close

Enter

Log in using OpenID

1ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1

embedDownload
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ
1ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1
ΤΜΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ
Πείραμα Τύχης:
Διαδικασία που επαναλαμβανόμενη κάτω από τις ίδιες συνθήκες δεν οδηγεί στο ίδιο
αποτέλεσμα.
Βασικά Σύνολα
Δειγματικός χώρος
= Σίγουρο Ενδεχόμενο , όπου ω1,
ω 2,..... ω Ν στοιχεία του δειγματικού χώρου.
Το Κενό σύνολο  = Αδύνατο Ενδεχόμενο
A   , το ενδεχόμενο Α είναι υποσύνολο του Ω
Στοιχειώδες Ενδεχόμενο
Ν στοιχεία του δειγματικόυ χώρου (k<Ν)
Κλασικός Ορισμός Πιθανότητας:
το οποίο περιέχει k στοιχεία από τα
Βασικές Πράξεις Συνόλων
Ασυμβίβαστα ή Ξένα
Ενδεχόμενα
A  B  P( A)  P( B)
A, B   & A  B  
Πράξεις Πιθανοτήτων
Σημείωση: Τα A, B πρέπει
να είναι υποσύνολα
ΚΟΙΝΟΥ δειγματικού
1)
P( A ')  1  P( A)
χώρου
2)  Ai  , Ai  Aj     P( Ai )  1
Συμπλήρωμα Συνόλου Α
3) P(Ω)=1
A'    A
4)
i
Επιμέλεια, Λαμπρινή Χαλικιά, [email protected]
ΑΘΗΝΑ : Nίκης 2 & Καραγιώργη Σερβίας , Σύνταγμα, 5ος όροφος,
ΠΕΙΡΑΙΑΣ : Δεληγιώργη 106Α
Τηλ.: 210-77.12.995, 210–42.20.970, 210-42.20.971, 210-42.20.972 Fax : 210 – 42.20.634
URL : www.vitali.gr email: [email protected]
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ
Διαμέριση
Δειγματοχώρου
   Ai 1,...,v , ώστε
(i  j ) Ai   j  
A B  A B' ~
Πιθανότητα ένωσης συνόλων
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
A  B    P( A  B)  P( A)  P( B)
x  A : x  B
Προσεταιρισμός συνόλων
Δεσμευμένη πιθανότητα P( A / B) 
( A  B)   ( A )  ( B )
Α,Β ανεξάρτητα ενδεχόμενα
( A  B)   ( A )  ( B )
 P( A / B)  P( A)  P( A  B)  P( A) P( B)
Κανόνες De Morgan
 A  B  '  A ' B '
 A  B  '  A ' B '
P( A  B)
P( B)
Σημείωση: Το παραπάνω ισχύει αν σίγουρα τα Α, Β
ανήκουν σε ΞΕΧΩΡΙΣΤΟΥΣ δειγματοχώρους.
Συνδυασμός συνόλων
Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας & Bayes
A  B  {(ai , bi ) : ai  A, bi  B}
Αν τα Ai ,i 1,...,v διαμερίζουν τον Ω , τότε αν E   ισχύουν:
P( E )   P( E / Ai ) P( Ai )
=
i
=
P( Ak / E ) 
P( E / Ak ) P( Ak )
 P( E / Ai ) P( Ai )
i
Επιμέλεια, Λαμπρινή Χαλικιά, [email protected]
ΑΘΗΝΑ : Nίκης 2 & Καραγιώργη Σερβίας , Σύνταγμα, 5ος όροφος,
ΠΕΙΡΑΙΑΣ : Δεληγιώργη 106Α
Τηλ.: 210-77.12.995, 210–42.20.970, 210-42.20.971, 210-42.20.972 Fax : 210 – 42.20.634
URL : www.vitali.gr email: [email protected]
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Ο πληθυσμός μιας πόλης αποτελείται από 52% άνδρες και 48% γυναίκες.
Διαπιστώθηκε ότι καπνίζει το 65% των ανδρών και το 30% των γυναικών.
Επιλέγουμε στη τύχη ένα άτομο. Ποιά η πιθανότητα να είναι καπνιστής;
2. Μια μηχανή Α παράγει ένα ελαττωματικό προϊόν με πιθανότητα 0.2, ενώ η μηχανή
Β με πιθανότητα 0.8. Αν η Α παράγει το 70% συνολικά της παραγωγής, ενώ η Β το
υπόλοιπο 30%, ζητάμε την πιθανότητα ένα τυχαία επιλεγμένο προϊόν να μην είναι
ελαττωματικό.
3. Έστω μια κάλπη με 6 κόκκινες, 4 άσπρες και 5 μαύρες σφαίρε ς. Τραβάμε 3 σφαίρες
στη σειρά χωρίς επανατοποθέτηση. Ποια είναι η πιθανότητα περίπου να επιλέξουμε
στη σειρά, κόκκινη, άσπρη και τέλος μαύρη;
4. Για την διάγνωση μιας ασθένειας γίνεται ένα τεστ το οποίο απαντά θετικά στο 80%
των περιπτώσεων με την προϋπόθεση ότι το άτομο έχει την ασθένεια και το 10%
των περιπτώσεων με την προϋπόθεση ότι το άτομο δεν έχει την ασθένεια. Η
πιθανότητα ένα άτομο να έχει την ασθένεια είναι 1%. Ποιά η πιθανότητα να είναι
θετικό το τέστ;
5. Αλυσίδα καταστημάτων προμηθεύεται το 20% των ηλεκτρονικών παιχνιδιών από
τον προμηθευτή Α και τα υπόλοιπα από τον προμηθευτή Β. Το 1 στα 20 παιχνίδια
του προμηθευτή Α είναι ελαττωματικά και το 1 στα 10 του προμηθευτή Β είναι
ελαττωματικά. Έστω ότι επιλέξω τυχαία ένα παιχνίδι,
i.
ii.
Ποιά η πιθανότητα ένα παιχνίδι να είναι ελαττωματικό;
Ποια η πιθανότητα να προέρχεται απο τον προμηθευτή Α δεδομένου ότι δεν
είναι ελαττωματικό;
6. Αν P(A B)=P(A B) τότε Α=Β
7. Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου με P(A)=2/5 και
P(B)=5/8, να αποδείξετα ότι:
Επιμέλεια, Λαμπρινή Χαλικιά, [email protected]
ΑΘΗΝΑ : Nίκης 2 & Καραγιώργη Σερβίας , Σύνταγμα, 5ος όροφος,
ΠΕΙΡΑΙΑΣ : Δεληγιώργη 106Α
Τηλ.: 210-77.12.995, 210–42.20.970, 210-42.20.971, 210-42.20.972 Fax : 210 – 42.20.634
URL : www.vitali.gr email: [email protected]
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
0
File Size
564 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content