ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ
Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ
1
ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
1.
α) Πότε µια συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζεται περιοδική;
β) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού και η περίοδος των συναρτήσεων ηµx, συνx , εφx και σφx;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
α. Περιοδική ονοµάζεται µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α, όταν υπάρχει πραγµατικός
αριθµός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x ∈ A να ισχύει:
i) x + T ∈ A, x - T ∈ A και
ii) f(x + T) = f(x - T) = f(x)
Ο πραγµατικός αριθµός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f.
β. Η συνάρτηση ηµίτονο ορίζεται στο σύνολο Α = Â και είναι περιοδική µε περίοδο Τ = 2π.
Η συνάρτηση συνηµίτονο ορίζεται στο σύνολο Α = Â και είναι περιοδική µε περίοδο Τ = 2π.
Η συνάρτηση εφαπτοµένη ορίζεται στο σύνολο Α = Â - {x|συνx ≠ 0} και είναι περιοδική µε περίοδο Τ
= π. Η συνάρτηση συνεφαπτοµένη ορίζεται στο σύνολο Α = Â-{x|ηµx ≠ 0} και είναι περιοδική µε
περίοδο Τ= π.
2.
Για τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ηµx, συνx και εφx να γράψετε τα διαστήµατα
µονοτονίας τους.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Η συνάρτηση ηµίτονο ορίζεται στο σύνολο Α = Â και σε διάστηµα µιας περιόδου Τ= [0,2π]
είναι:
π
].
2
•
γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [0,
•
γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [ , π],
•
γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [π,
•
γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [
π
2
3π
]
2
3π
, 2π].
2
Η συνάρτηση συνηµίτονο ορίζεται στο σύνολο Α=Â και σε διάστηµα µιας περιόδου Τ=[0,2π]
είναι
π
].
2
•
γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [0,
•
γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [ , π],
•
γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [π,
π
2
3π
] και
2
ΑΛΓΕΒΡΑ
Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ
2
•
γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [
3π
, 2π].
2
Η συνάρτηση εφαπτοµένη ορίζεται στο σύνολο Α = Â - {x | συνx ≠ 0} και σε διάστηµα µιας
περιόδου Τ = ( -
3.
π π
, ) είναι γνησίως αύξουσα.
2 2
Για τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ηµx, συνx και εφx να γράψετε τις θέσεις , το είδος και τις
τιµές των ακροτάτων τους ( όπου υπάρχουν).
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Η συνάρτηση ηµίτονο ορίζεται στο σύνολο Α = Â και σε διάστηµα µιας περιόδου Τ= [0,2π]
•
για x =
π
π
, παρουσιάζει µέγιστο το ηµ = 1 και
2
2
•
για x =
3π
3π
, παρουσιάζει ελάχιστο, το ηµ
= -1.
2
2
Η συνάρτηση συνηµίτονο ορίζεται στο σύνολο Α = Â και σε διάστηµα µιας περιόδου Τ=[0,2π]
• για x = 0, παρουσιάζει µέγιστο το συν0 = 1
• για x = π, παρουσιάζει ελάχιστο το συνπ = – 1 και
• για x = 2π, παρουσιάζει µέγιστο το συν2π = 1
Η συνάρτηση εφαπτοµένη ορίζεται στο σύνολο Α = Â - {x|συνx ≠ 0} και δεν έχει ακρότατα.
4.
Για τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ηµx, συνx, εφx και σφx να σχεδιάσετε τις γραφικές τους
παραστάσεις.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ηµx, συνx εφx και σφx είναι:
ΑΛΓΕΒΡΑ
5.
Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ
3
∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = ρ⋅ηµ(ω⋅x), όπου ρ και ω θετικοί πραγµατικοί αριθµοί. Να
αναφέρετε τον ρόλο των παραµέτρων ρ και ω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Σε µια συνάρτηση της µορφής f(x) = ρ⋅ηµ(ω⋅x), όπου ρ, ω > 0:
•
Το ρ καθορίζει τη µέγιστη τιµή της, που είναι ίση µε ρ και την ελάχιστη τιµή της που
είναι ίση µε -ρ
•
Το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είναι ίση µε Τ =
6.
2π
ω
Να δώσετε τους ορισµούς: πολυώνυµο, σταθερό πολυώνυµο, µηδενικό πολυώνυµο, ίσα
πολυώνυµα και βαθµός πολυωνύµου αριθµητική τιµή πολυωνύµου και ρίζα πολυωνύµου.
ΑΛΓΕΒΡΑ
4
Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
α. Πολυώνυµο µε µεταβλητή x ονοµάζεται κάθε παράσταση της µορφής:
ανxν + αν-1xν-1 + … + α1x + α0,
όπου ν είναι ένας φυσικός αριθµός και α0, α1, …, αν είναι πραγµατικοί αριθµοί.
β. Σταθερό πολυώνυµο ονοµάζεται κάθε πολυώνυµο της µορφής α0, δηλαδή οι πραγµατικοί αριθµοί.
γ. Μηδενικό πολυώνυµο ονοµάζεται το σταθερό πολυώνυµο 0.
δ. Ίσα ονοµάζονται δύο πολυώνυµα αµxµ + … + α1x + α0 και βνxν + … + β1x + β0, µε µ ≥ ν
όταν: α0 = β0, α1 = β1, …, αν = βν
και
αν+1 = αν+2 = … = αµ = 0
ε. Βαθµός πολυωνύµου ονοµάζεται αριθµός k σε κάθε πολυώνυµο που παίρνει την µορφή:
αkxk + αk-1xk-1 + … + α1x + α0, µε αk ≠ 0
ΣΧΟΛΙΑ
•
•
Κάθε σταθερό και µη µηδενικό πολυώνυµο έχει βαθµό 0.
Για το µηδενικό πολυώνυµο δεν ορίζεται βαθµός.
στ. Αριθµητική τιµή πολυωνύµου για x = ρ ονοµάζεται ο πραγµατικός αριθµός
P(ρ) = ανρν + αν-1ρν-1 + … + α1ρ + α0
που προκύπτει αν σε ένα πολυώνυµο P(x) = ανxν + αν-1xν-1 + … + α1x + α0 αντικαταστήσουµε το x µε ένα
ορισµένο πραγµατικό αριθµό ρ.
ζ. Ρίζα ενός πολυωνύµου P(x) ονοµάζεται ο αριθµός ρ όταν P(ρ) = 0
7.
Να γραφτεί η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύµου Ρ(x) µε το πολυώνυµο δ(x)
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Για κάθε ζεύγος πολυωνύµων ∆(x) και δ(x) µε δ(x) ≠ 0 υπάρχουν δυο µοναδικά πολυώνυµα π(x) και
υ(x), τέτοια ώστε: ∆(x) = δ(x)π(x) + υ(x), όπου το υ(x) ή είναι το µηδενικό πολυώνυµο ή έχει βαθµό
µικρότερο από το βαθµό του δ(x).
το ∆(x) λέγεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης, το π(x) πηλίκο και το υ(x) υπόλοιπο της διαίρεσης.
ΣΧΟΛΙΟ
Αν σε µια διαίρεση είναι υ(x) = 0, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και η ταυτότητα της διαίρεσης
γράφεται ∆(x) = δ(x)·π(x)
ΑΛΓΕΒΡΑ
5
Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ
Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι το δ(x) διαιρεί το ∆(x) ή ότι το δ(x) είναι παράγοντας του ∆(x) ή ότι το
∆(x) διαιρείται µε το δ(x) ή ακόµη ότι το δ(x) είναι διαιρέτης του ∆(x).
8.
Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου Ρ(x) µε το x-ρ είναι ίσο µε την
τιµή που πολυωνύµου για x = ρ.
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύµου Ρ(x) µε το πολυώνυµο x - ρ γράφεται.
P(x) = (x - ρ)π(x) + υ(x)
Επειδή ο διαιρέτης x - ρ είναι πρώτου βαθµού, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα σταθερό
πολυώνυµο υ.
Έτσι έχουµε:
P(x) = (x - ρ)π(x) + υ
Αν θέσουµε x = ρ, παίρνουµε: P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) + υ = 0 + υ = υ
Εποµένως το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου Ρ(x) µε το x-ρ είναι ίσο µε την τιµή που
πολυωνύµου για x = ρ .
9.
Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυµο Ρ(x) έχει παράγοντα το x-ρ αν και µόνο αν το ρ είναι ρίζα
του Ρ(x).
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
ΕΥΘΥ
Έστω ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x). Τότε ισχύει: P(x) = (x - ρ)π(x)
Από την ισότητα αυτή για x = ρ παίρνουµε
ΑΛΓΕΒΡΑ
Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ
6
P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) ⇒ P(ρ) = 0⋅π(ρ) ⇒ P(ρ) = 0
δηλαδή το ρ είναι ρίζα του Ρ(x).
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ
Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x) τότε ισχύει Ρ(ρ) = 0.
Είναι: P(x) = (x - ρ)π(x) + υ (1)
για x = ρ παίρνουµε
P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) + υ ⇒
0 = 0⋅π(ρ) + υ ⇒ υ = 0
Και η (1) σχέση γράφεται: P(x) = (x - ρ)π(x) που σηµαίνει ότι το x - ρ είναι παράγοντας του
Ρ(x).
10. Τι ονοµάζεται πολυωνυµική εξίσωση βαθµού ν
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Πολυωνυµική εξίσωση βαθµού ν ονοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής
αvxν + αv-1xν-1 + … + α1x + α0 = 0,
αv ≠ 0
11. Τι ονοµάζεται ρίζα µιας πολυωνυµικής εξίσωσης;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Ρίζα µιας πολυωνυµικής εξίσωσης ονοµάζουµε κάθε ρίζα του πολυωνύµου
P(x) = αvxν + αv-1xν-1 + … + α1x + α0,
δηλαδή κάθε αριθµό ρ, για τον οποίο ισχύει Ρ(ρ) = 0.
12.
Ποια ισοδυναµία χρησιµοποιούµε για την επίλυση µιας πολυωνυµικής εξίσωσης Ρ(x) = 0
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Η επίλυση µια εξίσωσης µε τη µέθοδο αυτή στηρίζεται στην ισοδυναµία:
P1(x)·P2(x)…Pk(x) = 0 ⇔ (P1(x) = 0 ή P2(x) = 0 ή … Pk(x) = 0)
∆ηλαδή, για να λύσουµε µια πολυωνυµική εξίσωση Ρ(x) = 0, παραγοντοποιούµε το Ρ(x) και
ΑΛΓΕΒΡΑ
7
Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ
αναγόµαστε έτσι στην επίλυση πολυωνυµικών εξισώσεων µικρότερου βαθµού.
13. Nα αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ≠0 είναι
ρίζα µιας πολυωνυµικής εξίσωσης, τότε ο ρ είναι
διαιρέτης του σταθερού όρου της αο. (θεώρηµα των ακεραίων ριζών)
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Αν o ρ ≠ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε διαδοχικά έχουµε
αvρν + αv-1ρν-1 + … + α1ρ + α0 = 0 ⇔
α0 = – αvρν – αv-1ρν-1 – … – α1ρ ⇔
α0 = ρ(–αvρν-1 – αv-1ρν-2 – … – α1)
Επειδή οι ρ, α1, α2, …, αν είναι ακέραιοι έπεται ότι και o – αvρν-1 – αv-1ρν-2 – … – α1 είναι
ακέραιος. Από την τελευταία ισότητα συµπεραίνουµε, ότι ο ρ είναι διαιρέτης του α0.
14. Πότε µια συνάρτηση ονοµάζεται ακολουθία.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Ακολουθία λέγεται κάθε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο N∗ των θετικών ακεραίων.
ΣΧΟΛΙΑ
•
•
•
•
•
Μια ακολουθία συµβολίζεται µε το γράµµα α και η τιµή της στο ν µε αν και διαβάζεται «α µε
δείκτη ν».
Οι τιµές α1, α2, α3 κτλ. λέγονται κατά σειρά πρώτος όρος, δεύτερος όρος, τρίτος όρος κτλ. της
ακολουθίας.
Ο αν λέγεται νιοστός ή γενικός όρος της ακολουθίας. Μια ακολουθία ορίζεται πλήρως αν
γνωρίζουµε τον νιοστό όρο της.
Αφού το πεδίο ορισµού µιας ακολουθίας είναι το N∗ η γραφική της παράσταση αποτελείται από
σηµεία µε τετµηµένες θετικούς ακέραιους αριθµούς.
Μια ακολουθία ορίζεται αν γνωρίζουµε έναν αναδροµικό τύπο της (δηλαδή µια σχέση που να
προσδιορίζει την σύνδεση δύο ή περισσότερων διαδοχικών όρων της ) και όσους αρχικούς όρους
µας χρειάζονται, ώστε ο αναδροµικός τύπος να αρχίσει να δίνει όρους
15. Να δώσετε τον ορισµό της αριθµητικής προόδου και να αποδείξετε τον τύπο που υπολογίζει
τον νιοστό της όρο, αν είναι γνωστοί ο πρώτος της όρος και η διαφορά της.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Μια ακολουθία ονοµάζεται αριθµητική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του
µε την πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.
∆ηλαδή : αν+1 = αν +ω για κάθε ν∈N*
ΑΛΓΕΒΡΑ
Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ
8
Όπου ο αριθµός ω= αν+1 - αν ονοµάζεται διαφορά της προόδου.
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Από τον ορισµό της αριθµητικής προόδου έχουµε τις παρακάτω ισότητες:
Προσθέτοντας κατά µέλη της ν αυτές ισότητες και εφαρµόζοντας την ιδιότητα της διαγραφής
βρίσκουµε αν = α1 + (ν-1)ω
16.
Να αποδείξετε ότι: οι αριθµοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου αν και µόνο
αν ισχύει 2β=α+γ. Πώς ονοµάζεται ο αριθµός β;
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Αν πάρουµε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ µιας αριθµητικής προόδου µε διαφορά ω, τότε:
⎧β = α + ω⎫
⎬⇔
⎩ γ = β + ω⎭
α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου ⇔ ⎨
⎧β = α + ω⎫
⎨
⎬⇔
⎩β + ω = γ ⎭
⇔ β +β + ω = α + ω + γ ⇔ 2β = α + γ
ΣΧΟΛΙΟ
Ο β λέγεται αριθµητικός µέσος των α και γ
17.
Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των ν πρώτων όρων µιας αριθµητικής προόδου δίνεται από
ν
ν
τις σχέσεις α) Sν= ⋅ (α1+αν) β) Sν = ⋅ [2α1+(ν-1)ω]
2
2
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
α) Έχουµε: Sν = α1 + (α1 + ω) + (α1 + 2ω) + … + (αν – 2ω) + (αν – ω) + αν
και
Sν = αν + (αν – ω) + (αν – 2ω) + … + (α1 + 2ω) + (α1 + ω) + α1
ΑΛΓΕΒΡΑ
9
Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ
και προσθέτοντας κατά µέλη τις παραπάνω ισότητες προκύπτει:
2⋅ Sν = (α1 + αν) + (α1 + αν) + … +(α1 + αν) + (α1 + αν) ⇒
2⋅ Sν = ν⋅ (α1 + αν) ⇒ Sν=
ν
⋅ (α1+αν)
2
β) Eπειδή ο νιοστός όρος µιας αριθµητικής προόδου είναι: αν = α1 + (ν –1)ω, τότε το παραπάνω
άθροισµα γράφεται:
Sν =
ν
ν
ν
ν
⋅(α1+αν) =
⋅[α1+ α1 + (ν–1)ω ] = ⋅[2α1 + (ν–1)ω ] άρα Sν = ⋅ [2α1+(ν-1)ω]
2
2
2
2
18. Να δώσετε τον ορισµό της γεωµετρικής προόδου και να αποδείξετε τον τύπο που υπολογίζει
τον νιοστό της όρο, αν είναι γνωστοί ο πρώτος της όρος και ο λόγος της.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Μια ακολουθία ονοµάζεται γεωµετρική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του
µε πολλαπλασιασµό επί τον ίδιο πάντοτε µη µηδενικού αριθµό.
∆ηλαδή : αν+1 = αν ⋅ λ για κάθε ν∈N* και α1 ≠ 0
Ο αριθµός λ =
α ν +1
ονοµάζεται λόγος της προόδου.
αν
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Από τον ορισµό της γεωµετρικής προόδου έχουµε τις παρακάτω ισότητες:
Πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη τις ν αυτές ισότητες και εφαρµόζοντας την ιδιότητα της
διαγραφής, βρίσκουµε αν = α1 ⋅λν-1
19. Να αποδείξετε ότι: τρεις µη µηδενικοί αριθµοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής
προόδου, αν και µόνο αν ισχύει β 2 = α⋅γ.
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Αν πάρουµε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ µιας γεωµετρικής προόδου µε λόγο λ, τότε:
ΑΛΓΕΒΡΑ
Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ
10
⎧β = α ⋅ λ ⎫
⎧β = α ⋅ λ ⎫
⎬ ⇔ ⎨
⎬⇔
⎩γ = β ⋅ λ ⎭
⎩β ⋅ λ = γ ⎭
α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου ⇔ ⎨
⇔ β⋅β⋅λ = α ⋅λ⋅ γ ⇔ β2 = α⋅γ
ΣΧΟΛΙΟ
Ο θετικός αριθµός
20.
αγ λέγεται γεωµετρικός µέσος των α και γ
Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των ν όρων µιας γεωµετρικής προόδου (αν) µε λόγο λ ≠1 είναι
λν − 1
Sν=α1 ⋅
λ −1
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Έστω Sν = α1 + α1λ + α1λ2 + … + α1λν -1
(1)
Πολλαπλασιάζουµε τα µέλη της (1) µε τον λόγο λ και έχουµε:
λ⋅ Sν = α1 λ + α1λ2 + α1λ3 + … + α1λν
(2)
αφαιρούµε από τα µέλη της (2) τα µέλη της (1) και έχουµε:
λ⋅ Sν – Sν = α1λν – α1 ⇒ (λ – 1)⋅ Sν = α1 (λν – 1) ⇒ Sν = α1 ⋅
λν − 1
για λ ≠ 1
λ −1
ΣΧΟΛΙΟ
Στην περίπτωση που ο λόγος της προόδου είναι λ = 1, τότε το άθροισµα των όρων της είναι
Sv = ν · α1 αφού όλοι οι όροι της προόδου είναι ίσοι µε α1.
21. Nα δώσετε τον ορισµό της εκθετικής συνάρτησης µε βάση ένα θετικό αριθµό α, να αναφέρετε
το πεδίο ορισµού της και το σύνολο τιµών της και να γράψετε το είδος της µονοτονίας της για
τις διάφορες τιµές του θετικού αριθµού α.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Έστω α > 0 µε α ≠ 1. Ονοµάζουµε εκθετική συνάρτηση µε βάση α την συνάρτηση f(x) = αx.
ΣΧΟΛΙΟ
Αν α = 1, τότε έχουµε την σταθερή συνάρτηση f(x) = 1x = 1.
Για την εκθετική συνάρτηση f(x) = αx έχουµε ότι:
ΑΛΓΕΒΡΑ
Αν α > 1
•
•
•
Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ
11
Αν 0 < α < 1
Έχει πεδίο ορισµού Α = Â.
Έχει σύνολο τιµών f(Α) = (0, +∞)
Είναι γνησίως αύξουσα στο Ρ δηλαδή
ισχύει η συνεπαγωγή
x
x
Αν x1 < x2 τότε α 1 < α 2
•
•
•
Έχει πεδίο ορισµού Α = Â.
Έχει σύνολο τιµών f(Α) = (0, +∞)
Είναι γνησίως φθίνουσα στο Ρ δηλαδή
ισχύει η συνεπαγωγή
Αν x1 < x2 τότε
αx1 > αx2
Η γραφική της παράσταση είναι:
Η γραφική της παράσταση είναι:
η οποία τέµνει τον άξονα yy΄ στο σηµείο (0, 1)
και έχει ασύµπτωτη τον αρνητικό ηµιάξονα Οx΄
η οποία τέµνει τον άξονα yy΄ στο σηµείο (0, 1) και
έχει ασύµπτωτη τον θετικό ηµιάξονα Οx.
22. Να διατυπώσετε τον νόµο της εκθετικής µεταβολής.
Τι ονοµάζεται ηµιζωή ή χρόνος
υποδιπλασιασµού µιας ραδιενεργής ουσίας;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Ο νόµος της εκθετικής µεταβολής εκφράζεται από µια εκθετική συνάρτηση Q(t) µε τύπο:
Q(t) = Qo· ect
Όπου Qo είναι η αρχική τιµή του Q ( για t = 0)
Και c µια σταθερά για την οποία:
Αν c > 0 η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Αν c < 0 η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα
23. Έστω α > 0 , α ≠ 1 και θ >0.
Να δώσετε τον ορισµό του λογαρίθµου θ µε βάση τον πραγµατικό
αριθµό α.; Ποια είδη λογαρίθµων γνωρίζετε και πως συµβολίζονται;
ΑΛΓΕΒΡΑ
Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ
12
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Αν α > 0 , α ≠ 1 και θ >0 , τότε η εξίσωση αx = θ έχει µοναδική λύση. Την µοναδική αυτή λύση την
συµβολίζουµε µε logαθ και την ονοµάζουµε λογάριθµο του θ µε βάση α.
∆ηλαδή ισχύει:
Αν α > 0 , α ≠ 1 και θ >0 τότε αx = θ ⇔ x = logαθ ⇔ α
log α θ
=θ
Είδη λογαρίθµων
•
•
•
∆εκαδικοί λογάριθµοι, έχουν βάση το 10 και συµβολίζονται µε logθ
Φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθµοι, έχουν βάση τον αριθµό e και συµβολίζονται µε lnθ
Λογάριθµοι µε βάση α > 0 και α ≠ 1 και διαφορετικό µε των αριθµών 10 και e
24. Αν α > 0
και α ≠ 1 αποδείξετε ότι logα1 = 0 και logαα = 1
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Έστω: logα1 = x ⇔ α x = 1 ⇔ α x = α ο ⇔ x = 0
Εποµένως είναι logα1 = 0
Έστω: logαα = y ⇔ α y = α ⇔ α y = α 1 ⇔ y = 1
Εποµένως είναι logαα = 1
ΣΧΟΛΙΟ
Για τους φυσικούς λογάριθµους ισχύουν:
• ex = θ ⇔ x = lnθ ⇔ e lnθ = θ
• ln1 = 0
• lne = 1
25. Αν α > 0 , α ≠ 1 και θ1, θ2 > 0 να αποδείξετε ότι:
logα(θ1·θ2) = logαθ1 + logαθ2
ΑΛΓΕΒΡΑ
Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ
13
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Έστω ότι είναι: logαθ1 = x και logαθ2 = y, τότε ισοδύναµα έχουµε
⎧ log α θ1 = x ⎫
⎨
⎬⇔
⎩log α θ 2 = y ⎭
⎧ α x = θ1 ⎫
⎨ y
⎬
⎩α = θ 2 ⎭
και πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη έχουµε:
αx1·αx2 = θ1θ2 ⇔ αx1+x2 = θ1θ2 ⇔ logα(θ1θ2) = x1 + x2 ⇔ logα(θ1θ2) = logαθ1 + logαθ2
26. Αν α > 0 , α ≠ 1 και θ1, θ2, > 0 να αποδείξετε ότι:
logα
θ1
θ2
= logαθ1
- logαθ2
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Έστω ότι είναι: logαθ1 = x και logαθ2 = y, τότε ισοδύναµα έχουµε:
⎧ log α θ1 = x ⎫
⎨
⎬⇔
⎩log α θ 2 = y ⎭
⎧ α x = θ1 ⎫
⎨ y
⎬
⎩α = θ 2 ⎭
και διαιρώντας κατά µέλη έχουµε:
αx1 : αx2 = θ1: θ2 ⇔ αx1- x2 = θ1 : θ2 ⇔ logα(θ1:θ2) = x1 - x2 ⇔ logα
27. Αν α > 0 , α ≠ 1 και θ > 0 και κ ∈ Á να αποδείξετε ότι:
θ1
= logαθ1 - logαθ2
θ2
logαθκ = κ·logαθ
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Αν ονοµάσουµε : logαθ = x έχουµε ισοδύναµα:
logαθ = x ⇔ αx = θ ⇔ αkx = θk ⇔ k⋅x = logαθk ⇔ logαθk = k·logαθ
28. Να αποδείξετε ότι για κάθε θ > 0 ισχύει: logα ν θ
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ
Επειδή για κάθε θ > 0 ισχύει
logα θ = logα
ν
ΣΧΟΛΙΟ
1
ν
θ
=
ν
1
⋅ logαθ
ν
θ =
1
ν
θ
, έχουµε:
=
1
⋅ logαθ
ν
ΑΛΓΕΒΡΑ
Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ
14
Αν και οι χρησιµοποιούµενες βάσεις των λογαρίθµων είναι συνήθως το 10 και το e, εντούτοις
µερικές φορές απαιτείται να υπολογίσουµε λογάριθµους µε άλλη βάση. Ο υπολογισµός αυτός
µπορεί να γίνει µε τον ακόλουθο τύπο, που είναι γνωστός ως τύπος αλλαγής βάσης των
λογαρίθµων.
Αν α, β > 0, µε α, β ≠ 1 τότε για κάθε θ > 0 ισχύει:
logβθ =
log α θ
log α β
Ειδικά για την µετατροπή ενός λογαρίθµου σε φυσικό ισχύει: logβθ =
ln θ
ln β
29. Έστω α > 0, α ≠ 1, τι ονοµάζεται λογαριθµική συνάρτηση µε βάση τον αριθµό α;
Να
αναφέρετε το πεδίο ορισµού της και το σύνολο τιµών της και να γράψετε το είδος της
µονοτονίας της για τις διάφορες τιµές του θετικού αριθµού α.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Έστω α > 0, α ≠ 1 Η συνάρτηση f : (0, +∞)→ Â µε f(x) = logαx ονοµάζεται λογαριθµική συνάρτηση µε
βάση α.
Αν α > 1 τότε η συνάρτηση
f(x) = logαx έχει:
• Πεδίο ορισµού Α = (0, +∞)
• Σύνολο τιµών f(A) = Â
• Είναι γνησίως αύξουσα, δηλαδή αν x1
< x2 τότε logαx1 < logαx2
• Έχει γραφική παράσταση
Που τέµνει τον xx΄ στο σηµείο Α(1, 0) και έχει
ασύµπτωτη τον ηµιάξονα Οy΄
Αν 0 < α <1 τότε η συνάρτηση
f(x) = logαx έχει:
• Πεδίο ορισµού Α = (0, +∞)
• Σύνολο τιµών f(A) = Â
• Είναι γνησίως φθίνουσα, δηλαδή αν x1 < x2
τότε logαx1 < logαx2
• Έχει γραφική παράσταση
Που τέµνει τον xx΄ στο σηµείο Α(1, 0) και έχει
ασύµπτωτη τον ηµιάξονα Οy
ΣΧΟΛΙΑ
• Ισχύει η ισοδυναµία: logαx1 = logαx2 ⇔ x1 = x2
• Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = logαx και y = αx είναι συµµετρικές ως προς την
ευθεία που διχοτοµεί τις γωνίες xOy και x΄Οy΄

Download Report