ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 1ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1 ΤΜΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ Πείραμα Τύχης: Διαδικασία που επαναλαμβανόμενη κάτω από τις ίδιες συνθήκες δεν οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα. Βασικά Σύνολα Δειγματικός χώρος = Σίγουρο Ενδεχόμενο , όπου ω1, ω 2,..... ω Ν στοιχεία του δειγματικού χώρου. Το Κενό σύνολο  = Αδύνατο Ενδεχόμενο A   , το ενδεχόμενο Α είναι υποσύνολο του Ω Στοιχειώδες Ενδεχόμενο Ν στοιχεία του δειγματικόυ χώρου (k<Ν) Κλασικός Ορισμός Πιθανότητας: το οποίο περιέχει k στοιχεία από τα Βασικές Πράξεις Συνόλων Ασυμβίβαστα ή Ξένα Ενδεχόμενα A  B  P( A)  P( B) A, B   & A  B   Πράξεις Πιθανοτήτων Σημείωση: Τα A, B πρέπει να είναι υποσύνολα ΚΟΙΝΟΥ δειγματικού 1) P( A ')  1  P( A) χώρου 2)  Ai  , Ai  Aj     P( Ai )  1 Συμπλήρωμα Συνόλου Α 3) P(Ω)=1 A'    A 4) i Επιμέλεια, Λαμπρινή Χαλικιά, [email protected] ΑΘΗΝΑ : Nίκης 2 & Καραγιώργη Σερβίας , Σύνταγμα, 5ος όροφος, ΠΕΙΡΑΙΑΣ : Δεληγιώργη 106Α Τηλ.: 210-77.12.995, 210–42.20.970, 210-42.20.971, 210-42.20.972 Fax : 210 – 42.20.634 URL : www.vitali.gr email: [email protected] ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Διαμέριση Δειγματοχώρου    Ai 1,...,v , ώστε (i  j ) Ai   j   A B  A B' ~ Πιθανότητα ένωσης συνόλων P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) A  B    P( A  B)  P( A)  P( B) x  A : x  B Προσεταιρισμός συνόλων Δεσμευμένη πιθανότητα P( A / B)  ( A  B)   ( A )  ( B ) Α,Β ανεξάρτητα ενδεχόμενα ( A  B)   ( A )  ( B )  P( A / B)  P( A)  P( A  B)  P( A) P( B) Κανόνες De Morgan  A  B  '  A ' B '  A  B  '  A ' B ' P( A  B) P( B) Σημείωση: Το παραπάνω ισχύει αν σίγουρα τα Α, Β ανήκουν σε ΞΕΧΩΡΙΣΤΟΥΣ δειγματοχώρους. Συνδυασμός συνόλων Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας & Bayes A  B  {(ai , bi ) : ai  A, bi  B} Αν τα Ai ,i 1,...,v διαμερίζουν τον Ω , τότε αν E   ισχύουν: P( E )   P( E / Ai ) P( Ai ) = i = P( Ak / E )  P( E / Ak ) P( Ak )  P( E / Ai ) P( Ai ) i Επιμέλεια, Λαμπρινή Χαλικιά, [email protected] ΑΘΗΝΑ : Nίκης 2 & Καραγιώργη Σερβίας , Σύνταγμα, 5ος όροφος, ΠΕΙΡΑΙΑΣ : Δεληγιώργη 106Α Τηλ.: 210-77.12.995, 210–42.20.970, 210-42.20.971, 210-42.20.972 Fax : 210 – 42.20.634 URL : www.vitali.gr email: [email protected] ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ο πληθυσμός μιας πόλης αποτελείται από 52% άνδρες και 48% γυναίκες. Διαπιστώθηκε ότι καπνίζει το 65% των ανδρών και το 30% των γυναικών. Επιλέγουμε στη τύχη ένα άτομο. Ποιά η πιθανότητα να είναι καπνιστής; 2. Μια μηχανή Α παράγει ένα ελαττωματικό προϊόν με πιθανότητα 0.2, ενώ η μηχανή Β με πιθανότητα 0.8. Αν η Α παράγει το 70% συνολικά της παραγωγής, ενώ η Β το υπόλοιπο 30%, ζητάμε την πιθανότητα ένα τυχαία επιλεγμένο προϊόν να μην είναι ελαττωματικό. 3. Έστω μια κάλπη με 6 κόκκινες, 4 άσπρες και 5 μαύρες σφαίρε ς. Τραβάμε 3 σφαίρες στη σειρά χωρίς επανατοποθέτηση. Ποια είναι η πιθανότητα περίπου να επιλέξουμε στη σειρά, κόκκινη, άσπρη και τέλος μαύρη; 4. Για την διάγνωση μιας ασθένειας γίνεται ένα τεστ το οποίο απαντά θετικά στο 80% των περιπτώσεων με την προϋπόθεση ότι το άτομο έχει την ασθένεια και το 10% των περιπτώσεων με την προϋπόθεση ότι το άτομο δεν έχει την ασθένεια. Η πιθανότητα ένα άτομο να έχει την ασθένεια είναι 1%. Ποιά η πιθανότητα να είναι θετικό το τέστ; 5. Αλυσίδα καταστημάτων προμηθεύεται το 20% των ηλεκτρονικών παιχνιδιών από τον προμηθευτή Α και τα υπόλοιπα από τον προμηθευτή Β. Το 1 στα 20 παιχνίδια του προμηθευτή Α είναι ελαττωματικά και το 1 στα 10 του προμηθευτή Β είναι ελαττωματικά. Έστω ότι επιλέξω τυχαία ένα παιχνίδι, i. ii. Ποιά η πιθανότητα ένα παιχνίδι να είναι ελαττωματικό; Ποια η πιθανότητα να προέρχεται απο τον προμηθευτή Α δεδομένου ότι δεν είναι ελαττωματικό; 6. Αν P(A B)=P(A B) τότε Α=Β 7. Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου με P(A)=2/5 και P(B)=5/8, να αποδείξετα ότι: Επιμέλεια, Λαμπρινή Χαλικιά, [email protected] ΑΘΗΝΑ : Nίκης 2 & Καραγιώργη Σερβίας , Σύνταγμα, 5ος όροφος, ΠΕΙΡΑΙΑΣ : Δεληγιώργη 106Α Τηλ.: 210-77.12.995, 210–42.20.970, 210-42.20.971, 210-42.20.972 Fax : 210 – 42.20.634 URL : www.vitali.gr email: [email protected]