MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA
BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO
OBRAZOVNI STANDARDI
ZA PROVERUVAWE NA POSTIGAWATA NA U^ENICITE PO
MATEMATIKA
zadol`itelen predmet
I godina
Struki: ekonomsko - pravna i trgovska, tekstilno-ko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i
grafi~ka struka
Skopje, 2008 godina
Matematika za I godina za ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za ekonomsko-pravnai trgovska, tekstilnoko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka struka)
Programsko podra~je: Realni broevi
Nivo na znaewa i
sposobnosti
Standard
POMNEWE
- Razlikuva prosti, slo`eni i zaemno prosti broevi;
- zapi{uva komutativen, asocijativen i distributiven zakon za operacii;
- gi znae tablicite za sobirawe i mno`ewe vo binaren broen sistem;
- ja iska`uva definicijata za racionalen, iracionalen i realen broj;
- gi zapi{uva mno`estvata na prirodni, celi,racionalni, iracionalni i realni broevi;
- ja iska`uva definicijata za apsolutna vrednost na realen broj.
RAZBIRAWE
- Razlo`uva broevi na prosti mno`iteli;
- objasnuva kako se odreduva NZS i NZD;
- razlikuva dekaden i binaren broen sistem;
- razbira kako se pretvoraat broevi od dekaden vo binaren broen sistem i obratno;
- sporeduva prirodni, celi i racionalni broevi;
- zapi{uva decimalen broj vo vid na dropka i obratno;
- pretstavuva i sporeduva realni broevi na brojna oska;
- objasnuva geometrisko pretstavuvawe na intervali;
- objasnuva pribli`ni vrednosti i zaokru`uvawa.
PRIMENUVAWE
- Gi koristi operaciite so prirodnite broevi i zakonite kaj niv;
- odreduva NZS i NZD;
- sobira, odzema i mno`i broevi vo binaren sistem;
- izvr{uva operacii so celi broevi, dropki i decimalni broevi;
- koristi postapka za pretvorawe od beskone~en periodi~en decimalen broj vo dropka;
- konstruira iracionalni broevi, zapi{ani vo vid na kvadratni koreni i gi pretstavuva na brojna oska;
- vr{i smetkovni operacii so pribli`ni vrednosti.
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- Re{ava prakti~ni problemi od delivost na prirodnite broevi;
- re{ava zada~i so operacii od kombinirani broevi ( celi, dropki, decimalni).
1
Matematika za I godina za ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za ekonomsko-pravnai trgovska, tekstilnoko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka struka)
Programsko podra~je: Algebarski racionalni izrazi
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Poka`uva osnova i stepenov pokazatel;
- prepoznava glavna vrednost i koeficient na monom;
- razlikuva monom, binom, trinom, polinom;
- dava primer na stepen so stepenov pokazatel cel broj;
- razlikuva stepen na monom i polinom;
- zapi{uva formuli za skrateno mno`ewe;
- nabrojuva na~ini na razlo`uvawe na polinom na mno`iteli;
- razlikuva NZD i NZS na dva polinomi;
- dava primer na algebarska dropka.
- Odreduva stepen na daden monom ili polinom;
- objasnuva mno`ewe / delewe na monom so monom, polinom so monom i polinom so polinom;
- prepoznava koj monom / polinom e zaedni~ki delitel za pove}e polinomi koi {to se razlo`eni na
mno`iteli;
- zapi{uva broevi vo oblikot a ⋅ 10 k ;
- odreduva mno`estvo na dopu{teni vrednosti na promenliva kaj algebarska dropka;
- gi objasnuva na~inite za razlo`uvawe na polinom na mno`iteli;
- dava primer za drobno-racionalen izraz.
- Mno`i, deli, stepenuva stepen;
- stepenuva proizvod i koli~nik;
- sveduva monom / polinom vo normalen vid;
- presmetuva vrednost na monom / polinom za dadeni vrednosti na promenlivite;
- razlo`uva polinomi na mno`iteli so izvlekuvawe na zaedni~ki mno`itel pred zagrada, formuli za
skrateno mno`ewe i grupirawe;
- odreduva NZS i NZD za dva i pove}e polinomi;
- re{ava zada~i so koristewe na operacii so polinomi;
- pro{iruva i skratuva algebarski dropki;
- gi izvr{uva operaciite so algebarski dropki.
- Re{ava zada~i so primena na razlo`uvawe na polinomi na mno`iteli;
- uprostuva drobno-racionalen izraz.
2
Matematika za I godina za ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za ekonomsko-pravnai trgovska, tekstilnoko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka struka)
Programsko podra~je: Proporcionalnost na veli~inite
Nivo na znaewa i
sposobnosti
Standard
POMNEWE
- Dava primeri na ednoimenuvani i pove}eimenuvani broevi;
- iska`uva definicii za odnos (razmer) na dve veli~ini i za proporcija;
- go znae osnovnoto svojstvo na proporciite;
- ja iska`uva definicijata za prodol`ena proporcija;
- se zapoznae so angliskite merni edinici;
- gi znae osnovnite edinici vo SI (za vreme, dol`ina, volumen i masa);
- zapi{uva procent / promil.
RAZBIRAWE
- Dava primeri na izvedeni edinici vo SI (za vreme, dol`ina, volumen i masa);
- zapi{uva razmer i proporcija;
- sostavuva izvedeni proporcii;
- prepoznava prava i obratna proporcionalnost;
- gi objasnuva poimite procent i promil;
- opi{uva pretvorawe racionalen broj vo procent / promil i obratno;
- gi objasnuva procentna / promilna smetka, delbena smetka, smetka na smesi, veri`na smetka i prosta
kamatna smetka.
PRIMENUVAWE
- Gi koristi angliskite merni edinici;
- sobira i odzema ednoimenuvani i pove}eimenuvani broevi i mno`i imenuvan so neimenuvan broj;
- go primenuva osnovnoto svojstvo na proporciite;
- re{ava zada~i so prosto trojno pravilo;
- re{ava zada~i od procentna i promilna smetka;
- re{ava zada~i od delbena smetka, smetka na smesi i veri`na smetka;
- re{ava zada~i od prosta kamatna smetka.
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- Primenuva soodvetna smetka za re{avawe na prakti~ni zada~i;
- umee grafi~ki da pretstavuva (so dijagrami – liniski, povr{inski i stereogrami) i formira tabeli
(prosti i kombinirani) za da prika`e konkretni pojavi, sostojbi i procesi;
- ,,~ita” podatoci od grafik i/ili tabela.
3
Matematika za I godina za ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za ekonomsko-pravnai trgovska, tekstilnoko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka struka)
Programsko podra~je: Linearni ravenki, neravenki, funkcija
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za odnos na dve veli~ini, proporcii, prodol`ena proporcija;
- iska`uva definicija za linearna ravenka, re{enie na linearna ravenka;
- iska`uva definicija za ekvivalentni ravenki;
- iska`uva definicija za linearni neravenki, ekvivalentni neravenki;
- prepoznava zadadena linearna ravenka / neravenka;
- iska`uva definicija za linearna funkcija;
- pretstavuva to~ki vo pravoagolen koordinaten sistem.
- Formira izvedeni proporcii;
- objasnuva prava i obratna proporcionalnost;
- odreduva mno`estvo na dopu{teni vrednosti na promenliva kaj linearni ravenki;
- proveruva dali dadena vrednost e re{enie na linearna ravenka;
- prepoznava ekvivalentni linearni ravenki / neravenki;
- dava primer za linearna ravenka / neravenka;
- odreduva koeficient na pravec;
- tolkuva rastewe/opa|awe na dadena linearna funkcija;
- prepoznava analiti~ki/ grafi~ki zadadena linearna funkcija;
- sostavuva tablica na vrednosti na linearna funkcija.
- Go koristi osnovnoto svojstvo na proporciite;
- formira prodol`eni proporcii;
- crta grafici za prava i obratna proporcionalnost i gi primenuva pri re{avawe na prakti~ni zada~i;
- re{ava linearna ravenka/neravenka so koristewe na ekvivalentni transformacii i re{enieto na
neravenkata go pretstavuva geometriski;
- re{ava i grafi~ki go interpretira re{enieto na sistemi linearni neravenki so edna nepoznata;
- crta grafik na linearna funkcija i odreduva presek na grafikot na linearnata funkcija so
koordinatnite oski;
- odreduva definiciona oblast i mno`estvo vrednosti na linearna funkcija;
- go koristi uslovot za paralelnost na dve pravi vo zada~i.
- Re{ava drobno-racionalni ravenki {to se sveduvaat na linearni ravenki;
- re{ava problemski zada~i {to se sveduvaat na re{avawe na linearni ravenki.
4
Matematika za I godina za ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za ekonomsko-pravnai trgovska, tekstilnoko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka struka)
Programsko podra~je: Korenuvawe (15 ~asa)
Nivo na znaewa i
sposobnosti
Standard
POMNEWE
- Go usvoi poimot za koren;
- ja iska`uva definicijata za n-ti koren od realen broj;
- dava primer za koren {to ima/nema vrednost realen broj;
- ja iska`uva definicijata za stepen so pokazatel racionalen broj;
- prepoznava sli~ni koreni.
RAZBIRAWE
- Objasnuva pro{iruvawe i skratuvawe na koreni;
- objasnuva stepenuvawe i korenuvawe na koren;
- objasnuva zo{to nekoj koren ne e vo normalen vid;
- gi opi{uva postapkite na izvlekuvawe na mno`itel pred koren i vnesuvawe na mno`itel vo koren.
PRIMENUVAWE
- Transformira stepen so pokazatel racionalen vo koren i obratno;
- primenuva pro{iruvawe i skratuvawe na koreni;
- korenuva proizvod i koli~nik;
- transformira koren vo normalen vid;
- sobira, odzema, mno`i, deli, stepenuva i korenuva koreni;
- racionalizira imenitel na dropka od vidot: n a m , a ± b , a b ± c d .
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- Re{ava zada~i od koreni so primena na operaciite;
- odreduva dopu{teni vrednosti na promenliva vo iracionalen izraz;
- izvr{uva operacii so iracionalni izrazi;
- uprostuva poslo`eni iracionalni izrazi;
- doka`uva identiteti so iracionalni izrazi.
5
Matematika za I godina za ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za ekonomsko-pravnai trgovska, tekstilnoko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka struka)
Programsko podra~je: Plo{tina na ramninski figuri
Nivo na znaewa i
sposobnosti
Standard
POMNEWE
- Razlikuva vidovi triagolnici / ~etiriagolnici;
- imenuva temiwa, strani i agli kaj triagolnik / ~etiriagolnik;
- gi imenuva ~etirite zna~ajni to~ki vo triagolnikot;
- pomni formuli za plo{tina na triagolnik / ~etiriagolnik;
- ja zapi{uva Heronovata formula;
- ja iska`uva teoremata za plo{tina na dva sli~ni triagolnici;
- go usvoi poimot za plo{tina na mnoguagolnik;
- razlikuva kru`nica od krug, kako i delovi na krug;
- poka`uva apotema (radius na vpi{ana kru`nica) i radius na opi{ana kru`nica;
- gi zapi{uva formulite za perimetar na kru`nica / plo{tina na krug i delovi na krug;
- naveduva koi merni edinici se koristat za plo{tina / perimetar.
RAZBIRAWE
- Skicira razni vidovi triagolnici / ~etiriagolnici;
- dava primer za sredna linija, te`i{na linija, visina, simetrala na agol i simetrala na strana na
triagolnik;
- objasnuva skladnost i sli~nost na triagolnici;
- gi iska`uva relaciite me|u aglite, stranite, stranite i aglite vo triagolnikot;
- dava primeri za primena na Pitagorovata teorema kaj triagolnik / ~etiriagolnik;
- objasnuva {to e karakteristi~en triagolnik kaj pravilen mnoguagolnik;
- objasnuva za odreduvaweto na plo{tina na mnoguagolnik;
- dava primeri na delovi od krug (grafi~ki pretstaveni).
PRIMENUVAWE
- Re{ava zada~i so primena na priznacite za skladnost i sli~nost na triagolnici;
- gi primenuva vo poednostavni slu~ai relaciite me|u elementite na triagolnikot;
- gi konstruira ~etirite zna~ajni to~ki vo triagolnikot;
- konstruira triagolnik zadaden so osnovnite elementi;
- re{ava zada~i za plo{tina na triagolnik , kvadrat, pravoagolnik, paralelogram, romb,
trapez,trapezoid, deltoid;
- primenuva Pitagorova teorema za nao|awe nepoznati elementi kaj triagolnik/~etiriagolnik;
- primenuva Heronova formula;
6
Matematika za I godina za ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za ekonomsko-pravnai trgovska, tekstilnoko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka struka)
- re{ava zada~i so primena na karakteristi~en triagolnik, formuli za perimetar i plo{tina na
pravilen mnoguagolnik;
- re{ava zada~i so primena na formulite za perimetar na kru`nica, dol`ina na kru`en lak, plo{tina
na krug i delovi na krugot;
- primenuva trigonometriski funkcii za presmetuvawe na plo{tina.
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- Re{ava zada~i so primena na svojstvata i priznacite na paralelogram;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na plo{tina na pravoagolnik, kvadrat i romb;
- gi koristi svojstvata na trapez i deltoid pri re{avawe zada~i;
- konstruira paralelogram, trapez i deltoid so dadeni osnovni elementi;
- re{ava prakti~ni zada~i za plo{tina i perimetar na pravilen mnoguagolnik;
- re{ava problemi {to se sveduvaat na perimetar i plo{tina na krug i delovi na krug.
7
MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA
BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO
OBRAZOVNI STANDARDI
ZA PROVERUVAWE NA POSTIGAWATA NA U^ENICITE PO
MATEMATIKA
zadol`itelen predmet
I godina
Struki: elektrotehni~ka, ma{inska, grade`no-geodetska, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka,
geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi (o~na optika)
Skopje, 2008 godina
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za elektrotehni~ka,ma{inska, grade`nogeodetska,soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi - o~na optika)
Programsko podra~je: Realni broevi
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Gi iska`uva definiciite za logi~kite operacii;
- go znae redosledot na logi~kite operacii;
- gi znae tablicite za sobirawe i mno`ewe vo binaren broen sistem;
- razlikuva prosti, slo`eni i zaemno prosti broevi;
- ja iska`uva definicijata za racionalen, iracionalen i realen broj;
- gi zapi{uva mno`estvata na prirodni, celi,racionalni, iracionalni i realni broevi;
- zapi{uva komutativen, asocijativen i distributiven zakon za operacii;
- ja iska`uva definicijata za apsolutna vrednost na realen broj.
- Objasnuva {to e iskaz, ilustrira so primeri;
- sostavuva tablica za ispituvawe na logi~ka vrednost na iskazna formula;
- razlo`uva broevi na prosti mno`iteli;
- objasnuva kako se odreduva NZS i NZD;
- razlikuva dekaden i binaren broen sistem;
- razbira kako se pretvoraat broevi od dekaden vo binaren broen sistem i obratno;
- sporeduva prirodni, celi i racionalni broevi;
- zapi{uva decimalen broj vo vid na dropka i obratno;
- pretstavuva i sporeduva realni broevi na brojna oska;
- objasnuva geometrisko pretstavuvawe na intervali;
- objasnuva pribli`ni vrednosti i zaokru`uvawa.
- Ispituva vistinitosna vrednost na slo`en iskaz;
- ispituva iskazni formuli so pomo{ na tablici;
- gi koristi operaciite so prirodnite broevi i zakonite kaj niv;
- odreduva NZS i NZD;
- sobira, odzema i mno`i broevi vo binaren sistem;
- izvr{uva operacii so celi broevi, dropki i decimalni broevi;
- koristi postapka za pretvorawe od beskone~en periodi~en decimalen broj vo dropka;
- konstruira iracionalni broevi, zapi{ani vo vid na kvadratni koreni i gi pretstavuva na brojna oska;
- vr{i smetkovni operacii so pribli`ni vrednosti.
- Proveruva dali dve iskazni formuli se logi~ki ekvivalentni;
- re{ava prakti~ni problemi od delivost na prirodnite broevi;
- re{ava zada~i so operacii od kombinirani broevi ( celi, dropki, decimalni).
1
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za elektrotehni~ka,ma{inska, grade`nogeodetska,soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi - o~na optika)
Programsko podra~je: Geometriski figuri vo ramnina
Nivo na znaewa i
sposobnosti
Standard
POMNEWE
- Nabrojuva osnovni geometriski poimi i tvrdewa;
- dava primeri za izvedeni poimi i tvrdewa;
- imenuva otse~ka, prava, poluprava i ramnina;
- ja iska`uva definicijata za izvedeni geometriski figuri vo ramnina;
- iska`uva definicija za vektori, kolinearni vektori i ednakvi vektori.
RAZBIRAWE
- Gi tolkuva odnosite me|u to~ki i pravi vo edna ramnina;
- dava primeri na agli;
- objasnuva razlika me|u kru`nica i krug;
- objasnuva za ednakvi/sprotivni vektori;
- prepoznava kolinearni vektori.
PRIMENUVAWE
- Demonstrira strog dokaz na poednostavni teoremi;
- gi primenuva odnosite me|u to~ki i pravi vo edna ramnina;
- sobira vektori, mno`i vektor so broj i razlo`uva vektor na dve komponenti.
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- Demonstrira strog dokaz na teoremi;
- re{ava prakti~ni zada~i so primena na vektori.
2
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za elektrotehni~ka,ma{inska, grade`nogeodetska,soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi - o~na optika)
Programsko podra~je: Trigonometriski funkcii od ostar agol
Nivo na znaewa i
sposobnosti
Standard
POMNEWE
- Ja iska`uva definicijata za sinus, kosinus, tangens i kotangens od ostar agol;
- gi znae vrednostite na trigonometriskite funkcii za agli od 300, 450 i 600;
- go iska`uva svojstvoto na trigonometriskite funkcii od komplementni agli;
- gi zapi{uva vrskite me|u trigonometriski funkcii od ist agol;
- gi naveduva osnovnite zada~i za re{avawe na pravoagolen triagolnik;
- poka`uva trigonometriska kru`nica vo koordinaten sistem.
RAZBIRAWE
- Objasnuva kako se koristi kalkulator za odreduvawe vrednosti na trigonometriskite funkcii od
daden agol i obratno;
- objasnuva kako se dobivaat vrednostite za trigonometriskite funkcii od aglite 30o , 45o i 60o;
- go objasnuva menuvaweto na sinus i kosinus koga agolot se menuva od 0o do 90o;
- gi sporeduva po golemina vrednostite na trigonometriski funkcii od ostar agol;
- dava primer na vrednosti na sinus i kosinus od agol pogolem od 900 koristej}i; trigonometriska
kru`nica;
- prepoznava grafik na funkciite y = sin x i y = cos x .
PRIMENUVAWE
- Grafi~ki odreduva vrednost na trigonometriska funkcija;
- gi koristi vrednostite na osnovnite trigonometriski funkcii za agli od 30o , 45o i 60o vo zada~i;
- go primenuva svojstvoto na trigonometriskite funkcii od komplementni agli;
- re{ava zada~i so koristewe na osnovnite vrski me|u trigonometriskite funkcii od ist agol;
- re{ava pravoagolen triagolnik;
- gi poka`uva grafi~ki vrednostite na trigonometriskite funkcii od agli: 0o , 90o , 180o, 270o i 360o ;
- crta grafik na funkciite y=sin x i y=cos x.
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- Go primenuva re{avaweto na pravoagolen triagolnik vo geometrijata, praktikata i tehnikata;
- gi izveduva trigonometriskite vrski;
- uprostuva trigonometriski izrazi.
3
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za elektrotehni~ka,ma{inska, grade`nogeodetska,soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi - o~na optika)
Programsko podra~je: Algebarski racionalni izrazi
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Poka`uva osnova i stepenov pokazatel;
- prepoznava glavna vrednost i koeficient na monom;
- razlikuva monom, binom, trinom, polinom;
- dava primer na stepen so stepenov pokazatel cel broj;
- razlikuva stepen na monom i polinom;
- zapi{uva formuli za skrateno mno`ewe;
- nabrojuva na~ini na razlo`uvawe na polinom na mno`iteli;
- razlikuva NZD i NZS na dva polinomi;
- dava primer na algebarska dropka.
- Odreduva stepen na daden monom ili polinom;
- objasnuva mno`ewe / delewe na monom so monom, polinom so monom i polinom so polinom;
- prepoznava koj monom / polinom e zaedni~ki delitel za pove}e polinomi koi {to se razlo`eni na
mno`iteli;
- zapi{uva broevi vo oblikot a ⋅ 10 k ;
- odreduva mno`estvo na dopu{teni vrednosti na promenliva kaj algebarska dropka;
- gi objasnuva na~inite za razlo`uvawe na polinom na mno`iteli;
- dava primer za drobno-racionalen izraz.
- Mno`i, deli, stepenuva stepen;
- stepenuva proizvod i koli~nik;
- sveduva monom / polinom vo normalen vid;
- presmetuva vrednost na monom / polinom za dadeni vrednosti na promenlivite;
- razlo`uva polinomi na mno`iteli so izvlekuvawe na zaedni~ki mno`itel pred zagrada, formuli za
skrateno mno`ewe i grupirawe;
- odreduva NZS i NZD za dva i pove}e polinomi;
- re{ava zada~i so koristewe na operacii so polinomi;
- pro{iruva i skratuva algebarski dropki;
- gi izvr{uva operaciite so algebarski dropki.
- Re{ava zada~i so primena na razlo`uvawe na polinomi na mno`iteli;
- uprostuva drobno-racionalen izraz.
4
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za elektrotehni~ka,ma{inska, grade`nogeodetska,soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi - o~na optika)
Programsko podra~je: Linearni ravenki, neravenki, funkcija
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za odnos na dve veli~ini, proporcii, prodol`ena proporcija;
- iska`uva definicija za linearna ravenka, re{enie na linearna ravenka;
- iska`uva definicija za ekvivalentni ravenki;
- iska`uva definicija za linearni neravenki, ekvivalentni neravenki;
- prepoznava zadadena linearna ravenka / neravenka;
- iska`uva definicija za linearna funkcija;
- pretstavuva to~ki vo pravoagolen koordinaten sistem.
- Formira izvedeni proporcii;
- objasnuva prava i obratna proporcionalnost;
- odreduva mno`estvo na dopu{teni vrednosti na promenliva kaj linearni ravenki;
- proveruva dali dadena vrednost e re{enie na linearna ravenka;
- prepoznava ekvivalentni linearni ravenki / neravenki;
- dava primer za linearna ravenka / neravenka;
- odreduva koeficient na pravec;
- tolkuva rastewe / opa|awe na dadena linearna funkcija;
- prepoznava analiti~ki/ grafi~ki zadadena linearna funkcija;
- sostavuva tablica na vrednosti na linearna funkcija.
- Go koristi osnovnoto svojstvo na proporciite;
- formira prodol`eni proporcii;
- crta grafici za prava i obratna proporcionalnost i gi primenuva pri re{avawe na prakti~ni zada~i;
- re{ava linearna ravenka / neravenka so koristewe na ekvivalentni transformacii i re{enieto na
neravenkata go pretstavuva geometriski;
- re{ava i grafi~ki go interpretira re{enieto na sistemi linearni neravenki so edna nepoznata;
- crta grafik na linearna funkcija i odreduva presek na grafikot na linearnata funkcija so
koordinatnite oski;
- odreduva definiciona oblast i mno`estvo vrednosti na linearna funkcija;
- go koristi uslovot za paralelnost na dve pravi vo zada~i.
- Re{ava drobno-racionalni ravenki {to se sveduvaat na linearni ravenki;
- re{ava problemski zada~i {to se sveduvaat na re{avawe na linearni ravenki.
5
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za elektrotehni~ka,ma{inska, grade`nogeodetska,soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi - o~na optika)
Programsko podra~je:Triagolnik i ~etiriagolnik
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Razlikuva vidovi triagolnici / ~etiriagolnici;
- imenuva temiwa, strani i agli kaj triagolnik / ~etiriagolnik;
- gi imenuva ~etirite zna~ajni to~ki vo triagolnikot;
- pomni formuli za plo{tina na triagolnik / ~etiriagolnik;
- ja zapi{uva Heronovata formula;
- ja iska`uva teoremata za plo{tina na dva sli~ni triagolnici;
- naveduva koi merni edinici se koristat za plo{tina / perimetar.
- Skicira razni vidovi triagolnici / ~etiriagolnici;
- dava primer za sredna linija, te`i{na linija, visina, simetrala na agol i simetrala na strana na
triagolnik;
- objasnuva skladnost i sli~nost na triagolnici;
- gi iska`uva relaciite me|u aglite, stranite, stranite i aglite vo triagolnikot;
- dava primeri za primena na Pitagorovata teorema kaj triagolnik / ~etiriagolnik.
- Re{ava zada~i so primena na priznacite za skladnost i sli~nost na triagolnici;
- gi primenuva vo poednostavni slu~ai relaciite me|u aglite, stranite, stranite i aglite vo
triagolnikot;
- gi konstruira ~etirite zna~ajni to~ki vo triagolnikot;
- konstruira triagolnik zadaden so osnovnite elementi;
- re{ava zada~i za plo{tina na triagolnik , kvadrat, pravoagolnik, paralelogram, romb,
trapez,trapezoid, deltoid;
- primenuva Pitagorova teorema za nao|awe nepoznati elementi kaj triagolnik/~etiriagolnik;
- re{ava zada~i za presmetuvawe plo{tina na triagolnik so Heronova formula i so primena; na
trigonometriskite funkcii.
- Re{ava zada~i so primena na svojstvata i priznacite na paralelogram;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na plo{tina na pravoagolnik, kvadrat i romb;
- gi koristi svojstvata na trapez i deltoid pri re{avawe zada~i;
- konstruira paralelogram, trapez i deltoid so dadeni osnovni elementi.
6
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za elektrotehni~ka,ma{inska, grade`nogeodetska,soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi - o~na optika)
Programsko podra~je: Plo{tina na mnoguagolnik ikrug
Nivo na znaewa i
sposobnosti
Standard
POMNEWE
- Go usvoi poimot za plo{tina na mnoguagolnik;
- razlikuva kru`nica od krug;
- poka`uva apotema (radius na vpi{ana kru`nica) i radius na opi{ana kru`nica;
- gi zapi{uva formulite za perimetar na kru`nica / plo{tina na krug i delovi na krug;
- gi razlikuva delovite na krug.
RAZBIRAWE
- Objasnuva {to e karakteristi~en triagolnik kaj pravilen mnoguagolnik;
- objasnuva za odreduvaweto na plo{tina na mnoguagolnik;
- dava primeri na delovi od krug (grafi~ki pretstaveni).
PRIMENUVAWE
- Re{ava zada~i so primena na karakteristi~en triagolnik, formuli za perimetar i plo{tina na
pravilen mnoguagolnik;
- re{ava zada~i so primena na formulite za perimetar na kru`nica, dol`ina na kru`en lak, plo{tina
na krug i delovi na krugot;
- primenuva trigonometriski funkcii za presmetuvawe na plo{tina.
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- Re{ava prakti~ni zada~i za plo{tina i perimetar na pravilen mnoguagolnik;
- re{ava problemi {to se sveduvaat na perimetar i plo{tina na krug i delovi na krug.
7
MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA
BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO
OBRAZOVNI STANDARDI
ZA PROVERUVAWE NA POSTIGAWATA NA U^ENICITE PO
MATEMATIKA
zadol`itelen predmet
I godina
Struki: zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna (osven za obrazovniot profil
veterinaren tehni~ar), {umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi
(obrazoven profil kozmeti~ki tehni~ar)
Skopje, 2008 godina
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna - osven za
obrazovniot profil veterinaren tehni~ar - {umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi - kozmeti~ki tehni~ar)
Programsko podra~je: Realni broevi
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Gi iska`uva definiciite za logi~kite operacii;
- go znae redosledot na logi~kite operacii;
- razlikuva prosti, slo`eni i zaemno prosti broevi;
- ja iska`uva definicijata za racionalen, iracionalen i realen broj;
- gi zapi{uva mno`estvata na prirodni, celi,racionalni, iracionalni i realni broevi;
- zapi{uva komutativen, asocijativen i distributiven zakon za operacii;
- ja iska`uva definicijata za apsolutna vrednost na realen broj.
- Objasnuva {to e iskaz, ilustrira so primeri;
- sostavuva tablica za ispituvawe na logi~ka vrednost na iskazna formula;
- razlo`uva broevi na prosti mno`iteli;
- objasnuva kako se odreduva NZS i NZD;
- sporeduva prirodni, celi i racionalni broevi;
- zapi{uva decimalen broj vo vid na dropka i obratno;
- pretstavuva i sporeduva realni broevi na brojna oska;
- objasnuva geometrisko pretstavuvawe na intervali;
- objasnuva pribli`ni vrednosti i zaokru`uvawa.
- Ispituva vistinitosna vrednost na slo`en iskaz;
- ispituva iskazni formuli so pomo{ na tablici;
- gi koristi operaciite so prirodnite broevi i zakonite kaj niv;
- odreduva NZS i NZD;
- izvr{uva operacii so celi broevi, dropki i decimalni broevi;
- koristi postapka za pretvorawe od beskone~en periodi~en decimalen broj vo dropka;
- konstruira iracionalni broevi, zapi{ani vo vid na kvadratni koreni i gi pretstavuva na brojna oska;
- vr{i smetkovni operacii so pribli`ni vrednosti.
- Proveruva dali dve iskazni formuli se logi~ki ekvivalentni;
- re{ava prakti~ni problemi od delivost na prirodnite broevi;
- re{ava zada~i so operacii od kombinirani broevi ( celi, dropki, decimalni).
1
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna - osven za
obrazovniot profil veterinaren tehni~ar - {umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi - kozmeti~ki tehni~ar)
Programsko podra~je: Algebarski racionalni izrazi
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Poka`uva osnova i stepenov pokazatel;
- prepoznava glavna vrednost i koeficient na monom;
- razlikuva monom, binom, trinom, polinom;
- dava primer na stepen so stepenov pokazatel cel broj;
- razlikuva stepen na monom i polinom;
- zapi{uva formuli za skrateno mno`ewe;
- nabrojuva na~ini na razlo`uvawe na polinom na mno`iteli;
- razlikuva NZD i NZS na dva polinomi;
- dava primer na algebarska dropka.
- Odreduva stepen na daden monom ili polinom;
- objasnuva mno`ewe / delewe na monom so monom, polinom so monom i polinom so polinom;
- prepoznava koj monom / polinom e zaedni~ki delitel za pove}e polinomi koi {to se razlo`eni na
mno`iteli;
- odreduva mno`estvo na dopu{teni vrednosti na promenliva kaj algebarska dropka;
- gi objasnuva na~inite za razlo`uvawe na polinom na mno`iteli;
- dava primer za drobno-racionalen izraz.
- Mno`i, deli, stepenuva stepen;
- stepenuva proizvod i koli~nik;
- sveduva monom / polinom vo normalen vid;
- presmetuva vrednost na monom / polinom za dadeni vrednosti na promenlivite;
- razlo`uva polinomi na mno`iteli so izvlekuvawe na zaedni~ki mno`itel pred zagrada, formuli za
skrateno mno`ewe i grupirawe;
- odreduva NZS i NZD za dva i pove}e polinomi;
- re{ava zada~i so koristewe na operacii so polinomi;
- pro{iruva i skratuva algebarski dropki;
- gi izvr{uva operaciite so algebarski dropki.
- Re{ava zada~i so primena na razlo`uvawe na polinomi na mno`iteli;
- uprostuva drobno-racionalen izraz.
2
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna - osven za
obrazovniot profil veterinaren tehni~ar - {umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi - kozmeti~ki tehni~ar)
Programsko podra~je: Proporcionalnost na veli~inite
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Dava primeri na ednoimenuvani i pove}eimenuvani broevi;
- iska`uva definicii za razmer na dve veli~ini i za proporcija;
- go znae osnovnoto svojstvo na proporciite;
- ja iska`uva definicijata za prodol`ena proporcija;
- gi znae osnovnite edinici vo SI (za vreme, dol`ina, volumen i masa);
- zapi{uva procent / promil.
- Dava primeri na izvedeni edinici vo SI (za vreme, dol`ina, volumen i masa);
- zapi{uva razmer i proporcija;
- sostavuva izvedeni proporcii;
- prepoznava prava i obratna proporcionalnost;
- gi objasnuva poimite procent i promil;
- opi{uva pretvorawe racionalen broj vo procent / promil i obratno;
- gi objasnuva procentna / promilna smetka, delbena smetka, smetka na smesi, veri`na smetka i prosta
kamatna smetka.
- Sobira i odzema ednoimenuvani i pove}eimenuvani broevi i mno`i imenuvan so neimenuvan broj;
- go primenuva osnovnoto svojstvo na proporciite;
- re{ava zada~i so prosto trojno pravilo;
- re{ava zada~i od procentna i promilna smetka;
- re{ava zada~i od delbena smetka, smetka na smesi i veri`na smetka;
- re{ava zada~i od prosta kamatna smetka.
- Primenuva soodvetna smetka za re{avawe na prakti~ni zada~i;
- umee grafi~ki da pretstavuva (so dijagrami – liniski, povr{inski i stereogrami) i formira tabeli
(prosti i kombinirani) za da prika`e konkretni pojavi, sostojbi i procesi;
- ,,~ita” podatoci od grafik i/ili tabela.
3
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna - osven za
obrazovniot profil veterinaren tehni~ar - {umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi - kozmeti~ki tehni~ar)
Programsko podra~je: Linearni ravenki i neravenki, linearna funkcija
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za linearna ravenka, re{enie na linearna ravenka;
- iska`uva definicija za ekvivalentni ravenki;
- iska`uva definicija za linearni neravenki, ekvivalentni neravenki;
- prepoznava zadadena linearna ravenka / neravenka;
- iska`uva definicija za linearna funkcija;
- pretstavuva to~ki vo pravoagolen koordinaten sistem.
- Odreduva mno`estvo na dopu{teni vrednosti na promenliva kaj linearni ravenki;
- proveruva dali dadena vrednost e re{enie na linearna ravenka;
- prepoznava ekvivalentni linearni ravenki / neravenki;
- dava primer za linearna ravenka / neravenka;
- odreduva koeficient na pravec;
- tolkuva rastewe/opa|awe na dadena linearna funkcija;
- prepoznava analiti~ki/ grafi~ki zadadena linearna funkcija;
- sostavuva tablica na vrednosti na linearna funkcija.
- Re{ava linearna ravenka / neravenka so koristewe na ekvivalentni transformacii i re{enieto na
neravenkata go pretstavuva geometriski;
- re{ava i grafi~ki go interpretira re{enieto na sistemi linearni neravenki so edna nepoznata;
- crta grafik na linearna funkcija i odreduva presek na grafikot na linearnata funkcija so
koordinatnite oski;
- odreduva definiciona oblast i mno`estvo vrednosti na linearna funkcija;
- go koristi uslovot za paralelnost na dve pravi vo zada~i.
- Re{ava drobno-racionalni ravenki {to se sveduvaat na linearni ravenki;
- re{ava problemski zada~i {to se sveduvaat na re{avawe na linearni ravenki.
4
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna - osven za
obrazovniot profil veterinaren tehni~ar - {umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi - kozmeti~ki tehni~ar)
Programsko podra~je: Plo{tina na ramninski figuri
Nivo na znaewa i
sposobnosti
Standard
POMNEWE
- Razlikuva vidovi triagolnici / ~etiriagolnici;
- imenuva temiwa, strani i agli kaj triagolnik / ~etiriagolnik;
- gi imenuva ~etirite zna~ajni to~ki vo triagolnikot;
- pomni formuli za plo{tina na triagolnik / ~etiriagolnik;
- ja zapi{uva Heronovata formula;
- ja iska`uva teoremata za plo{tina na dva sli~ni triagolnici;
- go usvoi poimot za plo{tina na mnoguagolnik;
- razlikuva kru`nica od krug, kako i delovi na krug;
- poka`uva apotema (radius na vpi{ana kru`nica) i radius na opi{ana kru`nica;
- gi zapi{uva formulite za perimetar na kru`nica / plo{tina na krug i delovi na krug;
- naveduva koi merni edinici se koristat za plo{tina / perimetar.
RAZBIRAWE
- Skicira razni vidovi triagolnici / ~etiriagolnici;
- dava primer za sredna linija, te`i{na linija, visina, simetrala na agol i simetrala na strana na
triagolnik;
- objasnuva skladnost i sli~nost na triagolnici;
- gi iska`uva relaciite me|u aglite, stranite, stranite i aglite vo triagolnikot;
- dava primeri za primena na Pitagorovata teorema kaj triagolnik / ~etiriagolnik;
- objasnuva {to e karakteristi~en triagolnik kaj pravilen mnoguagolnik;
- objasnuva za odreduvaweto na plo{tina na mnoguagolnik;
- dava primeri na delovi od krug (grafi~ki pretstaveni).
PRIMENUVAWE
- Re{ava zada~i so primena na priznacite za skladnost i sli~nost na triagolnici;
- gi primenuva vo poednostavni slu~ai relaciite me|u elementite na triagolnikot;
- gi konstruira ~etirite zna~ajni to~ki vo triagolnikot;
- konstruira triagolnik zadaden so osnovnite elementi;
- re{ava zada~i za plo{tina na triagolnik, kvadrat, pravoagolnik, paralelogram, romb, trapez,
trapezoid, deltoid;
- primenuva Pitagorova teorema za nao|awe nepoznati elementi kaj triagolnik/~etiriagolnik;
- primenuva Heronova formula;
5
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet za zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna - osven za
obrazovniot profil veterinaren tehni~ar - {umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi - kozmeti~ki tehni~ar)
- re{ava zada~i so primena na karakteristi~en triagolnik, formuli za perimetar i plo{tina na
pravilen mnoguagolnik;
- re{ava zada~i so primena na formulite za perimetar na kru`nica, dol`ina na kru`en lak, plo{tina
na krug i delovi na krugot;
- primenuva trigonometriski funkcii za presmetuvawe na plo{tina.
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- Re{ava zada~i so primena na svojstvata i priznacite na paralelogram;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na plo{tina na pravoagolnik, kvadrat i romb;
- gi koristi svojstvata na trapez i deltoid pri re{avawe zada~i;
- konstruira paralelogram, trapez i deltoid so dadeni osnovni elementi;
- re{ava prakti~ni zada~i za plo{tina i perimetar na pravilen mnoguagolnik;
- re{ava problemi {to se sveduvaat na perimetar i plo{tina na krug i delovi na krug.
6
MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA
BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO
OBRAZOVNI STANDARDI
ZA PROVERUVAWE NA POSTIGAWATA NA U^ENICITE PO
MATEMATIKA
zadol`itelen predmet
I godina
Struki: zemjodelsko-veterinarna (za obrazovniot profil veterinaren tehni~ar)
Skopje, 2008 godina
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet zazemjodelsko-veterinarna struka - veterinaren
tehni~ar)
Programsko podra~je: Realni broevi
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Gi iska`uva definiciite za logi~kite operacii;
- go znae redosledot na logi~kite operacii;
- razlikuva prosti, slo`eni i zaemno prosti broevi;
- ja iska`uva definicijata za racionalen, iracionalen i realen broj;
- gi zapi{uva mno`estvata na prirodni, celi, racionalni, iracionalni i realni broevi;
- zapi{uva komutativen, asocijativen i distributiven zakon za operacii;
- ja iska`uva definicijata za apsolutna vrednost na realen broj.
- Objasnuva {to e iskaz, ilustrira so primeri;
- sostavuva tablica za ispituvawe na logi~ka vrednost na iskazna formula;
- razlo`uva broevi na prosti mno`iteli;
- objasnuva kako se odreduva NZS i NZD;
- sporeduva prirodni, celi i racionalni broevi;
- zapi{uva decimalen broj vo vid na dropka i obratno;
- pretstavuva i sporeduva realni broevi na brojna oska;
- objasnuva geometrisko pretstavuvawe na intervali;
- objasnuva pribli`ni vrednosti i zaokru`uvawa.
- Ispituva vistinitosna vrednost na slo`en iskaz;
- ispituva iskazni formuli so pomo{ na tablici;
- gi koristi operaciite so prirodnite broevi i zakonite kaj niv;
- odreduva NZS i NZD;
- izvr{uva operacii so celi broevi, dropki i decimalni broevi;
- koristi postapka za pretvorawe od beskone~en periodi~en decimalen broj vo dropka;
- konstruira iracionalni broevi, zapi{ani vo vid na kvadratni koreni i gi pretstavuva na brojna oska;
- vr{i smetkovni operacii so pribli`ni vrednosti.
- Proveruva dali dve iskazni formuli se logi~ki ekvivalentni;
- re{ava prakti~ni problemi od delivost na prirodnite broevi;
- re{ava zada~i so operacii od kombinirani broevi (celi, dropki, decimalni).
1
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet zazemjodelsko-veterinarna struka - veterinaren
tehni~ar)
Programsko podra~je: aLGEBARSKI RACIONALNI IZRAZI
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Poka`uva osnova i stepenov pokazatel;
- prepoznava glavna vrednost i koeficient na monom;
- razlikuva monom, binom, trinom, polinom;
- dava primer na stepen so stepenov pokazatel cel broj;
- razlikuva stepen na monom i polinom;
- zapi{uva formuli za skrateno mno`ewe;
- nabrojuva na~ini na razlo`uvawe na polinom na mno`iteli;
- razlikuva NZD i NZS na dva polinomi;
- dava primer na algebarska dropka.
- Odreduva stepen na daden monom ili polinom;
- objasnuva mno`ewe / delewe na monom so monom, polinom so monom i polinom so polinom;
- prepoznava koj monom / polinom e zaedni~ki delitel za pove}e polinomi koi {to se razlo`eni na
mno`iteli;
- odreduva mno`estvo na dopu{teni vrednosti na promenliva kaj algebarska dropka;
- gi objasnuva na~inite za razlo`uvawe na polinom na mno`iteli;
- dava primer za drobno-racionalen izraz.
- Mno`i, deli, stepenuva stepen;
- stepenuva proizvod i koli~nik;
- sveduva monom / polinom vo normalen vid;
- presmetuva vrednost na monom / polinom za dadeni vrednosti na promenlivite;
- razlo`uva polinomi na mno`iteli so izvlekuvawe na zaedni~ki mno`itel pred zagrada, formuli za
skrateno mno`ewe i grupirawe;
- odreduva NZS i NZD za dva i pove}e polinomi;
- re{ava zada~i so koristewe na operacii so polinomi;
- pro{iruva i skratuva algebarski dropki;
- gi izvr{uva operaciite so algebarski dropki.
- Re{ava zada~i so primena na razlo`uvawe na polinomi na mno`iteli;
- uprostuva drobno-racionalen izraz.
2
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet zazemjodelsko-veterinarna struka - veterinaren
tehni~ar)
Programsko podra~je: Proporcionalnost na veli~inite
Nivo na znaewa i
sposobnosti
Standard
POMNEWE
- Dava primeri na ednoimenuvani i pove}eimenuvani broevi;
- iska`uva definicii za razmer na dve veli~ini i za proporcija;
- go znae osnovnoto svojstvo na proporciite;
- ja iska`uva definicijata za prodol`ena proporcija;
- gi znae osnovnite edinici vo SI (za vreme, dol`ina, volumen i masa);
- zapi{uva procent / promil.
RAZBIRAWE
- Dava primeri na izvedeni edinici vo SI (za vreme, dol`ina, volumen i masa);
- zapi{uva razmer i proporcija;
- sostavuva izvedeni proporcii;
- prepoznava prava i obratna proporcionalnost;
- gi objasnuva poimite procent i promil;
- opi{uva pretvorawe racionalen broj vo procent / promil i obratno;
- gi objasnuva procentna / promilna smetka, delbena smetka, smetka na smesi, veri`na smetka i prosta
kamatna smetka.
PRIMENUVAWE
- Sobira i odzema ednoimenuvani i pove}eimenuvani broevi i mno`i imenuvan so neimenuvan broj;
- go primenuva osnovnoto svojstvo na proporciite;
- re{ava zada~i so prosto trojno pravilo;
- re{ava zada~i od procentna i promilna smetka;
- re{ava zada~i od delbena smetka, smetka na smesi i veri`na smetka;
- re{ava zada~i od prosta kamatna smetka.
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- Primenuva soodvetna smetka za re{avawe na prakti~ni zada~i;
- umee grafi~ki da pretstavuva (so dijagrami – liniski, povr{inski i stereogrami) i formira tabeli
(prosti i kombinirani) za da prika`e konkretni pojavi, sostojbi i procesi;
- ,,~ita” podatoci od grafik i/ili tabela.
3
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet zazemjodelsko-veterinarna struka - veterinaren
tehni~ar)
Programsko podra~je: Linearni ravenki i neravenki, linearna funkcija
Nivo na znaewa i
sposobnosti
Standard
POMNEWE
- Iska`uva definicija za linearna ravenka, re{enie na linearna ravenka;
- iska`uva definicija za ekvivalentni ravenki;
- iska`uva definicija za linearni neravenki, ekvivalentni neravenki;
- prepoznava zadadena linearna ravenka / neravenka;
- iska`uva definicija za linearna funkcija;
- pretstavuva to~ki vo pravoagolen koordinaten sistem.
RAZBIRAWE
- Odreduva mno`estvo na dopu{teni vrednosti na promenliva kaj linearni ravenki;
- proveruva dali dadena vrednost e re{enie na linearna ravenka;
- prepoznava ekvivalentni linearni ravenki / neravenki;
- dava primer za linearna ravenka / neravenka;
- odreduva koeficient na pravec;
- tolkuva rastewe/opa|awe na dadena linearna funkcija;
- prepoznava analiti~ki/ grafi~ki zadadena linearna funkcija;
- sostavuva tablica na vrednosti na linearna funkcija.
PRIMENUVAWE
- Re{ava linearna ravenka / neravenka so koristewe na ekvivalentni transformacii i re{enieto na
neravenkata go pretstavuva geometriski;
- re{ava i grafi~ki go interpretira re{enieto na sistemi linearni neravenki so edna nepoznata;
- crta grafik na linearna funkcija i odreduva presek na grafikot na linearnata funkcija so
koordinatnite oski;
- odreduva definiciona oblast i mno`estvo vrednosti na linearna funkcija;
- go koristi uslovot za paralelnost na dve pravi vo zada~i.
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- Re{ava drobno-racionalni ravenki {to se sveduvaat na linearni ravenki;
- re{ava problemski zada~i {to se sveduvaat na re{avawe na linearni ravenki.
4
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet zazemjodelsko-veterinarna struka - veterinaren
tehni~ar)
Programsko podra~je: Plo{tina na ramninski figuri
Nivo na znaewa i
sposobnosti
Standard
POMNEWE
- Razlikuva vidovi triagolnici / ~etiriagolnici;
- imenuva temiwa, strani i agli kaj triagolnik / ~etiriagolnik;
- gi imenuva ~etirite zna~ajni to~ki vo triagolnikot;
- pomni formuli za plo{tina na triagolnik / ~etiriagolnik;
- ja zapi{uva Heronovata formula;
- ja iska`uva teoremata za plo{tina na dva sli~ni triagolnici;
- go usvoi poimot za plo{tina na mnoguagolnik;
- razlikuva kru`nica od krug, kako i delovi na krug;
- poka`uva apotema (radius na vpi{ana kru`nica) i radius na opi{ana kru`nica;
- gi zapi{uva formulite za perimetar na kru`nica / plo{tina na krug i delovi na krug;
- naveduva koi merni edinici se koristat za plo{tina / perimetar.
RAZBIRAWE
- Skicira razni vidovi triagolnici / ~etiriagolnici;
- dava primer za sredna linija, te`i{na linija, visina, simetrala na agol i simetrala na strana na
triagolnik;
- objasnuva skladnost i sli~nost na triagolnici;
- gi iska`uva relaciite me|u aglite, stranite, stranite i aglite vo triagolnikot;
- dava primeri za primena na Pitagorovata teorema kaj triagolnik / ~etiriagolnik;
- objasnuva {to e karakteristi~en triagolnik kaj pravilen mnoguagolnik;
- objasnuva za odreduvaweto na plo{tina na mnoguagolnik;
- dava primeri na delovi od krug (grafi~ki pretstaveni).
PRIMENUVAWE
- Re{ava zada~i so primena na priznacite za skladnost i sli~nost na triagolnici;
- gi primenuva vo poednostavni slu~ai relaciite me|u elementite na triagolnikot;
- gi konstruira ~etirite zna~ajni to~ki vo triagolnikot;
- konstruira triagolnik zadaden so osnovnite elementi;
- re{ava zada~i za plo{tina na triagolnik , kvadrat, pravoagolnik, paralelogram, romb, trapez,
trapezoid, deltoid;
- primenuva Pitagorova teorema za nao|awe nepoznati elementi kaj triagolnik/~etiriagolnik;
- primenuva Heronova formula;
5
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (zadol`itelen predmet zazemjodelsko-veterinarna struka - veterinaren
tehni~ar)
- re{ava zada~i so primena na karakteristi~en triagolnik, formuli za perimetar i plo{tina na
pravilen mnoguagolnik;
- re{ava zada~i so primena na formulite za perimetar na kru`nica, dol`ina na kru`en lak, plo{tina
na krug i delovi na krugot;
- primenuva trigonometriski funkcii za presmetuvawe na plo{tina.
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- Re{ava zada~i so primena na svojstvata i priznacite na paralelogram;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na plo{tina na pravoagolnik, kvadrat i romb;
- gi koristi svojstvata na trapez i deltoid pri re{avawe zada~i;
- konstruira paralelogram, trapez i deltoid so dadeni osnovni elementi;
- re{ava prakti~ni zada~i za plo{tina i perimetar na pravilen mnoguagolnik;
- re{ava problemi {to se sveduvaat na perimetar i plo{tina na krug i delovi na krug.
6
MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA
BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO
OBRAZOVNI STANDARDI
ZA PROVERUVAWE NA POSTIGAWATA NA U^ENICITE PO
MATEMATIKA
zadol`itelen predmet
II godina
Struki:
ekonomsko-pravna i trgovska, tekstilno-ko`arska,
ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka struka
Skopje, 2008 godina
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (ekonomsko-pravna i trgovska, tekstilnoko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka stuka)
Programsko podra~je: SISTEMI LINEARNI RAVENKI
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Ja iska`uva definicijata za sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati;
- ja iska`uva definicijata za ekvivalentni sistemi ravenki;
- nabrojuva metodi za re{avawe sistemi od dve linearni ravenki so dve nepoznati;
- dava primer na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati;
- poka`uva koi broevi se koeficienti kaj op{tiot oblik na sistem od dve linearni ravenki so dve
nepoznati.
- Go objasnuva poimot za re{enie na ravenka so dve nepoznati;
- ja odreduva prirodata i brojot na re{enijata na linearna ravenka so dve nepoznati so konstantni
koeficienti;
- go odreduva brojot na re{enija na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati so sporeduvawe na
koeficientite;
- objasnuva deka linearna ravenka so dve nepoznati ima beskone~no mnogu re{enija;
- gi objasnuva metodite za re{avawe na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati;
- proveruva dali dadeni vrednosti na promenlivite se re{enija na daden sistem.
- Transformira sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati vo op{t vid;
- re{ava sistemi od dve linearni ravenki so dve nepoznati ( so zamena, sprotivni koeficienti i grafi~ki);
- sostavuva sistemi od dve linearni ravenki so dve nepoznati;
- upotrebuva pravi za geometrisko pretstavuvawe na brojot na re{enijata na daden sistem od dve
linearni ravenki so dve nepoznati.
- Re{ava prakti~ni problemi {to se sveduvaat na re{avawe sistemi ravenki so dve nepoznati;
- diskutira za re{enijata na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati vo zavisnost od
parametar;
- osmisluva re{avawe na sistemi od povisok red so primena na re{avaweto na sistem od dve linearni
ravenki so dve nepoznati.
1
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (ekonomsko-pravna i trgovska, tekstilnoko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka stuka)
Programsko podra~je: KOMPLEKSNI BROEVI
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za imaginarna edinica i kompleksen broj;
- gi zapomnuva vrednostite na stepenite na imaginarnata edinica;
- identifikuva realen i imaginaren del na kompleksen broj;
- iska`uva definicija za ednakvost na kompleksni broevi;
- prepoznava konjugirano kompleksni broevi;
- dava primer na kompleksen broj i negov sprotiven broj ;
- iska`uva definicija za modul na kompleksen broj.
- Zapi{uva kompleksen broj pri dadeni imaginaren i realen del;
- objasnuva deka vrednosta na stepenot na imaginarnata edinica se sveduva na vrednostite: -1, 1, -i i i;
- opi{uva odreduvawe na modul na kompleksen broj.
- Odreduva vrednost na stepen na imaginarna edinica;
- re{ava zada~i so koristewe na definicijata za ednakvost na kompleksni broevi;
- presmetuva zbir, razlika, proizvod i koli~nik na kompleksni broevi;
- odreduva modul na kompleksen broj;
- stepenuva kompleksen broj .
- Re{ava zada~i so kombinirani operacii (zbir, razlika, proizvod, koli~nik i stepen) na kompleksni broevi;
- re{ava zada~i so primena na ravenstva i neravenstva, koristej}i svojstva na modul na kompleksen broj.
2
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (ekonomsko-pravna i trgovska, tekstilnoko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka stuka)
Programsko podra~je: KVADRATNI RAVENKI
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Gi iska`uva definiciite za kvadratna ravenka i re{enie na kvadratna ravenka;
- prepoznava polna i nepolna kvadratna ravenka i dava primeri;
- prepoznava koeficienti kaj dadena kvadratna ravenka;
- ja zapi{uva formulata za re{enija na kvadratna ravenka i ja imenuva diskriminantata D;
- zapomnuva za koja vrednost na diskriminantata D ravenkata ima realni re{enija;
- gi iska`uva Vietovite formuli;
- zapi{uva formula za razlo`uvawe na kvadraten trinom na linearni mno`iteli.
- Objasnuva kako se re{avaat nepolni kvadratni ravenki;
- dava primeri na kvadratni ravenki so razli~ni znaci na koeficientite;
- proveruva dali dadeni vrednosti na promenlivata se re{enija na dadena kvadratna ravenka;
- ja objasnuva primenata na Vietovite formuli;
- ja opi{uva primenata na formulata za razlo`uvawe na kvadraten trinom na linearni
mno`iteli;
- ja objasnuva prirodata na re{enijata vo zavisnost od diskriminantata D.
- Transformira ravenka vo op{t oblik;
- re{ava nepolni kvadratni ravenki (vo R);
- re{ava kvadratni ravenki (vo R) so primena na formulata za koreni na kvadratna ravenka;
- ja koristi diskriminantata za odreduvawe prirodata na korenite na kvadratna ravenka;
- gi primenuva Vietovite vrski pri re{avawe zada~i (odreduvawe na vrednost na izraz zavisen
od re{enijata na kvadratna ravenka, bez da se re{ava istata, sostavuvawe na kvadratna ravenka
ako se dadeni nejzinite re{enija, odreduvawe na nepoznat parametar vo dadena kvadratna
ravenka ako me|u re{enijata e dadena relacija);
- transformira kvadraten trinom vo proizvod.
- Re{ava drobno-racionalni ravenki {to se sveduvaat na kvadratni so i bez parametar;
- re{ava prakti~ni problemi {to se sveduvaat na re{avawe kvadratni ravenki;
- izveduva formula za odreduvawe re{enija na kvadratna ravenka;
- diskutira za prirodata, znakot i brojot na re{enija na dadena kvadratna ravenka vo zavisnost
od parametar.
3
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (ekonomsko-pravna i trgovska, tekstilnoko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka stuka)
Programsko podra~je: KVADRATNA FUNKCIJA. KVADRATNA NERAVENKA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za kvadratna funkcija;
- prepoznava analiti~ki/grafi~ki/tabelarno zadadena kvadratna funkcija;
- dava primer za kvadratna funkcija;
- zapi{uva kanoni~en vid na kvadratna funkcija;
- zapomnuva formuli za koordinati na teme na parabola;
- iska`uva definicija za kvadratna neravenka;
- dava primer za kvadratna neravenka.
- Prepoznava grafik na funkciite: y = ax2, y = ax2 + c, y = ax2 + bx + c;
- proveruva dali dadeni to~ki pripa|aat na grafik na dadena kvadratna funkcija;
- sostavuva tablica na vrednosti na kvadratna funkcija;
- dava primer na parabola svrtena nagore/nadolu vo zavisnost od znakot na koeficientot pred
kvadratniot ~len;
- objasnuva kako parabolata y = ax2 + c, y = a(x-α)2 , y = a(x-α)2 + β se dobiva so translacija na parabolata y
= ax2 ;
- prepoznava znak na kvadratna funkcija od nejziniot grafik;
- povrzuva znak na kvadratna funkcija so kvadratna neravenka.
- Crta grafik na funkcijata y = ax2, y = ax2 + c;
- ja transformira funkcijata y = ax2 + bx + c vo kanoni~en oblik;
- crta grafik na funkcijata y = a(x-α)2 + β;
- skicira grafik na kvadratna funkcija so pomo{ na karakteristi~ni to~ki (nuli, teme i presek so uoska);
- odreduva znak na kvadratna funkcija;
- re{ava kvadratni neravenki.
- Ispituva tek i crta grafik na kvadratna funkcija;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na ekstremni vrednosti na kvadratna funkcija;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na kvadratna neravenka.
4
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (ekonomsko-pravna i trgovska, tekstilnoko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka stuka)
Programsko podra~je: PLO[TINA I VOLUMEN NA GEOMETRISKI TELA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva koi geometriski tela se rabesti/val~esti;
- dava primeri na geometriski tela od okolinata;
- imenuva temiwa, rabovi i yidovi kaj geometriski tela;
- nabrojuva preseci na geometrisko telo so ramnina Σ;
- zapi{uva op{ti formuli za plo{tina i volumen na tela;
- pomni formuli za presmetuvawe na plo{tina i perimetar na ramninski figuri;
- ja iska`uva Pitagorova teorema;
- naveduva koi merni edinici se koristat za plo{tina/perimetar/volumen.
- Gi skicira geometriskite tela;
- prepoznava mre`a na geometrisko telo;
- objasnuva paralelen presek, dijagonalen presek i oskin presek na prizma so ramnina;
- objasnuva paralelen presek i oskin presek na piramida so ramnina;
- objasnuva paralelen presek, nadol`en presek i oskin presek na cilindar so ramnina;
- objasnuva paralelen presek i oskin presek na konus so ramnina;
- povrzuva formuli za presmetuvawe na plo{tini na ramninski figuri so formuli za presmetuvawe
plo{tina i volumen na geometriski tela;
- objasnuva kade mo`e da se primenuva Pitagorova teorema.
- Izrabotuva model na geometrisko telo;
- primenuva Pitagorova teorema za nao|awe nepoznati elementi;
- presmetuva plo{tina i volumen na prizma, piramida i potse~ena piramida;
- presmetuva plo{tina i volumen na cilindar, konus i potse~en konus;
- primenuva formuli od planimetrija i stereometrija za nao|awe nepoznati elementi.
- Izveduva formuli za plo{tina i volumen na geometriskite tela;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na plo{tina i volumen na tela;
- kombinira geometriski tela i presmetuva plo{tina i volumen.
5
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (ekonomsko-pravna i trgovska, tekstilnoko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka stuka)
Programsko podra~je: KOMBINATORIKA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicii za permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe;
- zapi{uva formuli za brojot na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe;
- zapomnuva deka 0!= 1, n!= n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ;
- gi zapi{uva kombinaciite bez povtoruvawe so binomni koeficienti;
- ja zapi{uva binomnata formula;
- zapi{uva formula za op{t ~len od razvojot na binomot (a + b) n .
- Dava primeri za permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe;
- pravi razlika me|u permutacii, varijacii i kombinacii;
- razlikuva permutacii, varijacii i kombinacii bez povtoruvawe od varijacii i kombinacii so povtoruvawe;
- go opi{uva Paskaloviot triagolnik;
- odreduva koj ~len/ovi e/se sreden/sredni ~lenovi od razvojot na binomot;
- razlikuva reden broj na permutacija.
- Presmetuva broj na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe direktno so formula;
- presmetuva broj na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe;
preku prebrojuvawe;
- odreduva reden broj na permutacija;
- razviva binom so koristewe na binomnata formula;
- odreduva ~len od razvojot na binomot so dadeni karakteristiki.
- logi~ki izvlekuva zaklu~ok za brojot na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe;
- re{ava zada~i vo vrska so relacii me|u brojot na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe;
- re{ava zada~i so koristewe na binomnata formula.
6
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (ekonomsko-pravna i trgovska, tekstilnoko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka stuka)
Programsko podra~je: VEROJATNOST I STATISTIKA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
Standard
- Dava primer na eksperiment i nastan vo vrska so eksperimentot;
- razlikuva povolen broj od mo`en broj na nastani;
- ja iska`uva klasi~nata definicija na verojatnost;
- gi iska`uva osnovnite svojstva za verojatnost;
- iska`uva definicijata za uslovna verojatnost;
- go iska`uva poimot za statistika;
- iska`uva definicija za apsolutna / relativna frekvencija;
- pomni {to e medijana, moda i rang;
- zapi{uva formula za aritmeti~ka sredina, disperzija i standardna devijacija;
- naveduva na~ini na prika`uvawe na statisti~kite podatoci.
- Objasnuva za mno`estvo na elementarni nastani pri daden eksperiment;
- go objasnuva poimot slu~aen nastan;
- povrzuva operacii so mno`estva i operacii so nastani;
- dava primeri za zbir, proizvod i razlika na nastani;
- dava primer za uslovna verojatnost;
- gi objasnuva poimite za zavisen i nezavisen nastan;
- go objasnuva predmetot na prou~uvawe na statistikata;
- objasnuva {to e populacija, obele`je i primerok;
- ja opi{uva postapkata ,,elementarna statisti~ka obrabotka na podatoci”;
- objasnuva {to e aritmeti~kata sredina, medijana i moda;
- razlikuva sredna vrednost od disperzija ili standardna devijacija.
- Ja primenuva klasi~nata definicija na verojatnost na konkretni zada~i;
- koristi sprotiven nastan pri odreduvawe na verojatnost;
- gi koristi svojstvata na verojatnost pri re{avawe na konkretni zada~i;
- odreduva uslovna verojatnost;
- re{ava zada~i so nezavisni nastani;
- koristi elementarna statisti~ka obrabotka na podatoci;
- upotrebuva apsolutna / relativna frekvencija vo elementarna statisti~ka obrabotka;
- presmetuva aritmeti~ka sredina;
- odreduva medijana i moda;
- presmetuva rang, disperzija, standardna devijacija.
7
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (ekonomsko-pravna i trgovska, tekstilnoko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i grafi~ka stuka)
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- Gi pretstavuva statisti~kite podatoci so tabeli, poligoni i histogrami;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na statistika.
8
MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA
BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO
OBRAZOVNI STANDARDI
ZA PROVERUVAWE NA POSTIGAWATA NA U^ENICITE PO
MATEMATIKA
zadol`itelen predmet
II godina
Struki: elektrotehni~ka, ma{inska, grade`no-geodetska, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka,
geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi (o~na optika)
Skopje, 2008 godina
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (elektrotehni~ka, ma{inska, grade`nogeodetska, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi (o~na optika)
Programsko podra~je: SISTEMI LINEARNI RAVENKI
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Ja iska`uva definicijata za sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati;
- ja iska`uva definicijata za ekvivalentni sistemi ravenki;
- nabrojuva metodi za re{avawe sistemi od dve linearni ravenki so dve nepoznati;
- dava primer na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati;
- poka`uva koi broevi se koeficienti kaj op{tiot oblik na sistem od dve linearni ravenki so dve
nepoznati.
- Go objasnuva poimot za re{enie na ravenka so dve nepoznati;
- ja odreduva prirodata i brojot na re{enijata na linearna ravenka so dve nepoznati so konstantni
koeficienti;
- go odreduva brojot na re{enija na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati so sporeduvawe na
koeficientite;
- objasnuva deka linearna ravenka so dve nepoznati ima beskone~no mnogu re{enija;
- gi objasnuva metodite za re{avawe na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati;
- proveruva dali dadeni vrednosti na promenlivite se re{enija na daden sistem.
- Transformira sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati vo op{t vid;
- re{ava sistemi od dve linearni ravenki so dve nepoznati ( so zamena, sprotivni koeficienti i grafi~ki);
- sostavuva sistemi od dve linearni ravenki so dve nepoznati;
- upotrebuva pravi za geometrisko pretstavuvawe na brojot na re{enijata na daden sistem od dve
linearni ravenki so dve nepoznati.
- re{ava prakti~ni problemi {to se sveduvaat na re{avawe sistemi ravenki so dve nepoznati;
- diskutira za re{enijata na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati vo zavisnost od
parametar;
- osmisluva re{avawe na sistemi od povisok red so primena na re{avaweto na sistem od dve linearni
ravenki so dve nepoznati.
1
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (elektrotehni~ka, ma{inska, grade`nogeodetska, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi (o~na optika)
Programsko podra~je: KORENUVAWE
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Go usvojuva poimot za koren;
- ja iska`uva definicijata za n-ti koren od realen broj;
- dava primer za koren {to ima/nema vrednost realen broj;
- ja iska`uva definicijata za stepen so pokazatel racionalen broj;
- prepoznava sli~ni koreni.
- Objasnuva pro{iruvawe i skratuvawe na koreni;
- objasnuva stepenuvawe i korenuvawe na koren;
- objasnuva zo{to nekoj koren ne e vo normalen vid;
- gi opi{uva postapkite na izvlekuvawe na mno`itel pred koren i vnesuvawe na mno`itel vo koren.
- Transformira stepen so pokazatel racionalen vo koren i obratno;
- primenuva pro{iruvawe i skratuvawe na koreni;
- korenuva proizvod i koli~nik;
- transformira koren vo normalen vid;
- sobira, odzema, mno`i, deli, stepenuva i korenuva koreni;
- racionalizira imenitel na dropka od vidot: n a m , a ± b , a b ± c d .
- Re{ava zada~i od koreni so primena na operaciite;
- odreduva dopu{teni vrednosti na promenliva vo iracionalen izraz;
- izvr{uva operacii so iracionalni izrazi;
- uprostuva poslo`eni iracionalni izrazi;
- doka`uva identiteti so iracionalni izrazi.
Programsko podra~je: KOMPLEKSNI BROEVI
2
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (elektrotehni~ka, ma{inska, grade`nogeodetska, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi (o~na optika)
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za imaginarna edinica i kompleksen broj;
- gi zapomnuva vrednostite na stepenite na imaginarnata edinica;
- identifikuva realen i imaginaren del na kompleksen broj;
- iska`uva definicija za ednakvost na kompleksni broevi;
- prepoznava konjugirano kompleksni broevi;
- dava primer na kompleksen broj i negov sprotiven broj;
- iska`uva definicija za modul na kompleksen broj.
- Zapi{uva kompleksen broj vo algebarska forma i kako podreden par od realni broevi;
- go odreduva imaginarniot i realniot del na kompleksen broj pretstaven so to~ka vo kompleksna ramnina;
- objasnuva deka vrednosta na stepenot na imaginarnata edinica se sveduva na vrednostite: -1, 1, - i i i;
- ja voo~uva polo`bata na sprotivnite i konjugiranite kompleksni broevi vo kompleksnata ramnina;
- pretstavuva kompleksen broj so vektor;
- ja voo~uva vrskata me|u vektorskoto pretstavuvawe na kompleksen broj i negoviot modul.
- Odreduva vrednost na stepen na imaginarna edinica;
- re{ava zada~i so koristewe na definicijata za ednakvost na kompleksni broevi;
- presmetuva zbir, razlika, proizvod i koli~nik na kompleksni broevi;
- odreduva modul na kompleksen broj;
- stepenuva kompleksen broj ;
- sobira i odzema kompleksni broevi pretstaveni so vektori.
- Re{ava zada~i so kombinirani operacii (zbir, razlika, proizvod, koli~nik i stepen) na kompleksni broevi;
- re{ava zada~i so primena na ravenstva i neravenstva, koristej}i svojstva na modul na kompleksen broj;
- doka`uva ravenstva i neravenstva so kompleksni broevi.
3
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (elektrotehni~ka, ma{inska, grade`nogeodetska, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi (o~na optika)
Programsko podra~je: KVADRATNI RAVENKI
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Gi iska`uva definiciite za kvadratna ravenka i re{enie na kvadratna ravenka;
- prepoznava polna i nepolna kvadratna ravenka i dava primeri;
- prepoznava koeficienti kaj dadena kvadratna ravenka;
- ja zapi{uva formulata za re{enija na kvadratna ravenka i ja imenuva diskriminantata D;
- zapomnuva za koja vrednost na diskriminantata D ravenkata ima realni re{enija;
- gi iska`uva Vietovite formuli;
- zapi{uva formula za razlo`uvawe na kvadraten trinom na linearni mno`iteli.
- Objasnuva kako se re{avaat nepolni kvadratni ravenki;
- dava primeri na kvadratni ravenki so razli~ni znaci na koeficientite;
- proveruva dali dadeni vrednosti na promenlivata se re{enija na dadena kvadratna ravenka;
- ja objasnuva primenata na Vietovite formuli;
- ja opi{uva primenata na formulata za razlo`uvawe na kvadraten trinom na linearni mno`iteli;
- ja objasnuva prirodata na re{enijata vo zavisnost od diskriminantata D.
- Transformira ravenka vo op{t oblik;
- re{ava nepolni kvadratni ravenki (vo R);
- re{ava kvadratni ravenki (vo R) so primena na formulata za koreni na kvadratna ravenka;
- ja koristi diskriminantata za odreduvawe prirodata na korenite na kvadratna ravenka;
- gi primenuva Vietovite vrski pri re{avawe zada~i (odreduvawe na vrednost na izraz zavisen od
re{enijata na kvadratna ravenka, bez da se re{ava istata, sostavuvawe na kvadratna ravenka ako se
dadeni nejzinite re{enija, odreduvawe na nepoznat parametar vo dadena kvadratna ravenka ako me|u
re{enijata e dadena relacija);
- transformira kvadraten trinom vo proizvod.
- Re{ava drobno-racionalni ravenki {to se sveduvaat na kvadratni so i bez parametar;
- re{ava prakti~ni problemi {to se sveduvaat na re{avawe kvadratni ravenki;
- izveduva formula za odreduvawe re{enija na kvadratna ravenka;
- diskutira za prirodata, znakot i brojot na re{enija na dadena kvadratna ravenka vo zavisnost od
parametar.
4
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (elektrotehni~ka, ma{inska, grade`nogeodetska, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi (o~na optika)
Programsko podra~je: KVADRATNA FUNKCIJA. KVADRATNA NERAVENKA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za kvadratna funkcija;
- prepoznava analiti~ki/grafi~ki/tabelarno zadadena kvadratna funkcija;
- dava primer za kvadratna funkcija;
- zapi{uva kanoni~en vid na kvadratna funkcija;
- zapomnuva formuli za koordinati na teme na parabola;
- iska`uva definicija za kvadratna neravenka;
- dava primer za kvadratna neravenka.
- Prepoznava grafik na funkciite: y = ax2, y = ax2 + c, y = ax2 + bx + c;
- proveruva dali dadeni to~ki pripa|aat na grafik na dadena kvadratna funkcija;
- sostavuva tablica na vrednosti na kvadratna funkcija;
- dava primer na parabola svrtena nagore/nadolu vo zavisnost od znakot na koeficientot pred
kvadratniot ~len;
- objasnuva kako parabolata y = ax2 + c, y = a(x-α)2 , y = a(x-α)2 + β se dobiva so translacija na parabolata y
= ax2 ;
- prepoznava znak na kvadratna funkcija od nejziniot grafik;
- povrzuva znak na kvadratna funkcija so kvadratna neravenka.
- Crta grafik na funkcijata y = ax2, y = ax2 + c;
- ja transformira funkcijata y = ax2 + bx + c vo kanoni~en oblik;
- crta grafik na funkcijata y = a(x-α)2 + β;
- skicira grafik na kvadratna funkcija so pomo{ na karakteristi~ni to~ki (nuli, teme i presek so uoska) ;
- odreduva znak na kvadratna funkcija;
- re{ava kvadratni neravenki.
- Ispituva tek i crta grafik na kvadratna funkcija;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na ekstremni vrednosti na kvadratna funkcija;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na kvadratna neravenka.
5
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (elektrotehni~ka, ma{inska, grade`nogeodetska, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi (o~na optika)
Programsko podra~je: PLO[TINA I VOLUMEN NA GEOMETRISKI TELA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva koi geometriski tela se rabesti/val~esti;
- dava primeri na geometriski tela od okolinata;
- imenuva temiwa, rabovi i yidovi kaj geometriski tela;
- nabrojuva preseci na geometrisko telo so ramnina Σ;
- zapi{uva op{ti formuli za plo{tina i volumen na tela;
- pomni formuli za presmetuvawe na plo{tina i perimetar na ramninski figuri;
- ja iska`uva Pitagorova teorema;
- naveduva koi merni edinici se koristat za plo{tina/perimetar/volumen.
- gi skicira geometriskite tela;
- prepoznava mre`a na geometrisko telo;
- objasnuva paralelen presek, dijagonalen presek i oskin presek na prizma so ramnina;
- objasnuva paralelen presek i oskin presek na piramida so ramnina;
- objasnuva paralelen presek, nadol`en presek i oskin presek na cilindar so ramnina;
- objasnuva paralelen presek i oskin presek na konus so ramnina;
- povrzuva formuli za presmetuvawe na plo{tini na ramninski figuri so formuli za presmetuvawe
plo{tina i volumen na geometriski tela;
- objasnuva kade mo`e da se primenuva Pitagorova teorema.
- izrabotuva model na geometrisko telo;
- primenuva Pitagorova teorema za nao|awe nepoznati elementi;
- presmetuva plo{tina i volumen na prizma, piramida i potse~ena piramida;
- presmetuva plo{tina i volumen na cilindar, konus i potse~en konus;
- primenuva formuli od planimetrija i stereometrija za nao|awe nepoznati elementi.
- izveduva formuli za plo{tina i volumen na geometriskite tela;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na plo{tina i volumen na tela;
- kombinira geometriski tela i presmetuva plo{tina i volumen.
6
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (elektrotehni~ka, ma{inska, grade`nogeodetska, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi (o~na optika)
Programsko podra~je: RE[AVAWE KOSOAGOLEN TRIAGOLNIK
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Ja iska`uva definicijata za trigonometriskite funkcii od ostar agol / proizvolen agol (od 0o do
360o);
- go odreduva znakot na trigonometriskite funkcii vo kvadranti;
- iska`uva osnovni trigonometriski identiteti od ist agol;
- ja zapi{uva sinusnata teorema;
- ja zapi{uva kosinusnata teorema;
- razlikuva ostroagolen od tapoagolen triagolnik.
- Opi{uva odreduvawe na ostanatite trigonometriski funkcii ako e poznata edna od niv;
- objasnuva koristewe na osnovnite trigonometriski identiteti;
- opi{uva koristewe kalkulator za odreduvawe na vrednostite na trigonometriskite funkcii;
- objasnuva re{avawe na pravoagolen triagolnik;
- prepoznava koristewe na sinusna / kosinusna teorema vo zada~i;
- dava primeri za primena na sinusna / kosinusna teorema.
- Izrazuva trigonometriski funkcii od tap agol so trigonometriski funkcii od ostar agol;
- primenuva osnovni trigonometriski identiteti za odreduvawe na ostanatite; trigonometriski
funkcii ako e poznata edna od niv;
- transformira trigonometriski izrazi so koristewe na osnovnite trigonometriski identiteti;
- re{ava pravoagolen/kosoagolen triagolnik.
- Re{ava prakti~ni zada~i so primena na trigonometriskite funkcii;
- izveduva sinusna / kosinusna teorema;
- izveduva razni formuli za odreduvawe plo{tina na triagolnik i ~etiriagolnik;
- procenuva primena na re{avaweto na pravoagolen/kosoagolen triagolnik.
7
MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA
BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO
OBRAZOVNI STANDARDI
ZA PROVERUVAWE NA POSTIGAWATA NA U^ENICITE PO
MATEMATIKA
zadol`itelen predmet
II godina
Struki:
zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna, {umarsko-drvoprerabotuva~ka
i li~ni uslugi (profil: kozmeti~ki tehni~ar)
Skopje, 2008 godina
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna,
{umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi (profil: kozmeti~ki tehni~ar)
Programsko podra~je: SISTEMI LINEARNI RAVENKI
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Ja iska`uva definicijata za sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati;
- ja iska`uva definicijata za ekvivalentni sistemi ravenki;
- nabrojuva metodi za re{avawe sistemi od dve linearni ravenki so dve nepoznati;
- dava primer na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati;
- poka`uva koi broevi se koeficienti kaj op{tiot oblik na sistem od dve linearni ravenki so dve
nepoznati.
- Go objasnuva poimot za re{enie na ravenka so dve nepoznati;
- ja odreduva prirodata i brojot na re{enijata na linearna ravenka so dve nepoznati so konstantni
koeficienti;
- go odreduva brojot na re{enija na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati so sporeduvawe na
koeficientite;
- objasnuva deka linearna ravenka so dve nepoznati ima beskone~no mnogu re{enija;
- gi objasnuva metodite za re{avawe na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati;
- proveruva dali dadeni vrednosti na promenlivite se re{enija na daden sistem.
- Transformira sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati vo op{t vid;
- re{ava sistemi od dve linearni ravenki so dve nepoznati (so zamena, sprotivni koeficienti; i grafi~ki);
- sostavuva sistemi od dve linearni ravenki so dve nepoznati;
- upotrebuva pravi za geometrisko pretstavuvawe na brojot na re{enijata na daden sistem od dve
linearni ravenki so dve nepoznati.
- Re{ava prakti~ni problemi {to se sveduvaat na re{avawe sistemi ravenki so dve nepoznati;
- diskutira za re{enijata na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati vo zavisnost od
parametar;
- osmisluva re{avawe na sistemi od povisok red so primena na re{avaweto na sistem od dve linearni
ravenki so dve nepoznati.
1
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna,
{umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi (profil: kozmeti~ki tehni~ar)
Programsko podra~je: KVADRATNI RAVENKI
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Gi iska`uva definiciite za kvadratna ravenka i re{enie na kvadratna ravenka;
- prepoznava polna i nepolna kvadratna ravenka i dava primeri;
- prepoznava koeficienti kaj dadena kvadratna ravenka;
- ja zapi{uva formulata za re{enija na kvadratna ravenka i ja imenuva diskriminantata D;
- zapomnuva za koja vrednost na diskriminantata D ravenkata ima realni re{enija;
- gi iska`uva Vietovite formuli;
- zapi{uva formula za razlo`uvawe na kvadraten trinom na linearni mno`iteli.
- Objasnuva kako se re{avaat nepolni kvadratni ravenki;
- dava primeri na kvadratni ravenki so razli~ni znaci na koeficientite;
- proveruva dali dadeni vrednosti na promenlivata se re{enija na dadena kvadratna ravenka;
- ja objasnuva primenata na Vietovite formuli;
- ja opi{uva primenata na formulata za razlo`uvawe na kvadraten trinom na linearni mno`iteli;
- ja objasnuva prirodata na re{enijata vo zavisnost od diskriminantata D.
-Transformira ravenka vo op{t oblik;
- re{ava nepolni kvadratni ravenki (vo R);
- re{ava kvadratni ravenki (vo R) so primena na formulata za koreni na kvadratna ravenka;
- ja koristi diskriminantata za odreduvawe prirodata na korenite na kvadratna ravenka;
- gi primenuva Vietovite vrski pri re{avawe zada~i (odreduvawe na vrednost na izraz zavisen od
re{enijata na kvadratna ravenka, bez da se re{ava istata, sostavuvawe na kvadratna ravenka ako se
dadeni nejzinite re{enija, odreduvawe na nepoznat parametar vo dadena kvadratna ravenka ako me|u
re{enijata e dadena relacija);
- transformira kvadraten trinom vo proizvod.
- Re{ava drobno-racionalni ravenki {to se sveduvaat na kvadratni so i bez parametar;
- re{ava prakti~ni problemi {to se sveduvaat na re{avawe kvadratni ravenki;
- izveduva formula za odreduvawe re{enija na kvadratna ravenka;
- diskutira za prirodata, znakot i brojot na re{enija na dadena kvadratna ravenka vo zavisnost od
parametar.
2
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna,
{umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi (profil: kozmeti~ki tehni~ar)
Programsko podra~je: KVADRATNA FUNKCIJA. KVADRATNA NERAVENKA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za kvadratna funkcija;
- prepoznava analiti~ki/grafi~ki/tabelarno zadadena kvadratna funkcija;
- dava primer za kvadratna funkcija;
- zapi{uva kanoni~en vid na kvadratna funkcija;
- zapomnuva formuli za koordinati na teme na parabola;
- iska`uva definicija za kvadratna neravenka;
- dava primer za kvadratna neravenka.
- Prepoznava grafik na funkciite: y = ax2, y = ax2 + c, y = ax2 + bx + c;
- proveruva dali dadeni to~ki pripa|aat na grafik na dadena kvadratna funkcija;
- sostavuva tablica na vrednosti na kvadratna funkcija;
- dava primer na parabola svrtena nagore/nadolu vo zavisnost od znakot na koeficientot pred
kvadratniot ~len;
- objasnuva kako parabolata y = ax2 + c, y = a(x-α)2 , y = a(x-α)2 + β se dobiva so translacija na parabolata y
= ax2 ;
- prepoznava znak na kvadratna funkcija od nejziniot grafik;
- povrzuva znak na kvadratna funkcija so kvadratna neravenka.
- Crta grafik na funkcijata y = ax2, y = ax2 + c;
- ja transformira funkcijata y = ax2 + bx + c vo kanoni~en oblik;
- crta grafik na funkcijata y = a(x-α)2 + β;
- skicira grafik na kvadratna funkcija so pomo{ na karakteristi~ni to~ki (nuli, teme i presek so uoska);
- odreduva znak na kvadratna funkcija;
- re{ava kvadratni neravenki.
- Ispituva tek i crta grafik na kvadratna funkcija;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na ekstremni vrednosti na kvadratna funkcija;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na kvadratna neravenka.
3
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna,
{umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi (profil: kozmeti~ki tehni~ar)
Programsko podra~je: PLO[TINA I VOLUMEN NA GEOMETRISKI TELA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva koi geometriski tela se rabesti/val~esti;
- dava primeri na geometriski tela od okolinata;
- imenuva temiwa, rabovi i yidovi kaj geometriski tela;
- nabrojuva preseci na geometrisko telo so ramnina Σ;
- zapi{uva op{ti formuli za plo{tina i volumen na tela;
- pomni formuli za presmetuvawe na plo{tina i perimetar na ramninski figuri;
- ja iska`uva Pitagorova teorema;
- naveduva koi merni edinici se koristat za plo{tina/perimetar/volumen.
- Gi skicira geometriskite tela;
- prepoznava mre`a na geometrisko telo;
- objasnuva paralelen presek, dijagonalen presek i oskin presek na prizma so ramnina;
- objasnuva paralelen presek i oskin presek na piramida so ramnina;
- objasnuva paralelen presek, nadol`en presek i oskin presek na cilindar so ramnina;
- objasnuva paralelen presek i oskin presek na konus so ramnina;
- povrzuva formuli za presmetuvawe na plo{tini na ramninski figuri so formuli za presmetuvawe
plo{tina i volumen na geometriski tela;
- objasnuva kade mo`e da se primenuva Pitagorova teorema.
- Izrabotuva model na geometrisko telo;
- primenuva Pitagorova teorema za nao|awe nepoznati elementi;
- presmetuva plo{tina i volumen na prizma, piramida i potse~ena piramida;
- presmetuva plo{tina i volumen na cilindar, konus i potse~en konus;
- primenuva formuli od planimetrija i stereometrija za nao|awe nepoznati elementi.
- Izveduva formuli za plo{tina i volumen na geometriskite tela;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na plo{tina i volumen na tela;
- kombinira geometriski tela i presmetuva plo{tina i volumen.
4
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna,
{umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi (profil: kozmeti~ki tehni~ar)
Programsko podra~je: STATISTIKA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Go iska`uva poimot za statistika;
- iska`uva definicija za apsolutna / relativna frekvencija;
- pomni {to e medijana, moda i rang;
- zapi{uva formula za aritmeti~ka sredina, disperzija i standardna devijacija;
- naveduva na~ini na prika`uvawe na statisti~kite podatoci.
- Go objasnuva predmetot na prou~uvawe na statistikata;
- objasnuva {to e populacija, obele`je i primerok;
- ja opi{uva postapkata ,,elementarna statisti~ka obrabotka na podatoci”;
- objasnuva {to e aritmeti~kata sredina, medijana i moda.
- Koristi elementarna statisti~ka obrabotka na podatoci;
- upotrebuva apsolutna / relativna frekvencija vo elementarna statisti~ka obrabotka;
- presmetuva aritmeti~ka sredina;
- odreduva medijana i moda.
- Gi pretstavuva statisti~kite podatoci so tabeli, poligoni i histogrami;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na statistika.
5
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet (zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna,
{umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi (profil: kozmeti~ki tehni~ar)
Programsko podra~je: BLAGORODNI METALI
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Gi nabrojuva na~inite na izrazuvawe finost na blagorodni metali;
- gi imenuva edinicite za finost kaj angliskiot na~in;
- zapi{uva simboli za ~isto srebro i zlato i oznaki za podobra/polo{a finost kaj angliskiot na~in.
- Go objasnuva poimot finost na blagorodni metali;
- opi{uva standardna finost na zlaten/srebren predmet kako merilo za podobra/polo{a finost na
legurite;
- ja objasnuva proporcijata za promilna smetka.
- Presmetuva procent i promil od nekoja golemina;
- odreduva finost na zlaten / srebren predmet;
- izrazuva finost od angliski na~in na promilen na~in i obratno;
- presmetuva finost, masa na blagorodni metali vo legura i masa na legura.
- Re{ava prakti~ni problemi za blagorodni metali.
6
MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA
BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO
OBRAZOVNI STANDARDI
ZA PROVERUVAWE NA POSTIGAWATA NA U^ENICITE PO
MATEMATIKA
zadol`itelen predmet
III godina
za site struki
Skopje, 2008 godina
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet xa site struki
Programsko podra~je: EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Povtoruva operacii so stepeni;
- iska`uva definicija za eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- prepoznava analiti~ki/grafi~ki zadadena eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- gi nabrojuva svojstvata na eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- dava primer na eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- gi iska`uva pravilata za logaritmirawe;
- gi iska`uva logaritamskite identiteti;
- ja iska`uva definicijata za eksponencijalna/logaritamska ravenka;
- prepoznava zadadena eksponencijalna/logaritamska ravenka.
- Odreduva definiciona oblast na dadena eksponencijalna/ logaritamska funkcija;
- sostavuva tabela na vrednosti na dadena eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- prepoznava grafik na eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- ja objasnuva translacijata na grafikot na eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- objasnuva kako se proveruva dali dadena vrednost e re{enie na eksponencijalna/logaritamska ravenka;
- dava primeri za eksponencijalna/logaritamska ravenka.
- Go koristi poimot stepen so realen pokazatel i negovite svojstvata pri re{avawe zada~i;
- crta grafik na elementarna eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- tolkuva svojstva od daden grafik;
- re{ava zada~i vo vrska so definicijata za logaritam;
- logaritmira proizvod, koli~nik i stepen;
- gi koristi logaritamskite identiteti;
- transformira eksponencijalni/logaritamski ravenki;
- re{ava eksponencijalni ravenki od vidot: Ax+m=0 i Af(x)+m=0 ;
- re{ava logaritamski ravenki so primena na definicijata za logaritam i so pravilata za
logaritmirawe.
- Crta grafik i ispituva tek na eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- re{ava eksponencijalni ravenki od vidot: a(Af(x))2+bAf(x) +c=0;
- re{ava logaritamski ravenki so logaritmirawe, so voveduvawe na nova promenliva i so koristewe na
logaritamskite identiteti;
- doka`uva logaritamski identiteti;
- re{ava poednostavni logaritamsko-eksponencijalni ravenki.
1
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet xa site struki
Programsko podra~je: TRIGONOMETRISKI FUNKCII OD PROIZVOLEN AGOL
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za proizvolen agol i orientiran agol;
- iska`uva definicija za trigonometriskite funkcii od ostar/proizvolen agol;
- nabrojuva merni edinici za agol;
- gi iska`uva osnovnite trigonometriski vrski;
- zapomnuva znaci na trigonometriskite funkcii po kvadranti;
- iska`uva definicija za trigonometriskata kru`nica;
- iska`uva definicija za parna/neparna funkcija;
- prepoznava trifonometriska funkcija;
- zapi{uva osnoven period.
- Dava primer za proizvolen agol prika`an grafi~ki;
- dava primeri na trigonometriski funkcii vo pravoagolen triagolnik;
- objasnuva za primenata na osnovnite trigonometriski vrski;
- objasnuva sveduvawe na trigonometriska funkcija od proizvolen na ostar agol;
- opi{uva menuvawe na trigonometriski funkcii;
- prepoznava parna/neparna trigonometriska funkcija;
- objasnuva {to zna~i period na trigonometriska funkcija;
- ja razbira ulogata na koeficientite vo trigonometriskite funkcii y = a sin(bx + c ) + d i
y = a cos(bx + c) + d .
- Ja koristi vrskata me|u stepeni i radijani za pretvorawe od edna vo druga merna edinica;
- re{ava zada~i so primena na osnovnite trigonometriski vrski;
- sveduva trigonometriski funkcii od proizvolen na trigonometriski funkcii od ostar agol;
- odreduva osnoven period i period na trigonometriska funkcija;
- ispituva parnost na trigonometriska funkcija;
- crta grafik na trigonometriski funkcii od vidot y = a sin(bx + c ) + d , y = a cos(bx + c) + d i
y = atg (bx + c) + d ;
- tolkuva svojstva od daden grafik.
- Ispituva tek na trigonometriski funkcii od vidot y = a sin(bx + c ) + d , y = a cos(bx + c) + d i
y = atg (bx + c) + d ;
- re{ava prakti~ni zada~i.
2
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet xa site struki
Programsko podra~je: TO^KA VO RAMNINA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Zapi{uva to~ka vo koordinaten sistem;
- imenuva koordinati na to~ka;
- zapi{uva formula za rastojanie me|u dve to~ki/koordinati na delbena to~ka/plo{tina na triagolnik.
- Pretstavuva to~ki vo pravoagolen koordinaten sistem;
- objasnuva za primena na rastojanie me|u dve to~ki;
- prepoznava sredna to~ka na otse~ka;
- sostavuva odnos vo koj to~ka deli dadena otse~ka pri dadeni uslovi;
- objasnuva za karakteristi~ni to~ki i otse~ki na triagolnik.
- Odreduva rastojanie me|u dve to~ki;
- odreduva koordinati na sredna to~ka na otse~ka;
- odreduva koordinati na to~ka koja deli otse~ka vo daden odnos;
- odreduva plo{tina na triagolnik so dadeni temiwa.
- Re{ava zada~i vo vrska so rastojanie me|u dve to~ki / delewe na otse~ka vo daden odnos / plo{tina na
triagolnik;
- re{ava prakti~ni zada~i.
3
Matematika za II godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zadol`itelen predmet xa site struki
Programsko podra~je: PRAVA VO RAMNINA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Zapi{uva op{t / ekspliciten / segmenten / normalen oblik na ravenka na prava;
- zapi{uva ravenka na prava niz edna to~ka so poznat koeficient na pravec i ravenka na prava niz dve
to~ki;
- iska`uva formula za rastojanie od to~ka do prava i za agol me|u dve pravi;
- razlikuva uslov za paralelnost / normalnost na pravi.
- Prepoznava prava vo op{t / ekspliciten / segmenten / normalen oblik;
- dava primer za ravenka na prava niz edna to~ka so poznat koeficient na pravec i ravenka na prava niz
dve to~ki;
- opi{uva primena na formula za rastojanie od to~ka do prava;
- objasnuva za presek na dve pravi i agol me|u dve pravi;
- dava primer za paralelni i normalni pravi;
- prepoznava koeficienti od op{t i ekspliciten oblik, segmenti od segmenten oblik.
- Transformira ravenka na prava od eden vo drug oblik;
- odreduva ravenka na prava vo razni oblici pri dadeni uslovi;
- odreduva nepoznat parametar vo ravenka na prava pri dadeni uslovi;
- primenuva formula za rastojanie od to~ka do prava;
- presmetuva plo{tina na triagolnik {to dadena prava go zafa}a so koordinatnite oski;
- primenuva uslov za paralelnost / normalnost na pravi, agol me|u dve pravi i presek na dve pravi vo
zada~i.
- Izveduva ravenka na prava vo ekspliciten / segmenten / normalen oblik;
- izveduva ravenka na prava niz to~ka so poznat koeficient na pravec i ravenka na prava niz dve to~ki;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na elementite od temata prava vo ramnina.
4
MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA
BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO
OBRAZOVNI STANDARDI
ZA PROVERUVAWE NA POSTIGAWATA NA U^ENICITE PO
MATEMATIKA
IZBOREN PREDMET VO FUNKCIJA NA MATURA
za III godina
Za tekstilno-ko`arska struka
Skopje, 2008 godina
Matematika za III godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - izboren predmet vo funkcija na matura za tekstilno-ko`arska
struka
Programsko podra~je: POLINOMI
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za polinom, identi~ni polinomi, polinomna ravenka i nula na
polinom;
- razlikuva monom, binom, trinom, polinom;
- prepoznava glavna vrednost i koeficient na monom;
- razlikuva stepen na monom i polinom;
- ja iska`uva teoremata na Bezu za odreduvawe na koli~nik i ostatok pri delewe so binomot
x - α;
- ja iska`uva osnovnata teorema na algebrata;
- ja iska`uva obop{tenata Vietova teorema.
- Dava primeri na polinomi so razni stepeni;
- go objasnuva metodot na neopredeleni koeficienti;
- ja objasnuva postapkata za delewe na polinomi;
- ja opi{uva Hornerovata {ema za odreduvawe koli~nik i ostatok pri delewe so binomot x - α;
- diskutira za primenata na teoremata na Bezu;
- povrzuva re{enija na polinomna ravenka so koeficientite na istata.
- Sobira, odzema, mno`i polinomi;
- go koristi metodot na neopredeleni koeficienti pri re{avawe zada~i;
- deli polinomi so i bez ostatok;
- koristi Hornerova {ema za odreduvawe koli~nik i ostatok pri delewe so binomot x - α;
- ja koristi teoremata na Bezu za odreduvawe ostatok pri delewe so binomot x - α;
- re{ava ednostavni zada~i so koristewe na obo{tenata Vietova teorema;
- re{ava zada~i so koristewe na svojstvata na polinomite so celi koeficienti.
- Re{ava razni zada~i so koristewe na delivost na polinomi;
- gi primenuva posledicite na osnovnata teorema na algebrata.
1
Matematika za III godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - izboren predmet vo funkcija na matura za tekstilno-ko`arska
struka
Programsko podra~je: SISTEM OD LINEARNA I KVADRATNA RAVENKA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Prepoznava sistem od linearna i kvadratna ravenka vo op{t vid;
- poka`uva koi broevi se koeficienti kaj op{tiot oblik na sistem od linearna i kvadratna ravenka;
- zapi{uva mno`estvo re{enija na sistem od linearna i kvadratna ravenka vo vid na podredeni parovi.
- Objasnuva kako se re{ava sistem od linearna i kvadratna ravenka;
- go opi{uva brojot na re{enija na sistem od linearna i kvadratna ravenka;
- proveruva dali dadeni vrednosti na promenlivite se re{enija na daden sistem od linearna i kvadratna ravenka;
- dava grafi~ka interpretacija na sistem od linearna i kvadratna ravenka.
- Transformira vo op{t vid sistem od linearna i kvadratna ravenka;
- re{ava sistem od linearna i kvadratna ravenka so metod na zamena;
- tolkuva (geometriski) re{enie na sistem od linearna i kvadratna ravenka.
- Sostavuva i re{ava sistemi od linearna i kvadratna ravenka;
- re{ava prakti~ni problemi {to se sveduvaat na re{avawe sistem od linearna i kvadratna ravenka;
- diskutira za re{enijata na sistem od linearna i kvadratna ravenka vo zavisnost od parametar.
Programsko podra~je: SISTEM OD DVE KVADRATNI RAVENKI
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
Standard
- Prepoznava sistem od dve kvadratni ravenki vo op{t oblik;
- prepoznava homogena kvadratna ravenka so dve promenlivi;
- zapi{uva re{enie na sistem kvadratni ravenki kako mno`estvo od podredeni parovi.
- Objasnuva kako se re{ava sistem od dve kvadratni ravenki;
- go opi{uva brojot na re{enija na sistem od dve kvadratni ravenki;
- proveruva dali dadeni vrednosti na promenlivite se re{enija na daden sistem od dve kvadratni ravenki;
- dava grafi~ka interpretacija na sistem od dve kvadratni ravenki;
- objasnuva dobivawe na homogena kvadratna ravenka od daden sistem od dve kvadratni ravenki.
2
Matematika za III godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - izboren predmet vo funkcija na matura za tekstilno-ko`arska
struka
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- Transformira vo op{t oblik sistem od dve kvadratni ravenki;
- tolkuva (geometriski) re{enie na sistem od dve kvadratni ravenki;
- formira linearna vrska od dadenite kvadratni ravenki i koristi re{avawe na sistem od linearna i
kvadratna ravenka;
- koristi soodvetna smena za transformirawe na homogenata kvadratna ravenka so dve promenlivi vo
kvadratna ravenka so edna promenliva;
- re{ava sistem od dve kvadratni ravenki koristej}i transformacija vo homogena kvadratna ravenka.
- Re{ava prakti~ni problemi {to se sveduvaat na re{avawe sistem od dve kvadratni ravenki.
Programsko podra~je: NEKOI PRIMENI NA DVI@EWA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za translacija / osna simetrija / centralna simetrija / rotacija;
- iska`uva koi geometriski transformacii se dvi`ewa.
- Diskutira deka pri dvi`ewata se zapazuva rastojanieto me|u dve to~ki;
- objasnuva kako se preslikuva to~ka, otse~ka, prava, agol, mnoguagolnik so dvi`ewata.
- Preslikuva to~ka, otse~ka, prava, agol, mnoguagolnik so dvi`ewata.
- Re{ava problemi od geometrija i od prakti~niot `ivot so primena na dvi`ewata;
- doka`uva deka sostav od dve ili pove}e dvi`ewa e, isto taka, dvi`ewe.
3
Matematika za III godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - izboren predmet vo funkcija na matura za tekstilno-ko`arska
struka
Programsko podra~je: ADICIONI FORMULI. TRIGONOMETRISKI RAVENKI
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Zapi{uva formuli za zbir i razlika na dva agli na trigonometriski funkcii;
- zapi{uva formuli za trigonometriski funkcii od dvoen i od polovina agol;
- zapi{uva formuli za transformacija od zbir na trigonometriski funkcii vo proizvod na trigonometriski funkcii i obratno;
- ja iska`uva definicijata za trigonometriska ravenka;
- znae deka trigonometriskata ravenka ima beskone~no mnogu re{enija.
- Diskutira vo koi slu~ai se primenuvaat Adicionite formuli;
- objasnuva kako se uprostuva trigonometriski izraz;
- opi{uva kako se doka`uva trigonometriski identitet;
- povrzuva deka site drugi formuli se posledici od Adicionite formuli;
- prepoznava osnovna trigonometriska ravenka;
- opi{uva vidovi trigonometriski ravenki;
- diskutira koga trigonometriskata ravenka ima edno/dve mno`estva re{enija;
- dava primeri na re{enija vo radijani i stepeni;
- grafi~ki opredeluva agol pri dadena vrednost na trigonometriska funkcija.
- Transformira trigonometriski izrazi so koristewe na Adicionite formuli i nivnite posledici;
- doka`uva trigonometriski identiteti;
- opredeluva vrednosti na trigonometriska funkcija vo kvadranti so koristewe na Adicionite
formuli i nivnite posledici;
- re{ava osnovni trigonometriski ravenki;
- re{ava trigonometriski ravenki od vidot: sin(nx)=a, sin(x+p)= a, sin(nx+p)=a, kako i ravenki od istiot
vid so ostanatite trigonometriski funkcii;
- re{ava poednostavni trigonometriski ravenki {to se sveduvaat na kvadratni ravenki.
- Re{ava trigonometriski ravenki od vidot asinx + bcosx = c;
- re{ava trigonometriski ravenki so voveduvawe na nova promenliva;
- gi izveduva posledicite od Adicionite formuli;
- gi kombinira Adicionite formuli i nivnite posledici i osmisluva na~in za nivno obop{tuvawe.
4
MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA
BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO
OBRAZOVNI STANDARDI
ZA PROVERUVAWE NA POSTIGAWATA NA U^ENICITE PO
MATEMATIKA
izboren predmet vo funkcija na matura
III godina
Struki: geolo{ko-rudarska, grade`no-geodetska, elektrotehni~ka, ma{inska, li~ni
uslugi, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka i tekstilno-ko`arska struka
Skopje, 2008 godina
Matematika za III godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - izboren predmet vo funkcija na matura (geolo{ko-rudarska, grade`nogeodetska, elektrotehni~ka, ma{inska, hemisko-tehnolo{ka, tekstilno-ko`arska struka i licni uslugi)
Programsko podra~je: KOMBINATORIKA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicii za permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe;
- zapi{uva formuli za brojot na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe;
- zapomnuva deka 0!= 1, n!= n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ;
- gi zapi{uva kombinaciite bez povtoruvawe so binomni koeficienti;
- ja zapi{uva binomnata formula;
- zapi{uva formula za op{t ~len od razvojot na binomot (a + b) n .
- Dava primeri za permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe;
- pravi razlika me|u permutacii, varijacii i kombinacii;
- razlikuva permutacii, varijacii i kombinacii bez povtoruvawe od varijacii i kombinacii so povtoruvawe;
- go opi{uva Paskaloviot triagolnik;
- odreduva koj ~len/ovi e/se sreden/sredni ~lenovi od razvojot na binomot;
- razlikuva reden broj na permutacija.
- Presmetuva broj na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe direktno so formula;
- presmetuva broj na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe;
preku prebrojuvawe;
- odreduva reden broj na permutacija;
- razviva binom so koristewe na binomnata formula;
- odreduva ~len od razvojot na binomot so dadeni karakteristiki.
- Logi~ki izvlekuva zaklu~ok za brojot na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe;
- re{ava zada~i vo vrska so relacii me|u brojot na permutacii, varijacii i kombinacii bez i so povtoruvawe;
- ja sogleduva vrskata me|u kombinacii, varijacii i premutacii;
- re{ava zada~i so koristewe na binomnata formula.
Matematika za III godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - izboren predmet vo funkcija na matura (geolo{ko-rudarska, grade`nogeodetska, elektrotehni~ka, ma{inska, hemisko-tehnolo{ka, tekstilno-ko`arska struka i licni uslugi)
Programsko podra~je: VEROJATNOST I STATISTIKA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
Standard
- Dava primer na eksperiment i nastan vo vrska so eksperimentot;
- razlikuva povolen broj od mo`en broj na nastani;
- ja iska`uva klasi~nata definicija na verojatnost;
- gi iska`uva osnovnite svojstva za verojatnost;
- iska`uva definicijata za uslovna verojatnost;
- go iska`uva poimot za statistika;
- iska`uva definicija za apsolutna / relativna frekvencija;
- pomni {to e medijana, moda i rang;
- zapi{uva formula za aritmeti~ka sredina, disperzija i standardna devijacija;
- naveduva na~ini na prika`uvawe na statisti~kite podatoci.
- Objasnuva za mno`estvo na elementarni nastani pri daden eksperiment;
- go objasnuva poimot slu~aen nastan;
- povrzuva operacii so mno`estva i operacii so nastani;
- dava primeri za zbir, proizvod i razlika na nastani;
- dava primer za uslovna verojatnost;
- gi objasnuva poimite za zavisen i nezavisen nastan;
- go objasnuva predmetot na prou~uvawe na statistikata;
- objasnuva {to e populacija, obele`je i primerok;
- ja opi{uva postapkata ,,elementarna statisti~ka obrabotka na podatoci”;
- objasnuva {to e aritmeti~kata sredina, medijana i moda;
- razlikuva sredna vrednost od disperzija ili standardna devijacija.
- Ja primenuva klasi~nata definicija na verojatnost na konkretni zada~i;
- koristi sprotiven nastan pri odreduvawe na verojatnost;
- gi koristi svojstvata na verojatnost pri re{avawe na konkretni zada~i;
- odreduva uslovna verojatnost;
- re{ava zada~i so nezavisni nastani;
- koristi elementarna statisti~ka obrabotka na podatoci;
- upotrebuva apsolutna / relativna frekvencija vo elementarna statisti~ka obrabotka;
- presmetuva aritmeti~ka sredina.
- Odreduva medijana i moda;
- presmetuva rang, disperzija, standardna devijacija.
Matematika za III godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - izboren predmet vo funkcija na matura (geolo{ko-rudarska, grade`nogeodetska, elektrotehni~ka, ma{inska, hemisko-tehnolo{ka, tekstilno-ko`arska struka i licni uslugi)
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- Gi pretstavuva statisti~kite podatoci so tabeli, poligoni i histogrami;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na statistika.
Programsko podra~je: ADICIONI FORMULI. TRIGONOMETRISKI RAVENKI
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
Standard
- Zapi{uva formuli za zbir i razlika na dva agli na trigonometriski funkcii;
- zapi{uva formuli za trigonometriski funkcii od dvoen i od polovina agol;
- zapi{uva formuli za transformacija od zbir na trigonometriski funkcii vo proizvod na trigonometriski funkcii i obratno;
- ja iska`uva definicijata za trigonometriska ravenka;
- znae deka trigonometriskata ravenka ima beskone~no mnogu re{enija.
- Diskutira vo koi slu~ai se primenuvaat Adicionite formuli;
- objasnuva kako se uprostuva trigonometriski izraz;
- opi{uva kako se doka`uva trigonometriski identitet;
- povrzuva deka site drugi formuli se posledici od Adicionite formuli;
- prepoznava osnovna trigonometriska ravenka;
- opi{uva vidovi trigonometriski ravenki;
- diskutira koga trigonometriskata ravenka ima edno/dve mno`estva re{enija;
- dava primeri na re{enija vo radijani i stepeni;
- grafi~ki opredeluva agol pri dadena vrednost na trigonometriska funkcija.
- Transformira trigonometriski izrazi so koristewe na Adicionite formuli i nivnite posledici;
- doka`uva trigonometriski identiteti;
- opredeluva vrednosti na trigonometriska funkcija vo kvadranti so koristewe na Adicionite
formuli i nivnite posledici;
- re{ava osnovni trigonometriski ravenki;
- re{ava trigonometriski ravenki od vidot: sin(nx)=a, sin(x+p)= a, sin(nx+p)=a, kako i ravenki od istiot
vid so ostanatite trigonometriski funkcii;
- re{ava poednostavni trigonometriski ravenki {to se sveduvaat na kvadratni ravenki;
- Re{ava trigonometriski ravenki od vidot asinx + bcosx = c;
Matematika za III godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - izboren predmet vo funkcija na matura (geolo{ko-rudarska, grade`nogeodetska, elektrotehni~ka, ma{inska, hemisko-tehnolo{ka, tekstilno-ko`arska struka i licni uslugi)
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- re{ava trigonometriski ravenki so voveduvawe na nova promenliva;
- gi izveduva posledicite od Adicionite formuli;
- gi kombinira Adicionite formuli i nivnite posledici i osmisluva na~in za nivno obop{tuvawe.
Programsko podra~je: POLINOMI
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za polinom, identi~ni polinomi, polinomna ravenka i nula na polinom;
- prepoznava glavna vrednost i koeficient na monom;
- razlikuva monom, binom, trinom, polinom;
- razlikuva stepen na monom i polinom;
- ja iska`uva teoremata na Bezu za odreduvawe na koli~nik i ostatok pri delewe so binomot
x - α;
- ja iska`uva osnovnata teorema na algebrata;
- ja iska`uva obop{tenata Vietova teorema.
- Dava primeri na polinomi so razni stepeni;
- go objasnuva metodot na neopredeleni koeficienti;
- ja objasnuva postapkata za delewe na polinomi;
- ja opi{uva Hornerovata {ema za odreduvawe koli~nik i ostatok pri delewe so binomot x - α;
- diskutira za primenata na teoremata na Bezu;
- povrzuva re{enija na polinomna ravenka so koeficientite na istata.
- Sobira, odzema, mno`i polinomi;
- go koristi metodot na neopredeleni koeficienti pri re{avawe zada~i;
- deli polinomi so i bez ostatok;
- koristi Hornerova {ema za odreduvawe koli~nik i ostatok pri delewe so binomot x - α;
- ja koristi teoremata na Bezu za odreduvawe ostatok pri delewe so binomot x - α;
- re{ava ednostavni zada~i so koristewe na obo{tenata Vietova teorema;
- re{ava zada~i so koristewe na svojstvata na polinomite so celi koeficienti.
- Re{ava razni zada~i so koristewe na delivost na polinomi;
- gi primenuva posledicite na osnovnata teorema na algebrata.
MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA
BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO
OBRAZOVNI STANDARDI
ZA PROVERUVAWE NA POSTIGAWATA NA U^ENICITE PO
MATEMATIKA
izboren predmet vo funkcija na matura
III godina
Struki: ekonomsko-pravna i trgovska, grafi~ka, zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna,
ugostitelsko-turisti~ka, {umarsko-drvoprerabotuva~ka
Matematika za III godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - izboren predmet vo funkcija na matura (ekonomsko-pravna i
trgovska, grafi~ka, zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna
Skopje, 2008 godina
Programsko podra~je: EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Povtoruva operacii so stepeni;
- iska`uva definicija za eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- prepoznava analiti~ki/grafi~ki zadadena eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- gi nabrojuva svojstvata na eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- dava primer na eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- gi iska`uva pravilata za logaritmirawe;
- gi iska`uva logaritamskite identiteti;
- ja iska`uva definicijata za eksponencijalna/logaritamska ravenka;
- prepoznava zadadena eksponencijalna/logaritamska ravenka.
- Odreduva definiciona oblast na dadena eksponencijalna/ logaritamska funkcija;
- sostavuva tabela na vrednosti na dadena eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- prepoznava grafik na eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- ja objasnuva translacijata na grafikot na eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- objasnuva kako se proveruva dali dadena vrednost e re{enie na eksponencijalna/logaritamska ravenka;
- dava primeri za eksponencijalna/logaritamska ravenka.
- Go koristi poimot stepen so realen pokazatel i negovite svojstvata pri re{avawe zada~i;
- crta grafik na elementarna eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- tolkuva svojstva od daden grafik;
- re{ava zada~i vo vrska so definicijata za logaritam;
- logaritmira proizvod, koli~nik i stepen;
- gi koristi logaritamskite identiteti;
- transformira eksponencijalni/logaritamski ravenki;
- re{ava eksponencijalni ravenki od vidot: Ax+m=0 i Af(x)+m=0 ;
- re{ava logaritamski ravenki so primena na definicijata za logaritam i so pravilata za
logaritmirawe.
- Crta grafik i ispituva tek na eksponencijalna/logaritamska funkcija;
- re{ava eksponencijalni ravenki od vidot: a(Af(x))2+bAf(x) +c=0 ;
- re{ava logaritamski ravenki so logaritmirawe , so voveduvawe na nova promenliva i so koristewe na
logaritamskite identiteti;
- doka`uva logaritamski identiteti;
- re{ava poednostavni logaritamsko-eksponencijalni ravenki.
1
Programsko podra~je: TRIGONOMETRISKI FUNKCII OD PROIZVOLEN AGOL
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za proizvolen agol i orientiran agol;
- iska`uva definicija za trigonometriskite funkcii od ostar/proizvolen agol;
- nabrojuva merni edinici za agol;
- gi iska`uva osnovnite trigonometriski vrski;
- zapomnuva znaci na trigonometriskite funkcii po kvadranti;
- iska`uva definicija za trigonometriskata kru`nica;
- iska`uva definicija za parna/neparna funkcija;
- prepoznava trifonometriska funkcija;
- zapi{uva osnoven period.
- Dava primer za proizvolen agol prika`an grafi~ki;
- dava primeri na trigonometriski funkcii vo pravoagolen triagolnik;
- objasnuva za primenata na osnovnite trigonometriski vrski;
- objasnuva sveduvawe na trigonometriska funkcija od proizvolen na ostar agol;
- opi{uva menuvawe na trigonometriski funkcii;
- prepoznava parna/neparna trigonometriska funkcija;
- objasnuva {to zna~i period na trigonometriska funkcija;
- ja razbira ulogata na koeficientite vo trigonometriskite funkcii y = a sin(bx + c ) + d i
y = a cos(bx + c) + d .
- Ja koristi vrskata me|u stepeni i radijani za pretvorawe od edna vo druga merna edinica;
- re{ava zada~i so primena na osnovnite trigonometriski vrski;
- sveduva trigonometriski funkcii od proizvolen na trigonometriski funkcii od ostar agol;
- odreduva osnoven period i period na trigonometriska funkcija;
- ispituva parnost na trigonometriska funkcija;
- crta grafik na trigonometriski funkcii od vidot y = a sin(bx + c ) + d , y = a cos(bx + c) + d i
y = atg (bx + c) + d ;
- tolkuva svojstva od daden grafik.
- Ispituva tek na trigonometriski funkcii od vidot y = a sin(bx + c ) + d , y = a cos(bx + c) + d i
y = atg (bx + c) + d ;
- re{ava prakti~ni zada~i.
2
Programsko podra~je: TO^KA VO RAMNINA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Zapi{uva to~ka vo koordinaten sistem;
- imenuva koordinati na to~ka;
- zapi{uva formula za rastojanie me|u dve to~ki/koordinati na delbena to~ka/plo{tina na triagolnik.
- Pretstavuva to~ki vo pravoagolen koordinaten sistem;
- objasnuva za primena na rastojanie me|u dve to~ki;
- prepoznava sredna to~ka na otse~ka;
- sostavuva odnos vo koj to~ka deli dadena otse~ka pri dadeni uslovi;
- objasnuva za karakteristi~ni to~ki i otse~ki na triagolnik.
- Odreduva rastojanie me|u dve to~ki;
- odreduva koordinati na sredna to~ka na otse~ka;
- odreduva koordinati na to~ka koja deli otse~ka vo daden odnos;
- odreduva plo{tina na triagolnik so dadeni temiwa.
- Re{ava zada~i vo vrska so rastojanie me|u dve to~ki / delewe na otse~ka vo daden odnos / plo{tina na
triagolnik;
- re{ava prakti~ni zada~i.
Programsko podra~je: PRAVA VO RAMNINA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
Standard
- Zapi{uva op{t / ekspliciten / segmenten / normalen oblik na ravenka na prava;
- zapi{uva ravenka na prava niz edna to~ka so poznat koeficient na pravec i ravenka na prava niz dve
to~ki;
- iska`uva formula za rastojanie od to~ka do prava i za agol me|u dve pravi;
- razlikuva uslov za paralelnost / normalnost na pravi.
- Prepoznava prava vo op{t / ekspliciten / segmenten / normalen oblik;
- dava primer za ravenka na prava niz edna to~ka so poznat koeficient na pravec i ravenka na prava niz
dve to~ki;
- opi{uva primena na formula za rastojanie od to~ka do prava;
- objasnuva za presek na dve pravi i agol me|u dve pravi;
- dava primer za paralelni i normalni pravi;
- prepoznava koeficienti od op{t i ekspliciten oblik, segmenti od segmenten oblik.
3
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- Transformira ravenka na prava od eden vo drug oblik;
- odreduva ravenka na prava vo razni oblici pri dadeni uslovi;
- odreduva nepoznat parametar vo ravenka na prava pri dadeni uslovi;
- primenuva formula za rastojanie od to~ka do prava;
- presmetuva plo{tina na triagolnik {to dadena prava go zafa}a so koordinatnite oski;
- primenuva uslov za paralelnost / normalnost na pravi, agol me|u dve pravi i presek na dve pravi vo
zada~i.
- Izveduva ravenka na prava vo ekspliciten / segmenten / normalen oblik;
- izveduva ravenka na prava niz to~ka so poznat koeficient na pravec i ravenka na prava niz dve to~ki;
- re{ava prakti~ni zada~i so koristewe na elementite od temata prava vo ramnina.
4
MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA
BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO
OBRAZOVNI STANDARDI
ZA PROVERUVAWE NA POSTIGAWATA NA U^ENICITE PO
MATEMATIKA
zadol`itelen predmet
IV godina
za strukite {to go izu~uvaat predmetot
Skopje, 2008 godina
Matematika za IV godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zdol`itelen predmet za strukite {to go izu~uvaat predmetot)
Programsko podra~je: NIZI I PROGRESII
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za niza, op{t ~len na niza, rang na niza, monotonost na niza i ograni~enost na
niza;
- iska`uva definicija za aritmeti~ka progresija;
- gi iska`uva svojstvata na ~lenovite na aritmeti~ka progresija: ak + an-(k-1) = a1 + an i ak2 = ak-1 + ak+1;
- ja zapi{uva formulata za zbir na prvite n-~lenovi na aritmeti~ka progresija;
- iska`uva definicija za geometriska progresija;
- gi iska`uva svojstvata na ~lenovite na geometriska progresija: ak . an-(k-1) = a1 . an i ak2 = ak-1 . ak+1;
- ja zapi{uva formulata za zbir na prvite n-~lenovi na geometriska progresija;
- definira okolina na to~ka i to~ka na natrupuvawe na nizi;
- iska`uva definicija za zbir, proizvod i koli~nik na dve nizi.
- Razlikuva niza {to raste od niza {to opa|a i dava primeri;
- zapi{uva niza ako e daden op{tiot ~len;
- zapi{uva op{t ~len na niza ako se dadeni prvite nekolku ~lenovi;
- razlikuva konvergentna od divergentna niza;
- go objasnuva poimot granica na niza;
- objasnuva monotonost, ograni~enost i konvergentnost na niza, na konkretni primeri;
- objasnuva koga nizata an = qn konvergira.
- Opredeluva op{t ~len na aritmeti~ka progresija;
- opredeluva op{t ~len na geometriska progresija;
- ja koristi formulata za zbir na prvite n-~lenovi na aritmeti~ka progresija;
- ja primenuva aritmeti~kata progresija vo zada~i;
- ja koristi formulata za zbir na prvite n-~lenovi na geometriska progresija;
- ja primenuva geometriskata progresija vo zada~i;
- odreduva to~ka na natrupuvawe na nekoi nizi;
- odreduva granica na nekoi nizi po definicija;
- odreduva grani~na vrednost od zbir, proizvod i koli~nik na dve nizi;
- granicata lim(1+1/n)n ja koristi vo zada~i;
- odreduva zbir na ~lenovite na beskrajna geometriska progresija pri q<1 i toa go koristi vo zada~i.
- Ja sogleduva vrskata me|u monotona ograni~ena niza i konvergentna niza, na konkretni primeri;
- voo~uva deka nizata an=(1+1/n)n e monotona, ograni~ena i konvergentna so granica
e = 2,71828....
Matematika za IV godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zdol`itelen predmet za strukite {to go izu~uvaat predmetot)
Programsko podra~je: FUNKCII I GRANI^NA VREDNOST
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za: parnost, ograni~enost, monotonost, estremni vrednosti i periodi~nost na
funkcija;
- iska`uva definicija za slo`ena funkcija;
- iska`uva definicija za inverzna funkcija;
- iska`uva definicija za grani~na vrednost na funkcija;
- iska`uva definicija za leva i desna granica na funkcija;
- gi iska`uva svojstvata za grani~na vrednost na zbir, proizvod, koli~nik i stepen;
- iska`uva definicija za neprekinata funkcija.
- Go objasnuva poimot funkcija;
- gi objasnuva na~inite na zadavawe na funkcija;
- opi{uva elementarni funkcii;
- razlikuva definiciona oblast i mno`estvo vrednosti na funkcija;
- diskutira deka grafikot na funkcijata i na nejzinata inverzna funkcija se simetri~ni vo odnos na
pavata u=x;
- go objasnuva poimot granica na funkcija;
- povrzuva leva i desna granica na funkcija so konvergentnost;
- gi opi{uva granicite lim(sinx/x) = 1 i lim(1+1/x)x = e;
- razlikuva horizontalna, vertikalna i kosa asimptota na kriva.
- Odreduva definiciona oblast, mno`estvo vrednosti na funkcija, nuli, parnost, periodi~nost,
ekstremni vrednosti na funkcija i monotonost na funkcija;
- odreduva sostav na funkciite: f(x) i g(x), t.e. f(g(x)) ili g(f(x));
- odreduva inverzna funkcija na dadena funkcija (ednostavni slu~ai);
- primenuva inverzna funkcija za opredeluvawe na definiciona oblast i mno`estvo vrednosti na
funkcija;
- skicira grafik na nekoi funkcii so pomo{ na graficite na elementarnite funkcii;
- odreduva grani~ni vrednosti na funkcii po definicija;
- re{ava zada~i za nao|awe grani~ni vrednosti na funkcii;
- odreduva asimptoti na nekoi krivi.
- Re{ava poslo`eni zada~i za nao|awe grani~ni vrednosti na funkcii;
- ispituva odnesuvawe na funkcijata vo okolina na vertikalni asimptoti i ispituva neprekinatost na
funkcii.
Matematika za IV godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zdol`itelen predmet za strukite {to go izu~uvaat predmetot)
Programsko podra~je: IZVOD NA FUNKCII
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija na izvod na funkcija, lev i desen izvod na funkcija i zapi{uva so soodvetna oznaka;
- zapi{uva izvod na nekoi (elementarni) funkcii (sostavuva tablica na izvodi);
- zapi{uva formula za izvod od zbir, proizvod i koli~nik na dve funkcii.
- Razlikuva narasnuvawe na argument od narasnuvawe na funkcijata vo dadena to~ka;
- go interpretira geometriski narasnuvaweto na argumentot i na funkcijata;
- tolkuva diferencijal na funkcija geometriski;
- razlikuva funkcija {to ima izvod vo dadena to~ka, od funkcija {to nema izvod vo taa to~ka i toa go
objasnuva so primeri;
- opi{uva postapka za opredeluvawe izvod na slo`ena funkcija;
- objasnuva pod koi uslovi dadena funkcija ima vtor izvod vo dadena to~ka;
- go objasnuva poimot diferencijal na funkcija.
- Go odreduva narasnuvaweto na funkcijata za dadeno narasnuvawe na argumentot;
- odreduva izvod na nekoi (elementarni) funkcii so pomo{ na narasnuvawe (po definicija);
- ja koristi tablicata za odreduvawe izvod na nekoi funkcii;
- odreduva izvod od zbir, proizvod i koli~nik na dve funkcii;
- odreduva vtor izvod na dadena funkcija;
- odreduva izvod od povisok red na dadena funkcija;
- presmetuva pribli`na vrednost na funkcija vo blizina na dadena to~ka.
- Odreduva izvod na nekoi slo`eni funkcii.
Matematika za IV godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie - zdol`itelen predmet za strukite {to go izu~uvaat predmetot)
Programsko podra~je: PRIMENA NA IZVOD NA FUNKCIJA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Povtoruva tablici za izvod od elementarni funkcii;
- zapi{uva ravenka na tangenta i normala na kriva;
- zapi{uva potreben / dovolen uslov za ekstrem;
- naveduva koga ekstremot e maksimum / minimum;
- zapi{uva monotonost na funkcija vo zavisnost od izvodot.
- Go objasnuva poimot za izvod so pomo{ na tangenta na dadena kriva;
- opi{uva (grafi~ki) vrska me|u ekstrem i tangenta;
- objasnuva dobivawe na ravenka na tangenta i normala na kriva;
- opi{uva odreduvawe na ekstrem i negova priroda.
- Odreduva tangenta / normala na kriva;
- odreduva ekstremi na funkcija so pomo{ na izvod;
- odreduva drugi (kriti~ni) to~ki na funkcija so pomo{ na izvod;
- ja ispituva prirodata na kriti~nite to~ki na dadena funkcija vo daden interval so pomo{ na izvod od
povisok red.
- Go ispituva tekot i crta grafik na dadena funkcija, so pomo{ na izvodi;
- re{ava prakti~ni zada~i za maksimum i minimum;
- koristi izvodi pri re{avawe zada~i od strukata.
MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA
BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO
OBRAZOVNI STANDARDI
ZA PROVERUVAWE NA POSTIGAWATA NA U^ENICITE PO
MATEMATIKA
izboren predmet vo funkcija na matura
IV godina
Struki: geolo{ko-rudarska, grade`no-geodetska, elektrotehni~ka, ma{inska, li~ni uslugi,
soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka i tekstilno-ko`arska struka
Skopje, 2008 godina
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (izboren predmet vo funkcija na matura zageolo{ko-rudarska, grade`nogeodetska, elektrotehni~ka, ma{inska, li~ni uslugi, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka i tekstilno-ko`arska struka
Programsko podra~je: MATEMATI^KA INDUKCIJA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Nabrojuva ~ekori na matemati~ka indukcija;
- ja zapi{uva binomnata formula i op{tiot ~len na razvojot na (a + b)n ;
- zapi{uva binomen koeficient.
- Gi objasnuva poimite empiriska i matemati~ka indukcija, potpolna i nepotpolna indukcija i
nivnata primena;
- go usvoi principot na matemati~kata indukcija;
- ja opi{uva induktivnata postapka za dobivawe na ~lenovite vo binomnata formula so
nabquduvawe na Paskaloviot triagolnik;
- gi usvojuva osnovnite svojstva na binomnite koeficienti.
- Go primenuva principot na matemati~kata indukcija pri re{avawe na poednostavni zada~i;
- re{ava zada~i vo vrska so odreduvawe koeficienti i ~lenovi vo razvojot na (a + b)n.
- Doka`uva ravenstvo, neravenstvo i delivost so principot na matemati~ka indukcija.
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (izboren predmet vo funkcija na matura zageolo{ko-rudarska, grade`nogeodetska, elektrotehni~ka, ma{inska, li~ni uslugi, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka i tekstilno-ko`arska struka
Programsko podra~je: TRIGONOMETRISKA FORMA NA KOMPLEKSEN BROJ
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Imenuva modul i argument na kompleksen broj vo trigonometriska forma;
- zapi{uva trigonometriska forma na kompleksen broj;
- zapi{uva formuli za operacii so kompleksni broevi vo trigonometriska forma.
- Gi prepoznava raznite formi na kompleksen broj;
- dava primer za kompleksen broj vo trigonometriska forma;
- gi komentira formulite za operacii so kompleksni broevi vo trigonometriska forma;
- objasnuva pretvorawe na trigonometriski broj od edna vo druga forma.
- Mno`i, deli, stepenuva i korenuva kompleksni broevi vo trigonometriskata forma;
- izvr{uva pretvorawe na trigonometriski broj od edna vo druga forma.
- Ja doka`uva Moavrovata formula;
- izveduva formula za korenuvawe na kompleksen broj;
- re{ava zada~i od praktikata so koristewe na kompleksen broj vo trigonometriska forma.
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (izboren predmet vo funkcija na matura zageolo{ko-rudarska, grade`nogeodetska, elektrotehni~ka, ma{inska, li~ni uslugi, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka i tekstilno-ko`arska struka
Programsko podra~je: KRIVI OD VTOR RED
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Zapomnuva deka konusnite preseci se kru`nica, elipsa, hiperbola i parabola;
- zapi{uva ravenka na kru`nica i centralna ravenka na elipsa, hiperbola i parabola;
- znae deka krivite od vtor red imaat najmnogu dve zaedni~ki to~ki pri presek so prava;
- prepoznava ravenka od vtor stepen, koja pretstavuva ravenka na kru`nica;
- povrzuva ravenki od vtor stepen so krivi od vtor red;
- zapi{uva uslov za dopir na prava so kriva od vtor red;
- zapi{uva ravenka na tangenta i normala vo to~ka od krivata.
- Iska`uva definicija za kru`nica, elipsa, hiperbola i parabola;
- gi imenuva elementite na sekoja od krivite od vtor red;
- dava primeri na ravenki na kru`nica i centralna ravenka na elipsa, hiperbola i parabola;
- ja objasnuva polo`bata na sekoja kriva od vtor red vo koordinatna ramnina, spored nejzinata
ravenka;
- ilustrira grafi~ki presek na prava so kriva od vtor red i presek na dve krivi od vtor red;
- opi{uva re{avawe na razni vidovi na zada~i.
- Gi odreduva elementite na sekoja kriva od vtor red pri dadeni uslovi;
- sostavuva ravenka na kriva od vtor red pri dadeni uslovi;
- gi odreduva koordinatite na prese~nata to~ka kriva od vtor red i prava;
- proveruva zaemna polo`ba na prava i kriva od vtor red;
- odreduva ravenka na tangenta i normala na kriva od vtor red.
- Re{ava zada~i vo vrska so zaedni~ki tangenti na krivi od vtor red.
Matematika za I godina ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovanie (izboren predmet vo funkcija na matura zageolo{ko-rudarska, grade`nogeodetska, elektrotehni~ka, ma{inska, li~ni uslugi, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka i tekstilno-ko`arska struka
Programsko podra~je: NEOPREDELEN INTEGRAL
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za primitivna funkcija i neopredelen integral;
- gi pamti, prepoznava i nabrojuva tabli~nite integrali;
- gi nabrojuva osnovnite svojstva na neopredeleniot integral.
- Gi objasnuva poimite primitivna funkcija i neopredelen integral;
- objasnuva deka operacijata integrirawe e obratna operacija na operacijata diferencirawe;
- opi{uva deka mno`estvoto na primitivni funkcii {to se dobivaat od neopredeleniot
integral za razli~ni vrednosti na konstantata e beskone~no i geometriski pretstavuva
mno`estvo od beskone~no mnogu krivi;
- go objasnuva metodot na zamena;
- go objasnuva metodot na parcijalna integracija.
- Re{ava integrali {to se sveduvaat na tabli~ni;
- gi koristi osnovnite svojstva na neopredeleniot integral;
- re{ava integrali po metodot na zamena;
- re{ava zada~i so metod na parcijalna integracija;
- re{ava integrali od vidot:
dx
mx + n
dx
2
2
∫ ax 2 + bx + c , ∫ ax 2 + bx + c dx , ∫ x 2 + k , ∫ x + k dx, ∫ ax + bx + c dx
kade a, b, c, m, n, k se realni konstanti;
- re{ava integrali od trigonometriski funkcii od vidot:
∫ sin ax sin bxdx , ∫ cos ax cos bxdx , ∫ R(sin x ,cos x )dx , ∫ R(sin ax, cos bx)dx .
- Re{ava intagrali od racionalni funkcii od vidot:
2
Ax + B
Adx i
dx , pri {to ax +bx+c < 0;
∫ ( x − a )r
∫ ( ax 2 + bx + c )r
- re{ava integrali so trigonometriski smeni t.e integrali od vidot:
∫ R( x,
a 2 − x 2 dx i
∫ R( x,
a 2 + x 2 )dx ;
- izveduva nekoi rekurentni formuli.
MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA
BIRO ZA RAZVOJ NA OBRAZOVANIETO
OBRAZOVNI STANDARDI
ZA PROVERUVAWE NA POSTIGAWATA NA U^ENICITE PO
MATEMATIKA
izboren predmet vo funkcija na matura
IV godina
Struki: ekonomsko-pravna i trgovska, grafi~ka, zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna,
ugostitelsko-turisti~ka, {umarsko-drvoprerabotuva~ka
Skopje, 2008 godina
Matematika za IV godina za ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovani e (izboren predmet vo funkcija na matura za ekonomsko-pravna i
trgovska, grafi~ka, zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna, ugostitelsko-turisti~ka, {umarsko-prerabotuva~ka struka)
Programsko podra~je: NIZI I PROGRESII
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za niza, op{t ~len na niza, rang na niza, monotonost na niza i ograni~enost na niza;
- iska`uva definicija za aritmeti~ka progresija;
- gi iska`uva svojstvata na ~lenovite na aritmeti~ka progresija: ak + an-(k-1) = a1 + an i ak2 = ak-1 +
ak+;1
- ja zapi{uva formulata za zbir na prvite n-~lenovi na aritmeti~ka progresija;
- iska`uva definicija za geometriska progresija;
- gi iska`uva svojstvata na ~lenovite na geometriska progresija: ak . an-(k-1) = a1 . an i ak2 = ak-1 .
ak+;1
- ja zapi{uva formulata za zbir na prvite n-~lenovi na geometriska progresija;
- definira okolina na to~ka i to~ka na natrupuvawe na nizi;
- iska`uva definicija za zbir, proizvod i koli~nik na dve nizi.
- Razlikuva niza {to raste od niza {to opa|a i dava primeri;
- zapi{uva niza ako e daden op{tiot ~len;
- zapi{uva op{t ~len na niza ako se dadeni prvite nekolku ~lenovi;
- razlikuva konvergentna od divergentna niza;
- go objasnuva poimot granica na niza;
- objasnuva monotonost, ograni~enost i konvergentnost na niza, na konkretni primeri;
- objasnuva koga nizata an = qn konvergira.
- Opredeluva op{t ~len na aritmeti~ka progresija;
- opredeluva op{t ~len na geometriska progresija;
- ja koristi formulata za zbir na prvite n-~lenovi na aritmeti~ka progresija;
- ja primenuva aritmeti~kata progresija vo zada~i;
- ja koristi formulata za zbir na prvite n-~lenovi na geometriska progresija;
- ja primenuva geometriskata progresija vo zada~i;
1
Matematika za IV godina za ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovani e (izboren predmet vo funkcija na matura za ekonomsko-pravna i
trgovska, grafi~ka, zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna, ugostitelsko-turisti~ka, {umarsko-prerabotuva~ka struka)
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- odreduva to~ka na natrupuvawe na nekoi nizi;
- odreduva granica na nekoi nizi po definicija;
- odreduva grani~na vrednost od zbir, proizvod i koli~nik na dve nizi;
- granicata lim(1+1/n)n ja koristi vo zada~i;
- odreduva zbir na ~lenovite na beskrajna geometriska progresija pri q<1 i toa go koristi vo
zada~i.
- Ja sogleduva vrskata me|u monotona ograni~ena niza i konvergentna niza, na konkretni
primeri;
- voo~uva deka nizata an=(1+1/n)n e monotona, ograni~ena i konvergentna so granica
e = 2,71828... .
2
Matematika za IV godina za ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovani e (izboren predmet vo funkcija na matura za ekonomsko-pravna i
trgovska, grafi~ka, zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna, ugostitelsko-turisti~ka, {umarsko-prerabotuva~ka struka)
Programsko podra~je: FUNKCII I GRANI^NA VREDNOST
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija za: parnost, ograni~enost, monotonost, estremni vrednosti i
periodi~nost na funkcija;
- iska`uva definicija za slo`ena funkcija;
- iska`uva definicija za inverzna funkcija;
- iska`uva definicija za grani~na vrednost na funkcija;
- iska`uva definicija za leva i desna granica na funkcija;
- gi iska`uva svojstvata za grani~na vrednost na zbir, proizvod, koli~nik i stepen;
- iska`uva definicija za neprekinata funkcija.
- Go objasnuva poimot funkcija;
- gi objasnuva na~inite na zadavawe na funkcija;
- opi{uva elementarni funkcii;
- razlikuva definiciona oblast i mno`estvo vrednosti na funkcija;
- diskutira deka grafikot na funkcijata i na nejzinata inverzna funkcija se simetri~ni vo
odnos na pavata u=x;
- go objasnuva poimot granica na funkcija;
- povrzuva leva i desna granica na funkcija so konvergentnost;
- gi opi{uva granicite lim(sinx/x) = 1 i lim(1+1/x)x = e;
- razlikuva horizontalna, vertikalna i kosa asimptota na kriva.
- Odreduva definiciona oblast, mno`estvo vrednosti na funkcija, nuli, parnost,
periodi~nost, ekstremni vrednosti na funkcija i monotonost na funkcija;
- odreduva sostav na funkciite: f(x) i g(x), t.e. f(g(x)) ili g(f(x));
- odreduva inverzna funkcija na dadena funkcija (ednostavni slu~ai);
- primenuva inverzna funkcija za opredeluvawe na definiciona oblast i mno`estvo vrednosti
na funkcija;
- skicira grafik na nekoi funkcii so pomo{ na graficite na elementarnite funkcii;
3
Matematika za IV godina za ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovani e (izboren predmet vo funkcija na matura za ekonomsko-pravna i
trgovska, grafi~ka, zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna, ugostitelsko-turisti~ka, {umarsko-prerabotuva~ka struka)
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
- odreduva grani~ni vrednosti na funkcii po definicija;
- re{ava zada~i za nao|awe grani~ni vrednosti na funkcii;
- odreduva asimptoti na nekoi krivi.
- Re{ava poslo`eni zada~i za nao|awe grani~ni vrednosti na funkcii;
- ispituva odnesuvawe na funkcijata vo okolina na vertikalni asimptoti i ispituva
neprekinatost na funkcii.
4
Matematika za IV godina za ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovani e (izboren predmet vo funkcija na matura za ekonomsko-pravna i
trgovska, grafi~ka, zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna, ugostitelsko-turisti~ka, {umarsko-prerabotuva~ka struka)
Programsko podra~je: IZVOD NA FUNKCII
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Iska`uva definicija na izvod na funkcija, lev i desen izvod na funkcija i zapi{uva so
soodvetna oznaka;
- zapi{uva izvod na nekoi (elementarni) funkcii (sostavuva tablica na izvodi);
- zapi{uva formula za izvod od zbir, proizvod i koli~nik na dve funkcii.
- Razlikuva narasnuvawe na argument od narasnuvawe na funkcijata vo dadena to~ka;
- go interpretira geometriski narasnuvaweto na argumentot i na funkcijata;
- tolkuva diferencijal na funkcija geometriski;
- razlikuva funkcija {to ima izvod vo dadena to~ka, od funkcija {to nema izvod vo taa to~ka i
toa go objasnuva so primeri;
- opi{uva postapka za opredeluvawe izvod na slo`ena funkcija;
- objasnuva pod koi uslovi dadena funkcija ima vtor izvod vo dadena to~ka;
- go objasnuva poimot diferencijal na funkcija.
- Go odreduva narasnuvaweto na funkcijata za dadeno narasnuvawe na argumentot;
- odreduva izvod na nekoi (elementarni) funkcii so pomo{ na narasnuvawe (po definicija);
- ja koristi tablicata za odreduvawe izvod na nekoi funkcii;
- odreduva izvod od zbir, proizvod i koli~nik na dve funkcii;
- odreduva vtor izvod na dadena funkcija;
- odreduva izvod od povisok red na dadena funkcija;
- presmetuva pribli`na vrednost na funkcija vo blizina na dadena to~ka.
- Odreduva izvod na nekoi slo`eni funkcii.
5
Matematika za IV godina za ~etirigodi{no sredno stru~no obrazovani e (izboren predmet vo funkcija na matura za ekonomsko-pravna i
trgovska, grafi~ka, zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna, ugostitelsko-turisti~ka, {umarsko-prerabotuva~ka struka)
Programsko podra~je: PRIMENA NA IZVOD NA FUNKCIJA
Nivo na znaewa i
sposobnosti
POMNEWE
RAZBIRAWE
PRIMENUVAWE
ANALIZA,
SINTEZA I
VREDNUVAWE
Standard
- Povtoruva tablici za izvod od elementarni funkcii;
- zapi{uva ravenka na tangenta i normala na kriva;
- zapi{uva potreben / dovolen uslov za ekstrem;
- naveduva koga ekstremot e maksimum / minimum;
- zapi{uva monotonost na funkcija vo zavisnost od izvodot.
- Go objasnuva poimot za izvod so pomo{ na tangenta na dadena kriva;
- opi{uva (grafi~ki) vrska me|u ekstrem i tangenta;
- objasnuva dobivawe na ravenka na tangenta i normala na kriva;
- opi{uva odreduvawe na ekstrem i negova priroda.
- Odreduva tangenta / normala na kriva;
- odreduva ekstremi na funkcija so pomo{ na izvod;
- odreduva drugi (kriti~ni) to~ki na funkcija so pomo{ na izvod;
- ja ispituva prirodata na kriti~nite to~ki na dadena funkcija vo daden interval so pomo{ na
izvod od povisok red.
- Go ispituva tekot i crta grafik na dadena funkcija, so pomo{ na izvodi;
- re{ava prakti~ni zada~i za maksimum i minimum;
- koristi izvodi pri re{avawe zada~i od strukata.
6

identi^ni transformacii - Сојуз на математичари на Македонија

Чарлс Буковски ХОЛИВУД

pdf , Engleski, Str. 501

HEMISKI Zbirka re{eni zada~i REAKTORI 3

E - Сојуз на математичари на Македонија

izve[taj za postigawata na u^enicite od republika