Αντίστροφη συνάρτηση και «1-1 - LYKEIO

Ανάλυση Γ΄λυκείου
Α.Βλυσσίδης
Αντίστροφη συνάρτηση και «1-1» ιδιότητα
1) Να εξετάσετε ποιές από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι «1-1» στο πεδίο
ορισμού τους.
α) f ( x ) = 2 x − 5 β) f ( x ) = x3 + 2
Για να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι
γ) f ( x ) = x3 + 2 x − 4
«1-1» εξετάζουμε αν πληροί τον ορισμό:
δ) f ( x ) = x + e2 x
Για κάθε x1 , x2 ∈ A τέτοια ώστε
1
f ( x1 ) = f ( x2 ) να ισχύει x1 = x2 .
ε) f ( x ) =
− ln x
x −1
Αν αποτύχουμε να εφαρμόσουμε τον ορισμό
στ) f ( x ) = x 2 − 3x
εξετάζουμε αν είναι γνησίως μονότονη
συνάρτηση.
ζ) f ( x ) = x ln x
Για να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση δεν
είναι «1-1» αρκεί να βρούμε δύο
διαφορετικές τιμές του x που δίνουν την ίδια
τιμή f(x)
2) Να εξετάσετε ποιές από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι «1-1» στο πεδίο
ορισμού τους.
⎧ln x, x > 1
⎧ x + 1, x < 1
a) f ( x ) = ⎨
β) f ( x ) = ⎨ x
⎩ x − 1, x ≥ 1
⎩ −e , x ≤ 1
3) ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) =
βρείτε την f −1 εφόσον υπάρχει.
2x −1
με πεδίο ορισμού Α = \ − {3} . Να
x −3
4) Έστω συνάρτηση f : \ → \ τέτοια ώστε να ισχύει f ( f ( x ) ) = x3 για κάθε
x ∈ \ . Να δείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση.
5) Έστω συνάρτηση f : \ → \ τέτοια ώστε να ισχύει f ( f ( x ) ) = x + f ( x ) για
κάθε x ∈ \ . Να δείξετε ότι α) υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση, β) f ( 0 ) = 0 .
6) Έστω η συνάρτηση f : \ → \ τέτοια ώστε να ισχύει f ( f ( x ) ) = x 2 − x + 1
για κάθε x ∈ \ . Να δείξετε ότι α) f (1) = 1 β) η συνάρτηση
g ( x ) = x 2 − xf ( x ) + 1 δεν είναι «1-1».
7) Α) Αν δύο συναρτήσεις f,g είναι «1-1» και ορίζονται οι συνθέσεις τους
f D g και g D f να δείξετε ότι και αυτές είναι «1-1» συναρτήσεις.
Λύκειο Θρακομακεδόνων
Ανάλυση Γ΄λυκείου
Α.Βλυσσίδης
Β) Αν μία συνάρτηση f είναι «1-1» και ορισμένη στο \ να δείξετε ότι και η
συνάρτηση g ( x ) = f 3 ( x ) + 3 f ( x ) − 2009 είναι «1-1».
8) ∆ίνεται η συνάρτηση f : \ → \ τέτοια ώστε για κάθε x ∈ \ να ισχύει
( f D f )( x ) + x = 0 . Να δείξετε ότι α) η f είναι «1-1» συνάρτηση.
β) f −1 ( x ) = − f ( x ) γ) η f δεν είναι γνησίως μονότονη δ) η f είναι περιττή ε) η
γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
9) Έστω η συνάρτηση f : \ → \ τέτοια ώστε να ισχύει
f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) για κάθε x, y ∈ \ . Nα δείξετε ότι α) f ( 0 ) = 0
β) f ( − x ) = − f ( x ) για κάθε x ∈ \
γ) αν η εξίσωση f ( x ) = 0 έχει μοναδική ρίζα το 0, τότε η f είναι «1-1»
συνάρτηση.
⎛ 2x +1 ⎞
10) Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε f ⎜
⎟ = x + 2 με x ≠ 2 .
⎝ x−2 ⎠
Να βρείτε α) τους αριθμούς f ( −3) και f ( 7 ) β) τον τύπο της f και το σύνολο
τιμών.
γ) Να ορίσετε, αν υπάρχει, την f −1 .
11) βασική άσκηση
Έστω συνάρτηση f : \ → \ με σύνολο τιμών το \ η οποία είναι γνησίως
αύξουσα. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις f ( x ) = x και f ( x ) = f −1 ( x )
είναι ισοδύναμες.
12) Έστω η συνάρτηση f ( x ) = x3 + x + 1 , x ∈ \ .
α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται
β) Να λύσετε την εξίσωση f ( x ) = f −1 ( x )
γ) Να υπολογίσετε τον αριθμό f −1 (1) .
⎡ 1
13) Έστω η συνάρτηση f ( x ) = 3 − 3 x + 1, x ∈ ⎢ − , +∞ ) .
⎣ 3
α) Να αποδείξετε ότι είναι «1-1» και να βρείτε την f −1 .
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστασεων των f και f −1 .
14) Έστω η συνάρτηση f ( x ) = − x3 , x ∈ \
α) Να βρείτε την f −1 και
β) τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και f −1 .
Λύκειο Θρακομακεδόνων
Ανάλυση Γ΄λυκείου
Α.Βλυσσίδης
15) Έστω η συνάρτηση f ( x ) = x3 + x − 1 , x ∈ \ .
α) Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση
β) Να βρείτε για ποιές τιμές του x ∈ \ επαληθεύεται η ισότητα
f ( x ) = f −1 ( x )
γ) Να λύσετε την ανίσωση f −1 ( 2 x − 1) < 1
δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f −1 με τον άξονα
x’x.
16) Έστω η συνάρτηση f ( x ) = α + x − 4, x ∈ ⎡⎣ 4, +∞ )
a) Αν f ( Α ) = [5, +∞ ) είναι το σύνολο τιμών της f να βρείτε τον α ∈ \
β) Να ορίσετε την f −1
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των f και f −1 .
17) Έστω η συνάρτηση f ( x ) = x3 + x + 1 + e x , x ∈ \ .
α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
β) Να λύσετε την εξίσωση: ( x 2 − 1) + x 2 + e x
3
2
−1
= 8 x3 + 2 x + 1 + e2 x .
18) ∆ίνεται η συνάρτηση f : \ → \ με f 3 ( x ) + f ( x ) − x = 0 για κάθε x ∈ \ .
Να αποδείξετε ότι α) η f αντιστρέφεται β) f −1 ( x ) = x3 + x
19) Έστω f ( x ) = e x + ln x − e , x>0.
Α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.
Β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
Γ) Αν f ( Α ) = \ να λύσετε α) την εξίσωση f −1 ( x ) = 1
β) την ανίσωση f −1 ( x + 1) > e .
20) ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = x − συν x , x ∈ [ 0, π ] .
α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f.
β) Να λύσετε την εξίσωση συν ( λ 3 + 1) + λ = συν ( λ + 1) + λ 3 με λ ∈ ( −1,1)
Λύκειο Θρακομακεδόνων

Download Report