1
Note per il corso di Scienza delle Costruzioni II Fabrizio Davì [Nome autore] 2
Illustrazione di copertina:
Manoscritto autografo di Isaac Newton sulle leggi della dinamica.
Cambridge Digital Library (http://cudl.lib.cam.ac.uk)
Queste note sono state interamente redatte dall’autore con il LaTex Document Preparation System,
utilizzando un MacBookPro 15 Retina, OSX.9.4.
Queste note sono disponibili on-line all’indirizzo: www.fabriziodavi.xoom.it/davihomepage.html.
Tutti i diritti riservati. Sono vietate la riproduzione e la diffusione, anche parziali, senza l’esplicita
autorizzazione da parte dell’autore.
Note per il corso di
Scienza delle Costruzioni II
Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Civile
Fabrizio Dav´ı
Dipartimento di Ingegneria Civile, Edile ed Architettura,
Universit´a Politecnica delle Marche
Ancona
Versione 1.1
4 novembre 2014
ii
Introduzione
Queste note di Scienza delle Costruzioni II non hanno la pretesa di essere una
dispensa o tantomeno un libro. Gli studenti sono caldamente invitati a studiare
su di uno dei testi di riferimento indicati in bibliografia o tra testi equivalenti tra
i molti reperibili in commercio. Lo scopo di queste note ´e quello di fornire agli
studenti una traccia sintetica degli argomenti svolti a lezione, corredata laddove
possibile da esempi significativi di applicazione della teoria.
Le due parti pi´
u importanti di queste note riguardano la Dinamica e la
Plasticit´
a ed hanno lo scopo di fornire i fondamenti teorici delle nozioni di
dinamica e di calcolo a rottura presenti nella vigente normativa tecnica e trattati
con ampio dettaglio nei corsi di Tecnica delle Costruzioni.
La parte di dinamica ´e sostanzialmente basata sulle lezioni impartitemi da
Paolo Podio Guidugli all’Universit´
a di Pisa nel corso di ”Dinamica delle Strutture” del 1982 e su quelle da me tenute nei corsi di Meccanica Razionale a Cassino,
Ancona e Roma Tor Vergata, queste ultime come collaboratore di Emanuele di
Benedetto. Ad ambedue va tutta la mia gratitudine umana e scientifica per
quello che mi hanno insegnato e sopratutto per come me lo hanno insegnato.
La parte di plasticit´
a ´e invece basata sulle lezioni che ho tenuto quando nel
1992 presi servizio ad Ancona come titolare di un corso dall’improbabile nome
di ”Calcolo Anelastico e a Rottura delle Strutture”, lezioni basate sui due testi
fondamentali di Hill e Lubliner.
Queste note sono un lavoro in progress ed al momento non hanno una
struttura definitiva: i lettori sono pregati di segnalare ogni errore od inconsistenza rilevate nel testo, o di suggerire qualsiasi modifica atta a renderle pi´
u
comprensibili.
Fabrizio Dav´ı, Ancona, 2014.
iii
iv
INTRODUZIONE
Indice
Introduzione
iii
I
1
Complementi di Elasticit´
a Lineare
1 Materiali anisotropi
1.1 Materiali iperelastici lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Simmetrie materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
2 Vincoli interni in elasticit´
a lineare
2.1 Vincoli semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Vincoli multipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
10
3 Principi variazionali misti
3.1 Il principio di Hellinger-Prange-Reissner . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Il principio di Hellinger-Prange-Reissner per sistemi di travi
3.2 Il principio di Hu-Washizu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Il principio di Hu-Washizu per sistemi di travi . . . . . .
13
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4 Il metodo delle deformazioni
17
4.1 Un richiamo: il Metodo delle Forze . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Strutture cinematicamente indeterminate . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 La matrice delle rigidezze dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II
Dinamica
31
5 Sistemi discreti
5.1 Sistemi a 1 grado di libert´a . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Forze costanti ed elastiche: l’oscillatore semplice
5.1.2 Il caso dissipativo: smorzamento viscoso . . . . .
5.1.3 Sistemi non lineari. Linearizzazione . . . . . . .
5.2 Sistemi a N gradi di libert´a: problemi di autovalori . . .
5.2.1 L’equazione omogenea: modi e frequenze proprie
5.2.2 La soluzione particolare: analisi modale . . . . .
v
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INDICE
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53
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63
63
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6 Sistemi continui
6.1 Fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Soluzioni in forma d’onda . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Soluzioni a variabili separabili . . . . . . . . . .
6.1.3 Moto forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Soluzioni in forma d’onda . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Soluzioni a variabili separabili . . . . . . . . . .
6.3 Travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Travi di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Piastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Piastre di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Lo stato piano di deformazione. La soluzione di
6.4.3 Deformazioni flessionali . . . . . . . . . . . . .
6.4.4 Le condizioni al contorno di Kirchhoff . . . . .
6.4.5 Soluzioni statiche . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.6 Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Airy
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69
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78
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89
93
97
97
101
102
103
104
108
7 Problemi di autovalori in dinamica
7.1 Formulazione forte di un’equazione differenziale .
7.2 Formulazione debole di un’equazione differenziale
7.3 Soluzioni approssimate . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Il metodo di Rayleight . . . . . . . . . . .
7.3.2 Il metodo di Rayleight-Ritz . . . . . . . .
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113
113
120
120
121
5.3
5.4
III
5.2.3 Sistemi smorzati . . . . . . . . . . . .
Carattere variazionale delle frequenze proprie
5.3.1 Problemi di minimo vincolato . . . . .
5.3.2 Il quoziente di Rayleight . . . . . . . .
Metodi di soluzione approssimati . . . . . . .
5.4.1 Il metodo di Stodola . . . . . . . . . .
5.4.2 Il metodo di Holtzer . . . . . . . . . .
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Plasticit´
a
8 Materiali inelastici
8.1 Materiali con variabili interne . . . . . . .
8.1.1 Termodinamica . . . . . . . . . . .
8.1.2 Leggi e potenziali di flusso . . . . .
8.1.3 Viscoplasticit´a con variabili interne
8.1.4 Plasticit´a ”Rate-independent” . . .
125
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127
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131
INDICE
vii
9 Materiali Elasto-Plastici
9.1 Generalit´
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Superfici di snervamento . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Superfici di snervamento indipendenti da ι1 (T)
9.2.2 Superfici di snervamento dipendenti da ι1 (T) .
9.3 Materiali elasto-plastici perfetti . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Velocit´
a di deformazione . . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Relazioni Costitutive . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Materiali elasto-plastici incrudenti . . . . . . . . . . .
9.4.1 Incrudimento isotropo . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Incrudimento cinematico . . . . . . . . . . . . .
9.5 Materiali Rigido-Plastici . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 I teoremi dell’analisi limite . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.1 Teorema Statico (Lower Bound theorem) . . .
9.6.2 Teorema Cinematico (Upper Bound theorem) .
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146
149
149
150
10 Caratteristiche di sollecitazione
10.1 Stati di tensione monoassiali . . .
10.1.1 Forza Normale . . . . . .
10.1.2 Flessione semplice . . . .
10.1.3 Forza normale eccentrica .
10.2 Stati di tensione biassiali . . . . .
10.2.1 Torsione . . . . . . . . . .
10.2.2 Flessione e Taglio . . . . .
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153
153
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158
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11 Analisi Limite e calcolo a rottura
163
11.1 Il teorema Cinematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.2 Il teorema Statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.3 Il Calcolo a Rottura e la ”gerarchia delle resistenze” . . . . . . . 173
IV
Stabilit´
a
177
12 Sistemi discreti
179
12.1 Sistemi ad un grado di libert´a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
12.2 Sistemi linearizzati ad n gradi di libert´a . . . . . . . . . . . . . . 181
12.3 Instabilit´
a di seconda specie: ”snap-through instability” . . . . . 183
13 Sistemi continui
13.1 Un richiamo: il carico critico Euleriano . . . . . . . .
13.2 Formulazione energetica . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1 Deformazioni finite . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2 Teoria infinitesima: il quoziente di Rayleight
13.3 L’instabilit´
a flesso-torsionale . . . . . . . . . . . . . .
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189
191
191
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193
viii
V
INDICE
Appendici
A Cenni di Geometria Differenziale
A.1 Curve in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Superfici in R3 . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.1 Componenti. Gradiente e divergenza
A.2.2 Superficie in forma esplicita . . . . .
197
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199
199
201
203
204
B Equazioni differenziali alle derivate parziali
B.1 Classificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Soluzioni a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.1 Esempio - un problema ellittico: l’equazione di Laplace .
B.2.2 Esempio - un problema iperbolico: l’equazione delle onde
B.2.3 Esempio - un problema parabolico: l’equazione del calore
B.3 Metodi Approssimati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.1 Differenze finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.2 Metodo di Gal¨erkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.3 Metodo di Faedo-Gal¨erkin . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207
207
209
210
211
213
214
214
217
218
Bibliografia
221
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Parte I
Complementi di Elasticit´
a
Lineare
1
Capitolo 1
Materiali anisotropi
1.1
Materiali iperelastici lineari
Un materiale per il quale esiste una densit´a di energia potenziale elastica Sym 3
E 7→ ϕ(E) ∈ R+ si dice iperelastico e la relazione costitutiva ´e data dalla:
T = C[E] ,
C = CT ,
(1.1)
dove il tensore del quarto ordine C : Sym → Sym ´e detto Tensore di Elasticit´
a.
In componenti abbiamo:
Tij = Cijhk Ehk ,
Cijhk = Cjihk = Cijkh = Chkij .
e le 21 componenti indipendenti di C, sono dette Moduli Elastici. Il tensore di
elasticit´
a deve rispettare le restrizioni a-priori:
• Invertibilit´
a: esiste il Tensore delle Cedevolezze K = C−1 tale che:
E = K[T] .
(1.2)
• Forte ellitticit´
a:
C[a ⊗ b] · [a ⊗ b] > 0
∀a ⊗ b ∈ Lin .
(1.3)
• Definita positivit´
a:
C[A] · A > 0 ,
∀A ∈ Sym .
La matrice associata al tensore di elasticit´a in

C1111 C1122 C1133 C1112

·
C2222 C2233 C2212


·
·
C3333 C3312

[C] ≡ 
·
·
·
C1212


·
·
·
·
·
·
·
·
3
(1.4)
un riferimento ortonormale ´e:

C1113 C1123
C2213 C2223 

C3313 C3323 
.
(1.5)
C1213 C1223 

C1313 C1323 
·
C2323
4
CAPITOLO 1. MATERIALI ANISOTROPI
1.2
Simmetrie materiali
Per un materiale elastico lineare definiamo Gruppo delle Simmetrie Materiali in
un punto x ∈ B il sottogruppo G ⊆ Rot tale che:
Gx ≡ {Q ∈ Rot |QC[E]QT = C[QEQT ] ,
∀E ∈ Sym} ;
(1.6)
per una materiale descritto dalla (1.1) abbiamo due possibili problemi:
• Problema di rappresentazione: Assegnato il gruppo delle simmetrie materiali Gx , determinarne l’associato tensore di elasticit´a C.
• Problema di classificazione: Assegnato un tensore di elasticit´a C, determinare il corrispondente gruppo delle simmetrie materiali Gx .
A tale scopo, per Q ∈ Rot introduciamo il Coniugatore ortogonale Q 7→
Q(Q), ovvero il tensore del quarto ordine tale che:
Q[A] = QAQT ,
∀A ∈ Lin ;
(1.7)
mediante il coniugatore ortogonale possiamo riscrivere la definizione di gruppo
di simmetria:
Gx ≡ {Q ∈ Rot | QC[E] = CQ[E] ,
∀E ∈ Sym} .
(1.8)
Poich´e due tensori commutano se hanno i medesimi autospazi, i problemi di
rappresentazione e classificazione si riducono quindi alla determinazione degli
autospazi associati a Q e C rispettivamente.
Il problema ´e risolto per tutti gli 11 gruppi di simmetria corrispondenti alle
32 classi cristallografiche. Riportiamo di seguito la rappresentazioni tabulare
del tensore di elasticit´
a C relativa ad alcuni gruppi di interesse per la meccanica
delle strutture.
Gruppo Triclino
Il gruppo di simmetria Triclino contiene un solo elemento, Gx = {±I }, il tensore
di elasticit´
a possiede 21 componenti indipendenti e la sua rappresentazione ´e la
(1.5).
Gruppo Monoclino
Il gruppo di simmetria Monoclino comprende due classi cristallografiche e contiene due elementi, Gx = {±I , Qπ3 }, dove
Qπ3 = 2e3 ⊗ e3 − I ,
´e una rotazione di ampiezza π intorno alla direzione e3 . Il corrispondente tensore
di elasticit´
a possiede 13 componenti indipendenti e la sua rappresentazione ´e,
1.2. SIMMETRIE MATERIALI
per ambedue le classi cristallografiche:

C1111 C1122 C1133

·
C2222 C2233


·
·
C3333
[C] ≡ 

·
·
·


·
·
·
·
·
·
5
C1112
C2212
C3312
C1212
·
·

0
0
0
0
0
0
0
0
C1313
·
C1323
C2323



.



(1.9)
Osservazione 1 Asse di Simmetria: Un materiale possiede un’asse di simmetria e, se Qe = e per alcuni Q ∈ Gx , Q 6= I; ne consegue che un materiale
possiede un’asse di simmetria se e solo se almeno uno degli elementi del gruppo
di simmetria ´e una rotazione di un’angolo ϕ intorni ad e per qualche ϕ ∈ (0 , 2π).
Osservazione 2 Materiali Ortotropi: Un materiale si dice Ortotropo se ha come elementi del gruppo di simmetria le riflessioni rispetto a tre piani ortogonali,
ovvero le rotazioni di π intorno alle tre direzioni ortogonali ai piani, ad esempio:
Qπk = 2ek ⊗ ek − I ,
k = 1, 2, 3 ,
(1.10)
poich´e:
Qπ2 = Qπ1 Qπ3 ,
il gruppo di simmetria di un materiale ortotropo ´e generato da tre elementi:
Gx = {±I , Qπ1 , Qπ3 } ,
(1.11)
ed il materiale possiede tre assi di simmetria coincidenti con le direzioni del
sistema di riferimento.
Gruppo Ortotropo-Romboedrale
Il gruppo di simmetria Ortotropo-Romboedrale ´e (1.11) ed
tensore di elasticit´
a ha 9 componenti indipendenti:

C1111 C1122 C1133
0
0
0

·
C
C
0
0
0
2222
2233


·
·
C3333
0
0
0
[C] ≡ 

·
·
·
C
0
0
1212


·
·
·
·
C1313
0
·
·
·
·
·
C2323
il corrispondente




.



(1.12)
Gruppo Ortotropo-Tetragonale
Il gruppo di simmetria Ortotropo-Romboedrale ´e generato, oltre che dalle riflessioni rispetto a tre piani ortogonali, anche dalle rotazioni di ampiezza π/2 intorno ad una delle direzioni normali ai piani diriflessione, ad esempio e3 : poich´e
π
(Q32 )2 = Qπ3 , il gruppo ´e generato dalle:
π
Gx = {±I , Qπ1 , Q32 } ,
(1.13)
6
CAPITOLO 1. MATERIALI ANISOTROPI
ed il tensore di elasticit´a possiede in questo caso 6 componenti indipendenti:


C1111 C1122 C1133
0
0
0

·
C1111 C1133
0
0
0 



·
·
C
0
0
0 
3333

.
(1.14)
[C] ≡ 
·
·
·
C1212
0
0 



·
·
·
·
C1313
0 
·
·
·
·
·
C1313
Gruppo Trasversalmente Isotropo
Il gruppo di simmetria Trasversalmente isotropo ´e generato dalle rotazioni di ampiezza ϕ ∈ (0 , 2π) intorno ad una direzione, ad esempio e3 ed il corrispondente
tensore di elasticit´
a possiede 5 componenti indipendenti:


C1111 C1122 C1133
0
0
0

·
C1111 C1133
0
0
0 



·
·
C
0
0
0 
3333

,
(1.15)
[C] ≡ 
·
·
·
C1212
0
0 




·
·
·
·
C1313
·
·
·
·
·
C1313
con la condizione:
2C1212 = C1111 − C1122 .
(1.16)
Capitolo 2
Vincoli interni in elasticit´
a
lineare
2.1
Vincoli semplici
Un vincolo interno in elasticit´
a lineare ´e una limitazione sulle possibili deformazioni infinitesime E ∈ Sym descritto dalla superficie So ∈ Sym:
So ≡ {E ∈ Sym | ϕ(E) = 0} ,
(2.1)
provvisto che la funzione ϕ : G ⊂ Sym → R verifichi:
• ϕ ∈ C 1 (G) ;
• il gradiente ∂E ϕ sia non nullo su So .
Consideriamo una traiettoria t 7→ E(t): la condizione che la traiettoria
appartenga superficie di vincolo ´e:
ϕ(E(t)) = 0 ,
ϕ = ϕ(E(t))
˙
= 0,
∀t ;
(2.2)
poich´e:
˙ = 0,
ϕ(E(t))
˙
= ∂E ϕ · E
∀t ,
(2.3)
ne discende che le velocit´
a di deformazioni compatibili con il vincolo sono
tangenti alla superficie di vincolo.
Sviluppando la funzione di vincolo E 7→ ϕ(E) nell’intorno di E = 0 abbiamo
che a meno di infinitesimi di ordine superiore si ha:
ϕ(E) = A · E ,
∂E ϕ = A ,
(2.4)
dove il tensore A ´e detto tensore di vincolo. Pertanto la superficie di vincolo So
´e un iperpiano nello spazio dei tensori simmetrici che rappresenta il sottospazio
delle deformazioni ammissibili So ⊂ Sym:
So ≡ {E ∈ Sym | A · E = 0} .
7
(2.5)
8
´ LINEARE
CAPITOLO 2. VINCOLI INTERNI IN ELASTICITA
Si definisce Reazione vincolare il tensore degli sforzi di Cauchy TR che mantiene la deformazione sulla superficie di vincolo. Un vincolo si dice liscio se la
potenza della reazione vincolare ´e nulla per ogni deformazione ammissibile:
˙ = 0,
TR · E
∀E ∈ So ;
(2.6)
dalla (2.3) e dalla (2.6) risulta che in un vincolo liscio la reazione vincolare ´e
proporzionale al tensore di vincolo:
TR = λA ,
λ ∈ R.
(2.7)
Il vincolo (2.5) induce una decomposizione additiva del tensore degli sforzi
in una parte reattiva TR , definita mediante la (2.7) ed una parte attiva TA
dipendente mediante il tensore di elasticit´a dalle deformazioni ammissibili:
T = TA + TR ,
TA = C[E] ,
E ∈ So ,
(2.8)
dovendo necessariamente aversi:
TA · A = 0 .
(2.9)
Per la (2.8)2 e la (2.9), necessariamente il tensore di elasticit´a di materiale
con vincoli interni deve rispettare la:
C[A] = 0 , ∀E ∈ So ;
(2.10)
questa peraltro non ´e l’unica restrizione che il vincolo induce sul materiale. Se
infatti definiamo il Gruppo di simmetria del vincolo:
M ≡ {Q ∈ Rot | QAQT = A } ,
(2.11)
ovvero la collezione delle rotazioni compatibili con il vincolo, si deve avere la
relazione di inclusione:
M ⊃ Gx .
(2.12)
Il significato di questa ultima restrizione pu´o essere reso chiaro mediante il
seguente esempio:
Esempio 1 : Materiali inestensibili in una direzione. Un materiale si dice
inestensibile in una direzione, ad esempio e3 se:
E33 = E · e3 ⊗ e3 = 0 ,
e pertanto il tensore di vincolo ´e
A = e3 ⊗ e3 .
La parte reattiva e quella attiva dello sforzo sono rispettivamente:
R
TR = T33
e3 ⊗ e3 ,
TA = C[E] ,
Ee3 ⊗ e3 = 0 ;
2.1. VINCOLI SEMPLICI
9
le restrizioni sulle componenti del tensore di elasticit´a forniscono per la (2.10):
Cij33 = C33ij = 0 .
Per quanto riguarda il gruppo di simmetria del vincolo M si ha:
Qe3 ⊗ e3 QT = Qe3 ⊗ Qe3 = e3 ⊗ e3 ,
e pertanto il gruppo di simmetria Gx del materiale deve possedere e3 come asse
di simmetria.
Necessariamente, un materiale inestensibile non pu´o essere isotropo e la mas´ a
sima simmetria possibile ´e l’isotropia trasversa con asse di anisotropia e3 . E
questo punto lecito chiedersi se esistano vincoli compatibili con l’isotropia: una
prima risposta viene dall’esempio successivo.
Esempio 2 : Materiali incomprimibili. Un materiale si dice incomprimibile se:
tr E = E · I = 0 ,
ed il corrispondente tensore di vincolo ´e
A = I;
lo spazio delle deformazioni ammissibili ´e quindi So ≡ Dev, il sottospazio dei
tensori deviatorici. La parte reattiva e quella attiva dello sforzo sono rispettivamente:
TR = −πI ,
TA = C[E] ,
E ∈ Dev ,
dove si ´e indicato con −π la pressione idrostatica come d’uso; le restrizioni sulle
componenti del tensore di elasticit´a forniscono per la (2.10):
C[I] = 0 .
Il gruppo di simmetria del vincolo coincide con tutto il gruppo delle rotazioni,
M ≡ Rot in quanto il tensore di vincolo ´e l’identit´a. Un materiale incomprimibile pu´
o quindi essere isotropo e la condizione (2.10) fornisce in questo
caso:
2µ + 3λ = 0 ,
con
TA = 2µ dev E ,
e l’espressione dello sforzo totale ´e:
T = −πI + 2µ dev E .
´ LINEARE
CAPITOLO 2. VINCOLI INTERNI IN ELASTICITA
10
2.2
Vincoli multipli
Nello spazio Sym dei tensori simmetrici sono possibili m vincoli con m ≤ 6,
provvisto che:
• se Sm ≡ {E ∈ Sym | ϕm (E) = 0} si abbia
C ≡ {{ϕ1 = 0} ∩ {ϕ2 = 0} . . . ∩ {ϕm = 0}} =
6 ∅;
• ϕm ∈ C 1 (G) ;
• il gradiente ∂E ϕm sia non nullo su Sm ;
• i tensori di vincolo Am siano linearmente indipendenti.
Per l’ultima condizione e per la (2.3) applicata a ciascuna superficie di
vincolo, la reazione vincolare per un vincolo liscio multiplo ´e data dalla:
TR = λk Ak ,
λk ∈ R , k = 1, . . . m ≤ 6 ,
(2.13)
e lo spazio delle deformazioni ammissibili ´e:
D ≡ { E ∈ Sym | E · Ak = 0 ,
k = 1, . . . m ≤ 6 } .
Le restrizioni sul tensore di elasticit´a risultano:
C[Ak ] = 0 ,
k = 1, . . . m ≤ 6 , ∀E ∈ D ,
(2.14)
mentre il gruppo di simmetria del vincolo ´e:
M ≡ {Q ∈ Rot | QAk QT = Ak ,
k = 1, . . . m ≤ 6 } ,
(2.15)
dovendo valere la (2.12).
Esempio 3 : Conservazione dell’ortogonalit´
a. Il vincolo di conservazione dell’ortogonalit´
a tra due direzioni e3 ed a, e3 · a = 0 implica che:
Ee3 · a = 0 ;
se poniamo a = αe1 +βe2 , la richiesta che il vincolo sia verificato per ogni scelta
di α , β ∈ R, equivale al vincolo doppio:
E13 = E23 = 0 ,
che corrisponde ai due tensori di vincolo
Aγ = sym(eγ ⊗ e3 ) ,
γ = 1, 2 .
Il sottospazio delle deformazioni ammissibili ´e:
D ≡ { E ∈ Sym | E · Aγ = 0 ,
γ = 1, 2 } ,
2.2. VINCOLI MULTIPLI
11
e le parti reattiva ed attiva del tensore degli sforzi sono:
R
R
TR = T13
(e1 ⊗ e3 + e3 ⊗ e1 ) + T23
(e2 ⊗ e3 + e3 ⊗ e2 ) ,
TA = C[E] ,
E ∈ D.
Le restrizioni sul tensore di elasticit´a in questo caso forniscono l’annullamento
delle seguenti componenti:
Cij13 = Cij23 = C13ij = C23ij = 0 ;
per quanto riguarda il gruppo di simmetria del vincolo M, osserviamo che:
Qa ⊗ e3 QT = Qa ⊗ Qe3 ;
ϕ
Se consideriamo le rotazioni Qϕ
3 , si ha Q3 e3 = e3 ed inoltre:
Qϕ
3 (αe1 + βe2 )
ϕ
= αQϕ
3 e1 + βQ3 e2 =
=
¯ 2;
(α cos ϕ − β sin ϕ)e1 + (α sin ϕ + β cos ϕ)e2 = α
¯ e1 + βe
se inoltre consideriamo le rotazioni di π intorno alla direzione e1 si ha:
Qπ1 e1 = e1 ,
Qπ1 e2 = −e2 ,
Qπ1 e3 = −e3 ,
e di conseguenza
¯ ⊗ e3 ,
Qπ1 a ⊗ Qπ1 e3 = −αe1 ⊗ e3 + βe2 ⊗ e3 = a
¯ · e3 = 0 ,
a
valendo un’analogo risultato per le rotazioni di π intorno alla direzione e2 .
Ne consegue che il gruppo di simmetria del vincolo M deve contenere questi
tre elementi:
M ≡ { Qπ1 , Qπ2 , Qϕ
3 };
poich´e il gruppo di simmetria materiale Gx ⊂ M, come nel caso dell’inestensibilit´
a il materiale non pu´
o essere isotropo e la massima simmetria compatibile
con il vincolo ´e l’isotropia trasversa.
Esempio 4 Conservazione della forma. Il vincolo di conservazione della forma
´e il secondo ed ultimo vincolo compatibile con l’isotropia: infatti lo si esprime
con la condizione:
dev E = 0 ,
che equivale ad un vincolo di dimensione m = 5. Il sottospazio delle deformazioni ammissibili ´e D ≡ Sph e la reazione vincolare ´e un tensore deviatorico:
TR ∈ Dev ,
mentre la parte attiva del tensore degli sforzi ´e un tensore sferico
TA ∈ Sph ,
con C[A] = 0, ∀A ∈ Dev. Poich´e:
QAQT = A ,
∀A ∈ Dev ,
∀Q ∈ Rot ,
il vincolo ´e compatibile con l’isotropia, nel qual caso si ha:
TA = 3λ sph E .
12
´ LINEARE
CAPITOLO 2. VINCOLI INTERNI IN ELASTICITA
Capitolo 3
Principi variazionali misti
Come sappiamo, lo stato elastico S ≡ {u , E , T} associato ad un sistema di
azioni (b , s) pu´
o essere determinando minimizzando l’Energia potenziale totale
del corpo B:
Z
Z
Z
1
C[∇u] · ∇u −
b·u−
so · u ,
(3.1)
u 7→ U(u) =
2 B
B
∂1 B
sullo spazio A degli spostamenti cinematicamente ammissibili:
A ≡ { u ∈ H 1 (B) | u = uo su ∂2 B } ,
o in alternativa minimizzando l’Energia Complementare:
Z
Z
1
K[T] · T −
Tn · uo ,
T 7→ Λ(T) =
2 B
∂2 B
(3.2)
sullo spazio D dei tensori simmetrici staticamente ammissibili:
D ≡ { T ∈ Sym | div T + b = 0 in B ,
Tn = so su ∂1 B } .
Una delle maggiori difficolt´
a applicative di questi due principi ´e che in (3.1) il
tensore E deve verificare le equazioni di congruenza:
E = sym ∇u ,
(3.3)
mentre in (3.2) il tensore degli sforzi deve essere soluzione della equazione di
bilancio
div T + b = 0 .
(3.4)
I due principi che adesso andiamo ad enunciare provvedono a rimuovere queste
restrizioni trasformando i due problemi di minimo variazionale in opportuni
problemi di minimo vincolato.
13
14
CAPITOLO 3. PRINCIPI VARIAZIONALI MISTI
3.1
Il principio di Hellinger-Prange-Reissner
Consideriamo il funzionale energia complementare penalizzato con la condizione
(3.4) mediante un moltiplicatore di Lagrange u che rappresenta un’arbitrario
campo di spostamenti:
Z
Λ∗ (u , T) = Λ(T) +
u · (div T + b) ;
(3.5)
B
poich´e:
Z
Z
u · div T
= −
B
Z
T · ∇u +
ZB
= −
Tn · u
Z∂B
T · ∇u +
B
Z
so · u +
∂1 B
Tn · u ,
∂2 B
otteniamo l’espressione del funzionale di Hellinger-Prange-Reissner:
Z
Z
1
K[T] · T −
T · ∇u
Λ∗ (u , T) =
2
B
Z B
Z
Z
+
b·u+
so · u +
Tn · (u − uo ) .
B
∂1 B
(3.6)
∂2 B
Principio 1 Hellinger-Prange-Reissner: Lo stato elastico S ≡ {u , E , T} rende
minimo il funzionale di Hellinger-Prange-Reissner nello spazio D∗
D∗ ≡ { u ∈ V , T ∈ Sym | u ∈ H 1 (B) ,
T ∈ L2 (B) } .
Questo principio consente di determinare lo stato elastico senza richiedere al
campo di spostamenti di verificare le condizioni al contorno ne al tensore degli
sforzi di verificare le equazioni di equilibrio.
3.1.1
Il principio di Hellinger-Prange-Reissner per sistemi
di travi
Il principio ha una immediata estensione ai sistemi di travi: se infatti penalizziamo il funzionale energia complementare Λ : Fa → R
Z
1
N2
M2
+
− (N u
¯ + M 0 v¯ + M ϕ)
¯ ,
(3.7)
Λ(N , M ) =
2 S EA
EJ
C2
dove
Fa ≡ {(N , M ) | N 0 = −p ,
M 00 = −q , cond. contorno su C1 } ,
con le condizioni di bilancio mediante due campi di spostamento arbitrari (u , v):
Z
Λ∗ (u , v , N , M ) = Λ(N , M ) +
u(N 0 + p) + v(M 00 + q) ,
(3.8)
S
3.2. IL PRINCIPIO DI HU-WASHIZU
15
integrando per parti otteniamo il funzionale di Hellinger-Prange-Reissner per
sistemi di travi:
Z
Z
Z
1
N2
M2
∗
Λ (u , v , N , M ) =
+
+
pu + qv −
N u0 − M v 00
(3.9)
2 S EA
EJ
S
S
¯ u + T¯v − M
¯ v 0 ) − (N (¯
u − u) + M 0 (¯
v − v) + M (ϕ¯ + v 0 )) ,
− (N
C2
C1
che minimizzato sullo spazio
Fa∗ ≡ {(u , v , N , M ) | u ∈ H 1 (S) , v ∈ H 2 (S) ,
N ∈ L2 (S) , M ∈ L2 (S) } ,
porta alla determinazione della soluzione del problema elastico.
3.2
Il principio di Hu-Washizu
Consideriamo il funzionale energia potenziale elastico penalizzato con la condizione (3.3) mediante un moltiplicatore di Lagrange T che rappresenta un’arbitrario tensore degli sforzi:
Z
U ∗ (u , E , T) = U(u) +
T · (E − sym ∇u) ;
(3.10)
B
poich´e:
Z
Z
T · sym ∇u
= −
B
Z
div T · u +
ZB
= −
Tn · u
Z∂B
div T · u +
B
Z
so · u +
∂1 B
Tn · uo ,
∂2 B
otteniamo l’espressione del funzionale di Hu-Washizu:
Z
Z
Z
1
∗
U (u , E , T) =
C[∇u] · ∇u −
T · E − (div T + b) · u
2
B
Z B
ZB
−
(Tn − so ) · u +
Tn · uo .
(3.11)
∂1 B
∂2 B
Principio 2 Hu-Washizu: Lo stato elastico S ≡ {u , E , T} rende minimo il
funzionale di Hu-washizu nello spazio A∗
A∗ ≡ { u ∈ V , E ∈ Sym , T ∈ Sym | u ∈ H 1 (B) ,
T ∈ H 1 (B) } .
Questo principio consente di determinare lo stato elastico senza porre condizioni sui campi di spostamento, deformazione e sforzo che non siano condizioni
di regolarit´
a.
16
CAPITOLO 3. PRINCIPI VARIAZIONALI MISTI
3.2.1
Il principio di Hu-Washizu per sistemi di travi
Anche il principio di Hu-Washizu pu´o essere immediatamente specializzato a
sistemi di travi. Se infatti invece di minimizzare il funzionale energia potenziale
totale U : Fv → R:
Z
Z
1
U(u , v) =
EA(u0 )2 + EJ(v 00 )2 −
pu + qv
(3.12)
2 S
S
¯ u + T¯v − M
¯ v 0 ) ,
+ (N
C1
sullo spazio degli spostamenti ammissibili:
Fv ≡ {u ∈ H 1 (S) ,
v ∈ H 2 (S) ,
u=u
¯ , v = v¯ , v 0 = ϕ¯ , su C2 } ,
lo penalizziamo rispetto alle equazioni di congruenza mediante due moltiplicatori di Lagrange N ed M :
Z
U ∗ (u , v , ε , κ , N , M ) = U(u , v) +
N (ε − u0 ) + M (κ + v 00 ) ,
(3.13)
S
giungiamo, integrando per parti, alla versione per sistemi di travi del funzionale
di Hu-Washizu:
Z
Z
1
EA(u0 )2 + EJ(v 00 )2 +
Nε + Mκ
U ∗ (u , v , ε , κ , N , M ) =
2
S
Z S
−
(N 0 + p)u + (M 00 + q)v
(3.14)
S
¯ − N )u + (T¯ − T )v − (M
¯ − M )v 0 ) ,
− ((N
C1
0
+ (N u
¯ + M v¯ + M ϕ)
¯ .
C2
La minimizzazione del funzionale di Hu-Washizu sullo spazio:
Fv∗ ≡ {(u , v , ε , κ , N , M ) | u ∈ H 1 (S) , v ∈ H 2 (S) ,
N ∈ H 1 (S) , M ∈ H 2 (S) } ,
consente di determinare la soluzione del problema elastico.
Capitolo 4
Il metodo delle
deformazioni
4.1
Un richiamo: il Metodo delle Forze
Con il Metodo delle Forze si risolve una struttura k-volte iperstatica, partendo
dalla condizione di minimo del funzionale energia complementare (3.7):
Z
(
S
¯
¯
NN
MM
¯u
¯ 0 vˆ + M
¯ ϕ)
+
)dz − (N
ˆ+M
ˆ = 0,
EA
EJ
C2
(4.1)
¯ ,M
¯ ) equilibrate; dopo avere reso staper ciascuna scelta delle caratteristiche (N
ticamente determinata la struttura mediante la rimozione di k vincoli e l’introduzione di k incognite iperstatiche Xk , si determinano le caratteristiche di sollecitazione (No , Mo ) dovute alle azioni esterne ed (Nk , Mk ) dovute alle incognite
iperstatiche rese unitarie. Rappresentando (N , M ) come:
N (Xj ) = No + Xj Nj ,
M (Xj ) = Mo + Xj Mj ,
j = 1, 2, . . . k ,
otteniamo delle caratteristiche di sollecitazione equilibrate per ogni scelta del
¯ = Nk , M
¯ = Mk ) otteniamo le
vettore incognite iperstatiche [Xk ]. Scelte poi (N
k equazioni algebriche di M¨
uller-Breslau che permettono di determinare l’unica
soluzione [Xk ] che rende la soluzione congruente.
Il Metodo delle Deformazioni consente di risolvere una struttura iperstatica
a partire dalla condizione di minimo del funzionale energia potenziale totale
(3.12):
Z
S
ˆ u0 + Tˆv0 − M
ˆ v00 )
EAu0 u00 + EJv 00 v000 − pu0 − qv0 − (N
C1
= 0,
per ciascuna scelta di (u0 , v0 ) congruenti e compatibili con i vincoli.
17
(4.2)
18
CAPITOLO 4. IL METODO DELLE DEFORMAZIONI
4.2
Strutture cinematicamente indeterminate
Consideriamo una struttura intelaiata piana S: definiamo Nodi, i punti della struttura nei quali convergono pi´
u aste o dove agiscono dei vincoli, fissi o
mobili. Ad ogni nodo associamo due coordinate che ne rappresentano la posizione nel piano ed una rotazione che descrive la rotazione comune delle aste che
convergono nel nodo: per ciascun nodo k abbiamo quindi tre coordinate nodali
(xk1 , xk2 , θk ).
Se consideriamo l’asta compresa tra due nodi k e j, il campo di spostamenti
(u , v) dell’asta sar´
a completamente determinato mediante le equazioni della
linea elastica in funzione delle azioni applicate sull’asta, delle azioni applicate
sui nodi e dei 6 spostamenti nodali (xk1 , xk2 , θk ) e (xj1 , xj2 , θj ); di conseguenza il
campo di spostamenti della struttura dipender´a dalle azioni applicate lungo le
aste e sui nodi e dalle 3N coordinate nodali degli N nodi della struttura.
Definiamo le 3N coordinate nodali Incognite cinematiche e la struttura viene
detta 3N volte cinematicamente indeterminata. Per semplicit´a di notazione
ridenominamo le incognite cinematiche:
N
N
Y1 = x11 , Y2 = x12 , Y3 = ϕ1 , . . . Y3N −2 = xN
1 , Y3N −1 = x2 , Y3N = ϕ ;
indichiamo con:
• (uk , vk ) il campo di spostamento cinematicamente ammissibile determinato dall’incognita cinematica Yk = 1;
• (ˆ
u , vˆ) il campo di spostamento cinematicamente ammissibile determinato
dalle azioni esterne agenti sulla struttura per Yk = 0, k = 1, 2, . . . 3N .
Il campo di spostamento (u , v) soluzione del problema di minimo (4.2) ´e
quindi rappresentabile nella forma:
u=u
ˆ + Yk uk ,
v = vˆ + Yk vk ,
k = 1, 2, . . . 3N .
(4.3)
Se scegliamo nella condizione di minimo (4.2) di volta in volta i campi di spostamento cinematicamente ammissibili (uo , vo ) ≡ (uk , vk ), otteniamo il sistema
di 3N equazioni nelle incognite cinematiche [y]k = Yk , k = 1, 2, . . . 3N :
[fo ] + [K][y] − [f ] = 0
(4.4)
dove
• le componenti della matrice delle rigidezze [K]ij sono definite mediante le:
Z
[K]ij =
EAu0i u0j + EJvi00 vj00 , i, j = 1, 2 . . . 3N ;
S
• le componenti [fo ]i del vettore delle azioni esterne sono definite come:
Z
[fo ]i =
EAu0i u
ˆ0 + EJvi00 vˆ00 , , i = 1, 2 . . . 3N ;
S
4.2. STRUTTURE CINEMATICAMENTE INDETERMINATE
19
• le componenti [f ]i del vettore delle azioni nodali sono definite dalle
[f ]i = (F1 x1 + F2 x2 + M θ) , i = 1, 2 . . . 3N .
C1
dove C1 rappresenta la collezione degli N nodi della struttura, (F1 , F2 , M )
le azioni esterne applicate in corrrispondenza dei nodi che hanno coordinate nodali (x1 , x2 , θ): di queste ultime solo quella che coincide con
l’incognita cinetica Yi = 1 ´e unitaria, annullandosi le altre due.
La matrice delle rigidezze ´e simmetrica e definita positiva e pertanto invertibile: le incognite cinematiche Yk sono quindi ottenibili mediante la:
[y] = [K]−1 [f − fo ] .
Osservazione 3 : Analogia col metodo delle forze.
Sussiste una piena analogia formale tra la (4.4) e le equazioni di M¨
ullerBreslau: il metodo delle deformazioni ´e infatti il duale del metodo delle forze,
dove in luogo di una struttura staticamente indeterminata abbiamo una struttura cinematicamente indeterminata, in luogo delle incognite iperstatiche abbiamo
quelle cinematiche e dove le sollecitazioni equilibrate (N , T , M ) sono sostituite
dagli spostamenti congruenti (u , v).
Osservazione 4 : Travi inestensibili.
In piena analogia formale con le equazioni del metodo delle forze, possiamo
trascurare il contributo delle deformazioni estensionali ai fini della determinazione delle incognite cinematiche e porre pertanto:
Z
Z
[K]ij =
EJvi00 vj00 , [fo ]i =
EJvi00 vˆ00 , i = 1, 2 . . . 3N ;
(4.5)
S
S
Osservazione 5 : Momenti di incastro perfetto.
Le aste comprese tra due nodi k ed h, se le coordinate nodali sono nulle (xk1 , xk2 , θk ≡ (0 , 0 , 0)) e (xj1 , xj2 , θj ) ≡ (0 , 0 , 0)), sono assimilabili a travi
incastrate alle estremit´
a. Pertanto la determinazione dei campi di spostamento (ˆ
u , vˆ) si riduce alla determinazione dei campi di spostamento di una trave
incastrata alle estremit´
a e soggetta ad azioni lungo la linea d’asse. Se sostituiamo alla trave incastrata soggetta a azioni esterne, una trave caricata sui nodi
con i Momenti di Incastro perfetto, ovvero gli opposti delle reazioni vincolari
otteniamo una struttura caricata esclusivamente sui nodi con [fo ] = 0.
Alla soluzione (u , v) cos´ı ottenuta dovranno essere poi sommati i campi di
spostamento (ˆ
u , vˆ) delle aste caricate lungo la linea d’asse ed incastrate all’estremit´
a, facilemente determinabili e tabellati insieme ai corrispondenti momenti di
incastro perfetto per molteplici condizioni di carico.
Sotto queste ipotesi la (4.4) si riduce alla formulazione standard del Metodo
delle deformazioni:
[K][y] = [f ] ,
(4.6)
dove il vettore delle azioni nodali rende conto sia delle azioni applicate ai nodi
che dei momenti di incastro perfetto.
20
CAPITOLO 4. IL METODO DELLE DEFORMAZIONI
Osservazione 6 : Metodo di Gal¨erkin.
Il metodo delle deformazioni descritto dalle (4.6) pu´o essere visto come un
metodo di Gal¨erkin (vedi Appendice B), nel quale lo spazio di Hilbert Hkm (S)
delle soluzioni approssimate coincide con lo spazio delle soluzioni (u , v) corrispondenti ad azioni esterne nulle (p , q) ≡ (0 , 0), essendo m = 1 per u ed m = 2
per v.
Esempio 5 : Portale incastrato alla base
Consideriamo un portale incastrato alla base con rigidezza flessionale costante EJ. In termini del metodo delle forze questa struttura ´e 3 volte iperstatica.
Poich´e nelle due sezioni vincolate A e D le coordinate nodali sono nulle, abbiamo
due nodi B e C e la struttura ´e pertanto 6 volte cinematicamente indeterminata.
F3
M1
M2
B
C
l
EJ = cost.
A
D
l
Fig. 4.1 - Portale incastrato alla base
Dette:
B
B
B ≡ (xB
1 , x2 , θ ) ,
C
C
C ≡ (xC
1 , x2 , θ ) ,
le coordinate nodali, introduciamo l’ipotesi che le aste siano inestensibili. Sotto
C
B
C
tale ipotesi xB
o essere pertanto
2 = x2 = 0 ed x1 = x1 . La struttura pu´
descritta in termini di 3 sole coordinate nodali che assumiamo come incognite
cinematiche:
C
Y1 = θB , Y2 = θC , Y3 = xB
1 = x1 .
Supponiamo determinati i momenti di incastro perfetto di eventuali azioni presenti lungo la struttura, le uniche azioni che compiono lavoro ai nodi sono i
momenti M1 e M2 agenti sui nodi B e C rispettivamente, e l’azione orizzontale
F3 agente sull’asta inestensibile BC.
Detti (v1 , v2 , v3 ) gli spostamenti trasversali determinati dalle incognite cinematiche Y1 = 1, Y2 = 1 ed Y3 = 1 rispettivamente, il campo v soluzione ´e
dato dalla:
v(z) = Y1 v1 (z) + Y2 v2 (z) + Y3 v3 (z) ,
dove i campi di spostamento vk , k = 1, 2, 3 sono dati dalle (avendo assunto
positive le rotazioni orarie e lo spostamento verso destra):
z3
z2
, 0 ≤ z ≤ l,
+
2
l
l
z3
2z 2
−
, 0 ≤ z ≤ l,
l2
l
0 , asta CD ;
v1 (z)
= −
asta AB ,
v1 (z)
=
asta BC ,
v1 (z)
=
4.2. STRUTTURE CINEMATICAMENTE INDETERMINATE
v2 (z)
=
v2 (z)
=
v3 (z)
=
v3 (z)
=
z2
z3
+ 2 , 0 ≤ z ≤ l,
2
l
l
0,
asta AB ;
−
2z 3
3z 2
−
, 0 ≤ z ≤ l,
l3
l2
0 , asta BC .
asta BC ed asta CD ,
asta AB ed asta CD ,
v1
v2
v3
Fig. 4.2 - Spostamenti v1 , v2 e v3
21
22
CAPITOLO 4. IL METODO DELLE DEFORMAZIONI
Le componenti della matrice delle rigidezze sono quindi date dalle:
Z
Z
8EJ
00 2
;
K11 =
EJ(v1 ) dz +
EJ(v100 )2 dz =
l
ZAB
ZBC
8EJ
K22 =
EJ(v200 )2 dz +
EJ(v200 )2 dz =
;
l
BC
CD
Z
Z
24EJ
K33 =
;
EJ(v300 )2 dz +
EJ(v300 )2 dz =
l3
CD
ZAB
2EJ
K12 =
EJv100 v200 dz = −
;
l
ZBC
6EJ
K13 =
EJv100 v300 dz = − 2 ;
l
ZAB
6EJ
K23 =
EJv200 v300 dz = − 2 .
l
CD
Se rendiamo dimensionalmente omogenee le componenti del vettore delle
azioni nodali e delle incognite cinematiche:




Y1
M1
[f ] ≡  M2  , [y] ≡  Y2  ,
Y3 /l
F3 l
la matrice delle rigidezze della struttura pu´o essere scritta nella forma:


8 −2 −6
EJ 
· 8 −6  ,
[K] ≡
l
·
·
24
(4.7)
che pu´
o facilemente essere invertita:

13 7 5
l 
· 13 5  ,
≡
60EJ
·
· 5

[K]−1
per ottenere le incognite cinematiche:
Y1
=
Y2
=
Y3
=
l
Fl2
(13M1 + 7M2 ) +
,
60EJ
12EJ
l
Fl2
(7M1 + 13M2 ) +
,
60EJ
12EJ
l2
Fl3
(M1 + M2 ) +
.
12EJ
12EJ
(4.8)
(4.9)
(4.10)
Osservazione 7 Telaio ”Shear-type Un telaio ”Shear-type si pu´o ottenere dal
telaio dell’esempio precedente assumendo che il traverso BC sia infinitamente
rigido e che pertanto le due rotazioni nodali siano identicamente nulle, ovvero
4.3. LA MATRICE DELLE RIGIDEZZE DELL’ASTA
23
Y1 = Y2 = 0. In tal modo l’unica incognita cinematica ´e la traslazione Y3 del
traverso. Annullando le (4.8)1,2 , sommandole e sottraendole otteniamo:
M1 + M2 = −
Fl
,
2
M1 − M2 = 0 ,
che sostituite nella (4.8)3 portano a:
Y3 =
F
,
Kp
Kp = 2
12EJ
,
l3
M1 = M2 = −
F
Fl
;
4
(4.11)
Y3
-
EJ
EJ
l
Fig. 4.3 - Telaio ”shear-type”
in generale, se il telaio shear-type ha M pilastri di uguale rigidezza collegati da
un traverso rigido, la rigidezza totale dei pilastri Kp ´e data dalla:
Kp = M
4.3
12EJ
.
l3
La matrice delle rigidezze dell’asta
Il medesimo risultato pu´
o essere determinato mediante un’altra procedura: in
primo luogo per un’asta che collega due nodi k ed h si determina la matrice della
rigidezza dell’asta [K hk ], ovvero la matrice che mette in relazione i sei spostamenti nodali (xk1 , xk2 , θk , xh1 , xh2 , θh ) con le sei caratteristiche di sollecitazione
ai nodi (Nk , Tk , Mk , Nh , Th , Mh ). Successivamente si decompone la struttura
nelle aste dalle quali ´e formata e:
• Si impone la congruenza degli spostamenti nodali per tutte le aste che
convergono al medesimo nodo;
• Si impone l’equilibrio tra le azioni nodali esterne e le caratteristiche di
sollecitazione esercitate sul nodo dalle aste che vi convergono.
In questo modo vengo determinate per altra via le equazioni di equilibrio corrispondenti alla (4.4).
Per prima cosa pertanto procediamo alla costruzione della matrice [K hk ], integrando le equazioni delle linea elastica per una trave incastrata alle estremit´a
e soggetta ai cedimenti vincolari corrispondenti alle coordinate nodali: mediante
24
CAPITOLO 4. IL METODO DELLE DEFORMAZIONI
le relazioni costitutive si determinano quindi le caratteristiche associate a ciascuno componente di spostamento nodale ottenendo le cosiddette equazioni di
Lamarle. Poich´e le aste non sono caricate da azioni (p , q), gli integrali generali
dei campi di spostamento sono:
u(z) = a
¯z + ¯b ,
v(z) = az 3 + bz 2 + cz + d .
(4.12)
Assumiamo che il riferimento delle coordinate nodali sia antiorario con x1
coincidente con l’asse della trave e con le rotazioni θ positive se antiorarie.
Per la forza normale N ed il taglio T assumiamo la forza normale positiva se di
trazione, il taglio positivo in terna antioraria rispetto alla forza normale, mentre
assumiamo positivi i momenti antiorari, concordi quindi con le rotazioni. Il nodo
h corrisponde a z = 0 ed il nodo k a z = l.
6
x2
θ
x1
Nh h
6
T
k
Nk
k
Mk M
h
Th
?
Fig. 4.4 - Convenzioni di segno
Abbiamo 6 casi, i primi due dei quali riguardanti lo spostamento u
• xh1 6= 0; le condizioni al contorno sono:
u(0) = xh1 ,
da cui
u(l) = 0 ,
z
u(z) = xh1 (1 − ) .
l
Poich´e:
EA h
x ,
l 1
per le convenzioni di segno della forza normale abbiamo:
N (0) = N (l) = −
Nh =
EA h
x ,
l 1
Nk = −
EA h
x .
l 1
• xk1 6= 0; le condizioni al contorno sono:
u(0) = 0 ,
da cui
u(l) = xk1 ,
z
u(z) = xk1 .
l
(4.13)
4.3. LA MATRICE DELLE RIGIDEZZE DELL’ASTA
25
In questo caso
EA k
x ,
l 1
per le convenzioni di segno della forza normale abbiamo:
N (0) = N (l) =
Nh = −
EA k
x ,
l 1
Nk =
EA k
x .
l 1
(4.14)
Possiamo quindi costruire mediante la (4.13) e la (4.14) la porzione della
matrice delle rigidezza dell’asta che mette in relazione le azioni normali applicate
ai nodi con fli spostamenti nodali nella direzione dell’asse:
 h 

  EA
− EA
x1
Nh
l
l


≡
.
(4.15)
EA
k
Nk
x
·
1
l
I quattro casi successivi riguardano invece il solo spostamento v:
• xh2 6= 0; le condizioni al contorno sono:
v(0) = xh2
v 0 (0) = 0
da cui
v(z) = xh2 (
v(l) = 0 ,
v 0 (l) = 0 ,
3z 2
2z 3
−
+ 1) .
l3
l2
Le funzioni M (z) e T (z) corrispondenti sono:
M (z) = −6
EJ 2z
( − 1)xh2 ,
l
l
T (z) = −12
EJ h
x ,
l3 2
e pertanto:
M (0) = 6
EJ h
x ,
l2 2
M (l) = −6
EJ h
x ,
l2 2
T (0) = T (l) = −12
EJ h
x .
l3 2
Per le convenzioni si segno adottate abbiamo:
Mh = −Mk =
6EJ h
x ,
l2 2
Th = −Tk =
• xk2 6= 0; le condizioni al contorno sono:
v(0) = 0
v 0 (0) = 0
v(l) = xk2 ,
v 0 (l) = 0 ,
v(z) = xk2 (−
2z 3
3z 2
+
).
l3
l2
da cui
12EJ h
x2 .
l3
(4.16)
26
CAPITOLO 4. IL METODO DELLE DEFORMAZIONI
Le funzioni M (z) e T (z) corrispondenti sono:
M (z) = 6
EJ 2z
( − 1)xk2 ,
l
l
T (z) = 12
EJ k
x ,
l3 2
e pertanto:
M (0) = −6
EJ h
x ,
l2 2
M (l) = 6
EJ h
x ,
l2 2
T (0) = T (l) = 12
EJ h
x .
l3 2
Per le convenzioni si segno adottate abbiamo:
Mk = −Mh =
6EJ k
x ,
l2 2
Tk = −Th =
12EJ k
x2 .
l3
(4.17)
• θh 6= 0; le condizioni al contorno sono:
v(0) = 0
v 0 (0) = θh
v(l) = 0 ,
v 0 (l) = 0 ,
da cui
z3
2z 2
−
+ z) .
2
l
l
Le funzioni M (z) e T (z) corrispondenti sono:
v(z) = θh (
M (z) = 2
EJ 3z
( − 2)θh ,
l
l
EJ h
θ ,
l
M (l) = −2
T (z) = −6
EJ h
θ ,
l2
e pertanto:
M (0) = 4
EJ h
θ ,
l
T (0) = T (l) = −6
EJ h
θ .
l2
Per le convenzioni si segno adottate abbiamo:
Mh =
4EJ h
θ ,
l
Mk = −
2EJ h
θ ,
l
Th = Tk = −
6EJ h
θ .
l2
• θk 6= 0; le condizioni al contorno sono:
v(0) = 0
v(l) = 0 ,
v 0 (0) = 0 v 0 (l) = −θk ,
da cui
z3
z2
).
+
l2
l
Le funzioni M (z) e T (z) corrispondenti sono:
v(z) = θk (−
M (z) = 2
EJ 3z
( − 1)θk ,
l
l
T (z) = 6
EJ k
θ ,
l2
(4.18)
4.3. LA MATRICE DELLE RIGIDEZZE DELL’ASTA
27
e pertanto:
EJ k
EJ k
EJ
θ , M (l) = 4
θ , T (0) = T (l) = 6 2 θk .
l
l
l
Per le convenzioni si segno adottate abbiamo:
M (0) = −2
Mh = −
2EJ k
θ ,
l
Mk =
4EJ k
θ ,
l
Tk = Th = −
6EJ k
θ .
l2
(4.19)
Per le (4.16), (4.17), (4.18) e (4.19) abbiamo le relazioni tra tagli, momenti,
spostamenti e rotazioni, che poste in forma matriciale risultano:

  12EJ
 h 
− 12EJ
− 6EJ
− 6EJ
x2
Th
l3
l3
l2
l2


 


 
 k 
12EJ
6EJ
6EJ  
 Tk   ·
− l2
− l 2   x2 
l3


 
.

≡

(4.20)


 


4EJ
2EJ   h 
 Mh   ·
θ
·
−


 

l
l


 

k
4EJ
Mk
θ
·
·
·
l
La matrice di rigidezza [K hk ] dell’asta ´e pertanto ottenuta dalle due matrici
(4.15) e (4.20):
 EA

− EA
0
0
0
0
l
l




EA
 ·

0
0
0
0
l






12EJ
12EJ
6EJ
6EJ 
 ·
·
−
−
−
l3
l3
l2
l2


.
[K hk ] ≡ 
(4.21)


6EJ
6EJ 
12EJ
 ·
−
−
·
·


l3
l2
l2




4EJ
2EJ 
 ·
·
·
·
−


l
l


4EJ
·
·
·
·
·
l
Osservazione 8 Inestensibilit´
a: Nell’ipotesi che le travi siano inestensibili si
ha xh1 = xk1 e la matrice delle rigidezze dell’asta si riduce a quella delle (4.20).
Osservazione 9 Aste a ”nodi fissi”: Una asta si dice a ”nodi fissi se ´e inestensibile ed inoltre xh2 = xk2 = 0, nel qual caso le (4.20) si riducono alle:



 h 
Mh
2 −1
θ
2EJ

≡


.
(4.22)
l
k
Mk
−1 2
θ
Osservazione 10 Telai ”Shear-type”: Per i sistemi shear-type abbiamo visto
che θh = θk = 0, nel qual caso le (4.20) si riducono alle:



 h 
Th
1 −1
x2
12EJ

≡


.
(4.23)
l3
k
Tk
−1 1
x2
28
CAPITOLO 4. IL METODO DELLE DEFORMAZIONI
Esempio 6 : Portale incastrato alla base
Consideriamo il medesimo portale dell’esempio precedente e decomponiamolo nelle tre aste AB, BC e CD. Adottiamo come convenzione quello di indicare
ogni grandezza statica e cinematica con i due indici corrispondenti ai nodi dell’asta, il primo dei quali indica il nodo su cui ´e definita la quantit´a: ad esempio
T hk indica il taglio agente sul nodo h dell’asta hk.
Come primo passo mediante le (4.20) determiniamo le relazioni tra spostamenti nodali e caratteristiche di sollecitazione nodali per ciascuna delle tre
aste:
• Asta AB: per l’ipotesi di inestensibilit´a xAB
= xBA
= 0, xAB
= 0,
1
1
2
AB
BA
θ
= 0 e le uniche coordinate nodali dell’asta sono (x2 , θBA ). Per le
(4.20):
T BA
=
M BA
=
12EJ BA 6EJ BA
x2 − 2 θ ,
l3
l
6EJ BA 4EJ BA
θ .
− 2 x2 +
l
l
(4.24)
• Asta CD: per l’ipotesi di inestensibilit´a xDC
= xCD
= 0, xDC
= 0,
1
1
2
DC
CD
θ
= 0 e le uniche coordinate nodali dell’asta sono (x2 , θCD ). Per le
(4.20):
T CD
M CD
12EJ CD 6EJ CD
x2 − 2 θ
,
l3
l
4EJ CD
6EJ
+
θ
.
= − 2 xCD
2
l
l
=
(4.25)
= xCB
e le coordinate nodali
• Asta BC: per l’ipotesi di inestensibilit´a xBC
1
1
BC
CB
BC
BC
CB
, θCB ). Per le (4.20):
dell’asta sono (x1 = x1 , x2 , x2 , θ
T BC
T CB
M BC
M CB
12EJ BC 12EJ CB 6EJ BC 6EJ CB
x2 −
x2 − 2 θ
− 2 θ ,
l3
l3
l
l
12EJ BC 12EJ CB 6EJ BC 6EJ CB
= − 3 x2 +
x2 − 2 θ
− 2 θ ,(4.26)
l
l3
l
l
4EJ BC 2EJ CB 6EJ BC 6EJ CB
θ
−
θ
− 2 x2 − 2 x2 ,
=
l
l
l
l
4EJ CB 2EJ BC 6EJ BC 6EJ CB
=
θ
−
θ
− 2 x2 − 2 x2 .
l
l
l
l
=
4.3. LA MATRICE DELLE RIGIDEZZE DELL’ASTA
T BC
N BC
B
?
M BC
M BA
29
CB
-T
6C - N CB
M CB - 6N BA
- BA
T
B
M CD
A
- 6N CD
- CD
T
C
D
Fig. 4.5 - Azioni sulle aste AB, BC e CD
Successivamente si impone la congruenza degli spostamenti nodali:
xBA
= xBC
= xCB
= xCD
= Y3 ,
2
1
1
2
BA
xBC
=
x
=
0
,
2
1
xCB
= xCD
= 0,
2
1
θ
BA
θ
CB
=θ
BC
= Y1 ,
CD
= Y2 ,
=θ
(4.27)
da cui discendono le relazioni costitutive per le azioni nodali sulle singole aste:
T BA
=
M BA
=
T CD
=
M CD
=
6EJ
12EJ
Y3 − 2 Y1 ,
l3
l
6EJ
4EJ
− 2 Y3 +
Y1 ;
l
l
12EJ
6EJ
Y3 − 2 Y2 ,
3
l
l
6EJ
4EJ
− 2 Y3 +
Y2 ;
l
l
(4.28)
(4.29)
30
CAPITOLO 4. IL METODO DELLE DEFORMAZIONI
T BC
T CB
M BC
M CB
6EJ
6EJ
Y1 − 2 Y2 ,
2
l
l
6EJ
6EJ
= − 2 Y1 − 2 Y2 ,
l
l
4EJ
2EJ
=
Y1 −
Y2 ,
l
l
4EJ
2EJ
=
Y2 −
Y1 .
l
l
= −
(4.30)
Infine si impone l’equilibrio delle azioni nodali:
• Equilibrio dei momenti agenti al nodo B
M BA + M BC = M1 ;
• Equilibrio dei momenti agenti al nodo C
M CD + M CB = M2 ;
• Equilibrio delle forze orizzontali agenti sull’asta BC
T BA + T CD = F3 ;
da cui mediante le (4.27), (4.28) e (4.30) otteniamo per altra via le (4.8):
2EJ
6EJ
8EJ
Y1 −
Y2 − 2 Y3 = M1 ,
l
l
l
2EJ
8EJ
6EJ
−
Y1 +
Y2 − 2 Y3 = M2 ,
l
l
l
6EJ
6EJ
24EJ
− 2 Y1 − 2 Y2 +
Y3 = F3 .
l
l
l3
(4.31)
Le azioni normali sulle aste vengono determinate mediante le residue equazioni di equilibrio al nodo, ovvero:
N BA − T BC = 0 ,
N CD − T CB = 0 ,
NBC = −NCB = F + TBA .
(4.32)
Parte II
Dinamica
31
Capitolo 5
Sistemi discreti
5.1
Sistemi a 1 grado di libert´
a
Detto P un punto dello spazio euclideo monodimensionale E 1 , consideriamo il
sistema materiale M ≡ (m , P ) formato dal punto P di massa m > 0.
Definiamo il moto di P l’applicazione
[0 , τ ) 3 t 7→ P (t) ∈ R :
scelto un punto fisso O ∈ E 1 e detta x(t) = P (t) − O la coordinata del punto,
la dinamica del sistema M ´e descritta dal secondo Principio della Dinamica, o
equazione fondamentale della dinamica:
f (t , x , x)
˙ = m¨
x,
m > 0,
(5.1)
con f : [0 , τ ) × R × R → R la forza agente sul sistema M, x˙ = v la velocit´
a ed
x
¨ = a l’accelerazione di P .
Se all’equazione (5.1) sono associate le condizioni iniziali per t = 0:
x(0) = xo ,
x(0)
˙
= vo ,
(5.2)
per il Teorema di Cauchy la soluzione esiste ed ´e unica nell’intorno delle condizioni iniziali se la forza f ´e Lipschitziana rispetto alle sue variabili.
Moltiplicando la (5.1) per la velocit´a:
m¨
xx˙ + f x˙ = 0 ;
definita Potenza della forza f la quantit´a scalare:
W = f x˙ ,
(5.3)
e detta Energia cinetica la quantit´a scalare:
T (x)
˙ =
1
mx˙ 2 > 0 ,
2
33
(5.4)
34
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI
possiamo rappresentare la (5.1) mediante la legge di conservazione:
T˙ = W .
(5.5)
Integrando la (5.5) tra t = 0 e t = τ :
Z
τ
T˙ dt =
τ
Z
Z
x(τ )
f xdt
˙ =
0
0
f dx ;
xo
se definiamo il Lavoro infinitesimo come dL = f dx, otteniamo il cosiddetto
teorema delle forze vive:
T (τ ) − T (0) = L(x(τ )) − L(xo ) .
(5.6)
Se f = f (x) la forza ´e detta posizionale: una forza posizionale ´e conservativa
se esiste una funzione scalare x 7→ V (x) detta Energia Potenziale tale che:
f (x) = −
dV
;
dx
(5.7)
nel caso di forze conservative si ha:
W =−
dV
x˙ = −V˙ ,
dx
(5.8)
e possiamo pertanto rappresentare la (5.1) come teorema di conservazione dell’energia totale:
(T (x)
˙ + V (x))˙ = 0 .
(5.9)
Indicando con Eo l’energia posseduta dal sistema all’istante t = 0:
Eo =
1
mv 2 + V (xo ) ,
2 o
la (5.9) diviene
1
mx˙ 2 + V (x) = Eo ,
2
da cui l’integrale primo del moto o mappa delle velocit´
a:
r
2
x˙ = ±
(Eo − V (x)) .
m
5.1.1
(5.10)
Forze costanti ed elastiche: l’oscillatore semplice
Limitiamo il nostro studio al caso di forze costanti (ad esempio azioni di tipo
gravitazionale):
f (x) = fo , V (x) = −fo x + C ,
(5.11)
e forze elastiche
f (x) = −kx ,
k > 0,
V (x) =
1 2
kx + C .
2
(5.12)
´
5.1. SISTEMI A 1 GRADO DI LIBERTA
35
In questo caso la (5.1) diviene:
m¨
x + kx = fo ,
x(o) = xo ,
(5.13)
x(o)
˙
= vo ;
poich´e l’equazione ´e lineare, il problema (5.13) pu´o venire decomposto in due
problemi: il problema omogeneo Po , o problema di moto libero:
x
¨ + ω2 x =
0,
x(o)
=
xo ,
x(o)
˙
=
vo ,
ω2 =
k
,
m
(5.14)
dove ω ´e la frequenza propria del sistema, ed il problema particolare P1 , o
problema di moto forzato:
x
¨ + ω2 x
=
x(o)
=
fo
,
m
0,
x(o)
˙
=
0.
(5.15)
Come ben noto, la soluzione del problema di moto libero Po ha le due
rappresentazioni equivalenti:
x(t) = a sin ωt + b cos ωt = A sin(ωt + φ) ,
(5.16)
dove le costanti a e b sono espresse mediante le condizioni iniziali dalle
vo
a=
, b = xo ,
ω
come pure l’ampiezza A e la fase φ:
r
v2
xo ω
A = x2o + o2 , φ = tan−1
.
(5.17)
ω
vo
Se scriviamo la conservazione dell’energia, mediante la (5.12)2 abbiamo:
1
1
(mx˙ 2 + kx2 ) = (mvo2 + Kx2o ) ,
2
2
da cui, dividendo per la rigidezza k e moltiplicando per 2 si ottiene, in virt´
u
della (5.17)1 :
2
x˙
+ x 2 = A2
(5.18)
ω
che nel piano (x , x/ω),
˙
detto appropriatamente piano delle fasi ´e l’equazione di
una circonferenza di raggio A, luogo dei punti di tutte le velocit´a e posizioni
possibili per un sistema con assegnate condizioni iniziali (xo , vo ). La associata mappa delle velocit´
a non ´e altro che la rappresentazione esplicita della
circonferenza:
p
(5.19)
x˙ = ±ω A2 − x2 .
36
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI
x˙
ω
vo
ω
x˙ (x)
ω
A
φ
x
xo
x
− x˙ ω(x)
Fig. 1.1 - Il cerchio delle fasi per l’equazione (5.14).
Per risolvere il problema di moto forzato P1 , senza perdere in generalit´a
assumiamo che la forza fo dipenda dal tempo in maniera sinusoidale con una
sua frequenza ωo ed una fase φo :
f (t) = fo sin(ωo t + φo ) ;
cerchiamo soluzioni della (5.15) aventi rappresentazione:
x(t) = B sin(ωo t + φo ) .
(5.20)
Sostituendo nella (5.15) si ottiene:
B(ω 2 − ωo2 ) =
fo
,
m
da cui l’espressione della ampiezza B:
B=
osserviamo che:
fo
fo
1
;
=
2
2
− ωo )
mω 1 − ( ωωo )2
m(ω 2
(5.21)
fo
fo
=
= xst ,
mω 2
k
dove l’ampiezza statica xst ´e lo spostamento che il sistema avrebbe se la forza
fosse applicata staticamente e con la massima intensit´a. Pertanto l’ampiezza
B ´e data dal prodotto dell’ampiezza statica per un fattore di amplificazione,
funzione del rapporto tra la frequenza propria ω del sistema e la frequenza ωo
della azione esterna:
ω 1
o
= xst
.
(5.22)
B
ω
1 − ( ωωo )2
´
5.1. SISTEMI A 1 GRADO DI LIBERTA
37
B( ωωo )
xst
ωo
ω
1
Figura 1.2 - Ampiezza B( ωωo ): Risonanza.
√
Osserviamo
che per 0 < ωo < 2ω si ha B > xst , mentre B ≤ xst per
√
ωo ≥ 2ω.
Inoltre l’ampiezza B ha un’asintoto verticale in corrispondenza di ωo = ω:
tale fenomeno, che corrisponde ad una oscillazione avente ampiezza infinita ´e
detto Risonanza e la frequenza propria ωo = ω ´e detta frequenza di risonanza
del sistema.
5.1.2
Il caso dissipativo: smorzamento viscoso
Assumiamo che la forza f sia non conservativa, ad esempio sia proporzionale
alla velocit´
a:
fnc (x)
˙ = −cx˙ , c > 0 ;
questa assunzione costitutiva corrisponde ad una forza dissipativa di tipo viscoso. L’equazione di moto del sistema diviene allora:
m¨
x + cx˙ + kx = fo ,
m > 0,c > 0,k > 0,
x(0) = xo ,
(5.23)
x(0)
˙
= vo .
Come nel caso di forze conservative abbiamo un problema di moto libero ed
uno di moto forzato. Il problema di moto libero:
x
¨ + 2ζ 2 x˙ + ω 2 x = 0 ,
ζ2 =
x(0) = xo ,
x(0)
˙
= vo ,
c
2m
,
ω2 =
k
m
,
(5.24)
38
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI
ha soluzione:
x(t) = C1 eα1 t + C2 eα2 t ,
dove:
α1,2 = −ζ 2 ±
p
ζ 4 − ω2 .
Si hanno pertanto due casi, a seconda del segno del discriminante:
• ζ 4 − ω 2 > 0: in questo caso α1 < 0 ed α2 < 0 per cui la soluzione ´e la
somma di due esponenziali ad esponente negativo:
x(t) = C1 e−|α1 |t + C2 e−|α2 |t ;
non si hanno fenomeni oscillatori ed il moto si dice sovrasmorzato.
• ζ 4 − ω 2 < 0 : in questo caso posto ω
¯ 2 = ω 2 − ζ 4 < ω 2 si ha
α1,2 = −ζ 2 ± iω ,
e la soluzione diviene:
2
x(t) = e−ζ t (a sin ω
¯ t + b cos ω
¯ t) ;
(5.25)
il moto si dice in questo caso smorzato.
il valore dello smorzamento viscoso per il quale discriminante ´e nullo e per il
quale si ha la transizione tra i due comportamenti ´e detto smorzamento critico
ccr :
√
(5.26)
ccr = 2 km ;
usualmente si esprime lo smorzamento in termini percentuali dello smorzamento critico, che ´e un parametro costitutivo del sistema. Osserviamo che lo
smorzamento ha come effetto anche quello di diminuire la frequenza propria di
vibrazione del sistema.
´
5.1. SISTEMI A 1 GRADO DI LIBERTA
x(t)
39
x(t)
t
c > ccr
t
c < ccr
Fig. 1.3 - Moto Sovrasmorzato e Smorzato
Poich´e la forza viscosa ´e dissipativa, l’energia non si conserva e si ha:
(T + V )˙ = −cx˙ 2 < 0 ,
e nel piano delle fasi il moto ´e rappresentato da una spirale con raggio A tale
che:
A˙ = −cx˙ 2 < 0 .
40
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI
x˙
ω
x
Fig. 1.4 - Moto smorzato nel piano delle fasi. In blu il caso conservativo.
Poich´e, a partire da identiche condizioni iniziali, gli spostamenti e le velocit´a
di un sistema conservativo sono sempre maggiori di quelli del corrispondente
sistema dissipativo viscoso, nel seguito assumeremo a favore di sicurezza tutti i
sistemi come conservativi, tenendo debitamente conto del fatto che la presenza
dello smorzamento riduce la frequenza propria del sistema:
r
1−
ω
¯=ω
ζ4
.
ω2
(5.27)
Per problema di moto forzato:
x
¨ + 2ζ 2 x˙ + ω 2 x = fo sin(ωo t) ,
x(0) = 0 ,
(5.28)
x(0)
˙
= 0,
cercando anche in questo caso soluzioni della forma (5.20), si ottiene il fattore
di amplificazione:
B
ω o
ω
1
= xst
1−
q
(1 −
ωo2 2
ω2 )
ω2
,
(5.29)
+ 4ζ 4 ωo2
e la fase:
tan φo =
2ωo ζ 2
.
ω 2 − ωo2
(5.30)
´
5.1. SISTEMI A 1 GRADO DI LIBERTA
41
B( ωωo )
ζ=0
xst
ωo
ω
1
Figura 1.5 - Ampiezza B( ωωo ) parametrizzata per ζ.
Alcuni esempi di sistemi ad un grado di libert´a sono quelli indicati nelle
figure seguenti, con le corrispondenti frequenze di vibrazione:
F (t)
-
m
x
m¨
x + kx = F (t)
EJ
EJ
h
k = 2 12EJ
h3
ω2 =
24EJ
mh3
Telaio Shear-type
F (t)
k
m
?
ml2 ¨
3 θ+
θ
l
Mensola a elasticit´a concentrata
ω2 =
kθ = F (t)l
3k
ml2
42
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI
m
F (t)
l
m
k
k
5
2¨
3 ml θ +
m
θ
ω2 =
2kθ = F (t)l
6k
5ml2
l
Telaio a elasticit´a concentrata
5.1.3
Sistemi non lineari. Linearizzazione
Se l’energia potenziale ´e una funzione generica della coordinata x, l’equazione
di moto libero assume la forma generale:
m¨
x+
dV
= 0,
dx
(5.31)
ed in generale ´e una equazione non lineare nella coordinata x.
Definiamo configurazioni di equilibrio quei valori xe della coordinata per i
quali x˙ = 0. Dalla (5.9) la condizione di equilibrio si esprime come
dV
x˙ = 0 ,
dx
∀x˙ ,
(5.32)
dove la velocit´
a x˙ ´e detta velocit´
a virtuale, ovvero una velocit´a ammissibile per
il sistema. La condizione di equilibrio equivale pertanto ad una condizione di
estremo per l’energia potenziale, ovvero:
dV
(xe ) = 0 .
dx
(5.33)
Mediante il criterio di Dirichlet-Lagrange, definiamo una configurazione di
equilbrio xe rispettivamente:
• Stabile, se in xe l’energia potenziale ha un minimo locale, ovvero:
d2 V
(xe ) > 0 ;
dx2
• Instabile, se in xe l’energia potenziale ha un massimo locale, ovvero:
d2 V
(xe ) < 0 ;
dx2
´
5.1. SISTEMI A 1 GRADO DI LIBERTA
43
• Indifferente, se in xe l’energia potenziale ha un flesso, ovvero:
d2 V
(xe ) = 0 .
dx2
Sviluppando in serie di Taylor l’energia potenziale nell’intorno di una configurazione di equilibrio xe si ha:
V (x) = V (xe ) +
dV
1 d2 V
(xe )(x − xe )2 + o(|x − xe |2 ) ; (5.34)
(xe )(x − xe ) +
dx
2 dx2
poich´e l’energia ´e definita a meno di una costante possiamo scegliere quest’ultima in modo da avere V (xe ) = 0 e grazie alla (5.33) arrivare, trascurando gli
infinitesimi di ordine superiore, alla:
V (x) =
1 d2 V
(xe )(x − xe )2 .
2 dx2
(5.35)
Poich´e l’energia potenziale ´e una quantit´a strettamente positiva, l’approssimazione (5.35) ha senso solamente per le configurazioni di equilbrio stabile e
definiamo:
d2 V
k¯ =
(xe ) > 0 ,
dx2
(5.36)
la rigidezza generalizzata del sistema.
Introducendo la coordinata y = x − xe che descrive il moto nell’intorno della
configurazione di equilibrio stabile, abbiamo:
T (y)
˙ =
1
my˙ 2 ,
2
V (y) =
1¯ 2
ky ,
2
da cui per la (5.9) si giunge ad una equazione di moto, formalmente analoga
alla (5.14), e che in questo caso descrive i piccoli moti oscillatori nell’intorno di
una configurazione di equilibrio stabile.
Esempio 7 Il pendolo matematico: consideriamo ovvero un’asta rigida pesante (B − A) di massa m e lunghezza L = kB − Ak, incernierata ad un suo estremo
A.
44
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI
e2
6
e1
A
m
θ
G
f = −mge2
B
?
Pendolo matematico
Scelta come coordinata lagrangiana l’angolo θ che la direzione dell’asta forma
con la verticale, l’energia cinetica per questo sistema ´e data dalla:
T (θ) =
1
JA θ˙2 ,
2
JA =
mL2
;
3
l’energia potenziale della forza peso ´e invece:
V (θ) = −f · (G − A) ,
ed essendo, nel riferimento ortonormale {e1 , e2 }:
f = −mge2 ,
G−A=
L
(sin θe1 − cos θe2 ) ,
2
abbiamo:
V (θ) = −
mgL
cos θ .
2
Dalla (5.9) arriviamo alla cosidetta equazione del pendolo matematico, una equazione non lineare del secondo ordine la cui soluzione viene espressa in termini
di integrali ellittici:
3g
.
θ¨ + ω 2 sin θ = 0 , ω 2 =
2L
La rappresentazione di questa equazione nel piano delle fasi, parametrizzata
per vari valori dell’energia iniziale Eo ´e:
´ PROBLEMI DI AUTOVALORI45
5.2. SISTEMI A N GRADI DI LIBERTA:
θ˙
ω
Eo crescente
−π
π
0
θ
Fig. 1.6 - L’equazione del pendolo matematico nel piano delle fasi.
Dalla condizione di minimo (5.33) otteniamo due configurazioni di equilibrio,
θ1 = 0 e θ2 = π. Poich´e:
d2 V
mgL
cos θ ,
=
dx2
2
per il criterio di Dirichlet-Lagrange, la configurazione θ1 = 0 ´e stabile, θ2 = π ´e
una configurazione instabile e la rigidezza generalizzata ´e data dalla:
mgL
mgL
cos θ1 =
.
k¯ =
2
2
L’equazione che descrive i piccoli moti oscillatori nell’intorno della configurazione di equilibrio stabile θ1 = 0 ´e quindi:
θ¨ + ω 2 θ = 0 ,
5.2
ω2 =
3g
.
2L
Sistemi a N gradi di libert´
a: problemi di
autovalori
Consideriamo un sistema descritto da N coordinate Lagrangiane t 7→ xk (t),
k = 1, 2, . . . N :
x(t) ≡ (x1 (t) , x2 (t) , . . . xN −1 (t) , xN (t)) ;
l’energia cinetica di questo sistema ´e, nel pi´
u generale dei casi, una funzione
˙
delle coordinate lagrangiane x e della loro velocit´a x:
T = T (x˙ , x) ,
(5.37)
46
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI
mentre, nell’ipotesi che il sistema sia conservativo, l’energia potenziale sar´a
necessariamente una funzione delle sole coordinate lagrangiane:
V = V (x) .
(5.38)
Le equazioni di moto del sistema possono essere ottenute mediante le Equazioni di Lagrange di seconda specie:
∂L
∂L
d
−
= 0 , k = 1, 2, . . . N ,
(5.39)
dt ∂ x˙ k
∂xk
dove la Lagrangiana L ´e definita come
L(x˙ , x) = T (x˙ , x) − V (x) ,
(5.40)
ed alle quali sono associate le condizioni iniziali:
˙
x(0)
= vo ,
x(0) = xo .
Sia xe una configurazione di equilibrio per il sistema:
dV dV
∂V
=
, k = 1, 2 . . . N ;
= 0,
dx xe
dx k
∂xk
(5.41)
(5.42)
per il criterio di Dirichlet-Lagrange una configurazione di equilibrio ´e:
• Stabile, se in xe l’energia potenziale ha un minimo locale, ovvero la matrice
Hessiana:
2 d V
d2 V ∂V
,
=
, i, k = 1, 2 . . . N ,
dx2 xe
dx2 ik
∂xi ∂xk
´e definita positiva.
• Instabile, se in xe l’energia potenziale ha un massimo locale, ovvero la
matrice Hessiana ´e definita negativa;
• Indifferente, se in xe l’energia potenziale ha un flesso, ovvero la matrice
Hessiana ´e degenere.
Sviluppando l’energia potenziale in serie di Taylor nell’intorno di una configurazione di equilibrio stabile si ottiene:
V (x) = V (xe )+
dV 1 d2 V ·(x−xe )+
(x−xe )·(x−xe )+o(kx−xe k2 ) (5.43)
dx xe
2 dx2 xe
da cui per l’annullarsi dei primi due termini ed a meno di infinitesimi di ordine
superiore si riduce alla:
V (x) =
1
K(x − xe ) · (x − xe ) > 0 ,
2
(5.44)
´ PROBLEMI DI AUTOVALORI47
5.2. SISTEMI A N GRADI DI LIBERTA:
dove la matrice Hessiana, simmetrica e definita positiva
d2 V K=
,
dx2 xe
´e la Rigidezza generalizzata del sistema.
Sviluppando l’energia cinetica in serie di Taylor rispetto alla velocit´a x˙
nell’intorno del punto x˙ = 0 ed x = xe abbiamo:
dT 1 d2 T ˙ 2)
T (x˙ , x) = T (0 , xe ) +
· x˙ +
x˙ · x˙ + o(kxk
(5.45)
dx˙ (0 ,xe )
2 dx˙ 2 (0 ,xe )
per l’annullarsi dei primi due termini ed a meno di infinitesimi di ordine superiore l’energia cinetica si riduce ad una forma quadratica della velocit´a lagrangiana:
˙ =
T (x)
1
Mx˙ · x˙ > 0 ,
2
(5.46)
dove la matrice Hessiana, simmetrica e definita positiva
d2 T ∂T
M=
, Mik =
, i, k = 1, 2 . . . N ,
2
∂
x
˙
˙k
(0
,x
)
˙
dx
e
i∂x
´e la Massa generalizzata del sistema.
Mediante le (5.39) arriviamo pertanto alle equazioni di moto per un sistema
ad N gradi di libert´
a con le associate condizioni iniziali (5.41):
M¨
x + Kx = f ,
(5.47)
dove f rappresenta le azioni, conservative e non conservative applicate al sistema.
Il moto del sistema ´e descritto pertanto da un sistema di N equazioni differenziali
ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti.
Osservazione 11 Conservazione dell’energia totale
Se l’energia totale ´e ottenuta come sviluppo in serie intorno ad una configurazione di equilibrio stabile, l’equazione (5.47) pu´o essere ottenuta mediante la
conservazione dell’energia totale espressa mediante la (5.44) e la (5.46).
5.2.1
L’equazione omogenea: modi e frequenze proprie
Consideriamo il problema di moto libero, ovvero il problema omogeneo Po che si
ottiene dalla (5.47) con f = 0 ed assegnate condizioni iniziali (5.41). Cerchiamo
per Po soluzioni del tipo:
x(t) = ueαt ,
u = cost. ;
(5.48)
osserviamo che queste soluzioni rappresentano il moto del sistema intorno ad
una configurazione assegnata rappresentata dal vettore u ≡ (u1 , u2 , . . . uN ).
Sostituendo nella (5.47) con f = 0 si giunge al problema agli autovalori in
dimensione N :
(α2 M + K)u = 0 ,
(5.49)
48
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI
che ammette N autocoppie (αk , uk ), k = 1, 2, . . . N con gli autovalori complessi
αk :
αk = ±iωk ,
soluzione dell’equazione secolare:
det(α2 M + K) = 0 ,
(5.50)
e gli autovettori uk ∈ ker(αk2 M + K), k = 1, 2, . . . N .
Se consideriamo due autovalori distinti αk 6= αj cui sono associati rispettivamente gli autovettori uk ed uj abbiamo:
αk2 Muk + Kuk = 0 ,
αj2 Muj + Kuj = 0 ;
moltiplicando la prima equazione per uj , la seconda per uk e sottraendo membro
a membro si ha:
αk2 Muk · uj + Kuk · uj − αj2 Muj · uk − Kuj · uk = 0 ,
che per la simmetria delle matrici delle masse e delle rigidezze si riduce alla:
(αk2 − αj2 )Muk · uj = 0 ,
k, j = 1, 2, . . . N ,
(5.51)
che essendo i due autovalori distinti fornisce la condizione di ortogonalit´a per
gli autovettori:
Muk · uj = 0 ,
k 6= j ,
k, j = 1, 2, . . . N .
(5.52)
Il prodotto scalare definito mediante la (5.52), poich´e M ´e definita positiva
definisce una norma:
kuk2M = Mu · u > 0 ,
ed essendo lo spazio delle coordinate lagrangiane a dimensione finita N , questa
norma ´e equivalente alla norma euclidea cui si ridurrebbe se M = I. La (5.52)
pu´
o essere pertanto completata nella:
Muk · uj = δkj ,
k, j ,
k, j = 1, 2, . . . N .
(5.53)
ed gli autovalori formano una base ortonormale {u1 , u2 , . . . uN } nello spazio
delle coordinate lagrangiane; per effetto della (5.53) si ha inoltre che:
ωk2 = Kuk · uk ,
Kuk · uj = 0 ,
k, j = 1, 2, . . . N .
(5.54)
Diciamo modi propri di vibrare gli autovalori uk , frequenze proprie i moduli
ωk degli autovalori e spettro in frequenza la collezione {ω1 , ω2 , . . . ωN }. Poich´e
gli autovalori sono una base ortonormale, il moto del sistema viene rappresentato
come una combinazione dei modi propri di vibrare mediante gli N moti armonici:
ak sin ωk t + bk cos ωk t ,
´ PROBLEMI DI AUTOVALORI49
5.2. SISTEMI A N GRADI DI LIBERTA:
ovvero:
x(t) =
N
X
(ak sin ωk t + bk cos ωk t)uk ,
(5.55)
k=1
essendo le 2N costanti (ak , bk ) determinabili mediante le condizioni iniziali
(5.41). Si ha infatti:
x(0) =
N
X
˙
x(0)
=
bk uk = xo ,
k=1
da cui:
ak =
5.2.2
N
X
ak ωk uk = vo ,
k=1
vo · uk
,
ωk
bk = xo · uk ,
k = 1, 2, . . . N .
(5.56)
La soluzione particolare: analisi modale
Se adesso consideriamo il problema di moto forzato, ovvero il problema particolare P1 che si ottiene dalla (5.47) con condizioni iniziali omogenee. Poich´e gli
autovettori formano una base nello spazio dellle coordinate lagrangiane, rappresentiamo la soluzione del problema P1 come una combinazione lineare dei modi
mediante delle coordinate modali t 7→ gk (t), k = 1, 2 . . . N :
x(t) = gk (t)uk .
(5.57)
Sostituendo nella (5.47) si ha
g¨k (t)Muk + gk (t)Kuk = f ,
e moltiplicando per uj :
g¨k (t)Muk · uj + gk (t)Kuk · uj = f · uj .
Se definiamo i fattori di partecipazione modale:
Γk = f · uk ,
(5.58)
ovvero le componenti dell’azione esterna f nella base degli autovettori, per la
(5.53) e la (5.54) si arriva alle N equazioni, formalmente analoghe alla (5.15),
per il problema di moto forzato:
g¨k + ωk2 gk = Γk ,
k = 1, 2, . . . N .
(5.59)
Se assumiamo che la forza esterna abbia una frequenza ωo , allora per il
sistema avremo N fattori di amplificazione Bk e frequenze di risonanza ωk = ωo ,
k = 1, 2, . . . N :
ωo
Γk
1
Bk
=
,
ωk
ωk 1 − ( ωωko )2
e si ha:
max kx(t)k =
q
2 .
B12 + B22 + · · · + BN
50
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI
max kxk
ω1 ω2
ωo
ωk
ω3
Figura 1.7 - Ampiezza massima max kxk per un sistema con N = 3.
Esempio 8 Telaio Shear-type, N = 2
Consideriamo il telaio shear-type con m e k rispettivamente la massa e la rigidezza del piano: detti x1 ed x2 gli spostamenti di piano, dove x2 ´e lo spostamento
dell’ultimo piano e dette F1 , F2 le azioni di piano, per la (4.23) abbiamo:
F1 − m¨
x1
= kx1 − k(x2 − x1 ) ,
F2 − m¨
x2
= k(x2 − x1 ) ,
(5.60)
m
x2
F2
k
m
-
x1
F1
k
Telaio ”shear-type” N = 2
che pu´
o essere riscritta nella forma (5.47) avendo posto:
m 0
2k −k
x1
[M] ≡
, [K] ≡
, [x] ≡
,
0 m
−k k
x2
[f ] ≡
F1
F2
.
Le autocoppie, con gli autovettori normalizzati rispetto alla matrice delle masse,
sono:
´ PROBLEMI DI AUTOVALORI51
5.2. SISTEMI A N GRADI DI LIBERTA:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ω12
ω22
=
k
0, 381 m
=
k
2, 618 m
u1 ≡
√1
m
u2 ≡
√1
m
0, 52
0, 85
0, 85
−0, 52
I fattori di partecipazione modale delle azioni esterne sono:
Γ1
1
= f · u1 = √ (0, 52F1 + 0, 85F2 ) ,
m
Γ2
1
= f · u2 = √ (0, 85F1 − 0, 52F2 ) .
m
Esempio 9 Trave ad elasticit´
a concentrata, N = 2
Consideriamo la trave formata da tre aste rigide di lunghezza l e massa m > 0
collegate da molle aventi relazione costitutiva M = −kθ, k > 0. Assumiamo
come coordinate lagrangiane gli abbassamenti delle due cerniere, (v1 , v2 ).
52
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI
k
k
m
l
m
l
m
l
v1
θ1
v2
θ2
θ3
−θ3
Trave ad elasticit´a concentrata, N = 2
L’energia cinetica del sistema ´e:
1
T = m
2
ml2 ˙2 ml2 ˙2
θ +
θ +m
3 1
12 2
v˙ 1 + v˙ 2
2
2
ml2 ˙2
+
θ
3 3
che, essendo:
θ1 =
v1
,
l
θ2 =
v2 − v1
,
l
θ3 =
v2
,
l
diviene:
T =
1
m
2
2 2 2 2 1
v˙ + v˙ + v˙ 1 v˙ 2
3 1 3 2 3
,
da cui la matrice delle masse:

[M] ≡ m 
2
3
1
6
1
6
2
3

.
L’energia potenziale elastica ´e invece:
V =
1
k(θ1 − θ2 )2 + k(θ2 + θ3 )2 ,
2
che diviene:
V =
1k
5v12 + 5v22 − 8v1 v2 ,
2 l2
ed alla quale ´e associata la matrice delle rigidezze:

5
k 
[K] ≡ 2
l
−4
−4

.
5
I modi e le frequenze proprie del sistema sono:
!
,
5.3. CARATTERE VARIAZIONALE DELLE FREQUENZE PROPRIE
u1 ≡
0,774
√
m
1
1
u2 ≡
QQ
QQ
√1
m
1
−1
53
QQ
QQ
QQ
QQ
k
ω12 = 1, 2 ml
2
k
ω12 = 18 ml
2
Se supponiamo agenti due carichi verticali F nei punti medi della prima
e della seconda asta, per determinare le componenti della azione esterna F
valutiamo il potenziale dei carichi:
Vf = F
1
1
v1
+ F (v1 + v2 ) = F (v1 + v2 ) = f · x ,
2
2
2
da cui:
[f ] ≡
F
F/2
.
I fattori di partecipazione modale del carico divengono in questo caso:
F
Γ1 = 1, 16 √ ,
m
5.2.3
F
Γ2 = 0, 5 √ .
m
Sistemi smorzati
La generalizzazione ad N gradi di libert´a dell’equazione (5.23) ´e la:
M¨
x + Cx˙ + Kx = f ,
(5.61)
dove la matrice definita positiva C ´e la matrice degli smorzamenti.
5.3
5.3.1
Carattere variazionale delle frequenze proprie
Problemi di minimo vincolato
Consideriamo l’energia potenziale associata al moto t 7→ x(t):
V (x(t)) =
1
1
Kx(t) · x(t) = e2αt Ku · u ;
2
2
(5.62)
ci poniamo il problema di cercare, se esistono, degli autovettori u ∈ V (lo spazio
vettoriale a dimensione N ) che per un dato istante t rendono minima l’energia
54
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI
potenziale. La ricerca del minimo ha senso, per la condizione di ortonormalit´a
(5.53), sulla sfera unitaria:
B ≡ {u ∈ V | Mu · u = 1} ,
e pertanto il problema di minimo si pu´o formulare come:
min V¯ (u) = Ku · u ,
(5.63)
u∈B
o in maniera del tutto equivalente mediante il moltiplicatore di Lagrange λ:
min V ∗ (u , λ) = Ku · u − λ(Mu · u − 1) .
u∈V
(5.64)
La condizione di minimo (5.64) ´e:
Ku − λMu = 0 ,
u ∈ B,
(5.65)
che, provvista l’identificazione del moltiplicatore di Lagrange λ con la frequenza
ω 2 , ´e il problema agli autovalori (5.49). Le autocoppie (ωk , uk ) sono pertanto
dei minimizzatori dell’energia potenziale sulla sfera B e si ha
V ∗ (uk , ωk ) = 0 ,
k = 1, 2, . . . N ;
se allora consideriamo un vettore v non nullo, si avr´a, indicando con ω 2 un’autovalore generico:
V ∗ (v , ω) = Kv · v − ω 2 Mv · v ≥ 0 ,
∀v ∈ V/{0} ,
(5.66)
valendo l’eguaglianza se v ´e l’autovettore associato ad ω 2 . Dalla (5.66) si ha
pertanto:
Kv · v
≥ ω2 .
(5.67)
Mv · v
5.3.2
Il quoziente di Rayleight
Si definisce quoziente di Rayleight la funzione positiva ed omogenea di grado
zero definita su V/{0}:
V/{0} 3 v 7→ F(v) =
Kv · v
> 0;
Mv · v
(5.68)
come visto dalla (5.67) esiste una relazione tra il quoziente di Rayleight e le
autocoppie del problema (5.49).
Indichiamo con:
Vm ≡ {v ∈ V/{0} | Mv · uj ,
j = 1, 2, . . . m − 1} ,
(5.69)
il sottospazio di V/{0}, a dimensione N − m + 1, dei vettori ortogonali ai primi
m − 1 modi di vibrare (chiaramente V1 ≡ V/{0}).
5.3. CARATTERE VARIAZIONALE DELLE FREQUENZE PROPRIE
55
Teorema 1 L’autovettore um rende minimo il quoziente di Rayleight sul sottospazio Vm :
• (i) F(um ) = min F(v) ,
2
• (ii) ωm
= min F(v) ,
su Vm ;
su Vm .
Ogni elemento v ∈ Vm pu´
o rappresentarsi come:
v = ck uk ,
k = m,m + 1,...N ,
per la definizione di Vm ; abbiamo pertanto
F(v) =
ck cj Kuk · uj
,
ck cj Muk · uj
j, k = m , m + 1 , . . . N .
Se uk ´e un’autovettore, allora Kuk = ωk2 Muk , per cui:
F(v) = ωk2
ck cj Muk · uj
= ωk2 ,
ck cj Muk · uj
j, k = m , m + 1 , . . . N .
2
il pi´
u piccolo degli autovalori ωk2 , si ha:
Se indichiamo con ωm
2
F(v) ≥ ωm
;
(5.70)
2
, um ) ´e una autocoppia, si ha
poich´e infine se (ωm
2
F(um ) = ωm
,
(5.71)
e dalla (5.70) e dalla (5.71) si giunge alla tesi:
F(v) ≥ F(um ) ,
v ∈ Vm .
Questo Teorema pu´
o essere invertito in due parti:
Teorema 2 Se v ∈ V/{0} e F(v) = min F(u), u ∈ V/{0}, allora:
• (i) Kv = F(v)Mv ;
• (ii) ω12 = F(v) .
Poich´e v ´e un minimo, per ∈ R un piccolo parametro ed u ∈ V, indicando
con Φ() = F(v + u), si ha
Φ() ≥ Φ(0) ,
Poich´e:
Φ() =
dΦ
(0) = 0 ;
d
Kv · v + 2Ku · v + 2 Ku · u
,
Mv · v + 2Mu · v + 2 Mu · u
(5.72)
56
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI
dalla condizione (5.72)2 si ha:
(Kv · u)(Mv · v) − (Mv · u)(Kv · v)
= 0,
(Mv · v)2
ed essendo Kv · v = F(v)Mv · v, si arriva alla condizione di annullamento del
numeratore:
Kv · u − F(v)Mv · u = (Kv − F(v)Mv) · u = 0 ,
∀u ∈ V .
Di conseguenza
Kv − F(v)Mv = 0 ,
e v ´e un autovettore e F(v) l’autovalore corrispondente. Calcolando F(u1 ) =
ω12 , se F(v) ´e un minimo, necessariamente:
ω12 ≥ F(v) ,
ed essendo v un minimo non esiste autovalore pi´
u piccolo di ω12 .
Teorema 3 Se v1 , v2 , . . . , vN sono le soluzioni dei seguenti problemi di minimo:
F(vm ) = min F(v) , su Vm , m = 1, 2, . . . N ;
allora {F(v1 ) ≤ · · · ≤ F(vm )} ´e lo spettro degli autovalori e {v1 , . . . vm } la
collezione degli autovettori del problema (5.49).
Il Teorema 2 mostra vera la tesi per m = 1. Per induzione possiamo
dimostrare vera la tesi sino all’ordine m = N − 1 e si ha
uk = vk ,
ωk2 = F(vk ) ,
k = 1, 2, . . . N − 1 ,
ed i sottospazi caVk , k = 2, . . . N − 1 sono tra loro ortogonali. Per m = N :
F(vN ) = min F(v) , su VN .
Considerando allora un vettore u ∈ VN , con la medesima procedura adottata
per la dimostrazione del Teorema 2 si mostra che (F(vN ) , vN ) ´e una autocoppia
del problema (5.49). Essendo:
V1 ⊃ V2 ⊃ . . . ⊃ VN ,
sussiste la seguente relazione tra i minimi:
F(vN ) ≥ F(vN −1 ) ≥ . . . F(v2 ) ≥ F(v1 ) ,
ovvero
2
2
2
F(vN ) ≥ ωN
−1 ≥ . . . ω2 ≥ ω1 .
2
2
2
Se F(vN ) ed ωN
fossero distinti, oppure se ωN
= ωN
−1 la condizione di
ortogonalit´
a dell’autovettore uN rispetto agli N − 1 sottospazi sarebbe violata.
Pertanto anche l’N − esimo minimo ´e un’autovalore di (5.49).
2
F(vN ) = ωN
.
5.3. CARATTERE VARIAZIONALE DELLE FREQUENZE PROPRIE
57
Una importante conseguenza dei precedenti Teoremi ´e data dai Teoremi di
Monotonia:
Teorema 4 Primo teorema di monotonia: Se un sistema S ∗ ´e ottenuto da un
sistema S mediante l’aggiunta di r vincoli, allora:
2
ωk2 ≤ (ωk∗ )2 ≤ ωk+r
,
k = 1, 2, . . . N − r .
Teorema 5 Secondo teorema di monotonia: Siano due sistemi S¯ e S con
F(¯
v) ≤ F(v); allora:
ωk2 ≥ ω
¯ k2 , k = 1, 2, . . . N .
Esempio 10 : Trave ad elasticit´
a concentrata, N = 3
Consideriamo la trave formata da quattro aste rigide di lunghezza l e massa m > 0 collegate da molle aventi relazione costitutiva M = −kθ, k >
0. Assumiamo come coordinate lagrangiane gli abbassamenti delle cerniere,
(v1 , v2 , v3 ).
k
k
m
l
v1
θ1
k
m
l
m
l
v2
θ2
m
l
v3
θ4
θ3
Trave ad elasticit´a concentrata, N = 3
L’energia cinetica del sistema ´e:
!
2
2
ml2 ˙2 ml2 ˙2
v˙ 1 + v˙ 2
ml2 ˙2
v˙ 2 + v˙ 3
ml2 ˙2
1
θ +
θ +m
+
θ +m
+
θ
,
T = m
2
3 1
12 2
2
12 3
2
3 4
che, essendo:
θ1 =
diviene:
v1
,
l
1
T = m
2
θ2 =
v2 − v1
,
l
θ3 =
v2 − v3
,
l
θ4 =
2 2 2 2 2 2 1
1
v˙ + v˙ + v˙ + v˙ 1 v˙ 2 + v˙ 2 v˙ 3
3 1 3 2 3 3 3
3
da cui la matrice delle masse:

2
3


[M] ≡ m 
 ·

·
1
6
0

2
3
1
6
·
2
3


.


v4
,
l
,
58
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI
L’energia potenziale elastica ´e invece:
V =
1
k(θ1 − θ2 )2 + k(θ2 − θ3 )2 + k(θ3 + θ4 )2 ,
2
che diviene:
V =
1k
5v12 + 6v22 + 5v32 − 8v1 v2 + 2v1 v3 − 8v2 v3 ,
2
2l
ed alla quale ´e associata la matrice delle rigidezze:


5 −4 1



k 

6 −4 
[K] ≡ 2  ·
.
l 

·
·
5
Stimiamo lo spettro in frequenza del sistema mediante il quoziente di Rayleight. Stante la simmetria del sistema, assumiamo come primo vettore un
vettore che rappresenta un modo simmetrico:
ZZ
J
J
Z
Z
J
Z
J
J
J J
da cui:
F(w1 ) =

1
w1 ≡  −1 
1

Kw1 · w1
k
= 25, 49 2 ;
Mw1 · w1
ml
I due successivi vettori di tentativo, w2 e w3 devono appartenere a sottospazi
ortogonali a tutti i vettori di tentativo precedenti, ovvero:
w2 ∈ V 1
≡
{w ∈ V | w · w1 = 0} ,
w3 ∈ V 2
≡
{w ∈ V | w · w1 = 0 , w · w2 = 0} ;
se quindi poniamo


a
w2 ≡  b  ,
c


a
¯
w3 ≡  ¯b  ,
c¯
avremo:
w2 · w1 = a − b + c = 0 .
Se ad esempio scegliamo, stante la simmetria del sistema a = c = 1, otteniamo
b=2
5.3. CARATTERE VARIAZIONALE DELLE FREQUENZE PROPRIE
XXXXX
XXX
X
da cui:
F(w2 ) =
59


1
w2 ≡  2 
1
Kw2 · w2
k
= 0, 75 2 .
Mw2 · w2
ml
Infine, dovendo essere:
w3 · w1 = a − b + c = 0 ,
w3 · w2 = a
¯ + 2¯b + c¯ = 0 ,
assumendo a
¯ = 1 abbiamo ¯b = 0 e c¯ = −1
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z

1
w3 ≡  0 
−1

dal quale si ha il quoziente:
F(w3 ) =
k
Kw3 · w3
=6 2.
Mw3 · w3
ml
Ordinando i quozienti si ha:
F(w2 ) < F(w3 ) < F(w1 ) ,
e di conseguenza le stime delle frequenze proprie del sistema sono:
ω12 ≤ 0, 75
k
,
ml2
ω22 ≤ 6
k
,
ml2
ω32 ≤ 25, 49
k
.
ml2
Un criterio per ottenere una buona stima mediante il quoziente di Rayleight
´e quello di assumere come vettore di tentativo il vettore corrispondente alla
deformata statica:
¯ 1 = K−1 f ∗ ,
w
dove il vettore delle azioni f ∗ ´e proporzionale alle masse del sistema nel senso
che:


1
[f ∗ ] ≡ [M]  1  .
1
60
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI
Nel nostro caso si ha


0, 8334
,
¯ 1] ≡ 
1
[w
0, 8334
¯ 1 ) = 0, 465
F(w
k
.
ml2
Assumendo poi i due successivi vettori di tentativo:


0, 6
k
¯ 2 ] ≡  −1  , F(w
¯ 2 ) = 26, 697 2 ,
[w
ml
0, 6
e


1
¯ 3] ≡  0  ,
[w
−1
¯ 3) = 6
F(w
k
,
ml2
arriviamo ad una migliore stima complessiva della prima frequenza restando
accettabile la stima della terza:
ω12 ≤ 0, 465
k
,
ml2
ω22 ≤ 6
k
,
ml2
ω32 ≤ 26, 697
k
.
ml2
Esempio 11 : Teoremi di monotonia
Mediante il primo teorema di monotonia possiamo stimare la frequenza ω2
della trave ad elasticit´
a concentrata a tre gradi di libert´a dell’esempio precedente. Infatti rigidificando la cerniera centrale otteniamo un sistema a due gradi di
libert´
a con frequenze ω
¯ 1 ed ω
¯ 2 per le quali vale:
k
k
m
2m
m
l
2l
l
ω1 ≤ ω
¯ 1 ≤ ω2 ,
ω2 ≤ ω
¯ 2 ≤ ω3 ,
da cui la stima per ω2 :
ω
¯ 1 ≤ ω2 ≤ ω
¯2 .
La soluzione esatta del problema per il sistema a due gradi di libert´a ´e nota e
si ha:
k
k
0, 75 2 ≤ ω22 ≤ 6 2 .
ml
ml
Esempio 12 : Telaio Shear-type N = 3
Consideriamo il telaio shear-type con m e k rispettivamente la massa e la
rigidezza del piano: detti xk , Fk , k = 1, 2, 3 gli spostamenti e le azioni di piano,
dove x3 ´e lo spostamento dell’ultimo piano abbiamo:
5.3. CARATTERE VARIAZIONALE DELLE FREQUENZE PROPRIE
m
61
x3
F3
k
m
x2
F2
k
m
x1
F1
k
Telaio ”shear-type” N = 3

m
[M] ≡  0
0
0
m
0

0
0 ,
m

2k
[K] ≡  −k
0
−k
2k
−k

0
−k  ,
k


x1
[x] ≡  x2  ,
x3

F1
[f ] ≡  F2  .
F3
Stimiamo le frequenze mediante il quoziente di Rayleight. Scelto come stima
del primo modo il vettore di spostamento corrispondente alla deformata statica per un sistema di azioni proporzionale alle masse, ovvero F1 = F2 = F3 ,
abbiamo:

62
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI

k
F(u1 ) = 0, 200 m
≥ ω12 ;

1, 00
u1 ≡  1, 66 
2, 00
Stima del primo autovalore
e successivamente, presi u2 ed u3 rispettivamente tali che u2 · u1 = 0 e u3 · u1 =
u3 · u2 = 0:
S
S
S
S
S
S
B
B
B
B
B
B

k
F(u2 ) = 1, 56 m
≥ ω22 ;
Stima del secondo autovalore

1, 00
u2 ≡  0, 40 
−0, 83
5.4. METODI DI SOLUZIONE APPROSSIMATI
,
,
,
,
,
,
,
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
63


1, 00
u3 ≡  −1, 29 
0, 57
k
F(u3 ) = 3, 246 m
≥ ω32 ;
Stima del terzo autovalore
valori che approssimano molto bene la soluzione esatta:
ω12 = 0, 198
5.4
5.4.1
k
,
m
ω22 = 1, 55
k
,
m
ω32 = 3, 24
k
.
m
Metodi di soluzione approssimati
Il metodo di Stodola
Il metodo di Stodola ´e un metodo iterativo per la soluzione del problema agli
autovalori per l’equazione (5.49). Posto −ω 2 = α2 , possiamo riscrivere la (5.49)
come:
1
Dvk = 2 vk , D = K−1 M ,
(5.73)
ωk
dove D ´e detta matrice dinamica e (ωk , vk ) sono le autocoppie del problema.
Detti vk , k = 1, 2, . . . N gli autovalori di (5.49), rappresentiamo un vettore di
tentativo vI come:
vI = ck vk , k = 1, 2, . . . N .
Sostituendo nella (5.73):
DvI
1
1
1
= D(ck vk ) = c1 2 v1 + c2 2 v2 + . . . + cN 2 vN
ω1
ω2
ωN
1
ω12
ω12
=
c1 v1 + c2 2 v2 + . . . + cN 2 vN
ω12
ω2
ωN
1 II
v ,
=
ω12
64
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI
dove vII ´e il secondo vettore di tentativo. Riapplicando:
1
ω14
ω14
DvII =
c
v
+
c
v
+
.
.
.
+
c
v
1
1
2
2
N
N
4
ω14
ω24
ωN
1 III
=
v ,
ω12
si arriva alla forma ricorsiva
Dvm−1 =
1 m
v ,
ω12
dove il vettore di tentativo m−esimo ´e definito dalla:
2(m−1) !
2(m−1)
ω
1
ω
1
1
+ . . . + cN v N
.
vm = 2(m−1) c1 v1 + c2 v2
ω2
ωN
ω1
Poich´e ω1 ≤ ω2 ≤ . . . ωN , per m > m
¯ si ha:
c1
vm u 2(m−1) v1 ,
ω1
(5.74)
e vm converge al primo autovettore. Per m > m
¯ consideriamo le componenti:
c1
c1
[vm ]k = 2(m−1) [v1 ]k , [vm+1 ]k = 2(m) [v1 ]k ,
ω1
ω1
ed otteniamo la stima della prima frequenza:
[vm ]k
u ω12 .
[vm+1 ]k
(5.75)
Dopo avere ottenuto la stima della prima autocoppia (ω1 , v1 ) si procede alla
stima della seconda autocoppia assumendo un vettore di tentativo wI ortogonale
in massa al primo autovetture:
Mv1 · wI = 0 ;
questa condizione implica che solo N − 1 componenti del vettore wI siano indipendenti. Pertanto, dette vj ≡ [v]j , wj ≡ [wI ]j ed Mij ≡ [M]ij le componenti
si ha:
Mkj vj
w1 = −
wk , j = 1, 2, . . . N , k = 2, 3, . . . N .
M1j vj
Possiamo pertanto introdurre la matrice di ortogonalizzazione S1 tale che:
wI = Sw ,
w ∈ RN ,
Mv1 · wI = 0 ,
e definita come



[S1 ] ≡ 


0
0
0
...
0
a12
1
0
...
0
a13
0
1
...
0
...
...
...
...
...
a1N
0
0
...
1



,


a1k = −
Mkj vj
.
M1j vj
5.4. METODI DI SOLUZIONE APPROSSIMATI
65
Mediante la matrice di ortogonalizzazione possiamo pertanto arrivare alla forma
ricorsiva per il secondo autovetture:
DS1 wm−1 =
1 m
w ,
ω22
e determinare la stima della seconda autocoppia come nel caso precedente. Per
determinare la seconda autocoppia, detto kI il vettore di tentativo si devono
avere le due condizioni di ortogonalit´a:
Mvα · kI = 0 ;
mediante la matrice

0
 0

[S1 ] ≡ 
 0
 ...
0
di ortogonalizzazione S2 :

0 a13 . . . a1N
0 a23 . . . a2N 

Mkj vj
0
1 ...
0 
 , aαk = − Mαj vj , α = 1, 2 ,
... ... ... ... 
0
0 ...
1
abbiamo:
DS2 km−1 =
1 m
k .
ω32
Il procedimento pu´
o essere ripetuto per determinare le prime N − 1 autocoppie,
essendo l’autovettore vN dato dalla condizione di ortogonalit´a in massa:
Mvk · vN = 0 ,
k = 1, 2, . . . N − 1 ,
2
calcolato mediante la (5.73).
ed il corrispondente autovalore ωN
Esempio 13 : Telaio shear-type N = 3
Consideriamo il telaio shear-type dell’esempio precedente. La matrice D per
il sistema ´e:


1 1 1
m
1 2 2 .
[D] ≡
k
1 2 3
Assumendo come vettore di tentativo per il primo modo:
 
1
[vI ] ≡  2  ,
3
otteniamo:


1
6m
 1, 83  ,
[DvI ] = [vII ] ≡
k
2, 33


1
5,
56m
[DvII ] = [vIII ] ≡ (
)2  1, 80  ,
k
2, 25
66
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI


1
5,
39m
[DvIII ] = [vIV ] ≡ (
)3  1, 80  .
k
2, 24
Possiamo quindi assumere vIV = v1 mentre la stima della prima frequenza ´e
data dalla:
k
[vIII ]1
ω12 u IV = 0, 197 .
[v ]1
m
La matrice di ortogonalizzazione S1 ´e in questo caso:


0 −1, 8 −2, 24
.
1
0
[S1 ] ≡  0
0
0
1
Se come vettore di tentativo per il secondo modo scegliamo:


1
[w] ≡  0  ,
−1
abbiamo:


1
1,
24m
 0, 19  .
[DS1 w] = [wI ] ≡
k
−0, 60
Proseguendo con le iterazioni abbiamo:


1
m
[DS1 wI ] = [wII ] ≡ 0, 59( )2  0, 32  ,
k
−0, 70


1
m
[DS1 wII ] = [wIII ] ≡ 0, 61( )3  0, 38  ,
k
−0, 75


1
m
[DS1 wIII ] = [wIV ] ≡ 0, 63( )4  0, 41  ,
k
−0, 77


1
m
[DS1 wIV ] = [wV ] ≡ 0, 635( )5  0, 43  ,
k
−0, 78


1
m
[DS1 wV ] = [wV I ] ≡ 0, 637( )6  0, 44  ,
k
−0, 79
Assumiamo wV I = v2 essendo la stima della seconda frequenza pari a:
ω22 u
[vV ]1
k
= 1, 56 .
[vV I ]1
m
5.4. METODI DI SOLUZIONE APPROSSIMATI
67
Il terzo modo di vibrare ´e ortogonale in massa ai precedenti ed ´e quindi
ottenibile dalle:
Mv1 · v3 = 0 , Mv2 · v3 = 0 ,
risultando pari a:


1
[v3 ] ≡  −1, 25  ,
0, 56
mentre la terza frequenza ´e data dalla:
ω32 = (Dv3 · v3 )−1 = 3, 26
5.4.2
k
.
m
Il metodo di Holtzer
Il metodo di Holtzer ´e un metodo ”errore-tentativo” per la determinazione degli
autovettori dell’equazione (5.49), applicabile quando la matrice M ´e diagonale
e la matrice K ´e a banda, come nel caso delle strutture shear-type. Se il sistema
ha dimensione n, dalla (5.49) ponendo −ω 2 = α2 abbiamo in tal caso, essendo:


m 0
0 ... 0
0
 0 m 0 ... 0
0 


 0
0
m
.
.
.
0
0 
,

[M] ≡ 

 ... ... ... ... ... ... 
 0
0
0 ... m 0 
0
0
0 ... 0 m




[K] ≡ 



2k
−k
0
...
0
0
−k
2k
−k
...
0
0
0
−k
2k
...
0
0
... 0
... 0
... 0
... ...
. . . 2k
. . . −k
0
0
0
...
−k
k




,



le n equazioni scalari:
−ω 2 mu1
2
+
2ku1 − ku2 = 0 ,
−ω mu2
−
ku1 + 2ku2 − ku3 = 0 ,
−ω 2 mu3
−
ku2 + 2ku3 − ku4 = 0 ,
(5.76)
...
2
−ω mun−1
−
kun−2 + 2kun−1 − kun = 0 ,
−ω 2 mun
−
kun−1 + kun = 0 .
Risolvendo la prima per u1 abbiamo:
u2 =
2k − ω 2 m
u1 ,
k
(5.77)
68
CAPITOLO 5. SISTEMI DISCRETI
che consente di determinare u2 assegnati ω 2 ed u1 , ed in cascata:
u3
=
u4
=
...
un
=
2k − ω 2 m
u2 − u1 ,
k
2k − ω 2 m
u3 − u2 ,
k
(5.78)
2k − ω 2 m
un−1 − un−2 .
k
Se sommiamo membro a membro le (5.76), otteniamo una espressione che
´e nulla se ω 2 , (u1 , u2 , . . . un ) ´e una autocoppia. Tale espressione fornisce una
misura della precisione della soluzione approssimata:
Rn = u1 − ω 2
m
mX
uh ,
k
(5.79)
h=1
avendosi Rn = 0 se la soluzione ´e esatta.
Esempio 14 : Telaio Shear-type N = 3
Riferendosi all’esempio precedente, se assumiamo come valore di tentativo
per ω il valore stimato mediante il quoziente di Rayleight per ω1 :
ω12 = 0, 20
k
,
m
assumendo u1 = 1 abbiamo:
u2 =
da cui
u3 =
2k − ω 2 m
u1 = 1, 80 ,
k
2k − ω 2 m
u2 − u1 = 1, 80 · 1, 80 − 1 = 2, 24 ;
k
Il resto ´e:
R3 = u1 − ω 2
m
(u1 + u2 + u3 ) = (1 − 0, 2 · (1 + 1, 80 + 2, 24)) = −0, 008 ,
k
ed il risultato ´e dunque accettabile.
Capitolo 6
Sistemi continui
6.1
Fili
Consideriamo il dominio Ω ≡ (0 , l) ed identifichiamolo con la configurazione di
riferimento di un continuo monodimensionale. Consideriamo la curva γ : Ω →
R2 semplice e regolare ed identifichiamola con la configurazione deformata di Ω.
Per x ∈ Ω indichiamo con z = z(x) la lunghezza d’arco della curva. Se
denotiamo con r(z) la azione interna in un punto p(z) di γ, definiamo filo teso
la curva γ per la quale si ha:
r(z) × w3 (z) = 0 ,
N (z) = r(z) · w3 (z) > 0 ,
∀z ∈ γ,
(6.1)
essendo N = N (z) > 0 la tensione del filo. Assumiamo nel seguito che il filo sia
inestensibile, ovvero z = x.
Indicato con f = f (z) un sistema di azioni per unit´a di lunghezza, assegnato
sulla curva γ, per l’equilibrio sulla configurazione deformata si ha:
Z
r(0) + r(l) +
l
f (z)dz = 0 ,
(6.2)
0
che per localizzazione porta all’equazione di equilibrio in forma differenziale:
r0 (z) + f (z) = 0 .
(6.3)
Rappresentando r ed f in componenti:
r = N w3 ,
f = pw1 + qw3 ,
dove le due funzioni z 7→ p(z) e z 7→ q(z) rappresentano rispettivamente le azioni
distribuite assiale e trasversale, dalla (6.3) si arriva per le (A.5) alle equazioni
di bilancio del filo teso:
Nκ − q = 0 ,
69
N0 + p = 0 .
(6.4)
70
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
Se indichiamo con z 7→ v(z) lo spostamento verticale del punto z ∈ Ω, nell’ipotesi che |v 0 | << 1 abbiamo che κ = −v 00 : se inoltre assumiamo p ≡ 0, si ha
N = costante, da cui si arriva alla equazione di bilancio per il filo teso:
N v 00 + q = 0 ,
N > 0.
(6.5)
Assumiamo che le azioni q siano decomposte in una parte non-inerziale qin
ed una inerziale qin data quest’ultima in termini di azione a la D’Alambert:
qin = −ρ¨
v,
ρ > 0,
dove ρ rappresenta la densit´
a per unit´
a di lunghezza del filo, per modo che dalla
(6.5) si giunge alla cosiddetta Equazione della Corda Vibrante:
N v 00 − ρ¨
v + q ni = 0 ,
N > 0,
(6.6)
∀t ∈ [0 , τ ) ,
(6.7)
con le appropriate condizioni al contorno:
v(0 , t) = 0 ,
v(l , t) = 0 ,
e condizioni iniziali:
v(z , 0) = vo (z) ,
v(z
˙ , 0) = wo (z) ,
∀z ∈ Ω ,
(6.8)
essendo z 7→ vo (z) e z 7→ wo (z) due funzioni note, rappresentanti rispettivamente lo spostamento trasversale e la sua velocit´a all’istante t = 0. Definiamo
Soluzione della equazione (6.6) con le condizioni (6.7) e (6.8) la funzione:
Ω × [0 , τ ) 3 (z , t) 7→ v(z , t) ∈ R .
(6.9)
Esempio 15 Statica del filo - carico uniforme: Consideriamo un filo teso caricato da una azione distribuita uniforme q(z) = −qo . Dalla (6.5) si ha:
v(z) = c1 + c2 z +
qo 2
z ,
2N
e per le condizioni al contorno v(0) = 0 e v(l) = 0 lo spostamento trasversale
diviene:
qo
v(z) =
z(l − z) .
(6.10)
2N
L’abbassamento massimo si ha in z = l/2 e vale:
vmax =
qo l 2
;
8N
(6.11)
si pu´
o osservare che non ´e possibile una configurazione di equilibrio rettilinea,
essendo questa possibile o per q0 = 0 o per N → +∞.
6.1. FILI
71
Esempio 16 Statica del filo - carico concentrato: Se assumiamo agente una
azione concentrata F in un punto z = a < l, essendo q = 0 per la (6.5) la
soluzione ´e lineare a tratti:
v1 (z)
=
z
vo ,
a
=
z−a
vo (1 −
),
l−a
0 < z < a,
(6.12)
v2 (z)
a < z < l,
dove vo indica l’abbassamento massimo in corrispondenza del carico. Dette N1
ed N2 le azioni normali costanti nei tratti v1 e v2 rispettivamente, per l’equilibrio
si ha:
N1 cos α1 − N2 cos α2 = 0 ,
(6.13)
N1 sin α1 + N2 sin α2 = F ,
dove:
tan α1 =
vo
,
a
tan α2 =
vo
.
l−a
(6.14)
Il problema ha quattro incognite, le due azioni normali N1 ed N2 ed i due angoli
α1 ed α2 ed oltre alle due equazioni di equilibrio (6.13) disponiamo della sola
equazione di congruenza che si ottiene eliminando vo dalle (6.14):
tan α1 (l − a) = tan α2 a ;
(6.15)
pertanto ´e necessario assumere un dato, ad esempio la forza normale N1 o
l’angolo alpha1 (il che equivale ad assumere lo spostamento massimo vo come
dato).
Y
H
N1
:
a
l−a
Hc
c
HH
α1
α
2
N2
HH vo H
F
?
Nel primo caso, dalle (6.13) si ricavano:
N2 = N1
cos α1
,
cos α2
N1 (sin α1 + cos α1 tan α2 ) = F ,
e mediante le (6.15) si arriva alla:
sin α1 =
F (l − a)
.
N1 l
(6.16)
72
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
Mediante le (6.15) e le (6.16) si determinano in successione α2 e N2 . Se invece
assumiamo come dato lo spostamento vo mediante le (6.15) si determinano α1
ed α2 e dalle (6.13) il valore delle azioni normali.
Se a = l/2 allora α1 = α2 = α, N1 = N2 = N ed abbiamo:
sin α =
F
,
2N
vo =
l
tan α ,
2
che nell’ipotesi che α << 1 si riducono alle:
α=
6.1.1
F
,
2N
vo =
Fl
.
4N
Soluzioni in forma d’onda
Consideriamo l’equazione omogenea normalizzata rispetto al termine inerziale,
ovvero:
N
;
(6.17)
c2 v 00 − v¨ = 0 , c2 =
ρ
l’equazione ´e iperbolica: infatti, se introduciamo la trasformazione di coordinate
ξ = z − ct ,
η = z + ct ,
(6.18)
la (6.17) si riduce alla forma vξη = 0 che ammette soluzione
v(z , t) = f (z − ct) + g(z + ct) .
(6.19)
Definiamo la soluzione f (z , t) = f (z − ct) Onda progressiva e la g(z , t) =
g(z + ct) Onda regressiva, essendo c la Velocit´
a di propagazione dell’onda. La
soluzione dell’equazione (6.17) ´e quindi data dalla somma di un’onda progressiva
ed una regressiva aventi la medesima velocit´a di propagazione.
Dalle condizioni iniziali (6.8):
vo (z) = f (z) + g(z) ,
wo (z) = −cf 0 (z) + cg 0 (z) ,
∀z ∈ Ω ;
(6.20)
assumendo che il dato iniziale vo (z) sia sufficientemente regolare:
vo0 (z) = f 0 (z) + g 0 (z) ,
(6.21)
dalla (6.20) e dalla (6.21) otteniamo
f 0 (z) =
1 0
1
(vo (z) − wo (z)) ,
2
c
g 0 (z) =
1 0
1
(vo (z) + wo (z)) ,
2
c
(6.22)
da cu integrando:
f (z)
=
g(z)
=
1
(vo (z) −
2
1 0
(v (z) +
2 o
Z
1 z
wo (ζ)dζ) + K1 ,
c 0
Z z
1
wo (ζ)dζ) + K2 .
c 0
(6.23)
6.1. FILI
73
Poich´e
f (z) + g(z) = vo (z) + K1 + K2 ,
per la (6.20) si ha K1 = −K2 = K: senza perdita di generalit´a assumiamo
K = 0. La (6.23) vale per z ∈ (0 , l) e pertanto varr´a anche per la trasformazione
di coordinate (6.19):
Z
1
1 ξ
wo (ζ)dζ) , 0 < ξ = x − ct < l ,
(6.24)
f (ξ) =
(vo (ξ) −
2
c 0
Z
1 0
1 η
wo (ζ)dζ) , 0 < η = x + ct < l ;
g(η) =
(vo (η) +
2
c 0
ne consegue che le soluzioni in forma di onda dipendono per le (6.24) solamente dalle condizioni iniziali, le quali si decompongono in due frazioni identiche sull’onda progressiva e su quella regressiva. Tali soluzioni hanno senso per
0 < z ± ct < l, t > 0 e nel dominio Ω × [0 , τ ) le condizioni iniziali individuano
il dominio di esistenza della soluzione ES:
ES ≡ {(z , t) ∈ Ω × [0 , τ ) | (z , t) ≤ z + ct − l = 0 , (z , t) ≤ z − ct = 0 t > 0} ;
le due onde associate ad un punto (¯
z , t¯) ∈ ES si ottengono mediante le rette
¯
caratteristiche per (¯
z , t).
t
x + ct − l = 0
x − ct = 0
!aa
!!
!
(¯
z
, t¯) aaa
!
aa
!
ES
aa
!!
!
a
!
0 z¯ − ct¯
z
z¯ + ct¯
Per determinare completamente la soluzione dobbiamo tenere conto anche
delle condizioni al contorno, e dalla (6.24) si ottiene:
f (ct) + g(−ct) = 0 ,
(6.25)
f (l + ct) + g(l − ct) = ,
riscrivendole dopo avere posto η = −ct nella (6.25)1 ed η = l − ct nella (6.25)2 ,
ed essendo l + ct = 2l − (l − ct), otteniamo:
f (η) = −g(−η) ,
f (2l − η) = −g(−η) ,
(6.26)
74
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
da cui discende che g(η) ´e periodica di periodo 2l:
g(η) = g(2l − η) .
(6.27)
Nota la g(η) abbiamo dalla (6.26)1 la seguente espressione della f (−η):
1
1
f (η) = −g(−η) = − (vo (−η) −
2
c
−η
Z
wo (−ct)dζ) ,
0 < η < l,
(6.28)
0
che definisce la f (η) sull’intervallo −l < η < 0.
Se adesso poniamo ξ = ct nella (6.25)1 ed ξ = −(l−ct) nella (6.25)2 , abbiamo
f (ξ) = −g(−ξ) ,
(6.29)
f (2l + ξ) = −g(−ξ) ,
dalle quali si ottiena che anche la f (ξ) ´e periodica di periodo 2l:
f (ξ) = f (2l + ξ) ,
(6.30)
e con un procedimento identico a quello adottato per estendere la f (η) all’intervallo −l < η < 0, estendiamo la g(ξ) sull’intervallo −l < ξ < 0.
In questo modo le due caratteristiche sono definite su di un periodo e pertanto sono definite su tutto R, risultando:
f (ξ)
=
g(η)
=
Z
1
1 ξ
(¯
vo (ξ) −
w
¯o (−ct)dζ) ,
2
c 0
Z
1 η
1
(¯
vo (η) +
w
¯o (ct)dζ) ,
2
c 0
(6.31)
con:
e con con:
(
uo (z) , 0 < z < l ,
u
¯o (z) =
−uo (z) , −l < z < 0 ,
(6.32)
(
wo (z) , 0 < z < l ,
w
¯o (z) =
−wo (z) , −l < z < 0 ,
(6.33)
essendo u
¯o (2l + z) = u
¯o (z) e w
¯o (2l + z) = w
¯o (z).
La soluzione del problema di propagazione ondosa nel filo teso ´e pertanto
data dalla
Z z+ct
1
1
uo (z − ct) + u
¯o (z + ct)) +
w
¯o (ζ)dζ ,
(6.34)
v(z , t) = (¯
2
2c z−ct
con u
¯o ∈ C 2 (Ω) e w
¯o ∈ C 1 (Ω) ed inoltre verificanti le condizioni al contorno:
uo (0 , t) = uo (l , t) ,
wo (0 , t) = wo (l , t) .
6.1. FILI
75
Esempio 17 : Propagazione di un impulso di spostamento
Consideriamo le seguenti condizioni iniziali:
uo (z) = u
ˆδ(zo ) ,
wo (z) = 0 ;
dove δ = δ(zo ) ´e un impulso di Dirac tale che:
l
Z
δ(z) = 0 ,
∀ | z − zo |> > 0 ,
δ(z)dz = 1 .
0
La soluzione ´e data dalla
v(z , t) =
1
u
ˆ (δ(zo − ct) + δ(zo + ct)) .
2
(6.35)
Se le caratteristiche tracciate da un generico punto (¯
z , t¯) non convergono al
¯
punto zo , si hav(¯
z , t) = 0; viceversa tracciando le caratteristiche a partire dal
punto zo si ottiene per ciascun valore di t la posizione dell’onda progressiva e di
quella regressiva di ampiezza u
ˆ/2. Osserviamo che laddove le caratteristiche si
intersecano l’ampiezza delle due onde si somma per dare nuovamente l’ampiezza
iniziale u
ˆ.
In definitiva la soluzione ´e rappresentabile come:


/ linee caratteristiche ,
0 , se (z , t) ∈
v(z , t) = u
ˆ/2 , se (z , t) ∈ linee caratteristiche ,


u
ˆ , se (z , t) ∈ intersezione di due linee caratteristiche .
Esempio 18 : Propagazione di un impulso di velocit´
a
Consideriamo in questo caso le seguenti condizioni iniziali:
uo (z) = 0 ,
wo (z) = vˆδ(zo ) ,
dove δ = δ(zo ) ´e un impulso di Dirac tale che:
Z
δ(z) = 0 ,
∀ | z − zo |> > 0 ,
l
δ(z)dz = 2c .
0
per modo che la soluzione ´e
v(z , t) =
1
2c
Z
zo + 2ε +ct
vˆδ(zo )dζ ,
(6.36)
zo − 2ε −ct
ovvero
(
6= 0 , se (z , t) ∈ ´e compreso tra linee caratteristiche ,
v(z , t) =
0 , altrimenti ,
(6.37)
e la velocit´
a generate dall’impulso diminuisce all’aumentare della distanza +2ct
tra le curve caratteristiche.
76
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
6.1.2
Soluzioni a variabili separabili
Poich´e le due funzioni f e g sono periodiche di periodo 2l possiamo pensare di decomporle in serie trigonometriche; in tal modo l’onda elementare pu´o
rappresentarsi come:
π
π
v(z , t) = sin (z − ct) + sin (z + ct) ,
(6.38)
l
l
e mediante le formule di prostaferesi, abbiamo che:
sin
π
πz
cπt
π
(z − ct) + sin (z + ct) = sin( ) sin(
).
l
l
l
l
(6.39)
In generale quindi la soluzione v(z , t) pu´o ammettere una rappresentazione a
variabili separabili (cf. Appendice B):
v(z , t) = U (z)T (t) .
(6.40)
Cerchiamo le soluzioni a variabili separabili per l’equazione omogenea (6.17)
con le condizioni al contorno (6.7) ed iniziali (6.8); poich´e le seguenti condizioni
di applicabilit´
a del metodo (cf. Appendice B):
• il dominio Ω × [0 , τ ) ´e rettangolare;
• le condizioni per z = 0 e z = L non dipendono da z e non implicano
derivate rispetto a t;
• le condizioni per t = 0 non dipendono da t e non implicano derivate
rispetto a z;
sono verificate, resta da verificare se esiste una funzione ϕ(z , t) per la quale:
L(U (z)T (t))
= F (z) + G(t) .
ϕ(z , t)U (x)T (t)
Sostituendo la (6.40) nella (6.17)
c2 U 00 (z)T (t) − U (z)T¨(t) = 0 ,
si ha con ϕ(z , t) = 1:
c2
U 00 (z) T¨(t)
−
= 0,
U (z)
T (t)
(6.41)
ed il metodo ´e applicabile. Dalla (6.41) abbiamo le due equazioni:
U 00 (z) + ω 2 U (z)
=
0,
T¨(t) + λ2 T (t)
=
0,
ω2 =
λ2
,
c2
(6.42)
che hanno soluzione:
U (z)
=
a sin ωz + b cos ωz ,
T (t)
=
A sin λt + B cos λt .
(6.43)
6.1. FILI
77
Dalle condizioni al contorno:
v(0 , t) = U (0)T (t) = 0 ,
v(L , t) = U (L)T (t) = 0 ,
∀t ∈ [0 , τ ) ,
otteniamo le condizioni omogenee per la (6.42)1 :
U (0) = 0 ,
U (L) = 0 .
(6.44)
Dalla (6.43) otteniamo
b = 0,
sin ωL = 0
da cui
k = 1, 2, . . . ∞.
ωL = kπ ,
Abbiamo pertanto k modi propri di vibrazione Uk (z) corrispondenti ciascuno
alla k-esima frequenza di vibrazione λk :
Uk (z) = ak sin
kπz
,
L
λk = c
kπ
.
L
(6.45)
Per la soluzione T (t) si ha invece:
Tk (t) = Ak sin c
kπt
kπt
+ Bk cos c
,
L
L
e pertanto dalla condizione iniziale per t = 0 si ha, normalizzando per ak = 1:
vo (z)
wo (z)
=
=
∞
X
k=1
∞
X
k=1
Bk sin
Ak c
kπz
,
L
kπ
kπz
sin
.
L
L
La soluzione ´e quindi espressa mediante la serie:
v(z , t) =
∞
X
k=1
kπz
sin
L
kπt
kπt
Ak sin c
+ Bk cos c
L
L
;
(6.46)
i termini Ak e Bk sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier delle due
funzioni note vo (z) e wo (z) che esprimono le condizioni iniziali:
Ak
=
Bk
=
Z L
2
kπz
wo (z) sin
dz ,
ckπ 0
L
Z
2 L
kπz
vo (z) sin
dz .
L 0
L
(6.47)
78
6.1.3
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
Moto forzato
Poich´e i modi propri (6.45) sono una base ortonormale nello spazio delle soluzioni
v = v(z , t) avendosi:
Z l
Z l
kπz
hπz
l
Uk (z)Uh (z)dz =
sin
sin
= δkh ,
(6.48)
L
L
2
0
0
possiamo rappresentare la soluzione del problema di moto forzato che si ottiene dalla (6.6) per condizioni iniziali nulle v(z , 0) = 0, v(z
˙ , 0) = 0 come una
combinazione dei modi propri mediante delle coordinate modali gk = gk (t):
v(z , t) = gk (t)Uk (z) .
Sostituendo nella (6.6)1 :
N gk (t)Uk00 (z) − ρ¨
gk (t)Uk (z) + q ni (t) = 0 ;
(6.49)
moltiplicando per Uk (z) ed integrando su Ω, per la (6.48) si ottiene:
Z l
l
l
2
q ni (t)Uk (z)dz = 0 ,
−ωk N gk (t) − ρ g¨k (t) +
2
2
0
dove si ´e fatto uso della soluzione Uk00 + ωk2 Uk = 0.
Definendo il fattore di partecipazione modale:
Z
2 l ni
Γk (t) =
q (t)Uk (z)dz ,
ρl 0
(6.50)
ed essendo c2 ωk2 = λ2k , otteniamo le k equazioni di moto forzato per le coordinate
modali:
g¨k (t) + λ2k gk (t) = Γk (t) .
(6.51)
6.2
Membrane
Consideriamo il dominio Ω ⊂ R2 ed identifichiamolo con la configurazione di
riferimento di un continuo bidimensionale. Consideriamo la superficie regolare
S : Ω → R3 ed identifichiamola con la configurazione deformata di Ω.
Per (x1 , x2 ) ∈ Ω indichiamo con (z 1 (x1 , x2 ) , z 2 (x1 , x2 )) le coordinate curvilinee della superficie. Detta n(z 1 , z 2 ) la normale alla superficie S, ed S(z 1 , z 2 )
il tensore degli sforzi definiamo membrana tesa la superficie per la quale si ha:
Sm · n = 0 ,
Sm · m > 0 , ∀m : m · n = 0 ,
(6.52)
Indicato con f = f (z 1 , z 2 ) un sistema di azioni per unit´a di lunghezza, assegnato
sulla superficie S assumendo che la superficie abbia una frontiera regolare ∂S
di normale m, m · n = 0, per l’equilibrio sulla configurazione deformata si ha:
Z
Z
Sm +
f = 0;
(6.53)
∂S
S
6.2. MEMBRANE
79
dalla quale per localizzazione otteniamo l’equazione di bilancio in forma:
s
div S + f = 0 ,
(6.54)
dove s div rappresenta la divergenza superficiale rispetto alle coordinate curvilinee (z 1 , z 2 ).
Identificando lo spostamento trasversale delle membrana con la rappresentazione esplicita (z 1 , z 2 ) 7→ w(z 1 , z 2 ) della superficie, per la (A.35) e rappresentando f in componenti:
f = p1 g1 + p2 g2 + qn ,
con le tre funzioni (z 1 , z 2 ) 7→ pα (z 1 , z 2 ) e (z 1 , z 2 ) 7→ q(z 1 , z 2 ), α = 1, 2 che
rappresentano rispettivamente le azioni distribuite tangenziali e normale alla
superficie, arriviamo alle equazioni di bilancio per la membrana tesa:
1
αβ s
k ∇wk,β +pα ,
S αβ ,β + 2√
gS
α = 1, 2 , in S ,
(6.55)
s
(n · e3 )(S · ∇∇w) + q = 0 , in S .
Nell’ipotesi che le deformazioni siano infinitesime, nel senso che ks ∇wk << 1,
abbiamo:
eα u gα u gα , α = 1, 2 , n u e3 , −L u s ∇∇w ,
(6.56)
e le equazioni di bilancio della membrana tesa si riducono alle:
S αβ ,β +pα ,
α = 1, 2 , in Ω ,
(6.57)
s
(S · ∇∇w) + q = 0 in Ω ,
con le associate condizioni al contorno:
Sm
w
= s , su ∂Ω ,
=
m · e3 = 0 , s · e3 = 0 ,
(6.58)
0 , su ∂Ω .
Se poniamo pα = 0 ed s = cost. dalla (6.57)1 si ha che S αβ = cost.; se inoltre
rappresentiamo il tensore degli sforzi mediante le due tensioni principali costanti
σα > 0, α = 1, 2, dalla (6.57)2 arriviamo alla:
σ1 w,11 +σ2 w,22 +q = 0 , su Ω ,
(6.59)
w = 0 , su ∂Ω .
Infine, se σ1 = σ2 = σ, arriviamo alla classica equazione della membrana
tesa:
σ∆w + q = 0 ,
σ > 0 , su Ω ,
w = 0 , su ∂Ω .
(6.60)
80
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
Come gi´
a fatto per l’equazione del filo, assumiamo che le azioni q siano
decomposte in una parte non-inerziale qin ed una inerziale qin = −ρw,
¨ dove
ρ > 0 rappresenta la densit´
a per unit´
a di superficie della membrana; dalla (6.57)
si giunge quindi alla:
S · s ∇∇w − ρw
¨ + q ni
=
0,
w(¯
x1 , x
¯2 , t)
=
0 , per (¯
x1 , x
¯2 ) ∈ ∂Ω ,
w(x1 , x2 , 0)
=
wo (x1 , x2 ) ,
w(x
˙ 1 , x2 , 0)
=
w
¯o (x1 , x2 ) ,
σ > 0 , su Ω × [0 , τ ) ,
∀t ∈ [0 , τ ) , (6.61)
essendo Ω 3 (x1 , x2 ) 7→ wo (x1 , x2 ) ed Ω 3 (x1 , x2 ) 7→ w
¯o (x1 , x2 ) due funzioni
note, rappresentanti rispettivamente lo spostamento trasversale e la sua velocit´a
all’istante t = 0. Definiamo Soluzione della equazione (6.63) la funzione:
Ω × [0 , τ ) 3 (x1 , x2 , t) 7→ w(x1 , x2 , t) ∈ R .
(6.62)
Mediante le medesime assunzioni dalla (6.60) si arriva alla classica equazione
della dinamica della membrana:
σ∆w − ρw
¨ + q ni = 0 ,
6.2.1
σ > 0 , su Ω × [0 , τ ) .
(6.63)
Statica
Membrana triangolare
Nel caso della membrana triangolare equilatera di lato a, caricata da un carico
uniforme qo la soluzione pu´o essere costruita come prodotto delle equazioni delle
rette che formano la frontiera ∂Ω. In tal modo la condizione al contorno viene
automaticamente verificata. Poich´e infatti le tre rette che formano la frontiera
sono:
x1
a
a
x1
x1 = 0 , √ + x2 − = 0 , √ − x2 − = 0 ,
2
2
3
3
x2
A ≡ (0 , a2 )
Q
Q
Q
Q
Q
Ω QQ
Q
√
C ≡ ( a 2 3 , 0)
B ≡ (0 , − a2 )
x1
Fig. 6.x - Membrana triangolare equilatera
6.2. MEMBRANE
81
assumiamo quindi lo spostamento:
x1
a
w(x1 , x2 ) = wo (x1 x22 − x1 ( √ − )2 ) .
3 2
Dalla (6.60) si arriva a determinare il valore del parametro wo :
√
3 qo
wo = −
,
2 σa
ed il valore dell’abbassamento massimo che si raggiunge per x1 =
x2 = 0:
qo a2
wmax = −0, 019
.
σ
√
3a/6 ed
Membrana circolare
Se Ω ´e un disco di raggio R, la rappresentazione pi´
u semplice della soluzione ´e
in coordinate polari:
q
x1
;
r = x21 + x22 , θ = tan−1
x2
se il carico anche in questo caso ´e uniforme, q = qo , per la simmetria del problema la soluzione non dipender´
a da θ. Assumiamo la soluzione che verifica la
condizione al contorno w(R) = 0:
w(r) = wo (R2 − r2 ) = wo (R2 − x21 − x22 ) ;
dalla (6.60) si arriva a determinare il valore del parametro wo :
wo =
qo
,
4σ
e l’abbassamento massimo che si ha per x1 = x2 = 0:
wmax =
qo R2
.
4σ
Membrana quadrata: la soluzione di Poisson
Nel caso di una membrana quadrata di lato a caricata uniformemente da un
carico qo , rappresentiamo il carico in serie di Fourier:
qo =
∞
X
h,k=1
Ahk sin
kπx2
hπx1
sin
,
a
a
dove i coefficienti della serie, sono dati dalla:
Ahk =
16qo
,
π 2 hk
h, k = 1, 3, 5, . . . 2n + 1 .
82
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
Se cerchiamo soluzioni del tipo:
w(x1 , x2 ) =
∞
X
Whk sin
h,k=1
kπx2
hπx1
sin
,
a
a
(6.64)
che verificano la condizione w = 0 su ∂Ω, per la (6.60) si ha:
Whk =
Ahk a2
2
π σ(h2 + k 2 )
=
16qo a2
4
π σhk(h2 +
k2 )
,
h, k = 1, 3, 5, . . . 2n + 1 .
(6.65)
Lo spostamento massimo nel punto medio di coordinate (a/2 , a/2) ´e pertanto
dato da:
wmax = W11 − 2W13 + W33 − 2W35 + W55 + . . . ,
ed arrestandosi al termine W33 si ha:
wmax = 0, 072
qo a2
,
σ
(6.66)
risultato che ´e interessante confrontare con la soluzione approssimata ottenuta
mediante il metodo alle differenze finite (vid. Appendice B).
6.2.2
Soluzioni in forma d’onda
Per verificare che l’equazione (6.61) resa omogenea ´e un’equazione iperbolica,
mostriamo che ammette soluzioni in forma d’onda. Poich´e siamo in due dimensioni, definiamo una Onda piana progressiva mediante un versore m detto
direzione di propagazione, m = m1 e1 + m2 e2 :
w(x , t) = wo sin(x · m − ct) = wo sin(x1 m1 + x2 m2 − ct) ,
(6.67)
dove wo ´e l’ampiezza di propagazione. Abbiamo:
w,αβ = −mα mβ wo sin(x · m − ct) ,
w
¨ = −ρc2 wo sin(x · m − ct) ,
da cui:
s
∇∇w = −(m ⊗ m)wo sin(x · m − ct) .
Dalla (6.61) si ha quindi la condizione di propagazione di un’onda piana
progressiva in una membrana:
c2 (m) =
1
Sm · m ,
ρ
(6.68)
dalla quale si deduce che un’onda pu´o progagarsi in una membrana solo se questa
´e tesa e che in generale la velocit´a di propagazione dipende dalla direzione. Se
gli assi coordinati coincidono con le direzioni principali di tensione:
c2 =
1
(σ1 m21 + σ2 m22 ) ,
ρ
6.2. MEMBRANE
83
ed essendo σ1 ≥ σ2 avremo una velocit´a massima ed una minima tra loro
ortogonali:
σ2
σ1
≥ c22 =
.
c21 =
ρ
ρ
La condizione di propagazione per la (6.63) non dipende dalla direzione di
propagazione:
σ
c2 = .
(6.69)
ρ
6.2.3
Soluzioni a variabili separabili
Cerchiamo soluzioni a variabili separabili del tipo w(x , t) = U (x)T (t) per
l’equazione (6.63) omogenea con le condizioni iniziali e al contorno (6.61)2,4 .
Poich´e:
• il dominio Ω × [0 , τ ) ´e rettangolare;
• le condizioni per x = 0 non dipendono da x e non implicano derivate
rispetto a t;
• le condizioni per t = 0 non dipendono da t e non implicano derivate
rispetto a x;
resta da verificare che esista una funzione ϕ(x , t) per la quale:
L(U (x)T (t))
= F (x) + G(t) .
ϕ(x , t)U (x)T (t)
Sostituendo nella (6.63) abbiamo :
σ∆U (x)T (t) − ρU (x)T¨(t) = 0 ,
e con ϕ(x , t) = 1 abbiamo verificata la condizione di applicabilit´a del metodo:
c2
∆U (x) T¨(t)
−
= 0,
U (x
T (t)
che porta alle due equazioni:
∆U (x) + ω 2 U (x)
=
0,
T¨(t) + λ2 T (t)
=
0.
ω2 =
λ2
,
c2
(6.70)
Se il dominio Ω ´e rettangolare, l’equazione (6.70)1 pu´o essere ulteriormente
risolta mediante la separazione delle variabili. Consideriamo pertanto il caso
della membrana rettangolare nelle coordinate cartesiane ortogonali (x1 , x2 ).
84
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
Membrana rettangolare
Consideriamo il dominio rettangolare:
Ω ≡ { (x1 , x2 ) | 0 < x1 < a ,
0 < x2 < b }
(6.71)
possiamo riapplicare il metodo di separazione delle variabili ponendo:
U (x1 , x2 ) = X(x1 )Y (x2 ) .
Sostituendo nell’equazione (6.70) si ha:
X 00 (x1 )Y (x2 ) + X(x1 )Y 00 (x2 ) + ω 2 X(x1 )Y (x2 ) = 0
da cui, con ϕ(x1 , x2 ) = 1 si ottiene:
X 00 (x1 ) Y 00 (x2 )
+
= −ω 2 ,
X(x1 )
Y (x2 )
(6.72)
da cui ponendo ω 2 = m2 + n2 si giunge ai due problemi identici per le funzioni
X ed Y :
X 00 (x1 ) + m2 X(x1 ) = 0 , Y 00 (x2 ) + n2 Y (x2 ) = 0 .
(6.73)
Poich´e condizioni al contorno divengono:
X(0)Y (x2 ) = 0
∀ 0 < x2 < b ,
U (0 , x2 )
=
U (a , x2 )
= X(a)Y (x2 ) = 0 ∀ 0 < x2 < b ,
U (x1 , 0)
= X(x1 )Y (0) = 0
U (x1 , b)
= X(x1 )Y (b) = 0 ∀ 0 < x1 < a ,
(6.74)
∀ 0 < x1 < a ,
da cui:
X(0) = X(a) = 0 ,
Y (0) = Y (b) = 0 ,
(6.75)
otteniamo due soluzioni, ciascuna identica alla (6.45):
Xk (x1 )
=
Yh (x2 )
=
kπz
,
a
hπz
sin
,
b
sin
k2 π2
,
a2
h2 π 2
n2h = 2 .
b
m2k =
(6.76)
La membrana rettangolare ha pertanto ∞2 modi e frequenze proprie di
vibrazione:
Ukh (x1 , x2 ) = sin
kπx1
hπx2
sin
,
a
b
λ2kh = c2 π 2 (
k2
h2
+
).
a2
b2
(6.77)
La componente temporale della soluzione ´e data dalla medesima espressione
T (t) determinata per il filo
Tkh (t) = Akh sin λkh t + Bkh cos λkh t ,
6.2. MEMBRANE
85
e pertanto dalla condizione iniziale per t = 0 si ha
wo (x1 , x2 )
w
¯o (x1 , x2 )
=
=
∞
X
k,h=1
∞
X
k,h=1
Bk sin
kπx1
hπx2
sin
,
a
b
λkh Ak sin
hπx2
kπx1
sin
;
a
b
i termini Akh e Bkh sono i coefficienti dello sviluppo in serie doppia di Fourier
delle due funzioni note vo (z) e wo (z) che esprimono le condizioni iniziali:
Z
4
kπx1
hπx2
Akh =
wo (x1 , x2 ) sin
sin
dx1 dx2 ,
(6.78)
abλkh Ω
a
b
Z
kπx1
hπx2
4
w
¯o (x1 , x2 ) sin
sin
dx1 dx2 .
Bkh =
ab Ω
a
b
La soluzione ´e quindi espressa mediante la serie doppia:
w(x1 , x2 , t) =
∞
X
k,h=1
sin
hπz
kπz
sin
(Akh sin λkh t + Bkh cos λkh t) .
a
b
(6.79)
Osservazione 12 : Se a 6= b si ha che Ukh 6= Ukh .
Osservazione 13 Linee nodali
Si definisce linea nodale il luogo dei punti (x1 , x2 ) ∈ Ω tali che Ukh = 0.
Poich´e
kπx1
hπx2
Ukh = sin
sin
= 0,
a
b
abbiamo che le linee nodali sono parallele ai lati del rettangolo ed hanno equazione:
kπx1
hπx2
= 0,
= 0 , k, h = 1, 2, . . .
a
b
ed il modo kh-esimo ha k + h − 2 linee nodali. Riportiamo alcuni esempi di
forme modali per una membrana quadrata, con le associate linee nodali:
Modo U11 . Le linee nodali coincidono con il contorno.
86
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
Modo U12
Modo U22
Modo U13
6.2. MEMBRANE
87
Modo U23
Membrana rettangolare: moto forzato
Poich´e i modi propri (6.77) sono una base ortonormale nello spazio delle soluzioni
w = v(x1 , x2 , t) avendosi:
Z
Ukh (x1 , x2 )Umn (x1 , x2 )dx1 d2 =
(6.80)
Ω
Z
kπx1
hπx2
mπx1
nπx2
=
sin
sin
sin
sin
a
b
a
b
Ω
a
b
δkm δhn ,
=
2
2
possiamo rappresentare la soluzione del problema di moto forzato
σ∆w − ρw
¨ + q ni
=
0,
w(¯
x1 , x
¯2 , t)
=
0 , per (¯
x1 , x
¯2 ) ∈ ∂Ω ,
w(x1 , x2 , 0)
=
0,
w(x
˙ 1 , x2 , 0)
=
0,
σ > 0 , su Ω × [0 , τ ) ,
∀t ∈ [0 , τ ) ,
(6.81)
come una combinazione dei modi propri mediante delle coordinate modali gkh =
gkh (t):
w(x1 , x2 , t) = gkh (t)Ukh (x1 , x2 ) .
Sostituendo nella (6.81):
σgk (t)∆Ukh (x1 , x2 ) − ρ¨
gkh (t)Ukh (x1 , x2 ) + q(t) = 0 ,
moltiplicando per Umn (x1 , x2 ) ed integrando su Ω, per la (6.80) si ha
Z
ab
ab
2
−ωkh
σ gkh (t) − ρ g¨kh (t) +
q(t)Ukh (x1 , x2 )dx1 dx2 = 0 ,
4
4
Ω
(6.82)
88
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
2
dove si ´e fatto uso della soluzione ∆Ukh + ωkh
Ukh = 0. Definendo il fattore di
partecipazione modale:
Z
4
q(t)Ukh (x1 , x2 )dx1 dx2 ,
(6.83)
Γkh (t) =
ρab Ω
2
ed essendo c2 ωkh
= λ2kh , otteniamo le equazioni di moto forzato per le coordinate
modali:
g¨kh (t) + λ2kh gkh (t) = Γkh (t) .
(6.84)
Membrana circolare
Se Ω ´e un disco di raggio R:
Ω ≡ { (x1 , x2 ) | x21 + x22 − R2 < 0 } ,
abbiamo visto che la rappresentazione pi´
u opportuna ´e quella mediante le coordinate polari. In tal caso Ω ´e un dominio rettangolare, le condizioni al contorno
divengono:
U (R , θ) = 0 , ∀θ ∈ [0 , 2π) ,
e cerchiamo soluzioni del tipo:
U (r , θ) = R(r)Θ(θ) .
Poich´e la rappresentazione in coordinate polari del laplaciano ´e:
1
1
∆U (r , θ) = U,rr (r , θ) + U,r (r , θ) + 2 U,θθ (r , θ) ,
r
r
(6.85)
la (6.70) diviene:
1
1
R00 Θ + R0 Θ + 2 Θ00 R + ω 2 RΘ = 0 .
r
r
Ponendo la funzione ϕ(x1 , x2 ) = ϕ(r , θ) = r−2 , l’equazione ´e separabile nelle
due equazioni indipendenti:
r2
R00
R0
Θ00
+r
+ r2 ω2 = −
= L;
R
R
Θ
Poich’e la funzione Θ(θ) deve essere periodica di periodo 2π, necessariamente
si deve avere:
Θ(θ) = C sin mθ + D cos mθ ,
m = 1, 2, . . . ,
m2 = −L ;
di conseguenza l’equazione per la funzione R(r) diviene
r2 R00 + rR0 + (r2 ω 2 + m2 )R = 0 ;
la cui soluzione ´e la funzione di Bessel Jm (ωr).
(6.86)
6.3. TRAVI
89
Jo
J1
J2
J3
Funzioni di Bessel Jn (z), n = 0, 1, 2, 3
Detti rnm , n = 1, 2, . . . gli zeri della funzione di Bessel Jm , con 0 < r1m <
r1m <, . . . < rnm dalla condizione al contorno:
R(ωR) = 0 ,
otteniamo:
rmn
, m = 0, 1, 2, . . . ,
R
e l’autocoppia (λmn , Umn ) ´e data dalle:
ωmn =
n = 1, 2, . . . ;
Umn (r , θ) = Jm (ωmn r)(C sin mθ + D cos mθ) ,
λ2mn = c2 ωmn .
(6.87)
(6.88)
La soluzione in termini del campo di spostamento ´e pertanto la:
w(r , θ , t) =
∞
X
(Amn sin λmn + Bmn cos λmn t)Jm (ωmn r)(sin mθ + cos mθ) .
n=1 ,m=0
(6.89)
6.3
6.3.1
Travi
Travi di Kirchhoff
Consideriamo una Regione a forma di trave, ovvero una regione cilindrica Ω ⊂ E,
tale che Ω = S × I con S ⊂ R2 la sezione retta ed I = (0 , l) ⊂ R l’asse . La
frontiera di Ω ´e decomposta in tre porzioni disgiunte, , le basi S0 = S × {0},
SL = S × {L} ed il mantello M ≡ ∂S × I, per modo che ∂Ω ≡ S0 ∪ SL ∪ M. Per
effetto della geometria della regione, il generico punto y ∈ Ω pu´o rappresentarsi
come:
y(x , z) = x + ze ,
(6.90)
90
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
dove e ´e la direzione dell’asse mentre x ´e il vettore posizione dei punti della sezione retta, essendo x · e = 0. Assumiamo un riferimento ortonormale {e1 , e2 , e3 }
con e ≡ e3 .
Definiamo Trave di Kirchhoff o ”trave sottile non deformabile a taglio”,
una regione a forma di trave per la quale valgano le seguenti restrizioni sulla
cinematica linearizzata:
E11 = E22 = E12 = 0 ,
E13 = E23 = 0 ,
(6.91)
che rendono conto, in termini di deformazioni infinitesime, delle prime due
ipotesi alla base della teoria delle travi sottili dovuta a Kirchhoff:
i)- La sezione retta ´e indeformabile nel suo piano;
ii)- La sezione retta resta ortogonale all’asse dopo la deformazione.
Ricordiamo che le altre due ipotesi della teoria prevedevano che:
iii)- Il momento ´e proporzionale alla curvatura;
iiii)- L’asse ´e inestensibile;
a tale proposito mostreremo che nella presente trattazione anche la terza ipotesi
viene soddisfatta, rimanendo la quarta ipotesi un caso particolare della nostra
trattazione.
Assumiamo le ipotesi di Kirchhoff (6.91) come un vincolo multiplo di dimensione m = 5. Ne consegue che lo spazio delle deformazioni ammissibili
´e:
D ≡ {E ∈ Sym | E = E33 e3 ⊗ e3 } ,
ed il tensore degli sforzi si decompone in una parte attiva TA ed una reattiva
TR che hanno rappresentazione:




T11 T12 T13
0 0 0
T22 T23  .
[TA ] ≡  · 0 0  , [TR ] ≡  ·
(6.92)
· · T33
·
·
0
Il gruppo di simmetria del vincolo multiplo ´e dato da tutte le rotazioni
intorno all’asse e3 e pertanto il materiale deve possedere la direzione dell’asse
come asse di simmetria. Poich´e inoltre:
C[E] = 0 ,
∀E ∈ D⊥ ,
ovvero
Cα3hk = Chkα3 = 0 , α = 1, 2 ,
∀h, k ,
la relazione costitutiva per la parte attiva dello sforzo si riduce alla:
A
T33
= EE33 ,
E = C3333 > 0 .
(6.93)
6.3. TRAVI
91
Osservazione 14 : Modulo di Young
Il modulo di Young E cos´ı definito ´e maggiore del corrispondente modulo
ottenuto mediante la soluzione semi-inversa del problema di Saint-Venant. Il
modello di Kirchhoff infatti un modello vincolato nel quale la cinematica ´e
imposta, a differenza che nel problema di Saint-Venant: basti pensare che nel
modello di Kirchhoff la sezione ´e rigida, il che corrisponde ad avere un modulo
di Poisson ν = 0.
Da un punto di vista applicativo in realt´a anche nel caso del modello di
Kirchhoff si assume il valore di E cos´ı come determinato su provini cilindrici
per i quali valgono i risultati del problema di Saint-Venant.
Cinematica
Mediante le equazioni di congruenza, le prime tre ipotesi di Kirchhoff, che
stabiliscono che la sezione retta resta rigida nel suo piano, equivalgono alle:
u1,1 = u2,2 = u1,2 + u2,1 = 0 ,
che possono immediatamente essere integrate e forniscono, a meno di un moto
rigido:
u1 (x1 , x2 , z) = v1 (z) + θ(z)x2 ,
(6.94)
u2 (x1 , x2 , z) = v2 (z) − θ(z)x1 .
Dalle condizioni di ortogonalit´
a della sezione deformata all’asse (6.91)4,5 , per
le equazioni di congruenza si ha:
u3,1 = −u01 = v10 (z) + θ0 x2 ,
(6.95)
u3,2 = −u02 = v20 (z) − θ0 x1 ,
dove (·)0 denota la derivata rispetto a z: per la condizione di integrabilit´a
u3,12 = u3,21 ,
si ha che θ = θo e la rotazione torsionale della sezione ´e un moto rigido. Pertanto,
integrando le (6.95) si ha che a meno di un moto rigido lo spostamento nella
direzione dell’asse ´e dato dalla:
u3 (x1 , x2 , z) = v3 (z) − v10 (z)x1 − v20 (z)x2 = v3 (z) − v0 (z) · x ,
(6.96)
dove v(z) = v1 (z)e1 + v2 (z)e2 rappresenta lo spostamento trasversale e v3 (z)
lo spostamento longitudinale dell’asse. Il campo di spostamenti associato alle
prime due ipotesi di Kirchhoff ´e quindi parametrizzato mediante le tre funzioni
z 7→ vk (z), k = 1, 2, 3:
u(x , z) = v(z) + (v3 (z) − ∇v(z) · x)e3 .
(6.97)
La deformazione ammissibile risulta di conseguenza data dalla:
E33 (x , z) = v 0 (z) − v00 (z) · x ,
(6.98)
92
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
e definiamo di conseguenza la deformazione assiale ed il vettore curvatura mediante le:
ε(z) = v30 (z) , κ = −v00 (z) .
(6.99)
Caratteristiche di sollecitazione e relazioni costitutive
Poich´e le caratteristiche della sollecitazione dipendono dalle componenti del
tensore degli sforzi mediante le
Z
Z
Tα =
Tα3 , α = 1, 2 , N =
T33 , ,
S
ZS
Z
M1 =
x2 T33 , M2 = − x1 T33
(6.100)
S
S
Z
Mt =
−x1 T23 + x2 T13 ,
S
per la decomposizione additiva del tensore degli sforzi in parte attiva e parte
reattiva, abbiamo che la forza normale N ed i momenti flettenti M1 ed M2
dipendono dalla parte attiva del tensore mentre i tagli T1 e T2 ed il Momento
torcente Mt dipendono dalla parte reattiva.
Tale decomposizione si riflette anche sulle risultanti che possiamo pertanto
riscrivere come:
r = ˆr + N e3 , ˆr = Tα eα ,
ˆ + Mt e3 , m
ˆ = Mα eα ,
m=m
(6.101)
e le equazioni di bilancio in termini di risultanti divengono:
ˆr0 + N 0 e3 + f = 0 ,
m0 + Mt0 e3 + e3 × ˆr + k = 0 .
(6.102)
che possono essere depurate dai termini reattivi:
ˆr = e3 × m0 − e3 × k ,
Mt0 + k · e3 = 0 ,
(6.103)
per arrivare alle equazioni di bilancio per le travi di Kirchhoff:
N 0 (z) + p(z) = 0 ,
(6.104)
00
m (z) + q(z) = 0 .
Mediante la relazione costitutiva (6.93) e la (6.98) otteniamo le relazioni
costitutive per la forza normale ed il momento flettente in termini dei campi
vk (z) definiti sull’asse:
N = EAv30 (z) ,
m = −EJv00 (z) ,
(6.105)
avendo assunto come origine del vettore x il centro di massa della sezione retta
e definite A l’area della sezione retta S e J il Tensore di Inerzia:
Z
J=
x ⊗ x.
S
6.3. TRAVI
93
La relazione costitutiva (6.105)2 verifica a posteriori la ipotesi di Kirchhoff iii),
ovvero la proporzionalit´
a tra momento e curvatura.
Osservazione 15 Travi inestensibili
Poich´e la deformazione dell’asse ´e data dalla:
E33 (0 , z) = v30 (z) ,
la condizione di inestensibilit´
a dell’asse, ovvero l’ipotesi di Kirchhoff iiii), equivale al vincolo sulla deformazione:
v30 (z) = 0 ,
cui corrisponde una forza normale N reattiva determinata interamente mediante
l’equazione di bilancio (6.104)1 .
6.3.2
Dinamica
Se introduciamo, come nel caso del filo, una densit´a per unit´a di lunghezza ρ,
le azioni di tipo inerziale possono scriversi come:
pin = −ρ¨
v3 ,
qin = −ρ¨
v,
e dalle relazioni costitutive (6.105) e dalle equazioni di bilancio (6.104) otteniamo
le equazioni che descrivono la dinamica di una trave di Kirchhoff in termini dei
campi di spostamento v3 = v3 (z , t) e v = v(z , t) definiti sul dominio D =
(0 , L) × [0 , τ ):
EAv300 (z) − ρ¨
v3 (z) + pni (z) = 0 ,
(6.106)
−EJv0000 (z) − ρ¨
v(z) + qni (z) = 0 .
cui sono associate le opportune condizioni al contorno, in ragione dei vincoli,
e le condizioni iniziali. Nel caso piano si denotano usualmente v3 con u e le
componenti v1 o v2 con v ottenendo le due equazioni:
EAu00 − ρ¨
u+p
=
0,
u(z , 0)
=
uo (z) ,
u(z
˙ , 0)
=
u
¯o (z) ,
in (0 , L) ,
(6.107)
con le opportune condizioni al contorno su {0 , L} e:
EJv 0000 + ρ¨
v = q,
in (0 , L) ,
v(z , 0)
=
vo (z) ,
v(z
˙ , 0)
=
wo (z) ,
con le opportune condizioni al contorno su {0 , L}.
(6.108)
94
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
L’equazione (6.107) che descrive la dinamica estensionale della trave ´e identica all’equazione del filo e pertanto valgono tutte le considerazioni fatte a proposito di tale equazione. Per quanto riguarda l’equazione (6.108), la condizione
di propagazione per soluzioni in forma d’onda fornisce:
c2 =
EJ
.
ρ
(6.109)
Cerchiamo per l’equazione (6.108) con q = 0, soluzioni a variabili separabili
del tipo v(z , t) = U (z)T (t); poich´e:
• il dominio (0 , L) × [0 , τ ) ´e rettangolare;
• le condizioni per z = 0 e z = L non dipendono da z e non implicano
derivate rispetto a t;
• le condizioni per t = 0 non dipendono da t e non implicano derivate
rispetto a z;
sono verificate, resta da verificare se esiste una funzione ϕ(z , t) per la quale:
L(U (z)T (t))
= F (z) + G(t) .
ϕ(z , t)U (z)T (t)
Sostituendo nella (6.108)
c2 U 0000 (z)T (t) + U (z)T¨(t) = 0 ,
si ha con ϕ(z , t) = 1:
c2
T¨(t)
U 0000 (z)
=−
= λ2 ,
U (z)
T (t)
(6.110)
ed il metodo ´e applicabile, avendosi:
U 0000 (z) − ω 4 U (z) = 0 ,
ω4 =
λ2
,
c2
(6.111)
e l’equazione che descrive, come negli altri casi la dipendenza temporale:
T¨(t) + λ2 T (t) = 0 ,
(6.112)
la cui soluzione dipende da due costanti:
T (t) = A sin λt + B cos λt .
(6.113)
L’equazione (6.111) ha invece la soluzione dipendente da quattro costanti:
U (z) = a sin ωz + b cos ωz + c sinh ωz + d cosh ωz ,
(6.114)
determinabili mediante le condizioni al contorno. Esaminiamo nel dettaglio due
casi, quello della trave incastrata alle estremit´a e quello della trave appoggiata.
6.3. TRAVI
95
Osservazione 16 : Inerzia rotazionale
Nella derivazione delle equazioni di bilancio dinamico (6.106), abbiamo trascurato le coppie di volume, il cui contributo al secondo membro della (6.106)2
pu´
o essere scritto nella forma:
Z
e3 × k0 , k =
x × b;
S
se poniamo:
¨ = −¯
¨ 0 · x)e3 ) ,
b = −¯
ρu
ρ(¨
v + (¨
v3 − v
con ρ¯ la densit´
a per unit´
a di volume, arriviamo alla:
−EJv0000 − ρ(¨
v + J¨
v00 ) + qni = 0 ,
dove il termine aggiuntivo ´e detto Inerzia Rotazionale. Come ´e d’uso, nella
(6.106)2 abbiamo trascurato l’inerzia rotazionale che ´e dell’ordine del quadrato
del raggio d’inerzia della sezione.
Esempio 19 Trave incastrata alle estremit´
a
In questo caso le condizioni al contorno sono date dalle:
v(0, t) = 0 , v 0 (0 , t) = 0 ,
v(L, t) = 0 , v 0 (L , t) = 0 ,
∀t ∈ [0 , τ ) ,
e forniscono le seguenti condizioni sulla U (z):
U (0) = U (L) = 0 ,
U 0 (0) = U 0 (L) = 0 .
Dalle condizioni in z = 0 abbiamo c = −a e d = −b, mentre dalle condizioni in
z = l arriviamo al sistema omogeneo:



sin ωl − sinh ωl
cos ωl − cosh ωl
a


 = [0] ,
cos ωl − cosh ωl − sinh ωl − sinh ωl
b
e la condizione di esistenza di soluzioni non banali ´e:
1 + cosh ωl cos ωl = 0 .
Esempio 20 Trave appoggiata alle estremit´
a
Le condizioni al contorno per questo caso sono invece:
v(0, t) = 0 , v 00 (0 , t) = 0 ,
v(L, t) = 0 , v 00 (L , t) = 0 ,
∀t ∈ [0 , τ ) ,
che forniscono le seguenti condizioni sulla U (z):
U (0) = U (L) = 0 ,
U 00 (0) = U 00 (L) = 0 .
Dalle condizioni in z = 0 abbiamo b = d = 0, mentre dalle condizioni in
z = l arriviamo al sistema omogeneo:



sin ωl sinh ωl
a


 = [0] ,
− sin ωl sinh ωl
c
96
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
che ammette soluzione per sin ωl = kπ. Nel caso della trave appoggiata ad
ambedue le estremit´
a quindi, le autocoppie sono le medesime del filo:
ωk =
kπ
,
l
Uk (z) = sin
kπz
,
l
(6.115)
e le frequenze proprie sono in questo caso:
λ2k = c2 ωk4 = k 4
π 4 EJ
.
ρl4
Osservazione 17 : Fattorizzazione di Mohr
La circostanza emersa nell’esempio precedente non ´e casuale. Infatti, per
opportune condizioni al contorno si mostra facilmente che le autocoppie dell’equazione della dinamica del filo sono anche quelle della dinamica della trave.
Ponendo infatti:
L[U ] = U 0000 − ω 4 U = 0 ,
possiamo fattorizzare L[U ] in:
L[U ] = L1 [L2 [U ]] = 0
con:
L1 [H] = H 00 + ω 2 H = 0 ,
00
(6.116)
2
L2 [U ] = U − ω U = H ;
l’equazione (6.116)1 ´e la (6.42) ed ammette le autocoppie (6.115) provvisto che
le condizioni al contorno siano:
H(0) = H(l) = 0 ,
che a loro volta, per la (6.116)2 implicano
U (0) = U (l) = 0 ,
U 00 (0) = U 00 (l) = 0 ,
ovvero le condizioni di vincolo di appoggio.
Per quanto riguarda la (6.116)2 , cerchiamo soluzioni del tipo:
U (z) = αH(z) ,
e per la (6.116) si ha:
α=−
1
,
2ω 2
Il problema per la trave appoggiata ammette quindi le stesse forme modali e
le stesse pulsazioni del filo teso. La versione statica di questa fattorizzazione ´e
conosciuta con il nome di Corollari di Mohr.
6.4. PIASTRE
6.4
6.4.1
97
Piastre
Piastre di Kirchhoff
Consideriamo in questo caso una Regione a forma di piastra, ovvero una regione
cilindrica Ω ⊂ E, tale che Ω = S ×I con S ⊂ R2 il piano medio ed I = (−h , h) ⊂
R lo spessore . La frontiera di Ω ´e decomposta in tre porzioni disgiunte, , le due
basi S+ = S × {h}, S− = S × {−h} ed il mantello M ≡ ∂S × (−h , h), per modo
che ∂Ω ≡ S0 ∪ SL ∪ M. Per effetto della geometria della regione, il generico
punto y ∈ Ω pu´
o rappresentarsi come:
y(x , z) = x + ze ,
(6.117)
dove e ´e la normale al piano medio mentre x ´e il vettore posizione dei punti
del piano medio S, essendo x · e = 0. Assumiamo un riferimento ortonormale
{e1 , e2 , e3 } con e ≡ e3 .
Supponiamo che il sistema di azioni (s , b) per Ω sia caratterizzato dall’avere
le azioni di superficie assegnate solamente sul mantello, ovvero:
Te3 = 0 , su S± ,
Tm = so , su M ,
(6.118)
dove m, m · e3 = 0 ´e la normale al mantello M.
Definiamo Piastra di Kirchhoff o ”piastra sottile non deformabile a taglio”,
una regione a forma di piastra per la quale valgano le seguenti restrizioni sulla
cinematica linearizzata:
E13 = E23 = E33 = 0 ,
(6.119)
che rendono conto, in termini di deformazioni infinitesime, delle prime ipotesi
alla base della teoria delle piastre sottili dovuta a Kirchhoff:
i)- Le fibre ortogonali al piano medio restano ortogonali al piano medio dopo
la deformazione;
ii)- Le fibre ortogonali al piano medio sono inestensibili.
Assumiamo le ipotesi di Kirchhoff (6.119) come un vincolo multiplo di dimensione m = 3. Ne consegue che lo spazio delle deformazioni ammissibili
´e:
D ≡ {E ∈ Sym | E = Eαβ eα ⊗ eβ , α, β = 1, 2 } ,
ed il tensore degli sforzi si decompone in una parte attiva TA ed una reattiva
TR che hanno rappresentazione:




T11 T12 0
0 0 T13
T22 0  , [TR ] ≡  · 0 T23  .
[TA ] ≡  ·
(6.120)
·
·
0
· · T33
Il gruppo di simmetria del vincolo multiplo ´e dato da tutte le rotazioni intorno alla normale e3 e pertanto il materiale deve possedere la direzionenormale
al piano medio S come asse di simmetria. Poich´e inoltre:
C[E] = 0 ,
∀E ∈ D⊥ ,
98
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
ovvero
Ci3hk = Chki3 = 0 , i = 1, 2, 3 ,
∀h, k ,
la relazione costitutiva per la parte attiva dello sforzo si riduce alla:
A
Tαβ
= Cαβγδ Eγδ ,
α, β, γ, δ = 1, 2 .
(6.121)
Cinematica
Mediante le equazioni di congruenza, ipotesi di Kirchhoff (6.119) equivalgono
alle:
u3,3 = u1,3 + u3,1 = u2,3 + u3,2 = 0 ,
che possono immediatamente essere integrate e forniscono, a meno di un moto
rigido:
u1 (x1 , x2 , z)
= v1 (x1 , x2 ) − zw,1 (x1 , x2 ) ,
u2 (x1 , x2 , z)
= v2 (x1 , x2 ) − zw,2 (x1 , x2 ) ,
u3 (x1 , x2 , z)
= w(x1 , x2 ) .
(6.122)
Il campo di spostamenti associato alle ipotesi di Kirchhoff ´e quindi parametrizzato mediante le tre funzioni (x) 7→ vα (x), α = 1, 2 e (x) 7→ w(x):
u(x , z) = v(x) − z∇w(x) + w(x)e3 ,
v · e3 , ∇w · e3 = 0 .
(6.123)
La deformazione ammissibile risulta di conseguenza data dalla:
E(x , z) = sym ∇v(x) − z∇∇w(x) ,
Ee3 = 0 ,
(6.124)
e definiamo di conseguenza lo stato piano di deformazione ed il tensore di
curvatura mediante le:
Eo (x) = sym ∇v(x) ,
K(x) = −∇∇w(x) ;
(6.125)
´e immediato verificare che la definizione di curvatura coincide con la definizione
(6.56) del tensore di Weingarten nell’ipotesi di deformazioni infinitesime.
Caratteristiche di sollecitazione; relazioni costitutive
Per definire le caratteristiche di sollecitazione consideriamo un superficie Σ avente normale n, tale che n · e3 = 0 ed avente come intersezione con il piano medio
la curva γ ≡ Σ ∩ S. La tensione in un punto y ∈ Σ ´e data dalla:
t(y , n) = T(y)n .
Definiamo la risultante ed il momento risultante della tensione sullo spessore
2h:
Z h
Z h
f (x) =
T(y)ndz , c(x) =
ze3 × T(y)ndz ;
(6.126)
−h
−h
6.4. PIASTRE
99
poich´e in componenti abbiamo:
h
Z
fα
Tαβ nβ dz ,
=
−h
Z h
f3
=
T3β nβ dz ,
−h
Z h
cδ
=
3αδ Tαβ nβ dz ,
−h
´e utile definire i due tensori N delle azioni di membrana ed M dei momenti, ed
il vettore dei tagli Q:
Z
N(x)
h
=
−h
Z h
M(x)
=
−h
Z h
Q(x)
=
TA dz ,
zTA dz ,
(6.127)
TR e3 dz ,
−h
per modo che le risultanti ed il momento risultante possano essere espressi come:
f (x) = Nm + (Q · n)e3 ,
c(x) = e3 × Mn .
(6.128)
Osserviamo che il taglio Qn = Q · n dipende esclusivamente dalla parte reattiva
del tensore di Cauchy, mentre le azioni di membrana ed i momenti dipendono
dalla parte attiva.
Mediante le (6.121) e le (6.124), possiamo esprimere i tensori N ed M in
termini delle misure di deformazione definite sul piano medio:
Z
N(x)
h
=
C[E]dz = AC[Eo ] ,
−h
(6.129)
Z
M(x)
h
=
zC[E]dz = JC[K] ,
−h
dove l’area ed il momento di inerzia per unit´a di lunghezza della curva γ sono
definiti come:
2h3
.
A = 2h , J =
3
Definiamo infine le risultanti delle azioni esterne come:
Z h
Z h
q(x) =
bdz , k(x) =
ze3 × bdz ,
(6.130)
−h
−h
in quanto per la (6.118) le azioni esterne sulle basi sono nulle.
100
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
Equazioni di bilancio
Se consideriamo un dominio P ⊂ S dotato di una frontiera regolare ∂P avente
normale n, abbiamo:
Z
Z
q+
f = 0,
P
∂P
e per la (6.128)1 :
Z
Z
Z
q+
P
Q · n e3 = 0 ,
Nm +
P
∂P
otteniamo, per il teorema della divergenza e per localizzazione, le equazioni di
bilancio per le azioni di membrana e per il taglio:
ˆ = 0,
div N + q
div Q + q3 = 0 ,
ˆ · e3 = 0 .
q
(6.131)
In maniera del tutto simile otteniamo la:
div M + Q + e3 × k = 0 ,
(6.132)
depurando la quale dei termini reattivi si ottiene l’equazione di bilancio per i
momenti:
div div M + q = 0 , q = q3 + e3 × div k .
(6.133)
Le equazioni di bilancio possono essere ottenute anche per via variazione
minimizzando l’energia potenziale elastica (3.1), che per le (6.127), (6.129) e le
(6.124) diviene:
(v , w) 7→ U(v , w)
=
−
Z Z h
1
TA · ∇v − zTA · ∇∇w
2 S −h
Z Z h
b · (v − z∇w + we3 )
S
Z
Z
h
−
so · (v − z∇w + we3 ) =
∂1 S
=
(6.134)
−h
1
2
Z
−h
Z
−
N · ∇v − M · ∇∇w
S
ˆ · v + q3 w + e3 × k · ∇w
q
ZS
−
ˆs · v + sˆ3 w − c
ˆ · ∇w ,
∂1 S
ˆ sono le risultanti ed il momento risultante sullo spessore 2h delle
dove ˆs, sˆ3 e c
azioni applicate sulla porzione M1 del mantello sulla quale sono assegnate le
condizioni al controno in termini di trazione e corrispondente alla porzione S1
di frontiera del piano medio.
6.4. PIASTRE
101
Dalla condizione di minimo del funzionale (6.134) riotteniamo le (6.131),
(6.133) nonch´e le condizioni al contorno:
(Nn − ˆs) · v = 0 , su ∂S ,
(6.135)
ˆ) · ∇w + (Qn − sˆ3 )w = 0 , su ∂S ;
(Mn − c
(6.136)
e
torneremo ad esaminare le (6.136) nel dettaglio nei paragrafi successivi.
6.4.2
Lo stato piano di deformazione. La soluzione di Airy
La deformazione nel piano medio ´e descritta dal campo di spostamento S 3 x 7→
v(x), il cui associato il tensore di deformazione Eo = sym ∇v ´e detto stato piano
di deformazione. Se consideriamo le (6.131)1 , (6.135) con le relazioni costitutive
(6.129) e la cinematica (6.124), giungiamo per lo stato piano di deformazione ad
un problema di equilibrio in termini di spostamento analogo a quello ben noto
dalla elasticit´
a tridimensionale. Tale problema, per una piastra trasversalmente
isotropa, che ha la massima simmetria compatibile con i vincoli, conduce alle
equazioni di Navier per un continuo bidimensionale per il campo di spostamenti
S 3 x 7→ v(x):
ˆ
µ∆v + (µ + λ)∇(div v) + q
2µ∂n v + µn × curl v + λ(div v)n
v
= 0 , in S ,
= ˆs , su ∂1 S ,
(6.137)
= v0 , su ∂2 S .
Limitatamente ai materiali trasversalmente isotropi, il problema pu´o essere
risolto mediante un approccio alla Beltrami-Michell nell’ipotesi che le azioni di
ˆ nel piano medio siano nulle e che il problema sia di trazione, ovvero
volume q
∂S1 = ∂S. In questo caso l’equazione omogenea
div N = 0 ,
la cui rappresentazione in componenti nel riferimento {e1 , e2 } ´e:
N11,1 + N12,2 = 0 ,
N12,1 + N22,2 = 0 ,
ammette una soluzione detta soluzione di Airy:
N11 = Φ,22 ,
N22 = Φ,11 ,
N12 = −Φ,12 ,
(6.138)
con S 3 x 7→ Φ(x) ∈ R, Φ ∈ C 3 (S). In forma indiciale la soluzione di Airy pu´o
scriversi in termini del simbolo di Ricci bidimensionale αβ , 12 = −21 = 1,
11 = 22 = 0 mediante le:
Nαβ = αγ βδ Φ,γδ .
102
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
Le componenti dello stato piano di deformazione corrispondente sono date, se il
materiale ´e trasversalmente isotropo, da una relazione analoga a quella ottenuta
per i materiali isotropi nel caso della elasticit´a tridimensionale, ovvero:
N22 − νN11
1+ν
N11 − νN22
, E22 =
, E12 =
N12 ,
EA
EA
EA
per lo stato piano di deformazione la condizione di compabitilit´a
E11 =
(6.139)
curl curl Eo = 0 ,
si riduce alla:
E11,22 + E22,11 − 2E12,12 = 0 .
(6.140)
Sostituendo le (6.138) nelle (6.139) e nelle (6.140) giungiamo all’equazione
per la funzione di Airy, che deve essere biarmonica:
∆∆Φ = 0 ,
in S ,
(6.141)
con condizioni al contorno:
αγ βδ Φ,γδ nβ = sˆα ,
in ∂S .
(6.142)
Determinata la funzione di Airy, dallo stato piano di deformazione si pu´o determinare il campo di spostamento v, ad esempio mediante la formula di Ces´aro.
6.4.3
Deformazioni flessionali
Le deformazioni flessionali della piastra sono descritte dalla equazione di bilancio
(6.133) espressa in termini dello spostamento x 7→ w(x) mediante la (6.129)2 :
− div div(JC[∇∇w]) + q = 0 ,
(6.143)
la cui rappresentazione in componenti ´e:
−JCαβγδ w,αβγδ +q = 0 .
(6.144)
Analizziamo nel dettaglio alcuni casi aventi simmetria crescente compatibile con
le equazioni di vincolo:
Piastre Monocline
Nel caso delle piastre monocline tutte le componenti Cαβγδ sono diverse da zero
(cf. (1.9) e l’equazione di bilancio in termini di spostamento rimane la (6.144).
Piastre Ortotrope
Se la piastra ´e Ortotropa-Romboedrale, per la (1.12) dalla (6.144) otteniamo:
J(C1111 w,1111 +C2222 w,2222 +2(2C1212 + C1122 )w,1122 ) − q = 0 ;
(6.145)
questa equazione, espressa in termini delle rigidezze flessionali A e B e della
rigidezza torsionale C ´e conosciuta come equazione di Huber:
Aw,1111 +Bw,2222 +2Cw,1122 −q = 0 .
(6.146)
Nel caso di piastra Ortotropa-Tetragonale si ha C1111 = C2222 ovvero A = B.
6.4. PIASTRE
103
Piastre Trasversalmente Isotrope
Per le piastre trasversalmente isotrope che esibiscono la massima simmetria
compatibile con i vincoli interni imposti, abbiamo che, oltre alla condizione
C1111 = C2222 si ha C1111 = 2C1212 + C1122 da cui discende l’equazione classica
della piastra dovuta a Lagrange-Germain:
D∆∆w − q = 0 ,
D=
2h3
C1111 ;
3
(6.147)
usualmente il termine C1111 viene espresso in termini del modulo di Young E e
del modulo di Poisson di un materiale isotropo mediante la relazione:
C1111 =
6.4.4
E
.
1 − ν2
Le condizioni al contorno di Kirchhoff
L’equazione di bilancio in termini di spostamento ´e una equazione alle derivate
parziali lineare del quarto ordine e pertanto richiede per la buona posizione del
problema di due condizioni al contorno per ciascun punto di ∂S. Indichiamo
con n la normale esterna al contorno e con t il vettore tangente la curva ∂S,
n · t = 0 e con ∂n (·) = ∇(·)[n] e ∂t (·) = ∇(·)[t] rispettivamente la derivata
normale e la derivata tangente. Di conseguenza:
∇w = ∂n w n + ∂t w t ,
per modo che la condizione al contorno (6.136) diviene
(Mnn − cˆn )∂n w + (Mnt − cˆt )∂t w + (Qn − sˆ3 )w = 0 , su ∂S ,
(6.148)
dove il momento flettente Mnn ed il momento torcente Mnt sono definiti dalle:
Mnn = Mn · n ,
Mnt = Mn · t .
Osserviamo che la (6.148) equivale ad assegnare in generale tre condizioni in
luogo di due: in realt´
a, come ottenuto da Kirchhoff, queste condizioni possono
essere ridotte a due. Infatti, osserviamo che:
Z
Z
(Mnt − cˆt )∂t w =
∂t ((Mnt − cˆt )w) − (∂t Mnt − ∂t cˆt )w ;
∂S
∂S
e poich´e l’integrale della derivata tangente su di una curva chiusa ´e nullo arriviamo alla:
(Mnn − cˆn )∂n w + (Q∗n − sˆ3 + ∂t cˆt )w = 0 , su ∂S ,
(6.149)
dove il Taglio ridotto di Kirchhoff Q∗n ´e definito come:
Q∗n = Qn − ∂t Mnt .
(6.150)
Abbiamo quindi quattro casi possibili di vincolo puntuale al contorno:
104
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
• Appoggio: le condizioni al contorno sono:
w = 0,
Mnn = cˆn ;
• Incastro: le condizioni al contorno sono:
w = 0,
∂n w = 0 ;
• Bordo libero: le condizioni al contorno sono:
Q∗n = sˆ3 − ∂t cˆt ,
Mnn = cˆn ;
• Pattino: le condizioni al contorno sono:
Q∗n = sˆ3 − ∂t cˆt ,
6.4.5
∂n w = 0 .
Soluzioni statiche
Consideriamo alcune soluzioni note per il problema della piastra isotropa di
Lagrange-Germain (6.147) con le condizioni al contorno di Kirchhoff:
Piastra circolare caricata uniformemente
Se il piano medio S ´e un disco di raggio R, la rappresentazione pi´
u semplice della
soluzione ´e in coordinate polari, ovvero w = w(r , θ); se la piastra ´e appoggiata,
le condizioni al contorno sono:
w(R , θ) = 0 ,
Mrr (R , θ) = 0 ,
∀θ ∈ [0 , 2π) ;
se il carico ´e uniforme, q = qo , per la simmetria del problema la soluzione non
dipender´
a da θ, ovvero w = w(r). In questo caso l’equazione (6.147) diviene:
1
qo
1
2
,
w0000 + w000 − 2 w00 + 3 w0 =
r
r
r
D
(·)0 =
d
,
dr
(6.151)
il cui integrale generale ´e
w(r) = c1
r4
qo r4
+ c2 ln r + c3 +
.
4
64D
Poich´e le derivate seconde rispetto alle coordinate cartesiane (x1 , x2 ) sono
esprimibili, nel caso in cui w = w(r) come:
w,11
=
w,22
=
w,12
=
1
w00 cos2 θ + w0 sin2 θ ,
r
1 0
2
00
w sin θ + w cos2 θ ,
r
1 0
00
(w − w ) sin θ cos θ ,
r
6.4. PIASTRE
105
ed essendo i vettori normale n e tangente t alla frontiera ∂S:
n = cos θe1 + sin θe2 ,
t = sin θe1 − cos θe2 ,
si hanno:
Mrr
Mθθ
=
M11 cos2 θ + M22 sin2 θ + 2M12 sin θ cos θ
2
(6.152)
2
= M11 sin θ + M22 cos θ − 2M12 sin θ cos θ ,
dove:
M11
M22
M12
1
= J (C1111 cos2 θ + C1122 sin2 θ)w00 + (C1111 sin2 θ + C1122 cos2 θ) w0 ,
r
1
= J (C1111 sin2 θ + C1122 cos2 θ)w00 + (C1111 cos2 θ + C1122 sin2 θ) w0 ,
r
1
= 2JC1212 sin θ cos θ(w00 − w0 ) .
r
Le condizioni al contorno per la piastra circolare sono le due condizioni di
appoggio:
w(R)
Mrr (R)
=
0,
(6.153)
1
= J(C1111 w00 (R) + C1122 w0 (R)) = 0 ,
R
e la condizione che la rotazione nel punto medio r = 0 sia nulla per simmetria:
w0 (0) = 0 .
(6.154)
La condizione (6.154) implica che c2 = 0 e mediante le (6.153) otteniamo il
campo di spostamento:
w(r) =
q0
(k − 1)r4 + (k + 1)R4 ,
64(3 + k)D
k=
C1122
.
C1111
(6.155)
La soluzione di Poisson per la piastra rettangolare
Consideriamo il caso di una piastra rettangolare di lati (a , b) caricata uniformemente da un carico qo : se rappresentiamo il carico in serie di Fourier si
ha:
∞
X
kπx2
hπx1
sin
.
qo =
Ahk sin
a
b
h,k=1
Se la piastra ´e appoggiata, le condizioni al contorno sono:
w = 0,
Mnn = 0 ,
su ∂S ,
la seconda delle quali si specializza nelle:
M11 (0 , x2 ) = M11 (a , x2 ) = 0 ,
0 < x2 < b ,
M22 (x1 , 0) = M22 (x1 , a) = 0 ,
0 < x1 < a .
106
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
Osserviamo che, dalle relazioni costitutive (6.129)2 , per materiali trasversalmente isotropi si ha:
M11
=
J(C1111 w,11 +C1122 w,22 ) ,
M22
=
J(C1122 w,11 +C1111 w,22 ) ;
(6.156)
poich´e per 0 < x2 < a si ha w = 0, abbiamo che w,22 = 0 per 0 < x2 < b, ed
analogamente si ha w,11 = 0 per 0 < x1 < a: di conseguenza le condizioni sul
momento implicano le condizioni cinematiche:
w,11 (0 , x2 ) = w,11 (a , x2 ) = 0 ,
0 < x2 < a ,
w,22 (x1 , 0) = w,22 (x1 , a) = 0 ,
0 < x1 < a .
Anche in questo caso cerchiamo soluzioni del tipo:
w(x1 , x2 ) =
∞
X
Whk sin
h,k=1
hπx1
kπx2
sin
,
a
b
(6.157)
che verificano la condizioni al contorno su ∂Ω: per la (6.147) si ha:
Whk =
16qo a4 b4
1
,
6
2
2
π D hk(h a + k 2 b2 )2
h, k = 1, 3, 5, . . . 2n + 1 .
(6.158)
Se consideriamo una piastra quadrata con a = b si ha:
Whk =
1
16qo a4
,
6
2
π D hk(h + k 2 )2
h, k = 1, 3, 5, . . . 2n + 1 ,
(6.159)
e lo spostamento massimo nel punto medio di coordinate (a/2 , a/2) ´e pertanto
dato da:
wmax = W11 − 2W13 + W33 − 2W35 + W55 + . . . .
La soluzione che otteniamo arrivando sino al termine W33 fornisce
wmax = 0, 0041
qo a4
,
D
(6.160)
risultato che ´e interessante confrontare con la soluzione approssimata che otterremo di seguito mediante il metodo alle differenze finite.
Il metodo di Marcus
Il metodo di Marcus ´e un metodo di fattorizzazione dell’equazione (6.147) in due
operatori del secondo ordine che trasformano la soluzione dell’equazione nella
soluzione in cascata di due problemi formalmente analoghi a quelli visti nella
statica della membrana:
∆w
=
∆H
=
H,
q
;
D
(6.161)
6.4. PIASTRE
107
tale fattorizzazione ´e possibile se le condizioni al contorno su ∂S si decompongono in due condizioni indipendenti su w e sulla funzione H. La prima condizione,
quella sulla funzione di spostamento w viene soddisfatta se la piastra ha, tra le
sue condizioni al contorno la condizione w = 0. Per determinare quali sono le
condizioni su H osserviamo che:
tr M = M11 + M22 = J(C1111 + C1122 )∆w ,
quantit´
a invariate ed indipendente quindi dalla scelta del sistema di riferimento.
Ne segue che, per la (6.161)1 :
H=
M11 + M22
;
J(C1111 + C1122 )
Se la piastra ´e rettangolare abbiamo visto come nel caso di appoggio la condizione M11 = 0 per x1 = 0 ed x1 = a equivalga a w,11 = 0 poich´e w,22 = 0 su
0 < x2 < b. Di conseguenza per le (6.156) abbiamo
M11 + M22 = J(C1111 + C1122 )w,11 = 0 ,
e di conseguenza
w,11 = 0 ⇒ H = 0 , x1 ∈ {0 , a} ,
w,22 = 0 ⇒ H = 0 , x2 ∈ {0 , b} .
La fattorizzazione di Marcus ´e quindi applicabile su piastre rettangolari ed
appoggiate.
Esempio 21 Piastra quadrata caricata uniformemente
Se consideriamo una piastra quadrata appoggiata e caricata uniformemente
dal carico ripartito qo , possiamo risolvere le (6.161) applicando in successione
il metodo delle differenze finite con h = a/2 ed avendo quindi un solo punto
interno.
3
4
1
2
5
Dalla (6.161)2 si ha
H2 + H3 + H4 + H5 − 4H1
qo
=
,
2
h
D
108
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
con le condizioni al contorno:
H2 = H3 = H4 = H5 = 0 ,
e di conseguenza:
qo a2
.
16D
Riapplicando il metodo alle differenze finite alla (6.161)1 abbiamo:
H1 = −
w2 + w3 + w4 + w5 − 4w1
= H1 ,
h2
con le condizioni al contorno:
w2 = w3 = w4 = w5 = 0 ,
dalle quali arriviamo allo spostamento massimo wmax = w1 :
w1 =
qo a4
qo a4
= −0, 0039
,
256D
D
con un errore di circa il 5% rispetto alla soluzione (6.160).
6.4.6
Dinamica
La dinamica delle piastre si ottiene dalle equazioni di bilancio (6.131) e (6.133)
assumendo le azioni inerziali:
ˆ in = −ρ¨
q
v,
q in − ρw
¨,
dove ρ ´e la densit´
a per unit´a di area. Abbiamo quindi una equazione che descrive
la dinamica nel piano medio, che rappresentiamo nel caso di un generico materiale anisotropo compatibile con le condizioni di vincolo dedotte dalle ipotesi di
Kirchhoff:
ˆ = 0,
A div C[∇v] − ρ¨
v+q
v(x , 0) = vo (x) ,
˙ , 0) = v˙ o (x) ,
v(x
in S × [0 , τ ) ,
x∈S,
(6.162)
x∈S,
condizioni al contorno su ∂S ,
∀t ∈ [0 , τ ) ;
ed una che descrive la dinamica delle vibrazioni flessioni, che viene rappresentata
nel caso di un generico materiale anisotropo compatibile con i vincoli interni:
J div div C[∇∇w] + ρw
¨ − q = 0,
in S × [0 , τ ) ,
w(x , 0) = wo (x) ,
x∈S,
w(x
˙ , 0) = w˙ o (x) ,
x∈S,
condizioni al contorno su ∂S ,
∀t ∈ [0 , τ ) .
(6.163)
6.4. PIASTRE
109
Propagazione ondosa
Cerchiamo per la (6.162) resa omogenea le condizioni di propagazione di un’onda
piana progressiva di ampiezza a, direzione di propagazione m e velocit´
a c:
v(x , t) = a sin(x · m − ct) ,
a · e3 = 0 , m · e3 = 0 ;
poich´e abbiamo:
∇v = a ⊗ m cos(x · m − ct) ,
¨ = −c2 a sin(x · m − ct) ,
v
dalla (6.162) si arriva alla condizione di propagazione:
(A(m) − ρc2 )a = 0 ,
(6.164)
dove il tensore acustico A(m) ´e definito implicitamente mediante la:
A(m)a = AC[a ⊗ m]m .
Poich´e il tensore acustico ´e definito positivo per la positiva definitezza di C:
A(m)a · a = AC[a ⊗ m]m · a = AC[a ⊗ m] · (a ⊗ m) > 0 ,
il problema agli autovalori (6.164) ammette due autocoppie per ciascuna direzione di propagazione m, aventi velocit´a di propagazione distinte ed ampiezze
ortogonali:
(c21 , a1 ) , (c22 , a2 ) , a1 · a2 = 0 .
Nel caso di materiale trasversalmente isotropo il tensore acustico si riduce a:
A(m) = Aµ(I − m ⊗ m) + A(2µ + λ)m ⊗ m ,
(6.165)
e si hanno:
c21 =
A
(2µ + λ) ,
ρ
a1 = m ;
c22 =
A
µ,
ρ
a2 = m⊥ , m · m⊥ = 0 ;
(6.166)
si dice in questo caso onda longitudinale quella di ampiezza a1 × m = 0 ed onda
trasversale quella di ampiezza a2 · m = 0.
La condizione di propagazione di un’onda piana progressiva:
w(x , t) = ao sin(x · m − ct) ,
m · e3 = 0 ,
per l’equazione (6.163) resa omogenea, ci porta alla condizione di propagazione:
JC[m ⊗ m] · (m ⊗ m) − ρc2 = 0 ;
(6.167)
la velocit´
a di propagazione dell’onda flessionale (che avendo ampiezza diretta come e3 pu´
o classificarsi come onda trasversale) dipende in un materiale
110
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
anisotropo dalla direzione di propagazione m. Nel caso di materiali trasversalmente isotropi la velocit´a di propagazione ´e indipendente dalla direzione di
propagazione e vale:
D
c2 =
.
(6.168)
ρ
Complessivamente, se consideriamo sia le onde membranali che quelle flessionali, in una piastra alla Kirchhoff trasversalmente isotropa avremo un’onda
longitudinale nel piano medio e due onde trasversali, una nel piano medio ed
una ortogonalmente ad esso:
c21
=
c22
=
c23
=
A
(2µ + λ) , a1 = m , m · e3 = 0 ,
ρ
A
µ , a2 = m⊥ = e3 × m ,
ρ
D
, a3 = e3 .
ρ
(6.169)
(6.170)
Osservazione 18 : Caso tridimensionale
´ immediato osservare che il precedente risultato pu´o facilmente essere esteE
so al caso tridimensionale, avendo tre autocoppie (ck , ak ) con tre autovettori
ortogonali. Nel caso di materiali isotropi si avranno un’onda longitudinale e due
onde trasversali aventi ampiezze tra loro ortogonali nel piano perpendicolare alla
direzione di propagazione m.
La soluzione a variabili separabili per l’equazione di Lagrange-Germain
Cerchiamo soluzioni a variabili separabili del tipo w(x , t) = U (x)T (t) per
l’equazione (6.163) omogenea con le associate condizioni iniziali e al contorno.
Poich´e:
• il dominio S × [0 , τ ) ´e rettangolare;
• le condizioni per x = 0 non dipendono da x e non implicano derivate
rispetto a t;
• le condizioni per t = 0 non dipendono da t e non implicano derivate
rispetto a x;
resta da verificare che esista una funzione ϕ(x , t) per la quale:
L(U (x)T (t))
= F (x) + G(t) .
ϕ(x , t)U (x)T (t)
Sostituendo nella (6.163) abbiamo :
D∆∆U (x)T (t) − ρU (x)T¨(t) = 0 ,
6.4. PIASTRE
111
e con ϕ(x , t) = 1 abbiamo verificata la condizione di applicabilit´a del metodo:
c2
∆∆U (x) T¨(t)
−
= 0,
U (x)
T (t)
che porta alle due equazioni:
∆∆U (x) − ω 4 U (x)
=
0,
T¨(t) + λ2 T (t)
=
0.
ω4 =
λ2
,
c2
(6.171)
Piastra circolare
Se S ´e un disco di raggio R, cerchiamo, come nel caso della membrana, soluzioni
a variabili separabili. Limitiamo la nostra analisi a soluzioni aventi simmetria
radiale, ovvero
U (r , θ) = U (r) ,
per le quali ´e possibile la soluzione a variabili separabili. Poich´e la rappresentazione in coordinate polari del doppio laplaciano ´e in questo caso specifico
2
1
1
∆∆U (r) = U 0000 (r) + U 000 (r) − 2 U 00 (r) + 3 U (r) ,
r
r
r
(6.172)
la (6.171) diviene:
1
1
2
U 0000 + U 000 − 2 U 00 + 3 U + ω 4 U = 0 ,
r
r
r
la cui soluzione ´e una combinazione lineare delle due funzioni di Bessel Jo ed Io :
U (r) = C1 Jo (ωr) + C2 Io (ωr) .
Io
Jo
Le funzioni di Bessel Jo (z) ed Io (z)
(6.173)
112
CAPITOLO 6. SISTEMI CONTINUI
Le costanti di integrazione C1 e C2 dipendono dalle condizioni al contorno;
ad esempio, nel caso di piastra incastrata sul bordo si ha:
U 0 (R) = 0 ,
U (R) = 0 ,
che equivale alla:
Jo (ωR)I1 (ωR) + Io (ωR)J1 (ωR) = 0 .
(6.174)
Dette rn , n = 1, 2, . . . le soluzioni della (6.174) abbiamo le pulsazioni
ωn =
rn
,
R
n = 1, 2, . . .
e dalla (6.173) l’autocoppia (λn , Un ) nel caso di piastra incastrata:
Un (r) = Jo (ωm r) −
Jo (ωm R)
Io (ωm r) ,
Io (ωm R)
λ2n = c2 ωn4 .
(6.175)
Osservazione 19 : Fattorizzazione di Marcus
L’equazione (6.171) pu´o essere riscritta nella forma
L[U ] = ∆∆U − ω 4 U = 0 ,
che pu´
o essere fattorizzata, in piena analogia con quanto fatto per le travi, nelle
due equazioni:
L1 [H] = ∆H + ω 2 H = 0 ,
(6.176)
2
L2 [U ] = ∆U − ω U = H .
Se la piastra ´e rettangolare, provvisto che
H(x) = 0 ,
x ∈ ∂S ,
(6.177)
l’equazione (6.176)1 ´e la (6.70) ed ammette le autocoppie (6.77). Osserviamo
che per la (6.176)2 , le condizioni (6.177) equivalgono a richiedere contemporaneamente che:
U (x) = 0 , ∆U (x) = 0 , x ∈ ∂S ,
(6.178)
che per una piastra rettangolare abbiamo visto equivalere alle condizioni di
vincolo di appoggio. Per quanto riguarda la (6.116)2 , cerchiamo soluzioni del
tipo:
U (x) = αH(x) ,
e per le (6.176) si ha:
α=−
1
.
2ω 2
´ immediato osservare che la versione statica di questa fattorizzazione ´e il
E
metodo di Marcus.
Capitolo 7
Problemi di autovalori in
dinamica
7.1
Formulazione forte di un’equazione differenziale
Nelle precedenti sezioni abbiamo visto come con il metodo di separazione delle
variabili i problemi di dinamica per continui mono- e bidimensionali sono stati
ricondotti alla forma:
L[u] − λu = 0 ,
(7.1)
dove:
u ∈ Ω ⊂ Rn → R ,
n = 1, 2 ,
(7.2)
λ ∈ R ed L ´e un operatore differenziale lineare di ordine 2m, m = 1, 2, alle
derivate parziali o totali:
L : D → R,
D 3 u 7→ Lu ∈ R ,
essendo D un’opportuno spazio di funzioni, ad esempio lo spazio delle funzioni
C 2m (Ω). Definiamo soluzione dell’equazione differenziale (7.1) la coppia autovalore, autovettore (λ ∈ R , u ∈ D): definiamo la (7.1), forma forte dell’equazione
differenziale.
7.2
Formulazione debole di un’equazione differenziale
Prima di definire cosa intendiamo per formulazione debole di una equazione
differenziale, ´e opportuno introdurre alcune elementari nozioni di analisi funzionale riguardanti le norme, i prodotti scalari e gli spazi di Lebesgue, Sobolev ed
Hilbert.
113
114
CAPITOLO 7. PROBLEMI DI AUTOVALORI IN DINAMICA
Spazi di Sobolev W s,p (Ω)
Definiamo Lp (Ω) lo spazio delle funzioni definite su Ω e dotate della norma di
Lebesgue di ordine p:
Z
kukp
|u|p
=
p1
< +∞ ,
1 ≤ p < +∞ ,
(7.3)
Ω
kuk∞
=
inf{C ≥ 0 | |u(x)| ≤ C quasi ovunque in Ω} ,
valendo:
lim kukp = kuk∞ .
p→+∞
Se adesso consideriamo una funzione u ∈ C k (Ω), denotando con Dα u la sua
derivata parziale all’ordine α, per ogni funzione ϕ ∈ Co∞ (Ω) (il pedice o denota
le funzioni a ”supporto compatto”), vale la regola di integrazione per parti:
Z
Z
uDα ϕ = (−1)|α|
ϕDα u .
Ω
Ω
Se u ∈
/ C k (Ω), la precedente definizione vale ancora se u ´e localmente integrabile e definiamo la derivata di ordine α della funzione u in senso debole, la
funzione localmente integrabile v = Dα u tale che:
Z
Z
α
|α|
uD ϕ = (−1)
ϕv , ∀ϕ ∈ Co∞ (Ω) .
Ω
Ω
Combinando la nozione di derivata in senso debole con la norma di Lebesgue,
definiamo lo spazio di Sobolev W k,p (Ω) di ordine k dotato di norma in Lp (Ω):
W k,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) | Dα u ∈ Lp (Ω) , ∀|α| ≤ k } ,
caratterizzato da una norma definita mediante le:

p1
P

p
α

kD
uk
, 1 ≤ p < +∞ ,

|α|≤k
Lp (Ω)
kukW k,p (Ω) =



max|α|≤k kDα ukL∞ (Ω) , p = +∞ ,
o altre rappresentazioni equivalenti.
Spazi di Hilbert H k (Ω)
Uno Spazio di Hilbert reale ´e uno spazio vettoriale per il quale ´e definito un
prodotto scalare ed ´e inoltre uno spazio metrico completo1 rispetto alla distanza
indotta dal prodotto scalare.
1 Uno spazio metrico ´
e completo se ogni sequenza di Cauchy di punti nello spazio converge
ad un elemento dello spazio, o intuitivamente ”non esistono punti mancanti” nello spazio.
7.2. FORMULAZIONE DEBOLE DI UN’EQUAZIONE DIFFERENZIALE115
Date due funzioni u e v definite su Ω, ne definiamo il loro prodotto scalare.
Z
(u , v) =
uv ∈ R ;
(7.4)
Ω
valgono le seguenti propriet´
a:
• Commutativit´
a: (u , v) = (v , u);
• Distributivit´
a: (u , v +w) = (u , v)+(u , w) ,
(u+v , w) = (u , w)+(v , w);
• Positivit´
a: (u , u) ≥ 0, valendo l’eguaglianza solo se u = 0.
In uno spazio di Hilbert ´e ben definita pertanto la Norma:
p
kuk = (u , u) ;
la distanza tra due elementi dello spazio u e v ´e definita mediante la norma:
p
d(u , v) = ku − vk = (u − v , u − v) ,
valendo la diseguaglianza di Schwartz:
|(u , v)| ≤ kukkvk .
Poich´e nello spazio L2 (Ω) il prodotto scalare (7.4) definisce la norma:
Z
u2
kuk2 =
21
;
Ω
lo spazio L2 (Ω) delle funzioni a quadrato sommabile ´e uno spazio di Hilbert.
Per la medesima ragione, lo spazio di Sobolev W k,2 (Ω) ´e uno spazio di Hilbert
che indichiamo con H k (Ω), dotato della norma:
X
1
kukH k (Ω) = (
kDα uk2 ) 2 .
|α|≤k
Sono di particolare importanza per le applicazioni i sottospazi chiusi (in senso
topologico) degli spazi di Hilbert: se nel sottospazio sono definiti il prodotto
scalare ed il sottospazio ´e completo, il sottospazio stesso ´e un o spazio di Hilbert.
La possibilit´
a di definire sottospazi ´e alla base delle teorie approssimate.
Inoltre la completezza dello spazio consente la definizione di una base ortogonale nello spazio di Hilbert, ovvero di una collezione di elementi φm ∈ H k (Ω),
m = 1, 2, . . . ∞ tali che:
(φm , φn ) = δmn ,
m, n = 1, 2, . . . ∞
con:
u = dm φm ,
m = 1, 2, . . . ∞ ,
∀u ∈ H k (Ω) .
116
CAPITOLO 7. PROBLEMI DI AUTOVALORI IN DINAMICA
Formulazione debole
Se moltiplichiamo scalarmente la (7.1) per una funzione v ∈ Do a supporto
compatto, ovvero che verifica le condizioni al contorno per il problema in forma
forte (7.1):
(L[u] − λu, v) = 0 ,
arriviamo alla formulazione debole del problema differenziale:
(L[u], v) − λ(u, v) = 0 ;
(7.5)
si dice soluzione dell’equazione differenziale (7.5) la coppia autovalore, autovettore (λ ∈ R , u ∈ Do ) che verifica la (7.5) ∀v ∈ Do . Le soluzioni della forma forte
(7.1) sono anche soluzioni della forma debole (7.5) mentre non ´e in generale vero
il viceversa.
Se prendiamo u = v ∈ Do abbiamo:
(L[u], u) − λ(u, u) = 0 ,
(7.6)
e definiamo quoziente di Rayleight il rapporto:
λ(u) =
(L[u], u)
.
(u, u)
(7.7)
Esempio 22 : l’equazione del filo teso
Nel caso del filo teso L[u] = −u00 , λ = ω 2 , il dominio Ω ´e l’aperto (0 , L) ∈ R e
lo spazio Do contiene le funzioni regolari che si annullano sul bordo ∂Ω ≡ {0 , L}.
La formulazione debole ´e pertanto:
Z L
Z L
u00 v + ω 2
uv = 0 , ∀v ∈ Do ;
0
0
integrando per parti il primo termine si ha:
L Z
Z L
Z L
00
0 0
0 u v=−
u v + (u v) =
0
0
0
L
L
uv + (u v − uv ) .
00
0
0
0
0
Poich´e il termine di bordo si annulla per u, v ∈ Do abbiamo che:
Z L
Z L
Z L
00
0 0
u v=−
uv =
uv 00 .
0
0
0
∗
Definiamo L aggiunto dell’operatore L se:
(L[u], v) = (L∗ [v], u) ,
∀u, v ∈ Do ;
un operatore si dice autoaggiunto se L = L∗ . Ne consegue che l’operatore
L[u] = −u00 ´e autoaggiunto ed inoltre:
Z L
(L[u], v) = (L[v], u) =
u0 v 0 ;
(7.8)
0
7.2. FORMULAZIONE DEBOLE DI UN’EQUAZIONE DIFFERENZIALE117
lo spazio Do ha una regolarit´
a molto minore dello spazio C 2 (0 , L) delle soluzioni
della forma forte (7.1), essendo:
Do = Ho1 (0 , L) ≡ { u ∈ H 1 (0 , L) | u = 0 in {0 , L} } .
La formulazione debole dell’equazione della dinamica del filo teso ´e quindi
L
Z
u0 v 0 + ω 2
−
L
Z
uv = 0 ,
∀v ∈ Do ,
0
0
cui ´e associato il quoziente di Rayleight:
L
Z
2
(u0 )2
0
ω = Z
.
L
2
u
0
Possiamo, in base a quanto visto con questo esempio, dare una definizione
pi´
u astratta della formulazione debole di una equazione differenziale del tipo
(7.1):
• Esiste una forma bilineare a(u, v) : Hom (Ω) × Hom (Ω) → R, tale che:
1. a(u, v) = (L[u], v) ;
2. a(u, v) ´e sesquilineare:
a(αu1 + βu2 , v)
= a(αu1 , v) + a(βu2 , v) ,
a(u, αv1 + βv2 )
=
a(u, αv1 ) + a(u, βv2 ) ;
3. a(u, v) ´e simmetrica:
a(u, v) = a(v, u) ;
4. a(u, v) ´e positiva:
a(u, u) > 0 .
• La formulazione debole (7.5) diviene: trovare la soluzione (λ , u), con λ ∈ R
ed u ∈ Hom (Ω) del problema:
a(u, v) − λ(u, v) = 0 ,
∀v ∈ Hom (Ω) .
(7.9)
• Per le ipotesi assunte sulla forma bilineare a(u, v), l’operatore L gode delle
seguenti propriet´
a:
1. L ´e autoaggiunto:
(L[u], v) = (L[v], u) ;
2. L ´e definito positivo:
(L[u], u) > 0 .
118
CAPITOLO 7. PROBLEMI DI AUTOVALORI IN DINAMICA
• Queste propriet´
a implicano le seguenti propriet´a delle soluzioni del problema (7.1):
1. Gli autovalori del problema (7.1) sono positivi: infatti dalla (7.7)
λ=
a(u, u)
(L[u], u)
> 0.
=
(u, u)
kuk2
2. Gli autovettori del problema (7.1) sono ortogonali: dette infatti (λ1 , u)
e (λ2 , v) due autocoppie con λ1 6= λ2 , si ha:
L[u] = λ1 u ,
L[v] = λ2 v ,
da cui moltiplicando scalarmente per v ed u rispettivamente:
(L[u], v) = λ1 (u, v) ,
(L[v], u) = λ2 (v, u) ;
per la commutativit´a del prodotto scalare e l’autoaggiunzione dell’operatore L, sottraendo membro a membro si ha:
(λ1 − λ2 )(v, u) = 0 ,
da cui per λ1 6= λ2 si ha la condizione di ortogonalit´a.
• Le propriet´
a delle soluzioni del problema (7.1) valgono anche per le soluzioni del problema (7.9).
• Definiamo quoziente di Rayleight il rapporto:
F(v) =
a(v, v)
,
(v, v)
∀v ∈ Hom (Ω) .
(7.10)
Caratterizzazione variazionale degli autovalori
Mediante la (7.10) possiamo definire la successione di problemi variazionali
(P BV )k :
(P BV )k : trovare uk tale che: F(uk ) =
min
F(v) ,
(7.11)
v∈Dk /{0}
dove
Dk ≡ {v ∈ Do | (v, uj ) ,
j = 1, 2, . . . k − 1} ,
(7.12)
per modo che:
Do ≡ D1 ⊃ D2 ⊃ . . . ⊃ Dn .
(7.13)
Si ha il seguente:
Teorema 6 Se la coppia F(uk , uk ) ´e soluzione di (7.9), allora le soluzioni dei
problemi (P BV )k sono autocoppie di (7.9).
7.2. FORMULAZIONE DEBOLE DI UN’EQUAZIONE DIFFERENZIALE119
Per k = 1 si dimostra che se F(u1 , u1 ) ´e soluzione di (P BV )1 allora ´e una
autocoppia per (7.9). Definiamo pertanto la funzione Φ() = F(u1 + v) con
∈ R un piccolo parametro e v ∈ Do :
Φ()
a(u1 + v, u1 + v)
=
(u1 + v, u1 + v)
a(u1 , u1 ) + 2a(v, u1 ) + 2 a(v, v)
;
(u1 , u1 ) + 2(v, u1 ) + 2 (v, v)
=
=
la funzione Φ() ´e C ∞ (R) e poich´e:
lim Φ() = F(u1 ) = min F(v) ,
Do
→0
ne consegue che Φ(0) = min Φ() e pertanto Φ0 (0) = 0, ovvero:
Φ0 (0) =
2a(u1 , v)(u1 , u1 ) − 2a(u1 , u1 )(u1 , v)
,
(u1 , u1 )2
che, essendo a(u1 , u1 ) = F(u1 )(u1 , u1 ), diviene:
a(u1 , v) − F(u1 )(u1 , v) = 0 ,
ovvero λ = F(u1 ) e pertanto F(u1 , u1 ) ´e una autocoppia.
In conseguenza di questo teorema sono dimostrabili le seguenti proposizioni:
• Esistono soluzioni del problema (P BV )k , ∀k ed inoltre
F(u1 ≤ F(u2 ) ≤ . . . ≤ F(un ) .
• Il sistema delle autofunzioni uk dei problemi (P BV )k ´e completo in Do ,
ovvero:
∞
X
v=
ck uk , ∀v ∈ Do .
k=1
• Non esistono altre soluzioni di (7.9) oltre a quelle del problema (P BV )k .
Una ulteriore conseguenza di questo teorema ´e data dai Teoremi di Monotonia:
Teorema 7 Primo teorema di monotonia: date a(·, ·) e b(·, ·) = (·, ·) ed assegnati D1 ⊂ D2 per ogni (P BV )k si ha:
λ1k ≥ λ2k ,
∀k .
Teorema 8 Secondo teorema di monotonia: date a1 (·, ·) , b1 (·, ·) e a2 (·, ·) , b2 (·, ·)
su Do , se a1 (·, ·) ≥ a2 (·, ·) e b1 (·, ·) ≤ b2 (·, ·), ∀u ∈ Do allora per ogni (P BV )k
si ha:
λ1k ≥ λ2k , ∀k .
120
7.3
CAPITOLO 7. PROBLEMI DI AUTOVALORI IN DINAMICA
Soluzioni approssimate
Il quoziente di Rayleight e la successione di problemi variazionali (P BV )k possono essere utilizzati per la costruzione di soluzioni approssimate: per una definizione generale di Soluzione approssimata si veda l’Appendice B.3. Esaminiamo
nel dettaglio due metodi.
7.3.1
Il metodo di Rayleight
Il metodo di Rayleight si basa sull’osservazione che il pi´
u piccolo autovalore λ1
del problema ´e:
λ1 = min F(v) ,
Do /{0}
per cui, scelta una generica funzione w ∈ Do si ha:
F(w) ≥ λ1 .
(7.14)
Consideriamo ad esempio la struttura di figura, incastrata in A e C, ed
assumiamo le due funzioni vα ∈ Ho2 (Ωα ):
B
C
h
A
l
v1 (z)
=
v2 (z)
=
z3
z2
−3 +z,
2
l
l
z3
z2
2 2 −3 +z,
h
h
2
Ω1 ≡ (0 , l) ,
Ω2 ≡ (0 , h) ,
che verificano le condizioni al contorno di incastro nelle sezioni A e C e la
congruenza della rotazione nella sezione B.
Abbiamo:
Z l
Z h
1
1
a(v, v) =
(v100 )2 +
(v200 )2 = 12( + ) ,
h
l
0
0
7.3. SOLUZIONI APPROSSIMATE
e
l
Z
(v1 )2 +
b(v, v) =
121
Z
0
h
(v2 )2 =
0
62 3
(h + l3 ) ,
35
da cui la stima della prima frequenza:
λ1 ≤
7.3.2
h+l
π4 1 + ξ
210
= 0, 07 4 3
,
3
3
31 hl(h + l )
l ξ (1 + ξ 3 )
ξ=
h
.
l
Il metodo di Rayleight-Ritz
Con il metodo di Rayleight-Ritz si ricerca una soluzione in un sottospazio di
Dn ⊂ Do : se {vk }, k = 1, 2, . . . n, ´e una base in questo sottospazio abbiamo:
vˆ =
n
X
ck ∈ R , vk ∈ Dn ,
ck vk ,
k = 1, 2, . . . n ,
k=1
segue che il quoziente di Rayleight ´e una funzione del vettore dei coefficienti
c ≡ [ck ]:
a(ck vk , cj vj )
Φ(c) = F(ˆ
v) =
,
(7.15)
b(ck vk , cj vj )
che per la sesquilinearit´
a della forma bilineare a(·, ·) pu´o riscriversi come:
Φ(c) =
Akj ck cj
,
Bkj ck cj
Akj = a(vk , vj ) ,
Bkj = b(vk , vj ) .
(7.16)
Per il primo teorema di monotonia, poich´e Dn ⊂ Do , la condizione di minimo
del quoziente di Rayleight sul sottospazio Dn fornisce:
λ∗1 = min F(ˆ
v ) ≥ λ1 ,
v
ˆ∈Dn
che equivale pertanto alla condizione di minimo di Φ(c) su Rn :
λ∗1 = minn Φ(c) .
c∈R
Come gi´
a visto per i sistemi ad N gradi di libert´a la ricerca del minimo ha senso
sulla sfera unitaria:
B ≡ {c ∈ Rn | Bkj ck cj = 1} ,
e pertanto il problema di minimo si pu´o formulare mediante il moltiplicatore di
Lagrange λ:
ˆ
minn Φ(c)
= Akj ck cj − λ(Bkj ck cj − 1) ,
(7.17)
c∈R
che equivale al problema agli autovalori in dimensione n:
(Akj − λBkj )cj = 0 ,
j, k = 1, 2, . . . n ,
(7.18)
che ammette soluzioni per
det(Akj − λBkj ) = 0 .
(7.19)
122
CAPITOLO 7. PROBLEMI DI AUTOVALORI IN DINAMICA
Le autocoppie (λn , cn ) del problema (7.18), forniscono una stima dei primi
n modi propri e delle prime n frequenze fondamentali del problema (P BV )k .
Consideriamo ad esempio l’equazione del filo teso ed assumiamo il sottospazio D2 contenente le due funzioni lineari a tratti vα ∈ H 1 (0 , l):
v1 (z)
v2 (z)
Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z
0
l/3
2l/3
l

3z

0 < z < 3l ,

l ,





l
2l
v1 (z) =
2 − 3z
l ,
3 <z < 3 ,






0 , 2l < z < l .
3


0
,
0
< z < 3l ,






l
2l
v2 (z) =
−1 + 3z
l ,
3 <z < 3 ,






3 − 3z , 2l < z < l .
l
.
3
Poich´e:
Z
Aij =
l
vi0 (z)vj0 (z)dz ,
0
Z
l
Bij =
vi (z)vj (z)dz ,
0
abbiamo:

[Aij ] ≡
1
l
6
−3

,
−3

[Bij ] ≡
6
l 
18
Il problema agli autovalori (7.18) ha soluzioni:
λ1 = 1, 09
cui corrispondono gli autovettori:
π2
,
l2
λ2 = 5, 47
π2
,
l2
4
1
1
4

.
7.3. SOLUZIONI APPROSSIMATE
c1 ≡
QQ
QQ
1
1
123
c2 ≡
1
−1
QQ
QQ
QQ
QQ
Osserviamo che λ1 ´e un’ottima stima della frequenza fondamentale esatta:
λ1 >
π2
,
l2
λ2 > 4
π2
.
l2
124
CAPITOLO 7. PROBLEMI DI AUTOVALORI IN DINAMICA
Parte III
Plasticit´
a
125
Capitolo 8
Materiali inelastici
8.1
Materiali con variabili interne
Come ´e noto, definiamo un materiale elastico se lo sforzo dipende esclusivamente
dalla deformazione (ed eventualmente dalla temperatura θ), o viceversa:
ˆ , θ) ,
E = E(T
essendo T lo sforzo di Cauchy ed E il tensore di deformazione infinitesima.
Un materiale per il quale si assumono dipendenze della deformazione da altre
variabili di stato, oltre che dallo sforzo e dalla temperatura, si dice Inelastico o Anelastico. Definiamo variabili interne la collezione ξ ≡ (ξ1 , ξ2 , . . . ξn )
delle variabili di stato, oltre allo sforzo ed alla temperatura, da cui dipende la
deformazione:
ˆ , θ , ξ) .
E = E(T
(8.1)
Per le variabili di stato ξ si postula una relazione costitutiva che ne descrive
l’evoluzione nel tempo
ξ˙ = g(T , θ , ξ) ,
(8.2)
ovvero si assume che l’evoluzione delle variabili di stato dipenda dalle medesime
quantit´
a da cui dipende la deformazione: la (8.2) ´e detta legge di flusso.
Osservazione 20 Principio di non dualit´
a. Osserviamo che in generale per la
(8.1) vale il cosiddetto principio di non dualit´
a, introdotto da Mandel (1967),
ovvero la relazione costitutiva non pu´o essere invertita per ottenere la tensione
T in funzione delle variabili (E , θ , ξ).
Si definisce uno Stato di equilibrio locale uno stato (T , θ , ξ) per il quale:
g(T , θ , ξ) = 0 ,
ovvero per il quale ξ ´e costante per (T , θ) costanti.
127
(8.3)
128
CAPITOLO 8. MATERIALI INELASTICI
Osservazione 21 Trasformazioni irreversibili. Nei continui elastici, ogni stato
di equilibrio locale ´e uno stato di equilibrio anche se il continuo non ´e globalmente in equilibrio. L’esistenza di stati di non-equilibrio ´e cruciale nella teoria dei
continui inelastici: tali stati evolvono per mezzo di trasformazioni irreversibili.
Una trasformazione si dice irreversibile se non ´e invariante per trasformazioni
t → −t.
8.1.1
Termodinamica
Dato un continuo Ω avente densit´a ρ > 0, assumiamo che in ogni punto di esso
sia definita una densit´
a di energia interna ϕ, ovvero una funzione di stato tale
che, per il primo principio della termodinamica:
Z
d
ρϕ = W ,
(8.4)
dt Ω
dove W ´e la potenza spesa dal sistema di azioni (b , s) per una distribuzione
di velocit´
a v, dove nelle azioni di volume b sono comprese le eventuali azioni
inerziali e la potenza termica dovuta all’apporto di calore r ed al flusso di calore
h:
Z
Z
Z
Z
W =
b·v+
s·v+
ρr −
h · n.
(8.5)
Ω
∂Ω
Ω
∂Ω
Per il principio delle potenze virtuali e per il teorema della divergenza si ha
Z
˙ + ρr − div h ,
W =
T·E
(8.6)
Ω
e per localizzazione dalla (8.4) arriviamo alla forma locale del primo principio
della termodinamica:
˙ + ρr − div h .
ρϕ˙ = T · E
(8.7)
Definiamo densit´
a di entropia la funzione di stato η che misura il disordine
termico del sistema. Per il secondo principio della termodinamica:
Z
Z
Z
d
ρη ≥ −
j·n+
j,
(8.8)
dt Ω
∂Ω
Ω
dove j ´e il flusso entropico e j l’apporto entropico. Ipotizziamo l’esistenza di un
temperatura assoluta θ per modo che:
j=
h
,
θ
j=
r
,
θ
(8.9)
per il teorema della divergenza e localizzando, arriviamo alla forma locale del
secondo principio della termodinamica o diseguaglianza di Clasius-Duhem:
ρη˙ ≥ − div
Poich´e:
− div
h r
+ .
θ
θ
h r
div h r ∇θ · h
+ =−
+ +
,
θ
θ
θ
θ
θ2
(8.10)
(8.11)
8.1. MATERIALI CON VARIABILI INTERNE
129
per la (8.7) possiamo riscrivere la diseguaglianza di Clasius-Duhem come:
ρη˙ ≥
1
˙ + ∇θ · h ,
(ρϕ˙ − T · E)
θ
θ2
(8.12)
ovvero:
˙ − ∇θ · h ≥ 0 .
ρ(θη˙ − ϕ)
˙ +T·E
θ
Introducendo l’energia libera di Helmoltz :
ψ = ϕ − θη ,
(8.13)
(8.14)
arriviamo all’espressione della (8.10) in termini di ψ:
˙ +T·E
˙ − ∇θ · h ≥ 0 .
−ρψ˙ − ρθη
θ
(8.15)
Assumendo che l’energia libera di Helmoltz dipenda dalla tensione, dalle
variabili interne e dalla temperatura, ovvero ψ = ψ(T , ξ , θ) abbiamo:
∂ψ ˙ ∂ψ ˙
∂ψ ˙
·E+
·ξ+
θ,
ψ˙ =
∂E
∂ξ
∂θ
(8.16)
per modo che dalla (8.15) si giunga alla:
(T − ρ
∂ψ
˙ − ρ ∂ψ · ξ˙ − (ρη + ρ ∂ψ )θ˙ − ∇θ · h ≥ 0 .
)·E
∂E
∂ξ
∂θ
θ
(8.17)
Dovendo la (8.17) valere per ogni processo, si ottengono le relazioni costitutive:
∂ψ
∂ψ
T=ρ
, η=−
, h = −K∇θ ,
(8.18)
∂E
∂θ
dove K ´e il tensore definito positivo di conduttivit´
a, e la diseguaglianza di Kelvin
o diseguaglianza di dissipazione:
D = p · ξ˙ ≥ 0 ,
p(T , ξ , θ) = −ρ
∂ψ
,
∂ξ
(8.19)
dove p ´e la forza termodinamica coniugata alle variabili interne.
8.1.2
Leggi e potenziali di flusso
Se si assume che la deformazione infinitesima sia decomponibile additivamente in
una parte elastica Ee ed una inelastica Ei , nelle quali omettiamo la dipendenza
dalla temperatura:
E(T , ξ) = Ee (T) + Ei (ξ) ,
Ee = K[T] ,
(8.20)
potr´
a esistere una energia libera di Helmoltz se e solo se ammette una rappresentazione additiva in una parte che dipende dalle deformazioni elastiche ed una
che dipende da quelle inelastiche (Lubliner, 1972):
ψ(E , ξ) = ψ e (E − Ei ) + ψ i (ξ) ,
(8.21)
130
CAPITOLO 8. MATERIALI INELASTICI
e la dissipazione D sar´a formata da due termini:
D = Di + pi · ξ˙ ≥ 0 ,
pi (ξ) = −ρ
∂ψ i
,
∂ξ
(8.22)
˙ i che pu´o assumere valori anche negativi
con la dissipazione inelastica Di = T · E
o nulli.
Si definisce legge di flusso una equazione di evoluzione per la parte inelastica
della deformazione, ovvero:
i
˙ ,
˙ i (ξ) = ∂E [ξ]
E
∂ξ
(8.23)
che per la (8.2) pu´
o riscriversi come:
i
˙ i (ξ) = ∂E [g(T , ξ)] = G(T , ξ) .
E
∂ξ
(8.24)
Assumiamo che esista una funzione g : Sym → R, T 7→ g(T) detta potenziale
di flusso, tale che:
G(T , ξ) = λ(T , ξ)
∂g
(T) ,
∂T
λ(T , ξ) > 0 ,
(8.25)
per modo che la velocit´a di deformazione totale sia data dalla:
˙ = K[T]
˙ + λ(T , ξ) ∂g (T) .
E
∂T
8.1.3
(8.26)
Viscoplasticit´
a con variabili interne
Consideriamo una funzione F : Sym ×R+ ×Rn → R, tale che F ∈ C(Sym ×R+ ×
Rn ), ed una regione D ⊂ Sym tali che:
• F(T , θ , ξ) < 0 , per fissati θ e ξ, con T ∈ D ;
˙ i = 0 per T ∈ D ;
• E
˙ i 6= 0 per T ∈ Sym /D ;
• E
il sottoinsieme D dello spazio delle tensioni si definisce allora Dominio elastico.
Per fissati valori di θ e ξ la superficie nello spazio dei tensori simmetrici:
F(T , θ , ξ) = 0 ,
(8.27)
´e detta superficie di snervamento nello spazio delle tensioni.
Si definisce viscoplasticit´
a ristretta un modello per il quale:
ξ˙ = 0 , quando F(T , θ , ξ) ≤ 0 ;
(8.28)
8.1. MATERIALI CON VARIABILI INTERNE
131
nella viscoplasticit´
a ristretta conviene pertanto porre la (8.2) nella forma:
(
= 0 , F(T , θ , ξ) ≤ 0
ξ˙ = Φh(T , θ , ξ) , Φ
(8.29)
> 0 , F(T , θ , ξ) > 0 .
Definiamo incrudimento la dipendenza della superficie di snervamento dalle
variabili interne ξ. Se consideriamo la funzione F per fissati valori di T e θ, la
sua evoluzione rispetto alle variabili interne ´e data dalla:
∂F
∂F ˙
˙
·ξ =Φ
· h,
F(T
, θ , ξ) =
∂ξ
∂ξ
(8.30)
nella quale abbiamo utilizzato la (8.29). Posto:
H=−
∂F
· h,
∂ξ
(8.31)
definiamo il comportamento del materiale a seconda del segno di H come:
• materiale Hardening se H > 0 ;
• materiale Softening se H < 0 ;
• materiale Perfettamente Plastico se H = 0 .
Osserviamo che nel caso H = 0, dovendo valere la (8.31) per ogni valore di
h necessariamente la superficie di snervamento sar´a indipendente dalle variabili
interne:
F(T , θ) = 0 .
(8.32)
Utilizzando la (8.29) nella (8.24) otteniamo l’espressione della legge di flusso
in funzione dell’indicatrice Φ:
˙ i = ΦH ,
E
H=
∂Ei
[h] ;
∂ξ
(8.33)
se per F(T , θ , ξ) > 0 esiste una funzione g(T , θ , ξ) ∈ C 1 (Sym) detta potenziale
viscoplastico tale che:
∂g
H=
,
(8.34)
∂T
si giunge alla:
˙ i = Φ ∂g .
E
(8.35)
∂T
8.1.4
Plasticit´
a ”Rate-independent”
Se le precedenti equazioni sono invarianti rispetto ad una trasformazione t 7→ λt
della scala dei tempi la viscosit´
a del materiale ´e nulla e si ha un comportamento plastico Rate-independent. In questo caso la deformazione inelastica ´e
interamente una deformazione plastica:
Ei = Ep ,
(8.36)
132
CAPITOLO 8. MATERIALI INELASTICI
e la condizione perch´e la tensione T e le variabili interne ξ appartengano alla
superficie di snervamanto ´e: la condizione che la storia di carico non violi la
condizione di snervamento implica:
∂F ˙
∂F ˙
∂F ˙
F˙ =
·T+
·ξ =
· T − ΦH = 0 .
∂T
∂ξ
∂T
(8.37)
Se denotiamo il processo di incremento dello sforzo con:
∂F ˙
· T,
(8.38)
∂T
poich´e la derivata della superficie di snervamento rispetto alla tensione rappresenta la normale esterna alla superficie per fissati valori di ξ, per F ◦ > 0 si ha un
processo di carico (loading), per F ◦ < 0 si ha un processo di scarico (unloading)
e per F ◦ = 0 si ha un carico neutrale (neutral loading).
La (8.37) pu´
o allora riscriversi come:
F◦ =
F˙ = F ◦ − ΦH = 0 .
(8.39)
Abbiamo pertanto i casi:
• Hardening. In questo caso H > 0 e si pu´o avere F˙ = 0 con Φ > 0
solamente se F ◦ > 0 ovvero se il processo di incremento dello sforzo ´e un
processo di carico. Dalla (8.39) si ha:
(
= 0 , < F ◦ >≤ 0
1
< F◦ > , < F◦ >
.
(8.40)
Φ=
H
> 0 , < F◦ > > 0
Inoltre la velocit´a di deformazione plastica pu´o esprimersi come:
˙ p = 1 < F◦ > H .
E
H
(8.41)
• Softening. In questo caso H < 0 e si pu´o avere F˙ = 0 con Φ > 0 solamente
se F ◦ < 0 ovvero se il processo di incremento dello sforzo ´e un processo
di scarico.
• Perfetta Plasticit´a. In questo caso H = 0 con F˙ = F ◦ = 0 e possiamo
essere solamente nella condizione di carico neutrale.
Queste tre condizioni possono essere riassunte espresse tenendo conto del
˙ e la velocit´a di deformazione plastica E
˙ p:
prodotto tra la velocit´a di carico T


> 0 , H > 0 ,
˙ ·E
˙ p = 0, H = 0, .
T
(8.42)


< 0, H < 0,
Postulato di Drucker
˙ ·E
˙ p ≥ 0 ovvero se
Un materiale si dice stabile secondo Drucker solamente se T
´e un materiale Hardening o Perfettamente Plastico.
Capitolo 9
Materiali Elasto-Plastici
9.1
Generalit´
a
Il diagramma sforzo deformazione (σ , ε) ottenuto mediante una prova di trazione monoassiale su di un provino di materiale duttile quale ad esempio l’acciaio,
presenta un primo tratto lineare sino ad una valore limite della tensione detto
valore limite di proporzionalit´
a σp .
σ
C
D
A
B
ε
Diagramma sforzo-deformazioni per un materiale duttile. A -tensione limite
σp ; B -tensione limite σe ; C -tensione ultima; D -tensione di rottura.
Aumentando il carico il diagramma non ´e pi´
u lineare ma il comportamento
´e ancora elastico (ovvero, scaricando il provino non si hanno deformazioni residue), sino al raggiungimento della tensione limite elastica σe . Successivamente
la deformazione aumenta a sforzo costante o con un incremento minore di quello
133
134
CAPITOLO 9. MATERIALI ELASTO-PLASTICI
della prima fase di proporzionalit´a. Se si scarica il provino dopo aver raggiunto
la tensione σe lo scarico avverr´a con la pendenza delle prima fase di proporzionalit´
a ed il provino mostrer´a una deformazione residua εres : il materiale ´e in
fase plastica.
Ulteriori incrementi di tensione porteranno ad una fase di elevate deformazioni con diminuzione della sezione resistente (strizione) e quindi alla rottura.
Se dalla fase elastica si scarica il provino sino a tensione nulla e si carica
con una tensione di segno opposto si osserva che la tensione limite elastica avr´a
un valore σe0 tale che σe0 6= −σe (effetto Bauschinger). Nella modellazione del
comportamento elasto-plastico di un materiale duttile assumiamo che
• σe0 = −σe : si trascura l’effetto Bauschinger;
• σe = σp : la tensione limite di proporzionalit´a coincide con la tensione
limite elastica ed ´e detta tensione di snervamento σs .
Possiamo quindi schematizzare il comportamento in due fasi, trascurando la
fase di strizione: la prima fase ´e quella del comportamento elastico lineare che
termina quando la tensione raggiunge la tensione di snervamento σs . La seconda
fase ´e detta di incrudimento se la relazione ´e ancora lineare ma con pendenza
minore o di flusso plastico se la deformazione avviene a sforzo costante. Se dalla
fase elastica si riporta lo sforzo a zero, non si hanno deformazioni residue εres
che invece si manifestano se si riporta lo sforzo a zero dalla fase incrudente o da
quella di flusso plastico. Possiamo allora avere tre tipologie di comportamento:
• Materiali elasto-plastici perfetti;
σ
σs
εs
σ
εres
ε
σs
,
E
= Eε ,
ε ≤ εs =
= σs ,
σs
ε > εs =
.
E
(9.1)
σ
• Materiali elasto-plastici incrudenti;
σ
σs
εs
εres
ε
9.2. SUPERFICI DI SNERVAMENTO
σ
=
135
σs
,
E
Eε ,
ε ≤ εs =
¯ ,
Eε
σs
ε > εs =
,
E
(9.2)
σ
=
¯ <E.
E
• Materiali rigido-plastici.
σ
σs
εres
σ
<
σs ,
ε
ε = 0,
(9.3)
σ
= σs ,
ε > 0.
In tutti e tre i casi, l’intervallo di sforzo per il quale il materiale resta in fase
elastica pu´
o scriversi come:
|σ − σs | ≤ 0 .
(9.4)
In presenza di uno stato di sforzo pluriassiale la nozione (9.4) pu´o essere
generalizzata introducendo una relazione tra le tensioni principali (σ1 , σ2 , σ3 )
del tipo
F(σ1 , σ2 , σ3 , k) = 0 ,
(9.5)
che descrive una superficie nello spazio delle tensioni ammissibili e dove il parametro k ´e determinato in modo da ridurre la superficie alla condizione (9.4)
per uno stato monoassiale. Gli stati di sforzo per cui
F(σ1 , σ2 , σ3 , k) ≤ 0 ,
(9.6)
rappresentano il cosiddetto dominio elastico, ovvero gli sforzi che non violano
mai la condizione di snervamento (9.4).
9.2
Superfici di snervamento
Consideriamo la funzione F : G ⊂ Sym → R, definiamo Superficie di snervamento la superficie nello spazio delle tensioni T:
S ≡ {T ∈ Sym | F(T) = 0 } ,
se gode delle seguenti propriet´
a:
(9.7)
136
CAPITOLO 9. MATERIALI ELASTO-PLASTICI
• F ∈ C 0 (G) sul suo insieme di definizione G ⊂ Sym ;
• F ´e convessa, ovvero ∀(T1 , T2 ) ∈ Sym × Sym, tali che F(Tk ) < 0, k =
1, 2 si ha:
T = αT1 + (1 − α)T2 , =⇒ F(T) < 0 ,
α ∈ [0 , 1] .
La funzione di snervamento pu´o essere descritta in termini degli invariati ortogonali di T:
F(T) = F(ι1 (T) , ι2 (T) , ι3 (T)) ,
(9.8)
che, se rappresentiamo il tensore degli sforzi mediante le tensioni principali
(σ1 , σ2 , σ3 ), sono dati dalle:
ι1 (T)
= σ1 + σ2 + σ3 ,
ι2 (T)
= σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ1 σ3 ,
ι3 (T)
= σ1 σ2 σ3 .
(9.9)
Poich´e Sym ≡ Sph ⊕ Dev, dove Sph ´e il sottospazio dei tensori sferici e
Dev, quello dei tensori deviatorici osserviamo che nello spazio tridimensionale
delle tensioni principali (σ1 , σ2 , σ3 ) la retta σ1 = σ2 = σ3 rappresenta Sph,
il sottospazio dei tensori sferici, mentre il piano ortogonale a questa retta e
passante per l’origine rappresenta Dev, il sottospazio dei tensori deviatorici:
σ3
Sph
σ1 = σ2 = σ3
@
@
@
@
Dev
@
@
@
P
P
@ PP @
PP
@
P
@
σ
σ1
2
@
@
@
Fig. 9.1 - Spazio delle tensioni principali
Detto σm un punto della retta degli sferici abbiamo:
dev T = T − σm I ,
(9.10)
ovvero in componenti:

σ1 − σm
0
[dev T] = 
0
0
σ2 − σm
0

0
,
0
σ3 − σm
(9.11)
9.2. SUPERFICI DI SNERVAMENTO
137
e pertanto σ
¯k = σk − σm , k = 1, 2, 3 sono le coordinate di dev T nel piano dei
deviatorici. La norma della parte deviatorica ´e:
p
k dev Tk =
(σ1 − σm )2 + (σ2 − σm )2 + (σ2 − σm )2
(9.12)
q
√
σ12 + σ22 + σ32 − σ1 σ2 − σ1 σ3 − σ2 σ3 = 3τott ,
=
dove τott ´e la tensione tangenziale
ottaedrale, ovvero la tensione tangenziale su
√
piani avente normale n = 1/ 2(±e1 ± e2 ± e3 ).
Si definisce piano di Westergaard il piano degli sferici per σm = 0: in questo
piano gli assi deviatorici σ
¯k , k = 1, 2, 3 formano tra di loro un angolo di π/3.
Detta:
γm ≡ {F(σ1 , σ2 , σ3 ) = 0} ∩ {σm }
(9.13)
la curva intersezione tra la superficie di snervamento ed il piano dei deviatorici
parallelo al piano di Westergaard per il punto σm della retta degli sferici la
proiezione delle curve γm sul piano di Westergaard forma una famiglia di curve
parametrizzate per σm . Studiamo adesso alcune propriet´a generali di queste
curve.
Assumiamo che le superficie di snervamento sia isotropa, per cui:
(i)F(σ1 , σ2 , σ3 ) = F(σ2 , σ3 , σ1 ) = F(σ3 , σ1 , σ2 ) ;
ne consegue che γm ´e una curva simmetrica rispetto agli assi (¯
σ1 , σ
¯2 , σ
¯2 ),
ovvero per archi di π/3.
(ii)F(−σ1 , −σ2 , −σ3 ) = F(−σ2 , −σ3 , −σ1 ) = F(−σ3 , −σ1 , −σ2 ) ;
ne consegue che γm ´e una curva simmetrica rispetto alle bisettrici degli
assi (¯
σ1 , σ
¯2 , σ
¯2 ), ovvero per archi di π/6.
Le curve γm sono pertanto rappresentabili nella forma polare:
π
γm = γm (k dev Tk , θ) = γm (τott , θ) , 0 ≤ θ ≤ .
6
9.2.1
(9.14)
Superfici di snervamento indipendenti da ι1 (T)
In generale la superficie di snervamento dipende dalle norme della parte sferica
e della parte deviatorica dello sforzo:
F(ι1 (T) , ι2 (T) , ι3 (T)) = F(σm , k dev Tk) ;
(9.15)
per l’ipotesi di Nadai si assume, nel caso di materiali duttili, le funzioni di
snervamento non dipendano dall’invariante primo, ovvero:
F(0 , ι2 (T) , ι3 (T)) = F(ι2 (dev T) , ι3 (dev T)) = F(dev T) ;
(9.16)
esaminiamo nel dettaglio le superfici di snervamento corrispondenti ai criteri
di sicurezza di Tresca, Huber-Von Mises ed Hill. Osserviamo preliminarmente
che per l’indipendenza dall’invariante primo tutte queste superfici sono delle
superfici cilindriche indefinite con asse coincidente con l’asse degli sferici.
138
CAPITOLO 9. MATERIALI ELASTO-PLASTICI
Superficie di Tresca
La superficie di snervamento di Tresca descrive lo snervamento del materiale
per raggiungimento della massima tensione tangenziale, ovvero:
τmax ≡ max{|
σ1 − σ2 σ1 − σ3 σ2 − σ3
|,|
|,|
|} = k ;
2
2
2
(9.17)
in uno stato monoassiale, con σ1 = σ2 = 0, il collasso del materiale avverr´a per
σ3 = σs .
Poich´e in questo caso
τmax = |
σs
| = k,
2
(9.18)
la (9.17) diviene:
max{|σ1 − σ2 | , |σ1 − σ3 | , |σ2 − σ3 |} = σs ;
(9.19)
La (9.19) ´e una superficie a 6 falde piane, parallele alla retta degli sferici e
simmetrica rispetto alle variabili. La superficie di snervamento di Tresca ´e
pertanto un cilindro esagonale e la sua intersezione con il piano dei deviatorici
´e un esagono regolare detto esagono di Tresca.
Superficie di Huber, Von Mises, Hencky
La superficie di snervamento di Huber, Von Mises, Hencky descrive lo snervamento del materiale per raggiungimento della massima energia associata alle
variazioni di forma, ovvero, nel caso di materiali isotropi
√
k dev Tk = 3τott = k ;
(9.20)
la superficie ammissibile ´e un cilindro con la direttrice parallela all’asse dei
tensori sferici e per la condizione (9.20) la sua intersezione con il piano dei
deviatorici ´e una circonferenza di raggio k. La superficie di snervamento ´e un
cilindro a sezione circolare.
Poich´e in uno stato monoassiale, con σ1 = σ2 = 0, la (9.20) per la (9.12) si
riduce alla
σ3 = σs ,
avremo
√
k=
6
σs ,
3
da cui l’espressione della superficie di snervamento di Huber, Von Mises, Hencky:
q
σ12 + σ22 + σ32 − σ1 σ2 − σ1 σ3 − σ2 σ3 = σs .
(9.21)
9.2. SUPERFICI DI SNERVAMENTO
139
Superficie di Hill
Con la superficie di Hill si assume che lo snervamento avvenga per raggiungimento della massima tensione principale deviatorica:
|¯
σj | = k ,
j = 1, 2, 3 ,
(9.22)
ovvero:
max{|σ1 − σm | , |σ2 − σm | , |σ3 − σm |} = k ,
(9.23)
che nel piano di Westergaard corrisponde ad un esagono regolare con i lati
ortogonali alle direzioni σ
¯k . La superficie di snervamento di Hill ´e pertanto un
cilindro esagonale circoscritto al cilindro di Von Mises.
Nel caso monoassiale σ1 = σs da cui
2
1
|¯
σ1 | = |σ1 − σ1 | = σs ,
3
3
e l’equazione della superficie ´e:
|σi −
9.2.2
σj − σk
| = σs ,
2
i, j, k = 1, 2, 3 ,
i 6= j 6= k .
(9.24)
Superfici di snervamento dipendenti da ι1 (T)
Superficie di Mohr, Coulomb
La superficie di snervamento ´e basata in questo caso sull’assunzione che lo snervamento del materiale avvenga quando lo stato di tensione raggiunge, sul piano
di Mohr, la retta limite:
τ = c − σ tan ϕ ,
(9.25)
dove c rappresenta la coesione e ϕ l’angolo di attrito interno del materiale.
Se consideriamo uno stato di tensione biassiale con σ3 = 0, le coordinate
(σ , τ ) del punto di tangenza della retta limite possono essere espresse in funzione della tensione normale media σ
¯ = (σ1 + σ2 )/2 e della tensione tangenziale
massima τmax come:
σ=σ
¯ + τmax sin ϕ ,
τ = τmax cos ϕ .
(9.26)
Sostituendo la (9.26) nella (9.25) e moltiplicando per cos ϕ otteniamo la formulazione del criterio per uno stato di tensione biassiale:
σ1 + σ2
σ1 − σ2
sin ϕ + |
| = c cos ϕ ,
2
2
(9.27)
che possiamo generalizzare per uno stato di tensione generico in:
σi − σk
σi + σk
sin ϕ + |
| = c cos ϕ ,
2
2
i, k = 1, 2, 3 .
(9.28)
La (9.28) ´e una cono a 6 falde piane avente vertice sull’asse dei tensori sferici
per un valore della tensione idrostatica σm = c cot ϕ.
140
CAPITOLO 9. MATERIALI ELASTO-PLASTICI
Per un uno stato monoassiale le condizioni limite sono σ3 = σs,t e σ3 = −σs,c
da cui la relazione tra la coesione, l’angolo d’attrito interno e le tensioni limite
a trazione σs,t e a compressione σs,c :
σs,t =
2c cos ϕ
,
1 + sin ϕ
σs,c =
2c cos ϕ
;
1 − sin ϕ
(9.29)
osserviamo che per ϕ = 0, ovvero per un materiale puramente coesivo, la
superficie di Mohr-Coulomb si riduce a quella di Tresca con σs,c = σs,t .
Nel piano di Westergaard le curve γm sono famiglie di esagoni regolari.
Superficie di Drucker
La superficie di snervamento secondo Drucker pu´o ottenersi da quella di Huber,
Von Mises, Hencky introducendo la dipendenza dalla energia associata alle variazioni di volume, ovvero introducendo la dipendenza esplicita dall’invariante
primo:
k dev Tk ≤ k1 + k2 ι1 (T) ;
(9.30)
in questo caso la superficie di snervamento ´e un cono a sezione circolare il cui
asse ´e la retta dei tensori sferici ed avente vertice nel punto
ι1 (T) = −
k1
,
k2
di tale retta: le curve γm nel piano di Westergaard sono famiglie di circonferenze
di raggio k1 + 3k2 σm con σm = ι1 (T)/3.
In esplicito si ha:
1
3
q
6(σ12 + σ22 + σ32 − σ1 σ2 − σ1 σ3 − σ2 σ3 ) ≤ k1 + k2 (σ1 + σ2 + σ3 ) ;
(9.31)
poich´e in uno stato monoassiale, con σ1 = σ2 = 0, si hanno due condizioni
ammissibili:
σ3 = σs,t , σ3 = −σs,c ,
dalla (9.31):
r
k1 = 2
2 σs,t σs,c
,
3 σs,t + σs,c
Posto:
m=
r
k2 =
2 σs,t − σs,c
.
3 σs,t + σs,c
σs,t
< 1,
σs,c
sostituendo nella (9.31) si arriva alla
q
σ12 + σ22 + σ32 − σ1 σ2 − σ1 σ3 − σ2 σ3 +
1−m
2m
(σ1 + σ2 + σ3 ) −
σs,c = 0 .
1+m
1+m
9.3. MATERIALI ELASTO-PLASTICI PERFETTI
9.3
9.3.1
141
Materiali elasto-plastici perfetti
Velocit´
a di deformazione
Consideriamo una storia di carico monoparametrica, ovvero una curva γ : R →
Sym che rappresenta una traiettoria nello spazio delle tensioni:
τ 7→ T(τ ) : R → Sym ,
(9.32)
la condizione che la storia di carico non violi la condizione di snervamento
implica:
F(T(τ )) = 0 , ∀τ ∈ [0 , τ¯) ,
(9.33)
ovvero:
∂F ˙
· T = 0.
F˙ =
∂T
Poich´e la normale alla superficie S in un suo punto T ´e:
n(T) =
(9.34)
∂F ∂F
/k
k,
∂T ∂T
dalla (9.35) abbiamo che le velocit´a ammissibili di sforzo in condizione di snervamento sono tangenti alla superficie S:
˙ = 0.
n(T) · T
(9.35)
Osservazione 22 Convessit´
a
In termini della condizione di normalit´a l’ipotesi di convessit´a della superficie
di snervamento pu´
o riscriversi come:
(T − T∗ ) · n(T) ≥ 0 ,
∀(T , T∗ ) : F(T) = 0 , F(T∗ ) < 0 .
(9.36)
Osservazione 23 Fase elastica
In termini della condizione di normalit´a le velocit´a di sforzo ammissibili nella
fase elastica sono tali che:
˙ · n(T) ≤ 0 .
T
(9.37)
Relazione di Von Mises. Normalit´
a
Assumiamo che la deformazione infinitesima possa essere decomposta in una
parte elastica Ee ed una plastica Ep :
E = Ee + Ep ,
Ee = K[T] .
(9.38)
Consideriamo adesso la variazione di deformazione plastica dEp : si avr´a un
˙ · n = 0; viceversa
incremento di deformazione plastica se la tensione T ∈ S e T
˙ · n < 0 oppure F(T) < 0 la deformazione sar´a elastica.
se T ∈ S e T
Assumendo che la variazione di deformazione plastica sia monoparametrica,
ovvero
dEp = Adλ , A ∈ Sym ,
(9.39)
142
CAPITOLO 9. MATERIALI ELASTO-PLASTICI
i due casi appena descritti possono essere rappresentati mediante le:
(
˙ · n = 0;
≥ 0 , se F(T) = 0 , T
dλ =
˙ · n < 0 , oppure F(T) < 0 .
= 0 , se F(T) = 0 , T
(9.40)
La struttura delle deformazione plastica dipende quindi dal tensore A che
possiamo assumere dipendente dalla tensione, ovvero A = A(T). Definiamo
allora il Potenziale plastico P : Sym 7→ R per modo che:
A(T) =
∂P
.
∂T
(9.41)
Definiamo Associato un legame nel quale il potenziale plastico coincide con
la funzione di snervamento:
P(T) ≡ F(T) ;
(9.42)
nel caso di legame associato dalla (9.39) si perviene alla relazione di Von Mises:
dEp =
∂F
dλ .
∂T
(9.43)
E’ importante osservare che l’incremento di deformazione plastica non ´e un
differenziale esatto e pertanto Ep non ´e una funzione univoca della tensione T.
Possiamo scrivere comunque:
˙ p dτ ,
dEp = E
˙ ,
dλ = λdτ
per modo che la relazione di Von Mises pu´o essere posta nella equivalente forma
differenziale:

˙

λ˙ ≥ 0 , F(T) = 0 , F(T)
= 0,






˙ p = ∂F λ˙ ,
˙
(9.44)
E
λ˙ = 0 , F(T) = 0 , F(T)
< 0,

∂T





λ˙ = 0 , F(T) < 0 .
Osservazione 24 Legge di Normalit´
a
La velocit´
a di deformazione plastica in condizione di snervamento ´e ortogonale alla superficie di snervamento. Infatti per la (9.44) e la (9.35):
˙ ·E
˙p =T
˙ · ∂F λ˙ = 0 ,
T
∂T
9.3.2
∀λ˙ .
(9.45)
Relazioni Costitutive
Dalla relazione costitutiva per la parte elastica della deformazione infinitesima
(9.38) abbiamo:
˙ e = K[T]
˙ ,
E
(9.46)
9.4. MATERIALI ELASTO-PLASTICI INCRUDENTI
143
e per la (9.44) otteniamo derivando la (9.38) rispetto al parametro τ le relazioni
costitutive per i materiali elasto-plastici perfetti:
˙ = K[T]
˙ + ∂F λ˙ ,
E
∂T
(9.47)
che nel caso di materiali rigido-plastici si riduce alla sola relazione di Von Mises:
˙ = ∂F λ˙ .
E
∂T
(9.48)
Nel caso di materiali isotropi descritti dai moduli (E , ν , 2G = E/(1 + ν)),
ed assumendo come superficie di snervamento la superficie di Huber, Von Mises,
Hencky, dalle (9.47) arriviamo alle equazioni di Prandtl-Reuss, (1924, 1930):
˙ + 1 dev T
˙ + λ˙ dev T ,
˙ = 1 − 2ν sph T
E
E
2G
(9.49)
che estendono al caso elastico le equazioni precedentemente ottenute separatamente da Levy e Von Mises (1870, 1913) per il caso rigido-plastico:
˙ = λ˙ dev T .
E
(9.50)
˙ ∈ Dev; la (9.49)
Nel caso di materiali incomprimibili sph E = 0 e pertanto E
si riduce quindi alle:
˙ = 1 dev T
˙ + λ˙ dev T ,
E
(9.51)
2G
9.4
Materiali elasto-plastici incrudenti
Nei materiali incrudenti la tensione σs che appare nella (9.2) ´e detta tensione
¯ < E descrive il comportamento del madi primo snervamento: il modulo E
teriale dopo il primo snervamento. Assumiamo pertanto che la superficie di
snervamento possa dipendere anche dalle variabili interne ξ che ne descrivono
il comportamento dopo il primo snervamento, ovvero:
F(T , ξ) = 0 .
(9.52)
Se assumiamo anche per le variabili interne una dipendenza monoparametrica
ξ = ξ(τ ), abbiamo che la condizione di appartenga della tensione e delle variabili
interne alla superficie di snervamento diviene:
∂F ˙
∂F ˙
F˙ =
·T+
·ξ;
∂T
∂ξ
(9.53)
le fasi elastica e plastica del materiale sono pertanto ancora descritte dalle
condizioni:
• F(T) = 0 ,
˙
F(T)
= 0,
• F(T) = 0 ,
˙
F(T)
< 0 , oppure F(T) = 0 ,
fase plastica ,
fase elastica ,
144
CAPITOLO 9. MATERIALI ELASTO-PLASTICI
valendo le (9.52), (9.53).
Si definisce superficie di primo snervamento la superficie coincidente con la
superficie di snervamento per materiali elasto-plastici perfetti:
F(T , 0) = Fo (T) .
(9.54)
Si hanno diversi modelli di incrudimento: descriviamo nel seguito due tra i
pi´
u semplici ovvero l’incrudimento isotropo e quello cinematico. Altri modelli
che non descriviamo e per i quali si rimanda alla letteratura sono il modello di
Koiter con una superficie di snervamento a pi´
u falde e la sua generalizzazione
dovuta a Mandel. Come vedremo nella descrizione dettagliata dei due modelli,
nel modello isotropo la superficie di primo snervamento si dilata omoteticamente
per descrivere l’incrudimento, mentre nell’incrudimento cinematico questa trasla
nello spazio delle tensioni principali.
9.4.1
Incrudimento isotropo
Nell’incrudimento isotropo (Hill, 1950), si assume che l’incrudimento sia parametrizzato mediante una sola variabile interna ξ = ξ1 a partire dalla superficie
di primo snervamento:
S ≡ {T | Fo (T) = ξ } .
(9.55)
Se consideriamo una traiettoria Γ : R → Sym nello spazio delle deformazioni
plastiche:
τ 7→ Ep (τ ) : R → Sym ,
(9.56)
definiamo il lavoro di deformazione plastica:
Z
Z
˙ p dτ ;
Lp =
T · dEp =
T·E
Γ
(9.57)
Γ
nell’incrudimento isotropo si assume che la variabile interna ξ sia funzione di
Lp :
ξ = ξ(Lp ) , ξ(0) = 0 .
(9.58)
Si ha quindi:
∂ξ
∂ξ ˙
˙p,
Lp =
T·E
ξ˙ =
∂Lp
∂Lp
(9.59)
per modo che la condizione di appartenenza alla fase plastica diviene:
∂Fo ˙
∂ξ
˙ p = 0.
F˙ = F˙ o − ξ˙ =
·T−
T·E
∂T
∂Lp
(9.60)
Se assumiamo valere la relazione di Von Mises (9.44) per la superficie di
primo snervamento Fo la (9.60) fornisce:
∂Fo ˙
∂ξ
∂Fo ˙
·T−
T·
dλ = 0 ;
∂T
∂Lp
∂T
(9.61)
9.4. MATERIALI ELASTO-PLASTICI INCRUDENTI
145
definiamo la funzione di incrudimento H > 0 come:
1
∂ξ
∂Fo
=
,
T·
H
∂Lp
∂T
(9.62)
per modo che dalla (9.61) si ha
∂Fo ˙
λ˙ = H
· T,
∂T
e la deformazione plastica viene ad essere descritta mediante le:

˙

0 , F(T) = 0 , F(T)
< 0 , oppure F(T) < 0 ;


λ˙ =


H ∂Fo · T
˙ , F(T) = 0 , F(T)
˙
= 0.
∂T
(9.63)
(9.64)
Mediante la (9.63), dalle relazioni di Von Mises (9.44) arriviamo alle equazioni di Melan:
˙ p = (H ∂Fo · T)
˙ ∂Fo = H( ∂Fo ⊗ ∂Fo )T
˙ ;
E
∂T
∂T
∂T
∂T
(9.65)
´e immediato osservare che il tensore
∂Fo
∂Fo 2
∂Fo
⊗
=k
k (m ⊗ m) ,
∂T
∂T
∂T
˙ lungo la normale m alla superficie di primo snervamento.
proietta T
9.4.2
Incrudimento cinematico
Nell’incrudimento cinematico (Prager, 1955) si assume che se T raggiunge la
superficie di primo snervamento questa trasli nella direzione della normale in T:
questo equivale ad assumere una tensione
¯ = T + α ∂Fo ,
T
∂T
α ∈ R,
(9.66)
per modo che la condizione di plasticit´a si esprima come:
¯ = Fo (T + α ∂Fo ) = 0 ,
Fo (T)
∂T
(9.67)
ovvero si assume come variabile interna:
ξ=α
∂Fo
.
∂T
(9.68)
Se nuovamente consideriamo una traiettoria Γ nello spazio delle deformazioni
plastiche, assumiamo:
Z
˙ p dτ , c > 0 ,
ξ=
cE
(9.69)
Γ
146
CAPITOLO 9. MATERIALI ELASTO-PLASTICI
dove la costante positiva c ´e la costante di incrudimento. Dalla (9.68), integrando la (9.69), si giunge alla relazione di Melan:
α
∂Fo
= cEp .
∂T
(9.70)
Dalla relazione di Von Mises:
inoltre
¯
˙ p = λ˙ ∂F = λ˙ ∂Fo ∂ T = λ˙ ∂Fo ;
E
¯
¯
∂T
∂ T ∂T
∂T
(9.71)
∂Fo
˙ + cE
˙ p) = 0 ,
F˙o = ¯ · (T
∂T
(9.72)
∂Fo
˙ ∂Fo ) = 0 ,
˙
¯ · ( T + cλ ∂ T
¯
∂T
(9.73)
da cui, per la (9.71)
˙
si arriva all’espressione di λ:
1 ∂Fo ˙ ∂Fo −2
λ˙ = ( ¯ · T)k
¯ k .
c ∂T
∂T
(9.74)
La deformazione plastica viene allora descritta mediante la (9.71) essendo:

¯ = 0 , F(
¯ < 0 , oppure F(T)
¯ < 0;
˙ T)

0 , F(T)


(9.75)
λ˙ =


λ˙ = 1 ( ∂Fo · T)k
˙ ∂Fo k−2 , F(T)
¯ = 0 , F(
¯ = 0.
˙ T)
¯
¯
c ∂T
∂T
9.5
Materiali Rigido-Plastici
Nel caso dei materiali rigido-plastici descritti dalla (9.1) si assume l’ipotesi di
Saint-Venant, Levy, Von Mises:
˙ =E
˙p;
E
(9.76)
questo modello approssima il comportamento del materiale quando le velocit´a
delle deformazioni infinitesime elastiche sono trascurabili, ovvero per deformazioni elasto-plastiche contenute, oppure nel caso di deformazioni plastiche
finite.
Consideriamo una configurazione deformata Ω con frontiera regolare ∂Ω e
soggetta alle azioni di volume b. Detto v il campo di velocit´a definito sulla
configurazione deformata, assumiamo la frontiera partizionata in due porzioni
disgiunte ∂1 Ω sulla quale sono assegnate le tensioni so e ∂2 Ω sulla quale sono
assegnate le velocit´
a vo .
Definiamo la parte simmetrica del gradiente di velocit´a:
L(v) =
1
(∇v + ∇T v) ,
2
(9.77)
9.5. MATERIALI RIGIDO-PLASTICI
147
che, nel caso di deformazioni infinitesime approssima la velocit´a di deformazione
infinitesima e per la (9.76) rappresenta la velocit´a di deformazione plastica.
˙ .
L≈E
(9.78)
Si definisce dissipazione plastica la potenza spesa dallo sforzo T per la
velocit´
a di deformazione plastica:
Dp (L) = T · L ;
(9.79)
mediante la dissipazione plastica definiamo il funzionale della velocit´a:
Z
Z
Z
Γ{v} =
Dp (L) −
b·v−
so · v .
Ω
Ω
(9.80)
∂1 Ω
Dati due stati di sforzo T e T∗ associati alla medesima velocit´a di deformazione plastica, vale il principio della massima dissipazione plastica:
(T − T∗ ) · L ≥ 0 ,
(9.81)
valendo l’eguaglianza solo se T e T∗ sono plasticamente equivalenti. Nel caso
delle superfici di Tresca, di Huber, Von Mises, Hencky e di Hill due stati di
sforzo sono plasticamente equivalenti se differiscono per un tensore sferico:
T − T∗ = πI .
(9.82)
Per i materiali rigido-plastici enunciamo i seguenti principi:
Unicit´
a dello sforzo
Supponiamo che al sistema di carichi (b , so ) con assegnate velocit´a vo corrispondano due distribuzioni distinte di sforzo e velocit´a (T1 , v1 ) e (T2 , v2 ).
Posto:
S = T1 − T2 , w = v1 − v2 ,
(9.83)
corrispondenti a carichi e dati al bordo nulli, per il principio delle potenze
virtuali si avr´
a:
Z
Z
S · L(w) =
(T1 − T2 ) · (L(v1 ) − L(v2 ))
(9.84)
Ω
ZΩ
=
(T1 − T2 ) · L(v1 ) + (T2 − T1 ) · L(v2 ) = 0 ;
Ω
per il principio della massima dissipazione plastica necessariamente questa potenza sar´
a nulla solo se L1 = L2 = 0 oppure se T1 e T2 sono plasticamente
equivalenti. Ne consegue che nei casi di superfici di snervamento indipendenti
dall’invariante primo lo sforzo ´e unico a meno di un tensore sferico.
148
CAPITOLO 9. MATERIALI ELASTO-PLASTICI
Principio di estremo della velocit´
a
Se v ´e la velocit´
a di deformazione plastica soluzione, detta v∗ una generica
distribuzione di velocit´a cinematicamente ammissibile, ovvero tale che v∗ = vo
su ∂2 Ω, si ha:
Γ{v∗ } ≥ Γ{v} .
(9.85)
Osserviamo preliminarmente che, poich´e per l’equilibrio −b = div T, la
(9.80) pu´
o riscriversi mediante l’identit´a di divergenza:
Z
Γ{v}
Z
Z
T · L(v) +
so · v
Z ∂1 Ω
Z
T · L(v) −
T · L(v) +
Tn · v −
so · v
=
∂Ω
ZΩ
ZΩ
Z
Z∂1 Ω
=
so n · v +
Tn · vo −
so · v =
Tn · vo .
=
ZΩ
div T · v −
ZΩ
∂1 Ω
∂2 Ω
∂1 Ω
∂2 Ω
Consideriamo la differenza:
Γ{v∗ } − Γ{v} ;
(9.86)
per la definizione (9.80), l’identit´a di divergenza e le condizioni al contorno
statiche e cinematiche si ha che:
Z
Z
Γ{v∗ } − Γ{v} =
Dp (L(v∗ )) −
Dp (L(v)) − T · (∇v∗ − ∇v) ,
Ω
Ω
che in virt´
u della (9.79) e per la (9.81) fornisce la tesi:
∗
Z
Γ{v } − Γ{v} =
Dp (L(v∗ )) − T · ∇v∗ ≥ 0 ,
Ω
Principio di massimo lavoro plastico
Se T ´e lo stato di sforzo soluzione e T∗ uno stato di sforzo equilibrato, si ha:
Z
Γ{v} ≥
T∗ n · vo ;
(9.87)
∂2 Ω
la dimostrazione discende dalla definizione (9.79) e dalla (9.81). Osserviamo che
in questo caso l’eguaglianza vale se T e T∗ sono plasticamente equivalenti.
Combinando i risultati dei due principi abbiamo che per v∗ una distribuzione
di velocit´
a ammissibile e T∗ uno stato di sforzo equilibrato dalla (9.86) e dalla
(9.87) abbiamo:
Z
Γ{v∗ } ≥ Γ{v} ≥
T∗ n · vo .
(9.88)
∂2 Ω
9.6. I TEOREMI DELL’ANALISI LIMITE
9.6
149
I teoremi dell’analisi limite
I teoremi dell’analisi limite forniscono un limite superiore ed un limite inferiore
ai carichi per effetto dei quali un materiale elasto-plastico perfetto raggiunge
uno Stato Critico, definito come uno stato per il quale grandi deformazioni
plastiche divengono possibili con piccoli incrementi di carico, ovvero ci si trova
in una condizione di flusso plastico non controllato. Il sistema di carichi per il
quale si raggiunge uno stato critico ´e detto Carico Limite o Carico Ultimo. In
presenza di un flusso plastico non controllato la deformazione elastica pu´o essere
trascurata e pertanto i principi di estremo ottenuti per materiali rigido-plastici
possono essere utilizzati per dimostrare i teoremi dell’analisi limite.
Definiamo uno Stato di incipiente collasso una distribuzione di velocit´a di
˙ associate ad una variazione nulla delle azioni, ovvero b˙ = 0 e
deformazione E
s˙ o = 0, per le quali l’ordine di grandezza delle deformazioni plastiche sia quello
delle deformazioni elastiche (incipiente ≈ teoria infinitesima) e per le quali le
componenti inerziali siano trascurabili (processo quasi-statico).
Annullamento della velocit´
a di deformazione elastica
Mostriamo ora come in uno stato di incipiente collasso la velocit´a di deformazione elastica si annulli, per modo che un materiali elasto-plastico perfetto al
collasso si comporta come un materiale rigido-plastico. Poich´e dalle equazioni
di bilancio:
˙ + b˙ = 0 , Tn
˙ = s˙ o , su ∂2 Ω ,
div T
(9.89)
dal principio delle potenze virtuali scritto per le velocit´a di carico (b˙ , s˙ o ):
Z
Z
Z
˙ ·E
˙ ;
T
(9.90)
s˙ o · v =
b˙ · v +
Ω
∂2 Ω
Ω
per velocit´
a di carico nulle (b˙ = 0 , s˙ o = 0) si ha
˙ ·E
˙ =T
˙ · (E
˙e+E
˙ p) = T
˙ ·E
˙ p + K[T]
˙ ·T
˙ = 0.
T
(9.91)
˙ ·E
˙ p = 0 e pertanto per la definita positivit´a di
Per la legge di normalit´
aT
˙ = 0 da cui:
K, si avr´
a l’annullamento della potenza solo per T
˙ e = K[T]
˙ = 0,
E
(9.92)
e pertanto all’incipiente collasso il materiale si comporta come un materiale
rigido-plastico (Drucker, Greenberg e Prager, 1951):
˙ =E
˙p.
E
9.6.1
(9.93)
Teorema Statico (Lower Bound theorem)
Consideriamo uno stato (v , L , T) di incipiente collasso associato ad un sistema
di azioni (b , s); detto T∗ uno stato di sforzo che non viola la condizione di
snervamento nel senso di:
F(T∗ ) ≤ 0 ,
150
CAPITOLO 9. MATERIALI ELASTO-PLASTICI
associato ad un sistema di azioni (b∗ , s∗ ). Correliamo questo sistema di azioni
con le azioni all’incipiente collasso mediante un parametro s:
b∗ = sb ,
s∗ = ss ,
s ∈ R.
(9.94)
Per il principio delle potenze virtuali
Z
Z
Z
∗
∗
T · L(v) =
b ·v+
s∗ · v
Ω
Ω
∂Ω
Z
Z
Z
= s( b · v +
s · v) = s
T · L(v) ;
Ω
∂Ω
(9.96)
Ω
dal principio di massimo lavoro plastico
Z
Z
T · L(v) ≥
T∗ · L(v) ,
Ω
(9.95)
(9.97)
Ω
e pertanto
s ≤ 1.
9.6.2
Teorema Cinematico (Upper Bound theorem)
Consideriamo uno stato (v , L , T) di incipiente collasso associato ad un sistema
di azioni (b , s); detta v∗ una cinematicamente ammissibile nel senso che:
v ∗ = vo ,
su ∂2 Ω ,
associato ad un sistema di azioni (b∗ , s∗ ). Correliamo questo sistema di azioni
con le azioni all’incipiente collasso mediante un parametro c:
b∗ = cb ,
s∗ = cs ,
c ∈ R.
(9.98)
Per il principio delle potenze virtuali
Z
Z
Z
T∗ · L(v∗ ) =
b∗ · v∗ +
s∗ · v∗
(9.99)
Ω
Ω
∂Ω
Z
Z
Z
= c( b · v∗ +
s · v∗ ) = c
T · L(v∗ ) ; (9.100)
Ω
∂Ω
Ω
per il principio di estremo della velocit´a:
Z
Z
T∗ · L(v∗ ) ≥
T · L(v∗ ) ,
Ω
Ω
e pertanto
c ≥ 1.
Consideriamo adesso una storia di carico monoparametrica per modo che
il sistema di carichi generico possa essere ottenuto da un sistema di carichi
9.6. I TEOREMI DELL’ANALISI LIMITE
151
di riferimento (ad esempio un sistema (bo , so ) per il quale l’associato stato di
sforzo To sia interamente in fase elastica, ovvero F(To ) < 0) mediante le:
b(λ) = λbo ,
s(λ) = λso ,
λ ∈ R,
(9.101)
con il parametro λ detto moltiplicatore del carico. Definiamo moltiplicatore di
collasso il valore λc per il quale (b(λc ) , s(λc )) ´e il sistema di azioni all’incipiente
collasso.
Per il teorema statico:
b∗ = sb = sλc bo ,
s∗ = ss = sλc so ,
(9.102)
ed introducendo un moltiplicatore statico λ− = sλc si ha, essendo s ≤ 1:
λ− ≤ λc .
Per il teorema cinematico:
b∗ = cb = cλc bo ,
s∗ = cs = cλc so ,
(9.103)
ed introducendo un moltiplicatore cinematico λ+ = cλc si ha, essendo c ≥ 1:
λ+ ≥ λc .
Possiamo quindi enunciare i due teoremi dell’analisi limite in termini del
moltiplicatore di collasso λc :
Teorema 9 Teorema Statico Il moltiplicatore statico λ− associato ad una distribuzione di sforzi che non viola la condizione di plasticit´a ´e minore o uguale
al moltiplicatore di collasso.
λ− ≤ λc .
(9.104)
Teorema 10 Teorema Cinematico Il moltiplicatore cinematico λ+ associato ad
una distribuzione di velocit´
a cinematicamente ammissibile ´e maggiore o uguale
al moltiplicatore di collasso.
λ+ ≥ λc .
(9.105)
Combinando i due teoremi arriviamo ad una limitazione del moltiplicatore
di collasso:
λ− ≤ λc ≤ λ+ .
(9.106)
152
CAPITOLO 9. MATERIALI ELASTO-PLASTICI
Capitolo 10
Caratteristiche di
sollecitazione
10.1
Stati di tensione monoassiali
Consideriamo un cilindro di Saint-Venant, ed assumiamo che il materiale sia
elasto-plastico perfetto. Se lo stato di tensione ´e monoassiale, la relazione costitutiva ´e quindi la (9.1). Determiniamo il comportamento a collasso della sezione
retta, ovvero il valore delle caratteristiche si sollecitazione N ed M per le quali
la sezione ´e interamente plasticizzata e si trova quindi in condizioni di flusso
plastico non controllato.
10.1.1
Forza Normale
Nel caso di forza normale la tensione principale non nulla, ad esempio la σ3 ´e
data dalla:
N
σ3 =
;
(10.1)
A
il dominio elastico ´e quindi:
N
≤ σs .
(10.2)
A
Tutti i punti della sezione retta raggiungono contemporaneamente la tensione
di snervamento ed il valore della tensione normale per il quale la sezione si trova
in condizioni di flusso plastico incontrollato ´e detto Forza normale ultima o
Forza normale di collasso:
Nu = σs A ,
(10.3)
ed il valore della deformazione assiale per il quale si ha il collasso ´e:
εs =
Nu
.
A
(10.4)
La relazione costitutiva elasto-plastica tra N ed ε ´e identica alla relazione (9.1):
153
154
CAPITOLO 10. CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE
N
Nu
εs
Relazione (N , ε).
ε
Al raggiungimento della forza normale ultima, la sezione retta si comporta
come una sezione vincolata con un doppio pendolo, che consente le traslazioni
assiali ed alla quale ´e applicata una forza normale Nu costante:
Nu aa
aa
- Nu
Doppio pendolo con Nu costante.
e la potenza plastica dissipata ´e data da
Wp = Nu u˙ ,
10.1.2
ε˙ = (u0 )˙.
(10.5)
Flessione semplice
Consideriamo per semplicit´a una sezione rettangolare (b , h) sollecitata lungo
una direzione principale. Detta x la coordinata della direzione principale, ad
esempio con −h/2 ≤ x ≤ h/2 ed indicato con We il modulo di resistenza
appropriato, si ha che la condizione di appartenenza al dominio elastico ´e:
σ3 =
M
≤ σs ,
We
We =
bh2
6
(10.6)
Definiamo Momento limite elastico il valore del momento flettente per il
quale al lembo inferiore e superiore la tensione raggiunge la tensione di snervamento:
Me = σ s W e ,
(10.7)
con una deformazione ε = εs .
Nell’ipotesi di conservazione delle sezioni piane, un ulteriore incremento del
momento porter´
a la sezione retta ad avere deformazioni ε > εs alle quali corrisponder´
a una tensione σ = σs . La porzione di sezione intorno all’asse neutro di
altezza 2xo , per la quale la deformazione ´e ε < εs ´e interamente in fase elastica.
10.1. STATI DI TENSIONE MONOASSIALI
b
εs
ε
155
σs
σs
σs
%
%
%
%
%
%
%
2xo
%
%
%
%
%
%
%
%
h
Il momento M , per l’equilibrio sar´a:
M
=
=
h
h
xo 4
− xo )( + xo ) +
xo )
2
2
2 3
x2
4 xo
h2
bh2
(1 − ( )2 ) ;
σs b( − o ) = σs
4
3
4
3 h
σs b((
(10.8)
M
Mu
Me
κe
Relazione (M , κ).
κ
Se indichiamo con Wp il modulo plastico della sezione rettangolare:
Wp =
bh2
> We ,
4
(10.9)
e con κe e κ la curvatura limite elastica e la curvatura corrente:
κe =
2εs
2σs
=
,
h
Eh
κ=
εs
σs
=
,
xo
Exo
(10.10)
sostituendo nella (10.8) si arriva alla:
1 κe
M = σs Wp (1 − ( )2 ) ,
3 κ
(10.11)
156
CAPITOLO 10. CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE
che per κ = κe restituisce la (10.7) mentre per κ → ∞ fornisce il valore asintotico
del momento ultimo:
Mu = σ s Wp ,
(10.12)
per il quale si ha un flusso plastico non controllato.
Il rapporto q ≥ 1 tra il momento ultimo ed il momento limite plastico ´e detto
fattore di forma e per la sezione rettangolare vale:
q=
3
Mu
= .
Me
2
(10.13)
Il fattore di forma per alcune sezioni significative assume i valori:
• Sezione circolare piena,
q ≈ 1.7 ,
• Sezione circolare cava,
q ≈ 1.27 ,
• Sezione quadrata sollecitata lungo la diagonale,
• Sezione a ”doppio T”,
q = 2,
q ≈ 1.1 − 1.2 .
Al raggiungimento del momento limite ultimo la sezione retta pu´o avere
una rotazione indefinita a momento costante e pertanto si comporta come una
sezione vincolata con una cerniera, che consente le rotazioni ed alla quale ´e
applicata una coppia Mu costante. Si parla in questo caso di cerniera plastica
Mu
c
Mu
Cerniera plastica.
e la potenza plastica dissipata ´e data da:
Wp = Mu ϕ˙ ,
10.1.3
κ˙ = (ϕ0 )˙.
(10.14)
Forza normale eccentrica
Nel caso della forza normale eccentrica, per una sezione rettangolare sollecitata
lungo una delle direzioni principali il dominio elastico ´e:
|
N
M
±
| ≤ σs ;
A
We
(10.15)
normalizzando rispetto alla tensione di snervamento otteniamo il dominio limite
elastico nelle variabili adimensionali n = N/Nu ed m = M/Me :
|n ± m| ≤ 1 .
(10.16)
Al raggiungimento del collasso l’intera sezione retta avr´a raggiunto la tensione di snervamento come nel caso della flessione semplice, ma in questo caso
l’asse neutro non sar´
a baricentrico. Detta ξ la distanza dal baricentro all’asse
neutro il diagramma della tensione pu´o decomporsi come nella figura
10.1. STATI DI TENSIONE MONOASSIALI
157
b
σs
h
σs
σs
2ξ
e si ha:
M = σs
ξ
bh2
(1 − 4( )2 ) ,
4
h
N = σs b 2ξ ;
(10.17)
Introducendo la variabile adimensionale
η=
2ξ
,
h
le (10.17) possono essere riscritte
m=
3
(1 − η 2 ) ,
2
n = η,
(10.18)
da cui la curva limite a collasso nel piano (n , m):
m=
3
(1 − n2 ) .
2
(10.19)
m
3
2
1
1
n
Dominio limite elastico e di collasso.
158
CAPITOLO 10. CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE
Per scopi computazionali viene spesso adottato un modello bilineare della
frontiera del dominio limite di collasso, dovuto ad Onat e Prager, 1954:
|m|
¯ = 1,
|n| ≤ 0.15 ,
0.85|m|
¯ + |n| = 1 ,
(10.20)
|n| > 0.15 ,
dove in questo caso la variabile adimensionale ´e m
¯ = M/Mu .
La sezione ”sandwich” ideale
Nella sezione a ”sandwich” ideale la sezione resistente ´e quella delle ali, mentre
l’anima non assorbe tensioni: inoltre se t ´e piccola si assume che la tensione
sulle ali sia costante. Detta B la base, t lo spessore delle ali ed H la distanza
tra i baricentri delle ali si ha:
Nu = 2σs Bt ,
Mu = σs BHt .
(10.21)
Dalla condizione di plasticizzazione
|
M
N
±
| ≤ σs ,
A
We
(10.22)
poich´e A = 2Bt e We = BHt a meno di infinitesimi di ordine superiore in t/H,
arriviamo ad una condizione limite analoga alla (10.16) con Mu in luogo di Me .
Il fattore di forma per la sezione sandwich ideale ´e pertanto q = 1.
10.2
Stati di tensione biassiali
10.2.1
Torsione
Le tensioni principali nella torsione sono date dalle:
q
2 + T2 ;
σ1 = −σ2 = T13
23
(10.23)
se esprimiamo le tensioni mediante la funzione di Prandtl:
T13 = ψ2 ,
T23 = −ψ1 ,
(10.24)
con
∆ψ = −4Gc ,
ψ = 0,
in S ,
(10.25)
su ∂S ,
e c l’angolo unitario di torsione, abbiamo:
σ1 = −σ2 = k∇ψk .
(10.26)
10.2. STATI DI TENSIONE BIASSIALI
159
Se Mt ´e il momento torcente, vale la relazione tra la funzione di Prandtl e
la caratteristica di sollecitazione:
Z
Mt = 2 ψ .
(10.27)
S
La condizione di plasticizzazione di Tresca implica:
|σ1 − σ2 | = 2k∇ψk ≤ σs ;
(10.28)
per la condizione di Huber, Von Mises, Hencky si ha invece:
q
√
σ12 + σ22 − σ1 σ2 = 3k∇ψk ≤ σs .
(10.29)
In ambedue i casi la condizione di plasticizzazione equivale ad avere il gradiente
della funzione di Prandtl a modulo costante:
k∇ψk = k ,
k=
σs
, Tresca ,
2
σs
k = √ , Huber, Von Mises, Hencky ;
3
il valore del momento ultimo sar´
a quindi dato, per la (10.27), dalla met´a del
volume della superficie a pendenza costante passante per il contorno della sezione
retta S.
Sezione Circolare
Nel caso di una sezione circolare di raggio R, il momento ultimo ´e quindi met´a
del volume del cono avente base circolare ed inclinazione delle direttrici pari a
k, ovvero:
2
Mt,u = πkR3 .
(10.30)
3
In fase elasto-plastica, una corona circolare di raggio R−r∗ sar´a interamente
plasticizzata con k∇ψk = k mentre un disco di raggio r∗ sar´a ancora in fase
elastica con la funzione di Prandtl soluzione della (10.25).
k
e
e
e
r∗
%
%
%
%
%
%
%
%
ψ(r)
R
Tzθ (r)
160
CAPITOLO 10. CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE
Esprimendo quest’ultima in coordinate polari (r , θ) ed essendo la soluzione
indipendente dall’angolo θ per simmetria, abbiamo:
∆ψ(r) =
1 d dψ
(r
) = 4Gc ;
r dr dr
(10.31)
integrando per quadrature, con la condizione al contorno ψ(R) = 0 arriviamo
alla:
(
Gc((r∗ )2 − r2 ) + k(R − r∗ ) , 0 < r < r∗
(10.32)
ψ(r) =
k(R − r) , r∗ ≤ r ≤ R .
L’unica tensione tangenziale significativa ´e:
(
2Gcr , 0 < r < r∗
Tzθ = −ψ,r =
k , r∗ ≤ r ≤ R ,
(10.33)
e si ha per r = r∗ :
2Gcr∗ = k ,
(10.34)
e l’angolo unitario di torsione in fase elasto-plastica c e quello limite elastico ce
sono dati da:
k
k
c=
, ce =
,
(10.35)
2Gr∗
2GR
Il momento torcente in fase elasto-plastica, per la (10.27) ´e quindi:
Z
Mt = 2
2π
Z
dθ
0
R
Z
R
Z
(R − r)rdr +
ψ(r)rdr = 4πk(
r∗
0
r∗
(R −
0
r2
r∗
− ∗ )rdr) ,
2
r
dove abbiamo usato la (10.34) nella (10.32), dalla quale si giunge alla:
Mt = 4πk(
R3
1
− (r∗ )3 ).
6
24
(10.36)
Fattorizzando l’espressione in termini di Mt,u ed essendo ce /c = r∗ /R arriviamo
alla relazione tra il momento ultimo ed il momento in fase elasto-plastica:
1 ce
Mt = Mt,u (1 − ( )3 ) ,
4 c
(10.37)
relazione di tipo asintotico analoga alla (10.11). Per c → ∞ si ha un flusso
plastico non controllato e si ha la formazione di una cerniera plastica torsionale
con applicato il momento ultimo Mt,u costante.
Per c = ce abbiamo il momento torcente limite elastico:
Mt,e =
3
1
Mt,u = πkR3 ,
4
2
ed il fattore di forma per la sezione circolare vale q = 4/3.
(10.38)
10.2. STATI DI TENSIONE BIASSIALI
161
Sezione in parete sottile alla Bredt
La condizione di plasticizzazione per una sezione in parete sottile di spessore δ
´e data, mediante la formula di Bredt dalla:
Mt,u
= k,
T¯zθ =
2Ωδ
(10.39)
Mt,u = 2Ωδk .
(10.40)
da cui il momento ultimo:
A titolo di confronto, la soluzione esatta per una sezione circolare cava di raggio
interno Ri e raggio esterno Re ´e, per la (10.30):
Mt,u =
2
πk(Re3 − Ri3 ) ;
3
(10.41)
poich´e:
¯+δ,
Re = R
2
¯−δ,
Ri = R
2
¯ = Re + Ri ,
R
2
¯2 ,
Ω = πR
(10.42)
si ha che il momento ultimo della sezione circolare coincide con quello di Bredt
¯ 3.
a meno di infinitesimi di ordine (δ/R)
Osserviamo infine che essendo la tensione tangenziale nella formula di Bredt
costante sullo spessore, necessariamente Mt,e = Mt,u ed il fattore di forma vale
q = 1.
10.2.2
Flessione e Taglio
In presenza della sollecitazione composta di momento flettente M e taglio T , lo
stato di tensione ´e biassiale. In questo caso le due caratteristiche di sollecitazione
non sono indipendenti, come nel caso della forza normale eccentrica, valendo
come noto la:
T = M0 ;
(10.43)
non sar´
a pertanto possibile determinare una soluzione esatta e ci limiteremo
a determinare un limite inferiore alle caratteristiche ultime mediante il teorema statico. Se consideriamo una sezione rettangolare, in condizioni elastiche
la tensione normale ha andamento lineare mentre la tensione tangenziale ha
andamento parabolico per la formula di Jourawsky:
T33 =
T (z − L)
x1 ,
J
T13 =
T h2
( − x21 ) ,
Jb 4
T23 = 0 .
(10.44)
In condizioni elasto-plastiche la tensione normale sar´a lineare per una altezza
2ξ fino al valore σs per rimanere costante nelle restanti porzioni della sezione.
La tensione tangenziale sar´
a nulla laddove la tensione normale ´e costante ed
avr´
a andamento parabolico nel tratto di altezza 2ξ, fino al raggiungimento della
162
CAPITOLO 10. CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE
tensione di snervamento tangenziale τs che dipende dalla superficie di snervamento scelta. Per ulteriori incrementi di carico la tensione tangenziale sar´a in
parte parabolica ed in parte costante.
Una distribuzione di tensioni equilibrata sar´a allora quella che prevede una
tensione tangenziale T13 = τs nel tratto di altezza 2ξ e nulla altrove ed una
distribuzione di tensioni normali nulla nel tratto di altezza 2ξ e pari a T33 = σs
nella restante porzione di sezione, come nella figura:
b
h
σs
σs
τs
%
%
2ξ
%
%
%
T33
Abbiamo:
M = σs b(
T33
T13
h2
− ξ2) ,
4
T = τs b 2ξ ;
T13
(10.45)
posti allora:
bh2
, Tu = τs bh ,
(10.46)
4
ed introducendo le variabili dimensionali m = M/Mu e v = T /Tu abbiamo:
Mu = σ s
m = (1 − η 2 ) ,
v = η,
η=
2ξ
.
h
(10.47)
Queste curve non sono le curve limite a collasso in quanto la distribuzione di
tensioni non ´e quella soluzione del problema, ma solo una distribuzione equilibrata che non viola le condizioni di snervamento. Pertanto per il teorema statico
la curva limite che otteniamo (identica a quella della forza normale eccentrica)
m = 1 − v2
´e minore o uguale alla curva limite soluzione.
(10.48)
Capitolo 11
Analisi Limite e calcolo a
rottura
L’Analisi Limite ´e il campo dell’Analisi Strutturale che stima direttamente il carico di collasso di una struttura senza ricorrere a metodi iterativi o incrementali
ma mediante l’uso del Teorema Statico e del Teorema Cinematico che, applicati
alle strutture, forniscono rispettivamente il limite inferiore ed uno superiore al
carico di collasso.
In questo capitolo consideriamo strutture intelaiate piane, per le quali assumiamo le seguenti ipotesi:
• Lo stato di sforzo ´e rappresentato dalle caratteristiche di sollecitazione
(N , M ) mentre la deformazione ´e rappresentata dal campo di spostamenti
(u , v) e dalle associate misure di deformazione (ε , κ);
• Il comportamento della struttura ´e rigido-plastico: le caratteristiche di
sollecitazione sono pertanto determinate mediante le sole equazioni di
equilibrio e la cinematica ´e quella dei sistemi di aste rigide;
• Il collasso avviene per formazione di cerniere plastiche flessionali (in strutture prevalentemente inflisse) o estensionali (in strutture reticolari) in numero sufficiente a rendere labile la struttura. Non si ha formazione di
cerniere plastiche per azioni combinate (N , M );
• La struttura ´e in equilibrio all’incipiente collasso.
• La storia di carico ´e monoparametrica ed il carico di collasso λc ´e quel
valore del parametro per il quale la struttura diviene labile per formazione
di un sufficiente numero di cerniere plastiche.
163
164
11.1
CAPITOLO 11. ANALISI LIMITE E CALCOLO A ROTTURA
Il teorema Cinematico
In termini delle caratteristiche di sollecitazione e deformazione per una struttura
piana prevalentemente inflessa S, per il principio delle potenze virtuali si ha,
per ogni distribuzione di velocit´a v ∗ cinematicamente ammissibile:1
Z
Z
M ∗ κ˙ ∗
=
S
q ∗ v˙ ∗ + (T ∗ v˙ ∗ − M ∗ (v˙ ∗ )0 )|C1
Z
λ+ ( q v˙ ∗ + (T v˙ ∗ − M (v˙ ∗ )0 )|C1 ) ,
S
=
(11.1)
S
dove con C1 si denotano le sezioni della struttura sulle quali sono assegnate
azioni concentrate. Una distribuzione di velocit´a cinematicamente ammissibile
´e possibile su una struttura isostatica o iperstatica solamente se k sezioni (k = 1
per una struttura isostatica, k = i + 1 per una struttura iperstatica a meno di
meccanismi di labilit´
a locale) raggiungono il momento ultimo con formazione di
una cerniera plastica. In tal caso v ∗ ´e un atto di moto rigido e la dissipazione
plastica diviene:
Dp∗
Z
∗ ∗
=
M κ˙ =
S
k
X
|Muj ϕ˙ j | .
(11.2)
j=1
Posta:
∗
Z
W (v ) =
q v˙ ∗ + (T v˙ ∗ − M (v∗)
˙ 0 )|C1 ,
(11.3)
S
la potenza delle azioni esterne per un atto di moto rigido v ∗ , il teorema cinematico implica che:
λ+ =
Dp∗
.
W (v ∗ )
(11.4)
Consideriamo come esempio il portale una volta iperstatico sollecitato dalle
due azioni f1 ed f2 : per semplicit´a consideriamo che tutte le aste della struttura
abbiano il medesimo momento ultimo Mu assegnato. Poich´e il sistema ´e una
volta iperstatico sar´
a necessaria la formazione di 2 cerniere plastiche per renderlo
labile (la possibilit´
a di avere un sistema labile con una sola cerniera ´e in questo
caso esclusa in quanto non esistono punti della struttura che si trovino sulla
congiungente di 2 cerniere e pertanto non ´e possibile realizzare un tronco di
labilit´
a locale mediante 3 cerniere allineate).
1 Per strutture reticolari o aste pendolari in strutture inflisse si ha una analoga espressione
in termini di Nu e u∗ .
11.1. IL TEOREMA CINEMATICO
165
f2
f1
B
?
C
D
Mu = cost.
Ac
L
cE
L/2
L/2
Le sezioni pi´
u plausibili per la formazione delle cerniere sono le sezioni B, C
e D e pertanto avremo tre possibili meccanismi di collasso corrispondenti alla formazione delle cerniere nelle due sezioni (B , D), (B , C) e (C , D), ciascun meccanismo associato ad un valore del moltiplicatore cinematico. Poich´e
λ+ ≥ λ, il maggiore tra questi tre moltiplicatori costituir´a la migliore stima del
moltiplicatore cinematico.
f2
f1 -s
B
s?
C
Ac
s
D
cE
Scelto un sistema di riferimento con origine in A e versori e1 diretto come
(E − A) ed e2 diretto come (B − A), rappresentiamo le due azioni in funzione
del moltiplicatore cinematico come:
f1 = λ+ e1 ,
f2 = −λ+ e2 ,
(11.5)
per modo che in tutti e tre i casi la potenza delle azioni esterne sia data dalla:
˙ .
λ+ W = f1 · B˙ + f2 · C˙ = λ+ (e1 · B˙ − e2 · C)
(11.6)
Per determinare la dissipazione Dp∗ esaminiamo i tre meccanismi.
Meccanismo I: cerniere plastiche in B e D
Indichiamo con ϕ˙ k , k = 1, 2, 3 rispettivamente le velocit´a angolari (che assumiamo positive se orarie per modo che l’azione orizzontale spenda potenza positiva)
del moto rigido dei corpi R(A, B), R(B, D) e R(D, E) rispettivamente.
166
CAPITOLO 11. ANALISI LIMITE E CALCOLO A ROTTURA
f1
f
2
? ?
-c
B 6Mu C
?
c
D
6
Mu
Ac
cE
Per la formula di Poisson, essendo A˙ = 0 e E˙ = 0 avremo:
B˙
= ϕ˙ 1 e3 × (B − A) = ϕ˙ 1 Le1 ,
C˙
L
= B˙ + ϕ˙ 2 e3 × (C − B) = ϕ˙ 1 Le1 − ϕ˙ 2 e2 ,
2
= B˙ + ϕ˙ 2 e3 × (D − C) = ϕ˙ 1 Le1 − ϕ˙ 2 Le2 ,
= D˙ + ϕ˙ 3 e3 × (E − D) = (ϕ˙ 1 − ϕ˙ 3 )Le1 − ϕ˙ 2 Le2 = 0 ;
D˙
E˙
da cui:
ϕ˙1 = ϕ˙3 = ϕ˙ ,
ϕ˙2 = 0 ,
(11.7)
e la potenza esterna diviene:
λ+ W = λ+ ϕL
˙ .
(11.8)
Poich´e in questo caso la dissipazione ´e data dalla:
Dp∗ = |Mu ϕ˙1 | + |Mu ϕ˙2 | = 2Mu ϕ˙ ,
(11.9)
il moltiplicatore cinematico associato al meccanismo I ´e:
λ+ =
2Mu
.
L
(11.10)
Meccanismo II: cerniere plastiche in B e C
Indichiamo con ϕ˙ k , k = 1, 2, 3 rispettivamente le velocit´a angolari dei corpi
R(A, B), R(B, C) e R(C, E) rispettivamente,
f2 - f1 - ?
-c
c B C Mu
D
Mu
Ac
cE
11.1. IL TEOREMA CINEMATICO
167
e si ha:
B˙
=
C˙
=
E˙
=
ϕ˙ 1 e3 × (B − A) = ϕ˙ 1 Le1 ,
L
B˙ + ϕ˙ 2 e3 × (C − B) = ϕ˙ 1 Le1 − ϕ˙ 2 e2 ,
2
˙
C + ϕ˙ 3 e3 × (E − C) = (ϕ˙ 1 − ϕ˙ 3 )Le1 − (ϕ˙ 2 + ϕ˙ 3 )Le2 = 0 ;
da cui:
ϕ˙1 = ϕ˙3 = −ϕ˙2 ϕ˙ ,
(11.11)
e la potenza esterna diviene:
λ+ W = λ+ ϕ˙
L
.
2
(11.12)
Poich´e in questo caso la dissipazione ´e data dalla:
Dp∗ = |Mu ϕ˙1 | + 2|Mu ϕ˙2 | + |Mu ϕ˙2 | = 4Mu ϕ˙ ,
(11.13)
il moltiplicatore cinematico associato al meccanismo II ´e:
λ+ =
8Mu
.
L
(11.14)
Meccanismo III: cerniere plastiche in C e D
Indichiamo con ϕ˙ k , k = 1, 2, 3 rispettivamente le velocit´a angolari dei corpi
R(A, C), R(C, D) e R(D, E) rispettivamente,
f2
f1 B
Ac
- C c?
- c
D Mu
Mu
cE
e si ha:
B˙
C˙
= ϕ˙ 1 e3 × (B − A) = ϕ˙ 1 e3 × Le2 = ϕ˙ 1 Le1 ,
L
= ϕ˙ 1 e3 × (C − A) = ϕ˙ 1 Le1 − ϕ˙ 1 e2 ,
2
D˙
L
= C˙ + ϕ˙ 2 e3 × (D − C) = ϕ˙ 1 Le1 − (ϕ˙ 1 + ϕ˙ 2 ) e2 ,
2
E˙
L
= C˙ + ϕ˙ 3 e3 × (E − C) = (ϕ˙ 1 − ϕ˙ 3 )Le1 − (ϕ˙ 1 + ϕ˙ 2 ) e2 = 0 ;
2
168
CAPITOLO 11. ANALISI LIMITE E CALCOLO A ROTTURA
da cui:
ϕ˙1 = ϕ˙3 = −ϕ˙2 ϕ˙ ,
(11.15)
3L
.
2
(11.16)
e la potenza esterna diviene:
λ+ W = λ+ ϕ˙
Poich´e in questo caso la dissipazione ´e data dalla:
Dp∗ = |Mu ϕ˙1 | + 2|Mu ϕ˙2 | + |Mu ϕ˙2 | = 4Mu ϕ˙ ,
(11.17)
il moltiplicatore cinematico associato al meccanismo III ´e:
λ+ =
8Mu
.
3L
(11.18)
Il minimo tra i tre moltiplicatori ´e quello associato al meccanismo I e pertanto
il moltiplicatore cinematico ´e:
λ+ =
11.2
2Mu
.
L
(11.19)
Il teorema Statico
Con il teorema statico si richiede che una distribuzione di momenti M ∗ (λ− )
equilibrata non violi la condizione di plasticizzazione, ovvero:
|M ∗ (λ− )| ≤ Mu ;
(11.20)
se la struttura ´e isostatica ´e immediato determinare il momento M ∗ (λ− ). Se
invece la struttura ´e k volte iperstatica possiamo determinare ∞k distribuzioni
di momento in funzione delle k incognite iperstatiche Xk :
M ∗ (λ− ) = Mo (λ− ) + Xj Mj ,
j = 1, 2, . . . k ,
(11.21)
dove il momento Mo (λ− ) ´e una funzione lineare di λ− . Richiedendo il rispetto della (11.20) su un numero finito m di punti significativi arriviamo ad m
diseguaglianze del tipo:
(i)
−Mu ≤ Co(i) λ− + Xj Mj
≤ Mu ,
i = 1, 2, . . . m ,
(11.22)
La (11.22) descrive un problema di programmazione lineare che permette
di determinare il massimo valore del moltiplicatore statico λ− ed il vettore
X ≡ (X1 , X2 , . . . , Xk ) per cui tale valore ´e massimo.
Considerando il sistema una volta iperstatico dell’esempio precedente, assumiamo come incognita iperstatica X il momento nella sezione C:
11.2. IL TEOREMA STATICO
169
λ−
- c?
X C X
λ−
B
Ac
D
cE
I diagrammi del momento Mo (λ− ) ed M1 sono rispettivamente:
"
""
"
""
L
4 λ−
3L
4 λ−
X
X
B
B
B
B
B
B
B
Richiedendo il rispetto della condizione di plasticizzazione nelle sezioni B,
C e D otteniamo le tre diseguaglianze:
L
| λ− − X| ≤ Mu ,
4
|X| ≤ Mu ,
3
| λ− + X| ≤ Mu ;
4
le sei rette nel piano (X , λ− ) rappresentano la condizione limite di plasticizzazione e sono la frontiera del dominio convesso delle coppie (X , λ− ) per le quali
170
CAPITOLO 11. ANALISI LIMITE E CALCOLO A ROTTURA
la struttura ´e completamente elastica:
λ−
=
λ−
=
X
=
4X
4Mu
±
,
L
L
4Mu
4X
±
,
−
3L
3L
±Mu .
λ−
r
−Mu
Mu
X
Il massimo valore del moltiplicatore ed il corrispondente valore dell’incognita
iperstatica sono:
2Mu
Mu
λ− =
, X=−
.
(11.23)
L
2
Poich´e il moltiplicatore statico e quello cinematico coincidono, il moltiplicatore di collasso ´e
2Mu
λc =
,
(11.24)
L
l’associato cinematismo ´e quello con le cerniere plastiche nelle sezioni B e D ed
il diagramma del momento all’incipiente collasso ´e:
Mu
s
" M
u
Mu /2 ""
s
"
""
11.2. IL TEOREMA STATICO
171
Esempio 23 : Trave Continua
Consideriamo la trave continua con momento ultimo Mu costante per tutta
la lunghezza e sollecitata con un carico uniformemente distribuito q(λ) = λ/L
applicato sulla campata CE.
cA
C
D
q(λ)
E
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
?
c??
c?
B
L
L/2
L/2
L
Applichiamo il teorema statico: poich´e il sistema ´e una volta iperstatico
scegliamo come incognita iperstatica la reazione vincolare in B:
λ
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
?
c??
c?
c
6
X
I diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione M (λ) ed M1 sono dati
rispettivamente da:
λL
8
λL
16
L
3
HH
HH
Ha
aa
aa
a
L
3
172
CAPITOLO 11. ANALISI LIMITE E CALCOLO A ROTTURA
La condizione di plasticizzazione, nelle sezioni B, D e nella sezione di mezzeria della campata DE (si badi bene, non nel punto di massimo momento
flettente, sconosciuto a-priori): si hanno le tre condizioni:
λL XL
−
| ≤ Mu ,
8
3
λL XL
|
+
| ≤ Mu ,
16
6
XL
|
| ≤ MU ,
3
|
dalle quali otteniamo il dominio limite elastico la cui frontiera ´e data dalle 6
rette:
λ
λ
X
8Mu
8X
±
,
3
L
8X
16Mu
= −
±
,
3
L
3Mu
= ±
,
L
=
λ−
q
u
− 3M
L
3Mu
L
X
delle quali ricaviamo la coppia (X , λs ):
X=
3Mu
,
2L
λ− = 12
Mu
.
L
Se adesso applichiamo il teorema cinematico i meccanismi che hanno senso
sono quelli che rendono possibile il moto rigido del tratto CE, ovvero:
• Cerniera plastica in D e nel punto medio del tratto DE ;
11.3. IL CALCOLO A ROTTURA E LA ”GERARCHIA DELLE RESISTENZE”173
• Cerniera plastica in B e D ;
• Cerniera plastica in B e nel punto medio del tratto DE .
Nel primo caso abbiamo:
Mu
Q
QQ Q
Mu
3Mu ϕ˙ = 2 ·
λ 1 ϕL
˙
L
· ·
· ,
L 2 2 2
da cui il moltiplicatore cinematico:
λ+ =
12Mu
,
L
che coincidendo con il moltiplicatore statico ´e il moltiplicatore di collasso.
11.3
Il Calcolo a Rottura e la ”gerarchia delle
resistenze”
Negli esempi precedenti il momento ultimo Mu poteva essere determinato in
funzione del carico λ e viceversa, individuando un unico meccanismo di collasso. Nella realt´
a differenti porzioni di struttura possono avere diversi valori del
momento ultimo ed in funzione di questi valori possiamo non solo determinare il
carico di collasso, ma anche il meccanismo di collasso. La scelta del meccanismo
di collasso diventa quindi un elemento del progetto della struttura, al pari delle
caratteristiche ultime e della geometria.
Questa parte del calcolo strutturale ´e detta Calcolo a Rottura e la dipendenza dei meccanismi di collasso dalle caratteristiche ultime dei vari elementi
strutturali ´e detta Gerarchia delle resistenze.
Consideriamo nuovamente il telaio 1 volta iperstatico ed assumiamo che il
traverso BC abbia un momento ultimo Mu,t mentre i due piedritti AB e CD
abbiano momento ultimo Mu,p con Mu,t 6= Mu,p in generale. La plasticizzazione delle sezioni B e C potr´
a quindi avvenire sia per formazione di una cerniera
plastica sulla trave, sia per formazione della cerniera plastica sul piedritto. Ne
consegue che, se ad esempio applichiamo il teorema cinematico, dai tre meccanismi di plasticizzazione esaminati otteniamo altri meccanismi, a seconda della
localizzazione delle cerniere plastiche. Nel dettaglio abbiamo:
• Meccanismo I: cerniere plastiche in B e D
– Meccanismo Ia: Plasticizzazione del traverso: Mu = Mu,t ;
– Meccanismo Ib: Plasticizzazione del piedritto: Mu = Mu,p ;
174
CAPITOLO 11. ANALISI LIMITE E CALCOLO A ROTTURA
– Meccanismo Ic: Plasticizzazione del traverso in B e del piedritto in
D: Mu (B) = Mu,t ed Mu (D) = Mu,p ;
– Meccanismo Id: Plasticizzazione del traverso in D e del piedritto in
B: Mu (D) = Mu,t ed Mu (B) = Mu,p .
• Meccanismo II: cerniere plastiche in B e C
– Meccanismo Ia: Plasticizzazione del traverso: Mu (B) = Mu,p ed
Mu (C) = Mu,t ;
– Meccanismo IIb: Plasticizzazione del piedritto: Mu (B) = Mu,t ed ed
Mu (C) = Mu,t .
• Meccanismo III: cerniere plastiche in C e D
– Meccanismo Ia: Plasticizzazione del piedritto: Mu (D) = Mu,p ed
Mu (C) = Mu,t ;
– Meccanismo IIb: Plasticizzazione del traverso: Mu (D) = Mu,t ed ed
Mu (C) = Mu,t .
Con i dati dell’esempio, poich´e la potenza delle azioni esterne non varia, le
dissipazioni dipendono dai valori Mu,t ed Mu,p :
2Mu,t ϕ˙ = λaI ϕL
˙ ,
2Mu,p ϕ˙ = λbI ϕL
˙ ,
(Mu,t + Mu,p )ϕ˙ = λcI ϕL
˙ ,
(Mu,p + Mu,t )ϕ˙ = λdI ϕL
˙ ;
4Mu,t ϕ˙ =
(2Mu,p + 2Mu,t )ϕ˙ =
L
,
2
L
λbII ϕ˙ ;
2
λaII ϕ˙
3L
,
2
3L
4Mu,p ϕ˙ = λbIII ϕ˙
.
2
(2Mu,t + 2Mu,p )ϕ˙ = λaIII ϕ˙
Se normalizziamo queste relazioni rispetto ad esempio al momento ultimo
Mu,p del piedritto, otteniamo le rette nel piano delle due variabili adimensionali:
µ=
Mu,t
,
Mu,p
λ∗ = λ
L
:
Mu,p
(11.25)
11.3. IL CALCOLO A ROTTURA E LA ”GERARCHIA DELLE RESISTENZE”175
λ∗a
I
=
2µ ,
λ∗b
I
λ∗c
I
λ∗a
II
λ∗b
II
=
2,
λ∗a
III
=
λ∗b
III
=
= λ∗d
I = 1 + µ,
=
8µ ,
=
4 + 4µ ,
4 4
+ µ,
3 3
8µ
.
3
Poich´e il moltiplicatore cinematico ´e un limite superiore del moltiplicatore
di collasso, l’inviluppo delle rette minime tra tutte queste costituir´a la gerarchia
delle resistenze, ovvero fornir´
a la stima del carico ultimo ed il cinematismo di
collasso in funzione del rapporto µ tra i momenti ultimi.
λ∗
µ∗ = 1
µ
Osserviamo che per µ∗ = 1 si ha la transizione tra il meccanismo Ia (momento ultimo del piedritto inferiore a quello del traverso: plasticizzazione dei
piedritti in B e D) ed il meccanismo Ib (momento ultimo del traverso superiore
a quello del piedritto: plasticizzazione del traverso in B e D).
176
CAPITOLO 11. ANALISI LIMITE E CALCOLO A ROTTURA
Parte IV
Stabilit´
a
177
Capitolo 12
Sistemi discreti
12.1
Sistemi ad un grado di libert´
a
Consideriamo l’asta rigida di lunghezza l vincolata elasticamente ad un estremo
mediante il vincolo elastico M = −kθ, k > 0. Cerchiamo se esistono valori del
carico verticale N per i quali si hanno configurazioni equilibrate con θ 6= 0.
N
?u
v
l
θ
k
Per l’equilibrio dei momenti:
N v = −kθ ,
v = l sin θ ;
(12.1)
le configurazioni di equilibrio dell’asta sono quindi date dalla:
sin θ = α2 θ ,
α2 =
k
,
Nl
(12.2)
e, a seconda del valore del parametro di biforcazione α2 , si hanno due possibilit´a:
• α2 < 1 e la soluzione ´e unica, θ = 0 ,
179
180
CAPITOLO 12. SISTEMI DISCRETI
• α2 > 1 e si hanno tre soluzioni: θ = 0 e θ = ±θ1 .
Il valore del carico N per cui α2 = 1 ´e detto Carico Critico:
k
,
(12.3)
l
e rappresenta il carico al di sopra del quale si ha la perdita di unicit´a della
soluzione.
Ncr =
N < Ncr
N > Ncr
−θ1
0
θ
θ1
Per completare l’analisi delle differenti soluzioni ´e necessario studiarne la stabilit´
a: pertanto definiamo l’energia potenziale totale come somma di quella
elastica e di quella del carico N :
1 2
kθ − N u(θ) , u(θ) = l(1 − cos θ) ;
2
la condizione di minimo porta all’equazione (12.1):
V (θ) =
dV
= kθ − N l sin θ = 0 ,
dθ
mentre la condizione di stabilit´a, per il criterio di Liapunov, dipende dal segno
della derivata seconda:
d2 V
= k − N l cos θ = N l(α2 − cos θ) .
dθ2
Le soluzioni θ = ±θ1 , poich´e cos(±θ1 ) < 0 sono stabili per ogni α2 < 1; per
quanto riguarda la soluzione θ = 0 abbiamo:


> 0 , stabile , N < Ncr ,
d2 V
=
(12.4)
= 0 , indifferente , N = Ncr ,

dθ2

< 0 , instabile , N > Ncr ,
e si ha il diagramma di biforcazione di Hopf, detto anche a forchetta:
´
12.2. SISTEMI LINEARIZZATI AD N GRADI DI LIBERTA
181
Ncr /N
instabile
stabile
stabile
1
stabile
θ
Fig. 9.1 - Diagramma di biforcazione: il punto (0 , 1) ´e di equilibrio
indifferente.
Il caso linearizzato
Consideriamo configurazioni di equilibrio prossime a θ = 0 nel senso di |θ| < δ:
in tal caso:
θ2
cos θ = 1 −
+ o(δ 2 ) ,
2
e l’energia potenziale del sistema diviene, a meno di infinitesimi di ordine
superiore:
1
V (θ) = (k − N l)θ2 ;
2
la (12.1) diviene:
dV
= (k − N l)θ = 0 ,
dθ
che ammette la soluzione θ = 0 per (k − N l) 6= 0 e la soluzione |θ| < δ per
(k − N l) = 0, ovvero per N = Ncr . Poich´e la derivata seconda ´e:
Ncr
d2 V
= (k − N l) = N l(
− 1) ,
dθ2
N
la soluzione θ = 0 ´e stabile per N < Ncr , instabile per N > Ncr , mentre quando
N = Ncr le soluzioni |θ| < δ sono soluzioni di equilibrio indifferente.
12.2
Sistemi linearizzati ad n gradi di libert´
a
Consideriamo il sistema formato dalle due aste rigide di lunghezza l caricato
assialmente da una forza N di compressione. Scelte come coordinate lagrangiane
182
CAPITOLO 12. SISTEMI DISCRETI
gli spostamenti trasversali v1 e v2 , nell’ipotesi che |θk | << 1, l’energia potenziale
elastica ´e data dalla:
k
k
N
l
l
l
v1
θ1
v2
θ2
θ3
−θ3
Carico critico, n = 2
1
Kx · x ,
2



−4
v1
 , [x] ≡ 
.
5
v2
Vk (x) =
con

5
k 
[K] ≡ 2
l
−4
L’energia potenziale della forza normale N ´e invece data dalla:
VN = −N (u1 + u2 + u3 ) ,
uk = l(1 − cos θk ) ,
k = 1, 2, 3 ;
per |θk | << 1 si ha:
1 − cos θk =
θk2
+ o(|θk |3 ) ,
2
da cui
VN (x)
dove:
Nl 2
(θ + θ22 + θ32 )
2 1
Nl
1
= − (2v12 + 2v22 − 2v1 v2 ) = −N Sx · x ,
2
2
= −

2
−1
[S] ≡ l 

.
−1
2
La condizione di minimo per l’energia potenziale totale V (x) = Vk (x) + VN (x)
conduce al problema agli autovalori:
dV
= (K − N S)x = 0 ,
dx
e pertanto il pi´
u piccolo autovalore definisce il carico critico Ncr = N1 , mentre
l’associato autovettore descrive la configurazione equilibrata.
´ DI SECONDA SPECIE: ”SNAP-THROUGH INSTABILITY”183
12.3. INSTABILITA
Nel caso considerato si ha:
 
1
k
N1 = = Ncr , [x1 ] ≡   ,
l
1


1
3k
.
N2 =
, [x2 ] ≡ 
l
−1
Poich´e la derivata seconda ´e:
d2 V
= (K − N S) ,
dx2
per N = Ncr si ha det(K − Ncr S) = 0 e la configurazione x1 ´e di equilibrio
indifferente.
12.3
Instabilit´
a di seconda specie: ”snap-through
instability”
Consideriamo l’arco a tre cerniere formato dalle due aste rigide rettilinee AB e
BC di lunghezza l, soggetto ad un carico verticale N nel punto B, e supponiamo
che il vincolo in C sia cedevole orizzontalmente e dotato di una rigidezza k > 0,
con F = −ku, essendo u lo spostamento orizzontale del vincolo.
N
?
B
l
A
l
k
θ
C
Fig. 9.2 - Arco ribassato
Detto θo l’angolo di inclinazione dell’asta AB per N = 0 e θ quello per N
generico, si hanno l’energia potenziale del carico N e l’energia potenziale elastica
del vincolo cedevole date rispettivamente dalle:
VN = −N l(sin θ − sin θo ) ,
Vk =
1
k(2l cos θ − 2l cos θo )2 ,
2
(12.5)
per modo che l’energia potenziale totale, funzione della coordinata lagrangiana
θ, pu´
o scriversi come:
V (θ) = 2kl2 (cos θ − cos θo )2 − N l(sin θ − sin θo ) .
(12.6)
184
CAPITOLO 12. SISTEMI DISCRETI
Consideriamo ora il caso dell’arco ribassato, ovvero con θo << 1 e di piccoli
spostamenti prossimi a θo , ovvero θ << 1. In questo caso possiamo scrivere
l’energia potenziale totale come:
V (θ) =
1 2 2
kl (θ − θo2 )2 − N l(θ − θo ) ;
2
(12.7)
osserviamo che l’energia potenziale elastica
Vk (θ) =
1 2 2
kl (θ − θo2 )2 ,
2
´e non convessa, ha due minimi assoluti √
per θ = ±θo , un massimo locale per
θ = 0 e per −θ∗ < θ < θ∗ , con θ∗ = θo / 3, ´e instabile. Definiamo l’inviluppo
convesso dell’energia:
(
V¯k (θ) =
Vk (θ) ,
0,
θ < −θo , θ > θo ,
−θo < θ < θo .
Definamo metastabile il ramo stabile dell’energia all’interno dell’inviluppo convesso, ovvero per −θo < θ < −θ∗ e per θ∗ < θ < θo .
Vk (θ)
θ
−θo −θ∗
0
θ∗
θo
Fig. 9.3 - Energia potenziale elastica non convessa
Dalla condizione di equilibrio V 0 (θ) = 0 otteniamo la relazione costitutiva
per N = N (θ):
1
N (θ) = Vk0 (θ) = 4kl(θ2 − θo2 )θ ,
(12.8)
l
´ DI SECONDA SPECIE: ”SNAP-THROUGH INSTABILITY”185
12.3. INSTABILITA
N (θ)
N∗
θ∗
−θ
∗
−θo
−θ∗
0
θo
θ∗
θ
−N ∗
Fig. 9.4 - N = N (θ)
e la condizione di stazionariet´
a per la forza N , che corrisponde alla condizione
di equilibrio indifferente per l’energia potenziale elastica:
dN
d2 Vk
=
= 0,
dθ
dθ2
si ottiene per θ = ±θ∗ cui corrisponde un valore del carico:
8
N ∗ = ± √ klθo3 .
3 3
La descrizione del comportamento dell’arco dipende dallo spazio funzionale
nel quale ricerchiamo le soluzioni di equilibrio. Consideriamo una configurazione
di equilibrio stabile A ≡ (θ , N (θ))e riduciamo progressivamente il carico percorrendo il ramo stabile della curva N (θ) sino a raggiungere il punto (N = 0 , −θo ).
Supponiamo di cercare soluzioni continue, ovvero in C o (R): per poter incrementare il carico, mantenendo il processo continuo, l’unica possibilit´a ´e quella
di raggiungere la configurazione θo e percorrere il ramo stabile per N > 0:
ci´
o ´e possibile in quanto ciascuna configurazione −θo < θ < θo ´e di equilibrio
indifferente per N = 0.
Osserviamo che questo equivale a considerare l’inviluppo convesso V¯k (θ) dell’energia potenziale elastica Vk (θ), ovvero ad applicare in un contesto puramente
meccanico quella che in termodinamica ´e conosciuta come regola di Maxwell.
186
CAPITOLO 12. SISTEMI DISCRETI
N (θ)
θo
−θo
0
θ
a A ≡ (θ , N (θ))
Fig. 9.5 - La soluzione in C 0 (R).
Se accettiamo che le soluzioni possano essere discontinue, ovvero cerchiamo
soluzioni equilibrate in H 1 (R), possiamo incrementare il carico percorrendo il
ramo metastabile della curva sino al punto di equilibrio indifferente (N ∗ , −θ∗ ):
ulteriori incrementi del carico sono possibili solamente se la soluzione ”salta”
alla configurazione di equilibrio stabile θ∗ . Questo fenomeno di instabilit´a ´e
conosciuto come instabilit´
a di seconda specie o ”snap-through instability”: ´e
importante notare che dopo il brusco cambiamento di configurazione θ∗ → θ∗ il
sistema ´e in grado di avere configurazioni di equilibrio stabili per θ > θ∗ .
´ DI SECONDA SPECIE: ”SNAP-THROUGH INSTABILITY”187
12.3. INSTABILITA
N (θ)
N∗
θ∗
−θ
∗
−θo
−θ∗
a A ≡ (θ , N (θ))
0
θo
θ∗
θ
−N ∗
Fig. 9.6 - La soluzione in H 1 (R)
Diminuendo il carico il processo si ripete e per (−N ∗ , θ∗ ) si ha un’altro ”salto”
della soluzione, e la relazione costitutiva N (θ) descrive un ciclo di isteresi. In
termini energetici questo fenomeno equivale ad una transizione da una configurazione metastabile ad una stabile senza passaggio attraverso configurazioni
instabili per il sistema.
188
CAPITOLO 12. SISTEMI DISCRETI
Capitolo 13
Sistemi continui
13.1
Un richiamo: il carico critico Euleriano
Il problema del carico critico euleriano per una trave Ω ≡ (0 , L) sollecitata
da una azione normale uniforme N di compressione e soggetta ad opportuni
vincoli, ´e quello di determinare il primo autovalore dell’equazione differenziale
omogenea:
v 0000 + ω 2 v 00 = 0 , in (0 , L) ,
(13.1)
dove v = v(z) ´e lo spostamento trasversale in equilibrio con il carico. La (13.1)
discende dall’equazione di equilibrio:
M 00 = 0 ,
M = Mext − Mint ,
(13.2)
dove il momento esterno e quello interno sono dati dalle:
Mint (z) = −EJv 00 (z) ,
Mext (z) = N v(z) .
(13.3)
La (13.1) ha integrale generale
v(z) = A sin ωz + B cos ωz + Cz + D ,
(13.4)
dipendente da 4 costanti. Poich´e anche le condizioni al contorno sono omogenee,
il sistema algebrico:
[A ][x ] = [0] ,
dove:

A11


 A21

[A ] ≡ 

 A31


A41
A12
A13
A14
A22
A23
A24
A32
A33
A34
A42
A43
A44
189





,





A





 B 


,
[x ] ≡ 


 C 




D
190
CAPITOLO 13. SISTEMI CONTINUI
dipendendo le componenti [A ]ij dalle condizioni al contorno, ammette soluzione non banale se det[A ] = 0 con [x ] ∈ ker[A ].
La soluzione pu´
o essere espressa in funzione della lunghezza libera di inflessione Lo come:
Ncr =
π 2 EJ
,
L2o
(13.5)
essendo le lunghezze libere per i casi di vincolo pi´
u comuni riportate nella tabella:
Tabella 13.1: Lunghezze libere di inflessione
v(z)
ϕ
Incastro/Bordo libero
Lo = 2L
@
@
@
@
v(z)
Incastro/Incastro
Lo = L/2
cc
v(z)
√
Lo = L/ 2
Incastro/Appoggio
v(z)
c
@
c@
@
@
Incastro/Pattino
Lo = L
c
v(z)
Cerniera/Pattino
c@
c@
@
@
Lo = 2L
13.2. FORMULAZIONE ENERGETICA
191
13.2
Formulazione energetica
13.2.1
Deformazioni finite
Per l’asta compressa possiamo scrivere l’energia potenziale elastica scegliendo
come variabili la rotazione ϕ = ϕ(z) e lo spostamento assiale u = u(z), con la
rotazione finita, nella forma:
Z
1 L
EJ(ϕ0 )2 dz − N u(L) ;
U(u , ϕ) =
(13.6)
2 0
N u(L) - N
c
v(z)
per la condizione al contorno u(0) = 0, il lavoro della forza normale N pu´o
riscriversi in termini della deformazione assiale ε = u0 :
Z
Z L
1 L
U(u , ϕ) =
EJ(ϕ0 )2 dz −
N u0 dz ;
(13.7)
2 0
0
Indicata con ds la lunghezza infinitesima della trave deformata, si ha:
ds = (dz + du) cos ϕ ;
se assumiamo che la trave sia inestensibile possiamo porre:
ds ≈ dz ,
da cui
dz = (dz + du) cos ϕ ,
che conduce alla relazione tra la rotazione e la deformazione assiale:
u0 = 1 − cos ϕ .
Mediante l’ipotesi di inestensibilit´a possiamo riscrivere il funzionale (13.7)
in termini della sola rotazione:
Z
Z L
1 L
0 2
EJ(ϕ ) dz −
N (1 − cos ϕ)dz ,
(13.8)
U(ϕ) =
2 0
0
la cui condizione di minimo conduce alla equazione non lineare:
N
,
(13.9)
EJ
la cui soluzione ´e esprimibile in termini di integrali ellittici ed ´e alla base della
teoria della Elastica di Eulero.
ϕ00 + ω 2 sin ϕ = 0 ,
ω2 =
192
13.2.2
CAPITOLO 13. SISTEMI CONTINUI
Teoria infinitesima: il quoziente di Rayleight
Se la rotazione ϕ ´e infinitesima, abbiamo che:
1 − cos ϕ =
ϕ2
+ o(ϕ2 )
2
(13.10)
ed il funzionale (13.8) diviene:
1
U(ϕ) =
2
L
Z
(EJ(ϕ0 )2 − N ϕ2 )dz ,
(13.11)
0
la cui condizione di minimo conduce alla equazione lineare:
ϕ00 + ω 2 ϕ = 0 ,
ω2 =
N
;
EJ
(13.12)
poich´e sotto le medesime ipotesi abbiamo che ϕ = −v 0 , allora il funzionale
(13.11) diviene
Z
1 L 00 2
((v ) − ω 2 (v 0 )2 )dz , v ∈ H 2 (0 , L) .
(13.13)
U(v) =
2 0
e dalla condizione di minimo di (13.13) otteniamo nuovamente l’equazione (13.1).
Se introduciamo, in analogia con quanto visto per il problemi di autovalori
in dinamica, il quoziente di Rayleight:
Z L
(v 00 )2
0
F(v) = Z L
,
(13.14)
(v 0 )2
0
si ha che per v soluzione della (13.1):
F(v) = ω 2 ,
(13.15)
e che:
F(v ∗ ) ≥ ω 2 ,
∀v ∗ ∈ H 2 (0 , L) ,
(13.16)
ottenendo pertanto una maggiorazione del carico critico.
Esempio 24 : Trave incastrata con vincolo elastico
Per la trave di lunghezza L avente rigidezza EJ, incastrata in A e con un
vincolo elastico in B, tale che FB = −kv(B)
A
B
k
N
´ FLESSO-TORSIONALE
13.3. L’INSTABILITA
193
il quoziente di Rayleight si scrive come:
Z
F(v) =
L
0
k 2
(v 00 )2 +
v (L)
EJ
.
Z L
0 2
(v )
(13.17)
0
Se scegliamo:
v(z) = 1 − cos
πz
,
2L
otteniamo:
π2
4kL
+ 2
,
4L2
π EJ
e pertanto abbiamo la stima per eccesso del carico critico:
F(v) =
Ncr ≤ π 2
13.3
(13.18)
16 kL3
EJ
).
(1
+
4L2
π 4 EJ
(13.19)
L’instabilit´
a flesso-torsionale
Consideriamo una trave soggetta sollecitata da un momento M2 = M2o costante
che ne determina lo spostamento trasversale v1 (z): per la relazione costitutiva
si ha
M2o = −EJ1 v100 ;
(13.20)
se ipotizziamo che le direzioni (x1 , x2 ) siano direzioni principali di inerzia e che
J2 << J1 , supponiamo che la trave subisca uno sbandamento fuori dal piano
x1 = 0 caratterizzato da uno spostamento trasversale v2 (z) e da una rotazione
torsionale θ(z).
M2o -
M2o
z
b
v1 (z)
x1
x2
z
ϕ2
- o
Mt
v2 (z) AU
M2o
A
x2
θ h H
o
YH 6
HMt
M2o HH
x1
194
CAPITOLO 13. SISTEMI CONTINUI
Per effetto di una tale cinematica si avranno un momento torcente ed un momento flettente dati da:
M1o = −M2o θ ,
Mto = M2o ϕ2 = −M2o v2 0 .
(13.21)
Ne consegue che il momento flettente M1 ed il momento torcente Mt saranno
la differenza tra un termine costitutivo, dipendente da v2 e θ rispettivamente, e
di uno dipendente da M2o mediante le (13.21):
M1 (v2 , θ)
Mt (v2 , θ)
= EJ2 κ2 − M1o = −EJ2 v200 + M2o θ ,
0
= GJt θ −
Mto
0
= GJt θ +
M2o v2 0
(13.22)
;
osserviamo che nella (13.22)2 abbiamo assunto che il momento di inerzia polare
sia approssimato dal momento di inerzia Jt per sezioni rettangolari allungate.
In assenza di carichi esterni e nell’ipotesi che M2o non sia variato per effetto
dello spostamento (v2 , θ), il funzionale energia potenziale elastica ´e:
Z
1 L o
M2 κ1 + M1 κ2 + Mt κt ,
(13.23)
U(v1 , v2 , θ) =
2 0
ovvero, essendo κα = −vα00 e κt = θ0 e per le (13.20) e (13.22):
Z
1 L
U(v1 , v2 , θ) =
−M2o v100 − (EJ2 v200 − M2o θ)v200 + (GJt θ0 + M2o v2 0 )θ0 . (13.24)
2 0
Dalla condizione di minimo del funzionale (13.24), con le opportune condizioni al contorno, otteniamo:
M2o 00 = 0 ,
0000
EJ2 v2 − M2o θ00 = 0 ,
GJt θ00 + M2o v200 = 0 ;
(13.25)
ricavando θ00 dalla (13.25)3 e sostituendola nella (13.25)2 otteniamo nuovamente
una equazione formalmente identica alla (13.1) con una differente definizione del
parametro ω 2 :
(M2o )2
v20000 + ω 2 v200 = 0 , ω 2 =
.
(13.26)
EGJ2 Jt
Per le condizioni al contorno di appoggio nella direzione x2 si ha:
ωk =
con
M2o
kπ
=√
,
L
EGJ2 Jt
(13.27)
kπz
kπz
, θk (z) = sin
,
(13.28)
L
L
o
e di conseguenza per k = 1 si ha il valore del momento flettente critico M2,cr
per
il quale si ha il fenomeno di instabilit´a flesso-torsionale, ovvero lo svergolamento
della trave fuori dal piano di sollecitazione x2 = 0:
p
π
E
o
M2,cr
= p
J2 Jt .
(13.29)
L 2(1 + ν)
v2k (z) = sin
´ FLESSO-TORSIONALE
13.3. L’INSTABILITA
195
Per sezioni rettangolari con
J2 =
b3 h
,
12
Jt =
b3 h
,
3
b < h,
il valore del momento critico ´e dato dalla relazione esplicita:
o
M2,cr
=
π
E
b3 h
p
.
L 2(1 + ν) 6
(13.30)
196
CAPITOLO 13. SISTEMI CONTINUI
Parte V
Appendici
197
Appendice A
Cenni di Geometria
Differenziale
A.1
Curve in R3
Una curva in R3 ´e una applicazione γ : I ≡ (0 , τ ) ⊂ R → E che assumiamo
semplice e regolare, tale che
(0 , τ ) 3 t 7→ P (t) ∈ E .
b(z) = w2 (z)
6 n(z) = w1 (z)
γ
P (z)
@
@
R
@
p(z)
t(z) = w3 (z)
O
Fig. 6.1 - Curva in R3
Assegnata una curva γ definiamo la lunghezza d’arco
Z t
dP
z(t) =
(τ )dτ :
0 dτ
199
200
APPENDICE A. CENNI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE
per modo che z(τ ) − z(0) = L, lunghezza della curva. Se assumiamo di riparametrizzare la curva in termini della lunghezza d’arco, si ha che il vettore:
t(z) = P 0 (z) =
dP
(z) ,
dz
kP 0 (z)k = 1 ,
´e il vettore Tangente alla curva γ. Scelto un punto O ∈ E, definiamo il vettore
posizione dei punti della curva:
p(z) = P (z) − O ∈ V .
Si definiscono:
• vettore Normale alla curva il vettore z 7→ n(z):
n(z) =
P 00
,
kP 00 k
knk = 1 ;
(A.1)
• vettore Binormale alla curva il vettore z 7→ b(z):
b(z) = t(z) × n(z) .
(A.2)
Definiamo in z ∈ (0 , L) riferimento intrinseco alla curva γ il riferimento
ortonormale {w1 (z) = n(z) , w2 (z) = b(z) , w3 (z) = t(z)}; si ha che:
wk0 = Lwk ,
k = 1, 2, 3 ,
(A.3)
dove il tensore L ∈ Skw ´e il tensore di curvatura di γ. Mediante le due funzioni
z 7→ κ(z) e z 7→ τ (z) dette rispettivamente curvatura e torsione di γ, il tensore di
curvatura di γ pu´
o essere rappresentato nel riferimento intrinseco dalla matrice:


0 τ −κ
[L] ≡  −τ 0 0  ,
κ 0 0
e le (A.3) si riducono alle ben note formule di Frenet:
w10
= τ w2 − κw3 ,
w20
w30
= −τ w1 ,
(A.4)
= κw1 .
Una curva si dice piana se τ ≡ 0. In tal caso la binormale ´e il vettore
costante w2 , normale al piano π che contiene la curva γ, e per i vettori normale
e tangente le (A.4) si riducono alle:
w10
= −κw3 ,
w30
= κw1 .
(A.5)
A.2. SUPERFICI IN R3
A.2
201
Superfici in R3
Data una funzione Φ : N ⊂ E → R, definiamo una superficie in R3 come il luogo
dei punti P ∈ E:
S ≡ {P ∈ N | Φ(P ) = 0 ,
Φ ∈ C 1 (N ) } ;
(A.6)
2
n 6 z = cost.
*
x(z 1 , z 2 ) g2
H
j
H
z 1 = cost.
g1
S
Se in P0 ∈ S si ha ∇Φ(P0 ) 6= 0, per il teorema della funzione implicita esiste
una sfera Bδ (P0 ) ≡ {kP − P0 k2 < δ 2 } ed una mappa
x : A ⊂ R2 → S ∩ Bδ (P0 ) ,
x ∈ C 1 (Bδ (P0 )) ,
tale che la porzione di superficie S ∩ Bδ (P0 ) ammette la rappresentazione
A 3 (z 1 , z 2 ) 7→ x(z 1 , z 2 ) ∈ S ∩ Bδ (P0 ) ,
(A.7)
con (z 1 , z 2 ) le coordinate curvilinee della superficie. Questa rappresentazione
´e locale: la collezione di mappe necessarie alla completa descrizione di una
superficie ´e detta atlante.
Esempio 25 : Sfera
Consideriamo la sfera di raggio R:
S ≡ {P ∈ N | kP k2 − R2 = 0 } ,
poich´e ∇Φ = P 6= 0 su ogni punto della sfera, possiamo determinare una rappresentazione locale in termine delle coordinate curvilinee (z 1 , z 2 ). Ad esempio,
scelto
A ≡ {(z 1 , z 2 ) | (z 1 )2 + (z 2 )2 = R2 } ,
abbiamo le due mappe:
x1 (z 1 , z 2 )
= z1 ,
x2 (z 1 , z 2 )
= z2 ,
p
= ± R2 − (z 1 )2 − (z 2 )2 ;
x3 (z 1 , z 2 )
se invece scegliamo
A ≡ {(z 1 , z 2 ) | 0 ≤ z 1 < 2π ,
−
π
π
≤ z2 ≤ } ,
2
2
202
APPENDICE A. CENNI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE
abbiamo una sola mappa:
x1 (z 1 , z 2 )
= R sin z 2 cos z 1 ,
x2 (z 1 , z 2 )
= R sin z 2 sin z 1 ,
1
2
x3 (z , z )
= R cos z 2 .
Definiamo la base covariante o naturale {g1 , g2 }:
g1 (z 1 , z 2 ) =
∂x
,
∂z 1
g2 (z 1 , z 2 ) =
∂x
.
∂z 2
(A.8)
g2 (z 1 , z 2 ) =
∂z 2
,
∂x
(A.9)
Definiamo la base controvariante o duale
g1 (z 1 , z 2 ) =
∂z 1
,
∂x
e si ha:
gα · gβ = δα β ,
α, β = 1, 2 .
(A.10)
I vettori della base naturale sono tangenti alla superficie: definiamo pertanto
la normale alla superficie:
n(z 1 , z 2 ) =
g1 × g2
,
kg1 kkg2 k
(A.11)
ed il gradiente superficiale della normale o tensore di Weingarten:
L(z 1 , z 2 ) = −s ∇n(z 1 , z 2 ) ,
(A.12)
dove s ∇ denota il gradiente rispetto alle coordinate curvilinee (z 1 , z 2 )
s
∇n = n,α ⊗gα .
(A.13)
Definiamo la curvatura Gaussiana K = det L e la curvatura media 2H = tr L:
gli autovalori del tensore di curvatura sono le due curvature principali della
superficie e gli autovettori le corrispondenti direzioni principali tangenti alla
superficie.
Il tensore metrico della superficie ´e definito come il tensore di componenti
gαβ = gα · gβ ,
g = det[gαβ ] ,
(A.14)
essendo g la prima forma differenziale di Gauss della superficie.
Osservazione 25 : Nella base delle direzioni principali di curvatura g1 · g2 = 0
per cui g12 = 0 e di conseguenza g = g11 g22 . D’altronde
√
√
√
kg1 kkg2 k = g1 · g1 g2 · g2 = g11 g22 ;
√
poich´e il determinante ´e un invariante, allora possiamo scrivere kg1 kkg2 k = g
e pertanto si ha:
g1 × g2
n(z 1 , z 2 ) = √
.
(A.15)
g
A.2. SUPERFICI IN R3
203
Osservazione 26 : Poich´e
n · gα = 0 ,
α = 1, 2 ,
si ha
(n · gα ),β = 0 ,
α, β = 1, 2 ,
da cui l’identit´
a:
n,β ·gα = −n · gα,β ,
A.2.1
α, β = 1, 2 .
(A.16)
Componenti. Gradiente e divergenza
Dato un vettore v definito su S ne definiamo le componenti covarianti e controvarianti rispettivamente come:
vα = v · g α ,
v α = v · gα ,
(A.17)
per modo che il vettore abbia le due rappresentazioni in base equivalenti:
v = vα gα = v α gα ;
(A.18)
per un tensore A definito su S abbiamo, oltre alle componenti covarianti e
contrarianti
Aαβ = A · gα ⊗ gβ , Aαβ = A · gα ⊗ gβ ,
(A.19)
anche le componenti miste
Aα β = A · g α ⊗ g β ,
Aα β = A · gα ⊗ gβ ,
(A.20)
per modo che le rappresentazioni equivalenti sono quattro:
A = Aαβ gα ⊗ gβ = Aαβ gα ⊗ gβ = Aα β gα ⊗ gβ = Aα β gα ⊗ gβ .
(A.21)
Dalla definzione di tensore metrico discendo le relazioni tra le varie componenti. Ad esempio:
vα = gαβ v β ,
Aαβ = gαγ gβδ S γδ ,
valendo analoghe relazioni per le altre componenti.
Se consideriamo un campo vettoriale definito sulla superficie, A 3 (z 1 , z 2 ) 7→
v(z 1 , z 2 ), ne definiamo il gradiente superficiale come:
s
∇v = v,α ⊗gα ;
(A.22)
se per v adottiamo la rappresentazione mediante le componenti controvarianti
v = v γ gγ si ha:
s
∇v = (v γ gγ ),α ⊗gα = v γ ,α gγ ⊗ gα + v γ gγ,α ⊗ gα ,
e di conseguenza la rappresentazione nella base covariante risulta:
[s ∇v]δ = s ∇v · gδ ⊗ g = v γ , gγ + v γ (gδ · gγ, ) .
(A.23)
204
APPENDICE A. CENNI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE
Definiamo la divergenza superficiale di un campo vettoriale v definito su S
come:
s
div v = tr s ∇v = v,α ·gα = v α ,α +v γ (gα · gγ,α ) .
(A.24)
Per un campo tensoriale A 3 (z 1 , z 2 ) 7→ A(z 1 , z 2 ), definiamo la divergenza
superficiale come:
s
div A = Aγ gγ ;
(A.25)
se adottiamo ad esempio la rappresentazione A = Aαβ gα ⊗ gβ abbiamo:
s
div A = (Aαβ gα ⊗ gβ ),γ gγ = Aαβ ,β +Aαβ (gβ,γ · gγ ) gα + Aαβ gα,β . (A.26)
A.2.2
Superficie in forma esplicita
Se la superficie S ´e il grafico di una funzione di due variabili, dette xk , k = 1, 2, 3
le coordinate di P ∈ S in una base ortonormale {ek } abbiamo:
x1 (z 1 , z 2 )
=
z1 ,
x2 (z 1 , z 2 )
=
z2 ,
1
2
x3 (z , z )
=
(A.27)
1
2
w(z , z ) ,
ovvero
x(z 1 , z 2 ) = z 1 e1 + z 2 e2 + w(z 1 , z 2 )e3 .
(A.28)
I vettori della base naturale sono in questo caso:
g1 = e1 + w,1 e3 ,
g2 = e2 + w,2 e3 ,
(A.29)
cui corrisponde il tensore metrico:
g11 = 1 + w,21 ,
g22 = 1 + w,22 ,
g12 = w,1 w,2 ,
(A.30)
avente determinante:
g = (1 + w,21 )(1 + w,22 ) − (w,1 w,2 )2 = 1 + w,21 +w,22 = 1 + ks ∇wk2 .
(A.31)
La normale alla superficie diviene quindi:
n= p
e3 −s ∇w
(e1 + w,1 e3 ) × (e2 + w,2 e3 ) = p
,
1 + ks ∇wk2
1 + ks ∇wk2
1
(A.32)
e dopo alcuni passaggi si ottiene la seguente rappresentazione del tensore di
Weingarten:
s s
∇ ∇w
−L =
(A.33)
3 .
(1 + ks ∇wk2 ) 2
Per determinare i vettori della base duale, osserviamo che per la definizione
di tensore metrico si ha:
gα = gαβ gβ ,
A.2. SUPERFICI IN R3
205
e pertanto, stante la definizione di base duale e di g dopo alcuni passaggi
algebrici si giunge alla rappresentazione:
g1
=
g2
=
1
√ (g22 e1 − g12 e2 + (g22 w,1 −g12 w,2 )e3 ) ,
g
1
√ (−g12 e1 + g11 e2 + (−g12 w,1 +g22 w,2 )e3 ) .
g
(A.34)
Riportiamo, poich´e ne faremo uso, l’espressione che assume in questo caso
la divergenza di un campo tensoriale: poich´e
gα,β = w,αβ e3 ,
ed inoltre per le (A.34):
1
gβ,γ · gγ = √ w,βγ σα γδ gαδ w,σ ,
g
con 12 = −21 = 1 ed 11 = 22 = 0, che dopo alcuni passaggi diviene:
1
gβ,γ · gγ = √ ks ∇wk,β ,
2 g
arriviamo alla
s
1
αβ
αβ s
div A = A ,β + √ A k ∇wk,β ) gα + (A · s ∇∇w)e3 .
2 g
(A.35)
206
APPENDICE A. CENNI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE
Appendice B
Equazioni differenziali alle
derivate parziali
B.1
Classificazione
Se indichiamo con u : D → R una funzione D 3 (x , y) 7→ u(x , y) ∈ R sufficientemente regolare, consideriamo la pi´
u generale equazione differenziale lineare
del secondo ordine alle derivate parziali:
L(u) = auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + f u = 0 .
(B.1)
Il problema L(u) = 0 si dice ben posto quando sono soddisfatte le propriet´a
seguenti:
• Esiste una soluzione;
• La soluzione ´e unica;
• La soluzione dipende in maniera continua dai dati.
Le prime due propriet´
a dipendono, in particolare, dalle condizioni iniziali
e al contorno ai limiti che vengono imposte ed il cui numero dipende sia dal
tipo di equazione che dal suo ordine: se si impongono troppe condizioni, il
problema pu´
o non avere soluzioni, mentre se non ci sono abbastanza condizioni,
si possono trovare delle soluzioni che non hanno significato fisico rispetto al
problema considerato. La terza propriet´a assicura invece che a piccole variazioni
di dati corrispondono piccole variazioni dei risultati.
Le equazioni del tipo (B.1) possono essere classificate come segue: consideriamo la trasformazione dalle coordinate (x , y) alle direzioni caratteristiche
(ξ , η):
ξ(x , y)
=
αx + βy ,
η(x , y)
=
γx + δy ,
(B.2)
207
208APPENDICE B. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI
con αδ − βγ 6= 0. Mediante la trasformazione (B.2) la (B.1) diviene:
L(u) = Auξξ + 2Buξη + Cuηη + Duξ + Euη + F u = 0 ,
(B.3)
con:
A
= aα2 + 2bαβ + cβ 2 ,
B
= aαγ + b(αδ + βγ) + cβδ ,
C
= aγ 2 + 2bγδ + cδ 2 .
Classifichiamo le equazioni del secondo ordine in:
• Ellittiche, se A = C e B = 0, ovvero uξξ + uηη = 0 ;
• Iperboliche, se A = C = 0, ovvero uξη = 0 ;
• Paraboliche, se A = B = 0, ovvero uξξ = 0 , oppure C = B = 0 ed
uηη = 0 .
Osserviamo come la classificazione si applichi solo alla parte principale dell’operatore L(u), contenete solo le derivate seconde.
Per le equazioni ellittiche, la condizione A = C implica α = γ e δ = β e la
trasformazione di coordinate non ´e invertibile: dalla condizione B = 0 si ha:
β
δ
b
1p 2
= =− ±
b − ac ,
(B.4)
γ
γ
a a
ma poich´e α = γ e δ = β implicano che A = B = C la (B.4) non pu´o avere
soluzioni reali e pertanto per una equazione ellittica:
b2 − ac < 0 .
Le equazioni ellittiche non possiedono caratteristiche: tipicamente descrivono
problemi stazionari ed in tal caso le variabili possono essere considerate come
variabili spaziali che in genere necessitano di condizioni al bordo sulla frontiera
∂D. Inoltre una perturbazione in un punto influenza la soluzione in tutto il
dominio D considerato.
Le equazioni iperboliche e paraboliche descrivono invece problemi evolutivi:
in tal caso una delle variabili assume il ruolo di variabile temporale. Richiedono
l’uso sia di condizioni iniziali che di condizioni al bordo.
Nel caso delle equazioni paraboliche la condizione A = B = 0 richiede
nuovamente α = γ e δ = β, ma in questo caso abbiamo dalla (B.4)
δ
b
β
= =− ,
γ
γ
a
e pertanto per le equazioni paraboliche si ha:
b2 − ac = 0 .
B.2. SOLUZIONI A VARIABILI SEPARABILI
209
I problemi parabolici possiedono una sola caratteristiche e sono caratterizzati da
fenomeni di diffusione, ovvero una perturbazione viene attenuata rapidamente,
e la soluzione ha la rappresentazione (per A = B = 0):
u(ξ , η) = F (η) + ξG(η) .
Le equazioni iperboliche tipicamente descrivono problemi di propagazione
di onde in assenza di dissipazione: in questo caso le condizioni al bordo e ai
valori iniziali dipendono dalle direzioni caratteristiche ξ = cost. e η = cost.
dell’equazione considerata. Dalle condizioni A = C = 0 otteniamo
b
1p 2
β
= − +
b − ac ,
γ
a a
δ
b
1p 2
= − −
b − ac ,
γ
a a
e pertanto si ha:
b2 − ac > 0 .
La soluzione ha la rappresentazione in termini delle due caratteristiche:
u(ξ , η) = F (ξ) + G(η) .
L’equazione di Laplace
∆u = uxx + uyy = 0 ,
(B.5)
´e una equazione ellittica. L’equazione delle onde:
c2 uxx − uyy = 0 ,
(B.6)
´e invece una equazione iperbolica e la trasformazione di coordinate ´e in questo
caso:
ξ(x , y)
= x + cy ,
η(x , y)
= x − cy .
(B.7)
L’equazione del calore
uxx − uy = 0 ,
(B.8)
´e infine una equazione parabolica.
B.2
Soluzioni a variabili separabili
Una soluzione D 3 (x , y) 7→ u(x , y) ∈ R dell’equazione differenziale alle derivate
parziali L(u) = 0 si dice a Variabili separabili se pu´o essere rappresentata come:
u(x , y) = X(x)Y (y) ;
(B.9)
Le condizioni per le quali una soluzione pu´o essere rappresentata nella forma
(B.9) sono le seguenti:
210APPENDICE B. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI
• L’operatore L(u) = 0 deve essere tale che esista una funzione ϕ(x , y) per
la quale:
L(u(X(x)Y (y))
= F (x) + G(y) ;
ϕ(x , y)X(x)Y (y)
• Il dominio D ´e rettangolare, ovvero la frontiera dell’insieme di definizione
´e formata da curve a x = cost. ed y = cost. ;
• Le condizioni al contorno sulle curve x = cost. non devono dipendere da
x n´e contenere derivate rispetto a y e viceversa.
B.2.1
Esempio - un problema ellittico: l’equazione di Laplace
Consideriamo l’equazione ellittica sul dominio D ≡ {(x , y) | 0 < x < a , 0 < y <
b , b > a}:
∆u =
in D ,
0,
u(0 , y)
=
0,
0,
u(a , y)
=
u(x , 0)
= f (x) ,
su ∂D ,
u(x , b)
=
(B.10)
0.
Il dominio ´e rettangolare, le condizioni al contorno per x = 0 ed x = a non
dipendono da x n´e contengono derivate rispetto alla y ed analogamente quelle
per y = 0 ed y = b ed inoltre con ϕ(x , y) = 1:
Xxx (x)Y (y) + X(x)Yyy (y)
Xxx (x) Yyy (y)
L(X(x)Y (y))
=
=
+
,
X(x)Y (y)
X(x)Y (y)
X(x)
Y (y)
e pertanto le condizioni di applicabilit´a del metodo sono soddisfatte.
La soluzione dell’equazione ´e data dalle:
Xxx (x)
= −λ2 ,
X(x)
Yyy (y)
= λ2 ,
Y (y)
(B.11)
con le condizioni al contorno:
u(0, y) = X(0)Y (y) = 0 ,
u(x, 0) = X(x)Y (0) = f (x) ,
u(a, y) = X(a)Y (y) = 0 ,
u(x, b) = X(x)Y (b) = 0 ,
da cui:
X(0) = X(a) = 0 ,
Y (0) =
f (x)
,
X(x)
Y (b) = 0 .
(B.12)
Poich´e dalle (B.11) abbiamo:
X(x) = A sin λx + B cos λx ,
Y (y) = C sinh λy + D cosh λy ,
(B.13)
B.2. SOLUZIONI A VARIABILI SEPARABILI
211
mediante le (B.12) si ottiene per la X(x) che B = 0 e sin λa = 0, da cui
λk = kπ/a e la soluzione
Xk (x) = Ak sin
kπx
;
a
(B.14)
le condizioni al contorno sulla Y (y) si applicano pertanto alle k funzioni:
Yk (y) = Ck sinh λk y + Dk cosh λk y ,
e dalle Yk (b) = 0 si ottiene:
Dk = Ck tanh λk b .
La condizione al contorno per y = 0 fornisce quindi:
Xk (x)Yk (0) = f (x) ,
ovvero:
∞
X
ak tanh λk b sin
k=1
kπx
= f (x) ,
a
ak = Ak Ck ,
(B.15)
ed i coefficienti ak sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier della
funzione f (x):
Z a
2
kπx
ak =
f (x) sin
dx .
a tanh λk b 0
a
La soluzione del problema ´e pertanto rappresentata in termini dello sviluppo in
serie:
u(x , y) =
∞
X
k=1
B.2.2
ak sin
kπx
kπy
kπy
(sinh
+ tanh λk b cosh
).
a
a
a
(B.16)
Esempio - un problema iperbolico: l’equazione delle
onde
Consideriamo l’equazione iperbolica sul dominio D ≡ {(x , y) | 0 < x < a , 0 <
y < +∞ , }:
c2 uxx − uyy
=
0,
u(0 , y)
=
0,
in D ,
u(a , y)
=
0,
u(x , 0)
=
f (x) ,
su ∂D ,
uy (x , 0)
=
g(x) ,
(B.17)
Il dominio ´e rettangolare, le condizioni al contorno per x = 0 ed x = a non
dipendono da x n´e contengono derivate rispetto alla y ed analogamente quelle
per y = 0. Inoltre con ϕ(x , y) = 1:
L(X(x)Y (y))
c2 Xxx (x)Y (y) − X(x)Yyy (y)
Xxx (x) Yyy (y)
=
=
−
,
X(x)Y (y)
X(x)Y (y)
X(x)
Y (y)
212APPENDICE B. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI
e pertanto le condizioni di applicabilit´a del metodo sono soddisfatte.
La soluzione dell’equazione ´e data dalle:
c2
Xxx (x)
= λ2 ,
X(x)
Yyy (y)
= −λ2 ,
Y (y)
(B.18)
da cui:
X(x) = A sin ωx + B cos ωx ,
Y (y) = C sin λy + D cos λy ,
ω=
λ
.
c
Mediante le condizioni al contorno sulla X(x):
X(0) = X(a) = 0 ,
otteniamo
Xk (x) = Ak sin
kπx
,
a
λk = c
kπ
;
a
(B.19)
per la soluzione Y (y) si ha invece:
Yk (y) = Ck sin c
kπy
kπy
+ Dk cos c
,
a
a
e pertanto dalle condizione su y = 0 si ha:
f (x)
g(x)
=
=
∞
X
k=1
∞
X
bk sin
ak c
k=1
kπx
,
a
bk = Ak Dk ,
kπ
kπx
sin
,
a
a
ak = Ak Ck .
In questo caso la soluzione ´e
u(x , y) =
∞
X
sin
k=1
kπx
kπy
kπy
(ak sin c
+ bk cos c
)
a
a
a
(B.20)
dove i termini ak e bk sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier delle
due funzioni note f (x) e g(x):
ak
=
bk
=
Z a
2
kπx
g(x) sin
dx ,
ckπ 0
a
Z
2 a
kπx
f (x) sin
dx .
a 0
a
B.2. SOLUZIONI A VARIABILI SEPARABILI
B.2.3
213
Esempio - un problema parabolico: l’equazione del
calore
Consideriamo l’equazione parabolica sul dominio D ≡ {(x , y) | 0 < x < a , 0 <
y < +∞ , }:
Kuxx − uy
=
0, K > 0,
u(0 , y)
=
0,
u(a , y)
=
0,
u(x , 0)
= f (x) ,
in D ,
su ∂D ,
(B.21)
Il dominio ´e rettangolare, le condizioni al contorno per x = 0 ed x = a non
dipendono da x n´e contengono derivate rispetto alla y ed analogamente quelle
per y = 0. Inoltre con ϕ(x , y) = 1:
L(X(x)Y (y))
KXxx (x)Y (y) − X(x)Yy (y)
Xxx (x) Yy (y)
=
=
−
,
X(x)Y (y)
X(x)Y (y)
X(x)
Y (y)
e pertanto le condizioni di applicabilit´a del metodo sono soddisfatte.
La soluzione dell’equazione ´e data dalle:
K
Xxx (x)
= λ2 ,
X(x)
Yy (y)
= −λ2 ,
Y (y)
(B.22)
con le condizioni al contorno:
X(0) = X(a) = 0 ,
da cui:
Xm (x) = Am sin
mπx
,
a
λm =
mπ √
K;
a
(B.23)
per la soluzione Y (y) si ha invece:
Ym (y) = Cm e−λm y ,
e pertanto dalla condizione su y = 0 si ha:
∞
X
am sin
m=1
mπx
= f (x) ,
a
am = Am Cm ,
e la soluzione ´e
u(x , y) =
∞
X
m=1
am sin
mπx −λm y
e
,
a
(B.24)
dove i termini am sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier della f (x).
214APPENDICE B. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI
B.3
B.3.1
Metodi Approssimati
Differenze finite
Il metodo alle differenze finite ´e un metodo di discretizzazione di operatori
differenziali, totali o parziali. Consideriamo una funzione di variabile reale x 7→
f (x) ed in un punto xo del suo insieme di definizione consideriamone lo sviluppo
in serie di Taylor nei punti xo + h ed xo − h sino, ad esempio, al secondo ordine:
1
f (xo + h) = f (xo ) + f 0 (xo )h + f 00 (xo )h2 + o(h2 ) ,
2
1
0
f (xo − h) = f (xo ) − f (xo )h + f 00 (xo )h2 + o(h2 ) .
2
Sottraendo la seconda equazione dalla prima otteniamo, a meno di infinitesimi di ordine superiore:
f (xo + h) − f (xo − h) = 2f 0 (xo )h ,
da cui l’espressione approssimata della derivata prima:
f (xo + h) − f (xo − h)
.
(B.25)
2h
Sommando le due equazioni si ha invece, sempre a meno di infinitesimi di
ordine superiore:
f 0 (xo ) u
f (xo + h) + f (xo − h) = 2f (xo ) + f 00 (xo )h2 ,
da cui l’espressione approssimata della derivata seconda:
f (xo + h) + f (xo − h) − 2f (xo )
.
h2
f 00 (xo ) u
(B.26)
Se poniamo:
f (xo ) = fk ,
f (xo + h) = fk+1 ,
f (xo − h) = fk−1
le espressioni delle due derivate possono essere poste in forma ricorsiva:
fk0
=
fk00
=
fk+1 − fk−1
,
2h
fk+1 + fk−1 − 2fk
.
h2
1
−2
1
fk00
k
a −1
k
a
k
a +1
(B.27)
B.3. METODI APPROSSIMATI
215
Proseguendo lo sviluppo in serie di Taylor sino alla derivata n-esima possiamo
ottenere le espressioni approssimate della derivata fkn in funzione dei valori della
funzione calcolati nei punti a distanze multiple di h dal punto xo .
Esempio 26 : Filo teso caricato uniformemente
Se consideriamo il flo teso soggetto al carico uniforme qo , possiamo discretizzare il dominio Ω = (0 , l) in quattro parti h = l/4 ottenendo i punti numerati
da 1 a 5. L’equazione (6.5) valutata nei punti interni 2, 3 e 4 fornisce:
v200
=
v300
=
v300
=
qo
v3 + v1 − 2v2
=− ,
2
h
N
qo
v4 + v2 − 2v3
=− ,
2
h
N
v5 + v3 − 2v4
qo
=− ;
2
h
N
(B.28)
mentre le condizioni al contorno v(0) = e v(l) = 0 equivalgono a porre v1 =
v5 = 0. Abbiamo quindi un sistema di tre equazioni nelle tre incognite f2 , f3
ed f4 la cui matrice ha una struttura ”a banda”:





2 −1 0
v2
1
2
 −1 2 −1   v3  = qo h  1  .
N
0 −1 2
1
v4
Risolvendo il sistema otteniamo:
v2 = v4 =
5qo l2
,
64N
v3 =
qo l2
= vmax ,
8N
ed il dato dello spostamento massimo nel punto di mezzeria coincide con quello
della soluzione esatta.
Il metodo pu´
o essere facilmente esteso ad operatori alle derivate parziali. Se
infatti consideriamo il laplaciano ∆f :
∆f = f,xx +f,yy ,
abbiamo, ripetendo in ambedue le direzioni coordinate il procedimento gi´a
adottato:
f,xx (xo , yo )
=
f,yy (xo , yo )
=
f (x0 + h , yo ) + f (x0 − h , yo ) − 2f (x0 , yo )
,
h2
f (x0 , yo + h) + f (x0 , yo − h) − 2f (x0 , yo )
,
h2
da cui
∆f (xo , yo ) =
f (x0 + h , yo ) + f (x0 − h , yo ) + f (x0 , yo + h) + f (x0 , yo − h) − 4f (x0 , yo )
,
h2
ovvero, con trasparente significato dei simboli:
∆fi ,j =
fi+1 ,j + fi−1 ,j + fi ,j+1 + fi ,j−1 − 4fi ,j
.
h2
(B.29)
216APPENDICE B. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI
1
1
−4
1
1
a i, j + 1
i − 1,a j
a i, j
a
i + 1,a j
i, j − 1
Esempio 27 : Membrana tesa caricata uniformemente
Nel caso di una membrana quadrata di lato a caricata uniformemente da un
carico qo , discretizzando il dominio con una maglia di passo h = a/2 abbiamo
un solo punto interno.
B.3. METODI APPROSSIMATI
217
3
1
4
2
5
L’equazione (6.60) diviene:
σ
w2 + w3 + w4 + w5 − 4w1
+ qo = 0 ,
h2
con le condizioni al contorno:
w2 = w3 = w4 = w5 = 0 ;
si ha pertanto:
qo a2
qo a2
= 0, 062
= wmax
16σ
σ
con un errore di circa il 14% rispetto alla soluzione (6.66) dovuta a Poisson.
w1 =
B.3.2
Metodo di Gal¨
erkin
I metodi di Gal¨erkin permettono di passare dalla risoluzione di un problema
definito in uno spazio continuo alla risoluzione di tale problema in uno spazio
discreto al fine di determinarne una soluzione numerica approssimata.
Dato un’aperto Ω ⊂ Rn , un problema definito su uno spazio di Hilbert
H m (Ω) e date una forma bilineare
a (·, ·) : H m (Ω) × H m (Ω) → R
ed una forma lineare
l (·) : H m (Ω) → R ,
si vuole risolvere l’equazione:
a (u, v) = l (v) ,
∀v ∈ H m (Ω) .
Con il metodo di Gal¨erkin si discretizza il problema di determinare la funzione u su una sequenza di sottospazi a dimensione finita Hkm (Ω) ⊂ H m (Ω) tali
che:
+∞
[
Hkm (Ω) = H m (Ω) ;
k=1
218APPENDICE B. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI
tali che in ciascuno di questi sottospazi di dimensione finita il problema iniziale
sia risolvibile in modo esatto. Il problema cos´ı ottenuto chiamato problema approssimato di Gal¨erkin. Tale nuovo problema richiede quindi la determinazione
della soluzione uk ∈ Hkm (Ω) tale che:
a (uk , v) = l (v) ,
∀v ∈ Hkm (Ω) .
(B.30)
Detta m la dimensione di Hkm (Ω), e detta (e1 , e2 , . . . em ) una base in Hkm (Ω),
possiamo rappresentare ogni elemento dello spazio come una combinazione lineare degli elementi della base; in particolare sia uk che v potranno essere
rappresentati mediante le loro componenti cj e dj :
uk = cj ej ,
v = dj ej .
Sostituendo nel primo membro della (B.30):
a (ci ei , dj ej ) = ci dj a (ei , ej ) ,
mentre il secondo membro della (B.30) diviene:
l (dj ej ) = dj l (ej ) ,
da cui dovendo valere la (B.30) per ogni v ovvero per ogni dj , si arriva alla:
a (ei , ej ) ci = l (ej ) .
(B.31)
La (B.31) pu´
o essere riscritta in forma matriciale introducendo le matrici ed
i vettori:
[K ]ij = a (ei , ej ) , [f ]i = l (ei ) , [c ]j = cj ,
come:
[K ][c ] = [f ] .
(B.32)
Per il problema approssimato ´e possibile dimostrare che, se la forma bilineare
a (v , v) ´e ellittica su H m (Ω), allora il metodo di Gal¨erkin converge per k → +∞
alla soluzione u.
B.3.3
Metodo di Faedo-Gal¨
erkin
Il metodo di Faedo-Gal¨erkin ´e una estensione del metodo di Gal¨erkin ai problemi
dinamici, per i quali si assume che la rappresentazione in base delle funzioni
v ∈ Hkm (Ω) dipenda da coordinate funzione di t, ovvero [0 , τ ) 3 t 7→ cj (t) ∈ R.
Come esempio di applicazione del metodo consideriamo il problema dinamico
per una trave, descritto dalla equazione (6.108); per il principio dei lavori virtuali
abbiamo:
L
Z L
Z L
EJu00 v 00 =
(q − ρ¨
u)v + (T v − M v 0 ) ;
(B.33)
0
0
0
¯ 2 (0 , L), che denota lo spazio delle funzioni
scegliendo u ∈ H 2 (0 , L) e v ∈ H
H 2 (0 , L) a supporto compatto ovvero che si annullano sulla porzione di frontiera
B.3. METODI APPROSSIMATI
219
C2 dove sono assegnati gli spostamenti, abbiamo che la forma bilineare a(· , ·) ´e
data dalla:
Z L
a(u , v) =
EJu00 v 00 + ρ¨
uv ,
(B.34)
0
mentre la forma lineare l(·) ´e data dalla:
Z
L
qv + (T v − M v )
0
l(v) =
0
.
(B.35)
C1
¯ 2 (0 , L) a dimensione m, rappresentiamo
Scelto un sottospazio Hk2 (0 , L) ⊂ H
gli elementi uk ∈ Hk2 (0 , L) e v ∈ Hk2 (0 , L) mediante delle coordinate dipendenti
da t:
uk (z , t) = cj (t)ej (z) ,
v(z , t) = dj (t)ej (z) ,
j = 1, 2, . . . m ,
abbiamo:
L
Z
a(uk , v)
= dj (ci
l(v)
Z
= dj (
0
EJe00i e00j
Z
L
+ c¨i
ρei ej ) ,
qej + (T ej − M e0j ) ) .
0
L
(B.36)
0
C1
Se definiamo la matrice delle rigidezze e la matrice delle masse generalizzate
come:
Z
Z
L
L
EJe00i e00j ,
[K ]ij =
[M ]ij =
0
ρei ej ,
(B.37)
0
ed i vettori delle azioni generalizzate e delle incognite:
Z L
0 [f ]i =
qej + (T ej − M ej ) , [c ]i = ci (t) ,
0
(B.38)
C1
la (B.36) equivale al problema in dimensione m equivalente alla (5.47):
[M ][¨c ] + [K ][c ] = [f ] .
(B.39)
A differenza del metodo di Gal¨erkin, in questo metodo le funzioni approssimanti devono soddisfare anche le condizioni iniziali:
u(z , 0) = vo (z) ,
u(z
˙ , 0) = wo (z) ;
ed al fine di ottenere la migliore approssimazione eguagliamo il prodotto scalare
delle funzioni approssimanti valutate per t = 0 a quello delle condizioni iniziali:
Z L
Z L
cj (0)ej ei =
vo e i ,
Z
0
L
Z
0
L
c˙j (0)ej ei =
0
w o ei ,
0
220APPENDICE B. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI
da cui il sistema in 2m equazioni per la deteminazione dei coefficienti cj (0) e
c˙j (0), j = 1, 2, . . . m:
Z
L
Mij cj (0) =
vo ei ,
0
Z L
Mij c˙j (0) =
wo ei .
0
Bibliografia
Parte I
Una completa descrizione dei tensori di elasticit´a associati corrispondenti ai vari
gruppi di simmetria, come pure una accurata trattazione dei principi variazionali
misti si trova in:
• M. E. Gurtin - The Linear Theory of Elasticity. Handbook of Physics,
Vol. VIa/2, Springer, 1972.
Per una completa descrizione dei tensori n × m associati alle classi cristallografiche si veda:
• F. Nye - Physical properties of crystals: their representation by tensors
and matrices, Oxford University Press, 1985.
Il metodo delle deformazioni ´e trattato con chiarezza e rigore in
• P. Pozzati - Teoria e Tecnica delle Strutture, UTET, Torino, 1980.
ed a tale proposito, ´e interessante leggere la descrizione del metodo, in parallelo
a quella del metodo delle forze, presentata in:
• O. Belluzzi- Scienza delle Costruzioni, Volume 2. Zanichelli, Bologna,
1978.
Parte II
La dinamica delle strutture ´e oggetto di molti e talvolta ottimi libri. Segnalo
quelli sui quali mi sono formato:
• G. Krall - Meccanica tecnica delle vibrazioni; redatto con la collaborazione
del Prof. Renato Einaudi. Veschi, Roma, 19xx.
• R.W. Clough, J. Penzien - Dynamics of Structures. Computer & Structures Inc., Berkeley, Third Edition, 2003.
Per quanto riguarda la trattazione delle travi e delle piastre di Kirchhoff come
continui con vincoli interni, l’idea originale ´e contenuta in:
221
222
BIBLIOGRAFIA
• P. Podio-Guidugli - An exact derivation of thin plate equation, J. of Elasticity, 22, (1989), 121-131.
successivamente estesa alle piastre anisotrope in:
• M. Lembo - The membranal and flexural equations of thin elastic plates
deduced exactly from three-dimensional theory, Meccanica, 24, (1989), 9397.
ed alle travi ad asse curvilineo in:
• F. Dav´ı - The linear theory of Kirchhoff rods as an exact consequence of
three-dimensional elasticity, J. of Elasticity, 29, (1992), 243-262.
e da altri collaboratori di Podio-Guidugli per varie tipologie di piastre e travi.
Parte III
• J. Lubliner - Plasticity Theory, Dover Books on Engineering. 2008 Paperback Reprint of 1990 Edition,
• R. Hill - The Mathematical Theory of Plasticity, Oxford Classic Texts in
the Physical Sciences, 1998 Paperback Reprint of 1950 Edition.
Parte IV
• S.P. Thimoshenko, G.M. Gere - Theory of Elastic Stability, Dover Civil
and Mechanical Engineering, 2009 Paperback Reprint of 1951 Edition.
• J.M.T. Thompson, G.W. Hunt - A General Theory of Elastic Stability,
Wiley-Interscience Publ., London, 1973.
Parte V
• T.v. K´
arm´
an, M.A. Biot - Metodi Matematici nell’Ingegneria, Manuali
Einaudi - Serie d’Ingegneria, Torino, 1951.

Prova suppletiva liceo di ordinamento

Linea Paola – Cosenza: circolazione rallentata per furto

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Equazioni parametriche: tabella delle condizioni

LABORATORIO DI CHIMICA - editore mannarino new

Schema Regolamento UE 165/2014

Tortengräber: Ein rabenschwarzer Roman

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capitoli 7-9 - Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Università Degli Studi di Genova

Dispense del corso - file unico 3.8Mb

ANATOMIA PATOLOGICA