close

Enter

Log in using OpenID

( ) n/m ( ) κα

embedDownload
ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495
www.arnos.gr – e-mail : [email protected]
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΜΑΘ 001
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Ιδιότητα
Πρόσθεση
α+β = β+α
α ⋅β = β ⋅ α
Προσεταιριστική
α + (β + γ) = (α + β) + γ
α(β ⋅ γ) = (α ⋅ β) γ
Επιµεριστική
α(β + γ) = αβ + αγ
Ουδέτερο στοιχ.
α+0 = α
α ⋅1 = α
Αντίθετο –
αντίστροφο στοιχ
α + ( −α) = 0
α⋅
α(β − γ) = αβ − αγ
1
=1
α
,α ≠ 0
Κλάσµατα – Ιδιότητες - Πράξεις
α
1
α
Ορίζουµε
=α
, β ≠ 0 . Προσοχή το
δεν ορίζεται, διότι δεν
β
β
0
έχει φυσικό νόηµα ο χωρισµός της µονάδας σε µηδέν µέρη.
0
ακ
α
α
•
=0
=κ
α=
=1
α
α
α
1
•
Για κλάσµατα οµώνυµα και ετερώνυµα ισχύει :
α γ αδ γβ αδ ± γβ
α β α ±β
± =
±
=
± =
,γ ≠ 0,
β δ βδ δβ
βδ
γ γ
γ
α γ αδ
: =
β δ βγ
α γ αγ
⋅ =
,
β δ βδ
Τυπολόγιο & Μεθοδολογία
Κανόνας των προσήµων
Πολ/σµός
Αντιµεταθετική
•
fast & easy
Γινοµένου : (+) (+) = (-) (-) = + , (-) (+) = (+) (-) = -,
−
−
+
Πηλίκου : +
+ = − = +, + = − = −
( ) ( )
( ) ( )
Απόλυτη τιµή – Ιδιότητες
•
Ορισµός : | x |= x αν x ≥ 0 , | x |= − x αν x < 0
Η απόλυτη τιµή είναι η απόσταση του αριθµού από το µηδέν π.χ.
| +7 |= 7, | −5 |= 5 , | x |= 2 ⇒ x = ±2
| x |≥ 0 , | x |2 = x 2 ,
•
x 2 =| x |
x |x|
=
y |y|
| xy |=| x || y |,
•
Εξίσωση : | x |= α µε α > 0 ⇒ x = ±α
•
Ανίσωση : | x |< α µε α > 0 ⇒ −α < x < α
| x |> α µε α > 0 ⇒ x > α ή x < −α
Γραφικά :
-α
0
| x |≤ α
| x |> α
α
| x |> α
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
y = ex
Ταυτότητες
e=2,718
1.
(α + b) 2 = α 2 + 2αb + b 2
2.
(α − b) 2 = α 2 − 2αb + b 2
3.
(α + b) 3 = α 3 + 3α 2 b + 3αb 2 + b 3
4.
(α − b) 3 = α 3 − 3α 2 b + 3αb 2 − b 3
y=x+1
y=x
y=x-1
1
y = Anx
1
e=2,718
5. ( α + β + γ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ
Παραγοντοποίηση (γινόµενο παραγόντων)
1.
α 2 − b 2 = (α + b)(α − b)
2.
α 2 ± 2αb + b 2 = (α ± b) 2
3
3
2
Η λογαριθµική και η εκθετική συνάρτηση είναι αντίστροφες :
y = Anx ⇔ x = e y µε x > 0
2
3.
α + b = (α + b)(α − αb + b )
4.
α 3 − b 3 = (α − b)(α 2 + αb + b 2 )
Βασική λογαριθµική ταυτότητα
e Anx = x ,
∆υνάµεις - ρίζες
α m ⋅ α n = α m+n
α
nβ
(αβ)n = α n ⋅ β n
n
αβ = n α ⋅ n β , α ≥ 0, β ≥ 0
n
α
αn
  =
,
βn
β
β≠0
n
α
=
β
(α m ) n = α m⋅n
nm
(α / β )−n = (β / α )n , α ⋅ β ≠ 0
n
αm
αn
= αm−n ,
α ≠0,
Ιδιότητες διάταξης
1. Εαν α < b, τότε
= n α nβ ,
n
α
n
β
α≥0
α ≥ 0, β ≥ 0
,
αm =
( α)
n
α
= α1−1 = α 0 = 1 ,
α
π.χ. x x = e Anx = e xAnx
Ιδιότητες Εκθετικής
e α ⋅ e β = e α +β
Ιδιότητες Λογαριθµικής
An (α ⋅ β) = Anα + Anβ , α > 0, β > 0
eα
An
eβ
m
n
= e α −β
(e )
α = n ⋅m α
α κ
= αm / n
α = α1 / n , α ≥ 0
x > 0 Γενικά f ( x ) = eAnf ( x )
x
α
= Anα − Anβ ,
β
α > 0, β > 0
Anα κ = κAnα ,
= e κα
e 0 = 1, e1 = e , (e) 2 = e 2
Εξίσωση ευθείας y=αx+β,
An1 = 0,
α >0
Ane = 1,
Ane 2 = 2
α≠0
y
α+c < b+c
2.
Εαν α < b
και c > 0
τότε
αc < bc παραµένει φορά
3.
Εαν α < b και c < 0
τότε
αc > bc αλλάζει φορά
ΣΤΗΡΙΞΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ
Α.Ε.Ι. – Α.Τ.Ε.Ι. – Ε.Μ.Π. – Ε.Α.Π.
www.arnos.gr
0 ≤ θ < π/2
θ
θ
α>0
β
−
α
Κλίση της ευθείας : εφθ = α
β
−
α
x
π/2 < θ ≤ π
α<0
y
y
sin x = ΟΡ ∈ [-1,1]
y=x
y= - x
y=β θ=0
β
θ=3π/4
θ=π/4
x
x y
+ =1
α β
α
x
0
0
x=α
θ=π/2
µε x∈R
tαnx = ΑΣ ∈ (-∞,+∞)
µε x∈R - {κπ + π / 2, κ ∈ Ζ}
cot x = ΒΤ ∈ (-∞,+∞)
µε x∈R - {κπ, κ∈Ζ}
όπου ΟΠ, ΟΡ, ΑΣ, ΒΤ , είναι οι αλγεβρικές τιµές
αντίστοιχους άξονες των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων.
στους
Τριγωνοµετρικές ταυτότητες
1.
3.
Ευθεία που διέρχεται από δυο σηµεία Α(x1, y1), B(x2, y2)
y − y1 y 2 − y1
y −y
,
µε κλίση : εφθ = 2 1 = λ
=
x − x1 x 2 − x1
x 2 − x1
•
π

π

3. sin  − θ  = cοsθ
4. cos − θ  = sin θ
2

2

Τύποι διπλάσιου τόξου – Αποτετραγωνισµός
d = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
ΤΡΙΩΝΥΜΟ (ΠΑΡΑΒΟΛΗ)
f ( x ) = α x 2 + βx + γ
Ρίζες : f(x)=0 ∆ιακρίνουσα ∆=β2 – 4αγ
ρ1, 2 =
1.
sin2θ = 2sinθcosθ
1.
sin 2 θ = (1 − cos 2θ)/2
2.
cos2θ = cos2θ − sin 2θ =
2.
cos2 θ = (1 + cos 2θ)/2
θ 1 − cos θ
sin 2 =
2
2
+
θ
1
cos θ
cos 2 =
2
2
−β ±i −∆
−β ± ∆
για ∆ ≥ 0 ρ1, 2 =
για ∆<0
2α
2α
όπου i η φανταστική µονάδα µε i 2 = −1 .
β
γ
•
Άθροισµα - γινόµενο : ρ1 + ρ 2 = − , ρ1 ⋅ ρ 2 =
α
α
Πρόσηµο του τριωνύµου
α) Για α>0 η παραβολή «βλέπει» προς τα πάνω
3.
y
α>0
0
x
−β / 2 α
−β / 2 α
∆>0
∆=0
∆<0
β) Για α<0 η παραβολή «βλέπει» προς τα κάτω :
y
α<0
0
ρ1
+ + ρ2
−β / 2 α
−β / 2α
−β / 2 α
x
_
_
_
f (x) < 0
∆=0
r
sin θ = y / r
cοsθ = x / r
2tαnθ
3. tαnθ = y / x
4. cοtθ = x / y
y
x
5.
2
1 - tαn θ
0ο
30
ο
45
π/6
1/ 2
ο
π/4
60
ο
1 + tan 2 θ =
90
π /3
ο
180
ο
π/2
1
cos 2 θ
270 ο
π
ο
360
3π / 2
2π
1
0
−1
0
0
−1
0
1
sin x
0
c ο sx
1
3 /2
2 / 2 1/ 2
t α nx
0
3 /3
1
3
∆ .0 .
0
∆ .0 .
0
c ο tx
∆ .0 .
3
1
3 /3
0
∆ .0 .
0
∆ .0 .
2 /2
3 /2
Γραµµικό Σύστηµα δυο αγνώστων (2x2)
α1x + β1y = γ1
α2x + β2y = γ2
D=
α1 β1
= α1β 2 − α 2β ,
α2 β2
1
•
Αν D ≠ 0 έχει µοναδική λύση την x = D x / D, y = D y / D
•
Αν D=0 και D x ≠ 0 ή D y ≠ 0 τότε είναι αδύνατο
•
Αν D = Dx = Dy = 0 είναι αόριστο. Εκτός α1 = α2 = β1 = β2
=0 και γ1 ≠ 0 ή γ2 ≠ 0 τότε είναι αδύνατο
∆<0
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
Γωνία θ ορθογωνίου τριγώνου
1.
2.
4.
Το σύστηµα
_
f (x) ≤ 0
∆>0
= 1 − 2 sin 2 θ
0
+
+
ρ1 −β / 2 α ρ 2
_ _
3.
f (x ) > 0
f (x) ≥ 0
+
= 2 cos2 θ − 1 =
tαn2θ =
x
+
2. tan θ = sin θ/cosθ
4. cοtθ = 1 / tan θ
Σχέσεις αντίθετων – συµπληρωµατικών γωνιών
2. cοs(−θ) = cosθ
1. sin(−θ) = -sinθ
Απόσταση d δυο σηµείων Α(x1, y1), B(x2, y2)
•
cos2 θ + sin 2 θ = 1
cοtθ = cοsθ/sinθ
Dx =
γ1 β1
,
γ2 β2
Dy =
α1 γ1
α2 γ2
θ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Τριγωνοµετρικός κύκλος : είναι ένα σύστηµα συντεταγµένων µε Ε = εµβαδόν, C = περιφέρεια , V= όγκος, S = ολική επιφάνεια,
αρχή το κέντρο του κύκλου, µονάδα µέτρησης την ακτίνα του και r=ακτίνα, h=ύψος, x=µήκος, y=πλάτος, b=(ή α)=µήκος βάσης (πλευρά)
προσανατολισµό αντίθετο των δεικτών του ρολογιού.
1. τετράγωνο
Ε=α2
2. ορθογώνιο
Ε=xy
sinx
π/2
tanx
1
B
+1
cotx
Σ
Ρ
-1
π
3. παραλληλόγραµµο Ε=bh
Τ
1
x
Π
Ο
A
+
2
5. κύκλος
Ε=πr ,
C=2πr
7. κύβος
S=6α2,
V=α3
cosx
9. ορθός
S = 2πr (r + h )
κύλινδρος V=πr2h
-1
4. τρίγωνο
Ε=(bh)/2
6. τραπέζιο
Ε=(α+b)h/2
8. ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο
S = 2( xy + yh + xh ); V=xyh
10. σφαίρα
3π/2
Για τη γωνία x οι τιµές των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων
είναι: cos x = ΟΠ ∈ [-1,1] µε x∈R
11. ορθός κώνος
S = πr (r + h 2 + r 2 ) ,
S = 4πr 2
V = (4πr 3 ) / 3
V = ( πr 2h ) / 3
ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495
www.arnos.gr – e-mail : [email protected]
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ – ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ
ΜΑΘ 035
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ ΤΟΥ GAUSS
Γραµµικό σύστηµα m × n λέγεται ένα
πλήθος m γραµµικών εξισώσεων µε n αγνώστους των οποίων ζητάµε τις κοινές λύσεις.
Η λέξη «γραµµικό» δηλώνει ότι οι όροι
της εξίσωσης που περιέχουν αγνώστους
είναι πρώτου βαθµού.
π.χ. 1 2 × 2 Γραµµικό σύστηµα :
Με τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss ή του
επαυξηµένου πίνακα επιδιώκουµε:
α) να καταλήξουµε στον ελάχιστο δυνατό
αριθµό εξισώσεων και
β) να προκύψουν εξισώσεις µε όσο το δυνατόν περισσότερους µηδενικούς συντελεστές.
Επαυξηµένος πίνακας ενός m × n γραµµιG G
κού συστήµατος Αx = b ονοµάζεται ο πίνακας που έχει στοιχεία τους συντελεστές των
αγνώστων και των σταθερών όρων.
Όπως προαναφέραµε το σύστηµα ανάγεται µε
τη βοήθεια πινάκων σε εξίσωση. Για το λόγο
αυτό, αντί των εξισώσεων του συστήµατος
χρησιµοποιούµε τον επαυξηµένο πίνακα.
π.χ. Για το 3 × 3 γραµµικό σύστηµα:
x + 3y + 4z = 6
3x + 10y -10z = -3 (Σ)
-2x - 4y + 11z = 9
ο επαυξηµένος πίνακας είναι:
α1 x + β1 y = γ1 
α 2 x + β 2 y = γ 2 
 α 1 β 1   x   γ1 

  = 
α2 β2   y  γ2 
(1)
ή
G G
Αx = b
όπου αi, βi, γi ∈ R, A 2 × 2 πίνακας και
G G
x , b πίνακες στήλη 2 ×1 .
π.χ. 2 3 × 3 Γραµµικό σύστηµα :
α1x + β1y + γ1z = δ1 

α 2 x + β 2 y + γ 2z = δ2 
α 3x + β3 y + γ 3z = δ3 
 α 1 β1 γ 1   x 

 
α2 β2 γ2   y =
 α β γ   z 
3
3
 3
 δ1 
 
δ2  ή
δ 
 3
(2)
που ικανοποιεί το σύστηµα:
G
G
Αx µ = b
Γενική λύση (χώρος λύσεων) καλείται το
σύνολο όλων των λύσεων του συστήµατος.
Συµβιβαστό λέγεται ένα σύστηµα εξισώσεων που έχει µία τουλάχιστον λύση.
Αδύνατο λέγεται ένα γραµµικό σύστηµα
που δεν έχει λύση.
Οµογενές ονοµάζεται το γραµµικό σύστηµα του οποίου οι σταθεροί όροι είναι
όλοι ίσοι µε µηδέν.
Σχόλιο: Τα οµογενή συστήµατα είναι πάντοτε συµβιβαστά, καθώς έχουν προφανή
(τετριµµένη) λύση τη µηδενική.
Παραµετρικό λέγεται το γραµµικό σύστηµα του οποίου οι συντελεστές των αγνώστων και οι σταθεροί όροι µπορεί να
είναι µεταβλητές (παράµετροι), π.χ. λ, µ.
−3x + 5y = 0 
x + 3λy = λ − 4
,
5x − 8y = 0 
2 λx − y = λ + 1

οµογενές
4
1 3
 3 10 − 10
− 2 − 4 11

G G
Αx = b
όπου αi, βi, γi, δi ∈ R, A 3 × 3 πίνακας και
G G
x , b πίνακες στήλη 3 ×1 .
Παρατηρούµε ότι το σύστηµα µε τη χρησιµοποίηση πινάκων ισοδυναµεί µε εξίσωση. Γι΄ αυτό οι µεθοδολογίες επίλυσής
του βασίζονται στην αντίστοιχη θεωρία.
Λύση ενός m × n γραµµικού συστήµατος
λέγεται κάθε διατεταγµένη n – άδα αριθµών που επαληθεύει όλες τις εξισώσεις.
Μερική (µία) λύση ενός συστήµατος λέG
γεται κάθε διάνυσµα xµ = (x1, x2,...,xn )T ∈ Rn
π.χ.
fast & easy



παραµετρικό
ΣΤΗΡΙΞΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ
Α.Ε.Ι. – Α.Τ.Ε.Ι. – Ε.Μ.Π. – Ε.Α.Π.
ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
6
− 3
9 
Σχόλιο: Οι πράξεις µεταξύ των εξισώσεων
του (Σ) για την απαλοιφή των αγνώστων εκτελούνται αντίστοιχα µεταξύ των γραµµών
του επαυξηµένου πίνακα (γραµµοπράξεις).
Μέθοδος απαλοιφής του Gauss :
Βήµα 1ο Με εναλλαγή των γραµµών - εξισώσεων γράφουµε πρώτη γραµµή αυτή
που έχει στον πρώτο άγνωστο τον πιο απλό µη µηδενικό συντελεστή (συνήθως
µονάδα).
Βήµα 2ο Με οδηγό την πρώτη γραµµή εξίσωση απαλείφουµε τον ίδιο άγνωστο
(π.χ. το x) από όλες τις άλλες εξισώσεις.
Συγκεκριµένα πολλαπλασιάζουµε την ή
τις γραµµές – εξισώσεις µε αριθµό τέτοιο
που αν τις προσθέσουµε να απαλείφεται ο
αντίστοιχος άγνωστος. Αν εµφανιστεί
γραµµή 0,0,…,0 = 0 τότε αυτή παραλείπεται.
Βήµα 3ο Με αφετηρία τη δεύτερη εξίσωση εκτελούµε τα βήµατα 1ο , 2ο , κ.ο.κ.
π.χ. Για το παραπάνω σύστηµα έχουµε :
1 3 4
 3 10 −10
−2 −4 11

1 0 70
0 1 − 22
0 0 63

1 0 0
0 1 0
0 0 1

6
−3
9 
1 3 4
0 1 −22
0 2 19

69  1 0 70
− 21 0 1 − 22
63  ÷63 0 0 1
 x  − 1
− 1
1  ⇔  y =  1 
z  1 

1
   
6
−21
21
69 
− 21
1 
Τυπολόγιο & Μεθοδολογία
ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ
ΜΕΤΑ ΤΗ ΜΕΘΟ∆Ο ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ
Α∆ΥΝΑΤΟ όταν οι συντελεστές όλων των
όρων µιας εξίσωσης είναι 0, ενώ ο σταθερός
της όρος διάφορος του 0, δηλ. 0 = α.
ΜΟΝΑ∆ΙΚΗ ΛΥΣΗ όταν ο αριθµός των αγνώστων n είναι ίσος µε τον αριθµό των εξισώσεων k που αποµένουν (n = k).
ΑΠΕΙΡΙΑ ΛΥΣΕΩΝ όταν ο αριθµός των
αγνώστων n είναι µεγαλύτερος από τον αριθµό των εξισώσεων k που αποµένουν (n > k),
δηλαδή m = n-k ελεύθεροι άγνωστοι.
ΜΕΘΟ∆ΟΣ CRAMMER (ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ)
Η µέθοδος Crammer εφαρµόζεται σε n × n
G G
γραµµικά συστήµατα Αx = b . Εφόσον ο Α-1
υπάρχει, τότε από τη θεωρία πινάκων για το
σύστηµα έχουµε τη µοναδική λύση :
G
G
G
G
Α-1Α x = Α-1 b ⇔ x = A −1b
Θυµίζουµε : ο Α-1 υπάρχει ⇔ | A | ≠ 0
Μοναδική λύση µε τη µέθοδο Crammer
α) Για το 2× 2 γραµµικό σύστηµα (1), µε
Α ≠ 0 , έχουµε:
x=
Α=
Αx
Α
Αy
και y =
Α
όπου:
α1 β1
γ β
α γ
, Αx = 1 1 , A y = 1 1
α2 β2
γ 2 β2
α2 γ2
β) Για το 3× 3 γραµµικό σύστηµα (2), µε
Α ≠ 0 , έχουµε:
x=
Αx
Α
, y=
Αy
α1 β1 γ1
Α = α2 β2 γ2
α3 β3 γ3
α1 δ1 γ1
A y = α 2 δ2 γ 2
α 3 δ3 γ 3
Α
,
και z =
Αz
Α
όπου:
δ1 β1 γ1
Α x = δ2 β 2 γ 2
δ3 β 3 γ 3
α1 β1 δ1
και A z = α 2 β 2 δ2
α 3 β 3 δ3
MODA: Η τιµή της ορίζουσας Α καθορίζει το είδος της λύσης του συστήµατος:
α) Όταν Α ≠ 0 έχουµε µοναδική λύση
που βρίσκεται µε τη µέθοδο Crammer.
β) Όταν Α = 0 χρησιµοποιούµε τη µέθοδο απαλοιφής Gauss και αν προκύψει:
β1) γραµµή [0.......0 α] µε α ≠ 0 είναι αδύνατο
β2) αριθµός αγνώστων n>αριθµό εξισώσεων k
τότε έχουµε απειρία λύσεων (αόριστο)
µε n-k ελεύθερους αγνώστους.
ΟΜΟΓΕΝΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
G
1. n × n οµογενή συστήµατα Αx = 0 :
Κάθε οµογενές σύστηµα έχει προφανή
H εµφάνιση µηδενικών στοιχείων κάτω λύση τη µηδενική (τετριµµένη λύση).
και πάνω από την κύρια διαγώνιο λέγεται Η ορίζουσα Α καθορίζει το είδος της λύσης:
κλιµακοποίηση του συστήµατος ή του
α) Όταν | Α |≠ 0 , έχουµε µοναδική λύση
επαυξηµένου πίνακα.
τη µηδενική.
β) Όταν | Α |= 0 έχουµε άπειρες λύσεις,
αφού οι εξισώσεις που προκύπτουν είναι λιγότερες από τους αγνώστους. Η
εύρεση του χώρου των λύσεων γίνεται
µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss.
3x − 2λy = 0
π.χ.
(Σ)
x + (4 − λ ) y = 0
Η ορίζουσα του συστήµατος είναι :
3 − 2λ
Α =
= 12 − λ ,
λ =12 ρίζα
1 4−λ
α) Αν λ ≠ 12 τότε Α ≠ 0 .
Το (Σ) έχει µοναδική λύση τη µηδενική.
β) Αν λ = 12 τότε Α = 0 .
3x − 24y = 0
ή x = 8y
x − 8y = 0
Άρα (x,y) = (8y,y)=y(8,1), δηλ. µονοπαραµετρική απειρία λύσεων.
2. n × m οµογενή συστήµατα:
Εφαρµόζουµε τη µέθοδο απαλοιφής του
Gauss όπως 1β.
Οπότε :
2ον Αν αντί του λ θέσουµε τον πίνακα Α
(Ιδιοτιµές – Ιδιοδιανύσµατα)
προκύπτει η πολυωνυµική σχέση: Φ(Α) = 0
G G
που
είναι το Θεώρηµα Gayley-Hamilton.
Η σχέση T ( x 1 , x 2 ) = Ax = y δηλώνει
ένα γραµµικό µετασχηµατισµό από το π.χ. Για τον πίνακα του παραπάνω παραδείγG
G
µατος έχουµε: Φ(Α) = 0 ⇒ A 2 − 3A + 2I = 0
διάνυσµα x στο y . Για παράδειγµα:
Σχόλιο: Ο σταθερός όρος του πολυωνύ1 2  x 1  x 1 + 2x 2  G
T(x 1 , x 2 ) = 
x  = 2x + x  = y µου Φ(Α) πολλαπλασιάζεται µε τον µονα
2
 2 1  2   1
διαίο πίνακα Ι.
G
Ζητάµε τα διανύσµατα x που έχουν εικό- Εύρεση του αντίστροφου πίνακα Α-1
να συγγραµµική (ανάλογη) προς αυτά:
Όταν Α = Φ(0) ≠ 0 , ο Α-1 υπολογίζεται από
G
G
G
(1) το Θεώρηµα Gayley – Hamilton ως εξής:
Αx = λx ⇒ (Α - λΙ)x = 0
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ
-1
Ιδιοτιµή ενός n × n πίνακα Α καλείται κάθε Πολλαπλασιάζουµε την Φ(Α) = 0 µε Α .
π.χ. Για τον πίνακα του παραπάνω παραδείγτιµή του λ ∈ R που ικανοποιεί την (1).
Ιδιοδιάνυσµα για λ = λi λέγεται κάθε διά- µατος έχουµε: Α−1(Α2 − 3Α + 2Ι) = 0 ⇒
G
νυσµα x ≠ 0 που επαληθεύει την (1).
1
3
G
⇒ Α − 3Ι + 2Α −1 = 0 ⇒ Α −1 = − Α + Ι
¾ Για µ ∈ R * τα µ ⋅ x είναι ιδιοδιανύσµατα.
2
2
Εύρεση χαρακτηριστικών µεγεθών :
Το παραµετρικό οµογενές σύστηµα (1)
έχει λύσεις όταν Α − λΙ = 0
1ον Οι ιδιοτιµές λi είναι οι ρίζες της εξίσωσης Α − λΙ = 0 .
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
G
ον
1. Για n × n παραµετρικά συστήµατα: 2 Για λ = λi τα ιδιοδιανύσµατα x i είναι
ο χώρος λύσεων του οµογενούς
Το είδος της λύσης του παραµετρικού συG
συστήµατος (Α – λiΙ) x i = 0.
στήµατος εξαρτάται από τις ρίζες
λ1,λ2,…λi της εξίσωσης |Α|=0.
Παρατηρήσεις:
∆ιακρίνουµε τις περιπτώσεις :
1) Όταν η ιδιοτιµή είναι απλή ρίζα της
α) Όταν λ ≠ λ 1 , λ 2 ...λ i τότε | Α |≠ 0 και
εξίσωσης Α − λΙ = 0 , τότε θα έχουµε
το σύστηµα έχει µοναδική λύση.
βάση του ιδιοχώρου ένα και µόνο ένα
β) Όταν λ = λi τότε |Α| = 0. Για κάθε µια
ιδιοδιάνυσµα.
τιµή λi παίρνουµε το αντίστοιχο σύ- 2) Όταν η ιδιοτιµή είναι διπλή ρίζα της εξίστηµα και το λύνουµε µε τη µέθοδο
σωσης Α − λΙ = 0 , τότε θα έχουµε βαση
απαλοιφής Gauss και θα προκύψει σύµε οπωσδήποτε ένα , ίσως και δεύτερο ιδιοστηµα αόριστο ή αδύνατο.
διάνυσµα.
(1 − λ ) x − 2λy = 2
3) Όταν προκύπτει µηδενικό ιδιοδιάνυσµα,
π.χ.
(Σ)
2λx + (λ − 1) y = λ − 4
τότε σίγουρα έχουµε κάνει λάθος.
4)
Για να ελέγξουµε τα αποτελέσµατά µας
Η ορίζουσα του συστήµατος είναι :
G
G
αρκεί
να επαληθεύεται η Αx i = λ i x i .
1 − λ − 2λ
2
Α =
= 3λ + 2λ − 1
4 −1
2λ λ − 1
π.χ. Για τον πίνακα A = 
.
6 − 1
1
και έχει ρίζες λ = −1 , λ = .
Εύρεση ιδιοτιµών : Α − λΙ = 0 ⇒
3
1
τότε Α ≠ 0
3
και το (Σ) έχει µοναδική λύση την:
Αy − λ2 + λ − 4
Αx 2λ2 − 6λ − 2
x=
= 2
=
, y=
Α 3λ + 2λ −1
Α 3λ2 + 2λ −1
α) Αν λ ≠ −1 και λ ≠
β) Αν λ = −1 τότε Α = 0 .
2x + 2y = 2
2x + 2y = 2
ή
Οπότε :
− 2x − 2y = −5
2x + 2y = 5
Το (Σ) είναι αδύνατο.
γ) Αν λ =
Οπότε :
1
τότε Α = 0 .
3
(2 / 3)x − (2 / 3)y = 2

⇒
(2 / 3)x − (2 / 3)y = −11/ 3
2 = −11 / 3 άρα το (Σ) είναι αδύνατο.
2. Για n × m παραµετρικά συστήµατα:
Εφαρµόζουµε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss.
⇒
4−λ
−1
= 0 ⇔ λ2 − 3λ + 2 = 0
6 −1 − λ
Άρα οι ιδιοτιµές είναι: λ1 = 1 και λ 2 = 2
Εύρεση ιδιοδιανυσµάτων :
 3 −1 x1  0
G
  =  
Για λ1 = 1: (A − I)x = 0 ⇒ 
6 − 2 x2  0
3x − x 2 = 0
⇒ 1
⇒ 3x1 = x 2
6 x1 − 2 x 2 = 0
G
Άρα (x1,x2)T = (x1,3x1)T = x1(1,3)T και v1 =(1,3)Τ
G
Όµοια για λ2 = 2 προκύπτει : v 2 = (1,2) Τ
ΘΕΩΡΗΜΑ GAYLEY – HAMILTON
Χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα
Α λέγεται το:
Φ(λ) = Α − λΙ
Για το χαρακτηριστικό πολυώνυµο ισχύουν :
1ον Φ(0) = Α (για λ = 0). Συνεπώς από το
Φ(0) υπολογίζουµε την ορίζουσα |Α|.
∆ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ
Λέµε ότι ο n × n πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιµος όταν είναι όµοιος µε ένα
διαγώνιο πίνακα ∆. ∆ηλαδή υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας Ρ έτσι ώστε:
Ρ −1ΑΡ = ∆
ή
Α = Ρ∆Ρ −1
Ο διαγώνιος πίνακας ∆ είναι της µορφής
∆ = diag (λ 1 , λ 2 ,..., λ n ) και ο πίνακας Ρ
G G
G
έχει στήλες τα ιδιοδιανύσµατα x1, x2 ,...,xn
που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ1,λ2,...,λn .
Ο πίνακας Α διαγωνοποιείται όταν:
¾ Έχει διαφορετικές ανά δύο (διακεκριµένες) ιδιοτιµές.
¾ Για κάθε ιδιοτιµή πολλαπλότητας k,
προκύπτουν ακριβώς k – γραµµικά
ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα.
¾ Είναι συµµετρικός, δηλ. ΑΤ = Α.
∆εν διαγωνοποιείται όταν:
¾ Σε ιδιοτιµή πολλαπλότητας k προκύπτουν λιγότερα από k – γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα.
¾ Έχει µιγαδικές ιδιοτιµές.
Μεθοδολογία διαγωνοποίησης
1ον Βρίσκουµε τις ιδιοτιµές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α.
2ον Ελέγχουµε αν είναι διαγωνοποιήσιµος
(βλέπε παραπάνω).
3ον Εφόσον ο Α διαγωνοποιείται, γράφουµε µια διαγωνοποίησή του: Α = Ρ ∆ Ρ−1
Εύρεση ν-οστης δύναµης n × n πίνακα Α
α) Αν ο πίνακας Α διαγωνοποιείται ισχύει:
Α ν = P∆ ν P -1 όπου ∆ν = diαg(λ1ν , λν2 ,..., λνn )
β) Από το χαρακτηριστικό πολυώνυµο µε
διαίρεση ή υποβιβασµό τάξης.
ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΕΑΠ
∆ΕΟ–ΕΛΠ–ΕΠΟ–ΠΛΗ–ΦΥΕ
z Φροντιστηριακά Μαθήµατα
z Εξ’ αποστάσεως στήριξη
z Εκπαιδευτικό υλικό
z Εκδόσεις βιβλίων
Τηλ.: 210.38.22.157 – 210.38.22.495
www.arnos.gr
ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495
www.arnos.gr – e-mail : [email protected]
ΠΙΝΑΚΕΣ - ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
ΜΑΘ 032
ΠΙΝΑΚΕΣ
Ορισµοί
Λέµε n × m πίνακα Α, µία διάταξη n ⋅ m
το πλήθος αριθµών, σε µορφή ορθογωνίου
σχήµατος µε n γραµµές και m στήλες.
Το αij είναι το στοιχείο της i-γραµµής
και της j-στήλης του πίνακα.
Ο πίνακας Α παριστάνεται µε :
A =
σµβ
 α11 α12
α
α
αij =  21 22
...
ορσ  ...
α n1 α n 2
[ ]
... α1m 
... α 2 m 

... ... 
... α nm 
µε 1 ≤ i ≤ n (γραµµές), 1 ≤ j ≤ m (στήλες)
Πίνακας στήλη ονοµάζεται ένας n × 1
πίνακας Α µε n γραµµές και µία στήλη.
Πίνακας γραµµή ονοµάζεται ένας 1× n
πίνακας Α µε µία γραµµή και n στήλες.
Τετραγωνικός ονοµάζεται ένας n × n
πίνακας Α όπου το πλήθος των γραµµών
είναι ίσο µε το πλήθος των στηλών.
Η κύρια διαγώνιος, σ’ έναν n × n τετραγωνικό πίνακα, σχηµατίζεται από τα
στοιχεία α11, α22,…,αnn δηλ. τα αij µε i=j.
Άνω τριγωνικός ονοµάζεται ένας n × n
τετραγωνικός πίνακας Α όταν τα στοιχεία
κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι µηδέν.
 2 3 4
 0 1 2
 0 0 3





 1
 3
 2

0
1
4
0
0
2




άνω τριγωνικός
κάτω τριγωνικός
∆ιαγώνιος λέγεται ο τετραγωνικός πίνακας Α που όλα τα στοιχεία εκτός της
κυρίας διαγωνίου είναι µηδέν.
∆ύο πίνακες n × m Α, Β είναι ίσοι όταν
έχουν ίσα τα αντίστοιχα στοιχεία τους και
γράφουµε Α=Β.
Τυπολόγιο & Μεθοδολογία
Μηδενικός πίνακας
Ονοµάζεται ο n × m πίνακας του οποίου
όλα τα στοιχεία είναι µηδέν. Συµβολίζεται
µε 0 και ισχύει :
Α+0=0+Α=Α
Αντίθετος ενός πίνακα
Ονοµάζεται ο n × m πίνακας του οποίου
όλα τα στοιχεία είναι τα αντίθετα των στοιχείων του Α. ∆ηλ. -Α=[-αij] και ισχύει:
Α+(-Α)=(-Α)+Α=0
Μοναδιαίος πίνακας
Ο n × n διαγώνιος πίνακας του οποίου όλα
τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου είναι ίσα
µε 1 και συµβολίζεται µε Ιn ονοµάζεται
µοναδιαίος πίνακας, δηλαδή :
2. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός
Το γινόµενο ενός πραγµατικού αριθµού λ µε
έναν πίνακα Α λέγεται βαθµωτός πολλαπλασιασµός και προκύπτει αν πολλαπλασιάσουµε
κάθε στοιχείο του Α µε το λ, δηλαδή:
λ ⋅ Α = λ ⋅ [αij ] = [λαij ] , λ ∈ R
Ισχύει:
1
0
Ιn = 
:
0
1 
 7
7
trA =
0 
 4 0 −1   0 3
4  =  2 −9 7 
ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ
 2 3 1   2 1 − 3   4 6 11 
1. Πρόσθεση πινάκων

 
 

Άθροισµα δύο n × m πινάκων, Α=[αij] και
Η δεύτερη γραµµή του ΑΒ προκύπτει από:
Β=[βij], λέγεται ο n × m πίνακας του οποίου κάθε στοιχείο είναι το άθροισµα των 4⋅1+ 0 ⋅ 0 + (−1) ⋅ 2 = 2 , 4 ⋅ (−2) + 0 ⋅ 3 + (−1) ⋅ 1 = −9
4 ⋅ 1 + 0 ⋅ 4 + (−1) ⋅ (−3) = 7
αντίστοιχων στοιχείων των Α και Β.
2η Μπορεί να ορίζεται το γινόµενο ΑΒ δύο
∆ηλαδή :
πινάκων και να µην ορίζεται το ΒΑ.
Α + Β = [αij + βij ]
3η Στον πολλαπλασιασµό πινάκων δεν
Παρατήρηση: ∆εν ορίζεται το άθροισµα ισχύει η αντιµεταθετική ιδιότητα, διότι κι
διαφορετικού τύπου πινάκων. ∆ιότι είναι σαν αν ακόµα ορίζονται τα γινόµενα ΑΒ και ΒΑ
να τοποθετούµε δυο ορθογώνια διαφορετικών δεν έπεται αναγκαστικά ότι ΑΒ=ΒΑ.
διαστάσεων, το ένα πάνω στο άλλο.
Ιδιότητες
Ιδιότητες
Προσεταιριστική
Αντιµεταθετική
Α(ΒΓ)=(ΑΒ)Γ
Α+Β=Β+Α
Επιµεριστική
Προσεταιριστική
Α(Β+Γ)=ΑΒ+ΑΓ ή (Β+Γ)Α=ΒΑ+ΓΑ
Α+(Β+Γ)=(Α+Β)+Γ
(λΑ) (µΒ)=(λµ)ΑΒ
∑α
ij
= α11 + α 22 + ... + α nn
i = j=1
Ιδιότητες
1. tr(λΑ+µΒ)=λtrA+µtrB λ, µ ∈ R
2. tr(AB)=tr(BA)
3. trA=trB αν οι πίνακες Α, Β είναι όµοιοι.
Ανάστροφος πίνακας
Αν οι γραµµές ενός n × m πίνακα Α γίνουν στήλες µε την ίδια σειρά (δηλαδή η
πρώτη γραµµή να γίνει πρώτη στήλη
κ.ο.κ) τότε παίρνουµε τον ανάστροφο πίνακα και γράφουµε ΑΤ.
T
∆ηλαδή:
Παρατηρήσεις
1η Για να γίνει η πράξη του εσωτερικού γινοµένου πρέπει το µήκος της γραµµής (αριθµός
στηλών) του πίνακα Α να είναι ίσο µε το
µήκος της στήλης (αριθµός γραµµών) του Β.
Σχηµατικά :
A
B
→ AB
n× m m × k
n× k
π.χ.
3   1 −2
Α ⋅ Ι n = In ⋅ A = A
n
γij = αi1 ⋅ β1 j + αi2 ⋅ β 2j + ... + αim ⋅ β mj
1 2
0 ... 0
1 ... 0
:
: 
0 ... 1 
Ο πίνακας Ιn συµβολίζεται απλούστερα µε Ι.
Ίχνος (trace) ενός n × n τετραγωνικού
πίνακα Α ονοµάζεται το άθροισµα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου και συµβολίζεται trΑ:
Ιδιότητες
1. (κ + λ ) ⋅ Α = κ ⋅ Α + λ ⋅ Α , κ, λ ∈ R
2. λ ⋅ (Α + Β) = λ ⋅ Α + λ ⋅ Β
3. κ (λΑ ) = λ( κΑ) = (κλ )Α
4. 1 ⋅ Α = Α
3. Πολλαπλασιασµός πινάκων
Έστω Α ένας n × m πίνακας και Β ένας
m × k . Ορίζουµε γινόµενο του Α µε τον Β
τον n × k πίνακα ΑΒ του οποίου το γij
στοιχείο, προκύπτει από το εσωτερικό
Σχόλιο : Απλά και εποπτικά τα µη µηδε- γινόµενο της i-γραµµής του Α µε την
νικά στοιχεία του πίνακα από την κύρια j-στήλη του Β.
διαγώνιο και πάνω σχηµατίζουν τρίγωνο.
Α ⋅ Β = Γ = [ γij ], 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ k
Όµοια ορίζεται ο κάτω τριγωνικός πίνακας.
π.χ.
fast & easy
3 4 
3 1 
1 − 2 = 4 − 2
π.χ.
Ιδιότητες
1. ( ΑΤ )T = A
(A + B)T = A T + B T
3. (AB)T = B T ⋅ A T
2.
Συµµετρικός ονοµάζεται ο n × n τετραγωνικός πίνακας, που έχει ίσα τα συµµετρικά
στοιχεία ως προς την κύρια διαγώνιο αij=αji
Α = ΑΤ
και ισχύει :
Αντίστροφος πίνακας
Έστω Α ένας n × n τετραγωνικός πίνακας.
Αν υπάρχει n × n πίνακας που συµβολίζεται µε A-1, τέτοιος ώστε να ισχύει:
A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I n
τότε ο Α λέγεται αντιστρέψιµος ή οµαλός
και ο Α-1 αντίστροφος του Α.
Ιδιότητες
1. (A −1) −1 = A
2. (A −1 ) κ = ( Α κ ) −1
3. ( ΑΒ) −1 = Β−1Α −1
4. ( ΑΤ )−1 = (Α −1 )Τ
Όµοιοι ονοµάζονται οι πίνακες Α και Β
όταν υπάρχει πίνακας Ρ οµαλός έτσι ώστε:
Α=ΡΒΡ-1
4η Μπορούµε να βγάλουµε κοινό παράγοντα π.χ.
Ορθογώνιος πίνακας
Ορθογώνιος λέγεται ένας τετραγωνικός από µια γραµµή ή στήλη µιας ορίζουσας,
2−λ
→ → →
n × n πίνακας Α=[αij]=  x1, x2,...,xn  , όταν π.χ.


3 4 2
3 4 2
1 1 4 = 21 1 4
2 4 6
1 2 3
1
1
το σύνολο των διανυσµάτων των στηλών
του είναι ορθοκανονικό, δηλαδή :
Ισχύει : det(λΑ) = λ n detA
0 , i ≠ j
5η α) Μπορούµε να προσθέσουµε όλες τις
xi ⋅ x j = 
γραµµές ή όλες τις στήλες σε µία γραµµή
1 , i = j
ή στήλη (ή και λιγότερες).
Σχόλιο : το εσωτερικό γινόµενο των στη- β) Μπορούµε να πολλαπλασιάσουµε µια
λών ανά δύο είναι µηδέν για i ≠ j (τα δια- γραµµή ή στήλη µε έναν πραγµατικό αριθµό
νύσµατα ανά δύο είναι κάθετα) και µονά- και να την προσθέσουµε σε κάποια άλλη.
δα για i=j (µοναδιαία).
λ 1 2 λ+3 λ+3 λ+3
Ένας n × n πίνακας Α=[αij] είναι ορθοπ.χ.
1 λ λ = 1
λ
λ =
γώνιος αν και µόνο αν έχει αντίστροφο
2 2 1
2
2
1
και ισχύει :
(Προσθέσαµε και τις τρεις γραµµές στην
A −1 = A T
πρώτη, δηλαδή :
γ1 + γ 2 + γ3 → γ1′ )
1 1 1
1 0
0
ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
=
(
λ
+
3
)
1
λ
λ
=
(
λ
+
3
)
1
λ
−
1
λ
−1 =
Για έναν n × n τετραγωνικό πίνακα Α, λέµε
2
2
1
2
0
−
1
ορίζουσα του πίνακα Α και γράφουµε
detA= |A| τον πραγµατικό αριθµό που προκύ- (Αφαιρέσαµε στήλες :
πτει από µία συγκεκριµένη διαδικασία υπολοσ2-σ1 → σ′2 και σ3-σ1 → σ′3 )
γισµού.
λ −1 λ −1
Ορίζουσα ενός 2 × 2 πίνακα :
= (λ + 3)
= (λ + 3)(λ − 1)(−1)
0
−1
Η ορίζουσα ενός 2 × 2 πίνακα Α είναι :
det A = Α =
σµβ
α11 α12
= α11 ⋅ α 22 − α 21 ⋅ α12
α 21 α 22
Ορίζουσα ενός 3 × 3 πίνακα :
6η Για τους n × n πίνακες Α, Β, και τον
ανάστροφο ΑΤ ισχύουν:
ΑΤ = Α
Α⋅Β = Α ⋅ Β
Η ορίζουσα ενός 3 × 3 πίνακα Α υπολογίη
ζεται µε τη βοήθεια οριζουσών 2ης τάξης 7 Ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος ή
ως εξής:
οµαλός όταν Α ≠ 0 , δηλαδή υπάρχει ο
+
−
+
α11 α12 α13
σµβ
det A = | Α |= α 21 α 22 α 23 =
α31 α32 α33
αντίστροφός του Α-1 και ισχύει:
| Α | ⋅ | Α −1 |= 1
ή
| Α −1 |=
1
|Α|
2
1 (α ) 5 − λ
2
1
3−λ
1 = 5−λ 3− λ
1
=
2 2−λ
5−λ
2 2−λ
1 2
1 (γ)
1 2
1
= (5 − λ) 1 3 − λ 1 = (5 − λ) 0 1− λ 0 =
1 2 2−λ
0 0 1− λ
= (5 − λ )(1 − λ ) 2
Συµβουλή : Φροντίζουµε µε τις ιδιότητες των
οριζουσών να εµφανίσουµε κοινούς παράγοντες ή όσα περισσότερα µηδενικά γίνεται.
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Α-1
Έστω ο n × n τετραγωνικός πίνακας Α=[αij].
Ελάσσονα ορίζουσα του στοιχείου αij ονοµάζεται η ορίζουσα που προκύπτει αν
«κόψουµε» την i-γραµµή και την j-στήλη
και συµβολίζεται µε |Μij|, όπου Μij ο αντίστοιχος (n-1) × (n-1) πίνακας.
Αλγεβρικό συµπλήρωµα του στοιχείου
αij ονοµάζεται το γινόµενο (-1)i+j|Mij| και
συµβολίζεται µε Αij .
∆ηλαδή :
Αij = (−1)i+ j | Mij |
1 3 4
π.χ. Για τον πίνακα Α= 1 2 1 είναι :
4 1 5
A11 = (−1)1+1
2 1
2 1
=+
= 10 − 1 = 9
1 5
1 5
A12 = (−1)1+ 2
1 1
1 1
=−
= −1 κοκ
4 5
4 5
Όταν |Α| ≠ 0 τότε υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας και δίνεται από τη σχέση :
Α −1 =
1
αdjA
|Α|
8η Όταν στην ορίζουσα ενός n × n πίνακα Α
τα στοιχεία µιας στήλης (ή γραµµής) είναι όπου : αdjA είναι ο συµπληρωµατικός ή
α
α
α
α
α
α
= α11 ⋅ 22 23 − α12 21 23 + α13 21 22 άθροισµα κ-προσθετέων τότε η ορίζουσα |Α| προσαρτηµένος πίνακας που έχει στήλες
α 32 α33
α31 α33
α31 α32
γράφεται σαν άθροισµα κ οριζουσών.
τα αλγεβρικά συµπληρώµατα των γραµΣχόλιο: Τα στοιχεία κατά την ανάπτυξη έχουν
µών του Α. ∆ηλαδή :
1 x1 + y1 4
1 x1 4
1 y1 4
πρόσηµο + ή – ανάλογα µε το αν το άθροισµα
π.χ. 2 x 2 + y 2 1 = 2 x 2 1 + 2 y 2 1
 Α11 Α 21 ... A n1 
του δείκτη (θέση) του στοιχείου είναι άρτιο ή
3 x 3 + y3 3
3 x3 3
3 y3 3
1  Α12 Α 22 ... A n 2 
−1
i+ j
Α =


περιττό, δηλαδή (− 1) για το στοιχείο αij.
⋮
⋮
⋮ 
| Α| ⋮
Μεθοδολογία υπολογισµού ορίζουσας
 Α1n A 2n ... A nn 
Ιδιότητες Οριζουσών
Σε µια ορίζουσα για τον υπολογισµό της ή
1η Όταν αλλάζουµε τη θέση 2 γραµµών ή
την απόδειξη κάποιας σχέσης εξετάζουµε τα
στηλών τότε η ορίζουσα αλλάζει πρόσηµο.
α β
π.χ. Για τον Α = 
µε |Α|=αδ-βγ ≠ 0
παρακάτω και ανάλογα πράττουµε :
 γ δ 
1 2
2 1
4 3 4 3
α)
Αν
από
το
άθροισµα
όλων
των
γραµπ.χ.
=−
= − ( −)
=
= −2
3 4
4 3
2 1 2 1
µών ή των στηλών βγαίνει κοινός παρά- ο αντίστροφος είναι :
2η Όταν 2 γραµµές ή στήλες µιας ορίζου- γοντας. Τότε προσθέτουµε τις γραµµές ή
1  δ −β 
Α −1 =
σας είναι ίσες ή ανάλογες τότε η ορίζουσα τις στήλες.
| Α | − γ α 
είναι ίση µε µηδέν. Επίσης όταν µια γραµ- β) Αν µε τον συνδυασµό δυο γραµµών ή
µή ή στήλη έχει όλα τα στοιχεία µηδέν στηλών (αφαίρεση ανά δυο ή πολ/σµός µε
κ ∈ R και πρόσθεση) προκύπτει κοινός
τότε η ορίζουσα είναι µηδέν.
ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΕΑΠ
παράγοντας.
1 4 2
∆ΕΟ–ΕΛΠ–ΕΠΟ–ΠΛΗ–ΦΥΕ
γ) Ειδικά όταν σε µια γραµµή ή στήλη
π.χ.
2 5 4 =0
Φροντιστηριακά Μαθήµατα
εµφανιστούν παντού πραγµατικοί αριθµοί
3 1 6
Εξ’ αποστάσεως στήριξη
τότε συνδυάζουµε τις στήλες ή τις γραµη
3 Η ορίζουσα άνω ή κάτω τριγωνικού ή
µές
έτσι
ώστε
να
εµφανιστούν
µηδενικά.
Εκπαιδευτικό υλικό
διαγώνιου πίνακα είναι ίση µε το γινόµενο
Εκδόσεις βιβλίων
των στοιχείων της κύριας διαγωνίου.
ΣΤΗΡΙΞΗ
ΦΟΙΤΗΤΩΝ
1 3 2
Τηλ.: 210.38.22.157 – 210.38.22.495
Α.Ε.Ι. – Α.Τ.Ε.Ι. – Ε.Μ.Π. – Ε.Α.Π.
π.χ.
0 4 0 = 1 ⋅ 4 ⋅ (−6) = −24
0 0 −6
www.arnos.gr
www.arnos.gr
ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495
www.arnos.gr – e-mail : [email protected]
fast & easy
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ
ΜΑΘ 012
ΟΡΙΣΜΟΣ - ΕΝΝΟΙΑ
Όµοια όταν α n = β n +1 − β n έχουµε :
Ιδιότητες:
∞
Τυπολόγιο & Μεθοδολογία
∞
∞
∞
Ας είναι µία ακολουθία πραγµατικών αριθ- Αν οι Σ α , Σ β συγκλίνουν τότε ισχύoυν:
n
n
Σ α n = Σ (β n +1 − β n ) = ℓim β n +1 − β1
n =1
n =1
µών α n . Το άθροισµα των όρων της µας
n =1
n =1
n → +∞
∞
∞
δίνει την ακολουθία των µερικών αθροι- 1. Σ cα n = c Σ α n
Συνήθως έχουµε τηλεσκοπική σειρά όταν η
n =1
n =1
σµάτων Sn , δηλαδή :
αn µπορεί ν’αναλυθεί σε διαφορά διαδοχι∞
∞
∞
κών όρων άλλης ακολουθίας π.χ. ανάλυση
2. Σ (κα n + λβ n ) = κ Σ α n + λ Σ β n ,
S1 = α 1 , S 2 = α1 + α 2
n =1
n =1
n =1
S n = α 1 + α 2 + ... + α n
κλασµάτων ή διαφορά λογαρίθµων.
και οι νέες σειρές συγκλίνουν.
∞
Λέµε σειρά το άθροισµα των απείρων όρων
1
∞
∞
π.χ.
Η
σειρά
Σ
συγκλίνει.
της ακολουθίας α n , δηλαδή το όριο της Sn.
n
=
1
(n + 1)(n + 2)
Αν µία από τις Σ α n , Σ β n αποκλίνει, τότε
n =1
∞
ℓim S n = Σ α n = α1 + α 2 + ... + α n + ...
n =1
n → +∞
Λέµε ότι η σειρά :
Συγκλίνει στο S ∈ R όταν ℓim Sn = S ,
n→+∞
δηλαδή το άθροισµα των απείρων όρων
της αn πλησιάζει σε µία τιµή. π.χ. :
n
∞
1 1
1
1
Σ   = 1 + + + ...
+ ... = 2
2 4
2n
n =0 2 
∞
(−1) n −1
n =1
n2
Σ
= 1−
(−1) n −1
π2
1 1
+ − ... +
+ ... =
4 9
12
n2
Αποκλίνει όταν ℓ im Sn = +∞ ή −∞
n → +∞
ή όταν δεν υπάρχει το όριο. π.χ. :
∞
Σ
1
n = 0 2n + 1
∞
= 1+
1 1
1
+ + ... +
+ ... → ∞
3 5
2n + 1
Σ (−1) n = 1 − 1 + 1 − ... = 0 ή 1
n =0
και η Σ (κα n + λβ n ) αποκλίνει..
n =1
Σ | α n | συγκλίνει. Ισχύει :
n =1
Αν Σ | α n | συγκλίνει ⇒ Σα n συγκλίνει
Σκοπός της µελέτης των σειρών είναι :
α) Η εξέτασή τους ως προς την σύγκλιση.
∆ηλαδή αν το άθροισµα των απείρων όρων
της ακολουθίας α n πλησιάζει σε κάποιον
συγκεκριµένο πραγµατικό αριθµό ή όχι.
∞
∞
n =1
n =1
Αν οι σειρές Σ αn , Σ βn µε αn , βn ≥ 0
∞
αποκλίνουν τότε και η σειρά Σ (αn + βn )
Sn = 1 + x + x 2 + ... + x n =
1− x
1− x
Αν η Σα n συγκλίνει ⇒ ℓim α n = 0
n → +∞
∞
Η γεωµετρική σειρά Σ x n :
n =0
n
όταν |x|<1 συγκλίνει διότι x → 0 .
∞
Το άθροισµά της είναι :
Σ xn =
n =0
1
1− x
∞
Σ xn =
n =κ
xk
αν | x |< 1
1− x
∞ 1
1/ 2
Σ  =
=1
n =1 2 
1 −1 / 2
n
ℓ im S 2 n = S
S2n − Sn → 0
∞
1
π.χ. Η σειρά Σ
αποκλίνει. ∆ιότι έχουµε :
n =1 n
1
1
1
1
S2n − Sn =
+ ... +
≥n
=
n +1
2n
2n 2
προφανώς άτοπο αν συνέκλινε η σειρά.
Αν ℓim α n ≠ 0 ⇒ Σα n αποκλίνει
n → +∞
+∞
2n + 1
1
2
Παρατήρηση : Όταν α n → 0
δεν συνεπάγεται πάντα πως η Σα n συγκλίνει.
+∞
n
n → +∞
Αν η ακολουθία α n δεν είναι µηδενική,
τότε η σειρά δεν συγκλίνει (αποκλίνει).
π.χ. Η σειρά Σ
αποκλίνει
όταν | x |≥ 1 αποκλίνει.
n =1
n
Σχόλιο : Με αλλαγή του πρώτου όρου της σειράς,
2n + 1
διότι :
ℓim
=2≠ 0.
αλλάζει και η τιµή του αθροίσµατός της, δηλαδή :
n → +∞ n
π.χ. Η Σ
1 Η πρόσθεση ή η παράλειψη πεπερασµένου
πλήθους όρων της α n , δεν επηρεάζει το αν
Τηλεσκοπική σειρά λέµε την Σα n , της
συγκλίνει η σειρά, αλλά το που συγκλίνει.
οποίας οι όροι µπορούν να γραφούν στη
∞  1 n
∞  1 n
1 1
µορφή αn= β n − β n +1 .
π.χ. Σ   = Σ   − 1 − =
n = 2 2 
n = 0 2 
2 2
Το µερικό άθροισµα της σειράς είναι :
2η Αν το ℓim Sn = S ισχύουν :
S = α + α + ... + α =
ℓ im S n +1 = S
1
1
1
− ℓim
=
1 + 1 n → +∞ n + 2 2
Γεωµετρική σειρά λέµε την Σαn, που η
ακολουθία αn είναι γεωµετρική πρόοδος. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ
Αναγκαίο κριτήριο σύγκλισης σειρών
∆ηλαδή έχουµε : α n = ωα n -1 (συνήθως
Όταν η σειρά Σα n συγκλίνει, τότε η αα n = x n ). Το µερικό άθροισµα είναι :
κολουθία
αn είναι µηδενική.
n +1
π.χ.
n → +∞
n =1
Παρατήρηση : Στις γεωµετρικές και τις
τηλεσκοπικές σειρές µπορούµε να βρούµε
Για λόγους απλότητας, στη συνέχεια, αντί του ταυτόχρονα το αν η σειρά συγκλίνει και που.
∞
Σειρά εργαλείο
συµβολισµού Σ α n , γράφουµε Σα n .
n =1
∞ 1  για ρ > 1 συγκλίνει
Σ ρ
n =1 n
για ρ ≤ 1 αποκλίνει
ΕΙ∆ΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ
Παρατηρήσεις
n → +∞
∞
Άρα : Σ α n =
n =1
β) Αν ναι, τότε σε ποιο αριθµό συγκλίνει,
δηλαδή πόσο είναι το άθροισµα της σειράς.
η
∆ιότι η ακολουθία α n γράφεται:
1
1
αn =
−
= β n − β n +1
n +1 n + 2
αποκλίνει.
Συγκλίνει απόλυτα όταν η σειρά
∞
n =1
∞
n
= (β1 − β 2 ) + ... + (β n −1 − β n ) + (β n − β n +1 ) =
= β1 − β n +1
∞
∞
n =1
n =1
n → +∞
Η σειρά συγκλίνει αν και µόνο αν υπάρχει το όριο ℓim β n +1 .
n → +∞
αποκλίνει, αν και α n =
1
→0
n
Α. ΓΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΟΡΩΝ
1. Κριτήριο της σύγκρισης
α) Η σειρά Σα n συγκλίνει, αν και µόνο αν,
η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων Sn
είναι άνω φραγµένη, δηλαδή Sn ≤ M.
+∞
π.χ. Η Σ
cos2 n
συγκλίνει, διότι έχουµε:
+ 1)
n =1 n ( n
Εποµένως :
Σ α n = Σ (β n − β n +1 ) = β1 − ℓim β n +1
1
n =1 n
αn =
cos 2 n
1
1
1
≤
= −
n (n + 1) n (n + 1) n n + 1
άρα Sn =α1+α2+…αn ≤ 1 −
1
<1
n +1
β) Έστω οι σειρές Σα n , Σβ n µε
4. Κριτήριο της ρίζας (Cauchy)
0 ≤ αn ≤ cβ n , c > 0
+∞
Έστω η Σ α n και ℓim n α n = λ
n =1
n → +∞
Αν η Σβ n συγκλίνει ⇒ η Σα n συγκλίνει.
Αν λ<1, η σειρά συγκλίνει.
Αν η Σα n αποκλίνει ⇒ η Σβ n αποκλίνει.
Αν λ=1, ανατρέχουµε σε άλλο κριτήριο.
Εφαρµόζεται όταν η αn είναι σε τριγωνοµε- Αν λ>1, η σειρά αποκλίνει.
τρική µορφή ή όταν µπορεί να γίνει σύγκριΕφαρµόζεται, συνήθως, όταν η ακολουθία
ση της αn µε τη σειρά εργαλείο.
αn έχει n-οστές δυνάµεις.
+∞
cos 2 n
συγκλίνει, διότι έχουµε :
n =1 n 2
π.χ. Η Σ
cos 2 n
1
≤ 2
n2
n
+∞
1
συγκλίνει.
n =1 n 2
και η Σ
n2
+∞
 n  n
π.χ. Η Σ 
 2 συγκλίνει διότι :
n =1 n + 1 
2
ℓim n α n = < 1
n → +∞
e
Πολλές φορές όταν εφαρµόζουµε το κριτήριο
5. Κριτήριο του Raabe
της σύγκρισης χρησιµοποιούµε τις σχέσεις:
ℓnn < n α < α n < n! < n n µε α, n >1
1 1
για n → +∞
sin ≈
n n
2. Κριτήριο της οριακής σύγκρισης
Έστω οι σειρές Σα n , Σβ n και ℓim
n →+∞
αn
=A
βn
Αν A ∈ R µε A ≠ 0 τότε οι σειρές
Σα n , Σβ n συγκλίνουν ή αποκλίνουν
ταυτόχρονα.
Αν Α=0 και η Σβ n συγκλίνει τότε
και η Σα n συγκλίνει.
Αν Α= +∞ και η Σβ n αποκλίνει τότε
και η Σα n αποκλίνει.
Συµβουλή : Έστω ότι δίνεται η σειρά Σα n ,
όπου η ακολουθία αn είναι σε ρητή έκφραση. Τότε επιλέγουµε ως σειρά Σβ n την σει+∞
1
, µε p=λ-κ , όπου
n =1 n p
ρά εργαλείο Σ
λ είναι ο µέγιστος βαθµός του παρανοµαστή και κ του αριθµητή αντίστοιχα.
2n 4 + n 3
αποκλίνει. ∆ιότι για
n =1 n 5 + 1
+∞
π.χ. Η Σ
βn =
4
3
1
όµως η Σ αποκλίνει.
n
3. Κριτήριο του λόγου ( D’ Alembert)
+∞
n =1
ℓim
n →+∞
α n +1
αn
n =1
 α

ℓim n  n − 1 = q

n → +∞  α n +1

Αν λ<1, η σειρά συγκλίνει.
Αν λ=1, ανατρέχουµε σε άλλο κριτήριο.
Αν λ>1, η σειρά αποκλίνει
∞
π.χ. Η σειρά Σ
n=2
1
αποκλίνει.
nℓnn
Θεωρούµε την συνάρτηση f ( x ) =
1
xℓnx
Η f(x) είναι θετική, συνεχής και φθίνουσα
για x ≥ 2 .
Το γενικευµένο ολοκλήρωµα είναι:
∞
1
∫ xℓnx dx = [ℓn(ℓnx)]
+∞
2
= +∞
Αν q>1, η σειρά συγκλίνει.
Άρα και η σειρά αποκλίνει.
Αν q<1, η σειρά αποκλίνει.
∞
1
, µε κ ∈ R
Εφαρµόζεται όταν από το κριτήριο του λό- Γενικά η σειρά: nΣ= 2
n (ℓnn ) κ
γου ή της ρίζας οδηγούµαστε σε αδιέξοδο
συγκλίνει όταν κ > 1
(λ=1).
αποκλίνει όταν κ ≤ 1
+∞ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2 n − 1)
1
⋅
π.χ. Η σειρά Σ
n =1
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ (2n )
3n + 1
 α
 19
>1
συγκλίνει διότι ℓim n n − 1 =
n → +∞
 α n +1
 6
Β. ΓΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΜΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΟΡΩΝ
1.Κριτήριο Leibnitz (εναλλάσουσες σειρές)
∞
Έστω η σειρά Σ (−1)n α n . Αν η ακολουθία αn
n =1
6. Κριτήριο του ολοκληρώµατος
είναι:
θετικών
όρων, µηδενική (α n → 0)
Αν η συνάρτηση f(x) είναι θετική, συνεχής
και γνήσια φθίνουσα για κάθε x ≥ n 0 και και φθίνουσα τότε η Σ∞ ( −1) n α συγκλίνει.
n
n =1
f(n)=αn, τότε η σειρά Σα n και το γ.ο.
∞
1
π.χ. Η Σ (−1)n συγκλίνει διότι :
∞
n =1
n
f(x)dx συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα.
1
α n = ≥ 0 , α n → 0 και α n ≥ α n +1
n0
n
Γεωµετρική ερµηνεία
2. Κριτήριο απόλυτης σύγκλισης
∫
αn
αn
αn
0
αn
0
Αν η σειρά Σαn συγκλίνει απόλυτα τότε
συγκλίνει και απλά.
0 +1
Αν Σ | α n | συγκλίνει ⇒ Σα n συγκλίνει
0 +1
αn
α n +1
αn
α n +1
Όταν x ∈ [n , n + 1] για την f(x) ισχύει :
f(n+1)=αn+1 ≤ f(x) ≤ f(n)=αn
=λ
Συµβουλή : Η (I) µπορεί να µας δώσει
άνω και κάτω φράγµατα µιας σειράς, που
όσο πιο µεγάλο πάρουµε το n 0 τόσο καλύτερη προσέγγιση θα έχουµε.
2
5
1
2n + n / n + 1
έχουµε : ℓim
=2
n
n →+∞
1/n
Έστω η Σ α n και
+∞
Έστω η Σ α n και
Από την τελευταία σχέση προκύπτει η
ταυτόχρονη συµπεριφορά της σειράς και
του γ.ο. (γενικευµένο ολοκλήρωµα) ως
προς την σύγκλιση.
και µε ολοκλήρωση προκύπτει
n +1
α n +1 ≤
∫ f(x)dx ≤ α
n
για κάθε n ≥ n 0
n
1
συγκλίνει διότι είναι:
n2
+∞ 1
1
1
(−1) n 2 = 2 και η Σ 2 συγκλίνει.
n
=1 n
n
n
π.χ. η Σ(−1) n
Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα.
∞
π.χ. η Σ (−1)n
n =1
1
συγκλίνει µόνο απλά.
n
Συµβουλή : Η εφαρµογή του κριτηρίου
της απόλυτης σύγκλισης µας οδηγεί στη
δυνατότητα χρήσης των κριτηρίων, που
ισχύουν, για ακολουθίες θετικών όρων.
∞
∆ηλαδή : Το κάτω ορθογώνιο µε βάση Ισχύει : Αν η σειρά Σ α n συγκλίνει
n =1
1(ένα)
και ύψος α n +1 είναι µικρότερο από
Εφαρµόζεται, συνήθως, όταν η ακολουθία
απόλυτα, τότε και οι σειρές Σ(α n + β n ) ,
αn έχει παραγοντικά και δυνάµεις.
το καµπυλόγραµµο ορθογώνιο και αυτό
Σβ n ταυτόχρονα συγκλίνουν απόλυτα ή
από το πάνω µε ύψος α n (βλέπε σχήµα).
Σηµείωση : n!=1 ⋅2 ⋅ ⋅ ⋅ n
απλά ή αποκλίνουν.
(n+1)!=n!(n+1)
Με άθροιση σ’ όλα τα διαστήµατα και για
+∞ 2 n
n → +∞ προκύπτει :
ΣΤΗΡΙΞΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ
συγκλίνει διότι :
π.χ. Η Σ
n =1 n!
∞
Οργανωµένα µαθήµατα
∞
∞
α n +1
2
Σ
α
≤
f(x)dx
≤
Σ
α
Ε.Μ.Π.
– Α.Ε.Ι. – Α.Τ.Ε.Ι. – Ε.Α.Π.
(I)
n
n
ℓim
= ℓim
= 0 <1
n → +∞
αn
n → +∞
n +1
n = n 0 +1
∫
n0
n =n 0
Επικοινωνήστε µαζί µας !!!
ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495
www.arnos.gr – e-mail : [email protected]
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΜΑΘ 003
ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
π.χ. Η f ( x ) = 5 − x ορίζεται
Ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση µε
όταν 5−x≥0 ⇔ x ≤ 5. Άρα A = ( −∞ ,5]
πεδίο ορισµού το Α ⊆ R µια διαδικασία κανόνα f (function), µε την οποία κάθε Για τη συνάρτηση f ( x ) = 3 x , A = [0,+∞)
στοιχείο x ∈ A αντιστοιχίζεται σε ένα και 4. Εκθετικές συναρτήσεις:
µόνο ένα στοιχείο y ∈ R .Το y ονοµάζεται
α) Η f ( x ) = α x , α > 0 , α≠1 για ∀x ∈ R .
τιµή της f στο x και γράφεται y = f ( x ) .
β) Για την [f ( x )]g ( x ) = e g ( x ) ℓnf ( x )
Σχηµατικά έχουµε:
πρέπει f(x)>0.
π.χ. Η f ( x ) = x x = e xℓnx
−∞
+∞
−∞
ορίζεται όταν x>0. Άρα A = (0,+∞) .
+∞
π.χ. Για τη συνάρτηση f(x) = 3x - 1 η διαδικασία αντιστοίχισης f(x) είναι η παράσταση 3x - 1 . ∆ηλ. για x = 1, f (1) = 2 .
5. Λογαριθµικές συναρτήσεις: ℓnf ( x )
Πρέπει: f ( x ) > 0
π.χ. Η f ( x ) = ℓn ( x − 8) ορίζεται όταν
x − 8 > 0 ⇔ x > 8. . Άρα A = (8,+∞)
6. Τριγωνοµετρικές:
Αν x ∈ [1,3] τότε y ∈ [2,8]
α) Ηµίτονο sinx: Π.Ο.=R
Πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης f ονο- β) Συνηµίτονο cosx: Π.Ο.=R
µάζεται το σύνολο των δυνατών τιµών γ) Εφαπτοµένη: tan x = sin x
της µεταβλητής x για τις οποίες η f δίνει
cos x
αποτέλεσµα.
Πρέπει x ≠ κπ + π / 2, κ ∈ Ζ
Πεδίο τιµών της συνάρτησης ονοµάζεται
cos x
το σύνολο όλων των στοιχείων του R, που προ- δ) Συνεφαπτοµένη: cot x =
sin x
κύπτουν απ’ όλα τα στοιχεία του πεδίου οριΠρέπει x ≠ κπ, κ ∈ Ζ
σµού Α. Συµβολίζεται µε f(A), δηλαδή:
ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ
f (A ) = {f(x) : x ∈ A}
Ζητάµε το σύνολο των δυνατών αποτελε● Πρότυπα ή ανεξάρτητες µεταβλητές ονο- σµάτων της συνάρτησης f(x),όταν x ∈ Α .
µάζονται τα στοιχεία του πεδίου ορισµού.
Η εξίσωση f ( x ) − y = 0 θέλουµε να έχει
● Εικόνες ή εξαρτηµένες µεταβλητές ονοπραγµατική λύση ως προς x στο Α.
µάζονται τα στοιχεία του συνόλου τιµών.
● Όταν λύνεται ως προς x εξαιρούµε τα y
Ο όρος «συνάρτηση» χαρακτηρίζεται από
για τα οποία προκύπτει απροσδιοριστία.
την τριάδα «πεδίο ορισµού – νόµος αντιx
στοίχισης – σύνολο τιµών».
π.χ. Η f (x) =
ορίζεται στο A = R −{− 2} .
x+2
ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ΠΕ∆ΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ
Τι κάνουµε όταν δε δίνεται το πεδίο ορισµού Λύνουµε την εξίσωση y = f ( x ) ως προς x:
της συνάρτησης και ζητείται η εύρεσή του;
Εξαιρούµε τους πραγµατικούς αριθµούς για
τους οποίους η συνάρτηση δε δίνει αποτέλεσµα (δεν ορίζεται).
Για τις κυριότερες συναρτήσεις έχουµε :
1. Πολυωνυµικές συναρτήσεις:
Pn ( x ) = α n x n + α n -1 x n -1 + ... + α 1 x + α 0
µε α n ≠ 0 και Π.O.=R, αφού ∀x 0 ∈ R
η Pn ( x 0 ) δίνει αποτέλεσµα.
Pn (x) (πολ/ µο)
Qm (x) (πολ/ µο)
Πρέπει: Qm (x) ≠ 0 , αφού όταν µηδενίζεται
ο παρονοµαστής το κλάσµα δεν έχει νόηµα.
Π.Ο.= R - {Q m (x) = 0}
2x − 1
π.χ. Η f ( x ) =
ορίζεται όταν x+4 ≠ 0
x+4
2. Ρητές συναρτήσεις:
⇔ x ≠ −4 . Άρα Π.Ο. = Α = R − {− 4}
3. Συναρτήσεις µε ριζικά: π.χ.
Πρέπει f ( x ) ≥ 0
fast & easy
κ
f (x )
2y
x
⇔ x=
x+2
1− y
Προφανώς η λύση αυτή υπάρχει όταν y ≠ 1 .
Άρα το σύνολο τιµών είναι f (A ) = R − {1}
● Όταν δε λύνεται ως προς x, π.χ. τριώνυµο, γράφουµε τις κατάλληλες συνθήκες ως
προς y για ύπαρξη πραγµατικών λύσεων
στο Α.
π.χ. Η y = f (x) = x2 + x +1 ορίζεται στο A = R .
y=
Η εξίσωση x2 + x +1− y = 0 έχει λύση στο R
όταν ∆ = 1 − 4(1 − y) ≥ 0 ⇔ y ≥ 3 / 4
Τυπολόγιο & Μεθοδολογία
αντίστοιχα και A ∩ B = ∆ ≠ O
/ , ορίζονται
το άθροισµα, η διαφορά, το γινόµενο και
πηλίκο (g(x) ≠ 0) στο ∆ ως εξής:
(f ± g)( x ) = f ( x ) ± g ( x )
(f ⋅ g )(x ) = f ( x ) ⋅ g( x )
(f/g )(x) = f ( x) / g( x)
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Έστω µια συνάρτηση f : A → R και E ⊆ A.
● Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Ε,
όταν: ∀x 1 , x 2 ∈ E, µε x 1 < x 2 ισχύει:
f ( x 1 ) < f ( x 2 ) (Σχ.1). Η f είναι
αύξουσα όταν : f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 )
● Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Ε,
όταν: ∀x 1 , x 2 ∈ E, µε x 1 < x 2 ισχύει:
f ( x 1 ) > f ( x 2 ) (Σχ.2). Η f είναι
φθίνουσα όταν : f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 )
Γενικά, µια συνάρτηση f ονοµάζεται:
● Μονότονη στο Ε, όταν είναι αύξουσα ή
φθίνουσα στο Ε.
● Γνησίως µονότονη στο Ε, όταν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Ε.
ΦΡΑΓΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Μια συνάρτηση f : A → R λέµε ότι είναι:
● άνω φραγµένη, όταν υπάρχει M ∈ R :
για κάθε x ∈ A να ισχύει f ( x ) ≤ M ,
● κάτω φραγµένη, όταν υπάρχει m ∈ R :
για κάθε x ∈ A να ισχύει f ( x ) ≥ m ,
● φραγµένη, όταν υπάρχει M ∈ R :
για κάθε x ∈ A να ισχύει f (x) ≤ M
Ο αριθµός Μ ονοµάζεται άνω φράγµα της
f, ενώ ο αριθµός m κάτω φράγµα της f.
ΑΚΡΟΤΑΤΑ
Έστω συνάρτηση f : Α → R.
f παρουσιάζει στο σηµείο x0 ∈A τοπικό
µέγιστο, αν υπάρχει περιοχή µε κέντρο x0
και ακτίνα δ, ∆ = ( x 0 − δ, x 0 + δ) ∩ A :
●H
f ( x ) ≤ f ( x 0 ), ∀x ∈ ∆
3

Άρα το σύνολο τιµών είναι f (A) =  ,+∞ ● Όταν f (x) ≤ f (x ), ∀x ∈ A τότε λέµε ότι
0
4

η f παρουσιάζει στο x0 ολικό µέγιστο.
ΙΣΟΤΗΤΑ – ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
● Όµοια λέµε ότι η f έχει στο σηµείο x0 ∈A
● Ισότητα συναρτήσεων: Οι συναρτήσεις
τοπικό ελάχιστο όταν: f (x) ≥ f (x0), ∀x ∈∆
f,g είναι ίσες και γράφουµε f = g όταν:
●
Όταν
f (x) ≥ f (x 0 ), ∀x ∈ A τότε λέµε ότι
1. Έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού Α και
η f παρουσιάζει στο x0 ολικό ελάχιστο.
2. Για κάθε x ∈ A ισχύει f ( x ) = g( x ) .
Τοπικά
ακρότατα της f ονοµάζονται τα
● Πράξεις µεταξύ συναρτήσεων: Για τις
τοπικά
µέγιστα
και τα τοπικά ελάχιστα της f.
συναρτήσεις f,g µε πεδία ορισµού Α,Β
Η ε1 µε α 1 > 0 δηλ. 0 < θ 1 < π / 2
είναι γνησίως αύξουσα.
Η ε2 µε α2<0 δηλ. π / 2 < θ 2 < π
είναι γνησίως φθίνουσα.
Ολικά ακρότατα της f είναι τα σηµεία που η f
παρουσιάζει ή ολικό µέγιστο ή ολικό ελάχιστο.
x0
x0
π.χ. Η συνάρτηση f ( x ) = x 2 δεν είναι «1-1»
ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
αφού κάθε ευθεία παράλληλη στον x ′x
β
β
− 2
− 1
τέµνει τη γραφική της παράσταση σε δύο
α2
Έστω η συνάρτηση f ( x ) = ( x 2 + x ) 5 .Για την
α1
σηµεία.
εύρεση της τιµής της συνάρτησης στο x=x0:
Σχετική θέση των ευθειών ε1 και ε2:
● Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως µονότο- • ∆ύο ευθείες µε συντελεστές διεύθυνσης
1ον) Βρίσκουµε την τιµή της παρένθεσης:
νη στο πεδίο ορισµού της τότε είναι «1-1»
α1 και α2 είναι παράλληλες όταν:
x02 + x0 = y0
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ε 1 // ε 2 ⇔ tan θ 1 = tan θ 2 ⇔ α 1 = α 2
2ον) Υπολογίζουµε το αποτέλεσµα της δύναµης:
Έστω
f
:
Α
→
f(A)
µια
«1-1»
συνάρτηση.
• Οι δύο ευθείες είναι κάθετες όταν το
y 0 5 = f (x 0 )
Η αντίστροφη συνάρτηση της f, που
γινόµενο των συντελεστών διεύθυνσης
Σχηµατικά έχουµε:
ισούται µε -1:
συµβολίζεται µε f −1 , είναι η συνάρτηση
που σε κάθε y ∈ f (A) αντιστοιχεί το µοε 1 ⊥ ε 2 ⇔ α1 ⋅ α 2 = −1
ναδικό του πρότυπο x ∈ Α .
2.Τριώνυµο - Παραβολή f(x)=αx2+βx+γ
−1
Πεδίο Ορισµού Α = R, Σύνολο Τιµών :
y = f ( x ) ⇔ x = f ( y)
• Αν α>0 τότε f(A) = [f(-β/2α),+∞ )
-1
Η πορεία εξαγωγής του τελικού αποτελέσµα- Πότε υπάρχει η f και πώς βρίσκεται;
• Αν α<0 τότε f(A) = (−∞, f(-β/2α)]
τος µέσω των συναρτήσεων g(x) = x 2 + x ● ∆ιαπιστώνουµε ότι η f είναι «1-1».
Η f(x) γράφεται:
● Βρίσκουµε το σύνολο τιµών της f, το
και h ( y) = y 5 ορίζει τη σύνθεση:
−1
β
γ

οποίο θα είναι πεδίο ορισµού της f .
f(x) = αx 2 + βx + γ = α x 2 + x +  ⇒
●
Λύνοντας
την
y
=
f(x)
ως
προς
x
παίρα
α
f(x) = (h g)(x ) = h (g( x ) )


2
2
νουµε την x = f -1 (y) ⇒ y = f −1 (x ) .


−
β
β
4
αγ

Αν g : A → R , h : B → R µε g(A ) ⊆ B

f ( x) = α   x +
 −
2α 
Παρατηρήσεις:
4α 2
 

τότε η σύνθεση της g µε την h είναι η συ1. Οι αντίστροφες συναρτήσεις έχουν
Ρίζες
της
f(x)=0
νάρτηση:
f = hg:Α → R
γραφικές παραστάσεις που είναι συµµε∆ιακρίνουσα: ∆ = β 2 − 4αγ
µε x → f ( x ) = ( h g)( x ) = h (g ( x ) )
τρικές ως προς την ευθεία y = x .
−β± ∆
Η h (g(x)) ορίζεται στην τοµή του συνό- 2. Ισχύουν οι σχέσεις:
• Αν ∆ > 0 , x 1, 2 =
2α
λου τιµών της g(x) και του πεδίου ορισµού
(f −1 f )( x ) = f −1 (f ( x ) ) = x
−β
της h(y).
• Αν ∆ = 0 , x 1, 2 =
−1
−1
(
f
f
)(
x
)
=
f
f
(
y
)
=
y
2α
∆ηλαδή για την τυχαία µεταβλητή x βρίσκουµε την y=g(x) που µε τη σειρά της 3. Η αντίστροφη µιας γνησίως µονότονης
β
γ
x + x 2 = − , x1 ⋅ x 2 =
είναι η τυχαία µεταβλητή της h (g(x)) .
συνάρτησης είναι γνησίως µονότονη µε Ισχύουν: 1
α
α
το ίδιο είδος µονοτονίας.
Όµοια ορίζεται και η σύνθεση τριών συΕνδεικτική γραφική παράσταση:
ναρτήσεων. Ισχύει:
x +7
Η f(x) έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία
π.χ. Η y = f (x) =
ορίζεται στο A = R − {2}
(w h g)(x) = w (h g) = (w h) g
x −2
−β −∆
x = −β / 2α και ακρότατο στη θέση  , ,
H f είναι «1-1», εποµένως υπάρχει η f -1.
 2α 4α 
3
π.χ. Για τη συνάρτηση f ( x ) = sin x 2 + 1 Λύνουµε την y = f ( x ) ως προς x:
µέγιστο για α<0 και ελάχιστο για α>0.
θέτουµε: g( x ) = x 2 + 1 = y , h ( y) = 3 y ,
2y + 7
x+7
• Για α>0 η παραβολή «βλέπει» προς τα πάνω
−1
y=
⇔ x = f ( y) =
x
−
2
y
−
1
y
w (z) = sin z και γράφουµε:
(
f ( x ) = ( w h g)(x ) = w (h (g ( x ) ))
Άρα:
f
−1
(x) =
)
2x + 7
x −1
+
+
f (x) ≥ 0
+
f (x) > 0
+
x
α>0 x 1 −β / 2 α x 2
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ «ένα προς ένα»
Το σύνολο τιµών της f f (A ) = R − {1}
_ _
0
−β / 2 α
−β / 2 α
Λέµε ότι η συνάρτηση f : A → R είναι
είναι το πεδίο ορισµού της f -1.
∆>0
∆=0
∆<0
«ένα προς ένα», όταν ∀x 1 , x 2 ∈ A ισχύει:
x+7
•
Για
α<0
η
παραβολή
«βλέπει»
προς
τα κάτω

−
1
1
∆ιαπιστώνουµε: (f f )(x) = f 
=x
Aν x1 ≠ x 2 , τότε f(x1) ≠ f(x2 )
y
 x−2
ή από το νόµο της αντιθετοαντιστροφής:
ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
1. ∆ιώνυµο – Ευθεία y=αx+β, α ≠ 0
Aν f ( x1 ) = f ( x 2 ), τότε x1 = x 2
Η συνάρτηση f(x) = αx+β έχει Π.Ο. = R.
Σε µια «1-1» συνάρτηση δεν µπορούν δύο
● Κλίση ή Συντελεστής διεύθυνσης της
διαφορετικά πρότυπα να έχουν ίδια εικόνα.
ευθείας είναι η εφαπτοµένη της γωνίας
● Κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα
που σχηµατίζει η ευθεία µε τον θετικό
x ′x τέµνει τη γραφική παράσταση µιας
α = tan θ (βλ. σχήµα)
«1–1» συνάρτησης το πολύ σε ένα ηµιάξονα Οx:
Έστω
οι
ευθείες:
σηµείο, όπως φαίνεται στο σχήµα.
(ε 1 ) : y = α 1 x + β 1 και (ε 2 ) : y = α 2 x + β 2
α<0 x
1 + + x2
−β / 2α
0
−β / 2 α
_
_
_
−β / 2α
f (x) ≤ 0
_
f ( x) < 0
∆>0
∆=0
∆<0
ΣΤΗΡΙΞΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ
Οργανωµένα µαθήµατα
Ε.Μ.Π. – Α.Ε.Ι. – Α.Τ.Ε.Ι. – Ε.Α.Π.
Επικοινωνήστε µαζί µας !!!
x
ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495
www.arnos.gr – e-mail : [email protected]
fast & easy
∆ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ – ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ TAYLOR
ΜΑΘ 014
∆ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ
Ορισµός - έννοια
Καλούµε δυναµοσειρά µε κέντρο x0 το
άθροισµα των απείρων όρων της ακολουθίας συναρτήσεων cn=αn(x-x0)n, x ∈ R ,
δηλαδή :
∞
n
2
Σ αn (x − x0) = αο + α1(x − x0) + α2(x − x0) + ...
n=0
Συµπερασµατικά ισχύουν:
Όταν |x|<R η δυναµοσειρά συγκλίνει.
Όταν |x|>R η δυναµοσειρά αποκλίνει.
Για τις τιµές x = R , x = − R (άκρα του
διαστήµατος) εξετάζουµε ως προς τη σύγκλιση τις αντίστοιχες αριθµητικές σειρές.
Σχηµατικά έχουµε :
όπου α0,α1,α2,… πραγµατικοί αριθµοί.
Τυπολόγιο & Μεθοδολογία
ΑΝΑΠΤΥΓΜΑTA TAYLOR – MAC LAURIN
Μπορεί µία συνεχής συνάρτηση f(x) να
προσεγγισθεί µε ένα πολυώνυµο απείρων
όρων στο σηµείο x=0; δηλαδή :
∞
f (x) ≅ Σ αnxn = αο + α1x + α2x2 + ...
n=0
Αν η f(x) είναι n-φορές συνεχώς παραγωγίσιµη, η προηγούµενη σχέση µε διαδοχικές παραγωγίσεις και για x=0 δίνει :
f(0)=α0, f ' (0) = α1, f '' (0) = 2α2 ,..., f (n) (0) = n!αn
Όταν x0=0 η δυναµοσειρά γίνεται:
∞
Παρατήρηση :
Όταν R=0 η δυν. συγκλίνει µόνο για x=0
Σ αnxn = αο + α1x + α2x2 + ...
n=0
Γενικά ισχύει : α n =
f ( n ) (0)
, ∀n ∈ N
n!
Ζητούµενο σε µια δυναµοσειρά είναι να
π.χ. Η f(x)=sinx προσεγγίζεται γύρω από το
Όταν R= +∞ η δυν. συγκλίνει ∀x ∈ R .
βρούµε τις τιµές του x που συγκλίνει.
µηδέν από τα πολυώνυµα :
Μεθοδολογία διαστήµατος σύγκλισης
∞
1 n
1 3
1 3 1 5
π.χ. Η σειρά Σ
x για x=1 αποΒήµα 1ο : Βρίσκουµε την ακτίνα σύγκλι- P1(x) = x , P2 (x) = x − 6 x , P3(x) = x − 6 x + 120x
n =0 n + 1
σης R άµεσα από τις σχέσεις (1) ή έµµεσα
κλίνει ενώ για -1 ≤ x <1 συγκλίνει.
που, όπως φαίνεται στο σχήµα, όσο µεγαΣχόλιο : Εξετάζουµε ως προς τη σύγκλιση από το όριο ℓim c n +1 .
λώνει ο βαθµός τους τόσο καλύτερη προn → +∞ c n
τη δυναµοσειρά µε κέντρο το xo=0, διότι
σέγγιση έχουµε γύρω από το µηδέν. Μια
θέτοντας x-x0=t αναγόµαστε γύρω από το
προσέγγιση του sinx για τιµές του x κοντά
Βήµα 2ο : Εξετάζουµε τη σύγκλιση της στο 0 είναι : sinx ≅ x .
µηδέν. π.χ.
αντίστοιχης αριθµητικής σειράς στα άκρα
∞
n
του διαστήµατος για : x = R , x = − R
1
1 5
Έστω η
Σ
( x - 2) n Θέτοντας :
y = x - x3 +
x
n =0 n 2
+1
x − 2 = t προκύπτει :
6
∞
Σ
n
n =0 n
2
+1
120
Ιδιότητες
tn
∞
∞
n =0
n =0
Έστω οι δυναµοσειρές Σ α n x n , Σ bn x n
Θυµίζουµε ότι αν µία σειρά συγκλίνει απόλυ- µε ακτίνες σύγκλισης R1, R2 αντίστοιχα.
τα, τότε συγκλίνει και απλά. Από τα κριτήρια
∞
1
y = x - x3
του λόγου (D’Alembert) και της ρίζας 1η Η Σ (α n ± b n ) x n έχει :
6
n =0
(Cauchy) αντίστοιχα, προκύπτουν οι σχέσεις
διάταξης για τη σύγκλιση της δυναµοσειράς: ακτίνα σύγκλισης R=min{R1,R2}, R1 ≠ R2 Ανάπτυγµα Taylor
διάστηµα σύγκλισης την τοµή των διαστη- Μια συνάρτηση f(x) n-φορές συνεχώς παραγωc
α
γίσιµη στο διάστηµα [α,β], προσεγγίζεται γύρω
µάτων σύγκλισης των δύο δυναµοσειρών.
α)
ℓim n +1 = x ℓim n +1 < 1 ⇒
n → +∞ c n
n → +∞ α n
από τη θέση x0∈ (α, β) µε το πολυώνυµο :
∞
2η Αν η Σ α n x n συγκλίνει στο x=x0 τότε:
n =0
αn
x −x0 '
(x −x0)n−1 (n−1)
x < ℓim
f (x) = f (x0) +
f (x0) +...+
f
(x0) +Rn
∞ 
n → +∞ α n +1
∞
1!
(n −1)!

 ∞
n
n
n
ℓim  Σ αn x  = Σ  ℓim αn x  = Σ αn x 0
x →x 0 n =0
 n =0
 n =0x →x 0
Rn: το υπόλοιπο του αναπτύγµατος µετά
Χρησιµοποιείται όταν η ακολουθία αn έχει
η
από n όρους. ∆ίνεται από τους τύπους :
παραγοντικά και δυνάµεις
3 Μία δυναµοσειρά, στο διάστηµα (-R,R)
που συγκλίνει, µπορούµε να την :
1. ολοκληρωτικός τύπος
β)
ℓim n c n = x ℓim n α n < 1 ⇒
n → +∞
n → +∞
x
α) παραγωγίσουµε όρο προς όρο :
1
n −1 ( n )
R
=
n
∫ (x − t ) f (t) dt
′ ∞
1
∞
∞
(
n
−
1
)!


x0
x < ℓim
 Σ α n x n  = Σ (α n x n )′ = Σ nα n x n−1
n → +∞ n α
n
=
0
n
=
0
n
=
1
n


2. Τύπος του Lagrange
Χρησιµοποιείται όταν η ακολουθία αn έχει β) ολοκληρώσουµε όρο προς όρο :
f n (ξ )
Rn =
(x − x ο ) n , ξ ∈ (x ο , x )
n -οστές δυνάµεις.
n
!
x
x
∞
∞
 ∞

x n +1
∆ιάστηµα σύγκλισης λέµε τις τιµές του
 Σ α n t n dt = Σ (α n t n )dt = Σ α n
 n =0

Όταν η f (n) (ξ ) είναι φραγµένη στο [α,β]
n =0
n =0
n +1
x ∈ R , για τις οποίες η δυναµοσειρά συγκλίνει.


0
0
∫
∫
και επειδή
Aκτίνα σύγκλισης R, λέµε την τιµή των
παρακάτω ορίων, όταν αυτά υπάρχουν :
αn
R = ℓim
n →+∞ α n +1
ή R = ℓim
n →+∞ n
1
(1)
ΚΥΚΛΟΦΟΡΟΥΝ
Ανάλυση Ι Α΄ Τόµος
Λογισµός Συναρτήσεων
Πολλών Μεταβλητών
∆ιαφορικές Εξισώσεις
Γραµµική Άλγεβρα
αn
ℓ im
n → +∞
(x − x 0 ) n
=0
n!
ℓ im R n = 0 ,
n → +∞
έχουµε :
∀x ∈ [α, β]
Τότε η f(x)
αναπτύσσεται κατά Taylor
γύρω από το xo :
∞
f (n ) (x ο )
n =0
n!
f (x) = Σ
Ι. Π. Κρόκου
( x − x 0 )n
(2)
Ανάπτυγµα Mac Laurin
x 2n +1
2n + 1
δ) Εύρεση n-στής παραγώγου
Για να υπολογίσουµε τη n-οστή παράγωγο
n =0
Από το ανάπτυγµα Taylor για x0=0 παίρνουµε
το ανάπτυγµα Mac Laurin της f (x) :
Από την γεωµετρική σειρά (5) µε ολοκλή- µιας συνάρτησης f(x), στο σηµείο της x=0,
εξισώνουµε τη σχέση (3) (γενική µορφή) µε
ρωση και παραγώγιση αντίστοιχα έχουµε:
∞ f (n) (0)
n
το
ανάπτυγµά της κατά Mac Laurin.
f(x) = Σ
x
(3)
x
x
∞ xn+1
n =0
∞
n!
(100)
1
n
(0) = ?
dt = Σ t dt ⇒ ℓn(1 − x) = − Σ
και π.χ. Για την f(x)=xsinx , f
Από τη σχέση (3) και τις n-στες παραγώn =0
n=0 n + 1
1− t
100
0
Από τη σχέση (3) το x έχει συντελεστή :
γους των βασικών συναρτήσεων προκύπτουν 0
′
′
τα αναπτύγµατα του παρακάτω πίνακα.
∞
f (100) (0)
1
 1   ∞ n
n−1
α
=
100
= Σ n⋅x

 =  Σ x  ⇒
100 !
(1 − x) 2 n=1
 1 − x   n=0 
ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ MΑC LAURIN
Σχόλιο : Η ακτίνα σύγκλισης παραµένει Επίσης από το ανάπτυγµα έχουµε :
2
3
∞ xn
ίδια,
ενώ το διάστηµα µπορεί να αλλάξει.
∞
∞
x
x
x2n+1
x2n+2
1) ex = Σ
=1 + x +
+
+ ... x ∈ R
x sinx = x Σ (−1)n
= Σ (−1)n
Γι’αυτό
εξετάζουµε
τη
σύγκλιση
στα
άκρα
του
n =0 n!
2! 3!
n=0
(2n + 1)! n=0
(2n + 1)!
διαστήµατος.
∞
3η) Όταν έχουµε ρητή συνάρτηση την
(−1)49
x2n
x2 x4
Άρα
για
n=49
είναι
α
=
2) cοsx = Σ (−1)n
=1 − + − ... x ∈R
100
αναλύουµε σ’απλά κλάσµατα (βλ. τυπ.
99 !
n=0
(2n)!
2! 4!
αόριστο ολοκ.) και κάνουµε χρήση των
Οπότε f (100) (0) = −100
αναπτυγµάτων 4,5,6. π.χ.
∞
x2 n+1
x3 x5
3) sin x = Σ (−1)n
= x − + −... x ∈R
2
2/3
4/3
n=0
(2n +1)!
3! 5!
f (x ) =
=
+
⇒ ε) Αθροίσµατα δυναµοσειρών
(1 − x )(1 + 2x ) 1 − x 1 + 2x
Από τα γνωστά αναπτύγµατα προσπαθούµε
να βρούµε µε αντίστροφη διαδι4) (1+ x)α = 1+ αx + α(α −1) x 2 + ...
| x |< 1
2 ∞ n 4 ∞
f (x) = Σ x + Σ (−1) n (2x) n =
2!
κασία
τη συνάρτηση από την οποία
3 n=0
3 n=0
προέκυψε η δυναµοσειρά. π.χ.
∞
1
2 ∞
∞ n ( n − 1) x n −1
5)
= Σ x n = 1 + x + x 2 + ... | x |< 1
= Σ [1 + 2 n +1 (−1) n ]x n , µε x < 1 / 2
x
1 − x n=0
Σ
=
3 n =0
n =2
2
(1 − x ) 3
4η) Όταν έχουµε άρτιες δυνάµεις των
∞
1
του αναπτύγµατος
sinx, cosx κάνουµε αποτετραγωνισµό και ∆ιότι µε παραγώγιση
6)
= Σ (−1)n xn = 1 − x + x2 − ... | x |< 1
2
n
1 + x =0
χρησιµοποιούµε τα αναπτύγµατα 2,3. π.χ. της 1/(1-x) έχουµε :
′
1 + cos 6 x
∞
n+1
 1  ∞ n−1
∞
f ( x ) = x 2 cos 2 3x = x 2 (
)=
2
x2 x3
nx
= ( Σ nx )′ ⇒
= Σ n(n −1)xn−2
2
7) ℓn(1+x) = Σ (−1)
= x − + −... | x |<1

2
3
n=0
n+1
2 3
(1− x) n=2
(1− x)  n=1
2n
x2 x2 ∞
n (6 x )
=
+
Σ (−1)
Πολ/ντας µε x/2 προκύπτει το ζητούµενο.
∞ xn+1
x2 x3
2
2 n =0
(2n )!
8) ℓn(1− x) = − Σ
= −x − − − ... | x |<1
στ) Αθροίσµατα σειρών
n=0 n +1
2 3
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΩΝ Από τα αναπτύγµατα Mac Laurin π.χ. των
∞
α) Προσεγγίσεις
ex, cosx, sinx, ℓn (1 + x ) , arctanx, για τιµές
x2n+1
x3
9) arctanx= Σ (−1)n
= x − + ... | x |< 1
n=0
2n + 1
3
του x στο διάστηµα σύγκλισης προκύπτουν
προσέγγιση γύρω από το µηδέν π.χ.
αθροίσµατα αριθµητικών σειρών.
e x ≅ 1 + x , sin x ≅ x , ℓn (1 + x ) ≅ x
∞ x 2n
x2 x4
∞
arctanx = Σ (−1) n
∫
10) cοshx = Σ
=1+
+
∫
+ ... x ∈ R
Από την πολυωνυµική προσέγγιση βρίσκουµε τις τιµές των συναρτήσεων
∞ x2n+1
ex, sinx, cosx, ℓnx µε τη βοήθεια του
x3 x5
11) sinhx = Σ
= 1+ + +... x ∈ R
υπολογιστή. Ανάλογα µε τον αριθµό των
n=0 (2n +1)!
3! 5!
όρων του πολυωνύµου έχουµε και την
Τα αναπτύγµατα 1 έως 5 είναι βασικά, ενώ τάξη µεγέθους του σφάλµατος.
τα 6 έως 11 προκύπτουν απ’ αυτά.
β) Υπολογισµός ορίου
n =0 (2n)!
2!
4!
Ανάπτυξη συνάρτησης κατά Mac Laurin Πολλά όρια υπολογίζονται µε την βοήθεια
1η) Στα βασικά αναπτύγµατα αντικαθιστούµε τη των αναπτυγµάτων Mac Laurin. π.χ.
µεταβλητή x, µε µία συνάρτηση g(x). π.χ.
3
5


 x − x + x − ... − x
2
Από το εκθετικό ανάπτυγµα για x → x :


3! 5 !
sin x − x


ℓ
im
=
ℓ
im
=
2
n
2
n
3
3
∞ (x )
∞ x
2
x
→
0
x
→
0
x
x
x
= Σ
, ∀ x ∈R
e = Σ
n =0
n!
n =0
n!
 1 x2

1
= ℓim − +
− ...  = −
x →0
6
 3! 5!

Από τη γεωµετρική σειρά για x → − x 2 :
∞
1
1 + x2
n
= Σ (−1) x
n =0
2n
, |x| < 1
2η) Παραγωγίζουµε ή ολοκληρώνουµε το
ανάπτυγµα όρο προς όρο π.χ.
Από το ανάπτυγµα της 1/1+x2 έχουµε :
x
∫ 1+ t
0
∞
1
2
dt = Σ
n =0
x
∫ (-1) t
n 2n
0
dt ⇒
γ) Προσέγγιση ολοκληρώµατος
Ολοκληρώµατα που δεν υπολογίζονται
µπορούν να προσεγγισθούν µε το ανάπτυγµα Mac Laurin. π.χ.
x
∫
0
x
2
et dt =
∫
0
x
∞ t2n
∞ x2n+1
∞ t 2n
dt = Σ
dt = Σ
∑
n=0 (n)!
n=0 (2n + 1)n!
n=0 (n)!
∫
0
ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΑΡΙΘ. ΣΕΙΡΩΝ
∞
1
1 1
= 1 + 1 + + + ...
n =0 n!
2! 3!
e= Σ
∞
cοs1 = Σ (−1)n
n=0
∞
sin1= Σ (−1)n
n=0
∞
1
1 1
=1− + −...
(2n +1)!
3! 5!
ℓn 2 = Σ (−1)n
n=0
1
1 1
=1− + −...
(2n)!
2! 4!
1
1 1
= 1− + − ...
n +1
2 3
π ∞
1
1
= Σ (−1) n
= 1− +...
4 n=0
2n +1
3
π2 ∞ 1
1 1
= Σ 2 = 1+ 2 + 2 + ...
6 n=1 n
2 3
ΣΤΗΡΙΞΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ
Οργανωµένα µαθήµατα
Ε.Μ.Π. – Α.Ε.Ι. – Α.Τ.Ε.Ι. – Ε.Α.Π.
Επικοινωνήστε µαζί µας !!!
ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495
www.arnos.gr – e-mail : [email protected]
ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
ΜΑΘ 015
Λέµε ότι η συνάρτηση F(x) είναι παράα)
γουσα ή αρχική της f(x) όταν :
(F(x)+c)΄=F΄(x)=f(x)
β)
Αόριστο ολοκλήρωµα της συνάρτησης
f(x) ονοµάζεται το σύνολο όλων των παραγουσών συναρτήσεων και παριστάνεται: γ)
∫ f (x)dx = F(x) + c
f ′( x )
1
f ′( x )
1
∫ f (x) dx = ∫ t dt = ℓn f (x) + c
1
∫ f (x) dx = ∫ t dt = − f (x) + c
f ′( x )
1
∫ 2 f (x) dx = ∫ 2 t dt = f (x) + c
2
2x
2x
dx ,
dx,
+1
( x 2 + 1)2
∫
2
∫
∫
2x
′
 f ( x )dx  = f ( x ) ,




∫
∫
df ( x ) = f ( x ) + c
dx
ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΤΗΣ
2. Γραµµικότητα
∫ [κf(x) + λg(x)]dx = κ ∫ f(x)dx + λ ∫ g(x)dx
2.
∫ R (x,
αx + β )dx ή
αx + β = t ή
Θετ. :
dx
∫
∫
∫
3
αx + β = t
x− x
∫
x
dx ,
∫ cos x , ∫
2
∫e
x
dx
6
x = t ⇒ 3 x = t 2 , x = t 3 , x = t 6 , dx = 6t 5dt
παρά µόνο προσεγγιστικά µε ανάπτυξη
4. R (e kx )dx θέτουµε : e kx = t
της συνάρτησης σε δυναµοσειρά.
Στη συνέχεια αναπτύσσουµε όλες τις µεθο1 + ex
1
π.χ.
dx ,
dx
δολογίες ολοκλήρωσης, µε αντιπροσωπευx
1− e
1 − e2 x
τικά παραδείγµατα εφαρµογής τους.
∫
∫
∫
ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 5.
Α. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
=(x-ρ1)t
=(x-ρ2)t
αx2 + βx + γ
= x α +t
βx + γ = 2 αxt + t2
αx2 + βx + γ
= xt+ γ
αx +β = xt2 + 2t γ
∫ R(e
µx
, e νx )dx
∫
π.χ.
∫
∫
2
α(x-ρ1)(x-ρ2)
Παίρνουµε
α(x-ρ2)=(x-ρ1)t2
α(x-ρ1)=(x-ρ2)t2
α>0 στη
8.
∫
ex
dx ,
x
Ίση µε
αx + β )dx
3
Παρατηρούµε ότι το ολοκλήρωµα είναι π.χ. x x −1 , x + x dx , sin x − 1 dx
“φτωχό” σε ιδιότητες γι’ αυτό δυσκολεύει ο
υπολογισµός του. Η εύρεσή του βασίζεται :
µ
ν
α) Στον πίνακα των βασικών ολοκληρωµάτων 3. R(x , αx + β , αx + β )dx , µ,ν ∈ Ν
(βλ. τυπολόγιο παράγωγοι-ολοκληρώµατα)
κ
β) Στις µεθόδους που αναπτύσσουµε παρακάτω, Θετ. : αx + β = t , όπου κ = Ε.Κ.Π. (µ, ν)
ανάλογα µε την µορφή της συνάρτησης f(x)
dx
dx
π.χ.
, ∫6
Θετ.
Πολλά ολοκληρώµατα δεν υπολογίζονται, π.χ.
3
x+ x
x (1 + x )
αx 2 + βx + γ
Μορφή
∫
R (x, 3

αx 2 + βx + γ  dx

β) Η αx 2 + βx + γ απαλείφεται και αλγεβρικά, οδηγώντας σε ρητή συνάρτηση, ως εξής:
∫
∫

∫ R x,
α) Θέτουµε x = t − (β / 2α) και αναγόµαστε
σε ολοκλήρωµα της προηγούµενης µορφής.
2
∫x
π.χ.
Τυπολόγιο & Μεθοδολογία
7.
Σχόλιο : Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη
x2 + 1
διαδικασία της παραγώγισης. π.χ.
Κλασικές αντικαταστάσεις :
1
2 xdx = x 2 + c , διότι ( x 2 + c) ′ = 2x
R( ℓnx)dx Θέτουµε : ℓnx = t
1.
x
Ιδιότητες:
(ℓnx )3
dx
π.χ.
dx ,
1. Συνέπεια του ορισµού
x
x (ℓ n 2 x + 4)
sin x
fast & easy
∫
α και γ>0 στη
x 2 + x + 1 dx ,
∫
γ
x −1
dx
7 + 6x − x 2
 αx+β 
dx Θέτ. :
R x,
 γx+ δ 


αx + β
=t
γx + δ
Β. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ
Από τον κανόνα παραγώγισης γινοµένου
συναρτήσεων, µε ολοκλήρωση προκύπτει :
∫ f (x)g′(x)dx = f(x)g(x) - ∫ f ′ (x)g(x)dx
Η εφαρµογή της παραγοντικής µεθόδου
βασίζεται στο ότι µε την παραγώγιση η
εκθετική και οι τριγωνοµετρικές δεν αλλοιώνονται, ενώ η λογαριθµική και οι αντίστροφες τριγωνοµετρικές φεύγουν.
∆ηλαδή :
eαx +β =
Θέτουµε : e κx = t , όπου κ = Μ.Κ.∆. (µ,ν).
1 αx +β
1
(e
)′ cos(αx+ β) = [sin(αx+ β)]′
α
α
α
1
Όταν η ολοκληρωτέα συνάρτηση παρουσιάζει
[ℓn (αx + β)]′ =
, (arctanx)′ =


αx
+
b


2
2
2
2
1
+
x2
κάποιο δύσκολο σηµείο g(x), το αντικαθιστού- 6. R x, α ± x dx , R  x, x − α dx




µε µε τη µεταβλητή t. ∆ηλαδή, θέτουµε :
Εφαρµόζεται στα εξής γινόµενα συναρτήσεων :
-1
Χρήσιµες σχέσεις για την απαλοιφή των ριζών:
g(x)=t ⇒ g΄(x)dx=dt και x = g ( t )
α) Πολυωνυµική επί εκθετική
Στόχος µας είναι µε την µέθοδο της αντικα- sin2x + cos2x = 1, 1+ tαn2x = 1 , cosh 2x −sinh 2x = 1 Θέτουµε την εκθετική σε παράγωγο π.χ.
cos 2x
τάστασης η αναγωγή σε βασικό ή εύκολο
xexdx= x ⋅ (ex )΄dx= xex − (x)΄⋅ exdx= xex − ex + c
ολοκλήρωµα. π.χ.
∫
∫ sin(ℓnx) dx = ∫ e
∫
t
sin t dt = ...
θέσαµε ℓnx = t , x=et , dx = et dt
∫e
arcsin x
∫
∫
dx = e t cos t dt = ...
θέσαµε arcsinx=t, x=sint , dx = cost dt
Τα ολοκληρώµατα που προέκυψαν υπολογίζονται µε την παραγοντική µέθοδο (Β).
ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΤΕΤΡ. ΡΙΖΩΝ
Μορφή
2
Γραµµική Άλγεβρα
Ανάλυση Ι (Α΄ µέρος)
Ι.Π. Κρόκου
Άµεση ολοκλήρωση Θέτουµε
f(x)=t
x=αcost
α 2 − x 2 = α sin t
x=αsint
α 2 − x 2 = α cost
= x sin x − ∫ ( x )′ sin xdx = x sin x + cos x + c
x=αtαnt
α2 + x 2 = α / cost
x=αsinht
α2 + x2 = αcosht
x=α/cost
x 2 − α 2 = α tan t
x=αcosht
x 2 − α2 = αsinht
γ) Εκθετική επί τριγωνοµετρική
Θέτουµε όποια θέλουµε σε παράγωγο
εφαρµόζουµε δύο φορές την παραγοντική
παίρνοντας την ίδια παράγουσα συνάρτηση.
Από την ισότητα που προκύπτει, λύνουµε ως
προς το ζητούµενο ολοκλήρωµα. π.χ.
α −x
x −α
2
β) Πολυωνυµική επί τριγωνοµετρική
Θέτουµε την τριγωνοµετρική σε παράγωγο
Παίρνουµε
α2 + x2
∫
Θέτουµε
2
ΦΟΙΤΗΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ :
Ε.Μ.Π. – Α.Ε.Ι. – Α.Τ.Ε.Ι. – Ε.Α.Π.
∫
2
π.χ.
∫ x cosxdx=∫ x(sinx)′dx =
οι απλοί δευτεροβάθµιοι παράγοντες Ειδικές περιπτώσεις
έχουν στον αριθµητή διώνυµο Βi x+Γi .
1η) Όταν η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι :
x
x
x
x
οι πολλαπλοί παράγοντες, ανάλογα µε περιττή ως προς sinx , δηλ. f(-sinx)= - f(sinx),
τη βάση, έχουν στον αριθµητή σταθερά θέτουµε : cosx = t
οπότε :
Α i ή διώνυµο Βix+Γi που επαναλαµβά= e x sin x −  e x cos x − e x (cos x )′dx  ⇒


sinxdx = -dt, sin 2 x =1 − t 2
νονται τόσες φορές (i=1,2,…,µ) όσες και
x
x
⇒ I = (e sin x − e cosx) / 2 + c
η πολλαπλότητα τους (δύναµη). π.χ.
sin3 x
δ) Λογαριθµική επί «άλλη» συνάρτηση
P( x )
P(x )
dx , sin3 x dx , sin5 x dx
π.χ.
=
=
2
2
µ
Αντίστροφη τριγωνοµετρική επί «άλλη»
cos x
Q( x ) ( x + α)( x + βx + γ)( x + δ)
περιττή
ως
προς cosx , δηλ. f(-cosx) = -f(cosx),
Θέτουµε την «άλλη» συν. σε παράγωγο π.χ.
∆µ
Α1
Β1x + Γ1
∆1
′
θέτουµε : sinx = t οπότε :
=
+ 2
+
+ ... +
1 3
1 3
 x3 
µ
∫
∫
= e sinx − e cosxdx = e sinx − (e )′ cosxdx=
∫
∫
I = ex sin xdx= (ex )′ sin xdx
∫
∫
∫x
2
∫ 
ℓ nxdx =
x+α
 ℓnxdx = x ℓ nx − x
3
9
3 
x+δ
x + βx + γ
∫
∫
∫
2.
3.
4.
5.
∫
dx
1
= ℓn α x + β + c
αx + β α
dx
∫ ( x + α)
∫x
∫
∫
π.χ.
cos3 x
k
dx
2
+α
2
( x + α)
− κ +1
=
=
x
− κ +1
+c
,κ ≠1
2
( x + 1) ( x + 1)
− 2x + 4
dx
=
∫t
∫
θέτουµε :
tanx=t
( x + 1) 2
+
Bx + Γ
x 2 +1
P(x)
U(x)
= Π(x) +
Q(x)
Q(x)
t +1
2
P(x )
dx =
Q (x )
∫ Π ( x)dx +
x = arctant , dx =
sin 2 x =
t2
1+ t
+3
dt = ...
Β. Σύνθετα κλάσµατα
Έστω η ρητή συνάρτηση
κ
P(x) ακx + ...+ α1x + α0
=
Q(x) βnxn + ...+ β1x + β0
και το
U(x)
∫ Q(x) dx
∫
x3
∫ tan
∫
∆. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
1 + t2
t
1 + t2
3
x dx , ∫
1
dx
1 + 3 cos 2 x
,
sin2 x
∫ cos x + sin x cosxdx
2
3η) Σχέσεις αποτετραγωνισµού
Σε άρτιες δυνάµεις µπορούµε να κάνουµε
υποβιβασµό της δύναµης για άµεσο υπολογισµό.
sin 2 x =
π.χ.
x 
x2 1

dx =  x − 2  dx = − ℓn(x2 +1) + c
2
2 2
x +1
 x + 1
1
π.χ.
ανήκει στην 1η περίπτωση.
π.χ.
dt
1 + t2
, cos2 x =
2
sin x cos x =
U(x)
dx
Q(x)
∫
οπότε :
1
1
(1 − cos 2 x ) , cos 2 x = (1 + cos 2 x )
2
2
sin x ⋅ cos x =
Όταν ∆=0 αναγόµαστε στο (2).
Όταν ∆>0 έχουµε:
αx2+βx+γ=α(x-ρ1)(x-ρ2)
και µε ανάλυση του κλάσµατος (βλέπε
παρακάτω) αναγόµαστε στο (1).
f(x)=
A2
Οπότε :
Όταν ∆<0 θέτουµε x = t − β / 2 α
και αναγόµαστε στα (3) και (4) . π.χ.
2
x +1
+
2 ) Όταν n ≤ κ από τον αλγόριθµο της
1
= ℓn ( x 2 + α 2 ) + c
x 2 + α2 2
2
εx + δ
dx , ∆=β - 4αγ
αx2 + βx + γ
∫x
Α1
η
xdx
(x =t +1)
=
διαίρεσης έχουµε :
1
x
arctan + c
α
α
x
2
x dx , ∫ cos5 x dx
3
2η) Όταν η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι :
άρτια ως προς sinx και cosx δηλαδή,
f(-sinx, -cosx) = f(sinx, cosx),
A
A
x+7
2
=
= 1 + 2
x + 4 x + 3 ( x + 1)( x + 3) x + 1 x + 3
cos 2 x = 1 − t 2
∫ 1 − sin x dx , ∫ cos
x+7
Α. Απλά κλάσµατα (εργαλεία)
1.
cosxdx = dt,
∫
Γ. ΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
∫
(x + δ)
ο
Παρατήρηση : Όταν έχουµε µόνο αντίστρο- Βήµα 3 : Υπολογισµός των σταθερών.
φη τριγωνοµετρική ή λογαριθµική συνάρτη- α) Απαλείφουµε τους παρονοµαστές.
ση, τότε γράφουµε : 1 = ( x )′ π.χ.
β) Θέτουµε τις ρίζες του Q(x) στην εξίσωση
που προέκυψε και βρίσκουµε άµεσα τις
′
αrctαnxdx = (x) αrctαnxdx = …
τιµές κάποιων ή όλων των σταθερών.
ℓnxdx = ( x )′ℓnxdx = xℓnx − x + c
γ) Από τα εκ’ ταυτότητας ίσα πολυώνυµα
προκύπτει το πλήρες σύστηµα για όλες τις
σταθερές.
ε) Ειδικές περιπτώσεις
δ) Συνδυαστικά από τα β) και γ) υπολοx2 +α
1
= ( − ) ′ ⋅ x 2 + α dx =…
γίζουµε τις σταθερές και ελέγχουµε τα
x
x2
αποτελέσµατα. π.χ.
∫
∫
∫
1
sin 2 x
2
∫cos xdx , ∫sin xdx , ∫sin x ⋅ cos3x dx
2
4
2
Χρησιµοποίηση των παραπάνω σχέσεων για
την απαλοιφή της ρίζας. π.χ.
∫
1 + cos5x dx =
∫
2 cos
5x
2
5x
dx = 2
sin
2
5
2
η
Με κατάλληλες αντικαταστάσεις και µε την 4 ) Μετατροπή του γινοµένου σε άθροισµα :
αξιοποίηση των σχέσεων της τριγωνοµεsin α cos β = 1 / 2 ⋅ [sin(α + β) + sin(α − β)]
τρίας η ολοκληρωτέα συνάρτηση µετασχηcos α cos β = 1 / 2 ⋅ [cos(α + β) + cos(α − β)]
µατίζεται σε ρητή (βλέπε ανωτέρω).
sin α sin β = 1 / 2 ⋅ [cos(α − β) − cos(α + β)]
Γενική αντικατάσταση
1
x
π.χ. sin 2x ⋅ cos3x dx = (sin5x- sinx) dx = ...
Θέτουµε tan = t και παίρνουµε :
∫
2
x
= arctan t
2
,
2dt
dx =
∆ιακρίνουµε τις περιπτώσεις:
1+ t
2
1η) Όταν n > κ, τότε κάνουµε ανάλυση
2t
1− t
2t
sin x =
, cos x =
, tan x =
σ’απλά κλάσµατα ως εξής:
2
2
1
+
t
1
+
t
1
−
t2
Βήµα 1ο: Παραγοντοποίηση του παρονοµαστή σε γινόµενο πρώτων παραγόντων, Εφαρµόζεται πάντα. Μειονέκτηµά της
είναι να προκύψει αρκετά σύνθετη ρητή
π.χ.
Q( x ) = ( x + α)( x 2 + βx + γ)( x + δ)µ
συνάρτηση, γι’ αυτό την χρησιµοποιούµε
Βήµα 2ο: Ανάλυση του κλάσµατος σε ά- µόνο σαν τελευταία επιλογή.
θροισµα απλών κλασµάτων ως εξής :
dx
1 − cos x
1
οι απλοί πρωτοβάθµιοι παράγοντες π.χ. sin x , 1 + sin x dx , sin x + cos x dx
έχουν στον αριθµητή σταθερά Αi .
∫
∫
2
∫
2
∫
Ε. ΑΝΑΓΩΓΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ
Οι αναγωγικοί τύποι, συνήθως, αποδεικνύονται µε την παραγοντική µέθοδο. π.χ.
∫
∫
Ι ν = sin ν dx = sin ν -1 x(-cosx ) ′dx = ...
Ιν =
∫
′


dx =  − 1 − x 2  x 2ν dx = ...


1- x2
x 2ν+1
∫
ΣΤΗΡΙΞΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ
A.E.I. – Α.T.E.I. – E.M.Π. – Ε.Α.Π.
www.arnos.gr
ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495
www.arnos.gr – e-mail : [email protected]
fast & easy
∆ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
ΜΑΘ 024
Τυπολόγιο & Μεθοδολογία
Τονίζουµε ότι το διπλό ολοκλήρωµα δεν γ) Τόπο y – απλό (σταθερά άκρα για το y)
Ορισµός : Ας είναι συνάρτηση δύο µετα- έχει κατ’ ανάγκη γεωµετρική ή φυσική Έχουµε όταν:
βλητών, z = f ( x, y) ορισµένη στον τόπο τ σηµασία, γι’ αυτό µπορεί να προκύψει
τ = (x, y) ∈ R 2 : g1 (y) ≤ x ≤ g 2 (y), γ ≤ y ≤ δ
αποτέλεσµα θετικό, αρνητικό ή µηδέν.
του xoy – επιπέδου (R2). Σχηµατίζουµε το
Όµοια :
γινόµενο της f ( x, y) µε το στοιχειώδες κοµ∆ΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
{
µάτι «πλακάκι» του τόπου τ dxdy (λίγο
x → dx,
λίγο
y → dy ),
δηλαδή
f ( x , y)dxdy. Στη συνέχεια παίρνουµε το
άθροισµα για όλα τα «πλακάκια». Αυτό
είναι το διπλό ολοκλήρωµα της f ( x, y)
στον τόπο τ :
Ι=
∫∫ f(x, y)dxdy
τ
}
1η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ :
δ  g 2 ( y)

Αναγωγή σε διαδοχικά ολοκληρώµατα
f ( x, y)dxdy =  f ( x, y)dx  dy
Περιγραφή (σάρωση) του τόπου τ :


τ
γ  g1 ( y )

Το x «κινείται» οριζόντια από αριστερά µικρές τιµές - προς τα δεξιά - µεγάλες
τιµές. To y «κινείται» κατακόρυφα από
κάτω - µικρές τιµές - προς τα πάνω - µεγάλες τιµές.
g 2 ( y)
g1 ( y)
Αν µας το επιτρέπει η µορφή του τόπου τ
ολοκληρώνουµε πρώτα ως προς µία µεταβλητή και στη συνέχεια ως προς την Συµβουλή : Όταν το ολοκλήρωµα δεν
άλλη. Αυτό γίνεται όταν έχουµε:
είναι γνωστό, φροντίζουµε ν’ αλλάξουα) Ορθογώνιο τόπο (σταθερά άκρα για x και y) µε τη σειρά (τάξη) ολοκλήρωσης. Μία
συνήθης µορφή τόπου που εµφανίζεται
Έχουµε όταν :
στη θεµατολογία είναι ο ορθογώνια
τ = {( x, y) ∈ R 2 : α ≤ x ≤ b, γ ≤ y ≤ δ} τριγωνικός (βλέπε σχήµα).
∫∫
∫ ∫
Ερµηνεία
α) Όγκος
Όταν z = f ( x, y) ≥ 0 στον τόπο τ, το
f ( x , y)dxdy είναι ίσο µε τον όγκο του παραλληλεπιπέδου µε βάση το «πλακάκι»
dxdy και ύψος z =f(x,y). Το διπλό ολοµε
όποια
σειρά
κλήρωµα δίνει τον όγκο του κυλινδρικού Ολοκληρώνουµε
στερεού που ορίζεται, κάτω από τον τόπο τ επιθυµούµε. ∆ηλαδή :
του xoy – επιπέδου, πάνω από την επιφάβ δ
δ β



νεια z = f ( x, y) και την ορθή µεταφορά I =  f(x, y)dx dy =  f(x, y)dy dx




του τόπου τ µέχρι την επιφάνεια.
γ α
α  γ


∫∫
V=
∫∫ f(x, y)dxdy
∫∫
Ειδικά όταν f ( x, y) = g( x ) ⋅ h ( y) τότε :
τ
I=
∫∫
β
g(x)h(y)dxdy =
τ
∫
Μπορεί να περιγραφεί ως εξής :
τ = { α ≤ x ≤ β, γ ≤ y ≤ φ(x) } x - απλός
δ
∫
g(x)dx ⋅ h(y)dy
α
{
}
β) Εµβαδόν
τ = (x, y) ∈ R2 : α ≤ x ≤ b, φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x)
Όταν f ( x, y) = 1, το dxdy είναι ίσο µε
το εµβαδόν του «πλακακίου» και το δι- Οπότε για την τυχαία κατακόρυφη στήλη
πλό ολοκλήρωµα δίνει το εµβαδόν του (dx: τυχαίο αλλά σταθερό) ολοκληρώνουµε ως προς y (σάρωση της στήλης)
επίπεδου τόπου τ, Ετ :
και στη συνέχεια ως προς x (όλες τις
στήλες)
από αριστερά προς τα δεξιά.
Ε τ = dxdy
∆ηλαδή:
τ
∫∫
γ) Μάζα
Όταν η f (x, y) = p(x, y) είναι η συνάρτηση επιφανειακής πυκνότητας του επιπέδου «φύλλου» τ, τότε η στοιχειώδης µάζα είναι p( x, y)dxdy = dm και το διπλό
ολοκλήρωµα η µάζα Μ :
Μ=
∫∫ p(x, y)dxdy
τ
τ
}
y - απλός
γ
β) Τόπο x-απλό (σταθερά άκρα για το x)
Έχουµε όταν:
∫∫
{
τ = α ≤ x ≤ φ−1(y), γ ≤ y ≤ δ
2η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ :
Αλλαγή µεταβλητών ολοκλήρωσης
Όταν οι τ.µ. (x,y) αντικαθιστώνται µε τις
τ.µ. (u,v), δηλαδή:
x = x (u, v), y = y(u, v) (Μ) ή
u = u ( x , y), v = v( x, y) (Μ΄)
• Η συνάρτηση γίνεται :
f ( x, y) = f (x (u, v), y(u, v) )
• Ο τόπος τ του xoy – επίπεδου, γίνεται τ*
στο uov – επίπεδο. Αν στις εξισώσεις που
ορίζουν τον τόπο τ αντικαταστήσουµε τα
x = x (u, v),
y = y(u, v) , θα πάρουµε
τις εξισώσεις που ορίζουν τον νέο τόπο τ*.
β  φ 2 ( x)



f(x, y)dxdy =  f(x, y)dy dx


α  φ1 ( x)

∫ ∫
φ 2 ( x)
φ1 ( x)
• Το στοιχειώδες «πλακάκι» µεγεθύνεται
κατά |J| δηλαδή : dxdy = |J| dudv ,
όπου J η Iακωβιανή ορίζουσα του µετασχηµατισµού :
J=
∂ (x, y) x u x v
=
∂ ( u , v) y u y v
(Μ)
Ισχύει :
∫∫
f (x, y)dxdy =
∫∫
f (x(u, v), y(u, v)) J dudv
τ*
τ
Συµβουλή 1η : Όταν το διπλό ολοκλήρωµα εµφανίζει δυσκολία στον υπολογισµό του, λόγω της µορφής του τόπου τ ή
λόγω του τύπου της συνάρτησης, τότε
χρησιµοποιούµε µετασχηµατισµό.
β) Κυκλικό τοµέα
τ : x 2 + y2 ≤ α2 , y ≥ α1x, y ≥ α2x →
τ∗ : 0 ≤ ρ ≤ α, θ1 ≤ θ ≤ θ2
(x - xo )2 + ( y - yo )2 ≤ α2
τ : 0 ≤ ρ ≤ α, 0 ≤ θ ≤ 2π
y = α2 x
y = α1x
∂ (u, v) u x u y
=
∂ ( x , y) v x v y
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ
Για τον ελλειπτικό δίσκο τ :
x2
α2
+
y2
β2
≤1
Παίρνουµε τον µετασχηµατισµό :
x
y
= ρcosθ,
= ρsinθ
α
β
µε dudv=|J΄|dxdy.
Ισχύει :
προκύπτει τόπος :
*
όπου : tanθ1 = α1, tanθ2 = α2
Συµβουλή 2η : Η εύρεση της J µπορεί να
γίνει από την J΄, όπου J΄ η Ιακωβιανή γ) Κυκλικό δακτύλιο
ορίζουσα του αντίστροφου µετασχηµατι- τ : α2 ≤ x 2 + y2 ≤ β2 →
σµού (Μ΄). ∆ηλαδή :
τ ∗ : α ≤ ρ ≤ β και 0 ≤ θ ≤ 2π
J΄ =
π.χ. για το δίσκο τ :
J ⋅ J′ = 1
µε Ιακωβιανή ορίζουσα J=αβρ και έχουµε :
ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ
δ) Κύκλο µετατοπισµένο στον x- άξονα
2
2
Οι καρτεσιανές συντεταγµένες (x,y) αντι α
α
καθίστανται µε τις πολικές (ρ,θ), όπου: ρ τ : x 2 + y2 ≤ αx ή  x -  + y2 ≤  
 2
 2
η απόσταση από την αρχή των αξόνων
*
τ
:
0
≤
ρ
≤
αcosθ,
π/2
≤
θ
≤
π/2
( ρ ≥ 0 ) και θ η γωνία που σχηµατίζει ο
οx – ηµιάξονας µε το ΟΜ µε θετική φο- ε) Κύκλο µετατοπισµένο στον y- άξονα
2
2
ρά την αντιωρολογιακή (βλέπε σχήµα).
β β
2
2 
2
τ
:
x
+
y
≤
β
y
ή
x
+
y
≤




Είναι χρήσιµος για αποστάσεις
 2  2
*
ρ =| ΟΜ |= x 2 + y 2
τ : 0 ≤ ρ ≤ βsinθ, 0 ≤ θ ≤ π
τ* : { 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2 π }
y=
β
α2 − x 2
α
y=−
β
α2 − x 2
α
x 2 y2
+
=1
α2 β2
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ
Έστω ότι τ είναι ένα επίπεδο µη οµογενές σώµα µε πυκνότητα ρ(x,y),
(ρ(x,y) ≥ 0).
• Η µάζα του σώµατος είναι :
Προφανώς σχέσεις µε αποστάσεις του
στ) Ληµνίσκο Bernoulli στον x-άξονα
σηµείου (x,y) από την αρχή των αξόνων
τ : (x2 + y2 )2 ≤ α2 (x 2 - y2 ) →
γίνονται πολύ «κοµψές» αφού :
τ * : 0 ≤ ρ ≤ α cos2θ , (Μαύρο)
x 2 + y2 = ρ2 ή
x 2 + y2 = ρ
− π / 4 ≤ θ ≤ π/4,
∆ηλαδή έχουµε :
x = ρcosθ, y = ρsinθ
ρ = x 2 + y2 ,
 y
θ = arctan 
x
Η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι :
∂x ∂y ∂x ∂y
J=
⋅
−
⋅
=ρ
∂ρ ∂θ ∂θ ∂ρ
τ : 0 ≤ ρ ≤ α - cos2θ ,
π / 4 ≤ θ ≤ 3π/4,
(κόκκινο)
τ
Ιο =
∫∫ (x
2
+ y 2 )ρρ(xy)dxdy
τ
• Η ροπή αδράνειας ως προς τους άξονες
Οx, Οy είναι :
5π / 4 ≤ θ ≤ 7π/4
Ι οx =
∫∫ y ρ(x, y)dxdy
2
τ
Ι οy =
Οι συνθήκες προσήµων των x,y καθορίζουν την γωνία θ
π.χ. x ≥ 0 - π/2 ≤ θ ≤ π/2,
π.χ. y ≥ 0 0 ≤ θ ≤ π
π.χ. x ≥ 0 , y ≥ 0 0 ≤ θ ≤ π / 2
π.χ. x ≤ 0 , y ≥ 0 π / 2 ≤ θ ≤ π κλπ
Οι πολικές χρησιµοποιούνται σε :
α) Κυκλικό δίσκο
τ : x2 + y2 ≤ α2 → τ∗ : 0 ≤ ρ ≤ α, 0 ≤ θ ≤ 2π
∫∫ ρ(x, y)dxdy
• Η ροπή αδράνειας ως προς το Ο (αρχή των αξόνων) είναι :
3π / 4 ≤ θ ≤ 5π/4
ζ) Ληµνίσκο Bernoulli στον y-άξονα
τ : (x2 + y2 )2 ≤ α2 (y2 - x 2 ) →
*
Μ=
∫∫ x ρ(x, y)dxdy
2
τ
• Το κέντρο µάζας Κ(xo, yo) είναι :
xο =
yο =
ΠΟΛΙΚΕΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΜΕΝΕΣ
Όταν η απόσταση του Μ(x,y) είναι από
το σηµείο Μο (xo,yo) δηλαδή :
(x-xo)2 + (y-yo)2 τότε κάνουµε χρήση του
µετασχηµατισµού :
x - x o = ρcosθ, y - yo = ρsinθ
µε Ιακωβιανή ορίζουσα J = ρ.
1
M
∫∫ xρ(x, y)dxdy
1
M
∫∫ yρ(x, y)dxdy
τ
τ
ΚΥΚΛΟΦΟΡΟΥΝ
z
Ανάλυση Ι Α΄ Τόµος
z
Λογισµός Συναρτήσεων
Πολλών Μεταβλητών
z
∆ιαφορικές Εξισώσεις
z
Γραµµική Άλγεβρα
Ι. Π. Κρόκου
ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495
www.arnos.gr – e-mail : [email protected]
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
ΜΑΘ 027
ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ R3
Μια επιφάνεια S στο χώρο ορίζεται από
εξισώσεις της µορφής : F(x,y,z)=0 ή
z=z(x,y) ή x=x(y,z) ή y=y(x,z).
π.χ. x+3y+2z=8 επίπεδο, x2+y2+z2 = 9 σφαίρα.
∆ηλαδή για τις τριάδες σηµείων (xo,yo,zo), που
τις ικανοποιούν, έχουµε δυο µεταβλητές ανεξάρτητες π.χ. x,y και µια εξαρτηµένη π.χ. z(x,y).
z Η επιφάνεια S προκύπτει από την κίνηση του
διανύσµατος θέσης r(u, υ) στο χώρο, έχοντας
δυο µεταβλητές (u,υ) ελεύθερες (ανεξάρτητες).
G G
ru × rυ
G
rυ
u = uo
c1
G
ru
Τυπολόγιο & Μεθοδολογία
Συµβουλή : Από την επιφάνεια χρειάζεται
να ξεκαθαρίσουµε την παραµέτριση r(u, υ) ,
τον τόπο D των παραµέτρων u,υ και τα
ru × r υ , | ru × r υ | .
ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΣΕΙΣ
1. Γενική επιφάνεια z=z(x,y)=f(x,y)
Όταν η εξίσωση της επιφάνειας λύνεται
ως προς µια µεταβλητή π.χ. z=f(x,y) µε
(x,y) ∈ D , η παραµέτριση είναι :
r(x, y) = (x, y, f(x, y)) µε (x, y) ∈ D
Το κάθετο διάνυσµα στην επιφάνεια είναι :
 ∂f ∂f 
,− ,1
rx × ry =  −
 ∂x ∂y 
υ = υo
c2
fast & easy
z = z2
G
n
G
r (φ, θ)
rθ × rz
z = z1
4. Κώνος z2 = x2 + y2, z1 ≤ z ≤ z2
G
Θέτουµε : r (θ, z) = (zcosθ, zsinθ, z)
µε {0 ≤ θ ≤ 2π, z1 ≤ z ≤ z 2 }
Έχουµε οριζόντια κυκλική κίνηση µε
γραµµικά µεταβαλλόµενη ακτίνα.
Το κάθετο διάνυσµα στην επιφάνεια είναι :
G G
rθ × rz = (zcosθ, zsinθ,-z)
βλέπει προς τα έξω και είναι κάθετο στο
διάνυσµα θέσης.
G G
Έχει µέτρο : rθ × rz =| z | 2
Οι µεταβλητές (u,υ) λέγονται παράµετροι Από (rx × ry ) ⋅ κ = 1 > 0 προκύπτει ότι το διάκαι επιλέγονται ανάλογα µε το είδος της νυσµα Grx × Gry βλέπει πάντα προς τα πάνω.
G
επιφάνειας (βλ. παρακάτω παραµετρίσεις).
n
rx × ry
G
Έτσι η επιφάνεια S γράφεται :
r (θ, z)
r(u, υ) = (x(u,υ), y(u,υ), z(u,υ)) (u, υ) ∈ D
G
z = f(x, y)
z Όταν u=uο το διάνυσµα θέσης r (u o , υ) είr(x, y)
G
r(uο, vο)
µε µέτρο : | rx × ry |= 1 + f x2 + f y2 .
ναι µονοπαραµετρικό και παριστάνει την
καµπύλη c1 στο χώρο (βλ. σχήµα).
Όµοια όταν υ=υο έχουµε την καµπύλη c2.
z Οι µερικές παράγωγοι του διανύσµατος
θέσης r(u, υ) ως προς u και υ στο σηµείο
r(u ο , υ o ) δίνουν τα εφαπτόµενα διανύσµατα
2. Σφαίρα x2 + y2 + z2 = α2
Με κέντρο (0,0,0) και ακτίνα α.
Από τις σφαιρικές συντεταγµένες (ρ,φ,θ)
για ρ=α παίρνουµε το κέλυφος της σφαίρας σε παραµετρική µορφή r (φ,θ) δηλ. :
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ Α΄ ΕΙ∆ΟΥΣ
Σε βαθµωτό πεδίο f(x,y,z)
Ας είναι η βαθµωτή συνάρτηση f(x,y,z) ορισµένη στην επιφάνεια S. Σχηµατίζουµε το
γινόµενο της f(x,y,z) µε το στοιχειώδες κοµστις καµπύλες c1 και c2 δηλαδή :
G
r (φ, θ) = (αcosθsinφ , αsinθsinφ, αcosφ)
µάτι ds της επιφάνειας S (λίγο s → ds), δηλαδή
 ∂x ∂y ∂z 
 ∂x ∂y ∂z 
ru =  , , , rυ =  , , 
f(x,y,z)ds και παίρνουµε το άθροισµα όλων
µε {0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2 π}
∂
u
∂
u
∂
u


 ∂υ ∂υ ∂υ 
των γινοµένων. Αυτό είναι το επιφανειακό
Το κάθετο διάνυσµα στην επιφάνεια S είναι: Για περιορισµό της σφαίρας (µέρος της) ολοκλήρωµα της f(x,y,z) στην επιφάνεια S :
κάνουµε κατάλληλη επιλογή των φ, θ .
i
j k
Το κάθετο διάνυσµα στην επιφάνεια είναι:
Ι = f(x, y, z)ds
ru × rυ = x u y u z u
xυ
Το µέτρο του δηλώνει
το εµβαδόν της στοιχειώδους επιφάνειας
ds δηλαδή :
ds =| ru × rυ | dudυ
∫∫
G G
G
rφ × rθ = α sinφ r (φ, θ) =
yυ zυ
d s = nds
rυ
2
2
S
2
= α (cosθ sin φ, sinθ sin φ, sinφ cosφ)
συγγραµµικό του διανύσµατος θέσης r (φ,θ),
n
G
ru
Προσανατολισµένη επιφάνεια: έχουµε όταν προς τα έξω (βλ.
λάβουµε υπ’ όψιν το εµβαδόν ds και το κάθε- σχήµα).
G G
το διάνυσµα n ή ru × rυ στην επιφάνεια, δηλ.:
d s = nds = (ru × rυ )dudυ
G
και έχει µέτρο : rφ × rθ = α 2 sinφ
G G
z Το rφ × rθ βλέπει
Ερµηνεία
α) Γεωµετρική : Αν f(x,y,z)=1, τότε το
επιφανειακό ολοκλήρωµα µας δίνει το
εµβαδόν της επιφάνειας S.
rφ × rθ
Εs =
G
r (φ, θ)
∫∫ ds
S
β) Φυσική : Αν η f(x,y,z) δηλώνει την
επιφανειακή πυκνότητα της S, τότε το επιφανειακό ολοκλήρωµα δίνει την µάζα Μ.
3. Κύλινδρος x2+y2=α2 , z1 ≤ z ≤ z2
G
Μ = f(x, y, z)ds
Θέτουµε : r (θ, z) = (αcosθ, αsinθ, z)
S
µε {0 ≤ θ ≤ 2π, z1 ≤ z ≤ z 2 } .
Έχουµε οριζόντια κυκλική κίνηση µε στα- Μέθοδος υπολογισµού
Αν η επιφάνεια S παραµετρικά είναι :
σηµό του προκύπτει η φορά, δηλαδή :
θερή ακτίνα και κατακόρυφη µετατόπιση.
G
α) Αν (ru × rυ ) ⋅ κ > 0 ⇒ Η γωνία µε τον άξο- Το κάθετο διάνυσµα στην επιφάνεια είναι : r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) µε (u,v) ∈ D
G G
το επιφανειακό ολοκλήρωµα υπολογίζεrθ × rz = (αcosθ, αsinθ,0)
να z-άξονα είναι οξεία (βλέπει προς τα πάνω).
G G
ται
από τη σχέση :
β) Αν (ru × rυ ) ⋅ κ < 0 ⇒ Η γωνία µε τον άξονα Το rθ × rz βλέπει προς τα έξω και είναι
G G
z-άξονα είναι αµβλεία (βλέπει προς τα κάτω).
Ι = f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) | ru × rv | dudv
ορθογώνιο στον z-άξονα.
G
G
G G
Όµοια για τα i = (1,0,0), j = (0,1,0) .
Έχει µέτρο : rθ × rz = α
D
όπου n το κάθετο µοναδιαίο διάνυσµα.
Εύρεση του προσανατολισµού της d s :
Παίρνουµε το εσωτερικό γινόµενο του
G G
ru × rυ π.χ. µε το κ = (0,0,1) και από το πρό-
∫∫
∫∫
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ Β΄ ΕΙ∆ΟΥΣ
G
Σε διανυσµατικό πεδίο F = (P, Q, R)
ΘΕΩΡΗΜΑ GAUSS (ΤΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΕΩΣ) Παρατηρήσεις
Έστω Ω ο στερεός τόπος που καλύπτεται
από τη λεία και κλειστή επιφάνεια S.
G
Ας είναι η διανυσµατική συνάρτηση :
G
Αν F = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) είναι
F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
ένα συνεχώς παραγωγίσιµο διανυσµατιορισµένη στην επιφάνεια S. Σχηµατίζου- κό πεδίο, τότε το ολοκλήρωµα στην
G
µε το εσωτερικό γινόµενο της F (x,y,z) κλειστή επιφάνεια S είναι :
µε το στοιχειώδες προσανατολισµένο
G G
G
G
F ⋅ ds =
divFdxdydz
εµβαδικό στοιχείο d s = (dydz, dxdz, dxdy) ,
G G
S
Ω
δηλαδή F ⋅ d s και παίρνουµε το άθροισµα
G
όλων των γινοµένων. Αυτό είναι το επιφα- Το κάθετο µοναδιαίο διάνυσµα n έχει
G
νειακό ολοκλήρωµα της F(x, y, z) στην φορά προς το εξωτερικό του χωρίου Ω.
∫∫
∫∫∫
G
n
επιφάνεια S:
Ι=
G
G
F
G
∫∫ F ⋅ ds = ∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy
S
1) Με το θεώρηµα Stokes υπολογίζουµε το
επικαµπύλιο µε επιφανειακό ολοκλήρωµα.
2) Όταν έχουµε κλειστή επιφάνεια S, τότε
γ= Ο/ . Από τα θεωρήµατα Stokes και Gauss
έχουµε :
G G
G G
G
Fd r = rotFd s =
div(rotF)dv = 0
∫
∫∫
γ
3) Έστω γ µια κλειστή καµπύλη στο επίπεδο xOy και τ ο τόπος που ορίζει. Από το
G
θεώρηµα Green και επειδή το κ είναι κάθετο στην επίπεδη επιφάνεια τ έχουµε :
G
S
G
G
γ
∫∫
Ω
G
αφού ισχύει div(rotF) = 0 .
G
G
G
∫ F ⋅ dr = ∫∫ κ ⋅ rotFdxdy = ∫∫ rotF ⋅ ds
S
Φυσική ερµηνεία
Το επιφανειακό
G G FG
ru × rv
ολοκλήρωµα Β΄
G
n
είδους µας δίνει τη
ροή Φ της διανυσµατικής συνάρG
τησης F που διαπερνά την προσανατολισµένη επιφάνεια S, δηλαδή :
G G
Φ = F ⋅ ds
∫∫∫
S
Παρατηρήσεις
1) Με το θεώρηµα Gauss υπολογίζουµε
το επιφανειακό ολοκλήρωµα στην κλειστή επιφάνεια S µε το τριπλό.
2) Το θεώρηµα Gauss ισχύει και όταν η
επιφάνεια S µπορεί να χωριστεί σε πεπερασµένο πλήθος λείων επιφανειών (π.χ. επιφάνεια κύβου, τετράεδρου, κυλίνδρου κλπ).
3) Όταν το πεδίο είναι σωληνοειδές
G
divF = 0 το επιφανειακό σε κλειστή επιφάνεια είναι 0 (ότι µπαίνει για τη ροή βγαίνει).
τ
τ
Συνεπώς ο τύπος του θεωρήµατος Green είναι
µια ειδική περίπτωση του θεωρήµατος Stokes.
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1) Μάζα – Κέντρο µάζας – Ροπές αδράνειας
Για την επιφάνεια S µε επιφανειακή πυκνότητα ρ=ρ(x,y,z), η µάζα του Μ και το
κέντρο µάζας (xo,yo,zo) αντίστοιχα είναι :
Μ=
∫∫ ρds
xo =
S
1
yo =
M
∫∫ y ⋅ ρds
1
M
∫∫ x ⋅ ρds
S
z =
1
∫∫ z ⋅ ρds
o
Μέθοδος υπολογισµού
M
S
S
z Όταν το χωρίο Ω καθορίζεται από τις
Αν η επιφάνεια S παραµετρικά είναι :
Ροπές
αδράνειας
ως
προς
τους
άξονες :
G
r (u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) ) , (u,v) ∈ D κλειστές και λείες επιφάνειες S1, S2 (βλέ2
2
2
I x = (y + z )ρds I y = (z + x 2 )ρds …
το επιφανειακό ολοκλήρωµα υπολογίζε- πε σχήµα) το θεώρηµα Gauss γίνεται:
G G
G G
G
S
S
ται από τη σχέση :
F ⋅ ds + F ⋅ ds =
divFdv
G G
G G
Ροπές αδράνειας ως προς τα συντ/να επίπεδα :
S1
S2
Ω
Ι = F ⋅ ds = F ⋅ n ds =
G
G
2
I yz =
x 2 ⋅ ρds …
Τα κάθετα διανύσµατα n 1 , n 2 έχουν I xy = z ⋅ ρds
S
S
G G
S
S
= (P(u,v),Q(u,v),R(u,v))(ru × rv )dudv φορά προς το εξωτερικό του χωρίου Ω.
2) Εµβαδόν επιφάνειας S στον χώρο R3
D
G
i) Αν η επιφάνεια S σε παραµετρική
n1
G
G
όπου P(u, v) = P(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) κ.ο.κ.
n2
S2
µορφή είναι r (u,v) µε (u,v) ∈ D, τότε :
S1
Παρατηρήσεις
G G
G
Ε s = | ru × rv | dudv
1) Όταν το πεδίο F και το διάνυσµα
G G
D
ru × rυ είναι συγγραµµικά τότε η ροή
ii) Αν η S είναι η F(x,y,z)=0 µε Fz ≠ 0
ΘΕΩΡΗΜΑ STOKES
είναι µέγιστη.
G
και (x,y) ∈ D τότε :
G G
2) Όταν το F και το ru × rυ είναι κάθετα : Έστω S λεία ανοιχτή επιφάνεια που καταλήγει στην κλειστή καµπύλη γ.
Fx2 + Fy2 + Fz2
G G
G
τότε F ⋅ n =0 και το επιφανειακό είναι µηδέν. Αν F(x, y, z) = (P(x,y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
Εs =
dxdy
G G
| Fz |
D
3) Όταν F ⋅ n =c (σταθερά), τότε :
είναι ένα συνεχώς παραγωγίσιµο διανυG G G G
σµατικό πεδίο, τότε ισχύει :
iii) Αν η S είναι z = z(x,y) µε (x,y) ∈ D
F ⋅ d s = F ⋅ nds = cds και έχουµε :
G G
G G
G G
τότε :
F ⋅ d s = c ⋅ ds = c ⋅ E s
F ⋅ d r = rotF ⋅ d s
Εs =
1 + z 2x + z 2y dxdy
S
S
γ
S
όπου Εs το εµβαδόν της επιφάνειας S.
D
Η φορά κίνησης επί της καµπύλης πρέπει
G
4) Προσέχουµε τη φορά του κάθετου δια- να είναι τέτοια ώστε µε το κάθετο διάνυ- 3) Ροή του πεδίου F . (βλ. παραπάνω)
νύσµατος που δίνεται στην εκφώνηση του σµα nG στην S να αποτελούν δεξιόστροφο
G G
θέµατος. ∆ιότι αν αντί για ru × rv πάρουµε σύστηµα (βλέπε σχήµα).
ΚΥΚΛΟΦΟΡΟΥΝ
G G
rv × ru θα έχουµε αντίθετο αποτέλεσµα.
z Ανάλυση Ι Α΄ ΤΟΜΟΣ
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫∫
∫∫
(Παράγωγοι – Ολοκληρώµατα)
G
n
G
n
ΣΤΗΡΙΞΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ
Ε.Μ.Π. – Α.Ε.Ι. – Α.Τ.Ε.Ι. – Ε.Α.Π.
ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
z
Λογισµός Συναρτήσεων
Πολλών Μεταβλητών
z
∆ιαφορικές Εξισώσεις
z
Γραµµική Άλγεβρα
Ι. Π. Κρόκου
ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495
www.arnos.gr – e-mail : [email protected]
fast & easy
ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
ΜΑΘ 025
Τυπολόγιο & Μεθοδολογία
ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
Ορισµός: Ας είναι συνάρτηση τριών µεταβλητών, w = f ( x, y, z) , ορισµένη στο χωρίο Ω του χώρου (R3). Σχηµατίζουµε το γινόµενο της
f ( x, y, z) µε το στοιχειώδες κοµµάτι, «κυβάκι», του χωρίου Ω
Τότε
I=
:
∫∫∫
f (x, y, z)dV =
Ω
∫∫ ∫
τ
z = z 2 (x , y)
dv = dxdydz (λίγο x → dx, λίγο y → dy , λίγο z → dz ), δηλαδή
f ( x , y, z)dxdydz . Στη συνέχεια παίρνουµε το άθροισµα των γινοµένων για όλα τα «κυβάκια». Αυτό είναι το τριπλό ολοκλήρωµα της
f ( x, y, z) στο χωρίο Ω:
I=
∫∫∫ f (x, y, z)dv = ∫∫∫ f(x, y, z)dxdydz
Ω
Ω
Ερµηνεία
α) Μάζα
Όταν η συνάρτηση f (x, y, z) = ρ(x, y, z) είναι η χωρική πυκνότητα του στερεού, τότε η µάζα του στοιχειώδους κοµµατιού είναι
dm = ρ(x, y, z)dxdydz και το τριπλό ολοκλήρωµα δίνει τη µάζα Μ:
M=
∫∫∫
z = z1 ( x, y)
Εύρεση του τόπου τ: Από τις εξισώσεις των επιφανειών
z = z1 (x, y) και z = z 2 (x, y) (ή F1 ( x, y, z) = 0 , F2 ( x, y, z) = 0 )
µε απαλοιφή του z προκύπτει η τοµή τους, εξίσωση ανεξάρτητη του z
δηλαδή κυλινδρική επιφάνεια παράλληλη στον z – άξονα. Αυτή η
εξίσωση - καµπύλη είναι η προβολή του χωρίου Ω στο xoy – επίπεδο
και ορίζει τον τόπο τ. Για παράδειγµα έχουµε :
{
ρ(x, y, z)dxdydz
β
I=
Τότε:
β) Όγκος
Ω
1η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ :
Αναγωγή σε διαδοχικά ολοκληρώµατα
Εφαρµόζεται όταν το χωρίο Ω µπορεί να προσδιοριστεί (σαρωθεί) µε διαδοχική µεταβολή των µεταβλητών x, y, z.
Αυτό γίνεται όταν έχουµε:
2η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ :
Αλλαγή µεταβλητών ολοκλήρωσης
• Το χωρίο Ω στο σύστηµα ( x, y, z) γίνεται Ω* στο σύστηµα
(u , v, w ) . Αν στις εξισώσεις που ορίζουν το χωρίο Ω αντικαταστήσουµε τα x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u, v, w ) παίρνουµε τις εξισώσεις των επιφανειών που ορίζουν το νέο χωρίο Ω*.
• Το στοιχειώδες «κυβάκι» µεγενθύνεται κατά |J| δηλαδή:
dxdydz = J dudvdw. Όπου J η Ιακωβιανή ορίζουσα του (Μ)
α) Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο (σταθερά άκρα για τα x,y, z)
Έχουµε όταν το χωρίο είναι της µορφής :
Ω = (x, y, z) ∈ R 3 : x1 ≤ x ≤ x 2 , y1 ≤ y ≤ y 2 , z1 ≤ z ≤ z 2
{
xu xv xw
∂ ( x, y, z)
J=
= y y y
∂ ( u , v, w ) z u z v z w
u
v
w
}
Ολοκληρώνουµε µε όποια σειρά επιθυµούµε, δηλαδή:
x 2  y2  z2
 
 
 
I =   f ( x, y, z)dz dy dx =

 
x1 
 
 y1  z1
∫ ∫∫
I=
z2  y2  x 2
 
 
 
  f ( x, y, z)dx dy dz

 
z1 
 
 y1  x1
∫ ∫ ∫
x2
y2
y1
z2
ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ
z1
Οι καρτεσιανές συντεταγµένες ( x , y, z) αντικαθίστανται µε τις
σφαιρικές (ρ, θ, φ) ,και ο (Μ) είναι :
x = ρcosθsinφ 

y = ρsinθsinφ 

z = ρcosφ
β) Αναγωγή σε διπλό ολοκλήρωµα
(χωρίο µεταξύ δύο επιφανειών)
Έχουµε όταν µία µεταβλητή µπορεί να κινηθεί στο χώρο µεταξύ
δύο επιφανειών π.χ. z1 (x, y) ≤ z ≤ z 2 (x, y) , δηλαδή το z παίρτην πάνω επιφάνεια z = z 2 (x, y) (βλέπε παρακάτω σχήµα).



θ = arctan(y/x)

z

φ = arccos
x 2 + y2 + z 2 
ρ = x 2 + y2 + z2
νει τιµές από τα σηµεία της κάτω επιφάνειας z = z1 (x, y) µέχρι
{
Ω*
Συµβουλή : Χρησιµοποιούµε µετασχηµατισµό όταν:
α) δίνεται στην εκφώνηση του θέµατος και
β) κάνουµε χρήση των σφαιρικών ή κυλινδρικών συντεταγµένων.
∫∫∫ g(x) ⋅ h(y) ⋅ φ(z) dxdydz = ∫ g(x) dx ⋅ ∫ h(y) dy ⋅ ∫ φ(z) dz
x1
και ισχύει:
∫∫∫f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫f (x(u,v, w),y(u,v, w),z(u,v, w)) J dudvdw
Ω
Ειδικά όταν f ( x , y, z) = g ( x ) ⋅ h ( y) ⋅ φ(z) τότε:
∆ηλαδή :
α
Όταν οι τ.µ. ( x , y, z) αντικαθιστώνται µε τις τ.µ. (u , v, w ) ,
δηλαδή: x = x (u , v, w ), y = y(u , v, w ), z = z(u , v, w ) (M)
• Η συνάρτηση γίνεται:
f ( x, y, z) = f (x (u, v, w ), y(u, v, w ), z(u, v, w ))
∫∫∫dxdydz
Ω
 φ2 ( x) z 2 (x,y)
 


 

 f(x, y, z)dzdydx
 
 φ ( x)  z ( x, y)
 
 1 1
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz= ∫ ∫ ∫
Ω
Όταν f ( x , y, z) = 1, το dv = dxdydz είναι ίσο µε τον όγκο που
έχει το «κυβάκι» και το τριπλό ολοκλήρωµα δίνει τον όγκο VΩ
του στερεού χωρίου Ω:
I=
}
Ω = (x, y, z) ∈ R 3 : z1 ( x , y) ≤ z ≤ z 2 (x , y), φ1 (x) ≤ y ≤ φ 2 (x), α ≤ x ≤ β
Ω
VΩ =
 z 2 ( x , y)



f
(
x
,
y
,
z
)
dz

dxdy
 z ( x , y)

 1

}
Ω = (x, y, z) ∈ R 3 : z1( x , y) ≤ z ≤ z 2 ( x , y) και ( x, y) ∈ τ
Η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι : J = ρ 2 sin φ . Επίσης:
ρ: η απόσταση του Μ από την αρχή των αξόνων (0,0,0), ρ ≥ 0
φ: το γεωγραφικό πλάτος, δηλαδή η βόρεια θέση φ = 0 ή νότια
φ = π του Μ ως προς το «ισηµερινό» επίπεδο, 0 ≤ φ ≤ π
θ: το γεωγραφικό µήκος, δηλαδή η οριζόντια περιστροφή
(µήκος) ως προς το xOy επίπεδο, 0 ≤ θ ≤ 2π
x ≥ 0, y ≥ 0,
y ≤ − x , y ≥ 0,


 (M)

µε J = ρ
0≤θ≤π
0 ≤ θ ≤ π/2
Οι κυλινδρικές συντεταγµένες χρησιµοποιούνται σε:
− π/2 ≤ θ ≤ π/2
y ≥ 0,
x = ρcosθ
y = ρsinθ
z=z
Έτσι ολοκληρώνουµε πρώτα ως προς z
και στη συνέχεια για τις (x,y) παίρνουµε πολικές συντεταγµένες, όπως τις
περιγράψαµε στο τυπολόγιο διπλού
ολοκληρώµατος.
• Η γωνία θ καθορίζεται από τα x,y.
(συνήθως πρόσηµο)
π.χ. x ≥ 0,
ΚΥΛΙΝ∆ΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ
Οι καρτεσιανές συντεταγµένες ( x , y, z) αντικαθίστανται από τις
κυλινδρικές µέσω του µετασχηµατισµού:
3π / 4 ≤ θ ≤ π
α) Κύλινδρο
• Η γωνία φ καθορίζεται από το z.
(συνήθως πρόσηµο).
π.χ. z ≥ 0,
0 ≤ φ ≤ π/2
z ≤ 0,
♦ Ω : x 2 + y2 ≤ α 2 (ορθός κύλινδρος)
Ω* : 0 ≤ ρ ≤ α, 0 ≤ θ ≤ 2π, z ∈ R
π/2 ≤ φ ≤ π
Οι σφαιρικές συντεταγµένες χρησιµοποιούνται σε:
x2 y2
+ ≤ 1 (ελλειπτικός κύλινδρος)
α2 β2
Για x = αρcosθ, y = βρsinθ προκύπτει:
α) Σφαίρα
Ω* : 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, z ∈ R
♦ Ω:
{
Ω = (x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2
}
Ω = {(ρ,θ,φ) µε : 0 ≤ ρ ≤ R,0 ≤ θ ≤ 2π,0 ≤ φ ≤ π}
β) Παραβολοειδές
β) Σφαιρικό φλοιό
Ω* :
∗
{
Ω : ( x, y, z) ∈ R 3 : α 2 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ β 2
Ω : γz = x 2 + y 2 , z = γ, γ > 0
}
Ω = {(ρ,θ,φ) µε : α ≤ ρ ≤ β,0 ≤ θ ≤ 2π,0 ≤ φ ≤ π}
∗
ρ2
≤ z ≤ γ, 0 ≤ ρ ≤ γ, 0 ≤ θ ≤ 2π
γ
γ) Κώνο
Ω : z 2 = α 2 (x 2 + y 2 ), 0 ≤ z ≤ β (ορθός κώνος)
γ) Σφαιρικό τοµέα
x2 + y2 + z2 ≤ α2 σφαίρα
Ω:  2 2 2 2
z ≥ β (x + y ), β > 0, z ≥ 0 κώνος
όπου tanφ1 = β ή φ1 = arctanβ
∗
{
Ω* : αρ ≤ z ≤ β, 0 ≤ ρ ≤
}
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ
Αν το στερεό σώµα που περικλείεται από το χωρίο Ω
έχει χωρική πυκνότητα ρ = ρ( x , y, z) και dxdydz = dv τότε:
φ1
Ω = (ρ,θ,φ) µε : 0 ≤ ρ ≤ α,0 ≤ θ ≤ 2π,0 ≤ φ ≤ π − φ
2 1
}
Αν Ω = (x, y, z) ∈ R 3 : (x - x 0 )2 + (y - y0 )2 + (z - z 0 )2 ≤ α 2 , δηλαδή σφαίρα κέντρου Κ(x0,y0,z0) και ακτίνας R.
Τότε:
x − x 0 = ρsinφcosθ 

y − y0 = ρsinφsinθ  µε J = ρ2sinφ

z − z 0 = ρcosφ
Οπότε Ω → Ω * = {(ρ, θ, φ) µε : 0 ≤ ρ ≤ α, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π}
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙ∆ΟΥΣ
Για το ελλειψοειδές Ω :
M=
♦ Η µάζα του σώµατος είναι:
ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΜΕΝΕΣ
{
β
, 0 ≤ θ ≤ 2π
α
x 2 y2 z2
+
+
≤1
α 2 β2 γ2
∫∫∫ ρ(x, y, z)dxdydz
Ω
♦ Η ροπή αδράνειας ως προς τους άξονες Ox, Oy, Oz είναι:
Ix =
∫∫∫(y + z )ρdv
2
2
Iy =
Ω
∫∫∫ (z
2
+ x 2 )ρdv I z =
Ω
∫∫∫ (x
2
+ y 2 )ρdv
Ω
♦ Η ροπή αδράνειας ως προς τα επίπεδα xOy, yOz, zOx είναι:
I xy =
∫∫∫ z ρdv
2
Ω
I yz =
∫∫∫ x ρdv
2
Ω
I zx =
∫∫∫ y ρdv
2
Ω
♦ Το κέντρο µάζας Κ(x0,y0,z0) είναι:
x0 =
1
M
∫∫∫ x ρdv
Ω
y0 =
1
M
∫∫∫ y ρdv
Ω
z0 =
1
M
∫∫∫ z ρdv
Ω
Παίρνουµε τον µετασχηµατισµό:
x/α = ρsinφcosθ
y/β = ρsinφsinθ
z/γ = ρcosφ


2
 µε J = αβγρ sinφ

Οπότε Ω → Ω* = {(ρ, θ, φ) µε : 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π}
Κυκλοφορούν :
Ανάλυση Ι (Παράγωγοι – Ολοκληρώµατα) Α΄ ΤΟΜΟΣ
Λογισµός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών
∆ιαφορικές Εξισώσεις
Γραµµική Άλγεβρα
Ι. Π. Κρόκου
ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495
www.arnos.gr – e-mail : [email protected]
∆ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ης ΤΑΞΗΣ
ΜΑΘ 041
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Αν η ∆.Ε. είναι 1ης τάξης και το y′(x) = dy
∆ιαφορική εξίσωση (∆.Ε.) ονοµάζεται
dx
κάθε εξίσωση στην οποία εµφανίζονται είναι πρωτοβάθµιο τότε:
παράγωγοι της άγνωστης συνάρτησης και
P( x,y)dx + Q( x,y)dy = 0
(ΙΙ)
ενδεχοµένως η ίδια η συνάρτηση και η µεταβλητή της (ή οι µεταβλητές της).
π.χ. ( x 2 + xy + y 2 )dx − x 2 dy = 0
2
2
′
π.χ. x + y + (y ) = 1
( xy 3 + 4x 3 )dx + (3xy 2 − 3y 2 )dy = 0
• Συνήθεις ∆.Ε. ονοµάζονται οι εξισώσεις
στις οποίες η άγνωστη συνάρτηση είναι
µίας µεταβλητής.
• Τάξη της διαφορικής εξίσωσης ονοµάζεται η µεγαλύτερη τάξη των παραγώγων
της y ′(x) που εµφανίζονται στην εξίσωση.
π.χ. η y ′′′(x) + y ′′(x) - 3y ′(x) + y(x) = x
είναι διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης.
• Λύση – Ολοκλήρωµα της διαφορικής
εξίσωσης ονοµάζεται κάθε συνάρτηση που
την επαληθεύει.
π.χ. Μια λύση της ∆.Ε. y ′( x ) = x 2 + 5 εί-
∆.Ε. ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
& ΑΝΑΓΟΜΕΝΩΝ Σ΄ΑΥΤΕΣ
Χωριζόµενων µεταβλητών
Όταν η ∆.Ε. γράφεται στη µορφή:
f1 ( x )g1 ( y)dx + f 2 ( x )g 2 ( y)dy = 0
(
)
σηµείο x0 ικανοποιεί τις: y 0 = φ ( x 0 ) ,
y1 = φ′(x0 ) , y2 = φ′′(x0 ),..., yn -1 = φ( n −1) (x0 )
Τυπολόγιο & Μεθοδολογία
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ∆.Ε. & ΑΝΑΓΟΜΕΝΕΣ
Γραµµικές ∆.Ε. 1ης τάξης
Όταν η ∆.Ε. είναι της µορφής :
y ′( x ) + f ( x ) y( x ) = g ( x )
(4)
τότε λέµε ότι είναι γραµµική.
∆ηλαδή πρωτοβάθµια ως προς τους y(x), y΄(x)
Η αντίστοιχη οµογενής ∆.Ε. της (4) είναι:
y ′(x) + f ( x ) y( x ) = 0
Η γενική λύση της (4) είναι:
(5)
y Γ (x ) = y ο (x ) + y µ (x )
(1)
όπου: yο ( x ) η γενική λύση της οµογενούς
είναι άµεσα ολοκληρώσιµη, διότι χωρίκαι yµ ( x ) µια µερική λύση της (4).
ζουν οι µεταβλητές.
∆ηλαδή οι συντελεστές των dx, dy είναι γι- Η γενική λύση της (4) δίνεται από:
νόµενο συναρτήσεων µόνο του x ή του y.
− f ( x )dx 
f ( x ) dx

y( x ) = e ∫
c + g ( x )e ∫
dx 

y
x


f1 ( x )
g ( y)
dx + 2
dy = c
π.χ. Η ∆.Ε. y ′ sin x + y cos x = 1 έχει γεf (x )
g ( y)
x0 2
y0 1
νική λύση:
Oµογενείς ∆.Ε.
cosx
- cosx dx 
dx

1
Μια ∆.Ε. της µορφής :
y Γ ( x) = e ∫ sinx c +
e ∫ sinx dx  ⇒
sin x


P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0
(2)
⇒ y Γ ( x ) = (c + x ) / sin x
λέγεται οµογενής, όταν οι συναρτήσεις
P( x, y), Q( x, y) είναι οµογενείς βαθµού α ∆ιαφορική εξίσωση Bernoulli
Όταν η ∆.Ε. είναι της µορφής:
ως προς x και y. ∆ηλαδή:
∫
∫
∫
x3
+ 5x .
3
• Ολοκληρωτική καµπύλη καλείται η γραφική παράσταση µιας λύσης της συνήθους διαφορικής εξίσωσης.
• Γενική λύση - γενικό ολοκλήρωµα της
∆.Ε. F x, y, y ′,..., y (n) = 0 ονοµάζεται η P ( tx ,ty) = t α P( x , y), Q( tx ,ty) = t α Q( x, y)
λύση Φ(x, y, c1 , c 2 ,..., c n ) = 0 που περιέχει
π.χ. ( x 3 + xy 2 )dx + yx 2 dy = 0
τις n το πλήθος αυθαίρετες σταθερές
c1 , c 2 ,..., c n (τόσες όσο και η τάξη της ∆.Ε.).
(1 + sin( y / x ))dx + cos( y / x )dy = 0
• Μερική λύση της ∆.Ε. καλείται η λύση
y( x )
που προκύπτει για συγκεκριµένες τιµές Θέτουµε:
= z( x )
x
των σταθερών.
π.χ. Για την ∆.Ε. y ′( x ) = x έχουµε:
dy
µε y ′( x ) =
= z( x ) + xz ′( x )
dx
1 2
Φ(x, y, c) = y − x − c µε γενική λύση την
και η ∆.Ε. (2) ανάγεται σε χωριζοµένων µετα2
βλητών.
1
y( x ) = x 2 + c και µερική λύση την
Αναγόµενες σε οµογενείς ∆.Ε.
2
Όταν η ∆.Ε. είναι της µορφής:
1
y( x ) = x 2 (για c = 0).
 α x + β1y + γ1 
2

y′ = f  1
(3)
• Πρόβληµα αρχικών τιµών (Π.Α.Τ.) ή
α 2 x + β 2 y + γ 2 

πρόβληµα Cauchy ονοµάζεται το πρόβληµα κατά το οποίο ζητείται να προσδιοριστεί τότε ανάγεται σε οµογενή.
µια λύση y = φ( x) της ∆.Ε. που σε δοσµένο Θέτουµε:
x = x + u, y = y + v
ναι η y( x ) =
fast & easy
0
0
όπου x 0 , y0 η λύση του συστήµατος:
α1x + β1y + γ1 = 0 

α 2 x + β 2 y + γ 2 = 0 
∫
y′( x ) + f ( x ) y( x ) = g( x ) yp ( x ), µε p ≠ 0,1 (6)
καλείται ∆.Ε. του Bernoulli.
∆ηλαδή έχουµε δύο γραµµικούς όρους µε τα
y(x ), y′(x ) και έναν όρο µε το y p (x ) .
Θέτουµε:
y1− p ( x ) = z( x )
µε (1 − p) y − p ( x ) y ′( x ) = z ′( x )
Η (6) ανάγεται στην γραµµική ∆.Ε.:
z′( x )
+ f ( x )z ( x ) = g ( x )
1− p
∆ιαφορική εξίσωση Riccatti
Όταν η ∆.Ε. είναι της µορφής :
y′( x ) = f ( x ) y 2 ( x ) + g( x ) y( x ) + h ( x )
(7)
τότε λέγεται ∆.Ε. Riccatti.
∆ηλαδή η y ′(x) είναι ίση µε ένα τριώνυµο
ως προς y(x).
Mας δίνεται µια λύση y1 (x ) της (7) και
θέτουµε:
y( x ) = y 1 ( x ) +
1
z( x )
(Μ)
• ∆ιαφορική εξίσωση πρώτης τάξης λέ(Σ)
γεται η εξίσωση που περιέχει την άγνωστη
z ′(x)
µε y ′( x ) = y1′ ( x ) − 2
συνάρτηση y=y(x) και την παράγωγό της
z (x)
και αναγόµαστε σε οµογενή ∆.Ε.
y ′ = y ′(x) .
Αναγόµαστε
στην
γραµµική
∆.Ε.
Όταν το (Σ) δεν έχει µοναδική λύση θέτουµε:
ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ: F(x, y, y ′) = 0
(Ι)
z ′( x ) + ( 2 y1 ( x )f ( x ) + g( x ) )z( x ) = −f ( x )
α 1 x + β 1 y = z( x ) ή α 2 x + β 2 y = z( x )
π.χ. (1 − y) xy ′ + y(1 + x ) = 0
και αναγόµαστε σε χωριζοµένων µεταβλητών. την οποία λύνουµε και µε αντικατάσταση
στην (Μ) παίρνουµε τη γενική λύση της (7).
Από τον κανόνα της αλυσίδας προκύπτει:
Οπότε : y′′( x ) = dp / dx
Με παραγώγιση της (10) και αντικατάσταdy dt y ′( t )
⋅
=
y ′( x ) =
ση παίρνουµε τη γραµµική ∆.Ε. ως προς x(p):
dt dx φ ′( t )
ΠΛΗΡΕΙΣ ∆.Ε. & ΑΝΑΓΟΜΕΝΕΣ
Πλήρης ή ακριβής ∆.Ε.
Μια ∆.Ε. που γράφεται στη µορφή :
P( x ,y)dx + Q( x,y)dy = 0
(8)
(p − f (p) ) dx(p) − x(p)f ′(p) = g ′(p)
dp
είναι πλήρης αν υπάρχει Φ(x,y):
dΦ( x, y) = P( x, y)dx + Q( x, y)dy
Η λύση της (11) είναι:
(11) Οπότε η (13) γίνεται:
x = x ( p)
F( φ(t), y(t), y′(t) φ′( t ) ) = 0
δ) Ειδική µορφή
Έτσι έχουµε τη λύση της (10) σε παραµε- Όταν η ∆.Ε. είναι της µορφής :
τρική µορφή :
∂P( x, y) ∂Q( x, y)
F(x, f ( y), f ′( y)dy / dx ) = 0
(14)
=
Όταν ισχύει:
x = x (p), y = x (p)f (p) + g(p)
∂y
∂x
Θέτουµε: u ( x ) = f ( y)
όπου p παράµετρος.
• Ποια είναι η λύση της (8);
Οπότε u ′( x ) = f ′( y)dy / dx
∆ιαφορική εξίσωση Clairaut
Από dΦ(x, y) = 0 ⇒ Φ ( x, y) = c
Eίναι της µορφής : y = xy′ + f ( y′) (12) Με αντικατάσταση αναγόµαστε σε γραµµική ∆.Ε. ως προς u(x).
Υπολογισµός της Φ (x,y) :
y ′( x ) = p( x )
Θέτουµε:
Υποβιβασµός τάξης ∆.Ε.
1ος τρόπος: Από τον τύπο:
Αν η ∆.Ε. είναι της µορφής:
Οπότε : y′′( x ) = dp / dx
y
x
F( x, y′( x ), y′′( x ) ) = 0
Με παραγώγιση της (12) και αντικατάστα(15)
Φ( x, y) = P ( t, y)dt + Q( x 0 , t )dt
dp
(x + f ′(p) ) = 0
ση προκύπτει:
x0
y0
y ′( x ) = u ( x )
Θέτουµε:
dx
όπου (x0,y0) σηµείο του Π.Ο. των P, Q.
Οπότε y′′( x ) = u ′( x ) και η (15) γίνεται:
dp
2ος τρόπος: Από το διαφορικό σύστηµα:
α) Από
= 0 ⇒ p( x ) = c
F( x,u ( x ),u′( x ) ) = 0
dx
Φ x = P, Φ y = Q
Η γενική λύση της (12) είναι: y = xc + f (c)
ΙΣΟΓΩΝΙΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ
µε ολοκλήρωση της µίας από τις δύο σχέβ) Από x + f ′(p) = 0 έχουµε την ιδιάζουσα ∆ίνεται η οικογένεια τροχιών:
σεις και αντικατάσταση στην άλλη.
λύση σε παραµετρική µορφή:
Aναγόµενη σε πλήρη ∆.Ε.
f (x,y,c) = 0
(16)
Μια ∆.Ε. της µορφής :
x = −f ′( p)
Με παραγώγιση και απαλοιφή της σταθεP( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0
y = xp + f ( p)
ράς c προκύπτει η ∆.Ε.:
έχει πολλαπλασιαστή µ(x, y) (ολοκληρώΦ (x, y(x),y ′(x) )= 0
νων παράγων ή πολλαπλασιαστής Euler) ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ∆.Ε.
Μια ∆.Ε. 1ης τάξης της µορφής:
όταν ισχύει:
F( x, y, y ′) = 0
(13)
∂
∂
• Πότε είναι πλήρης η ∆.Ε. (8);
∫
∂y
∫
(µ(x , y)P(x, y)) =
∂x
(µ (x, y)Q(x, y)) ⇒
µετασχηµατίζεται σε ευκολότερη ως εξής:
(9) α) Πολικές συντεταγµένες
Ο µετασχηµατισµός είναι:
Pµ y − Qµ x = µ(Q x − Py )
Τότε ανάγεται σε πλήρη ∆.Ε.
α) Πολλαπλασιαστής µ(x, y) = µ(x)
∆ίνεται από τη σχέση:
και υπάρχει όταν:
µ(x ) = e ∫
− g ( x )dx
Q x − Py
Q
= g( x )
β) Πολλαπλασιαστής µ(x, y) = µ(y)
∆ίνεται από τη σχέση: µ ( y) = e ∫
g ( y ) dy
Q x − Py
= g ( y)
P
γ) Πολλαπλασιαστής µ(x, y) = µ(z)
µε z = z( x , y) (π.χ. z=xy, z=x+y, z=x2+y2,κλπ)
και υπάρχει όταν:
∆ίνεται από τη σχέση:
και υπάρχει όταν:
µ (z) = e ∫
Q x − Py
Pz y − Qz x
g ( z )dz
= g (z)
Θέτουµε :
y ′( x ) = p( x )
y ′( x ) =
dy dy dθ ρ tan θ + ρ
=
⋅
=
dx dθ dx ρ ′ − ρ tan θ
Οπότε η (13) µε αντικατάσταση των παραπάνω γίνεται:
F(θ, ρ(θ), ρ ′(θ) ) = 0
Με παραγώγιση έχουµε:
y ′( x ) = 1 / x ′( y)
F( x ( y), y, 1/x ′(y) ) = 0
(10)
Οι ζητούµενες τροχιές που σχηµατίζουν µε
την οικογένεια (16) γωνία φ, έχουν τα ίδια
y′(x) − tanφ
x, y(x) και κλίση (παράγωγο):
1+ y′(x) tanφ
Έτσι η ∆.Ε. των ζητούµενων τροχιών είναι:

y ′ − tan φ 
=0
Φ x , y,
1 + y ′ tan φ 

Λύνοντας βρίσκουµε τις ισογώνιες τροχιές:
g( x , y,c ) = 0
Ο µετασχηµατισµός αυτός χρησιµοποιείται
συνήθως σε ∆.Ε. που υπάρχουν οι εκφράσεις
Oρθογώνιες τροχιές
x2+y2 ή arctan(y/x).
Από την πιο πάνω διαδικασία για φ=π/2
π.χ. στη ∆.Ε. ( x 2 + y 2 )( xy ′ − y) = yy ′ + x έχουµε τις ορθογώνιες τροχιές.
Συγκεκριµένα στην ∆.Ε. Φ( x , y,y ′) = 0 θέτουµε
β) Εναλλαγή του ρόλου των x, y
x → x , y( x ) → y( x ) και y′( x ) → −1 / y′( x ) .
Θεωρούµε τη συνάρτηση : x = x ( y)
Οπότε η (13) µε αντικατάσταση γίνεται:
∆.E. LAGRANGE & CLAIRAUT
∆ιαφορική εξίσωση Lagrange
Eίναι της µορφής :
y = xf ( y′) + g( y′)
x = ρ(θ) cos θ 
 ρ = x 2 + y 2
 ⇔ 
y = ρ(θ) sin θ 
 θ = arctan (y/x)
Με παραγώγιση παίρνουµε:
Ο µετασχηµατισµός αυτός χρησιµοποιείται
συνήθως σε απλές ∆.Ε. που ανάγονται σε
γραµµικές ή Bernoulli.
γ) Παραµετρική Αντικατάσταση
x = φ( t )
Συνήθως δίνεται η:
Έτσι η ∆.Ε. των ζητούµενων τροχιών είναι:
Φ(x , y, − 1 / y ′) = 0
που αν την λύσουµε βρίσκουµε την οικογένεια των ορθογώνιων τροχιών.
ΣΤΗΡΙΞΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ
Οργανωµένα µαθήµατα
Ε.Μ.Π. – Α.Ε.Ι. – Α.Τ.Ε.Ι. – Ε.Α.Π.
Επικοινωνήστε µαζί µας !!!
ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495
www.arnos.gr – e-mail : [email protected]
ΜΑΘ 042
fast & easy
∆ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ης ΤΑΞΗΣ & ΑΝΩΤΕΡΗΣ
Τυπολόγιο & Μεθοδολογία
Μεθοδολογία για την εύρεση λύσης της ∆.Ε. π.χ. 3 Για τη ∆.Ε. y′′(x) − 2y′(x) + 2y(x) = 0 :
Για την εύρεση της λύσης της ∆.Ε. (1)
Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι:
ακολουθούµε τα εξής βήµατα:
y ′′( x ) + f ( x ) y ′( x ) + g( x ) y( x ) = h ( x ) (1)
ο
λ2 − 2λ + 2 = 0 µε λ1, 2 = 1 ± i
Βήµα 1 : Βρίσκουµε τη γενική λύση yo(x)
της οµογενούς ∆.Ε. (2).
x
x
π.χ. y ′′( x ) + y ′( x ) tan x − y cos 2 x = sin x
Βήµα 2ο:Βρίσκουµε µια (µερική) λύση yµ(x) Οπότε: yο ( x ) = c1 e cos x + c 2 e sin x
Όταν h(x)=0, τότε προκύπτει η οµογενής της (2).
Μερική λύση της γραµµικής ∆.Ε.
γραµµική ∆.Ε. 2ης τάξης:
y
(
x
)
=
y
(
x
)
+
y
(
x
)
Μέθοδος µεταβολής των παραµέτρων
Οπότε:
Γ
ο
µ
(Αυθαίρετων συντελεστών – Lagrange)
′
′
′
y ( x ) + f ( x ) y ( x ) + g ( x ) y( x ) = 0 (2)
Αν y′′(x) + f (x)y′(x) + g(x)y(x) = h1(x) + h 2 (x)
Η γενική λύση της οµογενούς ∆.Ε. (5) είναι:
βρίσκουµε τις µερικές λύσεις:
π. χ. y ′′( x ) + x 2 y ′( x ) − ( x − 1) y( x ) = 0
yo ( x ) = c1 y1 ( x ) + c2 y 2 ( x )
yµ1 (x ) από y′′(x) + f (x)y′(x) + g(x)y(x) = h1(x)
• Γενική λύση της γραµµικής ∆.Ε.
θεωρούµε ότι η µερική λύση της (4) είναι:
Αν y ο (x ) η γενική λύση της οµογενούς
και yµ2 (x) από y′ (x) + f (x)y′(x) + g(x)y(x) = h2(x)
yµ ( x ) = c1 ( x ) y1 ( x ) + c 2 ( x ) y 2 ( x )
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Η γραµµική ∆.Ε. 2ης τάξης είναι της µορφής:
και yµ (x ) µια µερική λύση της (1) τότε:
Οπότε η µερική λύση της παραπάνω ∆.Ε.
είναι:
y Γ ( x ) = y ο ( x ) + yµ ( x )
y µ ( x ) = y µ1 ( x ) + y µ 2 ( x )
• Γενική λύση της οµογενούς ∆.Ε.
∆.Ε. ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ
Αν y1 ( x ), y 2 ( x ) είναι δύο γραµµικά ανε- Είναι της µορφής:
ξάρτητες λύσεις της οµογενούς ∆.Ε. τότε:
y′′( x ) + αy′( x ) + βy( x ) = h ( x )
(4)
y ο ( x ) = c1 y1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ), c1 , c 2 ∈ R
Η αντίστοιχη οµογενής είναι:
• Ορίζουσα Wronski
y′′( x ) + αy′( x ) + βy( x ) = 0
(5)
Για τις συναρτήσεις y1 ( x ), y 2 ( x ) λέµε
Γενική λύση της οµογενούς ∆.Ε.
ορίζουσα Wronski την:
Η χαρακτηριστική εξίσωση της (5) είναι:
y1 ( x ) y 2 ( x )
W ( x ) = W (y1 ( x ), y 2 ( x ) ) =
λ2 + αλ + β = 0
y1′ ( x ) y ′2 ( x )
Ανάλογα µε το είδος των ριζών της χαρα• Γραµµικά ανεξάρτητες λέγονται δύο κτηριστικής εξίσωσης έχουµε τις γραµµικά
λύσεις y1 ( x ), y 2 ( x ) της ∆.Ε. (2) όταν:
ανεξάρτητες µερικές λύσεις:
W(y1 ( x ), y 2 ( x ) ) ≠ 0
Τότε λέµε ότι αποτελούν ένα θεµελιώδες
σύνολο λύσεων, αφού ο γραµµικός συνδυασµός c1 y1 (x) + c 2 y 2 (x) µε c1 , c 2 ∈ R
παράγει το σύνολο λύσεων της οµογενούς ∆.Ε.
• Η ορίζουσα Wronski ικανοποιεί την ∆.Ε.
W ′( x ) + f ( x ) W ( x ) = 0
(3)
όπου: f(x) ο συντελεστής του y′( x ) στην
(2) εφόσον το y′′( x ) έχει συντελεστή ένα.
Η λύση της γραµµικής ∆.Ε. 1ης τάξης είναι:
− f ( x ) dx
W ( x ) = ce ∫
, c∈R
Ρίζες της
χαρ/κής εξίσωσης
λ2+αλ+β=0
λ1,λ2 ∈ R µε
λ1 ≠ λ2
λ1,λ2 ∈ R µε
λ1=λ2=λ
λ1,λ2 ∈ C µε
λ1,2=µ ±iv
Μερικές λύσεις
της οµογενούς ∆.Ε.
y΄΄+αy΄+βy=0
y1(x) = e
λ1 x
y2 (x) = eλ 2 x
y1(x) = eλ x
όπου c1 ( x ), c 2 ( x ) συναρτήσεις που προσδιορίζονται από το σύστηµα:
c1′ ( x ) y 1 ( x ) + c ′2 ( x ) y 2 ( x ) = 0
c1′ ( x ) y 1′ ( x ) + c ′2 ( x ) y ′2 ( x ) = h ( x )
εφόσον στην (4) ο συντελεστής του y ′′(x)
είναι η µονάδα.
Λύνοντας το γραµµικό σύστηµα βρίσκουµε τις c1′ ( x ), c′2 ( x ) και µε ολοκλήρωση
υπολογίζουµε τις c1 ( x ), c 2 ( x ) .
Στις ολοκληρώσεις, για την εύρεση της µερικής λύσης µιας ∆.Ε., παραλείπονται οι
σταθερές ολοκλήρωσης.
π.χ. Για τη ∆.Ε. y′′ − 12 y ′ + 36 y = e 6 x ℓnx :
y o (x) = c1 y1 (x) + c 2 y 2 (x) = c1e 6x + c 2 xe6x
Οπότε: y µ ( x ) = c1 ( x )e 6 x + c 2 ( x ) xe 6 x
Από το σύστηµα:
c1′ ( x )e 6 x + c′2 ( x ) xe 6 x = 0
c1′ ( x )6e 6 x + c′2 ( x )(6x + 1)e 6 x = e 6 x ℓnx
προκύπτει:
y1 ( x ) = e µx cos( νx)
x2
x2
ℓnx +
2
4
και c ′2 ( x ) = ℓnx ⇒ c 2 ( x ) = xℓnx − x
y 2 ( x ) = e µx sin( νx )
Άρα y µ (x) = (x 2 e 6x ℓnx) / 2 − (3x 2 e 6x ) / 4
y 2 ( x ) = xeλ x
c1′ (x) = −xℓnx ⇒ c1(x) = −
Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών
Ανάλογα µε τη µορφή της h(x) υποψιαζόµαΠροφανώς αν βρεθεί x0: W(x0)=0 τότε οι
y ο ( x ) = c1 y1 ( x ) + c 2 y 2 ( x )
στε τον τύπο της µερικής λύσης yµ(x) της ∆.Ε.
y1(x), y2(x) είναι γραµµικά εξαρτηµένες.
′′(x) − 5y′(x) + 6y(x) = 0 : Με αντικατάσταση της yµ(x) και των παπ.χ.
1
Για
τη
∆.Ε.
y
Εύρεση οµογενούς ∆.Ε. από τις λύσεις της
ραγώγων της y′µ ( x ), y′µ′ ( x ) στην (4) και τα
Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι:
Αν y1 ( x ), y 2 ( x ) είναι δύο λύσεις της
2
λ − 5λ + 6 = 0 µε λ1 = 2 και λ 2 = 3 εκ ταυτότητος ίσα πολυώνυµα προσδιορί∆.Ε. (2), τότε η ∆.Ε. δίνεται από τον τύπο:
ζουµε τους συντελεστές Α0,…,Αν ∈ R
Οπότε: y ο ( x ) = c1 e 2 x + c 2 e 3x
y′′ y′ y
Οι συνηθέστερες περιπτώσεις είναι :
y1′′ y1′ y1 = 0
π.χ. 2 Για τη ∆.Ε. y′′(x) − 4y′(x) + 4y(x) = 0 : 1. h(x)=P (x) πολυώνυµο ν-οστού βαθµού
ν
y′2′ y′2 y 2
Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι:
Η µερική λύση της (4) θα είναι της µορφής :
Σχόλιο: Αν Φ1(x), Φ2(x) είναι δύο λύσεις της
λ2 − 4λ + 4 = 0 ⇒ (λ − 2) 2 = 0 µε λ 1, 2 = 2
yµ ( x ) = x k (A ν x ν + A ν −1x ν −1 + … + Α0 )
∆.Ε. (1) τότε η y1(x) = Φ1(x) − Φ2 (x) είναι
Οπότε:
yο ( x ) = c1 e 2 x + c 2 x e 2 x
λύση της αντίστοιχης οµογενούς ∆.Ε. (2).
Η γενική λύση της οµογενούς ∆.Ε. είναι:
k=0 όταν η χαρ. εξ. δεν έχει ρίζα το 0,
k=1 όταν η χαρ. εξ. έχει απλή ρίζα το 0, …
π.χ. Για τη ∆.Ε. y ′′ - 5y ′ = x 2 έχουµε:
λ2 − 5λ = 0 µε λ 1 = 0 και λ 2 = 5
Η µερική λύση θα είναι της µορφής:
yµ (x)= x (Ax2 + Bx+ Γ)= Ax3 + Bx2 + Γx
2. h(x)=Pv(x)eβx (πολυώνυµο x εκθετική)
Η µερική λύση της (4) θα είναι της µορφής :
y µ (x) = x k (A ν x ν + A ν −1 x ν −1 + … + Α 0 ) e βx
k=0 όταν η χαρ. εξ. δεν έχει ρίζα το β,
k=1 όταν η χαρ. εξ. έχει απλή ρίζα το β, …
π.χ. Για τη ∆.Ε. y ′′ - y = x e 2x έχουµε:
λ2 − 1 = 0 µε λ 1 = 1 και λ 2 = −1
Η µερική λύση θα είναι της µορφής:
yµ (x) = x0 (Ax + B)e2x = (Ax + B)e2x
3. h(x)=γcosθx+δsinθx µε γ, δ∈R
Η µερική λύση της (4) θα είναι της µορφής :
y µ (x) = x k (A cos θx + B sin θx )
k=0 όταν η χαρ. εξ. δεν έχει ρίζα το θi,
k=1 όταν η χαρ. εξ. έχει απλή ρίζα το θi , …
π.χ. Για τη ∆.Ε. y ′′ + 4y = sin 2x έχουµε:
λ2 + 4 = 0 µε λ 1, 2 = ±2i
Η µερική λύση θα είναι της µορφής:
yµ (x) = x1 (Acos2x + Bsin2x)
4. h(x)=Pν(x)[γcos(θx)+δsin(θx)]eβx
Η µερική λύση της (4) θα είναι της µορφής :
yµ (x) = x k [Aν (x) cos(θx) + Bν (x) sin(θx)]eβx
όπου Aν(x) , Βν (x) πολυώνυµα ν-οστού
βαθµού, µε άγνωστους προσδιοριστέους
συντελεστές.
k=0 αν η χαρ. εξ. δεν έχει ρίζα το β+θi,
k=1 αν η χαρ. εξ. έχει απλή ρίζα το β+θi …
π.χ. Για τη ∆.Ε. y ′′ - 2y ′ + 2y = e x cos 2 x :
Είναι λ 1, 2 = 1 ± 2i
Η µερική λύση θα είναι της µορφής:
yµ (x) = x1 (Acos2x + Bsin2x) ex
ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ∆.Ε. 2ης ΤΑΞΗΣ
Είναι της µορφής:
Η γραµµική ∆.Ε. 2ης τάξης ως προς z(x) β) ∆ιαφορική εξίσωση Euler
υποβιβάζεται σε 1ης τάξης µε το µετασχη- Eίναι της µορφής:
z ′( x ) = u ( x ) , z ′′( x ) = u ′( x )
µατισµό:
(αx + β)2 y′′(x) + Α(αx + β)y′(x) + Βy(x) = f (x) (9)
Με αντικατάσταση προκύπτει οµογενής
γραµµική ∆.Ε. 1ης τάξης και µια λύση την : Επιδιώκουµε µε κατάλληλο (Μ) να την ανάγουµε
1
u(x) = 2 e−∫ f (x)dx
y1 (x)
Ολοκληρώνοντας παίρνουµε:
− f ( x ) dx
1
z( x ) =
e ∫
dx
2
y1 ( x )
Άρα η δεύτερη µερική λύση της (7) είναι:
∫
y 2 ( x ) = y1 ( x )
1
∫ y12 (x)
− f ( x )dx
e ∫
dx
σε ∆.Ε. 2ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές.
• Για αx + β > 0 :
α≠0
Θέτουµε:
αx + β = e t ⇒ x =
et − β
α
y( x ) = u ( t ) και µε παραγώγιση προκύπτουν:
y′( x ) = α
u′( t )
e
t
, y′′( x ) = α 2
u′′( t ) − u′( t )
e2t
Με αντικατάσταση στην (9) παίρνουµε:


e −β 
Από την ορίζουσα Wronski διαπιστώνουµε
α2u′′(t) + (Α − α2 )u′(t) + Βu(t) = f 

ότι οι y1(x), y2(x) είναι γραµµικά ανεξάρτητες.
 α 
Η γενική λύση της οµογενούς είναι:
που είναι γραµµική ∆.Ε. 2ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές. Τέλος, θέτοντας
y ο ( x ) = c1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x )
t = ℓn(αx + β) παίρνουµε τη γενική λύση.
π.χ. ∆ίνεται η ∆.Ε. x2y′′ − x(x + 2)y′ + (x + 2)y = 0
• Για αx + β < 0 , θέτουµε αx + β = − e t
µε µερική λύση την y1 ( x ) = x .
και συνεχίζουµε όπως παραπάνω.
Θέτουµε :
y( x ) = x z ( x )
π.χ. Για τη ∆.Ε. x 2 y ′′ + xy ′ + 4y = 5ℓnx :
Οπότε: y ′( x ) = x z ′( x ) + z( x )
Θέτουµε: x = e t και y( x ) = y(e t ) = u ( t )
και
y′′(x) = 2z′(x) + x z′′(x)
u ′(t)
u ′′( t ) − u ′( t )
Με αντικατάσταση στην οµογενή προκύπτει: Οπότε: y ′(x) = t , y ′′( x ) =
e
e 2t
z ′′ − z ′ = 0 που για z ′( x ) = u ( x ) δίνει:
Η ∆.Ε. γίνεται: u ′′( t ) + 4u ( t ) = 5t µε
x
x
u′ − u = 0 ⇒ u(x) = z′(x) = e ⇒ z(x) = e
u Γ ( t ) = c1 cos2t + c 2 sin2t + (5/4)t . Άρα:
Η δεύτερη µερική λύση ∆.Ε. είναι:
y(x) = c1cos2(ℓnx) + c 2 sin2(ℓnx) + (5/4)ℓnx
y2 ( x) = x ex
∆.Ε. ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ
Οπότε:
yο ( x ) = c1x + c2 xe x
Μια ∆.Ε. ανώτερης τάξης µε σταθερούς
Εύρεση της µερικής λύσης της ∆.Ε. 2ης τάξης: συντελεστές είναι της µορφής:
Αφού γνωρίζουµε τη γενική λύση της οµοy (n ) + α n −1 y (n −1) +⋯+ α1 y′ + α ο y = h(x) (10)
γενούς ∆.Ε.: y ο ( x ) = c1 y1 ( x ) + c 2 y 2 ( x )
µε αντίστοιχη οµογενή :
εφαρµόζουµε τη µέθοδο µεταβολής των
παραµέτρων (Lagrange) όπως αναφέραy (n ) + α n−1 y (n −1) +⋯+ α1 y′ + α ο y = 0 (11)
µε παραπάνω και βρίσκουµε την µερική
Γενική λύση της οµογενούς ∆.Ε.
λύση της (6) :
Από την χαρακτηριστική εξίσωση :
y µ ( x ) = c1 ( x ) y 1 ( x ) + c 2 ( x ) y 2 ( x )
λn + α n −1 λn −1 +⋯+ α1 λ + α ο = 0
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
και τις ρίζες της προσδιορίζουµε τις µερικές λύσεις της οµογενούς. ∆ηλαδή :
Μια ∆.Ε. 2ης τάξης της µορφής:
1. Αν ρ∈R ρίζα πολλαπλότητας k, έχουµε
F( x, y, y ′, y ′′) = 0
(8)
τις λύσεις:
µετασχηµατίζεται σε ευκολότερη ως εξής:
ρx
ρx
k −1 ρx
t
y 1 ( x ) = e , y 2 ( x ) = xe ,..., y k ( x ) = x
e
α) Αλλαγή µεταβλητής
y′′( x ) + f ( x ) y ′( x ) + g( x ) y( x ) = h ( x ) (6) Συνήθως δίνεται ο µετασχηµατισµός 2. Αν ρ=µ+iv µιγαδική ρίζα πολ/τας m :
x=φ(t) που ανάγει την ∆.Ε. σε ευκολότερη. y 1 ( x ) = e µ x cos vx, y 2 ( x ) = e µx sin vx ,
µε αντίστοιχη οµογενή:
x = φ( t ), y( x ) = y(φ( t )) = u ( t )
y 3 ( x ) = xe µ x cos vx, y 4 ( x ) = xe µ x sin vx, κοκ
y′′( x ) + f ( x ) y′( x ) + g( x ) y( x ) = 0
(7)
Με παραγώγιση προκύπτει :
Με γραµµικό συνδυασµό των λύσεων της
Εύρεση της γενικής λύσης της οµογενούς:
dy dt u ′( t )
(11) προκύπτει η γενική της λύση.
y ′( x ) = ⋅
=
Εφόσον δίνεται µια µερική λύση y1(x) της (7),
dt dx x ′( t )
Μερική λύση της ∆.Ε. ανώτερης τάξης
θέτουµε : y( x ) = y1 ( x )z( x ) Οπότε :
Συνήθως εφαρµόζουµε τη µέθοδο των προσu ′′( t ) x ′( t ) − u ′( t ) x ′′( t )
και
y′′( x ) =
διοριστέων συντελεστών όπως περιγράφθηy ′( x ) = z ′( x ) y1 ( x ) + z ( x ) y1′ ( x )
3
[ x ′( t )]
κε παραπάνω.
y′′(x) = z′′(x)y1(x) + 2z′(x)y1′ (x) + z(x)y1′′(x) Οπότε η (8) µε αντικατάσταση γίνεται:
Με αντικατάσταση στην (7) παίρνουµε:
ΣΤΗΡΙΞΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ
F( t , u(t), u ′(t), u ′′( t ) ) = 0
Οργανωµένα µαθήµατα
′
′
′
′
z (x)y1(x) + z (x)[2y1(x) + f (x)y1(x)] = 0
Ε.Μ.Π. – Α.Ε.Ι. – Α.Τ.Ε.Ι. – Ε.Α.Π.
ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495
www.arnos.gr – e-mail : [email protected]
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ – ΠΛΕΓΜΕΝΕΣ ΣΥΝ/ΣΕΙΣ
ΜΑΘ 023
∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
∇F |P
Λέµε βαθµωτό πεδίο τη βαθµωτή
συνάρτηση f ( x, y, z) ή f ( x, y) που αντιστοιχεί τα σηµεία του χώρου ή του επιπέδου (πεδίο) σε µια τιµή του R.
G
dr
G
r
f (x, y, z) = x 4 + y 3 + z cos(xy) + xz 2
Λέµε διανυσµατικό πεδίο τη διανυσµα- Το dGr είναι κάθετο στην κλίση διότι ισχύει :
G
τική συνάρτηση F = (P, Q, R) , δηλαδή :
z
G
G
G
G
F(x,y,z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k
G
G
G
G
ή F= ( P, Q) δηλ. F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y) j ,
που αντιστοιχεί τα σηµεία του χώρου R3
ή του επιπέδου (πεδίο) σε άλλα σηµεία διανύσµατα.
π.χ.
G σµβ. ορσ. ∂ ∂ ∂ 
∇ = ∇ =  , , 
 ∂x ∂y ∂z 
ορσ.
∂f ∂f ∂f 
gradf = ∇f =  , , 
∂
 x ∂y ∂z 
Ιδιότητες:
1) ∇(λf) = λ∇f, λ ∈ R
2) ∇f = 0 ⇔ f = σταθ.
3) ∇(f + g) = ∇f + ∇g
4) ∇(f ⋅ g) = (∇f )g + f (∇g)
G
F
από το διαφορικό dF(x,y,z)=0.
z
Εξίσωση εφαπτόµενου επιπέδου (Π)
στο σηµείο Ρ(xo,yo,zo) της επιφάνειας :
∂F
∂F
∂F
(z − z o ) = 0
( y − yo ) +
(x − xo ) +
∂x Ρ
∂y Ρ
∂z Ρ
z
Εξίσωση κάθετης ευθείας (ε)
στο σηµείο Ρ(xo,yo,zo) της επιφάνειας :
x − x ο y − yο z − z ο
=
=
Fx Ρ
Fz Ρ
Fy
Ρ
z Για την επιφάνεια z = f(x,y) θεωρούµε
Το ανάδελτα ∇ είναι διαφορικός και διατην F(x,y,z)=z-f(x,y)=0 που έχει κλίση
G
νυσµατικός τελεστής και από µόνος του
(κάθετο
διάνυσµα) : ∇F = (-fx ,-f y ,1) .
δεν έχει νόηµα. Ενεργεί πάνω σε βαθµωτή
ή διανυσµατική συνάρτηση διαφορικά και
διανυσµατικά µε ανάλογες ιδιότητες.
2. Περιστροφή της F=(P,Q,R) : rotF
Η διαφορική µορφή δηλώνει µεταβολή σε Εξωτερικό γινόµενο του τελεστή ∇ µε
G
περιοχή του σηµείου (θέσης).
Ανάλογα µε την εκτελούµενη πράξη έχουµε: την διανυσµατική συνάρτηση F = (P, Q, R )
Έστω η διανυσµατική συνάρτηση
G
1. Κλίση της f(x,y,z) : gradf
F = (P, Q, R ) και ότι οι P,Q,R έχουν µερικές
Βαθµωτός πολλαπλασιασµός του τελεστή παραγώγους πρώτης τάξης συνεχείς.
∇ µε την βαθµωτή συνάρτηση f ( x, y, z) .
Λέµε περιστροφή (rotation ή curl) της
G
G
Ονοµάζουµε κλίση (gradient) της συνάρ- F( x, y, z) και συµβολίζουµε µε rotF ή
τησης f ( x, y, z) , που έχει συνεχείς µερικές curlFG την διανυσµατική συνάρτηση:
παραγώγους, την διανυσµατική συνάρτηση:
G
G
G
σµβ.
G
Το διανυσµατικό πεδίο F(x, y, z) ονοµάζεται συντηρητικό ή πεδίο κλίσεων ή ότι
G
απορρέει από δυναµικό όταν rotF = 0 και
είναι δυνατό να βρεθεί βαθµωτή συνάρτηση Φ(x,y,z) τέτοια ώστε:
G
∂Φ
∂Φ
∂Φ
F = gradΦ ⇔
= P,
= Q,
=R
∂x
∂y
∂z
Fx |P dx + Fy |P dy + Fz |P dz = 0
G
F( x , y, z) = ( x 3 yz, sin( xy), z 4 + y)
Τελεστής Ανάδελτα
Ορίζουµε τελεστή ανάδελτα (Hamilton) το:
Τυπολόγιο & Μεθοδολογία
Συντηρητικό πεδίο
z
π.χ.
fast & easy
j
k
G σµβ.
G ορσ. i
rotF = ∇ × F = ∂ / ∂x ∂ / ∂y ∂ / ∂z =
P
Q
R
G
G
G
= i (R y − Q z ) − j(R x − Pz ) + k (Q x − Py )
G
G
Ιδιότητες: 1) ∇ × (λF) = λ∇ × F, λ ∈ R
G
G G
G
2) ∇ × (F + G ) = ∇ × F + ∇ × G
G
G
G
3) ∇ × (φF) = (∇ φ) × F + φ(∇ × F)
Οι διανυσµατικές γραµµές του πεδίου
G
F = (P, Q, R) είναι κάθετες στην ισοσταθµιG
κή επιφάνεια Φ(x,y,z)=c, διότι gradΦ = F
Η Φ(x,y,z) ονοµάζεται δυναµική συG
νάρτηση (δυναµικό) του πεδίου F και
δίνεται από τη σχέση:
z
y
x
∫
z
∫
∫
Φ(x, y,z) = P(t,y,z)dt + Q(xο , t, z)dt + R(xο , yο , t)dt
xο
yο
zο
όπου (xo,yo,zo) αυθαίρετο σηµείο του Π.Ο.
G
της F . Συνήθως επιλέγουµε το (0,0,0).
G
Το έργο της F κατά τη µετατόπιση
ενός υλικού σηµείου, από τη θέση Α στη
θέση Β, σε ένα συντηρητικό πεδίο µε συνάρτηση δυναµικού Φ(x,y,z), είναι:
z
WA → B = Φ (B) − Φ (A)
Προσοχή: Ένα πεδίο που είναι συντηρητικό
είναι και αστρόβιλο, ενώ ένα πεδίο αστρόβιλο δεν είναι απαραίτητα και συντηρητικό.
G

π.χ. το πεδίο F(x, y) = 
−y
2
x +y
2
,


x + y 
x
2
2
είναι αστρόβιλο όχι όµως και συντηρητικό.
3. Απόκλιση της F= (P,Q,R): divF
Εσωτερικό γινόµενο του τελεστή ∇
G
µε την διανυσµατική συνάρτηση F = (P, Q, R)
Έστω η διανυσµατική συνάρτηση
G
F = (P, Q, R ) µε συνεχείς τις µερικές παραΚάθετο διάνυσµα στην επιφάνεια F(x,y,z)=0
φ(x,y,z) βαθµωτή συνάρτηση
∂P ∂Q ∂R
Ας είναι η επιφάνεια F( x, y, z) = 0 και το
,
,
. Λέµε απόκλιση (diγώγους
Αστρόβιλο
πεδίο
∂x ∂y ∂z
σηµείο της Ρ( x o , yo , zo ) µε διάνυσµα θέG
G
της διανυσµατικής συνάρτησης
σης r = (x, y, z) . Για στοιχειώδη µετακίνη- Το διανυσµατικό πεδίο F(x, y, z) ονοµάζε- vergence)
G
G
F
και
συµβολίζουµε
µε divF , τη βαθµωτή
όταν, σε
ση του P στην επιφάνεια έχουµε το ται αστρόβιλο, όταν και µόνο
G
G
συνάρτηση:
εφαπτόµενο διάνυσµα d r = (dx, dy, dz) .
κάθε σηµείο του ισχύει:
rotF = 0
G
G σµβ. G ορσ. ∂P ∂Q ∂R
Η κλίση της F(x,y,z) στο σηµείο P είναι:
Το πεδίο F(x, y, z) δεν προκαλεί περιστροφική
divF = ∇F =
+
+
∂x ∂y ∂z
 ∂F ∂F ∂F 
κίνηση (στροβίλους) αλλά µόνο µεταφορική.

∇F Ρ = 
,
,
 ∂x ∂y ∂z 
P
P
 P
ΣΤΗΡΙΞΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ
Ε.Μ.Π. – Α.Ε.Ι. – Α.Τ.Ε.Ι. – Ε.Α.Π.
Ιδιότητες:
G
G
1) ∇(λF) = λ∇F, λ ∈ R
G
G G
G
2) ∇ (F + G ) = ∇ F + ∇G
G
G
G
3) ∇ (φF) = F∇φ + φ∇ F
Όµοια για την παράσταση:
U = P(x, y)dx + Q(x, y)dy
φ(x,y,z) βαθµωτή συνάρτηση
Σωληνοειδές
G
Το διανυσµατικό πεδίο F(x, y, z) λέγεται
σωληνοειδές, όταν σε κάθε σηµείο του
G
divF = 0
ισχύει:
Θεώρηµα
∆ίνεται η εξίσωση F(x, y, z) = 0 και το σηµείο ( x o , yo , z o ) του χωρίου Ω. Εάν:
έχουµε ολικό ή τέλειο διαφορικό αν:
(i) F(x o , yo , z o ) = 0
dΦ( x, y) = Pdx + Qdy .
Αναγκαία συνθήκη: Py = Qx . Η Φ(x,y) είναι: (ii) οι Fx , Fy , Fz είναι συνεχείς στο Ω
Φ( x, y) =
x
y
x0
y0
∫ P(t, y)dt + ∫ Q(x , t)dt
0
(iii) Fz ( x o , yo , z o ) ≠ 0
τότε γύρω από το σηµείο ( x o , yo ) γίνεται
να βρεθεί µόνο µια συνάρτηση z = f ( x, y) :
G
(i) z o = f(x o , yo ) (ii) F(x, y, f ( x, y) ) = 0
Όταν το πεδίο F είναι σωληνοειδές τότε ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ
Fy
µπορούµε να βρούµε διανυσµατική συF
∂z
∂z
G
=−
=− x,
Για το βαθµωτό πεδίο f(x,y,z) ενδιαφέρει (iii)
Fz
Fz
∂y
∂x
νάρτηση f (x, y, z) που να ικανοποιεί τη ο ρυθµός µεταβολής του στο σηµείο
G
G
G
του Εκφράσεις πλεγµένων συναρτήσεων
σχέση F = rotf . Η f ( x, y, z) λέγεται δια- Ρ(xo,yo,zo) κινούµενοι στην διεύθυνση
G
µοναδιαίου
διανύσµατος
n
=
(
α
,
β
,
γ) ,
νυσµατικό δυναµικό.
Εύρεση του διανυσµατικού δυναµικού:
α) Η εξίσωση F(x,y)=0 ορίζει τη συνάρΑυτή είναι η παράγωγος κατά τηση y=y(x) σε πλεγµένη µορφή όταν
Fy ≠ 0 και η παράγωγός της είναι:
κατεύθυνση και ορίζεται από τη σχέση:
G
F
∂f
f(P + λn ) − f (P)
∂y
=− x
G = Aim
λ
∂n P λ →0
∂x
Fy
( nG = 1) .
z

x
z
G 

f =  Q(x, y, t)dt, R(t, y.z o )dt − P(x, y, t)dt,0


xo
zo
 zo

G
«Η απόκλιση div F περιγράφει την ένταση της Ο ορισµός χρησιµοποιείται στα σηµεία β) Η καµπύλη που προκύπτει από την τοµή
G
ασυνέχειας.
των επιφανειών, F(x,y,z)=0, Φ(x,y,z)=0 ορίπηγής του διανυσµατικού πεδίου F (x, y, z) ».
∫
∫
∫
Υπολογισµός
ζει σε πλεγµένη µορφή, π.χ. τις συναρτήσεις
Τελεστής του Laplace
Όταν η f(x,y,z) έχει συνεχείς µερικές παρα- y=y(x), z=z(x), όταν το σύστηµα που προΟρίζουµε τον τελεστή ∆ (∆έλτα) που προ- γώγους στο σηµείο Ρ, η παράγωγος κατά την κύπτει από τη διαφόρισή τους :
G
κύπτει από το εσωτερικό γινόµενο του ∇ κατεύθυνση n δίνεται από τη σχέση:
Fy ⋅ y′( x ) + Fz ⋅ z′( x ) = −Fx
µε τον εαυτό του.
G
∂f
G = (∇ f ) P n
Φ y ⋅ y′( x ) + Φ z ⋅ z′( x ) = −Φ x
∂2
∂2
∂2
2
∆ ≡ ∇∇ =| ∇ | =
∂x 2
+
+
∂y 2
∂n
∂z 2
Για την f(x,y,z) µε µερικές παραγώγους
δεύτερης τάξης συνεχείς ισχύει:
div(gradf) = ∇(∇f) =
2
∂ f
∂x
2
+
2
∂ f
∂y
2
+
∆ιαφορική εξίσωση του Laplace
(Εξίσωση διάδοσης κύµατος)
∂ 2f
∂x
2
+
∂ 2f
∂y
2
+
∂ 2f
∂z 2
=0
2
∂ f
∂z 2
P
∇f |P
G
n
έχει µοναδική λύση, δηλ.
Fy Fz
≠0
Φ y Φz
ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ Τaylor – Mac Laurin
Η ανάπτυξη (προσέγγιση) της f(x,y) κατά
Είναι το µέτρο της προβολής της κλίσης Taylor, σε µια περιοχή του ( x o , yo ) είναι:
G
G
πάνω στη διεύθυνση του n , αφού n = 1 .
 ∂
∂ 
f ( x , y) = f ( x o , yo ) +  h
+ κ f ( x o , yo ) +
G
∂y 
Προσέχουµε αν το διάνυσµα u , που δίνε ∂x
ται, είναι µοναδιαίο. ∆ιαφορετικά το κά2
G G G
∂ 
1 ∂
νουµε ως εξής: n = u / u
+ κ  f ( x , y ) + ...
+ h
−∇ f |P
Πρόταση 1
o o
G
∂y 
2!  ∂x
Έστω η F = (P, Q, R) . Εάν οι P,Q,R έχουν
Μεγιστοποίηση του ρυθµού µεταβολής
µερικές παραγώγους 2ης τάξης και είναι
G
όπου h = x-xo και κ = y-yo.
Όταν το διάνυσµα n είναι συγγραµµικό
συνεχείς τότε ισχύει :
Ανάπτυγµα Mac-Laurin
(οµόρροπο – αντίρροπο) της κλίσης ∇ f P Η ανάπτυξη (προσέγγιση) της f(x,y) κατά
G
G
div(rotF) = ∇(∇ × F) = 0
τότε η παράγωγος κατά κατεύθυνση γίνε- Mac-Laurin, σε µια περιοχή του (0,0) είναι:
Πρόταση 2
ται µέγιστη - ελάχιστη και είναι:
 ∂
∂ 
Εάν η συνάρτηση f(x,y,z) εχει µερικές παραf ( x, y) = f (0,0) +  x
+ y f (0,0) +
ης
∂
f
∂
f
∂y 
γώγους 2 τάξης συνεχείς τότε ισχύει :
 ∂x
G = ∇f P G = − ∇f P
∂n P
∂
n
P
2
rot(gradf) = ∇ × (∇f ) = 0
1 ∂
∂ 
∆ιεύθυνση µέγιστης µεταβολής:
+  x
+ y  f (0,0) + ...
2!  ∂x
∂y 
ΟΛΙΚΟ Ή ΤΕΛΕΙΟ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΟ
G ∇f P
Η παράσταση:
n=
 ∂
∂f
∂f
∂ 
∇f P
 x
+y
όπου
+ y  f = x
U = P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
y
∂
∂
y
∂
x
∂
x


λέµε ότι είναι ολικό ή τέλειο διαφορικό,
2
όταν γίνεται να βρεθεί συνάρτηση ΠΛΕΓΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
2
2
 ∂
∂
∂2f
2 ∂ f
2∂ f
Φ(x,y,z) τέτοια ώστε:


+
=
+
x
y
f
x
2
xy
+
y
Λέµε ότι η εξίσωση F(x, y, z) = 0 ορίζει 
∂x
∂y 
∂x∂y
∂x2
∂y2
σε πλεγµένη µορφή µια συνάρτηση 
dΦ ( x, y, z) = Pdx + Qdy + Rdz
2
Σχόλιο: Με τα αναπτύγµατα Taylor και
Αναγκαία συνθήκη: Py=Qx, Pz=Rx, Qz=Ry z = f ( x, y) στον τόπο τ ⊆ R (τ ανοιχτό),
Mac-Laurin µπορούµε να προσεγγίσουµε τη
Το πρόβληµα ισοδυναµεί µε την εύρεση της αν ∀( x, y) ∈ τ ισχύει η σχέση:
συνάρτηση z = f ( x, y) µε ένα πολυώνυµο.
συνάρτησης δυναµικού Φ(x,y,z) σε πεδίο
G
Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιµο για τις πλεγµέF(x, y, f ( x, y) ) = 0
F = ( P, Q, R) συντηρητικό (βλ. παραπάνω)
νες συναρτήσεις F(x,y,z)=0 µε z=z(x,y).
ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495
www.arnos.gr – e-mail : [email protected]
fast & easy
ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ
ΜΑΘ 022
Τυπολόγιο & Μεθοδολογία
Οι µεικτές παράγωγοι είναι ίσες όταν η Η σειρά εξαγωγής του αποτελέσµατος της
Έστω η συνάρτηση z = f(x, y) ορισµένη συνάρτηση f(x,y) είναι δυο φορές διαφο- συνάρτησης απεικονίζεται ως εξής:
ρίσιµη ή υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι
στο χωρίο τ του xΟy και ( x ο , yο ) ∈ τ . Λέµε
δεύτερης τάξης και είναι συνεχείς.
µερική παράγωγο της f(x,y) ως προς x στη
Κανόνες παραγώγισης
θέση (xο,yο) το όριο :
Ισχύουν οι γνωστοί κανόνες παραγώγισης.
ορσ.
∆ηλαδή : f(x,y) = f(x(u,v), y(u,v))=g(u,v)
f ( x , yο ) − f ( x ο , yο )
Για τις f(x,y), g(x,y) µε κ,λ ∈ R έχουµε:
∂f
( x ο , y ο ) = lim
Οι
µερικές παράγωγοι πρώτης τάξης
1. Γραµµικότητα:
x →x 0
∂x
x − xο
από
τον κανόνα της αλυσίδας είναι :
∂
(κf + λg ) = κ ∂f + λ ∂g
∆ηλαδή θεωρούµε το x µεταβλητή µε το
∂x
∂x
∂x
∂f
∂f ∂x ∂f ∂y σµβ
=
⋅
+
⋅
= f x ⋅ x u + f y ⋅ yu
y = yo σταθερό. Όµοια ορίζεται η µερική
2. Γινόµενο:
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u
παράγωγος ως προς y στο (xo,yo):
ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ
ορσ.
f ( x ο , y) − f ( x ο , y ο )
∂f
(x ο , y ο ) = lim
y→ y0
∂y
y − yο
∂
(f ⋅ g ) = ∂f ⋅ g + f ⋅ ∂g
∂y
∂y
∂y
3. Πηλίκο:
∂  f  (∂f / ∂x ) ⋅ g − f ⋅ (∂g / ∂x )
 =
∂x  g 
g2
y = yo
xo
∂f ∂f ∂x ∂f ∂y σµβ
=
⋅
+
⋅
= f x ⋅ x v + f y ⋅ yv
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
Μνηµονικά ισχύουν τα ίδια µε το Α.
Μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης :
4. Κανόνας αλυσίδας
∂2f
( παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων)
∂u2
Α. z = f (x,y) µε x = x (t) και y = y (t).
Έχουµε µία παράµετρο t που παίρνει τιµές
στο διάστηµα ∆ και µας δίνει τα ζεύγη (x,y).
= (fx ⋅ xu + fy ⋅ yu )(2) + fx ⋅ xuu + fy ⋅ yuu
( f x ⋅ x u + f y ⋅y u ) ( 2 ) =
όπου
=f
⋅ ( x ) 2 + 2f
⋅x ⋅y +f
(
)
⋅ ( y )2
u
xy
u
u
yy
u
xx
Γεωµετρικά η µερική παράγωγος της συx = x(t) 
όµοια
:
νάρτησης f(x,y) ως προς x στο σηµείο
µε
t
∈
R
(M)
y = y( t )
(xo,yo), εκφράζει την κλίση της καµπύλης
∂2f
c, που ορίζεται από την τοµή της επιφά- Η σειρά εξαγωγής του αποτελέσµατος της
= fx ⋅ xv + f y ⋅ yv (2) + fx ⋅ xvv + f y ⋅ yvv
2
∂
v
νειας z = f(x, y) µε το επίπεδο y = yo.
συνάρτησης απεικονίζεται ως εξής:
∂f
( x , y ) = tanθ
∂x ο ο
∆ηλαδή:
∂ 2f
= f xx ⋅ x u ⋅ x v + + f yy ⋅ y u ⋅ y v +
∂v∂u
Η µερική παράγωγος δηλώνεται µε τον
∂
∂
τελεστή
(ως προς x),
(ως προς y)
∂x
∂y
Μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης
∂f σµβ.
= fy
∂y
σµβ.
∂f
∂x
= fx
Μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης
∂ 2f
∂x 2
∂  ∂f  σµβ.
  = f xx
∂x  ∂x 
oρσ.
=
∂ 2f
∂  ∂f  σµβ.
  = f yy
∂y  ∂y 
oρσ.
=
∂y 2
2
∂ f
∂y∂x
oρσ.
∂ 2f
∂x∂y
oρσ.
=
=
∂  ∂f 
  =
∂y  ∂x 
f xy
∂  ∂f  σµβ.
  = f yx
∂x  ∂y 
∂ f
oρσ.
=
∂x 3
2
∂  ∂f 
  =
∂x 2  ∂x 
σµβ.
f xxx
∂ 2  ∂f  σµβ.
  = f yxx κ.ο.κ.
∂x ∂y
∂x 2  ∂y 
Μεικτές παράγωγοι είναι οι συναρτήσεις :
∂3f
2
f xy =
oρσ.
=
∂  ∂f 
∂  ∂f 
 
  και f yx =
∂y  ∂x 
∂x  ∂y 
+ f xy ( x u y v + x v y u ) + f x x uv + f y y uv
df (t) ∂f dx ∂f dy σµβ
= ⋅ + ⋅
= f x⋅x′(t) + f y ⋅ y′(t)
dt
∂x dt ∂y dt
Οι παραπάνω σχέσεις στο Α και το Β
προκύπτουν από τον κανόνα αλυσίδας µε
χρήση των κανόνων παραγώγισης.
Μνηµονικός κανόνας : Αθροίζουµε όλους
τους «δρόµους», που συνδέουν τη συνάρτηση και την µεταβλητή παραγώγισης, από τα
δεξιά προς τα αριστερά παραγωγίζοντας.
Η παράγωγος ως προς t δεύτερης τάξης είναι:
ΟΛΙΚΟ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΟ
Λέµε ολικό διαφορικό της z = f(x,y) στο
σηµείο (x,y) για τις αυξήσεις dx, dy των
ανεξάρτητων µεταβλητών x,y το:
d2f
dt2
= [f x ⋅ x′(t) + f y ⋅ y′(t)](2) + fx ⋅ x′′(t) + f y ⋅ y′′(t)
df(x, y) =
∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y
Όµοια, για την f(x,y,z) έχουµε:
( 2)
σµβ.
Μερικές παράγωγοι τρίτης τάξης
3
∆ηλαδή : f(x,y)=f (x(t), y(t)) = f(t)
Από τον κανόνα της αλυσίδας έχουµε:
όπου [f x ⋅ x′( t ) + f y ⋅ y′( t )]
=
df(x, y, z) =
= f xx ⋅ (x′(t ) )2 + 2f xy ⋅ x′( t ) ⋅ y′( t ) + f yy ⋅ (y′( t ))2
εφόσον οι µεικτές παράγωγοι είναι ίσες.
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
ΑΚΡΟΤΑΤΑ
Μνηµονικά το (2) λειτουργεί όπως το τέλειο Έστω η συνάρτηση f(x,y) ορισµένη σ΄ ένα
τετράγωνο, για µεν την f(x,y) στο δείκτη τόπο τ. Λέµε ότι έχουµε τοπικό µέγιστο
(µερική παράγωγος) και για δε τις x(t), y(t) στη θέση (x0,y0) του τόπου τ, όταν υπάρχει
στον εκθέτη (δύναµη).
περιοχή Α γύρω από το (x0,y0), τέτοια ώστε ∀( x.y) ∈ A να ισχύει:
Β. z = f(x,y) µε x = x(u,v) και y = y(u,v).
Έχουµε ένα µετασχηµατισµό από τις µεf ( x , y) − f ( x ο , yο ) ≤ 0
ταβλητές (x,y) στις (u,v), δηλ.
Όµοια λέµε ότι έχουµε τοπικό ελάχιστο
x = x(u, v) 
2
στo (xο,yο), όταν ∀( x.y) ∈ A ισχύει:
(M)
 µε (u , v) ∈ τ ⊆ R
y = y ( u , v )
f ( x , y) − f ( x ο , yο ) ≥ 0
yo
yo
xo
xo
π.χ. Για το (0,0) µπορούµε να επιλέξουµε Βήµα 2ο Υπολογίζουµε τις ορίζουσες
κατάλληλους «δρόµους» προς το (0,0) : x = 0 (εργαλεία):
ή y = 0 ή y = λx ή y = λx2 ή y=λx3 κ.ο.κ.
Fxx Fxy Fxz φx
Fyy Fyz φ y
Φροντίζουµε η διαφορά ∆ να ανάγεται
Fyx Fyy Fyz φy
σε µια µεταβλητή της οποίας εξετάζουµε ∆1 = F F F φ , ∆ 2 = Fzy Fzz φ z
zx
zy
zz
z
το πρόσηµο γύρω από το (xo,yo).
φy φz 0
φx
Για τις καµπύλες c1( x = x o και z = f(x, y))
max ή min ισχύουν :
∂f
(x , y ) = 0
∂y o o
y = λx 2
Γενικά, στα σηµεία που η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο, έχουµε µηδενισµό
των µερικών παραγώγων.
Πιθανά ακρότατα ή κρίσιµα σηµεία ή
κριτικά σηµεία είναι οι θέσεις µηδενισµού των µερικών παραγώγων.
Σχόλιο: Τα σηµεία στα οποία µηδενίζονται οι µερικές παράγωγοι δεν είναι απαραίτητα και ακρότατα.
Ακρότατα της z=f(x,y)
Βήµα 1ο Λύνουµε το σύστηµα:
f x = 0, f y = 0 (Σ)
φz
0
Βήµα 3 Έλεγχος
α) Αν ∆1(xο,yο,zο,λ)<0 και ∆2(xο,yο,zο,λ)>0,
έχουµε τοπικό µέγιστο το f(xo, yo, zo).
β) Αν ∆1(xο,yο,zο,λ)<0 και ∆2(xο,yο,zο,λ)<0,
έχουµε τοπικό ελάχιστο το f(xo, yo, zo).
y = λx 2
και c 2 ( y = y o και z = f(x, y)) όταν έχουµε
∂f
(x , y ) = 0 ,
∂x o o
φy
ο
Γ. Η f(x,y,z) µε φ1(x,y,z)=0 και φ2(x,y,z)=0
Αναζητούµε τα ακρότατα της συνάρτησης
Ακρότατα της w=f(x,y,z)
f(x,y,z) για εκείνα τα (x,y,z) που βρίσκοΒήµα 1ο Λύνουµε το σύστηµα:
νται πάνω στην καµπύλη (τοµή των επιf x = 0, f y = 0, f z = 0 (Σ)
φανειών φ1(x,y,z) = 0 και φ2(x,y,z) = 0).
Οι λύσεις (xο,yο,zο) του συστήµατος είναι Θεωρούµε την συνάρτηση:
σηµεία πιθανών ακρότατων.
F(x,y,z,λ,µ) = f(x,y,z) + λφ1(x,y,z) + µφ2 (x,y,z)
Βήµα 2ο Υπολογίζουµε τις ορίζουσες:
Βήµα 1ο Λύνουµε το σύστηµα:
f xx f xy f xz
∆1 = f yx f yy f yz
f zx f zy f zz
και ∆ 2 =
f xx f xy
f yx f yy
Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0, Fλ = 0, Fµ = 0 (Σ)
Οι λύσεις (xο,yο,zο,λ,µ) του συστήµατος
είναι τα κρίσιµα σηµεία της f.
Βήµα 3ο Έλεγχος των (xo,yo,zo)
ο
α) Αν ∆1(xο,yο,zο)>0, ∆2 (xο,yο,zο)>0 και Βήµα 2 Υπολογίζουµε την ορίζουσα :
f (x ,y ,z )>0 έχουµε τοπικό ελάχιστο.
Fxx Fxy Fxz φ1x φ 2 x
Οι λύσεις (xο,yο) του συστήµατος είναι ση- xx ο ο ο
β) Αν ∆1(xο,yο,zο)<0, ∆2 (xο,yο,zο)>0 και
Fyx Fyy Fyz φ1y φ 2 y
µεία πιθανών ακρότατων (κρίσιµα σηµεία).
fxx(xο,yο,zο)<0 έχουµε τοπικό µέγιστο.
ο
∆1 = Fzx Fzy Fzz φ1z φ 2z
Βήµα 2 Υπολογίζουµε την ορίζουσα:
φ1x φ1y φ1z 0
0
∆ΕΣΜΕΥΜΕΝΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ
f
f
φ 2 x φ 2 y φ 2z 0
0
H( x , y) = xx xy
Πολλαπλασιαστές Lagrange
f yx f yy
Βήµα 3ο
Η(xo,yo)
+
+
Έλεγχος των σηµείων (xο,yο).
fxx(xo,yo)
+
–
–
0
f(xo,yo)
ελάχιστο
µέγιστο
σαγµατικό
σηµείο
έλεγχος
ορισµού
Μεθοδολογία όταν Η( x ο , yο ) = 0
Σύµφωνα µε τον ορισµό, εξετάζουµε το
πρόσηµο της διαφοράς :
∆ = f(x, y) - f(x o , yo )
α) Για να έχουµε ακρότατο η διαφορά
πρέπει να έχει σταθερό πρόσηµο ∀ ( x, y)
γύρω από το (xο,yο). Αυτό εξασφαλίζεται
συνήθως µε την ταυτότητα του τέλειου
τετραγώνου, δηλ. πρέπει : ∆ ≥ 0 ή ∆ ≤ 0
Βήµα 3ο Έλεγχος
Α. Η f(x,y) µε φ(x,y) = 0
Αναζητούµε τα ακρότατα της συνάρτησης α) Αν ∆1(xο,yο,zο,λ,µ)>0,
έχουµε τοπικό ελάχιστο το f(xo, yo, zo).
f(x,y) για εκείνα τα (x,y) που βρίσκονται
πάνω στην καµπύλη φ(x,y) = 0 (δέσµευση). β) Αν ∆1(xο,yο,zο,λ,µ)<0,
έχουµε τοπικό µέγιστο το f(xo, yo, zo).
Θεωρούµε την συνάρτηση:
F(x, y, λ) = f(x, y) + λφ(x, y)
Μεθοδολογίες
Βήµα 1 Λύνουµε το σύστηµα:
1η Ο υπολογισµός της ορίζουσας για την
εύρεση των ακρότατων αποφεύγεται όταν :
Fx = 0, Fy = 0, Fλ = 0 (Σ)
Από τη φύση του προβλήµατος συµπεΟι λύσεις (xο,yο,λ) του συστήµατος είναι ράνουµε µε γεωµετρικές παρατηρήσεις ότι
κρίσιµα σηµεία της f(x,y).
η συνάρτηση στο κρίσιµο σηµείο παίρνει
Βήµα 2ο Υπολογίζουµε την ορίζουσα:
µέγιστη ή ελάχιστη τιµή.
Από το πρόβληµα είναι καθορισµένο το
Fxx Fxy φ x
είδος του ακρότατου και δεν απαιτείται ο
∆1 = F yx Fyy φ y
έλεγχος.
φx φy 0
2η Όταν ζητείται η µέγιστη ή ελάχιστη
Βήµα 3ο Έλεγχος
απόσταση των σηµείων (x,y,z) του R3 από
α) Αν ∆1(xο,yο,λ)>0,
το σηµείο (0,0,0) ή (xο,yο,zο), για συνάρέχουµε τοπικό µέγιστο.
τηση f(x,y,z) παίρνουµε :
β) Αν ∆1(xο,yο,λ)<0,
έχουµε τοπικό ελάχιστο.
f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 ή
ο
π.χ. Για την f(x, y) = y 2 - 2y 4 - x 4 το (0,1/2)
Β. Η f(x,y,z) µε φ(x,y,z) = 0
είναι πιθανό ακρότατο µε Η (0,1/2) = 0 .
f(x, y, z) = ( x - x ο )2 + ( y - y ο )2 + (z - z ο ) 2
Για τη διαφορά έχουµε ∆ = f(x, y) - f(0,1/2) = Αναζητούµε τα ακρότατα της συνάρτησης
f(x,y,z) για εκείνα τα (x,y,z) που βρίσκο∆ιότι αντίστοιχα µε την f(x,y,z) µεγιστοποι2


νται
πάνω στην επιφάνεια φ(x,y,z) = 0.
1
1

είται ή ελαχιστοποιείται η απόσταση:
= y2 - 2y4 - x 4 - = − 2 y 2 −  + x 4  < 0
Θεωρούµε την συνάρτηση:
4
8
 



Άρα έχουµε τοπικό µέγιστο το f(0,1/2)=1/8.
F(x, y, z, λ) = f(x, y, z) + λφ(x, y, z)
ο
β) Για να µην έχουµε ακρότατο η διαφορά Βήµα 1 Λύνουµε το σύστηµα:
πρέπει να µην έχει σταθερό πρόσηµο ∀ ( x, y)
Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0, Fλ = 0 (Σ)
γύρω από το (xο,yο). Αποδεικνύεται µε επιλοΟι λύσεις (xο,yο,zο,λ) του συστήµατος
γή τιµών ή «δρόµων» γύρω από το (xο,yο).
είναι τα κρίσιµα σηµεία της f(x,y,z).
d = (x - x o ) 2 + (y - y o ) 2 + (z - z o ) 2
ΣΤΗΡΙΞΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ
Ε.Μ.Π. – Α.Ε.Ι. – Α.Τ.Ε.Ι. – Ε.Α.Π.
ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
5
File Size
2 487 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content