ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ αx + β<0 α.(β+γ)= α. β+α.γ ∆ =δ.π+ 1.3 υ Δυνάμεις φυσικών αριθμών Πολλές φορές συναντάμε γινόμενα των οποίων όλοι οι παράγοντες είναι ίσοι. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν έδρας κύβου και τον όγκο του, για διάφορες τιμές της ακμής του. y Ο κύβος είναι ένα γεωμετρικό στερεό σώμα με επίπεδες επιφάνειες που έχουν σχήμα τεακμή τραγώνου και λέγονται έδρες. y Ακμή είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο έδρες. y έδρα ακμή Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο Ε = α w α. Επομένως, το εμβαδόν έδρας κύβου ακμής α δίνεται από τον τύπο Ε = α w α. Κεφάλαιο 1ο 4 y Ο όγκος του κύβου είναι ίσος με το γινόμενο των ακμών που εκφράζουν το μήκος, το πλάτος και το ύψος του. Επειδή οι ακμές του κύβου είναι ίσες μεταξύ τους, αυτό εκφράζεται σύντομα με τον τύπο: Ο (κύβου) = α w α wα (ή Vκύβου = α w α wα, όπου V ο διεθνής συμβολισμός του όγκου (αρχικό της λέξης Volume = όγκος). Εφαρμόζοντας τους τύπους υπολογισμού του εμβαδού έδρας και όγκου κύβου, βρίσκουμε ότι: y Για ακμή α = 2 είναι: Ε = 2 w 2 = 4 τ.μ. και V = 2 w 2 w 2 = 8 κ.μ. y Για ακμή α = 3 είναι: Ε = 3 w 3 = 9 τ.μ. και V = 3 w 3 w 3 =27 κ.μ. y Για ακμή α = 4 είναι: Ε =4 w 4 w = 16 τ.μ. και V = 4 w 4 w 4 = 64 κ.μ. y Για ακμή α = 5 είναι: Ε = 5 w 5 =25 τ.μ. και V = 5 w 5 w 5 = 125 κ.μ. y ………… Παρατηρούμε ότι, γενικά, για να υπολογίσουμε το εμβαδόν μιας έδρας κύβου (τετραγώνου), πολλαπλασιάζουμε δύο ίσους αριθμούς και για να υπολογίσουμε τον όγκο ενός κύβου πολλαπλασιάζουμε τρεις ίσους αριθμούς. Δηλαδή, υπολογίζουμε γινόμενα αποτελούμενα από δύο και τρεις αντίστοιχα, ίσους παράγοντες. Ας δούμε ένα ακόμη παράδειγμα.... Αναρωτηθήκατε ποτέ πόσοι είναι οι δυνατοί τετραψήφιοι κωδικοί pin ενός κινητού τηλεφώνου; Δεν είναι δύσκολο να τους υπολογίσουμε. Έστω λοιπόν ένας τετραψήφιος κωδικός pin Α Β Γ Δ Προφανώς, στη θέση Α μπορεί να μπει καθένας από τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, …,9 οι οποίοι είναι συνολικά 10. Για κάθε μία από τις 10 αυτές επιλογές για τη θέση Α, υπάρχουν 10 επιλογές για τη θέση Β. Δηλαδή, μόνο για τα δύο πρώτα ψηφία υπάρχουν 10 w 10 = 100 επιλογές. Πράγματι, αν στη θέση Α μπει το 0, υπάρχουν 10 επιλογές (0 -9) για τη θέση Β. Αν στη θέση Α μπει το 1, υπάρχουν 10 επιλογές (0 -9) για τη θέση Β, κ.ο.κ. + 10 + ... + 10 Οπότε όλες οι δυνατές περιπτώσεις είναι 10 = 10 ⋅ 10 = 100 10 φορές Κεφάλαιο 1ο 5 Με την ίδια λογική, για κάθε μία από τις 100 δυνατές επιλογές για τις θέσεις Α και Β, υπάρχουν 10 επιλογές για τη θέση Γ. Δηλαδή, μόνο για τα τρία πρώτα ψηφία, υπάρχουν 10 w 10 w 10 = 100 w 10 = 1000 επιλογές. Τελικά, επειδή για κάθε μία από τις 1000 δυνατές επιλογές για τις θέσεις Α, Β και Γ υπάρχουν 10 για τη θέση Δ, για ένα τετραψήφιο κωδικό pin υπάρχουν 10 w 10 w 10 w 10 = 1000 w 10 = 10000 επιλογές. Και πάλι είχαμε να υπολογίσουμε ένα γινόμενο αποτελούμενο από 4 ίσους παράγοντες. Θα μπορούσαμε να συνεχίζουμε να δίνουμε παραδείγματα στα οποία θα εμφανίζονταν γινόμενα οσωνδήποτε μεταξύ τους παραγόντων. Δεν θα είχε κάποιο ιδιαίτερο νόημαw είμαστε σίγουροι αφενός ότι υπάρχουν και αφετέρου ότι μπορούμε να τα κατασκευάσουμε. Από έναν αριθμό παραγόντων και πέρα, είναι εύκολο να αντιληφθούμε τις δυσκολίες που θα συναντούσαμε για να τα γράψουμε (και κατόπιν, βέβαια, να τα υπολογίσουμε). Τα μαθηματικά είναι γνωστό ότι διακρίνονται (ή αν προτιμάτε, πρέπει να διακρίνονται) από ακρίβεια, σαφήνεια, λιτότητα και κομψότητα στην έκφραση (στη μαθηματική, όχι στη λεκτική ερμηνεία της). Αυτό απαιτεί και επιβάλλει την εκτεταμένη χρήση ορισμών και εννοιών, που συχνά συνοδεύονται και από τα αντίστοιχα σύμβολα. Το αποτέλεσμα είναι η μεγιστοποίηση των μαθηματικών εκφραστικών δυνατοτήτων, η οποία μπορεί ταυτόχρονα να γίνει δίκοπο μαχαίρι για όποιον δεν αποκωδικοποιεί σωστά όρους και σύμβολα (γι’ αυτό προσοχή και εγρήγορση!!!). Στην περίπτωση ενός γινομένου ίσων παραγόντων, εισάγουμε την έννοια της δύναμης συνοδευόμενη από τον αντίστοιχο συμβολισμό. Ονομάζουμε δύναμη με βάση το (φυσικό) αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό ν (ν > 1) και συμβολίζουμε με αν το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με α. ν ⋅ α24 ⋅ α...α Δηλαδή α = α 14 3 ν φορές Το σύμβολο αν διαβάζεται επίσης «α στη νιοστή» ή «α στη ν». Κεφάλαιο 1ο 6 y Ορίζουμε επιπλέον ότι α1 = α, για κάθε (φυσικό) αριθμό α (καθώς επίσης και α0 = 1, για κάθε α διάφορο του μηδενός, όπως θα δούμε σε επόμενο κεφάλαιο, προς το τέλος αυτής της χρονιάς). Μπορεί να φαίνεται παράδοξος ο ορισμός των δυνάμεων α1 και α0, αφού για να έχουμε γινόμενο χρειαζόμαστε τουλάχιστον 2 παράγοντες!!! Καθώς όμως θα εμπλουτίζουμε τις γνώσεις μας πάνω στους αριθμούς, στις δυνάμεις και στις πράξεις με αυτές, θα γίνει φανερή τόσο η αναγκαιότητα της συμπλήρωσης του ορισμού κατά τον τρόπο αυτό, όσο και η λογική του. y Μετά και την επέκταση του ορισμού της δύναμης για εκθέτη οποιονδήποτε φυσικό, προφανώς ισχύει: 1ν =1, για κάθε ν φυσικό. ∆ηλαδή όλες οι δυνάμεις του 1 είναι ίσες με 1. Επίσης είναι: 0ν = 0, για κάθε φυσικό ν ≠ 0. ∆ηλαδή όλες οι (διάφορες της μηδενικής) δυνάμεις του 0 είναι ίσες με 0. Το σύμβολο 00 δεν έχει νόημα (δεν ορίζεται η μηδενική δύναμη του μηδενός. Σε επόμενο κεφάλαιο, θα γίνει φανερό και το γιατί). y Ενδιαφέρον επίσης, παρουσιάζουν και οι δυνάμεις του 10. Είναι: 101 = 10 (1 μηδενικό) 102 = 10 w 10 = 100 (2 μηδενικά) 103 = 10 w 10 w 10 = 1000 (3 μηδενικά) ..... και γενικά 10ν = 1000……………0 ν μηδενικά ∆ηλαδή: Για να σχηματίσουμε μια οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε το 1, και δεξιά του τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. y Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων, ακριβώς όπως το γινόμενο είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα άθροισμα ίσων προσθετέων. Έτσι, η δύναμη ακ εκφράζει το γινόμενο κ παραγόντων ίσων με α, ενώ το γινόμενο κ w α εκφράζει το άθροισμα κ προσθετέων ίσων με α. ∆ηλαδή είναι: Κεφάλαιο 1ο 7 κ α ⋅ α24 ⋅ α...α + α +244 α... +3 α =κ⋅α 14 3 = α , αλλά α 144 κ φορές κ φορές Πρέπει λοιπόν να είμαστε πολύ προσεκτικοί και να μην τα μπερδεύουμε. Πράγματι ένα πολύ συνηθισμένο λάθος που γίνεται κατά τον υπολογισμό δυνάμεων είναι να πολλαπλασιάσουμε τη βάση με τον εκθέτη. Προσοχή λοιπόν!!! Για παράδειγμα είναι: 43 = 4 w 4 w 4 = 64 5 ΠΟΤΕ 43 = 4 ⋅ 3 = 12 y Υπάρχει η περίπτωση ένα γινόμενο να αποτελείται από δύο ή και περισσότερους διαφορετικούς παράγοντες που ο ένας τουλάχιστον επαναλαμβάνεται (τουλάχιστον δύο φορές). Τότε, το γινόμενο αυτό μπορεί να γραφεί ως γινόμενο αριθμού με δύναμη ή γινόμενο δυνάμεων. Για παράδειγμα: 4⋅5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 4 ⋅ 53 3 φορές 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 63 ⋅ 25 3 φορές 5 φορές 2 ⋅2 ⋅3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅4⋅4⋅4⋅5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 6 = 22 ⋅ 3 3 ⋅ 4 4 ⋅ 5 3 ⋅ 6 2 N N 2 φορές 3 φορές 4 φορές 3 φορές 2 φορές y Προφανώς, όπως μπορούμε να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων με τη μορφή δύναμης, έτσι μπορούμε να αναλύσουμε μια δύναμη σε γινόμενο (ίσων) παραγόντων και να μπορέσουμε να την υπολογίσουμε. Για παράδειγμα: 73 =7 w 7 w 7 = 49 w 7 =343 45 = 4 w 4 w 4 w 4 w 4 =16 w 16 w 4 =256 w 4 = 1024 αφού, σύμφωνα με την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, μπορούμε να αντικαταθιστούμε παράγοντες με το γινόμενό τους (ή να αναλύουμε ένα παράγοντα σε γινόμενο). y Ειδικά για τη δεύτερη και τρίτη δύναμη ενός αριθμού α (α2 και α3 αντίστοιχα) έχουν καθιερωθεί, επιπλέον, κάποιες ιδιαίτερες ονομασίες. Κατά κανόνα, λοιπόν τη δύναμη α2 την αποκαλούμε α στο τετράγωνο (εκτός των ονομασιών «δεύτερη δύναμη» και «α στη δευτέρα»). Η ονομασία αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι η δύναμη α2 εκφράζει το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α. Θυμηθείτε: Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο: Ε = α w α = α2 Κεφάλαιο 1ο 8 Λιγότερο συχνά, τη δύναμη α3 την αποκαλούμε «α στον κύβο» (εκτός των ονομασιών «τρίτη δύναμη» και «α στην τρίτη»). Η ονομασία αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι η δύναμη α3 εκφράζει τον όγκο κύβου πλευράς α . Θυμηθείτε: Ο όγκος κύβου ακμής a δίνεται από τον τύπο: V = a w a w a = a3 ♦ Αριθμητική παράσταση Αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων (πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης) και στην οποία πιθανόν να υπάρχουν και παρενθέσεις. π.χ. 3 · 42 – 8 : 2 + 5 · (7 + 3)– 9 (12 : 4 – 2) · 5 + 7 · (8 – 5)2 - 2 Τιμή της αριθμητικής παράστασης λέγεται το αποτέλεσμα που βρίσκουμε όταν εκτελέσουμε τις πράξεις που σημειώνονται. Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης ορίζεται μονοσήμαντα (δηλαδή σε κάθε αριθμητική παράσταση αντιστοιχεί μόνο μία τιμή). Επομένως, όταν υπολογίζουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, οφείλουμε, εκτός από το να κάνουμε σωστά τις πράξεις, να τις κάνουμε και με μια συγκεκριμένη, προσυμφωνημένη σειρά, ώστε να καταλήγουμε όλοι πάντα στο ίδιο αποτέλεσμα. Όπως ακριβώς, ο Κώδικας Οδικής Κυκλοφορίας ορίζει ποιο αυτοκίνητο έχει προτεραιότητα σε μια διασταύρωση ανάλογα με την περίπτωση (απουσία σήμανσης, ύπαρξη ειδικής σήμανσης, εισαγωγή σε κυκλική πορεία, κ.λπ.) έτσι για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης εκτελούμε τις πράξεις σύμφωνα με την παρακάτω: Κεφάλαιο 1ο ♦ 9 Προτεραιότητα των πράξεων 1ο: Δυνάμεις 2ο: Πολλαπλασιασμοί – διαιρέσεις 3ο: Προσθέσεις – αφαιρέσεις y Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την παραπάνω σειρά. y Πράξεις με την ίδια προτεραιότητα (πολλαπλασιασμοί – διαιρέσεις και προσθέσεις - αφαιρέσεις) γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά. y Όταν έχουμε μόνο προσθέσεις ή μόνο πολλαπλασιασμούς, μπορούμε να τις/ τους εκτελέσουμε με όποια σειρά θέλουμε, λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντίστοιχα. Θα εκτελέσουμε τις πράξεις στις αριθμητικές παραστάσεις που αναφέραμε προηγουμένως και θα υπολογίσουμε την τιμή τους. Θα ονομάσουμε την πρώτη αριθμητική παράσταση με Α και τη δεύτερη με Β. Α = 3 · 42 – 8 : 2 + 5 · (7 + 3) – 9 = 3 · 42 – 8 : 2 + 5 · 10 – 9 Κάνουμε την πράξη της παρένθεσης = 3 · 16 – 8 : 2 + 5 · 10 – 9 Υπολογίζουμε τη δύναμη: 42 = 4 · 4 = 16 = 48 – 4 + 50 – 9 Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις = 44 + 50 – 9 Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις = 94 – 9 με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά = 85 Η τιμή της αριθμητικής παράστασης Α είναι 85 Κεφάλαιο 1ο 10 Β = (12 : 4 – 2) · 5 + 7 · (8 – 5)2 – 2 = (3 – 2) · 5 + 7 · (8 – 5)2 – 2 Κάνουμε πράξεις στις παρενθέσεις, πρώτα κάνουμε τη διαίρεση = 1 · 5 + 7 · 32 – 2 και μετά τις αφαιρέσεις =1·5+7·9–2 Υπολογίζουμε τη δύναμη: 32 = 3 · 3 = 9 = 5 + 63 – 2 Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς = 68 – 2 Κάνουμε την πρόσθεση = 66 Κάνουμε την αφαίρεση Η τιμή της αριθμητικής παράστασης Β είναι 66. 1 Να γίνουν οι πράξεις α) (2 · 3)2, β) (23)2 Πρώτα θα γίνουν οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις και έπειτα θα υπολογίσουμε τις δυνάμεις. Λύση Κάνουμε πρώτα τις πράξεις που είναι μέσα στις παρενθέσεις και έπειτα υπολογίζουμε τη δύναμη που προκύπτει: α) (2 · 3)2 = 62 = 6 · 6 = 36 β) (23)2 = (2 · 2 · 2)2 = (4 · 2)2 = 82 = 8 · 8 = 64 Κεφάλαιο 1ο 2 11 Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α = 15 : 3 + 23 · 5 – 42 : 8 Ακολουθούμε τη σειρά των πράξεων. 1. ∆υνάμεις 2. Πολλαπλασιασμοί - διαιρέσεις με τη σειρά από αριστερά προς δεξιά 3. Προσθέσεις - αφαιρέσεις με τη σειρά από αριστερά προς δεξιά. Λύση Α = 15 : 3 + 23 · 5 – 42 : 8 = 15 : 3 + 8 · 5 – 16 : 8 υπολογίζουμε πρώτα τις δυνάμεις: 23 = 2 ·2 ·2 = 4 · 2 = 8 και 42 = 4 · 4 = 16 = 5 + 40 – 2 κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις = 45 – 2 κάνουμε την πρόσθεση = 43 κάνουμε την αφαίρεση Κεφάλαιο 1ο 12 Με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή τσέπης υπολογίστε τις παρακάτω δυνάμεις: 112 = 1112 = 11112 = Χωρίς τη βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή τσέπης, μπορείτε να υπολογίσετε τις παρακάτω δυνάμεις; 111112 = 1111112 = 11111112 = Η Λύση βρίσκεται στο τέλος του τεύχους. Κεφάλαιο 1ο 13 Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Ονομάζουμε δύναμη με βάση το (φυσικό) αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό ν (ν > 1) και συμβολίζουμε με αν το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με α. ν ⋅ α24 ⋅ α...α Δηλαδή α = α 14 3 ν φορές Ορίζουμε επιπλέον ότι α1 = α, για κάθε (φυσικό) αριθμό α (καθώς επίσης και α0 = 1, για κάθε α διάφορο του μηδενός). 1ν =1, για κάθε ν φυσικό. Δηλαδή όλες οι δυνάμεις του 1 είναι ίσες με 1. 0ν = 0, για κάθε φυσικό ν ≠ 0. Δηλαδή όλες οι (διάφορες της μηδενικής) δυνάμεις του 0 είναι ίσες με 0. Το σύμβολο 00 δεν έχει νόημα (δεν ορίζεται η μηδενική δύναμη του μηδενός). 10ν = 1000……0 ν μηδενικά Δηλαδή: Για να σχηματίσουμε μια οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε το 1, και δεξιά του τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων, ακριβώς όπως το γινόμενο είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα άθροισμα ίσων προσθετέων. κ + α +244 α... +3 α =κ⋅α α ⋅ α24 ⋅ α...α 144 14 3 = α , αλλά α κ φορές κ φορές Τη δύναμη α2 την αποκαλούμε α στο τετράγωνο (εκτός των ονομασιών «δεύτερη δύναμη» και «α στη δευτέρα»). Τη δύναμη α3 την αποκαλούμε «α στον κύβο» (εκτός των ονομασιών «τρίτη δύναμη» και «α στην τρίτη»). Κεφάλαιο 1ο 14 Αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων (πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης) και στην οποία πιθανόν να υπάρχουν και παρενθέσεις. Τιμή της αριθμητικής παράστασης λέγεται το αποτέλεσμα που βρίσκουμε όταν εκτελέσουμε τις πράξεις που σημειώνονται. Προτεραιότητα πράξεων Όταν εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση, πρέπει να τηρούμε την εξής σειρά: 1. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 2. Εκτελούμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις 3. Εκτελούμε προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν παρενθέσεις εκτελούμε πρώτα τις πράξεις σ’ αυτές με την ίδια σειρά. Όταν πρόκειται για πράξεις με την ίδια προτεραιότητα (προσθέσεις - αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις), τις εκτελούμε, από αριστερά προς τα δεξιά. Κατ’ εξαίρεση, όταν έχουμε μόνο προσθέσεις ή μόνο πολλαπλασιασμούς, μπορούμε να τις εκτελέσουμε με όποια σειρά θέλουμε, λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντίστοιχα. Κεφάλαιο 1ο 15 1. Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: i) Έστω α και ν φυσικοί με ν > 1. Το σύμβολο αν ονομάζεται……………… με ………………… α και ………………… ν και εκφράζει το ………………………………………………. ii) Επεκτείνοντας τον ορισμό της δύναμης για εκθέτη οποιονδήποτε φυσικό διαφορετικό του μηδενός, ορίζουμε επιπλέον ότι: α1 = …… iii) Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα ……………………… ίσων …………………………, ακριβώς όπως το γινόμενο είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα ……………………… ίσων ………………………. iv) Συνηθίζουμε να αποκαλούμε τη δεύτερη δύναμη ενός αριθμού α «…………… …………………………… », επειδή το α2 εκφράζει ……………………………………….……………. v) Η τρίτη δύναμη ενός αριθμού α αποκαλείται επίσης «………………………» επειδή το α3 εκφράζει …………………………………………. vi) Για να σχηματίσουμε οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε τη μονάδα και δεξιά της ………………………………………………………………… . vii) Ισχύει: 1ν =……, για κάθε ν φυσικό και 0ν = …… για κάθε ν φυσικό ………………………………………… του μηδενός. 2. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής στήλης με τα στοιχεία της δεξιάς. 3 w 3 w 3 w 2 w 2 ● ● 32 + 2 3 3 w 3 w 3 + 2 w 2 ● ● 2 w 32 + 3 w 22 3 w 3 + 3 w 2 w 2 ● ● 33 w 22 3 w 3 + 2 w 2 w 2 ● ● 32 + 3 w 2 2 3 w 3 w 2 w 2 w 2 ● ● 33 + 2 2 2 w 3 w 3 + 3 w 2 w 2 ● ● 32 w 23 Κεφάλαιο 1ο 16 3. Να συμπληρώσετε τα τετράγωνα με τους κατάλληλους αριθμούς, ώστε να ισχύουν οι ισότητες: 93 ii) 8 w 104 + w 103 + 2 w 10 = 4 iii) 7 w 10 + w 103 + w 10 + 5 = 7 4 i) w 105 + 7 w 104 + w 102 + 3 =1 2 4. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: Σ i) Στη δύναμη 32 η βάση είναι το 2 και ο εκθέτης το 3 ii) ⎛ 5 -1 ⎞ < 52 + 1 Ισχύει (5+1) ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ iii) Η δύναμη 84 εκφράζει το γινόμενο 4 παραγόντων ίσων με 8. iv) Κάθε αριθμός που τελειώνει σε ένα ή περισσότερα μηδενικά μπορεί να γραφεί ως γινόμενο με παράγοντα μία τουλάχιστον δύναμη του 10. v) Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να εκφράσουμε το άθροισμα ίδιων (ίσων) προσθετέων. 2 Λ Κεφάλαιο 1ο 17 1. Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: i) Έστω α και ν φυσικοί με ν > 1. Το σύμβολο αν ονομάζεται δύναμη με βάση α και εκθέτη ν και εκφράζει το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με α. ii) Επεκτείνοντας τον ορισμό της δύναμης για εκθέτη οποιονδήποτε φυσικό διαφορετικό του μηδενός, ορίζουμε επιπλέον ότι: α1 = α. iii) Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων, ακριβώς όπως το γινόμενο είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα άθροισμα ίσων προσθετέων. iv) Συνηθίζουμε να αποκαλούμε τη δεύτερη δύναμη ενός αριθμού α «α στο τετράγωνο», επειδή το α2 εκφράζει το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α. v) Η τρίτη δύναμη ενός αριθμού α αποκαλείται επίσης «α στον κύβο» επειδή το α3 εκφράζει τον όγκο κύβου ακμής α. vi) Για να σχηματίσουμε οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε τη μονάδα και δεξιά της τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. vii) Ισχύει: 1ν =1, για κάθε ν φυσικό και 0ν =0 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό/ μεγαλύτερο του μηδενός. 2. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής στήλης με τα στοιχεία της δεξιάς. 3w3w3w2w2 ● ● 32 + 23 3w3w3+2w2 ● ● 2 w 32 + 3 w 22 3w3+3w2w2 ● ● 33 w 22 3w3+2w2w2 ● ● 32 + 3 w 22 3w3w2w2w2 ● ● 33 + 22 2w3w3+3w2w2 ● ● 32 w 23 Κεφάλαιο 1ο 18 3. Να συμπληρώσετε τα τετράγωνα με τους κατάλληλους αριθμούς, ώστε να ισχύουν οι ισότητες: i) 1 w 105 + 7 w 104 + 9 w 102 + 3 =1 7 0 9 0 3 ii) 8 w 104 + 4 w 103 + 2 w 10 =8 4 0 2 0 iii) 7 w 10 6 + 4w 103 + 2 w 10 1 + 5 = 7 0 0 4 0 2 5 4. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: Σ i) Στη δύναμη 32 η βάση είναι το 2 και ο εκθέτης το 3 ii) ⎛ 5 -1 ⎞ 2 Ισχύει (5+1) ⎜ ⎟ <5 +1 2 ⎝ ⎠ Χ iii) Η δύναμη 84 εκφράζει το γινόμενο 4 παραγόντων ίσων με 8. Χ iv) Κάθε αριθμός που τελειώνει σε ένα ή περισσότερα μηδενικά μπορεί να γραφεί ως γινόμενο με παράγοντα μία τουλάχιστον δύναμη του 10. Χ v) Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να εκφράσουμε το άθροισμα ίδιων (ίσων) προσθετέων. 2 Λ Χ Χ Κεφάλαιο 1ο 19 Δραστηριότητα 1η Από πόσα τετράγωνα πόσους κύβους αποτελούνται τα τέσσερα πρώτα σχήματα και από τα επόμενα τρία; Στα τέσσερα πρώτα σχήματα, κάθε γραμμή αποτελείται από τον ίδιο αριθμό τετραγώνων. Επομένως, για να βρούμε από πόσα τετράγωνα αποτελείται κάθε σχήμα, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το πλήθος των τετραγώνων κάθε γραμμής με το πλήθος των γραμμών του σχήματος. Στα τρία τελευταία σχήματα, κάθε σειρά αποτελείται από τον ίδιο αριθμό κύβων. Επομένως, για να βρούμε από πόσους κύβους αποτελείται κάθε σχήμα, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το πλήθος των κύβων κάθε σειράς με το πλήθος των σειρών του σχήματος. Κεφάλαιο 1ο 20 H Το σχήμα 1 αποτελείται από δύο γραμμές κάθε μία από τις 1η γραμμή οποίες αποτελείται από δύο τετράγωνα. Συνεπώς, το σχήμα (1) αποτελείται συνολικά από 2 w 2 =4 τετράγωνα (όπως μπορούμε εύκολα να επαληθεύσουμε μετρώντας τα). H Το σχήμα 2 αποτελείται από τρεις γραμμές κάθε μία από τις οποίες αποτελείται από τρία τετράγωνα. Συνεπώς, το σχήμα 2 αποτελείται συνολικά από 3 w 3 =9 τετράγωνα. 2η γραμμή 1η γραμμή 2η γραμμή 3η γραμμή H Το σχήμα 3 αποτελείται από τέσσερις γραμμές κάθε μία 1η γραμμή 2η γραμμή 3η γραμμή 4η γραμμή από τις οποίες αποτελείται από τέσσερα τετράγωνα. Συνεπώς, το σχήμα 3 αποτελείται συνολικά από 4 w 4 = 16 τετράγωνα. H Το σχήμα 4 αποτελείται από πέντε γραμμές κάθε μία από 1η γραμμή 2η γραμμή 3η γραμμή 4η γραμμή 5η γραμμή τις οποίες αποτελείται από πέντε τετράγωνα. Συνεπώς, το σχήμα 4 αποτελείται συνολικά από 5 w 5 = 25 τετράγωνα H Το σχήμα 5 αποτελείται από δύο σειρές (στρώσεις) κύβων. Κάθε σειρά κύβων αποτελείται από 2 w 2 =4 κύβους (αφού κάθε σειρά αποτελείται από 2 γραμμές με 2 κύβους η κάθε μία). Συνεπώς, το σχήμα 5 αποτελείται συνολικά από 2 w 2 w 2 = 8 κύβους. ύψος πλάτος (5) μήκος Κεφάλαιο 1ο 21 H Το σχήμα 6 αποτελείται από τρεις σειρές (στρώσεις) κύβων. Κάθε σειρά κύβων αποτελείται από 3 w 3 = 9 κύβους (αφού κάθε σειρά αποτελείται από 3 γραμμές με 3 κύβους η κάθε μία). Συνεπώς, το σχήμα 6 αποτελείται συνολικά από 3 w 3 w 3 = 27 κύβους (6) H Το σχήμα 7 αποτελείται από τέσσερις σειρές (στρώσεις) κύβων. Κάθε σειρά κύβων αποτελείται από 4 w 4 = 16 κύβους (αφού κάθε σειρά αποτελείται από 4 γραμμές με 4 κύβους η κάθε μία). Συνεπώς, το σχήμα 7 αποτελείται συνολικά από 4 w 4 w 4 = 64 κύβους Λαμβάνοντας ως μονάδα μέτρησης επιφάνειας το και ως μονάδα όγκου του προφανώς οι αριθμοί που βρήκαμε παραπάνω εκφράζουν το εμβαδόν των σχημάτων (1) – (4) και τον όγκο των σχημάτων (5) – (7) , τα οποία είναι τετράγωνα και κύβοι αντίστοιχα. ∆ηλαδή, το εμβαδόν τετραγώνου είναι ίσο με το γινόμενο 2 ίσων αριθμών και ο όγκος του κύβου είναι ίσος με το γινόμενο 3 ίσων αριθμών. Γι’ αυτό, άλλωστε, και έχει επικρατήσει η δεύτερη δύναμη ενός αριθμού α να ονομάζεται και τετράγωνο του α και η τρίτη δύναμη ενός αριθμού α να ονομάζεται και κύβος του α. (7) Κεφάλαιο 1ο 22 Δραστηριότητα 2η Ο Κωστάκης, η Ρένα και ο Δημήτρης έκαναν τις πράξεις στην αριθμητική παράσταση: 8 x (2x3+4x6)+5x (7+7x9) + 10 και βρήκαν ο καθένας διαφορετικό αποτέλεσμα. Ο Κωστάκης βρήκε 1.312, η Ρένα 600 και ο Δημήτρης 180. H Βρες ποιο από τα τρία αποτελέσματα είναι το σωστό. H Μπορείς να μαντέψεις με ποια σειρά έκανε ο καθένας τις πράξεις; H Διατύπωσε έναν κανόνα για την προτεραιότητα που πρέπει να τηρούμε, όταν κάνουμε πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση. Από το δημοτικό γνωρίζουμε ότι στις αριθμητικές παραστάσεις, οι πράξεις γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά με μια ορισμένη σειρά: α) πρώτα πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις και β) μετά προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν παρενθέσεις, κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά. H Βρες ποιο από τα τρία αποτελέσματα είναι το σωστό. Για να βρούμε ποιο από τα τρία αποτελέσματα είναι σωστό, πρέπει να εκτελέσουμε μόνοι μας τις πράξεις με τη σωστή σειρά. Στην αριθμητική παράσταση που δίνεται παρατηρούμε ότι υπάρχουν παρενθέσεις, πολλαπλασιασμοί και προσθέσεις. Από το δημοτικό γνωρίζουμε ότι στις αριθμητικές παραστάσεις, οι πράξεις γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά με μια ορισμένη σειρά: α) πρώτα πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις και β) μετά προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν παρενθέσεις, κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά. Κεφάλαιο 1ο 23 Όταν υπάρχουν μόνο προσθέσεις (ή μόνο πολλαπλασιασμοί) λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας, της πρόσθεσης (αντίστοιχα, του πολλαπλασιασμού) μπορούμε να τις εκτελέσουμε με όποια σειρά θέλουμε. Σε ό,τι αφορά πράξεις με την ίδια προτεραιότητα (πρόσθεση – αφαίρεση και πολλαπλασιασμός – διαίρεση) εργαζόμαστε από αριστερά προς τα δεξιά. Μετά τις παραπάνω παρατηρήσεις, είμαστε έτοιμοι να υπολογίσουμε την τιμή της αριθμητικής παράστασης. Είναι: ( ) ( ) 8⋅ 2 ⋅ 3+4 ⋅ 6 + 5⋅ 7 + 7 ⋅ 9 + 10 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = 8 ⋅ ⎜⎜6 + 24⎟ + 5 ⋅ ⎜⎜7 + 63⎟ + 10 ⎝ ⎠⎟⎟ ⎝ ⎠⎟⎟ t Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς στις παρενθέσεις =8 ⋅ 30 + 5 ⋅ 70 + 10 t Εκτελούμε τις προσθέσεις στις παρενθέσεις = 240 + 350 + 10 t Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = 590 + 10 t Εκτελούμε την πρώτη από αριστερά πρόσθεση = 600 t Εκτελούμε την πρόσθεση Από τη στιγμή που έμειναν μόνο προσθέσεις, μπορούσαν να γίνουν με οποιαδήποτε σειρά (και όχι υποχρεωτικά από αριστερά προς τα δεξιά) λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας. Κεφάλαιο 1ο 24 Μπορείς να μαντέψεις με ποια σειρά έκανε ο καθένας τις πράξεις; Ο Κωστάκης Ενώ ξεκίνησε, όπως έπρεπε, με τον υπολογισμό των παρενθέσεων, μέσα στις παρενθέσεις δεν ακολούθησε τη σωστή σειρά των πράξεων. Δηλαδή, και στις δύο παρενθέσεις, πρόσθεσε πρώτα τους αριθμούς που βρίσκονται αριστερά και δεξιά του «+» και κατόπιν εκτέλεσε τους πολλαπλασιασμούς. Βέβαια, όταν δεν υπήρχαν πια παρενθέσεις, συνέχισε την εκτέλεση των πράξεων με τη σωστή σειρά, δηλαδή εκτέλεσε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και στο τέλος έκανε και τις προσθέσεις. Ο Κωστάκης, δηλαδή, υπολόγισε αντί της αριθμητικής παράστασης που δίνεται την ακόλουθη: 8 ⋅ ⎡⎣2 ⋅ (3 + 4) ⋅ 6⎤⎦ + 5 ⋅ ⎡⎣(7 + 7) ⋅ 9⎤⎦ + 10 = 8 ⋅ (2 ⋅ 7 ⋅ 6) + 5 ⋅ (14 ⋅ 9) + 10 t Υπολογίζουμε την παρένθεση που βρίσκεται σε καθεμιά από τις αγκύλες. Οι παρενθέσεις φεύγουν και οι αγκύλες γίνονται παρενθέσεις. = 8 ⋅ (14 ⋅ 6) + 5 ⋅ 126 + 10 t Στην πρώτη (αριστερή) από τις παρενθέσεις, εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς, από αριστερά προς τα δεξιά. = 8 ⋅ 84 + 5 ⋅ 126 + 10 t Υπολογίζουμε και την τελευταία παρένθεση. = 672 + 630 + 10 t Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = 1302 + 10 t Εκτελούμε τις προσθέσεις από τα αριστερά προς τα δεξιά (βέβαια, όχι απαραιτήτως, έτσι, αφού, πλέον έχουμε μόνο προσθέσεις). =1312 t Εκτελούμε την τελευταία πρόσθεση Ο Δημήτρης Ο Δημήτρης αγνόησε εντελώς τις παρενθέσεις και εργάστηκε σαν να μην υπήρχαν. Υπολόγισε δηλαδή την αριθμητική παράσταση: 8 ⋅ 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 6 + 5 ⋅ 7 + 7 ⋅ 9 + 10 = 16 ⋅ 3 + 24 + 35 + 63 + 10 t Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = 48 + 24 + 35 + 63 + 10 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό που απέμεινε =...... t Εκτελούμε τις προσθέσεις με όποια σειρά θέλουμε, λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης. = 180 Κεφάλαιο 1ο 25 Διατύπωσε έναν κανόνα για την προτεραιότητα που πρέπει να τηρούμε, όταν κάνουμε πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση. Προφανώς, επειδή η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων (δηλαδή είναι σαν να έχουμε ένα γινόμενο σε παρένθεση) θα προηγείται σε σχέση με τον πολλαπλασιασμό ακριβώς όπως ο πολλαπλασιασμός προηγείται σε σχέση με την πρόσθεση. Συνοψίζοντας, όταν εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση, πρέπει να τηρούμε την εξής σειρά: 1. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 2. Εκτελούμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις 3. Εκτελούμε προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν παρενθέσεις εκτελούμε πρώτα τις πράξεις σ’ αυτές με την ίδια σειρά. Όταν πρόκειται για πράξεις με την ίδια προτεραιότητα (προσθέσεις - αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις), τις εκτελούμε, από αριστερά προς τα δεξιά. Κατ’ εξαίρεση, όταν έχουμε μόνο προσθέσεις ή μόνο πολλαπλασιασμούς, μπορούμε να τις εκτελέσουμε με όποια σειρά θέλουμε, λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντίστοιχα. Κεφάλαιο 1ο 26 Στον υπολογισμό μιας δύναμης πρέπει να ξεχωρίζουμε ποιος είναι ο ρόλος της βάσης και ποιος του εκθέτη. F Η βάση μας δείχνει ποιος είναι ο παράγοντας του γινομένου που επαναλαμβάνεται ενώ ο εκθέτης πόσες φορές επαναλαμβάνεται αυτός ο παράγοντας. Για παράδειγμα στη δύναμη 53 ο αριθμός 5 είναι η βάση, δηλαδή ο παράγοντας του γινομένου και ο αριθμός 3 είναι ο εκθέτης που μας δείχνει ότι πρέπει να πάρουμε τον παράγοντα τρεις φορές. Δηλαδή η δύναμη 53 γράφεται 5 · 5 · 5. Προσοχή ∆εν πρέπει ποτέ στον υπολογισμό μιας δύναμης να παίρνουμε το γινόμενο της βάσης με τον εκθέτη, δηλαδή η δύναμη αν δεν είναι ίση με α · ν. Όταν έχουμε να υπολογίσουμε μία δύναμη του 10 γράφουμε τη μονάδα και δεξιά τόσα μηδενικά όσος είναι ο εκθέτης της δύναμης. π.χ. 107 = 10.000.000 (ο εκθέτης είναι το 7 άρα γράφουμε επτά μηδενικά) Όταν έχουμε να υπολογίσουμε μία δύναμη του 1 πρέπει να θυμόμαστε ότι οποιοσδήποτε και αν είναι ο εκθέτης, η δύναμη θα ισούται πάντα με 1. Δηλαδή 1ν = 1, όπου ν οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός. H Αριθμητική παράσταση είναι ένα σύνολο αριθμών που συνδέονται με τις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Αν κάνουμε (σωστά) τις πράξεις σε μία αριθμητική παράσταση με τη σωστή σειρά, τότε θα βρούμε έναν αριθμό που λέγεται τιμή της παράστασης. Κεφάλαιο 1ο 27 Σε μία αριθμητική παράσταση πρώτα κάνουμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις, αν υπάρχουν, με την κατάλληλη σειρά και ύστερα κάνουμε τις υπόλοιπες πράξεις. Η σειρά που ακολουθούμε είναι η εξής: - πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις, - έπειτα κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις, με τη σειρά από τ’ αριστερά προς τα δεξιά, - στο τέλος κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις με τη σειρά, από τ’ αριστερά προς τα δεξιά. Κεφάλαιο 1ο 28 1. Να υπολογιστούν το τετράγωνο, ο κύβος, η τέταρτη, η πέμπτη και η έκτη δύναμη του αριθμού 10. Τι παρατηρείτε; w α w αw ...w α, που έχει ν παράγοντες (ν ≥ 2) ίσους με το α (και συμβολίζεται με αν). y Νιοστή δύναμη του α ονομάζεται το γινόμενο α y Τετράγωνο ενός αριθμού ονομάζεται η δεύτερη δύναμη του αριθμού. y Κύβος ενός αριθμού ονομάζεται η τρίτη δύναμη του αριθ- μού. Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό επί 10, 100, 1000,.... γράφουμε στο τέλος του αριθμού τόσα μηδενικά όσα έχει κάθε φορά ο παράγοντας 10, 100, 1000..... Σύμφωνα με τον ορισμό δύναμης αριθμού έχουμε: 102 = 10 x 10 t α2 = α x α (2 παράγοντες ίσοι με α) = 100 t για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συμπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό. 103 = 10 x 10 x10 t = 102 w 10 t α3 = α x α x α (3 παράγοντες ίσοι με α) Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού α w α = α2 =100 x 10 t 10 2 = 100 (υπολογίστηκε προηγουμένως) =1000 t για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συμπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό. Κεφάλαιο 1ο 29 104 = 10 x 10 x10 x10 t α4 = α x α x α x α ( 4 παράγοντες ίσοι με α) =103 x 10 t Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού α w α w α =α3 =1000 w 10 t 103 = 1000 (υπολογίστηκε προηγουμένως) = 10000 t για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συμπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό. 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 t α5 = α x α x α x α x α ( 5 παράγοντες ίσοι με α) =104 w 10 t Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού α x α x α x α = α4 = 10000 x 10 t 104 = 10000 ( υπολογίστηκε προηγουμένως) = 100000 t για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συμπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό. 106 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 t α6 = α x α x α x α x α x α = 105 w 10 t Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα = 100000 x 10 t 105 = 100000 (υπολογίστηκε προηγουμένως) = 1000000 t για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συμπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό. Παρατηρούμε ότι κάθε μία από τις δυνάμεις του 10 που υπολογίσαμε, έχει τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι: για να σχηματίσουμε μια οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε το 1, και δεξιά του τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. Κεφάλαιο 1ο 30 Να εκτελεστούν οι πράξεις: 2. α) (2 x 5)4 + 4 x (3 +2)2 β) (2 +3)3 - 8 x 32 Για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, εκτελούμε τις πράξεις με την ακόλουθη σειρά: 1. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 2. Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις 3. Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά. Ακολουθούμε τη σειρά των πράξεων: α) 4 2 (2 ⋅ 5) + 4 ⋅ (3 + 2) t Εκτελούμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις = 10000 + 4 ⋅ 25 t Υπολογίζουμε τις δυνάμεις = 10000 + 100 t Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = 10100 t Εκτελούμε την πρόσθεση 4 = 10 + 4 ⋅ 5 2 β) 3 (2 + 3) − 8 ⋅ 32 t Εκτελούμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση = 125 − 8 ⋅ 9 t Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 53 = 5w 5w 5= 125 και 32 = 3 w 3 = 9 = 125 − 72 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό = 53 t Εκτελούμε την αφαίρεση 3 = 5 −8⋅3 2 Κεφάλαιο 1ο 3. 31 Να γραφεί το ανάπτυγμα του αριθμού 7.604 με χρήση των δυνάμεων του 10. Για να γράψουμε το ανάπτυγμα του αριθμού 7.604 με χρήση των δυνάμεων του 10, θα δηλώσουμε την αξία του κάθε ψηφίου με: 1ο βήμα: Λέξεις 2ο βήμα: Αριθμούς 3ο βήμα: ∆υνάμεις του 10 (Πολλαπλασιαζόμενο πάντα με τον αριθμό κάθε ψηφίου). Έχουμε τον αριθμό 7.604 Βήμα 1ο: Δηλώνουμε την αξία του κάθε ψηφίου, με λέξεις. 7 χιλιάδες + 6 εκατοντάδες + 0 δεκάδες + 4 μονάδες Βήμα 2ο: Αντικαθιστούμε τις λέξεις με αριθμούς. 7 x 1000 + 6 x 100 + 0x 10 + 4x1 Βήμα 3ο: Αντικαθιστούμε τους αριθμούς με δυνάμεις του 10. 7 x 103 + 6 x 102 + 0 x 101 + 4 Επειδή : το 1000 έχει τρία μηδενικά, είναι: 1000 = 103 το 100 έχει δύο μηδενικά, είναι: 100 = 102 το 10 έχει 1 μηδενικό, είναι: 10 = 101 Η αναπτυγμένη μορφή σε δυνάμεις του 10 του αριθμού 7.604 είναι: 7 x 103 + 6 x 102 + 0 x 101 + 4 Κεφάλαιο 1ο 32 Συμπλήρωσε στον πίνακα τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθμών 1. α 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 α2 α3 Τετράγωνο του αριθμού α ονομάζεται η δεύτερη δύναμη του α. Είναι: α2 = α w α. Κύβος του αριθμού α ονομάζεται η τρίτη δύναμη του α. Είναι: α3 = α w α w α. H Για α = 8 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 8 α2 = 82 t α2 = α x α =8x8 t Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό = 64 Υπολογίζουμε τον κύβο του 8 α3 = 83 t α3 = α x α x α = 8 x 8x 8 t Κάνουμε τους πολ- = 64 x 8 =512 λαπλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά. Κεφάλαιο 1ο 33 H Για α = 9 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 9 α2 = 92 t α2 = α x α =9x9 t Κάνουμε τον πολλα- Υπολογίζουμε τον κύβο του 9 α3 πλασιασμό = 81 =93 t α3 = α x α x α = 9 x 9x 9 t Κάνουμε τους πολ- = 81 x 9 =729 λαπλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά. H Για α = 10 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 10 α2 = 102 t α2 = α x α = 10 x 10 t Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό = 100 Υπολογίζουμε τον κύβο του 10 α3 = 103 t α3 = α x α x α = 10 x 10x 10 t Κάνουμε τους πολ- = 100 x 10 = 1.000 λαπλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά. H Για α = 11 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 11 α2 = 112 t α2 = α x α = 11 x 11 t Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό = 121 Υπολογίζουμε τον κύβο του 11 α3 = 113 t α3 = α x α x α = 11 x 11x 11 t Κάνουμε τους πολ- = 121 x 11 = 1331 λαπλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά. H Για α = 12 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 12 α2 = 122 t α2 = α x α = 12 x 12 t Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό = 144 Υπολογίζουμε τον κύβο του 12 α3 = 123 t α3 = α x α x α = 12 x 12x 12 t Κάνουμε τους πολ- = 144 x 12 = 1728 λαπλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά. Κεφάλαιο 1ο 34 H Για α = 13 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 13 α2 = 132 t α2 = α x α = 13 x 13 t Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό = 169 Υπολογίζουμε τον κύβο του 13 α3 = 133 t α3 = α x α x α = 13 x 13x 13 t Κάνουμε τους πολ- = 169 x 13 = 2.197 λαπλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά. H Για α = 14 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 14 α2 = 142 t α2 = α x α = 14 x 14 t Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό = 196 Υπολογίζουμε τον κύβο του 14 α3 = 143 t α3 = α x α x α = 14 x 14x 14 t Κάνουμε τους πολ- = 196 x 14 = 2.744 λαπλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά. H Για α = 15 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 15 α2 = 152 t α2 = α x α = 15 x 15 t Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό = 225 Υπολογίζουμε τον κύβο του 15 α3 = 153 t α3 = α x α x α = 15 x 15x 15 t Κάνουμε τους πολ- = 225 x 15 = 3.375 λαπλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά. H Για α = 16 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 16 α2 = 162 = 16 x 16 = 256 t α2 = α x α Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό Υπολογίζουμε τον κύβο του 16 α3 = 163 t α3 = α x α x α = 16 x 16x 16 t Κάνουμε τους πολ- = 256 x 16 = 4.096 λαπλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά. Κεφάλαιο 1ο 35 H Για α = 17 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 17 α2 = 172 t = 17 x 17 α2 = α x α Υπολογίζουμε τον κύβο του 17 α3 Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό = 289 = 173 t α3 = α x α x α = 17 x 17x 17 t Κάνουμε τους πολ- = 289 x 17 = 4.913 λαπλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά. H Για α = 18 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 18 α2 = 182 t = 18 x 18 α2 = α x α Υπολογίζουμε τον κύβο του 18 α3 Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό = 324 = 183 t α3 = α x α x α = 18 x 18x 18 t Κάνουμε τους πολ- = 324 x 18 = 5.832 λαπλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά. H Για α = 19 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 19 α2 = 192 t = 19 x 19 α2 = α x α Υπολογίζουμε τον κύβο του 19 α3 = 19 x 19x 19 Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό = 361 = 193 = 361 x 19 = 6.859 t α3 = α x α x α Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά. H Για α = 20 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 20 α2 = 202 = 20 x 20 = 400 t α2 = α x α Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό Υπολογίζουμε τον κύβο του 20 α3 = 203 t α3 = α x α x α = 20 x 20x 20 t Κάνουμε τους πολ- = 400 x 20 = 8.000 λαπλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά. Κεφάλαιο 1ο 36 H Για α = 25 Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 25 α2 = 252 t = 25 x 25 Υπολογίζουμε τον κύβο του 25 α3 α2 = α x α Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό = 625 = 253 t α3 = α x α x α = 25 x 25x 25 t Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά. = 625 x 25 = 15.625 Συμπληρώνουμε τον πίνακα: α 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 α2 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 625 α3 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000 15625 2. Γράψε με τη μορφή των δυνάμεων τα γινόμενα: α) 5 x 5 x 5x 5 x 5 x 5 δ)α x αx α xα β) 8 x 8 x 8 x8 x 8x 8 x 6 x 6 x6 ε) x x xx x γ) 1 x 1x 1x 1 x1 x1 στ) 2 x 2x 2x 2 x αx αx α Για να γράψουμε με τη μορφή δύναμης ένα γινόμενο ίδιων παραγόντων, γράφουμε ως βάση της δύναμης τον ίδιο παράγοντα και ως εκθέτη της δύναμης το πλήθος των ίδιων παραγόντων. Εάν το γινόμενο αποτελείται από τουλάχιστον δύο διαφορετικούς παράγοντες που επαναλαμβάνονται, εργαζόμαστε για καθέναν από αυτούς όπως περιγράψαμε και πολλαπλασιάζουμε τις δυνάμεις. α) 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 Πρόκειται για ένα γινόμενο 6 ίδιων παραγόντων ίσων με το 5. Επομένως: Κεφάλαιο 1ο 37 Βάση της δύναμης είναι ο επαναλαμβανόμενος (ίδιος) παράγοντας, δηλαδή το 5. Εκθέτης της δύναμης είναι ο αριθμός που εκφράζει το πλήθος των ίδιων παραγόντων, δηλαδή το 6. Συνεπώς είναι: 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 56 6 παράγοντες ίσοι με 5 β) 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 6 x 6 x 6 Θα εφαρμόσουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, για να γράψουμε με τη μορφή δύναμης καθένα από τα γινόμενα ίδιων (ίσων) παραγόντων που απαρτίζουν το γινόμενο που δίνεται. Είναι: 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 6 παράγοντες ίσοι με 8 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 8 6 ⋅ 63 3 παράγοντες ίσοι με 6 γ) 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Πρόκειται για ένα γινόμενο 6 ίδιων παραγόντων ίσων με το 1. Επομένως: Βάση της δύναμης είναι ο επαναλαμβανόμενος (ίδιος) παράγοντας, δηλαδή το 1. Εκθέτης της δύναμης είναι ο αριθμός που εκφράζει το πλήθος των ίδιων παραγόντων, δηλαδή το 6. ⋅ 1⋅ 1⋅ 1⋅ 1⋅ 1 = 16 Συνεπώς είναι: 1 6 παράγοντες ίσοι με 1 δ) α x α x α x α Πρόκειται για ένα γινόμενο 4 ίδιων παραγόντων ίσων με το α. Επομένως: Βάση της δύναμης είναι ο επαναλαμβανόμενος (ίδιος) παράγοντας, δηλαδή το α. Εκθέτης της δύναμης είναι ο αριθμός που εκφράζει το πλήθος των ίδιων παραγόντων, δηλαδή το 4. Συνεπώς είναι: α ⋅α⋅α⋅α = α4 4 παράγοντες ίσοι με α ε) x x x x x Πρόκειται για ένα γινόμενο 3 ίδιων παραγόντων ίσων με το x. Επομένως: Βάση της δύναμης είναι ο επαναλαμβανόμενος (ίδιος) παράγοντας, δηλαδή το x. Κεφάλαιο 1ο 38 Εκθέτης της δύναμης είναι ο αριθμός που εκφράζει το πλήθος των ίδιων παραγόντων, δηλαδή το 3. Συνεπώς είναι: x ⋅ x ⋅ x = x3 3 παράγοντες ίσοι με x στ) 2 x 2 x 2 x 2 x α x α x α Θα εφαρμόσουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, για να γράψουμε με τη μορφή δύναμης καθένα από τα γινόμενα ίδιων (ίσων) παραγόντων που απαρτίζουν το γινόμενο που δίνεται. Είναι: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ α ⋅ α ⋅ α = 24 ⋅ α3 4 παράγοντες 3 παράγοντες ίσοι με 2 ίσοι με α 3. Υπολόγισε τις δυνάμεις: 21, 22 , 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210. Θα εφαρμόσουμε τον ορισμό. Είναι: αν = α ⋅ α24 ⋅ α...α 14 3 , για ν > 1. ν παραγοντες Επιπλέον, ορίζουμε α1 = α, για κάθε α φυσικό. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις: H 21 =2 εξ ορισμού είναι α1 = α, για κάθε α φυσικό. 22 = 2 ⋅ 2 = 4 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 22 ⋅ 2 = 4 ⋅ 2 = 8 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 23 ⋅ 2 = 8 ⋅ 2 = 16 25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24 ⋅ 2 = 16 ⋅ 2 = 32 26 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 25 ⋅ 2 = 32 ⋅ 2 = 64 27 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 26 ⋅ 2 = 64 ⋅ 2 = 128 28 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 27 ⋅ 2 = 128 ⋅ 2 = 256 Κεφάλαιο 1ο 39 29 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 28 ⋅ 2 = 256 ⋅ 2 = 512 210 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 29 ⋅ 2 = 512 ⋅ 2 = 1024 4. Βρες τα τετράγωνα των αριθμών: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 και 90. Τετράγωνο ενός αριθμού ονομάζεται η δεύτερη δύναμη του αριθμού. Αφού εφαρμόσουμε τον ορισμό της δύναμης (α2 = α w α), θα αναλύσουμε καθέναν από τους ίσους παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. Κατόπιν εφαρμόζοντας την αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, θα ομαδοποιήσουμε τους ίδιους παράγοντες, για να εκμεταλλευτούμε τις γνωστές δυνάμεις του 10. Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό επί 10, 100, 1000,.... γράφουμε στο τέλος του αριθμού τόσα μηδενικά όσα έχει κάθε φορά ο παράγοντας 10, 100, 1000..... Αφού εφαρμόσουμε τον ορισμό της δύναμης (α2 = α w α), θα αναλύσουμε καθέναν από τους ίσους παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. 102 202 = 10 w 10 α2 = α w α =100 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10 συμπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό. = 20 w 20 α2 = α w α =2 w 10 w 2 w 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. =2 w 2 w 10 w 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα. Κεφάλαιο 1ο 40 302 402 502 602 = 4 w 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. = 400 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συμπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού δύο μηδενικά. = 30 w 30 α2 = α w α =3 w 10 w 3 w 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. =3 w 3 w 10 w 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα. = 9 w 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. = 900 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συμπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού δύο μηδενικά. = 40 w 40 α2 = α w α =4 w 10 w 4 w 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. =4 w 4 w 10 w 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα. = 16 w 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. = 1600 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συμπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού δύο μηδενικά. = 50 w 50 α2 = α w α =5 w 10 w 5 w 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. =5 w 5 w 10 w 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα. = 25 w 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. = 2500 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συμπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού δύο μηδενικά. = 60 w 60 α2 = α w α =6 w 10 w 6 w 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. =6 w 6 w 10 w 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα. Κεφάλαιο 1ο 702 802 902 41 = 36 w 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. = 3600 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συμπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού δύο μηδενικά. = 70 w 70 α2 = α w α =7 w 10 w 7 w 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. =7 w 7 w 10 w 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα. = 49 w 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. = 4900 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συμπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού δύο μηδενικά. = 80 w 80 α2 = α w α =8 w 10 w 8 w 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. =8w 8 w 10 w 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα. = 64 w 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. = 6400 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συμπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού δύο μηδενικά. = 90 w 90 α2 = α w α =9 w 10 w 9 w 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. =9 w 9 w 10 w 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα. = 81 w 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. = 8100 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συμπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού δύο μηδενικά. Κεφάλαιο 1ο 42 5. Βρες τους κύβους των αριθμών: 10, 20, 30, 40, 50. Κύβος ενός αριθμού ονομάζεται η τρίτη δύναμη του αριθμού. Αφού εφαρμόσουμε τον ορισμό της δύναμης (α3 = α w α w α), θα αναλύσουμε καθέναν από τους ίσους παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. Κατόπιν με πολλαπλές εφαρμογές της αντιμεταθετικής και προσεταιριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού, θα ομαδοποιήσουμε τους ίδιους παράγοντες, για να εκμεταλλευτούμε τις γνωστές δυνάμεις του 10. Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό επί 10, 100, 1000,.... γράφουμε στο τέλος του αριθμού τόσα μηδενικά όσα έχει κάθε φορά ο παράγοντας 10, 100, 1000..... Αφού εφαρμόσουμε τον ορισμό της δύναμης (α3 = α w α w α), θα αναλύσουμε καθέναν από τους ίσους παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. 103 = 1000 Για να υπολογίσουμε μια δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε το 1 και δεξιά του τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. 203 = 20 w 20 w20 α3 = α w α w α = 2 w 10 w 2 w 10 w 2 w 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. = 2 w 2 w 2 w 10 w 10 w 10 εφαρμόζουμε πολλαπλά την αντιμεταθετική ιδιότητα για να ομαδοποιήσουμε τους ίσους παράγοντες. = 4 w 2 w 103 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα, αwαwα =α3. = 8 w 1000 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. Υπολογίζουμε τη δύναμη 103 = 1000 = 8000 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 1000, συμπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού 3 μηδενικά. Κεφάλαιο 1ο 303 = 30 w 30 w 30 43 α3 = α w α w α = 3 w 10 w 3 w 10 w 3 w 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. = 3 w 3 w 3 w 10 w 10 w 10 εφαρμόζουμε πολλαπλά την αντιμεταθετική ιδιότητα για να ομαδοποιήσουμε τους ίσους παράγοντες. = 9 w 3 w 103 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα, αwαwα =α3. = 27 w 1000 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. Υπολογίζουμε τη δύναμη 103 = 1000 = 27000 για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 1000, συμπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού 3 μηδενικά. 403 = 40 w 40 w40 α3 = α w α w α = 4 w 10 w 4 w 10 w 4 w 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. = 4 w 4 w 4 w 10 w 10 w 10 εφαρμόζουμε πολλαπλά την αντιμεταθετική ιδιότητα για να ομαδοποιήσουμε τους ίσους παράγοντες. = 16 w 4 w 103 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα, αwαwα =α3. = 64 w 1000 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. Υπολογίζουμε τη δύναμη 103 = 1000 = 64000 για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 1000, συμπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού 3 μηδενικά. 503 = 50 w 50 w50 α3 = α w α w α = 5 w 10 w 5 w 10 w 5 w 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. = 5 w 5 w 5 w 10 w 10 w 10 εφαρμόζουμε πολλαπλά την αντιμεταθετική ιδιότητα για να ομαδοποιήσουμε τους ίσους παράγοντες. = 25 w 5 w 103 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα, αwαwα =α3. = 125w 1000 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. Υπολογίζουμε τη δύναμη 103 = 1000 = 125000 για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 1000, συμπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού 3 μηδενικά. Κεφάλαιο 1ο 44 6. Κάνε τις πράξεις: α) 3x52, β) 3 x 52+2, γ) 3 x 52+22, δ) 3 x 5+22, ε) 3 x (5+2)2. Για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, εκτελούμε τις πράξεις με την ακόλουθη σειρά: 1. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 2. Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις 3. Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά. α) 3 ⋅ 52 = 3 ⋅ (5 ⋅ 5) t Αναλύουμε τη δύναμη σε γινόμενο παραγόντων για να την υπολογίσουμε. Η παρένθεση μπαίνει για να υποδείξει ότι προηγείται ο πολλαπλασιασμός που εκφράζει τον υπολογισμό της δύναμης. β) = 3 ⋅ 25 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό στην παρένθεση = 75 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό 3 w 52+2 = 3w(5 w 5) + 2 t Αναλύουμε τη δύναμη σε γινόμενο παραγόντων για να την υπολογίσουμε. Η παρένθεση μπαίνει για να υποδείξει ότι προηγείται ο πολλαπλασιασμός που εκφράζει τον υπολογισμό της δύναμης. γ) = 3w 25 + 2 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό στην παρένθεση = 75 + 2 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό = 77 t Εκτελούμε την πρόσθεση 3 w52+22 =3w(5w 5)+2 w 2 t Αναλύουμε τις δυνάμεις σε γινόμενο παραγόντων για να την υπολογίσουμε. Η παρένθεση μπαίνει για να υποδείξει ότι προηγείται ο πολλαπλασιασμός που εκφράζει τον υπολογισμό της δύναμης. Κεφάλαιο 1ο = 3w 25 + 4 45 t Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς που εκφρά- ζουν τον υπολογισμό των δυνάμεων δ) = 75 + 4 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό = 79 t Εκτελούμε την πρόσθεση 3 w5 +22=3w5+ 2 w 2 t Αναλύουμε τη δύναμη σε γινόμενο παραγόντων για να την υπολογίσουμε. ε) = 15 + 4 t Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = 19 t Εκτελούμε την πρόσθεση 3 w (5 +2)2=3w72 = 3 w ( 7 w 7) t Εκτελούμε την πρόσθεση στην παρένθεση t Αναλύουμε τη δύναμη σε γινόμενο παραγόντων για να την υπολογίσουμε. Η παρένθεση μπαίνει για να υποδείξει ότι προηγείται ο πολλαπλασιασμός που εκφράζει τον υπολογισμό της δύναμης. = 3 w 49 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό στην παρένθεση = 147 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό Η ανάλυση της δύναμης σε γινόμενο παραγόντων για τον υπολογισμό της (και ο υπολογισμός της) πρέπει να γίνεται στο «πρόχειρο» και να αντικαθίσταται η δύναμη απ’ ευθείας με το αποτέλεσμά της. Επειδή, στη λύση της άσκησης, μπήκε ως ενδιάμεσο βήμα για καλύτερη κατανόηση και εμπέδωση, όπου χρειαζόταν, μπήκε σε παρένθεση ώστε να προηγηθεί η εκτέλεση του πολλαπλασιασμού που αφορά στον υπολογισμό της δύναμης, (αφού έτσι πρέπει σύμφωνα με την προτεραιότητα των πράξεων) παρότι λόγω της προσεταιριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού δε θα διαφοροποιούσε το αποτέλεσμα η μη χρήση παρένθεσης. Κεφάλαιο 1ο 46 7. Κάνε τις πράξεις: α) 32+33+23+24, β) (13-2)4 + 5 x32. y Για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, εκτελούμε τις πράξεις με την ακόλουθη σειρά: 1. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 2. Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις 3. Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά. ⋅ α ⋅ .... ⋅ α, y αν = α ν≥2 ν παράγοντες y Σύμφωνα με την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού μπορούμε να αντικαθιστούμε παράγοντες με το γινόμενό τους (ή να αναλύουμε ένα παράγοντα σε γινόμενο). y Ομοίως, σύμφωνα με την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης μπορούμε να αντικαθιστούμε προσθετέους με το άθροισμά τους (ή να αναλύουμε ένα προσθετέο σε άθροισμα). α) 3 2 + 3 3 + 23 + 2 4 = 3⋅ 3 + 3⋅ 3⋅ 3 + 2⋅ 2⋅ 2 + 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2 t Αναλύουμε τις δυνάμεις σε γινόμενο παραγόντων για να τις υπολογίσουμε = 9 + 9⋅3 + 4⋅ 2 + 4⋅ 4 t Μπορούμε να αντικαθιστούμε παράγοντες με το γινόμενό τους (προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού) = 9 + 27 + 8 + 16 t Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = 36 + 24 t Μπορούμε να αντικαθιστούμε προσθετέους με το άθροισμά τους (προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης) = 60 t Εκτελούμε την πρόσθεση Κεφάλαιο 1ο β) 47 4 (13 − 2) + 5 ⋅ 32 = 114 + 5 ⋅ 32 t Εκτελούμε την αφαίρεση στην παρένθεση = 11⋅ 11⋅ 11⋅ 11 + 5 ⋅ (3 ⋅ 3) t Αναλύουμε τις δυνάμεις σε γινόμενο παραγόντων για να τις υπολογίσουμε. Η παρένθεση μπαίνει για να υποδείξει ότι προηγείται ο πολλαπλασιασμός που εκφράζει τον υπολογισμό της δύναμης = 121⋅ 121 + 5 ⋅ 9 t Μπορούμε να αντικαθιστούμε παράγοντες με το γινόμενό τους (προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού). Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό στην παρένθεση. 8. = 14641 + 45 t Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = 14686 t Εκτελούμε την πρόσθεση. Βρες τις τιμές των παραστάσεων: α) (6+5)2 και 62+52, β) (3+6)2 και 32+62. Τι παρατηρείς; Για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, εκτελούμε τις πράξεις με την ακόλουθη σειρά: 1. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 2. Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις 3. Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά. Κεφάλαιο 1ο 48 α) 2 (6 + 5) = 112 t Εκτελούμε την πρόσθεση στην παρένθεση = 11⋅ 11 t Αναλύουμε τη δύναμη σε γινόμενο σύμφωνα με τον ορισμό α2 = α w α. = 121 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό t Αναλύουμε τις δυνάμεις σε γινόμενο σύμφωνα με τον ορισμό α2 = α w α. t Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς t Εκτελούμε την πρόσθεση = 92 t Εκτελούμε την πρόσθεση στην παρένθεση = 9⋅9 t Αναλύουμε τη δύναμη σε γινόμενο σύμφωνα με τον ορισμό α2 = α w α. = 81 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό t Αναλύουμε τις δυνάμεις σε γινόμενο σύμφωνα με τον ορισμό α2 = α w α. t Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς t Εκτελούμε την πρόσθεση ενώ 62 + 52 = 6⋅6 + 5⋅5 = 36 + 25 = 61 β) 2 (3 + 6) ενώ 32 + 6 2 = 3⋅3 + 6⋅6 = 9 + 36 = 45 Όπως διαπιστώνουμε και από τα παραπάνω παραδείγματα είναι: (α+β)2≠ α2 + β2 Όπως όμως θα μάθουμε σε επόμενο κεφάλαιο, για τον πολλαπλασιασμό, ισχύει η ιδιότητα: (α x β)2 = α2 x β2 Κεφάλαιο 1ο 9. 49 Γράψε πιο σύντομα τα παρακάτω αθροίσματα και γινόμενα: α) α + α+ α β) α x α x α γ) x +x +x +x δ) x x xx x xx y Το άθροισμα k (ίδιων) προσθετέων ίσων με α εκφράζεται από το γινόμενο κ w α. Δηλαδή: α + α + .... + α = κ ⋅ α κ προσθετέοι y Το γινόμενο κ (ίδιων) παραγόντων ίσων με α εκφράζεται από τη δύναμη ακ. Δηλαδή: κ α ⋅ α ⋅ .... ⋅ α = α κ παράγοντες α) α +α +α Πρόκειται για το άθροισμα 3 (ίδιων) προσθετέων ίσων με α. Το άθροισμα 3 (ίδιων) προσθετέων ίσων με α εκφράζεται από το γινόμενο 3 w α. Συνεπώς είναι: α + α + α =3 w α. β) α x α x α Πρόκειται για το γινόμενο 3 (ίδιων) παραγόντων ίσων με α. Το γινόμενο 3 (ίδιων) παραγόντων ίσων με α εκφράζεται από τη δύναμη α3. Συνεπώς είναι: αw α w α = α3. γ) x + x + x + x Πρόκειται για το άθροισμα 4 (ίδιων) προσθετέων ίσων με x. Το άθροισμα 4 (ίδιων) προσθετέων ίσων με x εκφράζεται από το γινόμενο 4 w x. Συνεπώς είναι: x + x + x + x = 4x. Κεφάλαιο 1ο 50 δ) x x x x x x x Πρόκειται για το γινόμενο 4 (ίδιων) παραγόντων ίσων με x. Το γινόμενο 4 (ίδιων) παραγόντων ίσων με x εκφράζεται από τη δύναμη x4. Συνεπώς είναι: 10. x w x w x w x = x4. Γράψε τους αριθμούς: α) 34.720 β) 123.654 γ) 890.650 σε αναπτυγμένη μορφή με τη χρήση των δυνάμεων του 10. Για να γράψουμε το ανάπτυγμα ενός αριθμού με χρήση των δυνάμεων του 10, θα δηλώσουμε την αξία του κάθε ψηφίου με: 1ο βήμα: Λέξεις 2ο βήμα: Αριθμούς 3ο βήμα: ∆υνάμεις του 10 (Πολλαπλασιαζόμενο πάντα με τον αριθμό κάθε ψηφίου). α) 34.720 Βήμα 1ο: Δηλώνουμε την αξία κάθε ψηφίου με λέξεις. 3 δεκάδες χιλιάδες +4 χιλιάδες + 7 εκατοντάδες + 2 δεκάδες + 0 μονάδες. Βήμα 2ο:Αντικαθιστούμε τις λέξεις με αριθμούς 3x10.000 + 4 x 1000 + 7 x 100 + 2 x10 + 0 x1 Βήμα 3ο: Αντικαθιστούμε τους αριθμούς με δυνάμεις του 10: 3 x104 + 4x103 + 7x102 + 2 x 101 Επειδή: το 10.000 έχει τέσσερα μηδενικά άρα είναι: 10.000 = 104 το 1.000 έχει τρία μηδενικά άρα είναι 1000= 103 το 100 έχει δύο μηδενικά, άρα είναι 100 = 102 το 10 έχει ένα μηδενικό άρα είναι 10= 101. Κεφάλαιο 1ο 51 β) 123.654 Βήμα 1ο: Δηλώνουμε την αξία κάθε ψηφίου με λέξεις 1 εκατοντάδα χιλιάδες + 2 δεκάδες χιλιάδες + 3 χιλιάδες + 6 εκατοντάδες + 5 δεκάδες + 4 μονάδες. Βήμα 2ο: Αντικαθιστούμε τις λέξεις με αριθμούς 1x100.000 + 2 x 10000 + 3 x 1000 + 6 x100 + 5 x10 + 4 x1 Βήμα 3ο: Αντικαθιστούμε τους αριθμούς με δυνάμεις του 10: 1 x 105 + 2 x 104 + 3 x 103 + 6 x 102 +5 x 101 + 4 x 1 Επειδή: το 100.000 έχει πέντε μηδενικά άρα είναι: 100.000 = 105 το 10.000 έχει τέσσερα μηδενικά άρα είναι: 10.000 = 104 το 1.000 έχει τρία μηδενικά άρα είναι 1000= 103 το 100 έχει δύο μηδενικά, άρα είναι 100 = 102 το 10 έχει ένα μηδενικό άρα είναι 10= 101. γ) 890.650 Βήμα 1ο: Δηλώνουμε την αξία κάθε ψηφίου με λέξεις. 8 εκατοντάδες χιλιάδες + 9 δεκάδες χιλιάδες + 0 χιλιάδες + 6 εκατοντάδες + 5 δεκάδες + 0 μονάδες. Βήμα 2ο: Αντικαθιστούμε τις λέξεις με αριθμούς 8x100.000 + 9 x 10.000 + 0 x 1000 + 6 x100 + 5 x10 + 0 x1 Βήμα 3ο: Αντικαθιστούμε τους αριθμούς με δυνάμεις του 10: 8 x 105 + 9 x 104 + 0 x 103 + 6 x 102 +5 x 101 + 0 Επειδή: το 100.000 έχει πέντε μηδενικά άρα είναι: 100.000 = 105 το 10.000 έχει τέσσερα μηδενικά άρα είναι: 10.000 = 104 το 1.000 έχει τρία μηδενικά άρα είναι 1000= 103 το 100 έχει δύο μηδενικά, άρα είναι 100 = 102 το 10 έχει ένα μηδενικό άρα είναι 10= 101. Το γινόμενο 0 x 103 που ισούται με μηδέν (0) καθώς και το τελευταίο μηδενικό παραλείπονται. Κεφάλαιο 1ο 52 Όπως είπαμε και στη θεωρία και θα αναφερθεί και σε επόμενο κεφάλαιο του σχολικού βιβλίου, είναι: 100 = 1, οπότε αν ο αριθμός που θέλουμε να γράψουμε σε αναπτυγμένη μορφή με τη χρήση των δυνάμεων του 10 έχει κ μονάδες, αυτές μπορούν να γραφούν με χρήση δύναμης του 10: κ w 100. 11. Αντιστοίχισε τα αποτελέσματα που υπάρχουν στο δεύτερο πίνακα με το εξαγόμενο των πράξεων κάθε γραμμής του πρώτου πίνακα. (1+2) x (3 + 4) 20 1x (2+3x4) 21 (1x2+3) x4 9 1+(2+3)x4 14 Για να αντιστοιχίσουμε το σωστό αποτέλεσμα θα πρέπει να υπολογίσουμε τις αριθμητικές παραστάσεις του πρώτου πίνακα. Για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, εκτελούμε τις πράξεις με την ακόλουθη σειρά: 1. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 2. Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις 3. Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά. Κεφάλαιο 1ο ¡ 53 (1 + 2) ⋅ (3 + 4) = 3⋅7 t Εκτελούμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις (κάνουμε τις προσθέσεις) = 21 ¡ ¡ ¡ t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό 1⋅ (2 + 3 ⋅ 4) = 1⋅ (2 + 12) t Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό μέσα στην παρένθεση = 1⋅ 14 t Εκτελούμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση = 14 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό (1⋅ 2 + 3) ⋅ 4 = (2 + 3) ⋅ 4 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό μέσα στην παρένθεση = 5⋅ 4 t Εκτελούμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση = 20 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό 1 + (2 + 3) ⋅ 4 = 1+ 5 ⋅ 4 t Εκτελούμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση = 1 + 20 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό = 21 t Εκτελούμε την πρόσθεση Έχουμε την αντιστοίχιση: (1+2) x (3 + 4) 20 1x (2+3x4) 21 (1x2+3) x4 9 1+(2+3)x4 14 Κεφάλαιο 1ο 54 12. Αντιστοίχισε τα αποτελέσματα που υπάρχουν στο δεύτερο πίνακα με την αριθμητική παράσταση κάθε γραμμής του πρώτου πίνακα. 2+2x2 150 3+3x3 68 4+4x4x4 16 5+5x5+5x5 6 5x5+5x5x5 12 4+4x4-4 55 Για να αντιστοιχίσουμε το σωστό αποτέλεσμα θα πρέπει να υπολογίσουμε τις αριθμητικές παραστάσεις του πρώτου πίνακα. Για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, εκτελούμε τις πράξεις με την ακόλουθη σειρά: 1. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 2. Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις 3. Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις ¡ 2 + 2⋅ 2 =2+4 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό t Εκτελούμε την πρόσθεση =3+9 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό = 12 t Εκτελούμε την πρόσθεση =6 ¡ 3 + 3⋅3 Κεφάλαιο 1ο ¡ 55 4 + 4⋅ 4⋅ 4 = 4 + 16 ⋅ 4 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό = 4 + 64 t Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό t Εκτελούμε την πρόσθεση = 5 + 25 + 25 t Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = 30 + 25 t Εκτελούμε την πρόσθεση t Εκτελούμε την πρόσθεση = 25 + 25 ⋅ 5 t Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = 25 + 125 t Εκτελούμε την πρόσθεση t Εκτελούμε την πρόσθεση = 4 + 16 − 4 t Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = 20 − 4 t Εκτελούμε την πρόσθεση t Εκτελούμε την αφαίρεση = 68 ¡ 5 + 5⋅5 + 5⋅5 = 55 ¡ 5⋅5 + 5⋅5⋅5 = 150 ¡ 4 + 4⋅ 4− 4 = 16 Έχουμε την αντιστοίχιση: 2+2x2 150 3+3x3 68 4+4x4x4 16 5+5x5+5x5 6 5x5+5x5x5 12 4+4x4-4 55 Κεφάλαιο 1ο 56 Δραστηριότητα 1η Χρησιμοποίησε μόνο τα σύμβολα των πράξεων: + και x και τις παρενθέσεις «(« και «)» για να συμπληρώσεις τις γραμμές ώστε να προκύψουν σωστές ισότητες. 1 2 3 4 = 13 1 2 3 4 = 14 1 2 3 4 = 15 1 2 3 4 = 36 Αρχικά βρίσκουμε ποια αθροίσματα (ή ποια γινόμενα, σε περίπτωση που το αποτέλεσμα είναι σύνθετος αριθμός), δύο αριθμών μας δίνουν το επιθυμητό αποτέλεσμα και στη συνέχεια προσπαθούμε να βρούμε αν υπάρχει τρόπος να καταλήξουμε στους αριθμούς αυτούς ακολουθώντας τις οδηγίες της άσκησης. H 1 2 3 4 = 13 Το 13 δεν μπορεί να προκύψει ως γινόμενο (είναι πρώτος αριθμός). Επομένως πρέπει να είναι άθροισμα που περιλαμβάνει τουλάχιστον ένα γινόμενο (αφού 1 + 2 +3 +4 = 10 < 13) Είναι: 13= 1+ 12, αλλά δεν υπάρχει τρόπος με τη χρήση των συμβόλων «+», «-» και παρενθέσεων από τους αριθμούς 2, 3, 4 να προκύψει το 12 Κεφάλαιο 1ο 57 Είναι: 13 =2 +11 αλλά αν 1w2 =2 από τους αριθμούς 3 και 4 δεν προκύπτει το 11. Είναι: 13= 3+10 αλλά αν 1+ 2= 3 από τους αριθμούς 3 και 4 δεν προκύπτει το 10. Είναι: 13= 4+9 =9 + 4 Παρατηρούμε ότι: (1+2) w 3 = 3 w 3 = 9 οπότε: (1 +2) w 3 + 4 = 13 είναι η ζητούμενη λύση. Συνεχίζοντας τη διερεύνηση όπως προηγουμένως καταλήγουμε ότι η λύση αυτή είναι μοναδική. H 1 2 3 4 = 14 h Το 14 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο ως εξής: 2 w 7 = 14. Εύκολα λοιπόν παρατηρούμε ότι μπορούμε να καταλήξουμε στο γινόμενο αυτό ως εξής: (1 w 2) w (3 +4) = 2 w 7 = 14 h Στη συγκεκριμένη περίπτωση υπάρχει και δεύτερη λύση, αν γράψουμε το 14 ως άθροισμα γινομένων. Είναι: 14 = 2 + 12, αλλά 1 w 2 = 2 και 3 w 4 = 12. Επομένως : 1 w 2 + 3 w 4 = 14 Η πρώτη παρένθεση θα μπορούσε να παραληφθεί, χωρίς να αλλάξει το αποτέλεσμα. Μπαίνει, απλά, για να «δημιουργηθεί» ο παράγοντας 2. h Το 14 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο και ως εξής: 1 w 14 =14. Στο γινόμενο αυτό μπορούμε να καταλήξουμε ως εξής: 1 w ( 2+ 3 w 4) = 1 w (2 + 12) = 1 w 14 =14 H 1 2 3 4 = 15 Το 15 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο των αριθμών 3 και 5. Αλλά, ενώ 1 + 2 =3, από τους 3 και 4 δεν μπορεί να προκύψει το 5. (Το 15 μπορεί να γραφεί και ως γινόμενο των αριθμών 1 και 15, αλλά το 15 δεν μπορεί να προκύψει μόνο από τους αριθμούς 2, 3 και 4). Επομένως, το 15 πρέπει να γραφεί ως άθροισμα δύο προσθετέων, εκ των οποίων, τουλάχιστον ο ένας οφείλει να είναι γινόμενο. Είναι: 1 + 14 =15. Κεφάλαιο 1ο 58 Με τη βοήθεια και της προηγούμενης ισότητας βρίσκουμε: h 1 + 2 w (3+4) = 1 + 2 w 7 = 1 + 14 = 15 h 1 + (2 + 3 w 4) =1 + (2+12)= 1 + 14 = 15 Επιπλέον είναι: 3 + 12 =15, το οποίο μπορούμε εύκολα να σχηματίσουμε ως εξής: h (1 + 2) + 3 w 4 =3 + 12 =15 (και πάλι η παρένθεση μπορεί να παραληφθεί, χωρίς να αλλάζει κάτι στο αποτέλεσμα). Σκεπτόμενοι ανάλογα, εύκολα διαπιστώνουμε ότι δεν υπάρχει άλλη λύση. H 1 2 3 4 = 36 Επειδή το 36 είναι αρκετά μεγάλο για να προκύψει ως άθροισμα, θα αναζητήσουμε τη λύση στις αναλύσεις του 36 σε γινόμενο παραγόντων. Είναι: 1 w 36 =36, που απορρίπτεται, αφού από τους αριθμούς 2, 3, 4 δε μπορεί να προκύψει το 36. Είναι: 2 w 18 = 36, που απορρίπτεται αφού αν 1 w 2 = 2, το 18 δε μπορεί να προκύψει από τους αριθμούς 3 και 4. Είναι: 3 w 12 = 36. h Εύκολα βρίσκουμε ότι: (1 + 2) w (3 w 4) = 3 w 12 = 36 Η δεύτερη παρένθεση μπορεί να παραληφθεί χωρίς να αλλάξει το αποτέλεσμα. Απλά υποδεικνύει τον προσεταιρισμό των παραγόντων του γινομένου. h Η παράλειψη της δεύτερης παρένθεσης θα μας οδηγούσε στο γινόμενο: (1 + 2) w 3 w 4 = 3 w 3 w 4 = 9 w 4 = 36 αν εκτελούσαμε τους πολλαπλασιασμούς από τα αριστερά προς τα δεξιά. Τέλος, το γινόμενο 6 w 6 = 36 δε μπορεί να σχηματιστεί από τους αριθμούς που έχουμε. Κεφάλαιο 1ο 59 Δραστηριότητα 2η Συμπληρώστε τα μαγικά τετράγωνα. 20 18 17 26 27 1 25 3 23 9 18 36 18 72 24 14 Ένα τετράγωνο είναι μαγικό όταν το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής, στήλης και διαγωνίου είναι το ίδιο. Σε κάθε μαγικό τετράγωνο, θα υπολογίσουμε αρχικά το «μαγικό» κοινό άθροισμα από τη συμπληρωμένη γραμμή, στήλη ή διαγώνιο. Στη συνέχεια, θα εντοπίζουμε, κάθε φορά, μια γραμμή, στήλη ή διαγώνιο που να της λείπει μόνο ο ένας από τους τρεις αριθμούς και θα τον υπολογίζουμε αφαιρώντας από το «μαγικό» άθροισμα, το άθροισμα των δύο άλλων. Θα τον συμπληρώνουμε στο μαγικό τετράγωνο και θα συνεχίζουμε τη διαδικασία μέχρι να συμπληρωθούν όλοι οι αριθμοί που λείπουν. H 1ος πίνακας ΣΤΗΛΕΣ 2 3 18 1 20 17 2 14 3 ΓΡΑΜΜΕΣ 1 Από τη συμπληρωμένη διαγώνιο υπολογίζουμε το κοινό άθροισμα οριζοντίως, καθέτως και διαγωνίως. Είναι: 20 + 17 + 14 = 51 («μαγικό» άθροισμα). Κεφάλαιο 1ο 60 Μπορούμε τώρα να συμπληρώσουμε το τετράγωνο της 3ης στήλης. Είναι: 18+14 =32 51-32 =19 Οπότε στην τρίτη στήλη θα βάλουμε το 19. Εφόσον βρήκαμε το 19 προσθέτουμε το 17 και το 19 της 2ης γραμμής: 17 + 19 =36 Αφαιρούμε από το 51 και έχουμε το άγνωστο τετραγωνάκι: 51 - 36 =15 Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 1η στήλη: 20 + 15 =35 Αφαιρούμε από το 51 το 35: 51 -35 = 16 Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 3η γραμμή 16 +14 =30 Αφαιρούμε από το 51 το 30 και έχουμε 51 - 30 =21 Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 1η γραμμή και έχουμε 20 +18 =38 Αφαιρούμε από το 51 το 38 51 -38 =13 Συμπληρώνουμε το τετράγωνο 20 13 18 15 17 19 16 21 14 H 2ος πίνακας ΣΤΗΛΕΣ 26 2 3 1 27 25 23 2 3 ΓΡΑΜΜΕΣ 1 Προσθέτουμε τους αριθμούς στη 2η γραμμή για να βρούμε το «μαγικό» άθροισμα Κεφάλαιο 1ο 61 27 +25 + 23 =75 Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 1η στήλη 26 +27 =53 Αφαιρούμε από το 75 το 53 75-53=22 Προσθέτουμε τους αριθμούς στη διαγώνιο που ξεκινάει από τη 1η στήλη και έχουμε: 26 + 25 =51 Αφαιρούμε από το 75 το 51 = 24 Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 3η γραμμή 22 +24 =46 Αφαιρούμε από το 75 το 46 75 -46 =29 Προσθέτουμε τους αριθμούς στη 2η στήλη και έχουμε: 25 +29 =54 Αφαιρούμε από το 75 το 54 και έχουμε 75 -54 =21 Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 3η στήλη και έχουμε 23 +24 =47 Αφαιρούμε από το 75 το 47 και έχουμε: 75 -47 =28 Συμπληρώνουμε τον πίνακα 26 21 28 27 25 23 22 29 24 H 3ος πίνακας 1 3 9 1 18 2 3 ΓΡΑΜΜΕΣ ΣΤΗΛΕΣ 1 2 3 Προσθέτουμε τους αριθμούς στη 1η γραμμή 1 +3 +9 =13. Το τετράγωνο δεν είναι μαγικό επειδή στη 2η γραμμή υπάρχει ο αριθμός 18 ο οποίος υπερβαίνει το 13. Κεφάλαιο 1ο 62 Στο τετράγωνο αυτό μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι για τους αριθμούς της 1ης γραμμής ισχύει: 3 = 3 w 1 και 9 = 3 w 3 δηλαδή ότι καθένας από τους δύο «τελευταίους» αριθμούς της γραμμής αυτής είναι τριπλάσιος του προηγούμενού του. Επιπλέον είναι: 18 = 2 w 9, δηλαδή ο αριθμός που βρίσκεται ακριβώς κάτω από το 9 είναι διπλάσιός του. Με αυτή τη λογική, θα μπορούσαμε να συμπληρώσουμε το μαγικό τετράγωνο ως εξής: 1 3 9 2 6 18 4 12 36 δηλαδή, να συμπληρώσουμε τη 2η γραμμή με τα 2πλάσια των αριθμών της 1ης γραμμής και την 3η γραμμή με τα 2πλάσια των αριθμών της 2ης γραμμής. Βέβαια, κατ’ αυτόν τον τρόπο το τετράγωνο που προκύπτει σε καμία περίπτωση δεν είναι μαγικό. Έχει όμως την ιδιότητα ότι σε κάθε γραμμή του, καθένας από τους δύο τελευταίους «αριθμούς» είναι τριπλάσιος του προηγούμενού του και σε κάθε στήλη, καθένας από τους δύο τελευταίους αριθμούς είναι διπλάσιος του προηγούμενού του. H 4ος πίνακας ΣΤΗΛΕΣ 1 2 3 Κεφάλαιο 1ο 18 36 72 1 24 2 3 ΓΡΑΜΜΕΣ 63 Προσθέτουμε τους αριθμούς στη 1η γραμμή έχουμε: 18+36 +72 =126 (μαγικό άθροισμα) Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 3η στήλη έχουμε: 72+24 =96 Αφαιρούμε από το 126 το 96 και έχουμε: 126 -96 =30 Προσθέτουμε τους αριθμούς στη διαγώνιο από την 1η στήλη έχουμε: 18 +30 =48 Αφαιρούμε από το 126 το 48 και έχουμε 126 -48 =78 Προσθέτουμε τους αριθμούς στη 2η γραμμή έχουμε: 78 +24 =102 Αφαιρούμε από το 126 το 102 και έχουμε: 126 - 102 = 24 Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 1η στήλη έχουμε 18 +24 =42 Αφαιρούμε από το 126 το 42 και έχουμε 126-42=84 Προσθέτουμε τους αριθμούς στη 2η στήλη έχουμε 36 + 78 =114 Αφαιρούμε από το 126 το 114 και έχουμε 126 - 114 =12 Συμπληρώνουμε το τετράγωνο 18 36 72 24 78 24 84 12 30 Κεφάλαιο 1ο 64 Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι για τους αριθμούς της 1ης γραμμής ισχύει: 36 = 2 w 18 και 72 = 2 w 36 δηλαδή ότι καθένας από τους δύο «τελευταίους» αριθμούς της γραμμής αυτής είναι διπλάσιος του προηγούμενού του. Επιπλέον είναι: 24 = 72: 3, δηλαδή ο αριθμός που βρίσκεται ακριβώς κάτω από το 72 προκύπτει από τη διαίρεση του 72 με το 3. Και πάλι με αντίστοιχη λογική θα μπορούσαμε να συμπληρώσουμε το μαγικό τετράγωνο ως εξής: 18 36 72 6 12 24 2 4 8 δηλαδή, να συμπληρώσουμε τη 2η γραμμή με τα πηλίκα που προκύπτουν από τη διαίρεση των αριθμών της 1ης γραμμής με το 3 και την 3η γραμμή με τα πηλίκα που προκύπτουν από τη διαίρεση των αριθμών της 2ης γραμμής με το 3. Και πάλι, κατ’ αυτόν τον τρόπο το τετράγωνο που προκύπτει σε καμία περίπτωση δεν είναι μαγικό. Έχει όμως την ιδιότητα ότι σε κάθε γραμμή του, καθένας από τους δύο τελευταίους «αριθμούς» είναι διπλάσιος του προηγούμενού του και σε κάθε στήλη, καθένας από τους δύο τελευταίους αριθμούς προκύπτει από τη διαίρεση του προηγούμενού με το 3. Κεφάλαιο 1ο 65 Λυμένες ασκήσεις εκτός βιβλίου 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω δυνάμεις: α) (4 – 2)3 β) (4 + 2)3 γ) (4 · 2)3 Πρώτα θα γίνουν οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις και έπειτα θα υπολογίσουμε τις δυνάμεις, (θα αναλύσουμε τις δυνάμεις σύμφωνα με τον ορισμό και θα εκτελέσουμε τους πολλαπλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά). α) (4 – 2)3 = 23 = 2 · 2 · 2 = 4 · 2 = 8 Εκτελούμε την πράξη στην παρένθεση, αναλύουμε τη δύναμη σε γινόμενο βάση του ορισμού και το υπολογίζουμε εκτελώντας τους πολλαπλασιασμούς από τα αριστερά προς τα δεξιά. β) (4 + 2)3 = 63 = 6 · 6 · 6 = 36 · 6 = 216 Εκτελούμε την πράξη στην παρένθεση, αναλύουμε τη δύναμη σε γινόμενο βάση του ορισμού και το υπολογίζουμε εκτελώντας τους πολλαπλασιασμούς από τα αριστερά προς τα δεξιά. γ) (4 · 2)3 = 83 = 8 · 8 · 8 = 64 · 8 = 512 Εκτελούμε την πράξη στην παρένθεση, αναλύουμε τη δύναμη σε γινόμενο βάση του ορισμού και το υπολογίζουμε εκτελώντας τους πολλαπλασιασμούς από τα αριστερά προς τα δεξιά. 2. Να βρείτε τους αριθμούς στους οποίους αντιστοιχούν τα ακόλουθα αναπτύγματα: i) 3 w 105 + 1 w 103 + 7 ii) 8 w 104 + 8 w 10 iii) 6 w 106 +9 w 105 + 4 w 102 + 2 Κεφάλαιο 1ο 66 Τα αντιμετωπίζουμε όπως οποιαδήποτε αριθμητική παράσταση. ∆ηλαδή, υπολογίζουμε πρώτα τις δυνάμεις, κατόπιν εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και στο τέλος τις προσθέσεις. Λύση i) 3 w 105 + 1 w 103 + 7 = 3 w 100000 + 1w 1000 + 7 Υπολογίζουμε 10v = 1 0.....0 τις δυνάμεις. Είναι v μηδενικά ii) = 300000 + 1000 + 7 Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = 301000 + 7 Εκτελούμε την πρόσθεση = 301007 Εκτελούμε την πρόσθεση Υπολογίζουμε τη δύναμη. Είναι 10v = 10.......0 8 w 104 + 8 w 10 = 8 w 10000 + 8w 10 ν μηδενικά iii) = 80000 + 80 Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = 80080 Εκτελούμε την πρόσθεση 6 w 106 + 9 w 105 + 4 w 102 + 2 = 6w 1000000 + 9 w 100000 + 4 w 100 + 2 Υπολογίζουμε τις δυνάμεις. Είναι 10v = 1 0.....0 v μηδενικά 3. = 6000000 + 900000 + 400 + 2 Εκτελούμε σμούς = 6900402 Εκτελούμε την πρόσθεση Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: i) 3 w [8: (3+1)]3 -2 w 5 ii) [(6+3)2 + 9]: (3 w 5) τους πολλαπλασια- Κεφάλαιο 1ο 67 Κάνουμε τις πράξεις με την ακόλουθη προτεραιότητα: i) υπολογίζουμε τις δυνάμεις ii) εκτελούμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις iii) εκτελούμε προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις στις παρενθέσεις (από τις εσωτερικές στις εξωτερικές) με την ίδια σειρά. Λύση i) ii) 3 w [8: (3+1)]3 -2 w 5 = 3 w (8: 4)3 – 2 w 5 Εκτελούμε την πρόσθεση στην εσωτερική παρένθεση. Η αγκύλη γίνεται παρένθεση. = 3 w 23 – 2 w 5 Εκτελούμε τη διαίρεση στην παρένθεση =3w8–2w5 Υπολογίζουμε τη δύναμη (23 = 2w2w2= 4w2=8) = 24 – 10 Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς = 14 Εκτελούμε την αφαίρεση = (92 +9) : (3w5) Εκτελούμε την πρόσθεση στην εσωτερική παρένθεση. Η αγκύλη γίνεται παρένθεση. = (81 + 9) : ( 3 w 5) Εκτελούμε τη δύναμη στην παρένθεση = 90 : 15 Εκτελούμε τις πράξεις στις παρενθέσεις =6 Εκτελούμε τη διαίρεση [(6+3)2 + 9] : (3w5) Σημείωση: Η παρένθεση (3 w 5) μπορούσε να υπολογιστεί από την αρχή Κεφάλαιο 1ο 68 1. Να κάνετε τις πράξεις α) 122 + 92 2. ii) 32 iii) 25 Να γράψετε με τη μορφή δυνάμεων τα γινόμενα: β) 5 w 5 · x · x · x α) 3w 3 w 3 w 3 w 4 w 4 w 4 4. γ) x w y w y w y wy Να γράψετε σε αναπτυγμένη μορφή, με τη βοήθεια δυνάμεων του 10, τους αριθμούς: α) 2427 5. γ) 6,9652 – (6,965 · 6,965) Να αναλύσετε τις δυνάμεις σε γινόμενα: i) 53 3. β) 1112 - 112 β) 10507 γ) 425732 δ) 2049804 Να βρείτε τους αριθμούς στους οποίους αντιστοιχούν τα ακόλουθα αναπτύγματα: i) 5 w 106 + 6 w 105 + 3 w 104 + 4 w 103 + 1 w 102 + 2 w 10 + 7 ii) 5 w 104 + 3 w 101 + 9 iii) 8 w 105 + 4 w 103 + 6w 102 +1 6. Να γίνουν οι πράξεις: α) (198 – 193)4 7. β) (9,81 – 5,81)5 Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Α = 15 : 5 – 23 : 4 + 5 · (12 + 32) – 6 · (4 – 1)2 γ) (25,32 – 25,22)3 Κεφάλαιο 1ο 69 Απαντήσεις στις άλυτες ασκήσεις 1. α) 225 β) 12.200 γ) 0 2. i) 5 w 5 w 5 ii) 3 w 3 iii) 2 w 2 w 2 w 2 w 2 3. a) 34 w 43 β) 52 w x3 γ) xy4 4. α) 2427 =2x 103 + 4x102 + 2 x10 + 7 β)10.507 =104 +5 x102 + 7 γ) 425.732 = 4 · 105 + 2 · 104 + 5 · 103 + 7 · 102 + 3 · 10 + 2 δ) 2049804 = 2 · 106 + 4 · 104 + 9 · 103 + 8 · 102 + 4 5. i) 5634127 6. α) 625 β) 1024 γ) 0,001 7. Α = 52 ii) 50039 iii) 804601 70 Κεφάλαιο 1ο Με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή τσέπης βρίσκουμε εύκολα ότι: 112 = 121 1112 = 12321 11112 = 1234321 Παρατηρούμε ότι σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις, το τετράγωνο (δεύτερη δύναμη) ενός αριθμού που όλα τα ψηφία του είναι ίσα με το 1 σχηματίζεται γράφοντας στη σειρά όλους τους αριθμούς από το 1 έως τον αριθμό που εκφράζει το πλήθος των ψηφίων του αριθμού που υψώνεται στο τετράγωνο και στη συνέχεια κατ’ αντίστροφο τρόπο μέχρι το 1. Έτσι, ο αριθμός αυτός «διαβάζεται» το ίδιο τόσο από τα αριστερά προς τα δεξιά, όσο και από τα δεξιά προς τα αριστερά. Μετά τις παραπάνω παρατηρήσεις, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τις ζητούμενες δυνάμεις. 111112 = 123454321 1111112 = 12345654321 11111112 = 1234567654321
© Copyright 2024 Paperzz
