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Cap.11_par.04_Leggi di Keplero - Liceo Classico Psicopedagogico

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4. IL MOTO DEI SATELLITI
11
LA GRAVITAZIONE
LA DEDUZIONE DELLE LEGGI DI KEPLERO
Le tre leggi di Keplero sono state ricavate come leggi sperimentali, ma sono ora comprese come una conseguenza dei princìpi della dinamica e della legge di gravitazione
universale.
La prima legge di Keplero
Consideriamo un pianeta su cui agisce la forza di gravitazione universale esercitata
da un corpo celeste molto più massivo.
Partendo da Fv ϭ m a si dimostra matematicamente che, in questa condizione,
valgono due proprietà:
1. la traiettoria descritta dal pianeta può essere soltanto un’ellisse, una
parabola o un’iperbole;
2. le traiettorie chiuse, lungo cui il pianeta orbita attorno alla stella, hanno
soltanto la forma di ellisse (o di circonferenze come caso particolare).
La prima legge di Keplero è quindi spiegata dalle proprietà matematiche della legge
di gravitazione universale, in particolare dal fatto che questa forza decresce con il
quadrato della distanza.
La seconda legge di Keplero
Si può anche dimostrare che
la seconda legge di Keplero è una conseguenza della conservazione del
momento angolare.
vA
rP
P
rA
A
vP
Per esempio, consideriamo la
Terra quando si trova nel punto
di perielio P (cioè alla minima distanza dal Sole) e nel punto di
afelio A (cioè alla massima distanza dal Sole). Come si vede
dalla figura 1, in questi due punti
il vettore velocità è perpendicolare al raggio vettore, per cui il modulo del momento angolare è dato dalla formula
L ϭ MT rv.
Momento angolare
Stiamo parlando del momento
angolare della Terra (pensata
come punto materiale)
calcolato rispetto al centro del
Sole.
MT è la massa della Terra:
MT ϭ 5,98 ϫ 10 24 kg.
Per il momento angolare
vedi l'approfondimento web
«Il momento angolare e il
momento dínerzia».
Figura 1 Vettori velocità di un
pianeta al perielio e all’afelio.
(1)
Gli astronomi hanno misurato i seguenti valori:
1
Copyright © 2012 Zanichelli editore S.p.A. , Bologna [5913der]
Questo file è un’estensione online del corso Amaldi, Le traiettorie della fisica.azzurro © Zanichelli 2012
4. IL MOTO DEI SATELLITI
11
LA GRAVITAZIONE
Dati astronomici
Afelio
Perielio
Distanza dal Sole
rA ϭ 1,52 ϫ 10 m
rP ϭ 1,47 ϫ 1011 m
Velocità
vA ϭ 2,93 ϫ 104 m/s
vP ϭ 3,03 ϫ 104 m/s
11
Da questi possiamo calcolare, usando la formula (1), il valore del momento angolare
LA all’afelio e di quello LP al perielio:
L A = M T rA v A = ^5,98 # 10 24 kgh # ^1,52 # 10 11 m h # ^2,93 # 10 4 m/sh =
= 2,66 # 10 40 J # s.
L P = M T rP v P = ^ 5,98 # 10 24 kg h # ^ 1,47 # 10 11 m h # ^ 3,03 # 10 4 m/s h =
= 2,66 # 10 40 J # s.
Come si vede, i due valori del momento angolare sono uguali. Quindi, come previsto dalla seconda legge di Keplero, all’afelio la Terra è più lenta e al perielio è più
veloce; questo cambiamento di velocità è proprio quello che permette di conservare
il momento angolare.
La terza legge di Keplero
Periodo T
Nel moto circolare uniforme vale la relazione
v=
Il simbolo T indica il periodo
del satellite che orbita attorno
al pianeta o del pianeta che
orbita attorno a una stella.
2␲ R
.
T
Sostituendo questa formula nell’espressione (6) del capitolo «La gravitazione», otteniamo la relazione:
G
M 4␲ 2 R 2
,
=
R
T2
che possiamo riscrivere come:
R 3 GM
=
.
T 2 4␲ 2
(2)
Al membro di destra di questa uguaglianza compaiono soltanto quantità costanti:
G è una costante fisica universale, la massa M non varia nel tempo e 4␲2 è una coR3
stante matematica. Quindi il rapporto 2 è costante e la terza legge di Keplero è
T
verificata:
le proprietà della legge di gravitazione universale spiegano la terza legge di
Keplero.
Si dimostra che questa affermazione è vera nel caso generale delle orbite ellittiche, e
non soltanto nel caso semplice di orbita circolare in cui abbiamo potuto verificarla.
2
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Questo file è un’estensione online del corso Amaldi, Le traiettorie della fisica.azzurro © Zanichelli 2012
4. IL MOTO DEI SATELLITI
11
LA GRAVITAZIONE
ESERCIZI
DOMANDE SUI CONCETTI
1
La distanza tra Marte e il Sole nel punto di afelio e nel punto di perielio è rispettivamente di 2,46 ϫ 1011 m e
2,05 ϫ 1011 m.
᭤ Calcola il rapporto tra le velocità del pianeta nei punti di afelio e di perielio.
᭤ Quando la velocità è maggiore? Perché?
[0,83]
2
PROBLEMA SVOLTO
h
᭤ Calcola l’altezza, rispetto alla superficie terrestre,
dell’orbita di un satellite geostazionario.
Grandezze
Dati
Incognite
24
M = 5,98 × 10 kg
RT = 6,38 × 106 m
h=?
Simboli
Valori
R
RT
Commenti
Massa della Terra
M
5,98 ϫ 1024 kg
Raggio terrestre
RT
6,38 ϫ 106 m
Altezza del satellite geostazionario
rispetto al suolo
h
?
Strategia e soluzione
• Prima di tutto occorre esprimere in secondi il periodo T del satellite stazionario, che è uguale a 24 h.
Otteniamo:
min
s
4
T = ^24 hh # c 60
k = 8,64 # 10 s.
m # a 60
h
min
• Isoliamo R3 nella formula (2), che si può riscrivere come:
GM 2
R3 =
T .
4␲ 2
• Dalla formula precedente possiamo ricavare la distanza R tra il satellite geostazionario e il centro
della Terra:
R=3 G
2
5,98 # 10 24 kg # ^8,64 # 10 4 sh2
MT 2 3
-11 Nm
6
67
10
,
=
#
#
= 4,22 # 10 7 m.
39,48
kg 2
4␲ 2
• Infine, l’altezza h cercata è la differenza tra il valore di R e il raggio terrestre:
h ϭ R Ϫ RT ϭ (42,2 ϫ 106 Ϫ 6,38 ϫ 106) m ϭ 35,8 ϫ 106 m.
Discussione
Nella teoria abbiamo affermato che i satelliti geostazionari orbitano a 35 800 km sopra la superficie terrestre. Il calcolo che abbiamo svolto conferma questo dato.
3
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4. IL MOTO DEI SATELLITI
3
La velocità di Marte all’afelio è 21 972 m/s, mentre al perielio è 26 449 m/s. Consulta la tabella in
fondo al libro per conoscere la massa di Marte e
usa i dati dell’esercizio 1.
4
᭤ Verifica la conservazione del momento angolare di Marte calcolato rispetto al centro del Sole,
da cui si può ricavare la seconda legge di Keplero.
11
Con buona approssimazione l’orbita ellittica descritta dalla Terra intorno al Sole si può trattare
come se fosse una circonferenza di raggio
1,49 ϫ 1011 m. La Terra impiega 365,26 d per
completare un’orbita intorno al Sole.
᭤ Con questi dati, calcola la massa del Sole.
[1,97 ϫ 1030 kg]
4
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LA GRAVITAZIONE
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