Ποσοστά:Τα Μαθηματικά της Αγοράς

Ποσοστά: Τα Μαθηματικά της Αγοράς
=====================================================================================
Κώστας Γ. Σάλαρης - Μάνια Κ. Σάλαρη
Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις όπως:
 Ο πληθωρισμός αυξήθηκε τη περσινή χρονιά κατά 4%
Η ανεργία αυξήθηκε το 2012 κατά 10%
 Ο ΦΠΑ στα τρόφιμα αυξήθηκε κατά 2%
Οι ετήσιες γεννήσεις στην Ελλάδα μειώθηκαν το 2012 κατά 5%
Όλοι γνωρίζουμε ότι ο ακέραιος ή δεκαδικός αριθμός α με το σύμβολο %, δηλαδή
α% ονομάζεται ποσοστό και διαβάζεται α επί τοις εκατό. Eίναι μια αναγωγή
α

αριθμητικού μεγέθους α ως προς 100 
.
100


Ας δούμε τι είναι όμως τα ποσοστά με δύο αναλυτικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 1
Σε ένα σχολείο φοιτούν 250 αγόρια και κορίτσια. Τα κορίτσια είναι 50. Το μέρος των
κοριτσιών ως προς το σύνολο των μαθητών του σχολείου(Αγόρια και Κορίτσια),
εκφράζεται με το κλάσμα
50
250
50
.Θα
250
πρέπει να βρούμε ένα κλάσμα ισοδύναμο του.
που θα έχει παρονομαστή το100., δηλαδή
50
α
50

ή χιαστή 50  100=250  α ή α=100 
250 100
250
,Επομένως για να βρούμε το
α που είναι το ποσοστό του 50 ως προς το 250 παίρνουμε το μαθηματικό τύπο
α  100 
50
5000

 20
250
250
ή.
50
20
Τον

250 100
αριθμό 20 τον συμβολίζουμε με 20%
και το διαβάζουμε 20 επί τοις εκατό. Με απλά λόγια για να βρούμε το ποσοστό ενός
αριθμητικού μεγέθους ως προ ένα άλλο 50 προς 250 ή
50
250
πολλαπλασιάζουμε το
κλάσμα με το 100 και ταυτόχρονα το διαιρούμε με 100 ώστε να μην αλλάξει η τιμή
του
50
5000
 100
20
250
 250 
ή
100
100
100
20%
Παράδειγμα 2
Έχουμε δύο δοχεία χωρητικότητας 5m3 και 10m3 αντίστοιχα, που περιέχουν λάδι.
Το Α’ δοχείο περιέχει
3 3
m λαδιού ανα 1m3 χωρητικότητας δοχείου
5
, ενώ το Β’
περιέχει
4
2
 m3 λαδιού ανά 1m3 χωρητικότητας δοχείου .
10 5
Αν βρούμε πόσο λάδι
περιέχει κάθε δοχείο όχι ανά m3 αλλά ανά 100m3 , θα έχουμε. Το Α’ περιέχει
3
300
 100 
 60 %
5
5
και το δοχείο Β’ περιέχει
2
200
 100 
 40 %.
5
5
Άρα
μπορούμε να πούμε ότι το δοχείο Α είναι κατά 60% πλήρες και το δοχείο Β κατά 40%
πλήρες.
Από τα παραπάνω παραδείγματα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι όταν γράφουμε
α% που το διαβάζουμε ποσοστό α επί τοις εκατό εννοούμε το κλάσμα
α
.
100
Κάθε
κλάσμα μπορεί να γραφεί σαν ποσοστό, όπως το κλάσμα
4
4  20
80
είναι ισοδύναμο με το κλάσμα

5
5  20 100
ή 80% .
Θα δούμε πως μπορούμε δύο κλάσματα να τα μετατρέψουμε με απλό τρόπο σε
ποσοστά.
α)
3
2
και β)
2
5
α) Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε το
αριθμητική του τιμή.
3
 100
150
2

100
100
3
2
με το 100 ,έτσι δεν αλλάζει η
ή 150%. Σε αυτή τη περίπτωση ένας άλλος
τρόπος μετατροπής του κλάσματος σε ποσοστό είναι να βρούμε ένα κλάσμα
3
3 3•50 150
ισοδύναμο με το
που να έχει παρονομαστή το 100, δηλαδή 
που

2
2 2•50 100
είναι ίσο σε ποσοστά 150%.
β) Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε το
του τιμή
2
 100
40
5

100
100
2
5
με το 100 ,έτσι δεν αλλάζει η αριθμητική
ή 40%
Λυμένα Προβλήματα
Πρόβλημα 1
Ένα μπουφάν πωλείται αντί 246€. Ο ΦΠΑ περιέχεται στη τελική τιμή και είναι 23%
.Ένας αλλοδαπός που δεν πληρώνει ΦΠΑ ,ρωτάει πόσο πρέπει να πληρώσει για να
αγοράσει το μπουφάν;
Λύση Προβλήματος 1
Γνωρίζουμε ότι Τελική τιμή = Αξία +ΦΠΑ΄. Ο ΦΠΑ υπολογίζεται επί της αξίας. Σε
100€ αξία η τελική τιμή θα είναι 123€, Το μπουφάν έχει τελική τιμή 246€. Πόση είναι
η αξία του μπουφάν. Με τη απλή μέθοδο των τριών* και δεδομένου τα ποσά είναι
ανάλογα έχουμε
*Θεωρούμε ότι η απλή μέθοδος των τριών σας είναι γνωστή, ακόμη και από το Δημοτικό Σχολείο.
123€ τελικής τιμής αντιστοιχούν 100€ αξίας
246€ τελικής τιμής Μπουφάν
μέθοδο έχουμε;
123  x  100  246 ή x=
x;
αξίας
Με τη χιαστή
24600
 200 €
123
Πρόβλημα 2
Ένα Tablet έχει τελική τιμή πώλησης 200€ Ο Κώστας θέλει να το αγοράσει, αλλά
κρατάει μαζί του 160 €. Πόση έκπτωση πρέπει να κάνει ο πωλητής, ώστε να μπορέσει
ο Κώστας να αγοράσει τοTablet;
Λύση Προβλήματος 2
Η έκπτωση που πρέπει να δώσει ο Πωλητής είναι 40€ . Χρησιμοποιούμε την απλή
μέθοδο των τριών και έχουμε.
Σε αρχική αξία
200€ αντιστοιχεί έκπτωση 40€
Σε αρχική αξία
100€
200  x  40  100 ή
x;
x
40
40
20
=
ή
=
100 200
200
100
ή x=20%
Πρόβλημα 3
Ένας έμπορος αγόρασε προϊόντα αξίας 3000€ . Τα
4
5
των προϊόντων τα πούλησε με
κέρδος 15%, τα δε υπόλοιπα με ζημιά 5%. Πόσα τελικά κέρδισε ο έμπορος.
Λύση Προβλήματος 3
Τα
4
5
των προϊόντων έχουν αξία
4
12000€
 3000€ 
 2400€ .
5
5
Προϊόντα αξίας 2400€ τα πούλησε μα κέρδος 15%, άρα εισέπραξε
x  2400 
115 276000

 2760€
100
100
(1).Από τα υπόλοιπα προϊόντα αξίας 600€ που τα
πούλησε με ζημία 5% εισέπραξε x 
600  95 57000

 570€ (2),Ο
100
100
έμπορος
συνολικά εισέπραξε 2760€+570 €=3330€. Επομένως κέρδισε από την αγοροπωλησία
3330€  3000€  330€ .
Η (1) προέκυψε από την απλή μέθοδο των τριών με ανάλογα ποσά
Σε αξία 100 και κέρδος 15 η τιμή πωλήσεως είναι 115
Σε αξία 2400
η τιμή πωλήσεως είναι x; €
100  x  2400  115 ή x=
2400  115
 2760 €
100
Η (2) προέκυψε από την απλή μέθοδο των τριών με ανάλογα ποσά
Σε αξία 100 και ζημιά 5 η τιμή πωλήσεως είναι 95
Σε αξία 600
η τιμή πωλήσεως είναι x;
600  95
=570 €
100  x  600  95 ή x=
100
Πρόβλημα 4
Ένα Κατάστημα ηλεκτρικών συσκευών πουλάει μια τηλεόραση αντί τελικής τιμής
560 € και από τη πώληση αυτή έχει ένα κέρδος 20%.Πόσο πρέπει να πουλήσει τη
τηλεόραση για να κερδίσει 30%.
Λύση Προβλήματος 4
Η τιμή πωλήσεως της τηλεόρασης περιλαμβάνει τη τιμή αγοράς και το κέρδος 20%
επί της τιμής αγοράς. Με τη βοήθεια της απλής μεθόδου των τριών για ανάλογα ποσά
έχουμε;
Τελική τιμή
τιμή αγοράς
120
100
360
x;
120  x  360  100 ή x=
36000
 300 €.
120
Το κατάστημα θέλει να κερδίσει 30% επί
της τιμής αγοράς. Με την απλή μέθοδο των τριών έχουμε
Τελική τιμή
τιμή αγοράς
130
100
x;
100  x  300  130 ή x=
39000
 390 €.
100
300;
Συμπέρασμα για να κερδίσει το κατάστημα
30%, πρέπει να πουλήσει τη τηλεόραση 390€
Προτεινόμενα Προβλήματα.
1. Μια μετοχή στο χρηματιστήριο της Αθήνας στη συνεδρίαση της 20-ης Ιουνίου
έκλεισε με τιμή 30€. Στη συνεδρίαση της 21-ης Ιουνίου έκλεισε με κέρδος
10% και στη συνεδρίαση της 22-ας Ιουνίου έκλεισε με κέρδος 12%. Στη
συνεδρίαση της 23-ης Ιουνίου έκλεισε με απώλεια 8%. Ποια τιμή διαμόρφωσε
η μετοχή κατά το κλείσιμο της 23-ης Ιουνίου.
2. Σε ένα αγώνα Μπάσκετ του 4-ου Γυμνασίου Ν. Ιωνίας
παρακολούθησαν 500
θεατές. Από αυτούς το 30% δεν ήταν μαθητές του σχολείου, ενώ το υπόλοιπο
70% ήταν μαθητές του σχολείου.. Από τους μαθητές το 30% φοιτούσαν στην
Α τάξη του Γυμνασίου. Το 60% των μαθητών της Α τάξης του Γυμνασίου
ήταν αγόρια . Πόσα κορίτσια της Α τάξης παρακολούθησαν τον αγώνα
Μπάσκετ;
3. Σε μια δημοσκόπηση απάντησαν 640 μαθητές, ότι χρησιμοποιούν καθημερινά
το διαδίκτυο. Ο αριθμός αυτός αντιπροσωπεύει το 32% του συνόλου των
μαθητών που συμμετείχαν στη δημοσκόπηση. Να βρείτε ποιος είναι ο
συνολικός αριθμός των μαθητών που έλαβαν μέρος στη δημοσκόπηση.
4. Να βρείτε τι ποσοστό επί τοις εκατό αντιπροσωπεύει το πλήθος των κόκκινων
μικρών ορθογώνιων ως προς το πλήθος όλων των μικρών ορθογώνιων
κόκκινων και λευκών.

Download Report