Α. Λιακόπουλος - Υδραυλική. Κλειστοί Αγωγοί -10/2/2012 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ Υ∆ΡΟΣΤΡΟΒΙΛΩΝ ΣΕ ∆ΙΚΤΥΑ ΑΓΩΓΩΝ Παράδειγµα 17α Ένας υδροστρόβιλος (υδραυλική τουρµπίνα) είναι εγκατεστηµένος στα 2/3 της διαδροµής µιας υδατόπτωσης, συνολικού µήκους 170m και παροχής 8 m 3 s , όπως φαίνεται το σχήµα. Ο αγωγός έχει µέση τραχύτητα 2mm , ενώ οι γραµµικές απώλειες σε όλο το µήκος του είναι 2,5m . α) Βρείτε τη διάµετρο του αγωγού β) ποιες είναι οι πιέσεις στην είσοδο και έξοδο του υδροστρόβιλου γ) χαράξτε, µε βάση τις τιµές που βρέθηκαν, την Γ.Ε. και την Π.Γ. µεταξύ δύο θέσεων στις ελεύθερες σταθερές στάθµες των δεξαµενών. Οι τοπικές απώλειες να θεωρηθούν αµελητέες. 132 Α. Λιακόπουλος - Υδραυλική. Κλειστοί Αγωγοί -10/2/2012 Παράδειγµα 17β Από την δεξαµενή Α τροφοδοτείται η δεξαµενή Β µε παροχή νερού (v = 0.0000011 m 2 /s) ίση µε Q = 0.200 m 3 /s µέσω δύο σωλήνων ΑΝ και ΝΒ (µε τα στοιχεία του Πίνακα 3), όπως φαίνεται στο Σχήµα 17β. Μεταξύ των δύο δεξαµενών παρεµβάλλεται υδροστρόβιλος µε συντελεστή απόδοσης ίσο µε 0.60. 1) Υπολογίστε το µανοµετρικό ύψος και την ισχύ του υδροστροβίλου που είναι εγκατεστηµένη σε υψόµετρο ίσο µε Ζ Ν = 16.00 m . Λάβετε υπόψη τις τοπικές απώλειες και θεωρείστε ότι ο συντελεστής τοπικών απωλειών του υδροστροβίλου είναι ίσος µε 5.0. 2) Σχεδιάστε σε σκαρίφηµα την ΓΕ και την ΠΓ και προσδιορίστε την υποπίεση στον υδροστρόβιλο. z Α = 25.0 m z Ν = 16.0 m z Β = 10.0 m Σχήµα 17β. Σύστηµα των σωλήνων του παραδείγµατος 17β Πίνακας 17β . Στοιχεία των σωλήνων του παραδείγµατος 17β Σωλήνας Μήκος (m) ∆ιάµετρος (mm) Τραχύτητα (mm) ΑΝ 50 300 0.1 ΝΒ 100 300 0.1 133 Α. Λιακόπουλος - Υδραυλική. Κλειστοί Αγωγοί -10/2/2012 Λύση Παραδείγµατος 17α α) Η εξίσωση Darcy-Weisbach για τις γραµµικές απώλειες γράφεται ως Η l Α−∆ L V2 L 8Q 2 = f = f 5 D 2g D gπ 2 Εποµένως L 8Q 2 D = f Α- ∆ 2 Η l Α− ∆ gπ Αρχική εκτίµηση της D 1/ 5 (EE-1) Έστω D = 1.0 m v = 1.15 × 10 −6 m 2 /s ε 2 mm = = 0.002 D 1000 m ⇒ f = 0.0235 VD 4Q 6 Re = = = 8.86 × 10 v vπD Από την σχέση (ΕΕ-1) λαµβάνουµε την βελτιωµένη τιµή D = 1.55 m Επανάληψη 1 D = 1.55 m ε 2 mm = 0.00129 D 1550 mm ⇒ f = 0.021 VD 4Q 6 Re = = = 5.72 × 10 v vπD = Και εποµένως από την (ΕΕ-1) D = 1.50 m Επανάληψη 2 D = 1.50 m ε D ⇒ f = 0.0211 VD 4Q 6 Re = = = 5.91 × 10 v vπD = 0.001333 ⇒ D = 1.50 m Εποµένως η επαναληπτική διαδικασία έχει συγκλίνει. 134 Α. Λιακόπουλος - Υδραυλική. Κλειστοί Αγωγοί -10/2/2012 Σηµειώνουµε ότι η ταχύτητα στον αγωγό είναι V = Α 4Q = = 4.53 m/s Α πD 2 β) Η εξίσωση ενέργειας από το Α έως το ∆, αγνοώντας τις τοπικές απώλειες, γράφεται ως: Η Α − Η l Α − ∆ − Η υδροστρ. = Η Β ∆ουλεύουµε µε τις σχετικές πιέσεις οπότε Η Α = z Α , Η Β = z Β και κατά συνέπεια z Α − z Β = Η l Α − ∆ + Η υδροστρ. ⇒ 25 m = 2.5 m + Η υδροστρ. ⇒ Η υδροστρ. = 22.5m Η εξίσωση ενέργειας από την διατοµή Α έως την διατοµή Ε (− ) (δηλαδή στην είσοδο του υδροστρόβιλου) είναι ΗΑ − f L1 8Q 2 = Η Ε( − ) D 5 gπ 2 όπου L1 = 2 2 L = 170 = 113.3 m , D1 = 1.50 m , f = 0.0211 , 3 3 Η Α = z Α = 45.5 m Έχουµε δηλαδή Η Ε ( − ) = 45.5 m - 1.667 m = 43.83 m Αλλά εξ ορισµού, Η Ε ( − ) = z Ε( − ) + PE ( − ) ρg + VE2 2g 43.83 m = 25 m + ή PE ( − ) ρg + 1.045 m και κατά συνέπεια PE( − ) ρg = 17.78 m ⇒ PE ( − ) = 174.1 kPa (σχετική πίεση στην είσοδο της τουρµπίνας) Χρησιµοποιούµε τώρα την εξίσωση ενέργειας µόνο για τον υδροστρόβιλο, (δηλαδή από την διατοµή Ε (− ) έως την Ε (+ ) ). Ισχύει Η Ε ( − ) − Η υδροστρ. = Η Ε ( + ) Εξ’ ορισµού, Η Ε( + ) = z Ε + 21.33 m = 25 + p E(+ ) ρg ⇒ p E( + ) ρg + 1.045m 43.83 m - 22.5 m = Η Ε( + ) , + Η Ε ( + ) = 21.33 m VE2 , και εποµένως 2g ⇒ p E(+ ) ρg = −4.72 m Εποµένως η σχετική πίεση κατάντι (δηλαδή στην έξοδο) του υδροστρόβιλου είναι 135 Α. Λιακόπουλος - Υδραυλική. Κλειστοί Αγωγοί -10/2/2012 p E ( + ) = −46.16 kPa + 45.5m Α +43.83m +25.0m Ε + 21.33m + 20.5m Β Γ.Ε. , Π.Ε. Σχήµα 17α Σκαρίφηµα των Γ.Ε. και Π.Ε. (τοπικές απώλειες αµελητέες). Λύση Παραδείγµατος 17β 1. Εφαρµόζοντας την εξίσωση ενέργειας για ολόκληρο το σύστηµα (2 δεξαµενές, 2 σωλήνες, υδροστρόβιλος) λαµβάνουµε Η Α − Η l1 − Η υδροστρ. − Η l 2 − Η l m = Η Β (ΒΒ1) α) ∆ουλεύοντας µε την σχετική πίεση (µανοµετρική πίεση, Pgage ) συµπεραίνουµε ότι για τις δεξαµενές (όπου VA2 2 , VB2 2 είναι αµελητέες ποσότητες) Η Α = z Α = 25 m , Η Β = z Β = 10 m . β) Οι γραµµικές απώλειες για κάθε σωλήνα υπολογίζονται µε την σχέση DarcyWeisbach L V2 L 8Q 2 Ηl = f = f 5 D 2g D gπ 2 όπου ο συντελεστής απωλειών f είναι συνάρτηση του αριθµού Reynolds και της σχετικής τραχύτητας του σωλήνα 136 Α. Λιακόπουλος - Υδραυλική. Κλειστοί Αγωγοί -10/2/2012 Στην περίπτωση του προβλήµατος και για τις δύο αγωγούς ισχύουν: 4(0.2 ) m 3 s VD 4Q Re = = = = 7.72 × 10 5 −6 2 v π D v (3.14)(0.30 m ) 1.1 × 10 m s ε 0.1 mm = = 0.00033 D 300 mm ( ) και εποµένως f 1 = f 2 = 0.0162 . Εποµένως για τον αγωγό #1 Η l1 = f1 L1 8Q 2 = 1 .1 m D15 gπ 2 και για τον αγωγό Νο.2 Η l 2 = 2 .2 m γ) Οι τοπικές απώλειες υπολογίζονται µε τύπους της µορφής V2 Ηlm = Κ 2g Στην περίπτωση που εξετάζουµε Q 4Q V= = = 2.83m/s = σταθ. Α πD 2 σε κάθε διατοµή των σωλήνων. Εποµένως, Ηl m = ∑ i ( ) 2 V Vi2 = Κι = Κ εξοδ. + Κ υδροστρ. + Κ εισοδ. 2g 2g 2 2.83) ( = (0.5 + 5.0 + 1.0 ) = 6.5 × 0.408 m = 2.65 m 2 (9.81) Εποµένως αντικαθιστώντας στην εξίσωση ενέργειας (ΒΒ1) βρίσκουµε ότι Η υδροστρ. = (z Α − zΒ ) − Η l 1 − Η l 2 − Η l m = 15 m - 1.1 m - 2.2 m - 2.6 m και Η υδροστρ. = 9.1 m Κατά συνέπεια, η ισχύς του υδροστρόβιλου είναι Pυδροστρ., πραγµ. = η γ Q Η υδροστρ. = = 0.60(9.81 × 998) = 10.69 Ν m3 9.1 m = 0 . 2 m3 s kN ⋅ m = 10.69 kJ/s = 10.69 kW s 137 Α. Λιακόπουλος - Υδραυλική. Κλειστοί Αγωγοί -10/2/2012 2. Εφαρµόζοντας την εξίσωση ενέργειας Η Α − (Κ εξοδ. + Κ υδροστ. ) Εποµένως V2 − Η l1 − Η υδροστ. = Η Ν + 2g Η Ν + = 25 m - (2.24 + 1.1 + 9.1)m = 12.55 m Αλλά Η Ν+ = z Ν+ p Ν+ V2 + + ρg 2 g όπου z Ν = 16 m . Εποµένως, p Ν+ ρg = −3.86 m ⇒ p Ν + ,σχετ. = −37.8 kPa p Ν + ,απολ. = p atm − 37.8 kPa 25m 23.7 m 12.6 m 10m Γ.Ε . Π.Γ. Σχήµα 17β. Σκαρίφηµα Γ.Ε. και Π.Γ. (συµπεριλαµβάνονται οι τοπικές απώλειες). 138
© Copyright 2024 Paperzz
