ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ΚΕΣ 01 – Αυτόµατος Έλεγχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σχεδίαση µε το Γεωµετρικό Τόπο Ριζών © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος Εισαγωγή Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Βιβλιογραφία Ενότητας ◊ Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 9: Ενότητες 9.1-9.4 ◊ DiStefano [1995]: Chapter 14, Chapter 12: Sections 12.1 - 12.6 ◊ Tewari [2005]: Chapters 5: Section 5.1 © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 1 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος Εισαγωγή Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Εισαγωγή ◊ Κατά τη σχεδίαση Σ.Α.Ε αν οι προδιαγραφές δίνονται σε συνάρτηση µε το περιθώριο φάσης και το εύρος ζώνης η µέθοδος σχεδίασης που ακολουθείται. ◊ Αν δίνονται προδιαγραφές σε σχέση µε τη µέγιστη υπερύψωση, την ταχύτητα απόκρισης τη συχνότητα συντονισµού και τη σταθερά απόσβεσης τότε επιλέγεται ο Γ.Τ.Ρ ως µέθοδος σχεδίασης. ◊ Με τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ µπορούµε να: ◊ Βρούµε τους προεξάρχοντες πόλους του συστήµατος ◊ Προσεγγίσουµε ένα κλειστό σύστηµα υψηλότερης τάξης µε ένα δευτεροβάθµιο σύστηµα από το οποίο µπορούµε εύκολα να υπολογίσουµε τη σταθερά απόσβεσης ζ, και τη φυσική συχνότητα ωn. ◊ Ελέγξουµε αν ένα πρόβληµα σχεδίασης έχει λύση σε σχέση µε τις ζητούµενες προδιαγραφές και το διαθέσιµο δίκτυο αντιστάθµισης (δίκτυο προήγησης φάσης, ελεγκτής PID, κλπ) © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα ◊ Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αν από το Γ.Τ.Ρ προκύπτει ότι κάποιος πόλος µπορεί να οδηγήσει το κλειστό σύστηµα σε αστάθεια ή σε µη επιθυµητή συµπεριφορά ο συγκεκριµένος πόλος µπορεί να ακυρωθεί µε την εισαγωγή ενός µηδενικού πλησίον αυτού (και πάντοτε αριστερότερα από αυτόν) µε τη βοήθεια ενός: ◊ Ελεγκτή PD ◊ Ελεγκτή PID ◊ ∆ικτύου προήγησης φάσης ◊ ◊ ∆ικτύου προήγησης – καθυστέρησης φάσης Παράδειγµα: ◊ Να σχεδιαστεί ελεγκτής PD (Gc(s)=KP+KDs) ώστε το κλειστό σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου 12 G ( s )F ( s ) = s( s + 2)( s + 6) να έχει (α) σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση eµον(t)<0.25 m/sec όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση ράµπας ω(t)=t, (β) µέγιστη υπερύψωση <30%. ◊ Για να έχουµε το ζητούµενο σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση χρειάζεται Κp>4. Έστω ότι επιλέγουµε Κp=4.05. © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 2 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων (ΙΙ) Root Locus 15 ◊ Κατασκευάζοντας το Γ.Τ.Ρ της G(s)F(s) (βλέπε σχήµα) παρατηρούµε ότι για Κp=4.05 έχουµε υπερύψωση (overshoot) 64.5% άρα η χρήση µόνο αναλογικού αντισταθµιστή δεν επιτυγχάνει τις προδιαγραφές της σχεδίασης. ◊ Επειδή κατά κύριο λόγο υπεύθυνος για την υπερύψωση είναι ο προεξάρχων πόλος (ο πόλος της G(s)F(s) που βρίσκεται αριστερότερα) εισάγουµε ένα µηδενικό πλησίον του πόλου s=0 και αριστερότερα αυτού αλλά δεξιότερα του πόλου s=-2. ◊ Εποµένως πρέπει να επιλέξουµε 10 System: h Gain: 4.05 P ole: -0.357 + 2.56i D amping: 0. 138 Overshoot (%): 64.5 Frequency (rad/sec): 2.58 I maginary Axis 5 0 -5 -10 -15 -20 -15 -10 -5 0 5 0< Real Axis KP <2 KD © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων (ΙΙI) St ep R esponse ◊ 1.8 ∆εδοµένου ότι ΚP=4.05 η επιλογή ΚD=8.1 εισάγει ένα µηδενικό στη θέση s=-.5 regulated s ystem non regulated s ystem 1.6 ◊ Από τη βηµατική απόκριση του αντισταθµισµένου (µπλε) και του µη αντισταθµισµένου συστήµατος (πράσινο) παρατηρούµε ότι υπάρχει σαφής βελτίωση στην υπερύψωση µε την εξουδετέρωση του προεξάρχοντος πόλου. 1.4 A mplitude 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 30 Time (sec ) © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 3 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων (ΙV) ◊ Step Response Στο σχήµα βλέπουµε µε µπλε χρώµα τη βηµατική απόκριση του συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς: 1 Amp litud e 0.8 H ( s) = 0.6 ◊ 0.4 και µε πράσινο χρώµα τη βηµατική απόκριση του συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς: 0.2 H ( s) = 0 0 1 2 3 4 5 Time (s ec) ◊ G( s) 5 = 1 + G ( s ) F ( s ) ( s + 1)( s + 5) 6 G( s) 5 = 1 + G ( s ) F ( s ) ( s + 5) Παρατηρούµε ότι η ταχύτητα της χρονική απόκριση του συστήµατος βελτιώνεται σηµαντικά µε την απαλοιφή του πόλου στο s=-1 (προεξάρχων πόλος). © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος Αντιστάθµιση Φάσης ; Εισαγωγή ; Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα ◊ Η διαδικασία απαλοιφής του προεξάρχοντος πόλου µπορεί να διεκπεραιωθεί και µε τη χρήση αντισταθµιστών προήγησης φάσης. ◊ Στην περίπτωση αυτή το µηδενικό επιλέγεται και πάλι πλησίον (αλλά αριστερότερα) του πόλου που πρέπει να εξουδετερωθεί ενώ ο πόλος εισάγεται αρκετά αριστερότερα λαµβάνοντας υπόψη το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση. ◊ Επίδραση του δικτύου προήγησης φάσης: Root locus of regulat ed sy stem Root locus of non-regulated sy stem 15 20 15 System: h Gain: 7.97 Pole: 0.00114 + 3.46i Damping: -0. 000329 Overshoot (%): 100 Frequency (rad/sec): 3.46 Imaginar y Axis 5 5 System: h Gain: 2.01 Pole: -0.613 + 1.78i Damping: 0.325 Overshoot (%): 33.9 Frequency (rad/ sec): 1.89 0 -5 S ystem: h Gain: 9.23 Pole: -0.00128 + 7.83i Damping: 0.000164 Overs hoot (%): 99.9 Frequency (rad/s ec): 7.83 10 Imaginary Axis 10 Sys tem: h Gain: 2.01 Pole: -1.88 + 4.15i Damping: 0.412 Overshoot (%): 24. 1 Frequenc y (rad/sec): 4.55 0 -5 -10 -10 -15 -15 -20 -15 -10 -5 R eal Axis 0 5 -20 -25 -20 -15 -10 Real Axis -5 0 5 © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 4 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος Αντιστάθµιση Φάσης (ΙΙ) ; Εισαγωγή ; Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα ◊ Παράδειγµα: ◊ ◊ Για το σύστηµα του σχήµατος να σχεδιαστεί αντισταθµιστής προήγησης φάσης ώστε: ◊ Το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση eµον(t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση ράµπας ω(t) = t, t≥0, να είναι µικρότερo από 0.25 m/sec. ◊ Η µέγιστη υπερύψωση να είναι µικρότερη από 30% Λύση ◊ Το κλειστό σύστηµα και µετά την αντιστάθµιση είναι τύπου j=1, άρα για είσοδο ω(t) = Vt =t το σφάλµα είναι: eµον (t ) = V a KC b = V 1 = Kp Kp eµον (t ) < 0.25 χρειάζεται KP≥4. Έστω KP=4. 1 Άρα για © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Αντιστάθµιση Φάσης (ΙΙΙ) Root Locus 15 ◊ Κατασκευάζοντας το Γ.Τ.Ρ της G(s)F(s) (βλέπε σχήµα) παρατηρούµε ότι για Κp=4.1 έχουµε υπερύψωση (overshoot) 65%. ◊ Επιλέγουµε a=0.5. Προφανώς ισχύει 0<a<2, δηλαδή το µηδενικό (z1=-a) εισάγεται αριστερότερα του προεξάρχοντος πόλου (p1=0) αλλά δεξιότερα του αµέσως πιο ισχυρού πόλου (p2=-2) ◊ Επιλέγουµε b=8 ώστε ο πόλος που εισάγεται (p4=-b) να βρίσκεται αριστερότερα του πιο αδύναµου πόλου του συστήµατος (p2=-6) 10 System : h Gain: 4.13 Pole: -0.349 + 2.58i D amping: 0. 134 Overs hoot (%): 65.4 Frequency (rad/sec): 2.6 I maginary Axis 5 0 -5 -10 -15 -20 -15 -10 -5 0 5 Real Axis © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 5 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Αντιστάθµιση Φάσης (ΙV) Step Response 1.8 ◊ Από τη βηµατική απόκριση του αντισταθµισµένου (µπλε) και του µη αντισταθµισµένου κλειστού συστήµατος (πράσινο) παρατηρούµε ότι υπάρχει σαφής βελτίωση στην υπερύψωση µε την εξουδετέρωση του προεξάρχοντος πόλου. Εντούτοις η επιθυµητή υπερύψωση δεν έχει επιτευχθεί. Regulated plant Non-regulated plant 1.6 1.4 Amp litud e 1.2 1 0.8 ◊ 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 30 Time (s ec) Για το σκοπό αυτό µετακινούµε τόσο το µηδενικό όσο και τον πόλο ακόµα δεξιότερα (φροντίζοντας ώστε το µηδενικό να µην περάσει στα αριστερά του δεύτερου πιο ισχυρού πόλου – δηλαδή ζητάµε πάντα να ισχύει 0<α<2) © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Αντιστάθµιση Φάσης (V) St ep R esponse ◊ 1.8 Επιλέγοντας a=1.5, b=12, και υπολογίζοντας ξανά τη βηµατική απόκριση αντιαταθµισµένου (µπλε) και µη (πράσινο) συστήµατος παρατηρούµε ότι επιτυγχάνεται ο στόχος της µέγιστης υπερύψωσης µικρότερης από 30% Regulat ed plant Non-regulated plant 1.6 1.4 A mplitude 1.2 ◊ 1 Εποµένως θα έχουµε τελικά: a = K p = 4 .1 b b => KC = K p = 4.1 ⋅ 8 = 32.8 a KC 0.8 0.6 0.4 GC ( s ) = 32.8 0.2 0 0 5 10 15 20 25 s + 1 .5 s + 12 30 Time (sec ) © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 6 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Θέση µηδενικών ◊ St ep R esponse Στο διπλανό διάγραµµα απεικονίζεται η βηµατική απόκριση του αντισταθµισµένου κλειστού συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου: 12 H1 H2 H3 1.6 1.4 G ( s )F ( s ) = ◊ 1.2 Amplitude G C ( s )F ( s ) = K C και 1 0.8 Με µπλε χρώµα έχουµε το αντισταθµισµένο σύστηµα Η1 (a=1, b=8) µε πράσινο χρώµα έχουµε την Η2 (a=1.5, b=12), και µε κόκκινο χρώµα έχουµε Η3 (a=1.75, b=14). ◊ Σε όλες τις περιπτώσεις έχουµε το ίδιο σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση a επιλέγοντας 0.4 0 0 1 2 3 4 5 s+a s+b ◊ 0.6 0.2 s( s + 2)( s + 6) 6 KC Time (sec ) b = Kp = 4 © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; Εισαγωγή ; Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Θέση µηδενικών (ΙΙ) St ep R esponse ◊ H1 H2 H3 1.6 1.4 1.2 Amplitude 1 ◊ 0.8 0.6 0.4 Από τα διαγράµµατα της βηµατικής απόκρισης είναι φανερό ότι η ταχύτητα απόκρισης αυξάνει όσο µειώνεται η επίδραση του προεξάρχοντος πόλου (δηλαδή όσο το µηδενικό εισάγεται πλησιέστερα στον προεξάρχοντα πόλο) – βλέπε σύστηµα Η1. Αντίθετα η ευρωστία (εποµένως και η µέγιστη υπερύψωση) του συστήµατος αυξάνει όσο αριστερότερα εισάγεται το µηδενικό – βλέπε σύστηµα Η3 0.2 0 0 1 2 3 Time (sec ) 4 5 6 © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 7 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; ; ; Εισαγωγή Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης ◊ Επειδή η χρονική συµπεριφορά συστηµάτων 2ης µε συζυγείς πόλους έχει µελετηθεί διεξοδικά σε πολλές περιπτώσεις η διαδικασία σχεδίασης διευκολύνεται όταν ένα σύστηµα ανώτερης τάξης µπορεί να προσεγγισθεί από ένα δευτεροβάθµιο. ◊ Έστω το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου: ◊ Έστω pr = ar+jbr ο αριστερότερος πόλος πλην των συζύγων πόλων, ⎛ n ⎞ pi ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ i =1 ⎠ G ( s )F ( s ) = 2 ( s + p1 )... ( s + pn )( s + 2ζ ωn s + ωn2 ) δηλαδή ωn2 ⋅ ⎜ ∏ a r = min( ai ) i τότε το ανωτέρω σύστηµα µπορεί να προσεγγισθεί από το δευτεροβάθµιο σύστηµα G ( s )F ( s ) = ωn2 ( s + 2ζ ωn s + ωn2 ) 2 εφόσον ισχύουν τα επόµενα: ζ > 0.5 a r > 5ζωn © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; ; ; ; Εισαγωγή Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Παραδείγµατα St ep R esponse Έστω το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου (ωn=4, ζ=0.875): 16 ⋅ pr G ( s )F ( s ) = ( s + pr )( s 2 + 7 s + 16) 0.7 2nd order approximation pr = 10 (<5zwn) pr = 18 (=5zwn) pr = 35 (>5zwn) 0.6 στα διαγράµµατα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του κλειστού συστήµατος G (s) H ( s ) == 1 + G ( s )F ( s ) Amplitude 0.5 0.4 0.3 για διάφορες τιµές του pr καθώς και το δευτεροβάθµιο σύστηµα (µπλε χρώµα) 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 Time (sec ) 2 2.5 Παρατηρούµε ότι όσο ισχύει pr>5ζωn το δευτεροβάθµιο σύστηµα προσεγγίζει το σύστηµα ανώτερης τάξης ως προς τον χρόνο ανόδου και τη µέγιστη υπερύψωση © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 8 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; ; ; ; Εισαγωγή Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Παράδειγµα Ι (συν.) Στο διπλανό διάγραµµα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του ανοικτού συστήµατος H ( s ) = G ( s)F ( s) Step response - open sys tem 1.4 2nd order approximation pr=10 (<5zw n) pr=18 (=5zw n) pr=35 (>5zw n) 1.2 του προηγούµενου παραδείγµατος για διάφορες τιµές του pr καθώς και το δευτεροβάθµιο σύστηµα (µπλε χρώµα) A mplitude 1 0.8 0.6 Παρατηρούµε ότι ως προς τον χρόνο ανόδου η προσέγγιση από δευτεροβάθµιο σύστηµα είναι χειρότερη από την αντίστοιχη για το κλειστό σύστηµα 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Time (sec ) © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; ; ; ; Εισαγωγή Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Παράδειγµα ΙΙ Έστω το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου (ωn=4, ζ=0.625): 16 ⋅ pr G ( s )F ( s ) = ( s + pr )( s 2 + 5s + 16) St ep response - c losed loop system 0.7 2nd order approximation pr=6 (<5zwn) pr=10 (<5zw n) pr=25 (>5zw n) 0.6 στα διαγράµµατα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του κλειστού συστήµατος G (s) H ( s ) == 1 + G ( s )F ( s ) A mplitude 0.5 0.4 0.3 για διάφορες τιµές του pr καθώς και το δευτεροβάθµιο σύστηµα (µπλε χρώµα) 0.2 0.1 0 0 0. 5 1 1.5 2 2.5 Time (sec ) 3 3.5 4 4.5 Παρατηρούµε και εδώ ότι όσο ισχύει pr>5ζωn το δευτεροβάθµιο σύστηµα προσεγγίζει το σύστηµα ανώτερης τάξης ως προς τον χρόνο ανόδου και τη µέγιστη υπερύψωση © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 9 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; ; ; ; Εισαγωγή Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Παράδειγµα ΙΙ (συν.) Στο διπλανό διάγραµµα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του ανοικτού συστήµατος H ( s ) = G ( s)F ( s) Step response - open sys tem 1.4 2nd order approximation pr=6 (<5zwn) pr=10 (<5zw n) pr=25 (>5zw n) 1.2 A mplitude 1 του προηγούµενου παραδείγµατος για διάφορες τιµές του pr καθώς και το δευτεροβάθµιο σύστηµα (µπλε χρώµα) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Time (sec ) Παρατηρούµε και εδώ ότι ως προς τον χρόνο ανόδου η προσέγγιση από δευτεροβάθµιο σύστηµα είναι χειρότερη από την αντίστοιχη για το κλειστό σύστηµα. Αντίθετα έχουµε καλύτερη προσέγγιση σε σχέση µε τη µέγιστη υπερύψωση © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος Εισαγωγή Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Παράδειγµα ΙΙΙ Έστω το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου (ωn=4, ζ=0.375 <0.5): 16 ⋅ pr G ( s )F ( s ) = ( s + pr )( s 2 + 3s + 16) Step response - c losed loop system 0.8 2nd order approximation pr=6 (<5zwn) pr=7.5 (=5zwn) pr=15 (>5zw n) 0.7 0.6 στα διαγράµµατα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του κλειστού συστήµατος G (s) H ( s ) == 1 + G ( s )F ( s ) για διάφορες τιµές του pr καθώς και το δευτεροβάθµιο σύστηµα (µπλε χρώµα) 0.5 Amplitude ; ; ; ; 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 Time (sec ) 6 7 8 9 10 Παρατηρούµε ακόµη και όταν ισχύει ισχύει pr>5ζωn το δευτεροβάθµιο σύστηµα δεν προσεγγίζει το σύστηµα ανώτερης τάξης ως προς τη µέγιστη υπερύψωση εξαιτίας του γεγονότος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ότι ζ<0.5 10 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; ; ; ; Εισαγωγή Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Παράδειγµα ΙΙΙ (συν.) Στο διπλανό διάγραµµα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του ανοικτού συστήµατος H ( s ) = G ( s)F ( s) Step response - open sys tem 1.4 2nd order approximation pr=6 (<5zwn) pr=7.5 (=5zwn) pr=15 (>5zw n) 1.2 Amplitude 1 του προηγούµενου παραδείγµατος για διάφορες τιµές του pr καθώς και το δευτεροβάθµιο σύστηµα (µπλε χρώµα) 0.8 0.6 Παρατηρούµε ότι σε αντίθεση µε το κλειστό σύστηµα η προσέγγιση από δευτεροβάθµιο σύστηµα είναι ικανοποιητική κια για ζ<0.5 κυρίως όσον αφορά τη µέγιστη υπερύψωση 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Time (sec ) © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; ; ; ; Εισαγωγή Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης – Αφαίρεση µηδενικού ◊ Τα µηδενικά σε ένα δευτεροβάθµιο σύστηµα µε συζυγείς πόλους µπορούν να αγνοηθούν ώστε να διευκολυνθεί η διαδικασία σχεδίασης εφόσον πληρούνται κάποιες συνθήκες. ◊ Έστω το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου: ωn2 ⋅ ( s + z1 ) ( s + z2 ) G ( s )F ( s ) = 2 ⎛ ⎞ ⎜ zi ⎟( s 2 + 2ζ ωn s + ωn2 ) ⎜ ⎟ ⎝ i =1 ⎠ Έστω zr = ar+jbr το αριστερότερο µηδενικό, δηλαδή a r = min( ai ) ∏ ◊ i τότε το ανωτέρω σύστηµα µπορεί να προσεγγισθεί από το δευτεροβάθµιο σύστηµα G ( s )F ( s ) = ωn2 ( s 2 + 2ζ ωn s + ωn2 ) εφόσον ισχύουν τα επόµενα: ζ > 0.5 a r > 5ζωn © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 11 ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ; ; ; ; Εισαγωγή Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Παράδειγµα ΙV Έστω το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου (ωn=4, ζ=0.625): 16( s + z r ) G ( s )F ( s ) = z r ( s 2 + 5s + 16) St ep response - c losed loop system 0.7 2nd order approximation zr=6 (zr<5zwn) zr=12.5 (zr=5zwn) zr=25 (zr>5z wn) 0.6 στα διαγράµµατα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του κλειστού συστήµατος G (s) H ( s ) == 1 + G ( s )F ( s ) A mplitude 0.5 0.4 0.3 για διάφορες τιµές του zr καθώς και το δευτεροβάθµιο σύστηµα (µπλε χρώµα) 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Time (sec ) Παρατηρούµε και εδώ ότι όσο ισχύει zr>5ζωn το δευτεροβάθµιο σύστηµα προσεγγίζει το σύστηµα ανώτερης τάξης ως προς τον χρόνο ανόδου (κυρίως) και τη µέγιστη υπερύψωση © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ ΚΕΣ 01: 01: Αυτόµατος Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος Εισαγωγή Αντιστάθµιση µε ακύρωση πόλων Αντιστάθµιση Φάσης Προσέγγιση µε σύστηµα 2ης τάξης Παραδείγµατα Παράδειγµα ΙV (συν.) Στο διπλανό διάγραµµα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του ανοικτού συστήµατος H ( s ) = G ( s)F ( s) Step response - open sys tem 1.4 2nd order approximation zr = 6 (<5zw n) zr = 12. 5 (=5zwn) zr = 25 (>5zwn) 1.2 1 Amplitude ; ; ; ; του προηγούµενου παραδείγµατος για διάφορες τιµές του zr καθώς και το δευτεροβάθµιο σύστηµα (µπλε χρώµα) 0.8 0.6 Παρατηρούµε ότι ως προς τον χρόνο ανόδου η προσέγγιση από δευτεροβάθµιο σύστηµα είναι χειρότερη από την αντίστοιχη για το κλειστό σύστηµα 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Time (sec ) © 2006 Nicolas Tsapatsoulis 12
© Copyright 2024 Paperzz
