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Calcolo Integrale, a.a. 2013-2014

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COMPLEMENTI DI CALCOLO
INTEGRALE
Giovanni Maria Troianiello
25 gennaio 2015
1
RICEVIMENTO NELLO STUDIO 128 DI MATEMATICA IL VENERD`
I ALLE 15
I APPELLO INVERNALE IL 22/1 ALLE 11 IN AULA LA GINESTRA DI CHIMICA
VECCHIA
II APPELLO INVERNALE IL 13/2 ALLE 11 IN AULA LA GINESTRA DI CHIMICA VECCHIA
` CONSULTARE QUALUNQUE MATERIALE
DURANTE LO SCRITTO SI PUO
` ASSOLUTAMENTE VIETATO UTILIZZARE QUALUNCARTACEO, MENTRE E
QUE DISPOSITIVO ELETTRONICO
2
TESTO CONSIGLIATO
[T] R.A.Adams, Calcolo Differenziale 1, Casa Editrice Ambrosiana
RISULTATI DEI COMPITI DELLA PROVA D’ESONERO DEL 24/4 CHE HANNO
OTTENUTO UN VOTO ≥ 8 (TRENTESIMI)
ALLA 13 — ALMANZA 28 — BRAVI 9 —CAMPESE 26 — CAPROLU 19 — CARPI 26 —
CASARANO 14 — CASTELLANI 16 — CODREANU 10 — COLETTA 21 — COLONNA 14 —
COMO 21 — D’ELIA 14 — DE LUCA 25 — D’IGNAZI 10 — DINI 8 — DI PIETRANTONIO
10 — DI VITA 14 — FAGIOLI 9 — FERRANTE 19 — FRANCUCCI 23 — GELFUSA 24 —
GRANESE 10 — GRASSI 10 — GUBINELLI 13 — GUERRAZZI 11 — IANDOLO 21 — LA
BARBERA 21
RISULTATI DEI COMPITI DELLA PROVA D’ESONERO DEL 10/6 CHE HANNO
OTTENUTO UN VOTO ≥ 17 (TRENTESIMI)
ALMANZA 30 — CAMPESE 30 — CAPROLU 17 — CARPI 26 — COLETTA 22 — COLONNA
22 — COMO 30 — D’ELIA 17 — DE LUCA 29 — DINI 18 — FERRANTE 21 — FRANCUCCI
26 — GELFUSA 23 — GRASSI 22 — IANDOLO 18 — LA BARBERA 23
MEDIE DEI RISULTATI DEI DUE ESONERI
ALMANZA 29 — CAMPESE 28 — CARPI 26 — COLETTA 22 — COLONNA 18 — COMO 26
— DE LUCA 27 — FERRANTE 20 — FRANCUCCI 25 — GELFUSA 24 — IANDOLO 20 —
LA BARBERA 22
RISULTATI DEI COMPITI DEL I APPELLO ESTIVO CHE HANNO OTTENUTO
UN VOTO ≥ 17 (TRENTESIMI)
CAPOGROSSO 23 — COLETTA 29 — COLONNA 20 —DEI GIUDICI 23 — D’ELIA 23 —
DEMURU 23 — DI FAZIO 23 — DINI 18 — FAGIOLI 18 — GATTUSO 24 — GRASSI 18 —
IANDOLO 18
RISULTATI DEI COMPITI DEL II APPELLO ESTIVO CHE HANNO OTTENUTO
UN VOTO ≥ 17 (TRENTESIMI)
CASARANO 18 — DI PIETRANTONIO 18 — GADDINI 22 — IANDOLO 18 — LEPORE 18
RISULTATI DEI COMPITI DELL’11/9 CHE HANNO OTTENUTO UN VOTO ≥ 17
(TRENTESIMI)
BRUNI 17 — CASSARO 18 — COSSU 26 — DI PIETRANTONIO 21 — FERRARI 24 —
GADDINI 17 — GUBINELLI 24 — IANDOLO 18 — LAURENTI 26 — LEPORE 25
3
HANNO SUPERATO LO SCRITTO DELL’APPELLO STRAORDINARIO PER I
FUORI CORSO:
DANIEL E GIORDANO, ENTRAMBI CON VOTO 18
RISULTATI DEI COMPITI DEL 22/1/15 CHE HANNO OTTENUTO UN VOTO
≥ 17 (TRENTESIMI)
BRUNI 20 — LAURENTI 18 — LINETTI 17
Luned`ı dalle 11:15 alle 12:40, nell’Aula La Ginestra di Chimica, si potranno visionare i compiti
corretti e verbalizzare gli esami di Bruni con 20 e di Laurenti con 18, nonch´e quello di Linetti con
18 se risponder`
a a qualche domanda orale.
4
Correzione del compito del 22/1/15
Esercizio 1 Verificare se l’integrale improprio
Z π √
sin x
dx
log(1 + x)
0
converge oppure no.
Risposta Criterio asintotico: √
siccome per x → 0 sia sin x che log(1 + x) sono infinitesimi dello
√
stesso ordine di x, il rapporto sin x/ log(1 + x) `e infinitesimo dello stesso ordine di x, che da 0
a π ha integrale improprio convergente.
Esercizio 2 Determinare se la serie
∞
X
nn
π n n!
n=1
converge oppure no.
Risposta Converge per il criterio del rapporto:
(n + 1)n+1 π n n!
=
π n+1 (n + 1)! nn
n+1
n
n
1
e
→ < 1.
π
π
Esercizio 3 Determinare gli insiemi di convergenza semplice o assoluta della serie di potenze
∞
X
(−1)n
n=0
(x − 1)n
.
n3/8
Risposta Ci si riconduce alla serie di potenze
∞
X
(−1)n
n=0
yn
,
n3/8
y =x−1:
dunque convergenza assoluta in ]0, 2[ e semplice per x = 2 (criterio di Leibniz), mentre per x = 0
la serie diverge.
Esercizio 4 Calcolare l’integrale indefinito
Z
dx
.
+ x1/4 )
x1/2 (1
Risposta Sostituzione y = x1/4 , ovvero x = y 4 da cui dx = 4y 3 e quindi
Z
Z
Z
Z dx
y3
y
1
=4
dy 1/4 = 4
dy 1/4 = 4
1−
dy 1/4
y 2 (1 + y)
1+y
1+y
y=x
y=x
y=x
x1/2 (1 + x1/4 )
5
= 4x1/4 − 4 log(1 + x1/4 ) + K.
Esercizio 5 Risolvere l’equazione differenziale
y0 =
(1 + t2 )(1 − y 2 )
.
ty
Risposta Dividendo per t(1 − y 2 ) 6= 0 e separando le variabili si trova l’integrale generale definito
implicitamente da
t2 + log t2 + log |1 − y 2 | = K
ovvero
y2 = 1 +
C
t2 et2
.
In questa espressione si ritrovano anche le due soluzioni costanti y = ±1 che in partenza non erano
state prese in considerazione.
6
Lezioni
6/3/14 (2 ore) Primitive (o antiderivate) e integrali indefiniti immediati (o quasi) [T, Sez.2.10]
Compito: Calcolare gli integrali indefiniti
Z
Z
Z
Z
Z
Z
6(x − 1)
1 + cos3 x
2
2
12
dx,
dx,
(A+Bx+Cx ) dx,
x dx,
x dx,
(x+cos x) dx,
2
cos x
x4/3
Z
Z
Z
Z
Z
tan(1 − x)
2x
4
2
4
6
√
105 (1 + t + t + t ) dt,
sin(x/2) dx,
dx,
dx, √
dx,
cos(1 − x)
x+1
1 + x2
√
Z
Z
Z
Z
Z
x
3e
3
√ dx.
sin x cos x dx,
sin2 x dx 1 , tan(2x) dx,
8x2 ex dx,
x
10/3/14 (3 ore) Metodo di sostituzione [T, Sez.5.6]
Compito: Calcolare gli integrali indefiniti
Z
Z
Z
Z
Z
dx
log u
x+1
x2
3
√
√
x2 2x +1 dx,
,
du,
dx,
dx,
u
2 + x6
x2 + 2x + 3
cos2 1 − tan2 x
Z
Z
Z
Z
x+1
dx
(sin3 log x)(cos3 log x)
dx
√
√
,
dx,
dx,
dx,
ex + e−x
x
1 − x2
4 + 2x − x2
Z
Z
Z
dx
dx
dx
√
,
.
,
2/3
1/2
x+1
x +1
x + x5/6
13/3/14 (2 ore) Integrazione per parti [T, Sez.6.1]
Compito: Calcolare gli integrali indefiniti
Z
Z
Z
2x
2
kx
(x + 3)e dx,
(x − 2x)e dx,
x(log x)3 dx,
Z
tan2 x
dx 2 ,
cos x
Z
2
Z
x arctan x dx,
x
dx,
cos2 x
Z
2
√
Z
xe
x
Z
dx,
Z
x log x dx,
x
√
p
1 − x2 arcsin x dx,
Z
x log x dx,
2
x5 e−x dx.
17/3/14 (3 ore) Aree come limite di somme; definizione dell’integrale di Riemann [T, Sezz.5.2-5.3]
Compito:
(1) Sia f (x) = x e sia Pn la partizione di [0, 2] in sottointervalli di ampiezza 2/n.
(i) Scrivere le somme di Riemann L(Pn , f ) e U (Pn , f ) prima per n = 8 e poi per n qualunque.
(ii) Dato ε = 10−7 , trovare per quali valori di n si ha U (Pn , f ) − L(Pn , f ) < ε.
(iii) Far vedere, ricorrendo alle partizioni Pn , che
Z 2
x dx = 2.
0
(2) Un’importante famiglia di funzioni continue f (x) sono le funzioni Lipschitziane in un intervallo
I, cio`e tali che per un’opportuna costante K > 0 valgano le disuguaglianze
|f (x0 ) − f (x00 )| ≤ |x0 − x00 | per x0 , x00 ∈ I.
1
2
Tener conto, oltre che dell’identit`
a cos2 α + sin2 α = 1, anche della formula di prostaferesi cos 2α = cos2 α − sin2 α.
Il calcolo di questo integrale per parti si trova svolto in una delle pagine immediatamente precedenti...
7
(i) Far vedere che, se I = [a, b], quando esiste ed `e continua f 0 (x), x ∈ [a, b], la f (x) `e
Lipschitziana. [Suggerimento: Prendere K = max[a,b] |f 0 (x)|.]
(ii) Nelle ipotesi di (i) far vedere che, data comunque una partizione P = {x0 = a < x1 < · · · <
xn = b}, si ha
n
X
U (P, f ) − L(P, f ) ≤ K
(∆xi )2 ≤ kP k(b − a)
i=1
(dove ∆xi = xi−1 − xi e kP k = maxi=1,...n ∆xi ), e quindi f `e integrabile secondo Riemann su [a, b].
20/3/14 (2 ore) Propriet`
a dell’integrale definito [T, Sez.5.4]
Compito:
(1) Esprimere come integrali definiti le aree delle seguenti figure:
(i) Parallelogramma compreso tra le rette y = x, y = x + 1, x = 0, x = 2;
(ii) Quadrato compreso tra le rette y = x − 1, y = x + 1, y = −x − 1, y = −x + 1;
(iii) Trapezio compreso tra le rette y = −x + 2, y = −1, x = 0, x = 1;
(iv) Intersezione del semipiano y ≤ 0 col cerchio di centro l’origine e raggio 2.
(2) Calcolare come aree i seguenti integrali definiti:
Z 1
Z 2p
(1 − |x|) dx,
4 − x2 dx.
−1
0
24/3/14 (3 ore) Teorema fondamentale del Calcolo [T, Sez.5.5]
Compito (leggermente modificato, rispetto alla stesura iniziale, dopo la correzione fatta in classe):
(1) Calcolare l’area della superficie limitata compresa tra i grafici delle funzioni y = −|x| + 1 e
y = x2 .
(2) Calcolare gli integrali definiti
Z 1
Z 2
Z 3π/2
p
√
2
max{ 1 − x , x} dx,
max{ 2 cos(πx/4), x} dx,
| sin ϑ| dϑ.
0
0
0
(3) Calcolare il
Z
1
lim
log s ds.
x→0+
x
(4) Derivare rispetto ad x le funzioni
Z x2
sin u
2
x
du,
u
0
Z
cos x
sin x
1
dϑ.
1 − ϑ2
27/3/14 (2 ore) Correzione di esercizi.
Compito (leggermente modificato, rispetto alla stesura iniziale, dopo la correzione fatta in classe):
(1) Calcolare l’area della superficie limitata compresa tra i grafici delle funzioni y = 2x2 e y = x2 +1.
(2) Calcolare gli integrali
Z π/2
Z 2
Z
Z
√
x2
x5 + 6
2
3
min{x , 2 cos(πx/4)} dx,
|x − x| dx,
dx,
dx.
x−4
x2 + 2x + 3
0
−2
(3) Calcolare gli integrali
Z
2
b
1
dx,
x log x
Z
2
b
1
dx
x(log x)2
8
per b ∈]1, ∞[
e poi far tendere b all’∞.
31/3/14 (3 ore) Integrali delle funzioni razionali [T, Sez.6.3]
Compito: Calcolare gli integrali indefiniti
Z
Z
Z
Z
Z
Z
dx
dx
x
dx
x
x3 + 1
,
,
dx,
,
dx,
dx,
5 − x2
b2 − a2 x2
3x2 + 8x − 3
x3 + 9x
2 + 6x + 9x2
12 + 7x + x2
Z
Z 2
Z
Z
Z
Z
dx
x +1
dx
x2
x2
dx
,
,
dx,
,
dx,
dx.
x4 − a4
x3 + 2x2 + 2x
x3 + 8
(x2 − 1)2
(x2 − 1)(x2 − 4)
(x2 − x + 1)2
3/4/14 (2 ore) Correzione di esercizi.
Compito: Calcolare i seguenti limiti:
Z
lim
a→1+
a
2
Z
1
dx,
x log x
lim
b→∞ 1
b
1
dx,
2
x +1
Z
lim
c→a−
0
7/4/14 (3 ore) Integrali impropri [T, Sez.6.5]
Compito: Calcolare i seguenti integrali impropri:
Z ∞
Z ∞
x
x
dx,
dx,
2
1
+
2x
1
+
x4
−∞
0
Z
1
0
dx
√
,
x 1−x
Z
0
π/2
c
dx
,
2
a − x2
Z
3
1/2
Z
lim
b→∞ 0
dx
,
(2x − 1)2/3
cos x
dx,
(1 − sin x)2/3
Z
b
xe
Z
−x
∞
Z
dx,
b
lim
b→∞ 0
dx
√ .
1+ x
e−|x| dx,
−∞
π/2
tan x dx.
0
10/4/14 (2 ore) Determinazione della convergenza o divergenza degli integrali impropri
NB Nello svolgimento dell’Es.20, p.363 del testo, che ho presentato in classe c’era un errore. Ecco
lo svolgimento corretto:
∞
Z b
x
x
dx + lim
dx
4
b→∞ 0 1 + x4
−∞
a 1+x
0
b 1 h
i
1
π π
2 2 =
lim arctan(x ) + lim arctan(x ) =
0 − + − 0 = 0.
b→∞
2 a→−∞
2
2
2
a
0
Z
x
dx = lim
a→−∞
1 + x4
Z
0
Compito: Determinare la convergenza o divergenza dei seguenti integrali impropri:
Z ∞
Z 1
Z ∞
Z 0
Z ∞ √
x2
ex
x x
−x3
−x3
dx,
dx,
e
dx,
dx,
e
dx,
5
x +1
x2 − 1
0
−1 x + 1
0
−∞
2
Z
0
∞
dx
.
xex
Svolgimento:
Il compito non richiede di calcolare gli integrali impropri in questione, ma solo di determinare se
convergono o divergono, facendo uso di opportune maggiorazioni o minorazioni degli integrandi nel
senso del Teorema 3 a p.362 di [T]. Dunque:
il primo integrale improprio converge perch´e l’integrando `e una funzione ≥ 0 continua in [0, ∞[,
dunque tranquillamente integrabile secondo Riemann in ogni intervallo limitato come ad esempio
[0, 1], mentre su [1, ∞[ `e maggiorato dalla funzione x−3 che ha integrale improprio convergente;
9
il secondo integrale improprio diverge perch´e l’integrando `e una funzione continua in ] − 1, 1]
che verifica la minorazione
ex
e−1
≥
,
x+1
x+1
con
Z 1 −1
1
e
dx = lim e−1 log(x + 1) c = ∞;
c→−1
−1 x + 1
il terzo integrale improprio converge perch´e l’integrando `e una funzione ≥ 0 continua in [0, ∞[,
dunque tranquillamente integrabile secondo Riemann in [0, 1], mentre su [1, ∞[ `e maggiorato dalla
funzione e−x che ha integrale improprio convergente;
il quarto integrale improprio diverge perch´e l’integrando `e una funzione continua in ] − ∞, 0]
minorata dalla costante 1, che ovviamente ha integrale improprio divergente;
il quinto integrale improprio diverge perch´e l’integrando `e una funzione continua in [2, −∞[
√
minorata dalla funzione x x/x2 = x−1/2 , che ha integrale improprio divergente;
l’ultimo integrale improprio diverge perch´e l’integrando `e una funzione continua in ]0, −∞[ che
su [1, ∞[ ha integrale improprio convergente perch´e `e maggiorata dalla funzione e−x , il cui integrale
improprio converge, mentre su ]0, 1] `e minorata dalla funzione 1/(ex) che ha integrale improprio
divergente.
28/4/14 (3 ore) Successioni [T, Sez.9.1]
Compito: Determinare quali dei seguenti limiti esistono, e calcolarli:
log n
(−1)n n
n−1 n
π
2
lim
, lim
, lim
, lim n sin , lim n cot ,
n
n→∞ n
n→∞
n→∞ n + 1
n→∞
n→∞
e
n
n
lim
n→∞
1 + sin
e n
,
n
sin(2n + 3) π2
,
n→∞ sin(2n + 1) π
2
1 − cos(1/n)
,
n→∞ log(1 + 1/n2 )
lim
sin nπ
2
,
n→∞ sin(2n + 1) π
2
lim
p
p
lim ( n2 + n− n2 − 15),
lim
n→∞
n2 2n
.
n!
5/5/14 (3 ore) Correzione di esercizi.
8/5/14 (2 ore) Serie numeriche; criteri di convergenza/divergenza (integrale e del confronto) [T,
Sezz.9.2–3]
Compito:
(1) Calcolare le somme delle seguenti serie:
∞ X
1 n−1
−
,
4
n=1
∞
X
n=13
∞
X
1
,
en
5
,
103n
∞
X
3 + 22
n=0
n=0
3n+2
,
∞
X
n/2
3
,
n=0
∞
X
n=1
1
,
n(n + 2)
∞
X
n=1
n
.
n+2
(2) Determinare la convergenza o divergenza delle seguenti serie:
∞
X
n=1
1
,
n2 + 1
∞
X
∞
X
n=1
n
,
n4 − 2
1
3 ,
log
n
n=2
∞
X
n=2
∞
X
∞
X
n2 + 1
n=1
n3 + 1
1
,
log(3n)
,
∞
X
n=2
∞
X
n=1
√
n
,
n2 + n + 1
1
,
π n − nπ
1
,
1/2
n
log
n(log
log
n)
n=2
∞
X
n=1
10
∞ X
1
sin ,
2
n n=1
∞
X
1 + n4/3
∞
X
1+n
n=1
n=2
1+
(−1)n
n4
,
,
5/3
∞
X
∞
X
n=1
1
sin ,
n
2
∞ X
1
sin √ ,
n
n=1
1
,
n log n(log log n)2
1 + (−1)n
.
1/4
n
n=1
12/5/14 (3 ore) Correzione di esercizi.
15/5/14 (2 ore) Criteri di convergenza del rapporto e della radice; convergenza assoluta. [T,
Sezz.9.3–4]
Compito: Determinare la convergenza o divergenza delle seguenti serie:
∞
X
n4
n=1
n!
,
∞
X
n!
,
en
n=1
∞
X
(2n)!6n
n=1
(3n)!
,
∞
X
n100 2n
√
,
n!
n=1
∞
X
(−1)n (n2 − 1)
n2 + 1
n=1
,
∞
X
(2n)!
n=1
∞
X
(−2)n
n!
n=1
,
(n!)3
,
∞
X
1 + n!
,
(1 + n)!
n=1
∞
X
nn
,
π n n!
n=1
∞
X
−n
.
2
n +1
n=1
19/5/14 (3 ore) Serie a termini di segno alterno. [T, Sez.9.4]
Compito:
(1) Determinare la convergenza assoluta o semplice delle seguenti serie:
∞
X
100 cos nπ
2n + 3
n=0
,
∞
X
sin((n + 1/2)π)
log log n
n=2
.
(2) Determinare per quali valori di x ciascuna delle seguenti serie converge assolutamente o solo
semplicemente:
∞
∞
∞
n
X
X
X
xn
(x − 2)n
n (x − 1)
√
(−1)
,
,
,
n2 22n
2n + 3
n+1
n=0
n=1
n=0
∞
∞
∞
X
X
X
1
3x + 2 n
xn
(4x + 1)n
,
,
.
2n − 1
−5
2n log n
n3
n=1
n=2
n=1
22/5/14 (2 ore) Raggio di convergenza delle serie di potenze. [T, Sez.9.5]
Compito:
(1) Determinare gli insiemi di convergenza semplice o assoluta delle serie di potenze
∞
∞
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
X
1 x+2 n
x2n
1 + 5 n n X en
n
3
n
√
,
,
x ,
(4−x) ,
n (2x−3) ,
3n(x+1)n .
n
2
n!
n3
n+1
n=0
n=1
n=1
n=1
n=0
n=0
(2) Partendo dallo sviluppo in serie di potenze di x
1
= 1 + x + x2 + x3 + · · ·
1−x
per |x| < 1
sviluppare 1/(2 − x) e 1/(1 + 2x) in serie di potenze di x, e 1/x in serie di potenze di x − 1.
26/5/14 (3 ore) Serie di Taylor e Maclaurin. [T, Sez.9.6]
Compito:
(1) Utilizzando per il seno e il coseno le formule di Maclaurin con resto di Lagrange viste nel corso
di Calcolo Differenziale, e procedendo come si `e visto a lezione per ex , scrivere i loro sviluppi in
serie di Maclaurin.
(2) Scrivere le serie di Maclaurin delle funzioni
cos 2x,
x
cos ,
2
2
2
2
arctan 5x ,
11
e2x − 1
,
x2
log(2 + x2 ).
29/5/14 (2 ore) Correzione di esercizi e primi cenni sulle equadiff. [T, Sez.2.10]
Compito:
(1) Risolvere i seguenti problemi di Cauchy nell’incognita y = y(x):
y 0 = x−2 − x−3 ,
y(−1) = 0,
y 0 = x1/3 ,
y(0) = 5,
0
y(1) = −4,
y =x
−9/7
,
0
y = sin 2x, y(π/2) = 1,
1
y0 =
, y(π) = 1.
cos2 x
(2) Tenendo conto che le soluzioni dell’equazione algebrica x2 + x − 2 = 0 sono −2 e 1, verificare
che entrambe le funzioni e−2t , et soddisfano l’equazione
y 00 + y 0 − 2y = 0
e trovare l’unica loro combinazione lineare che soddisfa le condizioni di Cauchy
y 0 (0) = 0.
y(0) = 1,
(3) Tenendo conto che l’equazione algebrica x2 +6x+9 = 0 ammette la soluzione −3 con molteplicit`
a
−3t
−3t
doppia, verificare che entrambe le funzioni e , te
soddisfano l’equazione
y 00 + 6y 0 + 9y = 0
e trovare l’unica loro combinazione lineare che soddisfa le condizioni di Cauchy
y 0 (0) = 1.
y(0) = 0,
(4) Verificare che entrambe le funzioni e−t cos t, e−t sin t soddisfano l’equazione
y 00 + 2y 0 + 2y = 0
e trovare l’unica loro combinazione lineare che soddisfa le condizioni di Cauchy
y 0 (0) = −7.
y(0) = 0,
5/6/14 (2 ore) Equadiff separabili e equadiff lineari del I ordine. [T, Sez.7.9] Equadiff lineari del
II ordine a coefficienti costanti. [T, Sez.3.7]
Compito:
(1) Trovare la totalit`
a delle soluzioni delle seguenti equazioni:
3y − 1
, y 0 = x2 y 2 , x0 = ex sin t,
x
(2) Risolvere i seguenti problemi di Cauchy:
y0 =
y0 +
y0 = 1 + y2,
2y
1
= 2,
x
x
y(0) =
y 0 + y = ex ,
√
3,
π
y 0 = x sin2 y, y(0) = ,
4
0
2
2
y + 3x y = x , y(0) = 1,
y 0 + y cos x = 2xe− sin x ,
y(π) = 0.
(3) Trovare la totalit`
a delle soluzioni delle seguenti equazioni:
y 00 − 2y 0 − 3y = 0,
9y 00 + 6y 0 + y = 0,
12
y 00 + 2y = 0.
y 0 + 2ex y = ex .
Correzione del compito 1 del 24/4/14
1 Cercare le primitive della funzione
1
√ .
x(1 − x)
Risposta Le primitive sono date dall’integrale indefinito
Z
Z Z
√
√
dx
1
y
1
√ =2
dy √ = 2 log x − 2 log |1 − x| + C,
dy √ = 2
+
2
y (1 − y)
y 1−y
x(1 − x)
y= x
y= x
dove la prima identit`
a `e un’integrazione per sostituzione e la seconda si ottiene col metodo dei
coefficienti indeterminati.
Commento In alcuni compiti si `e sbagliato il segno nel calcolo dell’integrale di 1/(1 − y).
L’integrazione per sostituzione prendendo come nuova variabile un’opportuna radice di x `e
quella applicata ad esempio nello svolgimento di vari esercizi del compito del 10/3.
2 Calcolare l’integrale indefinito
Z
F (x) =
1−x
dx.
x2 − x + 1
Risposta
1
F (x) = −
2
2x − 1
1
dx +
2
x −x+1
2
Z
Z
x2
dx
.
−x+1
Il primo addendo vale
1
− log(x2 − x + 1) + C.
2
Il secondo addendo si calcola col completamento del quadrato seguito dalla sostituzione y =
1/2), per cui
1
2
√2 dx
3
Z
√2 (x −
3
= dy, e quindi vale
dx
(x − 12 )2 +
1
=√
3
Z
3
4
1
=
2
Z
dx
3
4
h
i2
√2 (x − 1 )
+1
2
3
2
=
3
Z
dx
h
√2 (x
3
−
1
2)
i2
+1
dy 1
2
√
√
=
arctan
(x
−
1/2)
+ C.
y 2 + 1 y= √23 (x−1/2)
3
3
Commento Le tecniche di svolgimento di questo esercizio sono le stesse applicate ad esempio nello
svolgimento di vari esercizi del compito del 31/3.
3 Calcolare l’integrale definito
Z
1
min{−|x| + 1, x2 } dx.
−1
13
Risposta Siccome l’integrando `e una funzione pari, basta calcolare il suo integrale da 0 a 1 e poi
moltiplicarlo per 2. Ora:
Z 1
Z c
Z 1
2
2
(−x + 1) dx,
x dx +
min{−|x| + 1, x } dx =
0
0
c
dove c = ascissa dell’intersezione tra il grafico di −x + 1 e quello√di x2 nel semipiano delle x > 0 `e
la soluzione positiva dell’equazione x2 = −x + 1 e quindi vale ( 5 − 1)/2. Ne segue che il valore
dell’integrale richiesto nell’esercizio `e il doppio di
√
√
√
2
x
( 5 − 1)2
x3 c
5−1
1 ( 5 − 1)3 1
− +1+
−
+ − +x =
3 0
2
24
2
8
2
c
e qui, come ho pi`
u volte detto durante il compito, ci si pu`o fermare.
Commento Il 24/3 `e stato assegnato per casa il calcolo di integrali definiti dei massimi tra coppie
di funzioni e il 27/3 `e stato assegnato per casa il calcolo di un integrale definito del minimo tra due
funzioni.
L’ascissa dell’intersezione
tra il grafico di −|x| + 1 e quello di x2 nel semipiano delle x < 0 `e
√
l’opposto di ( 5 − 1)/2, non la soluzione negativa dell’equazione x2 = −x + 1 come molti hanno
scritto.
4 Verificare se l’integrale improprio
π/5
Z
0
sin x
dx
x7/4
converge oppure no.
Risposta Converge, perch´e l’integrando (che `e ≥ 0) si maggiora con x−3/4 , che da 0 a π/5 ha
integrale improprio convergente.
Commento L’importantissima disuguaglianza
sin x
≤1
x
per x 6= 0
che qui si utilizza `e stata enfatizzata nelle ultime due lezioni, e con particolare insistenza nell’ultima
(in previsione di questo esercizio che sarebbe stato assegnato nella prova d’esonero...)
Naturalmente, qui non era richiesto — n´e era possibile! — trovare le primitive dell’integrando,
come invece qualcuno ha provato a fare (e in certi casi ha pure creduto o fatto finta di credere di
esserci riuscito).
5 Scrivere l’espressione della derivata della funzione
Z 1/√x
2
3
F (x) = x
e−y dy,
x > 0.
1/x
Risposta
0
2
Z
√
1/ x
F (x) = 3x
−y 2
e
dy + x
3
1/x
14
1 −3/2 −1/x
−2 −1/x2
− x
e
+x e
.
2
Commento La regola che si applica `e quella esposta nell’Esempio 7 di [T,Sez.5.5]: cfr. l’Es. (4)
del compito assegnato il 24/3.
Naturalmente, qui non era richiesto — n´e era possibile! — trovare le primitive dell’integrando,
come invece qualcuno ha provato a fare (e in certi casi ha pure creduto o fatto finta di credere di
esserci riuscito).
15
Correzione del compito 2 del 24/4/14
1 Cercare le primitive della funzione
√
1
.
x(1 − x)
Risposta Le primitive sono date dall’integrale indefinito
Z
Z Z
1 1
y
dx
1 1
√
=2
dy √
dy √ = 2
+
y(1 − y 2 )
21−y 21+y
x(1 − x)
y= x
y= x
√
√
= − log |1 − x| + log(1 + x) + C,
dove la prima identit`
a `e un’integrazione per sostituzione e la seconda si ottiene col metodo dei
coefficienti indeterminati.
Commento In alcuni compiti si `e sbagliato il segno nel calcolo dell’integrale di 1/(1 − y).
L’integrazione per sostituzione prendendo come nuova variabile un’opportuna radice di x `e
quella applicata ad esempio nello svolgimento di vari esercizi del compito del 10/3.
2 Calcolare l’integrale indefinito
Z
F (x) =
x2
x+1
dx.
+ x + 1/2
Risposta
1
F (x) =
2
Z
2x + 1
1
dx +
2
x + x + 1/2
2
Z
x2
dx
.
+ x + 1/2
Il primo addendo vale
1
log(x2 + x + 1/2) + C.
2
Il secondo addendo si calcola col completamento del quadrato seguito dalla sostituzione y = 2(x +
1/2), per cui 2dx = dy, e quindi vale
Z
Z
Z
dx
1
dx
1
dx
=
=2
1
2
2
2
(x + 1/2) + 1/4
2
[2(x + 1/2)]2 + 1
4 {[2(x + 1/2)] + 1}
Z
dy =
= arctan[2(x + 1/2)] + C.
y 2 + 1 y=2(x+1/2)
Commento Le tecniche di svolgimento di questo esercizio sono le stesse applicate ad esempio nello
svolgimento di vari esercizi del compito del 31/3.
3 Calcolare l’integrale definito
Z
1
min{−x2 + 1, |x|} dx.
−1
16
Risposta Siccome l’integrando `e una funzione pari, basta calcolare il suo integrale da 0 a 1 e poi
moltiplicarlo per 2. Ora:
Z 1
Z c
Z 1
2
(−x2 + 1) dx,
x dx +
min{−x + 1, |x|} dx =
0
0
c
dove c = ascissa dell’intersezione tra il grafico di −x2 + 1 e quello
√ di x nel semipiano delle x > 0 `e
la soluzione positiva dell’equazione −x2 + 1 = x e quindi vale ( 5 − 1)/2. Ne segue che il valore
dell’integrale richiesto nell’esercizio `e il doppio di
√
√
√
3
x
x2 c
( 5 − 1)3
5−1
1 ( 5 − 1)2 1
− +1+
−
+ − +x =
2 0
3
8
3
24
2
c
e qui, come ho pi`
u volte detto durante il compito, ci si pu`o fermare.
Commento Il 24/3 `e stato assegnato per casa il calcolo di integrali definiti dei massimi tra coppie
di funzioni e il 27/3 `e stato assegnato per casa il calcolo di un integrale definito del minimo tra due
funzioni.
L’ascissa dell’intersezione
tra il grafico di |x| e quello di −x2 + 1 nel semipiano delle x < 0 `e
√
l’opposto di ( 5 − 1)/2, non la soluzione negativa dell’equazione dell’equazione −x2 + 1 = x come
molti hanno scritto.
4 Verificare se l’integrale improprio
Z
π/7
0
sin x
dx
x5/4
converge oppure no.
Risposta Converge, perch´e l’integrando (che `e ≥ 0) si maggiora con x−1/4 , che da 0 a π/7 ha
integrale improprio convergente.
Commento L’importantissima disuguaglianza
sin x
≤1
x
per x 6= 0
che qui si utilizza `e stata enfatizzata nelle ultime due lezioni, e con particolare insistenza nell’ultima
(in previsione di questo esercizio che sarebbe stato assegnato nella prova d’esonero...)
Naturalmente, qui non era richiesto — n´e era possibile! — trovare le primitive dell’integrando,
come invece qualcuno ha provato a fare (e in certi casi ha pure creduto o fatto finta di credere di
esserci riuscito).
5 Scrivere l’espressione della derivata della funzione
Z 1/x
3
4
F (x) = x
e−y dx.
x2
Risposta
F 0 (x) = 4x3
Z
1/x
i
h
3
3
6
e−y dx + x4 −x−2 e−1/x − 2xe−x .
x2
17
Commento La regola che si applica `e quella esposta nell’Esempio 7 di [T,Sez.5.5]: cfr. l’Es. (4)
del compito assegnato il 24/3.
Naturalmente, qui non era richiesto — n´e era possibile! — trovare le primitive dell’integrando,
come invece qualcuno ha provato a fare (e in certi casi ha pure creduto o fatto finta di credere di
esserci riuscito).
18
Correzione del compito del 2/7/14
1 Calcolare l’integrale indefinito
Z
F (x) =
x2
x
dx.
+ 2x + 3/2
Risposta
1
F (x) =
2
Z
2x + 2
dx −
2
x + 2x + 3/2
Z
x2
dx
.
+ 2x + 3/2
Il primo addendo vale
1
log(x2 + 2x + 3/2) + C
2
(e questo l’hanno visto praticamente tutti).
Il secondo integrale si calcola col completamento del
√
dy
quadrato seguito dalla sostituzione y = 2(x + 1) =⇒ dx = √
, e quindi vale
2
√
√ Z
√
dx
dy =
=
2
2
arctan[
2(x + 1)] + C
√
1
2(x + 1)2 + 1
y 2 + 1 y= 2(x+1)
2
√
(ma qui si sono spesso fatti pasticci tra 2 e 2, a denominatore o a numeratore...) Dunque
Z
dx
(x + 1)2 +
Z
=2
F (x) =
√
√
1
log(x2 + 2x + 3/2) − 2 arctan[ 2(x + 1)] + C.
2
2 Verificare se l’integrale improprio
Z
I=
2
∞
cos2 x
dx
x(log x)3/2
converge oppure no.
Risposta Difficile immaginare un’applicazione del criterio del confronto (certamente senza farsi
venire in mente di calcolare le primitive dell’integrando, come hanno provato a fare alcuni dei
pochissimi che hanno messo mano all’esercizio) pi`
u semplice di questa. Siccome 0 ≤ cos2 x ≤ 1 (!)
l’integrando `e maggiorato da
1
,
x(log x)3/2
che ha integrale improprio da 2 a ∞ convergente, perch´e (come si constata gi`a a occhio, e senn`
o
ricorrendo banalmente alla sostituzione y = log x)
Z ∞
∞
1
1
1
dx = −2
,
=2
3/2
1/2
2
x(log x)
(log x)
(log 2)1/2
2
e quindi anche I converge.
3 Calcolare il
log(1 + 1/n2 )
.
n→∞ tan(5/n2 )
lim
19
Risposta Si `e visto e rivisto che log(1 + 1/n2 ) ≈ 1/n2 per n → ∞ (nel senso che per x → 0
risulta [log(1 + x)]/x → 1, non, come invece `e stato scritto, log(1 + x) → x!). Analogamente
tan(5/n2 ) ≈ sin(5/n2 ) ≈ 5/n2 per n → ∞. Dunque
log(1 + 1/n2 )
log(1 + 1/n2 )
1/n2
1
⇐⇒
lim
≈
= .
2
2
2
n→∞
tan(5/n )
5/n
tan(5/n )
5
Questo lo si vede anche applicando l’Hospital purch´e preliminarmente si passi dalle successioni di
parametro discreto n a funzioni di variabile continua x, non andando a “derivare rispetto ad n” (!)
come moltissimi hanno fatto.
4 Determinare se la serie
∞
X
2n (n!)2
n=0
(2n)!
converge oppure no.
Risposta Converge: il rapporto tra un termine e quello che lo precede tende a 1/2.
5 Risolvere l’equazione differenziale
y0 =
y
+ log t.
t
Risposta L’equazione del testo richiede automaticamente t > 0, per cui in tutto lo svolgimento
non va scritto |t| ma solo t. La soluzione generale dell’omogenea y00 = y0 /t `e y0 (t) = Kt, per cui
cerchiamo le soluzioni dell’equazione di partenza sotto la forma y(t) = v(t)t con v(t) da determinare
(variazione della costante). Deve valere l’identit`a v 0 (t)t = log t, che `e soddisfatta da v(t) = 21 log2 t+
K, e quindi le funzioni
1
y(t) = t log2 t + Kt
2
sono tutte e sole le soluzioni dell’equazione di partenza.
20
Correzione del compito del 24/7/14
1 Cercare le primitive della funzione
1
.
x1/3 (1 + x1/3 )
Risposta Con la sostituzione x1/3 = y ⇐⇒ x = y 3 , per cui dx = 3y 2 dy, si ottiene
Z
Z
Z 1
3y 2
y
dy 1/3
dx =
dy 1/3 = 3
1− 2
y2 + y
y +y
y=x
y=x
x1/3 (1 + x1/3 )
= 3[y − log |1 + y|] 1/3 = 3x1/3 − 3 log |1 + x1/3 | + C
y=x
e l’ultimo membro fornisce la totalit`
a delle primitive cercate (sia in ] − ∞, 0[ che in ]0, ∞[).
2 Verificare se l’integrale improprio
Z
∞
I=
1
x(arctan x)2
dx
x3 + log x
converge oppure no.
Risposta L’integrando verifica
0≤
x(arctan x)2
π2 x
π2 1
≤
=
,
x3 + log x
4 x3
4 x2
e l’integrale improprio di 1/x2 da 1 a ∞ converge. Quindi anche I converge.
3 Scrivere l’espressione della derivata della funzione
Z 1/x2
F (x) =
sin y 2 dy,
x > 0.
1/x3
Risposta
F 0 (x) = (sin y 2 )
2 0
2 (1/x
)
−
(sin
y
)
2
y=1/x
y=1/x3
(1/x3 )0 = −
2
1
3
1
sin 4 + 4 sin 6 .
3
x
x
x
x
4 Determinare l’insieme di convergenza semplice o assoluta della serie di potenze
∞
X
(x + 23)n
n=1
n2/3 + 1
.
Risposta Il centro `e x = −23, il raggio di convergenza `e l’inverso del
1
(n2/3 + 1) = 1.
n→∞ (n + 1)2/3 + 1
lim
21
Dunque la serie converge assolutamente in ] − 23 − 1, −23 + 1[=] − 24, −22[. Per x = −24 la serie
vale
∞
X
(−1)n
n=1
n2/3 + 1
e dunque converge per il criterio di Leibniz, dal momento che i termini sono di segno alterno e i
loro moduli tendono decrescendo a 0. Per x = −22 invece la serie vale
∞
X
1n
n2/3 + 1
n=1
e quindi diverge, perch´e `e i termini sono tutti positivi e infinitesimi dello stesso ordine degli 1/n2/3 ,
la cui serie divege perch´e `e armonica generalizzata di esponente < 1.
(Tutte le considerazioni precedenti vengono facilitate ponendo y = x + 23 e passando alla serie
∞
X
yn
,
n2/3 + 1
n=1
che ha centro in y = 0, raggio di convergenza 1, converge semplicemente per y = −1 ma diverge
per y = 1, per poi tornare alla serie di partenza in x = y − 23: ma questo nessuno l’ha fatto.)
5 Risolvere l’equazione differenziale
y 0 − y sin x = xe− cos x
Risposta L’integrale generale dell’omogenea y 0 − y sin x = 0 `e Ke− cos x , e con la variazione
della costante si ottiene la totalit`
a delle soluzioni cercate dall’espressione y = v(x)e− cos x dove
0
−
cos
x
−
cos
x
v (x)e
= xe
, per cui v(x) = x2 /2 + C e infine y = (x2 /2 + C)e− cos x .
22
Correzione del compito dell’11/9/14
1 Calcolare l’integrale definito
Z
1
max{−x2 + 1, x2 } dx.
−1
Risposta Siccome l’integrando `e una funzione pari, basta calcolare il suo integrale da 0 a 1 e poi
moltiplicarlo per 2. Ora:
Z 1
Z c
Z 1
2
2
2
x2 dx,
(−x + 1) dx +
max{−x + 1, x } dx =
c
0
0
2 nel semipiano delle x > 0
dove c = ascissa dell’intersezione tra il grafico di −x2 + 1 e quello di x√
2
2
`e la soluzione positiva dell’equazione x = −x + 1 e quindi vale 1/ 2. Ne segue che il valore
dell’integrale richiesto nell’esercizio `e il doppio di
3
√
x
2
1
1
1/ 2 x3 1
− +x + √ = − 3/2 + √
3
3 1/ 2 3 2 3
0
2
e quindi vale
√
2
(1 + 2).
3
2 Verificare la convergenza o divergenza dell’integrale improprio
Z ∞ 3
x +2
dx.
I=
x5 + 3
0
Risposta L’integrando `e tranquillamente continuo in tutta la semiretta [0, ∞[ — fino a 0 incluso! —
per cui l’unico test necessario per stabilire la convergenza o divergenza riguarda il comportamento
all’∞. Quindi si spezza
Z a 3
Z ∞ 3
x +2
x +2
I=
dx +
dx
5
x5 + 3
0 x +3
a
con a un qualunque numero positivo, ad esempio a = 1: il primo integrale `e un normale integrale
di Riemann, mentre il secondo `e un integrale improprio convergente perch´e per x → ∞ si ha
x3 + 2
1
≈ 2,
x5 + 3
x
e l’integrale improprio
∞
Z
1
converge. Ma attenzione: l’ integrale improprio
Z
J=
1
dx
x2
∞
0
1
dx
x2
diverge, perch´e diverge
Z
0
1
1
dx :
x2
23
molti hanno fatto l’errore di attribuire ad I il carattere divergente di J perch´e hanno attribuito su
tutta la semiretta delle x > 0 all’integrando di I lo stesso comportamento di 1/x2 , ma altri hanno
fatto di peggio, scrivendo che I converge perch´e J converge...
3 Determinare le primitive della funzione
x
.
sin2 x
Risposta Si calcola per parti l’integrale indefinito
Z
Z
x
dx = −x cotg x + cotg x dx = −x cotg x + log | sin x| + C.
sin2 x
4 Determinare l’insieme di convergenza semplice o assoluta della serie di potenze
∞
X
(4x − 6)3n
√
.
n−1
n=2
Risposta Una volta constatato che il centro `e 3/2, si passa alla
∞
X
√
n=2
yn
.
n−1
per y = (4x − 6)3 , e applicando ad esempio il criterio del rapporto si ottiene subito che l’intervallo
di convergenza della serie in y `e |y| < 1, e quindi quello della serie di partenza `e |(4x − 6)3 | < 1,
ovvero |4x − 6| < 1, ovvero 5/4 < x < 7/4. 3 All’estremo x = 5/4 la serie diventa la
∞
X
(−1)n
√
,
n−1
n=2
a segni alterni e semplicemente convergente per il criterio di Leibniz; in x = 7/4 la serie vale invece
∞
X
n=2
√
1
,
n−1
3
Se non si segue questa strada, consigliata pi`
u volte nel corso e suggerita nella correzione dell’Es.4 del compito del
24/7, ci si imbarca in tutte le complicazioni che vengono dall’esponente 3n invece di n e soprattutto dal coefficiente
di x nella base delle potenze, che `e 4 invece di 1: la serie di partenza va riscritta come
∞
X
43n (x − 3/2)3n
√
,
n−1
n=2
ovvero
a2 (x − 3/2)2 + a3 (x − 3/2)3 + a4 (x − 3/2)4 + a5 (x − 3/2)5 + a6 (x − 3/2)6 + a7 (x − 3/2)7 + a8 (x − 3/2)8 + a9 (x − 3/2)9 . . .
√
√
con a2 = a3 = a4 = a5 = 0, a6 = 46 /( 2 − 1), a7 = a8 = 0, a9 = 49 /( 3 − 1), ..., e siccome sono nulli tutti
i coefficienti con indici che non sono multipli di 3, il criterio del rapporto non si applica, mentre invece si applica
una forma forte del criterio della radice per mostrare che il raggio di convergenza `e 1/4; l’intervallo di convergenza
]3/2 − 1/4, 3/2 + 1/4[ `e naturalmente quello trovato prima. La valutazione dei compiti che presentano errori su questi
punti `e stata fatta con grande indulgenza.
24
P √
√
√
che diverge perch´e 1/( n − 1) ≈ 1/ n e
1/ n = ∞.
5 Risolvere il problema di Cauchy
1 + y2
y0 = √
,
1 − x2
√
y(1/ 2) = 1.
Risposta Con la separazione delle variabili si ottiene
arctan y = arcsin x + C ⇐⇒ y = tan(arcsin x + C),
√
e siccome arcsin(1/ 2) = π/4 dev’essere tan(π/4 + C) = 1, da cui C = 0 — beninteso a patto di
sapere che nell’intervallo ] − π/2, π/2[ in cui si inverte la tangente il punto in cui essa vale 1 `e π/4,
cosa questa a volte ignorata —, e infine
y=
sin(arcsin x))
x
=√
.
cos(arcsin x)
1 − x2
25
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