sfondo bianco - Università degli Studi di Catania

Lezione
PONTI E GRANDI STRUTTURE
Prof. Pier Paolo Rossi
Ing. Eugenio Ferrara
Università degli Studi di Catania
Superfici di influenza
Superfici di influenza
Tutte le superfici di influenza si possono ottenere con opportune derivazioni dalla funzione di influenza della freccia w, calcolata nel punto (x0,y0) in cui si vogliono eseguire le verifiche.
Per esempio :
 2w 2w 
mx D 2  2 
y 
 x
Es3
dove : D 
12 1 2 
  2w 2w 
qx D  2  2 
x  x
y 
( rigidezza flessionale della piastra )
3
Superfici di influenza
Il problema quindi si riconduce al calcolo della deformata w(x,y,) per un carico unitario posto in (x0,y0).
La deformata si ottiene risolvendo l’equazione differenziale del 4° ordine :
4w
4w 4w q
2 2 2  4 
4
x
x y y D
I vari metodi di calcolo delle superfici di influenza si differenziano nel modo di risolvere questa equazione.
4
Superfici di influenza
Tra tutti i metodi si ricorda quello di Pucher che ha fornito le superfici di influenza per piastre rettangolari con diversi rapporti dei lati e diversamente vincolate.
L’utilizzazione pratica delle superfici di influenza è legata al fatto che esse sono le stesse per piastre di dimensioni diverse purché aventi lo stesso rapporto tra i lati.
Una volta in possesso di tabelle o grafici che forniscano le superfici di influenza per ly ly0  lx lx0
una piastra di riferimento di lati e tale che sia lx0 ly0
si dovrà calcolare il rapporto di similitudine :
k  ly ly0  lx lx0
e ridurre in scala il carico. Il carico lineare avrà nella piastra di riferimento la lunghezza s/k mentre il carico ripartito graverà su una superficie ridotta pari a A/k².
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Superfici di influenza
mx
mxy
qx
Proiezione isometrica
di una superficie di influenza del momento
mx
my
ad un estremo ad un estremo
vincolato
libero
qx
ad un estremo
vincolato
tratto da: Pucher (1964), Influence surfaces of elastic Plates, Springer Verlag, Wien, New York.
qy
ad un estremo
libero
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Superfici di influenza
y
y
x
Superficie di influenza del momento flettente my all’appoggio
di una piastra quadrata appoggiata sui lati opposti
x
Superficie di influenza del momento flettente mx al centro
di una piastra quadrata appoggiata sui lati opposti
tratto da: Pucher (1964), Influence surfaces of elastic Plates, Springer Verlag, Wien, New York.
7
Superfici di influenza
Successivamente a Pucher, Homberg e Ropes hanno fornito superfici di influenza per piastre di lunghezza infinita continue su più appoggi e a spessore variabile.
8
Superfici di influenza
x
1.0
1.0
y
x
tratto da: Homberg, H. (1965), Fahrbahnplatten mit Veränderlicher Dicke, Springer Verlag
9
Superfici di influenza
x
1.0
1.0
y
x
tratto da: Homberg, H. (1965), Fahrbahnplatten mit Veränderlicher Dicke, Springer Verlag
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La piastra equivalente di Guyon
Ripartizione trasversale
La piastra equivalente di Guyon
Si consideri un impalcato composto da soletta e da nervature uguali ed ugualmente spaziate.
B = (n+1) λ
λ /2
0
λ
λ
1
λ
2
λ
i
λ
i+1
λ
n‐1
λ/2
n
12
Ripartizione trasversale
La piastra equivalente di Guyon
Tale impalcato si può identificare come un insieme di travi longitudinali caratterizzate da EIl (rigidità flessionale della trave)
Se la luce delle travi λ è piccola rispetto alla larghezza totale B, ha senso definire una rigidità di fascia unitaria di piastra equivalente :
EIl
Dz 
l
La posizione effettuata non risulta rigorosa in merito alla contrazione trasversale. A tal proposito, si ricorda che la rigidità di una piastra isotropa vale :
Es3
Dz 
12  1  2 
Tuttavia, si fa notare che lìnfluenza del coefficiente di Poisson sul parametro di rigidezza Dz e`
alquanto trascurabile nelle opere in conglomerato cementizio armato.
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Ripartizione trasversale
La piastra equivalente di Guyon
Se i traversi sono spaziati regolarmente e sono caratterizzati da una stessa rigidità flessionale EIt
può definirsi una rigidità flessionale equivalente
anche nella direzione trasversale :
EIt
Dx 
t
dove : λt
interasse dei traversi
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Ripartizione trasversale
La piastra equivalente di Guyon
Se si trascura la rigidità torsionale (metodo di Guyon), l’equazione della piastra equivalente è :
 4v
 4v
Dz 4  Dx 4  0
z
x
La mancanza del termine nella derivata mista implica proprio la supposta nullità della rigidezza torsionale.
La mancanza di un carico per unità di superficie al secondo membro deriva dal fatto che sono considerate solo distese di carico lungo linee parallele all’asse longitudinale z.
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Ripartizione trasversale
La piastra equivalente di Guyon
La soluzione del problema matematico è trovata mediante l’introduzione di un coefficiente di amplificazione dello spostamento medio.
Se si suppone di riportare il carico a sull’asse z (e=0), e di consolidare la sezione trasversale, si ricade nel problema della trave: n
EIvmIV   EIlvmIV   n  1  EIlvmIV  a
0
dove:
vm
spostamento medio verticale
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Ripartizione trasversale
La piastra equivalente di Guyon
Per il calcolo di vm
si considera lo sviluppo del carico in serie di Fourier :
a  z    ak cos
k z
  ak cos k 
l
4
a
k
Per a(z)=cost risulta :
ak 
Per k=1, lo spostamento medio è :
z
a1l 4
vm  4 cos
l
 EI
k  1,3,5.......2n  1
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Ripartizione trasversale
La piastra equivalente di Guyon
Passando alla risoluzione dell’equazione della piastra, si pone :
v  z , x   vm  z     x 
dove :
δ(x) coefficiente di amplificazione dello spostamento medio (concettualmente simile al coefficiente α(xi) del metodo di Engesser). L’equazione della piastra diventa :
4
IV
D


D

0
z
x
4
l
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Ripartizione trasversale
La piastra equivalente di Guyon
Ponendo :
4Dz
4


l 4 Dx
l’equazione della piastra equivalente verrà scritta nella forma :
IV  4   0
Essa coincide con quella della trave su suolo elastico, potendo riguardare le fasce trasversali di piastra come travi poggianti su un letto elastico.
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Ripartizione trasversale
La piastra equivalente di Guyon
La soluzione dell’equazione viene fornita da Guyon in funzione del parametro  (parametro di Guyon) :

B Dz
4
2l Dx
che fornisce la misura del comportamento della sezione nei riguardi della deformazione trasversale. Al crescere di l e di Dx la σ tende a zero e si può operare a sezione indeformabile.
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Ripartizione trasversale
La piastra equivalente di Guyon
Nota la soluzione della piastra, si ottengono le caratteristiche della sollecitazione nelle travi longitudinali e nei traversi in base ai legami della linea elastica.
Nella trave longitudinale all’ascissa x=xi :
 2v
Mi  EIl 2  EIl vmII   xi   Mm  xi 
z
 3v
Vi  EIl 3  EIl vmIII   xi   Vm  xi 
z
dove : Mm e Vm
caratteristiche della sollecitazione corrispondenti alla deformazione media
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Ripartizione trasversale
La piastra equivalente di Guyon
Nel generico traverso all’ascissa z=zj :
 2v
Mj  EIl 2  EIl II vm  z j 
x
 3v
Vj  EIl 3  EIl III vm  z j 
x
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Ripartizione trasversale
Coefficiente di amplificazione e coefficiente di ripartizione
Se M e V sono le caratteristiche flesso taglianti dell’impalcato, per ciascuna nervatura si avranno le seguenti caratteristiche della sollecitazione (da pura flessione dellìmpalcato) :
1
Mm 
M
n1
1
Vm 
V
n1
Queste caratteristiche corrispondono all’aliquota di carico:
am 
1
a
n1
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Ripartizione trasversale
Coefficiente di amplificazione e coefficiente di ripartizione
Per ciascuna trave longitudinale si avranno, inoltre, le seguenti caratteristiche della sollecitazione (da flessione e torsione dellìmpalcato):
M
  xi 
Mi 
n1
V
  xi 
Vi 
n1
corrispondenti all’assorbimento dell’aliquota di carico :
a
ai 
  xi 
n1
ed all’abbassamento :
vi  vm  xi 
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Ripartizione trasversale
Coefficiente di amplificazione e coefficiente di ripartizione
Il legame tra coefficiente di amplificazione e coefficiente di ripartizione è :
  xi 
i

 i
n1 n1
Essendo per definizione Στi = 1, dovrà risultare:
 x   
i
i
 n1
Ad eccezione del caso solo nel caso limite di n→∞, questa uguaglianza non è mai rispettata perché si è operato un iniziale frazionamento della struttura in una infinità di strisce e si è poi ritornati agli elementi discreti. Questa condizione rappresenta, tuttavia, un’ottima possibilità di controllo dei risultati. 25
Ripartizione trasversale
Il metodo di Massonnet‐Bareš
Si ha un miglioramento al metodo di Guyon se si considera la rigidità torsionale degli elementi longitudinali e trasversali :
GJl  rigidità torsionale di una trave
GJt  rigidità torsionale di una traverso
Corrispondentemente, si possono definire le rigidità torsionali unitarie :
GJl
Dzx 

GJt
Dxz 
t
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Ripartizione trasversale
Il metodo di Massonnet‐Bareš
L’equazione della piastra si scrive :
 4v
 4v
 4v
Dz 4   Dzx  Dxz  2 2  Dx 4  0
z
z x
x
Per ricondursi all’equazione della piastra isotropa si utilizza la posizione:
Dzx  Dxz  2 DzDx
che definisce il parametro di Massonnet:
Dzx  Dxz

2 DzDx
Questo parametro ha il significato di indice dell’influenza torsionale e varia tra 0 e 1. Se si annulla restituisce il metodo di Guyon.
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Ripartizione trasversale
Il metodo di Massonnet‐Bareš
L’equazione della piastra può quindi scriversi:
 4v
 4v
 4v
Dz 4  2 DzDx 2 2  Dx 4  0
z
z x
x
Se si effettua la sostituzione v  z , x   vm  z     x 
proposta nel metodo di Guyon, si ha :
4
l4
Dz  
2
l2
2 DzDx II  Dx IV  0
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Ripartizione trasversale
Il metodo di Massonnet‐Bareš
Tutte le quantità di interesse per la valutazione delle caratteristiche della sollecitazione sono tabellate da Massonnet‐Bareš in funzione del coefficiente di Guyon (o parametro di rigidezza flessionale) :
B Dz
 4
2l Dx
Tali quantità sono disponibili per per i casi di estremo (0 e 1) del parametro . Al fine di pervenire al valore della grandezza G
corrispondente al desiderato valore di  viene inoltre suggerita un’interpolazione tra i valori di G relativi ai valori di estremo di .
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Ripartizione trasversale
Il metodo di Massonnet‐Bareš
θ = 0.45
K0
K1
e/b
y/b
‐1
‐0.75
‐0.5
‐0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.25
0.5
0.75
1
0.7355
0.073
‐0.5152
‐1.064
‐1.6003
0.8811
0.3495
‐0.1402
‐0.606
‐1.064
1.0194
0.6243
0.238
‐0.1402
‐0.5152
1.1305
0.8902
0.6243
0.3495
0.073
1.1783
1.1305
1.1094
0.8811
0.7355
1.1305
1.3144
1.4148
1.4672
1.5059
1.0194
1.4148
1.7857
2.1063
2.4061
0.811
1.4672
2.1063
2.7741
3.434
0.735
1.506
2.4061
3.434
4.5496
0
0.25
0.5
0.75
1
0.8933
0.7355
0.6142
0.5202
0.4418
0.9458
0.8029
0.6881
0.5969
0.5202
1.0032
0.8804
0.7748
0.6881
0.6142
1.0577
0.9688
0.8804
0.8029
0.7355
1.085
1.0577
1.0032
0.9458
0.8933
1.0577
1.1214
1.1318
1.1152
1.0938
1.0032
1.1318
1.2405
1.3013
1.34
0.9458
1.1152
1.3013
1.4809
1.6291
0.8933
1.0938
1.34
1.6291
1.9476
0.25
0.5
0.75
θ = 0.5
e/b
K0
K1
y/b
‐1
‐0.75
‐0.5
‐0.25
0
1
0
0.25
0.5
0.75
1
0.6203
‐0.0021
‐0.5198
‐0.9828
‐1.4286
0.8288
0.3111
‐0.1466
‐0.5703
‐0.9828
1.0273
0.6223
0.2317
‐0.1466
‐0.5198
1.1877
0.9226
0.6223
0.3111
‐0.0021
1.2575
1.1877
1.0273
0.8288
0.6203
1.1877
1.3721
1.4336
1.425
1.3968
1.0273
1.4336
1.8038
2.0981
2.3613
0.8288
1.425
2.0981
2.8125
3.514
0.6203
1.3968
2.3613
3.514
4.7981
0
0.25
0.5
0.75
1
0.8609
0.6834
0.5516
0.4358
0.3751
0.9276
0.7617
0.6326
0.534
0.4538
1.0028
0.8547
0.7308
0.6326
0.5516
1.0767
0.9642
0.8547
0.7617
0.6834
1.1146
1.0767
1.0028
0.9276
0.8609
1.0767
1.1557
1.1603
1.1293
1.0937
1.0028
1.1603
1.2911
1.3544
1.3876
0.9276
1.1293
1.3544
1.5704
1.7409
0.8609
1.0937
1.3876
1.7409
2.1362
30
Ripartizione trasversale
Limiti del modello a piastra equivalente
La modellazione a piastra secondo Guyon‐Massonnet‐Bareš presenta delle limitazioni :
Ⱶ
Non è applicabile nei casi in cui la soletta è di forma diversa nei campi esaminati
Ⱶ
Non è applicabile nei casi in cui la luce tra i traversi è variabile lungo l’asse longitudinale del ponte
Ⱶ
Non è applicabile a travi a più luci perché viene meno il presupposto in base a cui è calcolato lo spostamento medio Ⱶ
La somma dei coefficienti di ripartizione non dà luogo all’unità
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Principali riferimenti

Aldo Raithel. Ponti a travata. Liguori editore. 1978. ISBN 88-207-0563-X

Richard Bareš, Charles Massonet . Le calcul des grillages de poutres et dalles
orthotropes selon la méthode Guyon Massonet Bareš. Maison d’Edition Technique,
Prague 1966

Hellmut Homberg. Fahrbahnplatten mit veränderlicher Dicke. Springer-Verlag Berlin
Heidelberg GmbH, 1968. ISBN 978-3-662-11726-2

Adolf Pucher. Einflufßfelder elastischer Platten: Influence Surfaces of Elastic Plates.
Springer-Verlag Wien · New York, 1977 ISBN-13: 978-3-7091-7071-7
32
FINE
33

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