Stieltjesovim.
R
Riemann-Stieltjesov integral
Neka je F : R ! R monotono rastuc´a funkcija, neprekinuta s lijeva. Neka je
g : [a; b] ! R ogranicˇena.
= fx 0; x 1; : : : ; x n g intervala [a; b] , a = x 0 <
Izaberimo bilo koju particiju
x 1 < : : : < x n = b . Definirajmo integralnu sumu
P
X
P; g; F) =
S(
n
g(x˜ i )[F (x i ) ; F (x i;1 )]:
i=1
Oznacˇimo s ∆ = max jx i ; x )i ; 1j ,
Kazˇemo da je g Riemann-Stieltjes integrabilna u odnosu na F , ako postoji
P; g; F) =:
Z
b
lim S(
∆
!0
g(x )dF (x )
a
neovisno o izboru particije i tocˇaka x˜ i 2 [x i;1; x i ] .
Primijetimo da za F (x ) = x Riemann-Stieltjesov integral postaje Riemannov
integral.
r;
Primjer 5. Neka je F stepenasta funkcija sa skokom iznosa p u tocˇki c :
R
F (x ) =
r + p;
x?c
x>c
Izracˇunajmo a g(x )dF (x ) , pri cˇemu je c 2 [a; b] .
Za bilo koju particiju vrijedi F (x i ) ; F (x i;1 ) = 0 za svaki indeks i osim onaj za
koji je x i;1 ? c < x i , jer je funkcija F konstantna lijevo i desno od tocˇke c . Zato u
integralnoj sumi ostaje samo jedan cˇlan:
b
P; g; F) = g(x˜ )[F(x ) ; F(x ; )]g(x˜ ) p
U limesu, kad ∆ ! 0 , tocˇka x˜ tezˇi ka c . Zato je
Z
S(
i
i
i 1
i
b
g(x )dF (x )
a
=
g(c) p:
i
Opc´enito, ako F ima skokove iznosa pi u tocˇkama ci , za njen RiemannStieltjesov integral vrijedi
Z
X
n
b
g(x )dF (x )
=
a
g(ci ) pi :
i=1
Primjer 6. Neka je sad F neprekidno diferencijabilna funkcija. Tad, po teoremu srednje vrijednosti imamo F (x i ) ; F (x i;1 ) = F 0 (ξi )(x i ; x i;1 ) , za neku tocˇku
ξi 2 [x i;1; x i ] . Integralna suma glasi
X
n
g(x˜ i )F 0 (ξi )(x i ; x i;1 ):
i=1
Z
Limes ove integralne sume ocˇito definira Riemannov integral za
b
g(x )F 0 (x )dx :
a
Prema tome, korisˇtenjem Riemann-Stieltjesovog integrala mi c´emo istovremeno
pokrivati obje vazˇne klase slucˇajnih varijabli, diskretne i neprekinute slucˇajne varijable.
Tako na primjer ocˇekivanje neke slucˇajne varijable mozˇemo izraziti formulom
E(X ) =
a disperziju
D(X ) =
Z1
;1
Z1
;1
x dF (x );
x 2 dF (x ) ; E(X )2 :
Integrali su Riemann-Stieltjesovi.
Karakteristicˇna funkcija
Svakoj slucˇajnoj varijabli X mozˇemo pridruzˇiti karakteristicˇnu funkciju ϑ :
R ! C danu formulom
ϑ (t ) := E(eitX )
=
Z1
;1
eitx dF (x ):
(8)
Osnovna svojstva karakteristicˇne funkcije su
1 Karakteristicˇna funkcija jednoznacˇno odreduje razdiobu: dvije razlicˇite razdiobe ne mogu imati istu karakteristicˇnu funkciju.
2 Ako su X1; : : : ; Xn nezavisne, tada je
ϑX1 +:::+Xn (t ) = ϑX1 (t ) : : : ϑXn (t ):
(9)
3 Vrijedi formula
E(X r ) =
ϑ (r) (0)
;
ir
r
=
1; 2; : : :
(10)
ukoliko ocˇekivanje postoji. Specijalno,
E(X ) = ;iϑ 0 (0);
D(X ) = ;ϑ 00 (0) + ϑ 0 (0)2 :
(11)
Ako je ϑX karakteristicˇna funkcija varijable X , tada varijabla Y
karakteristicˇnu funkciju eita ϑX (bt ):
=
a + bX ima
Laplaceova transformacija
Karakteristicˇna je funkcija Fourierova transformacija gustoc´e. Pri izboru transformacije gustoc´a pozitivne slucˇajne varijable mozˇemo koristiti i Laplaceovu transformaciju. Ako je F funkcija razdiobe pozitivne slucˇajne varijable X , onda je njezin
Laplace-Stieltjesov transformat
f (s)
E(e;sX ) =
=
Z1
e;sx dF (x )
(12)
0
Ako je X neprekinuta s gustoc´om f , onda je f uobicˇajeni Laplaceov transformat
funkcije f :
f (s) =
Z1
e;sx f (x )dx :
(13)
0
Ako je pak X diskretna slucˇajna varijabla koja uzima vrijednosti u skupu f0; 1; 2; : : :g ,
tad Laplace-Stieltjesov transformat glasi
f (s)
=
1
X
e;sk pk
=
ψ X (e;s ):
(14)
k=0
Dakle, u ovom se slucˇaju Laplaceov transformat podudara s funkcijom izvodnice u
kojoj je argument z zamijenjen s e;s .
Derivacijom integrala po parametru dobivamo
d f (s)
ds
d2 f (s)
ds2
=
Z1
Z1
;x)e;sx dF(x)
(
0
=
;x)2 e;sx dF(x)
(
0
..
.
dn f (s)
dsn
Z1
=
Z1
0
;x)n e;sx dF(x)
(
Odavde, stavljajuc´i s = 0 , slijedi
E(X
n
)=
0
n
x dF (x )
=(
;1)
nd
n
f (s)
dsn
s=0
:
(15)
3.2. Funkcije neprekinutih slucˇajnih varijabli
Neka je X neprekinuta slucˇajna varijabla sa gustoc´om f i funkcijom razdiobe
F . Trazˇimo gustoc´u g (ako postoji) i razdiobu G slucˇajne varijable Y = ψ (X ) , za
zadanu funkciju ψ : R ! R . Imamo
G(y ) = PfY < y g = Pfψ (X ) < y g
=
PfX
2 ψ ;1f(;1; y)gg = PfX 2 Ay g
gdje je ψ ;1 (A) oznaka za original skupa A :
ψ ;1 (A) := x
f 2 R : ψ (x) 2 Ag:
Sl. 3.7.
Ako je ψ monotono rastuc´a, tada je (slika 3.7)
Ay = ψ ;1 f(;1; y )g = (;1; ψ ;1 (y )) = (;1; x ):
Odavde dobivamo
G(y ) = PfX 2 Ay g = PfX 2 (;1; x )g = PfX < x g = F (x );
d
d
dx
dx
g(y ) =
= f (x )
:
G(y ) =
F (x ) dy
dx
dy
dy
Sl. 3.8.
Za monotono padajuc´u funkciju ψ dobivamo (slika 3.8)
Ay = ψ ;1 f(;1; y )g = (ψ ;1 (y ); 1) = (x; 1);
G(y ) = PfX 2 Ay g = PfX 2 (x; 1)g = PfX > x g = 1 ; F (x );
d
d
dx
dx
g(y ) =
[1 ; F (x )]
= ; f (x )
:
G(y ) =
dy
dx
dy
dy
dx g(y ) = f (x ) ;
dy
U oba slucˇaja se rezultat mozˇe napisati formulom
tj.
g(y )
=
y
dψ
f (ψ ;1 (y ))
=
ψ (x );
(1)
;1 (y ) dy
:
Opc´enitije, ova formula vrijedi za svaku injektivnu funkciju ψ .
Ocˇekivanje i momente visˇeg reda varijable Y mozˇemo racˇunati i formulom
Z1
E(Y k ) = E(ψ (X )k ) =
;1
ψ (x )k f (x )dx :
(2)
Primjer 1. Slucˇajna varijabla X ima Cauchyjevu razdiobu, s gustoc´om
f (x )
=
1
π (1 + x 2 )
:
Odredi gustoc´u i funkciju razdiobe slucˇajne varijable a) Y
=
X 2 ; b) Y
=
1=X .
. a) Funkcija razdiobe F varijable X je
Z
F (x ) =
=
x
1
;1 π (1 + u2 )
1
2
+
du
1
arc tg x :
π
Zato imamo
G(y ) = PfY < y g = PfX 2 Ay g
p
p
= Pf; y < X < y g
p
p
2
p
arc tg y;
= F ( y ) ; F (; y ) =
π
1
g(y ) = p
; y > 0:
π y (1 + y )
Sl. 3.9.
y > 0;
I ovdje mozˇemo gustoc´u dobiti i na drugi nacˇin. Funkcija x
na intervalima (;1; 0) , (0; 1) :
x<0:
x>0:
7! x 2
je injektivna
dx = 1 p1 = p 1 ; y > 0;
π (1 + x ) 2 y
2π y (1 + y )
dy
dx
1
g (y ) = f (x ) =
p1 = p 1
; y > 0;
g1 (y )
=
f (x )
2
2
dy
π (1 + x 2 ) 2 y
2π y (1 + y )
Funkcija g je zbroj ovih dviju funkcija
g(y )
=
g1 (y ) + g2 (y )
=
1
;
p
π y (1 + y )
y > 0:
b) Funkcija x
7! 1x
je injektivna, zato
dx 1
1
g(y ) = f (x ) =
dy
π (1 + x ) y
2
te i Y
=
2
=
1
π 1+
1 2
y
y2
=
1
π (1 + y 2 )
:
1
ima takoder Cauchyjevu razdiobu. /
X
Primjer 2. Kroz tocˇku A(0; 1) povucˇen je pravac koji sijecˇe os Ox u tocˇki B .
Kut α sˇto ga zatvara pravac s osi Oy je slucˇajna varijabla s jednolikom razdiobom na
intervalu (; π2 ; π2 ) . Neka je X apscisa tocˇke B . Odredi funkciju gustoc´e varijable X .
. Gustoc´a varijable α je
1
π π
;
α 2 (; ; ):
π
2 2
Vrijedi X = tg α , a funkcija tangens je injektivna (rastuc´a) na
intervalu (; π2 ; π2 ) . Zato je gustoc´a varijable dana sa
f (α ) =
dα 1 d(arc tg x)
1
g(x ) = f (α ) = =
:
dx
π
dx
π (1 + x )
2
Sl. 3.10.
Vidimo da X ima Cauchyjevu razdiobu. /
Primjer 3. Odredi ocˇekivanje duljine sekante koja spaja fiksnu tocˇku A kruzˇnice
polumjera R sa na srec´u odabranom tocˇkom B na kruzˇnici.
. Oznacˇimo sa α sredisˇnji kut nad manjim lukom
AB . To je slucˇajna varijabla s jednolikom razdiobom na
intervalu [0; π ] . Vrijedi
α
X = 2R sin = ψ (α );
2
gdje je X duljina sekante AB . Njeno ocˇekivanje iznosi
E(X ) =
Z
π
Z
π
0
=
ψ (α ) f (α )dα
2R sin
0
α
2
π1 dα = 4πR :/
Sl. 3.11.
Primjer 4. Slucˇajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [0; 1] . Odredi preslikavanje ψ tako da Y = ψ (X ) ima eksponencijalnu razdiobu (λ ) .
E
. Ovakav zadatak nema jedinstveno rjesˇenje. Mi c´emo izabrati sˇto jednostavniju
funkciju s trazˇenim svojstvom: funkciju ψ c´emo potrazˇiti u klasi injektivnih funkcija.
Oznacˇimo sa χ njenu inverznu funkciju. Tada je gustoc´a razdiobe varijable Y dana sa
g(y )
Z
Dakle,
χ (y )
f (χ (y ))jχ 0 (y )j
=
y
=
0
=
χ 0 (y )
=
λ e;λ y :
= 1 ; e;
λ e;λ u du = ;e;λ u y
ψ (x )
λy
=
x;
0
i odavde
y
=
=
; λ1 ln(1 ; x);
0 < x < 1: /
Primjer 5. Slucˇajna varijabla X ima neprekinutu funkciju razdiobe F . Odredi
funkciju razdiobe slucˇajne varijable Y = F (X ) .
. Y poprima vrijednosti unutar intervala [0; 1] .
PfY < y g = PfF (X ) < y g = PfX < F;1 (y )g = F (F ;1 (y ))
dakle, Y ima jednoliku razdiobu na intervalu [0; 1] . /
=
y:
3.3. Eksponencijalna razdioba
Kazˇemo da slucˇajna varijabla X ima eksponencijalnu razdiobu s parametrom
λ > 0 ako ona poprima pozitivne vrijednosti s gustoc´om
Pisˇemo X
E
f (x ) = λ e;λ x ;
x > 0:
(λ ) . Njezina je funkcija razdiobe
F (x ) = 1 ; e;λ x ;
(1)
x > 0:
Eksponencijalna razdioba javlja se u problemima vezanim za vrijeme ispravnog
rada uredaja cˇije se karakteristike ne mijenjaju u vremenu, recimo vrijeme ispravnog
rada zˇarulje, vrijeme do prvog poziva (pa i izmedu dva uzastopna poziva) u telefonskoj
centrali, vrijeme do ulova prve ribe, do pojave neke nesrec´e i opc´enito vrijeme do
pojave nekog dogadaja cˇija je vjerojatnost pojavljivanja u svakom kratkom intervalu
jednake duljine jednaka. Opisˇimo preciznije tu tvrdnju.
Neka je X slucˇajna varijabla: vrijeme ispravnog rada nekog uredaja. Pretpostavimo da je uvjetna vjerojatnost da c´e uredaj prestati s radom u nekom vrlo kratkom
intervalu (x; x + ∆x ) , ako je poznato da je ispravno radio do trenutka x , proporcionalna
duljini tog podintervala (i ne ovisi o vrijednosti x ):
r
! 0 kad ∆x ! 0:
PfX < x + ∆x j X > x g = λ ∆x + r;
∆x
Dokazˇimo da je tada X slucˇajna varijabla distribuirana po eksponencijalnom zakonu
(λ ) .
Po formuli za uvjetnu vjerojatnost mozˇemo napisati
E
PfX > x + ∆x g = PfX > x g PfX > x + ∆x j X > x g:
Medutim, kako je
PfX > x + ∆x j X > x g = 1 ; PfX < x + ∆x j X > x g = 1 ; λ ∆x ; r;
dobivamo
PfX > x + ∆x g = PfX > x g(1 ; λ ∆x ; r):
Definirajmo funkciju
Q(x ) := PfX > x g = 1 ; F (x ):
Ona zadovoljava relaciju
Q(x + ∆x ) ; Q(x )
te je
dQ(x )
dx
=
lim
∆x
!0
Q(x + ∆x ) ; Q(x )
∆x
=
=
Q(x )[;λ ∆x
; r]
lim Q(x )[;λ
∆x
!0
; ∆rx ] = ;λ Q(x):
Rjesˇenje ove diferencijalne jednadzˇbe je
Q(x )
=
Ce;λ x :
Konstantu C odredujemo iz pocˇetnog uvjeta: Q(0) = PfX > 0g = 1 . Odavde C
i zato
F (x ) = 1 ; Q(x ) = 1 ; e;λ x ;
te X zaista ima eksponencijalnu razdiobu
=
1
E (λ ) .
Zadatak 1. Neka Poissonova slucˇajna varijabla Z mjeri broj pojavljivanja nekog
dogadaja u nekom jedinicˇnom vremenskom razdoblju. Definirajmo slucˇajnu varijablu
X kao vrijeme do prve realizacije varijable Z . Pokazˇi da X ima eksponencijalnu
razdiobu.
. Oznacˇimo sa λ = E(Z ) parametar Poissonove razdiobe. Neka je x fiksno
vrijeme nakon pocˇetnog trenutka, izrazˇeno u jedinicama vremena. Definirajmo slucˇajnu varijablu Zx kao broj realizacija dogadaja u intervalu [0; x ] . To je Poissonova
varijabla s ocˇekivanjem x λ . Slucˇajna varijabla X c´e poprimiti vrijednost manju od x
ukoliko u intervalu [0; x ] stigne barem jedan poziv, tj. ako Zx poprimi vrijednost vec´u
od nule:
PfX < x g = PfZx > 0g = 1 ; PfZx = 0g = 1 ; e;λ x :
Vidimo da X ima eksponencijalnu razdiobu s parametrom λ . / /
Zadatak 2. Pokazˇi da Laplaceov transformat eksponencijalne razdiobe
nosi
f (s)
=
E (λ ) iz-
λ
s+λ
i izracˇunaj njezino ocˇekivanje i disperziju.
.
f (s) =
Z1
Z1
e;sx f (x )dx =
Z1
0
=
λ
e;sx λ e;λ x dx
0
λ
e;(s+λ )x dx = ;
e;(s+λ )x
s+λ
0
1
x=
=
x =0
λ
s+λ
(Pri uvrsˇtavanju gornje granice uvaz
ˇ avamo da je f definirana za s > 0 .) Po formuli
(15)
je
E(X ) =
0 s+λ
λ
s=0
Slicˇno dobivamo D(λ ) =
1
λ
=
1
:
λ
. //
E
Primjer 3. Neka je X (λ ) . Pokazˇi da vjerojatnost dogadaja fX < E(X )g ne
ovisi o parametru λ . Izracˇunaj tu vjerojatnost.
. Kako je E(X ) = 1=λ , to imamo
PfX < E(X )g = F (
1
λ
)=
1 ; e;λ (1=λ )
=
1 ; e;1 : /
Primjer 4. Neki je uredaj u godini dana 10 puta bio u kvaru. Kolika je vjerojatnost
da c´e prvi mjesec sljedec´e godine raditi ispravno?
. Neka je X slucˇajna varijabla: vrijeme do prvog kvara. Po zadatku 8.29 znamo
).
da vrijedi X ( 10
12
E
PfX > 1g = 1 ; PfX < 1g = 1 ; 1 ; e; 12 1
=
e;5=6
=
10
0:435:/
Primjer 5. Vrijeme ispravnog rada nekog uredaja je slucˇajna varijabla distribuirana po eksponencijalnom zakonu s ocˇekivanjem 2 mjeseca. Kolika je vjerojatnost da
c´e se uredaj pokvariti u toku
a) prvog mjeseca,
b) drugog mjeseca,
c) drugog mjeseca, ako je poznato da se u toku prvog mjeseca nije nalazio u
kvaru.
E ( 12 ) .
. Po uvjetu zadatka je X
PfX < 1g = 1 ; e;
(2a)
(3b)
1
2
=
0:393;
Pf1 < X < 2g = (1 ; e; 2 2 ) ; (1 ; e; 2 1 ) = e; 2
Pf1 < X < 2; X > 1g
Pf1 < X < 2 j X > 1g =
PfX > 1g
1
(4c)
1
1
; e;1 = 0:239;
Pf1 < X < 2g
e; 2 ; e;1
;1
=
= 1 ; e 2 = 0:393:
1
;
PfX > 1g
2
e
Primijeti da se vjerojatnosti dogadaja pod a) i c) podudaraju.
1
=
Svojstvo iz prosˇlog zadatka mozˇe se poopc´iti. Za sve a; b > 0 vrijedi
PfX < a + b j X > ag = PfX < bg:
sˇto mozˇemo rijecˇima iskazati na nacˇin: eksponencijalna razdioba nema pamc´enja.
Evo primjera: ako je ocˇekivano vrijeme do ulova prve ribe jedan sat, i ako je prvih 50
minuta proteklo bez ikakvog ulova, tada ocˇekivano vrijeme do ulova te ribe ostaje (na
zˇalost) i dalje jedan sat, bez obzira na proteklo vrijeme.
Ovo svojstvo karakterizira eksponencijalnu razdiobu.
Primjer 6. Neka za slucˇajnu varijablu X koja uzima samo pozitivne vrijednosti
vrijedi
PfX < x + t j X > t g = PfX < x g:
Pokazˇi da X ima eksponencijalnu razdiobu.
(5
)
. Oznacˇimo Q(x ) := PfX > x g = 1 ; F (x ) , gdje je F trazˇena funkcija razdiobe. Po pretpostavci je Q(0) = PfX > 0g = 1 . Takoder, vrijedi Q0 (x ) = ; f (x ) < 0
za x > 0 . Oznacˇimo Q0 (0) =: ;λ . Osnovnu relaciju () mozˇemo napisati na nacˇin
1 ; PfX > x + t j X > t g = 1 ; PfX > x g
te je
P fX > x + t ; X > t g
= PfX > x g
PfX > t g
ili
PfX > x + t g = PfX > t gPfX > x g:
Tako dobivamo funkcionalnu jednadzˇbu
Q(x + t ) = Q(t )Q(x );
8t; x > 0
(6 4 )
Nju c´emo, zbog jednostavnosti, rijesˇiti uz dodatnu pretpostavku da je Q diferencijabilna funkcija. Deriviranjem relacije (4) po varijabli t dobivamo
Q0 (x + t ) = Q0 (t )Q(x ):
Uvrsˇtavanjem t = 0 slijedi
Q0 (x ) = Q0 (0)Q(x ) = ;λ Q(x )
i odavde dobivamo Q(x ) = Ce;λ x . Kako je Q(0) = 1 , to dobivamo C = 1 . Zato
F (x )
=
1 ; Q(x )
=
1 ; e;λ x : /
3.4. Normalna razdioba
Slucˇajna varijabla X ima normalnu razdiobu s parametrima a 2 R i σ 2 > 0 ako
je X neprekinuta slucˇajna varijabla s gustoc´om
1
(x ; a)2
f (x ) = p exp ;
:
(1)
2σ 2
σ 2π
Pisˇemo X (a; σ 2 ) .
Slucˇajna varijabla
(0; 1) zove se jedinicˇna normalna razdioba. Njenu gustoc´u
oznacˇavamo sa
1
1 2
φ (u) = p e; 2 u :
(2)
2π
Pripadnu funkciju razdiobe Φ mozˇemo izvesti uz pomoc´ funkcije
u
u
1
1 2
Φ0 (u) :=
φ (t )dt = p
e; 2 t dt
(3)
2π 0
0
cˇije su vrijednosti dane u tablicama. Vrijedi, za u > 0 , Φ(u) = 12 + Φ0 (u) , a za
u < 0 je Φ(u) = 12 ; Φ0 (;u) , tako da je dovoljno tabelirati vrijednosti funkcije Φ0
za pozitivne vrijednosti od u .
Cˇesto se tabelira umjesto Φ0 funkcija
u
1
1 2
Φ (u) = 2Φ0 (u) = p
e; 2 t dt :
(4)
2π ;u
U ovoj c´emo knjizi koristiti tabelirane vrijednosti funkcije Φ . To je neparna funkcija,
stoga je dovoljno tabelirati je za pozitivne vrijednosti od u . Pri tom vrijedi
Φ(u) = 12 (1 + Φ (u)):
Zato za jedinicˇnu normalnu varijablu X vrijedi
Pfu1 < X < u2 g = Φ(u2 ) ; Φ(u1 ) = 12 (Φ (u2 ) ; Φ (u1 )):
(5)
Specijalno, u slucˇaju simetricˇnog intervala
PfjX j < ug = 12 (Φ (u) ; Φ (;u)) = Φ (u):
(6)
n
N
o
N
Z
Z
Z
Primjer 1. Neka je X jedinicˇna normalna varijabla. Odredi vjerojatnost dogadaja
a) 0 < X < 1 ; b) ;2 < X < 0 ; c) ;1 < X < 2 ; d) 1 < X < 2 ; e) X < 1 ;
f) X > 1 .
.
Pf0 < X < 1g =
Pf;
Pf;
Pf
Pf
Pf
; Φ(0)] = 12 Φ(1) = 0:341;
; Φ(;2)] = 12 Φ(2) = 0:477;
; Φ(;1)] = 12 [Φ(2) + Φ(1)] = 0:819;
; Φ(1)] = 0:136;
1
[Φ (1)
2
2 < X < 0 = 12 [Φ (0)
1 < X < 2 = 12 [Φ (2)
1 < X < 2 = 12 [Φ (2)
X < 1 = 12 + 12 Φ (1) =
X > 1 = 12 12 Φ (1) =
g
g
g
g
g
;
0:841;
0:159:/
X;a
Tada je
N (0; 1)
σ
N
Neka je X (a; σ 2 ) .
varijable X mozˇemo izraziti uz pomoc´ funkcije Φ :
F (x )
Φ(u) =
=
1
[1 +
2
Φ (u)];
u=
i funkciju razdiobe F
x;a
:
σ
x ; a X ; a x ; a
Pfx < X < x g = P
<
<
σ
σ
σ
x ; a x ; a 1 x ; a x ; a ;Φ σ = 2 Φ σ ;Φ σ :
=Φ
σ
Tako racˇunamo
1
1
2
2
2
1
2
1
Na slici 8.1 prikazane se funkcije gustoc´a jedinicˇne i opc´e normalne razdiobe.
Sl. 3.12. Graf funkcije gustoc´e normalne razdiobe je zvonolika (govori se josˇ i Gaussova)
krivulja. Ona je simetricˇna s obzirom na pravac x = a . Tocˇke infleksije su a σ . Funkcija vrlo
brzo trne
Primjer 2. Neka je X
b) 2 < X < 6 ; c) X > 4 .
N (2; 4) . Odredi vjerojatnost dogadaja a) 0 < X < 4 ;
e
. Ako X ima opc´u normalnu razdiobu, tada c´emo sa X oznacˇavati pripadnu
X;a
jedninicˇnu normalnu slucˇajnu varijablu, X =
.
σ
a)
e
0 ; 2
Pf0 < X < 4g = P
=
Pf2 < X < 6g = P
=
e
<
X;2
6;2
<
2
2
2
1 2 Φ (2) = 0:477:
c) Na isti nacˇin PfX > 4g =
Pf;1 < X < 1g = Φ (1) = 0:683:
2 ; 2
b)
2
X;2
4;2
<
<
2
2
1
(1
2
=
; Φ(1)) = 0:158 . /
e
Pf0 < X < 2g
N (a; σ 2) Izracˇunaj
PfjX ; aj < kσ g;
k = 1; 2; 3:
Primjer 3. Pravilo 3σ . Neka je X
Sl. 3.13.
.
e
PfjX ; aj < kσ g = Pf;kσ < X ; a < kσ g = Pf;k < X < kg = Φ (k):
Vrijedi Φ (1) = 0:6827 , Φ (2) = 0:9545 , Φ (3) = 0:9973 . Dakle, s vjerojatnosˇ-
c´u 99:73% (odnosno, prakticˇki sigurno) normalna varijabla uzima vrijednosti unutar
intervala (a ; 3σ; a + 3σ ) . Ta se cˇinjenica naziva pravilo tri sigma. /
Aproksimacija binomne razdiobe normalnom
X ; np
pnpq ima ocˇekivanje 0 i disperziju 1.
Ukoliko je n dovoljno velik (recimo, n > 10 ), a p nije premalen, ona se dade aprok(0; 1) . Aproksimacija je to bolja sˇto je vrijednost
simirati normalnom razdiobom
parametra p blizˇa 12 . Dakle, vrijedi
Neka je X
B(n; p) .
Tada varijabla
N
n
P x1
Pisˇemo i
B(np; p) ; np < x o = p1 Z
<
x2
2
npq
2π
B(n; p) N (np; npq) , za dovoljno veliki n .
e; 2 u du:
1 2
(7)
x1
Primjer 4. Izracˇunaj vjerojatnost da se u 10 000 bacanja ispravnog novcˇic´a broj
grbova nalazi izmedu 4 950 i 5 100.
B
. Oznacˇimo sa X broj pojavljenih grbova. Tada je X (10000; 12 ) . Medutim, vjerojatnost dogadaja f4950 < X < 5100g se prakticˇki ne dade izracˇunati, zbog
mukotrpnog racˇunanja binomnih koeficijenata i velikog broja pribrojnika. Stoga X ap(5000; 2500) . Zbog velikog broja n = 10000
roksimiramo normalnom razdiobom
aproksimacija c´e biti vrlo dobra.
N
4950 ; 5000
X ; 5000
5100 ; 5000
p
p
< p
<
Pf4950 < X < 5100g = P
2500
2500
2500
1
= 2 [Φ (2) + Φ (1)] = 0:477 + 0:341 = 0:818:/
Primjer 5. Vjerojatnost rodenja djecˇaka priblizˇno je jednaka 0:515 . Kolika je
vjerojatnost da medu 10 000 novorodene djece bude visˇe djevojcˇica?
B
. Broj novorodene musˇke djece je slucˇajna varijabla X (10000; 0:515) . Ponovo c´emo aproksimirati X normalnom razdiobom s parametrima a = 10000 0:515 ,
σ 2 = 10000 0:515 0:485 , X (5150; 2497:75) . Traz
ˇ imo vjerojatnost dogadaja
fX < 5000g :
1
5000 ; 5150
1
PfX < 5000g =
1 + Φ p
= 2 [1 ; Φ (3:01)] = 0:0013: /
2
2497:75
N
Primjer 6. Kako se odreduje vjerojatnost rodenja djecˇaka? Ako je vjerovati podacima, od 1871 do 1900 u Sˇ vicarskoj se je rodio 1 359 671 musˇkic´ i 1 285 086 curica.
Odredi interval unutar kojeg se s vjerojatnosˇc´u 0:997 nalazi vjerojatnost p rodenja
musˇkog djeteta.
. Kao vrijednost vjerojatnosti p uzimamo relativnu frekvenciju rodenja musˇkog
djeteta
m
1 359 671
p0 =
=
= 0:5141:
n
2 644 757
Broj m novorodene musˇke djece ravna se po binomnoj razdiobi s parametrima p0
i n = 2 644 717 . Mozˇemo ga aproksimirati sa zakonom
(np0; np0 q0 ) . Stoga je
razdioba varijable p
m
p0 q0
:
N p0;
p=
n
n
r
N
rp q
. Po pravilu 3σ vrijedi Pfj p ; p0 j < 3σ g
n
timo josˇ da je uvijek p0 q0 < 14 . Stoga
Oznacˇimo σ
=
0 0
3σ
Dobili smo
=
3
rp q
0 0
n
? p3
3 4n
=
=
0:997 . Primje-
0:00013:
0:5132 < p < 0:5160
s vjerojatnosˇc´u od barem 0:997 . /
Primjer 7. Vjerojatnost pojavljivanja dogadaja pri jednom pokusu je 0:3 . S kojom vjerojatnosˇc´u mozˇemo tvrditi da ucˇestalost tog dogadaja u 100 pokusa lezˇi u
granicama 0:2 – 0:4 ?
. Broj pojavljivanja dogadaja u 100 pokusa je slucˇajna varijabla X koju mozˇemo aproksimirati normalnom
(30:21) .
19:5 ; 30
X ; 30
40:5 ; 30
p
Pf20 ? X ? 40g = P
< p
< p
21
21
21
10:5
p
=Φ
= Φ (2:29) = 0:978:
21
N
B(100; 0:3)
Ovdje smo donju granicu 20 smanjili na 19:5 , a gornju granicu 40 povec´ali na 40:5
kod aproksimacije diskretne razdiobe neprekidnom, da bismo povec´ali tocˇnost rezultata. Ta se korekcija primjenjuje za relativno malene vrijednosti od n . Naime, dogadaju
fX = kg za diskretnu varijablu X odgovara dogadaj fk ; 12 < X < k + 12 g kod
aproksimacije neprekinutom varijablom.
Pretpostavimo da gornji pokus ponavljamo 1000 puta. Izracˇunaj vjerojatnost da
ucˇestalost dogadaja bude u istim granicama i usporedi rezultate. /
Primjer 8. Koliki broj nezavisnih pokusa moramo izvesti da bi vjerojatnost pojavljivanja dogadaja A barem 15 puta bila 0:8 , ako je vjerojatnost pojavljivanja dogadaja
A u jednom pokusu 0:2 ?
. Neka je X slucˇajna varijabla: broj pojavljivanja dogadaja A u n nezavisnih
pokusa. Tada je X (n; p) i mozˇemo aproksimirati X (np; npq) . Tu je
p = 0:2 , pq = 0:16 .
B
Pf15 ? X g =
1
2
; 12 Φ
= 2 + 2Φ
1
1
14:5 ; 0:2n p
0:2n0;:1614n :5 p
0:4 n
Dobivamo
N
0:2n ; 14:5
p
Φ
0:4 n
=
=
0:8
0:6:
U tablicama cˇitamo Φ (0:841) = 0:59965 , Φ (0:842) = 0:60021 . Interpolacijom zakljucˇujemo Φ (0:84164) = 0:6 . Dakle
0:2n ; 14:5
p
0:4 n
sˇto nakon sredivanja daje
0:84164
p
0:2n ; 0:33666 n ; 14:5 = 0
p
s rjesˇenjem
=
)
n = 9:40
=
n = 88:31:
Pokus moramo ponoviti 89 puta. /
B
Rjede se koristi lokalni teorem Moivre-Laplacea. Neka je X (n; p) binomna slucˇajna varijabla i Y (np; npq) njena aproksimacija. Oznacˇimo sa f gustoc´u
varijable Y . Tada vrijedi
N
PfX
=
mg Pfm ;
1
2
<Y <m
1
+ 2
g f (m) =
(m;np)
p2π1npq e; 2npq :
2
N
(a; σ 2 ) .
. Odredimo najprije karakteristicˇnu funkciju jedinicˇne normalne razdiobe
Vrijedi
1 1
p e; 12 x2 eitx dx:
ϑ (t ) =
;1 2π
Zadatak 9. Odredi karakteristicˇnu funkciju normalne razdiobe
Z
N (0; 1) .
Z
Deriviramo ovu funkciju i primijenimo parcijalnu integraciju
1
1
1 2
ϑ 0 (t ) = p
ixe; 2 x eitx dx
2π ;1
1
1
i
1 2
itx ; 12 x 2
p
;e e
=
+
iteitx e; 2 x dx
2π
;1
;1
1
1
1 2
= ;t p
eitx e; 2 x dx = ;t ϑ (t ):
2π ;1
Prema tome, ϑ zadovoljava diferencijalnu jednadzˇbu
dϑ (t )
= ;t ϑ (t )
dt
uz pocˇetni uvjet ϑ (0) = 1 , koji vrijedi za svaku karakteristicˇnu funkciju.
dϑ (t )
; 1 t2
; 1 t2
= ;t dt =) ϑ (t ) = ϑ (0)e 2 = e 2 :
ϑ (t )
Z
N
Z
N
Ako je X (0; 1) , tada a + σ X (a; σ 2 ) i po zadatku 9.1. dobivamo
(a; σ 2 ) :
karakteristicˇnu funkciju opc´e normalne razdiobe
ϑa+σ X (t )
=
eita ϑX (σ t ) = eita e;
N
1 2 2
2σ t
=
eita; 2 σ t : /
1
2 2
/
Razdiobe izvedene iz normalne
Z1
Eulerov integral druge vrste ili gama funkcija definirana je nepravim integralom
Γ(α ) :=
x α ;1 e;x dx;
(α
> 0):
0
Ovaj se integral mozˇe definirati i za sve kompleksne brojeve α za koje je
Re α > 0 .
Vrijede sljedec´e formule
Γ(α + 1) = α Γ(α );
p
Γ( 12 ) = π ;
Γ(n + 1) = n!;
8n 2 N:
a) Parcijalnom integracijom dobivamo
1 1
1
1
x α ;1 e;x dx = x α e;x
+
Γ(α ) =
α
α
0
0
1
=
Γ(α + 1)
α
Z
Z1
0
x α e;x dx
i odavde slijedi Γ(α
b)
+ 1) =
Z1
α Γ(α ) .
p
1
1
x ; 2 e;x dx = x = 12 t 2; x ; 2 dx = 2dt
Z0 1 1 2 p
p 2 Z 1 ; 12 t2 p
e; 2 t 2dt = π p
e
dt = π :
=
Γ( 12 ) =
2π
0
0
c) Po relaciji a) dobivamo
Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n ; 1)Γ(n ; 1) = : : : = n!Γ(1):
Kako je
Γ(1) =
Z1
e;x dx
=
1;
0
dobivamo Γ(n + 1) = n! .
Zadatak 10. Neka je X
.
E(jX jn ) =
=
=
=
/
N (0; σ 2) . Izracˇunaj E(jXjn ) .
Z1
p1
σ 2π
p2
σ 2π
Z;1
1
Z1
0
jxjn e;
1 x 2
2(σ )
dx
"
2
1 x 2
t = 2xσ 2
x e; 2 ( ) dx =
dx = pσ2t dt
n
#
σ
σ
1
t 2 n p e;t dt
σ 2π 0
2t
1
1
n
n;1
σ 1n
2 2 nσ n
n+1
;
t
2
2
pπ 2
t e dt = p Γ
: /
2
π
0
p2
Z
1
(2σ ) 2
2
n
Gama razdioba
Slucˇajna varijabla X ima gama razdiobu s parametrima (α ; λ ) , ako je njena
gustoc´a rzadiobe definirana sa
λ α α ;1 ;λ x
f (x ) =
x
e ;
x > 0; (α ; λ > 0):
Γ(α )
Pisˇemo X (α ; λ ) .
G
Zadatak 11. Odredi karakteristicˇnu funkciju gama razdiobe.
.
ϑ (t )
=
Z1
0
=
eitx
λα
Γ(α )
λ α α ;1 ;λ x
x
e dx
Γ(α )
Z1
0
x α ;1 e;x(λ ;it ) dx :
; it ) = z
Uvedimo supstituciju x (λ
ϑ (t )
=
λ
Z 1
α
Γ(αλ) 0
=
λ
/
λ
α
; it
;
α
z
; it
1
Γ(α )
Z1
1
e;z
dz
λ
; it
zα ;1 e;z dz
=
λ
0
λ
α
; it
: /
Pomoc´u ovog rezultata mozˇemo pokazati stabilnost gama razdiobe na zbrajanje:
ako nezavisne varijable X1 i X2 imaju gama razdiobu s parametrima (α 1 ; λ ) , (α2 ; λ ) ,
tada je karakteristicˇna funkcija zbroja X1 + X2 jednaka produktu karakteristicˇnih funkcija pribrojnika i iznosi
ϑX1 +X2 (t )
=
α1
λ
λ
; it
λ
λ
α2
; it
=
λ
λ
α 1 +α 2
; it
tj. X1 + X2 ima gama razdiobu s parametrima (α 1 + α2; λ ) .
Laplaceova transformacija gama razdiobe je
f (s)
=
λ
n
s+λ
(dobijemo
je iz karakteristicˇne funkcije zamjenom s = it ). Vidimo da je ta funkcija
potencija Laplaceove transformacije eksponencijalne razdiobe. Zato vrijedi:
Zbroj n nezavisnih eksponencijalnih slucˇajnih varijabli X1; : : : ; Xn ima gama
razdiobu s parametrima λ i n . Tu razdiobu nazivamo josˇ i Erlangova razdioba.
Njezina je gustoc´a
λ n x n;1 ;λ x
f (x ) =
e ; x > 0:
(n ; 1)!
Zadatak 12. Neka X ima jedinicˇnu normalnu razdiobu.
Y
=
X 2 ima gama razdiobu s parametrima ( 12 ; 12 ) .
. Za x ? 0 je FY (y ) = 0 . Za x > 0 vrijedi
FY (y )
py g
PfX 2 < y g = Pf; y < X <
=
p1 p e; 12 x2 dx
2π ; y
=
FY0 (y )
1
1 ;
= p
y
p
2 y
2π
Zato je
fY (y )
p
=
=
Z
a to je gustoc´a gama razdiobe
py
=
G(
p2
2π
1 1
; ).
2 2
e; 2 y
1
//
p2
2π
Pokazˇi da varijabla
Zp
y
e; 2 x dx :
1 2
0
1
2
e; 2 y
1
Neka su X1; : : : ; Xn nezavisne slucˇajne varijable s jedinicˇnom normalnom razdiobom. Tada kazˇemo da slucˇajna varijabla χ 2 definirana sa
χ 2 := X12 + X22 + : : : + Xn2
ima χ 2 -razdiobu (hi kvadrat razdiobu) sa n stupnjeva slobode. Pisˇemo cˇesto χn2
umjesto χ 2 .
Zadatak 13. Odredi gustoc´u χ n2 -razdiobe, njeno ocˇekivanje i disperziju.
. Pokazali smo da varijabla Xk2 ima gama razdiobu s parametrima ( 12 ; 12 ) . Zato
zbroj X12 + : : : + Xn2 ima gama razdiobu s parametrima ( 12 n; 12 ) . Prema tome, gustoc´a
χn2 -razdiobe dana je sa
1
1
1
fχn2 (x ) = n=2 1 x 2 n;1 e; 2 x :
2 Γ ( 2 n)
Njezino ocˇekivanje i disperzija je:
E(χn2 ) =
/
1
n
2
=
1
2
n;
D(χn2 ) =
1
n
2
=
1
4
2n: /
4.
Slucˇajni vektori
1. Slucˇajni vektori, razdiobe i gustoc´e . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Funkcije neprekinutih slucˇajnih vektora . . . . . . . . . . . 2
3. Uvjetne razdiobe. Uvjetno ocˇekivanje . . . . . . . . . . . . 3
4.1. Slucˇajni vektori, razdiobe i gustoc´e
Razdioba slucˇajnih vektora
n -dimenzionalni slucˇajni vektor jest uredena n -torka slucˇajnih varijabli X =
: Ω ! Rn . Funkcija razdiobe slucˇajnog vektora definira se sa
F (x 1; : : : ; x n ) := PfX1 < x 1; : : : ; Xn < x n g; (x 1 ; : : : ; x n ) 2 Rn :
(1)
Ako postoji skoro svuda derivacija
@ n F (x 1 ; : : : ; x n )
f (x 1; : : : ; x n ) :=
>0
@ x1 @ xn
takva da vrijedi
(X1; X2; : : : ; Xn )
Z Z
x1
F (x 1; : : : ; x n ) =
xn
;1 ;1
f (u1; : : : ; un )du1 : : : dun;
tada slucˇajan vektor (X1; : : : ; Xn ) nazivamo neprekinutim. Funkciju f nazivamo
gustoc´a razdiobe slucˇajnog vektora.
Za svaki Borelov skup G Rn vrijedi
Pf(X1; : : : ; Xn ) 2 Gg =
Z
Z
f (x 1; : : : ; x n )dx 1 dx n :
(2)
G
Ova je formula utoliko vazˇnija sˇto se ta vjerojatnost uglavnom ne da na adekvatan
nacˇin izraziti pomoc´u vrijednosti funkcije F .
Marginalne razdiobe
Marginalne funkcije razdiobe i gustoc´e definiraju se sa
Fi (x i ) := F (1; : : : ; x i; : : : ; 1);
@ Fi (x i )
fi (x i ) :=
=
f (x1; : : : ; xn)dx1 dxi;1 dxi+1 dxn :
@ xi
Rn;1
Z
Z
Za dvodimenzionalni slucˇajni vektor koristit c´emo jednostavnije oznake. Vektor
c´emo uglavnom oznacˇavati sa (X; Y ) i dalje:
F (x; y ) := PfX < x; Y < y g;
@ 2 F (x; y )
f (x; y ) :=
;
@x @y
FX (x ) := F (x; 1) =
FY (y ) := F (1; y ) =
fX (x ) :=
fY (y ) :=
Z1
Z;1
1
;1
Z
Z1
x
Z;1
dx
;1
dy
y
Z;1
1
;1
Z
f (x; y )dy
=
f (x; y )dx
=
x
Z;1
fX (x )dx;
y
;1
fY (y )dy;
f (x; y )dy;
f (x; y )dx :
Nezavisnost
Komponente X1; : : : ; Xn slucˇajnog vektora (X1; : : : ; Xn ) su slucˇajne varijable.
One mogu ali ne moraju biti medusobno nezavisne. Prisjetimo se, slucˇajne varijable
X1; : : : ; Xn su nezavisne ako vrijedi
PfX1 2 A1; : : : ; Xn 2 An g = PfX1 2 A1 g : : : PfXn 2 An g
za sve Borelove skupove A1; : : : ; An R . Izaberimo skupove Ai = h;1; x i i . Onda
je P(fXi 2 Ai g) = P(fXi < x i g) = Fi (x i ) . Ako su X1; : : : ; Xn nezavisne, onda
zakljucˇujemo da vrijedi
F (x 1; : : : ; x n ) = F1 (x 1 ) : : : Fn (x n ); 8(x 1; : : : ; x n ) 2 Rn
(3)
ili
f (x 1; : : : ; x n ) = f1 (x 1 ) : : : fn (x n ); 8(x 1; : : : ; x n ) 2 Rn :
(4)
Medutim vrijedi i obrat. Ako vrijedi (??) ili (??), onda su slucˇajne varijable X1; : : : ; Xn
nezavisne.
Ako tocˇku biramo na srec´u unutar nekog podrucˇja, je li funkcija gustoc´e uvijek
konstantna? Da, ako su kartezijeve koordinate u pitanju. No, ponekad je povoljnije
uzeti drugi, recimo polarni sustav. Kakva je tad gustoc´a?
Primjer 1. Tocˇka se bira na srec´u unutar jedinicˇnog kruga. Neka su (R; Φ) polarne koordinate te tocˇke. Odredi funkciju gustoc´e slucˇajnog vektora (R; Φ) . Jesu li
komponente R i Φ nezavisne?
Sl. 4.1. Polarne koordinate znaju biti povoljnije od kartezijevih u podrucˇjima ovakvih oblika. Iako je kod kartezijevih koordinata funkcija gustoc´e konstantna, jednadzˇbe tog
podrucˇja u tom sustavu su neprilicˇne. Stoga je prijelaz u
polarni sustav opravdan. Tu gustoc´a nec´e biti konstantna,
ali c´e komponente biti — za razlliku od kartezijevih —
nezavisne!
. Neka je S jedinicˇni krug, T na srec´u odabrana tocˇka te G podrucˇje iscrtkano
na slici. Po definiciji funkcije razdiobe, imamo
F (r; ϕ ) = PfR < r; Φ < ϕ g = PfT
Deriviranjem, dobivamo
f (r; ϕ ) =
2 Gg = mm((GS)) = r2πϕ :
@ 2 F (r; ϕ )
@r @ϕ
2
=
r
:
π
Ova se gustoc´a dade faktorizirati. Kako R uzima vrijednosti unutar intervala [0; 1] , a
Φ unutar intervala [0; 2π ] , (umjesto da racˇunamo marginalne razdiobe) napisati c´emo
1
f (r; ϕ ) = 2r ;
0 < r < 1; 0 < ϕ < 2π :
2π
Prema tome, R i Φ su nezavisne. R ima razdiobu fR (r) = 2r , 0 < r < 1 , dok
Φ ima jednoliku razdiobu na intervalu [0; 2π ] . /
Primjer 2. Slucˇajan vektor (X; Y ) ima gustoc´u
f (x; y ) =
1
;
2
2 S;
(x; y ) 2
= S;
(x ; y )
0;
gdje je S kvadrat na slici. Odredi marginalne gustoc´e slucˇajnih
varijabli X i Y i ispitaj njihovu nezavisnost.
Sl. 4.2.
. Cˇim je gustoc´a razlicˇita od nule na podrucˇju koje nema oblik pravokutnika sa
stranicama paralelnim koordinatnim osima, komponente vektora moraju biti zavisne.
Izracˇunajmo marginalne gustoc´e.
8 x ? ;1 :
>
>
>
Z1
< ;1 ? x ? 0 :
f (x ) =
f (x; y )dy =
>
;1
0?x?1:
>
>
: 1<x:
X
R 1 0 dy = 0;
R;1 dy = 1 + x;
R;;; dy = 1 ; x;
R 1; 0 dy = 0:
x +1 1
x 1 2
1 x 1
x 1 2
;1
Dakle,
1 + x;
1 ; x;
;1 ? x ? 0;
0 ? x ? 1:
Na isti nacˇin dobivamo
1 + y;
fY (x ) =
1 ; y;
;1 ? y ? 0;
0 ? y ? 1:
fX (x )
=
Vidimo da je f (x; y )
zavisne. /
6=
Sl. 4.3.
fX (x ) fY (y ) te su X i Y zaista
4.2. Funkcije neprekinutih slucˇajnih vektora
Neka je (X1; : : : ; Xn ) zadani n -dimenzionalni slucˇajni vektor i
y 1 = ψ 1 (x 1 ; : : : ; x n );
..
.
y n = ψ 1 (x 1 ; : : : ; x n );
(1)
obostrano jednoznacˇno preslikavanje. Oznacˇimo inverzno preslikavanje sa
x 1 = χ1 (y 1; : : : ; y n );
..
.
x n = χn (y 1; : : : ; y n ):
(2)
Ako vektor (X1; : : : ; Xn ) ima gustoc´u razdiobe f (x 1; : : : ; x n ) , tada vektor (Y1; : : : ; Yn )
ima gustoc´u
@ (x 1 ; : : : ; x n )
(3)
g(y 1; : : : ; y n ) = f (x 1; : : : ; x n ) @ (y 1; : : : ; y n )
gdje je
@ (x ; : : : ; x ) =
J=
@ (y ; : : : ; y ) 1
n
1
n
@x 1
@y 1
..
.
@x n
@y 1
@x 1
@y n
@x n
@y n
jakobijan inverznog preslikavanja .
Neka je sada (X; Y ) dvodimenzionalan slucˇajan vektor i Z
gustoc´u od Z . Nadopunimo do sistema:
x
z
=
=
x;
ψ (x; y );
()
x
y
=
=
x;
χ ( x ; z ):
=
ψ (X; Y ) . Nadimo
= 1 0 = @ y :
@z
Prema tome, po formuli , gustoc´a vektora (X; Z ) je
@ y g(x; z ) = f (x; y ) ;
@z
a gustoc´a g slucˇajne varijable Z racˇuna se, kao marginalna gustoc´a, formulom
@ y Z1
g (z ) =
f (x; y ) dx :
@z
;1
Jakobijan glasi
@ (x; y )
@ (x; z )
=
@x
@x
@x
@y
@z
@y
@x
@z
@y
@y
@x
@z
Z
Z
(4)
Primjer 1. Neka je f (x; y ) gustoc´a slucˇajnog vektora (X; Y ) . Odredi gustoc´u
slucˇajne varijable Z ako je a) Z = X + Y , b) Z = Y ; X , c) Z = XY , d) Z = Y=X .
Z1
y = z ; x , g (z ) =
f (x; z ; x )dx .
Z;11
y = z + x , g (z ) =
f (x; z + x )dx .
;1
Z
1
z
z 1 y = , g (z ) =
f (x ; )
dx .
x
Z;11 x x . Koristimo formulu :
a)
Z
b)
Z
c)
Z
d)
y
=
zx , gZ (z )
=
;1
f (x; zx )jx jdx . /
Primjer 2. X i Y su nezavisne slucˇajne varijable, distribuirane po jedinicˇnom
normalnom zakonu. Odredi gustoc´u razdiobe slucˇajne varijable Z = Y=X .
Z1
. Po rezultatu prosˇlog zadatka, gustoc´a varijable Z iznosi
g(z )
=
;1
f (x; zx )jx jdx :
Zbog nezavisnosti od X i Y je f (x; y ) = fX (x ) fY (y ) .
g(z )
=
;
Z
0
;1
x fX (x ) fY (zx )dx
Dakle
g(z )
=
=
=
;
Z
π
= fY (x ) =
0
p1
e;
2
1 2
2 x (1+z )
0
1
π (1 + z 2 )
:
x dx
=
e; 2 x :
1 2
2π
1 ; 12 x2 (1+z2 )
x
e
dx +
;1 2π
Z
1 1
x fX (x ) fY (zx )dx;
0
gdje je
fX (x )
+
Z1
Z1
0
x
1 ; 12 x2 (1+z2 )
e
dx
2π
; π (1 1+ z2) e;
2
1 2
2 x (1+z )
1
0
Prema tome, kvocijent dviju nezavisnih jedinicˇnih normalnih varijabli ima Cauchyjevu razdiobu.
Ako je N (0; σ 12 ) , Y (0; σ 22 ) , provjeri da je
σ1
1
g(z ) =
:/
σ2 π 1 + ( σ1 z )2
N
N
h
i
σ2
U slucˇaju kad preslikavanja (??) nisu injektivna, ali i onda kad je neprakticˇno
koristiti formulu (??) (obicˇno zbog toga sˇto gustoc´a f nije razlicˇita od nule na cˇitavom
R2 , sˇto otezˇava odredivanje granica u integralu (??)), funkciju gustoc´e varijable Z
nalazimo pomoc´u funkcije razdiobe:
FZ (z )
=
Pfψ (X; Y ) < z g =
gdje je
Gz
ZZ
f (x; y )dx dy;
Gz
f(x; y) : ψ (x; y) < zg:
=
Primjer 3. Slucˇajan vektor (X; Y ) ima gustoc´u razdiobe
f (x ; y ) = x + y ;
0 ? x ? 1; 0 ? y
Odredi gustoc´u razdiobe slucˇajne varijable Z = X + Y .
? 1:
. Z poprima vrijednosti unutar intervala [0; 2] .
FZ (z ) = PfZ < z g = Pf(X; Y ) 2 Gz g
ZZ
=
f (x; y )dx dy
Gz
gdje je
Gz
=
f(x; y) : x + y < zg
podrucˇje iscrtkano na slici.
Razlikujemo dva slucˇaja:
1)
2)
Z
Z
z
0?z
? 1;
FZ (z ) =
1?z
? 2;
FZ (z ) = 1 ;
;
z x
dx
0
Dakle,
Z
1
;
(x + y )dy =
Z
0
;
z 1
z x
2
gZ (z )
=
2z ; z ;
2
Z1
Sl. 4.4.
1
dx
z;
z3
:
3
;z3 + 3z2 ; 1):
(x + y )dx = 13 (
0?z
1?z
? 1;
? 2:
Dobijmo ovaj rezultat uz pomoc´ formule , odnosno formule a) iz zadatka 12.1.
gZ (z )
=
;1
f (x; z ; x )dx :
Varijabla x (prvi argument funkcije f ) uzima vrijednosti unutar [0; 1] (za x 2
= [0; 1] ,
f (x; y ) jednaka je nuli). Dakle
Z
gZ (z )
1
f (x; z ; x )dx :
=
0
I drugi argument funkcije f mora biti unutar intervala [0; 1] . Razlikujemo dva
slucˇaja:
1) 0 ? z ? 1 . tada je uvijek z ; x ? 1 i biramo x da bude z ; x > 0 , tj. x ? z :
Z
gZ (z )
z
=
0
tj. x
f (z; z ; x )dx
2) 1 ? z ? 2 . Sada je uvijek z ; x
> z ; 1.
Z
gZ (z )
=
1
;
z 1
f (x; z ; x )dx
Z
=
z
(x +
0
z ; x )dx
=
z2 :
> 0 no, moramo osigurati da bude z ; x ? 1 ,
Z
=
1
;
z 1
(x +
z ; x )dx
=
2z ; z 2 : /
Primjer 4. Neka su X i Y nezavisne slucˇajne varijable, obje s istom eksponenci-
jalnom razdiobom
E (λ ) . Odredi funkciju razdiobe slucˇajne varijable Z = X +X Y .
. Kako su X i Y pozitivne, to je 0 < Z < 1 . Gustoc´a razdiobe vektora (X; Y )
je
f (x; y ) = λ 2 e;λ (x+y);
Tako imamo
F Z (z )
=
Pf
=
Pf(X; Y ) 2 Gz g =
X
X+Y
< z g = PfY >
Z1 Z1
ZZ
x; y > 0:
1;z
Xg
z
f (x; y )dx dy
Gz
λ 2 e;λ (x+y) dy
;
0
Z1
Z1
2
=λ
e;λ x dx
e;λ y dy
1;z
x
z
Z 01
=λ
e;λ x z dx = z :
=
dx
1 z
x
z
=
0
Prema tome, Z ima jednoliku razdiobu na intervalu [0; 1] . /
Sl. 4.5.
Primjer 5. Nezavisne slucˇajne varijable X1; : : : ; Xn imaju eksponencijalnu razdiobu s parametrima λ1; : : : ; λn . Pokazˇi da slucˇajna varijabla Y = minfX1; : : : ; Xn g
ima takoder eksponencijalnu razdiobu, s parametrom λ = λ 1 + : : : + λn .
. Vrijedi
PfY < y g = 1 ; PfY > x g
= 1 ; PfminfX1; : : : ; Xn g > x g
= 1 ; PfX1 > x; : : : ; Xn > x g:
Zbog nezavisnosti varijabli X1; : : : ; Xn dobivamo
FY (x ) = 1 ; PfX1 > x g : : : PfXn > x g
FY (y )
=
1 ; e;λ1 x : : : e;λn x = 1 ; e;(λ1 +:::+λn )x ;
te je Y (λ1 + : : : + λn ) . /
Ovaj rezultat ima sljedec´u interpretaciju: U sustavu od n serijski vezanih nezavisnih komponenti, od kojih svaka ima ocˇekivano vrijeme ispravnog rada a 1; : : : ; an ,
ocˇekivano vrijeme ispravnog rada cijelog sustava a je odredeno sa
1
1
1
=
+ ::: +
:
a
a1
an
E
=
Primjer 6. Na sferi polumjera R izabrane su na srec´u dvije tocˇke A i B . Nadi
funkciju razdiobe i izracˇunaj ocˇekivanje udaljenosti medu njima.
. Fiksirajmo tocˇku A (nakon izbora!) u sjevernom polu sfere. Tocˇka B ima jednoliku razdiobu
na sferi. Oznacˇimo sa (R; Φ; Ψ) njene koordinate u
sfernom sustavu. kako je prva koordinata konstantna,
dovoljno je odrediti zakon razdiobe za vektor (Φ; Ψ) .
Neka je dS element povrsˇine sfere. Tocˇka se bira na
srec´u, stoga je
dS
R2 sin ψ dψ dϕ
=
PfB 2 dSg =
4π R2
4π R2
i stoga je
Sl. 4.6.
1
f (ψ ; ϕ ) =
sin ψ ;
0 ? ϕ < 2π ; 0 ? ψ ? π
4π
gustoc´a razdiobe vektora (Ψ; Φ) . Za udaljenost X medu tocˇkama A i B vrijedi
X = 2R sin ψ2 : Odredimo funkciju razdiobe slucˇajne varijable X .
ψ
x
F (x ) = Pf2R sin < x g = Pfψ < 2 arc sin g
2
2R
Z
2π
=
dϕ
0
1
= 2
=
Z
2 arc sin
x
2R
1
sin ψ dψ
4π
0
;
1
2
cos 2 arc sin
sin2 arc sin
x
2R
x
2R
x
=
2R
2
:
Dakle,
f (x )
Z
i odavde
0?x
x
;
2R2
=
2R
E(X ) =
0
x
x
dx
2R2
? 2R;
= 3 R: /
4
Primjer 7. Neka je f gustoc´a razdiobe vektora (X; Y ) i (R; Φ) polarne koordinate
tocˇke (X; Y ) . Izvedi formulu za gustoc´u razdiobe vektora (R; Φ) .
. Vrijedi
x
y
r cos ϕ ;
= r sin ϕ
=
i jakobijan preslikavanja iznosi
J
Dakle,
=
@ (x ; y )
@ (r; ϕ )
=
ϕ ;r sin ϕ cos
= r:
sin ϕ r cos ϕ g(r; ϕ ) = f (x; y ) jJ j = f (r cos ϕ ; r sin ϕ ) r: /
Primjer 8. Gustoc´a razdiobe slucˇajnog vektora (X; Y ) je
n
o
1
x2 + y2
exp
;
:
2πσ 2
2σ 2
Neka su (R; Φ) polarne koordinate tocˇke (X; Y ) . Izracˇunaj gustoc´u razdiobe vektora
(R; Φ) te marginalne gustoc´e varijabli R i Φ . Jesu li one nezavisne?
f (x; y ) =
. Vektor (R; Φ) uzima vrijednosti u podrucˇju [0; 1) [0; 2π ) . Po prethodnom
zadatku je
n
o
1
r2
;
r
exp
2πσ 2
2σ 2
i g(r; ϕ ) se dade faktorizirati u produkt gR (r)gΦ (ϕ ) . Varijable R i Φ su stoga
nezavisne. R ima Rayleighovu razdiobu s gustoc´om
g(r; ϕ ) = f (r cos ϕ ; r sin ϕ ) r
n
=
o
r
r2
exp
;
;
σ2
2σ 2
a ϕ jednoliku razdiobu na intervalu [0; 2π ] . /
gR (r)
=
r
> 0;
Primjer 9. Slucˇajan vektor ~
X = (X1; : : : ; Xn ) zadan je funkcijom gustoc´e. Neka
je A regularna matrica reda n . Odredi gustoc´u razdiobe slucˇajnog vektora ~Y
=
A~X .
. Matrica A je regularna, stoga je preslikavanje ~y = A~x bijektivno. Odredimo
njegov jakobijan. Za i -tu komponentu vektora ~Y vrijedi
=
yi
X
aij x j
j
i zato je
@ yi
@ xj
=
aij :
Prema tome, jakobijan preslikavanja ~y = A~x glasi
a11 : : : a1n
@ (y 1; : : : ; y n )
..
=
.
@ (x 1; : : : ; x n )
an1 : : : ann
= jAj
dakle, upravo determinanta matrice A . Jakobijan inverznog preslikavanja ~x
1
je J =
jAj . Gustoc´a vektora Y glasi
1
g(y 1 ; : : : ; y n ) = f (x 1; : : : ; x n ) jJ j = f (x 1; : : : ; x n ) j A j:/
=
A;1~y
4.3. Uvjetne razdiobe. Uvjetno ocˇekivanje
Neka je f (x; y ) gustoc´a razdiobe slucˇajnog vektora (X; Y ) . Ako je poznata realizacija Y = y varijable Y , tada se uvjetna gustoc´a varijable X uz uvjet Y = y
definira formulom
f (x; y )
f (x; y )
fX jY =y (x ) :=
:
(1)
= 1
fY (y )
;1 f (x; y )dy
R
Uglavnom pisˇemo jednostavnije f (x j y ) umjesto fX jY =y (x ) .
Racˇun s uvjetnim vjerojatnostima omoguc´ava nam laksˇe racˇunanje vjerojatnosti,
gustoc´a i ocˇekivanja u slucˇaju kad realizacija dogadaja ili neke slucˇajne varijable ovisi
o nekoj drugoj slucˇajnoj varijabli. Tu uvjetne gustoc´e igraju slicˇnu ulogu kao i uvjetne
vjerojatnosti i hipoteze u formuli potpune vjerojatnosti. Tako dobivamo i analogne
formule:
Marginalna gustoc´a pomoc´u uvjetne:
fX (x )
=
Z1
;1
Ocˇekivanje, pomoc´u uvjetnog:
E(X ) =
f (x; y )dy
Z1
;1
=
Z1
;1
f (x j y ) fY (y )dy
E(X j Y =y ) fY (y )dy;
(2)
(3)
te konacˇno, vjerojatnost dogadaja (koji ovisi o moguc´im realizacijama slucˇajne varijable X ):
P(A) =
Z1
P(A j X =x ) fX (x )dx :
;1
(4)
Primjer 1. Biramo na srec´u broj Y 2 [0; 1] , zatim na srec´u broj X
Izracˇunaj gustoc´u razdiobe i ocˇekivanje varijable X .
. Koristiti c´emo formulu
fX (x )
=
Z1
;1
2
[0; Y ] .
fX jY =y (x ) fY (y )dy :
Tu je fY gustoc´a jednolike razdiobe U (0; 1) :
fY (y ) = 1;
0 ? y ? 1:
fX jY =y je gustoc´a jednolike razdiobe na intervalu [0; y ] :
Zato je
Z
fX (x )
=
Z
1
0
1
E(X ) =
0
=
fX jY =y (x )dy
=
x (; ln x )dx
Z
1
x
=
Z1
0?x
1
;
y
fX jY =y (x )
1
dy
y
=
? y:
; ln x;
2
2
; x2 ln x + x4
0<x
1
= 4:
? 1;
1
0
Samo ocˇekivanje mozˇemo laksˇe dobiti formulom
E(X ) =
;1
E(X j Y =y ) fY (y )dy :
Tu je E(X j Y =y ) uvjetno ocˇekivanje varijable X uz uvjet Y
E(X j Y =y ) =
Z1
;1
x fX jY =y (x )dx
te je
Z
1
E(X ) =
0
y
dy
2
=
Z
y
=
0
x
=
y:
1
dx
y
=
y
2
1
:/
4
Primjer 2. Zadan je polukrug s promjerom AB , polumjera R . Neka je C tocˇka
na srec´u odabrana na luku polukruzˇnice. Kolika je vjerojatnost da na srec´u odabrana
tocˇka T unutar polukruga lezˇi unutar trokuta ABC ?
. Neka je S sredisˇte polukruga. Oznacˇimo sa ϕ kut 6 CSB . Izbor kuta ϕ
odreduje jednoznacˇno tocˇku C i obratno. Rec´i da je C izabrana na srec´u na luku
polukruzˇnice znacˇi zapravo da ϕ ima jednoliku razdiobu na intervalu [0; π ] .
Sl. 4.7.
Neka je D dogadaj
D = fTocˇka T lezˇi unutar trokuta ABC g
Povrsˇina trokuta ABC je
m(4ABC) =
1
2
R2 sin ϕ + 12 R2 sin(π ; ϕ ) = R2 sin ϕ :
Za fiksnu vrijednost od ϕ vjerojatnost trazˇenog dogadaja D je
P(D j ϕ ) =
m(4ABC)
1 2
Rπ
2
=
R2 sin ϕ
1 2
Rπ
2
=
2
sin ϕ :
π
Kako je gustoc´a varijable ϕ dana sa
f (ϕ ) =
to po formuli (??) dobivamo
Z
π
P(D) =
0
P(D j ϕ ) f (ϕ )dϕ
1
;
π
Z
0 < ϕ < π;
π
=
0
2
1
sin ϕ dϕ
π
π
2 cos ϕ
=;
π2
4
= : /
π
π
0
2
Momenti. Korelacija. Kovarijacija
Za slucˇajan vektor (X1; : : : ; Xn ) definiramo kovarijacijsku i korelacijsku matricu
0k
K = @ ...
11
: : : k1n
kn1 : : : knn
s elementima
1
A;
0r
R = @ ...
11
: : : r1n
1
A
rn1 : : : rnn
cov(Xi; Xj ) = E(Xi Xj ) ; E(Xi )E(Xj );
cov(Xi; Xj )
rij =
:
D(Xi )D(Xj )
kij
=
p
Primjer 3. Unutar intervala [0; 1] fiksirana je tocˇka a . Slucˇajna varijabla X ima
jednoliku razdiobu na intervalu [0; 1] . Odredi kovarijacijski moment izmedu varijable
X i varijable Y = jX ; aj : udaljenosti tocˇke X do a . Za koju vrijednost broja a su
X i Y nekorelirane?
.
Z
E(X ) =
Z
1
0
1
E(Y ) =
0
x dx
=
1
;
2
jx ; ajdx =
E(XY ) = E(X jX ; aj) =
Z
=
0
a
Z
a
(a
Z
0
1
0
x (a ; x )dx +
Z
; x)dx +
Z
1
(x
; a)dx = a2 ; a + 12 ;
a3
3
; a2 + 13 :
a
x jx ; ajdx
1
a
x (x ; a)dx
=
a3 a2
1
i samo za a = 12 je cov(X; Y ) = 0 . To niposˇto ne
Dakle, cov(X; Y ) =
;
+
3
2
12
znacˇi da su X i Y = X ; 12 nezavisne, dapacˇe, te su varijable vezane funkcionalnom
zavisnosˇc´u. /
5.
Markovljevi lanci
1. Prijelazne i stacionarne vjerojatnosti . . . . . . 1
2. Klasifikacija stanja markovljevih lanaca . . . 2
5.1. Prijelazne i stacionarne vjerojatnosti
Markovljev lanac je niz diskretnih slucˇajnih varijabli X0; X1; : : : koji zadovoljavaju neke dodatne uvjete.
Te varijable opisuju stanje nekog fizicˇkog sistema u vremenima t 0 , t1 ,: : : .
Pretpostavljamo da taj sistem mozˇe biti u jednom od stanja s1 , s2 ,: : : kojih ima konacˇno ili prebrojivo mnogo. Oznacˇimo sa S = fs1 ; s2 ; : : :g skup svih stanja: varijable
X0 , X1 ,: : : uzimaju vrijdnosti u S . Xn opisuje stanje sistema u trenutku t n .
Prijelaz iz jednog stanja u drugo u trenutku tn opisan je prijelaznim vjerojatnostima
(n)
pij := PfXn = sj j Xn;1 = si g:
(1)
(n)
Matrica s elementima pij naziva se matrica prijelaznih vjerojatnosti.
Π(n) := ( pij ):
Zbroj elemenata u svakom njenom retku jednak je jedinici:
(n)
X
(n)
pij
=
1;
(n)
pij
> 0:
j
Takva se matrica naziva stohasticˇka.
Lanac je markovljev ukoliko stanje sistema u trenutku tn ovisi samo o stanju
u prethodnom trenutku:
PfXn =sin j Xn;1 =sin;1 ; : : : ; X1 =si1 g = PfXn =sin j Xn;1 =sin;1 g
(2)
Markovljev lanac je potpuno opisan ako poznajemo matrice Π(n) i vektor pocˇetnih vjerojatnosti p(0) = ( p1 (0); p2 (0); : : :) koji opisuje stanje sistema u trenutku
t0 :
pi (0) := PfX0 = si g:
Oznacˇimo sa p(n) = ( p1 (n); p2 (n); : : :) vjerojatnost stanja sistema u trenutku tn .
Zadatak 1. Pokazˇi da se stanje sistema u trenutku t n mozˇe opisati jednadzˇbom
p(n) = p(0)Π(1) : : : Π(n ; 1):
(3)
. Povezˇimo stanje u trenutku t k s prethodnim stanjem.
pj (k)
=
=
PfX
X
k = sj
X
i
=
g
PfXk;1
= si
gPfXk = sj j Xk;1 = si g
pi (k ; 1) pij :
(k)
i
Dobili smo, u matricˇnom zapisu, p(k) = p(k ; 1)Π(k) . Zato
p(n) = p(n ; 1)Π(n) = p(n ; 2)Π(n ; 1)Π(n) = : : : = p(0)Π(1) : : : Π(n): /
Markovljev lanac je homogen ako se prijelazne vjerojatnosti ne mijenjaju u vre(n)
menu. Tada je pij = pij , 8n , 8i; j . Matricu prijelaznih vjerojatnosti oznacˇavamo
kratko sa Π .
Pretpostavimo u daljnjem da je lanac homogen te da je skup S konacˇan. Zbog jednostavnijeg zapisivanja, stanja c´emo opisivati prirodnim brojevima, S = f1; 2; : : : ; mg
ili S = f0; 1; 2; ; : : : ; mg .
Jednadzˇba (3) prelazi u
p(n) = p(0)Πn
(4)
Neka su pij (n) elementi matrice Πn . Broj pij (n) oznacˇava vjerojatnost da c´e sistem
koji se nalazi u stanju i kroz n koraka prec´i u stanje j .
Ergodicˇki teorem. Ako postoji broj n takav da su svi elementi matrice Πn strogo
pozitivni (sˇto znacˇi da se kroz n koraka iz svakog stanja mozˇe prec´i u bilo koje drugo),
tada za svaki j postoji (i ne ovisi o i )
πj = lim pij (n):
(5)
!1
n
πj nazivamo stacionarnim vjerojatnostima. Iz (4) slijedi da vrijedi i
πj
=
lim pj (n)
!1
n
(6)
Stacionarne vjerojatnosti odreduju vjerojatnost da c´e u nekom dalekom trenutku (kad
se izgubi utjecaj pocˇetnog stanja) sistem nalaziti u stanju j . Ta se vjerojatnost mozˇe
interpretirati i kao prosjecˇni dio vremena koje sistem provodi u stanju j .
Markovljev lanac za kojeg postoji limes u (5) naziva se ergodicˇki ili regularan.
Zadatak 2. Matrica prijelaznih vjerojatnosti Π markovljevog lanca sa dva stanja
f1; 2g glasi
Π=
3
4
1
4
1
4
3
4
:
a) Odredi matricu prijelaznih vjerojatnosti nakon nekoliko koraka.
b) Odredi vjerojatnosti stanja sistema nakon nekoliko koraka.
c) Postoji li limn!1 Πn ? Kolike su stacionarne vjerojatnosti? . a) Racˇunajmo
potencije matrice Π .
Π=
(4)
3
4
1
4
1
4
3
4
Π
;
2
=
5
8
3
8
3
8
5
8
Π
;
3
=
9
16
7
16
7
16
9
16
; :::
b) Neka je u trenutku t 0 sistem bio u stanju 1. Tada je p(0) = (1; 0) i po formuli
vjerojatnost stanja u slijedec´im trenucima su
p(1) = ( 34 ; 14 );
p(2) = ( 58 ; 38 );
p(3) = ( 169 ; 167 ); : : :
Ako je u trenutku t 0 pocˇetno stanje bilo 2, tj. p(0) = (0; 1) , tada
p(1) = ( 14 ; 34 );
p(2) = ( 38 ; 58 );
p(3) = ( 167 ; 169 ); : : :
Vidimo da se vremenom gubi utjecaj pocˇetnog stanja.
c) Indukcijom se lako provjerava da vrijedi
"
Π
n
Zato postoji
lim Π
!1
2n 1
2n+1
2n +1
2n+1
;
=
n
=
n
#
;
2n +1
2n+1
2n 1
2n+1
1
2
1
2
1
2
1
2
:
:
Svaki redak ove matrice pretstavlja vektor stacionarnih vjerojatnosti
πj
=
lim pij (n) = 12 : /
!1
n
Zadatak 3. Markovljev lanac s dva stanja. Odredi prijelazne vjerojatnosti nakon
n koraka te stacionarne vjerojatnosti za markovljev lanac opisan matricom prijelaznih
vjerojatnosti
Π=
1;α
;
1;β β
α
(0
< α ; β < 1):
. Matricu Πn nije jednostavno racˇunati. Jedan je nacˇin da napravimo njenu dijagonalizaciju s pomoc´u svojstvenih vektora:
Π = SDS;1
)
=
Πn
=
SDn S;1
gdje je S matrica svojstvenih vektora, a D dijagonalna matrica svojstvenih vrijednosti.
det(λ I ; Π) =
;λ1;+αβ ;λ1;+βα = λ ; (α + β )λ ; 1 + α + β
2
te je λ1
=
α ; 1
1;β
Πn
=
=
1 , λ2
=
. Zato je
1 α ;1
1 1;β
α
+
β
1
0 (α
; 1.
Svojstveni vektori su redom (provjeri!)
0
+ β ; 1)n
1 (α ; 1)(α + β ; 1) 1 (1 ; β )(α
n
1 α ;1
1 1;β
1
2;α ;β
; 1)
(1+;ββ)+(
1;α )(α + β ;1)
n
1
1
i
;
1
1; β 1;α ;1 1
(1;α );(1;α )(α + β ;1)n
(1;α )+(1;β )(α + β ;1)n
n
1
n
(
1
;
β
)
;
(
1
;
β
)(
α
+
β
;
1
)
2;α ;β
Kako je jα + β ; 1j < 1 , to postoji limes ove matrice:
1
1;β 1;α
lim Πn =
:
n!1
2;α ;β 1;β 1;α
Zato stacionarne vjerojatnosti glase
1;β
1;α
π1 =
;
π2 =
:/
2;α ;β
2;α ;β
=
Zadatak 4. Gluhi telefon ili prijenosni kanal sa sˇumom. Kanal sacˇinjava n
serijski spojenih prenosnika od kojih svaki prenosi dvije moguc´e poruke. Vjerojatnost
tocˇne interpretacije svakog znaka u svakom prijenosniku je α = β = 0; 995 .
a) Koliko prijenosnika taj kanal smije imati da bi pouzdanost ispravnog prijema
bila vec´a od 95%?
b) Ako kanal ima 5 prijenosnika, kolika smije biti vjerojatnost pogresˇnog prijema
svakog znaka da bi dobili istu pouzdanost cijelog sustava?
c) Sˇto se dogada kad broj prenosnika postaje neogranicˇen? . a) Prijenos znaka
opisan je markovljevim lancom s dva stanja f0; 1g i matricom prijelaznih vjerojatnosti
Π=
0; 995 0; 005
:
0; 005 0; 995
Po prosˇlom zadatku, vjerojatnost pogresˇne interpretacije nakon n koraka je
(1 ; α ) ; (1 ; α )(α + β ; 1)n
1
1
n
n
p01 (n) =
= (1 ; (2α ; 1) ) = (1 ; 0; 99 )
2;α ;β
2
2
1
(1 ; β ) ; (1 ; β )(α + β ; 1)n
n
p10 (n) =
= (1 ; 0; 99 )
2;α ;β
2
Primijetimo da su to rastuc´e funkcije od n : vjerojatnost pogresˇke raste s brojem
prijenosnika. Po uvjetima zadatka, moramo odrediti n iz vjerojatnosti
1
n
(1 ; 0; 995 ) < 0; 05
2
sˇto daje n ? 10 .
b) Trebamo razrijesˇiti nejednadzˇbu
1
p01 (n) = p10 (n) = (1 ; (2α ; 1)n ) < 1 ; p
2
p
odakle dobivamo
1
n
(1 +
1 ; 2(1 ; p):
2
Za p = 0; 95 i n = 5 dobivamo α > 0; 9896 .
c) Kad n ! 1 , tada se pouzdanost gubi, pij (n) ! 12 za sve i; j .
α>
Ocˇigledno, za markovljev lanac sa vec´im brojem stanja biti c´e vrlo tesˇko racˇunati
potenciju Πn . Srec´om, stacionarne vjerojatnosti za ergodicˇke lance mogu se nalaziti
direktno iz matrice Π .
Mozˇemo ih dobiti kao rjesenje sustava
πj
=
X
k
ili, u matricˇnom zapisu
Π> π
X
πk pkj;
=
π;
X
πj
πj
=
=
1:
1
(7)
(8)
j
λ
Ponekad je zgodniji sljedec´i postupak. Neka je Mjj(λ ) (glavni) minor elementa
; pjj u matrici λ I ; Π 2
3
λ ; p11 ; p12 : : : ; p1m
6 ;p21 λ ; p22 : : : ;p2m 77
λI ; Π = 6
...
4 ...
5
;pm1 ;pm2 : : : λ ; pmm
tada se stacionarne vjerojatnosti racˇunaju formulom
Mjj (1)
πj =
:/
m
k=1 Mkk (1)
P
(9)
Zadatak 5. Tri bijele i tri crne kuglice rasporedene su u dvije urne, po tri kuglice
u svakoj. Stanje sistema opisano je brojem bijelih kuglica u prvoj urni. U svakom
koraku biramo na srec´u po jednu kuglicu iz obje urne i zamijenimo im mjesta. Odredi
matricu prijelaznih vjerojatnosti i stacionarne vjerojatnosti. . Postoje cˇetiri moguc´a
stanja, S = f0; 1; 2; 3g . Oznacˇimo sa Aj dogadaj: u prvoj urni ima j bijelih kuglica
(tj. sistem se nalazi u stanju j ). Prijelazne vjerojatnosti su
j(3 ; j)
pjj = Pfizvucˇene su raznobojne kuglice j Aj g = 2 ;
9
(3 ; j)2
pj;j+1 = Pfizvucˇena je crna iz prve i bijela iz druge j Aj g =
;
9
j2
pj;j;1 = Pfizvucˇena je bijela iz prve i crna iz druge j Aj g = :
9
Sve su ostale vjerojatnosti 0. Matrica prijelaznih vjerojatnosti glasi
0 1 0 0
1 4 4
0
Π = 9 94 94 1
0 9 9 9
0 0 1 0
2
64
3
75
Kroz tri koraka moguc´e je iz bilo kojeg stanja prec´i u bilo koje drugo. Zato matrica
Π3 ima samo pozitivne elemente i mozˇemo primjeniti ergodicˇki teorem.
Stacionarne vjerojatnosti postoje. Izracˇunati c´emo ih po formuli (9). Vrijedi
λ
;1 4 04 0
1
;
λ
; 9 ;9 0
9
λI ; Π =
0 ; 49 λ ; 49 ; 19
0
0
;1 λ
Minori su
5
4
0
9 ;9
4
4
1 =
5
M00 (1) = ;
= M33 (1);
;
9
9
9
81
0 ;1 1
1 0 0
36
M11 (1) = 0 59 ; 59 =
= M22 (1):
81
0 ;1 1
Zato je
2
64
π0
=
2
4
81
4
+
81
2
=
36
81
1
20
3
75
=
π 3;
π1
=
2
36
81
2
4
+
81
36
81
=
9
20
=
π2 : /
ˇ estica krec´e iz jedZadatak 6. Slucˇajno pomicanje kao Markovljev lanac. C
ne od tocˇaka f0; 1; 2; : : : ; mg , udesno s vjerojatnosˇc´u p , ulijevo s vjerojatnosˇc´u
q = 1 ; p . Ako dospije do rubnih tocˇaka, tada ostaje trajno u njima. Napisˇi matricu
prijelaznih vjerojatnosti. Da li je lanac ergodicˇki? Kolike su stacionarne vjerojatnosti?
Sl. 5.1.
. Lanac je homogen i markovljev; prijelazne vjerojatnosti ne ovise o trenutku
vec´ samo o polozˇaju cˇestice. Vrijedi
p00 = PfXn = 0 j Xn;1 = 0g = 1;
pmm = PfXn = m j Xn;1 = mg = 1;
pi;i+1 = PfXn = i + 1 j Xn;1 = ig = p; 1 ? i ? n ; 1;
pi;i;1 = PfXn = i ; 1 j Xn;1 = ig = q; 1 ? i ? n ; 1;
te pij = 0 za sve ostale i; j . Zato je matrica prijelaznih vjerojatnosti
21 0 0 0 0 ::: 0 0 03
66 p 0 q 0 0 : : : 0 0 0 77
66 0 p 0 q 0 : : : 0 0 0 77
Π = 60 0 p 0 q ::: 0 0 07
66 ...
7
4 0 0 0 0 0 : : : p 0 q 75
0 0 0 0 0 ::: 0 0 1
Primjec´ujemo da svaka potencija Πn ima isti prvi i posljednji redak i stoga ergodicˇki
teorem nije primjenjiv.
Stacionarne vjerojatnosti ne postoje. Zaista, prije ili kasnije, cˇestica c´e zavrsˇiti
u jednoj od rubnih tocˇaka, tako da c´e limn!1 p(n) biti oblika (α ; 0; : : : ; 0; 1 ; α ) .
Medutim, α ovisi o pocˇetnom stanju. Tako npr, ako cˇestica starta iz 0 , tada u njoj i
trajno ostaje, te je α = 1 . Ako starta iz tocˇke k , tada je
α
(vidi
=
(q= p)k
; (q=p)m
1 ; (q= p)m
Zadatak 5.3). /
ˇ estica se mozˇe nalaziti u jednom
Zadatak 7. Primjer slucˇajnog pomicanja. C
od stanja f1; 2; : : : ; mg . Ako se nalazi u stanju i , i > 1 , tada se s vjerojatnosˇc´u 1
vrac´a u stanje i ; 1 . Iz stanja 1 prelazi s jednakom vjerojatnosˇc´u u bilo koje stanje
1; 2; : : : ; m . Napisˇi matricu prijelaznih vjerojatnosti. Da li je lanac ergodicˇan? Odredi
stacionarne vjerojatnosti. . Po uvjetima zadatka mozˇemo odmah napisati matricu
prijelaznih vjerojatnosti
1 1
1 1
n n ::: n n
1 0 ::: 0 0
Π = 0 1 ::: 0 0 :
..
...
.
0 0 ::: 1 0
2
66
66
4
3
77
77
5
Matrica Πn ima sve elemente pozitivne! Zaista, nakon n koraka moguc´e je iz proizvoljnog stanja otic´i u bilo koje drugo, te je pij > 0 . Zato je markovljev lanac ergodicˇan
i postoje stacionarne vjerojatnosti. Odrediti c´emo ih iz jednadzˇbi (7)
2π
66 π
66 ...
4π ;
1
2
n 1
πn
3 2
77 66
77 = 66 ...
5 64
32
77 6 ππ
77 66 ...
76
0 0 ::: 154π ;
1
n
1
n
1 0 ::: 0
0 0 ::: 0
1
n
1
n
0 0 ::: 0
1
2
n 1
πn
3
77
77
5
Odavde
π1
=
π2
=
1
π 1 + π 2;
n
1
π 1 + π 3;
n
..
.
πn;1
=
πn
=
Rjesˇavajuc´i unatrag dobivamo
πn;1 = 2πn;
πn;2
1
π 1 + π n;
n
1
π1 :
n
=
3πn;
; π1
=
nπn :
Kako je π1 + πn
=
1 , to slijedi
; 1) + : : : + 2 + 1]πn = 1 =) πn = n(n 2+ 1) :
2(n ; j + 1)
; j = 1; : : : ; n: /
Stacionarne vjerojatnosti su π =
[n + (n
j
n(n + 1)
ˇ estica krec´e iz jedne od
Zadatak 8. Slucˇajno pomicanje s refleksijom na rubu. C
tocˇaka f0; 1; 2; : : : ; mg , udesno s vjerojatnosˇc´u p , ulijevo s vjerojatnosˇc´u q = 1 ; p .
Ako dospije do lijeve rubne tocˇke, ostaje u njoj s vjerojatnosˇc´u q a u desnoj rubnoj
tocˇki ostaje s vjerojatnosˇc´u p . Napisˇi matricu prijelaznih vjerojatnosti. Da li je lanac
ergodicˇki? Kolike su stacionarne vjerojatnosti?
. Matrica prijelaznih vjerojatnosti nalikuje onoj u Zadatku 6:
q p 0 0 :::
q 0 p 0 :::
0 q 0 p :::
..
.
::: q 0 p 0
::: 0 q 0 p
::: 0 0 q p
Lako vidimo da i sada za veliki n , nakon n koraka iz svakog stanja mozˇemo doc´i u
svako drugo stanje. To znacˇi da je matrica Πn pozitivna za dovoljno veliki n te je
lanac ergodicˇan. Sustav (8) glasi
qπ1 + qπ2 = π1
pπ1 + qπ3 = π2
pπ2 + qπ4 = π3
..
.
pπn;2 + qπn = πn;1
pπn;1 + qπn = πn
p
Iz prve jednadzˇbe slijedi π 2 = π1 . Uvrstavajuc´i ovu vrijednost za π 1 u drugu
q
p
p 2
jednadzˇbu, dobivamo π 3 = π2 =
π1 . sada lako vidimo da za svaki j vrijedi
q
q
2
66
66
64
3
77
77
75
p ;
j 1
Kako je
P
πj
π1 :
q
πj = 1 , to vrijednost za π 1 nalazimo iz uvjeta
π1 + π2 + : : : + πm
Odavde je
π1
=
=
1
)
=
1 ; ( p=q)
1 ; ( p=q)m
=
π1 1 +
)
=
πj
p
q
=
p
2
+
q
p ; m 1
+
1 ; ( p=q)
1 ; ( p=q)m
::: +
p ;
q
j 1
q
:/
=
1:

VJEROJATNOST DOBITKA NA LOTU - T-com

Elementarna matematika 2 Kongruencije. Mali Fermatov teorem

Neka pitanja

Državno 2013

Osnovna škola – zadaci

Obrazac prijave nezgode

IWA – zadaci- ispit_15.09.2014

SUPER CIJENA SUPER PONUDA

pdf