modulo
D
Dinamica
unità
1
Principi della dinamica
2
Lavoro ed energia
3
Dinamica di punti materiali
4
Dinamica del corpo rigido
5
Gravitazione universale
unità
D1
Principi della dinamica
Q
uando su un corpo agiscono forze,
il corpo o rimane in equilibrio o si muove
di moto accelerato. Il vettore accelerazione
è la manifestazione cinematica della presenza
di forze.
prerequisiti





massa
risultante forze e accelerazione
forza peso, d’attrito ed elastica
moto rettilineo uniforme
moto circolare e armonico
1.1 Dinamica del moto
Indagine sulla causa che provoca il moto dei corpi.
1.2 Primo principio della dinamica
L’assenza di forze comporta immobilità o moto rettilineo uniforme.
1.3 Secondo principio della dinamica
Il moto accelerato è dovuto all’azione di una o più forze.
1.4 Terzo principio della dinamica
La forza agisce sempre in coppia.
1.5 Applicazione dell’equazione del moto
Operatività del legame tra forza e accelerazione.
1.6 Dinamica del moto su piano inclinato
La responsabilità della forza peso nel moto su piano inclinato.
1.7 Dinamica del moto circolare uniforme
La causa dell’accelerazione centripeta nel moto circolare.
1.8 Dinamica del moto oscillatorio
Le responsabilità della forza elastica e peso nel moto oscillatorio.
1.9 Quantità di moto e impulso
Quanto la durata della forza influisce sulla velocità.
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
1.1
Dinamica del moto
Questa unità introduce il modulo D dedicato alla a quella parte della meccanica identificata come dinamica..
Definiamo dinamica del corpo l’insieme delle cause che sono origine del suo
moto.
 Forza e massa
Forza e massa sono le grandezze fisiche “protagoniste” della dinamica.
La forza, ampliamente trattata nel modulo B, è una grandezza fisica vettoriale:
il relativo vettore ingloba le informazioni necessarie per descrivere fenomeni
come spinta, trazione, lancio o deformazione di un corpo. L’unità di misura
nel sistema SI è il newton (simbolo N). In questa unità sarà considerato solo
l’effetto di moto e non quello di deformazione.
La massa, introdotta nell’unità A1, è una grandezza fisica scalare: quantifica la “quantità” di materia di un corpo. L’unità di misura nel sistema SI è il
kilogrammo (simbolo kg).
 Principi della dinamica del punto materiale
Come per la cinematica, anche per la dinamica adotteremo l’approssimazione di punto materiale: i corpi sono ridotti a punti in cui si
concentra la massa.
La dinamica è regolata da tre principi: ne anticipiamo denominazione
e relativo paragrafo.
- Primo principio della dinamica, o legge d’inerzia (par. 1.2).
- Secondo principio della dinamica, o legge fondamentale della dinamica (par. 1.3).
- Terzo principio, o legge di azione e reazione (par. 1.4).
I tre principi, enunciati dallo scienziato inglese Isaac Newton nel 1686
(fig. 1.1), sono la struttura portante della meccanica (chiamata anche
meccanica newtoniana o meccanica classica).
 Equazione del moto
La dinamica relaziona le cause del moto (le forze) con la sua cinematica (l’accelerazione). Grazie al secondo principio della dinamica, e con l’ausilio degli
altri due, è possibile, note le forze che agiscono sul corpo, determinarne l’accelerazione. Se inoltre sono note la velocità e la posizione iniziali, si risale alla
legge oraria e dunque alle caratteristiche del moto. L’applicazione del secondo principio comporta la scrittura di un’equazione che attua l’elaborazione
descritta e, per questo, definita legge del moto o equazione del moto. Nel
paragrafo 1.5 spiegheremo come determinarla, e nei tre paragrafi conclusivi
dell’unità, vedremo la sua applicazione in modelli fondamentali di moto di cui
è nota la cinematica.
Figura 1.1
Isaac Newton. I tre principi della
dinamica sono contenuti nella
sua opera Philosophiae Naturalis
Principia Matematica.
329
330
MODULO D - DINAMICA
Definito l’obiettivo della dinamica, introduciamo il suo primo principio: un corpo
fermo o in moto rettilineo uniforme “comunica” l’assenza di forze.
1.2
Primo principio della dinamica
Il primo principio della dinamica spiega cosa succede a un corpo quando non
agisce alcuna forza, situazione non banale.
Un punto materiale in assenza di forza
F0
(1.1)
mantiene il suo stato di riposo con velocità nulla se è fermo
v (t )  0
(1.2a)
o mantiene il suo stato di moto rettilineo uniforme con velocità costante se
è in moto
v (t )  v 0
(1.2b)
Dalle (1.2) si deduce la seguente versione equivalente del principio:
in assenza di forza, il punto materiale ha accelerazione nulla
a(t )  0
(1.3)
Infatti l’accelerazione è per definizione una variazione di velocità, e non esiste
variazione se la velocità è costante nel tempo (1.2b), o è nulla (1.2a).
Il primo principio offre quindi un’interpretazione diversa sull’effetto che provoca una forza su un corpo: la forza cambia il moto del corpo, affermazione
valida in generale se pensiamo che lo stato di riposo è un esempio di moto a
velocità nulla.
Attenzione a interpretare la condizione di assenza di forza nel modo corretto:
la (1.1) si riferisce solo al caso di una singola forza. Dall’unità B2 sappiamo
che può esistere l’azione simultanea di due o più forze con risultante nulla, e
dunque senza effetto sul corpo. Quindi assenza di forza non significa necessariamente che non compare alcuna forza. Rispetto a questa osservazione, il
primo principio assume la seguente forma generale
un punto materiale su cui agiscono N forze con risultante R nulla, cioè
N
R   Fi  0
i1
mantiene il suo stato di riposo o di moto rettilineo uniforme.
(1.4)
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
 Inerzia
Un’interpretazione importante del primo principio affiora dalla seguente affermazione.
Per cambiare lo stato di riposo o di moto di un corpo occorre l’intervento di
una forza.
Ma la forza non provoca sempre un effetto immediato sul corpo, cioè non riesce istantaneamente a
cambiare il suo stato, di riposo o di moto. Infatti
i corpi cercano di opporsi a qualsiasi variazione
di stato come mostra un fenomeno molto comune
che avvertiamo quando siamo in auto o in treno:
a causa di una partenza rapida, sentiamo spingerci all’indietro e a causa di una brusca frenata,
sentiamo spingerci in avanti. Questi effetti sono
evidenti nelle prove di affidabilità delle automobili dove, per esempio, il manichino affonda nell’airbag quando l’auto si scontra contro l’ostacolo
fermo (fig. 1.2). Una superficiale interpretazione
del fenomeno potrebbe essere che il nostro corpo
(o il manichino) desideri continuare a rimanere
fermo se sollecitato a muoversi o desideri continuare a rimanere in movimento se sollecitato a fermarsi. In modo più formale
ogni corpo ha una proprietà intrinseca, definita inerzia, che tende a conservare il suo stato di riposo o di moto rettilineo uniforme.
Figura 1.2
Crash test per auto: i manichini
portandosi avanti tendono a mantenere il loro stato di moto che si è
improvvisamente arrestato.
Il primo principio evidenzia quindi la caratteristica d’inerzia di un corpo e, per
questo, è definito anche principio d’inerzia.
Il secondo principio della dinamica (par. 1.3) offre la possibilità di quantificare
l’inerzia del corpo misurando la sua massa.
 Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali
Dalla cinematica, sappiamo che occorre un sistema di riferimento per descrivere le caratteristiche di un moto.
Esistono particolari sistemi di riferimento in cui il MRU e il moto nullo contrastano il primo principio della dinamica, come mostra l’esempio di figura 1.3.
Una persona (A) guida un’auto in MRU con a
fianco un pacco (P). Un’altra persona (B), ferma
sulla strada, osserva l’auto in moto con all’interno
P. A e B verificano il primo principio: l’assenza di
qualsiasi forza motiva lo stato di riposo di P per
A, e motiva il MRU di P per B.
All’improvviso l’auto frena e, per inerzia, P cade
dal sedile in avanti. Dalla strada, B verifica il principio osservando che P tende a mantenere il suo
stato anche dopo la frenata. Dall’interno dell’auto, A non conferma il principio osservando che
P abbandona il suo stato di riposo senza essere
stato sollecitato da alcuna forza.
Figura 1.3
Auto in frenata. Osservando il
comportamento del pacco P, il
primo principio è valutato dalla persona A in modo diverso da come lo
valuta la persona B.
B
A
P
331
332
MODULO D - DINAMICA
Riassumendo, nel sistema di riferimento solidale ad A (a B) il primo principio
non è valido (è valido). Con il termine “solidale” intendiamo che è rigidamente
collegato alla persona (o più in generale a un corpo).
Quindi il primo principio diventa discriminante nell’insieme dei sistemi di
riferimento e genera la seguente distinzione.
Un sistema di riferimento è definito inerziale (non inerziale) se in esso vale
(non vale) il primo principio della dinamica.
Inoltre
Figura 1.4
Esempio di sistema di riferimento
inerziale solidale alla Terra con
origine sulla superficie.
sono inerziali i sistemi in moto rettilineo uniforme rispetto a un qualsiasi altro sistema inerziale; sono non
inerziali i sistemi in moto accelerato
rispetto a un sistema inerziale.
y
O
x
z
Un qualsiasi sistema di riferimento
solidale alla Terra è considerato inerziale (fig. 1.4). Sistemi non inerziali
rispetto alla Terra sono quelli in moto
accelerato: per esempio quelli solidali
a un’auto in moto vario, a un ascensore in fase di partenza o di arresto, al
seggiolino di una giostra in rotazione.
 Condizione ideale in assenza d’attrito
Il primo principio sembrerebbe in contrasto con l’esperienza quotidiana.
Immaginiamo di spingere un carrello per poi lasciarlo: il carrello decelera
fino a fermarsi senza alcuna apparente forza, e dunque in contrasto con il
primo principio. In realtà esiste la forza d’attrito tra le ruote del carrello e il
suolo che ne comporta l’arresto. Eliminare l’attrito è impossibile ma possiamo ridurlo in laboratorio e dunque sperimentare il MRU in assenza di forze.
Nell’approfondimento dell’unità C1 abbiamo descritto la rotaia a cuscino
d’aria, sistema che consente il moto di un carrello con attrito quasi trascurabile. La riproponiamo in figura 1.5. L’aria pressurizzata soffiata dai fori della
rotaia crea un cuscinetto d’aria che solleva il carrello evitando il contatto. Il
carrello rimane fermo fino a quando non è sollecitato da una breve spinta; una
volta in moto, scivola praticamente a velocità costante.
Figura 1.5
Rotaia a cuscino d’aria su cui scorre un carrello quasi senza attrito:
(a) vista di lato; (b) vista di fronte
con evidenziato il getto dell’aria
che solleva il carrello.
respingente
carrello
carrello
rotaia a cuscino d’aria
a
b
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
Introduciamo il secondo (e fondamentale) principio della dinamica: un corpo accelerato “comunica” la presenza di forze.
1.3
Secondo principio della dinamica
Il secondo principio della dinamica descrive l’accelerazione che un corpo subisce durante l’intervallo di tempo in cui su di esso agisce una forza (fig. 1.6).
Enunciamo il secondo principio nei seguenti due modi tra loro equivalenti
(fig. 1.7).
Figura 1.6
La foto ferma l’istante in cui la
mazza da golf imprime una forza
alla pallina. La forza trasmessa
con il colpo comporterà l’abbandono dello stato di riposo della pallina
e, per l’intervallo di tempo in cui la
forza agirà, la pallina si muoverà di
moto accelerato.
F
m
a
Figura 1.7
Rappresentazione vettoriale del
secondo principio della dinamica
applicato a un punto materiale di
massa m.
Una forza F applicata a un punto materiale di massa m comporta un’accelerazione a del punto materiale con vettore
a
F
m
(1.5a)
Il vettore accelerazione a ha le seguenti caratteristiche.

modulo: è il rapporto tra il modulo della forza, F, e la massa m, cioè
a
F
m

direzione: quella del vettore forza;

verso: quello del vettore forza;

punto di applicazione: applicato al punto materiale.
(1.5b)
L’accelerazione a di un punto materiale di massa m conferma l’azione di una
forza F sul punto materiale con vettore
Fma
(1.5c)
333
334
MODULO D - DINAMICA
Il vettore forza F ha le seguenti caratteristiche.

modulo: è il prodotto tra la massa m e il modulo dell’accelerazione, a, cioè
F ma
(1.5d)

direzione: quella del vettore accelerazione;

verso: quello del vettore accelerazione;

punto di applicazione: applicato al punto materiale.
Problema svolto 1.1
Determinare il modulo della forza F necessaria per imprimere un’accelerazione di 3,00 m/s2 a un corpo di massa m = 80,0 kg.
Consideriamo l’equazione (1.5d) e sostituiamo i rispettivi valori della massa e
dell’accelerazione
F  m a  (80, 0 kg)  (3, 00 m/s 2 )=240 N
Secondo principio in presenza di più forze
Il secondo principio descritto dalle (1.5) è riferito al caso di una singola forza.
Indaghiamo cosa succede se sul corpo agiscono più forze. Sperimentalmente
si osserva la seguente condizione di simultaneità.
l’azione di una forza su un punto materiale non è influenzata dall’eventuale
simultanea azione di altre forze.
Supponiamo sul punto materiale l’azione di due forze, F1 ed F2. Per la condizione di simultaneità, le forze comportano un accelerazione
a  a1  a 2
che è la somma vettoriale delle accelerazioni che le forze singolarmente
produrrebbero. Ma per il principio di sovrapposizione delle forze (par. 1.1,
unità B1), l’accelerazione a è la medesima se agisse la risultante delle due
forze, cioè
F1  F2  m a
(1.6)
Quindi, il secondo principio nel caso di N forze lo esprimiamo estendendo la
(1.6), cioè
N
F  m a
i 1
(1.7)
i
N
con a primo membro la risultante delle N forze, cioè
R   Fi (fig. 1.8).
i1
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
F1
R
a1
a
m
a2
F2
La (1.7) è definita equazione del moto. Infatti consente di ricavare le grandezze fisiche cinematiche una volta nota la risultante R delle forze che agiscono
sul punto materiale: dapprima si determina l’accelerazione e, se sono note
velocità e posizione iniziali, si ricava la sua legge oraria.
Problema svolto 1.2
Consideriamo il problema svolto 1.1 dell’unità B1. Sapendo che la massa
del satellite artificiale è di 650 kg, determinare il modulo del vettore
accelerazione.
Poiché la risultante R delle forze agenti sul satellite ha modulo 61 N, il modulo
del vettore accelerazione è
a
61 N
R

 0, 094 m/s 2
m 650 kg
 Corollari del secondo principio
Alcuni brevi commenti riguardo al secondo principio della dinamica.
L’accelerazione che il punto materiale subisce non dipende dallo stato, se di
riposo o MRU, che possiede nell’istante che precede l’azione delle forze.
La misura di una forza può essere effettuata indirettamente misurando l’accelerazione. Il secondo principio infatti consente una misura della forza di tipo
“dinamico” in alternativa alla misura di tipo statico che offre il dinamometro
(approfondimento unità B1).
Il primo principio della dinamica rientra come caso particolare del secondo.
Infatti, l’assenza di forze, cioè R = 0, comporta nella (1.7), a = 0. Quindi per la
definizione di accelerazione, v = 0, e dunque velocità nulla o costante.
 Massa inerziale
Il secondo principio conferisce alla massa la proprietà di quantificare l’inerzia,
cioè la resistenza di un corpo a cambiare il suo stato di riposo o di MRU, per
mettersi quindi in moto accelerato.
Figura 1.8
Rappresentazione vettoriale del
secondo principio della dinamica
con applicate più forze (due); il vettore a e il vettore R sono tracciati
con la regola del parallelogramma.
335
336
MODULO D - DINAMICA
Infatti, dalla (1.5b)
Figura 1.9
Massa inerziale: ipotizzando la
medesima forza su entrambi i corpi,
il vettore accelerazione del corpo
di massa maggiore (minore) ha
modulo minore (maggiore) di quello
con massa minore (maggiore).
l’accelerazione del punto materiale è inversamente proporzionale alla massa.
Quindi, a parità di forza, più è elevata la massa del corpo, minore è la sua
accelerazione e, dunque, più difficilmente reagisce a variazioni del suo stato di
riposo o di MRU (fig. 1.9). Questo equivale a possedere un’alta inerzia.
Riassumendo: la massa quantifica l’inerzia di un corpo e
M
aM
M>m
aM < am
alta (bassa) massa significa alta (bassa) inerzia.
F
m
am
F
Per questo motivo la massa m nella (1.7) è definita
massa inerziale.
Le superpetroliere sono grandi navi cisterna che trasportano fino a 300 000 tonnellate di petrolio a una velocità
di circa 30 km/h. Un carico con massa così elevata comporta una enorme inerzia. Anche con motori azionati
all’indietro, occorre almeno un miglio per fermarle.
Problema svolto 1.3
Sul corpo A di massa mA = 1250 kg agisce una forza F che provoca un’accelerazione di modulo aA = 0,600 m/s2. La medesima forza è esercitata sul
corpo B di massa mB = 4500 kg. Determinare il modulo dell’accelerazione
di B.
Essendo la massa inerziale mB maggiore di mA, l’accelerazione sul corpo B avrà
modulo minore rispetto al modulo dell’accelerazione su A.
Dalla (1.5d) determiniamo il modulo di F che agisce su A:
F  mA aA  (1250 kg) (0, 60 m/s 2 ) = 750 N
e tramite la (1.5b) determiniamo il modulo dell’accelerazione di B
aB 
F
750 N
m

=0,167 2
mB 4500 kg
s
che è appunto minore di aA.
Introduciamo il terzo principio della dinamica che impone a qualsiasi forza di azione
una forza di reazione.
1.4
Terzo principio della dinamica
Il primo e secondo principio della dinamica coinvolgono un solo corpo, mentre
il seguente terzo principio coinvolge due corpi come mostra la figura 1.10.
Se il punto materiale A esercita una forza sul punto materiale B, allora B
esercita una forza opposta su A.
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
In figura le forze sono distinte da un indice per facilitare l’interpretazione del
principio: FAsuB è la forza esercitata da A su B, applicata su B; FBsuA è la forza
esercitata da B su A, applicata su A. Le due forze sono opposte e dunque verificano la seguente uguaglianza vettoriale
FBsuA  FAsuB
(1.8a)
che traduce a livello analitico il terzo principio. Esplicitiamo nella (1.8a) il
versore i dell’asse x su cui poggiano le direzioni delle forze: collocando arbitrariamente l’origine sul punto materiale A abbiamo
con
FBsuA i   FAsuB i
FBsuA  FAsuB .
(1.8b)
Rimarchiamo il seguente importante particolare:
le due forze definite nel terzo principio agiscono su punti materiali diversi.
In caso contrario, le forze della coppia si annullerebbero essendo discordi, e
il singolo punto materiale coinvolto rimarrebbe in equilibrio, in contrasto con
la realtà dove il terzo principio a volte è sfruttato per avere movimenti (vedere
l’esempio del razzo nel proseguo del paragrafo).
La condizione di forze opposte comporta i due possibili casi rappresentati in
figura 1.10: il caso attrattivo (repulsivo) si ha quando le due forze tendono ad
allontanare (avvicinare) i punti materiali.
FBsuA
A
FAsuB
B
x
i
a
FBsuA A
B
FAsuB
i
x
b
Interazione tra azione e reazione
Generalmente le due forze del principio sono identificate con i termini azione e
reazione. Quale forza delle due sia azione e reazione è arbitrario: l’importante
che le due forze associate ai rispettivi termini siano sempre contemporaneamente presenti. Non può esistere una reazione se non c’è una azione, come
afferma il terzo principio nella seguente equivalente versione
a ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.
Quando una coppia di corpi si trova nella situazione descritta dal terzo principio, si dice che i corpi sono tra loro in interazione.
Figura 1.10
Rappresentazione del terzo principio della dinamica: (a) caso attrattivo; (b) caso repulsivo.
337
338
MODULO D - DINAMICA
 Esempi di applicazione del terzo principio
Prima di presentare alcuni esempi dove appare il
terzo principio, invitiamo alle seguenti due importanti osservazioni:
  
FBsuA
A
B
FAsuB
 
l’esistenza di interazione non necessariamente
significa che esiste contatto tra i due corpi.
Esistono casi in cui i vettori accelerazione
causati dalle forze d’azione e reazione hanno
bassi valori di modulo e dunque non è possibile
osservare una reciproca attrazione o repulsione; questa presunta mancanza di effetto di
accelerazione porterebbe a ritenere che in certi
casi il terzo principio non sia valido.
In figura 1.11 vediamo il decollo di un missile: il
razzo applica una forza sui gas di scarico e i gas di
scarico applicano una forza opposta sul razzo in
modo che si abbia il decollo in verticale.
Figura 1.11
Interazione repulsiva tra razzo (a)
e gas di scarico (b): le accelerazioni di entrambi i corpi sono evidenti.
Figura 1.12
Interazione attrattiva tra mela (a)
e Terra (b): solo l’accelerazione
delle mela è evidente.
In figura 1.12 è rappresentata la Terra che attira una mela in caduta verso il
suolo. Per il terzo principio anche la mela attira la Terra e, dunque, entrambi i
corpi dovrebbero reciprocamente avvicinarsi: invece solo la mela si muove perché la forza di azione (o reazione) che esercita sulla Terra non è sufficiente ad
accelerare l’enorme massa inerziale del
pianeta.
A
Esempio simile si riscontra nell’atFBsuA
trazione che una calamita esercita su
un ago: per il terzo principio anche
l’ago attira la calamita e, dunque, i
due corpi dovrebbero reciprocamente
avvicinarsi: invece solo l’ago si muove
FAsuB
perché la forza di azione (o reazione)
B
che esercita sulla calamita non è sufficiente ad accelerare la massa inerziale
e a vincere la forza di attrito tra la
calamita e la superficie su cui poggia.
Studiamo la dinamica di alcuni tra i più importanti modelli fisici.
1.5
Applicazione dell’equazione del moto
Lo studio della dinamica ha come obiettivo la risoluzione dell’equazione del
moto di un corpo soggetto a forze. In generale
risolvere l’equazione del moto significa determinare l’accelerazione del
punto materiale se è nota l’azione delle forze, o determinare la risultante delle
forze se è nota l’accelerazione.
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
Per la costruzione della risultante delle forze occorre il diagramma delle forze
introdotto nel paragrafo 1.1 dell’unità B1: a riguardo invitiamo a rivedere le
figure 1.3 e 1.5.
 Approccio al problema di dinamica
Presentiamo un elenco di passaggi che possono essere utili per impostare e
risolvere un problema di dinamica.
1) Rappresentare il corpo come punto materiale o con una figura geometrica
(un quadrato o un cerchio) in modo che sia semplice individuare un punto
di simmetria.
2) Individuare i vettori-forze, con lunghezze, possibilmente, proporzionali ai
moduli (per esempio 1 cm equivale 1 N).
3) Tracciare il diagramma delle forze, con i punti di applicazione coincidenti
con il punto materiale.
4) Sovrapporre al punto materiale gli assi cartesiani x e y su cui, ciascuna
forza, proietterà le sue componenti vettoriali; possibilmente gli assi cartesiani devono avere:
a) origine coincidente con il punto materiale;
b) assi con direzione e verso coincidenti a una, o più, delle seguenti opzioni:
- al probabile moto;
- alla risultante delle forze;
- al maggiore numero di forze.
5) Scrivere l’equazione del moto (nel caso di N forze)
N
F  m a
i 1
i
6) Scomporre l’equazione del moto rispetto gli assi cartesiani x e y
N

  Fix  i  m ax i
 i 1 
;
N

  Fiy  j  m a y j
 i 1 
7) Estrarre le rispettive equazioni scalari
N
 Fix  m ax
i 1
N
;
F
i 1
iy
 m ay
e determinare la grandezza fisica incognita, che può essere o la risultante
delle forze R o l’accelerazione a.
339
340
MODULO D - DINAMICA
Problema svolto 1.4
Determinare l’equazione del moto per un corpo di massa m su cui agiscono le forze F1 e F2 che formano tra loro un angolo  (fig. 1.13a). Le
due forze hanno uguale modulo F1 = F2 = F. La superficie su cui poggia il
corpo è priva di attrito.
Rappresentiamo il corpo come punto materiale e tracciamo il diagramma
delle forze: oltre alle forze F1 ed F2, esistono la forza peso P e la reazione
normale N (fig. 1.13b).
A causa del vincolo della superficie, la direzione del moto è orizzontale verso destra;
collochiamo dunque gli assi cartesiani x e y come in figura 1.13b.
L’equazione del moto è
N  P  F1  F2  ma
Proiettiamo l’equazione rispetto gli assi cartesiani
Nj  mgj  F1 y j  F2 y j  ma y j
(1)
F1x i  F2 x i  max i
(2)
Le componenti vettoriali delle forze rispetto l’asse y si annullano a conferma
che il moto avviene solo rispetto l’asse x. L’equazione del moto con componenti
scalari della (2) è
F1x  F2 x  m ax
Dalla figura 1.13b
F1x  F2 x  F cos

2
e l’equazione del moto è dunque
 
2 F cos    m ax
2
Figura 1.13
y
m
F1
q
F2
N
m
F1
P
F2
q
F1y
F2y
x
F1x = F2x
a
b
 Trasmissione di forza attraverso una corda
Consideriamo due corpi collegati tra loro con una corda: se una forza agisce su
uno dei due corpi, la sua azione, tramite le corda, si trasmette all’altro corpo.
Prima di descrivere la dinamica di questo modello fisico, analizziamo il comportamento della sola corda.
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
Tensione della corda
Una corda è considerata in tensione quando ai suoi estremi agisce una coppia
di forze discordi come in figura 1.14a. Nel particolare ingrandito, immaginiamo di tagliare la corda in tensione e di tenere uniti i due lembi con le mani. Per
fare questo dobbiamo applicare con le mani una coppia di forze discorde (T)
così da ripristinare la tensione della corda annullata nel momento del taglio.
La coppia di forze discorde T rappresenta la tensione della corda quando è
tirata ai suoi estremi.
Se la corda è ideale, cioè non estensibile e di massa trascurabile, la tensione
della corda è costante in ogni punto. Solitamente la tensione della corda è rappresentata collocando la coppia di forze discorde T ai suoi estremi (fig. 1.14b).
Nei problemi di dinamica con trasmissione con corda, è generalmente richiesto il modulo del vettore T, chiamato anche tensione della corda. Le direzioni e
i versi della coppia di forze T si individuano nei diagrammi delle forze.
T
Figura 1.14
Corda in tensione con evidenziate
le forze che provocano tensione:
(a) i vettori T immaginando il
taglio della corda; (b) i vettori T
come generalmente si collocano
negli schemi con corda.
T
a
T
T
b
Dinamica di due corpi collegati con corda
In figura 1.15a i corpi A e B, di massa mA ed mB, poggiano su una superficie
priva d’attrito collegati con una corda ideale. Al corpo B è applicata una forza
F che mette la corda in tensione come evidenzia la coppia di forze T. La corda
in tensione impone ai due corpi la medesima accelerazione e dunque
a A  aB  a
mA
A
a
T
mB
T
T
(1)
mB
F
x
i
F
mA
B
T
i
b
x
Figura 1.15
(a) Modello di due corpi collegati con corda ideale e tirati da
una forza F; (b) diagramma delle
forze.
341
342
MODULO D - DINAMICA
In figura 1.15b il diagramma delle forze per ciascuno dei due corpi rappresentati da punti materiali e con gli assi cartesiani sovrapposti alle forze.
Lo studio della dinamica del modello richiede l’accelerazione a comune ai due
corpi e la tensione T della corda.
Rispetto l’asse y la forza peso è equilibrata dalla reazione vincolare del piano
per entrambi i punti materiali: il moto avviene dunque solo lungo l’asse x, scelto con verso concorde a quello dell’unica forza presente.
L’equazione del moto del corpo B è
F  T  mB a
Proiettiamo l’equazione rispetto l’asse cartesiano
( F  T ) i  mB a i
da cui l’equazione con solo le componenti scalari
F  T  mB a
(2)
L’equazione del moto del corpo A è
T  mA a
Proiettiamo l’equazione rispetto l’asse cartesiano
T i  mA a i
da cui l’equazione con solo le componenti scalari
T  mA a
(3)
Sostituiamo nella (2) il modulo T espresso dalla (3) e isoliamo il modulo
dell’accelerazione che ricordiamo essere unica per la (1): otteniamo la componente scalare per a lungo l’asse x
a
F
mA  mB
(4)
e dunque il vettore accelerazione è


F
a
i
 mA  mB 
Infine, per il modulo della tensione della corda, T, sostituiamo nella (3) l’accelerazione espressa dalla (4); quindi
 mA 
T 
F
 mA  mB 
Come prevedibile, la tensione della corda è in funzione delle masse dei corpi e
del modulo della forza applicata che tira i due corpi.
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
 Trasmissione di forza attraverso corda e puleggia
La figura 2.35 dell’unità B2 mostra l’impiego della puleggia (o carrucola),
strumento in grado di cambiare la direzione della tensione della corda che vi
scorre senza modificarne il modulo del vettore T. In figura 1.16 alcuni esempi
di cambi di direzione dei vettori T tramite puleggia. La puleggia è ideale se la
massa e l’attrito della guida in cui scorre la corda sono trascurabili.
puleggia
T
corda
T
T
T
T
T
Dinamica di due corpi collegati con corda e puleggia
In figura 1.17a i corpi A e B, di massa mA ed mB, sono appesi, collegati con
una corda ideale che scorre in una puleggia ideale. Tale modello è chiamato
macchina di Atwood.
In figura 1.17b si vede il diagramma delle forze per ciascuno dei due corpi,
rappresentati da punti materiali con le forze coincidenti con l’asse cartesiano y
(l’asse x i questo caso non serve visto che il moto è solo in direzione verticale).
Lo studio della dinamica del modello richiede le accelerazioni dei due corpi e
la tensione T della corda.
TA
mA
PA
y
y
TA
TB
j
j
TB
Figura 1.17
Macchina di Atwood: (a) modello
di due corpi appesi collegati con
una corda ideale che scorre in una
puleggia ideale; (b) diagramma
delle forze.
mB
mA
PA
mB
PB
PB
a
Figura 1.16
Esempi di cambi di direzione della
tensione di una corda tramite
puleggia.
b
L’equazione del moto del corpo A è
PA  TA  mA a A
(1)
PB  TB  mB aB
(2)
e quella del corpo B è
343
344
MODULO D - DINAMICA
Supponiamo che
mB  mA
e dunque per le forze peso abbiamo modulo
PB  PA
Quindi il corpo B scende e tramite la corda tira verso l’alto il corpo A.
Proiettiamo l’equazione del moto (1) sull’asse cartesiano
( PA  TA ) j  mA a A j
da cui, ricordando che PA = mA g, l’equazione (solo le componenti scalari):
mA g  TA  mA a A
(3)
Proiettiamo l’equazione del moto (2) sull’asse cartesiano
( PB  TB ) j  mB (  aB ) j
da cui, ricordando che PB = mB g , l’equazione (solo le componenti scalari):
mB g  TB  mB aB
(4)
Il segno meno alla componete scalare dell’accelerazione si giustifica perché il
verso del moto di B (che scende) è opposto al versore j.
L’idealità della corda comporta che i moduli dei vettori accelerazione siano
uguali, cioè
a A  aB  a
come pure i moduli delle tensioni TA e TB che indichiamo con T.
mA g  T  mA a

mB g  T  mB a
che si risolve sottraendo la (4) alla (3). Otteniamo:
 mA  mB  a   mB  mA  g
da cui
a
mB  mA
g
mA  mB
(5)
Sostituendo la (5) nella (3) o, indifferentemente, nella (4) e, dopo qualche passaggio algebrico, otteniamo la tensione della corda
T
2 mA mB
g
mA  mB
In conclusione, invitiamo a osservare tramite la (5) come varia il modulo del
vettore accelerazione a seconda dei valori delle masse. Se le due masse sono
uguali, a = 0 e i due corpi sono in equilibrio. Se la massa di B è molto maggiore
di quella di A, a = g, e il corpo B è in caduta libera.
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
Introduciamo il primo modello di applicazione dei principi della dinamica: il piano
inclinato.
1.6
Dinamica del moto su piano inclinato
Nel paragrafo 2.2 dell’unità B2 abbiamo studiato la statica del punto materiale
su piano inclinato con e senza attrito (invitiamo a rivedere). Determiniamo
l’equazione del moto riproponendo le figure 2.8 e 2.10. Ricordiamo che per la
geometria del piano inclinato vale la relazione sen  = h/l (vedere figure 1.18
e 1.19).
 Equazione del moto per il piano inclinato senza attrito
In figura 1.18 un punto materiale di massa m poggia su un piano inclinato
senza attrito (piano liscio). Lo studio della dinamica del modello richiede il
vettore accelerazione.
Figura 1.18
Piano inclinato senza attrito (piano
liscio).
y
N
j
Px
x
a
i
m
a
Py
P
Le forze che agiscono sul punto materiale sono la forza peso P di modulo mg
e la reazione vincolare del piano, N. Sovrapponiamo i due assi cartesiani, con
l’asse x coincidente con la direzione del moto.
L’equazione del moto è
NP m a
Proiettiamo l’equazione rispetto l’asse cartesiano y: il vettore N annulla la componente vettoriale di P, Py, e dunque non si ha moto; quindi
( N  Py ) j  0 j
Proiettiamo l’equazione rispetto l’asse cartesiano x: la componente vettoriale
di P, Px, è responsabile dello scivolamento del corpo verso il basso e dunque
Px i  m ax i
da cui l’equazione con solo le componenti scalari
Px  m ax
345
346
MODULO D - DINAMICA
Dai teoremi del triangolo rettangolo (vedere figura) ricaviamo
Px  m g sen 
e dunque
m g sen   m ax
Semplificando e isolando l’accelerazione otteniamo la componente scalare del
vettore a
ax  g sen 
e quindi il vettore accelerazione che caratterizza la cinematica del punto materiale
a  ( g sen  ) i
Osserviamo che il punto materiale si muove di MRUA con verso positivo rispetto all’asse x. Il modulo dell’accelerazione non dipende dalla massa del corpo,
ma solo dall’angolo d’inclinazione del piano.
 Equazione del moto per il piano inclinato con attrito
In figura 1.19 un punto materiale di massa m poggia su un piano inclinato con
attrito (piano scabro).
Figura 1.19
Piano inclinato con attrito (piano
scabro): notare la presenza della
forza d’attrito opposta al verso
del moto.
y
N
Fs
j
Px
x
a
i
m
a
Py
P
Le forze che agiscono sul punto materiale sono la forza peso P di modulo mg,
la reazione vincolare del piano, N, e la forza d’attrito statica Fs.
Sovrapponiamo i due assi cartesiani, con l’asse x coincidente alla probabile
direzione del moto.
L’equazione del moto è
N + P + Fs  m a
Proiettiamo l’equazione rispetto l’asse cartesiano y: il vettore N e la componente vettoriale di P, Py, si annullano, e il vettore Fs non offre componente
vettoriale, e dunque non si ha moto; quindi
( N  Py ) j  0 j
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
Proiettiamo l’equazione rispetto l’asse cartesiano x: la componente vettoriale di
P, Px, è contrastata dalla componente vettoriale di FS, Fsx e dunque è
( Px - Fsx ) i  m ax i
da cui l’equazione con le sole componenti scalari
Px - Fsx  m ax
(1)
Dai teoremi del triangolo rettangolo (vedere figura) ricaviamo:
Px  m g sen 
(2)
Fsx   s m g cos 
(3)
Affinché il punto materiale si muova occorre che la risultante delle due forze
abbia modulo non nullo e direzione e verso coincidenti con l’asse x, cioè
( Px - Fsx ) i
con
(4)
Px  Fsx
o in modo equivalente
m g sen    s m g cos 
Semplificando e applicando la relazione fondamentale tan = sen/cos otteniamo
(1.9)
tan    s
Questa è la condizione che deve soddisfare l’angolo di inclinazione del piano
affinché avvenga lo scivolamento del punto materiale per una superficie caratterizzata da un attrito statico con coefficiente μs.
Garantita la condizione (1.9), il punto materiale scende verso il basso dove la
forza d’attrito non è più statica ma dinamica e dunque occorre che il coefficiente μs sia sostituito da quello dinamico μd relativo alla medesima superficie
nella (3).
Per determinare il vettore accelerazione, sostituiamo nella (1) la (2) e la (3)
m g sen   d m g cos   m ax
da cui
ax  g (sen   d cos  )
Quindi il vettore accelerazione che caratterizza la cinematica del punto materiale è
a  g (sen   d cos  ) i
Se rispettata la condizione (1.9), anche nel caso di piano inclinato con attrito,
il punto materiale si muove di MRUA con verso positivo rispetto l’asse x; il
modulo dell’accelerazione è sempre in funzione solo dell’angolo d’inclinazione
del piano.
347
348
MODULO D - DINAMICA
Introduciamo il secondo modello di applicazione dei principi della dinamica: un
corpo in moto su traiettoria circolare.
1.7
Dinamica del moto circolare
uniforme
Abbiamo descritto la cinematica del moto circolare uniforme nel paragrafo 3.4
dell’unità C3, che consigliamo di rivedere. In questo paragrafo determiniamo
l’equazione del moto per il MCU di cui è già nota la sua accelerazione, definita
centripeta.
Figura 1.20
Moto circolare uniforme con evidenziato il vettore accelerazione
centripeta concorde con il vettore
forza centripeta (non indicato). Il
vettore vt ha verso orario e di
conseguenza il vettore ha verso
entrante nel foglio.
i
m
P
In figura 1.20 la traiettoria circolare.
Per il diagramma delle forze è sufficiente un asse cartesiano solidale
al vettore posizione, con origine sul
punto materiale P di massa m, e dunque rivolto verso il centro della circonferenza. In questo modo il vettore
accelerazione centripeta ac ha verso
concorde con il versore i dell’asse
cartesiano.
vt
ac
x
R
Nel MCU l’unica accelerazione presente è l’accelerazione centripeta: esiste
dunque una sola forza F data dall’equazione del moto
F  m ac
Proiettiamo l’equazione rispetto l’asse cartesiano x
F i  m ac i
da cui l’equazione con le sole componenti scalari
F = m ac
(1)
Il modulo dell’accelerazione centripeta è dato dalla (3.31) dell’unità C3
vt2
ac    2 R
R
dove, ricordiamo, che vt e  sono rispettivamente i moduli dei vettori velocità
tangenziale vt e angolare . Dalla (1) la forza è esclusivamente in relazione
all’accelerazione centripeta ed è chiamata forza centripeta Fc. Il modulo è
Fc  m
vt2
 m 2R
R
(1.10)
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
In generale, se a una forza è associato il termine “centripeta” significa che è una
forza che causa un moto circolare uniforme. La natura della forza centripeta
dipende dal modello fisico . Per esempio, può essere la tensione della corda che
agisce su una palla è attaccata a una sua estremità, mentre ruota in aria (fig.
1.21a). Oppure è la forza d’attrito tra i pneumatici di un auto e l’asfalto di una
curva che consente all’auto di rimanere in strada (fig. 1.21b). Quindi
la forza centripeta è sempre causa di un moto circolare uniforme, ma la sua
origine può essere di varia natura.
T
Figura 1.21
Esempi di forza centripeta.
(a) Corpo in rotazione: la forza
centripeta è la tensione del filo.
(b) Auto in curva: la forza centripeta è la forza d’attrito tra pneumatici e asfalto.
T = Fc
Fa = Fc
a
b
Se la forza centripeta che mantiene il corpo in MCU improvvisamente scompare, il corpo si muoverà
di MRU, con vettore velocità uguale
a quello della velocità tangenziale
che possiede nell’istante in cui cessa
l’azione della forza centripeta. In
figura 1.22 è mostrato il fenomeno:
la traiettoria del moto del corpo in
assenza della forza centripeta è tangente alla circonferenza.
vt
Figura 1.22
Moto di un corpo diretto per la tangente alla traiettoria: alla posizione
con angolo  la forza centripeta
che lo teneva in MCU si annulla,
e il corpo prosegue con velocità
vt in MRU.
vt
a
O
Problema svolto 1.5
Un pilota di jet di massa m = 80,0 kg esegue il giro della morte percorrendo una circonferenza verticale di raggio r = 2,00 km, alla velocità costante
di 180 m/s. Determinare la forza del sedile sul pilota nel punto più basso
e più alto della traiettoria circolare.
Osserviamo la figura 1.23. Nel punto
più basso della traiettoria circolare, il
pilota è soggetto alla forza peso mg e
alla reazione vincolare NB esercitata
dal sedile; nel punto più alto della traiettoria è soggetto alla forza peso mg
e alla reazione vincolare NA entrambe
con verso rivolto in basso. Inoltre,
trattandosi di un MCU, il pilota si
trova soggetto alla sola accelerazione
centripeta ac.
Figura 1.23
(a) Forza peso e reazione vincolare nel punto più basso della
traiettoria.
traiettoria
NB
mg
a
349
350
MODULO D - DINAMICA
Consideriamo le equazioni del moto rispetto all’asse y che collochiamo con
direzione coincidente con il raggio della circonferenza e orientato verso il suo
centro.
Nel punto più basso, l’equazione del moto è
m g  N B  m ac
Proiettata sull’asse y rivolto verso il centro è
(mg  N B ) j  m
v2
j
r
da cui l’equazione con le sole componenti scalari
v2
mg  N B  m
r
Isoliamo dunque NB


v2
v2 
m (180 m/s)2 
3
N B  mg  m  m  g    80 kg 9,81 2 
  2,08 10 N = 2,65 mg
3
r
r 
s 2,00 10 m 


Quindi, nel punto più basso della traiettoria la forza esercitata dal sedile sul
pilota è maggiore del peso del pilota di un fattore 2,65.
Figura 1.23
(b) Forza peso e reazione vincolare nel punto più alto della
traiettoria.
Nel punto più alto, l’equazione del
moto è
m g  N A  m ac
mg
traiettoria
Proiettata sull’asse y rivolto verso il
centro è
NA
(mg  N A ) j  m
b
v2
j
r
da cui l’equazione con le sole componenti scalari
mg  N A  m
v2
r
Isoliamo dunque NA
NA  m
 v2

 (180 m/s)2
v2
m
 mg  m   g   80 kg 
 9,81 2   5,11 102 N = 0,65 mg
3
r
s 
r

 2,00 10 m
Quindi, nel punto più alto della traiettoria la forza esercitata dal sedile sul pilota è minore del peso del pilota (che si sentirà perciò più leggero).
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
Introduciamo il terzo modello di applicazione dei principi della dinamica: un corpo
soggetto a una forza di richiamo con verso rivolto al centro di oscillazione.
1.8
Dinamica del moto oscillatorio
Nel moto oscillatorio, o periodico, il corpo oscilla avanti e indietro, percorrendo una traiettoria limitata nello spazio a causa di una forza di richiamo sempre con verso rivolto a un punto chiamato centro di oscillazione. Pensiamo al
pendolo di un orologio o a un’altalena.
Nell’unità C2, paragrafo 2.5 abbiamo studiato la cinematica del moto oscillatorio più semplice: il moto armonico. Lo riprendiamo per studiarne la dinamica prendendo come modello un corpo sollecitato dalla forza elastica di una
molla. Continueremo con la dinamica di un classico moto oscillatorio, quello
del pendolo.
Prima di introdurre i due modelli, ricordiamo i tre parametri che caratterizzano qualsiasi moto oscillatorio:
- periodo T: durata temporale di un’oscillazione completa;
- frequenza f = 1/T: numero di oscillazioni complete che si compiono in un
secondo;
- pulsazione  = 2/T: rapporto ricavato dal moto circolare uniforme come
generatore di moto armonico; l’unità di misura è rad/s e ha le dimensioni di
[T]-1 (il radiante è infatti una grandezza adimensionale).
 Equazione del moto armonico con il modello a molla
Per meglio comprendere la dinamica del modello a molla, invitiamo a rivedere
la relativa forza elastica nel paragrafo 1.3 dell’unità B1.
La figura 1.24a mostra un punto materiale di massa m vincolato all’estremo di
una molla su una superficie priva di attrito. Gli assi cartesiani hanno origine
nel punto di riposo della molla. La molla è in condizione di
riposo e dunque non agisce alcuna forza elastica. La forza
peso P e la reazione normale N del piano si annullano a
vicenda e dunque non esiste moto in direzione verticale.
Passiamo ad analizzare la dinamica quando il punto materiale è allontanato dalla posizione di riposo (vedere figura
1.9 dell’unità B1)
La figura 1.24b mostra la molla in compressione e in
estensione: in entrambi i casi agisce solo la forza elastica
m
O
i
x
s O
i
x
a
m
F  k s
dove s è il vettore spostamento che ha coda in O e punta
nella posizione occupata dal punto materiale, e k è la
costante elastica della molla. La forza elastica ha verso
sempre rivolto al centro di oscillazione O ed è responsabile del moto di oscillazione.
Figura 1.24
Modello a molla per la dinamica
del moto armonico: (a) molla a
riposo; (b) molla fuori dalla posizione di equilibro e azione della
forza elastica sempre con verso
rivolto al centro di oscillazione O.
F
m
F
b
O
i
s
x
351
352
MODULO D - DINAMICA
L’equazione del moto è
F  k s = m a
Proiettiamo l’equazione rispetto l’asse cartesiano x
k s i = m ax i
da cui l’equazione con le sole componenti scalari
k s = m ax
dove s è la coordinata del punto materiale che è positiva (negativa) quando la
molla è in estensione (compressione).
Isolando l’accelerazione otteniamo
ax  
k
s
m
(1)
Se poniamo il rapporto k/m sotto il segno di radice, il termine k / m ha le
dimensione di una pulsazione, cioè [T]-1, e dunque è ammissibile la seguente
uguaglianza
k

m
(1.11)
Facendo il quadrato dei termini della (1.11) e sostituendo nella (1), la componente scalare dell’accelerazione diventa
ax   2 s
Quindi il vettore accelerazione che caratterizza la cinematica del punto materiale nel modello con molla è
a   2 s i
Osserviamo che il modulo del vettore accelerazione è uguale a quello del moto
armonico (vedere approfondimento unità C3), a conferma che il modello con
molla è un generatore di tale moto.
Ricordando che il periodo nel moto armonico è dato dal rapporto
T
2

sostituiamo  con la (1.11): otteniamo il periodo del moto armonico del modello con molla, cioè
T  2
m
k
(1.12)
Osserviamo che, mantenendo fisso il valore della costante elastica k, il periodo
aumenta con la massa m del punto materiale.
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
 Equazione del moto oscillatorio con il modello pendolo
L’oscillazione di un pendolo è un fenomeno molto comune, facilmente osservabile.
La figura 1.25a mostra un pendolo composto da un punto materiale P di
massa m appeso a un perno O tramite un filo ideale di lunghezza l. Il vincolo
del filo obbliga P a percorrere una traiettoria lungo un arco di circonferenza.
L’equazione del moto è
TP  m a
dove T è la tensione lineare del filo e P è la forza peso.
Se P è lasciato fermo nel punto A, il pendolo mantiene il suo stato di riposo
o di equilibrio perché P non proietta componenti lungo la traiettoria; in altri
termini la forza peso P è equilibrata dalla tensione lineare T del filo (vedere
fig. 1.22 unità B1).
Spostamento del pendolo dalla verticale
Se spostiamo P dalla posizione di equilibrio lungo la verticale OA, la forza peso
P è in grado di proiettare una componente vettoriale Pt lungo la retta tangente
alla traiettoria, con verso sempre rivolto al centro di oscillazione A provocando
l’oscillazione.
Analizziamo meglio la posizione di fuori equilibrio con l’ausilio di figura 1.25b
che mostra le componenti vettoriali della forza peso lungo gli assi x e y.
Rispetto l’asse y non si ha moto
(T  Py ) j  0
Rispetto l’asse x, la componente vettoriale della forza peso è responsabile
dell’oscillazione
Px i  m ax i
L’equazione con componenti scalari è
Px  m ax
Per il teorema dei triangoli rettangoli la componente scalare Px diventa
Px  m g sen 
dove  è l’angolo di oscillazione del pendolo espresso in radianti. Per piccole
ampiezze di  possiamo ritenere valida la seguente approssimazione
sen   
Se l’angolo  è espresso in radianti, è possibile applicare la relazione (2.15a)
dell’unità A2, e dunque

s
l
dove s è la lunghezza dell’arco di circonferenza rispetto la posizione A. Quindi
la componente scalare della forza peso diventa
Px 
mg
s
l
353
354
MODULO D - DINAMICA
O
O
q
l
y
O
l
q
T
T
T
T
i
m
P
A
P
A
P
a
Figura 1.25
(a) Modello pendolo per la
dinamica del moto oscillatorio.
(b) Determinazione della componente scalare della forza peso
in condizione di fuori equilibrio.
(c) Definizione del vettore spostamento s per la conseguente definizione della componente
vettoriale tangenziale della forza
peso, Pt.
Px
l
j
m
q
Py
P
s
P
s
A
x
b
c
Considerando piccole ampiezze di , possiamo ritenere l’arco di circonferenza
percorso da P uguale al modulo del vettore s con coda in A e punta in P (fig.
1.25c). Con l’introduzione del vettore s possiamo definire una nuova componente vettoriale della forza peso, la componente tangenziale
Pt  
mg
s
l
Il segno meno è conseguenza del fatto che il verso di Pt è sempre discorde
rispetto al vettore s (vedere figura). L’equazione del moto del punto materiale
diventa quindi
Pt = 
mg
s=ma
l
(1)
Anche in questo caso, osserviamo che il vettore accelerazione è rivolto sempre
verso il centro dell’oscillazione, cioè verso il punto A.
Trasformiamo la (1) nell’equazione in componenti scalari
Pt = 
mg
s=ma
l
e isoliamo l’accelerazione
a
g
s
l
Se poniamo il rapporto g / l sotto il segno di radice, il termine g / l ha le
dimensione di una pulsazione, cioè [T]-1, e dunque è ammissibile la seguente
uguaglianza
g

l
(1.13)
Utilizzando l’uguaglianza (1.13) la componente scalare dell’accelerazione
diventa
a   2 s
Quindi il vettore accelerazione che caratterizza la cinematica del punto materiale nel moto oscillatorio del pendolo è
a   2 s i
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
Osserviamo che il modulo del vettore accelerazione è uguale a quello del moto
armonico (vedere approfondimento unità C3).
Ricordando che il periodo è dato dal rapporto
T
2

sostituiamo  con la (1.13) e otteniamo il periodo del moto oscillatorio del
pendolo, cioè
T  2
l
g
(1.14)
Osserviamo che il periodo non dipende dall’ampiezza di oscillazione (sempre
ipotizzando di essere in condizioni di oscillazioni di piccola ampiezza). Il
periodo invece aumenta con la lunghezza l del filo.
Problema svolto 1.6
Una pallina di 600 g è fissata a un
estremo di un filo lungo 30,0 cm;
l’altro estremo del filo è vincolato
a un sostegno. Mentre la pallina
ruota con moto circolare uniforme,
il filo forma un angolo di 30,0° con
la verticale (fig. 1.26). Determinare
i moduli della tensione T del filo
e della velocità tangenziale v della
pallina.
Figura 1.26
Pendolo conico.
y
30°
T
x
30°
m
mg
Il modello rappresentato in figura è
definito pendolo conico.
Sulla pallina agiscono due forze: la
forza peso mg e la tensione T del filo.
Consideriamo un sistema di assi cartesiani come in figura, con origine nella
posizione istantanea della pallina, asse x con verso rivolto al centro della traiettoria circolare e asse y verticale. Inoltre, essendo in MCU, la pallina si trova
soggetta alla sola accelerazione centripeta ac.
L’equazione del moto della pallina è
T  m g  m ac
Rispetto all’asse x, la componente vettoriale dell’accelerazione coincide con ac
e non esiste componente vettoriale la per la forza peso; dunque
Tx i  m ac i
(1)
Rispetto l’asse y, l’accelerazione centripeta non ha componente vettoriale e
dunque non c’è moto; dunque
T
y
 mg  j  0
(2)
355
356
MODULO D - DINAMICA
Trasformiamo la (1) e la (2) nelle rispettive equazioni con componenti scalari:
rispetto all’asse x
v2
r
(1a)
Ty  mg
(2a)
Tx  m
e rispetto all’asse y
Sostituiamo Ty = T cos30° nell’equazione (2a) e ricaviamo
T
mg
cos 30
Sostituiamo Tx = T sen30°nell’equazione (1a) e ricaviamo la velocità della pallina
v
T r sen30

m
mg
(l sen30) sen30
cos 30
 g l sen30tg 30
m
Sostituiamo i dati numerici e otteniamo i moduli richiesti
m

(0, 6 kg)  9,81 2 
s 

T
 6,80 N
cos30°
m
m

v   9,81 2  (0,3 m) sen30tg 30  0,92
s 
s

Una forza più o meno intensa può avere ripercussioni diverse sul moto a seconda
della durata del tempo in cui agisce.
1.9
Quantità di moto e impulso
In questo paragrafo promuoviamo la velocità a protagonista nell’equazione del
moto con il vettore quantità di moto. Con questo “nuovo” vettore è possibile
mettere in relazione l’intensità della forza con l’intervallo di tempo durante il
quale agisce, aspetto particolarmente importante e non ancora affrontato.
 Quantità di moto
Dato un punto materiale di massa m con vettore velocità v, si definisce vettore quantità di moto p il prodotto
pmv
(1.15)
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
Figura 1.27
Rappresentazione vettoriale della
quantità di moto su un punto materiale di massa m.
Il vettore p ha le seguenti caratteristiche (fig. 1.27)

modulo: è il prodotto tra la massa
m e il modulo della velocità, v, cioè
P
m
pmv
v
L’unità di misura è kilogrammo per
metro su secondo (in simboli kg m/s));

direzione: quella del vettore velocità;

verso: quella del vettore velocità;

punto di applicazione: applicato al punto materiale.
Dalla (1.15), un punto materiale in MRU (quindi con v costante) ha vettore
quantità di moto costante. Nel moto accelerato, invece, la velocità è in funzione
del tempo, e dunque pure la quantità di moto, cioè
p(t )  m v (t )
(1.16)
Inoltre, se in un intervallo di tempo t, il punto materiale subisce un cambio
di velocità v, anche la quantità di moto subisce una variazione data dalla
relazione
p  m v
(1.17)
Equazione del moto con il vettore quantità di moto
Esprimiamo il secondo principio della dinamica in modo che compaia la velocità tramite la quantità di moto.
Ricordiamo la definizione dell’accelerazione, rispetto a un intervallo di tempo t
a
v
t
(1.18)
e sostituiamo a nella (1.5c)
Fm
v
t
A questo punto, sfruttiamo la (1.17) e sostituiamo il prodotto (m v) con p:
otteniamo la seguente versione equivalente dell’equazione del moto
F
p
t
(1.19a)
Se la variazione del tempo è infinitesima otteniamo
F
dp
dt
(1.19b)
357
358
MODULO D - DINAMICA
Considerando le (1.19), enunciamo il secondo principio della dinamica nel
seguente modo
la risultante delle N forze che agiscono su un punto materiale di massa m è
uguale alla variazione della sua quantità di moto rispetto al tempo.
 Impulso di una forza costante
Il secondo principio della dinamica non offre informazioni sul tempo di azione della forza, cioè su come, e se, l’intervallo di tempo in cui la forza agisce
influisce sulla conseguente accelerazione del corpo.
A riguardo si definisce il seguente vettore impulso, che ingloba l’intensità della
forza con il tempo di azione.
Ipotizziamo una forza costante nel tempo.
Si definisce vettore impulso I di una forza costante F che agisce per un
tempo di azione ∆t, il prodotto
I  F t
(1.20a)
Il vettore I ha le seguenti caratteristiche.

modulo: è il prodotto tra il modulo della forza, F e il tempo di azione t,
cioè
(1.20b)
I  F t
L’unità di misura nel sistema SI è newton per secondo (in simboli N s, oppure
kg m s-1);

direzione: quella del vettore forza;

verso: quella del vettore forza;

punto di applicazione: applicato al punto materiale.
Le forze con breve tempo di azione (al di sotto dei millisecondi) sono definite
forze impulsive.
Teorema dell’impulso
Sostituiamo nella (1.20a) la forza F con la (1.15c) e applichiamo la definizione
di accelerazione (1.18): otteniamo
I  m a t  m
v
t  m v
t
A questo punto, applicando la (1.17), possiamo enunciare il seguente teorema
dell’impulso per il caso di forza costante.
L’impulso di una forza costante su un punto materiale è uguale alla variazione della sua quantità di moto rispetto al tempo di azione, cioè
I  p
(1.21)
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
 Impulso di una forza con intensità variabile nel tempo
Durante il tempo di azione, generalmente le forze non sono costanti o, perlomeno, non rimane costante la loro intensità. In figura 1.28 sono riproposte
due figure significative già presentate nel testo: l’intensità della forza applicata
durante il colpo assume un valore rapidamente variabile in un brevissimo
tempo di azione, caratteristica delle forze impulsive. In figura 1.29 il tipico
andamento dell’intensità delle forze impulsive: durante il tempo di azione, l’intensità F raggiunge molto rapidamente un valore massimo per poi annullarsi
altrettanto rapidamente. Quindi F è variabile nel tempo come pure l’intensità
dell’impulso I, e la (1.20b) diventa
I (t )  F (t ) t
(1.22)
Figura 1.28
Il colpo di una mazza da golf o di
una racchetta da tennis sono esempi di applicazioni di forze impulsive
rapidamente variabili nel tempo.
Il prodotto (1.22) ha un preciso significato geometrico: I(t) è uguale all’area
sottesa dalla curva nel grafico della forza F in funzione del tempo t (fig. 1.29).
Forza media
È molto difficile descrivere analiticamente l’andamento di F di figura 1.29. Per
facilitare l’analisi, introduciamo il vettore forza media Fm:
data una forza F, con intensità variabile durante il tempo di
azione, si definisce il relativo vettore forza media Fm con le
seguenti caratteristiche

direzione: quella della forza F;

verso: quello della forza F;

F (t)
Fmax
Fm
modulo: valore tale che il prodotto per il tempo di reazione
sia uguale all’area sottesa dalla curva di figura 1.29.
Con la definizione di forza media la (1.21) diventa
O
Dt
I  Fm t  p
(1.23)
I  Fm t
(1.24)
da cui l’intensità dell’impulso
t
Figura 1.29
Andamento impulsivo dell’intensità
di una forza durante il tempo di
azione; l’intensità dell’impulso è
uguale all’area sottesa dalla curva
e a quella sottesa dal rettangolo
costruito rispetto la forza media.
359
360
MODULO D - DINAMICA
Il valore di I è uguale all’area contenuta nel rettangolo di altezza Fm e base t
di figura 1.29.
Quindi, se è nota la variazione della velocità di un corpo e l’intervallo in cui
avviene la variazione, dalla (1.23) possiamo determinare la forza media che ha
causato l’impulso.
Problema svolto 1.7
In figura 1.30, un battitore di baseball riceve una palla di massa
m = 0,145 kg a una velocità v1 = 90,0 km/h. Dopo averla colpita, il modulo
della velocità diventa v2 = 60,0 km/h. Determinare la forza media applicata alla palla dalla mazza, ipotizzando un tempo di azione t = 1,20 ms.
Per questo tipo di moto è sufficiente l’asse cartesiano x che collochiamo come
in figura, quindi con il verso opposto al battitore e con direzione parallela al
suolo.
La quantità di moto iniziale (prima del colpo, fig. 1.30a) è
p1   m v1 i
e quella finale (dopo il colpo, fig. 1.30b) è
p 2  m v2 i
Per la (1.23) l’impulso è
I  p  p 2  p1  m (v2  v1 ) i
Passando alle componenti scalari
 90, 0 103 m 60, 0 103 m 
-1
I  m (v2  v1 )  (0,145 kg) 

 = 6,04 kg m s
3600
s
3600
s


Dalla (1.24) la forza media è
Fm 
I
6, 04 kg m s 1

 5, 03 103 N
t
1, 20 10-3 s
Quindi il vettore forza media è
Fm  (5, 03 103 N) i
Figura 1.30
p2
p1
x
x
a
b
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
APPROFONDIMENTO
Lo stato di riposo e di moto secondo Galileo Galilei
Gli antichi filosofi greci erano convinti che lo
stato di riposo fosse quello naturale dei corpi e
lo stato di moto fosse solo un fenomeno transitorio. A riguardo, i moti dei corpi venivano
classificati in moti naturali e in moti violenti.
Esempio di moto naturale è quello di un corpo
che cade verso il suo luogo naturale, cioè la
superficie più bassa che può raggiungere. I moti
violenti sono invece quelli che conducono i
corpi fuori dai loro luoghi naturali: per esempio
una freccia scagliata o una palla lanciata da un
cannone. Galileo Galilei, osservando fenomeni
come l’oscillazione di un pendolo (figura 1.31),
il moto dei pianeti e, in particolare, l’effetto
dell’attrito sui corpi in movimento, arrivò alla
conclusione che lo stato naturale a cui tende il
corpo non è quello di riposo, ma bensì, quello
di moto regolare. Lo stato di riposo, “lo star
fermo”, rientra come caso particolare di quello di moto regolare, cioè un moto con velocità
nulla. La visione di Galileo Galilei, che un moto
regolare fosse la condizione naturale dei corpi,
si opponeva al comportamento delle palle di
cannone e dei cavalli da tiro, ma si accordava
al comportamento dei pendoli, dei pianeti, dei
corpi che scivolano con attrito trascurabile su
una superficie piana.
Un’ulteriore intuizione di Galilei riguardò la
variazione di velocità dei corpi. Mentre la dottrina tradizionale considerava la velocità come un
qualcosa che variasse la regolarità del moto, lo
scienziato pisano pensò che in realtà era la presenza di accelerazione a “rompere” la regolarità
del moto. Questa fu una grande intuizione, che
Newton riprese ed elaborò per enunciare il suo
primo principio della dinamica:
tutti i corpi rimangono in quiete o in moto rettilineo uniforme se non agisce su di essi una
forza esterna non equilibrata
e a seguire il secondo principio:
una forza non equilibrata causa il cambiamento
di un moto, provocando un’accelerazione.
Figura 1.31
Affresco raffigurante un giovane Galileo
Galilei intento a osservare le oscillazioni
di una lampada nella cattedrale di Pisa.
361
unità
D1 Riepilogo
1.1 Dinamica del moto
dinamica: studia le cause che provocano il moto
dei corpi.
meccanica classica: area della fisica che si
occupa del moto dei corpi soggetti a forze; è
strutturata sui tre principi della dinamica enunciati da Newton.
ca del secondo principio; consente di risalire alle
grandezze fisiche cinematiche del corpo conoscendo le forze che provocano il suo moto accelerato.
massa inerziale: nome alternativo della grandezza fisica scalare massa; quantifica l’inerzia di
un corpo; più (meno) la massa è elevata, più
(meno) l’inerzia è elevata, con più (meno) difficoltà il corpo cambia il suo stato di riposo o di
moto.
1.2 Primo principio della dinamica
principio: in assenza di forze, un corpo mantiene il suo stato di riposo o di moto rettilineo
uniforme.
inerzia: resistenza che oppone un corpo al cambiamento del suo stato di riposo o di moto rettilineo uniforme.
sistema di riferimento inerziale: sistema in
cui è valido il primo principio; i sistemi in moto
rettilineo uniforme rispetto a uno inerziale, sono
inerziali.
sistema di riferimento non inerziale: sistema
in cui non è valido il primo principio; i sistemi
in moto accelerato rispetto a uno inerziale, non
sono inerziali.
influenza dell’attrito: per osservare un corpo in
moto rettilineo uniforme in assenza di forze
occorre ridurre il più possibile l’inevitabile forza
d’attrito.
1.4 Terzo principio della dinamica
principio:
FBsuA  FAsuB
dove FAsuB (FBsuA) è la forza esercitata dal corpo
A (B) che agisce sul corpo B (A); le due forze
sono tra loro opposte.
azione e reazione: l’azione di una forza comporta sempre una reazione rappresentata da una
forza opposta; l’azione e la reazione descritte dal
terzo principio agiscono sempre su corpi diversi.
1.5 Applicazione dell’equazione
del moto
risoluzione dell’equazione del moto: determinazione dell’accelerazione nota la risultante
delle forze; determinazione della risultante delle
forze nota l’accelerazione.
1.3 Secondo principio della dinamica
corda ideale: trasmette inalterata la forza; è di
massa trascurabile e non estendibile.
principio:
N
F  m a
i 1
i
dove la sommatoria è il vettore risultante delle N
forze che agiscono sul corpo di massa m, e a è il
vettore accelerazione con cui il corpo si muove.
equazione del moto: rappresentazione analiti-
tensione della corda: coppia di forze opposte
fra loro che modellano la tensione di una corda
tirata ai suoi estremi.
puleggia ideale: strumento che cambia la direzione della coppia di forze responsabile della
tensione di una corda; è di massa trascurabile e
priva di attrito nella guida in cui scorre la corda.
UNITÀ C3 - MOTI A DUE DIMENSIONI
1.6 Dinamica del moto su piano inclinato
piano inclinato senza attrito: la componente
vettoriale della forza peso parallela al piano è
responsabile dello scivolamento verso il basso
del corpo.
dove m è la massa del corpo, l è la lunghezza del
filo del pendolo, g è il modulo dell’accelerazione
di gravità, e = g / l è la pulsazione.
1.9 Quantità di moto e impulso
piano inclinato con attrito: si ha scivolamento
del corpo verso il basso se la componente vettoriale della forza peso parallela al piano ha modulo maggiore del modulo della forza d’attrito statica.
quantità di moto:
condizione per lo scivolamento con attrito:
dove m è la massa del corpo e v è il vettore
velocità con cui il corpo si muove; il modulo del
vettore p si misura in kg m/s.
tan    s
363
pmv
secondo principio con quantità di moto:
dove μ è l’angolo di inclinazione del piano e μs è
il coefficiente di attrito statico.
N
dp
 F  dt
i 1
1.7 Dinamica del moto circolare
uniforme
forza centripeta:
v
 m 2R
R
dove m è la massa del corpo, vt è il modulo della
velocità tangenziale e  è il modulo della velocità angolare, R è il raggio della circonferenza.
1.8 Dinamica del moto oscillatorio
periodo nel moto con molla:

 2
m
k

dove F è la forza e μt è il tempo di azione.
I  p
teorema dell’impulso nel caso di F variabile:
I  Fm t  p
periodo nel pendolo:
2
I  F t
teorema dell’impulso nel caso di F costante:
dove m è la massa del corpo, k è la costante elastica della molla e = k / m è la pulsazione.
T
impulso di una forza:
 2
l
g
dove Fm è la forza media rispetto al tempo di
azione μt.
Riepilogo
2
tempo di azione: intervallo di tempo in cui agisce una forza su un corpo.
D1
T
dove dp/dt è la variazione infinitesima del vettore p rispetto all’intervallo di tempo infinitesimo dt.
unità
Fc  m
2
t
i
unità
D1
Verifiche
TEST
1
Un corpo si muove con velocità costante.
Allora su di esso
a) non agisce nessuna forza
b) agisce una sola forza
c) agiscono forze con risultante nulla
d) agiscono forze costanti
2
An object is at rest. Then
a) the sum of the forces on the object is zero
b) there are no forces acting on the object
c) there is only one force acting on the object
d) the forces acting on the object are constant
3
Su un corpo agiscono forze con risultante non
nulla. Allora il corpo
a) varia la sua velocità
b) varia la sua massa
c) varia la sua accelerazione
d) varia la sua traiettoria
4
un’accelerazione a. Se la stessa forza viene
applicata al corpo di massa M, quest’ultimo si
muove
a) con accelerazione maggiore
b) con la stessa accelerazione
c) con accelerazione minore
d) solo se l’intensità di F supera un valore
minimo
8
A 2,0 kg mass starts from rest and is acted on
by a constant force. If the mass moves 28 m in
2,0 s, what is the magnitude of the force?
a) 2 N
b) 14 N
c) 56 N
d) 28 N
9
La forza di reazione al peso di uno zaino
appoggiato su un banco
a) è sempre nulla
b) dipende dall’attrito banco-zaino
c) è applicata al tavolo
d) è applicata allo zaino
L’accelerazione prodotta da una forza costante
F su un corpo di massa m
a) è nulla
b) è costante e direttamente proporzionale al
valore di F
c) è costante e inversamente proporzionale al
valore di F
d) varia nel tempo
10 La massa di un uomo è 80,0 kg. Il modulo
della forza con cui l’uomo attira la Terra è
a) 0,000 N
b) 9,81 N
c) 80,0 N
d) 785 N
5
Un’automobile con una massa di 1000 kg si
muove con velocità costante di modulo 70
km/h. Il modulo della forza totale sull’automobile è
a) 20 N
b) 9,8 · 103 N
c) 51 N
d) 0,00 N
11 Su un carrello di 1,5 kg agiscono due forze
di uguale modulo pari a 3,0 N. Nella figura il
carrello è visto dall’alto. Quanto vale il modulo
dell’accelerazione del carrello?
a) 2,8 m/s2
b) 4,0 m/s2
c) 5,6 m/s2
d) 2,0 m/s2
6
Applicando la stessa forza F a due corpi di
massa m1 e m2, il primo assume un’accelerazione a1 doppia dell’accelerazione a2 del secondo. La massa m1 è uguale a
a) m2/2
b) 2 m2
c) 4 m2
d) m2/4
7
Due corpi aventi masse M e m (M > m) giacciono su una superficie priva di attrito. Una forza
F accelera il corpo di massa m, imprimendogli
figura test 11
F1
90°
F2
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
15 Una moto, viaggiando in curva con una velocità di modulo costante v, è soggetta a una
forza centripeta FC. Qual è il valore della forza
centripeta se la moto viaggia sulla stessa curva
con velocità di modulo 2v?
a) 4 FC
b) 2 FC
c) FC/2
d) FC/4
16 A 3,0 kg mass moves in a circle of 0,50 m radius.
If the maximum centripetal force which can
be applied to the mass has magnitude 150 N,
what is the magnitude of its maximum speed?
a) 25 m/s
b) 5,0 m/s
c) 10 m/s
d) 3,0 m/s
17 Una massa m, attaccata a una molla di costante elastica k, oscilla con un periodo 4 s. Ora la
stessa massa è attaccata a una seconda molla,
che ha costante elastica 4k. Il periodo di oscillazione della seconda molla è
a) 4 s
b) 3 s
b)
2T
c) 2 T
d)
T/ 2
QUESITI
19 Cosa si intende per sistema di riferimento inerziale?
20 Un sasso lanciato verso l’alto non persevera
nel suo stato di moto, ma rallenta e cade.
Perché non c’è contraddizione con il principio
di inerzia?
21 Se la risultante di più forze applicate a un
corpo è nulla, il corpo è fermo?
22 Cosa afferma il secondo principio?
23 Qual è l’equazione dimensionale della forza?
24 Un’azione e una reazione sono due forze che
agiscono sullo stesso corpo?
25 Un libro viene spinto verso l’alto lungo un
piano inclinato liscio in modo da raggiungere
un certo punto e poi scivolare indietro verso
il punto di partenza. Impiega lo stesso tempo
per salire e per scendere? E se il piano inclinato è scabro?
26 Da cosa dipende l’accelerazione di un corpo
che scende lungo un piano inclinato?
27 Da cosa dipende la frequenza di oscillazione
di un corpo fissato all’estremità libera di una
molla?
28 Una molla e un pendolo oscillano sulla Terra
con lo stesso periodo. Sulla Luna oscillerebbero con lo stesso periodo?
29 Dare la definizione di quantità di moto e di
impulso di un corpo.
30 Cosa afferma il teorema dell’impulso?
Verifiche
14 Un’automobile percorre, con velocità di modulo costante, una curva di raggio r sotto l’azione
di una forza centripeta FC. Quale forza centripeta sarebbe necessaria per percorrere una
curva con raggio doppio, alla stessa velocità?
a) 2 FC
b) 4 FC
c) FC/2
d) FC/4
18 Un pendolo oscilla con un periodo T. Con
quale periodo oscilla un pendolo di lunghezza
doppia?
a) T
D1
13 Un oggetto scivola lungo un piano inclinato
liscio. Se si aumenta l’altezza mantenendo
invariata la lunghezza del piano inclinato, il
tempo di discesa
a) diventa maggiore
b) diventa minore
c) rimane uguale
d) dipende dalla massa dell’oggetto
c) 2 s
d) 1 s
unità
12 Un carrello scivola lungo un piano inclinato
liscio di altezza h e lunghezza l. Se si raddoppia l’altezza h mantenendo la lunghezza l del
piano inclinato, il modulo dell’accelerazione
del carrello
a) raddoppia
b) rimane costante
c) dimezza
d) quadruplica
365
366
MODULO D - DINAMICA
PROBLEMI
Primo principio della dinamica (1.2)
Secondo principio della dinamica (1.3)
Terzo principio della dinamica (1.4)
31 Un pacco di 5,0 kg è fermo su un pavimento
orizzontale liscio. Se viene spinto con una
forza orizzontale di intensità 10 N, calcolare il
modulo dell’accelerazione del pacco e lo spostamento che il pacco compie in 2,5 s.
32 Due forze F1 e F2 ortogonali tra di loro agiscono su un corpo di massa 20 kg. Se F1 = 40 N e
F2 = 20 N, determinare quanto vale il modulo
dell’accelerazione del corpo.
33 La figura mostra due forze orizzontali che
agiscono su un corpo in moto senza attrito
sul pavimento. Una terza forza F3 agisce sul
corpo. Quali sono l’intensità, la direzione e
il verso di F3 se il corpo resta fermo? E se il
corpo si muove verso sinistra con velocità
costante di 3 m/s?
F1
F1 = 3 N
F2
F2 = 5 N
34 Un corpo pesa 16 N sulla Terra. Quali saranno
il suo peso e la sua massa in un luogo dove
l’accelerazione di gravità è 4,9 m/s2? E in un
punto dello spazio dove l’accelerazione di gravità è zero?
unità
D1
Verifiche
35 Un’auto del peso di 1,2 · 104 N, che sta viaggiando a 60 km/h, è frenata con una forza
frenante di intensità costante in modo da
arrestarsi in 20 m su un percorso orizzontale.
Trovare l’intensità della forza frenante e il
tempo impiegato per fermarsi. Se la velocità
iniziale fosse doppia, e la forza frenante fosse
la stessa, quali sarebbero lo spazio d’arresto e
la durata della frenata?
36 A 0,40 kg rock is thrown upward with an initial speed of 10 m/s. What is the magnitude of
the force on the ball when it reaches its maximum height?
37 Due blocchi di massa m1 = 2,0 kg e m2 = 4,0 kg
sono a contatto fra loro su un piano orizzontale
liscio. Una forza costante F, di intensità 12 N e
diretta parallelamente al piano, viene applicata
al primo blocco, come in figura a. Calcolare i
moduli dell’accelerazione del sistema costituito
dai due blocchi e della forza di azione (reazione) fra essi. Determinare i moduli dell’accelerazione e della forza di azione (reazione) dei due
blocchi se si applica una forza di modulo 12 N
al blocco di massa m2, come in figura b.
F
m1
m2
a
m1
m2
F
b
38 Tre blocchi sono in contatto l’uno con l’altro su una superficie orizzontale liscia. m1
viene spinto con una forza orizzontale F. Se
m1 = 2,0 kg, m2 = 3,0 kg, m3 = 5,0 kg e F = 20 N,
trovare i moduli dell’accelerazione dei blocchi
e delle forze di azione (reazione) tra i blocchi.
39 Un passeggero di massa m = 80,0 kg è nella
cabina di un ascensore. Determinare il modulo della reazione vincolare del pavimento
dell’ascensore nei seguenti casi:
a) l’ascensore è fermo
b) l’ascensore si muove verso l’alto con velocità costante
c) l’ascensore si muove verso il basso con velocità costante
d) l’ascensore si muove verso l’alto con un’accelerazione di modulo 3,30 m/s2
e) l’ascensore si muove verso il basso con
un’accelerazione di modulo 3,30 m/s2
f) il cavo che regge la cabina dell’ascensore si
spezza e l’ascensore cade liberamente nel
vuoto
Applicazione della legge del moto (1.5)
40 Un facchino sposta orizzontalmente una cassa
di massa 10 kg, inizialmente ferma, spingendola con una forza di modulo 20 N, inclinata
di 60° rispetto al pavimento liscio. Qual è il
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
modulo dell’accelerazione della cassa? Quanto
tempo impiega il facchino per spostare il
banco di 5,0 m?
41 Due persone trascinano una cassa di 10 kg,
inizialmente ferma, su un piano orizzontale
liscio, tirandola con due forze di uguale modulo pari a 20 N, come in figura. Determinare
il modulo della velocità della cassa dopo uno
spostamento di 2,0 m.
367
45 Due corpi di massa m1 = 5,00 kg e m2 = 10,0
kg sono appesi agli estremi di un filo, inestensibile e di massa trascurabile, che scorre attraverso una carrucola ideale, come in figura.
Calcolare i moduli dell’accelerazione con cui si
muovono i due corpi e della tensione del filo.
m1
F1
60°
m2
F2
m1
47 Due casse A e B, di massa mA = 7,0 kg e mB =
3,0 kg, collegate da una fune inestensibile e
di massa trascurabile, sono appoggiate su un
piano orizzontale scabro, come in figura. La
cassa B viene trainata con una forza costante
di intensità 20 N parallela al piano. Calcolare
i moduli dell’accelerazione delle due casse e
della tensione della fune sapendo che i coefficienti di attrito dinamico tra il piano e le casse
sono rispettivamente A = 0,10 e B = 0,20.
mA
m2
F
mB
F
Verifiche
44 Due corpi, di massa m1 = 40 kg e m2 = 20 kg,
appoggiati su una superficie orizzontale liscia,
sono collegati da una fune. Una forza F, di
modulo 120 N, viene esercitata su una delle
due masse, come in figura. Trovare i moduli
dell’accelerazione del sistema e della tensione
della fune.
m1
D1
43 Una massa di 10 kg deve essere calata dal
primo piano di una casa con una fune di peso
trascurabile, il cui carico di rottura è di 70 N.
Può essere calata a velocità costante? In caso
contrario con quale accelerazione minima può
essere calata?
m2
unità
42 Un corpo di massa 10 kg è attaccato a una
fune nelle seguenti due situazioni:
a) il corpo è libero di muoversi su un piano
liscio e la fune viene tirata con una forza
orizzontale. Il corpo assume un’accelerazione di modulo 1,0 m/s2;
b) alla fune è applicata una forza verticale
verso l’alto e il corpo viene sollevato con
un’accelerazione di modulo 1,0 m/s2.
Determinare nei due casi il modulo della tensione della fune.
46 Nella situazione rappresentata in figura, le
masse dei due corpi sono m1 = 1,00 kg e m2
= 2,00 kg. Il coefficiente di attrito dinamico
tra il secondo corpo e la superficie è 0,200.
Calcolare i moduli dell’accelerazione con cui si
muovono i due corpi e della tensione del filo,
trascurando l’attrito della carrucola e la massa
del filo e della carrucola.
368
MODULO D - DINAMICA
Dinamica del moto sul piano inclinato (1.6)
48 Determinare il tempo che impiega un corpo a
scivolare giù per un piano inclinato liscio di
altezza 1,0 m e lunghezza 2,5 m. Con quale
velocità il corpo arriva alla base del piano?
Confrontare i risultati con quelli che si otterrebbero se il corpo cadesse liberamente da
fermo dalla stessa altezza di 1,0 m.
49 A block is pushed up a frictionless 30° incline
by an applied horizontal force as shown. If
F = 14 N and m = 4,0 kg, what is the magnitude
of the resulting acceleration of the block?
52 Una cassa viene appoggiata con velocità nulla
su un piano scabro, inclinato di 45° rispetto
all’orizzontale. I coefficienti di attrito statico
e dinamico tra la cassa e il piano sono 0,4 e
0,3. Dimostrare che la cassa scende verso il
basso. Calcolare il modulo della velocità che
la cassa raggiunge dopo aver percorso un
tratto di 0,5 m sul piano inclinato.
53 Una cassa scivola lungo un piano inclinato di
45° rispetto all’orizzontale. Se l’accelerazione della cassa ha modulo g/2, determinare il
coefficiente di attrito dinamico tra la cassa e il
piano.
Dinamica del moto circolare (1.7)
54 Un astronauta, di massa 70,0 kg, orbita intorno alla Terra a un’altezza h = 500 km dalla
superficie terrestre, alla velocità di modulo
costante v = 5,60 km/s. Quale forza esercita la
Terra sull’astronauta?
(Il raggio terrestre è 6,38 · 103 km)
m
F
30°
50 Un corpo, di massa 0,30 kg, lanciato verso
l’alto lungo un piano inclinato liscio di 60°,
sale per 1,5 m poi si ferma e torna indietro.
Determinare il modulo della forza che frena
il moto di salita del corpo. Calcolare i moduli
delle velocità con cui parte il corpo e con cui il
corpo torna al punto di partenza.
unità
D1
Verifiche
51 Due corpi sono collegati da una fune senza
peso che passa attraverso una puleggia senza
attrito, come in figura. Il piano inclinato è
liscio, m1 = 2,00 kg, m1 = 6,00 kg e  = 60,0°.
Trovare i moduli delle accelerazioni dei corpi
e della tensione della fune.
m2
m1
q
55 Sul piatto di un giradischi che ruota a
33 giri/minuto è appoggiata una pallina a 10
cm dal centro. Se la pallina resta ferma durante la rotazione, qual è il coefficiente di attrito
tra pallina e piatto?
56 A car moves in a circle with a 76 m radius.
What is the minimum coefficient of friction
needed for the car to continue in the circular
path at a speed of 15 m/s without slipping?
57 Una cassa di 50,0 kg è appoggiata sul pianale
di un furgone. Il coefficiente di attrito statico
tra il pianale e la cassa è 0,400. Determinare il
modulo della velocità massima con cui il furgone può affrontare una curva di raggio 100
m senza provocare uno spostamento laterale
della cassa. Se la cassa fosse più pesante, la
velocità potrebbe essere maggiore?
58 Si fa ruotare un mazzo di chiavi di massa 100 g
su una circonferenza verticale di raggio 20 cm.
Il mazzo di chiavi è legato a una catenella che
si tende durante la rotazione. Calcolare qual è
il modulo della velocità minima che deve avere
il mazzo di chiavi nel punto più alto della traiettoria perché la catenella non si allenti. Se il
mazzo di chiavi passa per lo stesso punto con
una velocità di modulo triplo, determinare il
modulo della tensione della catenella.
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
59 Un’automobile, di massa 1000 kg e in moto
con velocità costante pari a 90,0 km/h, si trova
nelle seguenti due situazioni:
a) sulla cima di un dosso il cui profilo può
essere descritto come un arco di circonferenza di raggio 200 m;
b) sul fondo di un avallamento il cui profilo
può essere descritto come un arco di circonferenza di raggio 200 m.
Calcolare il modulo della reazione vincolare
della strada nei due casi.
369
la lunghezza del filo, sapendo che questo
forma con la verticale un angolo di 45°.
67 Una giostra consiste in una piattaforma circolare ruotante del diametro di 6,0 m, alla quale
sono sospesi dei sedili tramite catene lunghe
l = 2,0 m. Quando la giostra è in rotazione,
le catene formano un angolo di 30° con la
verticale. Se un ragazzo di massa m = 45 kg è
seduto su un sedile di massa M = 10 kg, determinare i moduli della tensione della catena e
della velocità dei sedili.
Dinamica del moto oscillatorio (1.8)
63 A simple pendulum on the Earth has a period
T = 1,0 s. What would be its period on Mars
where the acceleration due to gravity is 3,5 m/s2?
64 Un pendolo compie un’oscillazione completa
ogni 2,00 s. Determinare la lunghezza del pendolo.
65 Un pendolo è formato da una pallina di massa
m = 300 g appesa a un filo di lunghezza
l = 1,00 m. Quando il filo forma un angolo di
60° con la verticale, la velocità della pallina ha
modulo v = 2,00 m/s. Calcolare il modulo della
tensione del filo in questa posizione.
66 La sferetta di un pendolo conico si muove con
velocità di modulo uguale a 1,0 m/s. Calcolare
69 Una palla di massa 100 g viene lanciata perpendicolarmente contro un muro, con una
velocità costante di modulo 6,0 m/s. La palla
urta e rimbalza indietro nella stessa direzione
con una velocità di modulo 2,0 m/s. La durata
dell’urto è di 15 ms. Determinare il modulo
dell’impulso e l’intensità della forza media
esercitata dal muro sulla pallina.
70 Un campione di tennis lancia una pallina di
massa 50 g alla velocità di modulo 200 km/h.
Se la forza impulsiva media impressa alla pallina ha modulo 200 N, determinare la durata
dell’impatto tra racchetta e pallina.
71 A car accelerates from 0,00 m/s to 6,9 m/s in
5,0 s. What was the magnitude of the average
force on a 60 kg passenger in the car?
72 Un’automobile di massa 1200 kg, che viaggia su una strada pianeggiante alla velocità
di modulo 72 km/h, viene frenata fino a fermarsi in 3,5 s. Determinare il modulo della
forza media che agisce sull’auto durante la
frenata.
Verifiche
62 A una molla orizzontale, di costante elastica
5,0 N/m, è fissato un corpo di massa 300 g. Se
si sposta il corpo di 25 cm dalla posizione di
equilibrio, qual è il modulo della sua accelerazione? Se la massa del corpo viene raddoppiata, come diventa il modulo dell’accelerazione?
68 Una pallina A di massa 100 g si muove alla
velocità costante di 3 m/s in direzione orizzontale verso destra. Un’altra pallina B di
massa 200 g si muove alla velocità costante di
2 m/s lungo la stessa direzione verso sinistra.
Calcolare il modulo della quantità di moto di
A e di B.
D1
61 A mass m = 2 kg is attached to a spring having
a force constant k = 300 N/m. The mass is
displaced from its equilibrium position and
released. Find its frequency of oscillation.
Quantità di moto e impulso (1.9)
unità
60 A una molla di massa trascurabile, sospesa
verticalmente, si appende una massa ottenendo un allungamento di 20 cm. Con quale
periodo oscilla il sistema massa+molla?
370
MODULO D - DINAMICA
LABORATORIO
Verifica del secondo principio
della dinamica
 Obiettivo
Verifica del secondo principio della dinamica che afferma: l’accelerazione
impressa da una forza F a un corpo di massa m, libero di muoversi, è direttamente proporzionale al valore della forza, cioè
a
F
m
(1)
Per questo esperimento si utilizza la rotaia a cuscino d’aria descritta nell’approfondimento dell’unità C1.
 Materiali

rotaia a cuscino d’aria con carrello mobile di massa m  100 g.

quattro/cinque blocchi di massa m  5 g ciascuno.

puleggia

filo di cotone
 Sequenza esperimento
La struttura per l’esperimento è in figura 1.32
Figura 1.32
Rotaia a cuscino d’aria.
filo di cotone
s
foto-traguardo
rotaia
unità
D1
Verifiche
carrello
elettromagnete
blocco di massa m
UNITÀ D1 - PRINCIPI DELLA DINAMICA
371
1. Misuriamo la distanza s lungo la rotaia tra l’asticella sul carrello in posizione
iniziale e il foto-traguardo.
2. Tramite filo di cotone applichiamo al carrello un singolo blocco di massa m
come mostrato in figura.
3. Misuriamo il tempo che il carrello impiega a percorrere la distanza s trascinato dalla forza peso del blocco di massa m che scende verso il basso.
4. Ripetiamo la misura del tempo aggiungendo ogni volta un blocco di massa m
all’estremità del filo di cotone.
 Raccolta dati
Nella seguente tabella riportiamo i tempi misurati (ti) rispetto al valore della
massa appesa (mi)
massa
forza
tempo
accelerazione
m1 = m
F1
t1
a1
m2 = 2 m
F2
t2
a2
m3 = 3 m
F3
t3
a3
m4 = 4 m
F4
t4
a4
La forza Fi che traina il carrello è la forza peso, data dalla nota relazione
Fi  mi g
Dalla cinematica del moto rettilineo accelerato, l’accelerazione (ai) è data dalla
relazione
ai 
2s
t i2
(2)
dove ti è il tempo che ha impiegato il carrello a percorrere la distanza s trainato
dalla i-esima forza peso applicata al blocco di massa i-esima..
Lo scopo dell’esperimento è quello di confrontare i valori delle accelerazioni
calcolati con la (2), in cui compaiono le misure del tempo, con i valori calcolati
applicando la relazione (1) del secondo principio, cioè
D1
Verifiche
Fi
mi
unità
ai 

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